CUADRILÁTEROS -...

Cuadriláteros 1

CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos. ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes RECTÁNGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos. CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes. TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos. Los lados paralelos del trapecio se llaman bases. TRAPECIO ISÓSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paralelos congruentes. TEOREMA. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º

HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero

TESIS: 360º m DAB m ABC m BCD m CDA

1. Se traza la diagonal AC 1. definición de diagonal.

2. 180º m m m CDA 2. En ADC la suma de los ángulos interiores es 180º

3. 180º m m m ABC 3. En ABC la suma de los ángulos interiores es 180º

4. 360ºm m m CDA m m m ABC 4. Suma de 2 y 3

5. m( BCD)+m( DAB)+m( CDA)+m( ABC) = 360º

5. De 4. Adición de ángulos.

TEOREMA: En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo

TESIS: AB DC y AD BC

1. ABCD es un paralelogramo 1. De hipótesis

2. ;AB DC AD BC 2. De 1. Definición de paralelogramo

3. Se traza la diagonal AC . 3. Definición de diagonal

4. 1 4 4. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.

5. 3 2 5. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas

Cuadriláteros 2

6. AC AC 6. Propiedad reflexiva

7. ADC ABC 7. De 4, 5, 6. A – L – A

8. AD BC 8. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

9. AB DC 9. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.


AB DC y AD BC

TESIS: ABCD es un paralelogramo

1. Se traza la diagonal AC . 1. Definición de diagonal

2. ;AD BC DC AB 2. De hipótesis


4. ADC ABC 4. De 2 y 3. L – L – L

5. 3 2 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

6. AD BC 6. De 5. Por formar ángulos alternos internos congruentes

7. 4 1 7. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

8. AB DC 8. De 7.Por formar ángulos alternos internos congruentes.

9. ABCD es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo TEOREMA En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: DAB BCD y ADC ABC

1. DC AB y AD BC 1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes

2. AC AC 2. Propiedad reflexiva.

3. ADC ABC 3. De 1 y 2. L – L – L

4. ADC ABC 4. De 3. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

Para demostrar la otra parte trace la diagonal DB .

Cuadriláteros 3

TEOREMA: Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

HIPÓTESIS: ABCD es un cuadrilátero A C y D B

TESIS: ABCD es un paralelogramo

1. m( A) = m( C) 1. De hipótesis

2. m( B) = m( D) 2. De hipótesis

3. m( A)+m( B)+m( C)+m( D) = 360º 3. De hip. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°

4. 2m( A)+2m( B) = 360º 4. Sustitución de 1 y 2 en 3

5. 2m( A)+m( B) = 360º 5. De 4 factorización

6. m( A)+m( B) = 180º 6. De 5. Transposición de términos

7. AD BC 7. De 6. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas.

8. 2m( A)+2m( D) = 360º 8. De sustituir 1 y 2 en 3

9. 2m( A)+m( D) = 360º 9. Factor común

10. m( A)+m( D) = 180º 10. Álgebra

11. AB DC 11. De 10. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas.

12. ABCD es un paralelogramo 13. De 7 y 11. Definición de paralelogramo.

TEOREMA Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.


;DC AB DC AB

TESIS: ABCD es un paralelogramo.

1. DC AB 1. De hipótesis

2. DC AB 2. De hipótesis

3. DCA CAB 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas


5. ABC ADC 5. De 1, 3, 4. L – A – L

6. DAC ACB 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en

Cuadriláteros 4

triángulos congruentes.

7. AD BC 7. De 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes

8. ABCD es un paralelogramo. 8. De 2 y 7. Por tener los lados opuestos paralelos. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y congruentes. La demostración se deja como tarea. TEOREMA Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo.


AP PC y DP PB TESIS: ABCD es un paralelogramo

1. y DP PB AP PC 1. De hipótesis.

2. DPC APB 2. Opuestos por el vértice

3. DPC APB 3. De 1 y 2. L – A – L

4. DCP PAB 4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

5. DC AB 5. De 4. Por formar ángulos alternos internos congruentes.

6. DC AB 6. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

7. ABCD es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos.

TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo las diagonales se bisecan. La demostración se deja como tarea. COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES: 1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. 2. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de

rectas paralelas son congruentes 3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud 4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes 5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los

vértices. NOTA: El reciproco no se cumple

Cuadriláteros 5

EJERCICIOS RESUELTOS 1)

CD BA

Hallar x, y.

2) HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo

DM MC

2DC AD

TESIS: AM MB

1. 2

DCAD

1. De hipótesis

2. M es punto medio de DC 2. De hipótesis. Definición de punto medio

3. 2

DCDM MC

3. De hipótesis y de 2

4. DM MC AD 4. De 1 y 3. Ley transitiva

5. ADM es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles.

6. m( ) = m( ) 6. De 5. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes.

7. AD BC 7. De hipótesis. los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes

8. MC BC 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva.

9. MCB es isósceles. 9. De 8. Definición de triangulo isósceles.

10. m( ) = m( ) 10. De 9. La misma razón de 7.

11. m( D)+m( C) = 180º 11. Por ser ángulos consecutivos en un paralelogramo

12. m( ) + m( ) + m( D) = 180º 12. En el ADM los ángulos interiores suman 180º

13. 2m( )+m( D) = 180º 13. Sustitución de 6 en 12

14. m( ) + m( ) + m( C) = 180º 14. En elMCB la suma de los ángulos interiores es 180°

Cuadriláteros 6

15. 2m( )+m( C) = 180º 15. Sustitución de 10 en 14

16. 2m( )+m( D)+2m( )+m( C) =

360º

16. Adición de 13 y 15

17. 2m( )+2m( )+180º = 360º 17. Sustitución de 11 en 16

18. 2m( )+m( ) = 180º 18. De 17. Factor común y transposición de términos

19. m( )+m( ) = 90º 19. De 18. Algebra

20. m( )+m( AMB)+m( ) = 180º 20. Por formar un par lineal

21. 90º+m( AMB) = 180º 21. Sustitución de 19 en 20

22. m( AMB) = 90º 22. De 21. Transposición de términos

23. AM MB 23. De 22. Definición de perpendicularidad.

3) HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo

y DM AC BN AC

TESIS: DMBN es un paralelogramo.

1. AD CB 1. De hipótesis. Definición de paralelogramo

2. DAC BCA 2. Por ser alternos internos entre paralelas

3. y CNBDMA son rectángulos 3. De Hipótesis. Definición de triangulo rectángulo

4. AD BC 4. De hipótesis. Lados opuestos de un paralelogramo son congruentes.

5. CNBDMA 5. De 3, 2, 4. Por tener congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo.

6. DM BN 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

7. y DM AC BN AC 7. De hipótesis.

8. DM BN 8. De 7. Por ser perpendiculares a la misma recta.

9. DMBN es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes.

4)

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo.

DM y BN son bisectrices TESIS: DMBN es un paralelogramo

1. m ( ADC) = m ( ABC) 1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo

2. m ( ADM) = m ( NBC) 2. De hipótesis. Definición de bisectriz. Por ser mitades de ángulos congruentes y de 1

Cuadriláteros 7

3. NCB MAD 3. Por ser alternos internos entre paralelas

( AD BC )

4. AD BC 4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo

5. AMD BNC 5. De 2, 3, 4. A – L – A

6. DM BN 6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

7. AM NC 7. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

8. y AB DC AB DC 8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.

9. MAB DCN 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas

10. AMB CND 10. De 8, 9,7. L – A – L

11. MB DN 11. De 10. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

12. DMNB es un paralelogramo. 12. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos congruentes.

SECANTE Una secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas. TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P) Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante.

HIPÓTESIS:

m n s

AB BC

TESIS: DE EF

1. Por D se traza una paralela a r1, que corta

a n en G. O sea DG AB

1. Postulado de la paralela.

2. AD BG 2. De hipótesis.

3. ABGD es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo

4. AB DG 4. De 3. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.

5. Por E se traza una paralela a r1, que corta

a s en H. O sea EH BC

5. Postulado de la paralela

6. BE CF 6. De hipótesis.

7 BCHE es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Definición de paralelogramo

Cuadriláteros 8

8. BC EH 8. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo

9. AB BC 9. De hipótesis

10. EH DG 10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva.

11. ABG DGE 11. De 3. AB DE . Por ser ángulos

correspondientes entre paralelas. 12. ABG BCH 12. De hipótesis. Por ser ángulos

correspondientes entre paralelas

13. BC EH 13. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.

14. BCH EHF 14. De 13. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas

15. EHF DGE 15. De 11, 12, 14. Propiedad transitiva

16. 1DG r EH 16. De 1 y 5. Propiedad transitiva del

paralelismo 17. GDE HEF 17. De 16. Por ser ángulos correspondientes

entre paralelas.

