CONCEPTOSDE MATEMATICA

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■ PARA EL MAESTROO___o o©n .

i EL PROFESOR>!.© -

© ■ ©o r O : EL ESTUDIANTEJO # o; _______

En su octavó añode vida

En este número:Pág.

3 La enseñanza primaria:Metodología de la matemática

Carta al lector ............................La matemática en la escuela se­

cundaria ........... ........................Llamado a los docentes:

El programa de Duvronnik .. Encuesta sobre ia enseñanza de

la matemática ......................La enseñanza elementad en

Francia ...................:.............Opiniones de docentes ...........

(E. P. Grossi)........................Problemas sobre conjuntos y rela­

ciones (C. A. Trejo) ...............4

6 Orientación:Nociones conjuntistas (N. Du-

15 moni)Métodos intuitivos activos (XV.

Serváis)1921 Bibliografía

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matemáticaConceptos que guardan entre sí una estrecha rela­ción. Y que se materializan y unifican en nuestras cuidadas ediciones de libros de texto para la ense­ñanza media y superior de la matemática. Prepara­dos por destacados especialistas, su alto nivel didác­tico y científico los convierte en valiosos auxiliares del profesor y en irreemplazable fuente de conoci­mientos para el estudiante.

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II. Cálculo infinitesimal de varias variables. Aplicaciones.

III. Análisis funcional y aplicaciones.AN1LISIS VECTORIAL César A. TrejoMATEMATICA GENERAL César A. Trejo

I. Elementos de álgebra, de geome­tría analítica y de trigonometría

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EL ENFOQUE CONJUNTISTA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA. César A. Trejo

MATEMATICA MODERNA. Lucienne Félix.ENSEÑANZA DE LA MATEMATI­CA. Fausto I. ToranzosLEXICON KAPELUSZ: MATEMA­TICA. Francisco Vera

|

m «SEPTOSTecnología argentina a nivel

internacionalDE MATEMATICA

AÑO VIII N° 29Enero-Febrero-Marzo 1974CONCEPTOS DE MATEMATICA PUBLICACION TRIMI STRAl

Redacción y Administración:Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A.

Depósito:Fernández Blanco 2045 - Bs. As.

Director - EditorJOSE BANFI

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* La noticia se va volviendo habitual. CONCEPTOS DE MATEMATICA inicia un nuevo año de vida, en este caso, el octavo. Esto, que para nosotros es motivo de íntima satis­facción, nos lleva a expresar nuestro agradecimiento a ios lectores que consecuentemente nos han acompañado colabo­rando para que pudiéramos realizar i a empresa que teníamos entre manos de informar sobre' ios problemas científicos y pedagógicos de la enseñanza de la matemática.

* Exageraríamos si pensáramos que nuestra obra ha sido perfecta ni mucho menos. Hemos tenido altos y bajos pero creemos que, en conjunto, ei resultado es aceptable Y, por supuesto, seguiremos en ia brecha tratando de mejorarnos y de continuar siendo entre los docentes de matemática ei vínculo a que aspiramos desde ei momento inicial.

* Seguimos creyendo que, en ese sentido y en otros, el llamado hecho a ios docentes de matemática es el tema principal ai que nos dedicaremos en ei resto de este año. Hoy tenemos ei agrado de entregarles nuevos aportes. En primer término, el programa de Duvronnik, redactado por una Comisión de Expertos propuesta por ei Seminario de Royaumont. Quizás se trate de un documento algo viejo pero son muchos los que lo desconocen; además ei hecho de haber intervenido en su formulación matemáticos de i a cate­goría de Artin y pedagogos de i a matemática del' renombre de Serváis lo convierten en una pauta ineludible para trabajos futuros. Publicamos también una encuesta del Coloquio In­ternacional realizado en Lausana, Suiza en 1967, avalado por ia presencia dei indiscutido filósofo de las ciencias, F. Gon- seth; asimismo se incluyen ios programas actuales de ia enseñanza primaria francesa y las colaboraciones de dos de nuestros lectores. Trataremos de reunir otros importantes documentos que se publicarán en números sucesivos.

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i •tedascion y sumatoria permiten que el programa Asesores: José Babini, Frédéríque

Papy, Georges Papy.Redactores: Raúl A. Chiappa, Emi­

lio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández, Alfredo R. Palacios, Atibo Piaña, Elsa Sa- bbattiello, Andrés Valeiras y Cristina Verdaguer de Bañil.

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visor luminoso.

'

i

I Impreso en COG TAL Rivadavia 767. Capital * Nos place destacar entre ei resto del material un artículo

sobre Metodología de ia matemática, de ia profesora brasi­leña Esther P. Grossi; en primer lugar, por tratarse de una docente latinoamericana y, además, por referirse a una ex­periencia piloto que se está cumpliendo en Porto Alegre, Brasil.

!INTERES GENERAL Concesión N° 8205

FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2607 Los saluda muy cordialmentei

EL DIRECTOR

3

* V

normal, el otro a ritmo lento. Este último sería destinado más bien a los utilizadores flojos y a los alumnos de los ciclos cortos (de finalidad). Los dos cursos no se diferenciarían ni por el número de horas ni por el programa sino por el grado de profundización de la materia.

La posibilidad se volver a atrapar a los alumnos debería ser mantenida en el grado de orientación.

En el grado de determinación, el curso obli­gatorio de matemática comportaría, en esta óptica, siete horas semanales para los utiliza­dores fuertes y tres horas por semana para los utilizadores débiles.

Pensamos que un mínimo de tres horas semanales es indispensable para asegurar una coherencia y una eficacia suficiente del curso de matemática.

tenido se orientaría notoriamente hacia las aplicaciones de la matemática. Podrían ser presentados desde el primer año del grado de orientación para satisfacer las necesidades de los cursos científicos y técnicos. Su volumen total podría ir desde una hora semanal en el primer grado del año de orientación hasta cuatro horas semanales durante los dos años del grado de orientación. En este último caso, esos cursos se organizarían en dos niveles se­gún que fueran destinados a utilizadores flojos o a utilizadores fuertes.

La matemática en la

enseñanza secundaria(Sociedad Belga de Profesores de Matemática)

todas las otras ciencias, e incluso en las letras y las ciencias"Se puede observar el papel de las matemáticas enhumanas. , ,

Las matemáticas tienen hoy interés universal por sus aplicaciones. Esa es evidentemente una de las razonespor las cuales todos los primeros años de todas las facultades exigen una fuerte base de matemáticas. Hay más: las matemáticas constituyen una escuela de razonamiento y de pensamiento de~ tal pureza que no ha sido superada por ninguna otra. Si a menudo se ha dicho que lo esencial de Ja enseñanza debería ser el lenguaje materno, otro lenguaje y las matemáticas, se quizo .decir con eso que asi se forma un tipo de razonamiento, como también lo hacen todas las demás ciencias, pero superior a ¡o que lo hacen todas las otras ciencias. Una mente que ha recibido información matemática durante cierto tiempo es una mente que razona para siempre deotra manera.

5. Di versificación de la formación ma­temática.

La diversificación de los dos tipos de for­mación de base se ubica en el umbral del primer año de determinación. El cambio de orientación resulta así. posible justo a ese ni­vel. Cada uno de los tipos de formación de base puede complementarse mediante la elec­ción de opciones. El abanico de las posibili­dades se presentaría así:

Laurent SCHWARTZ4. Cursos suplementarios optativos.

Paralelamente a la formación de base, debe­rían preverse cursos optativos para responder a diversas exigencias de los utilizadores. El con-

año complementario de formación, lo ,1. Importancia y objetivo del curso de matemática^.

Se admite cada vez más qúe la finalidad del curso de matemática consiste en adquirir una aptitud para el razonamiento lógico más bien que en acumular conocimientos numerosos. Se alcanzará ese objetivo llevando a los alumnos a matematizar numerosas situaciones, extraídas, de todas las disciplinas y de la vida corriente, a abstraer mediante ellas las estructuras, a es­tudiarlas deductivamente y a utilizarlas en dominios diversos.

Una formación matemática progresiva tal exige tiempo y no se acomoda en un progra­ma recargado y rígido que encierra a los pro­fesores en un cerco que impide todo esfuerzo de investigación. En este espíritu, los profe­sores no deberían señalar explícitamente mgs que temas de gran valor formativo.

con unque constituirá una medida antisocial.

El auxilio de una formación continua -inexistente en la hora actual— no permitiría llenar eficazmente una laguna de orden Jógico o conceptual. Sin embargo, el curso de ma­temática está presente en forma obligatoria y continua en todos los años de enseñanza se­cundaria de los estados del Mercado Común

:

Grado de orientación Mínimo obligatorio Opciones

1a posibilidad 2a posibilidad 3a posibilidad

5 horas semanales 5 horas semanales 5 horas semanales

1 hora semanal 1 hora semanal

Europeo.En conclusión: estimamos que la nueva es­

tructura de la escuela secundaria debe prever, para todos los alumnos, un curso de matemá­tica dirigido a todos durante seis años.

Mínimoobligatorio OpcionesGrado de determinación

3 h/sem. 3 h/sem. 3 h/sem.

1a posibilidad 2a posibilidad 3a posibilidad

Formación A (útil, flojos)

3. Mínimo de la formación de base.

Para adquirir cierta aptitud para el razo­namiento fógico, un conocimiento elemental de las estructuras fundamentales de la mate­mática y capacidad para aplicarlas, es necesa­rio, para todos los utilizadores flojos, un vo­lumen mínimo de 26 horas semanales a repar­tir en los 6 años (*).

En los grados de observación y de orienta­ción se podría, por ejemplo, repartir 4 horas por semana másuna hora de trabajos dirigidos por semiclase en cada uno de los cuatro años.

Los cursos del grado de orientación debe­rían organizarse en dos niveles, uno a ritmo

2 h/sem. 4 h/sem.

I7 h/sem. 7 h/sem. 7 h/sem.

1a posibilidad 2a posibilidad 3a posibilidad

Formación B (útil, fuertes) 2 h/sem.

4 h/sem.2. Presencia de la matemática en todos los cursos de la enseñanza secundaria.

La matemática está cada vez más presente en las actividades humanas más diversas. Lo atestigua el inventario de los cursos dictados en la enseñanza superior, en Bélgica y en el extranjero.

Los alumnos que egresaren de una ense­ñanza sécundaria en la que la matemática es­tuviera ausente de los programas se encontra­rían en un callejón sin salida que limitaría fuertemente la equivalencia de los diplomas.

Una interrupción de dos años en la forma­ción matemática no podría compensarse sino

imperiosa necesidad de asegurar a los niños que frecuenta los ciclos de observación y de orientación una sólida formación de base en matemática: se trata de hacerles adquirir apti­tud para el razonamiento y eso no se puede alcanzar sino se dispone de tiempo suficiente. La delegación subrayó la necesidad de la exis­tencia de un curso, para todos los alumnos durante los seis años de la enseñanza secun­daria.

Entrevista con el Ministro de Educación Nacional(

Una delegación compuesta por los señores Willy Serváis, presidente honorario, Roger Bex,'presidente, Roger Holvoet, vicepresiden­te, Yolanda Noel, secretaria y Michel Beifnot, tesorero, fue recibida el 25 de febrero de 1971 por el señor Ministro Dubois, asistido por el señor inspector Lecrompe. Se presentó al ministro el informe que hemos reproducido.

La delegación insistió fuertemente sobre la

t

. Comprendiendo la hora semanal de trabajos dirigi­dos que deseamos vivamente ver figurar tanto en el grado de orientación cuanto en el de obser­vación.

El ministro observó que el informe aprueba el número de horas atribuido a la enseñanza

(Sigue en pág. 24)5

4

1

!

LLAMADO A LOS DOCENTES

El programa de Duvronmk'La reunión de Royaumont había conveni­

do, por otra parte, que para ser eventualmente accesible a todos los alumnos del secundario, el programa debía poder adaptarse a esa inten­ción. Eso explica la decisión inicial del Grupo de considerar los seis años escolares de la enseñanza secundaria como constituido dos ciclos de tres años cada uno y concebir el programa desde ese punto de vista.

Los programas para el primer ciclo fueron previstos de manera de poder ser modificados fácil y útilmente para convertirse en un pro­grama de matemáticas adaptado para los alum­nos de nivel medio. Por lo contrario, los pro­gramas del segundo ciclo están esencialmente destinados a los alumnos que se orientan hacia los estudios científicos y técnicos superiores y más particularmente a los alumnos que optan por estudios de matemáticas y física más ele­vados. Parece, sin embargo, que un número de alumnos dotados, pero no destinados a una carrera científica, podrían con el nuevo pro­grama estimular su curiosidad intelectual. El programa también les servirá de introducción al pensamiento matemático indispensable para la elaboración de nuestro mundo moderno.

Los programas constituyen, además, suges­tiones destinadas a estimular la reflexión sobre la naturaleza de las matemáticas que conviene enseñar en los establecimientos secundarios y sobre la manera de presentar ese enseñanza.

Por falta de tiempo, el Grupo no pudo elaborar soluciones de reserva, pero no se le escapó el interés existente por ofrecer y testi­moniar tales proposiciones. De cualquier ma­nera, los programas puestos a punto luego de las sesiones de trabajo no son más que elemen­tos destinados a servir de base para la prepara­ción de textos y de cursos experimentales.

Un programa definitivo sólo podrá ser for­mulado luego de la .impresión de textos y al término de un período experimental. Los tex­tos, las experiencias y el programa definitivo deberán, inevitablemente, ser adaptados a los métodos tradicionales de los* países que em­prenderán la modernización de sus programas. Vale decir que el trabajo del Grupo de Exper­tos no puede considerarse más que una prime­ra tentativa, pero una tentativa que continuará gracias al impulso de OECE y a la ayuda que puede ofrecer a los países miembros deseosos de establecer, individual o conjuntamente, pro­gramas basados sobre los trabajos que consti­tuyen el objetivo del presente informe.

El Grupo presenta el resultado de sus traba­

jos con la seguridad que le confiere un grupo de circunstancias excepcionales que le ha per­mitido reunir junto al aporte de los maestros de la investigación matemática más eminentes, la rica y variada experiencia de los administra­dores de la escuela secundaria. El programa comprende —el Grupo está convencido— "bue­na matemática" que responde a una concep­ción moderna, perfectamente adaptada a las exigencias y a las posibilidades de los alumnos de las escuelas secundarias. Dentro del espíritu de cuerpo, esta versión definitiva de sus traba­jos permite abordar y tratar el programa lógi­camente en su conjunto —no estando ya el álgebra, la geometría y el análisis separadas por tabiques sino, por lo contrario, puestas en valor en el contexto de sus interrelaciones estrechas e indispensables para una bueno comprensión del tema. En verdad, esta tenden­cia a la unificación es una de las característi­cas de la evolución de la matemática en el siglo XX. Es importante, pues, que un progra­ma de enseñanza moderna ponga el acento sobre esta unidad fundamental de las mate­máticas.

Las matemáticas tienen incidencias cada vez más numerosas e interesantes sobre todas las

disciplinas científicas. Siendo perfectamente conscientes de ese aspecto del problema, sin embargo, el Grupo no ha creído deber insistir sobre ese aspecto del programa examinado. No es, no obstante, menos evidente que la intro­ducción de las nociones de probabilidad y de matemáticas estadísticas en un programa de enseñanza secundaria será, en sus prolongacio­nes prácticas, de gran utilidad. De la misma manera, la introducción 'precoz de la noción de vectores y el desarrollo sistemático de sus propiedades algebraicas y geométricas puede ser de utilidad considerable para los alumnos y profesores de física. Tales consideraciones han tenido importante lugar en las discusiones del Grupo; muestran que se acuerda todo su valor al papel de la matemática en otros dominios ajenos al suyo. Se puede, pues, esperar que, en lo sucesivo, cuando los medios pedagógicos emprendan un estudio serio de la coordinación de la enseñanza de las matemáticas y de las ciencias (particularmente, la física), los progra­mas propuestos por el Grupo se revelarán inte­ligentemente orientados en ese aspecto.

Los programas de álgebra y de geometría, de probabilidad y dé estadística, se dividen en 2 ciclos: el primero, para alumnos de 11 a 15 años; el segundo, para alumnos de 15 a 18 años.

por .

tos debería tener reuniones preliminares en el transcurso del año universitario 1959-1960 y una sesión de por lo menos cuatro semanas durante las vacaciones de verano de 1960."

Para ejecutar esta resolución, OECE reunió poco después un Grupo de Expertos y le con­fió la misión de elaborar los elementos de un programa moderno de enseñanza de las mate­máticas en los establecimientos secundarios.

La Sesión de Trabajo del Grupo se cumplió en Yugoslavia, del 21 de agosto al 19 de setiembre de 1960. Desde el comienzo se deci­dió que el tiempo disponible no le permitiría realizar más que una parte de la tarea inicial­mente propuesta. En consecuencia, el grupo convino en concentrar su atención sobre los asuntos que, a su manera de ver, tenían carác­ter de prioridad; —es decir, el álgebra, la geo­metría y la estadística— los otros asuntos, el análisis por ejemplo, presentan menor urgen-

En 1959, la Organización Europea de Co­operación Económica (OECE) organizó en Royaumont, cerca de París, una Sesión de Estudios de dos semanas sobre el tema "Las Nuevas Matemáticas". Se discutió en detalle la orientación que podía darse a una presenta­ción moderna de las matemáticas en la ense­ñanza de esa materia, particularmente en la escuela secundaria. Una de las conclusiones más importantes está expresada en la siguiente Resolución:

"Todos los participantes en la sesión de estudios estuvieron de acuerdo sobre la ne­cesidad de modernizar la enseñanza de la matemática. Para realizar dicha moderniza­ción es indispensable que cada país redacte nuevos libros de texto y nuevos manuales. Ese trabajo estará muy facilitado si se pone a disposición de los' países un plan sinóp­tico que indique las diferentes posibilidades de reforma para ayudarlos a redactar sus propios manuales escolares y someterlos a ensayos sistemáticos.

Para sentar las bases de ese trabajo, los miembros de la Sesión de Estudios reco­miendan que OECE constituya una comi­sión de expertos compuesta por profesores de matemática de universidades, escuelas se­cundarias e instituciones encargadas de for­mar profesores de enseñanza secundaria. Esta comisión prepararía un cuadro sinópti­co del conjunto de temas que debe tratar la enseñanza secundaria de la matemática pre­cisando el espíritu con que deberían ñarse esos temas. Ese cuadro contendría indicaciones sobre las diferentes maneras de tratar las cuestiones y la justificación de las diversas sugestiones ofrecidas. OECE podría entonces enviar ese cuadro a los países miembros, recomendándoles trasmitirlos a las diversas autoridades de la enseñanza se­cundaria.

Para poder alcanzar sus objetivos lo más rápidamente posible, la comisión de exper-

cia.Por otra parte, el Grupo decidió consagrarse

con mayor particularidad a la formulación de un programa adaptado a la mitad mejor dota­da de los alumnos que frecuentan los estable­cimientos secundarios que eran capaces innega­blemente de asimilar una enseñanza mucho más moderna y de un nivel superior al que se le brinda actualmente. Además, ese tipo de alumnos es menos susceptible de desorientarse ante un ensayo de presentación de temas rela­tivamente arduos.ense-

Participaron en las sesiones de trabajo en las que se elaboró este programa los siguientes especialis­tas: Emile ARTIN (Alemania), O. BOTSCH (Ale­mania), Gustavo CHOQUET (Francia), B. DERA- SIMOVIC (Yugoslavia), Howard F. FEHR (Estados Unidos), C. HOPE (Gran Bretaña), Erik KRISTEN- SEN (Dinamarca), D. KUREPA (Yugoslavia), P. LIBOIS (Bélgica). L. PAULI(Suiza), L. RADE (Suecia), B. SCHOENEBERG (Alemania), W. SER­VAIS (Bélgica), M. H. STONE -{Estados Unidos), P. THERON (Francia) y Mario VILLA (Italia)

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6 7

':!

de insistir sobre el empleo de las técnicas experimentales en el estudio de la aritmética. Demasiado a menudo hemos perdido la pista del hecho de que podemos hacer experiencias de la misma manera con números que con las figuras concretas en la geometría.

En general, los objetivos que guiaron al "seminario" para redactar los proyectos de un programa de aritmética y de álgebra para el primer ciclo son los siguientes:

1. La.materia de la enseñanza de este ciclo debe permanecer tal cual es en muchos países en la hora actual —estudios de los sistemas de numeración de base 10 y métodos de cálculo en ese sistema; di­rección en el empleo del álgebra; ecua­ciones lineales con una incógnita e ine­cuaciones; sistemas de ecuaciones con dos o tres incógnitas; ecuaciones de se­gundo grado con una incógnita.

2. Se cambiarán necesariamente los méto­dos de enseñanza para introducir y vol­ver frecuente el empleo de las nociones de la teoría de conjuntos al mismo tiem­po que el estudio de las* propiedades características de las operaciones para poder usarlas en una introducción de las nociones de grupo, anillo y cuerpo.

3. La enseñanza de la aritmética, el álgebra y la geometría debe coordinarse para cumplir lo expresado en el objetivo 2.

10. Representación lineal de los racionales sobre un eje.

11. Curvas cartesianas, y función asociada.12. Magnitud proporcional a otra: x->ax.

Relaciones con el teorema de Tales.13. Funciones lineales y gráfico lineal

x -y ax + b (x entero, x racional).14. Ecuación de primer grado con una in­

cógnita.15. Inecuación de primer grado con

incógnita.16. Potencias enteras (positivas, negativas).17. Noción de grupo.18. Divisibilidad de los enteros.19. Noción de anillo y de cuerpo.20. Polinomios con un parámetro o más.

Adición, sustracción, multiplicación, división euclidiana.

