iquestY DE DONDE VIENE EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Mabel Johanna Jimeacutenez Rivera

Mucho es lo que se ha dicho acerca de eacutel teorema fundamental del algebra pero las preguntas que surgen en este escrito iquestes de donde viene iquestquieacutenes fueron los precursores de este teorema iquestexistieron teoriacuteas fallidas antes de llegar a este teorema pues estas y maacutes preguntas son las que trataremos de responder en el desarrollo de este documento Pero antes de conocer de historia que tal si sabemos iquestCuaacutel es este dicho teorema pues el teorema fundamental del algebra es aquel que dice que ldquosi p(x) es un polinomio de grado nge1 con coeficientes complejos entonces p(x) = 0 tiene exactamente n raiacuteces contando cada raiacutez de multiplicidad p como p raiacutecesrdquo Seguacuten dice Fernando Madrid en su libro Matemaacuteticas Fundamentales para Ingenieros paacuteg 151 aunque existen otras tantas maneras de formularlo [1] como afirma Ferraacuten Mir Sabateacute en su artiacuteculo de Marzo 4 2005 ldquoEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRArdquo

Pero aunque existan muchas formas de escribirlo todas llevan a lo mismo y su trasfondo es igual Ahora es bien sabido que este teorema se debe a Carl Friedrich Gauss como parte de su tesis doctoral en la que presento un esquema de demostracioacuten del Teorema Fundamental del Algebra las objeciones a las demostraciones anteriores y la superficialidad que predominaba en las matemaacuteticas de la eacutepoca como contoacute en una carta a su compantildeero de clases Wolfgang Bolyai A pesar de que a Gauss se le haya dado el creacutedito del Teorema Fundamental del Algebra el no fue el que dio la demostracioacuten solo dijo que la demostracioacuten rigurosa debiacutea ir en esos teacuterminos ni tampoco fue el primero en hablar del tema pues antes de eacutel fueron muchos los que ya habiacutean disertado del tema Solo que fue el primero en observar que todas ellas suponiacutean la existencia de raiacuteces que deduciacutean propiedades de ellas

Ahora como se dijo anteriormente parece que los primeros en hablar del tema fueron los babilonios que al parecer fueron capaces de desarrollar ecuaciones de segundo y tercer grado aunque esta informacioacuten este perdida Luego los pitagoacutericos trabajaron la irracionalidad del nuacutemero radic2 un gran aporte para este teorema Alrededor del antildeo 800 dC AlKhwarizmi (780 - 750) hace unos estudios pero este soacutelo buscaba raiacuteces reales positivas y asiacute el Teorema como tal carece de sentido Despueacutes Para Fibonnacci y Leonardo de Piza (1170 - 1250) no fue posible resolver las ecuaciones de grado 3 por medio de radicales Pero es Cardano el primero en darse cuenta que es posible trabajar con cantidades maacutes generales que los nuacutemeros Reales pues fue capaz de hallar las raiacuteces de una cubica manipulando nuacutemeros complejos aunque no lo comprendiacutea

1 Gilain en su artiacuteculo de 1991 [3 paacuteg 92] da tres formas equivalentes de formularloa) Todo polinomio de grado n _ 1 con coeficientes complejos (o reales) tiene al menos una raiacutez complejab) Todo polinomio de grado n _ 1 con coeficientes complejos (o reales) se descompone en un producto de n factores lineales con coeficientes complejos y admite n raiacuteces complejas (distintas o muacuteltiples)c) Todo polinomio de grado n _ 1 con coeficientes reales puede descomponerse en un producto de factores reales de primer o segundo grado

Pero la idea de Cardano tampoco fue de Cardano porque al parecer fueron dos personajes a quienes se les atribuye una disputa frente a la solucioacuten de la ecuacioacuten de tercer grado Pues seguacuten cuentas Tartaglia (1499 - 1557) empezoacute a trabajar con las ecuaciones de tercer grado cuando Scipione del Ferro (1465 - 1526) habiacutea logrado demostrarlas pero no habiacutea patentado antes de morir Pero Nave su yerno quedo con el manuscrito que luego mostroacute a Cardano quien lo comparoacute con el trabajo de Tartaglia y pudo discernir que Ferro habiacutea sido en primero en ver la solucioacuten por lo tanto en su obra Ars Magna(1545) le atribuye la obra De Ferro al descubrir que lo que Tartaglia afirmaba era una copia del trabajo de Ferro Luego Bombelli (1526 - 1572) en su Algebra publicado en 1572 fue el primero en dar una serie de reglas para manipular estos nuacutemeros complejos Tomado httpwebeducasturprincastesieselpilesARCHIVOSpaginasdeparmatematicasbombellihtm

