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SCTM 2005Modulo I

Problemas de Localización

Dolores R. Santos Peñate

Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y GestiónUniversidad de Las Palmas de Gran Canaria

[email protected]

Marzo 2005

Dolores R. Santos Peñate Problemas de Localización

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Hi & Lois, en "Discrete Location Theory", Mirchandani y FrancisDolores R. Santos Peñate Problemas de Localización

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"location, location, location"

I http://www.entrepreneur.com/mag/article/0,1539,226855,00.htmlEl fundador de McDonald −→ "location, location, location"

I http://www.chooseenterprise.com/downloads/smallbuguide.docConrand Hilton −→ los tres factores más importantes paraconseguir el éxito de un hotel: "location, location, location"

http://www.pharmj.com/Editorial/20001007/comment/bs_location.htmlCharles Forte (Lord Forte) −→ sobre el éxito de sus hoteles:"location, location, location"

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I Euro Working Group on Locational Analysis (EWGLA)http://www.vub.ac.be/EWGLA/

I Grupo Español de Localización (GELOCA)http://www.um.es/geloca/

I Informs. Section on Locational Analysis (SOLA)http://www.ent.ohiou.edu/ thale/sola/sola.html

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Bibliografía

I Daskin, M.S. (1995) Network and discrete location. Models,algorithms, and applications.

I Drezner Z. Editor (1995) Facility location. A survey ofapplications and methods.

I Drezner, Z. and H.W. Hamacher (2002) Facility location.Applications and theory.

I Eiselt, H.A. and G. Laporte (1989) Competitive spatialmodels. EJOR 39, 231-242

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I Número de centros que deben ser instaladosI Lugares donde deben ser instalados los centrosI Características de los centrosI Asignación de la demanda a los centrosI Momento en que deben estar instalados los centros

Elementos implicados:localización ←→ asignación � elección ←→ transporte

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II Número de centros que deben ser instaladosI Lugares donde deben ser instalados los centrosI Características de los centrosI Asignación de la demanda a los centrosI Momento en que deben estar instalados los centros

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Instalaciones

preferible la proximidad a los usuarios[ escuelas, hospitales, supermercados ]

preferible el alejamiento de la población[ centrales nucleares ]

Objetivos:minisum � minimax � maximin[ privado � público � no deseado ]

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El problema de Weber

II "Determinar el punto (x , y) que minimiza la suma de lasdistancias euclídeas ponderadas entre ese punto y n puntosdados (ai , bi ), i = 1, ..., n."

min(x ,y)

{f (x , y) =

n∑i=1

widi (x , y)}

donde di (x , y) =√

(x − ai )2 + (y − bi )2.

I (ai , bi ) −→ localización de clientesI wi −→ coste de transporte por unidad de distancia desde el

punto de suministro al cliente i en (ai , bi )

I (x , y) −→ localización del punto de suministro

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I "Determinar el punto (x , y) que minimiza la suma de lasdistancias euclídeas ponderadas entre ese punto y n puntosdados (ai , bi ), i = 1, ..., n."

min(x ,y)

{f (x , y) =

n∑i=1

widi (x , y)}

(x − ai )2 + (y − bi )2.

I (ai , bi ) −→ localización de clientes

I wi −→ coste de transporte por unidad de distancia desde elpunto de suministro al cliente i en (ai , bi )

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min(x ,y)

{f (x , y) =

n∑i=1

widi (x , y)}

(x − ai )2 + (y − bi )2.

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min(x ,y)

{f (x , y) =

n∑i=1

widi (x , y)}

(x − ai )2 + (y − bi )2.

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El problema de Weber y el punto de Torricelli

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Modelos de cubrimiento y de los p centros

Cubrimiento total:Determinar el mínimo número de centros y su localización de maneraque todo punto de demanda esté cubierto por al menos un centro

Cubrimiento maximal:Determinar las localizaciones de un máximo de p centros de maneraque la demanda cubierta sea máxima

p-centros:Determinar el conjunto de las localizaciones de p centros que mini-miza el máximo de las distancias entre cada nodo de demanda y elcentro asignado

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Cubrimiento total: puntos de demanda � localizaciones candidatas� distancias nodos de demanda-localizaciones candidatas � distancia decubrimientoDeterminar: mínimo número de centros y su localización que cubren todala demanda [Pueden ser necesarios demasiados centros (coste alto)]

Cubrimiento maximal [relajar la restricción de cubrimiento total]:datos de cubrimiento total � número de centros p � demanda

Determinar: localizaciones de un máximo de p centros que maximizan lademanda cubierta

p-centros [relajar la distancia de cubrimiento] : nodos de demanda �localizaciones candidatas � distancias � número de centros p