18. DGE EHF 18. De 17, 15 y 10. A – L – A

19. DE EF 19. De 18. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes

CONSTRUCCIÓN: Dividir un segmento dado en 5 partes congruentes.

TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULO El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de ese lado.

HIPÓTESIS: M es punto medio de AC

N es punto medio de BC

TESIS:

1)

2)2

MN AB

ABMN

1. En MN existe un punto Q, tal

que MN NQ y unimos B con Q

1. Construcción

2. CN NB 2. De hipótesis. Definición de punto medio

Cuadriláteros 9

3. CNM QNB 3. Por ser opuestos por el vértice

4. CMN BQN 4. De 2, 1,3. L – A – L

5. C NBQ 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes

6. BQ AC 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes.

7. BQ AM 7. De 6 y de hipótesis. A – M – C

8. CM BQ 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes

9. CM MA 9. De hipótesis. Definición de punto medio

10. BQ MA 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva

11. ABQM es un paralelogramo 11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos y congruentes.

12. MQ AB 12. De 11. Definición de paralelogramo

13. MN AB 13. De hipótesis M – N – Q

14. MQ AB 14. De 11. Por ser lados opuestos de un paralelogramo

15. MN NQ 15. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

16. 2

MQMN

16. De 15. N es punto medio de MQ .

17. 2

ABMN

17. Sustitución de 14 en 16.

TEOREMA Una recta paralela a un lado de un triángulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado.

HIPÓTESIS: MN AB

M es punto medio de AC

TESIS: N es punto medio de BC

1. Por N se traza una paralela a AM ,

corta a AB en D.

1. Construcción

2. MN AD 2. De hipótesis, de 1. A – D – B

3. ADNM es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo

4. CM MA ND 4. De hipótesis y de 2. Lados opuestos de

un paralelogramo son s 5. B MNC 5. De hipótesis. Por ser ángulos

correspondientes formados por rectas paralelas

6. C DNB 6. De 1. Por ser ángulos correspondientes

Cuadriláteros 10

formados por rectas paralelas

7. MNC DBN 7. De 4, 5, 6. L – A – A

8. CN NB 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

9. N punto medio de BC . 9. De 8. Definición de punto medio.

DEFINICIÓN: El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama base media. TEOREMA DE LA BASE MEDIA La base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida la semisuma de las medidas de las bases del trapecio.

HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con

y F son puntos medios de los lados no paralelos

DC AB

E

TESIS:

1.

2.2

EF AB DC

AB DCEF

1. DF corta a AB en P 1. Construcción

2. DFC BFP 2. Por ser opuestos por el vértice

3. C FBP 3. De hipótesis. Por ser alternos internos entre paralelas

4. CF FB 4. De hipótesis. F es punto medio de CF

5. DCF PBF 5. De 2, 3 y 4. A – L – A

6. DF FP 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes.

7. F es punto medio de DP 7. De 6. Definición de punto medio

8. E es punto medio de AD 8. De hipótesis.

9. EF AP 9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el triangulo ADP.

10. EF AB 10. De 9 y 1. A – B – P

11. AB DC 11. De hipótesis

12. EF AB DC 12. De 10 y 11. Propiedad transitiva

13. 2

APEF

13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en un triangulo.

14. 2

AB BPEF

14. De 13. Adicion de segmentos

15. BP DC 15. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes

Cuadriláteros 11

16. 2

AB DCEF


TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media) Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases, esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo.

HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB

M es punto medio de AD

MN AB DC

C – N – B

TESIS: N es punto medio de BC .

1. M es punto medio de AD 1. De hipótesis

2. AM MD 2. De 1. Definición de punto medio

3. MN AB DC 3. De hipótesis

4. BN NC 4. De 3 y 2. Por el teorema fundamental del paralelismo

5. N es punto medio de BC 5. De hipótesis y 1.

TEOREMA En un trapecio isósceles los ángulos de la base son congruentes.

HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio isósceles con

AD BC TESIS: A B

1. Se trazan y DH AB CE AB 1. Construcción auxiliar

2.DH CE 2.De1, por ser perpendiculares a la misma recta.

