Contabilidad y Finanzas tratamiento de materias tales...

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ales

Proporciona a los estudiantes una exposición de

todos los conceptos básicos inherentes al tratamiento

de materias tales como matemáticas financieras,

finanzas, administración financiera, ingeniería

económica y finanzas corporativas entre otras,

debido a que comienza con un breve repaso de

las matemáticas pero con aplicaciones a la ciencias

administrativas y financieras, luego se procede al

manejo de las finanzas, el manejo de la ingeniería

económica con los respectivos análisis de tasas de

interés, el valor del dinero a través del tiempo, el

manejo de endeudamiento, inventarios, manejo de

opciones reales y los fundamentos de la valuación de

valores entre otros.

Como texto de consulta brinda a los administradores

financieros, gerentes o administradores en general de

grandes, medianas o pequeñas empresas, el apoyo

y los conocimientos necesarios para que puedan

ellos ayudar a maximizar los valores de sus empresas

mejorando las decisiones en áreas tan importantes

como el manejo de los costos, el presupuesto de

capital, la elección de la estructura de capital, al igual

que la eficiente administración del capital de trabajo,

y el manejo idóneo del endeudamiento.

Resuelva acertadamente problemas financieros

Conozca las diferentes técnicas de financiación

Ejercicios y sus soluciones

160 Ejemplos resueltos bajo normas internacionales

Mat

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Contenidos libres en:

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ones

de la

Matemáticas Financieras

bajo Normas Internacionales de Contabilidad y Normas Internacionales de Información Financiera

Abel María Cano Morales

Contador Público, Especialista en Gerencia de Impuestos, Especialista en Derivados, Futuros y Opciones (Anglia Ruskin University, Londres). Magis-ter en Administración (UNAB, Bucaramanga). Magister en Finanzas (Institu-to Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, México, Cum Laude). Doctor en Administración Publica, American Andragogy University U.S.A. Amplia experiencia en las funciones de dirección, control, manejo financiero, intervención del área internacional y organización empresarial. Asesor de diferentes proyectos sobre emprendimiento tanto en el sector público como privado. Docente de posgrado en varias universidades del país, Docente investigador de la Universidad de Medellín. emal:[email protected].

2da.Edición

Contabilidad y Finanzas


edici

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de laAplicado a las ciencias económicas, administrativas y contables

Primeras Matematicas Financieras_2daEd.indd 1 21/11/2017 4:56:14 p. m.

Bogotá - México, DF

Contabilidad y finanzas


2da.Edición

Matemáticas Financieras

bajo Normas Internacionales de Contabilidad y Normas Internacionales de Información Financiera

Aplicado a las ciencias económicas, administrativas y contables


Cano Morales, Abel María Matemáticas � nancieras, aplicada a ciencias económicas, administrativas y contables2da. edición. Bogotá : Ediciones de la U, 2017. 390 p. ; 24 cm. ISBN 978-958-762-700-8 e-ISBN 978-958-762-1. Ecuaciones de administración � nanciera 2. Interés-valor 3. Series uniformes y anualidades 4. Series variables 5. Amortizaciones 6. Valor presente 7. Tasa interna I. Tít.658. cd 21 ed.

Área: Contabilidad y � nanzasPrimera edición: Bogotá, Colombia, abril de 2013Segunda edición: Bogotá, Colombia, octubre de 2017ISBN. 978-958-762-700-8

© Abel María Cano Morales (Foros de discusión, blog del libro y materiales complementarios del autor en www.edicionesdelau.com)© Ediciones de la U - Carrera 27 # 27-43 - Tel. (+57-1) 3203510 www.edicionesdelau.com - E-mail: [email protected] Bogotá, Colombia

Ediciones de la U es una empresa editorial que, con una visión moderna y estratégica de las tecnologías, desarrolla, promueve, distribuye y comercializa contenidos, herramientas de formación, libros técnicos y profesionales, e-books, e-learning o aprendizaje en línea, realizados por autores con amplia experiencia en las diferentes áreas profesionales e investigativas, para brindar a nuestros usuarios soluciones útiles y prácticas que contribuyan al dominio de sus campos de trabajo y a su mejor desempeño en un mundo global, cambiante y cada vez más competitivo.

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Contenido

Prefacio ....................................................................................................................13

Presentación primer capítulo .......................................................................................15

Capítulo 1. Aplicaciones de las ecuaciones a la administración financiera ............................................................................17

1.1. Ejercicios propuestos ...................................................................................................231.2. Desigualdades lineales ................................................................................................24

1.2.1. Definición............................................................................................................261.2.2. Definición de desigualdad lineal ................................................................271.2.3. Ejercicios propuestos ......................................................................................30

1.3. Aplicaciones de las desigualdades .........................................................................301.3.1. Ejercicios propuestos ......................................................................................34

1.4. Valor absoluto .................................................................................................................351.4.1. Definición............................................................................................................361.4.2. Ejercicios propuestos ......................................................................................40

1.5. Repaso 401.5.1. Terminología y símbolos ...............................................................................401.5.2. Resumen .............................................................................................................401.5.3. Ejercicios propuestos ......................................................................................41

