Dirección de Una Línea (Rumbo y Azimut) _ Doble Vía

16/7/2015 Dirección de una línea (Rumbo y Azimut) | Doble Vía

https://doblevia.wordpress.com/2007/07/25/direcciondeunalinearumboyazimut/ 1/23

Transporte e ingeniería

Doble Vía

25 JULIO, 20075 DICIEMBRE, 2014 by DOBLEVIA

Dirección de una línea (Rumbo y Azimut)

ASIGNATURAS, INGENIERIA, TOPOGRAFIAFEATURED, TOPOGRAFÍA118 COMENTARIOS

Una manera de describir los accidentes, la forma y los detalles de un terreno (de lo que se encarga latopografía) consiste en realizar un levantamiento utilizando líneas rectas que forman un polígono, yasea abierto o cerrado, mediante la medición de distancias y ángulos, y a partir de él tomar los detallesque sean necesarios.

La dirección de una línea no es más que el ángulo horizontal que ésta forma con una línea dereferencia, llamada meridiano de referencia, que ‑como ya se vio en otro artículo(https://doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion‑a‑la‑medicion‑de‑angulos‑horizontales/)–puede ser un meridiano magnético, geográfico o arbitrario.

El ángulo medido a partir de esa referencia, que designa la dirección de la línea, puede ser un Rumbo oun Azimut, de cuya descripción y cálculos se tratará enseguida.

Rumbo

El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia,generalmente se toma como tal una línea Norte‑Sur(https://doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion‑a‑la‑medicion‑de‑angulos‑horizontales/) quepuede estar definida por el N geográfico o el N magnético (si no se dispone de información sobreninguno de los dos se suele trabajar con un meridiano, o línea de Norte arbitraria).

�

https://doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion-a-la-medicion-de-angulos-horizontales/


https://doblevia.wordpress.com/tag/featured/

https://doblevia.wordpress.com/tag/topografia-2/

https://doblevia.wordpress.com/category/asignaturas/

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https://doblevia.wordpress.com/category/topografia/

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Para determinar el rumbo de una línea es necesario conocer la ubicación dela línea de referencia desde la estación (punto de medida). En el caso de lafigura de la izquierda se supone que existe un instrumento localizado en elpunto O (estación), desde el cual se puede observar la línea Norte – Sur (NS)y configurar una cruz que señala los cuatro puntos cardinales(http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cardinal). Luego se da vista al segundopunto que conforma la línea, para el ejemplo van a ser cuatro: A, B, C y D.

Como se observa en la figura, los rumbos se miden desde el Norte (líneaON) o desde el Sur (línea OS), en el sentido de las manecillas del reloj si la

línea a la que se le desea conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NOE o el SOW; o en elsentido contrario si corresponde al cuadrante NOW o al SOE.

Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a qué cuadrantecorresponde cada rumbo. Por ejemplo, las líneas mostradas tienen los siguientes rumbos:

LÍNEA RUMBO

OA N 30° E

OB S 30° E

OC S 60° W

OD N 45° WComo se puede observar, en la notación del rumbo se escribe primero la componente N o S delcuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E o W.

Rumbo inverso (también conocido como contrarumbo)

En el ejemplo de la figura anterior todos los rumbos se midieron desde el punto O. Cuando se trata delrumbo de la misma línea, pero observado desde el extremo opuesto se habla de rumbo inverso o contra‑rumbo. Convertir rumbos a contra‑rumbos es muy sencillo, pues los ángulos son ángulos alternos‑internos (recordar el teorema de ángulos congruentes en una secante que corta dos líneas paralelas),entonces el único trabajo que resta es cambiar las letras que indican el cuadrante por las contrarias, esdecir N por S (y viceversa) y E por W (y viceversa).

