DBH4 2gaia

48

Berreketak

eta erroketak2

BALIOKIDEAK

BIDERKETA

ETA ZATIKETA

BERREKETAK

ETA ERROKETAK

BATUKETA

ETA KENKETA

ANTZEKOAK

BERRETZAILE OSOKO

BERREKETAK

ERAGIKETAK

ERROKETEKIN

IDAZKERA ZIENTIFIKOA

ERROKETAK

IZENDATZAILEA

ERROTZAILEAREKIN

IZENDATZAILEA BIONOMIO

ERROTZAILEAREKIN

ARRAZIONALIZAZIOA

Balioaren froga

Ez ziren garai onak jende arruntarentzat. Italiako hiri estatuak azpikeriatan, traiziotan eta gerra gogorretan murgilduta zeuden; ez ziren salbatzen ezta Pontifize Estatuak ere.

Hiri haietako batean, Brescian, Nicolo Fontana berezauriaren istorioa azaltzen hasi zen. Zauria, masailezurrean zehar zuen orbain itsusia zen.

–Duela bi urte izan zen, 1512. urtean. Hiria erori zen eta kontrola galdutako soldadu-taldeak leku guztietatikzeuden, nahi zutena egiten.

–Ama aurretik nuen korrika egiten elizarako bidean. –Kontaketa eten egin zen txikienei aholkatzen zien bitartean–. Ez ahaztu inoiz: Arriskurik baduzue lekuziur bakarra eliza da!

Behartutako etenaren ondoren, Nicolok bere eszena dramatikoa azaltzen jarraitu zuen.

–Bat-batean amak estropezu egin zuen eta soldadu bat harengana hurbildu zen ezpata astinduz. Bazirudien ezbeharra saihestezina zela. Une horretan, zalantzarik egin gabe, haren gainera joan nintzen ama babesteko eta lurretik pirritan ibili ginen. –Nicolok keinuak egiten zituen irudizko etsaiarekin borrokatzen ari izango balitz bezala–. Baina ni baino indartsuagoa zen, nigandik askatu eta ezpata-kolpe batez hemen ikusten duzuen moduan aurpegia ebaki zidan. Zauria osatzeko denbora behar izan nuen eta hitz-motel utzi ninduen, baina ez zait damutzen.

Nicolo Fontana mutikoari Tartaglia ezizena jarri zioten eta XVI. mendeko matematikaririk garrantzitsuenetakoa bihurtu zen.

Tartagliak ekuazio kubo baten emaitza aurkitu zuen errotzailen bideez. Eztabaidatu errotzaile hauen zenbaki-

balioa a-ren balioen arabera: eta .aa3

a < 0 denean:

ez dago.

balio bakarra du.

a = 0 denean:

a > 0 denean:

bi balio ditu, aurkakoak direnak.

balio bakarra du.a3

a

a a= =3

0

a3

a

ARIKETAK

Sinplifikatu eta kalkulatu.

a) z ⋅ z ⋅ ... ⋅ z b) x ⋅ x ⋅ ... ⋅ x c) (−3)−2 d) −3−2

60 aldiz 150 aldiz

a) z 60 b) x150 c) d)

Idatzi zenbakien alderantzizkoak, berretzaile osoko berreketa gisa.

a) 2 b) −3 c) 22 d) −2−2

a) b) c) d) −22

Adierazi zatiki hauek berretzaile osoko berreketa gisa.

a) b) c)

a)

b)

c)

Adierazi zer balio dituen (−1)n adierazpenak n-ren balio positibo eta

negatiboetarako. Horretarako, hasi balio txikiak ematen eta ondorioztatu arau

orokorra.

n positiboa edo negatiboa den kontuan hartu gabe, (−1)n =

Aplikatu berreketen propietateak, eta adierazi emaitza berretzaile positiboko

berreketa gisa.

a) 8−3 ⋅ 8−6 c) (8 ⋅ 4)−4 e)

b) d) f) (24−21)2

Adierazi zer propietate erabili duzun, kasu bakoitzean.

a) d)

b) (5−8−(−2))−2 = (5−6)−2 = 512 e)

c) f) 241

24

42

42

− =( ) ( )2 2 2 21

2

3 2 4 5 4 20

20⋅ = = =− − −

−2

5

72

15

24

5

3 3

=

81

8

9

9

− =

15

72

3

−5

5

8

2

2−

−

−

−

−5

2

1

005

1 n bikoitia bada

−1 n bakoitia bada

004

2 7

52 7 5

3

3

3 1 3⋅= ⋅ ⋅ −

2 11

11

2

112 11

2

1 1⋅= = ⋅ −

3 5

23 5 2

2 2

6

2 2 6⋅= ⋅ ⋅ −

−56

125

22

121

225

64

003

1

22−

1

3

1

2

002

−1

32

1

32

1424314243

001

50

Berreketak eta erroketak

51

2

Kalkulatu:

a) (x 5 y−2) : (x 6 y−1) b) (6x 4 y 2) : (3x 2 y−2)

a)

b) 2x 4−2y 2−(−2) = 2x 2y 4

Sinplifikatu eta adierazi emaitza berreketa gisa.

a) c) 92 ⋅ 3−2 ⋅ 27

b) d)

a) 57−(−14) ⋅ 33−(−3) ⋅ (2 ⋅ 3)−4−(−2) = 521 ⋅ 36 ⋅ 2−2 ⋅ 3−2 = 521 ⋅ 34 ⋅ 2−2 =

=

b)

c) 34 ⋅ 3−2 ⋅ 33 = 35

d)

Adierazi idazkera zientifikoan.

a) 9.340.000 g) 0,0089

b) 0,000125 h) 137

c) 789.200 i) 1 hamar milaren

d) 1 bilioi j) 5 ehunen

e) Hamarreko erdia k) 9 milaren

f) 4 l) 6 trilioi

a) 9,34 ⋅ 106 g) 8,9 ⋅ 10−3

b) 1,25 ⋅ 10−4 h) 1,37 ⋅ 102

c) 7,892 ⋅ 105 i) 1 ⋅ 10−4

d) 1 ⋅ 106 j) 5 ⋅ 10−2

e) 5 ⋅ 100 k) 9 ⋅ 10−3

f) 4 l) 6 ⋅ 1018

Beheko zenbakiak ez daude behar bezala adierazita idazkera zientifikoan.

