coeficiente de asimetría

5/12/2018 coeficiente de asimetría - slidepdf.com

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1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD EN HIDROLOGIA

El comportamiento de las variables aleatorias discretas o continuas se describe con la ayudade Distribuciones de Probabilidad. La variable se designa por mayúscula y un valor especifico de ella por minúscula.

Por P(x = a) se denota la probabilidad de que un evento asuma el valor a; similarmente P(a≤ x ≤ b) denota la probabilidad de que un evento se encuentre en el intervalo (a,b). Siconocemos la probabilidad P(a ≤ x ≤ b) para todos los valores de a y b, se dice queconocemos la Distribución de Probabilidades de la variable x.

Si x es un número dado y consideramos la probabilidad P(X ≤ x):F(x)= P(X ≤ x):

y llamamos F(x) la función de distribución acumulada

Ejemplo

Se tienen las probabilidades de que haya 1, 2, 3, ... etc, días nublados por semana en undeterminado lugar, con ellos calcule la distribución de probabilidades

x P(x) F(x)

0 0.05 0.051 0.15 0.202 0.25 0.453 0.20 0.654 0.15 0.805 0.10 0.906 0.08 0.98

7 0.02 1.00Total 1.0

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7

# dias nublados

f ( x )

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 2 4 6 8

# dias nublados

F ( x )

Si se tiene una variable aleatoria continua, la figura presenta el histograma de 85 años deregistro de caudales de crecientes (máximos instantáneos) en el río Magdalena, agrupadosen 9 intervalos de clase.

x P(x) F(x)

1



1 0.05 0.052 0.10 0.153 0.15 0.304 0.20 0.505 0.10 0.60

6 0.10 0.707 0.15 0.858 0.10 0.959 0.05 1.00

Total 1.00

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Qmáx instántaneo *10² (m³/s)

f ( x )

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 2 4 6 8 10


F ( x )

Cuando el número de observaciones se incrementa, el tamaño de los intervalos decrece y se puede tener algo sí

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


f ( x )

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0 5 10 15


F ( x )

donde f (x) es la llamada función de densidad de probabilidades y tiene las siguientescaracterísticas

i) ∫ ∞

∞−=1)( dx x f

ii) ∫ =≤≤b

adx x f b xa P )()(

iii) 0)( =∫ b

bdx x f

2



Lo que implica que las probabilidades se definen solo como AREAS bajo la función dedensidad de probabilidad (FDP) entre límites finitos.

1.1 MOMENTOS DE LAS DISTRIBUCIONES

Las propiedades de las distribuciones pueden ser definidas completamente en términos delos momentos. Los momentos en estadística son similares a los momentos en física(rotación respecto al origen)

∫ ∞

∞−= dx x f xM

r r )( para la variable continua

∑=

=n

j

r r x f xM

1

)( para la variable discreta

o respecto a la media (eje de rotación diferente al origen)

∫ ∞

∞−−= dx x f xM r r )()( µ para la variable continua

∑=

−=n

j

r r x f xM 1

)()( µ para la variable discreta

1.2 PARÁMETROS ESTADISTICOS

Los estadísticos extraen información de una muestra, indicando las características de la población. Los principales estadísticos son los momentos de primer, segundo y tercer

orden correspondiente a la media, varianza, y asimetría respectivamente.

1.2.1 Media µ:

es el valor esperado de la variable misma . Primer momento respecto a la origen. Muestrala tendencia central de la distribución

∫ ∞

∞−= dx x f x )( µ

el valor estimado de la media a partir de la muestra es

∑==

n

ii xn x 1

1

1.2.2 Varianza σ²:

mide la variabilidad de los datos. Es el segundo momento respecto a la media.

∫ ∞

∞−−= dx x f x )()( 22 µ σ

3



el valor estimado de la varianza a partir de la muestra es

∑=

−−

=n

i

i x xn

s1

22)(

1

1

en el cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar que la estadística de la muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser mayor o menor que

el valor verdadero. Las unidades de la varianza son la media al cuadrado, la desviaciónestándar σ es una medida de la variabilidad que tiene las mismas dimensiones que la mediay simplemente es la raíz cuadrada de la varianza, se estima por s. El significado de ladesviación estándar se ilustra en la siguiente figura

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0 2 4 6 8 10

x

f ( x

)

0.50 1.00 1.30 2.00

Efectos de la función de densidad de probabilidad causados por cambios en la desviaciónestándar.