1.6. Funciones .........................................................................................................................411.6.1. Definición............................................................................................................421.6.2. Observación .......................................................................................................441.6.3. Ejercicios propuestos ......................................................................................48

1.7. Funciones especiales ...................................................................................................481.7.1. Ejercicios propuestos ......................................................................................51

Matemáticas financieras - Abel María Cano Morales

8

1.8. Combinaciones de funciones ...................................................................................521.8.1. Definición............................................................................................................531.8.2. Observación .......................................................................................................541.8.3. Ejercicios propuestos ......................................................................................55

1.9. Gráficas en coordenadas rectangulares ................................................................55

Presentación capítulo segundo ..........................................................................59

Capítulo 2. Interés-valor presente y futuro ......................................................63

2.1. Introducción ...................................................................................................................632.2. Interés 632.3. Clases de interés ............................................................................................................66

2.3.1. Interés simple ....................................................................................................662.3.2. Interés compuesto ...........................................................................................68

2.4. Diagramas de flujo de caja .........................................................................................692.5. Valores presente y futuro ............................................................................................72

2.5.1. Definición ..........................................................................................................732.5.2. Definición de valor futuro ............................................................................75

2.6. Cálculo del tiempo y la tasa de interés ..................................................................792.6.1. Ejercicios propuestos ......................................................................................81

2.7. Interpolación lineal .......................................................................................................832.8. Tasas de interés ..............................................................................................................86

2.8.1. Tasa de interés simple ....................................................................................872.8.2. Tasa de interés compuesto ...........................................................................872.8.3. Tasa de interés efectivo ..................................................................................882.8.4. Tasa de interés nominal .................................................................................892.8.5. Tasas equivalentes ...........................................................................................902.8.6. Tasa de interés discreta ..................................................................................952.8.7. Tasa de interés continuo ................................................................................952.8.8. Tasa vencida .................................................................................................... 1002.8.9. Tasa anticipada .............................................................................................. 1002.8.10. Tasas compuestas ....................................................................................... 1072.8.11. Tasa de inflación .......................................................................................... 1092.8.12. Tasa de devaluación .................................................................................. 1152.8.13. Tasa de oportunidad ................................................................................. 1162.8.14. Ejercicios propuestos ................................................................................ 117

Contenido

9

Presentación capítulo tercero ...........................................................................121

Capítulo 3. Series uniformes o anualidades ...................................................123

3.1. Introducción ................................................................................................................. 1233.1. Aplicaciones de las series uniformes o anualidades ........................................................................................ 123

3.1.1. Definición ....................................................................................................... 1233.2. Anualidad vencida ..................................................................................................... 124

3.2.1. Definición ....................................................................................................... 1243.4. Anualidad anticipada ................................................................................................ 135

3.4.1. Definición ....................................................................................................... 1353.4.2. Valor presente ................................................................................................ 1363.4.3. Valor futuro...................................................................................................... 138

3.5. Anualidad diferida ..................................................................................................... 1393.5.1. Definición ....................................................................................................... 139

3.6. Anualidad perpetua .................................................................................................. 1413.6.1. Definición ....................................................................................................... 141

3.7. Ejercicios propuestos ................................................................................................ 150

Presentación capítulo cuarto ............................................................................155

Capítulo 4. Series variables ................................................................................157

4.1. Introducción ................................................................................................................. 1574.2. Gradiente aritmético ................................................................................................. 158

4.2.1. Definición ....................................................................................................... 1584.3. Gradiente aritmético creciente ............................................................................. 1594.4. Gradiente aritmético decreciente ........................................................................ 172

4.4.1. Definición ....................................................................................................... 1724.5. Gradiente geométrico .............................................................................................. 176

4.5.1. Definición ....................................................................................................... 1764.6. Gradiente geométrico creciente vencido .......................................................... 1774.7. Gradiente geométrico decreciente vencido..................................................... 183

4.7.1. Definición ....................................................................................................... 1834.8. Gradiente geométrico perpetuo .......................................................................... 1854.9. Otros casos ................................................................................................................... 1904.10. Ejercicios propuestos .............................................................................................. 193


10

Presentación capítulo quinto ...........................................................................197

Capítulo 5. Amortización y saldos ....................................................................199

5.1. Introducción ................................................................................................................. 1995.2. Amortización ............................................................................................................... 199

5.2.1. Definición ....................................................................................................... 1995.2.2. Sistemas de amortización .......................................................................... 2005.2.3. Saldos ................................................................................................................ 202

5.3. Composición de los pagos ...................................................................................... 2125.4. Créditos en UVR (unidad de valor real) ............................................................... 218

5.4.1. Opciones para créditos en UVR ............................................................... 2185.4.2. Sistemas en pesos ......................................................................................... 219

5.5. Ejercicio propuesto en UVR para el desarrollo de habilidades ........................................................................ 2285.6. Amortización y saldos en el sistema UVR .......................................................... 228

5.6.1. Tasa de corrección monetaria ................................................................... 228

Presentación capítulo sexto .............................................................................231

Capítulo 6. Valor Presente Neto (VPN) .............................................................233