Zuzendu.

a) 0,7 ⋅ 106 b) 11,2 ⋅ 10−3

a) 7 ⋅ 105 b) 1,12 ⋅ 10−2

009

008

1

55 5

6

2 8

−⋅ =

23

2

1

2 3

3

2

3

22 3 2

3

6

2

10⋅ ⋅

⋅⋅ =

5 3

2

21 4

2

⋅

1

525

32

⋅

–

23

4

2

3

3

8

3

2

2

⋅ ⋅ ⋅

–

5 3 6

6 3 5

7 3 4

2 3 14

⋅ ⋅

⋅ ⋅− −

–

–

007

x y x yxy

5 6 2 1 1 1 1− − − −( ) − −= =

006

ERANTZUNAK

52

Kalkulatu.

a) 2,3 ⋅ 104+ 5 ⋅ 103 b) (5 ⋅ 10−2) ⋅ (3,1 ⋅ 10−4)

a) 2,8 ⋅ 104= 28.000

b) 1,55 ⋅ 10−5= 0,0000155

Egin eragiketak eta adierazi emaitza idazkera zientifikoan.

a) 9,34 ⋅ 104+ 7,6 ⋅ 102 e) (5,2 ⋅ 10−4) ⋅ (8 ⋅ 10−5)

b) 7,8 ⋅ 10−3+ 8 ⋅ 10−5 f) (4 ⋅ 10−6) : (2 ⋅ 10−8)

c) 3 ⋅ 10−7− 7 ⋅ 10−4 g) (7 ⋅ 104) : (1,4 ⋅ 105)

d) (9 ⋅ 104) ⋅ (8,5 ⋅ 102) h) (4 ⋅ 105) ⋅ (2 ⋅ 103) : (8 ⋅ 10−2)

a) 9,416 ⋅ 104 e) 4,16 ⋅ 10−8

b) 7,88 ⋅ 10−3 f) 2 ⋅ 102

c) 6,997 ⋅ 10−4 g) 5 ⋅ 10−1

d) 7,65 ⋅ 107 h) 1 ⋅ 1010

Mikroorganismo bat 3,5 mikra luze da. Jakinik 1 mikra metro baten milioiren

bat dela, adierazi, metrotan eta idazkera zientifikoan,

ilaran jarritako 4 milioi mikroorganismoren luzera.

(4 ⋅ 106) ⋅ (3,5 ⋅ 10−6) = 1,4 ⋅ 101= 14 metro

Egin, kalkulagailua erabiliz eta erabili gabe, batuketa hau:

9,23 ⋅ 1099+ 1,78 ⋅ 1099. Zer alde hauteman duzu batuketa egiteko bi moduen

artean?

Kalkulagailuak berretzailean bi zifra baino ez baditu onartzen, ez da gai izango

egiteko eta errorea adieraziko du.

Eskuz egiten bada, emaitza 1,101 ⋅ 10100 da.

Adierazi berreketak erroketa gisa.

a) 163= 4.096 c) (−2)5

= −32

b) 43= 64 d) (−2)8

= 256

a) c)

b) d)

Kalkulatu erroketen zenbakizko balioa, baldin badute.

a) b) c) d)

a) 2 eta −2 c) Ez dago

b) −2 d) 3

2435−1004

−83164

015

− =2 25684 643=

− = −2 32516 4 0963= .

014

013

012

011

010


53

2

Kalkulatu adierazpen hauen zenbakizko balioa kalkulagailua erabiliz.

a) b) c)

a) 1 + 2,4494897 = 3,4494897

b) 1,7187719 − 7 = −5,2812281

c) Ez dago

Eman 3 eta −3 erroak dituzten erroketen bi adibide. Ba al dago 3 eta −5 erroak

dituenetik?

Adibideak:

Errotzaile batek ezin ditu izan 3 eta −5 erroak errotzaile gisa, bi erro

izatekotan aurkakoak izan behar dutelako.

Idatzi berreketak erroketa gisa eta kalkulatu zenbakizko balioa.

a) c) e)

b) d) f)

a) d) ez dago.

b) e)

c) f)

Idatzi erroketa bakoitzaren bi erroketa baliokide.

a) b) c)

a) b) c)

Arrazoitu ea erroketa baliokideak diren.

a) eta c) eta

b) eta d) eta

a) → Baliokideak c) → Ez baliokideak

b) → Ez baliokideak d) → Baliokideak

Idatzi berreketa gisa.

a) b) c) d)

a) b) c) d) 4 8

2

3

2

3x x= ( )( )6

1

3xyx−

1

3x

1

3

4 23x63 xy

13

x

x3

021

4 2 2

1

4

2

4

1

2= =2 2

10

5

1

2Þ

5 5

10

4

4

2Þ3 3

6

4

3

2=

24422105

54510433364

020

5 52014 3021eta6 6610 915

eta3 348eta

5107635

324

019

( )− =6 45 4,1929627347= 1,8734440

434= 2,8284271− = −23 1,2599210

−765 11 180339893= ,

( )−6

4

5( )−71

6( )−2

1

3

4

3

43

4

75

3

2

018

9 814eta

017

( )− ⋅ −2 16415 75−1 6+

016

ERANTZUNAK

54

Alderatu erroketak.

eta

Sinplifikatu erroketak.

a) b) c) d)

a) c)

b) d)

Sartu biderkagaiak erroketen barruan.

a) b) c) d)

a) c)

b) d)

Sinplifikatu, ahal bada.

a) b)

a) b)

Egin eragiketak eta sinplifikatu.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)2 7

3 2

2 7

3 22

7

2 3

5 25

2 24

25 4

5 5

10⋅

⋅=

⋅= ⋅

⋅

3 4 3 4312 412 3 412⋅ = ⋅

3

2

5

31 7

5

67

4 4− +

⋅ =

4 31

23

13

23

6 6+ −

⋅ =

1 568

36

5

4

.3

27

5

37 74 4 4

− +

3 44 3⋅4 3 3 3

1

236 6 6

+ −

026

2 2 2 2106 53 23= =6 6 654 4=

1 0246 .7 7764 .

025

2 5 16055 5⋅ =2 6 4833 3⋅ =

4 7 1 79244 4⋅ = .6 2 722 ⋅ =

2 554 742 636 2

024

b b5 56

3 32 34

a a6 57

5 52 25

b356

a477

31145125

023

2 2

3 3

5 5

5 2 3

1530

3 1030

5 630

5 3

=

=

=

< <→

552 33,

022


Kalkulatu.

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

Egin eragiketa.

Transformatu zatikiak izendatzailean erroketarik ez duten zatiki baliokideetan.

a) b) c) d) e) f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Arrazionalizatu.

a) b)

a) b)7 6

6 6

7 6

6

4

34 4

4

⋅=

3

3

3 3

3 3

3 3

33

6

56

6 56

56

56=⋅

= =

7

634

3

33

030

5 2 3

3 3

5 6

3

⋅

⋅=

4

2

4

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

22

64= = =

⋅= =

2 2

2 2

2 2

22

45

5 45

45

45

⋅= =

2 2

2 2

2 2

22

⋅= =

3 3

3 3

3 3

3

3 3

33

35

25 35

5 610 10

10⋅

⋅=

⋅= =

5

5 5

5

5

23

3 23

23

⋅=

5 2

3

4

644

2

25

2

2

3

95

1

53

029

2 9 7 3 9 2 3 7 3 3 4 3 4 35 5

25

2

5

2

5

2

5

2

5 25− ( ) + = ⋅ − ⋅ + = − ⋅ = − = −−4 95

2 9 7 3 95 52

5− ( ) +

028

4 3 4 3 8 748775 735 35⋅ = ⋅ = .