Coeficiente de variación µ

σ =Cv es una medida adimensional de la variabilidad su

estimado es x

sCv =

1.2.3 Coeficiente de asimetría γ

la distribución de los valores de una distribución alrededor de la media se mide por laasimetría. Se obtiene a partir del tercer momento alrededor de la media, dividiéndolo por el cubo de la desviación estándar para que sea adimensional.

∫ ∞

∞−−=− dx x f x x E )()(])[( 33 µ µ tercer momento respecto a la media

])`[(1 3

3µ

σ γ −= x E

4



Un estimativo del coeficiente de asimetría está dado por 3

1

3

*)2)(1(

)(

snn

x xn

C

n

i s −−

−=

∑=

Ejemplo

Encontrar el valor medio de la precipitación si se tiene

Intervalo (mm) Xi medioFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativax f(x)

100 110 105 10 0.1 10.5

110 120 115 16 0.16 18.4

120 130 125 9 0.09 11.25

130 140 135 10 0.1 13.5

140 150 145 20 0.2 29

150 160 155 15 0.15 23.25

160 170 165 20 0.2 33

Total=100 x = ∑138.9

2 ANALISIS DE FRECUENCIA

El análisis de frecuencia es una herramienta utilizada para, predecir el comportamientofuturo de los caudales en un sitio de interés, a partir de la información histórica decaudales. Es un método basado en procedimientos estadísticos que permite calcular lamagnitud del caudal asociado a un período de retorno. Su confiabilidad depende de la

longitud y calidad de la serie histórica, además de la incertidumbre propia de ladistribución de probabilidades seleccionada. Cuando se pretende realizar extrapolaciones, período de retorno mayor que la longitud de la serie disponible, el error relativo asociado ala distribución de probabilidades utilizada es más importante, mientras que eninterpolaciones la incertidumbre está asociada principalmente a la calidad de los datos amodelar; en ambos casos la incertidumbre es alta dependiendo de la cantidad de datosdisponibles (Ashkar, et al. 1994). La extrapolación de frecuencias extremas en unadistribución empírica de crecientes es extremadamente riesgosa (Garcon, 1994).

Para determinar la magnitud de eventos extremos cuando la distribución de probabilidadesno es una función fácilmente invertibles se requiere conocer la variación de la variable

respecto a la media. Chow en 1951 propusó determinar esta variación a partir de un factor de frecuencia K T que puede ser expresado:

σ µ T T K X +=

y se puede estimar a partir de los datos

s K x X T T +=

5



Para una distribución dada, puede determinarse una relación entre K y el período de retornoTr. Esta relación puede expresarse en términos matemáticos o por medio del uso de unatabla.

El análisis de frecuencia consiste en determinar los parámetros de las distribuciones de probabilidad y determinar con el factor de frecuencia la magnitud del evento para un período de retorno dado.

A continuación se describen las principales distribuciones de probabilidad utilizadas enhidrología, la forma de estimar sus parámetros, el factor de frecuencia y los límites deconfianza. Estos últimos son indicadores de que tanta incertidumbre se tiene con lasextrapolaciones, puesto que determinar el rango de valores donde realmente estaría lavariables, si el rango es muy grande la incertidumbre es muy alta y si es pequeño, por elcontrario, habrá mucha confianza en el valor estimado.

3 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES CONTINUAS

3.1 DISTRIBUCION NORMAL

La distribución normal es una distribución simétrica en forma de campana, tambiénconocida como Campana de Gauss. Aunque muchas veces no se ajusta a los datoshidrológicos tiene amplia aplicación por ejemplo a los datos transformados que siguen ladistribución normal.

3.1.1 Función de densidad:

La función de densidad está dada por

∞<<∞−=

−−

x x f

x

2

2)(

2

1

exp2

1)( σ

µ

π σ

Los dos parámetros de la distribución son la media µ y desviación estándar σ para loscuales x (media) y s (desviación estándar) son derivados de los datos.

3.1.2 Estimación de parámetros:

∑=

=n

i

i xn

x1

1

2

1

1

2)(

1

1

−

−= ∑

=

n

i

i x xn

s

6



3.1.3 Factor de frecuencia:

1. Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como

σ

µ −= T T

x K

este factor es el mismo de la variable normal estándar )1( 11

T r T F K −=

−

3.1.4 Limites de confianza:

eTr S t X )1( α −±

donde α es el nivel de probabilidad )1( α −

t es el cuantil de la distribución normal

estandarizada para una probabilidad acumulada de 1-αy Se es el error estándar

3.2 DISTRIBUCION LOGNORMAL DE DOS PARAMETROS

Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se distribuyen normalmente se dice que Xse distribuye normalmente.

