CÁLCULO ILA DERIVADA

• Pendiente de una recta.• Funciones.• Límites.• Continuidad.

Recordar

3

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf +

hx +0

h0

h

hx +

)( 0 hxf +

Recordando

4

4

x

y

0x

)( 0xf)( 0xf

x0

Tangente!!!

Pendiente de la recta tangente ( )

5

En el límite, cuando h 0, la recta secante “se confunde” con la recta tangente en x0, y podemos decir que:

Note que: 0 0

SL

f x h f xm

h

0 0

0 0lim lim

T SL Lh h

f x h f xm m

h

TLm

Derivada de una función en un punto

DEFINICIÓN. La derivada de una función “f “en un punto “a”, denotada con f’(a), es:

h

afhaflímafh

)()()('

0

Si este límite existe

DEFINICIÓN Alterna.

ax

afxflímaf

ax

)()()('

Interpretación geométrica de la derivada

7

• La derivada de una función “f” en un número “a” es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto (a; f(a)).

Ejemplo: De la gráfica, halle f ´(2) e indique la ecuación de la recta tangente en x=2.

La derivada como una función

DEFINICIÓN. Si en la definición anterior, cambiamos el número “a” por la variable “x”, obtenemos:

En este caso, f’ es una nueva función llamada derivada de f.

h

xfhxflímxfh

)()()('

0

Ejemplo: Encontrar la derivada de 2)( xxf

Notación

x

df(x)f '(x) D f(x)

dx

REGLAS DE DERIVACIÓN

1nn nx(x)'fentonces,xf(x)Si

0(x)'f:entoncesN,f(x)Si

1(x)'f:entoncesx,f(x)Si

NOTA :

Kf´(x)(x)g'entoncesKf(x),g(x)Si

número) (cualquier costante unaK Sea

REGLAS DE DERIVACIÓN

(x)g'(x)' fg(x))'(f(x)

(x)g'f(x)g(x)(x)' fg(x))'(f(x)

'

2

Sean f(x) y g(x):

f(x) f '(x) g(x) f(x) g'(x)g(x) g(x)

Sean “f” y “g” funciones con derivadas y entonces, se cumplen las siguentes propiedades algebraicas

' f ' g

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

Si f(x) = ex, entonces f ´ (x) = ex

Si f(x) = ax, entonces f ´ (x) = axln(a)

FUNCIÓN LOGARITMO

1f(x) ln(x) f '(x)

x

a a1

f(x) log (x) f '(x) log ex

xcscx.cotan(x)F'cscxF(x)

xcsc(x)G'cotanxG(x)

secx.tanx(x)z'secxz(x)

xsec(x)h'tanxh(x)

cosx(x)g'senxg(x)

senx(x)f'cosxf(x)

2

2

REGLAS DE DERIVACIÓN PARA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

¿Cambia la posición del felino?

• ¿Varía la posición de su cuerpo?

• ¿Respecto de que variable física percibes esa variación?

El tiempo es fundamental en muchos de los procesos de variación.

Observa con atención:

APLICACIÓN DE LA DERIVADA

¿La paloma se desplaza?

¿Te podrás imaginar cuanto se mueve en:

• Un minuto ...• Un segundo ...• Una décima de

segundo ...• Una milésima de

segundo ...

¿Qué tan pequeño puedeser el tiempo para que

percibas el movimiento?

¡A veces la variación no es lenta!

• ¿Qué magnitudes físicas crees que varían en este caso?

• La relación de variación se puede considerar respecto de dos variables mutuamente dependientes.

Aquí se observa una relación volumen/presión

Compara la velocidad instantánea

¡Ahora imagina cuantas derivadas habrá en este equipo!

¿Puedes proponer alguna?

ALGUNAS APLICACIONES

A LA FÍSICA: • Si x(t) es la posición en el instante “t” , entonces x’(t) es la

velocidad v(t) en el instante “t”. ( v(t)= x’(t) )• Si v(t) es la posición en el instante “t” , entonces v’(t) es la

aceleración a(t) en el instante “t”. ( a(t)= v’(t) )

A LOS INGRESOS Y COSTOS:Sean I(q), C(q), U(q) las funciones ingreso, costo y utilidad respectivamente, entonces:

• Ingreso Marginal = I’(q) .• Costo Marginal = C’(q).• Utilidad Marginal = U’(q).