( ) ( )2 11 11 2 11 11 2 11

1

5

1

3

3

15

5

15 3 815⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

2 7 32 7 7 224 75 54 4 4⋅ = ⋅ ⋅ =

3 3 3 3

2

3

2

5

16

15 1615⋅ = =

3 47522 115 3⋅2 74

5( )3 9

2

3 5⋅

027

55

2ERANTZUNAK

56

Ebatzi eta arrazionalizatu.

a) b)

a)

b)

Kalkulatu zenbaki hauen konjokatuak, eta biderkatu zenbaki bakoitza eta haren

konjokatua.

a) c)

b) d)

a) Konjokatua →

b) Konjokatua →

c) Konjokatua →

d) Konjokatua →

Arrazionalizatu adierazpen hauek.

a) b)

a)

b)− ⋅ −( )

+( ) ⋅ −( )=− ⋅ −( )3 4 3

4 3 4 3

3 4 3

13

− ⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )=− ⋅ +( )3 4 3

4 3 4 3

3 4 3

13

−

+

3

4 3

−

−

3

4 3

033

33 11 33 11 33 11 22−( ) ⋅ +( ) = − =

33 11+

2

25

2

25

2

45

18

4−

⋅ +

= − =

−==−9

2

2

25+

5

62

5

62

5

62

7

6−

⋅ +

= − =−

5

62+

1 5 1 5 1 5 4+( ) ⋅ −( ) = − = −

1 5−

33 11−5

62−

2

25−1 5+

032

1 2 2

2 2

2 2

2

+( ) ⋅⋅

=+

2

5

2

5 5

5 2

5 5

2

5 5

8

5 5

8 5

5 5 5

8 5

25− =

⋅− = =

⋅=

1 2

2

+2

5

2

125−

031


57

2

Egin eragiketak eta arrazionalizatu emaitza, beharrezkoa bada.

a) b)

a)

b)

Kalkulatu zenbaki bakoitzaren alderantzizkoa.

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)

ARIKETAK

Kalkulatu berreketen emaitzak.

a) 2−3 c) 105 e) (−3)−4 g) (−12)−2 i) (−1)−3

b) 7−4 d) 8−2 f) (−2)−5 h) (−6)3

a) d) g)

b) e) h) −63 = −216

c) 100.000 f) i) −1

Kalkulatu zenbaki bakoitzaren alderantzizkoa.

a) 3 b) c) −3 d) 33 e) f) −3−3

a) b) −3 c) d) e) 3 f) −331

3

1

273=−

1

3

1

3

1

3−

1

3

037

l

1

2

1

325( )−= −

1

3

1

814( )−=

1

7

1

2 4014=

.

1

12

1

1442( )−=

1

8

1

642=

1

2

1

83=

036

l

1

100 555

100 555

100 555 100 555

100 555

+=

−

+( ) ⋅ −( )=

−

99 445.

1

100

10

100 10

10

103

3

3 3

3

=⋅

=

1

6 3

6 3

6 3 6 3

6 3

3+=

−

+( ) ⋅ −( )=

−

2

100 555+10036 3+1

2

035

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 2 2

1 23 2 2

+( ) ⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )=

+ +

−= − −

2 2

3 2

9

3 2

13

3 2

13 2

3 2 2

13 2

6

⋅+ = =

⋅=

1 2

1 2

+

−

2

3

3

2+

034

ERANTZUNAK

58

Adierazi zatikiak zenbaki osoen berreketa gisa, berretzaile negatiboak erabiliz,

behar izanez gero.

a) c) e)

b) d) f)

a) 22 ⋅ 3 ⋅ 5−1 c) −3 ⋅ 4−1 e) −2 ⋅ 5−1

b) 11 ⋅ 13−1 ⋅ 5−1 d) −5 ⋅ 3−2 f) 3 ⋅ 5−1

Sinplifikatu eta adierazi berreketa bakar gisa.

a) 2−5 ⋅ 23 ⋅ 2−4 c) (−4)−4 : (−4)5 : (−4)−6

b) (−3)−6 : (−3)5 ⋅ (−3)−7 d) 7−2 ⋅ 7−3 : 7−5

a) 2−5+3−4 = 2−6 c) (−4)−4−5−(−6) = (−4)−3

b) (−3)−6−5−7 = (−3)−18 d) 7−2−3−(−5) = 70 = 1

Egin eragiketak eta adierazi emaitza berreketa bakar baten bidez.

a)

b)

c)

d)

a) c)

b) d)

Egin eragiketak.

a) 46 : 24 e) 2−3 : (−2−3)

b) (−3)4 ⋅ (−34) f) [(−5)3]2 ⋅ 5−4

c) (−26) : (−2−6) g) [(24 ⋅ 2−8)−1]−4

d) (−23)4 ⋅ (−24)−3 h) −(−23) : (−24)

a) 212 : 24 = 28 e) 2−3 : [(−1) ⋅ 2−3] = −1

b) (−3)8 f) (−5)6 ⋅ 5−4 = 56 ⋅ 5−4 = 52

c) −26 : (−2−6) = 26−(−6) = 212 g) [(2−4)−1]−4 = 2−16

d) (−1)4 ⋅ 212 ⋅ (−1)−3 ⋅ 2−12 = −1 h) −(−23) : [(−1) ⋅ 24] = −2−1

041

l

−

1

5

63

10

8

−

5

4

9

3

2

3

−

−

−

⋅−

− −

1

5

1

5

1

5

5 4

:

7

5

4

5

4

5

4

1 2

⋅

− −

:

8

3

10

3

10

3

10

3 5

⋅

− −

:

0

3

2

3

2

3

2

2 4

⋅

⋅

−

−5

040

l

039

l

−

−

33

55−

5

9

11

65

2

5−

−3

4

12

5

038

l


59

2

Egin eragiketak eta sinplifikatu emaitza.

a) (30−5 : 10−5)3 c) (90 : 9−3)2 e) (123 : 23)−4

b) (6−2 ⋅ 3−2)−1 d) (10−10 ⋅ 10−6)−2 f) (20−5 : 10−5)−3

a) (3−5)3 = 3−15 d) (10−16)−2 = 1032

b) (2−2)−1 = 22 e) (33 ⋅ 26 : 23)−4 = (33 ⋅ 23)−4 = 6−12

c) (93)2 = 96 f) (2−5)−3 = 215

Kalkulatu eta sinplifikatu emaitza.

a) c)

b) d)

a)

b) (3−8 ⋅ 28) ⋅ (2−3 ⋅ 3−3 ⋅ 23 ⋅ 53) = 28 ⋅ 3−11 ⋅ 53

c) [(−3)3 : 23] ⋅ (5−2 : 2−4) = (−3)3 ⋅ 21 ⋅ 5−2

d) [(−7)3 : 23] : [5−2 : (−2)−2] = (−7)3 ⋅ 2−5 ⋅ 52

Egin eragiketak eta sinplifikatu emaitza.

