COMPARACIÓN ENTRE EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN …
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COMPARACIÓN ENTRE EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL HALLADO UTILIZANDO EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO Y EL MEDIDO SIGUIENDO LOS ESTÁNDARES INTERNACIONALES PARA UN DIFUSOR UNIDIMENSIONAL ESTEBAN FERNÁNDEZ MEJÍA ANDRÉS PAUL ZÚÑIGA ORJUELA UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA SECCIONAL MEDELLÍN FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA DE SONIDO MEDELLÍN 2015
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COMPARACIÓN ENTRE EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL
HALLADO UTILIZANDO EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL
DOMINIO DEL TIEMPO Y EL MEDIDO SIGUIENDO LOS ESTÁNDARES
INTERNACIONALES PARA UN DIFUSOR UNIDIMENSIONAL
ESTEBAN FERNÁNDEZ MEJÍA
ANDRÉS PAUL ZÚÑIGA ORJUELA
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA SECCIONAL MEDELLÍN
FACULTAD DE INGENIERÍAS
INGENIERÍA DE SONIDO
MEDELLÍN
2015
COMPARACIÓN ENTRE EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL
HALLADO UTILIZANDO EL MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS EN EL
DOMINIO DEL TIEMPO Y EL MEDIDO SIGUIENDO LOS ESTÁNDARES
INTERNACIONALES PARA UN DIFUSOR UNIDIMENSIONAL
ESTEBAN FERNÁNDEZ MEJÍA
ANDRÉS PAUL ZÚÑIGA ORJUELA
Proyecto presentado para optar al título de Ingeniero de Sonido
Asesor
MSc. Luis Alberto Tafur Jiménez
UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA SECCIONAL MEDELLÍN
FACULTAD DE INGENIERÍAS
INGENIERÍA DE SONIDO
2015
DEDICATORIA
Este trabajo de grado está dedicado principalmente a nuestros padres Alonso
Zúñiga Peñaloza, Martha Orjuela Díaz, Fabián Fernández y Martha Mejía por todo
el apoyo brindado durante el transcurso de la carrera universitaria y de nuestras
vidas. Además a nuestros amigos que han estado a nuestro lado
acompañándonos y ayudándonos con el pasar de los años.
“Education is our passport to the future, for tomorrow belongs to those who
prepare for it today”. Malcolm X
AGRADECIMIENTOS
Quisiéramos agradecerle a nuestro asesor MSc. Luis Alberto Tafur Jiménez, por
estar siempre pendiente de nuestras dudas e inquietudes en cada reunión y por
sus consejos que ayudaron a estructurar este proyecto. Además, a los integrantes
del semillero de investigación de caracterización acústica de materiales de la
Universidad de San Buenaventura por estar presentes en las mediciones
realizadas. Así mismo a Jonathan Ochoa Villegas por su interés y colaboración en
el proyecto.
CONTENIDO
CONTENIDO .................................................................................................................................... 5
1. RESUMEN ................................................................................................................................ 7
LISTA DE FIGURAS ........................................................................................................................ 8
LISTA DE TABLAS ......................................................................................................................... 9
2. INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 10
3. ESTADO DEL ARTE ................................................................................................................ 12
4. MARCO TEÓRICO ................................................................................................................... 16
4.1 Difusión ............................................................................................................................................ 16
4.1.1 Difusor de Schroeder ..................................................................................................................... 17
4.1.2 Coeficiente de difusión .................................................................................................................. 18
4.2 Procesamiento digital de señales ........................................................................................... 20
4.2.1 La transformada rápida de Fourier (FFT) .......................................................................... 20
4.2.2 Bandas de frecuencia ..................................................................................................................... 21
4.2.3 Sistemas lineales discretos ......................................................................................................... 22
4.2.4 Sistemas invariantes en el tiempo .......................................................................................... 22
4.2.5 Respuesta al impulso ..................................................................................................................... 22
4.2.6 Señal barrido seno ........................................................................................................................... 23
4.3 Medición de respuestas polares difusas .............................................................................. 23
4.3.1 Zona Especular .................................................................................................................................. 24
4.3.2 Montaje para la medición de respuestas polares ........................................................... 24
4.4 Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo ................................................ 26
4.4.1 Estabilidad del modelo.................................................................................................................. 28
4.4.2 Condiciones de frontera ............................................................................................................... 28
4.4.3 Fuente ..................................................................................................................................................... 30
5. MEDICIÓN DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL .................................... 31
5.1 Obtención del coeficiente de difusión direccional ........................................................... 32
5.2 Resultados respuestas al impulso h1 y h2 ........................................................................... 33
5.3 Resultados gráficas polares medición con fuente a 60° ................................................. 36
5.4 Resultados gráficas polares medición con fuente a 120° .............................................. 39
5.5 Resultados coeficientes de difusión ...................................................................................... 41
5.6 Discusión resultados coeficiente de difusión direccional a 60° y 120° .................... 44
6. PREDICCIÓN DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL ............................... 46
6.2.1 Definición de las condiciones del medio ............................................................................. 47
6.2.2 Implementación de la fuente ..................................................................................................... 47
6.2.3 Zona PML ............................................................................................................................................... 48
6.2.4 Implementación del difusor y la placa reflectante ........................................................ 49
6.2.5 Procesamiento de datos ............................................................................................................... 51
6.3 Resultados de la simulación ..................................................................................................... 51
6.3.1 Respuestas al impulso ................................................................................................................... 52
6.3.2 Gráficas polares................................................................................................................................. 53
6.3.3 Coeficiente de difusión direccional ........................................................................................ 55
6.4 Discusión de resultados ............................................................................................................. 55
7. CONCLUSIONES ...................................................................................................................... 59
8. TRABAJOS FUTUROS ............................................................................................................ 59
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................... 60
ANEXOS ......................................................................................................................................... 61
A.1 INFORMES DE MEDICIÓN: COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL ...................... 61
A.1.1 Coeficiente de difusión direccional 60° ...................................................................................... 64
A.1.2 Coeficiente de difusión direccional 120° ................................................................................... 68
A.2 Código obtención de coeficiente de difusión direccional medido siguiendo la
norma ISO 17497-2 (2012) .............................................................................................................. 72
A.3 Código para la obtención de la respuesta al impulso con el difusor, sin el difusor y
con la lámina reflectante aplicando FDTD. ................................................................................ 75
A.4 Código para el procesamiento de las respuestas al impulso simuladas y el calculo
del coeficiente de difusión. .............................................................................................................. 83
7
1. RESUMEN
En este trabajo se realizó la comparación entre el coeficiente de difusión
direccional de un difusor unidimensional medido siguiendo los estándares de la
norma ISO 17497-2 y el obtenido mediante una simulación utilizando el método de
FDTD en 2 dimensiones. Esto se hizo con el fin de observar si era posible realizar
una predicción del coeficiente de difusión el cual se apegara a los estándares
internacionales a través de este método de predicción. El montaje de medición
consistió en colocar una fuente a 10 m de distancia del difusor con un ángulo de
incidencia arbitrario y 37 puntos de medición que fueron colocados cada 5º
formando un semicírculo alrededor del difusor, con un radio de 5 m. Se realizaron
dos mediciones: una con la fuente ubicada a 60º del difusor y otra con la fuente a
120º para comprobar que los resultados obtenidos demostraran una tendencia que
se apegara a la teoría del comportamiento de un difusor y que el método de
medición se estuviera realizando correctamente. La predicción del coeficiente se
realizó con el mismo montaje pero sólo se simuló con la fuente a 60º del difusor
porque si se colocara a 120º se obtendrían exactamente los mismos resultados;
sin embargo, el coeficiente de difusión simulado, se comparó con el coeficiente
medido a 60º y a 120º debido a que el coeficiente deberia ser igual para estos
ángulos. Los códigos para la simulación y el procesamiento de los datos fueron
implementados en Matlab. Después de realizar la comparación se llegó a
determinar que el coeficiente de difusión direccional simulado se asemeja al
medido desde 1.6 kHz hasta los 5 kHz. Esto se pudo observar en la comparación
de los datos obtenidos de la lámina reflectante simulada y medida. Al superar los
6.3 kHz los valores de coeficiente de difusión direccional aumentaron, difiriendo
así de los valores medidos respectivos. Estas discrepancias se atribuyen a la
superficie del difusor simulado, la cual es totalmente reflectante. Además ambos
métodos tuvieron limitaciones en su implementación, tales como el costo
computacional en la simulación y los factores externos en la medición.
Palabras clave: Difusión, coeficiente de difusión, difusor unidimensional,
respuesta polar, FDTD, PML.
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LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1. RESPUESTAS AL IMPULSO QUE DIFIEREN RESPECTO A LA ROTACIÓN DE LA MUESTRA [4]. ................................... 13 FIGURA 2. CARACTERÍSTICAS TEMPORALES Y ESPACIALES DE LAS SUPERFICIES DIFUSAS [11]. .............................................. 17 FIGURA 3. SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN DIFUSOR DE SCHROEDER DE UNA DIMENSIÓN [11]. .............................................. 18 FIGURA 4. NÚMERO DE OPERACIONES COMPLEJAS EN LA DFT Y EN EL ALGORITMO FFT RADIX-2 COMO FUNCIÓN DE N
[12]. ............................................................................................................................................................................................ 21 FIGURA 5. ZONA ESPECULAR GENERADA A PARTIR DE UNA SUPERFICIE PLANA DE REFERENCIA [16]................................... 24 FIGURA 6. MONTAJE PARA LA MEDICIÓN DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN POR EL MÉTODO DEL PLANO LÍMITE [11]. ......... 25 FIGURA 7. POSICIÓN DE LA PRESIÓN Y LA VELOCIDAD DE PARTÍCULA EN UN DOMINIO DISCRETIZADO [11]. ....................... 28 FIGURA 8. ESTRUCTURA DE UN PML BIDIMENSIONAL CON UNA MUESTRA DE PRUEBA EN EL MEDIO [11]. ......................... 29 FIGURA 9. DIAGRAMA GENERAL DE LA METODOLOGÍA DE LA MEDICIÓN DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL Y SUS
3 ETAPAS. .................................................................................................................................................................................... 33 FIGURA 10 RESPUESTA AL IMPULSO DE H1 EN LA POSICIÓN DE MICRÓFONO DE 75º. .............................................................. 34 FIGURA 11. ZOOM SOBRE RESPUESTA AL IMPULSO DE H1 CON MICRÓFONO EN 75º. ................................................................ 34 FIGURA 12. RESPUESTA EL IMPULSO DE H1 EN LA POSICIÓN DE MICRÓFONO DE 150º. ........................................................... 35 FIGURA 13. RESPUESTA AL IMPULSO DE H2 EN LA POSICIÓN DE DE MICRÓFONO DE 75º. ........................................................ 35 FIGURA 14. COMPORTAMIENTO POLAR DEL DIFUSOR CONFORME AUMENTA LA FRECUENCIA, CON LA FUENTE COLOCADA A
60º. .............................................................................................................................................................................................. 37 FIGURA 15. COMPORTAMIENTO POLAR DE LA LÁMINA REFLECTANTE CONFORME AUMENTA LA FRECUENCIA, CON LA
FUENTE COLOCADA A 60º. ........................................................................................................................................................ 37 FIGURA 16. GRÁFICAS POLARES QUE REPRESENTAN LA RESPUESTA DEL DIFUSOR (AZUL) Y LA LÁMINA (ROJO) DESDE 0º A
180º. LA ESCALA VA DESDE -40DB A 0DB. RESPUESTAS OBTENIDAS CON LA FUENTE COLOCADA A 60º. ................ 38 FIGURA 17. COMPORTAMIENTO POLAR DEL DIFUSOR A 120º CONFORME AUMENTA LA FRECUENCIA. ................................. 39 FIGURA 18. COMPORTAMIENTO POLAR DE LA LÁMINA A 120º CONFORME AUMENTA LA FRECUENCIA. ............................... 40 FIGURA 19. GRÁFICAS POLARES QUE REPRESENTAN LA RESPUESTA DEL DIFUSOR (AZUL) Y LA LÁMINA (ROJO) DESDE 0º A
180º. LA ESCALA VA DESDE -40DB HASTA 0DB. ................................................................................................................. 41 FIGURA 20. COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL CON FUENTE COLOCADA EN 60º. .......................................................... 42 FIGURA 21. COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL CON FUENTE COLOCADA A 120º. ......................................................... 42 FIGURA 22. COMPARACIÓN ENTRE COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONALES CORRESPONDIENTES A 60º Y 120º. ........ 43 FIGURA 23. COMPARACIÓN ENTRE EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL DEL DIFUSOR NORMALIZADO EN 60º Y
120º. ........................................................................................................................................................................................... 43 FIGURA 24. PROCESO PARA HALLAR LAS RESPUESTAS AL IMPULSO CON EL DIFUSOR Y LA LÁMINA REFLECTANTE.............. 46 FIGURA 25. A) RESPUESTA EN FRECUENCIA DE LA FUENTE. B) RESPUESTA AL IMPULSO DE LA FUENTE. ............................. 47 FIGURA 26. REFLEXIONES GENERADAS CON LA ZONA PML UTILIZADA. ..................................................................................... 49 FIGURA 27. DIMENSIONES DEL DIFUSOR MODELADO. .................................................................................................................... 50 FIGURA 28. DIFUSOR SIMULADO EN DOMINIO REDUCIDO, POR CUESTIONES DE VISIBILIDAD. LA BARRA DE LA IZQUIERDA
INDICA LOS VALORES MÁXIMOS CON EL COLOR ROJO Y VALORES MÍNIMOS CON COLOR AZUL. ...................................... 50 FIGURA 29. PROCESAMIENTO DE LAS RESPUESTAS AL IMPULSO SIMULADAS. ............................................................................ 51 FIGURA 30. RESPUESTA AL IMPULSO DE LOS 37 RECEPTORES. A) CON EL DIFUSOR. B) SIN EL DIFUSOR. C) REFLEXIÓN DEL
DIFUSOR AISLADA DESPUÉS DE APLICAR LA VENTANA TEMPORAL. ................................................................................... 52 FIGURA 31. COMPORTAMIENTO DE LAS ONDAS QUE INCIDEN SOBRE EL DIFUSOR CON LA FUENTE EN 60º CONFORME
AUMENTA LA FRECUENCIA. ....................................................................................................................................................... 53 FIGURA 32. COMPORTAMIENTO DE LAS ONDAS QUE INCIDEN SOBRE LA LÁMINA CON LA FUENTE EN 60º CONFORME
AUMENTA LA FRECUENCIA. ....................................................................................................................................................... 53 FIGURA 33. COMPARACIÓN ENTRE EL COMPORTAMIENTO DE LA LÁMINA Y EL DIFUSOR SIMULADOS. A) 630 HZ. B) 1 KHZ.
C) 1.25 KHZ. D) 1.6 KHZ. E) 2.5 KHZ. F) 5 KHZ................................................................................................................. 55
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FIGURA 34. COEFICIENTE DE DIFUSIÓN SIMULADO. ........................................................................................................................ 55 FIGURA 35. COMPARACIÓN ENTRE EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN MEDIDO Y SIMULADO. A) DIFUSOR. B) LÁMINA
REFLECTANTE. ............................................................................................................................................................................ 57 FIGURA 36. COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL DEL DIFUSOR SIN NORMALIZAR. ........................................................... 58 FIGURA 37.DIAGRAMA DE CONFIGURACIÓN DEL EQUIPO PARA LA MEDICIÓN DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL.