Con la misma figura de antes (https://doblevia.wordpress.com/?attachment_id=91) se tienen lossiguientes rumbos inversos:

LÍNEA RUMBO

AO S 30° W

BO N 30° W

CO N 60° E

https://doblevia.wordpress.com/?attachment_id=91

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_cardinal



CO N 60° E

DO S 45° EPara resumir:

LÍNEA RUMBO CONTRA‑RUMBO

OA N 30° E S 30° W

OB S 30° E N 30° W

OC S 60° W N 60° E

OD N 45° W S 45° E:‑

Azimut

El azimut (o acimut; ambas grafías son válidas de acuerdo a la RAE (http://rae.es)) de una línea es elángulo horizontal medido en el sentido de las manecillas del reloj a partir de un meridiano dereferencia (https://doblevia.wordpress.com/2007/07/18/introduccion‑a‑la‑medicion‑de‑angulos‑horizontales/). Lo más usual es medir el azimut desde el Norte (sea verdadero, magnético o arbitrario),pero en ocasiones se usa el Sur como referencia.

Los azimutes varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el cuadranteque ocupa la línea observada.

Al igual que con los rumbos es necesario conocer primero la ubicación delmeridiano Norte – Sur de referencia y luego apuntar la visual hacia el puntofinal de la línea que se va a medir. Para el caso de la figura mostrada a laizquierda, las mismas líneas para las que se había encontrado el rumbo tienenel siguiente azimut:

LÍNEA AZIMUT

AO 30°

BO 150°

CO 240°

DO 315°

Azimut inverso (también conocido como contraazimut)

http://rae.es/




(https://doblevia.wordpress.com/2007/03/19/rumbo‑y‑azimut/contra‑azimut/)De la mismamanera que con los rumbos, si se mide el azimut de una línea desde el extremo opuesto alinicial se está midiendo el azimut inverso. El contra‑azimut se calcula sumándole 180° aloriginal si éste es menor o igual a 180°, o restándole los 180° en caso de ser mayor.

En la figura de la izquierda se puede ver cómo, si se le restan 180º (ángulo recto en verde)al azimut de la línea AB se obtiene su contra‑azimut, es decir el azimut de la línea BA. De

igual forma, si los 180º se suman al azimut de BA se obtiene el de AB. Entonces:

Para la figura mostrada anteriormente (https://doblevia.wordpress.com/wp‑admin/upload.php?action=edit&ID=92) se observan los siguientes azimutes inversos:

LÍNEA AZIMUT CONTRA‑AZIMUT

OA 30° 30°+180° = 210°

OB 150° 150°+180° = 330°

OC 240° 240°‑180° = 60°

OD 315° 315°‑180° = 135°Vale la pena volver a decir que en ningún caso un rumbo (o un rumbo inverso) puede ser mayor a 90°, niun azimut (o contra‑azimut) mayor a 360°.

Conversiones

De rumbo a azimut

https://doblevia.wordpress.com/2007/03/19/rumbo-y-azimut/contra-azimut/

https://doblevia.wordpress.com/wp-admin/upload.php?action=edit&ID=92



De rumbo a azimut

Para calcular azimutes a partir de rumbos es necesario tener en cuenta el cuadrante en el que seencuentra la línea. Observando la figura anterior se puede deducir la siguiente tabla:

Cuadrante Azimut a partir del rumbo

NE Igual al rumbo (sin las letras)

SE 180° – Rumbo

SW 180° + Rumbo

NW 360° – RumboSe puede comprobar revisando los valores que aparecen en la figura de arriba.

De azimut a rumbo

Observando también la figura se ve que el cuadrante de la línea depende del valor del azimut así:

Azimut Cuadrante Rumbo

0° – 90° NE N ‘Azimut’ E

90° – 180° SE S ‘180° – Azimut’ E

180° – 270° SW S ‘Azimut – 180°’ W

270° – 360° NW N ‘360° – Azimut’ W:‑

Cálculo de Azimutes en poligonales

Una poligonal, sea abierta o cerrada, es una sucesión de distancias ydirecciones (rumbo o azimut) formadas por la unión de los puntosen los que se armó el instrumento que se usó para medirlas (puntosde estación). Cuando se ubica el instrumento en una estación sepuede medir directamente el azimut de la siguiente línea a levantar(si se conoce la dirección del N o si se “sostiene” el contra‑azimut dela línea anterior), sin embargo, en ocasiones se mide el ángulocorrespondiente entre las dos líneas que se intersectan en el punto deestación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumento



estación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumentocuando se mira al punto anterior), a este último ángulo se le va allamar “ángulo observado”.