Determinar: las localizaciones de los p centros de forma que toda lademanda sea cubierta y la distancia de cubrimiento sea mínima

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Modelo de las p medianas

p-medianas:puntos de demanda � localizaciones candidatas � distancias no-dos de demanda-localizaciones candidatas � demanda � número decentros pDeterminar las localizaciones de los p centros que minimizan la dis-tancia total de desplazamiento

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5 13 14

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Localidades A B C D E F G HA 0 18 32 12 26 7 25 34B 18 0 15 6 9 11 19 17C 32 15 0 20 6 25 20 12D 12 6 20 0 14 5 13 22E 26 9 6 14 0 19 14 8F 7 11 25 5 19 0 18 27G 25 19 20 13 14 18 0 20H 34 17 12 22 8 27 20 0

Table: Distancias

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Cubrimiento total (s=10)

5 13 14

Cubrimiento maximal (s=10,p=1)

5 13 14

1-centro [s=19]

5 13 14

1-mediana

5 13 14

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5 13 14

1-centro [s=19]

5 13 14

1-mediana

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5 13 14

1-centro [s=19]

5 13 14

1-mediana

5 13 14

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5 13 14

1-centro [s=19]

5 13 14

1-mediana

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5 13 14

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Cubrimiento maximal (s=10, p=1)

5 13 14

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1-centro [s=19]

5 13 14

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1-mediana

5 13 14

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Localización competitiva

Espacio:I continuoI en redesI discreto

Demanda:I DistribuciónI Elasticidad (inelástica �

elástica)I Regla de decisión

Objetivo: Maximizarbeneficios

Mercado:I Tipo de economíaI Problema del seguidorI Problema del líderI Abrir y cerrar centros

Variables de decisión:I Número de centros y

localizaciónI PreciosI Niveles de producciónI Propiedades del centroI Momento de entrada en el

mercadoDolores R. Santos Peñate Problemas de Localización

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Modelo líder-seguidor

Problema del seguidor

Existen p centros pertenecientes a una firma A (líder). Una firma B(seguidora) desea entrar en el mercado con r centros situándose enlas localizaciones que maximizan la demanda captada.

Problema del líderEl mercado está vacío. Una firma A (líder) desea entrar en el mercadocon p centros, situándose en las localizaciones que le proporcionan lamáxima demanda captada, suponiendo que una firma B (seguidora)entrará en el futuro comportándose como una seguidora.

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Espacio lineal

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Espacio discreto

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Modelo líder-seguidor. Parámetros.

I I = conjunto de puntos de demanda.I J = conjunto que contiene los puntos candidatos para instalar

un centro y los puntos donde ya existe centro.I X = subconjunto de J formado por los puntos donde están

ubicados los centros existentes.I wi = demanda en el punto i ∈ I .I dij = distancia entre el punto de demanda i (cliente i) y la

localización j .I µ= proporción de reparto en caso de empate.

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Modelo líder-seguidor. Variables de decisión.

I yj =

{1 si se instala un centro en j0 en otro caso.

I xi =

{1 si D(i , Y ) < D(i , X )0 en otro caso.

I zi =

{1 si D(i , Y ) = D(i , X )0 en otro caso.

donde, para i ∈ I y K ⊂ J, se define la distancia desde i alconjunto K , D(i , K ), de la forma:

D(i , K ) = min {d(i , j)/j ∈ K}.

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Problema del seguidor. Formulación.

max∑i∈I

wixi + µ∑i∈I

wizi (1)

sujeto a: ∑j∈J

yj = r (2)

xi + zi ≤ 1, ∀i ∈ I (3)

xi ≤∑j∈Ri

yj , ∀i ∈ I (4)

zi ≤∑j∈Ti

yj , ∀i ∈ I (5)

yj , xi , zi ∈ {0, 1}, ∀i ∈ I , ∀j ∈ J (6)

dondeRi = {j ∈ J : d(i , j) < d(i , X )}Ti = {j ∈ J : d(i , j) = d(i , X )}

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1 2 3 4

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Nodos 1 2 3 4 5 6 71 0 15 37 55 24 60 182 15 0 22 40 38 52 333 37 22 0 18 16 30 414 55 40 18 0 34 12 595 24 38 16 34 0 36 256 60 52 30 12 36 0 577 18 33 41 59 25 57 0

Demanda 15 10 12 18 5 24 11

Table: Distancias y demandas

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Modelo líder-seguidor (p = 1, r = 1)

líder en nodo 5 ⇒ seguidor en nodo 3 y captura demanda = 64líder en nodo 3 ⇒ seguidor en nodo 6 y captura demanda = 42

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