...................................................................................................................................................................................................... 62 FIGURA 38. DIAGRAMA DE FLUJO PARA OBTENER EL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL. ............................................ 63 FIGURA 39. MUESTRA A MEDIR: DIFUSOR UNIDIMENSIONAL QRD. ............................................................................................. 64 FIGURA 40. PLANOS DE LA MUESTRA. ............................................................................................................................................... 64 FIGURA 41. FOTOGRAFÍA. LUGAR DE MEDICIÓN, FUENTE A 10M DEL DIFUSOR. ........................................................................ 65 FIGURA 42. PLANOS DE LA MEDICIÓN. LOS MICRÓFONOS FUERON REPRESENTADOS COMO CIRCULOS EN AZUL, LA FUENTE
EN ROJO Y EL DIFUSOR EN COLOR VERDE. ............................................................................................................................... 65 FIGURA 43. FOTOGRAFÍA. LUGAR DE MEDICIÓN, FUENTE A 10M DEL DIUSOR. .......................................................................... 69 FIGURA 44. PLANOS DE MEDICIÓN. LOS MICRÓFONOS FUERON REPRESENTADOS COMO CÍRCULOS EN AZUL, LA FUENTE A
120º EN ROJO Y EL DIFUSOR EN COLOR VERDA. .................................................................................................................... 69
LISTA DE TABLAS
TABLA 1. CONDICIONES DEL MEDIO UTILIZADAS PARA LA SIMULACIÓN. ..................................................................................... 47 TABLA 2. COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL DEL DIFUSOR, LÁMINA Y DIFUSOR NORMALIZADO. ................................ 68 TABLA 3. COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DE LA MUESTRA MEDIDA Y GRÁFICAS POLARES DONDE LA LÍNEA AZUL ES LA
RESPUESTA POLAR DEL DIFUSOR Y LA LÍNEA ROJA, LA DE LA LÁMINA RELFECTANTE. .................................................... 70 TABLA 4. COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL DEL DIFUSOR, LÁMINA Y DIFUSOR NORMALIZADO. ................................ 72
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2. INTRODUCCIÓN
En las últimas décadas ha aumentado la preocupación de caracterizar la difusión
generada por superficies mediante métodos de medición estandarizados. En la
norma ISO 17497-2 del año 2012 se presentan los parámetros y pasos a seguir
para realizar una medición de coeficiente del difusión direccional, aplicando la
técnica de plano límite. Ahora bien, el ser capaz de predecir la energía sonora
reflejada por un difusor presenta una mejora importante en la eficiencia de la
caracterización, diseño y evaluación de difusores [1]. Entre los métodos de
predicción de dominio más conocidos se encuentran el método de elementos de
borde (en inglés BEM), el modelo de Kirchhoff y el método diferencias finitas en el
dominio del tiempo (FDTD, por sus siglas en inglés). Actualmente estas
simulaciones se realizan considerando la muestra en campo libre. Esto permite
procesar y evaluar solamente las reflexiones provenientes de la muestra.
La meta principal de esta investigación consiste en comparar el coeficiente de
difusión direccional hallado de una simulación implementando el método de FDTD,
con el medido siguiendo la normativa internacional para un difusor unidimensional.
Para lograr esto el método de predicción debe ser abordado con precisión desde
la implementación de la fuente, la zona libre de reflexiones, el difusor simulado y el
posicionamiento de estos en el dominio discretizado. Ahora bien, para realizar la
medición correctamente, se pretende implementar el diseño de un goniómetro que
concediera el posicionamiento adecuado de las configuraciones requeridas,
además ambos métodos precisan del procesamiento de los datos obtenidos, el
cual se realiza en Matlab. Se espera que la medición sea un punto inicial de
comparación válido, aunque ambas formas de caracterizar las reflexiones del
difusor unidimensional tienen sus respectivas limitaciones. En cuanto al FDTD,
estas consisten en el tiempo y costo computacional que exige el análisis de
frecuencias altas, por cuanto la malla del dominio computacional debe ser por lo
menos una octava parte de la longitud de onda de la máxima frecuencia simulada.
Además de esto, el difusor simulado es completamente reflectante, siendo en sus
límites la velocidad de partícula igual a cero. Las limitaciones de la medición tienen
que ver con la falta de control sobre factores externos, como lo son el sitio de
medición, las condiciones ambientales de ruido de fondo variable y velocidad del
viento. Al obtener ambos resultados, estos se analizan para proponer posibles
causas de las discrepancias y similitudes entre estos. Consecuentemente se
concluye sobre la fidelidad del método de predicción utilizado.
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En la sección 1 está el resumen del trabajo de investigación, seguido de la sección
2 donde está la introducción. Luego en la sección 3 y 4 está el estado del arte y el
referente teórico correspondiente al trabajo. En la sección 5 se encuentra el
desarrollo metodológico de la medición realizada. Se describe inicialmente el
equipamiento utilizado y además el software para el procesamiento de los
capturas. Así mismo, se hace referencia la norma 17497-2 del 2012, la cual es la
principal guía para la caracterización de las reflexiones difusas de la muestra. En
esta misma sección se presentan los resultados obtenidos, incluyendo gráficas de
respuestas polares y coeficientes de difusión direccionales para las dos
mediciones que se realizaron. Los resultados son presentados de manera tal que
la comparación entre estos sea comprensible y clara. Continuando en la sección
5.6 se discuten estos resultados obtenidos de las mediciones. Avanzando en la
sección 6 del trabajo, se puede visualizar el desarrollo de la implementación del
método de predicción seleccionado. Se muestran todas las constantes tanto para
la fuente, el dominio acústico y las condiciones de borde usadas. Estos resultados
son discutidos y comparados con los de la medición en la sección 6.4. Las
conclusiones del trabajo de investigación se encuentran en la sección 7 y
finalmente en la sección 8 se encuentran los trabajos futuros.
12
3. ESTADO DEL ARTE
Durante los inicios de la acústica, el coeficiente de absorción fue la principal
preocupación para el diseño de espacios acústicos, éste ha sido estudiado,
modelado y medido aplicando gran cantidad de métodos desarrollados a través de
la historia; por este motivo, hoy en día es una característica acústica que está
ampliamente documentada. Sin embargo, la influencia de la difusión sobre el
campo acústico de un recinto fue considerada por primera vez por L. Beranek en
su libro “Música, Acústica y Arquitectura” publicado en 1962. En este libro Beranek
definió el índice de difusividad superficial, un valor obtenido con base en la
inspección visual de interiores y que por lo tanto era demasiado subjetivo como
para evaluar los efectos de la difusión en el recinto. En 1975 Schroeder estableció
los fundamentos para el diseño y medición de estructuras con alta capacidad para
difundir la energía acústica y fue el primero en presentar una fórmula que
permitiera calcular la distribución de la energía reflejada por una estructura con un
coeficiente de reflexión variable [1].
Actualmente ha habido grandes avances en el estudio de la difusión, lo cual ha
dado paso a diferentes diseños de difusores efectivos y diferentes técnicas para
medir la capacidad difusora de éstos o de cualquier superficie. Existen métodos de
medición que son realizados en campo difuso y en campo libre; cada uno tiene
diferentes ventajas y desventajas. Los métodos realizados en campo difuso
permiten identificar rápidamente un coeficiente de difusión con incidencia aleatoria
pero son difíciles de simular; mientras que los métodos en campo libre son todo lo
contrario, su ejecución lleva tiempo pero son sencillos de simular [2].
Las mediciones en campo libre son realizadas identificando el patrón polar que
generan las ondas sonoras al ser reflejadas en el difusor; con base en esta
técnica, existen diferentes formas para determinar un coeficiente de difusión, las
cuales pueden ser agrupadas según el parámetro utilizado para calcularlo:
desviación estándar, directividad o zona especular [3]. El método basado en la
desviación estándar considera que cuando hay difusión completa de la energía, la
diferencia entre la energía en cualquier dirección de la muestra y la energía
promedio en todas las direcciones es cero, la desviación estándar permite
determinar el grado de dispersión de estos valores y estimar la eficiencia del
difusor. El coeficiente de difusión determinado a partir de la directividad consiste
en hallar la fracción de energía reflejada en cada dirección. Por último, está el
coeficiente de difusión a partir de la zona especular. La zona especular es aquella
en la cual la energía acústica es reflejada siguiendo la ley de Snell, ésta dicta que
para una superficie plana el ángulo de la onda incidente es igual al ángulo de la
13
onda reflejada [3]. Para determinar el coeficiente de difusión, se halla la relación
entre la energía reflejada fuera de la zona especular y el total de energía reflejada.
Otro método consiste en calcular un coeficiente de difusión midiendo la “perdida
por inserción” de la energía acústica en la zona especular, realizando una
medición de esta con y sin el difusor. Sin embargo, esta técnica no discrimina
entre dispersión y redirección de la energía, es decir, como no permite determinar
el patrón polar en el que la energía está siendo reflejada no es posible saber si en
realidad ésta es distribuida uniformemente o si está siendo concentrada en otro
punto [3].
La principal debilidad de los métodos de medición en campo libre es que las
mediciones deben ser realizadas en campo lejano, lo cual resulta en imprácticos
montajes experimentales debido a su gran tamaño; por este motivo los receptores
y la fuente son ubicados a distancias más cercanas a la muestra, en las cuales se
presentan patrones polares similares a los realizados en campo lejano o se
realizan mediciones con montajes a escala [3].
Como ya se mencionó, también existen métodos para determinar la dispersión de
la energía acústica en campo difuso. El más popular de ellos, con base en la
cantidad de artículos en los que es mencionado, es el método desarrollado por
Mommerts y Vorländer. Este método consiste en ubicar la muestra que se desea
medir, la fuente y el receptor en una cámara reverberante; estos últimos pueden
ser colocados en cualquier lugar, luego, la fuente debe ser girada en intervalos
iguales hasta que complete un giro de 360º y en cada uno de estos intervalos se
toma la respuesta al impulso del sistema para luego ser comparados como se
observa en la Figura 1 [3].
Figura 1. Respuestas al impulso que difieren respecto a la rotación de la muestra [4].
14
En la Figura 1 se observa que una parte de las respuestas es congruente y una
“cola” que difiere según la rotación de la muestra. El intervalo congruente se debe
a las reflexiones especulares, aquellas que siguen el camino más corto entre la
fuente, la muestra y el receptor; y la “cola” se debe a la energía que es esparcida
por el difusor causando que las ondas tomen otros caminos que generan
diferentes retrasos. Teniendo esto en mente se puede concluir que si las
respuestas al impulso están perfectamente correlacionadas significaría que toda la
energía está siendo dirigida dentro de la zona especular; sin embargo si el difusor
está actuando efectivamente debería haber incongruencias entre las respuestas al
impulso. Luego, el coeficiente de dispersión es hallado utilizando la expresión (1)
[4].
𝛿 =
𝑎 − 𝛼𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
1 − 𝛼𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 (1)
donde 𝛼𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 es el coeficiente de absorción de la muestra a incidencia aleatoria,
𝛿 es el coeficiente de dispersión de la muestra y 𝑎 es un pseudocoeficiente de
absorción especular de la muestra. Se dice que es pseudocoeficiente porque en
teoría es un indicador de la cantidad de energía perteneciente a la reflexión
especular que es absorbida por parte de la muestra; sin embargo, éste no toma en
cuenta la energía que es dispersada por el difusor; por lo tanto no es un indicador
exacto [3].
La técnica desarrollada por Mommerts y Vorländer fue la primera de muchas otras
que calculaban la eficiencia de una difusor de forma indirecta, es decir, no se
realiza una medición sobre el difusor sino que se examina el cambio en el campo
acústico de un recinto cuando se agrega se agrega el difusor. Lam [3] desarrolló
una técnica similar en la cual se determinaba un coeficiente de difusión utilizando
un software de predicción. El método consiste en realizar un modelo del recinto
dentro del cual se va a medir el difusor, utilizando el coeficiente de absorción
verdadero de cada superficie y luego hallar un coeficiente de difusión por medio de
ensayo y error para que el tiempo de reverberación en la simulación coincida con
el de la sala real; luego, una de las superficies del recinto es cubierta con material
absorbente y se repite el proceso anterior; esto hace que el campo dentro de la
sala no sea perfectamente difuso y facilita la percepción del cambio en el campo
acústico cuando se agregue el difusor. Por último, otra de las superficies es
reemplazada por la muestra y es repetido el proceso para hallar el coeficiente de
difusión de éste por medio de ensayo y error. Este procedimiento debe ser
repetido para todas las bandas de frecuencia de interés, lo cual evidencia que es
un proceso tedioso y extenso, sin embargo, la ventaja que este posee es que el
15
coeficiente de difusión hallado puede ser implementado en un modelo
computacional. La difusión es realizada de diferentes maneras dependiendo del
modelo que se utilice para simularlas; si se utiliza uno de los métodos
mencionados para hallar el coeficiente de difusión es posible que el modelo de un
recinto con el coeficiente hallado no refleje de manera exacta el campo resultante
debido a que no se tiene en cuenta la forma en la que la difusión está siendo
ejecutada por el modelo [3].
Hay gran cantidad de métodos para evaluar la eficiencia de todos los tipos de
difusores existentes, los métodos mencionados aquí son los más comunes o los
que formaron las bases para todos los demás; sin embargo, la medición del
coeficiente de difusión no fue estandarizada sino hasta el año 2012 por la ISO. En
el 2004 se publicó la norma ISO 17497-1 sobre las propiedades de dispersión
sonora de una superficie, la cual habla sobre la medición del coeficiente de
dispersión o scattering a incidencia aleatoria en una cámara reverberante; luego
en el 2012 se publicó la segunda parte de ésta norma (ISO 17497-2) la cual
establece el método para medir el coeficiente de difusión direccional en campo
libre, estableciendo por fin un método universal y estableciendo unos estándares
para obtener un solo coeficiente de difusión oficial que fuera aceptado
internacionalmente.
En cuanto al modelo computacional, el método de elementos finitos y método de
elementos de contorno han dominado el campo de la predicción, en cuanto a
difusores se refiere. El método de FDTD era usado originalmente para solucionar
las ecuaciones de Maxwell y predecir el comportamiento de los campos eléctricos
y magnéticos; hasta que Meloney y Cummings adaptaron el método para la
solución de problemas acústicos en el año 1995 [5]. El método se ha ido
popularizando debido a que es relativamente sencillo y preciso. En el año 2001 se
consiguió utilizar el método para modelar la reflexión y la difracción de ondas
sonoras sobre diferentes superficies, con el propósito de obtener una visualización
de éstos fenómenos que facilitara su entendimiento [6]. En el 2002 el método se
utilizó para la síntesis de fuentes sonoras básicas como una cuerda vibrante, lo
cual ha probado ser exitoso; sin embargo, se obtuvo el mismo sonido “sintético”
que se obtendría utilizando otros métodos, por lo que se ha planteado que sería
beneficioso modelar el instrumento completo para obtener un sonido más natural
[7]. Existen diferentes formas de implementar un modelo de FDTD, las cuales
varían en el número de puntos utilizados para actualizar la fórmula contenida en
un punto del dominio discretizado; el esquema estándar de salto de rana utiliza 6
puntos, el octaedral utiliza 8 puntos y un grupo de esquemas que son llamados
“interpolados” los cuales utilizan hasta 26 puntos. En el 2009 se realizó un estudio
16
comparando estos diferentes esquemas mediante la simulación 3D de un recinto
lo cual demostró que aumentar el número de puntos, incrementa la precisión del
modelo [8]. En el año 2010 se realizó la auralización en tiempo real de un recinto
utilizando FDTD con posibilidad de agregar varias fuentes a la simulación y mover
el receptor. Se concluyó que esto era posible para un recinto de 100 𝑚3 hasta una
frecuencia de 1.5 kHz y con un error de dispersión del 10% [9]. La industria
automotriz también ha utilizado FDTD para modelar la propagación del bajas
frecuencias dentro de un automóvil; sin embargo, las simulaciones han probado
ser precisas solo para frecuencias cuya longitud de onda es comparable al tamaño
del automóvil por lo que se consideró que éstas solo podrían ser utilizadas como
estudio preliminar y que era necesario realizar mediciones para poder estudiar
este fenómeno [10]. Son muchas las aplicaciones y estudios que se han realizado
utilizando FDTD, la simulación de difusores para determinar su coeficiente de
difusión y dispersión se ha visto favorecido debido a las mejoras que el método a
sufrido a través de los años y hoy en día es un método sólido y preciso que
permite estudiar estos fenómenos acústicos con mayor facilidad.