Esta distribución es muy usada para el calculo de valores extremos por ejemplo Qmax,Qmínimos, Pmax, Pmínima (excelentes resultados en Antioquia). Tiene la ventaja que

X>0 y que la transformación Log tiende a reducir la asimetría positiva ya que al sacar logaritmos se reducen en mayor proporción los datos mayores que los menores.

Limitaciones: tiene solamente dos parámetros, y requiere que los logaritmos de la variablesestén centrados en la media


0exp

2

1)(

2

)(

2

1

>=

−−

x

x

x f y

y y

σ

µ

π σ

y = ln xdonde, µy : media de los logaritmos de la población (parámetro escalar), estimado y

σy : Desviación estándar de los logaritmos de la población, estimado s y.

7




∑=

=n

i

i xn

y1

)ln(1

2

1

2

1

))(ln(1

1

−

−= ∑

=

n

i

i y y xn

s


Puede trabajarse en el campo original y en el campo transformado.

2. Campo transformado : Si se trabaja en el campo transformado se trabaja con la media yla desviación estándar de los logaritmos, así:

Ln(XTr ) = xTr +KSy

de donde,

XTr = eln (xTr )

con K con variable normal estandarizada para el Tr dado, xy media de los logaritmos y Sy

es la desviación estándar de los logaritmos.

3. Campo original : Si se trabaja con los X sin transformar el K se calcula como

Cv

CvCv Ln K Exp

Kt

T 12

)1ln())1((*

2

2

1

2 −

+−+

=

K es la variable normal estandarizada para el Tr dado, x

sCv = es el coeficiente de

variación, x media de los datos originales y s desviación estándar de los datos originales.

3.2.4 Limites de confianza:

En el campo transformado.

T Tr S t X Ln )1()(α −±

8



2

12

21

)(

+== T y

e

K

n

S S δ

δ

en donde, n numero de datos, Se error estándar, K T variable normal estandarizada.

EJEMPLO: En un río se tienen 30 años de registros de Qmáximos instantáneos anualescon x= 15 m3/s, S = 5 m3/s (media y desviación estándar para los datos originales).xy=2.655, sy = 0.324 (media y desviación estándar de los datos transformados). Encontrar elcaudal para un periodo de retorno de 100 años y los limites de confianza para un α = 5%.Calcular la probabilidad de que un caudal de 42.5 m3/s no sea igualado o excedido P(Q≤4.25).

Solución:

n=30x= 15 m3/s xy=2.655

s = 5 m3/s sy = 0.324

En el campo original

Kt

Exp K Ln CvCv

Cv=

+ −+

−* ( ( ))ln( )

11

21

2

1

2

2

x

sCv = = 5/15 = 0.33

K = F-1(1-1/Tr) = F-1(1-1/100) = F-1(0.99)

de la tabla de la normal se obtiene KT=2.33

33.0

12

)33.01ln())33.01((*33.2

2

2

1

2 −

+−+=

Ln Exp

K T

K T = 3.06

QTr = 15 + 5 * 3.028QTr = 30.14 m3/s

En el campo transformado se tiene que:

LnQTr100 = 2.655 + 2.33*0.324

9



LnQTr100 = 3.40992

QTr100 = Exp (3.40992)

Q Tr100 = 30.26 m3/s

Limites de confianza

Ln (QTr) ± t(1-α) Se

2

12

21

)(

+== T y

e

K

n

S S δ

δ

δ = +

1

2 33

2

2

1

2.

δ = 1.93

Se =⋅

=193 0 324

300 11

. ..

t(1-α) = t(0.95) = 1.645 (Leído de la tabla de la normal)

Ln(30.28) ± (1.645 ) (0.11)

3.41 ± 0.18095[3.22905 3.59095]

[e

3.22905

e

3.59095

]

[25.26 36.29] Intervalos de confianza para QTr100

b) Calcular la probabilidad de que un caudal de 45 m3/s no se igualado o excedido P(Q≤4.25).

Ln(42.5) = 3.75

t = (3.75 - 2.655)/0.324

F(3.38) = 0.9996 Leído de la tabla de la normal

P(Q≤ 4.25) = 99.9%

10



3.3 DISTRIBUCION GUMBEL O EXTREMA TIPO I

Una familia importante de distribuciones usadas en el análisis de frecuencia hidrológico esla distribución general de valores extremos, la cual ha sido ampliamente utilizada pararepresentar el comportamiento de crecientes y sequías (máximos y mínimos).