6.1. Introducción ................................................................................................................. 2336.2. Definición ..................................................................................................................... 2346.3. Índice del vpn para un solo proyecto ................................................................. 2356.4. Índice de VPN para dos o más proyectos ......................................................... 2376.5. Costo capitalizado ...................................................................................................... 241

6.5.1. Definición ....................................................................................................... 2416.6. Evaluación de un proyecto después de impuestos ...................................... 2436.7. Ejercicios propuestos ................................................................................................ 248

Presentación capítulo séptimo ........................................................................253

Capítulo 7. Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE) ...............................255

7.1. Introducción ................................................................................................................ 2557.2. Definición ...................................................................................................................... 2557.3. Cálculo del CAUE ........................................................................................................ 256

Contenido

11

7.4. El CAUE neto................................................................................................................. 2587.5. El CAUE en la selección de alternativas .............................................................. 2607.6. Ejercicios propuestos ................................................................................................ 264

Presentación capítulo octavo ...........................................................................269

Capítulo 8. Tasa Interna De Retorno (TIR) .......................................................271

8.1. Introducción ................................................................................................................. 2718.2. La Tasa Interna De Retorno ..................................................................................... 271

8.2.1. Definición ....................................................................................................... 2718.3. Cálculo de la TIR ......................................................................................................... 2748.4. Aplicaciones de la TIR en la selección de alternativas ................................... 2788.5. Tasa de rentabilidad verdadera ............................................................................. 2808.6. Ejercicios propuestos ................................................................................................ 284

Presentación capítulo noveno .........................................................................291

Capítulo 9. Normas Internacionales de Contabilidad (NIC) y Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF) ............293

9.1. Introducción ................................................................................................................. 2939.2. Ámbito de aplicación y definiciones ................................................................... 2949.3. Criterios de valoración .............................................................................................. 295

9.3.1. Costo histórico ............................................................................................... 2959.3.2. Valor razonable .............................................................................................. 3009.3.3. Valor neto realizable .................................................................................... 3019.3.4. Valor actual ...................................................................................................... 3029.3.5. Valor en uso ..................................................................................................... 3039.3.6. Costos de venta ............................................................................................. 3069.3.7. Costo amortizado ......................................................................................... 307

9.3.8. Costos de transacción atribuibles a un activo o pasivo financiero ...................................................................................... 3149.3.9. Valor contable o en libros .................................................................................... 3169.3.10. Valor residual .......................................................................................................... 3179.4. Ejercicios propuestos ................................................................................................ 319


12

Presentación capítulo décimo ..........................................................................325

Capítulo 10. Instrumentos financieros: presentación reconocimiento y medición ...............................................................................329

10.1. Definición ................................................................................................................... 32910.2. Ámbito de aplicación ............................................................................................. 33010.3. Criterios de reconocimiento ................................................................................ 331

10.3.1. Contenido de las diferentes categorías de activos financieros . 33210.3.2. Costo amortizado ....................................................................................... 336

10.4. Valoración de los instrumentos financieros según las NIIF .................................................................................... 340

10.4.1. Valoración de activos financieros ........................................................ 34110.4.2. Valoración de pasivos financieros ....................................................... 34110.4.3. Valoración con costo amortizado ........................................................ 341

10.5. Instrumentos financieros: información a revelar .......................................... 36210.5.1. Activos o pasivos financieros a valor razonable con cambios en resultados .............................................. 36310.5.2. Baja en cuentas .......................................................................................... 36410.5.3. Garantías ........................................................................................................ 36410.5.4. Estado de resultados ................................................................................. 36510.5.5.Otra información a revelar ....................................................................... 36610.5.6. Riesgos procedentes de los instrumentos financieros ................. 36610.5.7. Información suministrada de los tipos de riesgo ............................ 36710.5.8. Riesgo de crédito ........................................................................................ 36810.5.9. Activos financieros en mora o deteriorados ..................................... 36810.5.10. Riesgo de liquidez .................................................................................. 36810.5.11. Riesgo de mercado .................................................................................. 368

10.6. Criterios de valoración de las diferentes categorías de activos financieros ..................................................................... 369

10.6.1. Préstamos y partidas a cobrar ................................................................ 36910.7. Ejercicios propuestos .............................................................................................. 380

Bibliografía recomendada .................................................................................385

13

Prefacio

Esta segunda edición del libro Matemáticas financieras con aplicaciones a las Ciencias económicas, administrativas, contables, financieras y a las In-genierías pretende constituirse en un libro de consulta permanente, ya que, como se pudo apreciar en la primera edición, se proporcionaba a los estudian-tes una exposición de todos los conceptos básicos inherentes al tratamiento de materias tales como álgebra, cálculo, matemáticas financieras, finanzas, administración financiera e ingeniería económica, entre otras. Esta segunda edición busca servir de complemento a cualquier libro de matemáticas fi-nancieras tradicional, pero con un componente fundamental de las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF) y las Normas Internacionales de Contabilidad (NIC), ya que ha sido diseñado con base en ejercicios que se fundamentan en las NIIF, para que sea de actualidad su contenido. Además, está concebido de manera tal que cualquier persona que tenga algunos cono-cimientos elementales de las matemáticas, la contabilidad y las finanzas podrá entender su contenido y aplicarlo en la solución de problemas financieros de la vida cotidiana de las organizaciones empresariales, sea cual sea su tamaño.