3. DC AB DC HE 3.De hipótesis, definición de trapecio

4. DHEC es un paralelogramo 4.De 3 y 2, definición de paralelogramo

5. DH CE 5.De 4, en un paralelogramo los lados opuestos son congruentes

6. AD BC 6.De hipótesis

7. y CEBDHA son rectángulos 7.De 1, definición de triangulo rectángulo

8. CEBDHA 8.De 7, 6 y 5, cateto-hipotenusa

9. A B 9.De 8, por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

Cuadriláteros 12

TEOREMA El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los vértices. O de otra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.

HIPÓTESIS: Triangulo ABC es rectángulo

M es el punto medio de la hipotenusa CB

TESIS: 1)AM MB MC

2)2

BCAM

1. Por M se traza una paralela a AB , que

corta a AC en N

1. Construcción

2. N es punto medio de AC 2. De 1. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un lado, cortara al otro lado en su punto medio.

3. m( CNM) = m( CAB) = 90º 3. De hipótesis y de 1. Por ser correspondientes entre paralelas

4. MN es altura 4. De 3. Definición de altura.

5. CMA es isósceles. 5. De 1 y 4. Una mediana es altura.

6. AM MC 6. De 5. Definición de triangulo isósceles.

7. MC MB 7. De hipótesis. Definición de punto medio.

8. 2

BCAM MC MB

8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M es punto medio.

TEOREMA Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que G está a 2/3 de cada vértice.

HIPÓTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G

TESIS:

2

3

2

3

AG AM

BG BN

1. M y N son puntos medios de y BC AC 1. De hipótesis. Definición de mediana

2. ;2

ABNM AB NM

2. De 1. Teorema de la paralela media en

ABC

3. Sean P y Q los puntos medios de

y AG BG respectivamente.

3. Todo segmento tiene un punto medio

Cuadriláteros 13

4. ;2

ABPQ AB NM

4. De 3. Teorema de la paralela media en triangulo AGB

5. NM PQ

NM PQ

5. De 2 y 4. Propiedad transitiva

5. NPQM es un paralelogramo 6. De 5. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes.

6. PG GM 7. De 6. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio

7. PG AP 8. De 3. Definición de punto medio

8. AP PG GM 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva

9. 1

3AP PG GM AM

10. De 9. Definición de fracción

10. 2

3AP PG AM

11. De 10. Aritmética.

11. 2

3AG AM

12. De 11. Adición de segmentos.

De la misma forma se demuestra que BG = 2/3 BN

RESUMEN DE CUADRILÁTEROS

Paralelogramos

1. Lados opuestos congruentes 2. Ángulos opuestos congruentes 3. Ángulos consecutivos suplementarios 4. Las diagonales se bisecan

Cuadrado

1. Diagonales congruentes 2. Diagonales perpendiculares 3. Las diagonales son bisectrices 4. Las diagonales se bisecan

Rectángulo

1. Las diagonales se bisecan 2. Las diagonales son congruentes

Rombo

1. Diagonales se bisecan 2. Diagonales son perpendiculares 3. Diagonales son bisectrices

Cuadriláteros 14

Trapecio isósceles 1. Los lados no paralelos son congruentes 2. Los ángulos de las bases son congruentes 3. Al trazar las alturas se generan triángulos rectángulos congruentes.

EJERCICIOS RESUELTOS DE CUADRILÁTEROS

1)

HIPÓTESIS: ABC es isósceles con CA CB

E, D, F son puntos medios. TESIS: DECF es un rombo

1. A B 1. De hipótesis, en un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes

2. AD DB 2. De hipótesis, definición de punto medio

3. CA CB 3. De hipótesis.

4. AE BF 4. De 3 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes

5. AED BDF 5. De 4, 2 y 1 L - A – L

6. DE DF 6. De 5, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

7. DE BC CF 7. Teorema de la paralela media en un triángulo.

8. DF AC CE 8. Teorema de la paralela media en un triángulo.

9. DECF es un paralelogramo

9. De 7 y 8, por tener los lados opuestos paralelos

10. DE CF 10. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo

11. DF CE 11. De 9, por ser lados opuestos de un paralelogramo

12. DF CE CF DE 12. De 6, 10 y 11, por la propiedad transitiva de la congruencia

13. DECF es un rombo 13. De 9 y 12, definición de rombo.

2) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal.


