4 ingeniería (diseño y cálculos matemáticos)

4.1 Fundamentos de diseño.

Potencial eólico disponible en la región

La potencia disponible (P¿¿d )¿ de un caudal másico de aire que atraviesa una superficie de área (A) perpendicular a la dirección del flujo es:

Pd=12m v2=1

2ρA v3

Donde:

Pd = Potencia disponible (W )

m= Flujo másico.

v= velocidad del aire ms

.

A = área de sección trasversal.

ρ = densidad del aire kg

m3

De igual manera la densidad de potencia disponible (Wm2 ) , está dada por:

PdA

=12ρ v3

De la ecuación anterior se obtienen las siguientes conclusiones:

La potencia disponible por unidad de área es dependiente del cubo de la velocidad del aire. Por lo que si la velocidad aumenta un 10%, la densidad de potencia crece un 33.33%. Es por esto la importancia de elevar el aerogenerador a una mayor altura. Ya que a mayor altura la velocidad del aire tiende a aumentar.

La potencia disponible es proporcional del área de sección transversal (A). es decir al área de barrido por los alabes del aerogenerador. Por ello, si el área de multiplica por 2, la potencia obtenida es 4 mayor.

La potencia disponible depende de manera lineal de la densidad del aire. Dado que la densidad del aire disminuye con la altura; se establece la siguiente

ecuación aproximada de la densidad del aire en función de la altitud y la altura respecto al nivel del mar.

ρ=1.225( 288t+273 )e−( h8435)

Donde: t = temperatura en grados centígrados (℃ )h = altura sobre el nivel del mar (m)

Para nuestro caso San Luis potosí tiene una altitud media sobre el nivel del mar de 1860 msnm y una temperatura media anual 17.6℃ (ambos datos obtenidos de smn.cna.gob.mx/observatorios/historia/slp.pdf). Por lo tanto.

ρ=1.225( 28817.6+273 )e

−( 18838435)=0.97114 kgm3

Potencia eólica máxima extraída (límite de Betz)

El límite de Betz establece un punto máximo para la potencia que se puede aprovechar del flujo másico del viento de una determinada velocidad.

Dicho teorema conduce a que la máxima potencia que puede extraerse de un flujo de aire, está dada por la siguiente expresión:

Pmax=1627 (12 ρA v3)=0.59259 Pd

Coeficientes de potencia y par

Cuando el viento incide sobre el rotor, la energía cinética del viento no es aprovechada en su totalidad. Ya que el viento conserva una parte de dicha energía cinética y otra parte se pierde en rozamientos mecánicos por lo que la energía final en el rotor siempre es menor que la cedida por el viento en los alabes del generador.

El coeficiente de potencia (c p ) está definido como la relación entre la potencia en el eje del

rotor y la potencia disponible por el viento.

C p=P

12ρA v3

Este coeficiente es función de la velocidad específica ( λ ), definida como la relación, entre

la velocidad lineal (u ) en el extremo del alabe del aerogenerador y la velocidad del viento

( v ), su valor está dado por:

λ=uv=ωRv

=2πnR60 v

Donde:

ω = velocidad de rotación del rotor del generador (rad/s)

n = velocidad de rotación del rotor en generador (rpm)

R = radio del rotor.

El par M en el eje del rotor esta relacionado con la potencia en el eje del rotor y está dado por:

M= Pω

De igual forma la densidad de par viene establecido por:

MA

=12Cm ρ v

2R

En donde:

Cm= el coeficiente de par

La relación entre C p y Cm, viene dada por:

C p=λ¿Cm

Dimensiones de los alabes.

Para los sistemas de eje vertical el área de barrido no es comúnmente una circunferencia, sino que esta depende del diseño que cada diseñador determina. Por lo regular dicho diseño se asemeja a una elipse. Por lo que el área de barrido es función lineal de los semiejes mayor y menor de la elipse:

A=R∗r∗π

Para nuestro modelo estableceremos una relación experimental entre ambos semiejes dada por la siguiente expresión:

R=1.35 r

Por lo tanto

A=R∗R∗π1.35

=0.7407 R2π

Resultados de fundamentos teóricos (diseño)

Una vez planteadas las ecuaciones que rigen el diseño y comportamiento de un generador eólico se realizó un análisis mediante una plantilla de Excel para observar la variación del comportamiento del diseño a partir de modificar el área proyectada para el sistema de hélices (semiejes mayor y menor), además se consideraron los valores nominales de potencia de salida (potencia ideal, es decir, sin considerar perdidas) y régimen de giro del generador eléctrico empleado.