Aunque el trabajo de Cardano y Bombelli son una buena perspectiva para lo que hoy es el teorema por que se da la aceptacioacuten de las raiacuteces complejas es Descartes (1596-1650) quien da un gran giro a la geometriacutea al introducir el concepto de nuacutemero imaginario ya que en su obra La Geometrie (1637) afirma que es posible imaginar para toda ecuacioacuten de grado n n raiacuteces pero estas raiacuteces imaginarias no corresponden a cantidades Reales ademaacutes que el polinomio entonces era divisible por x - t y de esta forma P(x) = (x - t)Q(x) donde Q(x) es un grado inferior a P(x) Pero antes de Descartes fue Albert Girard en su Nouvelle invention en Algebre (1629) quien afirmoacute que las raiacuteces de grado n tienen n raiacuteces aunque este no dice que las soluciones son de la forma a+bi [1] los matemaacuteticos de la eacutepoca lo aceptaron como evidente lo que los llevo a muchos antildeos de discernimiento

El cambio de siglo y el inicio del caacutelculo diferencial haciacutea necesario conocer si un polinomio podiacutea descomponerse en factores de primer y segundo grado y asiacute calcular la integral de un cociente Leibniz (1702) dio una prueba de que el teorema era falso por que x4+a4 no podiacutea escribirse en teacutermino de factores pero su error fue no darse cuenta que la unidad imaginaria tiene dos raiacuteces complejas razoacuten por la que Euler en 1742 demostroacute que el contraejemplo era falso[2] Ahora al fin llegoacute una solucioacuten al teorema DAlembert (1746) en su memoria titulada Investigaciones sobre el caacutelculo integral partiendo de un polinomio que no tiene raiacuteces reales considera la curva de la ecuacioacuten y desarrolla x en una serie de potencias fraccionarias la demostracioacuten tiene varias debilidades usa un lema sin prueba que fue demostrado por Puiseau en 1851 Y carece de conocimientos suficientes para usar el argumento de compacidad para obtener la convergencia final

1 De hecho Girard [4 Pags407-408] acepta tres tipos de soluciones mayores que nada menores que nada y otras envueltas como las que tienen radicminus1 como radicminus3u otros nuacutemeros similares Son curiosas las razones de Girard para aceptar estas soluciones imposibles como eacutel las llama Para asegurar la certeza de la regla general para asegurarse de que no existen

2 Euler fue quien introdujo la notacioacuten actual del nuacutemero imaginario i para p10485761 Aunque lo hizo al final de su vida hacia 1777 ya que anteriormente habiacutea usado esa notacioacuten para representar el infinito La adopcioacuten de dicho signo por Gauss en 1801 le aseguroacute el puesto definitivo que hoy ostenta

El error de DAlembert no fue impedimento para seguir trabajando pues al poco tiempo Euler probo que un polinomio de grado n lt 7 tiene n raiacuteces complejas y aunque en 1749 intento la demostracioacuten general esta luego fue objetada por Lagrange(1772) quien afirmoacute que las funciones racionales podiacutean conducir

eventualmente a la contradiccioacuten 00 pero el mismo Lagrange estaba asumiendo

que las raiacuteces existiacutean y que se podiacutea trabajar con ellas Luego Laplace tambieacuten intento demostrar el teorema usando el discriminante de un polinomio y aunque su demostracioacuten era muy elegante de nuevo suponiacutea la existencia de las raiacuteces Es ahora cuando aparece Gauss con su tesis doctoral esta demostracioacuten es de naturaleza geomeacutetrica y se basa en la idea de wessel para representar los complejos [1] lo que gauss hace es reemplazar la incoacutegnita por a + bi y a partir de ello obtener dos funciones y a partir de ello obtener dos funciones de a y b

Aunque Gauss intento hacer la demostracioacuten esta fue de tipo topoloacutegica entonces llega Jean Robert Argand (1814) y saca a la luz su demostracioacuten basada en un artiacuteculo anterior llamado ldquoEssai sur une maniŁre de repreacutesenter les quantitieacutes imaginaires dans les constructions geacuteometriquesrdquo en el que interpretaba la unidad imaginaria i como un giro de 90 en el plano surgiendo asi lo que hoy en diacutea llamamos plano de Argand es decir representacioacuten geomeacutetrica de los nuacutemeros complejos es ahora en su artiacuteculo ldquoReacuteflexions sur la nouvelle theacuteorie drsquoanalyse Argandrdquo donde simplifica la idea usando un teorema general sobre la existencia de un miacutenimo de una funcioacuten continua Pero aunque la demostracioacuten de Argand fue aceptada por Cauchy y por Chrystal (1886) quienes la expusieron en sus libros esta demostracioacuten no fue rigurosa pues el concepto de extremo inferior no habiacutea sido desarrollado todaviacutea

