7. Clasificacin de las secciones de aceroSecciones esbeltas

Secciones no esbeltas

Tabla B4.1 de la especificacin (AISC 2005) entrega lmites para considerar diferentes secciones esbeltas o no esbeltas

8. Carga crtica de EulerLeonhard Euler (1707-1783)Determinacin de carga crtica para columnasPrimeros estudios tericos sobre comportamiento de columnas largas.Engesser, Consider y Von Karman (fines del siglo XIX y principios del XX), Shanley (1947)Pandeo columnas intermedias.INTRODUCCION

8. Carga crtica de EulerMODELO BASICOColumna aislada bi-articulada

8. Carga crtica de EulerIgual mdulo de elasticidad en tensin y compresinMaterial istropo, homogneo, elstico y linealMiembro recto inicialmente y carga concntrica con el eje.Apoyos son articulaciones perfectas, sin friccin; acortamiento permitido.HIPOTESISFUNDAMENTALES

8. Carga crtica de EulerNo existe torcimiento, o alabeo, ni pandeo local.No hay esfuerzos residuales.Deformaciones pequeas; expresin aproximada para definir la curvatura del eje deformado de la columna es adecuada.HIPOTESISFUNDAMENTALES

Grfica esfuerzo-deformacin de la columna en estudio

8. Carga crtica de EulerHIPOTESISFUNDAMENTALES

8. Carga crtica de EulerCarga crtica de pandeo elstico de Euler, PE:RESULTADOSLL2L2L3L3L3

8. Carga crtica de EulerPE EI(Pandeo controlado por Imin) PE 1/L2 (Si una columna es ms larga, se vuelve ms propensa al pandeo) PE es independiente de Fy. (conforme a las suposiciones indicadas) RESULTADOS

8. Carga crtica de EulerRESULTADOSGrfica Carga-Deformacin

8. Carga crtica de EulerDividiendo ambos lados de la ecuacin de la carga crtica de Euler entre el rea de la seccin transversal de la columna, A:

y sustituyendo r2 = I / A, donde r es el radio de giro de la seccin, podemos definir el esfuerzo crtico de pandeo FE

ESFUERZO CRITICODE PANDEO

Curva FE versus KL/rKl/r = relacin de esbeltez efectiva (adimensional)8. Carga crtica de EulerESFUERZO CRITICODE PANDEOFE mnimo para L/r mximo.rmn corresponde a Imn(L/r)mx corresponde a rmn

9. Longitud efectivaFrmula de Euler puede aplicarse a otras condiciones de apoyo, usando una longitud efectiva de pandeo.Este concepto utiliza factores de longitud efectiva K para igualar la resistencia de un miembro en compresin con la de un miembro equivalente bi-articulado de longitud KL. Entonces,INTRODUCCION

9. Longitud efectivaCOLUMNAS AISLADASColumna aislada con restriccin al giro en ambos extremos

9. Longitud efectivaKLcolumna aislada = longitud columna equivalente bi-articulada con la misma carga de pandeo elstico.Adems, KLcolumna aislada = distancia entre puntos de inflexin de la forma pandeada (deformada). => KL puede estimarse de la deformada.

COLUMNAS AISLADAS

9. Longitud efectiva

COLUMNAS AISLADAS Valores del coeficiente K para columnas aisladas con diversas condiciones de apoyo

9. Longitud efectivaFactores que afectan K:

Condiciones de apoyo en sus extremos.

Caractersticas generales de la estructura de la que forma parte el miembro que se est diseando.

COLUMNAS EN ESTRUCTURAS

9. Longitud efectiva(a)(b)Modo de pandeo de columnas en un marcocon desplazamiento lateralCOLUMNAS EN ESTRUCTURAS

Condicin (c), K=1.0(a)Condicin (f), K=2.0(b)9. Longitud efectiva Valores de K para marcos simples de un solo nivel con desplazamiento lateral permitido.COLUMNAS EN ESTRUCTURAS

Valores de K para marcos simples de un solo nivel con desplazamiento lateral permitido.Condicin (e), K=2.0(c)Inestable, colapso;(d)IIBA0=IcIgIcIg=IcIg=K9. Longitud efectivaCOLUMNAS EN ESTRUCTURAS

Longitud efectiva KL de columnas en marcos o prticos.(a) Marco contraventeado(b) Marco no contraventeado, apoyos fijosPuntos de inflexin9. Longitud efectivaCOLUMNAS EN ESTRUCTURAS