21. Funciones racionales elementales con varios parámezros.

22. Ecuaciones lineales con dos incógnitas, con solución gráfica. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Soluciones lineales y gráficas. Sistemas de ecuaciones con tres incógnitas.

23. La función de segundo grado: x -* x2 Representación gráfica.

24. Raíz cuadrada de un número positivo: x~>y/x y x -* - \Jx.

25. Ecuación de segundo grado con una incógnita.

26. Progresión aritmética. Progresión geo- _ métrica. Isomorfismos y preparación para elestudio de los logaritmos.

gunos profesores preferirán una presentación más lógica de los resultados y teoremas de geometría; otros preferirán estudiar los temas tal cual se presentan en el desarrollo de la clase, desarrollando los resultados tanto cuan­to la ocasión lo permita. En el programa pro­puesto se tienen en cuenta ambos puntos de vista. Se llega muy rápido a la integración del álgebra y de la geometría mediante la intro­ducción del álgebra y de las coordenadas tan pronto como el alumno sea capaz de compren­derlas.

ALGEBRAPrograma oara el 1er. ciclo (11-15 años)

Introducción.La enseñanza secundaria del 1er. ciclo difie­

re de un país a otro por:1) la duración,2) la organización,3) el reclutamiento (o la falta de recluta­

miento) de alumnos.En esas condiciones, es imposible lograr

repartición de los temas por año. Nos limitaremos a dar el orden en que los temas deberán ser estudiados y en coordinar la ense­ñanza de la aritmética y el álgebra. Esta co­ordinación debe extenderse a la geometría y, en .el primer ciclo, las matemáticas deben ser presentadas como un todo más que como una slicesión de capítulos.

Los programas sugeridos para el primer ci­clo no difieren mucho de los programas tradi­cionales de la mayoría de^ los países. Al in­troducir nociones elementales sobre la teoría de conjuntos, grupos, anillos y cuerpos, hemos sido guiados por una investigación de las no­ciones, nociones que son comunes a diversos temas. En ningún caso se tratará de enseñar esas nuevas nociones de manera teórica y for­mal. Por lo contrario, se incita a los profesores a dejar que sus estudiantes descubran las no­ciones que est.án en la base de todos los temas estudiados.

A la finalización del primer ciclo será nece­sario que los estudiantes hayan adquirido cier­ta habilidad en el cálculo numérico y algebrai­co, pero evitaremos la pérdida de tiempo re­sultante de largos cálculos numéricos y de las acrobacias algebraicas que se han vuelto una especialidad para entendidos y cuyo empleo es muy .restringido y, lo que es más importante, tienen hoy dudoso valor como medios para ejercitar la reflexión matemática. Queremos acentuar la importancia de las operaciones y sus propiedades.

Los problemas y los ejercicios no son sim­ples aplicaciones de las nociones enseñadas; es necesario que provoquen el interés de los alumnos, su gusto, su deseo de investigar, y que desarrollen las facultades de análisis y de invención. Además, los alumnos aprenderán lo más pronto posible a resolver problemas con ayuda del álgebra y «más bien no serán forza­dos a dar .soluciones aritméticas.

Un rasgo de los programas sugeridos, que debe considerarse como una innovación, es el

una

El estudio del álgebra y de la geometría en ese primer ciclo podría considerarse como la preparación de un trabajo ulterior en análisis.

En todas las etapas, ideas simples pero fun­damentales de las matemáticas pueden intro­ducirse de manera "recreativa", desde la edad de 15 años. Por ejemplo, los niños podrían construir un aparato simple y sugestivo toda vez que hubieran recibido un buen estímulo del profesor; mostrarían mucho ingenio en el desarrollo de formas acaso más simples, y de planos más apropiados para la introducción de nuevos resultados geométricos.

Se deben considerar tres principios impor­tantes tanto para el que redacta un programa escolar cuanto para el profesor en su clase.

1. No emplear una terminología difícil y prematura. Con seguridad, el lenguaje matemá­tico será empleado en el momento debido. Definir los términos nuevos en el contexto en que son empleados. Su uso frecuente al mismo tiempo que los conocimientos crecientes de las propiedades asociadas a un término, preparan el camino hacia la formulación de una defini­ción necesaria más tarde en estudios matemáti­cos. Términos tales como "ángulo", "parale­las", etc. son tan implícitos que las definicio­nes precisas son imposibles hasta que esas im­plicaciones puedan apreciarse sobre la base de la experiencia. El contexto vuelve claras las propiedades que están fuera de discusión. Una figura puede definirse mediante su realización material y esto es especialmente verdadero en los comienzos cuando el alumno discierne las propiedades de una figura a medida que la construye y que estudia las propiedades apa­rentadas en la construcción. Así un paralelo- gramo hecho de cuatro varillas unidas es una "figura de cuatro lados en la cual los lados opuestos son iguales". Las cuatro varillas pue­den ensamblarse de manera de formar un cua­drilátero simétrico. La rotación de los lados, unos con respecto a los otros, muestra una deformación pjana continua de la línea en

una

i

ALGEBRA. Lista de temas para el primer ciclo

1. Nociones elementales sobre la teoría de conjuntos de elementos; Propiedades funda­mentales.

2. Aplicaciones de un conjunto en y so­bre otro, número cardinal.

3. Las cuatro operaciones sobre los ente­ros. Propiedades de las operaciones.

4. Operaciones en el sistema de numera­ción decimal. Nociones sobre los sistemas de numeración de bases distintas a 10 y en par­ticular de base 2.

5. Desigualdades, límite inferior y límite superior de los resultados de un cálculo apro­ximado.

GEOMETRIAPrograma para el primer ciclo

Prefacio.El problema propuesto para este ciclo mar­

ca un abandono de la marcha tradicional en geometría para una representación que refleje las tendencias modernas en la manera de tratar el tema. Hoy la geometría engloba todos los aspectos del espacio, tratados sea desde el papto de vista del número (álgebra), o como conjunto de puntos, de rectas, etc. Los méto­dos de síntesis de Euclides serán en conse­cuencia, reforzados por técnicas que tienen en cuenta las potencias del álgebra.

El resumen siguiente está organizado de manera tal que la parte de su contenido atri­buido a cada año escolar pueda adaptarse a las exigencias de un sistema escolar particular. Al-

f6. Representación gráfica. Curvas en esca­lera de los números naturales.

7. Enteros negativos; Ecuación x + a = b (siendo a y b enteros).

8. Fracciones y números racionales; Ecua­ción ax = b (siendo a y b enteros).

9. Fracciones decimales (y, más tarde,* fracciones di ádi cas).

98

tados así obtenidos para la justificación de otros resultados, e investigar las propiedades invariantes debajo de las transformaciones físi­cas y algebraicas.

3. Integrar los diversos métodos (algebrai­cos y de síntesis) para la resolución de un problema de geometría.

4. Desarrollar a medida que avanza el curso cortos encadenamientos deductivos que llevan a propiedades fundamentales que, al comienzo del curso, el alumno admitió como verdaderas porque no podía valerse de los métodos de demostración en el momento en que se intro­dujeron las propiedades.

rectángulo, y de allí se arriba al cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos. Presen-

adelante se considera

cas" para justificar algunas de las propiedades geométricas precedentemente observadas en. forma intuitiva.

Primer año:Conjuntos (Introducción a la teoría de con-

juntos, símbolos)Aplicaciones (noción de función)Relaciones (especialmente de equivalencia y

de orden)Anillos, cuerpos, grupos (definiciones y

propiedades elementales)

Sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas (m /7 < 3).

Introducción a la .teoría de vectores, espe­cialmente para la resolución de un sistema de 2 ó 3 ecuaciones con 2 ó 3 incógnitas.

Primeras etapas con vistas a! estudio formal de los números reales (Valores absolutos, cuer­pos ordenados, radicales)

Ecuaciones de segundo grado Números complejos.

tadas de esta manera, enla de^'nic,®n contiene las propiedades

esenciales de las cuales fluyen las demás.2. Un modelo material (que permita la ob­

servación y la experiencia) es la base a partir de la cual se puede desarrollar la abstracción matemática. En ese momento, las propiedades mecánicas, y más generalmente físicas, terpretadas en términos matemáticos y desde entonces las propiedades matemáticas son con­sideradas distintas del contexto material en donde inicialmente fueron encontradas. Las

queALGEBRAPrograma para el segundo ciclo (15 a 18 años)

Introducción.Desde el punto de vista de la universidad,

el programa que se propone debe considerarse como un máximo. La medida en que la suge­rencias que se hacen en este proyecto son puestas en práctica depende de la duración del ciclo, del número de horas asignadas al estudio de la matemática y de la capacidad de los alumnos. La repartición de los títulos del pro­grama por años en tan sólo provisoria; lo úni-

.co importante es el orden de los títulos.Las nociones introducidas en la enseñanza

del primer ciclo: conjuntos, anillos, cuerpos y grupos, álgebra lineal, tienen ahora importan­cia primordial en el plan de estudios y consti­tuyen el esqueleto de toda enseñanza del álge­bra. También reaparecerán constantemente en el estudio de la geometría: se vuelve pues indispensable la coordinación de la enseñanza de esas/ materias. No es totalmente necesario consagrar mucho tiempo a la introducción de una u otra de esas nociones propuestas sobre todo si se las emplea constantemente en el transcurso de la enseñanza.

No debe omitirse el papel que debe desem­peñar en este tema una profusa ejercitación. Es necesario subrayar en este orden de ¡deas que el trabajo de los alumnos, sus aptitudes y su facilidad para emplear nociones matemáti­cas determinará en gran medida la naturaleza de los ejercicios que deban cumplirse durante el curso de los estudios. Para ayudar al alum­no a formar las abstracciones que caracterizan al álgebra de este ciclo, es necesario presentar­le no sólo gran número de ejemplos (y de contraejemplos) sino también ejercicios del tipo ' descubrimiento" que desarrollan en el alumno una disposición a la investigación. Mientras que la pasividad por parte del alum­no, en una enseñanza con el programa tradi­cional, puede producir resultados débiles, este programa conducirá con toda seguridad al fracaso.

son ¡n-

matemáticas son abstractas y se vinculan con relaciones entre cosas abstractas. Para el joven, sin embargo, una experiencia concreta, rica y variada es una senda necesaria hacia la abstrac­ción. Las transformaciones, presentadas física­mente al comienzo, conservan un aspecto cine­mático que contrasta con el aspecto estático de las matemática y vuelven al alumno capaz de pasar fácilmente de uno a otro.

3. Es esencial que el alumno aprenda a pensar de manera creadora e intuitiva. Con ese objetivo, se le dará ocasión de plantearse sus problemas, de exponer sus propias soluciones. Naturalmente, tomará muchas pistas falsas y dará soluciones no válidas. Mucho más: esas soluciones variadas-de un mismo problema conducen al alumno a comprender lo que con- tituye la esencia de la geometría y a apreciar las soluciones elegantes. Mediante un bienveni­do estímulo y una ordenación cuidadosa del contexto de la geometría en la discusión, el profesor se encaminará hacia el estableci­miento de la confianza que desempeña un papel tan importante para favorecer una pre­disposición hacia las matemáticas en general y hacia el'pensamiento de que las matemáticas no son sólo interesantes sino apasionantes.

Geometría. Lista de temas para el primer ciclo

1. Introducción de la noción de vectores como segmentos de recta orientados. Adición, sustracción, multiplicación por un escalar.

2. El ángulo: propiedades de los ángulos estudiados en vinculación con las rectas parale­las, s polígonos, las circunferencias. Estudio de las propi edades de los ángulos en los para- Jelogramos y en los triángulos.

3. Simetría. El triángulo isósceles.4. Transformaciones estudiadas desde el

punto de vista físico e intuitivo para la investi­gación de las propiedades de las figuras. Las transformaciones se efectuarán mediante: a) papel plegado; b) reflexión; c) rotación; d) traslación; e) recortes; f) puntos regular­mente espaciados sobre una circunferencia y los polígonos regulares.

5. Transformaciones algebraicas simples: xl =a1x+bl; y1 =a2x+b2 con valores de

s2, bu b2 que correspondan sólo a trans­formaciones afines.

6. Representaciones gráficas simples en ál­gebra: y = ax + b, y = ax2 + bx + c y desarro­llo de ideas básicas para el estudio del cálculo. Relación entre la recta y la parábola y los coeficientes en las ecuaciones.

7. Ideas fundamentales incluidas en el concepto de área, volumen, teorema de Pitágo- ras y sus extensiones.

8. Propiedades no métricas de Ia recta y del plano e introducción a la notación de los conjuntos. La figura geométrica considerada como conjunto de puntos.

9. Semejanza y leyes asociadas en las áreas y volúmenes.

10. Trigonometría: seno, coseno, tangente y sus aplicaciones.

11. Empleo de cortas "demostraciones lógi-

I

Segundo año:Principio de recurrencia.Divisibilidad en el anillo de los enteros;

números primos.Factorización; anillo de las clases residuales. Anillo de los polinomios.Conjuntos (operaciones lógicas, conjuntos

numerables y no numerables).Grupos (Isomorfismos, homomorfismos) Estructura axiomática del conjunto de nú­

meros reales.Noción general de las relaciones. Combinaciones y permutaciones.

I

i

Tercer año:Noción abstracta de espacio vectorial; apli­

caciones a los sistemas de ecuaciones lineales y a Iá geometría. ,

Aplicaciones lineales; ma trices.Continuación de la leo ría de grupos.Cónicas (Formas y funciones cuadráticas)

I

Conocimiento de la geometría elemental, primer ciclo.

La aritmética habitual de la escuela prima­ria. Es sugestivo que el álgebra aprendida en el primer ciclo se integra inmediatamente, cuan­do se presenta la ocasión, en un contexto geométrico.

Teoría de conjuntosPor más que una introducción al estudio de

la teoría de conjuntos se ha hecho en el pri­mer ciclo, se propone que una revisión y una extensión de este estudio comprenda los si­guientes puntos:

1. Conjuntos y subconjuntos (diferentes maneras de describir un conjunto)

2. Complementario de un conjunto con respecto a un conjunto de referencia.

3. Igualdad de conjuntos; conjunto vacío.4. Unión e intersección de dos conjuntos.

f conI

Objetivo del curso.1. Establecer, intuitivamente, algunos resul­

tados geométricos sobre las bases de la expe­riencia física y la observación.

2. Emplear de manera-deductiva los resul-

Algebra: lista de temas para el segundo ciclo.

Se propone el siguiente orden:

10 11

En el estudio de - la geometría euclidiana desde los 15 a los 16 años, debemos buscar las estructuras afines ligadas a ello y estudiar las propiedades afines importantes antes de abor­dar' el estudio del espacio métrico euclidiano. De 16 a 17 años, se puede desarrollar un estudio separado de la geometría de coordena­das afines que le están ligadas y preparar así el camino para un estudio axiomático de la geo­metría en el últimq año del sido (17 a 18 años). Un estudio de las formas cuadráticas y de las formas bilineales simétricas que le están asociadas, conducirá de las propiedades afines a las de la geometría euclidiana.

En el último año el segundo ciclo se inicia­rá también a los alumnos en las nociones fun­damentales de geometría descriptiva, proyecti- va y conforme.

familia5. ” Unión e intersección de unanumerable de conjuntos.

6. Producto de dos conjuntos (o más)7. Diagramas de conjuntos.8. Conjuntos finitos e infinitos; conjuntos

numerables, conjuntos no numerables.9. Aplicación de un conjunto en o sobre

otro conjunto.10. Composición de aplicaciones; biyeccio-

nes; aplicaciones inversas.11. "Relación" de un conjunto a otro.12. Gráfico de una aplicación y de una

Estudios Previos pletos a los alumnos del último año del ciclo. Es muy útil para el trabajo científico experi­mental darse cuenta de las serias posibilidades de estudio de los sistemas axiomáticos en la geometría a nivel secundario.

Llamamos la atención sobre las publicacio­nes que presentan importantes desarrollos axiomáticos. La primera es el informe sobre las Ramas de la enseñanza de la geometría hechas en la conferencia de Aarhus, Dinamar­ca, en mayo-junio de 1960. Allí se consignan más de cinco sistemas de axioma para la geo­metría en la enseñanza secundaria. La segunda es el libre Fundamentos de Geometría de Howard Levi de la Universidad de Columbia. Es el primer desarrollo axiomático completo usando los números reales, comenzando por las propiedades afines y desarrollando todas las propiedades útiles del espacio métrico eu­clidiano.

Se llama tambiénla atención sobre la trigo­nometría de Pauli y Post que da una introduc­ción simple de los vectores y de la geometría afín. Finalmente, el programa propuesto por el profesor Dieudonné y publicado en el infor­me de Royaumont: Nuevas reflexiones sobre la enseñanza de las matemáticas merece ser considerado en todo desarrollo experimental de la geometría.

El álgebra y la geometría de los programas •del primer ciclo. Se supone igualmente que el programa de álgebra descrito para el segundo ciclo será estudiado simultáneamente y con­juntamente con el programa de geometría pro­puesto.

Temas Propuestos.

1. Grupos de transformaciones:a) Simetría con respecto a una recta,b) simetría con respecto a un punto,c) traslaciones,d) rotaciones,e) reflexiones,f) ¡sometrías.

2. Geometría afin:a) los números reales y la recta,b) coordenadas,c) vectores y espacios vectoriales,d) geometría analítica.

3. Geometría euclidiana:a) perpendicularidad,b) producto interior de vectores,c) espacios vectoriales, norma;d) trigonometría.

4. Cónicas:a) lugares geométricos,b) transformaciones afines.c) formas cuadráticas, representación pa­

ramétrica.d) propiedades proyectivas; geometría

proyectiva y descriptiva.5. Estudios axiomáticos (no se harán todos

los estudios):a) espacio vectorial,b) espacio afin,c) espacio métrico euclidiano,d) geometría euclidiana sintética.

relación.

GEOMETRIAPrograma para el segundo ciclo.

Posición del problema.El programa de geometría que se propone

aquí trata de realizar una síntesis de la ense­ñanza que se imparte en diversos países, con diferentes nombres tales como geometría sin­tética o directa, geometría analítica, geometría de coordenadas, geometría vectorial, Bewe- gungs geometría, geometría descriptiva, etc. Hablaremos, pues, solamente de geometría, pero incluiremos en nuestro estudio a los vec­tores (al principio sin el producto interior, luego con él), las coordenadas (al principio afines, después rectangulares) y la geometría sintética. Se introducen técnicas que permití- . rán dar demostraciones que insisten' sobre la continuidad de los elementos estudiados. Para lograrlo, es importante subrayar que los núme­ros reales (coordenadas) y los vectores (espa­cios vectoriales) están plenamente integrados en el programa de geometría propuesto.

La geometría euclidiana (1), o sea el estu­dio de las propiedades del espacio euclidiano, permanece como fundamento del curso. Sin embargo, las propiedades euclidianas "clásicas" han sido estudiadas en Su mayoría durante el primer ciclo de manera experimental y no exigen un estudio sistemático en ese nivel. Sería necesario atraer la atención de los alum­nos del segundo ciclo acerca del hecho de que al lado de la geometría euclidiana y del espa­cio euclidiano, existen otras geometrías y otros espacios. El estudio de esas diferentes geometrías exige que tomemos nota de los desarrollos recientes en matemáticas y de to­dos los nuevos modos de aplicación de las matemáticas a las ciencias, especialmente a la física.

Objetivos.El estudio de la geometría entre los 15 y

18 años debía proporcionar a los alumnos resúmenes netos y precisos sobre la naturaleza de esta materia y sus aplicaciones a las cien­cias físicas. Los objetivos siguientes son impor­tantes:

1. Desarrollar la noción de espacio concebi­da como conjunto con subconjuntos particula­res con estructuras ligadas entre sí, en particu­lar el espacio afín, el espacio euclidiano y el espacio vectorial. *

2. Desarrollar el conocimiento de la corres­pondencia precisa entre la "recta" y el conjun­to de números reales.

3. Desarrollar el conocimiento de. las prin­cipales transformaciones usadas en las diferen­tes geometrías, y de los grupos de transforma­ciones, en particular en geometría afín y eucli­diana.

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PROBABILIDAD Y ESTADISTICAAún cuando la teoría de las probabilidades

y la estadística están estrechamente ligadas, desde el punto de vista lógico son dos discipli­nas diferentes. La teoría de las probabilidades es la teoría de los modelos matemáticos de los fenómenos aleatorios y forma parte de las matemáticas puras. La estadística ha podido ser definida como la ciencia cuyo objetivo es estudiar la manera de desembocar en situacio­nes razonables, a partir de datos inciertos.

Hay tres etapas en las investigaciones esta­dísticas. La primera consiste en reunir los da­tos, la segunda en examinarlos y representarlos y la última en analizarlos y en obtener conclu­siones. •

El estudio de la primera se ha convertido en la teoría moderna del "plan de investiga­ción estadística" (experimental design) El de la segunda se denomina de ordinario "deduc­ción estadística" (estatistical inference).

El programa que se^propone para un curso de probabilidades y estadística no debe consi­derarse como un programa mínimo. Ciertas partes.pueden considerarse como facultativas y

4. Desarrollar la comprensión de lo que es una estructura axiomática a través de estudios del género: la recta afin, el plano afin, espa- . cios afines, espacios métricos euclidianos, espa­cios vectoriales.

5. Desarrollar la dirección de aplicar los diversos métodos de desarrollo geométrico a la solución de problemas originales, a la vez en matemáticas y en matemáticas aplicadas.