a) b)

a)

b)2

3

3

2

1

3

6

3

32

4

2

−

: :

= ⋅

−

−

2

12 32 3

2

5

5

2

5

2

4

2

23

6

3

2

⋅

−

:

=

49

18

5

2

64

27

9

16

6

18

3 2

−

: :

−216

25

125

32

10

8

2 3

⋅

−

:

4

045

ll

−

−

= − ⋅ −2

5

1

22 5

2 3

2 2: [( ) ] :: [( ) ] ( )− = − ⋅− −2 2 53 5 2

−

−

−7

2

5

2

3 2

:9

4

6

10

4 3

⋅

− −

−

⋅

−3

2

5

4

3 2−

−

2

5

4

8

2 3

:

044

ll

043

ll

042 EGIN HONELA

NOLA EBAZTEN DIRA ERAGIKETAK BERREKETEKIN OINARRIAK FAKTORIZATUZ?

Ebatzi eragiketa hau berreketekin, eta sinplifikatu ahal duzun beste.

44−3 ⋅ 225

LEHENA. Berreketen oinarriak zenbaki lehenetan deskonposatzen dira.

44 = 22 ⋅ 11 22 = 2 ⋅ 11

BIGARRENA. Deskonposizio hori eragiketari aplikatzen zaio.

44−3 ⋅ 225 = (22 ⋅ 11)−3 ⋅ (2 ⋅ 11)5 = (2−6 ⋅ 11−3) ⋅ (25 ⋅ 115)

HIRUGARRENA. Eragiketa ebazten da.

( ) ( )2 11 2 11 2 11 2 11126 3 5 5 6 5 3 5 1 2− − − + − + −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ =

11

2

ERANTZUNAK

60

Sinplifikatu.

a) c)

b) d)

a) 36−6 ⋅ 28−8 ⋅ 53−4 = 5−1

b) 3−4+5−2 ⋅ 24−6+3 = 3−1 ⋅ 21

c) −53−10 ⋅ 212−7 ⋅ 3−4−(−4) = −5−7 ⋅ 25

d)

Egin berreketen eragiketak; lehendabizi, egin kortxeteen barruan ageri diren

eragiketak. Egiaztatu alderantziz eginez gero emaitza bera lortzen dela.

a) [24 ⋅ (−5)]−2 e) [103 : (−2)]−3

b) [(−3) ⋅ 8]−3 f) [92 : (−3)5]−1

c) [4 : (−2)3]−4 g) [25−1 ⋅ 103]−2

d) [(−10)2 : (−5)]−5 h) [36−2 ⋅ 25]−4

a) e)

b) f) [−3−1]−1 = −3

c) [−2−1]−4 = 24 g)

d) h)

Egin eragiketak eta adierazi emaitza berretzaile osoko berreketa gisa.

a) d)

b) e)

c) f)

a) d)

b) [44−3−5]−2 = (4−4)−2 = 48 e)

c) [2−2−(−2)]7 = 20 = 1 f) [ ]3 22

3

2

9

4 2 1 22

4

2

− − −⋅ = =

25

2

2

25

2 6 82

=

− − −( )−

8

5

6

6

5

1 3 53

2

=

− − − 772

3

3

2

4 3 61

1

=

+ +−

33

91

322

22

⋅

−

:21

2

2

27

−

:

25

2

25

2

2

25

2 6

⋅

− −

:

82

−

− −

1

44

1

4

4

3

5

: :

−2

5

6

5

6

6

5

1 3

⋅

⋅

− −

53

3

2

2

3

2

3

4 3

⋅

⋅

−

−6

1

048

ll

[ ]9 29

2

2 48

4

− −⋅ =[ ]− = −−201

20

5

5

[ ]401

40

2

2

− =

[ ]− = −−241

24

3

3

[ ]− = −−5001

500

3

3[ ]− =−80

1

80

2

2

047

ll

2 2 3 2 3

2 2 3 32 3

5 4 4 2 4

15 3 3 8

7 3− − − − −

− − − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅= ⋅

32 36 18

8 6 9

1 2 2

5 3 4

− − −

− −

⋅ ⋅

⋅ ⋅

3 16 9

8 3 2

4 1

2 5 3

− −

− −

⋅ ⋅

⋅ ⋅

( ) ( )

( )

− ⋅ − ⋅

− ⋅ ⋅

−

−

5 8 9

3 2 25

3 4 2

4 7 5

3 2 5

9 25 4

6 8 3

3 2 4

⋅ ⋅

⋅ ⋅

046

ll


61

2

Egin eragiketak.

a)

b)

c)

a)

b)

c) −

−

−1

10

3

5

2

3

12

2:

= − − =

−50

3

4

9

154

9

1

4

2

38

3

2

19

2

2 1

− −

= + =

− −

= −⋅

⋅+

⋅=− ⋅ + ⋅

⋅ ⋅=

3 5

2 7

2 7

3

3 5 2 7

2 7 3

31 52 2

3

2

2

4 2 2 5

3 2

. 889

6 174.

14

15

7

22

7

3

2 1

⋅−

+

− −

:

= −

⋅ ⋅

⋅ ⋅

+

⋅−2

2 2

2 2

23 5 2

2 7 7

2 7

332

=

1

5

3

101

2

5

3

2

1

−

−

−−

−

:

−2

3

2

5

4

1

31

2 1

−

− −

− −

3

5

1

3

7

22

5

2

1

6

2 1

+

⋅−

+ −

− −

:

−2

050

ll

049

ERANTZUNAK

EGIN HONELA

NOLA EGITEN DIRA ERAGIKETA KONBINATUAK BERREKETEKIN?

Egin eragiketa hau.

LEHENA. Kako artean dauden eragiketak egiten dira.

BIGARRENA. Berreketak kalkulatzen dira.

HIRUGARRENA. Eragiketak egiten dira, hierarkia errespetatuz.

16

49

5

364

80

14764

9 488

147⋅−

− =

−− =

.