4. MARCO TEÓRICO
4.1 Difusión
La difusión es el fenómeno físico que ocurre cuando una onda sonora se
encuentra con un obstáculo reflectante el cual causa que dicha onda se disperse
en múltiples direcciones variando así, dependiendo de la superficie, su nivel de
presión sonora (NPS) con respecto al ángulo de reflexión. La dispersión no ocurre
solamente en el dominio de la frecuencia sino también en tiempo. La difusión
como parámetro acústico en recintos tales como teatros y salas dedicadas a la
música o palabra hablada, influye directamente sobre la calidad del sonido
percibido. Al haber alta uniformidad del sonido reflejado, se evita tener ecos
flotanes y reflexiones especulares. Cuando el sonido directo se suma con la
reflexión especular se genera un fenómeno conocido como filtro peine. Las
diferencias de tiempo entre el sonido directo y la reflexión determinan el espaciado
entre los máximos y mínimos. Este fenómeno causa irregularidad al escuchar en
salas de concierto y salas de escucha crítica. Cuando se combina el sonido directo
con las reflexiones difusas se evita la periodicidad del filtro peine y se reduce la
variación entre niveles. Además al implementar difusores se mantiene el nivel la
energía sonora a diferencia de si se implementa material absorbente, lo cual es
ideal para las salas mencionadas anteriormente [11]. En la Figura 2 se muestra
como se representan las reflexiones difusas de manera visual. Además se
17
muestra la dispersión tanto angular como temporal, seguida de una respuesta
polar.
Figura 2. Características temporales y espaciales de las superficies difusas [11].
4.1.1 Difusor de Schroeder
El difusor de QRD Schroeder, o difusor de residuo cuadrático por sus siglas en
inglés, se encarga de difundir la energía acústica en una manera predecible. Este
tipo de difusor presenta ciertas variaciones las cuales le dan la habilidad de
generar esparcimiento de la energía acústica en una dimensión o en varias. Para
una dimensión, el difusor consiste en una serie de aperturas con el mismo ancho,
pero diferentes profundidades. Estas aperturas son dadas por una secuencia
numérica matemática, la cual se denomina secuencia de residuo cuadrático. Las
ondas que se reflejan sobre la superficie tendrán en teoría la misma magnitud pero
diferente fase debido al tiempo que les toma llegar al fondo de cada apertura del
difusor. La distribución polar de las reflexiones será determinada entonces por la
profundidad asignada a cada apertura. En la Figura 3 se muestra la sección
transversal de un difusor QRD de Schroeder de una dimensión, donde w es el
ancho de la apertura y dn la profundidad de esta. [11].
Difusión Reflexiones
difusas
Tiempo
Respuesta polar
18
Figura 3. Sección transversal de un difusor de Schroeder de una dimensión [11].
4.1.2 Coeficiente de difusión
Durante la historia se han usado elementos que contribuyen al esparcimiento de la
energía acústica en salas ya sea de manera consciente o inconsciente, pero la
investigación sobre qué tan efectivos sean estos ha sido cuestión de estudio de
las últimas décadas. Para esto se han desarrollado métodos que miden qué tan
eficiente es un elemento para esparcir la energía acústica. Por esto es imposible
diseñar los difusores efectivamente si no se sabe cómo será su respuesta ante la
excitación acústica. La manera principal para expresar el comportamiento de un
difusor es mediante respuestas polares en frecuencia. Estas respuestas polares
dicen mucho sobre cómo una superficie refleja el sonido, conteniendo así una gran
cantidad de información. Se requiere entonces de una respuesta polar diferente
por cada banda de frecuencia evaluada. [11].
Por cuanto se necesita saber cómo es la calidad de la energía esparcida por los
difusores se definieron dos coeficientes los cuales son el coeficiente de difusión y
el coeficiente de scattering o esparcimiento. Vale resaltar que ambos son
diferentes.
El coeficiente de difusión (𝑑) es una medida de la uniformidad del sonido reflejado.
El fin de este coeficiente es el de dar un valor a los profesionales de la acústica
para comparar el desempeño de las superficies diseñadas para tratar diferentes
salas [4]. Mientras el coeficiente de scattering o esparcimiento (𝑠) Es la razón
entre la energía esparcida en una manera no especular con respecto a la energía
total reflejada. Este coeficiente es usado para caracterizar el esparcimiento que
genera una superficie en programas para el modelamiento de recintos[11].
Para poder saber qué tan efectivo es un difusor primero se necesita medir la
distribución de las reflexiones difusas de este, en forma polar. De esta distribución
19
se genera entonces un coeficiente de difusión dependiente de la frecuencia y es
evaluado en bandas de tercios de octava. De acuerdo con Trevor J. Cox y Peter
D’Antonio, la función que ofrece la menor pérdida de información a partir de las
respuestas polares es el coeficiente de autocorrelación[11]. Normalmente esta
función es usada para hallar la similitud entre una señal y la misma señal
retrasada; buscando similitudes en tiempo. Así mismo se puede implementar para
medir la similitud espacial de la energía esparcida, con un ángulo receptor. Si la
superficie refleja la energía de manera uniforme a todos los receptores, esta
obtendrá valores altos en la función de autocorrelación espacial. Sin embargo, si
concentra la energía esparcida en un solo sentido, se obtendrán valores bajos.
Como el objetivo es llegar a un solo valor de coeficiente de difusión, se obtienen
primero estos valores de autocorrelación y luego se hace un promedio. Todo este
procedimiento se hace a través de la siguiente ecuación [12]:
𝑑𝛹 =(∑ 10
𝐿𝑖10𝑛
𝑖=1 )2
− ∑ (10𝐿𝑖10)
2𝑛𝑖=1
(𝑛 − 1)∑ (10𝐿𝑖10)
2𝑛𝑖=1
(2)
la ecuación anterior calcula el coeficiente de autocorrelación de difusión para una
posición de fuente fija 𝑑𝛹, donde 𝐿𝑖 son un conjunto de valores de nivel de
presión sonora en decibeles de una respuesta polar, 𝑛 es el número de receptores
y 𝛹 es el ángulo de incidencia [11].
Usualmente en frecuencias bajas aumenta el coeficiente de difusión, por causa de
la dispersión de borde. Este aumenta a medida que disminuye la frecuencia, por
cuanto el borde actúa como una fuente puntual generando reflexiones difusas de
manera omnidireccional. Por ende se realiza una normalización de este coeficiente
para no generar malos entendidos, a pesar de que este fenómeno es físicamente
explicable. La siguiente ecuación muestra la normalización del coeficiente de
difusión por autocorrelación [12]:
𝑑𝛹,𝑛 =𝑑𝛹−𝑑𝛹,𝑟
1 − 𝑑𝛹,𝑟 (3)
donde 𝑑𝛹 y 𝑑𝛹𝑛, son los coeficientes de difusión, calculados mediante la
ecuación (2), para la muestra y la lámina reflectante. Esta última debe ser de las
mismas medidas a la muestra. Como se muestra en la ecuación (3) se realiza una
operación matemática de la cual resulta el coeficiente de difusión normalizado.
20
Puede que se obtengan valores negativos para frecuencias bajas, pero estos se
asumen entonces como cero [11].
4.2 Procesamiento digital de señales
Para lograr el análisis de la información obtenida de tanto las mediciones como la
simulación, se deben realizar operaciones en el dominio del tiempo y de la
frecuencia. Esto se debe a que se comienza a analizar la información desde que
se toman las respuestas al impulso en el dominio del tiempo a partir de las
variaciones de voltaje provenientes de las capturas realizadas por los micrófonos.
Posteriormente se debe analizar en el dominio de la frecuencia por cuanto las
respuestas polares varían dependiendo de la banda de frecuencia analizada.
4.2.1 La transformada rápida de Fourier (FFT)
La DFT es la base de la FFT y es usada para pasar una señal del dominio del
tiempo al dominio de la frecuencia y viceversa. Esto permite analizar el espectro
de una señal muestreada. Normalmente la señal de entrada tendrá valores reales,
pero siempre la salida valores complejos, por esto la salida se analizará en
amplitud y fase. La siguiente ecuación define la transformada discreta de Fourier
[13]:
𝑋(𝜔𝑘) ≜ ∑ 𝑥(𝑡𝑛)𝑒
𝑗𝜔𝑘 𝑡𝑛
𝑁−1
𝑛=0
𝑘 = 0, 1, 2, … ,𝑁 − 1
(4)
donde 𝑥(𝑡𝑛) es la amplitud de la señal de entrada en un tiempo (𝑡𝑛) en segundos,
(𝑡𝑛)es el instante de muestreo 𝑛 en segundos y además es un entero mayor a
cero. 𝑋(𝜔𝑘) representa el espectro de 𝑥 (siendo un número complejo), en la
frecuencia 𝜔𝑘. Entonces se puede afirmar que 𝜔𝑘 es Ω𝑘, es decir, la muestra
número 𝑘 en radianes por segundo. Cómo consiguiente Ω es 2𝜋 𝑁𝑇⁄ o el intervalo
de muestreo en radianes por segundo. Por ende 𝑓𝑠 es la frecuencia de muestreo
o 1 𝑇⁄ en muestras por segundo o Hertz y por último 𝑁 es el número de muestras
en tiempo o frecuencia [13].
La FFT es un algoritmo que se encarga de reducir el procesamiento requerido por
una computadora para su aplicación. Gracias éste, una DFT de 1024 puntos
puede ser ejecutada por una computadora del hogar. Lo que hace la FFT es
eliminar un número de operaciones redundantes realizadas por la DFT, agilizando
así el procesamiento al obtener un resultado. Por ejemplo, para una DFT de 8
puntos, habría que realizar 𝑁2 o 64 multiplicaciones complejas, mientras que para
21
una FFT de 𝑁 puntos, se realizarían aproximadamente (𝑁 2⁄ ) 𝑙𝑜𝑔2(𝑁) operaciones
[13]. En la Figura 4 se muestra gráficamente cómo se reduce el número de
multiplicaciones complejas en la FFT a comparación de la DFT.
Figura 4. Número de operaciones complejas en la DFT y en el algoritmo FFT radix-2 como función de N [13].
De acuerdo con Lyons, la FFT no es una aproximación de la DFT, son
exactamente iguales en sus características principales de desempeño [13].
4.2.2 Bandas de frecuencia
Con el fin de facilitar el análisis espectral de una señal, su contenido en frecuencia
es dividido en intervalos llamados bandas de frecuencia. Los intervalos más
usados para el análisis espectral son las bandas de octava y las de tercio de
octava las cuales obtienen su nombre del intervalo de frecuencias tomado. Estos
son obtenidos al aplicar filtros a la señal, lo cuales pueden ser caracterizados por
un ancho de banda (∆𝑓), una frecuencia central (𝑓𝑐) y dos frecuencias de corte:
inferior (𝑓1) y superior (𝑓2). Las frecuencias de corte para las bandas de octava y
de tercio de octava están determinadas por las ecuaciones (5) y (6)
respectivamente [14].
𝑓2 = 2𝑓1 (5)
𝑓2 = √23
𝑓1 (6)
Para calcular el nivel de cada banda se realiza una suma de niveles de presión
sonora como se demuestra en la ecuación (7).
𝐿 = 10𝑙𝑜𝑔 (∑10𝐿𝑖 10⁄
𝑁
𝑖=1
) (7)
22
donde N es el número de frecuencias contenidas dentro de la banda, 𝐿𝑖 es el nivel
de cada una de estas freceuncias y L es el nivel total de la banda [14].
4.2.3 Sistemas lineales discretos
El hecho que un sistema sea lineal quiere decir que la salida de este será la suma
o superposición de las salidas independientes, habiendo aplicado las entradas por
separado al sistema. Se debe cumplir entonces el principio de superposición, el
cual dice que si se tiene una entrada 𝑋1(𝑛) y esta resulta en una respuesta del
sistema 𝑌1(𝑛) y así mismo una entrada 𝑋2(𝑛) con su respuesta al sistema 𝑌2, para
que el sistema sea lineal la suma de las entradas debe resultar en la suma de las
salidas individuales. De la misma manera, si las entradas 𝑋1(𝑛) y 𝑋2(𝑛) son
escaladas por los factores constantes 𝐶1(𝑛) y 𝐶2(𝑛), las salidas correspondientes
serían escaladas por esos mismos factores, resultando en 𝐶1𝑌1(𝑛) + 𝐶2𝑌2(𝑛). Esta
última propiedad también es conocida como la propiedad de la homogeneidad
[15].
4.2.4 Sistemas invariantes en el tiempo
Este tipo de sistemas son aquellos en donde si se presenta un retraso en tiempo
en la entrada, a la salida ocurrirá un retraso equivalente. Por ejemplo, si se tiene
una entrada donde 𝑋′(𝑛) es una versión cambiada de la entrada original:
𝑋′(𝑛) = 𝑋(𝑛 + 𝑘) (8)
entonces, la salida será:
𝑌′(𝑛) = 𝑌(𝑛 + 𝑘) (9)
donde 𝑘 es algún entero que representa el retraso temporal. Si el sistema es
invariante en el tiempo, la expresión debe mantenerse para cualquier valor entero
de 𝑘 [15].
4.2.5 Respuesta al impulso
Una manera de caracterizar cualquier espacio acústico es mediante la respuesta
al impulso. Como su nombre lo indica, esta es la respuesta que se obtiene de un
sistema cuando la entrada es un impulso unitario; en el caso de la acústica, esto
equivale a excitar un espacio con un ruido impulsivo, y es representada como una
gráfica de presión contra tiempo. Hay varias maneras de generar dicho impulso,
por ejemplo mediante el disparo de una pistola o el estallido de una bomba de
caucho. La respuesta se mide entonces con un micrófono, el cual viene siendo el
receptor. Inicialmente llega el sonido directo al receptor, seguido de las reflexiones
23
que son atenuadas en nivel dependiendo de las características del recinto, como
lo es la absorción [15].
4.2.6 Señal barrido seno
La técnica consiste en: utilizar un barrido de frecuencias que se incrementa
exponencialmente en el tiempo, esto permite deconvolucionar la respuesta al
impulso lineal del sistema y para, selectivamente, separar cada respuesta al
impulso correspondiente a los órdenes de distorsión armónica considerados,
simultáneamente. Las distorsiones armónicas aparecen antes de la respuesta al
impulso lineal. Por lo tanto la respuesta al impulso lineal medida está exenta de
cualquier no linealidad y al mismo tiempo, la distorsión armónica a varios ordenes
puede ser realizada. En este trabajo de investigación compete únicamente la
respuesta al impulso lineal del sistema [16].
4.3 Medición de respuestas polares difusas
La caracterización del desempeño de un difusor es determinable haciendo tanto
una medición como una predicción de cómo la superficie reflejará las ondas
sonoras. Convenientemente la distribución espacial de la energía reflejada por un
difusor se puede observar mediante gráficas polares por bandas de tercio de
octava, para cierto ángulo de incidencia.