Cabe anotar que, como texto de consulta, brinda a los administradores finan-cieros, gerentes o administradores en general de grandes, medianas o peque-ñas empresas el apoyo y los conocimientos necesarios para que puedan ellos ayudar a maximizar los valores de sus empresas, mejorando las decisiones en áreas tan importantes como el manejo de los costos, el presupuesto de capital, la elección de la estructura de capital, al igual que la eficiente administración del capital de trabajo y el manejo idóneo del endeudamiento, todo ello con base en las Normas Internacionales del Información Financiera (NIIF).

Igualmente, hay que hacer alusión a que los procedimientos que exigen las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF) se aplican a una serie de conceptos de matemáticas financieras tales como valor presente neto y valor futuro, series uniformes, tasas de interés, valoración de acciones y valora-ción de bonos, entre otros; es por eso que nace la necesidad de desarrollar un

14


texto que presente los conceptos de matemáticas financieras aplicando para ello todos los temas de las Normas Internacionales de Contabilidad (NIC) y de las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF).

15

1Presentación primer capítulo

El primer capítulo de este texto está dedicado a exhibir una exposición detalla-da de los temas inherentes a la aplicación de las ecuaciones fundamentales del cálculo y de las matemáticas modernas al desarrollo empresarial y a la gestión financiera empresarial, ya que por medio de esta exposición y presentación de fórmulas y ejemplos el lector podrá desarrollar competencias para resolver problemas financieros del campo de las ciencias administrativas, económicas, contables y financieras, al igual que se fundamentará en el tratamiento de la administración financiera a través de la correcta aplicación de las ecuaciones que se presentan en él.

Este texto ha sido adecuado para que le sirva al estudiante en su práctica es-tudiantil y, posteriormente, se convierta en un punto de apoyo para el pro-fesional, puesto que la gran mayoría de fórmulas y ejercicios desarrollados en el cuerpo de este texto es la que se utiliza en el mundo de los negocios y de la práctica administrativa, económica, contable, financiera y gerencial que día a día se vive en los negocios. Igualmente, la presentación de este texto ha recibido gran aceptación por parte de profesores catedráticos y estudiantes de administración, economía, ingeniería industrial, contaduría pública y de las ciencias sociales, ya que presenta tópicos sobre álgebra, matemáticas finitas y cálculo diferencial e integral, en una forma en que los estudiantes obtendrán el máximo provecho. Cabe anotar que el texto fue redactado de una manera muy accesible, con orientación a la pedagogía, para que el estudiante pueda leer y trabajar todo el texto sin ayuda alguna.

Esta segunda edición presenta como innovación explicaciones extensas y muy completas. Contiene un número considerable de ejemplos y soluciones explicadas paso a paso. En toda la obra, se sugieren métodos especiales breves para la interpretación de los ejercicios. La obra utiliza el enfoque intuitivo a los

16


teoremas y sus aplicaciones, pues, como es bien sabido, las matemáticas se han convertido en una herramienta de trabajo indispensable para el diseño de modelos en el ámbito de las ciencias económicas, las finanzas, los negocios y la dirección de empresas. Tanto su lenguaje como sus técnicas permiten afrontar problemas que, de otra manera, serían difíciles de resolver.

Este libro aborda los conceptos matemáticos de frecuente aplicación en el campo de las ciencias económicas y de las finanzas y hace hincapié en la for-ma en que las matemáticas se relacionan con ellas. Tales relaciones se ilustran por medio de abundantes ejemplos y ejercicios que ayudan a profundizar en su comprensión. Por su característica de introducción, amplia y clara, y por su cuidado desarrollo metodológico, este libro se convertirá en texto indispen-sable para estudiantes de las ciencias económicas, administrativas, contables, financieras y, por supuesto, de las ingenieras.

Cabe anotar que en esta segunda edición se han incluido el estudio, análisis e interpretación de las Normas Internacionales de Contabilidad (NIC) y de las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF), temas estos de mu-cha actualidad, debido a que el nuevo escenario de la arquitectura contable se debe fundamentar en dichas normas. Igualmente, es preciso mencionar que las Normas Internacionales de Información Financiera (NIIF) representan un tema de bastante actualidad y de interés, debido a que estos son lineamientos internacionales estándar que pretenden, entre otras situaciones, la homologa-ción de las normas contables y financieras existentes en cada uno de los países y la idea es que todos hablemos un mismo lenguaje en términos contables y financieros; además, pretende homogenizar la preparación y presentación de los estados financieros.

17

Capítulo primero

“No se educa a la gente para la sociedad libre preparando técnicos que aguardan a ser ‘utilizados, técnicos incapaces de encontrar por

sí mismos su propio camino, porque se hallan convencidos de que incumbe a otros la responsabilidad

del uso apropiado de su habilidad o capacidad”.(Frederick Hayek, 1997, p. 105)

1. Aplicaciones de las ecuaciones a la administración financiera

En la mayor parte de los casos, para resolver los problemas de la práctica es necesario traducir las relaciones que se plantean en los problemas a símbolos matemáticos. A esto se le denomina modelación. Los siguientes ejemplos ilus-tran las técnicas y conceptos elementales. Es necesario examinar cada uno de ellos de forma cuidadosa antes de pasar a los ejercicios.