Comentarios.Un factor importante de éxito para el estu­

dio escolar de la geometría reside en que el profesor esté estrictamente al corriente del conjunto de axiomas sobre los cuales se basa una geometría particular. Los sistemas de axiomas propuestos siempre son nada más que algunas de las numerosas posibilidades utiliza- bles. La elección del sistema más apropiado dependerá de numerosos factores de los cuales no son los menos importantes el conocimiento ya adquirido y las capacidades de los alumnos. Se estima juicioso hacer estudiar, durante cier­to tiempo, ciertos sistemas axiomáticos com-

t

í

(1) Geometría euclidiana no significa en este contex­to geométrico basado sobre los axiomas de los Elementos de Euclides. A dicha geometría la denominaremos: Geometría de Euclides.

12 13 .

Teoría de. probabilidades, rama no científica.

Objetivo. Hacer conocer a los alumnos la teoría fundamental de las probabilidades insis­tiendo sobre las nociones necesarias para el curso de estadística.

Conocimientos matemáticos requeridos. Permutaciones y combinaciones. Teorema del binomio. Progresión geométrica. Elementos de análisis. Función exponencial.

Lista de temas.Introducción intuitiva a la teoría de las

probabilidades.Probabilidades en los espacios finitos de

muestra.Teoremas de la teoría de probabilidades.

Sucesos independientes.Un "esbozó" de la teoría axiomática de las

probabilidades.Variables aleatorias y sus distribuciones en

probabilidades.Variables aleatorias discontinuas y conti­

nuas. Funciones de frecuencia.Medias y variancias.Distribución binomial y normal.Suma de las variables aleatorias indepen­

dientes.Desigualdad de Tchebycheff y ley de los

grandes números

aun omitirse. Para redactar un curso a partir de este programa se puede o bien distinguir nítidamente la teoría de probabilidades de la estadística, o bien presentar a ambas en un curso mixto.

El programa siguiente está dividido en tres partes:

a) Probabilidades y estadísticas en el pri- ciclo de las clases secundarias (11 a 15

estadística y los principios básicos'del miento estadístico.

Lista de temas. Además de los temas de la rama no científica los siguientes:

Axiomas de la teoría de las probabilidades. Teoría de las probabilidades adicionales.

Sucesos independientes.Distribución de Poisson (si fuera posible).

razona-

meraños). sobre la enseñanza

a matemáticatncuestab) Probabilidades y estadística en el segun­

do ciclo de las clases secundarias (15 a 18años), rama no científica.

c) Probabilidades y estadística en el segun­do ciclo de las clases secundarias rama cien­tífica.

aeCada parte contiene una exposición de los

objetivos fijados, una lista de los conocimien­tos requeridos seguida por una lista de los temas a tratar

En enero de 1967 se realizó en Lausana, Suisa, un Coloquio Internacional dedicado a la coordinación de las enseñanzas de la matemá­tica y la física, auspiciado por UNESCO, la revista internacional de filosofía del conoci­miento DIALECTICA, el grupo internacional de investigación de enseñanza de la física GIREP y la colaboración de la Comisión Na­cional de Enseñanza Matemática (CIEM) y la Comisión Nacional Suiza para la UNESCO. El comité directivo de esta importante reunión estaba formado por científicos de universal nombradía, a saber, P. BERNAYS, F. GON- SETH, J. B. GRIZE, H. KONIG, P. NOLFI y P. E. PILET.

De este evento publicamos la encuesta reali­zada previamente en lo que se refiere a la matemática y esperamos que nuestros lectores quieran analizarla y hacernos llegar sus obser­vaciones que mucho nos servirán para la tarea que hemos programado para este año y que culminarán en las JORNADAS DE MATEMA­TICA.

1.22. ¿Los gustos y las aptitudes matemáti­cas que presentan los alumnos?

1.23. ¿La inteligencia general de los alum­nos?a) Probabilidades y estadísticas en el primer

ciclo.Objetivo. Dar a los alumnos un fundamento

intuitivo de la teoría de probabilidades y fami­liarizarlos con las notaciones fundamentales; presentarles las nociones de base de la estadís­tica descriptiva.

Conocimientos requeridos. Aritmética de los números reales positivos (práctica del cálculo únicamente). Medida de longitud y cálculo de áreas simples.

Lista de temas. Estudio de experiencias aleatoria para introducir las nociones de espa­cio de muestra, suceso, probabilidad de un suceso.

Ley empírica de la estabilidad de las fre­cuencias.

Métodos numéricos y gráficos en estadística descriptiva.

Media, mediana,- modo, cuartiles, intervalos e intervalos de los cuartiles.

Diagrama de barras, diagrama frecuencial de puntos, histograma y polígono cumulativo de frecuencia. Se podrá tratar, de ser posible, los diagramas de dispersión en 2 dimensiones, los diagramas directores y la representación gráfi­ca de las series temporales.

Estudio de la "deducción estadística".

b) Probabilidad y estadística en el segundociclo, rama no científica.

Se dan programas distintos para la teoría de probabilidades y la estadística. Ambos pue­den presentarse conjuntamente en un curso.

1.24. Varios de esos criterios a la vez ¿pro­voca una descomposición que, al menos, es la superposición de dos de las precedentes? (En esta última opción habría, pues, formados va ríos subconjuntos, por ejemplo, de futuros científicos con diferentes niveles de aplitud o de gusto matemático, y acaso varios subcon­juntos de futuros "liberados" más o menos interesados por la matemática.)

1.25. ¿Otros criterios? (Especificad si os parece)

1.3. La descomposición examinada ¿debe ser fina, vale decir, un gran número de conjun­tos muy diferenciados, por ejemplo: futuros matemáticos, futuros físicos, futuros quími­cos, futuros sociólogos, etc., o grosera, en 2 ó 3 subconjuntos solamente, por ejemplo: futu­ros "literatos" o futuros "científicos"; u otros?

Estadística, rama no científica.Objetivo. No es convertir a los alumnos en

estadísticos profesionales sino en ayudarlos a comprender los principios básicos del razona­miento estadístico.Lista de tema

Estadística descriptiva.Ejemplos de deducción estadística.Control de las hipótesis.Análisis estadístico sobre la media de una

población normal con desviación estandardi­zada conocida.

Adaptación de una distribución normal a los resultados estadísticos.

Diagramas directores.Deducción estadística sobre los modelos de

regresión.

1.4. La descomposición examinada, ¿debe valer para todas las materias que estudia el alumno (descomposición tradicional en ciases que reciben todas una enseñanza en común) o no debe aplicarse más que a la enseñanza de la matemática? ¿Se la debe aplicar a un conjun­to de materias, por ejemplo, matemáticas y física?

Encuesta previa, sobre la enseñanza de la matemática.

Tomaremos como conjunto de referencia al de los alumnos de la escuela secundaria.

1. Enseñanza ¿para qué?1.1. ¿Estimáis que todo el conjunto de re­

ferencia debe recibir la misma enseñanza?»*

1.5. Si la opción 1.21 ó 1.24 se encuentra realizada de hecho, ¿estimáis que la descom­posición debe ser definitiva, de manera que un alumno no podrá, por ejemplo, proseguir estu­dios científicos más que cuando ha partido de un subconjunto "científico" en la escuela (práctica inglesa o francesa)? ¿O estimáis que

1.2. Si de hecho el conjunto de referencia se descompone en subconjuntos que reciben diferente enseñanza matemática (lo que halla­réis justificado o no) ¿cuáles son Iqs criterios que debieran regir esta descomposición?

1.21. ¿El destino profesional de los alum-

Probabilidades y estadísticas en el segundo ci­clo, rama científica.

Objetivo. Hacer conocer a los estudiantes la teoría fundamental de las probabilidades y la

nos?

14 . 15

las generalidades (por ejemplo: "nociones de matemáticas finitas" pero dad indicaciones ex­plícitas (por ejemplo: "álgebra elemental de las matrices -adición, multiplicación, inver­sión").

2.13. Especificad de qué manera ¡ntervie-, nen en la vida cotidiana los conocimientos que acabáis de enumerar (sed explícitos; si os re-, sulta imposible ser completamente explícitos en un espacio restringido, dad ejemplos lo más representativos posibles. Si por ejemplo habéis incluido el álgebra elemental de matrices en vuestra enumeración, no respondáis aquí: "papel creciente de la automatización" pero dad un' ejemplo que consideráis característico de una situación de la vida cotidiana en el cual el alumno tendrá necesidad luego de mul­tiplicar o sumar matrices.

2.21. ¿Pensáis que la enseñanza debe tras­mitir al alumno conocimientos, no enmumera- dos aun en 2.1, que contribuyan a la cultura general del alumno? ¿Por ejemplo, conoci­mientos justificados por razones del género de éstas: trasmitir al niño nuestra herencia cultu­ral, ponerlos en condiciones de comprender la cultura de nuestro tiempo, etc.?

2.22. Si vuestra respuesta es sí, especificad los conocimientos de que se trata.

2.23 Especificad la contribución de cada uno de los conocimientos de vuestra lista a los objetivos examinados en 2.1 (También aquí os pedimos ser del todo explícitos. Si, por ejem­plo, vuestra lista incluye la familiarización del alumno con el lenguaje de la teoría de conjun­tos, no déis una respuesta tal como "familiari­zar al alumno con el espíritu de las matemáti­cas contemporáneas" pero precisad exactamen­te qué aspectos de las matemáticas contempo­ráneas haréis entender al niño enseñándole ese lenguaje.)

2.24. Coordinad vuestra respuesta a 2.22 y 2.23 con las dadas antes en la sección 1.

2.241. Los conocimientos examinados en 2.2 ¿deben trasmitirse a todo el conjunto de referencia.

2.242. Si vuestra respuesta es no ¿Explici- tad la función que asocia arcada subconjunto de la descomposición que examináis un sub­conjunto de la lista dada en 2.22?

2.31. ¿Debe la enseñanza trasmitir al alum­no conocimientos, aun no enumerados en 2.1 y 2.2, como preparación para sus estudios o su profesión futuros?

2.32. Si vuestra respuesta es sí, especificad de qué conocimientos se trata. De ser necesa­

rio, restringid vuestra respuesta a los dominios de estudios superiores sobre los cuales estimáis estáis en medida de dar un juicio (por ejem­plo: estudios superiores de ciencia, matemáti­cas y físicas).

2.33. Especificad las relaciones de los co­nocimientos que habéis enumerado con las dis­ciplinas universitarias. (Evitad las generali­dades. Sed concretos; por ejemplo: "El conici-' miento de la teoría elemental de los^grupos podrá emplearse de tal y cual manera en tal o cual curso del primer año universitario)

2.34. Coordinad explícitamente vuestras respuestas en esta subsección con las dadas en la sección 1. En particular:

(1.1/1.2/1.3):Los alumnos ¿deben adquirir los conocimientos enumerados en 2.32 porque contribuirán sino a su propia preparación pro­fesional por lo menos a la de algunos de sus camaradas?

(1.5) . Si sois partidario de una descomposi­ción indicativa, las respuestas en esta subsec­ción ¿son compatibles con una descomposi­ción tal? En otros términos, los alumnos que no hayan adquirido las condiciones enume­radas en 2.32 ¿estarán, sin embargo en condi­ciones de proseguir estudios científicos o téc­nicos sin serias desventajas?

(1.6) . Si sois partidarios de una descompo­sición definitiva, precisad si los conocimientos adquiridos en 2.32 deben enseñarse a partir del momento en que la descomposición se ha vuelto definitiva, o aun antes y, en este último caso, precisad cuánto tiempo antes.

2.41. ¿Debe la enseñanza transmitir al alumno conocimientos, aún no enumerados en 2.1, 2.2 y 2.3, porque la adquisición de esos conocimientos contribuyen "aguzar el espíri­tu" (gimnasia intelectual), "training of the mind"?

2.42. Si vuestra respuesta es sí ¿precisad la envergadura de esos conocimientos con respec­to a la formación matemática total del alumno y dad ejemplos de los conocimientos que exa­mináis?

2.43. Coordinad igualmente vuestras res­puestas a 2.42 con las dadas en 1.

2.5. ¿Debe la enseñanza transmitir al alum­no conocimientos no enumerados hasta ahora por razones distintas a las consideradas en 2.11, 1.21, 2.31 y 2.41? Si vuestra respuesta es sí, especificad esas razones y los conoci­mientos en cuestión. Coordinad igualmente en ese caso vuestras respuestas con las dadas en

3. Criterios de éxito y de fracaso.El objetivo de esta sección es explorar las

condiciones bajo las cuales se dirá que se logró éxito en la enseñanza de los conocimientos examinados antes.

3.1. Criterios de éxito global. Para cada uno de los grupos de conocimientos examina­dos desde 2,1 a 2.5, indicad separadamente qué porcentaje de alumnos a los cuales se dirige la enseñanza de esas materias debe lo­grar asimilarlas éxitosamente para que podáis decir que esa enseñanza ha tenido éxito.

(Por ejemplo, de ser partidario de una des­composición que agrupe en un subconjunto a los futuros estudiantes de matemática y de física, si en 2.31 indicásteis una introducción a la teoría de grupos, dad aquí una respuesta como la siguiente: ."se tendrá éxito si por lo menos el 50 de los alumnos logran, en el sentido antes definido, comprender la teoría enseñada?

3.2. Criterios de éxito individual. Esta sub­sección explora, para los conocimientos antes

- examinados, en qué consiste un "éxito" de la enseñanza para un alumno individual, y me­diante qué criterios podrán las autoridades res­ponsables asegurarse si hay éxito o no?

3.211. ¿En qué caso diréis que el alumno logro éxito en la adquisición de los conoci­mientos examinados en 2.1?

3.222. ¿De qué manera deberán las autori­dades escolares asegurarse de que la enseñanza ha tenido éxito en el sentido que acabáis de definir? Si fuera posible dad uno o dos ejem­plos que consideréis típicos de cuestiones de exámenes utilizables para tal fin,

3.213. Los métodos de coptrol que acabáis de describir ¿deben ser aplicados sólo durante (o al final) de la escolaridad del niño, o deben también aplicarse más tarde a una muestra estadística de adultos que se han beneficiado con esa enseñanza, de manera de determinar si esos adultos todavía disponen verdaderamente de esos conocimientos para los fines de su vida cotidiana?

3.221. La misma cuestión que 3.211 relati­va a 2.2.

3.222. La misma cuestión que 3.212 rela­tiva a 2.2.

3.223. ¿Qué criterios proponéis para deter­minar si los conocimientos enseñados contri­buyeron efectivamente al objetivo que habéis asignado en 2.23 a la adquisición de esos co­nocimientos? (Si, por ejemplo, proponéis en­señar el lenguaje de la teoría de conjuntos para familiarizar al alumno con el espíritu de las

la descomposición sólo debe ser indicativa, siendo todo el conjunto de referencia suscepti­ble de ser admitido para estudios científicos o técnicos en la medida en que logre éxito en

estudios secundarios (práctica suiza o ale­mana de admitir en las facultades de ciencias puras y aplicadas a los portadores de todos los tipos de madurez?

1.61. ¿A qué edad debe efectuarse la des­composición del conjunto de referencia?

1.62. Si el modo de descomposición vigen­te es la descomposición definitiva, ¿estimáis que debe ser definitiva después de la selección (acaso con un muy breve período para corre-, gir errores manifiestos), o que sólo debe ser indicativo, por un año o menos, para volverse definitiva sólo después?

1.63. En este último caso '¿cuándo debe volverse definitiva la descomposición?

1.71. ¿Con cuáles criterios debe efectuarse la descomposición?

1.72. La asignación de un alumno a un subconjunto determinado, ¿Debe ser hecha de oficio por las autoridades escolares? ¿Debe estar enteramente determinada por la libre elección del alumno respecto de sus padres? ¿Quién debe prevalecer en este conflicto?

1.81. Si juzgáis que no podéis responder a algunas de las cuestiones precedentes, ¿cuál es la instancia para decidirlas?

1.82. ¿Sobre cuáles criterios debe basar esa instancia sus decisiones y con cuáles criterios debe juzgar después si esas decisiones fueron

. preciosas2. Enseñanza ¿por qué?Aquí se investigan los objetivos de la ense­

ñanza de la matemática y la elección de los temas resultantes.

2.11. ¿Pensáis que la enseñanza debe tras­mitir al alumno los conocimientos que necesi­tará prácticamente en la vida diaria?

2.12. Generalmente parecemos estar de acuerdo en reconocer que esos conocimientos deben englobar por lo menos los temas se­guientes: aritmética simple, noción muy con­creta de función y de representación gráfica; noción muy concreta de estadística, de mane­ra, de comprender nociones tales como "me­dia". ¿Estáis de acuerdo con esa enumera­ción? ¿Qué otros conocimientos pensáis que es necesario trasmitir al alumno de acuerdo con la categoría 2.1?

Nota: Os pedimos ser tan específicos como sea posible en las respuestas a esta cuestión y a las cuestiones siguientes. Evitad si os place

sus

1.

16 17

.

de horas para todos o parte de los subconjun­tos, este aumento ¿debe cumplirse enteramen­te mediante un aufnento igual del número total de horas de estudio del alumno?

4.13. Si vuestra respuesta a la cuestión an­terior, para uno u otro de los conjuntos exa­minados es no, precisad de qué manera proponéis liberar el tiempo necesario (Sed es­pecíficos. No digáis, por ejemplo, que "se en­señan muchas cosas inútiles" sino "propongo -suprimir la enseñanza de la geografía", ‘o "pro­pongo no enseñar mas' que la geografía de la patria y suprimir el resto" .. .)

4.2. Las cuestiones de esta subsección se refieren exclusivamente a los conocimientos enumerados én 2.3.

4.21. Si esos conocimientos no son trasmi­tidos por la escuela, deben ser trasmitidos por la misma universidad. Admitiendo una ense­ñanza sin deficiencias tanto en la escuela co­mo en la universidad, ¿cuál es la relación aproximada entre el tiempo to ahorrado por la universidad si sus estudiantes ingresan provis­tos de los conocimientos en cuestión y el tiempo ti, que necesita la escuela para trasm­itir esos conocimientos?

4.22. ¿Es el tiempo to independiente o está afectado por la naturaleza de la enseñanza de materias no matemáticas en la escuela, y en particular por la naturaleza de la enseñanza de las materias "literarias" (en sentido amplio)? En otros términos, ¿puede una buena enseñan­za de estas últimas materias reducir el tiempo

texto teórico de los conocimientos en cues­tión" (Por ejemplo, nociones de Ja teoría de grupos no podrán ser útilmente enseñadas más que por profesores cuya formación universi­taria ha comprendido el estudio de la teoría de grupos). Se notará que la negación de la afirmación anterior es la afirmación siguiente: "Esos conocimientos pueden enseñarse últi­mamente sólo mediante profesores que hayan recibido una preparación ad hoc dirigida es­pecíficamente a la enseñanza que ellos mismos habrán de dispensar" (práctica estandardizada de los grupos de reforma americana)

5.12. A la luz de la respuesta que acabáis de dar, precisad cuáles de esos conocimientos sugerís introducir en la enseñanza sin más tardanza, y para cuáles de ellos sugerís subor­dinar su introducción a la presencia de pro­fesores competentes (en el sentido definido en 5.11).

•matemáticas contemporáneas, precisad aquí mediante qué criterios proponéis determinar si el alumno que ha logrado éxito en el aprendi­zaje de ese lenguaje, tal como se le ha enseña­do, ha adquirido también una "familiaridad

el espíritu de las matemáticas contempo-

determinar si el alumno comprende la base intuitiva, o la justificación, de la matemática que él "sabe")? Si la respuesta es no ¿cómo deben enmendarse esos criterios?

5.223. Los profesores, que dispensarán la enseñanza, según los términos de vuestras re­comendación en 5.1 ¿estarán en*condiciones de seguir vuestras recomendaciones en 5.1?

conráneas".)

3.231. La misma cuestión que 3.211 relati- 2.3. (Sed bien explícitos. Si, pe. ejemplo.va a

habéis :-Huido una introducción al cálculo infinitesimal en vuestra enumeración en 2.3, presisad aquí si el objetivo examinado consis­te, por ejemplo, en un conocimiento de las técnicas formales de derivación y de integra­ción, una comprensión de la idea matemática de límite, etc.)

3.232. La misma cuestión que 3.212 relati-

6. Los logros y los problemas.6.11. A la luz de las respuestas dadas, es­

pecificad explícitamente:6.11. ¿Cuáles de vuestras recomendaciones

en 1 y 2 sugerís poner en' práctica de inme­diato?

6.12. ¿Cuáles de esas recomendaciones su­gerís poner en práctica a medida que se dis­ponga de profesores adecuados?

6.131. ¿Cuáles de esas recomendaciones no deben, a vuestro parecer, ser más que "hipó­tesis de trabajo" para reflexiones y experien­cias ulteriores, entendiéndose bien que no sugerís que se las ponga de inmediato en prác­tica?

va a 2.3.3.233. La siguiente definición de éxito (re­

lativa a los conocimientos de 2.3) ¿es equiva­lente a la que acabáis de dar? Definición: Hay "éxito" si la universidad puede tomar los co­nocimientos enumerados en 2.3 como adquiri­dos sin tener que volver sobre ellos. (Nota: "sin tener que volver sobre ellos" se refiere naturalmente al mismo nivel que el nivel esco­lar. Se sobreentiende que la universidad podrá volver sobre esos conocimientos para retomar­los en un contexto profundizado, dfel mismo modo que la universidad vuelve sobre la arit­mética en su curso sobre teoría de los núme­ros o de lógica matemática, sin .volver a ense­ñar, sin embargo, la aritmética de' la escuela primaria.

3.24. Si habéis enumerado conocimientos en 2.41, indicad aquí como proponéis que se determine si la adquisición de esos conoci­mientos ha contribuido efectivamente a "agu­zar el espíritu" del alumno.

3.25. Si habéis enumerado conocimientos en 2.5 haced para esos conocimientos una discusión análoga a las precedentes.

5.211. ¿Pensáis que la enseñanza debe motivar los desarrollos mas teóricos o más abstractos mediante una preparación concreta y/o intuitiva?

