Conicas_presentacion
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Conicas
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Matemati cas 2 Conicas
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Contenidos
1 Ecuacion de la elipse
2 Ecuacion de la hiperbola
3
Ecuacion de la parabola4 Ecuaciones de las conicas con el centro o vertice desplazado
5 Ecuacion general de una conica
6 Conicas degeneradas
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Circunferencia y elipse
Ecuacion de la circunferencia: x 2 + y 2 = r 2, radio r .
Ecuacion de la elipse: x 2
a2 + y 2
b 2 = 1, centro (0, 0) y semiejes a y b .
La circunferencia es el caso particular de la elipse a = b = r .
Importante
Estas ecuaciones “sencillas” corresponden a la conica centrada en elorigen y con los ejes paralelos a los ejes coordenados. Este tipo deecuaciones los llamaremos ecuaci´ on reducida de la c´ onica.
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Hiperbola
Ecuacion de la hiperbola: x 2
a2 − y 2
b 2 = 1, centro (0, 0) y con los ejes
paralelos a los ejes coordenados.
Las asıntotas corresponden a un caso “degenerado” de conica (par de
rectas), cuya ecuacion es: x 2
a2 − y 2
b 2 = 0, de donde se obtienen las
ecuaciones y = ±b a
x .
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Parabola
La ecuacion reducida de la parabola es: y = ax 2
, el vertice esta en elpunto (0, 0) y con los ejes paralelos a los ejes coordenados.
La parabola de la figura tiene el vertice en el punto (0, c ) y su ecuaciones: y = ax 2 + c .
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Ejemplos
Las conicas de ecuaciones x 2 + 4y 2 = 4, y = 3x 2, x 2 − y 2 = 1 son:
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¿Que hacer si el centro no es el (0, 0)?
Cuando se desplaza el centro o el vertice de la conica a un punto delplano que no es el origen de coordenadas, la ecuacion de la conica semodifica.La elipse
tiene de ecuacion: 8x 2 + y 2 + 10x = 5.
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¿Que hacer si el centro no es el (0, 0)?
Supongamos que la conica (elipse, hiperbola, parabola) esta centrada otiene su vertice en un punto (x 0, y 0), pero mantiene los ejes paralelos alos ejes coordenados.
Ecuacion de la elipse
(x − x 0)2
a2 +
(y − y 0)2
b 2 = 1
centro (x 0, y 0) y semiejes a y b .En particular, la circunferencia de radio r es (x − x 0)2 + (y − y 0)2 = r 2.
Ecuacion de la hiperbola
(x − x 0)2
a2
−(y − y 0)2
b 2
= 1
Ecuacion de la parabola
y − y 0 = a(x − x 0)2
Vertice en el punto (x 0, y 0) y eje vertical.
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Ejemplos: identificando una conica
Para reconocer una conica a partir de su ecuacion y, ademas, obtenerinformacion sobre su centro o vertice, semiejes, etc, se completan loscuadrados perfectos y se identifica con alguna de las ecuacionesanteriores.
Ejemplo
Clasificar la conica x 2 − 2y 2 − 2x − 4y − 3 = 0.
Completamos los cuadrados, expresando la ecuacion como:
(x − 1)2− 2(y + 1)2 = 2
que corresponde a una hipercbola cuyo centro esta en el punto (1,−1).
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Q ´ h i l l i d ´
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¿Que hacer si el centro no es el origen y ademasesta “girada”?
Para identificar la conica se realizan dos pasos
1. Se identifican los ejes de la conica (diagonalizando una matriz) y serealiza un giro para que el sistema de coordenadas y los ejes de la conicasean paralelos.2. Se completan los cuadrados como en ejemplos anteriores paraidentificar la conica calculando, ademas, el centro o vertice.
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E i´ l d ´ i
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Ecuacion general de una conica
¿Que tienen en comun todas las conicas?Que su ecuacion es una ecuacion polinomica de segundo grado en x e y .
DefinicionUna conica es el lugar geometrico de los puntos (x , y ) del plano R
2 quesatisfacen una ecuacion de la forma:
a11x 2 + a22y 2 + 2a12xy + a1x + a2y + a0 = 0
donde (x , y ) ∈ R2 y los coeficientes aij , ak son numeros reales.
Expresion matricial
(x , y )A
x y
+ (a1, a2)
x y
+ a0 = 0 donde A =
a11 a12
a12 a22
Ejemplo
x 2 + 2y 2 + 6xy + 3x − y − 4 = 0.
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C´ i d d
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Conicas degeneradas
La ecuacion general de la conica incluye todas (desplazadas y giradas) laselipses, hiperbolas y parabolas posibles, sin embargo en algunos casospuede dar lugar a lo que llamamos c´ onicas degeneradas . algunos ejemplosson:
Par de rectas que se cortan:x 2
a2 − y 2
b 2 = 0, son las rectas: y = ±
b a
x .
Par de rectas paralelas:(x − x 0)2 = c 2, rectas paralelas al eje OY x = x 0 ± c .
Un punto:
x
2
a2 + y 2
b 2 = 0, es el punto (0, 0).
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C´ i i d l
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Conicas = secciones del cono
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