Si el ángulo observado se mide hacia la derecha (en el sentidode las manecillas del reloj, que es el mismo en el que se miden losazimutes) se puede calcular el azimut de la siguiente línea con lasiguiente expresión:

Azimut línea siguiente = Contra‑azimut de la línea anterior +Ángulo observado

Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente sele resta este valor.

En la figura se observa que si el azimut conocido corresponde al de la línea AB (ángulo NAB en rojo),por lo tanto el contra‑azimut es el ángulo NBA (también en rojo). El ángulo observado, medido en elsentido de las manecillas del reloj con el instrumento estacionado en el punto B es el ángulo ABC (enverde). El azimut que se desea conocer es el de la línea BC (ángulo NBC en azul). Por lo tanto se tiene lasiguiente expresión:

Azimut BC = Contra‑Azimut AB + Ángulo observado en B

Azimut BC = <NBA + <ABC

Como es evidente que el resultado será mayor que 360° (en este caso en particular) entonces el azimutde la línea BC será:

Azimut BC = (<NBA + <ABC) – 360°

Esta expresión es válida sólo si el ángulo observado está medido en el mismo sentido del azimut(derecha), sin importar si es interno o externo.

Si se trata de calcular rumbos se pueden luego convertir los azimutes calculados de la forma anterior.

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Bibliografía

Paul R. Wolf y Russel C. Brinker. Topografía. Novena Edición. Alfaomega. México, 1997

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david24 JUNIO, 2008 EN 21:37oye tengo una duda… soy estudiante de ing. civil en la universidad veracruzana en mexico.. peroquisiera saber si no puesdes colocar las formulas para encontrar los azimut y distancias delpoligono… creo q es mediante un formula mas omenos asi Pol(x2‑x1,y2‑y1),,, no recuerdo perosime ayudas te lo agradeceria

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kathia15 JUNIO, 2008 EN 21:48hola soy estudiante de ing. en construcción exelente tu material gracias me ayudo mucho pararesolver muchas dudas.

de antemano te felicito.

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Bety10 JUNIO, 2008 EN 12:38Hola los comentarios que hace doblevia son bastante buenos en lo que se refiere en azimuts yrumbos, me gustaria saber si conoses algun Software que calcule el azimut de una linea atravez deastronomia de posición.

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JORGE8 JUNIO, 2008 EN 22:51hola necesito urgentementa las formulas topograficas como son la formula general de la altimetria,planimetria, calculo de rumbos y acimutes, poligonales abiertas y cerradas, curvas de nivel,levantamientos para una construccion y sus respectivas formulas de los agradeceremuchisimo¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡

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doblevia8 JUNIO, 2008 EN 17:09@ Miguel Angel: A partir de las coordenadas de los puntos 125 y 127 puedes conocer el rumbo de lalínea que los une. Si haces un dibujo de los dos puntos, te das cuenta de que se puede formar untriángulo rectángulo, cuya hipotenusa es la línea en cuestión, mientras que los catetos estándefinidos por las proyecciones Este y Norte de dicha línea. Entonces, el rumbo está determinado porla arcotangente de la diferencia de las coordenadas Este, sobre la diferencia de las coordenadasNorte así:

Rumbo = Atan((E127 – E125)/(N127 – N125))

Desde luego, debes tener en cuenta en qué cuadrante se encuentra la línea. Una vez tengas elrumbo, lo puedes convertir a azimut como indica el post.

Cuando tengas el azimut de la línea 125‑127, conocidas las coordenadas del punto 125, revisa elcomentario 19 de esta misma página.

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miguel angel29 MAYO, 2008 EN 13:44hola… mira estuve biendo tu pagina y esta muy interezante y presisamente tengo un problemamira tengo mi teodolito en en el punto 125 y estoy visando el 127 ambos con sus coordenadascorrespondientes (x,y) y quiero poner un punto auxiliar a 34.567m y giro a un angulo de 57º20´40″como se que coordenadas tiene ese punto o la formula para hacerla… bueno espero me puedasayudar gracias…

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luis21 MAYO, 2008 EN 10:14estoy buscando el calculo de azimut y distancia a partie de coordenadas, para ver en que meprodias ayudar

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ANGEL14 MAYO, 2008 EN 11:00Hola, antes que nada le envio un cordial saludo, soy nuevo en estas cuestiones y queria saber siexiste algun programa o formula para poder convertir rumbos magneticos de un predio acoordenadas geograficas o a coordenadas UTM, y si existiera me pudieran indicar comoconseguirlo.

