de septiembre de 2012.docx
17
de septiembre de 2012 Los números hiperreales Para construir los números hiperreales, según la construcción que he visto en todas las referencias, se parte del anillo R N de todas las sucesiones de números reales y se establece una dicotomía en P(N) entre subconjuntos grandes y pequeños de N que cumpla las siguientes propiedades. 1. Todo s ubcon junt o fi nito, incluido e l va cío, es peque o. !. "l complemen tario de un conju nto p eque o es gr ande. #. "l complemen tario de un conju nto g rande es peq ueo. $. %n su bconj unto d e un co njun to peq ueo e s pequ eo. &. 'a unión fini ta de conju ntos peque os es peque a. (ormalmente se suelen enunciar para c onjuntos grandes, pero es equivalente módulo las propiedades ! y #. 'a e)istencia de tal dicotomía requiere del *)ioma de "lección. (ormalmente se recurre a la e)i stencia de un ultrafiltro por el 'ema de +orn, pero no me meter en esto. -racias a esta dicotomía se construye una tricotomía en R N . adas dos sucesiones a − =(a n ) ∞ n=0 y b − =(b n ) ∞ n=0 , los conjuntos de índices {n∈N|a n >b n } , {n∈N|a n <b n } y {n∈N|a n =b n } son e)actamente dos pequeos y uno grande. /egún el que sea grande se dice a − >b − , a − <b − ó a − ∼b − respectivamente. 0esulta que ∼ es una relación de equivalencia en R N que respecta el orden y definimos los hiperreales como ∗ R=R N /∼ . 'a inmesión R⊂ ∗ R se hace mediante las sucesiones constantes. 'a operaciones se hacen trmino a trmino. "n caso de que un trmino quedara indefinido, como una división por , se completa con ceros o con cualquier número. a igual con qu número se complete porque se har2 en un conjunto pequeo de índices y las sucesiones ser2n equivalentes. (ótese que no son sólo las sucesiones convergentes, sino que las sucesiones oscilantes tambin entran. Por ejemplo, la s ucesión alternada ((−1) n ) ∞ n=0 coincide con la constante 1 en los trminos pares y con la constante −1 en los impares. /egún sea la dicotomía, e)actamente uno de los conjuntos de índices, los pares y los impares, ser2 grande y el otro ser2 pequeo. *sí la sucesión alternada ser2 equivalente a 1 ó a −1 . (ótese tambin que diferentes sucesiones convergentes a un mismo número representan diferentes números que difieren en un infinitsimo. "s lo que se llama el halo de un elemento, su parte est2ndar, que es su límite. 'as funciones de variable real se pueden e)tender a los hiperreales de la
-
Upload
stacey-phillips -
Category
Documents
-
view
220 -
download
0
Transcript of de septiembre de 2012.docx
de septiembre de 2012Los nmeros hiperreales Para construir los nmeros hiperreales, segn la construccin que he visto en todas las referencias, se parte del anillo RN de todas las sucesiones de nmeros reales y se establece una dicotoma en P(N) entre subconjuntos grandes y pequeos de N que cumpla las siguientes propiedades.1. Todo subconjunto finito, incluido el vaco, es pequeo.2. El complementario de un conjunto pequeo es grande.3. El complementario de un conjunto grande es pequeo.4. Un subconjunto de un conjunto pequeo es pequeo.5. La unin finita de conjuntos pequeos es pequea.Normalmente se suelen enunciar para conjuntos grandes, pero es equivalente mdulo las propiedades 2 y 3. La existencia de tal dicotoma requiere del Axioma de Eleccin. Normalmente se recurre a la existencia de un ultrafiltro por el Lema de Zorn, pero no me meter en esto.
Gracias a esta dicotoma se construye una tricotoma en RN . Dadas dos sucesiones a=(an)n=0 y b=(bn)n=0 , los conjuntos de ndices {nN|an>bn} , {nN|anb , a