A pesar de que la demostracioacuten Argand se habiacutea hecho famosa Gauss hace repetitivos intentos por conseguir la demostracioacuten en un primer intento usoacute la aproximacioacuten de Euler pero en vez de operar con raiacuteces que pueden no existir opera con indeterminadas completando asi la demostracioacuten de Euler esta parece ser correcta Luego en un segundo intento (1831) introduce el teacutermino rsquonuacutemero complejorsquo usando el termino de conjugada ya insertado por Cauchy desde 1821 Y 50 antildeos despueacutes de su primer intento cuando Gauss produjo la primera demostracioacuten del enunciado general de que una ecuacioacuten de grado n con coeficientes complejos tiene n raiacuteces complejas La demostracioacuten es similar a la primera lo uacutenico que hace es deducir el resultado para coeficientes complejos a partir del resultado sobre polinomios reales Merece la pena resaltar que a pesar de la insistencia de Gauss de no suponer la existencia de las raiacuteces cuando se trata de demostrar su existencia Eacutel mismo creiacutea como todos en su eacutepoca que habiacutea una jerarquiacutea de cantidades imaginarias de las cuales los nuacutemeros complejos eran solo los maacutes simples Gauss los llamoacute sombra de sombras Como dice el artiacuteculo EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA de Ferraacuten Mir Sabateacute March 4 2005

Pero como en toda buacutesqueda de soluciones se encuentran soluciones intermedias que aunque no son lo que se buscaban si son un gran aporte a las ciencias es en este caminar por las propiedades de los nuacutemeros complejos que Hamilton descubrioacute los cuaternios que aunque no son conmutativos poseen las propiedades de un cuerpo salvo la conmutativa del producto pues la demostracioacuten de que el uacutenico cuerpo (conmutativo) algebraico que contiene a los nuacutemeros reales es C la dioacute Weierstrass en 1863 y fue publicada en el libro de Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme pero total todas las demostraciones anteriores son vaacutelidas una vez que se establece el resultado de la existencia del cuerpo de descomposicioacuten de cualquier polinomio Tomado de Historia del Teorema Fundamental del Aacutelgebra (TFA) y algunas curiosidades Vernor Arguedas TDerechos Reservadosdegc 2008 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (wwwcidseitcraccr)

En conclusioacuten toda demostracioacuten es un camino a veces muy largo otras veces muy corto y aquiacute como vimos que fue un camino bastante largo pues tuvieron que pasar varios siglos para llegar a la demostracioacuten del Teorema Fundamental del Algebra fueron muchos los aportes que hubo que recibir de otros trabajos pero total al final se construyo esta demostracioacuten Es de rescatar la perseverancia que tuvo Gauss que despueacutes de tres intentos fallidos consiguioacute dicha demostracioacuten asi para ello hubiese tenido que retomar los apuntes de Euler tambien es de resaltar que al parecer los avances de cada uno se haciacutean puacuteblicos y por eso lograron avanzar Tambien se pudo ver que en ese transcurrir se hallaron puntos intermedios como el descubrimiento de los cuaternios y por ultimo aunque la demostracioacuten se logro hoy en diacutea todaviacutea se sigue trabajando en el Teorema Fundamental del Algebra pues en la Universidad de Nijmegen en Holanda se establecioacute un proyecto de investigacioacuten sobre el TFA el cual creo llegoacute hasta el antildeo 2000 En la direccioacuten httpwwwcsrunl~freekpubskneserpdf se puede bajar un artiacuteculo muy interesante al respecto en donde se presenta una versioacuten constructiva del TFA en base a los trabajos de los Knessers Y otro grupo sobre el TFA mantiene una paacutegina en httpwwwcsrunl~freekfta que da informacioacuten valiosa a quienes deseen ver los lenguajes de computacioacuten que utilizan en algunas soluciones constructivas Incluso hay algoritmos en Coq (el programa desarrollado por el INRA de Francia) implementando el teorema de Kneser

Pero la idea de Cardano tampoco fue de Cardano porque al parecer fueron dos personajes a quienes se les atribuye una disputa frente a la solucioacuten de la ecuacioacuten de tercer grado Pues seguacuten cuentas Tartaglia (1499 - 1557) empezoacute a trabajar con las ecuaciones de tercer grado cuando Scipione del Ferro (1465 - 1526) habiacutea logrado demostrarlas pero no habiacutea patentado antes de morir Pero Nave su yerno quedo con el manuscrito que luego mostroacute a Cardano quien lo comparoacute con el trabajo de Tartaglia y pudo discernir que Ferro habiacutea sido en primero en ver la solucioacuten por lo tanto en su obra Ars Magna(1545) le atribuye la obra De Ferro al descubrir que lo que Tartaglia afirmaba era una copia del trabajo de Ferro Luego Bombelli (1526 - 1572) en su Algebra publicado en 1572 fue el primero en dar una serie de reglas para manipular estos nuacutemeros complejos Tomado httpwebeducasturprincastesieselpilesARCHIVOSpaginasdeparmatematicasbombellihtm

