Control de Procesos - UTN...1 Control de Procesos Enfoque desde la teoría de sistemas dinámicos y...

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Control de Procesos Control de Procesos Enfoque desde la teorEnfoque desde la teoríía de sistemas dina de sistemas dináámicos y micos y

sistemas de control en variables de estadosistemas de control en variables de estado

Vicente CostanzaVicente Costanza

CLASE 3CLASE 3Centro de Aplicaciones InformCentro de Aplicaciones Informááticas en el ticas en el

Modelado de IngenierModelado de Ingenieríía (CAIMI)a (CAIMI)UTN UTN -- Facultad Regional RosarioFacultad Regional Rosario

20082008

Curso de Postgrado de ActualizaciCurso de Postgrado de Actualizacióónn

UTNUTN--Facultad Regional Rosario Facultad Regional Rosario CAIMICAIMI--20082008

Ejercicios sugeridos en Clase 1 Ejercicios sugeridos en Clase 1 y fundamentados en Clase 2y fundamentados en Clase 2

Hallar la exponencial de las siguientes matrices, a Hallar la exponencial de las siguientes matrices, a mano y con mano y con MatlabMatlab: :

Considerar el sistema lineal Considerar el sistema lineal inhomoginhomogééneoneo: :

Hallar la soluciHallar la solucióón exacta y comprobar con n exacta y comprobar con MatlabMatlabDescubrir quDescubrir quéé tipo de ODEs no tienen solucitipo de ODEs no tienen solucióón n úúnica, y otras que nica, y otras que ““explotanexplotan”” en un tiempo finito.en un tiempo finito.Explorar los demos de control de Explorar los demos de control de MatlabMatlab, en , en especial, especial, tipeetipee: : heatexheatex..

4 1 1 1 1 3, ,

1 2 5 3 0 1−

− −

1 3 sin 1; (0)

2 2 cos 1t

x x xt

− = + = −

2


RecapitulaciRecapitulacióónnLos sistemas dinLos sistemas dináámicos suelen modelar micos suelen modelar ecuaciones de balance en procesos.ecuaciones de balance en procesos.Los puntos de equilibrio son los Los puntos de equilibrio son los ““puntos de puntos de operacioperacióónn”” o o ““estados estacionariosestados estacionarios””..Los sistemas lineales tienen un solo Los sistemas lineales tienen un solo equilibrio (el origen 0), o un equilibrio (el origen 0), o un subespaciosubespacio..Los sistemas no lineales pueden tener Los sistemas no lineales pueden tener varios (finitos) equilibrios aislados.varios (finitos) equilibrios aislados.El comportamiento cualitativo de las El comportamiento cualitativo de las trayectorias cerca de un equilibrio esttrayectorias cerca de un equilibrio estáá (en (en gran parte) determinado por los gran parte) determinado por los autovalores de su autovalores de su linealizacilinealizacióónn..


ExtensiExtensióón a sistemas no linealesn a sistemas no lineales

Algunos comportamientos cualitativos Algunos comportamientos cualitativos de los sistemas no lineales NO de los sistemas no lineales NO aparecen en los lineales, por ej.:aparecen en los lineales, por ej.:MMúúltiples equilibrios aisladosltiples equilibrios aisladosBifurcaciBifurcacióón (desde dimensin (desde dimensióón 1)n 1)Ciclos lCiclos líímites (desde dimensimites (desde dimensióón 2)n 2)CaosCaosAtractoresAtractores extraextraññosos

3


BifurcaciBifurcacióón, ciclos ln, ciclos líímites, etc.mites, etc.BifurcaciBifurcacióón. Ejemplo tn. Ejemplo tíípico: pico:

Ciclos lCiclos líímites: una trayectoria mites: una trayectoria cerrada aislada. cerrada aislada.