Se utiliza una fuente para generar la energía sonora que incidirá sobre la
superficie de muestra y micrófonos de medición para captar la respuesta al
impulso. Dependiendo si será una medición de un plano o una medición
hemisférica, los micrófonos cubrirán un semicírculo radialmente distanciado de la
muestra a caracterizar o un hemisferio. En este proyecto se utilizó el método del
semicírculo o método de plano límite, debido a que se va a medir un difusor
unidimensional; para este tipo de medición se utilizan idealmente 37 micrófonos de
zona de presión (PZM) separados por intervalos de 5° los cuales capturan 37
respuestas al impulso que son utilizadas para determinar el coeficiente di difusión.
El intervalo angular fue escogido debido a que varios estudios han demostrado
que provee la suficiente resolución para obtener un coeficiente de difusión certero,
sin complicar la medición con excesivos puntos de muestreo [2].
La razón por la cual se usan micrófonos PZM es por cuanto estos evitan que las
reflexiones provenientes del piso generen un efecto de peine en la información
capturada, pero según la norma BS ISO 17497-2 se puede usar también un
micrófono de medición cuya cápsula no debe estar separada de la superficie
reflectante, sobre la cual está apoyada, más de un cuarto de longitud de onda de
la frecuencia más alta a la que se vaya a medir [12].
24
4.3.1 Zona Especular
La zona especular es el área que está contenida por ciertas líneas imaginarias las
cuales son generadas por una fuente imagen. Esta es creada por una superficie
plana de referencia a través de los bordes de esta superficie, hacia el arco o
hemisferio receptor. Esto se puede ver claramente en la Figura 5 [12].
Figura 5. Zona especular generada a partir de una superficie plana de referencia
[12].
Donde 1 es la posición de la fuente, 2 la zona especular, 3 es la superficie plana
de referencia, 4 es la fuente imagen y 5 es el arco receptor.
4.3.2 Montaje para la medición de respuestas polares
Hay varias maneras de generar la señal que reproducirá la fuente. La más común
para este tipo de medición es la respuesta al impulso por señal MLS (Secuencia
de máxima longitud), aunque también se ha medido con el barrido seno y otras
señales que generan resultados parecidos. Si el difusor distribuye la energía en un
plano o de manera hemisférica afectará directamente la complejidad de la
medición. Cuando hay difusión en un plano se implementa comúnmente la
medición de plano límite como se muestra en la Figura 6.
25
Figura 6. Montaje para la medición del coeficiente de difusión por el método del plano límite [11].
Una vez son capturadas las respuestas al impulso por los micrófonos, se utilizan
compuertas temporales para separar las reflexiones del sonido incidente. A través
del uso del procesamiento digital de señales se deconvoluciona la respuesta de la
muestra mediante una transformada inversa de Fourier, la cual se muestra en la
siguiente ecuación [11]:
ℎ4 = 𝐼𝐹𝑇 (
𝐹𝑇(ℎ1(𝑡) − ℎ2(𝑡))
𝐹𝑇(ℎ3 (𝑡))) (10)
donde ℎ3 (𝑡) es la respuesta al impulso denominada parlante-micrófono, donde se
coloca la fuente en la posición de la muestra y se angula de tal manera que quede
en eje con el micrófono correspondiente, así se repite el procedimiento para cada
ángulo de medición. A continuación se coloca nuevamente el parlante en la
posición de fuente y se realizan las respuestas al impulso secuencialmente para
cada ángulo de medición, una ventana temporal se aplica para aislar las
reflexiones, obteniendo así la respuesta al impulso de fondo sin muestra, llamada
ℎ2(𝑡). Se coloca entonces la muestra en su posición y se repite el procedimiento
para obtener la respuesta al impulso de fondo con la muestra ℎ1(𝑡). Cabe resaltar
que la información se toma en intervalos de 5°. Por último para este procedimiento
se deconvoluciona la respuesta de la muestra con la ecuación (10), donde 𝐹𝑇 e
𝐼𝐹𝑇 son la transformada de Fourier y la transformada inversa de Fourier
respectivamente. La información obtenida es posteriormente procesada, como se
indica en la sección 6.2.5, para conseguir así las respuestas polares y por último el
coeficiente de difusión [11].
26
Además, para obtener el coeficiente de difusión direccional se requiere del
cumplimiento de ciertos parámetros establecidos por la norma BS ISO 17497-2.
Los parámetros son los siguientes: el cumplimiento de la ley del inverso cuadrado
desde el punto en que se coloca la fuente hasta el difusor, la relación señal a ruido
de 40 dB para que la información capturada por los receptores sea acertada y
además no puede haber una variación mayor a 2dB en el lugar dónde será
colocada la muestra [12].
4.4 Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo
En el campo de la acústica, existen diferentes métodos de predicción que pueden
ser agrupados en dos clases en el dominio del tiempo y en el dominio de la
frecuencia [17]. En este proyecto se realiza el modelo de un solo difusor por lo
tanto se utilizará un modelo en el dominio del tiempo conocido como Finite
Difference Time Domain o diferencias finitas en el dominio del tiempo (FDTD).
Este modelo fue desarrollado para realizar simulaciones de electromagnetismo y
con el paso del tiempo fue acogido por el campo de la acústica.
En el campo del electromagnetismo este modelo es utilizado para resolver las
ecuaciones de Maxwell y simular el comportamiento de campos magnéticos y
eléctricos. En el campo de la acústica este método se adaptó utilizando las
ecuaciones (11) y (12) las cuales se conocen con el nombre de la ecuación de
continuidad y conservación del momentum respectivamente [11].
𝜕𝑝
𝜕𝑡+
(∇ 𝑢)
𝐾𝑒= 0 (11)
∇ 𝑝 + 𝜌0
𝜕𝑢
𝜕𝑡= 0 (12)
donde p es la presión sonora, 𝑢 = (𝑢𝑥 , 𝑢𝑦) es la velocidad de partícula, 𝜌0 es la
densidad del medio y 𝐾𝑒 es la compresibilidad adiabática del medio, también
conocida como el módulo de Bulk. Estas ecuaciones pueden ser reescritas de la
siguiente manera.
𝜕𝑝
𝜕𝑡+
1
𝐾𝑒(𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥+
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦) = 0 (13)
27
𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝜌0
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑡= 0 (14)
𝜕𝑝
𝜕𝑦+ 𝜌0
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑡= 0 (15)
En el método de FDTD se utilizan ecuaciones de diferencia central, esto implica
que las ecuaciones (11) y (12) sean expresadas de la siguiente forma [11]:
𝑝𝑖,𝑗
𝑛+∆𝑡2 = 𝑝
𝑖,𝑗
𝑛−∆𝑡2 −
1
𝐾𝑒(𝑢𝑥
𝑖+∆𝑥2
,𝑗
𝑛 − 𝑢𝑥𝑖−∆𝑥
2,𝑗
𝑛
∆𝑥+
𝑢𝑦𝑖,𝑗+∆𝑦
2
𝑛 − 𝑢𝑦𝑖,𝑗−∆𝑦
2,𝑗
𝑛
∆𝑦)∆𝑡 (16)
𝑢𝑥𝑖+∆𝑥
2,𝑗
𝑛+∆𝑡 = 𝑢𝑥𝑖+∆𝑥
2,𝑗
𝑛 −1
𝜌0(𝑝𝑖+∆𝑥,𝑗
𝑛+∆𝑡2 − 𝑝
𝑖,𝑗
𝑛+∆𝑡2
∆𝑥)∆𝑡 (17)
𝑢𝑦𝑖,𝑗+∆𝑦
2
𝑛+∆𝑡 = 𝑢𝑦𝑖,𝑗+∆𝑦
2
𝑛 −1
𝜌0(𝑝𝑖,𝑗+∆𝑦
𝑛+∆𝑡2 − 𝑝
𝑖,𝑗
𝑛+∆𝑡2
∆𝑦)∆𝑡 (18)
donde el índice superior de cada variable indica su ubicación temporal y el inferior
es su ubicación espacial. Estas ecuaciones son el resultado de cada derivada
como la ecuación de la pendiente de una recta, la cual representa un
desplazamiento temporal (∆𝑡) y espacial (∆𝑥, ∆𝑦) de la presión y la velocidad de
partícula. La Figura 7 demuestra cómo se encuentran ubicados los campos de
presión y velocidad de partícula en dos dimensiones calculadas en un instante de
tiempo utilizando las ecuaciones anteriores.
28
Figura 7. Posición de la presión y la velocidad de partícula en un dominio discretizado [11].
Estas ecuaciones son resueltas en lo que se conoce como salto de rana; esto
significa que la presión y la velocidad de partícula son halladas a partir de valores
anteriores de estas mismas.
4.4.1 Estabilidad del modelo
Para lograr una simulación que provea resultados precisos es necesario tener en
cuenta el número de intervalos temporales necesarios para describir la
propagación de la onda. Estos intervalos están relacionados con los intervalos
espaciales, la relación está dada por el número de Courant (s), cuya expresión, en
dos dimensiones, se puede observar en la ecuación (19) [11].
𝑠 = 𝑐∆𝑡√(1
∆𝑥)2
+ (1
∆𝑦)2
≤ 1 (19)
Al mismo tiempo los intervalos espaciales deben ser mucho menores que la
longitud de onda más corta que se desea simular.
4.4.2 Condiciones de frontera
Las condiciones de frontera en las simulaciones numéricas basadas en la
ecuación de onda, se implementan con el fin de minimizar las reflexiones de los
bordes del dominio computacional para así de describir el comportamiento de las
ondas elásticas en un dominio infinito, utilizando un dominio finito [18]. Esta región
delimitada es conocida como el interior y es la que contiene la muestra que se
desea simular; el resto del dominio es conocido como exterior. Es necesario tener
29
en cuenta las consecuencias que tiene el dominio exterior sobre el interior; si el
exterior es un dominio sin ningún tipo de fuentes, entonces el dominio interior se
toma como un espacio anecoico, lo que significa que tiene condiciones
absorbentes en sus extremos. Existen diferentes métodos de implementar estas
condiciones; en este caso se utiliza el método de las capas perfectamente
acopladas (PML por sus siglas en inglés) [19].
Este método consiste en darle al dominio exterior la misma impedancia
característica que al medio interior, evitando reflexiones en el punto donde estos
se cruzan; también se delimitan ciertas áreas que tienen un factor de absorción
extra, cerca del límite del dominio interior, como se observa en la Figura 8.
Figura 8. Estructura de un PML bidimensional con una muestra de prueba en el medio [11].
El factor de absorción agregado hace que cambien las ecuaciones (13), (14) y
(15), como resultado quedan de la siguiente forma.
𝜕𝑝𝑥
𝜕𝑡+ 𝛾𝑥𝑝𝑥 +
1
𝐾𝑒(𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑥) = 0 (20)
𝜕𝑝𝑦
𝜕𝑡+ 𝛾𝑦𝑝𝑦 +
1
𝐾𝑒(𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑦) = 0 (21)
30
𝜕𝑝
𝜕𝑥+ 𝜌 (
𝜕𝑢𝑥
𝜕𝑡+ 𝛾𝑥𝑢𝑥) = 0 (22)
𝜕𝑝
𝜕𝑦+ 𝜌(
𝜕𝑢𝑦
𝜕𝑡+ 𝛾𝑦𝑢𝑦) = 0 (23)
El factor de atenuación 𝛾 está dado por la expresión (24). [5]
𝛾𝑥 = 𝛾𝑥 𝑚𝑎𝑥 |
𝑥 − 𝑥0
𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥0|𝑛
(24)
donde 𝑥0 es el punto inicial en la PML, 𝑥𝑚𝑎𝑥 es el último punto, n es un número
entre 2 y 3, y 𝛾𝑚𝑎𝑥 es máximo valor del factor de atenuación [11].
4.4.3 Fuente
La fuente es agregada en uno de los nodos que conforman la malla; esto quiere
decir que éste no se comportará de acuerdo a las ecuaciones de actualización
(16), (17) y (18) sino que será controlado por una función externa. Hay diferentes
tipos de fuentes, sin embargo comúnmente se utiliza el pulso Gaussiano debido a
su amplio rango de frecuencias. Como su nombre lo indica este tipo de pulso es
generado utilizando un filtro Gaussiano, cuya respuesta al impulso está dada por
la ecuación (25) [20].
𝑔(𝑡) =
1
√2𝜋𝜎𝑒
−𝑡2
2𝜎2 (25)
donde 𝜎 determina el ancho del pulso y 𝑡 es el tiempo.
El reemplazar las ecuaciones de actualización por una función externa hace que el
nodo se comporte como una fuente rígida; esto significa que las ondas incidentes
sobre éste serán reflejadas; como consecuencia de esto, el campo resultante en el
dominio es una combinación de las reflexiones en el difusor y en la fuente. El
objetivo de este modelo es predecir el comportamiento del campo acústico
generado por las reflexiones en el difusor; por este motivo, cualquier alteración del
campo debe ser evitada. Para solucionar este problema; es necesario que el nodo
de la malla controlado por la función externa vuelva a ser controlado por las
ecuaciones de actualización, antes de que la onda reflejada incida sobre éste; sin
embargo, en diferentes ocasiones esta solución puede resultar demasiado
31
restrictiva y se utiliza una solución alternativa conocida como una fuente
transparente [21].
La fuente transparente está definida como una fuente que radia el mismo campo
que una fuente rígida pero que no dispersa la energía de las ondas que chocan
con ésta [21]. Si el nodo de la malla donde se encuentra la fuente posee las
mismas propiedades que los demás puntos, la energía incidente no se dispersará
al chocar con éste. Siguiendo esta condición, el valor del nodo donde está
contenida la fuente estaría dado por la suma entre el valor retornado por las
ecuaciones de actualización y el valor generado por la función externa, el
problema radica en que el campo radiado por este nodo es una versión filtrada del
campo radiado por la función externa original. El método para solucionar este
problema consiste en tomar la respuesta al impulso de la malla utilizando las
ecuaciones de actualización, es decir, sin la función externa en el nodo de la
fuente, y convolucionarla con la función externa, como resultado se obtiene la
expresión (26) [21].
𝑝𝑛+1(𝑟𝑠𝑟𝑐) = 𝑝𝑖,𝑗
𝑛−∆𝑡2 −
1
𝐾𝑒(𝑢𝑥
𝑖+∆𝑥2
,𝑗
𝑛 − 𝑢𝑥𝑖−∆𝑥
2,𝑗
𝑛
∆𝑥+
𝑢𝑦𝑖,𝑗+∆𝑦
2
𝑛 − 𝑢𝑦𝑖,𝑗−∆𝑦
2
𝑛
∆𝑦)∆𝑡 + 𝑓𝑛+1
− ∑ 𝐼𝑁𝑛−𝑚+1𝑓𝑚
𝑛
𝑚=0
(26)
donde N es el número de dimensiones y 𝑟𝑠𝑟𝑐 es la ubicación de la fuente y f es la
función externa, en este caso, el pulso Gaussiano.
5. MEDICIÓN DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL
El desarrollo de este proyecto de investigación se llevó a cabo en diferentes
etapas para llegar a la comparación de los resultados medidos siguiendo las
indicaciones de la norma BS ISO 17497-2 y los resultados simulados mediante el
FDTD en dos dimensiones.
La medición se hizo con un micrófono RTA-M DBX el cual se conectaba a una
interfaz de audio Focusrite 2i4. El parlante Yamaha HS80 fue excitado con un
barrido seno generado con el módulo de Aurora encontrado en el software
Audacity 2.0. Las respuestas al impulso fueron generadas mediante la convolución
32
del barrido seno capturado con el barrido seno inverso generado con el mismo
módulo de Aurora. El procesamiento de estas respuestas al impulso se realizó en
el código de programación de Matlab. En el Anexo 1 se obtienen las gráficas
polares por tercios de octava para las frecuencias para las cuales fue diseñado el
difusor (1kHz-5kHz). Así mismo se obtiene el coeficiente de difusión para estas
mismas bandas de frecuencia.