Nota: los parámetros del generador utilizados se obtuvieron de la tabla 4.1, tomando como valores de potencia nominal y régimen de giro los resultados de una simulación realizada por el proveedor “Windy Nation” y registrados en un video que lleva por nombre “Wind Hydro Generator Turbine 24V Battery Bank Charging showing RPM, Volts and Amps”.

# Potencia de salida (W) Régimen de giro (rpm)1 37.5 2802 263 3603 575 5004 767 5605 1026 680

Tabla 4.1 parámetros (régimen de giro y potencia de salida) del generador WindTura 750 Permantent Magnet Alternator

Para tener una comparación significativa se proponen diversos valores para el área de sección transversal que atraviesa el flujo de viento ya que como se mencionó anteriormente la potencia máxima aprovechada del viento es proporcional a dicha área.

En la tabla 4.2 se presentan las combinaciones realizadas para la comparación del comportamiento del sistema de generación eólico.

combinación Semieje menor (m)

Semieje mayor (m)

Área (m2¿

Potencia en el eje del rotor (W )

Régimen de giro (rpm)

1 1 1.35 4.24115 767 5002 1.2 1.62 6.10725 767 500

3 1.4 1.89 8.31265 767 5004 1.6 2.16 10.8573 767 5005 1.8 2.43 13.7413 767 5006 2 2.7 16.9648 767 500

Tabla 4.3 combinaciones para la comparación del diseño del generador eólico.

Enseguida se presentan los resultados obtenidos al aplicar las combinaciones anteriores en las tablas 4.3.1 a 4.3.6

características particulares de diseño para el aerogenerador de eje vertical

datos conocidos  

Régimen de giro (RPM)

500

 

semieje menor (m) 1  

semieje mayor (m) 1.35  

Potencia en el eje del rotor (W)

767  

 velocidad del viento

(m/s)área del rotor (m^2)

potencia disponible

(W)

densidad de potencia (W/m^2)

potencia máxima

extraída (W)velocidad

especifica (λ)Cp Cm

1   4.241150083 2.062153199 0.486225 1.222011364 52.35987757 371.941 7.10356

1.5   4.241150083 6.959767047 1.641009375 4.124288354 34.90658504 110.205 3.15714

2   4.241150083 16.49722559 3.8898 9.776090914 26.17993878 46.4927 1.77589

2.5   4.241150083 32.22114374 7.597265625 19.09392757 20.94395103 23.8042 1.13657

3   4.241150083 55.67813637 13.128075 32.99430683 17.45329252 13.7756 0.78928

3.5   4.241150083 88.41481841 20.84689688 52.39373724 14.95996502 8.67502 0.57988

4   4.241150083 131.9778047 31.1184 78.20872731 13.08996939 5.81158 0.44397

4.5   4.241150083 187.9137103 44.30725313 111.3557856 11.63552835 4.08166 0.35079

5   4.241150083 257.7691499 60.778125 152.7514205 10.47197551 2.97553 0.28414

5.5   4.241150083 343.0907385 80.89568438 203.3121407 9.519977739 2.23556 0.23483

6   4.241150083 445.425091 105.0246 263.9544547 8.726646261 1.72195 0.19732

6.5   4.241150083 566.3188223 133.5295406 335.5948709 8.055365779 1.35436 0.16813

7   4.241150083 707.3185473 166.775175 419.1498979 7.47998251 1.08438 0.14497

7.5   4.241150083 869.9708809 205.1261719 515.5360443 6.981317009 0.88164 0.12629

8   4.241150083 1055.822438 248.9472 625.6698185 6.544984696 0.72645 0.11099

8.5   4.241150083 1266.419833 298.6029281 750.4677291 6.159985596 0.60564 0.09832

9   4.241150083 1503.309682 354.458025 890.8462845 5.817764174 0.51021 0.0877

9.5   4.241150083 1768.038599 416.8771594 1047.721993 5.51156606 0.43381 0.07871

10   4.241150083 2062.153199 486.225 1222.011364 5.235987757 0.37194 0.07104

Tabla 4.3.1 resultados y características particulares considerando un “semieje menor” de 1 m de longitud.