Caos. Caos. AtractoresAtractores extraextrañños.os.Veamos algunos flujos no lineales Veamos algunos flujos no lineales ……

2 . Para 0 existen dos equilibrios (uno establey el otro inestable); para 0 existe sólo un equilibrio

(mitad estable y mitad inestable); y para 0 no hay ninguno.

x r x rr

r

= + <=

>

2 ( ) 1(1 ); Ver qué es

( )1r tr r rt tθθ≡= −==

{ {


4


ExplicaciExplicacióón de la figuran de la figuraOrigen: la reacciOrigen: la reaccióón de n de BelousovBelousov--ZhabotinskyZhabotinsky. . Un modelo similar: Un modelo similar: ClOClO22--II22--MA(MA(ÁÁcidocido malmalóóniconico), ), Luego de ciertas simplificaciones queda:Luego de ciertas simplificaciones queda:

Ondas Ondas espiraladasespiraladas de actividad qude actividad quíímicamicaCuando dos ondas se tocan, se eliminan entre sCuando dos ondas se tocan, se eliminan entre sííWinfreeWinfree, , A.TA.T.: .: RotatingRotating ChemicalChemical ReactionsReactions. . ScientificScientific AmericanAmerican 230230(6)82, 1974.(6)82, 1974.

2 2

4 ; 11 1xy yx a x y bxx x

= − − = − + +


Caos. Atractor de Lorenz.

5


Definiciones informalesDefiniciones informales

CaosCaos: flujo : flujo determindeterminíísticostico, , asintasintóóticamenteticamente aperiaperióódicodico, muy , muy sensible a variaciones en las sensible a variaciones en las condiciones iniciales.condiciones iniciales.AtractorAtractor extraextraññoo: regi: regióón (n (fractalfractal) ) del espacio de estado, que atrae del espacio de estado, que atrae trayectorias originadas en abiertos trayectorias originadas en abiertos mmáás grandes, y que no pueden s grandes, y que no pueden abandonar.abandonar.


Modelo del HIVModelo del HIV

Explicar variablesExplicar variablesEquilibriosEquilibriosProblemas Problemas

x x xzy xz yż y z

0 ☺1u ☺2u2

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Trayectorias del HIVTrayectorias del HIV


Sistemas no autónomos

7


ExplicaciExplicacióón de las figurasn de las figurasOscilador de doble hueco (Oscilador de doble hueco (doubledouble--wellwell), con ), con excitaciexcitacióón perin perióódica.dica.

En la figura de la izquierda se le asigna un color a En la figura de la izquierda se le asigna un color a 900 posiciones iniciales distintas 900 posiciones iniciales distintas xx00

A la derecha aparece el resultado de A la derecha aparece el resultado de x(tx(t)) despudespuéés s de 73 ciclos: de 73 ciclos: t=73t=73xx(2(2π/ωπ/ω))A continuaciA continuacióón, el comportamiento para 4 ciclos.n, el comportamiento para 4 ciclos.

3; cos0.25 ; 0.25 ; 1

x y y x x y F tF

δ ωδ ω= = − − += = =


8


El sistema de El sistema de RRöösslerssler; ; ( )

0.2 ; variable (en la última, 5.7)

similar a las conocidas como "la función del panadero" ("baker's map", "pastry map")

x y z y x ay z b z x c

a b c c

=− − = + = + −

= = =


9



10


FunciFuncióón de avancen de avance--tt

( ) ; (0)

( ),

nx f x x y

x t

= = ∈

Para un sistema dinámico autónomo inicializado

se suele expresar la solución que verifica a la ecuación y a la condición inicial como

pero también se puede pensar que la condició(0) ( )

.:

( ) ( )

n n

y x x tt

t

y x t

φ

φ

=

→t

t

ninicial "avanzó" hacia el punto

mientras el "tiempo" avanzó de 0 a La "función de avance- "

condensa esta situación puesto que se define:


GrGrááfica de funcifica de funcióón de avancen de avance

t

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Flujo y verificaciFlujo y verificacióón de la ODEn de la ODEBasados en propiedades de las soluciones deecuaciones diferenciales, se pueden "juntar" todas las funciones de avance- en la forma

( , ) ( ) ( )para todas las combinaciones de las dos

variables ( ,

t

tt y y x t

t

φ φ =

) donde las soluciones esténbien definidas y sean diferenciables.

A la función se la llama el " " del

sistema dinámico (y viceversa)

y

φ flujo


RelaciRelacióón con mecn con mecáánica del continuonica del continuo

0

Dado que la función ( ) ( , ) es la soluciónde la ecuación diferencial que pasa por (0) ,entonces el flujo debe verificar, en todo tiempo,

( ) ( , ) ( ( )) ( ( , ))

(0) ( ) (0, ):

x yx y

x y f x f yt

x y y y

φ

φ φ

φ φ

⋅ = ⋅=

∂⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

∂= = =

Nota las "líneas de flujo" de Mecánica de Fluídostienen la misma significación que las trayectoriasde un sistema dinámico, o de un flujo como se

definió arriba.