Gracias

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doblevia25 ABRIL, 2008 EN 19:46@ William alberto: Muchas gracias. Por favor mira el comentario 4 de esta misma entrada pararesolver tu duda.

@ Gilberto Ramos: Hola. Si entiendo bien tu pregunta, es similar a la de Harold (un par decomentarios antes que el tuyo). Sólo debes repetir el procedimiento para cada vértice hasta volver alprimero.

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Gilberto Ramos22 ABRIL, 2008 EN 18:50Hola, quisiera saber como sacar los demas vertices de un Poligono. En mi caso tengo un poligonade 5 lados diferente distancia. Cuento con los rumbos y con un vertice. Todo esta en coordenadasgeograficas, lo que requiero es una formula. Lo de los rumbos y azimutes me queda muy claro.

Gracias

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WILLIAM ALBERTO15 ABRIL, 2008 EN 13:46Hola, felicitaciones ante todo por esta increible pagina, quisiera que alguno de ustedes me facilitarala formula matematica para el calculo de un azimut a partir de las coordenadas conocidas.muchisimas gracias y reitero mis felicitaciones, espero tener mucho contacto con ustedes.chao










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doblevia13 ABRIL, 2008 EN 09:26@ Harold Avenia: ¡Hola! Siento mucho la demora en contestar, pero he estado un poco ocupadoestos días.

Cuando tienes las coordenadas de dos puntos, la línea que los une forma un triángulo rectángulo,cuyos catetos son la proyección Norte y la proyección Este de la línea (que es la hipotenusa). A suvez, el azimut se puede convertir en uno de los ángulos agudos del triángulo. De manera que lasproyecciones se pueden calcular de manera similar a las componentes de un vector.

Ahora bien, si conoces las proyecciones, puedes ir de un punto a otro “caminando” sobre ellas. Esdecir, desde el punto 1 puedes conocer las coordenadas del punto 2. Con ello, puedes obtener lassiguientes fórmulas (siendo a el punto conocido y b el desconocido):

N_b = N_a + ProyecciónN_abN_b = N_a + Distancia_ab*Coseno(Azimut_ab)

E_b = E_a + ProyecciónE_abE_b = E_a + Distancia_ab*Seno(Azimut_ab)

De manera que, para el problema que tu tienes, la cosa sería así (asumo que el punto conocido sellama a, que x es la coordenada Este e y la coordenada Norte):

N_b = y + D*Cos(A)N_b = 10,971 5 + 853,818 679*Cos(37,721 618)N_b = 686,335 88

E_b = x + D*Sen(A)E_b = ‑74,820 4 + 853,818 679*Sen(37,721 618)E_b = 447,567 66

Finalmente, una pregunta: ¿por qué usas tantos decimales (especialmente para las distancias)?

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HAROLD AVENIA4 ABRIL, 2008 EN 20:09hola doble via…

mira tengo una cuestion y estoy un poco enredado necesito encontrar una coordenaga geograficade un punto de acuerdo un punto de referencia geograficamente conocido junto con el azimut(angulo) y la distancia que recorre al punto en esa dirreccion.. bueno no se como sacar dicho puntocuando son coordenadas geograficas…

eje:

punto conocido x=‑74.8204 y=10.9715Azimut A= 37.721618Distancia D= 853.818679

desearia saber como puedo la coodenada geografica del segundo punto….

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albet24 MARZO, 2008 EN 09:26wow!! super wow!! esto esta genial me sacaste de un apuro en mi tareapapa!!

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Juan Jose14 MARZO, 2008 EN 16:55




http://expgrafica.blogspot.com/

http://www.smartmap.com.co/






14 MARZO, 2008 EN 16:55Tus explicaciones me han parecido muy claras, y he querido compartir con mis estudiantes tusconceptos, por tal razón te enlace en el blog.gracias

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jonny medellin10 MARZO, 2008 EN 19:10me podrias amigho aclarar como explico un pt inaccesible,debo de saberlo y como vencerlo en elcampò con un aparato simple ,ya sea transito.