5.212. ¿Pensáis que la enseñanza debe da­tar que el alumno redescubra por sí mismo las ideas, nociones, métodos y hechos matemá­ticos que se desea hacerle aprender (enseñanza "heurística" o de "redescubrimiento")?

5.213. ¿Pensáis que la enseñanza no debe introducir conceptos (tales como el concepto de "grupo") y métodos tales como "lenguaje de la teoría de conjuntos" más que en la medida en que puede satisfacer su necesidad o utilidad por el mismo alumno?

5.221. La extensión de los Conocimientos que habéis enumeradosen 2 ¿es compatible con el tiempo necesario para seguir vuestras recomendaciones en 5.21?

5.222. Los criterios que habéis indicado en 3.2 ¿son suficientes p'ara determinar si la en­señanza? ¿están de acuerdo con vuestras re­comendaciones en 5.21 (por lo tanto, para

6.132. Para estas recomedaciones, precisad la naturaleza de las "reflexiones y expe­riencias" que examináis.

6.2. Indicad, por lo menos en grandes líneas, de qué manera examináis el futuro del movimiento de reforma de la enseñanza de las matemáticas. Precisad en particular si consi­deráis el procedimiento actual (proposiciones elaboradas por comisiones de "expertos", ele­gidos y reunidos por organizaciones tales como la OECE; manuales basados sobre esas proposiciones escritas por grupos de profesores de la enseñanza secundaria) es esencialmente satisfactorio. En caso contrario, precisad las modificaciones que os gustaría introducir en el procedimiento.

6.3. Agregad todas las consideraciones no cubiertas por este cuestionario que os gustaría consignar para beneficio de esta encuesta.

fo?4.23. Si vuestra respuesta es sí indicad

vuestra respuesta a la cuestión 4.1 en la hipó­tesis de que la escuela emplee tiempo ti, para una buena enseñanza de materias no matemá­ticas bien elegidas.

4.24. Admitiendo una elección óptima, sea C del conjunto de los conocimientos no mate­máticos susceptibles de enseñanza en el tiem­po f! ¿estimáis que la ganancia de tiempo to justifica el sacrificio de C?

4.25. Si vuestra respuesta es sí, precisad si se basa primariamente sobre la importancia de la ganada to o sobre la poca importancia de que el alumno adquiera C.

4. Criterios de eficacia4.11. Para cada uno de los subconjuntos de

la descomposición examinada en 1, indicad explícitamente si las proposiciones de 2 impli­can un aumento del número de horas consa­gradas hoy en vuestro país a la enseñanza de la matemática. Indicad el orden de magnitud del aumento considerado. De ser posible indi­cad también qué porcentaje del tiempo total dedicado a los estudios secundarios por un alumno debe ser dedicado a la matemática en el caso de cada uno de los subconjuntos.

4.12. Si examináis un aumento del número

Ai

La enseñanza elemental en Francia5. La enseñanza en ia práctica.5.11 Precisad, para cada una de las áreas

de conocimiento enumeradas en 2, si es válida la siguiente afirmación: "Esos conocimientos pueden enseñarse útilmente sólo si los enseña un profesor cuya formación engloba el con­

curso preparatorio.Actividades de clasificación y de colo­

cación.Noción de número natural.

A partir de la reanudación de las clases en 1970, la enseñanza de las matemáticas en las clases elementales se dictará conforme al

PROGRAMA (1945 modificado en 1970)

19

obligatoria prolongada y de la évolución con­temporánea del pensamiento matemático.

Se trata, desde luego, de proceder de ma­nera que esta enseñanza contribuya eficaz­mente al mejor desarrollo intelectual de todos los niños de 6 a 11 años para que entren en la escuela secundaria con las mejores posibili­dades de éxito.

Nombrar y escribir- números. Comparar dos números'. Suma de dos números.

Aligerar el programa actual dándole una redacción diferente que responda mejor a las finalidades actuales de la escuela elemental, acompañarlo de comentarios que, práctica­mente sin introducir terminología nueva, anuncian y preparan una renovación más pro­funda y satisfactoria.

En la redacción del programa se han con­servado los tres niveles: curso preparatorio, curso elemental (de dos años), curso medio (de dos años).

Para uno de esos niveles, las nociones nu­méricas que constituyen lo esencial del pro­grama se presenta en el parágrafo 1. Los pa­rágrafos siguientes proponen temas de activi­dades más diversas: el parágrafo 2 se refiere a la observación del espacio y de los objetos geométricos; el parágrafo 3 a la noción de medida en una perspectiva experimental. La materia de estos dos últimos parágrafos serán, pues, largamente obtenidas de las actividades cotidianas.

Las actividades designadas hasta ahora con el vocablo "cálculo", entiéndase bien, siguen siendo esenciales, pero como ellas no consti­tuyen ahora más que una parte de la actividad matemática de los niños, conviene designar a la materia del programa mediante el término "matemática".

Esperamos que la nueva redacción del pro­grama y el aligeramiento sustancial del mismo invitarán a los maestros a reflexionar sobre el

contenido de su enseñanza. Esperamos, tam­bién, que los comentarios les ayuden. Todos los que se hagan deben tener por fin aclararles acerca del espíritu que actualmente es desea­ble esperar en la.enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.

A pesar de su deseo de ser un acceso, lo más correcto y lo más preciso posible, de algunos conceptos, abstractos por naturaleza, la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria continúa siendo resueltamente con­creta.

!Curso elemental: 1o y 2o grado.

1° Elementos de matemática.Los números naturales: nombre y es­crituraSuma y diferencia de dos números; práctica de la adición y la sustracción. Producto de dos números; práctica de la multiplicación.Cociente exacto.Práctica de la división por números de una cifra.Cálculo mental.

2° Ejercicios de observación y trabajos so­bre objetos geométricos.Uso -de la regla graduada, la balanza, el calendario.Lectura de la hora.

La. ambición de una enseñanza tal no es, pues, esencialmente la de preparar a los alum­nos para una vida activa y profesional ha­ciéndole adquirir técnicas de resolución de problemas catalogados y sugeridos por la "vida corriente", sino más bien la de asegurarles una aproximación correcta y una comprensión real de las nociones matemáticas ligadas a esas téc­nicas.

Si se trata, por ejemplo, de adquirir la noción de número natural, el niño será lla­mado a manipular efectivamente e individual­mente colecciones de objetos distintos. Las manifestaciones los llevarán sobre colecciones diversas que difieren entre sí por la naturaleza de los objetos, su forma, su color, su disposi­ción, etc. Ellas serán numerosas y variadas no para crear automatismos sino para que su va­riedad permita al alumno ejercitar su reflexión acerca de lo que hace, reconocer las analogías a despecho de las diferencias, liberar poco a poco de manera primeramente intuitiva y con­fusa y luego en forma cada vez más consciente y clara, una noción abstracta y general, la de número natural.

Mediante pasos de esta naturaleza, hechos de acción y reflexión, el alumno contribuirá a construir su propio saber y conocerá la alegría de descubrir y de crear.

Parece que ello ha de ser posible si, desde el comienzo de la escolaridad, la inquietud mayor del maestro es dar a sus alumnos una formación matemática verdadera que le per­mita, de manera adaptada a su edad, mediante la observación y el análisis de situaciones que les son familiares, liberar los conceptos mate­máticos, reconocerlos y usarlos en situaciones variadas, asegurándose así el dominio de un pensamiento matemático disponible y fe­cundo.

Curso medio: 1o y 2o grado.Elementos de matemática.

Números naturales y decimales: nombre y escritura.Multiplicación y división por 10, 100, 1000...Operaciones y sus propiedades; sucesión de operaciones, práctica de las opera­ciones; prueba por 9 de las operaciones; cálculo mental.Divisibilidad de los números naturales por 2, 5, 9 y 3.Ejemplos de relaciones numéricas. Pro­porcionalidad. Fracciones. Producto de dos fracciones.

2 o Ejercicios de observación y trabajos sobre objetos geométricos.Banda, paralelogramo (y sus casos par­ticulares), triángulo.Círculo, circunferencia.Embaldosado (paralelepípedo)

3° Medidas. Ejercicios prácticos Longitud, área, volumen.Tiempo, masa.Expresión de un resultado mediante una unidad convenientemente elegida. Orden de magnitud. Encuadramiento.

Los conocimientos matemáticos construidos así poco a poco se prolongan sin choques más allá de la escuela elemental, pero ya en ese nivel los niños podrán darse cuenta que el universo matemático no está encerrado en sí mismo y medir el poder que la herramienta matemática le da sobre el universo real.

Por otra parte, los progresos en el conoci­miento del desarrollo psicológico del niño muestran todo el beneficio que puede sacar de una .enseñanza tal para su formación total.

docentes* * *

Numerosas experiencias, realizadas en Fran­cia y en el exterior, permiten ahora la elabo­ración de un programa adaptado a una ense­ñanza renovada y accesible a los alumnos. Pero poner en vigencia una enseñanza tal su­pone que todos los maestros hayan podido ser preparados para la exigencia y ese hecho re­quiere cierto plazo. A la espera de que se dé 3, los maestros una formación suficiente y que un programa semejante pueda- ser enseñado correctamente en nuestras escuelas, ha pare­cido indispensable tomar medidas provisorias parciales y, sin duda, modestas pero inme­diatamente aplicables:

nocimientos requeridos para la formación del perito mercantil.

En tal sentido existen los problemas si­guientes:

a) El fundamental, inherente a la reforma in­tegral del plan de estudios de esta pro­fesión;

b) Hasta tanto se efectúen los correspondien­tes estudios y se apliquen los planes de estudio resultantes, es preciso innovar y coordinar las tareas en la medida que el

1)Señor Director:

Mediante la circular 98 del año 1967, pu­blicada en el N° 5 de CONCEPTOS DE MATEMATICA, de la entonces Subsecretaría de Cultura y Educación, se aprueban los pro­gramas de matemática del quinto año del bachillerato y de las escuelas de comercio. En este último campo actúo desde 'hace unos veinte años, habiendo aplicado ep el ejercicio de la cátedra de matemática financiera los temas inherentes a Ia actualización de los co-

Consideraciones generales.

La enseñanza matemática en la escuela ele­mental quiere responder de hoy en más a los imperativos que fluyen de una escolaridad

20i 21i

con los conocimientos alcanzados en la evolución comercia! actual.

alumnado reciba los mayores beneficios en su preparación con los actuales sistemas de enseñanza.

c) Para el estudio de ambos aspectos, consi­dero que el funcionamiento de los Depar­tamentos Pedagógicos es sumamente útil para traducir la experiencia de profesores y egresados en ciencias económicas y que toda reforma a, los sistemas de estudio de­be contar con el asesoramiento de estos centros de estudio.El 30 de abril de 1968 elevé a la jefatura

del Departamento de Matemática de la Escuela Superior de Comercio N° 1, "Dr. Joaquín V. González", en ¡a cual ejerzo la cátedra de la asignatura, la siguiente nota:

"Con referencia a la enseñanza de la asigna­tura "Matemáticas Financiera" que corres­ponde al quinto año de las Escuelas Nacio­nales de Comercio y la vinculación de esta materia con el régimen de estudios de la ca­rrera de perito mercantil, someto a lid. las siguientes opiniones:

I) PROGRAMA ACTUAL DE ESTUDIOS1. Conveniencia de mantener el programa vi­

gente hasta el curso del año 1967, que incluye el Capítulo de Rentas Inciertas, cuya supresión incide en los conocimientos básicos que deben impartirse sobre seguros. Además, no se observa en este nuevo plan una adecuada correlación en la distribución de los temas y se advierte una falta de acentuación en el estudio de los emprés­titos.

2. Considerando que el plan aprobado para el curso del año 1968 no representa ninguna modificación de fondo y reviste solamente un carácter formal y supletorio de temas, es conveniente aplicar los siguientes linca­mientos como solución inmediata:a) Mantener en los cursos inferiores la en­

señanza de aritmética comercial, for­mación indispensable para la práctica contable de los alumnos, ya que es im­posible que, el estudio matemático del interés se realice recién en el quinto año;

b) Iniciar en cuarto año la ejercitación con el manejo de las fórmulas fundamentales de la teoría del interés compuesto;

c) Realizar en e¡ curso. de quinto año la aplicación 'profesional de ¡a asignatura y su correlación con las materias contables y. jurídicas, basándose en la necesidad de una preparación teórico-práctica del pe­rito mercantil debidamente actualizada

base del sistema de partida doble. Se seja preparar un texto de ejercicios prác­ticos como trabajo conjunto con los De­partamentos de Materias Profecionales.

3. Visitas explicativas A Empresas y Reparticiones Públicas utilicen equipos de registración contable (directos y * electrónicos), con la infor­mación matemática sobre su funcio­namiento.A la Biblioteca Nacional, para el estudio histórico de la asignatura

4. Trabajo en equipo de los alumnos Elección de un tema anual para <su desa­rrollo por los alumnos, formando equipos de trabajo. En el Establecimiento existe prolongada experiencia de este sistema (Trabajos sobre: Emisión de deben tu res por Petroquímica S.A., Diagrama de un equipo electrónico modelo 1401 aplicado en una empresa industrial, Sociedades Ahorro y Préstamo, etc.) y el informe presentado en el año 1967 sobre el gabinete de trabajos profesionales organizado por Ia Dirección a cargo de un Egresado de Ciencias Econó­micas en ¡a Escuela de Comercio "Joaquín V. González" de La Falda, Provincia de Córdoba.

5. Grado de aprendizaje de los alumnosSe considera que el alumno debe adquirir una adecuada noción del valor de su ca­rrera profesional y que la disciplina de tra­bajo debe procurar elevar su preparación, evitando los peligros de las declinaciones en la actualización de los' métodos de ense­ñanza. Las clases se imparten con prepa­ración de carpetas para que el alumno efectúe el diagnóstico de los trabajos, adquiera seguridad en el manejo de los cálculos, agudice la tendencia a la inves­tigación, sea ordenado, prolijo y presente adecuadamente sus trabajos, incluyendo la supervisión del empleo del idioma nacional. La calificación de los alumnos se verifica por sus lecciones orales y escritas, abar­cando éstas el repaso de temas vinculados.

micas y a los egresados de ¡as Convenciones Nacionales de Egresados en esta especia­lidad.-Orientar en los cursos del Profesorado de Matemáticas los programas de estudio de Matemáticas Comercial conforme a las exigencias actuales, aconcejando que las prácticas de los alumnos se efectúen en Establecimientos dedicados a estas tareas.

acon-

II) PLAN DE TRABAJO EN QUINTO AÑOSe considera oportuno fijar el siguiente

método de trabajo, conforme a la experienciade numerosos cursos anteriores:

1. Bibliografía*—Guiarse en la ejercitación por los ante­cedentes que surgen de las siguientes dis­posiciones y publicaciones: Manual del Contador (Patón), Métodos estadísticos aplicados a los negocios (Mills), Matemá­ticas Impositivas, Impuesto a los Réditos (Fernández), Revista del Colegio de Gra­duados en Ciencias Económicas (Ejercicios sobre Sistema de ventas aplicando imposi­ciones y Revalúo Fiscal y Contable de la ley 17335), Ley 9688 (Accidentes del Tra­bajo), Prospecto del Banco Central de la República Argentina sobre el Crédito Ar­gentino Interno 1960 (Serie "A", 8%, 1960), Decreto N° 1552/65 sobre emisión de obligaciones por S.E.G.B.A. S.A., Ré­gimen de Prórrogas para el pago de im­puestos ante la Dirección General Imposi­tiva (Formulario 7277 en sus diversas etapas). Artículo 34° de la Ley Nacional de Sellos; Análisis de los efectos publici­tarios relativos al interés directo (v.g. en ventas de automotores), Liquidación de siniestros (régimen de cálculos según póli­zas), Decreto N° 9795/54 (Fórmula Oficial de Balances de Sociedades Anónimas), Tra­ducción del texto de Tod Hunter (parcial sobre Teoría del Interés Compuesto), Teo­ría del interés en el Código de Comercio Argentino (Anatocismo, Raimundo Fer­nández).—Utilizar Ja Tabla Financiera de los señores Lascurain,. Lambíase y Roca, empleada en años anteriores, en todos• sus aspectos, in­cluyendo su actualización (v.g.: Tabla de Cálculo de las amortizaciones reales para capitales unitarios del Banco Hipotecario Nacional).

2. Conocimiento vinculadosPor permitirlos la totalidad de los ejerci­cios, la enseñanza debe traducirse en la jornalización de las operaciones sobre la

que

Creo que es unánime el pensamiento de organizar en bien de los alumnos y de la comunidad un plan eficaz de estudio basado en la experiencia, que estimo nuestra Escuela y su Cuerpo de Profesores está en condiciones de encarar".

Estimo que este informe puede resultar útil a la Comisión designada para preparar planes y programas que se discutirán en las próximas■ Jornadas de Matemática anunciadas.

Saludo a Ud. con toda cordialidad y me reitero a sus órdenes

NICOLAS F. WHELAN

2Señor Director:

Respondo al llamado a los docentes que Ud. nos ha hecho en el N° 27. Sinceramente, me interesa, y supongo que lo mismo ocurrirá con otros docentes de matemática. Primero, porque estoy un poco decepcionada por las medidas tomadas hasta ahora por las autori­dades educativas sobre la enseñanza de la ma­temática y, segundo, porque se nos brinda la oportunidad de que se conozca nuestra ma­nera de ver y confío en que podremos hacer un trabajo que, satisfaciendo muestras inquie­tudes, sirva para aportar nuestro grano de arena a la obtención de una solución válida para una mejor enseñanza de nuestra asigna­tura.

Porque, señor director, venimos de una .se­rie de decepciones. Muchos docentes confiaron en las soluciones propuestas por el grupo de profesores universitarios. encabezado por los señores Babini, Ratto de Sadosky, Santaló y Varsavsky; era por lo menos un buen punto de partida. Así también lo entendieron las autoridades ministeriales que organizaron di­versos cursos pilotos, que se cumplieron du­rante varios años, y en los cuales los profe­sores encargados de dictarlos desarrollaron una tesonera labor, reconocida por los informes de los inspectores Piaña y Encinas. Un buen día

*

III) PLANES FUNDAMENTALES

Se considera conveniente:—Realizar en el Establecimiento un estudio de los planes de ¡a carrera de perito mer­cantil para elaborar un proyecto de pro­puestas tendientes a su actualización.— Vincular este Estudio a ¡a experiencia del Colegio de Graduados en Ciencias Econó-

* Este comentario bibliográfico fue preparado por la Universidad del Litoral por el equipo de trabajo dirigido por eTprofesor Aróvalo.

2322

ENSEÑANZA PRIMARIAdones de Ias distintas Comisiones Nado nales para ia Enseñanza de la Matemática. Las ma­yores fueron las reformas a los programas vi­gentes en /as que se injertaron algunos temas de matemática moderna, y también poco fue lo que ios docentes recibieron para mejorar didácticamente su enseñanza. Se supo también que una de dichas comisiones elaboró un pian de doce años cuyo destino final desconocemos por completo. Hoy no sabemos si existe Comi­sión Nacional. Algunos miembros han renun­ciado; de otros no se sabe que actitud han adoptado pero, a lo que creo, la Comisión no funciona.

En 1968 se realizó el Primer Simposio Na­cional para ia Enseñanza de /as Ciencias orga­nizado por el instituto Nacional para el me­joramiento de ia Enseñanza de /as Ciencias, el que adoptó algunas medidas prudentes y se­ñaló el rumbo a seguir, pero no sabemos que todo el/o haya pasado de buenas intenciones.

Otras cosas se podrían señalar. Creo que ia mejor es la medida que permite a ios departa­mentos de matemática de las escuelas secun­darias interpretar los programas y adaptarlos a ios puntos de vista de sus componentes. No es mucho, pero algo es.

Lo que queda por realizar si es mucho, y esperamos que ahora podamos hacer un aporte valioso. Sabemos que ia tarea es muy difícil y que habrá que reflexionar• bastante, pero con­fío en que podamos hacerlo.

Saludo a Ud. muy atentamente

Herminia C. (je Rodríguez López

los cursos pasaron a mejor vida y no se habló más de ellos.

Lo mismo ocurrió con los cursos experi­mentales para tercer año del ciclo básico. Se ensayaron elaborados programas modernos, y luego de un par de años desaparecieron sin que se supieran los resultados obtenidos.

Hace poco conocimos Ia resolución 1850/73 del Ministerio de Cultura y Educa­ción por la que se ponía en marcha con carác­ter experimental el plan de estudios del bachi­llerato común para alumnos Ubres mayores de 21 años, el cual, a lo que sé, ha tenido que ser dejado sin efecto. Debe haber sido por tener deficiencias tan grandes como el programa de matemática que no sabemos a quiénes se debe

. y que nos hace retrogradar muchos años, ade­más de las deficiencias que presenta. La bi­bliografía indicada en las págs. 79/82 debe hacer sonrojar incluso a las editoriales favore­cidas.

la matemáticaEsther P. GROSSI*

(Brasil)1e\

Una imagen moderna del concepto matemático de relación

En nuestra actividad en el Grupo de Es­tudios sobre la Enseñanza de la Matemática de Porto Alegre (GEEMPA) en donde las expe­riencias de renovación de la enseñanza de dicha disciplina se orientan mediante clases- piloto en escuelas de nuestra ciudad o en los cursos de readiestramiento de profesores, hi­cimos una interesantísima verificación. Hace ya ocho años que enseñamos a los profesores, en los cursos de readiestramiento, o a alumnos escolares de primer grado, el concepto de re­lación. Al principio seguimos naturalmente la sucesión lógica del contenido. Primero, defi­níamos a la relación como un conjunto de pares ordenados, dábamos un significado de la ley de una relación, conjuntos de partida y de llegada, dominio y contradominio, relación inversa, identidad, producto cartesiano, repre­sentándolos mediante esquemas sagitales, cartesianos o por pares ordenados entre llaves, para después analizar las propiedades de las relaciones cuyos conjuntos de partida y de llegada son coincidentes — reflexividad, si­metría y transitividad-, por el número de veces que los elementos figuran en los pares ordenados en cualquier tipo de relación para finalmente llegar a las equivalencias, órdenes o funciones.