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AplicaciAplicacióón al caso linealn al caso lineal

Para el caso ; (0) , se cumple( ) , para todo y para todo .

Por lo tanto, el flujo de un sistema lineal es( , )

( , ) ( , ) ( ) ( )

At n

At

At

x Ax x yx t e y t y

t y e y

t y Ae y A t y Ax t x tt

φφ φ

= =

= ∈ ∈

=∂

= = = =∂


Reactor de Van de Reactor de Van de VusseVusse((SistuSistu--BequetteBequette))

x1 x1 exp x21 x2/ q x1f x1

x2 x1 exp x21 x2/ q x2f x2 x2

Se trata de un reactor en el que está ocurriendo una reacción exotérmica de primer orden, y

donde el estado x1 es el grado de avance de la reacción, y el estado x2 es la temperatura de la

mezcla, ambos adimensionalizados.

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Locus para distintos valores de qLocus para distintos valores de q


Puntos de equilibrio para q=3

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Estabilidad de un equilibrioEstabilidad de un equilibrio

Los autovalores de la matriz Los autovalores de la matriz AAdeterminan la estabilidad del determinan la estabilidad del equilibrio del sistema no lineal equilibrio del sistema no lineal (concepto local).(concepto local).El equilibrio es El equilibrio es asintasintóóticamenteticamenteestable si y sestable si y sóólo si todos los lo si todos los autovalores de autovalores de AA tienen parte real tienen parte real negativa.negativa.Si alguno tiene parte real positiva, el Si alguno tiene parte real positiva, el equilibrio es inestable.equilibrio es inestable.


Estabilidad segEstabilidad segúún n LyapunovLyapunov

¿¿CCóómo inferir la estabilidad sin mo inferir la estabilidad sin calcular todos los autovalores de calcular todos los autovalores de AA? ? (pensar casos en que (pensar casos en que nn es grande)es grande)Concepto de la Concepto de la ““energenergííaa”” V(x). Si la V(x). Si la energenergíía decrece hacia el equilibrio, y a decrece hacia el equilibrio, y tiende a cero, se supone que dicho tiende a cero, se supone que dicho equilibrio serequilibrio seráá ““estableestable””. .

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Definiciones de estabilidadDefiniciones de estabilidad

0

1) Un equilibrio de un sistema dinámico ( ) (es decirun punto para el cual ( ) 0 ) es cuando, paracualquier entorno de , existe otro entorno más pequeño

tal que cualquier tra

x x f xf x

U xU U

=

=

⊂

estable

0 0

yectoria solución ( )iniciada en (o sea con (0) ), permanece

en el entorno para todo 0. (no se "escapa" de ).

2) El equilibrio es si es establey además, cua

y

y

t

U y U

U t U

x

α

α = ∈

≥

asintóticamente establelquier trayectoria ( ) como arriba verifica:

lim ( ) (o sea, tiende efectivamente al equilibrio).y

yt

t

t x

α

α→∞

=


FunciFuncióón de n de LyapunovLyapunovUna "función de Lyapunov" es una función definida

en un entorno suficientemente grande de , que: (i) toma valores reales no negativos,(ii) toma el valor 0 solamente en ,(iii) es continuamente d

V

B x

xerivable en , y verifica:

( ( )) 0 para toda trayectoria del

sistema dinámico ( ) iniciada en , 0.

y

y

Bd V tdt

t y B t

α

α

≤

∈ ∀ ≥

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Teorema de Teorema de LyapunovLyapunovSi para el equilibrio existe una función de Lyapunov (como se definió anteriormente), entonces es estable.

Si además la derivada de a lo largo de cualquiertrayectoria del sistema es estricta

x Vx

Vmente negativa, es decir

( ( )) 0 , 0,

entonces es asintóticamente estable.

yd V t tdtx

α < ∀ ≥


Comentarios sobre el teoremaComentarios sobre el teoremaLa funciLa funcióón de n de LyapunovLyapunov funciona como funciona como una una ““energenergííaa”” del sistema, que se del sistema, que se ““apagaapaga””en el equilibrio.en el equilibrio.Si se la encuentra, es mSi se la encuentra, es máás fs fáácil (al menos cil (al menos cuando cuando nn es grande) analizar estabilidad es grande) analizar estabilidad estudiando su derivada que calculando estudiando su derivada que calculando todos los autovalores del sistema.todos los autovalores del sistema.Se extiende a sistemas no lineales.Se extiende a sistemas no lineales.El teorema no dice cEl teorema no dice cóómo encontrar la mo encontrar la funcifuncióón de n de LyapunovLyapunov (si es que existe).(si es que existe).