M es punto medio de DC

N es punto medio de AB A – P – M; C – Q – N

TESIS: DP PQ QB

Cuadriláteros 15

1. DC AB 1. De hipótesis definición de paralelogramo

2. MC AN 2. De 1 y de hipótesis D – M – C y A – N – B

3. DC AB 3. De hipótesis, por ser lados opuestos de un paralelogramo

4. 2

DCMC

4. De hipótesis, definición de punto medio.

5. 2

ABAN

5. De hipótesis, definición de punto medio.

6. 2

DCAN


7. MC AN 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva

8. ANCM es un paralelogramo 8. De 7 y 2, por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos.

9. MA CN 9. De 8. Por ser lados opuestos de un paralelogramo

10. MP CQ 10. De 9 y de hipótesis A – P – M; C – Q – N

11. En CQD : P es punto medio

de DQ

11. De hipótesis y de 10. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a un lado del triángulo, pasa por el punto medio del otro lado.

12. DP PQ 12. De 11, definición de punto medio.

Continuar con la demostración, pero ya analizando el triángulo PBA.

3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro.

HIPÓTESIS: BE y AD son bisectrices y se cortan en I. TESIS: I es un punto de la bisectriz de ACB

Cuadriláteros 16

1. IP IR 1. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo

2. IR IQ 2. De hipótesis, un punto de la bisectriz de un ángulo equidista de los lados del ángulo

3. IP IQ 3. De 1 y 2, propiedad transitiva

4. I es un punto de la bisectriz de ACB

4. De 3, por equidistar de los lados del ángulo.

4)

1. DM AB EH 1. De hipótesis, teorema de la paralela media

2. DEHM es un trapecio 2. De 1, definición de trapecio 3. CHB es un triángulo rectángulo 3. De hipótesis, definición de altura y de triangulo

rectángulo

4. 2

CBHM

4. De 3, en un triángulo rectángulo la mediana a la hipotenusa mide la mitad de esta

5. 2

CBDE

5. De hipótesis, teorema de la paralela media

6. HM DE 6. De 4 y 5, propiedad transitiva

7. DEHM es un trapecio isósceles 7. De 6 y 2, definición de trapecio isósceles.

Cuadriláteros 17

PROPOSICIONES DE VERDADERO – FALSO: 1. Un triángulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. ( ) 2. Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triángulo isósceles es

paralela a la base. ( ) 3. La mediana de un triángulo es perpendicular a la base. ( ) 4. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios 5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas ( ) 6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas

de ángulos alternos internos. ( ) 7. En un triángulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la

medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de 30º ( )

8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulos interiores del mismo lado de la transversal son complementarios. ( )

9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. ( ) 10. Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. ( ) 11. Las diagonales de un paralelogramo son congruentes. ( ) 12. Las diagonales de un rectángulo son congruentes, ( ) 13. Un rectángulo es un paralelogramo. ( ) 14. Un paralelogramo es un rectángulo ( ) 15. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un

cuadrado. ( ) 16. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las

bases. ( ) 17. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se

bisecan mutuamente. ( ) 18. La base media de un trapecio biseca a las diagonales ( ) 19. Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectángulo

forman un rombo. ( ) 20. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. ( ) 21. Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son

perpendiculares.( )

EJERCICIOS

1. AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m ( B) = 120º, hallar m ( BAC).

2. En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m ( B). Hallar m( A )

3. En el triángulo ABC. AD DB (A – D – B), m( C) = 90º, m ( B) = 30º. AC = 35 cm.

Hallar BD y la mediana CD 4. ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos.

Cuadriláteros 18

5. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo

DE es bisectriz de ADC

BF es bisectriz de ABC

TESIS: DE FB

6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles.

7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo.

8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares.

9. HIPÓTESIS: SRQT es un paralelogramo

QL es la bisectriz de TQR

SM es la bisectriz de TSR

TESIS: SLQM es un paralelogramo.

10. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en E.

TESIS: E es el punto medio de FG

11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtiene

un paralelogramo. 12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo

forman un rombo. 13.

Cuadriláteros 19

14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio, biseca a la base media del trapecio.

15. HIPÓTESIS: M y N son puntos medios de las bases del trapecio. E y F son los puntos medios de los lados no paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales.

TESIS:

1)

2)

3) es punto medio de PQ

EP QF

ES SF

S

16.

HIPÓTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA CB

D, E, F son puntos medios TESIS: CDEF es un rombo

17. HIPÓTESIS; ELMN es un cuadrilátero A, B, C, D son puntos medios de los lados del Cuadrilátero.

TESIS: y CA DB se bisecan mutuamente.

18. HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo

P es el punto medio de AD

Q es el punto medio de BC

TESIS: AR RS SC

19. Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero,

entonces el cuadrilátero es un rombo. 20.