5.1 Obtención del coeficiente de difusión direccional
Inicialmente se había planteado una medición en un coliseo, pero la ley del inverso
cuadrado no se cumplía para los 10 metros que eran requeridos. Por cuanto el
campo reverberante era muy alto. Por ende se sugirió realizar la toma de datos en
el parqueadero de la Universidad San Buenaventura sede San Benito. Se
realizaron mediciones de NPS para la ley del inverso cuadrado hasta que se
hallaron los resultados adecuados.
Posteriormente se decidió implementar el barrido seno para la medición de las
respuestas al impulso por cuanto la señal MLS (la cual es sugerida cómo la señal
óptima para este tipo de medición), conlleva a un largo tiempo de excitación de la
fuente [22]. La captura de estos datos fue realizada por un micrófono de medición
cuya cápsula estaba separada una distancia menor a un cuarto de la longitud de
onda más alta que se pretendía medir según lo aprueba la normativa internacional
en su anexo 3 nota 1. Exactamente la cápsula estuvo separada 0.9 cm de la
superficie reflectante y la frecuencia más alta que se tuvo en cuenta fue 6kHz,
siendo el cuarto de longitud de onda correspondiente de una medida de 14.3 cm.
Esta frecuencia limitante cumple con el rango en frecuencia para el cuál fue
diseñado el difusor y así mismo con el rango de la simulación.
El proceso de convolución para hallar las respuestas al impulso fue realizado la
aplicación libre Audacity 2.0 y su módulo de Aurora. Las convoluciones fueron
hechas de una manera manual y no automatizada, por esto se tuvo que ser muy
preciso para obtener los datos apropiados. Se realizaron por cada medición 75
convoluciones, 37 para la configuración de hallazgo de ℎ1, 37 para ℎ2 y 1 para ℎ3.
El barrido seno para h3 fue capturado una sola vez por cuanto sólo se usó 1
micrófono de medición [11].
Habiendo obtenido las respuestas al impulso se elaboró un código de
programación en Matlab el cual estaba encargado de toda la parte del
procesamiento para la obtención del coeficiente de difusión. Se comenzó por la
lectura automatizada de las respuestas al impulso. La Figura 9 muestra los pasos
33
que se siguieron para obtener el coeficiente de difusión direccional. Los detalles
de la medición se pueden visualizar en el Anexo A.1 y A.2.
Figura 9. Diagrama general de la metodología de la medición del coeficiente de difusión direccional y sus 3 etapas.
5.2 Resultados respuestas al impulso 𝒉𝟏 y 𝒉𝟐
En la Figura 11 se muestra la respuesta al impulso para el ángulo de 75° con el
difusor presente (ℎ1). El primer pico representa el sonido directo capturado por el
micrófono de medición, el segundo pico es el conjunto de reflexiones generadas
por el difusor, llegando aproximadamente 40ms después del anterior y la
información siguiente son reflexiones indeseadas del sitio de medición. La
34
amplitud de esta señal es el resultado de las variaciones de voltaje capturadas por
el micrófono de medición. La Figura 10 muestra la respuesta al impulso completa,
la cual va desde los 0s hasta los 8.5s. En la Figura 11 se realizó un acercamiento
en la imagen para poder observar con más detalle las reflexiones del difusor.
Figura 10. Respuesta al impulso de h1 en la posición de micrófono de 75º.
Figura 11. Acercamiento hecho sobre respuesta al impulso de h1 con micrófono en 75º.
35
Figura 12. Respuesta el impulso de h2 en la posición de micrófono de 75º.
En la Figura 12 se exhibe la respuesta al impulso completa para ℎ2 en 75°.
Posteriormente se muestra en la Figura 13 un acercamiento para visualizar la
respuesta al impulso para la posición de micrófono correspondiente a 75° sin la
muestra presente (ℎ2). El primer pico representa el sonido directo capturado y se
ve claramente que no existe ningún pico alrededor de 8.4s. El resto de picos más
adelante representan las reflexiones propias del sitio de medición. Esta
información es utilizada para la atenuación de las reflexiones indeseadas para
concentrar la obtención de resultados únicamente a las reflexiones provenientes
del difusor.
Figura 13. Respuesta al impulso de h2 en la posición de micrófono de 75º.
36
Para que el procesamiento se realizara únicamente a las reflexiones provenientes
del difusor, se implementó una ventana rectangular la cual se encargó de eliminar
cualquier otra reflexión que no fuera de interés.
Se decidió implementar una ventana rectangular de 221 muestras o 5ms, después
de llevar a cabo una inspección visual. Se corroboró la inspección, por cuanto se
esperaba que la primera reflexión del difusor llegaría alrededor de 45ms después
del sonido directo.
5.3 Resultados gráficas polares medición con fuente a 60°
El procesamiento de los datos se hizo en Matlab en un código de programación
cuyo diagrama de flujo es mostrado en la Figura 9. Se partió del almacenamiento
de las respuestas al impulso para luego aplicar la ventana rectangular,
posteriormente se realizó la transformada de Fourier, por cuanto se necesita
conocer el contenido en frecuencia de las respuestas al impulso. Luego se siguió
el procedimiento con la ecuación (10) para hallar la respuesta de la muestra
deconvolucionada. Es decir, se divide el ℎ3 (respuesta al impulso
parlante/micrófono), por la resta de ℎ1 y ℎ2. Esto evita que los micrófonos de
medición y la fuente tengan influencia sobre los resultados de la muestra [11].
En la Figura 14 se muestran las gráficas polares del difusor resultantes para 630
Hz, 1 kHz, 2.5 kHz, y 5 kHz respectivamente. Estos datos fueron normalizados
dividiendo todos los valores obtenidos tanto de la lámina como del difusor por el
valor más alto, por tanto se observa que la escala va desde -40 dB hasta 0 dB. El
procedimiento para llegar a estas respuestas polares es el mismo tanto para la
medición, como para la simulación; y es explicado en la seccion 6.2.5.
Posteriormente en la Figura 15 se muestran las respuestas polares obtenidas de
la medición de la lámina reflectante. Siendo estas las respuestas normalizadas.
37
Figura 14. Comportamiento polar del difusor conforme aumenta la frecuencia, con la fuente colocada a 60º.
Figura 15. Comportamiento polar de la lámina reflectante conforme aumenta la frecuencia, con la fuente colocada a 60º.
38
En la Figura 16 se muestra la comparación entre la respuesta polar de la lámina y
la del difusor para las frecuencias 630 Hz, 1kHz, 2.5 kHz, 5 kHz y 8 kHz. Cada una
de estas gráficas fueron normalizadas siendo el valor más alto 0 dB y el menor
valor -40 dB, haciendo continuidad a las figuras anteriores.
Figura 16. Gráficas polares que representan la respuesta del difusor (azul) y la lámina (rojo) desde 0º a 180º. La escala va desde -40dB a 0dB. Respuestas
obtenidas con la fuente colocada a 60º.
39
5.4 Resultados gráficas polares medición con fuente a 120°
A continuación en la Figura 17 se muestran respuestas polares obtenidas del
difusor para 630 Hz, 1 kHz, 2.5 kHz, y 5 kHz respectivamente. Estos datos fueron
normalizados y por tanto se observa que la escala va desde -40 dB hasta 0 dB.
Posteriormente en la Figura 18 se muestran las respuestas polares obtenidas de
la medición de la lámina reflectante. Siendo estas las respuestas normalizadas, la
escala va desde -40 dB hasta 0 dB.
Figura 17. Comportamiento polar del difusor a 120º conforme aumenta la frecuencia.
40
Figura 18. Comportamiento polar de la lámina a 120º conforme aumenta la frecuencia.
En la Figura 19 se enseñan las respuestas polar de la lámina y la del difusor para
las frecuencias 630 Hz, 1 kHz, 2.5 kHz, 5 kHz y 8 kHz. Cada una de estas gráficas
fueron normalizadas siendo el valor más alto 0 dB y el menor valor -40 dB,
haciendo continuidad a las figuras anteriores.
41
Figura 19. Gráficas polares que representan la respuesta del difusor (azul) y la lámina (rojo) desde 0º a 180º. La escala va desde -40dB hasta 0dB.
5.5 Resultados coeficientes de difusión
En las Figuras 20 y 21 se representan los coeficientes de difusión direccionales
obtenidos de las mediciones con la fuente a 60° y a 120°, haciendo diferentes
visualizaciones para facilitar la comparación entre estas. Inicialmente en la figura
20 se enseñan los coeficientes de difusión direccionales del difusor, la lámina y el
difusor normalizado para 60°. En la Figura 21 se encuentran los resultados de la
medición de 120°. En la Figura 22 se hace la comparación entre los coeficientes
obtenidos en 60° y 120° para tanto difusor, como lámina reflectante. En la Figura
23 se exponen los coeficientes de difusión direccionales normalizados
correspondientes a 60° y 120°.
42
Figura 20. Coeficiente de difusión direccional con fuente colocada en 60º.
Figura 21. Coeficiente de difusión direccional con fuente colocada a 120º.
43
Figura 22. Comparación entre coeficiente de difusión direccionales correspondientes a 60º y 120º.
Figura 23. Comparación entre el coeficiente de difusión direccional del difusor normalizado en 60º y 120º.
44
5.6 Discusión resultados coeficiente de difusión direccional a 60° y 120°
Como se puede observar en la sección 5.1, se encuentran las imágenes de la
respuesta al impulso de ℎ1 y ℎ2. La ventana temporal implementada para la
reducción de la información de las reflexiones del difusor fue probada inicialmente
con diferentes anchos. Se observó que los resultados eran más lógicos cuando
tendíamos a valores cercanos a los 5ms o 221 muestras. Esto permite visualizar
que el difusor unidireccional no sólo causa una dispersión angular en frecuencia
sino también una dispersión temporal. Ahora bien, en la Figura 13 que contiene la
información propia del recinto dónde se realizó la medición se puede ver cómo no
existe el segundo pico que claramente se ve en la Figura 12. Este pico representa
entonces las reflexiones del difusor. El primer pico es el sonido directo y los demás
corresponden a las paredes que limitan este sitio de medición. Para lograr analizar
todas las respuestas al impulso halladas se requiere que los vectores que
contienen las respuestas al impulso tengan la misma longitud.
Continuando con la inspección de las gráficas polares que se muestran en la
sección 5.2, se puede decir que las mediciones muestran resultados esperados
debido a que se comportan de acuerdo a la ley de Snell. Debido a que la fuente
fue colocada en 60° en la primera medición, la respuesta polar de tanto el difusor
como la lámina reflectante presentan un claro direccionamiento de la energía
sonora hacia el ángulo especular, es decir 120°. En la Figura 14 se ve cómo al
aumentar la frecuencia el lóbulo se hace cada vez más estrecho hacia la dirección
especular. En las gráficas polares de la lámina este lóbulo es aún más angosto,
permitiendo predecir que su coeficiente de difusión será más bajo en comparación
al del difusor. A medida que la frecuencia disminuye se vuelve más uniforme la
distribución de la energía en la respuesta polar de tanto la lámina reflectante como
el difusor. Esto es explicable por cuanto a frecuencias bajas ocurre lo que se llama
dispersión de borde. Esta dispersión indica que a medida que disminuye la
frecuencia el coeficiente de difusión aumenta, por cuanto la muestra actúa en los
bordes como una fuente puntual dispersando la energía sonora de manera
omnidireccional [11].
Al comparar en la sección 5.3, las respuestas polares de la lámina reflectante en
5kHz se puede observar, además del lóbulo cerrado hacia el ángulo especular, un
pequeño pico en 70° y en 110° respectivamente para la Figura 15 y 18
correspondientes a la medición en 60° y 120° respectivamente. Esto nos permite
decir que la medición posee resultados lógicos, dado que la muestra utilizada es
simétrica. Además, a medida que baja la frecuencia se pueden observar
comportamientos similares y simétricos para ambas mediciones. Se excluye la
45
posibilidad que la fuente y el micrófono de medición estén causando estas
diferencias de nivel por cuanto en el procesamiento de la información se están
dividiendo las reflexiones del difusor por la respuesta parlante/micrófono. A esto se
le llama deconvolución de la función de transferencia del equipamiento de
medición. Esto causa que se obtengan resultados imparciales [23].
Si se visualiza la Figura 20, se ve cómo el coeficiente de difusión de la lámina
reflectante disminuye a medida que incrementa la frecuencia, pero en cuanto baja
la frecuencia se encuentra el efecto de dispersión de borde. Este efecto es
físicamente comprobable, pero tiende a llevar a la confusión de acuerdo con
Trevor J. Cox y Peter D’Antonio [11]. Por ende se calculó el coeficiente de difusión
normalizado. Esto permite ilustrar la frecuencia en la cual la difusión comienza
realmente. Si se observa la Figura 20, la cual muestra los coeficientes de difusión
direccional de la medición en 60°, se determina claramente que el rango para el
cual fue diseñado el difusor posee efectivamente un coeficiente más alto. A partir
de los 1000 Hz empieza un incremento de alrededor de 0.15 hasta llegar a la
banda de 1250 Hz. Continúa de manera estable hasta la banda de 5000 Hz donde
ya inicia una disminución progresiva. Además de esto, se logra visualizar cómo al
normalizar el coeficiente de difusión direccional del difusor con el de la lámina,
resulta una línea en la cual se ve la atenuación en frecuencias bajas que se
buscaba. En general logra también disminuir el coeficiente de difusión, pero
manteniendo su tendencia original.
Al detallar la Figura 22, la cual muestra la diferencia entre los coeficientes de
difusión direccionales de 60° y 120°, se puede decir que la misma tendencia se
sigue tanto para la línea de la lámina como para la del difusor. Si se continúa
examinando la Figura 22 donde se tiene la comparación entre coeficientes de
difusión direccionales, se observan la mayoría de discrepancias sobre todo a alta y
baja frecuencia. Si se analiza por ejemplo la banda de frecuencia de 2500 Hz y
5000 Hz, en las curvas del difusor a 60° y 120°, la diferencia de coeficientes no es
mayor a 0.01. En las curvas de la lámina la diferencia es alrededor de 0.02 para
estas mismas bandas de tercios de octava. La disimilitud de valores entre
coeficientes se puede atribuir al hecho que no se posee control sobre los factores
externos a la hora de la medición. La Figura 23 a continuación muestra cómo
efectivamente al normalizar los valores del difusor con la información obtenida de
la lámina, disminuye el coeficiente de difusión en frecuencias bajas.
46
6. PREDICCIÓN DEL COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL
Para la predicción del coeficiente de difusión se recreó el montaje de la medición
en un dominio virtual discretizado. Tanto las distancias entre la fuente, el difusor y
los receptores, como las dimensiones del difusor, son las mismas que las
utilizadas en la medición. El dominio virtual es un cuadrado de 23 m de lado y la
rejilla utilizada para la discretización está compuesta de celdas cuadradas con 8
mm en cada lado (dh). El tamaño de la rejilla equivale a una octava parte de la
longitud de onda perteneciente a la máxima frecuencia para la cual está diseñado
el difusor (5 kHz) como se observa en la expresión (27) y la fuente utilizada fue un
pulso gaussiano.
𝑑ℎ =
1
8(
343 𝑚𝑠
5000 𝐻𝑧) = 8,5 𝑚𝑚 (27)
Se necesitaron cuatro simulaciones para obtener el coeficiente: con el difusor, con
el dominio vacío, con la fuente en la ubicación del difusor y la última con una placa
reflectante. En lugar de micrófonos de medición se utilizó una matriz para capturar
la respuesta al impulso de cada una de las 37 posiciones de micrófono, estos
puntos serán referidos como receptores de ahora en adelante. En el diagrama de
la Figura 24 se observa el proceso realizado para obtener las respuestas al
impulso del difusor y la placa reflectante.