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LyapunovLyapunov para el caso linealpara el caso lineal

Sistema dinámico: Equilibrio: 0

Función de Lyapunov: ( ) ' , matriz 0A lo largo de las trayectorias del sistema:

'( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

( ) '(

x Axx

V x x Px P

d dx dxt V x t t t t Px t x t P tdt dt dt

t x

==

= ≥

⇒ = = + =

VV V

V ( )) ' ( ) '( ) ( ) '( ) ' ( )t A Px t x t PAx t x t A P PA x t+ = +


Relacionar con QRelacionar con QAA’’P+PA=Q (1)P+PA=Q (1)MMéétodos de aplicacitodos de aplicacióón:n:1) Proponer una P definida positiva y ver 1) Proponer una P definida positiva y ver si Q resulta definida negativa. Si no si Q resulta definida negativa. Si no resulta, reintentar.resulta, reintentar.2) Proponer Q definida negativa, resolver 2) Proponer Q definida negativa, resolver el sistema de ecuaciones lineales para los el sistema de ecuaciones lineales para los elementos de P, y verificar si P resulta elementos de P, y verificar si P resulta definida positiva. Si no, reintentar.definida positiva. Si no, reintentar.Resultado: A es Resultado: A es HurwitzHurwitz si y ssi y sóólo si para lo si para cada Q def. negativa existe una solucicada Q def. negativa existe una solucióón n úúnica P de la ecuacinica P de la ecuacióón (1), y es def. pos. n (1), y es def. pos.

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IntroducciIntroduccióón a losn a losSistemas de ControlSistemas de Control


Comentarios sobre variablesComentarios sobre variablesEl El estadoestado condensa la historia del sistema, y condensa la historia del sistema, y representa la cantidad de informacirepresenta la cantidad de informacióón necesaria n necesaria para predecir el futuro. Ejemplo, en las para predecir el futuro. Ejemplo, en las ecuaciones de Newton: ecuaciones de Newton:

( )/a x F x m= =Sabemos que es conveniente plantearlo como

0

0

; (0)( ) / ; (0)

x v x xv x a F x m v v= =

= = = =

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Estado de un sistema de controlEstado de un sistema de control

A veces los estados no tienen A veces los estados no tienen significado fsignificado fíísico, sobre todo cuando sico, sobre todo cuando provienen de modelos provienen de modelos ““black boxblack box””..Los estados no siempre son medibles Los estados no siempre son medibles u observables continuamente. u observables continuamente. Ejemplo: la concentraciEjemplo: la concentracióón n ξξ del CSTR del CSTR en general se mide mediante anen general se mide mediante anáálisis lisis ququíímicos que llevan tiempo realizar.micos que llevan tiempo realizar.


El CSTR como sistema de controlEl CSTR como sistema de control

Variables de Variables de estado (dimensiestado (dimensióón)n)

Variables de Variables de control control (manipuladas)(manipuladas)

Variables Variables observadas observadas (salidas)(salidas)

,Tξ

Q

T

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Diagrama tDiagrama tíípico de sistema de controlpico de sistema de control


INTERVALOINTERVALO

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Naturaleza de un sistema de Naturaleza de un sistema de control linealcontrol lineal

Un sistema inicializado en cero (Un sistema inicializado en cero (x(tx(t)=0)=0para para tt≤≤00) se dice ) se dice ““lineallineal”” si se comporta si se comporta linealmente con respecto a las estrategias linealmente con respecto a las estrategias de control (o si la salida de control (o si la salida y(t), ty(t), t≥≥00, es una , es una funcifuncióón lineal de las entradas n lineal de las entradas u(t)u(t) ):):

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) salida correspondiente a la entrada ( ) ( ) salida correspondiente a ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i iy t u ty t u t u t

y t y t y tα α

α α+

⇒ = +


Operador lineal sobre las entradasOperador lineal sobre las entradasUn sistema lineal es entonces un operador Un sistema lineal es entonces un operador

lineal en el espacio de funciones de entradas lineal en el espacio de funciones de entradas admisibles. Se puede demostrar (Sontag) admisibles. Se puede demostrar (Sontag) que un tal operador tiene que tomar la que un tal operador tiene que tomar la forma general:forma general:

0

( ) ( , ) ( ) , 0t

y t h t u d tτ τ τ= ≥∫

A la función de dos variables h se la suele llamar “kernel” del operador lineal.