En el primer ejemplo, se hace referencia a algunos términos de la adminis-tración relacionados con las empresas industriales. Los costos fijos (o gastos generales) son la suma de todos los costos que son independientes de que se produzcan o no. Los costos variables son la suma de todos los costos que de-penden del nivel de producción, como mano de obra y materiales. Los costos totales son la suma de los costos variables y los fijos:

Costos totales = costos variables totales + costos fijos totalesCosto unitario = costo variable unitario + (costos fijos totales / unidades

producidas)

Los ingresos totales son el efectivo que el fabricante recibe por la venta de su producción. Están dados por:

Ingresos totales = (precio por unidad) (número de unidades vendidas)

18


Las utilidades son los ingresos totales menos los costos totales:

Utilidades = ingresos totales – costos totales

Ejemplo 1

Una empresa fabrica celulares de última generación; cada uno de estos celula-res tiene costos variables de US $60 por unidad y costos fijos de US $800.000. Cada unidad tiene un precio de venta de US $105. Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de US $215.000.

Sea q el número de unidades que deben ser vendidas (en muchos problemas, q representa una cantidad). Entonces, los costos variables (en dólares) son 6q. Por lo tanto, los costos totales para el caso son 6q + 80.000. Los ingresos totales por la venta de q en unidades son 10q. Y dado que

Utilidades = ingresos totales – costos totales,

el modelo para el problema es

215.000 = 100q – (60q + 800.000)

Que dá como resultado

215.000 = 100q – 60q – 800.0001.015.000 = 40q 25.375 = q

Así que es necesario vender 25.375 unidades a un precio de US $100 para ob-tener utilidades de US $215.000.

Demostración:

Ventas (25.375 unidades a US $100 C/U) $2.537.500Menos costos variables (25.375 unidades a US $60 C/U) ($1.522.500)Menos costos fijos ($800.000)Utilidad bruta en ventas $215.000

Ejemplo 2

La compañía de confecciones Kelinda fabrica ropa deportiva para dama y está planeando vender su nueva línea de sudaderas a tiendas que venden al

Cap. 1 - Aplicaciones de las ecuaciones a la administración financiera

19

menudeo. Los costos para el detallista serían de $36.000 por conjunto. Para conveniencia del detallista, el fabricante anexará una etiqueta de precio a cada conjunto. ¿Qué cantidad se debe imprimir en la etiqueta para que el comer-ciante pueda reducir su precio un 20% en una oferta promocional y obtener utilidades del 25% sobre los costos?

Aquí se usa la siguiente relación:

Precio por venta = costo por conjunto + utilidad por conjunto

Sea p el precio marcado en la etiqueta, por conjunto, en pesos. Durante la ofer-ta, el detallista recibe p – 0,20p. Esto debe ser igual al costo, de $36.000, más las utilidades, (0,25) (36.000). Por ello:

Precio de venta = costo + utilidadesp – 0,20p = 36.000 + (0,25) (36.000)

0,80p = 45.000p = 56.250

Desde un punto de vista práctico, la compañía debe imprimir un valor de $56.250 en la etiqueta del precio.

Demostración:

Ventas (1 conjunto) $56.250Menos descuentos en ventas (56.250 x 0,20) $11.250 Menos costos totales de compra (1 conjunto a) $36.000Utilidad bruta en ventas $9.000

Rentabilidad = Utilidad / Costos Totales = 9.000/36.000 = 0,25 x 100 = 25%

Ejemplo 3

Un inversionista colombiano invirtió un total de $10.000.000.oo en dos empre-sas, A y B. Al final del primer año, A y B produjeron rendimientos del 6% y del 5,75%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cómo se atribuyó la cantidad original, si el total que se ganó fue de $584.188,75?

Sea x la cantidad en pesos que fue necesario invertir al 6% EA. Entonces $10.000.000 – x se invirtieron al 5,75% EA. El interés q que se ganó fue de (0,06) y (0,0575)(10.000.000 – x), que hace un total de 584.188,75. Por lo tanto,

20


(0,06)x + (0,0575)(10.000.000 – x) = 584.188,750,06x + 575.000 – 0,0575x = 584.188,75

0,0025x = 9.188,75 x = 3.675.500

De manera que se invirtieron $3.675.500 al 6% y $10.000.000 - $3.675.500 = $6.324.500 al 5,75%.

Demostración:

Ingresos financieros inversión A $3.675.000 x 0,06 = $220.530Ingresos financieros inversión B $6.324.500 x 0.0575 = $363.658,75Total rendimientos obtenidos $584.188,75

Ejemplo 4

La junta directiva de una compañía en su reunión anual de administración decidió amortizar parte de sus bonos en dos años. En ese momento, se reque-rirían US$1.210.000. Supóngase que en el presente se destinan US$1.000.000. ¿A qué tasa de interés compuesto anual tendrá que invertirse esa cantidad para que su valor futuro sea suficiente para redimir los bonos?