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jonny medellin10 MARZO, 2008 EN 19:08buenas,mira solo queria aclarar la duda del joven que pregunta el modo de calculo de distancias yazimutes en calculadoras corrientes,supongo que te referis ala cientifica.es muy simple:tenes lascooredenas.le das polares(pol) y le le metes la dieferencia de nortes,le das coma y le metes ladiferencia de estes.entonces primero te arroja la distancia horizontal,le das alfa f y te vota rumbo oazimut,segun el cuadrante.

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doblevia










doblevia9 MARZO, 2008 EN 12:41@ Isis: Por favor mira el artículo que aparece en la siguiente dirección:https://doblevia.wordpress.com/2007/02/06/el‑valor‑mas‑probable/

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isis8 MARZO, 2008 EN 21:56kiero esa definicion por favor q es un error probable

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isis8 MARZO, 2008 EN 21:54ten horas buscando la definicion de q error probable, para la materia de matematicas aplicada. sitienen algo pues facilitenmelo por favor gracias. bye

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doblevia7 MARZO, 2008 EN 09:25@ Marco: Gracias por tu comentario. No sé a qué te refieres con fórmulas para una calculadoracorriente. No veo que haya ninguna que requiera de un procesamiento o cómputo complicado.Hace poco revisé algunos exámenes de mis estudiantes utilizando la calculadora de mi celular. Aquí





https://doblevia.wordpress.com/2007/02/06/el-valor-mas-probable/








Hace poco revisé algunos exámenes de mis estudiantes utilizando la calculadora de mi celular. Aquísólo hay sumas y restas. ¡Ah! Y mucho cuidado, es decir, realizar los cálculos con precaución parano cometer errores tontos.

@ CTRL‑ALT‑SUP: Muchísimas gracias

@ Gerardo: Gracias. A mi también me gustaría que hubieran más ejemplos. Tengo que aprovecharmejor el tiempo para poner más posts. He estado un poco alejado del blog. Lo siento.

De todos modos, muchas gracias a tod@s por comentar.

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Gerardo6 MARZO, 2008 EN 22:48esta muy bien, me gustaria que hubiera mas ejemplos para calcular las poligonales, tanto enazimutes y rumbos

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CTRL‑ALT‑SUP3 MARZO, 2008 EN 06:58Muy bueno el articulo, ademas con las explicaciones en imagenes me ayudo mucho, y eso queapenas me lo enseñaron aqui en el CETIS 134, PERO MUY BUENO, GRACIAS Y SALUDOSDESDE MEXICO.

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marco26 FEBRERO, 2008 EN 10:20Esta reweno , pero sabes me gustaría saber la formula para el calculo de azimut y distancia paracalculadoras cientificas corrientes , seria genial si te supieras alguna . bueno saludos……

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jorge14 OCTUBRE, 2010 EN 15:59Hay un libro del ingeniero Guerra Bustamante “Trazo y diseño de carreteras, ferrocarriles yCanales” Que cada capitulo termina con un programa para calculadora cientificas quizas tepueda servir

Saludos

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doblevia19 FEBRERO, 2008 EN 08:09@ Juanita: Muchas gracias. Me alegra que te hayan servido. :d Una pregunta: ¿tu apellido esMelgar? Es curioso porque yo pasé buena parte de mi infancia en un pueblo que se llama así.¡Saludos en Argentina!

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http://[email protected]/









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Juanita19 FEBRERO, 2008 EN 06:37Muy claras las explicaciones, te felicito

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doblevia13 FEBRERO, 2008 EN 15:51@Lariux: La fórmula sale de poner en un dibujo las coordenadas que tienes y trazar la línea que unelos puntos que tienes. Como los ejes de las coordenadas Nortes y Estes son perpendiculares, te dascuenta de que puedes armar un triángulo rectángulo.Si estas parada en el punto GPS1 y visas al punto GPS2, que está más al N y al E, el ángulo deltriángulo en cuestión, que tiene vértice en GPS2, tiene la siguiente tangente:

Tan(GPS2) = (X2‑X1) / (Y2‑Y1) = (XGPS2 – XGPS1) / (YGPS2 – YGPS1)

Por lo tanto dicho ángulo está dado por la arcotangente (tan^‑1) de la división entre la diferencia delas coordenadas Este y la diferencia de las coordenadas Norte. Ese ángulo, por alternos internos(siguiendo los teoremas de ángulos en líneas paralelas cortadas por una secante), es equivalente alazimut de la línea GPS1‑GPS2.Luego de que tienes el azimut te queda más fácil convertirlo a rumbo siguiendo las indicacionesdadas en este artículo.