Figura 24. Proceso para hallar las respuestas al impulso con el difusor y la lámina reflectante.
La muestra mencionada en la Figura 24 hace referencia al difusor o a la placa,
para la respuesta al impulso con el dominio vacío se sigue el mismo proceso
omitiendo el diseño e inserción de esta y para obtener la respuesta fuente-receptor
se reubica la fuente en la posición de la muestra y se siguen los mismos pasos.
47
Se simuló un tiempo de 50 ms, lo suficiente para que la reflexión del difusor llegara
a todos los receptores y se utilizó un intervalo temporal de 16.5 µs, el cual
corresponde al número de Courant.
6.2.1 Definición de las condiciones del medio
En la tabla 1 se observan todas las constantes utilizadas para el algoritmo de
FDTD.
Tabla 1. Condiciones del medio utilizadas para la simulación.
Parámetro Valor Unidades
Velocidad del sonido [m/s] 343 [m/s]
Densidad del medio 1.21 [kg m3⁄ ]
Módulo de Bulk 1.42x105 [Pa]
6.2.2 Implementación de la fuente
Se utilizó una fuente Gaussiana para excitar el sistema, cuya respuesta al impulso
y respuesta en frecuencia pueden ser observadas en la Figura 25.
a) b)
Figura 25. a) Respuesta en frecuencia de la fuente. b) Respuesta al impulso de la fuente.
48
En la Figura 25 (a) de la respuesta en frecuencia se encuentran marcadas las
frecuencias superior e inferior, para las cuales está diseñado el difusor. La función
de la campana de Gauss fue escalada por un factor de 3 para incrementar la
energía en la banda de 5 kHz ya que la función original radiaba muy poca energía
en este rango de frecuencias, cosa que impedía hallar el coeficiente de difusión.
Se utilizó una fuente dura para excitar el sistema, la cual fue ubicada a una
distancia de 10 m del difusor, con un ángulo de 60º. En un principio se consideró
la opción de utilizar una fuente transparente para evitar reflexiones de ésta pero se
determinó que era innecesario puesto que sólo se necesita tomar los datos de la
reflexión generada por el difusor en cada receptor y el resto de la información es
eliminada por la ventana temporal; además, la simulación tiene un tiempo total de
duración de 50 ms, lo cual es suficiente para evitar que haya reflexiones de
segundo orden que alcancen los receptores.
6.2.3 Zona PML
El deber de la zona PML es actuar como un material absorbente para evitar
reflexiones de la onda cuando ésta llega al borde del dominio, para la simulación
se utilizó una PML de 2 m de ancho. La zona PML es totalmente libre de
reflexiones solo si se resuelve la ecuación de onda exactamente pero en un
dominio discretizado se obtiene una solución aproximada, por lo tanto, es
inevitable la presencia de reflexiones durante la simulación como se observa en la
Figura 26, la cual fue tomada en el instante en que acabó la simulación [14].
49
Figura 26. Reflexiones generadas con la zona PML utilizada.
Se puede observar en la Figura 26 que se generaron cuatro reflexiones de las
cuales solo dos alcanzaron los receptores antes de que se truncara la simulación.
Sin embargo, es poco probable que estas alteren los resultados de manera
considerable por tres motivos: su amplitud es cercana a cero, la ventana temporal
que se utiliza para aislar las reflexiones del difusor del resto de la información y la
resta realizada entre las respuestas al impulso con y sin el difusor; especificada en
la ISO 17497-2, que elimina el campo reverberante que haya quedado dentro de la
ventana temporal.
6.2.4 Implementación del difusor y la placa reflectante
El difusor fue implementado generando un área como se observa en la Figura 27
dentro del dominio, en la cual los componentes ‘x’ y ‘y’ de la velocidad de partícula
son 0 para que la onda incidente sea reflejada en su totalidad. Las dimensiones
del difusor tienen ligeras variaciones respecto a las dimensiones del difusor real
causadas por la discretización.
50
Figura 27. Dimensiones del difusor modelado.
La placa reflectante es un rectángulo de 11.2 cm x 40 cm y se implementó
utilizando el mismo principio para generar las reflexiones.
En la Figura 28 se muestra el difusor dentro del dominio acústico simulado. Se
realizó un zoom en este dominio para poder visualizar los límites de la muestra.
Figura 28. Difusor simulado en dominio reducido, por cuestiones de visibilidad. La barra de la izquierda indica los valores máximos con el color rojo y valores
mínimos con color azul.
51
6.2.5 Procesamiento de datos
Se siguió el mismo proceso realizado con los datos medidos como lo muestra el
siguiente diagrama.
Figura 29. Procesamiento de las respuestas al impulso simuladas.
Se toman las matrices de los receptores de cada simulación, se grafica la
respuesta al impulso para identificar el intervalo temporal donde se encuentra la
reflexión del difusor y se seleccionan las muestras superior e inferior de éste. Se
aplica una ventana rectangular para eliminar todo lo que este por fuera de estas
muestras y luego se restan las respuestas al impulso obtenidas con y sin el difusor
para eliminar las reflexiones que hayan quedado dentro de este intervalo y el
resultado se pasa al dominio de la frecuencia utilizando la FFT. Al mismo tiempo
se pasa al dominio de la frecuencia la respuesta fuente-receptor y esta es
deconvolucionada de los datos obtenidos de la FFT aplicada anteriormente,
utilizando la ecuación (2).
Con los datos de cada receptor en el dominio de la frecuencia, se realiza una
suma energética de todas las frecuencias pertenecientes a cada banda de tercio
de octava y el resultado se inserta en una nueva matriz. Se divide cada uno de los
elementos de la matriz resultante por el mayor de todos y el resultado se pasa a
decibeles relativos. Con los valores resultantes se trazan las gráficas polares
pertenecientes a cada banda de tercio de octava para observar el comportamiento
de las reflexiones generadas por el difusor y finalmente se realiza la normalización
con la placa reflectante para obtener el coeficiente de difusión direccional.
6.3 Resultados de la simulación
En esta sección se encuentran los resultados obtenidos de la simulación del
coeficiente de difusión con una fuente incidente a 60º del difusor. Se presenta la
misma información provista en la sección anterior para facilitar la comparación
entre ambos métodos.
52
6.3.1 Respuestas al impulso
En la Figura 30 se puede observar la respuesta al impulso obtenida por todos los
37 receptores con el difusor, con el dominio vacío y el resultado de la resta entre
ambos.
a) b)
c)
Figura 30. Respuesta al impulso de los 37 receptores. a) Con el difusor. b) Sin el difusor. c) Reflexión del difusor aislada después de aplicar la ventana temporal.
Como los receptores están todos a distancias diferentes de la fuente, se observa
que el sonido directo llega en un instante diferente a cada receptor; sin embargo,
la reflexión del difusor llega a todos los receptores al mismo tiempo y es fácil de
identificar.
53
6.3.2 Gráficas polares
A continuación se encuentran las gráficas polares obtenidas para las frecuencias
600 Hz, 1 kHz, 2.5 kHz, y 5 kHz con el difusor y con la placa reflectante.
Figura 31. Comportamiento de las ondas que inciden sobre el difusor con la fuente en 60º conforme aumenta la frecuencia.
Figura 32. Comportamiento de las ondas que inciden sobre la lámina con la fuente en 60º conforme aumenta la frecuencia.
54
a)
b)
c)
d)
55
e) f)
Figura 33. Comparación entre el comportamiento de la lámina y el difusor simulados. a) 630 Hz. b) 1 kHz. c) 1.25 kHz. d) 1.6 kHz. e) 2.5 kHz. f) 5 kHz.
6.3.3 Coeficiente de difusión direccional
En la Figura 34 se encuentran los resultados obtenidos del coeficiente de difusión
direccional para la placa reflectante y el difusor antes y después de la
normalización.
Figura 34. Coeficiente de difusión simulado.
6.4 Discusión de resultados
En las gráficas polares de la Figura 33 es posible observar la diferencia del
comportamiento entre la placa reflectante y el difusor. La placa reflectante
demuestra una zona especular en 120º, mientras que el difusor presenta una
distribución mucho más homogénea de la energía; sin embargo, es posible
observar que para las bandas de frecuencia de 1 kHz, 1.25 kHz y 1.6 kHz se
56
presenta un lóbulo de presión que se genera en la dirección de la fuente (60º), el
cual disminuye el coeficiente de difusión en este rango de frecuencias. La
diferencia entre el coeficiente del difusor y la placa reflectante es poca en
comparación a los resultados obtenidos en la medición y al realizar la
normalización se obtiene un resultado mucho más bajo. Como se mencionó en la
sección 8.2.3, las reflexiones generadas por los límites del dominio tienen
influencia mínima sobre los resultados, por lo tanto, este comportamiento solo
puede ser causado por la interacción de la onda incidente con el difusor.
En la Figura 35 se presenta una gráfica donde se realiza una comparación entre el
coeficiente de difusión direccional medido y simulado, después de realizar la
normalización con la placa.
a)
57
b)
Figura 35. Comparación entre el coeficiente de difusión medido y simulado. a) Difusor. b) Lámina reflectante.
Al inicio de este capítulo se mencionó que el tamaño de las celdas de la rejilla es
un octavo de la longitud de onda de la frecuencia de 5 kHz y cómo esto influencia
los intevalos de tiempo para hallar los valores de presión y velocidad de partícula.
Este método solo provee una solución aproximada de la ecuación de onda debido
a que en la realidad los valores de presión y velocidad de partícula son señales
análogas continuas; mientras que en la simulación son valores discretizados, de
utilizar valores mas pequeños para el tamaño de las celdas se pueden obtener
soluciones cada vez más aproximados a la ecuación de onda, permitiendo una
descripción mas exacta de su comportamiento; sin embargo, es evidente el motivo
por el cual es imposible obtener una solución perfecta de ésta. Debido a que el
tamaño de la rejilla depende de la longitud de onda mas corta, el método también
presenta limitaciones en frecuencia, ya que si se deseara simular altas frecuencias
altas el tiempo requerido para realizar la simulacion se extendería cada vez mas,
dependiendo de la capacidad de procesamiento del equipo utilizado.
Para el modelo del difusor se utilizó un método directo, haciendo cero la velocidad
de partícula cuando la onda incide sobre éste; sin embargo, existen diferentes
58
modelos que tienen en cuenta otras características como las condiciones de
impedancia y la absorción del difusor que permiten realizar un modelo del difusor
que se apega más a la realidad. La simulación demostró ser más influenciada por
la difracción por bordes lo cual ocasionó que el coeficiente de difusión de la lámina
incrementara en frecuencias por debajo de los 2 kHz, al realizar la normalización
entre el difusor y la placa, esto ocasionó que el coeficiente de difusión del difusor
disminuyera en este rango. En la Figura 36 se puede observar el coeficiente del
difusor simulado y medido antes de la normalización, el cual presenta una
tendencia más aproximada que el coeficiente normalizado en bajas frecuencias.
Figura 36. Coeficiente de difusión direccional del difusor sin normalizar.
La medición realizada también tuvo sus limitaciones debido a que se midió al aire
libre, por este motivo el montaje estuvo expuesto a corrientes de viento y el suelo
sobre el cual se realizó la medición no era perfectamente plano y reflectante como
lo especifica la norma; aun así, la tendencia obtenida en los resultados concuerda
con las expectativas que se tenían en un principio y el modelo realizado presenta
una tendencia similar.
59
7. CONCLUSIONES
Se realizó una medición del coeficiente de difusión direccional en las instalaciones
de la Universidad San Buenaventura siguiendo las indicaciones de la ISO 17497-
2; aunque no se realizaron en condiciones ideales, las mediciones con la fuente
ubicada a 60º y 120º demostraron tener una tendencia similar debido a que ambas
posiciones son iguales respecto a la normal del difusor; por lo tanto, es posible
concluir que el coeficiente de difusión obtenido bajo estas condiciones permite
realizar un análisis de su comportamiento en frecuencia.
Debido a las diferencias halladas entre la predicción y la medición del coeficiente
de difusión por debajo de los 2 kHz, se concluye que no se obtuvo resultados que
se apeguen a los estandares internacionales; sin embargo, la predicción presentó
resultados simlares a los medidos del coeficiente de difusión direccional del difusor
unidimensional, entre los 2 kHz y 5 kHz. Se estima que las principales causas de
las discrepancias se encuentran en la discretización del dominio y en el método
utilizado para el modelo del difusor.
8. TRABAJOS FUTUROS
Analizar el comportamiento de otros tipos de difusores unidimensionales como los
cilíndricos o a difusores bidimensionales para comprobar si el método de
simulación puede realizar una predicción más acertada con éstos. Teniendo en
cuenta que el proceso para los difusores bidimensionales es mucho más complejo,
debido a que el montaje de la medición es más complicado y requiere de
simulaciones mucho más extensas debido a que deben ser realizadas en un
espacio 3D.
Aún hace falta calibrar la predicción realizada utilizando el método de diferencias
finitas en el dominio del tiempo para lograr un código que pueda sustituir el
proceso de medición. Se podría utilizar un modelo del difusor que tenga en cuenta
las condiciones de impedancia de la muestra o realizar una simulación en 3D del
montaje para tener en cuenta el comportamiento de las reflexiones en el espacio.
60
9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] a. Pilch, T. Kamisiński, and M. Zastawnik, “Comparison of Pressure and Intensity Methods in Evaluating the Directional Diffusion Coefficient,” Acta Phys. Pol. A, vol. 123, no. 5, pp. 1054–1058, 2013.
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[3] T. Hargreaves, “Acoustic diffusion and scattering coefficients for room surfaces,” no. August, 2000.
[4] M. Vorländer and E. Mommertz, “Definition and measurement of random-incidence scattering coefficients,” Appl. Acoust., vol. 60, no. 2, pp. 187–199, 2000.
[5] J. G. Maloney and K. E. Cummings, “Adaptation of FDTD techniques to acoustic modeling,” 1995.
[6] S. Sakamoto, T. Seimiya, and H. Tachibana, “Visualization of sound reflection and diffraction using finite difference time domain method,” Acoust. Sci. Technol., vol. 23, no. 1, pp. 34–39, 2002.
[7] C. Erkut and M. Karjalainen, “Virtual strings based on a 1-D FDTD waveguide model: stability, losses, and traveling waves,” pp. 1–7.
[8] K. Kowalczyk and M. Van Walstijn, “Room acoustics simulation using 3-D compact explicit FDTD schemes,” IEEE Trans. Audio, Speech Lang. Process., vol. 19, no. 1, pp. 34–46, 2011.
[9] L. Savioja, “Real-time 3D finite-difference time-domain simulation of low- and mid-frequency room acoustics,” Proc Int Conf Digit. Audio Eff., pp. 1–8, 2010.
[10] A. Celestinos, M. Olsen, M. B. Møller, and M. Lydolf, “Car Interior Simulation Model for Low Frequencies using the Finite Difference Time Domain Method,” pp. 1–12, 2012.
[11] P. D’Antonio and T. J. Cox, Acoustic Absorbers and Diffusers: Theory, design and application, 2nd ed. Taylor & Francis, 2009.
[12] “ISO 17497-2: Sound-scattering properties of surfaces — Part 2 : Measurement of the directional diffusion coefficient in a free field.” 2012.
[13] A. V. Oppenheim and A. S. Willsky, Señales y Sistemas, 2nd ed. Prentice Hall, 1998.
[14] E. L. Hixsan and M. Moser, “Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control,” The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 116, no. 5. Springer, p. 2707, 2004.
[15] R. G. Lyons, “Understanding digital signal processing.” p. 552, 2004.