−−−−−=

α

β

α

β

α

)(exp

)(exp

1)(

x x x f

En donde αy β son los parámetros de la distribución.

∫

−

−−== α

β )(

expexp)()(

x

dx x f x F

3.3.2 Estimación de parámetros

α β

π α

5772.0

6

−=

=

x

s

donde s y x

son la media y la desviación estándar estimadas con la muestra.


−

+−=1

lnln5772.06

r

r T

T

T K

π

Donde Tr es el periodo de retorno. Para la distribución Gumbel se tiene que el caudal paraun período de retorno de 2.33 años es igual a la media de los caudales máximos.

3.3.4 Limites de confianza

Xt ± t(1-α) Se

n

sSe

⋅=δ

11



2

12]1.11396.11[ T T K K ++=δ

K T es el factor de frecuencia y t(1-α) es la variable normal estandarizada para una

probabilidad de no excedencia de 1-α.

EJEMPLO: Para el ejemplo anterior encontrar el Q de 100 años de periodo de retorno ylos intervalos de confianza. x= 15 m3/s, s = 5 m3/s

QTr100 = x + K T s

{ })]99ln(100ln[ln577.06 −+−=π

T K

K T = 3.14

QTr100 = 15 + 3.14*5QTr100 = 30.7 m3/s

Intervalos de confianza


δ = + +[ . ( . ) . ( . ) ]1 11396 3 14 1 1 3 14 2

1

2

δ = 3.93

Se

Se m s

=⋅

=

( . ) ( )

. /

3 93 5

30

3 583

Xt ± t(1-α) Se

30.7 m3/s ± (1.64) (3.58)

[24.83 m3/s 36.58 m3/s] Intervalo de confianza para QTr100

3.4 DISTRIBUCION GAMA DE TRES PARAMETROS O PEARSON TIPO 3

Esta distribución ha sido una de las mas utilizadas en hidrología. Como la mayoría de lasvariables hidrológicas son sesgadas, la función Gamma se utiliza para ajustar ladistribución de frecuencia de variables tales como crecientes máximas anuales, Caudales

12



mínimos, Volúmenes de flujo anuales y estacionales, valores de precipitaciones extremas yvolúmenes de lluvia de corta duración. La función de distribución Gamma tiene dos o tres parámetros.


( )

−−

−

Γ =

−

α α β α

β

0

1

0 ˆexp

ˆ1)(

x x x x x f

donde,

x0 ≤ x < ∝ para α > 0∝ < x ≤ x0 para ∝ < 0

α y β son los parámetros de escala y forma, respectivamente , y x 0 es el parámetro de

localización.


β α α β ˆˆ;2

ˆ;2ˆ

0

2

−==

= x x

Cs s

Cs

Cs es el coeficiente de asimetría, s y x son la media y la desviación estándar de la

muestra respectivamente.


543

2

2

32

63

1

66)1(

6)6(

3

1

6)1(

+

+

−−

−+−+≈ CsCs

z Cs

z Cs

z z Cs

z z K

donde z es la variable normal estandarizada

Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la muestra.

3.4.4 Intervalos de confianza:

Xt ± t(1-α) Se

SeS

n=

⋅δ

13



Donde S es la desviación estándar de la muestra, n es el número de datos y δ se encuentratabulado en función de Cs y Tr.

EJEMPLO: Se tiene una estación con 30 años de registros de caudales máximosinstantáneos con Media de 4144 pie3/s y desviación estándar de 3311 pie3/s. Si elcoeficiente de asimetría de los caudales es de 1.981 pie3/s cual es caudal para un periodo deretorno de 100 años y su intervalo de confianza.

QTr100 = X+ SK

K es F(1.981, 100) de tablas se obtiene K=3.595 (1.9,100) = 3.553(2.0,100) = 3.605

QTr100 = 4144+ (3.595) (3311)QTr100 = 16050 pie3/s

Intervalos de confianza

Xt ± t(1-α) Se

SeS

n=

⋅δ

δ = F(1.981,100) de tablas se obtiene δ =8.4922 (1.9,100) = 8.2196(2.0,100) = 8.5562

Se = ⋅( ) ( . )3311 8 4922

30

Se = 5133.56 pie3/s


16050 ± (5133.56) (1.645)

[7605.29 pie3/s 24494.71pie3/s] Intervalos de confianza para QTr100

3.5 DISTRIBUCION LOG GAMMA O LOGPEARSON DE 3 PARAMETROS

Si los logaritmos Y de una variable aleatoria X se ajustan a una distribución Pearson tipoIII, se dice que la variable aleatoria X se ajusta a una distribución Log Pearson Tipo III.Esta distribución es ampliamente usada en el mundo para el análisis de frecuencia de

14



Caudales máximos. Esta se trabaja igual que para la Pearson Tipo III pero con Xy y Sy

como la media y desviación estándar de los logaritmos de la variable original X.