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lariux11 FEBRERO, 2008 EN 14:49si tengo las coordenadas de un par de gps










si tengo las coordenadas de un par de gpsGPS 1 x=2168607.266 y=475317.761GPS 2 x=2168852.053 y=475581.302y quiero calcular el azimut de inicio y el rumbo que debo de hacer para saber cual es XY2 y cualXY1 ya vez que la formula es la siguiente

(X2‑X1)/(Y2‑Y1) TAN‑1

ESTOY PARADO EN EL GPS1 Y VISO A GPS2

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luis javier5 AGOSTO, 2009 EN 21:21para empesar tus coordenadas estan invertidas tu estas en la zona 14Q NORTE UTM en lomasdel bosque a un costado de la autopista chamapa lecheria. la distancia entre estos dos puntosvisando gps1 a gps 2 es de 359.68 mts. de acuerdo a la formula de hipotenusa h2=x2+y2; y elrumbo 38ª59’22.23″

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luis javier5 AGOSTO, 2009 EN 22:21coreccion el rumbo aso como el azimut el igual a (X2‑X1)/(Y2‑Y1)TAN^1RBO N47º06’46.38″E Y EL AZIMUT ES IGUAL SOLO QUE SIN LETRAS POR ESTAREN EL PRIMER CUADRANTE.

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Marcelo7 AGOSTO, 2011 EN 11:14Hola,Pero que pasa si poseo coordenadas geográficas (con hora, minutos y segundos) y deseo obtenerel rumbo, y distancia?

Las coordenadas por ej. GPS 1 no es igual a coordenadas con latitud y longitud geográfica.

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doblevia10 FEBRERO, 2008 EN 13:11@Julián: Gracias por el comentario. Estoy re‑leyendo el artículo para ver qué se puede mejorar. Terecomiendo que antes de leer este artículo hayas leido ya esta introducción.De todos modos, si tienes alguna pregunta específica, no dudes en hacerla.

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julian sanchez10 FEBRERO, 2008 EN 12:31hola soy estudiante de topografia de la ubiversidad distrital y no se entiende nada del articulo,podrianser mas claros y especificar bein los terminos.

gracias de antemano

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marys26 MAYO, 2011 EN 09:29Salgase de esa carrera qe es mala .|.

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Guille31 OCTUBRE, 2011 EN 14:29Ah bueno!!!

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mcalex14 ENERO, 2012 EN 23:34marys.. yo soy ingeniero topografo, estudie en la Universidad de Guadalajara en jaliscoMexico, no es una carrera mala, es una carrera emocionante que nunca te va a dejar detrasde un escritorio, al contrario, cada dia es diferente y siempre te lleva a conocer lugares quenormalmente y en otras situaciones.. quizas nunca conoceria, la topografia es la base detodas las carreras, va de la mano de la fisica y matematicas y siempre acompañada de unanueva aventura.. saludos marys

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Castel16 SEPTIEMBRE, 2012 EN 16:55Jajaj el comentario patetico de alguna secretaria mal asalariada.

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NOMADE1 AGOSTO, 2014 EN 12:44SORRY PERO ESTAS COMPLETAMENTE EQUIVOCADA PRECIOSA . . . SALUDOS

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zczx24 FEBRERO, 2012 EN 23:32UNIVERSIDAD !!!

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miguel29 AGOSTO, 2012 EN 21:24mmmm soy estudiante de ingenieria geofisica en el insituto politecnico nacional (mexico)creo que esta mas completaa que topografia =D

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http://zxczxc/






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nikji25 JUNIO, 2012 EN 12:460oe esta recontra entendible!!!!!!!!!!!!

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EL TIGRE3 SEPTIEMBRE, 2013 EN 21:41Topografia .l.

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Jotastudillo15 OCTUBRE, 2013 EN 10:23Acaso no sabes leer? o simplemente eres imbécil?El artículo está muy claro.Saludos desde la Universidad de Chile.

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http://www.petardas.com/









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