características particulares de diseño para el aerogenerador de eje vertical

datos conocidos  

Régimen de giro (RPM)

500

 

semieje menor (m) 1.2  

semieje mayor (m) 1.62  

Potencia en el eje del rotor (W)

767  

 velocidad del viento

(m/s)área del rotor (m^2)

potencia disponible

(W)

densidad de potencia (W/m^2)

potencia máxima

extraída (W)velocidad

especifica (λ)Cp Cm

1   6.107256119 2.969500607 0.486225 1.759696364 62.83185308 258.293 4.11085

1.5   6.107256119 10.02206455 1.641009375 5.93897523 41.88790205 76.5311 1.82705

2   6.107256119 23.75600485 3.8898 14.07757092 31.41592654 32.2866 1.02771

2.5   6.107256119 46.39844698 7.597265625 27.4952557 25.13274123 16.5307 0.65774

3   6.107256119 80.17651638 13.128075 47.51180184 20.94395103 9.56639 0.45676

3.5   6.107256119 127.3173385 20.84689688 75.44698163 17.95195802 6.02432 0.33558

4   6.107256119 190.0480388 31.1184 112.6205673 15.70796327 4.03582 0.25693

4.5   6.107256119 270.5957428 44.30725313 160.3523312 13.96263402 2.83449 0.20301

5   6.107256119 371.1875758 60.778125 219.9620456 12.56637062 2.06634 0.16443

5.5   6.107256119 494.0506634 80.89568438 292.7694826 11.42397329 1.55247 0.1359

6   6.107256119 641.412131 105.0246 380.0944147 10.47197551 1.1958 0.11419

6.5   6.107256119 815.4991041 133.5295406 483.2566141 9.666438935 0.94053 0.0973

7   6.107256119 1018.538708 166.775175 603.575853 8.975979011 0.75304 0.08389

7.5   6.107256119 1252.758068 205.1261719 742.3719038 8.377580411 0.61225 0.07308

8   6.107256119 1520.384311 248.9472 900.9645386 7.853981635 0.50448 0.06423

8.5   6.107256119 1823.64456 298.6029281 1080.67353 7.391982715 0.42059 0.0569

9   6.107256119 2164.765942 354.458025 1282.81865 6.981317009 0.35431 0.05075

9.5   6.107256119 2545.975583 416.8771594 1508.719671 6.613879272 0.30126 0.04555

10   6.107256119 2969.500607 486.225 1759.696364 6.283185308 0.25829 0.04111

Tabla 4.3.2 resultados y características particulares considerando un “semieje menor” de 1.2 m de longitud.

características particulares de diseño para el aerogenerador de eje vertical

datos conocidos  

Régimen de giro (RPM)

500

 

semieje menor (m) 1.4  

semieje mayor (m) 1.89  

Potencia en el eje del rotor (W)

767  

 velocidad del viento

(m/s)área del rotor (m^2)

potencia disponible

(W)

densidad de potencia (W/m^2)

potencia máxima

extraída (W)velocidad

especifica (λ)Cp Cm

1   8.312654162 4.04182027 0.486225 2.395142274 73.30382859 189.766 2.58876

1.5   8.312654162 13.64114341 1.641009375 8.083605174 48.86921906 56.227 1.15056

2   8.312654162 32.33456216 3.8898 19.16113819 36.6519143 23.7207 0.64719

2.5   8.312654162 63.15344172 7.597265625 37.42409803 29.32153144 12.145 0.4142

3   8.312654162 109.1291473 13.128075 64.6688414 24.43460953 7.02837 0.28764

3.5   8.312654162 173.2930441 20.84689688 102.691725 20.94395103 4.42603 0.21133

4   8.312654162 258.6764973 31.1184 153.2891055 18.32595715 2.96509 0.1618

4.5   8.312654162 368.3108721 44.30725313 218.2573397 16.28973969 2.08248 0.12784

5   8.312654162 505.2275338 60.778125 299.3927842 14.66076572 1.51813 0.10355

5.5   8.312654162 672.4578474 80.89568438 398.4917958 13.32796884 1.14059 0.08558