( )

−

−

−

Γ =

−

α α β α

β

0

1

0 )ln(exp

)ln(1)(

y x y x

x x f

donde,

y0 ≤ y < ∝ para α > 0∝ < y ≤ y0 para ∝ < 0

α y β son los parámetros de escala y forma, respectivamente , y y 0 es el parámetro delocalización.


β α α β ˆˆ;2

ˆ;2ˆ

0

2

−==

= y y x x

Cs s

Cs

Cs es el coeficiente de asimetría, , y y s y x son la media y la desviación estándar de los

logaritmos de la muestra respectivamente.


y yTr s K xY ∗+=)ln(

543

2

2

32

63

1

66)1(

6)6(

3

1

6)1(

+

+

−−

−+−+≈

CsCs z

Cs z

Cs z z

Cs z z K

donde z es la variable normal estandarizada

Este valor de K se encuentra tabulado de acuerdo al valor de Cs calculado con la muestra.

3.5.4 Intervalos de confianza:

Xt ± t(1-α) Se

15



SeS

n

y=⋅δ

Donde Sy es la desviación estándar de los logaritmos de la muestra, n es el número de datosy δ se encuentra tabulado en función de Cs y Tr.

4 AJUSTE DE DISTRIBUCIONES

Para la modelación de caudales máximos se utilizan, entre otras, las distribuciones Log - Normal, Gumbel y Log-Gumbel principalmente. Para seleccionar la distribución de probabilidades de la serie histórica se deben tener en cuenta algunas consideraciones.

• Cuando en la serie histórica se observan “outliers1” es necesario verificar lasensibilidad del ajuste debido a la presencia de estos, (Ashkar, et al. 1994)

• Para el ajuste a las distribuciones Log-Normal, Log-Gumbel y Log-Pearson serequiere transformar la variable al campo logarítmico para modelarla, con lo que sedisminuye la varianza muestral, pero también se filtran las variaciones reales de losdatos.

• Las distribuciones de dos parámetros fijan el valor del coeficiente de asimetría, loque en algunos casos puede no ser recomendable. La distribución Log - Normal dedos parámetros sólo es recomendable sí el coeficiente de asimetría es cercano acero. Las distribuciones Gumbel y Log - Gumbel son recomendables si elcoeficiente de asimetría de los eventos registrados es cercano a 1.13

• Para ajustar distribuciones de tres parámetros (Log Normal III, Log Pearson) se

requiere estimar el coeficiente de asimetría de la distribución; para ello es necesariodisponer de una serie con longitud de registros larga, mayor de 50 años, (Kite,1988). Las distribuciones de dos parámetros son usualmente preferidas cuando sedispone de pocos datos, porque reducen la varianza de la muestra, (Ashkar, et al.1994).

• Para seleccionar la distribución de probabilidades adecuada se debe tratar de utilizar información adicional del proceso hidrológico que permita identificar la forma enque se distribuye la variable. Usualmente es muy difícil determinar las propiedadesfísicas de los procesos hidrológicos para identificar el tipo de distribución de probabilidad que es aplicable.

• Kite (1988) y Mamdouh (1993) afirman que no existe consistencia sobre cual es ladistribución que mejor se ajusta a los caudales máximos y recomiendan seleccionar el mejor ajuste a criterio del modelador con la prueba de ajuste gráfico o basado enel comportamiento de las pruebas estadísticas de bondad del ajuste (por ejemplo ChiCuadrado, Smirnov-Kolmogorov, Cramer-Von Mises) en las que se calcula un

1 Aunque no existe una definición generalmente aceptada, se puede entender como valores extremos, muysuperiores a los demás registrados (Ashkar, et al. 1994).

16



estimador y se compara con un valor tabulado para determinar si el ajuste esadecuado o no. En la prueba de ajuste gráfica se dibujan los valores registrados enla serie contra la distribución teórica de probabilidades y de manera visual(subjetiva) se determina si el ajuste es adecuado o no.