Aunque el trabajo de Cardano y Bombelli son una buena perspectiva para lo que hoy es el teorema por que se da la aceptacioacuten de las raiacuteces complejas es Descartes (1596-1650) quien da un gran giro a la geometriacutea al introducir el concepto de nuacutemero imaginario ya que en su obra La Geometrie (1637) afirma que es posible imaginar para toda ecuacioacuten de grado n n raiacuteces pero estas raiacuteces imaginarias no corresponden a cantidades Reales ademaacutes que el polinomio entonces era divisible por x - t y de esta forma P(x) = (x - t)Q(x) donde Q(x) es un grado inferior a P(x) Pero antes de Descartes fue Albert Girard en su Nouvelle invention en Algebre (1629) quien afirmoacute que las raiacuteces de grado n tienen n raiacuteces aunque este no dice que las soluciones son de la forma a+bi [1] los matemaacuteticos de la eacutepoca lo aceptaron como evidente lo que los llevo a muchos antildeos de discernimiento

El cambio de siglo y el inicio del caacutelculo diferencial haciacutea necesario conocer si un polinomio podiacutea descomponerse en factores de primer y segundo grado y asiacute calcular la integral de un cociente Leibniz (1702) dio una prueba de que el teorema era falso por que x4+a4 no podiacutea escribirse en teacutermino de factores pero su error fue no darse cuenta que la unidad imaginaria tiene dos raiacuteces complejas razoacuten por la que Euler en 1742 demostroacute que el contraejemplo era falso[2] Ahora al fin llegoacute una solucioacuten al teorema DAlembert (1746) en su memoria titulada Investigaciones sobre el caacutelculo integral partiendo de un polinomio que no tiene raiacuteces reales considera la curva de la ecuacioacuten y desarrolla x en una serie de potencias fraccionarias la demostracioacuten tiene varias debilidades usa un lema sin prueba que fue demostrado por Puiseau en 1851 Y carece de conocimientos suficientes para usar el argumento de compacidad para obtener la convergencia final

1 De hecho Girard [4 Pags407-408] acepta tres tipos de soluciones mayores que nada menores que nada y otras envueltas como las que tienen radicminus1 como radicminus3u otros nuacutemeros similares Son curiosas las razones de Girard para aceptar estas soluciones imposibles como eacutel las llama Para asegurar la certeza de la regla general para asegurarse de que no existen

2 Euler fue quien introdujo la notacioacuten actual del nuacutemero imaginario i para p10485761 Aunque lo hizo al final de su vida hacia 1777 ya que anteriormente habiacutea usado esa notacioacuten para representar el infinito La adopcioacuten de dicho signo por Gauss en 1801 le aseguroacute el puesto definitivo que hoy ostenta

El error de DAlembert no fue impedimento para seguir trabajando pues al poco tiempo Euler probo que un polinomio de grado n lt 7 tiene n raiacuteces complejas y aunque en 1749 intento la demostracioacuten general esta luego fue objetada por Lagrange(1772) quien afirmoacute que las funciones racionales podiacutean conducir

eventualmente a la contradiccioacuten 00 pero el mismo Lagrange estaba asumiendo

que las raiacuteces existiacutean y que se podiacutea trabajar con ellas Luego Laplace tambieacuten intento demostrar el teorema usando el discriminante de un polinomio y aunque su demostracioacuten era muy elegante de nuevo suponiacutea la existencia de las raiacuteces Es ahora cuando aparece Gauss con su tesis doctoral esta demostracioacuten es de naturaleza geomeacutetrica y se basa en la idea de wessel para representar los complejos [1] lo que gauss hace es reemplazar la incoacutegnita por a + bi y a partir de ello obtener dos funciones y a partir de ello obtener dos funciones de a y b

Aunque Gauss intento hacer la demostracioacuten esta fue de tipo topoloacutegica entonces llega Jean Robert Argand (1814) y saca a la luz su demostracioacuten basada en un artiacuteculo anterior llamado ldquoEssai sur une maniŁre de repreacutesenter les quantitieacutes imaginaires dans les constructions geacuteometriquesrdquo en el que interpretaba la unidad imaginaria i como un giro de 90 en el plano surgiendo asi lo que hoy en diacutea llamamos plano de Argand es decir representacioacuten geomeacutetrica de los nuacutemeros complejos es ahora en su artiacuteculo ldquoReacuteflexions sur la nouvelle theacuteorie drsquoanalyse Argandrdquo donde simplifica la idea usando un teorema general sobre la existencia de un miacutenimo de una funcioacuten continua Pero aunque la demostracioacuten de Argand fue aceptada por Cauchy y por Chrystal (1886) quienes la expusieron en sus libros esta demostracioacuten no fue rigurosa pues el concepto de extremo inferior no habiacutea sido desarrollado todaviacutea