22


Operador sobre las entradas (continOperador sobre las entradas (continúúa)a)

Para el caso en que la Para el caso en que la ““estructuraestructura”” del sistema no del sistema no varvaríía con el tiempo (para con el tiempo (paráámetros constantes, o metros constantes, o sistema sistema ““time invarianttime invariant””) el kernel del operador ) el kernel del operador lineal depende slineal depende sóólo de las lo de las ““diferencias de tiempodiferencias de tiempo””, , y se transforma entonces en una funciy se transforma entonces en una funcióón de una n de una sola variable: sola variable:

( )0 0

( , ) ( ) , ( ) 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )

* se llama "la convolución" de y

h t h t u t

y t h t u d h u t d h u t

h u h u

τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ∞ ∞

→ − = ∀ >

= − = − =∫ ∫


ConvoluciConvolucióónn 1: respuesta al 1: respuesta al impulso impulso h(h(ττ))

23


Entrada: Entrada: u(u(ττ))=cos(=cos(ττ))


ReflexiReflexióón 1: n 1: uurr((ττ)=)= u(u(--ττ) =cos() =cos(--ττ))

24


TraslaciTraslacióón: n: u(tu(t--ττ)) = = uurr(t+(t+ττ)=)= cos(tcos(t--ττ))t=4t=4


Varios Varios u(tu(t--ττ))=u=urr ((ττ+t) +t) para para t=1,2,3,4t=1,2,3,4

25


Salida para varios Salida para varios tt


Salida continuaSalida continua

26


““JugarJugar”” en interneten internet

http://www.jhu.edu/signals/convolvehttp://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html/index.htmlTheThe joyjoy ofof convolutionconvolutionProbar el ejemplo anterior para Probar el ejemplo anterior para tiempos mtiempos máás largos.s largos.Probar otro tipo de entradas (pulso Probar otro tipo de entradas (pulso discreto, escaldiscreto, escalóón, rampa, etc.)n, rampa, etc.)


¿¿Por quPor quéé llamar a llamar a hh ““respuesta al impulsorespuesta al impulso””??

1 /

0 0

C onsiderar la respuesta a un "pulso de área 1"1( ) si 0< , y si no igual a 0 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

donde es algún tiem po en el lapso de in tegración (por el teorem a del

k

t k

k k k

k

u kk

y t h t u d k h t d h t t

t

τ τ

τ τ τ τ τ

= ≤

= − = − = −∫ ∫

valor m edio).E s claro que lim 0, y en tonces lim ( ) ( ),

V er que las entradas parecen tender a un "im pulso"(o lo que se idealiza com o "función delta" ( ) ).

k kk k

k

t y t h t

utδ

→ ∞ → ∞= =

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Transformada de Transformada de LaplaceLaplaceDefiniciDefinicióón:n:

Transformada de Transformada de LaplaceLaplace de de expexp((--atat)=1/(s+a))=1/(s+a)Propiedades de la transformada (ver textos)Propiedades de la transformada (ver textos)A la transformada de la respuesta al impulso A la transformada de la respuesta al impulso h(th(t) ) se la denomina se la denomina ““funcifuncióón de transferencian de transferencia”” G(s). G(s). RelaciRelacióón con la n con la transformada de transformada de FourierFourier y la y la ““frequency responsefrequency response””..

[ ]{ }0

( ) ( ) ( ) ( )stf s f t e dt F s∞

−⋅ =∫L


RelaciRelacióón con la n con la convoluciconvolucióónn

( ){ }1 2 1 2* () ( ) ( ) ( )f f s F s F s⋅ = ⋅ L[ ]{ }1 2 1 2

0 0

( )2 1 2 1

0 0 0 0

2 1 2 1 2 1 1 20 0

* ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tst

st s t s

s s

f f s f f t d e dt

f t e dt f d f t e dt f e d

F s f e d F s f e d F s F s F s F s

τ τ

τ τ

τ τ τ

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ

∞−

∞ ∞ ∞ ∞− − − −

∞ ∞− −

− =

− = − =

= = = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Prueba: L

28


Diagrama de Diagrama de composicomposióónn de de sistemas linealessistemas lineales