[16] G.-B. Stan, J.-J. Embrechts, and D. Archambeau, “Comparison of different
61
impulse response measurement techniques,” J. Audio Eng. Soc., vol. 50, no. 4, pp. 249–262, 2002.
[17] D. Buła and M. Lewandowski, “Comparison of frequency domain and time domain model of a distributed power supplying system with active power filters (APFs),” Appl. Math. Comput., 2014.
[18] R. Clayton and B. Engquist, “Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic wave equations,” Bull. Seismol. Soc. Am., vol. 67, no. 6, pp. 1529–1540, 1977.
[19] S. Thirunavukkarasu and M. N. Guddati, “Absorbing boundary conditions for time harmonic wave propagation in discretized domains,” Comput. Methods Appl. Mech. Eng., vol. 200, no. 33–36, pp. 2483–2497, 2011.
[20] L. J. Van Vliet, I. T. Young, and P. W. Verbeek, “Recursive Gaussian derivative filters,” Proceedings. Fourteenth Int. Conf. Pattern Recognit. (Cat. No.98EX170), vol. 1, no. August, pp. 509–514, 1998.
[21] J. B. Schneider, “Implementation of transparent sources embedded in acoustic finite-difference time-domain grids,” J. Acoust. Soc. Am., vol. 103, no. 1, p. 136, 1998.
[22] L. F. Conti, “Surface Scattering Uniformity Measurements in Reflection Free Environments,” Audio Eng. Soc. Conv. 121, pp. 1–11, 2006.
[23] P. W. Robinson, “A synthesized aperture goniometer for diffusion coefficient measurements.”
ANEXOS
A.1 INFORMES DE MEDICIÓN: COEFICIENTE DE DIFUSIÓN DIRECCIONAL
METODOLOGÍA
Las mediciones se realizaron conforme al estándar BS ISO 17497-2 del año 2012.
Equipos usados para la medición:
Monitor de estudio Yamaha HS80M
Interfaz de audio Focusrite Scarlett 2i4
Micrófono de medición dBX RTA-M
Computador Portátil (Reproducción de señal de Excitación y Captura de Audio proveniente del micrófono)
Sonómetro Blue Solo 01 DB Tipo 1 (serie 61845)
62
Flexómetro Como señal de excitación fue usado un barrido en frecuencia (Sweep) de 400 a 22000 Hz, reproducida con el monitor HS80M. Las señales capturadas por el micrófono de medición fueron generadas con el software Audacity 2.0, más específicamente por el módulo Aurora. Posteriormente la información capturada del barrido seno fue procesada por este mismo módulo de aurora para obtener la respuesta al impulso. El cálculo del coeficiente de difusión se halló mediante la ecuación de autocorrelación siguiendo el procedimiento indicado por la norma BS ISO 17497-2. La Figura 36 muestra el diagrama de configuración del equipo requerido para la medición y la Figura 37 el diagrama de flujo desde la captura hasta el procesamiento para obtener el coeficiente de difusión direccional.
Figura 37.Diagrama de configuración del equipo para la medición del coeficiente
de difusión direccional.
63
Figura 38. Diagrama de flujo para obtener el coeficiente de difusión direccional.
Planos del montaje y de la muestra:
La muestra a medir es un difusor unidimensional QRD como se muestra en la
Figura 38. Inicialmente fue diseñado para actuar más eficientemente en un rango
que va desde los 1000 Hz hasta los 5000 kHz.
64
Figura 39. Muestra a medir: difusor unidimensional QRD.
Figura 40. Planos de la muestra.
A.1.1 Coeficiente de difusión direccional 60° Fecha y hora de la medición: 16 de marzo del 2015; 10:00 pm – 2:00 am.
La medición se realizó en el parqueadero de la Universidad San Buenaventura
sede San Benito. Este lugar cumple con las condiciones de recinto dadas por la
norma internacional y por ende es adecuado para la obtención de datos. En la
Figura 40 se muestra el lugar de la medición.
65
Figura 41. Fotografía. Lugar de medición, fuente a 10m del difusor.
La medición fue realizada con la fuente a 10 metros del difusor y esta fue colocada
a 60° de la normal. Las posiciones de micrófono fueron en su totalidad 37, las
cuales fueron separadas cada 5° según recomienda la norma como resolución
mínima.
Figura 42. Planos de la medición. Los micrófonos fueron representados como circulos en azul, la fuente en rojo y el difusor en color verde.
Resultados
En la siguiente tabla se muestra el coeficiente de difusión direccional y el
direccional normalizado de la muestra medida. Así mismo se encuentran las
66
gráficas polares donde la línea azul muestra la respuesta polar del difusor y la
línea roja la respuesta polar de la lámina reflectante.
Tabla 1. Coeficiente de difusión de la muestra medida y gráficas polares donde la línea azul es la respuesta polar del difusor y la línea roja la de la lámina
reflectante.
630 Hz
Hz
67
68
Tabla 2. Coeficiente de difusión direccional del difusor, lámina y difusor normalizado.
Coeficiente de difusión direccional 60°
Frecuencia (Hz) Difusor Lámina Difusor normalizado
630 0,80 0,75 0,18
800 0,86 0,66 0,58
1000 0,87 0,65 0,64
1250 0,91 0,58 0,79
1600 0,84 0,50 0,68
2000 0,83 0,44 0,69
2500 0,81 0,41 0,67
3150 0,86 0,40 0,76
4000 0,80 0,35 0,69
5000 0,85 0,31 0,78
6000 0,81 0,31 0,73
8000 0,58 0,27 0,42
10000 0,50 0,24 0,34
12500 0,63 0,22 0,53
A.1.2 Coeficiente de difusión direccional 120°
Fecha y hora de la medición 13 de abril del 2015; 10:00 pm – 2:00 am.
La medición se realizó en el parqueadero de la Universidad San Buenaventura
sede San Benito. Este lugar cumple con las condiciones de recinto dadas por la
norma internacional y por ende es adecuado para la obtención de datos. En la
Figura 42 se muestra el lugar de la medición.
69
Figura 43. Fotografía. Lugar de medición, fuente a 10m del difusor.
La medición fue realizada con la fuente a 10 metros del difusor y esta fue colocada
a 120° de la normal. Las posiciones de micrófono fueron en su totalidad 37, las
cuales fueron separadas cada 5° según recomienda la norma como resolución
mínima.
Figura 44. Planos de medición. Los micrófonos fueron representados como círculos en azul, la fuente a 120º en rojo y el difusor en color verda.
70
Resultados
En la siguiente tabla se muestra el coeficiente de difusión direccional y el
direccional normalizado de la muestra medida. Así mismo se encuentran las
gráficas polares donde la línea azul muestra la respuesta polar del difusor y la
línea roja la respuesta polar de la lámina reflectante.
Tabla 3. Coeficiente de difusión de la muestra medida y gráficas polares donde la línea azul es la respuesta polar del difusor y la línea roja, la de la lámina relfectante.
1 kHz
71
1.25 kHz 1.6 kHz 2 kHz
2.5 kHz 3.15 kHz 4 kHz
5 kHz 6 kHz
8 kHz
72
Tabla 4. Coeficiente de difusión direccional del difusor, lámina y difusor normalizado.
Coeficiente de difusión direccional 120°
Frecuencia (Hz) Difusor Lámina Difusor normalizado
630 0,78 0,69 0,27
800 0,77 0,66 0,32
1000 0,82 0,63 0,51
1250 0,94 0,55 0,86
1600 0,90 0,50 0,79
2000 0,87 0,46 0,75
2500 0,82 0,43 0,68
3150 0,88 0,40 0,80
4000 0,82 0,38 0,71
5000 0,85 0,33 0,78
6000 0,85 0,29 0,79
8000 0,69 0,32 0,54
10000 0,62 0,25 0,50
12500 0,74 0,19 0,68
A.2 Código obtención de coeficiente de difusión direccional medido
siguiendo la norma ISO 17497-2 (2012)
clear all close all clc
%% Definición de Variables
theta=0:5:180; %Vector que contiene los ángulos thetar=theta*pi/180; %Vector de ángulos pasado a radianes fc=[630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6000 8000 10000 12500
16000 20000]; %Vector en frecuencia fs=44100; %Frecuencia de muestreo h3=wavread('H3'); %Lectura de la respuesta al impulso fuente/micrófono
%% LLenar Con Respuestas de Impulso
73
Muestra=1; aux=0; for i=0:5:180 aux=1+aux; H1(aux,:)=wavread(strcat('H1','_',num2str(i),'.wav')); H2(aux,:)=wavread(strcat('H2','_',num2str(i),'.wav')); end %Iteraciones realizadas para leer los audios de las respuestas al
impulso de h1 y h2
L=length(H2); %Vector de que define la longitud de h1, h2 y h3 (deben
tener la misma longitud) t=0:1/fs:(L-1)/fs; %Vector temporal save H1; %Almacenamiento de respuestas al impulso save H2;
%% Graficar H1
%L=length(H2); t=0:1/fs:(L-1)/fs; figure(1) hold on for j=1:37 %Graficas de respuestas al impulso de h1 plot(t,H1(j,:)) end
figure(2) hold on for j=1:37 plot(t,H2(j,:))%Graficas de respuestas al impulso de h2 end
%% Implementar Ventana
Muinf=354519 % Muestra inferior de la ventana Musup=354740 %Muestra superior de la ventana Num=Musup-Muinf; %Número de muestras totales
%Multiplicación de la información que no deseamos por 0 (Ventana %rectangular) for j=1:37 h1(j,:)=[0*H1(j,1:Muinf-1) H1(j,Muinf:Musup)
(0*H1(j,Musup+1:length(H1)))]; h2(j,:)=[0*H2(j,1:Muinf-1) H2(j,Muinf:Musup)
(0*H2(j,Musup+1:length(H2)))]; h(j,:)=h1(j,:)-h2(j,:); end
%% Graficar ventana
figure(3) hold on for j=1:37 plot(h1(j,:))
74
end
figure(4) hold on for j=1:37 plot(h2(j,:)) end
%% Transformada de Fourier
for jj=1:37 H(jj,:)=fft(h(jj,:),L); end H3=fft(h3,L); H3=H3'; H4=zeros(size(H)); HH=zeros(2,L);
f=fs/2*linspace(0,1,L/2); %Eje en frecuencia %% for i=1:37 H4(i,:)=H(i,:)./H3(1,:); end h4=ifft(H4); %Respuesta de la muestra deconvolucionada
%% Suma de energía por tercios de octava
f=fs/2*linspace(0,1,L/2); %Eje en frecuencia
BW=zeros(37,16); magH4=abs(H4); for ang=1:37 for v=1:length(fc) indices=[]; f1=fc(v)/(2^(1/6)); );% frecuencia de corte inferior f2=fc(v)*2^(1/6);% frecuencia de corte superior lim(v,:)=[f1 f2]; indices=find(f>=f1 & f<=f2);
for k=1:length(indices) BW(ang,v)=BW(ang,v)+abs(H4(ang,indices(k))); end end end
%% Normalizar a 0 las gráficas polares maxV=max(BW); %Máximo valor general para la normalización for o=1:37 for y=1:16; BW1(o,y)=BW(o,y)/maxV(y); end end %% Conversión a decibeles
75
dB=10*log10(BW1); dB=dB'; %Se transpone para obtener las gráficas %Comentar sección "Normalizar a 0 las gráficas polares" para obtener %gráficas sin normalizar figure(gcf); hold on for i=1:16 figure(i) polar(thetar,dB(i,:)) title(strcat(num2str(fc(i)),' Hz')) end
%% Coeficiente de difusión
fac1=zeros(1,16); for j=1:16 for i=1:37 fac1(1,j)=BW(i,j)+fac1(1,j);%Primer factor end end fac1=fac1.^2;
fac2=zeros(1,16);%Segundo factor for j=1:16 for i=1:37 fac2(1,j)=((BW(i,j)).^2)+fac2(1,j); end end
dthetaD= (fac1-fac2)./(36.*fac2); %Ecuación de coeficiente de difusión
direccional de autocorrelación
%% Normalización del coeficiente de difusión
load dthetaD; %Coeficiente de difusión direccional del difusor load dthetaL; %Coeficiente de difusión direccional de la lámina (Una vez
haya sido corrido el código anterior para la información de la lámina
reflectante)
Unos=ones(size(dthetaD)); dthetaN=(dthetaD-dthetaL)./(Unos-dthetaL); %Ecuación para la
normalización
A.3 Código para la obtención de la respuesta al impulso con el difusor, sin el
difusor y con la lámina reflectante aplicando FDTD. clear all; close all; clc;
%% Implementación del dominio discretizado
76
dh = 0.008; %Tamaño de cada celda de la grilla [m]
dx=dh; dy=dh;
dim=23; %Distancia a cada lado del dominio [m]
x=0:dx:dim; y=0:dy:dim;
[X Y]=meshgrid(x,y); %Creación de la grilla
spatialWidthx = length(x); spatialWidthy = length(y);
p=zeros(spatialWidthx,spatialWidthy,2); %Vector para almacenar valores de
presión
vx=zeros(spatialWidthx+1,spatialWidthy,2); %Vector para almacenar valores
de velocidad de partícula en x vy=zeros(spatialWidthx,spatialWidthy+1,2); %Vector para almacenar valores
de velocidad de partícula en y
%% Diseño del difusor
dist_borde=round(PML+(5/dh)); %Distancia entre la muestra y el límite
inferior del dominio
ancho=round(0.03/dh); %Ancho de cada celda grosor=round(0.012/dh); %Grosor de la separación entre celdas prof=round(0.02/dh); %Profundidad del difusor longitud=(ancho*8)+(grosor*9); %Ancho total del difusor