A pesar de que la demostracioacuten Argand se habiacutea hecho famosa Gauss hace repetitivos intentos por conseguir la demostracioacuten en un primer intento usoacute la aproximacioacuten de Euler pero en vez de operar con raiacuteces que pueden no existir opera con indeterminadas completando asi la demostracioacuten de Euler esta parece ser correcta Luego en un segundo intento (1831) introduce el teacutermino rsquonuacutemero complejorsquo usando el termino de conjugada ya insertado por Cauchy desde 1821 Y 50 antildeos despueacutes de su primer intento cuando Gauss produjo la primera demostracioacuten del enunciado general de que una ecuacioacuten de grado n con coeficientes complejos tiene n raiacuteces complejas La demostracioacuten es similar a la primera lo uacutenico que hace es deducir el resultado para coeficientes complejos a partir del resultado sobre polinomios reales Merece la pena resaltar que a pesar de la insistencia de Gauss de no suponer la existencia de las raiacuteces cuando se trata de demostrar su existencia Eacutel mismo creiacutea como todos en su eacutepoca que habiacutea una jerarquiacutea de cantidades imaginarias de las cuales los nuacutemeros complejos eran solo los maacutes simples Gauss los llamoacute sombra de sombras Como dice el artiacuteculo EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA de Ferraacuten Mir Sabateacute March 4 2005

Pero como en toda buacutesqueda de soluciones se encuentran soluciones intermedias que aunque no son lo que se buscaban si son un gran aporte a las ciencias es en este caminar por las propiedades de los nuacutemeros complejos que Hamilton descubrioacute los cuaternios que aunque no son conmutativos poseen las propiedades de un cuerpo salvo la conmutativa del producto pues la demostracioacuten de que el uacutenico cuerpo (conmutativo) algebraico que contiene a los nuacutemeros reales es C la dioacute Weierstrass en 1863 y fue publicada en el libro de Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme pero total todas las demostraciones anteriores son vaacutelidas una vez que se establece el resultado de la existencia del cuerpo de descomposicioacuten de cualquier polinomio Tomado de Historia del Teorema Fundamental del Aacutelgebra (TFA) y algunas curiosidades Vernor Arguedas TDerechos Reservadosdegc 2008 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (wwwcidseitcraccr)

En conclusioacuten toda demostracioacuten es un camino a veces muy largo otras veces muy corto y aquiacute como vimos que fue un camino bastante largo pues tuvieron que pasar varios siglos para llegar a la demostracioacuten del Teorema Fundamental del Algebra fueron muchos los aportes que hubo que recibir de otros trabajos pero total al final se construyo esta demostracioacuten Es de rescatar la perseverancia que tuvo Gauss que despueacutes de tres intentos fallidos consiguioacute dicha demostracioacuten asi para ello hubiese tenido que retomar los apuntes de Euler tambien es de resaltar que al parecer los avances de cada uno se haciacutean puacuteblicos y por eso lograron avanzar Tambien se pudo ver que en ese transcurrir se hallaron puntos intermedios como el descubrimiento de los cuaternios y por ultimo aunque la demostracioacuten se logro hoy en diacutea todaviacutea se sigue trabajando en el Teorema Fundamental del Algebra pues en la Universidad de Nijmegen en Holanda se establecioacute un proyecto de investigacioacuten sobre el TFA el cual creo llegoacute hasta el antildeo 2000 En la direccioacuten httpwwwcsrunl~freekpubskneserpdf se puede bajar un artiacuteculo muy interesante al respecto en donde se presenta una versioacuten constructiva del TFA en base a los trabajos de los Knessers Y otro grupo sobre el TFA mantiene una paacutegina en httpwwwcsrunl~freekfta que da informacioacuten valiosa a quienes deseen ver los lenguajes de computacioacuten que utilizan en algunas soluciones constructivas Incluso hay algoritmos en Coq (el programa desarrollado por el INRA de Francia) implementando el teorema de Kneser

2 Euler fue quien introdujo la notacioacuten actual del nuacutemero imaginario i para p10485761 Aunque lo hizo al final de su vida hacia 1777 ya que anteriormente habiacutea usado esa notacioacuten para representar el infinito La adopcioacuten de dicho signo por Gauss en 1801 le aseguroacute el puesto definitivo que hoy ostenta

El error de DAlembert no fue impedimento para seguir trabajando pues al poco tiempo Euler probo que un polinomio de grado n lt 7 tiene n raiacuteces complejas y aunque en 1749 intento la demostracioacuten general esta luego fue objetada por Lagrange(1772) quien afirmoacute que las funciones racionales podiacutean conducir

eventualmente a la contradiccioacuten 00 pero el mismo Lagrange estaba asumiendo

que las raiacuteces existiacutean y que se podiacutea trabajar con ellas Luego Laplace tambieacuten intento demostrar el teorema usando el discriminante de un polinomio y aunque su demostracioacuten era muy elegante de nuevo suponiacutea la existencia de las raiacuteces Es ahora cuando aparece Gauss con su tesis doctoral esta demostracioacuten es de naturaleza geomeacutetrica y se basa en la idea de wessel para representar los complejos [1] lo que gauss hace es reemplazar la incoacutegnita por a + bi y a partir de ello obtener dos funciones y a partir de ello obtener dos funciones de a y b