7

4

3

5

1

8

2 1

⋅−

−

− −

=

⋅−

− =

−2 2 1

24

7

5

38

16

449

5

364⋅

−

−

5

2

3

4

3

5

17

82

2 1

−

⋅−

− −

− −

=

⋅−

− −2 27

4

3

5

−− −

−

1 21

8

5

2

3

4

3

5

17

82

2 1

−

⋅−

− −

− −

−2

62

Adierazi zein berdintza diren zuzenak, eta idatzi emaitza zuzena berdintza

okerretan.

a) c)

b) d)

a) Okerra → a6 ⋅ b−8 ⋅ c8 1

b) Okerra →

c) Okerra → 3 ⋅ 2 ⋅ 5

d) Zuzena →

Adierazi zenbaki hauek idazkera zientifikoan eta idatzi bakoitzaren magnitude-

ordena.

a) 15.000.000.000 e) 4.598.000.000

b) 0,00000051 f) 0,0967254

c) 31.940.000 g) 329.000.000

d) 0,0000000009 h) 111.000

a) 1,5 ⋅ 1010→ Magnitude-ordena: 10

b) 5,1 ⋅ 10−7→ Magnitude-ordena: −7

c) 3,194 ⋅ 107→ Magnitude-ordena: 7

d) 9 ⋅ 10−10→ Magnitude-ordena: −10

e) 4,598 ⋅ 109→ Magnitude-ordena: 9

f) 9,67254 ⋅ 10−2→ Magnitude-ordena: −2

g) 3,29 ⋅ 108→ Magnitude-ordena: 8

h) 1,11 ⋅ 105→ Magnitude-ordena: 5

Garatu idazkera zientifikoan adierazitako zenbaki hauek.

a) 4,8 ⋅ 108 e) 6,23 ⋅ 10−18

b) 8,32 ⋅ 10−11 f) 3,5 ⋅ 10−12

c) 5,659 ⋅ 10−6 g) 2,478 ⋅ 1015

d) 7,925 ⋅ 109 h) 1,9385 ⋅ 10−7

a) 480.000.000 e) 0,00000000000000000623

b) 0,0000000000832 f) 0,0000000000035

c) 0,000005659 g) 2.478.000.000.000.000

d) 7.925.000.000 h) 0,00000019385

053

l

052

l

−

=

2

3

2

3

6 6

≠⋅ ⋅

1

3 2 5

1

33

1

33

2

3

5

2 3 5

⋅ ⋅

−

= −

−

− − + == − ≠3 14

≠

−

=

−−

2

3

2

3

23

2

3

1

33

1

31

2

3

5

⋅ ⋅

−

=

−

−

3 2 5

3 2 5

1

3 2 5

3 4 2

4 5 3

− − −

− − −

⋅ ⋅

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

a b c

a b c

3 4 4

3 4 41

⋅ ⋅

⋅ ⋅=

−

− −

051

ll


63

2

Adierazi zein zenbaki dauden idazkera zientifikoan idatzita.

a) 54 ⋅ 1012 e) 7,2 ⋅ 10−2

b) 0,75 ⋅ 10−11 f) 0,5 ⋅ 1014

c) 243.000.000 g) 0,01 ⋅ 10−30

d) 0,00001 h) 18,32 ⋅ 104

Bakarrik dago idatzita idazkera zientifikoan e) ataleko zenbakia: 7,2 ⋅ 10−2.

Egin eragiketak.

a) 1,32 ⋅ 104+ 2,57 ⋅ 104

b) 8,75 ⋅ 102+ 9,46 ⋅ 103

c) 3,62 ⋅ 104+ 5,85 ⋅ 10−3

d) 2,3 ⋅ 102+ 3,5 ⋅ 10−1

+ 4,75 ⋅ 10−2

e) 3,46 ⋅ 10−2+ 5,9 ⋅ 104

+ 3,83 ⋅ 102

a) 3,89 ⋅ 104 d) 2,303975 ⋅ 102

b) 1,0335 ⋅ 104 e) 5,93830346 ⋅ 104

c) 3,620000585 ⋅ 104

Kalkulatu.

a) 9,5 ⋅ 104− 3,72 ⋅ 104

b) 8,6 ⋅ 103− 5,45 ⋅ 102

c) 7,9 ⋅ 10−4− 1,3 ⋅ 10−6

d) 4,6 ⋅ 106+ 5,3 ⋅ 104

− 3,9 ⋅ 102

e) 5 ⋅ 102− 3 ⋅ 10−1

+ 7 ⋅ 10−2

a) 5,78 ⋅ 104 d) 4,65261 ⋅ 106

b) 8,055 ⋅ 103 e) 4,9977 ⋅ 102

c) 7,887 ⋅ 10−4

Egin eragiketak.

a) 7,3 ⋅ 104⋅ 5,25 ⋅ 10−3 c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102

b) 8,91 ⋅ 10−5⋅ 5,7 ⋅ 1014 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103

a) 3,8325 ⋅ 102 c) 1,5456 ⋅ 104

b) 5,0787 ⋅ 1010 d) 2,9688 ⋅ 10−9

Sinplifikatu.

a) b)

a) 5,448 ⋅ 10−3

b) 5,567 ⋅ 10−8

3 92 10 5 86 10

7 10 9 2 10

4 6

8 13

, ,

,

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

−

−

6 147 10 4 6 10

7 9 10 6 57 10

2 3

8 5

, ,

, ,

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

−

−

058

ll

057

l

056

l

055

l

054

ll

ERANTZUNAK

64

Kalkulatu erroketa hauen zenbakizko balioa, ahal bada.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

a) ±3 d) −10 g) ±5

b) 2 e) Ezin da h) ±6

c) −3 f) −6 i) −2

Adierazi zein den erroketa bakoitzaren errotzailea eta errokizuna. Ondoren,

adierazi zatikizko berretzailea duten berreketa gisa.

a) c) e)

b) d) f)

a) Indizea: 6, errokizuna: 3 →

b) Indizea: 7, errokizuna: −3 →

c) Indizea: 9, errokizuna: 5 →

d) Indizea: 5, errokizuna: −2 →

e) Indizea: 2, errokizuna: 33 →

f) Indizea: 4, errokizuna: 25 →

Adierazi erroketak berreketa gisa eta berreketak erroketa gisa.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

Erroketen artean, zein dira baliokideak?

Hauek dira baliokideak:

3 325 410=

2 2 2 234 68 912 1520= = =

2 3 7 2 7 3 2 2 334 25 23 68 412 410 912 1520 210, , , , , , , eta

062

l

7

5

65

7

426

3

2

51027523

2

5

373534

756574

2

1

6

32510

2

75

2

3

2537

3

53

1

4

061

l

25

1

4

33

1

2

( )−2

1

5

5

1

9

( )−3

1

7

3

1

6

254−25

−37

335936

060

l

−1287−2163

−273

1 2964 .−2564325

6254−100 0005 .814

059

l


65

2

Atera biderkagaiak erroketetatik.

a) d)

b) e)

c) f)

a) d)

b) e) 23a2b4

c) f) 2ab2

Atera biderkagaiak erroketetatik.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

a) d) g) 10

b) e) h)

c) f) i) 4 535 35 2

2 532 33 2

7 22 2

32037550

4031218

1 0003 .988

065

ll

064

2 34a a

abc b2 23

ab a2 52 23

a a

22 2 4a b24 74

a

26 4 8a ba b c

3 5 63

a b6 105

23 53a

063

ll

ERANTZUNAK

EGIN HONELA

NOLA ATERATZEN DIRA ERROTZAILE BATEN FAKTOREAK ERROKIZUNA FAKTORE LEHENETAN

DESKONPOSATUZ?