Mientras tanto, observando a las criaturas del jardín de infantes, percibíamos que reali­zaban los juegos preliminares al concepto de relación concretizando mediante materiales estructurados según atributos (bloques lógicos, conjuntos de tapitas de diversos colores, regle­tas Cuisenaire, conjuntos de autitos plásticos, etc.) clases de equivalencia, órdenes o fun­ciones.

Las criaturas separan las piezas de los mate­riales, por ejemplo, pensando en el color, esto

es, construyendo clases de equivalencia del- color. Forman filas (órdenes) a partir de dos . dimensiones, basándose implícitamente en la ley... es más (o menos) largo que... 0 in­cluso, establecen correspondencia entre, las piezas de un material o de otro, a veces biuní- voca, otras veces no.

Nosotros orientábamos a las profesoras: "Vuestros alumnos, tan pequeños, no pueden formalizar los conceptos con que están ju­gando en este momento. Déjenlos jugar tan sólo".

Otras iniciativas fueron los cursos de vera­no, bastante profundos, que también han de­saparecido y que no han tenido el eco que se esperó. Hubieron, si, muchos profesores que se dedicaron a dictar cursos, organizados por ins­tituciones oficiales y particulares. Algunos de ellos fueron buenos, hasta muy.buenos. Otros mediocres, hasta malos; los encargados de hacerlo creyeron que la reforma consistía en que los docentes manejaran algunas pocas no­ciones ingenuas de la teoría de conjuntos y por ello el remedio que ofrecieron fue casi peor que la enfermedad que se padecía.

Pocas, a mi entender, fueron las reaüza-

Fue en esa ocasión cuando formulamos la hipótesis: el aprendizaje de las relaciones tiene que hacerse al revés. Tenemos que iniciarlo por las equivalencias, órdenes y funciones mediante juegos con materiales didácticos con­cretos, para, después de cierta caminata, llegar a la formalización.

Desde que se formuló esta hipótesis reali­zamos este camino del aprendizaje del con­cepto de relaciones con niños de ? años, adolescentes de 11 a 12 años y adultos, en unas doce tandas de alumnos.

Los resultados nos llevan a confirmar la hipótesis, pues en primer lugar el aprendizaje se realiza mucho más rápidamente (aunque parezca que se pierde tiempo en la fase de los juegos libres y estructurados) y los resultados son muy superiores a los obtenidos antes.

Con el fin de que otros colegas puedan testimoniar nuestra hipótesis y tener los mis­mos beneficios, pasamos a relatar cómo hi­cimos este trabajo.

(Viene de oág. 6)

de la matemática én el ciclo de observación, prevé el mismo número de horas en el ciclo de orientación... y que esos deseos podrían*ser tomados en las decisiones ministeriales.

El problema de los alumnos flojos ha sido planteado y la necesidad de prever ritmos dife­rentes en el desarrollo de la misma materia ha sido reconocido, desde el ciclo de orientación. La delegación expresó vivamente sy deseo de que la sesión semanal por cada media clase y el reatrapamiento de los alumnos se mantenga a lo largo de todo el curso de orientación. En lo que concierne a los cursos optativos, las posibilidades se manejarán de manera que los alumnos no puedan abandonar demasiado rápi­do ciertas posibilidades. De esta manera, en el

primer •año del ciclo de observación especial­mente, se trataría de lograr que las opciones aseguren cierta complementariedad de la for­mación. La delegación subrayó que las opcio­nes deben injertarse fructuosamente más que sobre una formación de la base suficiente.

En resumen, el ministro se mostró afir­mativo, pero subrayó que los gruesos proble­mas que quedan por resolver, sobre todo en lo que se, refiere a los ciclos cortos en donde las ramas técnicas exigen gran número deshoras. Queda por determinar la duración de esos ci­clos (4 ó 5 años). Esta elección y el volumen horario consagrado a los cursos técnicos reper­cutirán naturalmente sobre las materias a enseñar.

VV

Materiales didácticos empleadosConjuntos estructurados según atributos:

2X2X3X4, o sea, el primero con 2 valores, el segundo con 2 valores, el tercero con 3 y el cuarto, con 4. Por ejemplo, en los bloques lógicos: 1er. atributo (tamaño): grande y pe-

24 25

queño; 2do. atributo (espesor): fino y grueso; 3er. atributo (color): azul, amarillo y colo­rado; 4to. atributo (forma): cuadrada, circular, triangular y rectangular.

. Se utilizan estructuras variadas además de la 2X 2X3X4 Por ejemplo: 3X4; 3 X 3 X 3; 4 X 4 X 4; 5 X 5; 2 X 3 X 3; etc.

Además de los bloques lógicos, se pueden usar los Personajes de Dienes y muchos otros que se pueden confeccionar con objetos sim­ples de uso diario (tapitas, granos, palitos, cuentas, cintas, etc.).

¿Cuál es la pieza que está dos lunero- an. El otro equipo presenta una pieza. Existen tres hipótesis: ganar, perder o dejar sobre la mesa.

Estas piezas que quedan sobre la mesa pue­den volver a ser utilizadas por los equipos cuando lo deseen pero en número igual para cada equipo.

Vencerá el equipo que recoge mayor nú­mero de piezas.

b. Terminado el juego, se debe experi­mentar organizando una fila con todas las piezas 2X2X2X2 de manera tal que una- pieza irá detrás de otra sí y sólo si vale más que ella. Si no vale más, no podrá ir detrás.

tes?¿Cuál es la pieza que está tres lugares des­

pués?d. Toma dos elementos, vecinos o no y

pregunta: De ellos ¿cuál viene primero? ¿Son vecinos?

I

1iFicha 5. Relación de orden parcial Juego de la pieza más fuerte

Los participantes del grupo se dividen en dos equipos. Deben tomar un material estruc­turado según 4 atributos, cada uno de los cuales con dos valores, esto es, más breve­mente: 2 X 2 X 2 X 2.

Las piezas deben mezclarse sobre la mesa. Cada equipo toma, entonces, ocho fichas.

Se considera que una pieza es más fuerte que otra si posee todo lo que tiene la otra pieza y algo más.

Uno de los equipos coloca una pieza sobre la mesa. El otro equipo puede tomarla para sí mediante una pieza más fuerte. Si el segundo equipo coloca una pieza más débil, ambas se­rán recogidas por el primer equipo.

Puede ocurrir que las piezas no sean com­parables. En este caso permanecerán sobre la mesa.

i

Dinámica de las clases

En grupos pequeños que en cada sesión eligen el material con el cual van a trabajar.

Junto con el material, para facilitar la tarea del profesor, se puede entregar una ficha de trabajo conforme a los siguientes modelos:

Consideraciones finalesEs importante que el profesor controle que.

el alumno haya hecho por'lo.menos estas fichas con materiales variados.

Cuando los alumnos juegan, el profesor en­camina el aprendizaje mediante preguntas mediante las cuales busca la explicitación de la ley de las relaciones establecidas, las pro­piedades y la identificación de los tres tipos básicos de relaciones trabajados hasta enton­ces: equivalencias, órdenes y funciones.

En determinado momento, los alumnos per­cibirán que todas las actividades cumplidas mediante las fichas con los materiales, pueden resumirse en estas tres especies y algo más: que detrás de todas ellas hay algo en común, a saber, una relación entre los elementos.

El profesor proporcionará a los alumnos otras actividades con relaciones que no sean ni equivalencias, ni órdenes ni funciones, en busca de una generalización del concepto de relación de cuál se espera que esté aclarando para ellos.

Entonces habrá llegado el momento de re­presentar las relaciones mediante esquemas sagitales, cuadros cartesianos o mediante llaves como pares ordenados. En ese momento, las propiedades serán más evidentes y se podrá explicitarlas claramente partiendo de las re­presentaciones y dándoles los nombres y la simbología.

Como último paso, los alumnos podrán des­cubrir nuevas propiedades partiendo de las ya vistas en auténticos teoremas.

No presentamos modelos de actividades didácticas sobre relaciones en el aspecto repre­sentativo porque son bastante numerosos en los libros.

Nos hemos inspirado especialmente en los trabajos de Dienes y también en los de Picard, Papy y otros.

Tareas:a. Colocar cada pieza en una región del

diseño de manera organizada. Llama luego al profesor y explícale la organización.

b. Uno de los participantes, retira una pieza del diseño sin que los demás lo vean. Obser­vando el diseño ¿quién puede identificar más rápidamente la pieza que falta? (Cada parti­cipante del grupo debe, a su vez, retirar una de las fichas para que los otros la descubran).

Ficha 3. Correspondencia entre dos materialesToma dos materiales con el mismo número

de elementos en ambos.Trata de hacer corresponder a cada pieza

de uno de ellos una pieza del otro material con una razón que justifique claramente la correspondencia.

Nota: Un material cuyo número de elemen­tos es un múltiplo del número de otro puede también ser puesto en correspondencia éste. Evidentemente, esta correspondencia no será ' biumvoca", pero es interesante que los alumnos obtengan la vivencia de esto.

Ficha 4. Relación de orden total

a. Haga una ficha con las piezas de un material de manera tal que cada pieza tenga un lugar bien determinado.

b. Pide a tus colegas que cierren los ojos. Cambia dos piezas de lugar. Tus colegas deben descubrir, después de observar la fila, cuáles son los cambios realizados.

c. Retira una de las piezas de la fila y pid a un colega que mira la fila:

¿Cuáles son los vecinos de dicha pieza?

Ficha 7. Relación de equivalenciaa. Dispersa los elementos del material sobre

la mesa.b. Manosea y observa las piezas a voluntad.c. ¿Existen dos piezas absolutamente equi­

valentes?d. ¿En qué pueden equivaler dos piezas? é. Piensa en algo y separa este material en

montones de manera que el número de ele­mento de cada montón sea el mismo.

f. Piensa en otra separación que cumple los mismos requisitos de la anterior.

g. ¿Habrá otras maneras de separar así el material?

El juego continúa con la presentación de una nueva pieza por el otro equipo y las tres posibilidades: ganar, perder o dejar sobre la mesa.

Estas piezas que permanecen sobre la mesa podrán ser reutilizadas por los dos equipos, la mitad para cada uno de ellos.

El equipo que recoge mayor número de piezas gana el juego.

Ficha 6. Relación de orden parcial Juego del vale más

a. Tomar un material 2 X. 2 >C 2 X 2. Deben formarse 2 equipos. Las piezas se dividen en dos grupos, uno para cada equipo.

Tener un valor de atributo gana a no tener. Así, una pieza que tiene más características que otra, gana.

Hacer "par" o "impar" y el que pierde debe comenzar el juego poniendo una pieza sobre la mesa. El otro equipo puede recoger esa pieza con una que valga más. Si coloca una pieza de menor valor, ambas serán re­cogidas por el primer equipo. Si se coloca una pieza no comparable con la primera, ambas serán dejadas a un lado sobre la mesa. Y el juego prosigue.

Ficha 2. Organización del material en un es­quema especial

Entregar a los alumnos diseños que per­mitan disponer las piezas del material organi­zadamente de acuerdo con el total de piezas

Por ejemplo.

con

\1

e

2726I

ORIENTACIONGobiernas sobre conjuntos

y relaciones(Continuación)

lociones Con untistas *M. DUMONT

(Ftancia)César A. TREJO (Argentina)

A° pertenece a A, es decir, todo elemento de A° pertenece a A', luego A° C A'. Por la se­gunda (2) todo elemento no perteneciente a A pertenece a A°, es decir, todo elemento de A' pertenece a A°, luego A'C A .*4.8 (i) 23 = 8; (¡i) 23 si at fbx =£ c,=£ a; 22 si entre los elementos a, b, c hay sólo dos dife­rentes; 21 (a saber: 0 y i{ a} ) si a = b = c. *4.9 Con 6 personas pueden formarse 26 =64 conjuntos diferentes; suprimiendo el conjunto vacío y el total, los 6 unitarios y los 6 de cinco personas, quedan 64-1 — 1—6 — 6-50.*4.10 (i) El primer miembro es la unión de A con el vacío, y el segundo resulta igual a la intersección de A con A;

(¡i) El primer miembro es una intersección de cqnjuntos disjuntos, y el segundo miembro es una unión de conjuntos vacíos.*4.11 De la primera (3) resulta, tomando com­plementos:

*4. Respuestas a los problemas del número 27.

*4.1 Son disjuntos. Basta probar qqe ningún elemento de B pertenece a L. Bi £ L pues Bi no es un libro sino una biblioteca; análoga­mente B2 £ L.*4.2 Si una biblioteca es un conjunto de li­bros, B¡ C L.*4.3

La introducción de nuevas nociones en nuestra enseñanza, necesaria por diversas razo­nes de las cuales una, la pedagógica, es a menudo desconocida, no puede hacerse válida­mente sino por una elección razonada1 y una larga experimentación de las diversas pedago­gías. Infortunadamente esas nociones son muy frecuentemente retrasmitidas a los alumnos, cualquiera sea su nivel, en formas del todo idénticas a aquéllas en que los maestros las han recibido. Ahora bien, la elaboración de una pedagogía referente a esas nociones no puede hacerse en un año ni siquiera en varios años. Asistiremos, pues, en los años que siguen a un florecimiento de obras, métodos, materia­les más o menos valiosos. Resulta importante que cada maestro tenga conciencia de ese fe­nómeno y sepa elegir entre los materiales a menudo costosos, a veces insuficientemente analizados y multitud de materiales construi- bles en clase, imaginados por el mismo maes­tro y por ello perfectamente adaptados a su pedagogía.

noción definitivamente en un nivel dado y ser usado en otro sin otro análisis en los niveles superiores. Esto es, sin embargo, lo que deja pensar la lectura de nuestros programas (auto­matismos excluidos). Una etapa preliminar de . familiarización facilita siempre el análisis de una noción. Este primer análisis, sin embargo, puede ser retomado y profundizado a medida que mejora la familiarización. Esta familiariza­ción, que muy a menudo se confunde con una actividad inconsciente, vale decir, un automa­tismo, consiste en encontrarse en presencia de situaciones variadas que contienen el concepto a estudiar o no, y a actuar sobre esas situacio­nes. En el curso de esas diversas actividades es donde se toma conciencia de la similitud de las marchas debidas a la presencia del concep­to y sólo a partir de ese instante se puede intentar un comienzo de análisis y luego, más tarde, de formalización.

Las situaciones presentadas al alumno pue­den pertenecer a dos clases diferentes:

1a Una clase de situaciones naturales, ex­traídas del campo de la experiencia del alum­no. Estas situaciones tienen una ventaja enor­me: por una parte, proveen a las actividades de una motivación casi cierta y, por otra par­te, permiten transferencias individuales para asegurar una buena comprensión. Pero estas situaciones presentan un inconveniente de or­den escolar: pertenecen a menudo a dominios extraescolares y el alumno no puede actuar directamente sobre ellas, sea por razones de dificultades, sea porque ellas son efímeras. Su acción sólo tiene lugar sobre una descripción

[AO (AU B) ]' = A'

y aplicando una y otra de las leyes de De Morgan se obtiene sucesivamente:

Á'U (AUB)'= A', A' U (A' O B') = A'.

La última igualdad es la segunda (3) con A, B y C reemplazados por sus respectivos comple­mentos. .4.12 (i) Tres: { 1.2} ; {2,3} ; {3,1,} ; (ii) Nue­ve: (1,1); (1,2); (1,3);...; (3,3).*4.13 Da lo mismo probar la equivalencia de las respectivas negaciones, o sea:

jAXB^^oJA^^Jy (B ^ 0 ).Ahora bien, es A X B =£ 0 si y sólo sí hay al

menor un par (x, y) con x£a,yEB; es decir, A =A0 y B=£0 .*4.14 Si A C Aj y B C Bi, entonces

xEA^xEAj e yEB=>yGBi, y las dos implicaciones equivalen a esta única:

(x,y)EAX B=Kx,y)eA! XB1( que a su vez equivale a A:X B C Ai X Bi.

(Continuará)

*4.4 El número de elementos de Ai U A2 es /71 + /?2 — n 12 /

pues si se cuentan los de Ai y a continuación los de A2 se llega al número ¿i + rii pero así se han contado dos veces los elementos de Ai OA2.

El número de elementos de A\ U A2 U A3 es

{Pi+n2+n3) - (ni2+n23+n3i) 4-n123. (°)En efecto, si un elemento pertenece a *uno

. solo de los conjuntos Ai, A2, A3, se cuenta en uno solo de los términos del primer parén­tesis; si pertenece a dos, se cuenta en dos términos del primer paréntesis y en uno del segundo, y contribuye a la suma (°) con 1 +*1 — 1 = 1; y si pertenece a los tres con - juntos, se cuenta en todos los términos y contribuye a (°) con 3 — 34-1 = 1.

Observaciones preliminares.Con toda evidencia, un material no vale

más que por el uso que de él 'se hace. Es esenciak 1°) conocer las ventajas y los incon­venientes; 2o) saber que no tienen carácter absoluto sino que se refieren a un objetivo bien determinado. Por otra parte, en el límite, un peligro descubierto a tiempo puede conver­tirse en ventaja pedagógica puesto que estimu­la la atención, la mantiene alerta por el hecho del conocimiento de la existencia de ese peli­gro. Inversamente, la ausencia de peligro elimi­na la desconfianza, estimula el automatismo, es decir, la inconsciencia y... se corre el ries­go de convertirse en un peligro en el plano educativo. Al maestro y sólo a él corresponde la elección del material y de una estrategia adaptada a su clase, £ su estilo de enseñanza.

Es absurdo creer que se puede analizar una

>

* Este artículo, publicado con el título de Notíons de partition; ¡ntersection; différence symétriqúe, complém en taire, fonction caractéristique ¡apareció en el N° 269-70 del Boletín ele la Asociación de profesores de matemática de la Enseñanza Pública de Francia y lo tradujo la profesora Cristina Ver- daguer de Banfi.

*4.5 P(A) = j{0, {{i,2)] } , {3|},a}**4.6 Solamente la segunaa.*4.7 Por la primera (2), ningún elemento de

2928 .;

no hay prácticamente otra actividad que esta simbolización. Esta actividad, este análisis, realiza así bajo la sujeción del maestro mien­tras que debería hacerse a posteriori por la presión de las experiencias.

La mayoría de las actividades humanas ex­traescolares o escolares pueden incluirse, entre otros, en los siguientes tipos:

10 Organización (de objetos, de activida­des, de recuerdos, etc.).

2° Invención, es decir, combinatoria.3° Decisión o elección.4o Descripción o expresión.5o Simulación o repetición.

Este último tipo de problemas es, en el plano educativo, el más peligroso sin dejar de ser importante en cierto plano social. Es casi únicamente el único tipo de actividad que desarrollamos, conscientemente o no, con nuestros alumnos. En verdad, cada tipo de actividades hace intervenir a otros tipos: por ejemplo, un problema de descripción hace in­tervenir actividades de organización, de'inven­ción, de elección, de repetición.

Pero, para suscitar la necesidad de organiza­ción en el alumno, es necesario colocarlo ante situaciones suficientemente ricas como para que esa necesidad se haga sentir.

de esas situaciones y exige ya cierto grado de formal ización.

2a. Una clase de situaciones artificiales, concebidas por el maestro no para aislar el concepto sino para permitir una actividad real que proceda antes que nada a la descripción. Es a esta clase a quien pertenece el material que se describe más adelante. Una situación tal tiene además la siguiente ventaja: sus obje­tos no tienen valor semántico y pueden repre­sentar los objetos de una situación real que tenga la misma estructura. Es de alguna mane­ra la materialización de la estructura común a las situaciones de la primera clase.

El estudio único de una situación tal es evidentemente peligroso puesto que no permi­te las transferencias. Si se han creado otras situaciones artificiales de la misma naturaleza,' entonces sus objetos adquieren un valor se­mántico y la ventaja obtenida en el plano de las transferencias es un inconveniente en el plano de la formalización. Otro medio para provocar las transferencias consiste en elegir una situación real lo suficientemente rica para que se puedan presentar al alumno "sub­situaciones" extraídas de la precedente, lo que presenta una ventaja doble: 1) permite transfe­rencias, 2) habitúa a restringir, ampliar o va­riar el universo en que se actúa.

Un concepto tomado aisladamente no tiene gran significación. Siempre es con respecto a otros conceptos, o mejor aun con respecto a una o más estructuras bien determinadas, que adquiere su carácter propio. Así ocurre con el concepto "conjunto". La toma de conciencia de ese concepto no se puede hacer más que dentro de estructuras lo suficientemente ricas que harán sentir la necesidad de ese concepto. Muy a menudo queremos definir a un conjun­to antes de haber provocado esa necesidad de pensar en los conjuntos. Después, casi de in­mediato, queremos analizar las diversas defini­ciones: en extensión (lista exhaustiva de los elementos), en -comprensión (enunciado de una propiedad común a los elementos y a ellos solamente), y de otras maneras (enunciando una ley de contrucción de los elementos, por ejemplo, una ley de recurrencia), etc. Y así nos vemos llevado casi inevitablemente a sim­bolizaciones ahora clásicas: aE \Ía,bfcA}. a.E | x : P (x)¡J si P (a) es verdadera, que tan peligrosas son en el plano pedagógico en esta primera etapa.