Aunque Gauss intento hacer la demostracioacuten esta fue de tipo topoloacutegica entonces llega Jean Robert Argand (1814) y saca a la luz su demostracioacuten basada en un artiacuteculo anterior llamado ldquoEssai sur une maniŁre de repreacutesenter les quantitieacutes imaginaires dans les constructions geacuteometriquesrdquo en el que interpretaba la unidad imaginaria i como un giro de 90 en el plano surgiendo asi lo que hoy en diacutea llamamos plano de Argand es decir representacioacuten geomeacutetrica de los nuacutemeros complejos es ahora en su artiacuteculo ldquoReacuteflexions sur la nouvelle theacuteorie drsquoanalyse Argandrdquo donde simplifica la idea usando un teorema general sobre la existencia de un miacutenimo de una funcioacuten continua Pero aunque la demostracioacuten de Argand fue aceptada por Cauchy y por Chrystal (1886) quienes la expusieron en sus libros esta demostracioacuten no fue rigurosa pues el concepto de extremo inferior no habiacutea sido desarrollado todaviacutea

A pesar de que la demostracioacuten Argand se habiacutea hecho famosa Gauss hace repetitivos intentos por conseguir la demostracioacuten en un primer intento usoacute la aproximacioacuten de Euler pero en vez de operar con raiacuteces que pueden no existir opera con indeterminadas completando asi la demostracioacuten de Euler esta parece ser correcta Luego en un segundo intento (1831) introduce el teacutermino rsquonuacutemero complejorsquo usando el termino de conjugada ya insertado por Cauchy desde 1821 Y 50 antildeos despueacutes de su primer intento cuando Gauss produjo la primera demostracioacuten del enunciado general de que una ecuacioacuten de grado n con coeficientes complejos tiene n raiacuteces complejas La demostracioacuten es similar a la primera lo uacutenico que hace es deducir el resultado para coeficientes complejos a partir del resultado sobre polinomios reales Merece la pena resaltar que a pesar de la insistencia de Gauss de no suponer la existencia de las raiacuteces cuando se trata de demostrar su existencia Eacutel mismo creiacutea como todos en su eacutepoca que habiacutea una jerarquiacutea de cantidades imaginarias de las cuales los nuacutemeros complejos eran solo los maacutes simples Gauss los llamoacute sombra de sombras Como dice el artiacuteculo EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA de Ferraacuten Mir Sabateacute March 4 2005

Pero como en toda buacutesqueda de soluciones se encuentran soluciones intermedias que aunque no son lo que se buscaban si son un gran aporte a las ciencias es en este caminar por las propiedades de los nuacutemeros complejos que Hamilton descubrioacute los cuaternios que aunque no son conmutativos poseen las propiedades de un cuerpo salvo la conmutativa del producto pues la demostracioacuten de que el uacutenico cuerpo (conmutativo) algebraico que contiene a los nuacutemeros reales es C la dioacute Weierstrass en 1863 y fue publicada en el libro de Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme pero total todas las demostraciones anteriores son vaacutelidas una vez que se establece el resultado de la existencia del cuerpo de descomposicioacuten de cualquier polinomio Tomado de Historia del Teorema Fundamental del Aacutelgebra (TFA) y algunas curiosidades Vernor Arguedas TDerechos Reservadosdegc 2008 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (wwwcidseitcraccr)

En conclusioacuten toda demostracioacuten es un camino a veces muy largo otras veces muy corto y aquiacute como vimos que fue un camino bastante largo pues tuvieron que pasar varios siglos para llegar a la demostracioacuten del Teorema Fundamental del Algebra fueron muchos los aportes que hubo que recibir de otros trabajos pero total al final se construyo esta demostracioacuten Es de rescatar la perseverancia que tuvo Gauss que despueacutes de tres intentos fallidos consiguioacute dicha demostracioacuten asi para ello hubiese tenido que retomar los apuntes de Euler tambien es de resaltar que al parecer los avances de cada uno se haciacutean puacuteblicos y por eso lograron avanzar Tambien se pudo ver que en ese transcurrir se hallaron puntos intermedios como el descubrimiento de los cuaternios y por ultimo aunque la demostracioacuten se logro hoy en diacutea todaviacutea se sigue trabajando en el Teorema Fundamental del Algebra pues en la Universidad de Nijmegen en Holanda se establecioacute un proyecto de investigacioacuten sobre el TFA el cual creo llegoacute hasta el antildeo 2000 En la direccioacuten httpwwwcsrunl~freekpubskneserpdf se puede bajar un artiacuteculo muy interesante al respecto en donde se presenta una versioacuten constructiva del TFA en base a los trabajos de los Knessers Y otro grupo sobre el TFA mantiene una paacutegina en httpwwwcsrunl~freekfta que da informacioacuten valiosa a quienes deseen ver los lenguajes de computacioacuten que utilizan en algunas soluciones constructivas Incluso hay algoritmos en Coq (el programa desarrollado por el INRA de Francia) implementando el teorema de Kneser