Sea r la tasa de interés anual que se requiere. Al final del primer año, la cantidad acumulada será de US$1.000.000 más los intereses, US$1.000.000r, lo que dará un total de

1.000.000 + 1.000.000r = 1.000.000(1 + r)

Con el interés compuesto, al final del segundo año la cantidad acumulada será de 1.000.000(1 + r), más los intereses sobre esta cantidad, que serán de [1.000.000(1 + r)]r. Por tanto, el valor total al final del segundo año será de 1.000.000(1 + r) + 1.000.000(1 + r)r. Esta cantidad debe ser igual a $1.102.500:

1.000.000(1 + r) + 1.000.000(1 + r)r = 1.210.000

Dado que 1.000.000(1 + r) es factor común de los términos del lado izquierdo, se tiene que


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1.000.000(1 + r)(1 + r) = 1.210.0001.000.000(1 + r)² = 1.210.000(1 + r)² = 1.210.000 = 12.100 = 484 1.000.000 10.000 4001 + r = + √484 = + 22 400 20r = - 1 + 22 20

Por ello, r = - 1 + (22/20) = 0,10 o bien r = - 1 – (22/20) = -2,10. Aunque 0,10 y – 2,10 son raíces de la ecuación (1), se rechaza –2,10; puesto que se desea que r sea positiva. De ahí que r = 0,10 y, por lo tanto, la tasa que se desea es del 10% EA.

Existen algunas ocasiones donde es posible que haya más de una forma de modelar un problema planteado en términos verbales, tal como se muestra en el ejemplo 5.

Ejemplo 5

Una empresa de bienes raíces es propietaria de un conjunto de apartamentos; el conjunto consta de 70 de ellos, los cuales se pueden arrendar por US $250 al mes (cada uno). Sin embargo, por cada US $10 que se aumenten en el valor del arrendamiento de cada mes se tendrán dos apartamentos desocupados sin posibilidad de alquilarlos. La empresa desea obtener US $17.980 de in-gresos mensuales con las rentas. ¿Cuánto debe cobrar por el alquiler de cada apartamento?

Método I. Supóngase que r es la renta (en dólares) que se cobrará por apar-tamento. Con esto, el aumento sobre el nivel de US$250 es r – 250. Así que el número de aumentos de US$10 será de r – 250. Puesto que cada aumento de US $10 da como resultado dos apartamentos desocupados, 10

vacíos, el número total de estos será 2 r – 250 . En consecuencia, el número total de 10

apartamentos rentados será 70 – 2 r – 250 . Puesto que renta total = (renta 10por apartamento) (número de apartamentos rentados), se tiene que:

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17.980 = r 70 – 2(r – 250) 10

17.980 = r 70 – r – 250 5

17.980 = r 350 – r + 250 5

89.900 = r[600 – r]

Así que

r² - 600r + 89.000 = 0

Por la fórmula cuadrática,

r = 600 ± √ (-600)² - 4(1)(89.900) 2(1)

= 600 ± √400 = 600 ± 20 = 300 ± 10 2 2

La renta de cada apartamento debe ser $310 o $290.

Método II. Supongamos entonces que n es el número de aumentos de US $10. Entonces, el aumento de la renta es de 10n y habrá 2n apartamentos desocupados. Puesto que renta total = (renta por apartamento)(número de apartamentos arrendados), entonces tenemos que

17.980 = (250 + 10n)(70 – 2n)17.980 = 17.500 + 200n – 20n²

20n² - 200n + 480 = 0 n² - 10n + 24 = 0(n – 6)(n- 4) = 0

Por ello, n = 6 o bien n = 4. La renta por departamento debe ser de 250 + 10(6) = $310 o bien 250 + 10(4) = $290.


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1.1. Ejercicios propuestos

1. Una compañía del sector industrial fabrica un producto que tiene costos variables de $80.000 por unidad. Si los costos fijos son de $800.000.000 y se vende cada unidad en $150.000, ¿cuántas unidades deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $1.156.500.000?

(Respuesta: 27.950 unidades)

2. Una persona invirtió USD$120.000. Una parte a una tasa de interés del 6% anual y el resto al 7% anual. El total de intereses ganados al final del primer año fue equivalente a una tasa anual del 6,75% sobre el total de los USD$120.000. ¿Cuánto invirtió según cada tasa de interés?

3. Los administradores de una compañía desean saber el total de uni-dades que deben venderse para que la firma obtenga utilidades de USD$100.000. Se tienen disponibles los siguientes datos: precio unitario de ventas, USD$20; costos variables por unidad, USD$15; costos fijos to-tales, USD$600.000. Determínense las ventas que se requieren, en unida-des, para lograr las utilidades propuestas.


4. Una compañía del sector manufacturero produce solo un producto que tiene costos variables de USD$16 por unidad. Si los costos fijos son de USD$650,000 y se vende cada unidad en USD$38, ¿cuántas unidades de-ben venderse para que la compañía obtenga utilidades de USD$750.000?