6   8.312654162 873.0331784 105.0246 517.3507312 12.21730477 0.87855 0.07191

6.5   8.312654162 1109.984892 133.5295406 657.765947 11.27751209 0.691 0.06127

7   8.312654162 1386.344353 166.775175 821.5337999 10.47197551 0.55325 0.05283

7.5   8.312654162 1705.142926 205.1261719 1010.450647 9.773843812 0.44982 0.04602

8   8.312654162 2069.411978 248.9472 1226.312844 9.162978574 0.37064 0.04045

8.5   8.312654162 2482.182873 298.6029281 1470.916749 8.623979835 0.309 0.03583

9   8.312654162 2946.486977 354.458025 1746.058718 8.144869844 0.26031 0.03196

9.5   8.312654162 3465.355654 416.8771594 2053.535107 7.716192484 0.22133 0.02868

10   8.312654162 4041.82027 486.225 2395.142274 7.330382859 0.18977 0.02589

Tabla 4.3.3 resultados y características particulares considerando un “semieje menor” de 1.4 m de longitud.

características particulares de diseño para el aerogenerador de eje vertical

datos conocidos  

Régimen de giro (RPM)

500

 

semieje menor (m) 1.6  

semieje mayor (m) 2.16  

Potencia en el eje del rotor (W)

767  

 velocidad del viento

(m/s)área del rotor (m^2)

potencia disponible

(W)

densidad de potencia (W/m^2)

potencia máxima

extraída (W)velocidad

especifica (λ)Cp Cm

1   10.85734421 5.27911219 0.486225 3.128349092 83.77580411 145.29 1.73427

1.5   10.85734421 17.81700364 1.641009375 10.55817819 55.85053607 43.0488 0.77079

2   10.85734421 42.23289752 3.8898 25.02679274 41.88790205 18.1612 0.43357

2.5   10.85734421 82.48612796 7.597265625 48.88045457 33.51032164 9.29853 0.27748

3   10.85734421 142.5360291 13.128075 84.4654255 27.92526804 5.3811 0.1927

3.5   10.85734421 226.3419351 20.84689688 134.1279673 23.93594403 3.38868 0.14157

4   10.85734421 337.8631801 31.1184 200.2143419 20.94395103 2.27015 0.10839

4.5   10.85734421 481.0590983 44.30725313 285.070811 18.61684536 1.5944 0.08564

5   10.85734421 659.8890237 60.778125 391.0436366 16.75516082 1.16232 0.06937

5.5   10.85734421 878.3122905 80.89568438 520.4790803 15.23196438 0.87327 0.05733

6   10.85734421 1140.288233 105.0246 675.723404 13.96263402 0.67264 0.04817

6.5   10.85734421 1449.776185 133.5295406 859.1228695 12.88858525 0.52905 0.04105

7   10.85734421 1810.735481 166.775175 1073.023739 11.96797202 0.42358 0.03539

7.5   10.85734421 2227.125455 205.1261719 1319.772273 11.17010721 0.34439 0.03083

8   10.85734421 2702.905441 248.9472 1601.714735 10.47197551 0.28377 0.0271

8.5   10.85734421 3242.034773 298.6029281 1921.197386 9.855976954 0.23658 0.024

9   10.85734421 3848.472786 354.458025 2280.566488 9.308422679 0.1993 0.02141

9.5   10.85734421 4526.178814 416.8771594 2682.168303 8.818505695 0.16946 0.01922

10   10.85734421 5279.11219 486.225 3128.349092 8.377580411 0.14529 0.01734

Tabla 4.3.4 resultados y características particulares considerando un “semieje menor” de 1.6 m de longitud.

características particulares de diseño para el aerogenerador de eje vertical

datos conocidos  

Régimen de giro (RPM)

500

 

semieje menor (m) 1.8  

semieje mayor (m) 2.43  

Potencia en el eje del rotor

(W)767  

 velocidad del viento

(m/s)

área del rotor (m^2)

potencia disponible (W)

densidad de potencia (W/m^2)

potencia máxima

extraída (W)velocidad

especifica (λ)Cp Cm

1   13.74132627 6.681376365 0.486225 3.95931682 94.24777962 114.797 1.21803

1.5   13.74132627 22.54964523 1.641009375 13.36269427 62.83185308 34.0138 0.54135

2   13.74132627 53.45101092 3.8898 31.67453456 47.12388981 14.3496 0.30451

2.5   13.74132627 104.3965057 7.597265625 61.86432531 37.69911185 7.34699 0.19488