Sinplifikatu errotzailea.

LEHENA. Errokizuna faktorizatzen da.

10.800 = 24 ⋅ 33 ⋅ 52

BIGARRENA. Errotzailea berretzaile zatikiarreko berreketa gisa adierazten da.

HIRUGARRENA. Berretzaileen zatikiren bat ez-jatorra bada, zenbaki oso baten eta za-

tiki baten batuketa gisa jartzen da.

LAUGARRENA. Berreketen biderkadura gisa adierazten da, eta errotzaile bihur-

tzen da berriz.

2 3 5 2 2 3 5 2 2 31

1

3

2

3

1

3

2

3 3+

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 55

6 2 5 6 50

23

23 3

=

= ⋅ ⋅ =

2 3 5 2 3 5

4

3

3

3

2

31

1

3 1

2

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+

10 800 2 3 5 2 3 53 4 3 2

1

3

4

3

3

3

2

3. ( )= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

10 8003 .

66

Sinplifikatu erroketak.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

Sartu biderkagaiak erroketetan.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i)

Sartu biderkagaiak erroketetan, ahal bada.

a) c) e)

b) d) f)

a) c) e)

b) Ezin da d) f)

Egin eragiketak.

a) c)

b) d)

a) b) c) d) 13 25− 25

4 2 3 18+17 2 9 8−

3 5 20−− +4 5 5 5

069

l

− 8 4 73a b− a

73

32 3 5

24

a b

c

3

2a

4

2

2a a−

−2 2 3ab ab−a a

2 35 2+

4

8

2

4ab

c

c b

a

2 3

8a

aa

a

a

4 1

2

−

068

ll

18

1253

1

3243 6455 .

5233

841 2804 .

56318

25403

3

5

2

33

1

2

1

243 155

51

53

1

2644 204

2 733

522 53

067

ll

262 2232 224

52 253 23

33 32 23

4123231284

62581285543

27627163

066

ll


67

2

Egin eragiketak.

a)

b)

c)

a)

b)

c)


a) c) e) g)

b) d) f) h)

a) c) e) g)

b) d) f) h)

Kalkulatu.

a) d)

b) e)

c) f)

a) d)

b) e)

c) f)


a) c)

b) d)

a) 3 − 2 = 1 c) 36 ⋅ 7 − 5 = 247

b) 50 − 9 = 41 d) 4 ⋅ 5 − 10 = 10

2 5 10 2 5 10−( ) ⋅ +( )5 2 3 5 2 3−( ) ⋅ +( )

6 7 5 6 7 5+( ) ⋅ −( )3 2 3 2+( ) ⋅ −( )

073

l

16 15 14 6−− +5 3 5 2

− −12 5 36 73 5 3 7−

− +35 3 56 22 2 2 3+

8 5 7 2 2 3−( ) ⋅− ⋅ −( )5 3 2

− −( ) ⋅3 5 9 7 43 5 7⋅ −( )

5 3 8 2 7−( ) ⋅ −( )2 2 3⋅ +( )

072

l

1

212

2

7

8

5207542 6

1

526

1

362 34 312

⋅6

2 24 3:4 75 4:3 54 ⋅3 8⋅

5 56 :3 33 :2 33 4⋅2 3⋅

071

l

24 214

52 21 2

211

523 3 3 3

− + =

8 2 35 2 8 2 28 2 9 2− + + =

10 3 21 3 9 35

23

39

23+ − − =

12 163

5128 7 543 3 3− +

4 8 7 508

318 4 98− + +

5 12 7 27 2431

275+ − −

070

l

ERANTZUNAK

68

Kalkulatu eta sinplifikatu.

a)

b)

c)

a)

b)

c)


a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

Kalkulatu.

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d) ab a b a b a b6 36 4 26 23⋅ = =

2 2 23 9 1215 10 5 1015 7 4 215a b a b a b: − −=

3 2 72 722 4 26 3 3 96 7 116 56a b a b a b ab ab⋅ = =

a a a

3

4

5

3

4

6

37

12 3712+ +

= =

ab a b3 3⋅

2 43 45 23a b ab:

3 223 3a b ab⋅

a a a34 53 46⋅ ⋅

076

ll

= + − −35 6 14 2 15 3 6

7 5 2 3 7 2 2 3 5 3 3 2⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

= − + −175 21 30 20 5 12 6

7 5 5 5 7 3 5 6 4 5 5 4 3 6⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

= − + −10 7 4 14 15 2 12

2 5 7 2 2 7 2 3 5 2 3 2 2 2⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ =

3 4 2 2 3 3 2 5 4 2 3 5 39 29 2⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = −

7 2 3 5 3 2−( ) ⋅ +( )

7 5 4 5 5 3 6+( ) ⋅ −( )

2 7 3 2 5 2 2+( ) ⋅ −( )

3 2 5 4 2 3−( ) ⋅ −( )

075

ll

16 6 4 2 4 6 2 16 6 4 2 4 6 2 32 3⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅( )− ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅( ) = −

9 2 1 2 3 2 9 2 1 2 3 2 12 2⋅ + + ⋅ ⋅( )− ⋅ + − ⋅ ⋅( ) =

4 5 9 2 2 2 3 5 2 4 5 9 2 2 2 3 5 2 146⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( )+ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅( ) =

4 6 2 4 6 22 2

−( ) − +( )

3 2 1 3 2 12 2

+( ) − −( )

2 5 3 2 2 5 3 22 2

−( ) + +( )

074

ll


69

2

Egin eta sinplifikatu.

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c) (9 − 5) + (4 − 80) = −72

d)

Egin eragiketak eta adierazi berreketa gisa.

a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)

Idatzi erroketak zatikizko berretzailea duten berreketa gisa.

a) d) g)

b) e) h)

c) f) i) a

3

4a

3

2a

a

a

2

4

1

4=

a

5

4a

−1

2a a a a343 712

7

12= =

a

−1

4a

−1

3a

3

4

079

ll

2 3 2 3415

4

15= ⋅

2 2 2 226 8 8 324

11

24⋅ = =+

3 3 3210 510

7

10⋅ =

5 5 526 366

5⋅( ) =

8 81533 3 35 25⋅

2 223 ⋅5 536

⋅( )

078

ll

= −110 8 35

3 5 16 7 3 5 3 5 4 21 4 21 4 35 4 35− + ⋅ − + + − − − =

4 4 3 3 4 3 4 3 6+ +( )− − = −( )

= −27 2 4 3

10 6 3 2 3 30 2 10 3 3 12 18+( ) ⋅ −( ) = − + − =

3 5 4 7 3 5 4 7+ −( ) ⋅ − +( )

3 5 3 5 2 4 5 2 4 5+( ) ⋅ −( ) + −( ) ⋅ +( )

2 3 2 3 2 32

+( ) − +( ) ⋅ −( )

5 2 3 2 3 2 3+( ) ⋅ ⋅ −( )

077

ll

ERANTZUNAK

70

Adierazi erroketa bakar baten bidez.

a) c) e)

b) d) f)

a) c) e)

b) d) f)

Arrazoitu zuzenak ala okerrak diren berdintza hauek.

a) e)

b) f)

c) g)

d) h)

a) → Okerra.

b) → Okerra.

c) Okerra, n = 1 denean izan ezik. Eta hori frogatzeko, a, b eta n-ren edozein

balio erabiltzen da.

d) → Okerra, n = m denean izan ezik.

e) Okerra, gaiak karratura jasotzen baditugu:

f) → Zuzena.

g) → Okerra.

h) → Okerra, a = 1 denean izan ezik.