Cuadriláteros 20

21

22.

HIPÓTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto

medio de medio de BC . AH HR y BG GS

TESIS: 1)

2)

S C R

CR CS

AYUDA: Trazar BR y AS

23. En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que

el triángulo APB es isósceles.

24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de

BD . AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un

paralelogramo.

25.

HIPÓTESIS: es mediana

E y F son puntos medios

CD

TESIS: M es punto medio de y CD EF

AYUDA: Trazar los segmentos DF y ED.

Cuadriláteros 21

26.

ABCD es un rectángulo. F es punto medio de AD y E es

punto medio de DC , se traza la diagonal DB que corta a

FE en G. Demostrar que G es punto medio de FE

AYUDA: Trazar la diagonal AC

27.

ABCD es un rombo de lado 20 centímetros. Se traza AN AD ,

AN corta a la diagonal DB en M y al lado BC en N, si

5 3MN AM , hallar BN.

28.

ABCD es un paralelogramo, hallar el valor del

ángulo alfa

Cuadriláteros 22

29. En el triángulo ABC, D es el punto medio de AC , y 10E B AB . Calcular la

longitud de ED

Algunos ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise De Internet

Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

Cuadriláteros 23

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILÁTEROS


DE es bisectriz de ADC

BF es bisectriz de ABC A – E – B ; D – F – C

TESIS: DE FB

1. ( )

( 1)2

m ADCm

1. De hipótesis. Definición de bisectriz

2. ( )

( 2)2

m ABCm


3.m( ADC)=m( ABC) 3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo

4. ( )

( 2)2

m ADCm


5. m( 1) = m( 2) 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva.

6. C A 6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo

7. 3 4 7. De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo del segundo.

8. DC AB 8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos

9. 4 5 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas

10. 3 5 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.

11. DE FB 11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes

Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles.

HIPÓTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB

A B TESIS: ABCD es un trapecio isósceles

1. Se trazan las alturas DH y

CE

1. Construcción auxiliar

2. DH CH 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB

3. DC HE 3. De hipótesis. DC AB

4. HECD es un paralelogramo 4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo.

5. DH CE 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.

6. A B 6. De hipótesis.

7. DHA CEB 7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un cateto y un ángulo agudo congruentes.

Cuadriláteros 24

8. AD BC 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos s

9. ABCD es un trapecio isósceles

9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles.

Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares.

HIPÓTESIS: ABCD es un paralelogramo AE es bisectriz de DAB

BE es bisectriz de ABC

TESIS: AE EB

1.

( )( 1) 2 ( 1) ( )

2

m DABm m m DAB


2

( )( 2) 2 ( 2) ( )

2

m ABCm m m ABC


3. m( DAB) + m( ABC) = 180° 3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos en un paralelogramo son suplementarios

4. 2 m( 1) + 2 m( 2) = 180° 4. Sustitución de 1 y 2 en 3

5. m( 1) + m( 2) = 90° 5. De 2. Algebra

6. m( E) = 90° 6. De 5. Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

7. AE EB 7. De 6. Definición de perpendicularidad

1. M es punto medio de AD y N es punto

medio de BC

1. De hipótesis

2. MN es la base media del trapecio 2. De hipótesis. Definición de base media

3. MN DC 3. De 2. La base media es paralela a las bases

4. MP DC 4. De 3 y M – P – Q – N

Cuadriláteros 25

5. En ADC : P es punto medio de AC 5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un lado de un triángulo se traza una paralela a u n lado, esa paralela pasa por el punto medio del otro lado.

Continuar con la demostración y demostrar que Q es el punto medio de la diagonal DB.

HIPÓTESIS: ELNM es un cuadrilátero A, B, C, D son los puntos medios de los lados del cuadrilátero.

TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente.