9. Longitud efectivaEl valor de K para columnas de marcos arriostrados y no arriostrados depende de la restriccin en las juntas, expresada, para cada una de las juntas, por el parmetro dado por:

dondeIc y Lc = momento de inercia y longitud libre de cada columna que concurre a la junta.Ib y Lb = momento de inercia y longitud libre de cada trabe que concurre en la junta.COLUMNAS EN ESTRUCTURASNOMOGRAMAS

Mtodo tradicional para determinar los factores de longitud efectivade columnas que forman parte de marcos rgidos.9. Longitud efectivaCOLUMNAS EN ESTRUCTURASNOMOGRAMAS

Desplazamiento lateral permitido9. Longitud efectivaDesplazamiento lateral restringidoCOLUMNAS EN ESTRUCTURASNOMOGRAMASNomogramas de Jackson y Morland

9. Longitud efectivaHiptesis de nomogramas de Jackson y Morland:Comportamiento lineal elstico.Miembros de seccin transversal constante.Nudos rgidos.Marcos arriostrados: rotaciones en extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexin con curvatura simple.Marcos no arriostrados: rotaciones en extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexin con curvatura doble.COLUMNAS EN ESTRUCTURASNOMOGRAMAS

9. Longitud efectivaHiptesis de nomogramas de Jackson y Morland (cont.):Los parmetros de rigidez de todas las columnas son iguales.La restriccin en el nudo se distribuye a las columnas, de arriba y de abajo en proporcin I/l de cada una de ellas.Todas las columnas se pandean simultneamente.COLUMNAS EN ESTRUCTURASNOMOGRAMAS

10. Relaciones de esbeltezEn general se tiene que para diferentes ejes se tendrn diferentes valores de K, L y r. Estos valores dependen:

del eje de las secciones transversales alrededor del que se presente el pandeo,

de las condiciones en sus extremos y

de la manera en que est soportado lateralmente.