Cuando la información es adecuada el análisis de frecuencia es la metodología másrecomendable para la evaluación de eventos extremos, ya que la estimación dependesolamente de los caudales máximos anuales que han ocurrido en la cuenca y no da cuentade los procesos de transformación de la precipitación en escorrentía. Obviamente tienealgunas limitaciones relacionadas con el comportamiento de la serie histórica y con eltamaño y calidad de los datos de la muestra.

• Cuando se presenten cambios o tendencias en la serie histórica se deben utilizar técnicas estadísticas que permitan removerlos para poder realizar el análisis defrecuencias (Kite, 1988; Mamdouh, 1993; Ashkar, et al. 1994).

• La selección inadecuada de la distribución de probabilidades de la serie histórica

arrojará resultados de confiabilidad dudosa, (Ashkar, et al. 1994).

• El tamaño de la muestra influye directamente en la confiabilidad de los resultados,así a mayor período de retorno del estimativo mayor longitud de registros necesaria para mejor confiabilidad en los resultados.

El ajuste a distribuciones se puede hacer de dos técnicas, con el factor de frecuencia comose refirió en el numeral 2 o hallando la distribución empírica de los datos muestrales, por elmétodo de Plotting Position.

4.1 Plotting Position

Trabaja con la probabilidad de excedencia asignada a cada valor de la muestra. Se han propuesto numerosos métodos empíricos. Si n es el total de valores y m es el rango de unvalor en una lista ordenada de mayor a menor (m=1 para el valor máximo) la probabilidadde excedencia se puede obtener por medio de las siguientes expresiones

Californian

m P =

Weibull

1+

=n

m P

Hazenn

m P

2

12 −=

La expresión más utilizada es la Weibull. Con las anteriores expresiones se halla lo que seconoce como la distribución empírica de una muestra, esta luego se puede ajustar a una delas distribuciones teóricas presentadas anteriormente. Los resultados pueden ser dibujados

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en el papel de probabilidad; este es diseñado para que los datos se ajusten a una línea rectay se puedan comparar los datos muestrales con la distribución teórica (línea recta).

4.2 Pruebas de Ajuste

Para determinar que tan adecuado es el ajuste de los datos a una distribución de probabilidades se han propuesto una serie de pruebas estadísticas que determinan si esadecuado el ajuste. Estos son análisis estadísticos y como tal se deben entender, es decir,no se puede ignorar el significado físico de los ajustes.

4.2.1 Prueba Smirnov Kolmogorov

El estadístico Smirnov Kolmogorov D considera la desviación de la función de distribuciónde probabilidades de la muestra P(x) de la función de probabilidades teórica, escogidaPo(x) tal que ))()(max( x Po x P Dn −= .

La prueba requiere que el valor Dn calculado con la expresión anterior sea menor que elvalor tabulado Dn para un nivel de probabilidad requerido.

Esta prueba es fácil de realizar y comprende las siguientes etapas:• El estadístico Dn es la máxima diferencia entre la función de distribución

acumulada de la muestra y la función de distribución acumulada teórica escogida.• Se fija el nivel de probabilidad α, valores de 0.05 y 0.01 son los más usuales.• El valor crítico Dαde la prueba debe ser obtenido de tablas en función de αy n.• Si el valor calculado Dn es mayor que el Dα, la distribución escogida se debe

rechazar.

4.2.2 Prueba Chi Cuadrado

Una medida de las discrepancia entre las frecuencias observadas ( f o) y las frecuenciascalculadas ( f c) por medio de una distribución teórica esta dada por el estadístico χ²

∑=

−=

k

i c

co

f

f f

1

22 )(

χ en donde ∑∑ =co

f f

si el estadístico χ²=0 significa que lae distribuciones teórica y empírica ajustanexactamente, mientras que si el estadístico χ²>0, ellas difieren. La distribución delestadístico χ² se puede asimilar a una distribución Chi-cuadrado con (k-n-1) grados delibertad, donde k es el número de intervalos y n es el número de los parámetros de ladistribución teórica. La función χ² se encuentra tabulada. Supongase que una hipótesis Hoes aceptar que una distribución empírica se ajusta a una distribución Normal. Si el valor calculado de χ² por la ecuación anterior es mayor que algún valor crítico de χ², con nivelesde significancia α de 0.05 y 0.01 (el nivel de confianza es 1-α) se puede decir que lasfrecuencias observadas difieren significativamente de las frecuencias esperadas (ocalculadas) y entonces la hipótesis Ho se rechaza, si ocurre lo contrario entonces se acepta.

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coeficiente de asimetría

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