El error de DAlembert no fue impedimento para seguir trabajando pues al poco tiempo Euler probo que un polinomio de grado n lt 7 tiene n raiacuteces complejas y aunque en 1749 intento la demostracioacuten general esta luego fue objetada por Lagrange(1772) quien afirmoacute que las funciones racionales podiacutean conducir

eventualmente a la contradiccioacuten 00 pero el mismo Lagrange estaba asumiendo

que las raiacuteces existiacutean y que se podiacutea trabajar con ellas Luego Laplace tambieacuten intento demostrar el teorema usando el discriminante de un polinomio y aunque su demostracioacuten era muy elegante de nuevo suponiacutea la existencia de las raiacuteces Es ahora cuando aparece Gauss con su tesis doctoral esta demostracioacuten es de naturaleza geomeacutetrica y se basa en la idea de wessel para representar los complejos [1] lo que gauss hace es reemplazar la incoacutegnita por a + bi y a partir de ello obtener dos funciones y a partir de ello obtener dos funciones de a y b

Aunque Gauss intento hacer la demostracioacuten esta fue de tipo topoloacutegica entonces llega Jean Robert Argand (1814) y saca a la luz su demostracioacuten basada en un artiacuteculo anterior llamado ldquoEssai sur une maniŁre de repreacutesenter les quantitieacutes imaginaires dans les constructions geacuteometriquesrdquo en el que interpretaba la unidad imaginaria i como un giro de 90 en el plano surgiendo asi lo que hoy en diacutea llamamos plano de Argand es decir representacioacuten geomeacutetrica de los nuacutemeros complejos es ahora en su artiacuteculo ldquoReacuteflexions sur la nouvelle theacuteorie drsquoanalyse Argandrdquo donde simplifica la idea usando un teorema general sobre la existencia de un miacutenimo de una funcioacuten continua Pero aunque la demostracioacuten de Argand fue aceptada por Cauchy y por Chrystal (1886) quienes la expusieron en sus libros esta demostracioacuten no fue rigurosa pues el concepto de extremo inferior no habiacutea sido desarrollado todaviacutea

A pesar de que la demostracioacuten Argand se habiacutea hecho famosa Gauss hace repetitivos intentos por conseguir la demostracioacuten en un primer intento usoacute la aproximacioacuten de Euler pero en vez de operar con raiacuteces que pueden no existir opera con indeterminadas completando asi la demostracioacuten de Euler esta parece ser correcta Luego en un segundo intento (1831) introduce el teacutermino rsquonuacutemero complejorsquo usando el termino de conjugada ya insertado por Cauchy desde 1821 Y 50 antildeos despueacutes de su primer intento cuando Gauss produjo la primera demostracioacuten del enunciado general de que una ecuacioacuten de grado n con coeficientes complejos tiene n raiacuteces complejas La demostracioacuten es similar a la primera lo uacutenico que hace es deducir el resultado para coeficientes complejos a partir del resultado sobre polinomios reales Merece la pena resaltar que a pesar de la insistencia de Gauss de no suponer la existencia de las raiacuteces cuando se trata de demostrar su existencia Eacutel mismo creiacutea como todos en su eacutepoca que habiacutea una jerarquiacutea de cantidades imaginarias de las cuales los nuacutemeros complejos eran solo los maacutes simples Gauss los llamoacute sombra de sombras Como dice el artiacuteculo EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA de Ferraacuten Mir Sabateacute March 4 2005

Pero como en toda buacutesqueda de soluciones se encuentran soluciones intermedias que aunque no son lo que se buscaban si son un gran aporte a las ciencias es en este caminar por las propiedades de los nuacutemeros complejos que Hamilton descubrioacute los cuaternios que aunque no son conmutativos poseen las propiedades de un cuerpo salvo la conmutativa del producto pues la demostracioacuten de que el uacutenico cuerpo (conmutativo) algebraico que contiene a los nuacutemeros reales es C la dioacute Weierstrass en 1863 y fue publicada en el libro de Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme pero total todas las demostraciones anteriores son vaacutelidas una vez que se establece el resultado de la existencia del cuerpo de descomposicioacuten de cualquier polinomio Tomado de Historia del Teorema Fundamental del Aacutelgebra (TFA) y algunas curiosidades Vernor Arguedas TDerechos Reservadosdegc 2008 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (wwwcidseitcraccr)