Se sigue de ello que no podemos proponer a los alumnos, en ese nivel, más que ejercicios de definición, de simbolización, en los cuales

para los cuales la terminología usual esté en contradicción con una terminología ulterior (por ejemplo,, la "forma" de un objeto depen­de de su espesor, de su aspecto "interior" tanto como del "exterior", etc.); 2o una orga­nización que estará en contradicción con orga­nizaciones ulteriores y sin embargo ligadas a un mismo vocabulario (por ejemplo, presentar el conjunto de los cuadrados y al conjunto* de los rectángulos como disjuntos en tanto que más tarde deberá tomar conciencia de que un cuadrado tiene todas la propiedades de un rectángulo, luego es un rectángulo particular, y presentar entonce* al conjunto de los cua­drados como parte del conjunto de los rectán­gulos).

Este sólo ejercicio de recorte exije ya una organización implícita del Universo que permi­te elegir un orden de descripción y luego un orden de recorte. Por consiguiente, pertenece

a un orden de ejercicios ya hechos por el alumno que consisten: 1° en construir árboles, en jugar sobre "tableros" (en verdad, definir en extensión productos de conjuntos). Volva­mos a este tipo de ejercicios a propósito de este ejemplo particular:

a) Se elige un orden entre las clavijas y paralelamente los "pisos" del árbol:

1er tablero 1er piso las formas 2do tablero 1er piso los colores 3er tablero 1er piso las tallas 4t0 tablero 1er piso las marcas

Este orden es arbitrario.b) Se elige un orden entre las "piezas" dé

cada tablero, entre las ramas de cada piso, por ejemplo, el orden adoptado en la descripción del párrafo anterior.

Hecho esto, el alumno "golpea" sobre una pieza de cada tablero y dibuja:

se

*1

Coostrucción o presentación del material.

Todas esas razones, entre otras, han provo­cado la elección del tipo de material, material que no tiene nada de original y se ubica en el linaje de los bloques lógicos de Dienes.

Se invita a los alumnos a recortar en un cartón 120 objetos que tengan:

1o una de las cinco formas siguientes: círculo, cuadrado, triángulo, rombo, hexágono que designaremos con D, C, T, F, H y al conjunto con F.

2° uno de estos cuatro colores: rojo, rillo, verde, azul, designadas con R, J. V, B y el conjunto con C.

3o una de las tres tallas siguientes: diáme­tro o lado de 8, 5 y 3 centímetros designadas G, M, P y el conjunto con T.

4o una de las dos marcas siguientes: obje­tos sin una cruz, objetos con una cruz, desig­nados con 0, 1 respectivamente y el conjunto con M.

El conjunto de los 120 objetos o universo será designado con U pero es evidente que estas notaciones no aparecerán ante los alum­nos-más que cuando sean ¡ necesarias. Importa en una elección tal no emplear: 1° objetos

Fig. 1.sobre el árbol, traducirá eso con una- sucesión de flechas sobre el diagrama sagital, a la izquierda.

Esquema visiblemente muy incompleto: si el lector quiere repasar en rojo una sucesión de elecciones

ces sería necesario de inmediato proponer me­jores situaciones. Pues aquí, la elección de otro orden, por ejemplo, CxMxTx.F, nos conduce al mismo universo, lo que ya pone en evidencia el peligro de confusión entre el uni­verso U de los 120. objetos y el conjunto producto F x C xT x M.

a) los diferentes caminos entre las teclas de los tableros; b) el árbol o una parte de él sobre el cual camina. Eso vuelve otra vez a definir los conjuntos productos F\ FxC, F xT, F xT x M, es decir cuplas, ternas, cuá­druples-de propiedades. En esta etapa de cons­trucción del universo, el único conjunto que nos interesa es el último. Es importante subra­yar que un conjunto producto de conjuntos es a priórí no' ordenado. La necesidad de definir en extensión a este conjunto, es decir, de distinguir los objetos, de designarlos sucesiva­mente, es lo que impone la elección de un or- éntre los elementos de cada uno de los con­juntos factores. Por lo contrario, la elección de un orden entre los conjuntos factores es indispensable para el concepto de producto de conjuntos. Si tal era nuestro objetivo, enton-

ama-

Prímeros inventariosAsí construido el universo U la segunda

etapa consiste en hacer el inventario de dicho universo. Se invita a los alumnos a disponer sobre su mesa los 120 objetos repartidos en 5 montones (formas); después en 4 montones (colores), 3 montones (tallas), 2 montones (marcas). Habiendo realizado materialmente cada partición, los alumnos las dibujan enton-

sobre sus cuadernos esquematizándola; porces

30 31

ejemplo, cada “objeto" es representado por un punto.

Por ejemplo, los transportarían a 10 sobres,pero esos montones no respetan necesariamén-

la homogeneidad de los conjuntos (así, drados rojos y amarillos, cuadrados azules, círculos rojos y amarillos.

puede ser designada así, sea por el nombre del atributo (DRM1 por ejemplo), sea por la lista de los nombres propios de los objetos que contiene, lista que puede ser reducida a 1 solo elemento. Tenemos allí una ocasión para hacer distinguir un lenguaje en extensión de un len­guaje en comprensión sin definir estas palabras se puede entonces preguntarse si no sería bueno que alguna de esas clases fuera vacía. Pero ese material demasiado rico está concebido para que se trabaje con subuniversos. Será, pues, posible en adelante dibujar subuniversos en donde las particiones con ayuda de las propiedades, conducen a clases vacías. iAten- ción! El matemático no emplea la palabra partición más que para designar un conjunto de clases disjuntas y no vacías, cuya unión sea el universo.

Observación. Se puede pensar que en ese momento, por más que la inclusión no haya sido abordada todavía, sea posible pedir a' los niños que comparen las diversas particiones con el fin de comprobar por ejemplo que el par de las particiones U¡ y U2 (5 clases por las formas y 4 clases por los colores) no tie­nen el mismo aspecto que el par Ui, U6 por ejemplo (5 clases por las formas y 10 por las formas y marcas). Para este último par, U6 es más fina que Uj, es decir, cada clase de U6 está incluida en una clase de Uj. Pero, sin duda, es prematuro abordar el análisis del en­rejado de las particiones. Digamos, no obstan­te, que durante la actividad de clasificación algunos alumnos comprendieron muy bien que para obtener una partición en 20 clases, po­dían usar primero la partición en 5 clases por las formas; luego repartir cada clase en 4 se­gún los colores o inversamente. Esto es impor­tante pues está en germen la noción de estruc­tura cociente. Algunos dibujos fueron, por otra parte, realizados así y permitieron atraer la atención sobre el siguiente hecho:

medianos). En el momento del dibujo de la partición en 120 clases, han designado median­te la etiqueta DVPO a cierta clase. Pero esta clase no contiene más que un objeto. De allí

la tentación de dar el nombre de la clase

tecua*

verdes y etc. ¿por

qué no reunir los rojos y verdes? ). ¿Cómo repartir entonces los objetos en 10 montones sin provocar envidias entre las formas, los co­lores, las tallas, las marcas? Se concluye -así en la partición siguiente U6 en 10 clases desig­nadas provisoriamente C0 (cuadrados cados), D (círculos marcados), etc.

-0 surgeal objeto único que contiene. Es tiempo de

ese caso particular mediante otro.C

compensar

Enriquecimiento y codificación de los "elementos" de un universo.

no mar--0En Se decide entonces designar a cada objeto por una palabra de dos letras, una letra, una vocal, y para unificar el vocabulario en la clase

i orden sobre los dos tableros de orden sobre los 4 tableros de cuali-

se elige un letras, undades y una aplicación del conjunto de las cuplas de letras en el

FlG. 2.Entonces se colocan "etiquetas"* en los

"montones" y en la "caja", lo que da ocasión para adquirir conciencia de la imprecisión de vocablos tales como "forma". ¿Qué forma sino una clase de cierta posición del universo?

Ahora bien, en el dibujo anterior tió con respecto a las etiquetas un error fun­damental. ¿Cuál? Si U representa al conjunto de los 120 objetos, es absurdo designar con la misma etiqueta al "mueble" de 5 cajones que contiene a los 120 objetos, es decir, la parti­ción en 5 clases. Pero este

.más que cuando comparamos el mueble de 5 cajones, el mueble de 4 cajones, después de 3 cajones, después de 2 cajones. Sólo momento sentimos la necesidad de distinguir esos diferentes muebles, o particiones designa­das Ui, U2, U3, U4, U5 {U\ es un conjunto de 5* elementos cajones, montones o clases, U

es una

se come-

Fig. 3.Este problema conduce evidentemente a las

otras particiones utilizando 2 de las 4 propie­dades, por ejemplo: forma y color (20 clases), forma y talla (15 clases), color y talla (12 clases). Finalmente, los alumnos realizan nualmente sobre la mesa todas las particiones siguientes en 5, 4, 3, 2, 20, 15, 10, 12, 8, 6, 60, 4Ó, 30, 24, 120 clases.

Se imponen dos observaciones:1o. Llegados allí, no sería necesario que

los alumnos creyeran que no hay otras parti­ciones posibles. Es, pues, indispensable sugerir­les que repartan al azar sus 120 objetos en los 7 cajones de un mueble, por ejemplo. Para hacerlo, no emplean las propiedades preceden­tes. Pero, entonces, ¿cómo designar a los obje­tos? ¿Por sus cualidades? Esta solución natu­ral debe ser retenida, pero sólo durante tiempo: el ritmo de la reflexión. He aquí por qué.

error no aparece

ma-

Fig. 4.en ese

conjunto de cuadrupletas. aa -► DRG0 aeDRG1 aiDRM0

etc. Esta aplicación no es más que la relación de pertenencia. Ejemplo: aa pertenece a la clase DRGÓ..

Los alumnos componen entonces un verda­dero diccionario que les permitirá en adelante encontrar más fácilmente los objetos. (Esta aplicación proveerá más tarde un ejemplo de aplicación creciente o decreciente según los órdenes, utilizados). Pero el conjunto de las palabras de dos letras comporta 130 elemen­tos, de donde surge entonces la tentación de fabricar 10 objetos suplementarios designados por las últimas diez palabras que tienen algu­nas de las propiedades precedentes.

Esta vez la partición del nuevo universo U de los 130 objetos en 120 clases no nos per­mite ya confundir el número de las clases con el nombre de los objetos porque ciertas clases contendrán 2 ó incluso 3 objetos. Cada clase

ao -* DRM1 au DRP0 óa-*DRP1es un conjunto de 120 elementos; es necesario

entonces reemplazar en el dibujo precedente a U por Ui).

Casi inevitablemente se comete un segundo error en el curso de las dos etapas. Ocurre que los alumnos o el maestro tienen necesidad de nombrar a uno de los 120 objetos, por el ejemplo el cuadrado, verde, grande y marcado con una cruz. La tentación es entonces grande de colocar etiquetas a cada uno de los 120 objetos, por ejemplo para el objeto precedente (CVQ1). Este es en efecto uno de los códigos usados para designar los caminos del árbol o de los tableros. El peligro de un código tal es evidente; por ello las siguientes actividades.

un

2°. Cuando los alumnos han dibujado las particiones, han enganchado a cada clase (ca­jón o montón) una etiqueta que recuerda fas propiedades empleadas (ejemplo: CRM repre­senta la clase de los objetos cuadrados, rojos,

Inyentarios más delicados

Algunos alumnos tienen la ¡dea de repartir los 120 objetos en más de cinco montones.

* Excusad la imperfección de los dibujos realizados prematuramente: aquí las etiquetas están mal colo­cadas.

32 33

Así el dibujo (1) (diagrama de Carroll) su­giere un equilibrio entre los dos subconjuntos, es decir, entre las dos propiedades de las cua­les una es la negación de la otra, mientras que el dibujo (2) (diagrama de Venn) sugiere la preponderancia del conjunto central R. Para restablecer, se puede evidentemente hacer un segundo dibujo (2') en el que se invertirán R y R. En un problema en que el conjunto complementario carece de interés, el diagram de Venn parece más natural. Pero de educación lógica es preferible

Este conjunto no es fa partición U7 del universo U° de los 130 objetos en 20 clases, sino una partición en 5 clases de la partición precedente, es decir, una partición en 5 clases del conjunto U7 de las 20 clases.

parte, basta responder si o no frente a cada elemento: sí, si el elemento pertenece parte, no, en el caso contrario.

R • R

b) En todas estas actividades "el alumno toma conciencia de lo que significa parte com­plementaria, "parte que completa", pero es sumamente importante darle lo antes posible la sensación de que ese hecho depende’ del universo elegido. Se puede entonces elegir otro universo U" -que contenga a U' y hacerles comprobar que la parte Á que completa a A en U' no es lo mismo que la parte_Á" que completa a A en U". La notación Á parece entonces ilógica y en ese momento se puede preferir la notación C^, pero ella es demasiado pesada y los alumnos prefieren la primera no­tación.

Pero antes de ocuparnos de los cambios de universo se puede preferir el estudio de la_ intersección, unión, etc. y surgen las activida­des siguientes:

a esa

G GU etc.

1ü 1 0aaDefinición en extensión, en comprensión. Partes complementarias.

Habiéndose investigado globalmente el ma­terial, se elige para un primer estudio un sub­universo IT, más manejable, que más tarde se podrá cambiar: por-ejemplo, un subuniverso definido en comprensión (por ejemplo, el con­junto de todos los objetos que tengan la si­guiente propiedad: (C o D) y (RoV) y (G o M o P) y (0 ó 1) lo que permite repetir el trabajo precedente en un nivel menos rico:

1U 1ab 00 1 0 1ac0 1 0ad 1

a 01 1 0aePor razones

usar un dia­grama tipo Carroll. Por ejemplo, el estudio de los objetos "no medios" puede ser interesante y el hecho de usar la negación para dibujar esta propiedad no debe hacer pesar sobre ella una especie de desconsideración.

Pedagógicamente, el dibujo que parece

.Por otra parte, los alumnos adoptan muy

rápido las convenciones de los 1 y 0. No obstante, muchos, por pereza o por hábitos infortunadamente difundidos, adoptan la con­vención suplementaria: "ausencia de respuesta equivale a respuesta negativa" lo que, eviden­temente, es cómodo pero absurdo en el mo-

. mentó de los intercambios de información, pues jamás se sabrá si se trata de un olvido, voluntario o no, o de una respuesta negativa.

con­venir más es el de tipo (3) pues tiene las ventajas simultáneas de (1) y (2). En efecto, los dibujos (1) y (2) nos obligan a colocar la etiqueta de las partes en su interior, de donde proviene una confusión y molestia cuando haya que colocar las etiquetas de los elemen­tos de las partes. En el dibujo (1) no se puede simbolizar una ficha que ligue la etiqueta R a la parte pues los contornos de R y U' se confunden, mientras que sobre el dibujo (4), el punto de enganche de las fichas se distingue nítidamente porque los contornos están .sepa­rados. Además, los alumnos tienen tendencia natural a hacer un dibujo del tipo (4). Esto es bueno, pero tiene un grave inconveniente: su­giere mal la complementaridad. El espacio entre las dos partes nos invita a colocar obje­tos en él. Al precio de una convención ligera, se adopta el dibujo (3). La importancia de esos dibujos decrece por otra parte en el mo­mento en

Intersección, unión, diferencia simétrica.a) Se invita al alumno a que disponga so­

bre una hoja el subuniverso U' y a separar los subconjuntos A y B, por ejemplo, definidos antes en extensión. Descubre que ello es impo­sible porque A y B tienen elementos comunes, de donde surge la idea de "mezclar lo menos posible" los objetos de A y los de B (es decir, en verdad a construir una partición más fina que la partición de A, A y más fina que la partición de B, B). El alumno es llevado natu­ralmente a formar un montón especial que no contiene más que los objetos comunes a A y B. Dispone entonces 4 pilas de objetos sobre la hoja y dibuja los contornos de A, A B y B con sus etiquetas enganchadas a los contornos, por ejemplo, en rojo A, en rojo punteado A en verde B, en verde punteado B. Es el instan­te de introducir las_ etiquetas (AHB), (A D B),„ (AHB), (AOB).que los alumnos escriben en papeles y disponen sobre los 4 montones.

SEGUNDA PARTE. Esto nos lleva enton­ces a definir nuevas partes en extensión. Se da la lista de elementos de A; el alumno separa entonces su universo en dos clases A y Á dibuja la partición y establece la lista de los elementos de A Se proponen así nuevas parti­ciones, B y B, C y C, etc., pero previniendo los casos particulares:-por ejemplo A O B es no vacío, C está incluido en A, etc., que usarán en adelante.

Observaciones: a) Conviene asegurarse bien que cuando el alumno dibuja, comprende lo que dibuja pues las técnicas de dibujo lo mis­mo que las técnicas de cálculo terminan por volverse inconscientes. Esta es la razón por la cual: 1o) los alumnos disponen los objetos sobre una hoja blanca y dibujan directamente sobre ella; 2o) confeccionan listas; 3o) comple­tan la tabla de los 1 y 0.

Fig. 6.

Pero, de buenas a primeras, esta vez, algu­nas de las clases obtenidas tendrán más de un objeto. Por ejemplo, tendremos 27 objetos re­partidos en las 24 clases de la partición más fina obtenida con ayuda de las propiedades precedentes. Aislaremos a este subuniverso para usarlo durante varias lecciones.

PRIMERA ETAPA. Se invita al alumno a disponer el subuniverso sobre una hoja de pa­pel y a separarlo en 2 clases de diversas ras, y a dibujar en cada oportunidad la parti­ción correspondiente rodeando directamente sobre la

que mejora la comprensión. Paralelamente al dibujo, los alumnos

cada vezarman

la lista de los nombres propios de los elementos de cada una dejas dos partes (ejem- pío: R = \al,

La escritura de estas listas se vuelve muy rápidamente fastidiosa, por lo cual se adopta la disposición en tabla. La lista de los elemen­tos de U se copia una sola

mane-

a/77, an..hoja Jos 2 montones de objetos (por ejemplo G y G; cuadrados y no cuadrados, R y R, rojos y no rojos, etc. Es importante pensar en todas las sugestiones de un dibujo.

8

vez. Para cada• s

BAnB~(5.

de repetir los mismos ejercicios con 2 subcon­juntos definidos esta_yez efi comprensión (por ejemplo, G, G; R, R; grandes, no grandes, rojos, no rojos) o bien con uno definido en

Observaciones: 1a) Aquí la ¡dea esencial es mostrar cómo dos particiones en dos clases "engendran" una partición en cuatro * clases. 2a) En este momento se puede tener la ¡dea

(2) (20 V) (4)Sobre cada dibujo se han representado R, subconjunto de los rojos de U\ y R, subconjuntos de los no rojosde U\ En (3) se puede representar a R por un contorno de otro color en "el espacio" dejando libre en U' para R.34 35

en 4 clases que reúnen esas 4 clases 3^ a 3, se obtienen las 4 uniones (AUB, AUB, etc.), uniéndolas 2 a 2 se obtienen las 4 interseccio­nes (AHB, AHB, etc.) pero al hacer eso se han omitido 2 pares; de allí nace la idea de reunir dos pilas de objetos ubicados diagonal­mente sobre el dibujo. Entonces es difícil di­bujar los contornos de los nuevos conjuntos pues la partición en 2 clases complementarias no aparece más.

extensión y el otro en comprensión. Pero pa­rece preferible presentar de buenas a primeras y simultáneamente la intersección, la unión y la diferencia simétrica para oponerlas mejor y facilitar así la distinción de los conceptos.

b) Es por eso que cuando_cada una de las cuatro pilas (AHB), (AOB), etc. ha sido constituida, etiquetada, cuando el dibujo se ha hecho, parece natural retornar al problema de las particiones' en dos clases. ¿Cuál es el com­plementario de (AH B), (A n B), etc.?_ De ahí surge la idea de unir A y B, A y B, Á y B, Á y B. En cada oportunidad, los alumnos vuel­ven a acercar 3 pilas lo suficiente como para dar la idea de un solo subconjunto, pero sin mezclarlas para poder distinguir todavía los conjuntos A y B; después dibujar sobre la hoja soporte el contorno del nuevo conjunto desig­nado con la etiqueta AUB, de donde los

uno, en donde son visibles A, A,B, B y las 4 intersecciones y los otros 4 reservados cada uno a una unión y su parte complementaria (se han abandonado los dibujos de las diferen­cias simétricas).

Tales ejercicios son repetidos en subconjun­tos diversos siempre definidos en extensión y elegidos de manera tal que ningún calificativo de la lengua usual pueda serles atribuido para evitar las reminiscencias de expresiones ambi­guas. Sólo después de asegurarse que el alum­no distingue claramente los conceptos se intro­ducirán las definiciones en comprensión. Estas son indispensables para subrayar las insuficien­cias de la lengua usual (conjunciones y, o, sea), pero esto no puede hacerse más que si las nociones fueron comprendidas indepen­dientemente del lenguaje. En efecto, es funda­mental aprender a distinguir-los conceptos de unión, intersección de otra manera que con la lengua usual, porque ésta es la que introduce las confusiones. Una vez distinguidos estos conceptos con ayuda del material, entonces aparecerá claramente la ambigüedad de las conjunciones.

En el curso de estos ejercicios los alumnos llegan a liberarse poco a poco de la actividad con el material. Terminan por descubrir que pueden "calcular'' las 12 columnas de la tabla (Á, B, y las 10 precedentes) no conociendo más que el universo, A y B. El hecho de haber dibujado directamente le permite en adelante rehacer los dibujos sugiriendo la situación sin tener que manipular los objetos, tarea rápida­mente fastidiosa.