INTRODUCCION

*Para efectos de la resistencia a la compresin, las secciones de acero se clasifican en dos categoras:Secciones esbeltas: aquellas que pueden desarrollar pandeo local.Secciones no esbeltas: aquellas que no desarrollan pandeo local.El lmite entre una y otra es lambda r y se conoce como lmite de esbeltez.Para que una seccin sea no esbelta, la relaciones ancho/espesor de todos los elementos que componen esa seccin deben ser menores que lambda r. Basta que un elemento de la seccin no cumpla con el lmite de esbeltez para clasificar la seccin entera como esbelta.En este captulo consideraremos slo el caso de secciones no esbeltas, de modo que el pandeo local de los elementos de la seccin no puede ocurrir. Secciones esbeltas sern cubiertas en otro captulo dedicado especficamente a secciones de pared delgada.*La determinacin de la carga crtica para columnas fue realizada por primera vez por Leonhard Euler (1707-1783) y a l se deben los primeros estudios tericos sobre el comportamiento de columnas largas.Posteriormente, Engesser, Consider y Von Karman, a fines del siglo XIX y principios del XX, y Shanley en 1947 estudiaron el fenmeno de pandeo en columnas intermedias.*Si bien el modelo de Euler originalmente consista en una columna empotrada en la base, vamos a utilizar el modelo de una columna bi-articulada en los apoyos, ya que resulta directamente en la ecuacin bsica de la carga crtica de Euler.*Las hiptesis fundamentales para la deduccin de la carga crtica de Euler son las siguientes:El mdulo de elasticidad del material es el mismo a tensin y a compresinEl material es istropo, homogneo, elstico y linealEl miembro es perfectamente recto inicialmente y la carga se aplica concntricamente con el eje.Los extremos del miembro son articulaciones perfectas, sin friccin y no est restringido el acortamiento.*No existe torcimiento o alabeo en la seccin ni pandeo local.El miembro se encuentra libre de esfuerzos residualesSe considera que las deformaciones son suficientemente pequeas, con lo que la expresin aproximada para definir la curvatura del eje deformado de la columna es adecuada.*Todas las hiptesis anteriores apuntan a asegurar que, mientras no se produzca pandeo, la distribucin de esfuerzos axiales en la columna ser uniforme y proporcional a la deformacin axial, como lo muestra la figura.*Considerando estas hiptesis, resulta una sucesin de valores para la carga de pandeo o carga crtica. El valor mnimo de esta sucesin, el valor de la carga crtica de Euler, corresponde a n = 1, para el cual la deformada es una media onda del largo de la columna.*La carga crtica es:Directamente proporcional a la rigidez a la flexin EI, es decir, la carga crtica puede aumentarse si se usa una seccin con un momento de inercia ms grande. Esta propiedad geomtrica aumenta distribuyendo el material lo ms lejos posible del centroide de la seccin transversal de la columna, por lo que los miembros tubulares son ms econmicos para trabajar como columnas que los elementos macizos que tienen la misma seccin transversal. Esta eficiencia aumenta si se reduce el grueso de la pared de los tubos y se aumenta su dimetro, pero est limitada por la ocurrencia de pandeo local si los elementos de la seccin se vuelven muy esbeltos.Inversamente proporcional al cuadrado de su longitud, por lo que es muy sensible a una aumento de la longitud.Independiente del esfuerzo de fluencia Fy, por lo que usar un acero de ms alta resistencia no aumenta la carga de pandeo.*La figura muestra la relacin, para la columna de Euler, entre el desplazamiento lateral de la columna y la carga axial aplicada. La columna se mantendr recta hasta el punto en que la carga axial alcance el valor de la carga crtica de pandeo. Una vez alcanzada esta carga, la columna se deforma lateralmente en forma abrupta, en teora sin lmite. El lmite est dado por el rango de pequeas deformaciones, excedido este rango, una de las hiptesis bsicas ya no es vlida, y por tanto la solucin ya no es vlida.*Podemos reescribir la carga de pandeo de Euler en trminos de esfuerzos dividiendo ambos lados de la ecuacin entre el rea de la seccin transversal de la columna, A. Reemplazando la razn I/A por el cuadrado del radio de giro de la seccin obtenemos la tensin crtica de pandeo elstico de Euler.La razn L/r se denomina relacin de esbeltez de la columna.*Podemos, entonces, trazar la curva esfuerzo de pandeo FE versus relacin de esbeltez KL/r. El factor K se denomina factor de longitud efectiva de pandeo y ser presentado en la seccin siguiente. Para la columna biarticulada, K=1.Ntese que el pandeo est controlado por el eje que produce el mayor valor de la relacin de esbeltez L/r.El radio de giro mnimo corresponde al eje con el menor momento de inercia (eje dbil) y si el miembro tiene la misma longitud de pandeo en torno a los dos ejes de la seccin, la relacin de esbeltez L/r mxima corresponde al eje con el radio de giro menor.*La deduccin de la frmula de Euler para una columna articulada en sus extremos se puede extrapolar a otras condiciones de apoyo, modificando la longitud de la columna para obtener lo que se conoce como longitud efectiva de pandeo. Este concepto utiliza factores K para igualar la resistencia en compresin de una columna con condiciones de apoyo cualquiera de longitud L, con la de un miembro equivalente articulado en sus extremos, de longitud KL.La carga de pandeo elstico o el esfuerzo crtico de pandeo elstico pueden entonces calcularse reemplazando L por la longitud efectiva de pandeo KL en las expresiones correspondientes.