1. Se traza la diagonal EN 1. Construcción auxiliar

2. D es punto medio EM y C es punto medio de

MN

2. De hipótesis

3. DC es paralela media en el EMN 3. De 2. Definición de la paralela media en un triángulo.

4. ;2

ENDC DC EN

4. De 3. Teorema de la paralela media

5. A es punto medio de EL y B es punto medio de

LN

5. De hipótesis.

6. AB es paralela media en el ELN 6. De 5. Definición de la paralela media en un triángulo.

7. ;2

ENAB AB EN

7. De 6. Teorema de la paralela media

8. y DC AB DC AB 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva

9. ABCD es un paralelogramo 9. De 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos.

10. AC y DB se bisecan 10. De 9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

Cuadriláteros 26

HIPÓTESIS: BT es altura A – P – B

PR AC y PS BC

TESIS: PR + PS = BT

1. Se traza PQ BT 1. Construcción auxiliar.

2. AC BT 2. De hipótesis. Definición de altura.

3. PQ AC 3. De 1 y 2. Por ser perpendiculares a la misma recta

4. PR AC 4. De hipótesis

5. BT AC QT AC 5. De hipótesis. Definición de altura

6. PR QT 6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta

7. RPQT es un paralelogramo 7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo

8. PR QT 8. De 7. Los lados opuestos de un son congruentes

9. BT = BQ + QT 9. Suma de segmentos 10. BT = BQ + PR 10. Sustitución de 8 en 9. 11.PQB y PSB son rectángulos 11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo

rectángulo. 12. A ABC 12. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un

triángulo isósceles son congruentes. 13. QPB A 13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre

paralelas. 14. QPB ABC 14. De 12 y 13. Propiedad transitiva

15. PB PB 15. Propiedad reflexiva

16. PQB PSB 16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo y la hipotenusa congruentes.

17. BQ = PS 17. De 16. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

18. BT = PS + PR 18. Sustitución de 17 en 10.

Cuadriláteros 27

Solución del ejercicio 23

En el trapecio isósceles ABCD. AD BC . Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triángulo APB es isósceles.

1. DAB CBA 1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un trapecio isósceles son congruentes

2. AD BC 2. De hipótesis.

3. AB AB 3. Propiedad reflexiva

4. DAB CBA 4. De 1, 2, 3. L – A – L

5. 1 2 5. De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.

6. APB es isósceles 6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes

En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de

BD . AB CD . CH AB ; con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo.

1. AHC es un triángulo rectángulo

1. HM es la mediana sobre la hipotenusa

2. HM MA MC 2. De 1. En un triángulo rectángulo la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta.

3. AMH es isósceles 3. De 2. Definición de triangulo isósceles. 4. MAH MHA 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triángulo

isósceles. 5. APB es isósceles. 5. Leer el ejercicio anterior 6. MAH PBA 6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triángulo

isósceles 7. MHA PBA 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva.

8. HM BN 8. De 7. Por formar ángulos correspondientes congruentes.

9. AC BD 9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes.

10. BN AM 10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos congruentes.

11. BN AM HM BN 11. De 10 y 2. Propiedad transitiva

Cuadriláteros 28

12. MHBN es un paralelogramo.

12. De 11 y 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos.

Se da un triángulo ABC, con P punto medio de AB , N punto medio de BC y M punto

medio de CA . Demostrar 1) APNM es un paralelogramo. 2) PBNM es un paralelogramo 3) CMPN es un paralelogramo. AYUDA: Utilizar varias veces el teorema de la paralela media en un triángulo y la definición de paralelogramo.

Sea un triángulo ABC, rectángulo en A, K es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Demostrar que la hipotenusa es el lado del cuadrado inscrito en la circunferencia que pasa por los puntos B, C, K.

Se trazan los diámetros y CE BD , como las diagonales

de un cuadrado se bisecan y son perpendiculares, vamos a demostrar que estos diámetros son perpendiculares. K es el incentro, es decir el punto donde se cortan las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo,

por consiguiente y KC KD son bisectrices.

( ) ( ) 90ºm ACB m ABC Porque los ángulos agudos

de un triángulo rectángulo son complementarios, entonces se tiene que ( ) ( ) 45ºm KCB m KBC ,

porque y KC KD son bisectrices.

Como los ángulos interiores de todo triangulo suman 180º entonces en el triángulo CKB el ángulo K mide 135º y por lo tanto el arco CDEB mide 270º y por resta de arcos el arco CKB mide 90º y por lo tanto el ángulo COB mide 90º por ser un ángulo central. Entonces

tenemos que las diagonales y CE BD se bisecan y son perpendiculares, por lo tanto CB

es el lado de un cuadrado.