Arrazionalizatu izendatzaileak eta sinplifikatu.

a) b) c) d)

a) c)

b) d)−

⋅=−3 7

7 7

3 7

7

34

4 34

34−

⋅=−

⋅=−5 5

2 5 5

5 5

2 5

5

2

4 3

3 3

4 3

3

35

25 35

35

⋅=

6

6 6

6

6⋅=

−6

2 74

4

325

−5

2 5

1

6

082

l

a b c a b a c ab ac+ = + +2 2Þ

a b a b a b a b8 24 4 2= = Þ

a a a b a a b a ab⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =2

a b a b a b ab a b2 2

22 2 2 2 22+( ) = + + + = +Þ ( )

a b a b a bmn n mn m mn= Þ

a b a b a b abn m mn m nm n m nn m n m⋅ = ⋅ = ⋅ +· · ·

Þ

a b a b a b abn m mn m nm n m nn m n m⋅ = ⋅ = ⋅· · · ·

Þ

a b c ab ac+ = +a b a bmn mn= ⋅( )

a b a b8 24

=a b a bn n n+ = +

a a a b a a b⋅ ⋅ ⋅ = ⋅a b a bn m n m⋅ = ⋅

+

a b a b2 2+ = +a b ab

n m n m⋅ =

⋅

081

ll

1

54

1

2438

2122

22

3

26 12=3 5 45210 10⋅ =

1

5

1

23

2432

233 5

5

080

ll


71

2


a) c)

b) d)

a)

b)

c)

d)


a) d)

b) e)

c) f)

a)

b)

c)

d)

e)

f)8 10 6

5 10 6 10 6

8 10 8 6

20

2 10 2 6

5

⋅ +( )

⋅ −( ) ⋅ +( )=

+=

+

− ⋅ −( )

+( ) ⋅ −( )=− +

−= −

5 6 7

6 7 6 7

5 6 5 7

15 6 5 7

7 11 3

11 3 11 3

7 11 21

2

⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )=

+

4 2 3 2 5

3 2 5 3 2 5

24 4 10

13

⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )=

+

− ⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )=− −

−= +

5 3 2

3 2 3 2

5 3 10

15 3 10

2 1

2 1 2 12 1

−

+( ) ⋅ −( )= −

8

5 10 6−( )4 2

3 2 5−

−

+

5

6 7

−

−

5

3 2

7

11 3−

1

2 1+

084

ll

6 6 6 6

6 6

36 6 6

66 6

−( ) ⋅

⋅=

−= −

7 5 3

3 3

7 3 5 3

3

34

4 34

34 2 34+( ) ⋅

⋅=

+ ⋅

5 3 4 3

3 3

5 3 4 3

3

3

23 3

56 3−( ) ⋅

⋅=

−

1 2 2

2 2

2 2

2

−( ) ⋅

⋅=

−

6 6 6

6

−5 3 4

323

−

7 5

34

+1 2

2

−

083

ll

ERANTZUNAK

72

Arrazionalizatu.

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

086

=−

−=

23 2

232

3 6 2 2 2 3 3

2 3 3 2 3 3

6 6 27 2 4 2 6 6

23

+( ) ⋅ −( )

+( ) ⋅ −( )=

− + −

−==

5 6 2 2

3 2 2

10 3 2

6

5 3 1

3

−( ) ⋅

⋅=

−=

−

4 3 7 3

2 3 3

12 21

6

+( ) ⋅⋅

=+

1

9

1

3=

3 6 2 2

2 3 3

+

+

5 6 2

18

−

4 3 7

12

+

1

3 6+

085

ll


EGIN HONELA

NOLA EBAZTEN DIRA IZENDATZAILEAN ERROTZAILEA DUTEN ZATIKIEN ERAGIKETAK?

Ebatzi:

LEHENA. Zatikiak arrazionalizatzen dira.

BIGARRENA. Eragiketa ebazten da.

10

3

6

2

30

33

30 3 3

3− = − =

−

6

2

6 2

2 2

12

2

4 3

2

2 3

23=

⋅

⋅= =

⋅= =

10

3

10 3

3 3

30

3=

⋅

⋅=

10

3

6

2−

73

2

Arrazionalizatu eta egin eragiketak.

a) b) c) d)

a)

b)

c)

d)


a) b)

a)

b)


a) c)

b)

a)

b)

c)− + +

−= =

3 3 4 3 25 3

10 3 3

26 3

9 3

26

9

6 2 3 2 12 2

8 2 2

3 2

9 2

1

3

+ −

+=−

=−

4 2

5

15 2

2

5 2

3 2

24 2 225 2 25 2

30

38 2

15− +

⋅=

− +=−

3 8 18 2 72

4 8 2

+ −

+

− + +

−

27 48 5 75

2 75 3

32

5

3 50

2

5

18− +

089

ll

=+

++

=+ + +10 10 5 30

2

45 9 3

22

110 10 55 30 45 9 3

22

5 5 8 6

8 6 8 6

9 5 3

5 3 5 3

⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )+

⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )=

= + − + = +3 3 3 2 2 3 2 2 3 5 2

3 3 2

3 2 3 2

2 3 2

3 2 3 2

⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )−

⋅ −( )

+( ) ⋅ −( )=

5 5

8 6

9

5 3−

+

−

3

3 2

2

3 2−

−

+

088

ll

10

10

2 3

2 3

3 10 10 3

30+

⋅=

+

9 7

7

6 8

8

9 7

7

3 2

2

18 7 21 2

14− = − =

−

3 3

3

5 2

23

5 2

2

2 3 5 2

2− = − =

−

2

2

5

5

5 2 2 5

10+ =

+

1

10

2

12+

9

7

6

8−

3

3

5

2−

1

2

1

5+

087

ll

ERANTZUNAK

Arrazionalizatu adierazpen hauek.

a) b)

a)

b)


a) Lurraren eta Ilargiaren arteko distantzia: 384.000 km.

b) Lurraren eta Neptunoren arteko distantzia:

4.308.000.000 km.

c) Elektroi baten diametroa: 0,0000000003 m.

d) Lurraren azalera: 150.000.000 km2.

e) Birus baten luzera (gripearena): 0,0000000022 m.

f) Protoiaren erradioa: 0,00000000005 m.

g) Estafilokoko baten pisua: 0,0000001 g.

h) Argi-urte bat: 9.460.000.000.000 km.

i) Ikus daitekeen unibertsoaren distantzia:

25.000 milioi argi-urte.