Observaciones: 1a Es importante que el alumno tenga, a su disposición varios medios de expresión, dibujos, etc., para controlar que no se trata de^una técnica gratuita retenida de memoria sobre un solo modo de expresión. Así es como se puede pedir que "se calculen" los elementos de cada una de las columnas de la tabla y luego de colocar sobre el dibujo los puntos y nombres que representan los elemen­tos del universo. Es también importante dibu­jar los subconjuntos mediante letras variadas C, R o H y Q, siempre para provocar en el alumno la necesidad de formar conciencia de su actividad.

2a Es fácil comprobar rápidamente la com­prensión dando en lo sucesivo universos varia­dos pero cómodos (por ejemplo, 1 lista de 10

las columnas GOf, GUf G^Ty colocar exactamente los 10 verbos sobre un dibujo.

3a Sería catastrófico hacer aprender de moría una técnica de cálculo de los 1 y 0. El descubrimiento de estas reglas es lo que provo­cará una verdadera comprensión de los con­ceptos. Experiencia con adultos confirman es­ta idea. El empleo de estas reglas corre el riesgo de volverse inconsciente, y el recurso del dibujo permitirá si es necesario controlar si no ha habido olvido de los conceptos (o vice­versa).

4a Construyendo las tablas, los niños inves­tigan las partes complementarias uniendo me­diante flechas rojas las etiquetas de las figuras correspondientes, lo que, por una parte, per­mite calcular más rápidamente en ciertos casos y, por otra parte, familiarizarse con la ley de De Morgan sin haberla aprendido verbalmente.

5a En todos estos ejercicios, los niños tie­nen tendencia a contar los objetos, lo que los conduce naturalmente a la ley fundamental: lAU B l+ lAH B l = Al+ IBI (llamando lAl al cardinal de A) pero esto tiene el riesgo al comienzo de perturbar la atención sobre los conceptos a estudiar. En adelante, por lo con­trario, permite un cuasi control rápido de lós cálculos.

6a Se reconoce en esos ejercicios una pre­paración para la construcción de un álgebra de conjuntos sobre una partición dada. Así es como se pueden construir tablas de 16 colum­nas agregando al universo y la parte vacía. Pero esto no es el objetivo inmediato tanto más que antes de atacar un enrejado a nivel del conjunto de partes de un conjunto dado, sería mejor atacarlo a nivel inferior. Pero esto será otro ejemplo de organización en los re­cuerdos del alumno sin que sea útil insistir aquí sobre dicha organización.

me-

i

Fig. 10.

En este momento surge la utilidad de modo de expresión, como la tabla de los 1 y 0 (es decir, las funciones características de los conjuntos). La lista actual permite una expli­cación más cómoda que en el caso de la unión: "conjunto de los objetos que están en uno y no en el otro"; de allí el cálculo fácil de los 1 y 0. Se introducen etiquetas para los nuevos conjuntos (A^B). Efectivamente, operación parece más fácil a los alumnos que la unión. Pese al poder sugestivo del dibujo, gran número de alumnos tienen entonces la tendencia de disponer 4 coludas sobre la tabla (A*b), (A^B), (Á^B), (Á^B). El cálculo de los 1 y 0 les muestra que ciertas columnas son idénticas. Es la primera vez que hallan 2 etiquetas diferentes para designar al mismo conjunto, de donde la introducción del signo = con un sentido correcto A A B = A A B y AAB = A^B. Estas observaciones sobre el dibujo puede originar un juego lógico con ayu­da de la lengua usual: "pertenecer al conjunto de la izquierda y no pertenecer al conjunto de la derecha" para la primera etiqueta equivale a "no pertenecer al conjunto de la izquierda y pertenecer al conjunto de la derecha" para la segunda etiqueta. Pero, evidentemente, se pue­de reservar para más tarde esos ejercicios de lógica que son ejemplos de actividad grupo de KLEIN.

Finalmente, los alumnos llenan 10 colum­nas de la tabla: 4 intersecciones, 2 diferencias simétricas y 4 uniones, y hacen 5 dibujos:

otro

estaLa tabla de los 1 y 0 es completada enton­

ces con 4 nuevas columnas que representan las 4 nuevas partes AUB, AUB, ÁU B, ÁU B

Otra observación: Se podría, mentó, cambiar de universo los conceptos de unión comprendido con

en ese mo-y asegurarse que

intersección se han ayuda de ejercicios análogos

que permitan transferencias, pero parece prefe­rible introducir desde ah desdeñado

e

ora un concepto algo en la enseñanza elemental: el de la

diferencia simétrica. Este concepto es, sin em­bargo, muy importante en lo sucesivo pues permite elevar una estructura de grupo y aun de espacio vectorial sobre no importa qué con­junto, y mediante ello permite expresar en lenguaje algebraico claro ciertos problemas de tipo combinatorio. Además,la yustaposición de varios conceptos (intersec­ción, unión, diferencia simétrica) cuya traduc­ción a la lengua usual son muy cercanas y a menudo se-confunden, permite comparaciones y facilita así su distinción.

Los alumnos

InclusiónLos ejercicios anteriores serían peligrosos si

se limitaren a esos casos particulares. Es indis­pensable presentar ejemplos a los alumnos en que 2 particiones en 2 clases conducen a una partición en 3 clases (y no en 4 como ante­riormente). Se retoman las mismas actividades eligiendo esta yez a A y C tales que CCA por ejemplo, (en A y no en A para que la situa­ción-sea menos evidente; la sorpresa resultanté favorecerá la memorización). El niño comprue­ba que le bastan 3 pilas de objetos, de donde el dibujo que obtiene por imitación de los dibujos precedentes.

pedagógicamente.

en un

verbos, G1 subconjuntc^ de los verbos del ter­cer grupo, L conjunto de -los, verbos que no

comprueban asi la partición contienen la letra /). Los alumnos deben llenar

36 37

ejemplo G, G, M, M, grandes, no grandes, medianos, no medianos). Estos ejemplos per­miten subrayar el empleo más o menos correc­to de los artículos partitivos en la lengua usual.

actualmente inútil, lo que no significa que no haga falta actuar a los alumnos sobre ese terial.

tuida por un hexágono cuyos 6 sectores están pintados con 6 colores diferentes. Indepen­dientemente de ejercicios análogos a los descri­tos antes, se vuelve a encontrar detrás se esta actividad combinatoria una preparación para los juegos algebraicos o simplemente juegos de diferencias (por ejemplo, jugar al dominó; 2 hexágonos no son vecinos más que si no difie­ren más que por la inversión de 2 colores consecutivos, etc.). Se observará que con tal material los subconjuntos difícilmente serán definidos en comprensión lo que es una ven­taja para que trabajen en extensión.

Finalmente, la representación de conjuntos mediante dibujos parece presentar, luego de algunos años de retroceso, tantos peligros como ventajas. Por eso, el uso de fichas perfo­radas, en donde cada ficha representa un ele­mento del conjunto, parece ser, con la prepa­ración directa del material, una excelente pre­paración para los dibujos, por una pa'rte, y el simbolismo, por otra parte.

Pero allí también el maestro es el único que puede decidir en qué medida puede que­mar etapas, si tanto es lo que puede quemarse.

Se puede hacer un trabajo análogo con los conjuntos de pares de objetos, es decir, ha­blando materialmente, con dominós en dos casos distintos. La operación 1 composición" puede entonces introducirse en forma de jue­go. Se tiene así un medio agradable y claro para preparar la introducción de nociones refe­rentes a las relaciones. Esto es otra historia demasiado larga para desarrollar aquí pero que habrá que atacar un día u otro.

Si hubiera que deducir una moral, recorda­ría voluntariamente esto: "Las matemáticas no se aprenden, se hacen". Olvidarlo es desnatura­lizar completamente el mismo espíritu de esta disciplina, lo que es la base de las investigacio­nes. La enseñanza choca entonces con la si­guiente paradoja: es necesario también dar a los alumnos los medios de hacer esas investiga­ciones, es decir, proveerlos muy a menudo de lenguajes distintos a los ya elaborados, de lo que surje el conflicto entre la adquisición de los lenguajes que exigen un esfuerzo de memo­ria y el ejercicio de la inteligencia, la curiosi­dad y la imaginación sin lo cual ya no hay matemática. Cuanto más jóvenes son los niños, tanto más importante es este último aspecto porque es la educación y no la cultura lo que está en juego.

ma-CEn efecto, la tendencia actual de los

nuales es poner el acento sobre un simbolismo y términos acompañados de definiciones. La pobreza, sino los errores de ciertos temas de­nominados "modernos", subraya el peligro de esta tendencia. ¿De qué sirve un lenguaje refi­nado cuando no se tienen ideas que expresar? ¿Para qué decir bien "el conjunto de las tablas de esta pieza" en lugar de "las tablas de esta pieza"? El problema fundamental es mostrar la necesidad de ese lenguaje cuando hay riesgo de confusión. Y ese riesgo no puede aparecer más que si se trabaja simultáneamente sobre diversos subconjuntos de un mismo conjunto. Esto, junto al hecho de que la voluntad de organización está en la base de toda actividad matemática, explica por qué ciertos juegos de "tri" (es decir, particiones sucesivas de un mismo conjunto) son indispensables antes de la introducción del lenguaje y esto cualquiera sea la edad del alumno. Se podría incluso llegar a decir que son tanto más indispensables cuanto que el alumno está condicionado por su lengua materna, más aun cuanto más años

ma-

Conclusión.CLos ejercicios sobre situaciones reales

indispensables en adelante, de los que tan un control de la buena

sonpermi-

comprensión del lenguaje. Sería mejor, sin duda, reservar para más tarde, ejemplos en los que se elegirán 3 particiones en 2 clases, luego 4, etc. (en lugar de 2 como aquí) lo .que permitiría precisar de nuevo los conceptos anteriores.

En resumen, las ¡deas esenciales de presentación son:

1a. Actividad sobre un material toda explicación o definición verbal;

2a. Creación de un número suficientemente grande de subconjuntos para motivar el uso de etiquetas y de un lenguaje especial;

3a. Pasaje de la actividad material al uso de un modo de expresión de tipo algebraico, lo que desde un punto de vista puramente educa­tivo elimina del alumno los hábitos de

A AUna de las clases (en este caso ADC) es

vacía. Este dibujo lógicamente correcto si se explica la significación del símbolo 0 tiene dos inconvenientes:

1o. Se corre el riesgo de sugerir un concep­to de partición en contradicción con el cbn- cepto correcto donde todas las clases son no vacías.

2°. No es natural; el niño desea dibujar sólo 3 partes si no adquirió el hábito de dejar­se condicionar por los ejercicios precedentes. Por ello, los niños uran un dibujo del siguiente ■tipo:

!

esta

antes de

mi pensarpor intermedio de un lenguaje verbal y lo obliga a concentrar su atención sobre la vista;

4a. Distinción de los elementos de junto por las cualidades sensibles (lo natural pero lógicamente malo puesto que cualidad define una clase de objetos y objeto, incluso si dicha clase no contiene más que uno, la clase no es el objeto), sea por nombres propios (codificación).

5a. Familiarización con los conceptos de subconjunto, complementaridad, intersección,, unión, diferencia simétrica, función caracterís­tica.

tenga.El material escrito más arriba fue elegido

con una falta perfecta de- imaginación. Sería desastroso que un maestro usase sólo un mate­rial de ese tipo. Por ello, pequeñas fichas de cartón que representen por ejemplo caricaturas de formas, colores, tocados, posiciones varia­das, gatos, barcos, autos, etc., corfstituyen otros tantos materiales eficaces. Infortunada-

ETÍ un con­que es

unano un

Fig. 12.También allí' la reflexión

se debepara ser eficaz no

efectuar sólo sobre A y C, sino tam­bién sobre las partes complementarias, A y C. El alumno construye entonces .la tabla de las 14 columnas y comprueba que una no contie­ne más que c^ros, (AH C),_otra sólo contiene 1, (A U C), en fin C = C n A, C = A U C

Aquí lo esencial es: 1o) la ¡dea de una partición en 3 clases; 2°) las dos ¡deas equiva­lentes CCA y AC C codificadas el signo C es diferencia entre

mente, algunos creyeron poder ser útiles ven­diendo tales materiales. Independientemente del aspecto comercial, esta política me parece pedagógicamente nociva. Pues: 1o) el hecho de pedir a los alumnos que construyan por sí mismos un juego de fichas es un estimulante excelente, e implícitamente los prepara para comprender mejor las nociones que luego se presenten; 2o) si la gente quiere hacer un ser­vicio a la enseñanza, lo harán mejor si constru­ye materiales que no pueden construir los alumnos y que sean de gran utilidad (pienso en juegos de tipo algebraico o modelos espa­ciales).

Los materiales de tipo algebraico podrían también ser examinados. Por ejemplo, mis alumnos del primer año secundario construye­ron un juego de fichas. Cada ficha está consti-

Es evidente que una serie de actividades diversas pueden proseguir con ayuda de seme­jante material, pero al respecto sería deshones­to no enviar al lector a los excelentes trabajos de DIENES.o no, pero si

introducido conviene subrayar la etiqueta del tipo (A O C)

que representa un término y una etiqueta de tipo relacional: A C C.

Puede parecer preferible esperar de contacto con relaciones más familiares para introducir signos relaciónales como E y C (aoponer, por otra parte, para distinguirlos jor)'.

una Post-scriptum.

Este artículo, redactado en enero de 1968, estaba destinado a los colegas que participaron de la experiencia organizada por el Instituto Pedagógico sobre clases para el primer año secundario. Pone en evidencia, por sus caren­cias, la lenta evolución de las ideas en todo individuo normalmente constituido, el autor comprendido. Su aviso contra la proliferación puramente comercial de materiales no parece

una toma

me-

Se prosiguen, entonces, los conjuntos definios en ejercicios

comprensión (porcon

3839

bien doctrinaria, y presentaba de la matemática forma que no reconocerían sin dolor

los matemáticos de hoy, los teóricos del cono­cimiento, los psicólogos de la inteligencia y los usuarios de la matemática.

Reducir la matemática, en el nivel primario, a una doma de las técnicas de cálculo, y en el nivel secundario a una deducción sin funda­mento suficientemente elaborado, no suficien­temente organizado y sin uso práctico ¿no significa de antemano condenar a un mal ren­dimiento?

La matemática, tomada en conjunto, no se deja reducir, como lo ha recordado P. Puig Adam, a una teoría hipotética deductiva. Ya está presente en las conductas matemáticas elementales ligadas a nuestra sencilla experien­cia de los objetos del espacio, a las operacio­nes, a las sustituciones de que nuestro espíritu toma progresivamente conciencia aprendiendo a dominarlos. La matemática halla su justifica­ción pragmática en su eficacia sobre la reali­dad cósmica.

Resulta claro entonces que para sustentar la enseñanza de la matemática y para motivarla de manera más rica, conviene retornar a las fuentes intuitivas y a las aplicaciones concretas de la matemática. Es el momento en que, en la enseñanza, se elevan las resistencias de los partidarios del rigor, de todo el rigor, que gritan por la profanación. Es el momento en que se corre el riesgo de la aparición de las aberraciones de los que quieren lo concreto con lo concreto, reemplazando las demostra­ciones por muestras, creyendo que lo concreto inmediato tiene un poder mágico y que él contiene a la matemática.

Para algunos, y se trata de una caricatura que conviene a los ataques de los adversarios, praticar métodos intuitivos es recurrir a lo concreto, para todos los propósitos y de todas las maneras.

Aquellos que quieren hacer servir lo concre­to para la enseñanza de la matemática sin desnaturalizarla, saben que lo concreto no debe ser más que la ocasión, al comienzo indispensable, de conductas sensoriomotrices que 'se interiorizan muy rápido en pasos men­tales sobre los cuales, y a propósito de ellos, se ejerce la actividad matemática actual.

En lo concreto podemos, por ejemplo, reu­nir muchos objetos, disponerlos según ciertas configuraciones, ordenarlos, moverlos, susti­tuirlos entre sí, ponerlos en correspondencia, contarlos. A estas operaciones reales, corres­ponde su contenido mental que he evocado

mediante una serie de vocablos. Aprehender ese contenido por sí mismo, concebirlo separa­damente de las conductas concretas múltiples de las cuales se abstrae, provee de las nociones de base. A partir de éstas se podrá desarrollar la investigación de las configuraciones y de los tipos de orden posibles, estudiar las de desplazar, de sustituir, de poner pendencia, de contar, de examinar los modos de composición de esas operaciones y los in­variantes característicos de clases sobre ellas. Vale decir: todas actividades específicamente matemáticas se ejercerán sobre la actividad in­mediata concebida en sus virtualidades. Estas actividades matemáticas no se han vuelto posi­bles con cierto grado de elaboración más que gracias a un juego de símbolos (palabras, símbolos,...) que ofrecen un soporte conven­cional concreto a nuestros pasos abstractos.

Una de las primeras razones para acudir a la experiencia concreta es la de investigar allí un fundamento de la experiencia matemática la cual es bien anterior a la organización de­ductiva de la cual ella provee la base misma.

Uno de los errores de 1.a enseñanza doctri­naria consiste en creer que la demostración lógica de una propiedad da el conocimiento de ella, mientras que la demostración tiene por objeto establecer la subordinación lógica- de una propiedad en una síntesis organizada.

Uno de los primeros papeles del material intuitivo es el de servir de objetivo de la actividad concreta y por tanto de catalizador de la formación de la enseñanza matemática.

Pero reducir a ese material a no ser más que una entrada en materia sería perder de vista que, si puede mostrar relaciones matemá­ticas con evidencia, es un soporte muy fuerte para las demostraciones.

¿Por qué es necesario, por ejemplo, conde- a los estudiantes a descifrar figuras de

geometría en el espacio trazadas en. el pizarrón cuando es tan simple edificar con algunas vari­llas una figura en el espacio físico?

Entonces algunos medirán ¿por qué no pro­veer a los libros de geometría de una caja de juegos de construcción? ¿Será faltar a la serie­dad responder por qué no? Tranquilizaos, es claro que para los que disponen de un poder de representación ejercido, las figuras tradicio­nales multiplicadas por los libros bastarán todavía en los casos simples.

Los modelos concretos pueden ser más evo- cativos y decir más que las explicaciones verba­les y servir para que se adquiera una propiedad antes de su expresión en la lengua vehicular.

una

Métodos intuitivos activos-maneras

en corres-Willy SERVAIS (Bélgica)

Todos, colectivamente, tienen la responsabi­lidad de una mejor enseñanza de la matemáti­ca y cada uno, personalmente, tiene la respon­sabilidad de mejorar su propia enseñanza.

Formados en la exigente disciplina matemá­tica, no debemos engañarnos; debemos

Al décir esto, quiero subrayar que en caso de fracaso o mal rendimiento pedagógico, es necesario cuestionar al adulto a quien corres­ponde la decisión y que, por tanto, tiene la primera responsabilidad; esta responsabilidad subsiste todavía y sobre todo cuando el reclu­tamiento de alumnos es calificado de desagra­dable.

recono­cer que nuestra enseñanza tradicional hizo de la matemática la rama más temida por los estudiantes y las familias, *a mayor proveedora de los fracasos escolares.

Sabemos cómo se puede achacar a múlti­ples causas y, singularmente, a la mediocridad intelectual de los propios alumnos la pobreza de tantos resultados en matemática.

Que esas causas

Ante el rendimiento insuficiente de la ñanza de la matemática, debemos

ense- preguntar-

nos sin complacencia si esa enseñanza corres­ponde al nivel de los alumnos y si es digna de la matemática.

Conocemos bien la enseñanza no varia esencialmente de

sean a menudo reales, no es menos cierto que los estudiantes que llenan nuestras aulas son un hecho que es necesario tener en cuenta. Esos estudiantes serán cada vez más numerosos, lo cual no hará aumentar la media de sus disposiciones matemáticas.

Todo esto tiene que

tradicional; un país a otro.

Cuando se la condena, algunos sostienen mentos como que ellos la han pasado por tanto, es muy buena. Eso significa olvidar, no sin egoísmo, muchos fracasos de los demás y demasiados recursos malgastados.

Actualmente, la enseñanza tradicional es atacada, en nombre del alumno, por- los que quieren una pedagogía más adaptada a la psi­cología del aprendizaje y del entendimiento matemático. Es atacada, en nombre de la ma­temática, por los que quieren una enseñanza que tenga en cuenta la misma estructura de ella.

argu- y que.

parecer muy evidente a los maestros que ven alejarse en el pasado el tiempo bendecido en que verdaderamente había buenos alumnos y verdaderamente se podía hacer matemática.

No obstante, si queremos mejorar . ñanza matemática como lo exigen los tiempos actuales, es necesario tener buena crítica y pre­guntarnos si lo que calificamos de aptitud para la matemática de la mayoría de que no presentan dones brillantes distinto que su disposición enseñanza máximo provecho.

Toda enseñanza

la ense­

narlos alumnos

nó es algo a sacar de nuestra

Los primeros acusan a la enseñanza de im­poner. demasiado rápido, sin iniciación, sin ejercicio mental, sin construcción progresiva, un pensamiento conceptual abstracto total­mente construido; los segundos reprochan matemática enseñada de no estar suficiente­mente bien construida, de no liberar lo esen­cial, de

comporta muchos factores: programas, métodos, profesores y, finalmente, los alumnos. He colocado a la cabeza las mate­rias a enseñar y, al final, a aquellos a quienes están destinadas.

En la enseñanza tradicional, asistimos a una sólida conjunción de programas métodos y maestros contra el alumno, cuando lo rio sería que

a la

no definir con nitidez y de no organi­zar suficientemente los conocimientos.

Sin hacer el proceso detallado de la enseñan­za tradicional, es necesario reconocer que era

necesa- y maestrosprogramas, métodos

estuvieran al servicio del alum Traducción de la profesora Cristina Verdaquer de Banfi.

no.

4041

pensamiento técnico. Es preciso decir que, sea desde el punto de vista .artístico o técnico,

estudiantes pertenecen a su época!