El triángulo ABC es isósceles con BA = BC, se traza la altura AH . Desde un punto P de

la base AC , se trazan los segmentos PG y PF perpendiculares a los lados congruentes

del triángulo, B – G – C y B – F – A. Demostrar que AH PG PF

HIPÓTESIS: Triangulo ABC isósceles con BA = BC

AH es altura

y PG BC PF BA

B – G – C y B – F – A. TESIS: AH PG PF

1.Se traza DP AH 1. Construcción auxiliar

2. PDHG es un paralelogramo 2. De hipótesis y de 1, ¿Por qué?

3. PG = DH 3. De 2, ¿Por qué?

Cuadriláteros 29

4. AH AD DH 4. Suma de segmentos

5. AH AD PG 5. Sustitución de 3 en 4

6.El triángulo AHC es rectángulo 6. De hipótesis, definición de altura y triangulo rectángulo

7.El complemento de es HCA HAC

7. De 6, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios

8. El triángulo PFA es rectángulo 8. De hipótesis, definición triangulo rectángulo

9.El complemento de es FAP FPA

9. De 8, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios

10. HCA FAP 10. De hipótesis, ¿Por qué?

11. HAC FPA 11. De 7, 9 y 10, por tener el mismo complemento

12.El triángulo PDA es rectángulo 12. De 1, definición de triangulo rectángulo

13. AP AP 13. ¿Cuál es la razón?

14. PDA PFA 14. De 13, 11 y 8, ¿Por qué?

15. PF AD 15. De 14, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.

16. AH PG PF 16. Sustitución de 15 en 5

ABCD es un paralelogramo, en el cual 7 y 3DF FC

EFB BFC , E es el punto medio de DA , D – F – C

encontrar EF

Solución: ABFD es un trapecio ¿Por qué? , se traza la base media que corta a FB en G

10AB

7 108.5

2 2

DF ABEG

DC AB

ABF

EG AB

EGF ABF Por lo tanto el triángulo EGF es isósceles y por lo tanto

tenemos que 8.5EG EF

Cuadriláteros 30

El triángulo ABC es isósceles con CA CB . Se toma un punto cualquiera D sobre la base

AB, se traza la altura AG . Demostrar que DE DF AG

HIPÓTESIS:

es isósceles

es una altura

D es un punto de

;

ABC

AG

AB

DF CB DE CA

TESIS: DE DF AG

1. DF AG 1. De hipótesis. Por ser perpendiculares a la

misma recta BC

2.Por D se traza una perpendicular a AG que la corta en H

2.Construccion auxiliar

3. DH FG 3.Por ser perpendiculares a la misma recta AG

4.DFGH es un paralelogramo 4.De 3 y 1, definición de paralelogramo

5. DF HG 5.De 4, por ser lados opuestos de un paralelogramo

6.Los triángulos AED y DHA son rectángulos

6. De hipótesis, definición de triangulo rectángulo

7. B CAB 7.De hipótesis, por ser ángulos de la base de un triángulo isósceles

8. B HDA 8.De 3, por ser ángulos correspondientes entre paralelas

9. HDA CAB 9.De 7 y 8, propiedad reflexiva

10. AD AD 10.Propiedad reflexiva

11. AED DHA 11.De 9 y 6, por tener congruentes la hipotenusa y

Cuadriláteros 31

un ángulo agudo

12. DE AH 12.De 11, por ser lados correspondientes en triángulos congruentes

13. AG AH HG 13.Suma de segmentos

14. AG DE DF 14.Sustitucion de 12 y 5 en 13

Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también la bisectriz del ángulo formado por la altura y la mediana relativa a la hipotenusa.

HIPÓTESIS: Triangulo ABC rectángulo en A

AM mediana sobre la hipotenusa

AD bisectriz del ángulo recto

AH altura sobre la hipotenusa

TESIS: AD es bisectriz de HAM

1.2

BCAM

1. En un triángulo rectángulo, la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta

2. 2

BCMB

2. De hipótesis, por definición de mediana M es punto medio

3. AM MB 3. De 1 y 2, propiedad transitiva

4.Triangulo AMB es isósceles 4. De 3, definición de triangulo isósceles

5. 1 B 5. De 4, los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes

6.Triangulo AHC es rectángulo 6. De hipótesis, definición de altura.

7.El complemento de 4 es C 7. De 6, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios

8. El complemento de B es C 8. De hipótesis, los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios

9. 4 B 9. De 8 y 9, por tener el mismo complemento

10. 1 4 10. De 5 y 9, propiedad transitiva

11. ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)m m m m 11. De hipótesis, definición de bisectriz

12. ( 2) ( 3)m m 12. De 11 y 10, propiedad cancelativa de las igualdades

13. AD es bisectriz de HAM 13. De 12, definición de bisectriz

Profesor: José Manuel Montoya Misas

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