3   13.74132627 180.3971619 13.128075 106.9015541 31.41592654 4.25173 0.13534

3.5   13.74132627 286.4640116 20.84689688 169.7557087 26.92793703 2.67747 0.09943

4   13.74132627 427.6080874 31.1184 253.3962765 23.56194491 1.7937 0.07613

4.5   13.74132627 608.8404213 44.30725313 360.7927452 20.94395103 1.25977 0.06015

5   13.74132627 835.1720456 60.778125 494.9146025 18.84955592 0.91837 0.04872

5.5   13.74132627 1111.613993 80.89568438 658.7313359 17.13595993 0.68999 0.04027

6   13.74132627 1443.177295 105.0246 855.2124331 15.70796327 0.53147 0.03383

6.5   13.74132627 1834.872984 133.5295406 1087.327382 14.4996584 0.41801 0.02883

7   13.74132627 2291.712093 166.775175 1358.045669 13.46396852 0.33468 0.02486

7.5   13.74132627 2818.705654 205.1261719 1670.336783 12.56637062 0.27211 0.02165

8   13.74132627 3420.864699 248.9472 2027.170212 11.78097245 0.22421 0.01903

8.5   13.74132627 4103.20026 298.6029281 2431.515442 11.08797407 0.18693 0.01686

9   13.74132627 4870.72337 354.458025 2886.341962 10.47197551 0.15747 0.01504

9.5   13.74132627 5728.445061 416.8771594 3394.619259 9.920818907 0.13389 0.0135

10   13.74132627 6681.376365 486.225 3959.31682 9.424777962 0.1148 0.01218

Tabla 4.3.5 resultados y características particulares considerando un “semieje menor” de 1.8 m de longitud.

características particulares de diseño para el aerogenerador de eje vertical

datos conocidos  

Régimen de giro (RPM)

500

 

semieje menor (m) 2  

semieje mayor (m) 2.7  

Potencia en el eje del rotor (W)

767  

 velocidad del viento

(m/s)área del rotor (m^2)

potencia disponible

(W)

densidad de potencia (W/m^2)

potencia máxima

extraída (W)velocidad

especifica (λ)Cp Cm

1   16.96460033 8.248612796 0.486225 4.888045457 104.7197551 92.9853 0.88794

1.5   16.96460033 27.83906819 1.641009375 16.49715342 69.81317009 27.5512 0.39464

2   16.96460033 65.98890237 3.8898 39.10436366 52.35987757 11.6232 0.22199

2.5   16.96460033 128.8845749 7.597265625 76.37571026 41.88790205 5.95106 0.14207

3   16.96460033 222.7125455 13.128075 131.9772273 34.90658504 3.4439 0.09866

3.5   16.96460033 353.6592736 20.84689688 209.574949 29.91993004 2.16875 0.07249

4   16.96460033 527.911219 31.1184 312.8349092 26.17993878 1.4529 0.0555

4.5   16.96460033 751.6548411 44.30725313 445.4231423 23.2710567 1.02042 0.04385

5   16.96460033 1031.0766 60.778125 611.0056821 20.94395103 0.74388 0.03552

5.5   16.96460033 1372.362954 80.89568438 813.2485629 19.03995548 0.55889 0.02935

6   16.96460033 1781.700364 105.0246 1055.817819 17.45329252 0.43049 0.02467

6.5   16.96460033 2265.275289 133.5295406 1342.379484 16.11073156 0.33859 0.02102

7   16.96460033 2829.274189 166.775175 1676.599592 14.95996502 0.27109 0.01812

7.5   16.96460033 3479.883523 205.1261719 2062.144177 13.96263402 0.22041 0.01579

8   16.96460033 4223.289752 248.9472 2502.679274 13.08996939 0.18161 0.01387

8.5   16.96460033 5065.679333 298.6029281 3001.870916 12.31997119 0.15141 0.01229

9   16.96460033 6013.238728 354.458025 3563.385138 11.63552835 0.12755 0.01096

9.5   16.96460033 7072.154396 416.8771594 4190.887974 11.02313212 0.10845 0.00984

10   16.96460033 8248.612796 486.225 4888.045457 10.47197551 0.09299 0.00888

Tabla 4.3.6 resultados y características particulares considerando un “semieje menor” de 2 m de longitud.