l1=round(dist_borde+prof+0.09/dh); l2=round(dist_borde+prof+0.07/dh); l3=round(dist_borde+prof); l4=round(dist_borde+prof+0.028/dh);
limsup=round((spatialWidthx/2)+(longitud/2)); liminf=round((spatialWidthx/2)-(longitud/2));
limbor0=(limsup-grosor); limbor00=(liminf+grosor); limsup1=(limbor0-ancho); liminf1=(limbor00+ancho); limbor1=(limsup1-grosor); limbor11=(liminf1+grosor); limsup2=(limbor1-ancho); liminf2=(limbor11+ancho); limbor2=(limsup2-grosor); limbor22=(liminf2+grosor); limsup3=(limbor2+ancho); liminf3=(limbor22+ancho); limbor3=(limsup3+grosor); limbor33=(liminf3+grosor); liminf4=(limbor33+ancho); limbor4=(liminf4+grosor);
77
%% Diseño de la placa reflectante
% prof=round(0.02/dh); % longitud=(ancho*8)+(grosor*9); % % l1=round(dist_borde+prof+0.09/dh);
%% Condiciones del medio
c = 343; %Velocidad del sonido [m/s] rho=1.21; %[Kg/m3] k=rho*c^2; %[Kg/m*s2] za0=rho*c; %Impedancia característica del aire
%% Iteraciones y duración
duration=0.05; %[s] dt = (1/c)*(1/((1/dx^2)+(1/dy^2))^0.5); %Intervalo temporal entre
iteraciones iterations=ceil(duration/dt); %Número total de iteraciones
%% Ubicación de los receptores
recep=(0:5:180)*pi/180; %Ubicación angular de los receptores [rad] l_recep=length(recep); radio=5/dh; %Distancia entre los receptores y la muestra posx=zeros(size(recep)); %Componente en x posy=zeros(size(recep)); %Componente en y pos=zeros(l_recep,2); %Posición del receptor
for o=1:l_recep posx(o)=radio*cos(recep(o)); posy(o)=radio*sin(recep(o)); pos(o,2)=round((spatialWidthx/2)+posx(o)); pos(o,1)=round(dist_borde+posy(o)); end
%Receptores del difusor
Mic0D = zeros(1,iterations); MicD = zeros(37,iterations);
%Receptores de la placa reflectante
% Mic0L = zeros(1,iterations); % MicL = zeros(37,iterations);
%Receptores sin difusor ni placa
78
% Mic0R = zeros(1,iterations); % MicR = zeros(37,iterations);
%% Constantes fuente
t0 = 0.001; %Retraso de la fuente alpha = (10/t0)^2; %Amplitud de la campana src = zeros(size(iterations)); %Vector para insertar los valores de la
fuente
%% Punto de excitación de la fuente
inci=120*pi/180; %Ángulo de incidencia [rad] hip=10; %Distancia entre la fuente y el difusor [m]
co=hip*sin(inci); %Cateto opuesto [m] ca=hip*cos(inci); %Cateto adyacente [m]
excitationPoint=[round((spatialWidthx/2)-(ca/dh))
round(dist_borde+(co/dh))]; %Ubicación de la fuente
%% Región de PML
PML=2/dh; %Distancia de la zona PML en cada lado
xPML=PML; yPML=PML;
%Atenuación máxima en PML
a0=log(PML)/(k*dt);
%Vectores de presión en PML Px = zeros(spatialWidthx+1,spatialWidthy,2); Py = zeros(spatialWidthx,spatialWidthy+1,2);
%% Iteraciones
for n=1:iterations data=p(:,:,1); data=abs(data); src(n) = 3*(k*dt)*exp(-alpha*((n)*dt-t0).^2); p(excitationPoint(2),excitationPoint(1),2)... = p(excitationPoint(2),excitationPoint(1),1)+src(n);
%Iteración espacial velocidad de partícula for ii=1:spatialWidthx-1 %en X for jj=1:spatialWidthy-1 %en Y
79
%iteración en PML en x if ii>(spatialWidthx-xPML) xi=xPML-(spatialWidthx-ii); ax1=a0*(xi/xPML)^2; ax2=ax1*k; ex3=exp(-ax2*dt); ex4=((1-ex3)/(dt*rho*ax2));
vx(ii+1,jj,1)=vx(ii+1,jj,2)*ex3-ex4*... ((Px(ii+1,jj,1)-Px(ii,jj,1)+Py(ii+1,jj,1)-
Py(ii,jj,1))); end
if ii<xPML xi=xPML-ii; ax1=a0*(xi/xPML)^2; ax2=ax1*k; ex3=exp(-ax2*dt); ex4=((1-ex3)/(dt*rho*ax2));
vx(ii+1,jj,1)=vx(ii+1,jj,2)*ex3-ex4*... ((Px(ii+1,jj,1)-Px(ii,jj,1)+Py(ii+1,jj,1)-
Py(ii,jj,1))); end
%iteración en PML en y if jj>(spatialWidthy-yPML) yj=yPML-(spatialWidthy-jj); ay1=a0*(yj/yPML)^2; ay2=ay1*k; ey3=exp(-ay2*dt); ey4=((1-ex3)/(dt*rho*ay2));
vy(ii,jj+1,1)=vy(ii,jj+1,2)*ey3-ey4*... ((Px(ii,jj+1,1)-Px(ii,jj,1)+Py(ii,jj+1,1)-
Py(ii,jj,1))); end
if jj<yPML yj=yPML-jj; ay1=a0*(yj/yPML)^2; ay2=ay1*k; ey3=exp(-ay2*dt); ey4=((1-ey3)/(dt*rho*ay2));
vy(ii,jj+1,1)=vy(ii,jj+1,2)*ey3-ey4*... ((Px(ii,jj+1,1)-Px(ii,jj,1)+Py(ii,jj+1,1)-
Py(ii,jj,1))); end
%iteración velocidad en el medio vx(ii+1,jj,1)=vx(ii+1,jj,2) -
(1/rho)*(dt/dx)*(p(ii+1,jj,1)-p(ii,jj,1));
80
vy(ii,jj+1,1)=vy(ii,jj+1,2) -
(1/rho)*(dt/dy)*(p(ii,jj+1,1)-p(ii,jj,1));
%cambio valores actuales a anteriores vx(ii,jj,2)=vx(ii,jj,1); vy(ii,jj,2)=vy(ii,jj,1);
Px(ii,jj,2)=Px(ii,jj,1); Py(ii,jj,2)=Py(ii,jj,1); end end
%% Inserción del difusor
vx(dist_borde:l1,liminf:limbor00,2)=0; vy(dist_borde:l1,liminf:limbor00,2)=0; vx(dist_borde:l1,limbor00:liminf1,2)=0; vy(dist_borde:l1,limbor00:liminf1,2)=0; vx(dist_borde:l1,liminf1:limbor11,2)=0; vy(dist_borde:l1,liminf1:limbor11,2)=0; vx(dist_borde:l2,limbor11:liminf2,2)=0; vy(dist_borde:l2,limbor11:liminf2,2)=0; vx(dist_borde:l1,liminf2:limbor22,2)=0; vy(dist_borde:l1,liminf2:limbor22,2)=0; vx(dist_borde:l3,limbor22:liminf3,2)=0; vy(dist_borde:l3,limbor22:liminf3,2)=0; vx(dist_borde:l1,liminf3:limbor33,2)=0; vy(dist_borde:l1,liminf3:limbor33,2)=0; vx(dist_borde:l4,limbor33:liminf4,2)=0; vy(dist_borde:l4,limbor33:liminf4,2)=0; vx(dist_borde:l1,liminf4:limbor4,2)=0; vy(dist_borde:l1,liminf4:limbor4,2)=0; vx(dist_borde:l4,limbor4:limbor3,2)=0; vy(dist_borde:l4,liminf4:limbor3,2)=0; vx(dist_borde:l1,limbor3:limsup3,2)=0; vy(dist_borde:l1,limbor3:limsup3,2)=0; vx(dist_borde:l3,limsup3:limbor2,2)=0; vy(dist_borde:l3,limsup3:limbor2,2)=0; vx(dist_borde:l1,limbor2:limsup2,2)=0; vy(dist_borde:l1,limbor2:limsup2,2)=0; vx(dist_borde:l2,limsup2:limbor1,2)=0; vy(dist_borde:l2,limsup2:limbor1,2)=0; vx(dist_borde:l1,limbor1:limsup1,2)=0; vy(dist_borde:l1,limbor1:limsup1,2)=0; vx(dist_borde:l1,limsup1:limbor0,2)=0; vy(dist_borde:l1,limsup1:limbor0,2)=0; vx(dist_borde:l1,limbor0:limsup,2)=0; vy(dist_borde:l1,limbor0:limsup,2)=0;
%% Inserción de la placa reflectante % % vx(dist_borde:l1,liminf:limsup,2)=0; % vy(dist_borde:l1,liminf:limsup,2)=0;
81
%Iteración espacial la presión for ii=1: spatialWidthx %en X for jj=1:spatialWidthy %en Y
%IteraciÛn en PML en x if ii > (spatialWidthx-xPML)
xi=xPML-(spatialWidthx-ii); ax1=a0*(xi/xPML)^2; ax2=ax1*k; ex1=exp(-ax1*dt*k); ex2=(1-ex1)/(dx*ax1);
Px(ii,jj,1)=(Px(ii,jj,2)*ex1)-(ex2*(vx(ii+1,jj,2)-
vx(ii,jj,2)));
Py(ii,jj,1)=0;
p(ii,jj,1)=Px(ii,jj,1)+Py(ii,jj,1);
elseif ii<xPML
xi=xPML-ii; ax1=a0*(xi/xPML)^2; ax2=ax1*k; ex1=exp(-ax1*dt*k); ex2=(1-ex1)/(dx*ax1);
Px(ii,jj,1)=(Px(ii,jj,2)*ex1)-(ex2*(vx(ii+1,jj,2)-
vx(ii,jj,2)));
Py(ii,jj,1)=0; p(ii,jj,1)=Px(ii,jj,1)+Py(ii,jj,1); %iteración en PML en y elseif jj > (spatialWidthy-yPML)
yj=xPML-(spatialWidthy-jj); ay1=a0*(yj/yPML)^2; ay2=ay1*k; ey1=exp(-ay1*dt*k); ey2=(1-ey1)/(dx*ay1);
Py(ii,jj,1)=(Py(ii,jj,2)*ey1)-(ey2*(vy(ii,jj+1,2)-
vy(ii,jj,2)));
Px(ii,jj,1)=0;
p(ii,jj,1)=Px(ii,jj,1)+Py(ii,jj,1);
elseif jj<yPML
82
yj=yPML-jj; ay1=a0*(yj/yPML)^2; ay2=ay1*k; ey1=exp(-ay1*dt*k); ey2=(1-ey1)/(dx*ay1);
Py(ii,jj,1)=(Py(ii,jj,2)*ey1)-(ey2*(vy(ii,jj+1,2)-
vy(ii,jj,2)));
Px(ii,jj,1)=0;
p(ii,jj,1)=Px(ii,jj,1)+Py(ii,jj,1);
else %Iteración presión en el medio p(ii,jj,1)=p(ii,jj,2)... -(k*dt/dx*(vx(ii+1,jj,2)-vx(ii,jj,2)))... -(k*dt/dy*(vy(ii,jj+1,2)-vy(ii,jj,2))); %Cambio valores actuales a anteriores p(ii,jj,2)=p(ii,jj,1);
Px(ii,jj,2)=Px(ii,jj,1); Py(ii,jj,2)=Py(ii,jj,1);
end end end
%% Ubicar puntos de medición
%Difusor Mic0D(1,n)=p(excitationPoint(2)-3,excitationPoint(1),2); %Receptor
para la respuesta en frecuencia de la fuente save('Mic0D')
% %Placa reflectante % Mic0L(1,n)=p(excitationPoint(2)-3,excitationPoint(1),2); % save('Mic0L')
% %Recinto vacÌo % Mic0R(1,n)=p(excitationPoint(2)-3,excitationPoint(1),2); % save('Mic0R')
%Receptores alrededor de la muestra for u=1:37 MicD(u,n)=p(pos(u,1),pos(u,2),2); %Difusor % MicL(u,n)=p(pos(u,1),pos(u,2),2); %Lamina % MicR(u,n)=p(pos(u,1),pos(u,2),2); %Recinto end
83
%% Gráfica
h = surf(X,Y,p(:,:,2),'edgecolor','none'); axis('equal'); view([0 90]);
set(h,'zdata',p(:,:,2)); xlim([0 dim]); ylim([0 dim]); zlim([-1 1]);
title([num2str(dt*n),' seconds']) xlabel('Lx (m)'); ylabel('Ly (m)');
colormap; drawnow; end save('MicD') % save('MicL') % save('MicR')
A.4 Código para el procesamiento de las respuestas al impulso simuladas y
el calculo del coeficiente de difusión. clear all close all clc load('Mic0R') %Receptores en el recinto vacío load('Mic0D') %Receptores alrededor del difusor load('Mic0L') %Receptores alrededor de la placa reflectante load('Mic03') %Receptores con la respuesta fuente-receptor
%% Definición de Constantes
theta=0:5:180; %Vector de ángulos donde se ubican los receptores thetar=theta*pi/180; fc=[160 200 250 315 400 500 630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000
5000 6000 8000 10000 12500]; %Frecuencias centrales fl=length(fc); fs=1/dt; %Frecuencia de muestreo L=length(MicD); %Longitud t=linspace(0,duration,L); %Vector temporal
%% Graficas de la respuesta al impulso
figure(20) hold on for j=1:37 plot(t,MicD(j,:))
84
end xlabel('Tiempo [s]') ylabel('Amplitud')
figure(21) hold on for j=1:37 plot(t,MicR(j,:)) end xlabel('Tiempo [s]') ylabel('Amplitud')
%% Implementar Ventana
Muinf=2600; %Muestra donde comienza la ventana Musup=2778; %Muestra donde termina la ventana
h1=zeros(size(MicD)); h2=zeros(size(MicR)); h3=zeros(size(MicL)); h=zeros(size(MicD));
for j=1:37 h1(j,:)=[0*MicD(j,1:Muinf-1) MicD(j,Muinf:Musup)
0*MicD(j,Musup+1:length(MicD))]; h2(j,:)=[0*MicR(j,1:Muinf-1) MicR(j,Muinf:Musup)
(0*MicR(j,Musup+1:length(MicR)))]; h3(j,:)=[0*MicL(j,1:Muinf-1) MicL(j,Muinf:Musup)
0*MicL(j,Musup+1:length(MicL))]; h(j,:)=h1(j,:)-h2(j,:); end
%% Graficar resultado de la ventana temporal
figure(22) hold on for j=1:37 plot(t,h(j,:)) end xlabel('Tiempo [s]') ylabel('Amplitud')
%% Transformada de Fourier
H=zeros(37,L); H3=zeros(37,L); H4=zeros(37,L);
for jj=1:37 H(jj,:)=fft(h(jj,:),L); H3(jj,:)=fft(h3(jj,:),L); H4(jj,:)=fft(Mic3(jj,:),L);
85
end
%% Deconvolucion de la respuesta
for i=1:37 H(i,:)=H(i,:)./H4(1,:); end
%% Sumatoria de energía por bandas de tercios de octava
f=fs/2*linspace(0,1,L/2); %Eje en frecuencia
BW=zeros(37,fl); %Matriz que contiene la energía por tercios de octava BW_L=BW; lim=zeros(fl,2);
for ang=1:37 for v=1:fl indices=[]; %Vector que contiene los índices de las frecuencias
pertenecientes a cada banda f1=fc(v)/(2^(1/6)); %Frecuencia límite inferior. f2=fc(v)*2^(1/6); %Frecuencia limite superior. lim(v,:)=[f1 f2]; %Matriz que contiene los límites superior e
inferior de cada banda de frecuencia indices=find(f>=f1 & f<=f2);
for k=1:length(indices) BW(ang,v)=BW(ang,v)+abs(H(ang,indices(k))); %Sumatoria de
energía en cada banda de frecuencias BW_L(ang,v)=BW_L(ang,v)+abs(H3(ang,indices(k))); end end end
maxim=max(max(BW)); %Valor máximo de la matriz BW. maxim_L=max(max(BW_L)); dB=10.*log10(BW/maxim); %Los valores de la matriz se expresan en
decibeles relativos. dB_L=10.*log10(BW_L/maxim_L); dB=dB';
%% Coeficiente de difusión
fac1=zeros(1,fl); fac1_L=zeros(1,fl);
for j=1:fl for i=1:37 fac1(1,j)=BW(i,j)+fac1(1,j); fac1_L(1,j)=BW_L(i,j)+fac1_L(1,j); end end
86
fac1=fac1.^2; fac1_L=fac1_L.^2;
fac2=zeros(1,fl); fac2_L=zeros(1,fl);
for j=1:fl for i=1:37 fac2(1,j)=((BW(i,j))^2)+fac2(1,j); fac2_L(1,j)=((BW_L(i,j))^2)+fac2_L(1,j); end end
dthetaD = (fac1-fac2)./(36.*fac2); dthetaL = (fac1_L-fac2_L)./(36.*fac2_L);
%% Normalización
unos=ones(size(dthetaL)); dthetaNS=(dthetaD-dthetaL)./(unos-dthetaL);
figure(30) semilogx(fc,dthetaD,'--y+',fc,dthetaNS,'-b*',fc,dthetaL,'-.ro') axis([630 12500 0 1]) ylabel('Coeficiente de difusiÛn direccional') xlabel('Frecuencia [Hz]') legend('Difusor a 60∫', 'Difusor normalizado a 60∫', 'Placa reflectante
60∫') set(gca,'xtick',[630 800 1000 1250 1600 2000 2500 3150 4000 5000 6000
8000 10000 12500]) grid on