5. La fábrica Deportivo el GRAN TICO fabrica ropa deportiva para caballeros y está planeando vender su nueva línea de sudaderas a tiendas que ven-den al menudeo. Los costos para el detallista serían de $78.525 por suda-dera. Para conveniencia del detallista, el fabricante anexará una etiqueta de precio a cada sudadera. ¿Qué cantidad se debe imprimir en la etiqueta para que el comerciante pueda reducir su precio en un 30% en una oferta promocional y obtener utilidades del 25% sobre los costos?

(Respuesta: $136.100 pesos)

6. Los inversionistas Patrick Clark y Carl Shullenger de Gran Bretaña desean invertir USD$2.000.000 en dos empresas colombianas, de manera que sus ingresos totales sean de USD$344.500 al año. Una compañía paga el 6% anual. ¿Cuánto deben invertir en cada una de ellas?

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7. Un inversionista colombiano invirtió un total de $150.000.000.oo en dos empresas, A y B. Al final del primer año, A y B produjeron rendimientos del 5,5% y del 4,75%, respectivamente, sobre las inversiones originales. ¿Cómo se atribuyó la cantidad original si el total que se ganó fue de $7.630.014,38?

(Respuesta: $67.335.250 al 5,5% y $82.664.750 al 4,75%)

8. El costo total de un producto es de USD$3,40 para el vendedor al menu-deo. Si este desea obtener utilidades del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio deberá vender el producto?

9. El administrador de la compañía El Ilusionista desea saber el total de uni-dades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de USD$450.000. Se tienen disponibles los siguientes datos: precio unitario de ventas, USD$34; costos variables por unidad, USD$14; costos fijos to-tales, USD$825.000. Determínense las ventas que se requieren, en unida-des, para lograr las utilidades propuestas.


10. Una familia invirtió USD$420.000. Una parte a una tasa de interés del 6% anual y el resto al 7% anual. El total de intereses ganados al final del pri-mer año fue equivalente a una tasa anual del 6,75% sobre el total de los USD$420.000. ¿Cuánto invirtió según cada tasa de interés?

11. La compañía La Exhibicionista, dedicada al sector industrial, fabrica un producto que tiene costos variables de USD$37,50 por unidad. Si los cos-tos fijos son de USD$1.250.000 y se vende cada unidad en USD$69,50, ¿cuántas unidades deben venderse para que la compañía obtenga utili-dades de USD$1.500.000?


12. El costo total de un producto es de USD$33,50 para el vendedor al menu-deo. Si este desea obtener utilidades del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio deberá vender el producto?

1.2. Desigualdades lineales

Supóngase que a y b son dos puntos que se encuentran sobre la recta de los números reales. En este caso, puede suceder que a y b coincidan, que a esté a la izquierda de b o que a esté a la derecha de b (véase la figura 1.1).


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Figura 1.1

b

a a < b, a es menor que b

a b

a b a > b, a es mayor que b

b < a, b es menor que a

Si a y b coinciden, entonces a = b. Si a está a la izquierda de b, se dice que a es menor que b y se escribe a < b, en donde el símbolo de desigualdad “<” se lee “es menor que”. Por otro lado, si a está a la derecha de b, se dice que a es mayor que b y se escribe a > b. Escribir a > b es equivalente a escribir b < a.

Otro símbolo de desigualdad es “<”, que se lee como “es menos que o igual a” y se define como: a < b si y solo si a > b o bien a = b. De manera similar, el símbolo “>” se define como: a > b si y solo si a > b o bien a = b. En este caso, se dice que “a es mayor que o igual a b”.

Se utilizarán las palabras números reales de manera indistinta, puesto que exis-te una correspondencia de uno a uno entre los números reales y los puntos de una recta. Por ello, se puede hablar de los puntos –5, -2, 0, 7 y 9 y se puede escribir 7 < 9, -2 > -5, 7 < 7 y 7 > 0 (véase en la figura 1.2). Resulta evidente que, si a > 0, entonces a es positivo; si a < 0, es negativo.

Figura 1.2

-5 -2 0 7 9

Supóngase que a < b y x se encuentra entre a y b (véase en la figura 1.3). En-tonces, no solo a < x, sino que x < b. Se señala esto escribiendo a < x < b. Por ejemplo, 0 < 7 < 9 (véase en la figura 1.2).

Figura 1.3

a x b

a < x < b

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Al definir una desigualdad en la parte que sigue, se utilizará la relación menor que (<), pero también se aplican los demás símbolos (>, >, <,).

1.2.1. Definición

Una desigualdad es un planteamiento que establece que un número es menor que otro.

Por supuesto, se representan las desigualdades por medio de símbolos de desigualdad. Si en dos desigualdades sus símbolos apuntan en la misma di-rección, entonces se dice que las desigualdades tienen el mismo sentido. Si no es así, se dice que tienen sentidos opuestos o que una tiene el sentido inverso de la otra. Por lo tanto, a < b y c < d tienen el mismo sentido, pero a < b tiene el sentido opuesto a c > d.

Resolver una desigualdad, como 2(x-3) < 4, significa encontrar todos los valo-res para los cuales la desigualdad se verifica. Esto implica utilizar ciertas reglas que se enuncian enseguida.