En conclusioacuten toda demostracioacuten es un camino a veces muy largo otras veces muy corto y aquiacute como vimos que fue un camino bastante largo pues tuvieron que pasar varios siglos para llegar a la demostracioacuten del Teorema Fundamental del Algebra fueron muchos los aportes que hubo que recibir de otros trabajos pero total al final se construyo esta demostracioacuten Es de rescatar la perseverancia que tuvo Gauss que despueacutes de tres intentos fallidos consiguioacute dicha demostracioacuten asi para ello hubiese tenido que retomar los apuntes de Euler tambien es de resaltar que al parecer los avances de cada uno se haciacutean puacuteblicos y por eso lograron avanzar Tambien se pudo ver que en ese transcurrir se hallaron puntos intermedios como el descubrimiento de los cuaternios y por ultimo aunque la demostracioacuten se logro hoy en diacutea todaviacutea se sigue trabajando en el Teorema Fundamental del Algebra pues en la Universidad de Nijmegen en Holanda se establecioacute un proyecto de investigacioacuten sobre el TFA el cual creo llegoacute hasta el antildeo 2000 En la direccioacuten httpwwwcsrunl~freekpubskneserpdf se puede bajar un artiacuteculo muy interesante al respecto en donde se presenta una versioacuten constructiva del TFA en base a los trabajos de los Knessers Y otro grupo sobre el TFA mantiene una paacutegina en httpwwwcsrunl~freekfta que da informacioacuten valiosa a quienes deseen ver los lenguajes de computacioacuten que utilizan en algunas soluciones constructivas Incluso hay algoritmos en Coq (el programa desarrollado por el INRA de Francia) implementando el teorema de Kneser

Pero como en toda buacutesqueda de soluciones se encuentran soluciones intermedias que aunque no son lo que se buscaban si son un gran aporte a las ciencias es en este caminar por las propiedades de los nuacutemeros complejos que Hamilton descubrioacute los cuaternios que aunque no son conmutativos poseen las propiedades de un cuerpo salvo la conmutativa del producto pues la demostracioacuten de que el uacutenico cuerpo (conmutativo) algebraico que contiene a los nuacutemeros reales es C la dioacute Weierstrass en 1863 y fue publicada en el libro de Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme pero total todas las demostraciones anteriores son vaacutelidas una vez que se establece el resultado de la existencia del cuerpo de descomposicioacuten de cualquier polinomio Tomado de Historia del Teorema Fundamental del Aacutelgebra (TFA) y algunas curiosidades Vernor Arguedas TDerechos Reservadosdegc 2008 Revista digital Matemaacutetica Educacioacuten e Internet (wwwcidseitcraccr)

En conclusioacuten toda demostracioacuten es un camino a veces muy largo otras veces muy corto y aquiacute como vimos que fue un camino bastante largo pues tuvieron que pasar varios siglos para llegar a la demostracioacuten del Teorema Fundamental del Algebra fueron muchos los aportes que hubo que recibir de otros trabajos pero total al final se construyo esta demostracioacuten Es de rescatar la perseverancia que tuvo Gauss que despueacutes de tres intentos fallidos consiguioacute dicha demostracioacuten asi para ello hubiese tenido que retomar los apuntes de Euler tambien es de resaltar que al parecer los avances de cada uno se haciacutean puacuteblicos y por eso lograron avanzar Tambien se pudo ver que en ese transcurrir se hallaron puntos intermedios como el descubrimiento de los cuaternios y por ultimo aunque la demostracioacuten se logro hoy en diacutea todaviacutea se sigue trabajando en el Teorema Fundamental del Algebra pues en la Universidad de Nijmegen en Holanda se establecioacute un proyecto de investigacioacuten sobre el TFA el cual creo llegoacute hasta el antildeo 2000 En la direccioacuten httpwwwcsrunl~freekpubskneserpdf se puede bajar un artiacuteculo muy interesante al respecto en donde se presenta una versioacuten constructiva del TFA en base a los trabajos de los Knessers Y otro grupo sobre el TFA mantiene una paacutegina en httpwwwcsrunl~freekfta que da informacioacuten valiosa a quienes deseen ver los lenguajes de computacioacuten que utilizan en algunas soluciones constructivas Incluso hay algoritmos en Coq (el programa desarrollado por el INRA de Francia) implementando el teorema de Kneser

BIBLIOGRAFIA

Madrid Fernando MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS Manizales Centro de publicaciones UN 2001

Ferran Mir Sabateacute ldquoEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRArdquo Universitat de Barcelona March 4 2005

Vernor Arguedas HISTORIA DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL AacuteLGEBRA (TFA) Y ALGUNAS CURIOSIDADES Escuela de MatemaacuteticasUniversidad de Costa Rica

httpenciclopediausesindexphpTeorema_fundamental_del_ C3A1lgebraraquo

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