ComposiciComposicióón de sistemasn de sistemas

v=hv=h11*u *u VV=G=G11UU

y=y=hh22*v *v Y=GY=G22V=GV=G22GG11U=GUU=GU

G=GG=G22GG1 1 (notar la inversi(notar la inversióón del n del orden)orden)

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Ejercicios sugeridos en Clase 1Ejercicios sugeridos en Clase 1Hallar la exponencial de las siguientes matrices, a Hallar la exponencial de las siguientes matrices, a mano y con mano y con MatlabMatlab: :

Considerar el sistema lineal Considerar el sistema lineal inhomoginhomogééneoneo: :

Hallar la soluciHallar la solucióón exacta y comprobar con n exacta y comprobar con MatlabMatlabDescubrir quDescubrir quéé tipo de ODEs no tienen solucitipo de ODEs no tienen solucióón n úúnica, y otras que nica, y otras que ““explotanexplotan”” en un tiempo finito.en un tiempo finito.Explorar los demos de control de Explorar los demos de control de MatlabMatlab, en , en especial, especial, tipeetipee: : heatexheatex..

4 1 1 1 1 3, ,

1 2 5 3 0 1−

− −

1 3 sin 1; (0)

2 2 cos 1t

x x xt

− = + = −


Ejercicios sugeridos en Clase 2Ejercicios sugeridos en Clase 2

IntegraciIntegracióón de sistemas lineales n de sistemas lineales usando ODE en MATLABusando ODE en MATLABVerificaciVerificacióón de que los estados n de que los estados pueden tender a un equilibrio estable pueden tender a un equilibrio estable en forma no monen forma no monóótonatona

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Ejercicios sugeridos en Clase 3Ejercicios sugeridos en Clase 3Buscar y realizar ejemplos de estabilidad Buscar y realizar ejemplos de estabilidad segsegúún n LyapunovLyapunov..Tratar de encontrar la forma explTratar de encontrar la forma explíícita de cita de funciones de avance y de flujos para funciones de avance y de flujos para algunos sistemas no lineales.algunos sistemas no lineales.Realizar ejemplos de Realizar ejemplos de convoluciconvolucióónn. . ConvolucionarConvolucionar la campana de Gauss con sla campana de Gauss con síímisma. misma. Recordar propiedades de Recordar propiedades de LaplaceLaplace. Ver . Ver comportamientos asintcomportamientos asintóóticos, ticos, antitrasformadaantitrasformada, etc., etc.


Recomendaciones para leerRecomendaciones para leerVer el tratamiento de estabilidad segVer el tratamiento de estabilidad segúún n LyapunovLyapunov en Sontag y en Sontag y HirschHirsch--SmaleSmale..Recordar matrices definida positivas y su Recordar matrices definida positivas y su relacirelacióón con formas cuadrn con formas cuadrááticasticasSi se interesan por la transformada de Si se interesan por la transformada de LaplaceLaplace, ver relaci, ver relacióón con probabilidad, por n con probabilidad, por ejemplo en ejemplo en ChungChung, , K.LK.L.: .: ElementaryElementaryProbabilityProbability TheoryTheory withwith StochasticStochasticProcessesProcesses, 3rd. , 3rd. EditionEdition. . SpringerSpringer--VerlagVerlag, , 1979. (Existe versi1979. (Existe versióón en castellano)n en castellano)

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BibliografBibliografíía recomendada a recomendada para esta clasepara esta clase

FaurreFaurre, P.; , P.; DepeyrotDepeyrot, M: , M: ElementsElements ofofSystemSystem TheoryTheory. . NorthNorth--HollandHolland; 1977.; 1977.HirschHirsch, , M.WM.W.; .; SmaleSmale, S.: , S.: DifferentialDifferentialEquationsEquations, , DynamicalDynamical SystemsSystems, , andand Linear Linear Algebra. Algebra. AcadmicAcadmic PressPress; 1974.; 1974.MATLAB. Especialmente MATLAB. Especialmente ““Control System Control System ToolboxToolbox”” y y ““SimulinkSimulink””..Sontag, Sontag, E.DE.D.: .: MathematicalMathematical Control Control TheoryTheory. . SpringerSpringer--VerlagVerlag; 1998.; 1998.StrogatzStrogatz, S.H.: Nonlinear Dynamics and , S.H.: Nonlinear Dynamics and Chaos. Chaos. PerseusPerseus BooksBooks, 1998., 1998.

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