Clase 03 - Líneas de campo Eléctrico. Ley deGauss.

Prof. Juan Mauricio Matera

15 de marzo de 2019

Repaso de la clase anterior

I Generalizamos la ley de Coulomb para sistemas formados pormuchas cargas.

I Para describir estos sistemas introducimos la noción dedistribución de cargas

I Dos modelos: distribuciones discretas de cargas, como unconjunto de cargas puntuales, y distribuciones continuasdescriptas por densidades de carga.

I En el caso de distribuciones continuas, vimos que estas podíanrepresentarse como distribuciones lineales (1D), superficiales(2D) y volumétricas.

Lineales

λ: Densidad linealde carga (C/m)

Superficiales

σ: Densidadsuperficial de carga(C/m2)

Volumétricas

ρ: Densidadvolumétrica decarga (C/m3

I Planteamos la expresión de la fuerza eléctrica que ejercendiferentes distribuciones de carga sobre una carga puntual paraalgunos casos:I “Alambre cargado” (lo terminaremos de resolver hoy en la

práctica)I Anillo de radio a, cargado uniformemenete con densidad λ,

sobre el eje z :~F = 2πkλaQz

(a2 + z2)3/2 uz

I “Disco” de radio a con densidad superficial de carga σ sobre eleje z :

~F = πkσQ(

z|z | −

z√z2 + a2

)I Distribución sobre una superficie esférica de radio a, y densidad

σ, a una distancia r del centro de la esfera:

~F =

kQ4πa2σ

|r|2 r0

r>ar<a

I Introducimos las nociones deI Carga de Prueba: Una partícula de tamaño suficientemente

pequeño para considerarla puntual, y de carga suficientementepequeñas para no alterar la distribución de cargas de equilibrio.

I Campo Eléctrico: Es un vector ~E (~r) que podemos asignar acada punto del espacio, tal que la fuerza que siente una cargade prueba δq, ubicada en la posición ~r satisface

~Fδq = δq~E (~r)

.

I Permitividad del Vacío (ε0 = 8.85pFm−1 = 14πk )

I El campo eléctrico satisface el principio de superposición: enpresencia de multiples cargas, el campo es la suma (vectorial)de los campos que generarían cada una de las cargas porseparado.

Líneas de Campo Eléctrico

I Son curvas en el espacio que son tangentes al campo eléctricoen cada punto por el que pasan.

I La densidad de líneas es proporcional a la magnitud delcampo eléctrico.

I Son una forma alternativa de representar al campo eléctrico.I Son un recurso útil para estimar cualitativamente el campo

eléctrico en torno a una distribución de cargas.I En general, no coinciden con las trayectorias de las partículas

cargadas.I Las líneas de campo presentan las mismas simetrías que el

sistema que las produce.

Reglas para dibujar líneas de campo

I Las líneas “salen” de las cargas positivas y “entran” en lasnegativas.

I El número de líneas que entran o salen es proporcional al valorde la carga

I Las líneas se dibujan simétricamente.I La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del

campo eléctrico.I Las líneas de campo no se cortan entre sí.I Cerca de una carga puntual, y a grandes distancias de las

distribuciones de carga, la distribución de líneas de campo debeser homogenea.

Líneas de campo en torno a una carga puntualI Son radialesI Salen de las cargas positivas, y

Entran en las negativasI Están distribuídas uniformemente en

todas las direcciones.I En cualquier superficie cerrada que no

contiene a la carga, el número delíneas de campo que la cruzan endirección saliente es igual al númeroque la cruza en dirección entrante.

I En cualquier superficie cerrada quecontenga a la carga, el número delíneas de campo que la cruzan endirección saliente menos el númeroque la cruza en dirección entrante esconstante.

Líneas de campo eléctrico en torno a un dipolo

~E (~r) = 3(~p · r)r − ~p4πε0|~r |3

Nótese que al alejarnos del dipolo,el número de líneas de camposalientes se reduce, ya que estas“vuelven” a la carga negativa.

“Viendo” las líneas de campo

I En presencia de un campo externo, las partículas tienden aganar un momento dipolar, generalmente paralelo a ladirección más alargada.

I Un dipolo eléctrico en presencia de un campo externo, sienteun torque T = ~p × ~E , que tiende a alinear a los dipolos con elcampo.

I Los extremos de un dipolo tienden a atraer a los extremos deotros dipolos de manera que forman “cadenas”. Estas “cadenas”son tangentes al campo eléctrico, y por lo tanto, siguen a laslíneas de campo eléctrico!

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Concepto de Flujo

La noción de flujo fue introducida en la teoría delelectromagnetismo por Michel Fadaday(1791-1867) para dar cuenta (erroneamente) delefecto de carga por inducción. Sin embargo,resultó ser una de las ideas más fructíferas en eldesarrollo conceptual de la teoría. Definimosflujo Φ de un campo vectorial ~W (~r) através de una superficie (orientada) S a laintegral

ΦS =∫S~W (~r) · d ~S

I El flujo es una magnitud escalarI El sentido del vector d ~S indica cuándo

el campo contribuye al flujo con signopositivo.

I Cada diferencial de área aporta al flujo una cantidad proporcional altamaño del área, y a la componente del campo en la direcciónnormal al elemento de área.

