8/19/2019 Comparacion de La (1)

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Comparación de la solución propuesta a la numérica.

Ejemplo 4-3, Transferencia de Calor y Masa: Yunus Cengel, tercera edici´ on.

Transferencia de Calor (2015743).

Docente: Hermes Augusto Rangel Jara.

Pinzón Lopez, Jhoan Sebastian.Ingenierı́a Quı́mica.

 jspinzonl@unal.edu.co

Avendaño Peña, Sergio Javier.Ingenierı́a Quı́mica.

sjavendanop@unal.edu.co

9 de marzo de 2016

1. Planteamiento del problema.

Un huevo común se puede considerar como una esfera de 5 cm de di ámetro (figura 1). Inicialmenteel huevo está a una temperatura uniforme de 5◦C  y se deja caer en agua hirviendo a 95◦C . Tomando elcoeficiente de transferencia de calor por convección como  h  = 1200W/m2 ·◦ C , determine cuánto tiempotranscurrirá para que el centro del huevo llegue a los 70◦C .1

Datos:  k = 0,627W/m◦C ; α = 0,151 × 10−6m2/s.

Figura 1: ilustración al problema propuesto, tomada del texto gúıa:  Transferencia de Calor y Masa, Cengel,3ed.

2. Solución propuesta en el texto gúıa.

El autor hace las suposiciones necesarias (τ >  0,2) para poder abordar el problema con una simpli-ficación: la ecuación (1) se puede tomar con tan solo un termino y se obtendrá una respuesta con pocomargen de error.

θ =∞

n=1

4(senλn − λncosλn)

2λn − sen2λneλ

2nτ  sen(λnr/r0)

λnr/r0(1)

1El planteamiento del problema se copió directamente del texto guı́a de Cengel, es decir, el planteamiento anterior no es

construcción propia.

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El numero de Biot  B i =  hr0/k = 47,8 es mayor que 0,1 por lo que el problema no se puede abordar por lametodoloǵıa de parámetros concentrados. Con las suposiciones realizadas la ecuación (1) se convertirá en:

T 0 − T ∞T i − T ∞

= A1eλ21τ  (2)

Donde

A1 = 4(senλ1 − λ1cosλ1)

2λ1 − sen2λ1

De la tabla 4-1 (interpolando) se obtiene que:  A1  = 1,9958 y  λ1  = 3,0754. Reemplazando en la ecuación(2) obtenemos que:

70 − 95

5 − 95  = 1,9958 · e−3,0754

2×τ 

0,2778 = 1,9958 · e−9,45808516τ τ  = 0,209

Note que el termino

  sen(λnr/r0)

λnr/r0 no se incluye ya que  r→

0 (centro de la esfera) y sabemos que si  x→

0⇒

senxx  → 1. Tenemos ademas que  τ  =   tα

r20

:

t = τ r0r

20

α

t = 865s

3. Solución numérica.

Partiendo de la ecuación (1) tenemos ademas que los  λn  cumplen la función caracterı́stica:

1− cotλn −Bi  = 0 (3)

Por lo tanto podemos plantear el problema sin tener la restricción de usar tan solo un termino de laecuación (1). Llevando el problema a una hoja de calculo en el software Excel podemos calcular cuantosλn deseemos y consecuentemente An, dando un resultado mucho mas robusto que el presentado por el autor.Si calculamos primero el numero de Biot y suponemos un valor inicial para los valores de   λn   podemosvalernos de la función   buscar objetivo  para variar los  λn  y conseguir que la ecuación (3) sea 0 (valores enla columna D).

Figura 2: problema propuesto instalado sobre una hoja de calculo.

Note en la Figura 2 que la columna D contiene la condición (ecuación (3)) que se debe cumplir para cadaλn. Se crea una macro que encuentra los 4 λn simultáneamente, no obstante una instrucción inicial para estamacro es que los valores iniciales (supuestos) necesarios para la iteración deben ser :  λ1 = 0, λ2  = 3, λ3 = 6

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y  λ4  = 9, esto con el fin de que no se repita el mismo valor. Se calculan tan solo 4 valores de  λn  porquecomo se aprecia en la columna F, el valor de  θn  tiende a cero a medida que  n  aumenta. Los valores de  Anse calculan (columna E) como:

An = 4(senλn − λncosλn)

2λn − sen2λn

Subsecuentemente obtendremos el valor de  θn  y el de  θ, que es la sumatoria de los valores en las celdasF5 a F8. La celda K10 contiene la condición que nos permitirá hallar el tiempo necesario para cumplir lacondición. En K9 tenemos un valor denominado ”θreal”que es el valor que se obtiene en la ecuación 2. Porlo tanto la celda K10 sera la resta entre F9 (el valor de  θ  obtenido numéricamente) y K9, daremos soluciónal problema siempre y cuando esta celda tenga un valor de 0.

Recurrimos de nuevo a la función   buscar objetivo   y escogemos como objetivo la celda K10, con un va-lor de 0, variando el valor de la celda I11 que contiene el valor de tiempo, al realizar las iteraciones elproblema nos arrojara como resultado:

t = 861,4682s

4. Comentarios

La diferencia entre la respuesta dada por el autor y la hallada numéricamente es de 3,5318s por lo quepara este caso trabajar la ecuación (1) con tan solo un termino no lleva directamente a un gran error. Seconsidera mucho mejor el manejo dado al problema sobre la hoja de calculo pues no es necesario el usode tablas y solo se requiere de suposiciones iniciales. La necesidad de interpolar puede ser un factor queinduzca error en los cálculos, lo que le da una gran ventaja al método numérico.

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