Continuidad Antes de concretar con el tema de límites, revisaremos el concepto de Continuidad y

Discontinuidad que puede presentar una función, se recomienda abordar primero estos

conceptos por ser más naturales, fáciles de comprender y de gran utilidad para comprender

límites.

Observa está definición, no se utiliza el concepto de límite porque se define de manera

coloquial.

“Si una función está definida en un punto p, decimos que es continua en ese punto si F(x) es

casi igual a F(p), para toda x que sea casi igual a p, en símbolos escribimos

Si x≈ p, entonces F(x) ≈ F(p)” (Instituto de Matemáticas de la UNAM, 2004)

Está es una definición formal de continuidad que ofrece el autor Stewart

“Definición 1: Una función F es continua en un número a si

”

Siempre que la función F no sea continua en a, entonces podemos decir que es Discontinua

para el valor de a o que F tiene una discontinuidad para a. Para que una función sea continua

en a debe cumplir las siguientes tres condiciones al mismo tiempo.

1. F(a) está definido (a debe estar en el dominio de F)

2. existe (de modo que F debe estar definida en un intervalo abierto que

contiene a a)

3.

La definición afirma que F es continua en a si F(x) tiende a F(a) cuando x tiende a a. Por lo tanto,

una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en x sólo produce una

pequeña alteración en F(x).

Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo

el desplazamiento de un móvil o la velocidad de un

vehículo varían en forma continua con el tiempo, como

pasa con la estatura de una persona. Pero en realidad se

presentan discontinuidades en situaciones como las

corrientes eléctricas.

Geométricamente, una función continua en todo

número en un intervalo se puede concebir como una

función cuya grafica no se rompe. La grafica se puede

trazar sin levantar la pluma del papel.

Ejemplo 1: En la siguiente figura se muestra la gráfica de

una función F. ¿En cuáles números es discontinua la

función? y ¿Por qué?

“Cuando a=2 se ve una discontinuidad porque la gráfica

tiene una ruptura allí. La razón oficial de que F sea

discontinua en 1 es que F(2) no está definida. Observa

como la gráfica también tiene una ruptura cuando a=3,

pero la razón de la discontinuidad es diferente. En este

caso, F(3) está definido, pero no existe

(porque los límites laterales no se dirigen al mismo

punto, revisa que por la izquierda va a -0.5 y por la

derecha va a 1, siendo diferentes. Por tanto F es

discontinua en 3. ¿Qué pasa cuando x=4? En este caso f(4) si está definida, y el si

existe pero De ese modo, F es discontinua en 4.

“Definición 2: Una función F es continua desde la derecha en un número a si

Y F es continua desde la izquierda en a si

“ (Stewart, 2001)

“Definición 3: Una función F es continua sobre un intervalo si es continua en todo

número en el intervalo, (esto quiere decir que es continua desde la derecha o continua

desde la izquierda).” (Stewart, 2001)

Ejemplo: Determina que la función es continua sobre el intervalo [-2,2]

Solución: si -2<a<2, entonces, al aplicar las leyes de los límites queda:

“Definición 4: si F y G son continuas en a y c es una constante, entonces las funciones

siguientes también son continuas en a

1. F+G

2. F+G

3. c(F)

4. F*G

5. F/G si G(a)=0 “ (Stewart, 2001)

Actividad 1: investiga si las funciones del tipo polinomios, racionales, raíces, y las trascendentes

(exponenciales, logarítmicas y trigonométricas) son continuas.

Actividad 2: Investiga si la composición de funciones es continua

Trabajos citados Instituto de Matemáticas de la UNAM. (2004). P.U.E.M.A.C. Recuperado el 10 de Enero de 2012, de

Proyecto Universitario de Enseñanza de las Matemáticas Asistida por Computadora:

http://descartes.matem.unam.mx/DGEE/lecciones/3_grado/png/png_130_09_495_1_03_00_0_0.html

Stewart, J. (2001). Cálculo de una variable. Trascencentes tempranas (Cuarta edición ed.). México:

International Thomson Editores S. A. de C. V.

Graficador Se utilizó un software para la graficar de las funciones

Nombre: “Sketchpad” Software de Geometría Dinámica para explorar matemáticas

Versión: 4.05

Elaboró: Sarahy Joffre Barcenas

Lunes, 09 Enero 2012