092

ll

=− ⋅

=− ⋅12 5 4 5 3

30

6 5 2 5 3

15

34 3 24 34 3 24

4 5

5 5 3 3

4 5

5 3 3

4 5 3 3

5 3

34

4 34

34 34

⋅ ⋅ +( )=

⋅ +( )=

⋅ −( )

⋅ + 33 3 3( ) ⋅ −( )=

=− ⋅ +4 3 2 12 3

3

4 36 6

=⋅ ⋅ −( )

⋅ +( ) ⋅ −( )=

⋅ −

−=

4 3 2 3

3 2 3 2 3

4 3 2 4 3

3

23 4 36 76

4 3

3 3 2 3

4 3

3 2 3

23

3 23

23⋅

⋅ ⋅ +( )=

⋅

⋅ +( )=

4

5 3 34 ⋅ +( )4

3 2 33 ⋅ +( )

091

ll

090 EGIN HONELA

NOLA ARRAZIONALIZATZEN DIRA MOTAKO IZENDATZAILEAK DITUZTEN ZATIKIAK?

Arrazionalizatu:

LEHENA. -z biderkatzen da.

BIGARRENA. Ateratzen den izendatzailearen konjokatuz biderkatzen da.

2

2 3

2 2 3

2 3 2 3

2 2 3

2 32

23 23 23

2−=

⋅ +( )

−( ) ⋅ +( )=

⋅ +( )

−= 223

2 3⋅ +( )

2

2 2 3

2 2

2 2 3 2

2 2

2 2 3

2

23

23

3 23

23 23

−( )=

⋅

−( ) ⋅=

⋅

−( )=

− 33

ann −1

2

2 2 33 −( )

a b cn +( )

74


75

2

a) 3,84 ⋅ 105 km d) 1,5 ⋅ 108 km2 g) 1 ⋅ 10−7 g

b) 4,308 ⋅ 109 km e) 2,2 ⋅ 10−9 m h) 9,4 ⋅ 1012 km

c) 3 ⋅ 10−10 m f) 5 ⋅ 10−11 m i) 2,5 ⋅ 1010 argi-urte

Informazio kantitatea neurtzeko

erabiltzen ditugun neurri-unitateak

hauek dira:

Byte = 23 bit

Kilobyte = 210 byte

Megabyte = 210 Kilobyte

Gigabyte = 210 Megabyte

Adierazi berreketa gisa eta idazkera zientifikoan informazio kopuru hauek, bit-

etan eta byte-tan.

a) 120 Gb-eko disko gogorra c) 1,44 Mb-eko diskete bat.

b) 512 Mb-eko memoria-txartela. d) 650 Mb-eko CD-ROMa.

a) 120 Gb = 120 ⋅ 230 byte = 1,2884901888 ⋅ 1010 byte =

= 1,03079215104 ⋅ 1011 bit

b) 512 Mb = 512 ⋅ 220 byte = 5,36870912 ⋅ 108 byte =

= 4,294967296 ⋅ 109 bit

c) 1,44 Mb = 1,44 ⋅ 220 byte = 1,509949 ⋅ 106 byte =

= 1,2079595 ⋅ 107 bit

d) 650 Mb = 650 ⋅ 220 byte = 6,815744 byte ⋅ 108=

= 5,4525952 ⋅ 109 bit

Plutonen masa Eguzkiarena bide 6,6 ⋅ 10−9 da. Eta Eguzkiaren masa Lurrarena

bider 3,3 ⋅ 106 da. Lurraren masa 6 ⋅ 1024 kg bada, kalkulatu Plutonen eta

Eguzkiaren masa.

Eguzkiaren masa: 6 ⋅ 1024⋅ 3,3 ⋅ 106

= 1,98 ⋅ 1031 kg

Plutonen masa: 1,98 ⋅ 1031⋅ 6,6 ⋅ 10−9

= 1,3068 ⋅ 1023 kg

Bakterio jakin batzuen populazioa bikoiztu egiten

da ordubetean.

Hasieran 8 ⋅ 1012 bakterio badaude:

a) Zenbat bakterio egongo da 3 ordura?

b) Eta 6 ordura?

c) Zenbat ordu igaro beharko dira 1,024 ⋅ 1015

bakterio egoteko?

a) 8 ⋅ 1012⋅ 23= 6,4 ⋅ 1013 bakterio

b) 8 ⋅ 1012⋅ 26= 5,12 ⋅ 1014 bakterio

c) 1,024 ⋅ 1015 : 8 ⋅ 1012= 128,

beraz, 2n= 128 → n = 7.

7 ordu igaro beharko dira.

095

ll

094

ll

093

ll

ERANTZUNAK

76

Zer luzera du kubo baten ertzak, bolumena 6 m3-koa bada? Adierazi emaitza

erroketa gisa.

Zer azalera du 9 cm3-ko bolumena duen kubo baten aurpegi batek? Adierazi

emaitza erroketa gisa eta berreketa gisa.

Kubo baten bolumena 20-cm3koa bada, kalkulatu ertzen arteko batura.

Aurreko ariketako datuak kontuan hartuta, kalkulatu kuboaren alboko aurpegien

azalera.

Orokortu aurreko ariketetako emaitzak, eta adierazi kubo baten ertzaren

balioa eta alboko aurpegien azalera bolumenaren mende.


a) 2−30 b) 5−10 c) 3−20 d) 7−15

a) 2−30= 0,000000000931322574615478515625 =

= 9,31322574615478515625 ⋅ 10−10

b) 5−10= 0,0000001024 = 1,024 ⋅ 10−7

c) 3−20= 2,8679719907924413133222572312408 ⋅ 10−10

d) 7−15= 2,1063444842276644111559866596517 ⋅ 10−13

Hausnartu eta erantzun.

a) Zein kasutan gertatzen da ?

b) Eta zein kasutan gertatzen da ?

a)

b) a a a> >, 1 denean.

a a a< < <, .0 1 denean

a a>

a a<

102

ll

101

ll

Aldeen azalera Bolumena= 6 23

Aurpegiaren azalera Bolumena=23

Ertza Bolumena Ertza Bolumena3 3= =→

100

ll

Alboko aurpegia cm= =6 20 12 5023 3 2

Aurpegiaren azalera cm= 2023 2

Ertza cm Ertza cm3 3 320 20= =→

099

ll

Ertzen batura cm= ⋅12 203

Ertza cm Ertza cm3 3 320 20= =→

098

ll

Aurpegiaren azalera m m= ⋅ = = =9 9 9 81 33 3 23 3 2

4

3 2

Ertza m Ertza m3 3 39 9= =→

097

ll

Ertza m Ertza m3 3 36 6= =→

096

ll


DBH4 2gaia

Documents

Transcript of DBH4 2gaia