*Para ilustrar el concepto de longitud efectiva, consideremos el caso de una columna cuyos extremos no pueden rotar.Para determinar la carga de pandeo elstico de la columna, se establece la ecuacin diferencial de equilibrio, y se resuelve con las condiciones de frontera apropiadas. De esta forma resulta una carga crtica de pandeo igual a 4 veces la carga de Euler para la columna simplemente apoyada. Esta ecuacin se puede reescribir como la carga crtica de Euler para una columna de longitud 0.5L. De esta manera, la columna con ambos extremos fijos se pandea para la misma carga que la de una columna biarticulada de longitud igual a 0.5L.En general, se puede obtener la carga de pandeo elstico para cualquier condicin de los apoyos de la columna, resolviendo la ecuacin diferencial de equilibrio con las condiciones de frontera correspondientes. El resultado de estos clculos se expresa generalmente utilizando el concepto de longitud efectiva de la columna KL.*La longitud efectiva KL de una columna aislada con extremos fijos se puede calcular como la longitud de una columna equivalente biarticulada con la misma carga de pandeo elstico.La longitud efectiva de una columna aislada es tambin igual a la distancia libre entre puntos de inflexin de la forma pandeada (deformada). De esta manera, con base en la deformada, se puede estimar su longitud efectiva.*La tabla entrega valores del factor de longitud efectiva K tericos y recomendados para diseo, para columnas con condiciones de apoyo ideales.En general, la ecuacin para determinar la carga de diseo en compresin podr utilizarse para columnas con cualquier condicin de apoyo en los extremos, siempre que se conozca el factor de longitud efectiva K.*En la determinacin del factor de longitud efectiva K para columnas en estructuras deben considerarse:Las condiciones de sujecin en sus extremos.Las caractersticas generales de la estructura de la que forma parte el miembro que se est diseando.*Para ilustrar el efecto de la sujecin en los extremos, veamos el caso de columnas articuladas en su base, que forman parte de un marco no contraventeado como el mostrado en la figura, en el que se considera que la trabe es de rigidez infinita en comparacin con la de las columnas.Ante desplazamientos horizontales del marco, en su plano, se observa que la trabe impide el giro, pero no el desplazamiento del extremo superior de las columnas, las cuales se comportan como un cantilever invertido. Como consecuencia, la longitud efectiva de las columnas es igual al doble de su longitud real (K=2).De la figura b se puede ver que la longitud efectiva de pandeo de una columna es, al igual que en el caso de la columna aislada, la distancia entre dos puntos de inflexin que se forman en la curva elstica, por efecto del sistema de cargas, tipos de apoyo y desplazamientos horizontales relativos de los extremos.*A continuacin se muestran algunos valores del factor K para otras condiciones particulares de restriccin en los extremos. Se indica la condicin a la que equivalen en la tabla anterior para columnas aisladas.**La longitud efectiva tambin depende de las caractersticas de la estructura. La figura ilustra las diferencias entre los posibles valores de K para el caso de un marco arriostrado y un marco con desplazamiento lateral no restringido. Las columnas de marcos arriostrados tienen valores de K que varan entre 0.5 y 1.0, en cambio, en las columnas de marcos no arriostrados, el valor de K siempre es mayor que 1.0En la prctica, para la mayora de los edificios el desplazamiento lateral de los marcos puede restringirse mediante muros de cortante o un adecuado sistema de contraventeo diagonal, pero para edificios construidos con marcos y muros ligeros de tableros desmontables, muros desligados de la estructura o marcos no contraventeados, el desplazamiento lateral es apreciable.En columnas de estructuras reales es muy poco frecuente identificar las condiciones de apoyo de las columnas, encontrndose por lo general entre los dos casos extremos de articulacin y empotramiento. Para estos casos se pueden emplean nomogramas que permiten obtener el valor de K en funcin de las condiciones de restriccin en los extremos de la columna.*Las condiciones de apoyo de una columna en una estructura dependen de la restriccin generada por los elementos que concurren a los nudos que limitan a la columna. Esta restriccin puede expresarse en funcin de un parmetro G, que es la razn entre las rigideces de las columnas y las trabes que concurren al nudo.Los trminos Ic, Lc, Ib,y Lb, deben calcularse en el plano en que se considere el pandeo de la columna.*La figura ilustra el clculo de los parmetros G en una columna de un marco rgido.*Conocidos los valores de G en cada junta de la columna, se puede determinar el valor de K mediante los nomogramas de Jackson y Morland.Los subndices A y B se refieren a las juntas en los extremos superior e inferior de la columna.

*Los nomogramas se basan en las siguientes hiptesis:El comportamiento es lineal elstico.Vigas y columnas tienen seccin transversal constante.Los nudos son rgidos, es decir, los extremos de las vigas y columnas que confluyen a un nudo giran lo mismo.En marcos arriostrados, las rotaciones en extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexin con curvatura simple.En marcos no arriostrados, las rotaciones en extremos opuestos de vigas son de igual magnitud y producen flexin con curvatura doble*Los parmetros de rigidez de todas las columnas son iguales.La restriccin en el nudo se distribuye a las columnas, de arriba y de abajo en proporcin I/l de cada una de ellas.Todas las columnas se pandean simultneamente.*Como ya vimos, La relacin de esbeltez KL/r de los miembros comprimidos axialmente se determina con la longitud efectiva KL y el radio de giro r. Los valores de K, L y r son diferentes, en general para cada eje de pandeo posible.Debe tenerse cuidado, en todos los casos, de utilizar la relacin de esbeltez mxima del miembro, ya que K, L, o r pueden tener varios valores diferentes en un mismo elemento, dependiendodel eje de las secciones transversales alrededor del que se presente el pandeo, de las condiciones en sus extremos y de la manera en que est soportado lateralmente.