Los modelos de todos los órdenes danPero, me diréis, ¿no podemos hacer todos esos ejercicios con figuras trazadas en el piza­rrón?

cen otras cien fuentes de interés y de motiva­ción que no debemos descuidar, no sólo para mantener el futuro de nuestra clases sino para ejercitar a nuestros alumnos en una cosa tan importante, sino más importante, que las ma­temáticas mismas: quiere significar el poder de liberarlos de situaciones reales complejas no preparadaa y encadenarlos de manera adecua­da a situaciones nuevas. Por ese lado, sería necesario examinar experimentalmente la coor­dinación que conviene establecer entre la ma­temática pura y la matemática aplicada y de­terminar en qué medida es necesario mantener la separación artificial o favorecer una simbio­sis relativa.

No contentos con afirmar el valor pedagógi­co del material concreto, sería necesario exa­minar cuáles son los elementos: colores, movi-

cen- *tenares de medios para movilizar y motivar la acción a la vez concreta e intelectual. Trátese de un sistema articulado o deformable, sea una proyección mediante una sombra, un filme, sólo tenemos la preocupación de la mejor elec­ción para favorecer al elemento dinámico de nuestras estructuras mentales, lo que acaso sea tanto desde el punto de vista psicológico to del punto de vista matemático el verdaderamente enriquecedor de los modelos.

Los modelos son factores de creación L sonal; promueven sin cesar a la imaginación actuando primero sobre el plano concreto y enseguida sobre el plano abstracto. Se puede, sucesivamente, controlar concretamente el re­sultado de una operación sobre un modelo o tratar de adivinar y de deducir el resultado que se obtendría si se efectuara tal operación dejada virtualmente. Para quien comprenda el papel dinámico, el modelo no encadena lo concreto. Por lo contrario, suscita por todos los medios -forma, color, movimiento- la imaginación para franquear los límites de lo real para moverse en la esfera de las virtualida­des matemáticas.

nuestrosLos fastidiaréis si los hacéis ejecutar durante mucho tiempo cartonería. Pedidles, si queréis embalarlos muy rápidamente, que suelden, re­machen, trabajen con acetonas o plexiglás, construir material que funcione eléctricamen­te. Todos esos medios permitirán que en los jóvenes cerebros no se manifiesta amimadver- sión por la matemática.

El valor más grande del material concreto es permitir que el alumno haga una experien­cia mental a su medida, fuera de la autoridad del maestro. Veamos. Hay docentes muy cons­cientes que enseñan todas las cosas diciéndolas

Por supuesto, suprimir los ejercicios malos, pero no todos los ejercicios. Baste pensar en la riqueza dinámica de los filmes matemáticos. Y además, el pizarrón, con figuras dibujadas con tiza ¿no es el más fiel conductor de los mode­los enblanquecidos sobre el arnés de nuestra pedagogía inmutable durante tanto tiempo?

Pero nuestro viejo y fiel pizarrón no puede llevar sobre su negrura más que figuras planas y congeladas. Ese tablero, a pesar de sus años, se mantiene inmutablemente vertical y el bar­co de la tiza es desesperadamente horizontal. En las figuras trazadas en el tablero, la direc­ción del hilo de la plomada es privilegiada y los alumnos la respetan mucho tiempo para el buen equilibrio de las figuras. Es una innova­ción feliz la invención del tablero alrededor de un eje central perpendicular plano. Otra es la de los sólidos recubiertos de pintura y que permiten dibujar sobre la esfera, el cilindro y el cono. Lo que trazamos sobre el pizarrón permanece fijo. Es necesario dispo­ner ya de una representación mental dinámica para ver y comprender qué pasa si la figura sufre tal transformación. ¿Quién tiene visión geométrica lo suficientemente fuerte para ver sin un filme los movimientos de la recta de Simson? (1).

Sí, diréis, todo eso es bueno para la geome­tría, pero ésta sólo es una parte de la matemá­tica.

cuan-aporte

per-

Iy cepitiéndolas sin saber que es en vano su celo porque no provoca sino raramente la acti-

miento, simplicidad, belleza, que le confieren un valor mayor. Hay una gramática comparada a desligar del uso de los colores. ¿Cuáles son las que convienen a los elementos importantes, a los elementos auxiliares, a los elementos parásitos, cuáles son las heredades en que des­

el ojo? ¿Es necesario que todos los pizarrones sean desesperadamente negros y las tizas blancas?

La realización de los movimientos, de las transformaciones, debe estudiarse mediante los modelos conocidos: sistemas articulados, siste-

proyeccióri lumínica, filmes, etc. Se­ría necesario escribir un elogio de la simplici­dad y de la causalidad matemática en materia de modelos. Volver sobre un modelo construi­do para aligerarlo, desembarazándolo de los elementos parásitos que ocultan a la vez la visión y la ¡dea, debe constituir la preocupa­ción del constructor. Los modelos deben evo­car a la matemática con la mayor claridad posible; eso siempre será una razón para su bondad.

Con el objetivo de estandardización de los materiales experimentados, convendría llevar toda nuestra atención sobre piezas destinadas a usos múltiples, barras de mecanos, agujas, hilos metálicos, elásticos, regletas, etc.

Desde otro punto de vista, sería necesario investigar el material matemático multivalente susceptible de interpretaciones matemáticas d¡-

Las regletas Cuisenaire, por ejemplo, los modelos del género porque

viciad intelectual profunda de los alumnos. Hay otros que saben mal lo que deben ense­ñar. El material puede, en cierta medida, pro­teger al adolescente contra el docente, poner el frescor creador de la juventud al abrigo del saber un poco usado por ser el rédito del adulto y de su ignorancia doctrinaria.

En los países en los cuales la dificultad de. reclutamiento de buenos maestros alcanza el máximo grado, agrega un fardo más a las car­gas de los que quieren promover la enseñanza, es necesario considerar seriamente el aporte de los medios concretos y esforzarse en poner a punto una herramienta pedagógica tan segura como para poder salvar a los alumnos casi siempre solos, convirtiéndolos muy rápidamen­te en estudiantes, vale decir, en seres que

el conocimiento mediante su propia

que gira a su

cansa

El material concreto mal construido suscita la crítica de sus formas y de su funcionamien­to. Esa crítica no puede cumplirse más que en la medida en que se concibe la perfección ideal de los entes y las relaciones matemáticas. El material concreto cuidadosamente construi­dos presenta bondades que constituyen las mayores satisfacciones para el constructor. De manera general, la construcción de modelos da a los alumnos la alegría del buen artesano. El manejo de piezas agradablemente coloreadas, de formas matemáticas, de articulaciones inge­niosas, la visión de un filme, provocan una alegría que crea las condiciones afectivas favo­rables para el trabajo.

Si todos los alumnos

como

mas con

Existen materiales al servicio del álgebra, aparatos al servicio de las lógicas. Y sin llegar a los ejemplos demasiado representativos que

las máquinas de calcular y de deducir, los sistemas de regletas y de cubos, los eléctricos, pueden contener bilidades matemáticas.

Tenemos nuestras' letras

asuman actividad.

Para un maestro atento a la juventud, los modelos fabricados por ellos podrán revelarles posibilidades intelectuales, un Roder de inge­nio y de realización que jamás podría entrever la enseñanza doctrinaria.

Acabamos de examinar en forma muy gene­ral algunos hechos que garantizan el valor de los métodos intuitivos activos.

Nos hemos limitado a hablar de modelos que el alumno manipula, interroga, inventa y constryye. Esta actividad múltiple del alumno es fundamental; favorece la formación de la experiencia matemática en el seno de las es­tructuras mentales. Una actividad tal puede ser favorecida mediante ejemplos tomados del do­minio de las ciencias físicas. La luz, la grave­dad nos dan muchos medios. El dominio de las relizaciones humanas: monumentos, máqui­nas, objetos familiares, juegos y juguetes ofre-

son

esquemas un mundo de posi-

y nuestras buenas viejas fórmulas, me diréis, pero esas fórmulas no son una herramienta más que en manos de quien ya posee el dinamismo de las operacio­nes que ellas representan. Para suscitar dinamismo, nada mejor que un modelo de partes móviles, pues permite efectuar modifi­caciones en el acto en tanto que las fórmulas no hacen más que señalar una transformación ya hecha.

no son de tempera­mento lógico, pueden ser sensibles a la belleza matemática que han puesto o encontrado en los objetos. Un estudiante podrá elegir un mo­delo para adornar su habitación; una clase 1 encontrará para el filme de las cónicas de Nicollet un acompañamiento adecuado, por ejemplo, un preludio de Liszt.

Desde el lado práctico, el estudio de un proyecto de modelo, la investigación de los procedimientos para ejecutarlo, son otros tan­tos ejercicios simples y útiles para preparar el

ese

versas.están entrepueden servir desde el jardín de infantes hasta la finalización de los estudios secundarios.

modelo más queCon un modelo concreto, el gesto

paña a la iniciativa mental mientrasacom-

que conuna simbolización la escritura registra el resul­tado de la iniciativa.

Un material no es unentre las manos de los alumnos y de los maes­tros. Un mismo material, por ejemplo un fil-

(1) The Simson's Une, filme de Trevór Fletcher.42 43

En cuanto a mí, encuentro muy significati­vo que un filme producido por un inglés T Fletcher, haya provocado sobre los alumnos belgas reacciones favorables análogas a las ob­servadas por un español, p. Puig Adam, sobre sus propios estudiantes. La probabilidad de esta coincidencia, imposible de calcular otra parte, nos parece a priori tan débil muy difícil ver en ella el azar L

En todas estas cuestiones pedagógicas quien debe decir la última palabra es la expe­riencia real de la clase. Que un método racio­nal valedero se revele impracticable, que un procedimiento lógicamente criticable haga ma­ravillas en la práctica indica que debemos des­cartar al primero y admitir al nos tienen necesidad natural de

me, puede usarse de diversas maneras con fi­nes diversos: introducción de un conjunto de nociones y de propiedades, consolidación de resultados adquiridos, complemento documen­tal, síntesis animada de un capítulo impor­tante.

BIBLIOGRAFIA

Una cuestión principal que presenta la ma­temática aplicada es el costo de los modelos. El modelo rico hace su efecto pero no está al alcance de todos los bolsillos. Cuando los maestros disponen de poco dinero para adqui­rir la materia prima, deben mostrar coraje para trabajar eficazmente con medios económicos reducidos. El ingenio, la convic­ción, pueden hacer milagros y dar la solución de un problema extremo: obtener el máximo de valor pedagógico con el mínimo de valor material.

CLAYMANN, M. y ROSENBLOOM, P. C.; La logique a l'école, 90 páginas, CEDIC, París, Lyon, 1972

Coincidimos con los autores en que uno de los fines de la educación que debe disponér­sele a los alumnos es el de integrarlos a la sociedad en que actúan para que su persona-, lidad se adecúe en plenitud y armoniosamente con ella; de ahí la necesidad de la educación en el pensamiento lógico.

Pero ¿cuándo comenzar a estudiar lógiga sistemáticamente? ¿Y qué lógica, la intuitiva o la racional? ¿Una lógica rigurosa u otra para una mayor creatividad? Los autores tra­tan de responder a estos interrogantes y con­cluyen que a los niños no se les debe dis­pensar una enseñanza puramente verbal y que se les debe hacer practicar la existencia de reglas con sus posibilidades y sus límites que les permitan descubrir incluso la arbitrariedad que pueda haber en esas reglas y encontrar las mejores estrategias para una acción deter­minada.

' ^ero el objeto del libro es tan sólo pre­elementos de lógica que puedan ser

directamente usables por los maestros y por ello se dan numerosos ejemplos aplicables en la clase.

El índice del libro es el siguiente; 1. Intro­ducción; 2. Juegos lógicos de Dienes y de Hull; 3. La lógica para los maestros; 4. La lógica implícita en aritmética; 5. El golf ma­temático; 6. Otra introducción a la lógica; 7. Comentarios para uso de los formadores.

El hecho de que dos autores tan presti­giosos se hayan dedicado a tratar problemas de la enseñanza elemental es un índice de la importancia que el mundo de nuestro tiempo asigna a la formación de sus generaciones más jóvenes. Podemos agregar que, a nuestro mo­desto entender, el propósito ha sido cabal­mente logrado.

El libro, que concluye con una pequeña pero cuidadosa bibliografía, ha sido objeto de una cuidadosa presentación editorial.

Cristina Verdaguer de Banfi

porque es

puro.

mayor

segundo. Algu-explicarse las

cosas para aceptarlas. Otros tienen la inquie­tud de aceptar las cosas darles, en el momento ción racional apropiada.

En cuanto al valor de los métodos intuiti­vos, he insistido sobre la razón psicológica de su eficacia:

f

Una cuestión fundamental acerca del valor de los métodos intuitivos y de la cual no he dicho nada es la siguiente: ¿qué pruebas tene­mos de ese valor? ¿Tenemos algo más afirmaciones al cia subjetiva?

A los ojos de los que pregonan la pedago­gía cuantitativa, la única prueba científica es la que resultaría de una encuesta estadística conducida en clases paralelas, siguiendo unos métodos intuitivos activos y las otras, el méto­do expositivo tradicional.

Una experiencia de ese género es difícil de ser puesta a punto; ha sido realizada en Fran­cia por Mialaret por la enseñanza mediante filmes. Como consecuencia de la ausencia de alumnos durante el año, el plan experimental debió alterarse y la experiencia no fue signifi­cativa. Por otra parte, de haberlo sido, no habría examinado más que los filmes emplea­dos -y no el filme matemático en sítécnica está en plena creación y en plena in­vestigación.

la tranquilidad de oportuno una justifica-con

querespecto que nuestra experien-

son generadores del dinamismo mental del alumno.

Los que fueran incrédulos iluminarse, más qüe hacer pie: intentar

no tienen, para una cosa bien sim­

ún ensayo con toda buena fe. Los que conocen los métodos intuitivos *" por haberlos practicado, confían

acti- en la

vosrespuesta. Esta obra, que a través de-sus pocas páginas

es no obstante una obra de fondo, en la cual la lógica denota a través de su carácter univer­sal, su presencia en todas las ramas de la actividad humana y que, no obstante, es ine­xistente en los programas tradicionales de matemática, lleva a los autores a presentarla modernamente como herramienta necesaria para la mejor comprensión de esa disciplina y lo hacen en forma de dominio autónomo y en el nivel inicial, es decir entre los jóvenes es­tudiantes, les dan el carácter del acercamiento más natural y útil para hacer lógica en acción, esto es, descubrir la lógica descubriendo la matemática, haciendo más claros sus concep-

GENTILE, Enzo R. Notas de álgebra I, 609 pág., EUDEBA, Buenos Aires, 1973

No es la primera vez que el prestigioso universitario argentino se ocupa de este impor­tantísimo tema. Y el hecho de que lo haya podido hacer en un libro de tanta densidad, es un índice de la importancia que está adqui­riendo en nuestro país la literatura científica que, un tiempo ha, carecía de mercado.

Partiendo de la ¡dea de que es imposible estudiar cualquier rama de la matemática sin un manejo razonable del álgebra puesto que la matemática moderna consiste en la algebri- zación masiva de la llamada "matemática clásica" el autor construye su camino que, fundamentalmente, debe entenderse como guía para el correcto uso de ¡deas y métodos.

Lo hace a través del siguiente temario: Pró­logo a un curso de Algebra I; 0. Introducción; 1. Números reales, Propiedades de cuerpo or­denado; 2. Números naturales; 3. Anillo de enteros racionales; 4. Números racionales;5. Estructuras algebraicas: grupos y anillos;6. Anillo de los. polinomios; 7. Números com­plejos. Apéndice 1: grupo de raíces enésimas de la .unidad; Apéndice 2: Algebra de conjun-

El valor de estos métodos por la alegría de los alumnos

está afirmadopor la manera

con que aquéllos que se mostraban rehacios se enganchan voluntariamente ticas. en tareas matemá-

Ante la alegre actividad de los jóvenes en el trabajo, el maestro no tiene otra necesidad de otra confirmación que su propia alegría, su buena conciencia de matemático y su buena conciencia personal.

cuya

tos.noticia Repetimos: los conceptos lógicos y sus

consecuencias desempeñan una función muy importante en la modernización de la ense­ñanza de la matemática. Los autores señalan la influencia de Hártig que usa los conceptos de la lógica matemática para la introducción y el uso de variables, el equilibrio entre el lenguaje común y el metalenguaje .y el equilibrio entre los conceptos semánticos, que llevan a la no­ción de modelos, y los conceptos sintácticos, que conducen a la noción de algoritmos.

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E INVESTIGACION OPERATIVA

45

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para aclarar dudas.tos; Apéndice 3: Existencia de indeterminada anillo conmutativo con elemento El índice es bastante amplio, pero

remos de exponerlo en forma sintética. Es e¡ siguiente: 1. Primeros descubrimientos; 2 El desarrollo del pensamiento; 3. El comienzo del contar; 4. Clasificación. Conjuntos e ini­ciación del concepto de estructura; 5. Descu­briendo la cantidad; 6. Las bases de la dición; 7. Contando y registrando; 8. La estructura del 'número. Primeras

Con 120 industrias locales que nos proveen componentes eléctricos, electrónicos y mecánicos de nivel internacional.Con el ingenio y la capacidad de nuestro personal y directivos, todos argentinos.Enviando a los 5 cqntinentes, el 98% de la producción de nuestra planta de Martínez.Así exportamos - hasta el presente - 75.000.000 de dólares.

sobre un neutro.

Recalca el autor que álgebra han adquirido vigencia y aparecen peradamente despertando el interés de ecóno­mos, biólogos, estadísticos. Sin embargo, "paradójicamente, en las mismas universidades, químicos, ecónomos, biólogos... plantean a los alumnos de esas disciplinas la inutilidad de estudiar el álgebra (y la matemática)". Esto y sus absurdas consecuencias no podía dejar de ser percibido por el autor que remata su pró­logo con el siguiente párrafo: "Finalmente, si se piensa que la matemática es palabra muerta, remito al lector a la hemeroteca de matemá­tica de su universidad (si la hay) para que descubra la cantidad impresionante de revistás y publicaciones matemáticas de casi todos los países del mundo, que muestran la cantidad

.fabulosa de matemática que se hace, mientras nosotros discutimos cómo y qué estudiar".

El libro concluye con una biografía de li­bros en que prácticamente se cita en poco espacio toda la literatura moderna importante sobre el tema, y otra biografía de revistas que es muy breve y a nuestro juicio no incluye a algunas muy prestigiosas.

La presentación de este libro argentino es muy discreta y bastante cuidada.

muchos capítulos del ines-

¥ immmmmmimñ

me-

etapas;9. Operaciones concretas. Adición y sustra- ción; 10. Los números naturales. Movimiento y vectores; 11. Aprendiendo algo sobre el espacio. Actividades previas a la medición y primeros usos de las mediciones; 12. Desarro­llo de los conceptos espaciales; 13. Uso de las medidas; 14. Desarrollo de los sistemas de medición; 15. Dominio de la rotación;16. Desarrollo de los sistemas numéricos;17. Multiplicación y división; 18. La máquina de calcular y las leyes de la aritmética; 19. La representación espacial; 20. La recta numérica e ¡dea de fracción; 21. Formas planas e ¡dea de • ángulo; 22. Formas tridimensionales; 23. Medición de áreas; 24. Volumen, peso y densidad; 25. Algunas operaciones con frac­ciones; 26. Multiplicación y división de frac­ciones; 27. Mediciones indirectas; 28. Experi­mentando con mecanismos; 29. Presentación de la información; 30. Gráficos; 31. Esque­mas subyacentes entre los números naturales; 32. Extensión del sistema numérico, nota­ciones; 33. Uso de fracciones decimales; 34. Aproximación y exactitud; 35. Posición; 36. Estructura de los vectores y números orientados; 37. Escala, razón y proporción; 38. Trabajo con triángulos, cuadrados y círcu­los; 39. Números racionales e irracionales; 40. Más sobre formas y curvas; 41. Algunas estructuras matemáticas.

Los autores emplean los diversos materiales modernos que, a su juicio, son un factor de altísima influencia pues los materiales estruc­turados y los aparatos especialmente diseñados permiten a los niños ver por su propia expe­rimentación cómo se construye un sistema y cómo se pueden descubrir ciertas relaciones. Pero r;o abogan —lo cual nos parece pru­dente— por un material determinado e incluso instruyen a los docentes acerca de cómo usar para tal fin diversos objetos del mundo que nos rodea, lo cual nos parece justo.

Una inmejorable impresión valoriza' la pre­sentación de esta obra, cuya versión castellana esperamos.

Julio fí. JuanWILLIAMS, Elizabeth y SHUARD, Hilary. Elementary Mathematics to day: A Resource for teachers, Grades 1-8, ADDISON WESLEY PUBLISHING COMPANY, 462 pág. de gran formato, Londres, Don Mills, Ontario, >973

Entre los muchos libros destinados a los docentes de enseñanza primaria —que por otra parte mucho lo necesitan- éste merece seña­larse especialmente por su búsqueda de ca­minos que ayuden a los niños a comprender las ¡deas matemáticas. Para ello los autores —la señorita Williams es conocida en nuestro país por haber intervenido en la Conferencia de Bahía Blanca—• se apoyan en los trabajos de investigación de Piaget y otros y han elabo^ rado su propia filosofía acerca de cómo los niños deben aprender y de cómo se deben usar los materiales disponibles para integrar todo en una estructura de las ideas matemá­ticas esenciales. Por ello, logran una obra para los primeros ocho años de escolaridad constituye tanto una guía general para los docentes cuanto un informe acerca de la en­señanza apropiada de tópicos especiales en el aula; por eso es, ante todo, un libro que sirve

I? 1 ARGENTINA

que

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46

para primer año:Matemática Modernade Nelly Vázquez de tapia

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