1. Si se suma o se resta el mismo número en ambos lados de una desigual-dad, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la original. En términos simbólicos,

Si a < b, entonces a + c < b + c y a – c < b – c.

Por ejemplo, 7 < 10 y 7 + 3 < 10 + 3.

2. Si se multiplican o se dividen ambos lados de una desigualdad por el mis-mo número positivo, la desigualdad resultante tiene el mismo sentido que la desigualdad original. En términos simbólicos,

si a < b y c > 0, entonces ac < bc y a/b < b/c.

Por ejemplo, puesto que 3 < 7 y 2 > 0, entonces 3(2) < 7(2). También 3/2 < 7/2.

3. Si se multiplican o se dividen ambos lados de una desigualdad por el mismo número negativo, entonces la desigualdad resultante tiene un sentido opuesto a la desigualdad original. Simbólicamente,

si a < b y c > 0, entonces a(-c) > b(-c) y a/(-c) > b/(-c).

Por ejemplo, a < 7, pero 4(-2) > 7(-2). También 4/(-2) > 7/(-2).


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4. Se puede reemplazar cualquier lado de una desigualdad por una expre-sión equivalente. Simbólicamente,

si a < b y a = c, entonces c < b.

Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2.

5. Si ambos lados de una desigualdad son positivos o negativos, entonces sus respectivos recíprocos* son desiguales en el sentido inverso. Por ejemplo, 2 < 4, pero ½ > ¼.

6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tiene el mismo sen-tido que la desigualdad original. Por ello, si a > b > 0 y n> 0, entonces

an > bn y √ a > √ b.

Por ejemplo, 9 > 4 y, por lo tanto, 9² > 4² y √9 > √4.

El resultado de aplicar las reglas 1-4 a una desigualdad se denomina desigual-dad equivalente. Es una desigualdad cuya solución es exactamente la misma que la desigualdad original. Se aplicarán estas reglas a desigualdades lineales.

1.2.2. Definición de desigualdad lineal

Una desigualdad lineal en la variable z es una desigualdad que puede escri-birse de la siguiente forma:

ax + b < 0 o bien ax + b < 0

En donde a y b son constantes y a ≠ 0.

En los ejemplos siguientes de resolución de las desigualdades lineales, se indi-ca en el lado derecho la propiedad que se utiliza. En cada uno de los pasos, se reemplazará la desigualdad dada con otra equivalente, hasta que la solución sea evidente.

Ejemplo 6

Resolver las siguientes desigualdades.

a. 2(x – 3) < 4

2(x – 3) < 42x – 6 < 4 (4)2x – 6 + 6 < 4 + 6 (1)

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2x < 101 (4)2x < 10 (2)2 2x < 5

Todas las desigualdades son equivalentes, de modo que la desigualdad origi-nal es cierta para todos los números reales x tales que x < 5. Se escribe de forma simple la solución como x < 5. En términos geométricos, se puede representar esto mediante el segmento de trazo más grueso marcado en la figura 1.4. El signo de paréntesis indica que 5 no está incluido en la solución.

Figura 1.4 Figura 1.5

X < 5 5

x > - 3/2 -3/2

b. 3 – 2x < 63 – 2x < 6- 2x < 3 (1)x > - 3 (3)2

La solución es x > - 3/2. Esto se representa geométricamente en la figura 1.5. El símbolo de corchete señala que – 3/2 está incluido en la solución.

Ejemplo 7

Resolver 3/2(s – 2) + 1 > -2(s – 4).

3/2(s – 2) + 1 > -2(s – 4)2[3/2(s – 2) + 1] > 2 [-2(s – 4)] (2)3(s – 2) + 2 > -4(s – 4)3s – 4 > -4s + 167s > 20 (1)s > 20 (2)

Figura 1.6

s > 20/7

20/7 Véase la figura 1.6.

1 El recíproco de un número diferente de 0, a, se define como (1/a).


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Ejemplo 8

Resolver las siguientes desigualdades:

a. 2(x – 4) – 3 > 2x – 12(x – 4) – 3 > 2x – 12x – 8 – 3 > 2x – 1 -11 > -1

Puesto que nunca es cierto que –11 > -1, no existe solución alguna y el conjun-to solución es ø.

b. 2(x – 4) – 3 < 2x – 1

Procediendo de la misma forma que en (a), se obtiene –11 < -1. Esto verifica para todos los números reales x. Se escribe la solución como -∞ < x < ∞ (véase la figura 1.7). Los símbolos -∞ y ∞ no son números, sino simplemente una ayu-da para señalar que la solución son todos los números reales.

Figura 1.7

-∞ < x < ∞

Con frecuencia se utilizará el término intervalo para describir ciertos conjuntos de números reales. Por ejemplo, el conjunto de todos los números reales para los cuales a < x > b se denomina intervalo cerrado e incluye los extremos a y b. Se le denota mediante [a, b]. El conjunto de todos los números x para los cuales a < x <b se denomina intervalo abierto y se denota mediante (a, b). Los extremos no son parte de este conjunto (véase la figura 1.8).

Figura 1.8

a b

Intervalo cerrado [a,b]

a b Intervalo abierto (a,b)

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