Interpretación en términos de líneas de campo

Si a partir de campo vectorial construimos un número muy grandede líneas de flujo, de acuerdo las reglas de la clase pasada,encontramos que el flujo del campo ~W (~r) a través de la superficieS es proporcional a la diferencia entre el número de líneas de flujoque la atraviesan en el sentido del diferencial de área, menos elnúmero de las que la atraviesan en sentido contrario.

Interpretación en términos de corrientes de partículasOriginalmente, la noción de flujosurgió de la descripción delmovimiento de fluídos en el régimenestacionario. En tal caso, el campoque describe el sistema es lavelocidad ~v(~r) de los elementos defluído.En ese caso, el flujo del campo develocidades a través de unasuperficie S da cuenta del número departículas que atraviesa la superficiepor unidad de tiempo.

Figure 1: Número departículas que atraviesan lasuperficie en el tiempo ∆t

En este contexto, laslíneas de flujo representanlas trayectorias de loselementos de volumen.

Esta viene dada pordΦ =~j(~r) · d ~S

donde ~j = n(~r)~v es la densidad de corriente de partículas, conn(~r) el número de partículas por unidad de volumen.

Hidrodinámica ElectromagnetismoOndas

Cantidad queFluye

Número dePartículas,Masa

Energía

Campoasociado

velocidades Campo Eléctrico Densidad deFlujo deEnergía

Flujo Corriente dePartículas,Masa

Flujo Eléctrico Flujo deEnergía

CurvasIntegrales

Trayectorias Líneas deCampo

Líneas deflujo

Situaciones físicas muy distintas dan origen a modelosmatemáticos similares, que llevan a predicciones análogas

Flujo a través de superficies cerradas

En una superficie abierta, existen dosorientaciones diferentes: el flujoevaluado respeto a una orientación es elopuesto al evaluado respecto a la otra.En una superficie cerrada existe unaorientación natural, definida por lanormal exterior. Llamamos al flujoevaluado respecto a esta orientación, elflujo saliente respecto al volumenencerrado por la superficie.

Teorema de GaussEl Teorema de Gauss establece que, dadoun volumen Ω, el flujo de un campo ~W (~r)(diferenciable) a través de la superficie Sque lo limita satisface la ecuación∫

S~W · d ~S =

∫Ω∇ · ~W dΩ

donde

∇ ·W (~r) = ∂ ~Wx∂x + ∂ ~Wy

∂y + ∂ ~Wz∂z

es la divergencia del campo ~W .

I Nótese que si el volumen tiene más de una superficie límite, elteorema vale si sumamos las contribuciones de cada una deellas.

I En una región donde ∇ · ~W = 0, deformando de formacontinua una superficie, el flujo permanece constante.

El flujo de un campo r4πr2

La expresión para el campo eléctrico de una carga puntual, separece sospechosamente al de la densidad de flujo de energíapara una onda esférica:

~E (~r) ~sE(~r)q

4πε0r2 r I0r20

r2 r

I ∇ · rr = 0 fuera del origen (calcular).

I Si S es una esfera centrada en el origen,∫S

r4πr2 · d ~S = 1.

I El flujo neto que atraviesa cualquiersuperficie cerrada que contenga alorigen es independiente de la superficieelegida.

I El flujo neto que atraviesa cualquier superficie cerrada queno contenga al origen es nulo.

I Para el caso de la densidad de flujo de energía para unaonda, ∫

S~E · d ~S = PS

donde PS representa la potencia total entregada por todas lasfuentes ubicadas en el interior de S, y es una expresión delPrincipio de Conservación de la Energía.

I Para el campo eléctrico de una carga puntual en reposo, valeen general que ∫

S~E · d ~S = QS

ε0

donde QS es la carga encerrada por la superficie S. Por elprincipio de superposición, esta identidad vale para cualquierdistribución de carga. Esta identidad se conoce como Ley deGauss. . .

Ley de Gauss

Enunciado:El flujo del campo eléctrico a través decualquier superficie cerrada S es iguala la carga neta encerrada por lasuperfice, dividida por ε0.

∫S~E · d ~S = QS

ε0⇒ ∇ · ~E = ρ

ε0

I Es una Ley Fundamental de lanaturaleza, válida siempre.

I Su validez se basa en losexperimentos, no en unademostración.

I Decimos que las cargas positivasson las fuentes del campo eléctrico.

Daniel Kehlmann, “LaMedición del mundo”

I Las cargas negativas son sumideros del campo eléctrico.I La Ley de Coulomb es una Consecuencia de la Ley de Gauss,

bajo la hipótesis de que las cargas están en reposo.

Consecuencia 1: Ley de CoulombI Una carga puntual en reposo tiene Simetría esférica. Por lo

tanto,I La magnitud del campo sólo puede depender de la distancia a la

carga.I La dirección del campo debe yacer en la dirección que une la

carga con el punto de observación.I El sentido del campo respecto a esa dirección no puede

depender del punto de observación. De esta manera,~E (~r) = Er (|~r |)r ~rq = ~0

I Si elegimos ahora S como una superficie esférica concéntrica ala carga,∫

S~E (~r) · d ~S =

∫S

(Er (r)r) · (r r2 sin(θ))dθdφ

= Er (r)4πr2 = qε0⇒ E (r) = q

4πε0r2

Luego, la fuerza que siente una carga Q en ~rQ, en presenciade una carga q en ~rq será ~FQ = qQ

4πε0|~rQ−~rq |2 rQq en coincidenciacon la Ley de Coulomb (k = 1/(4πε0)).

Consecuencia 2: Carga en conductores en equilibrioI En el interior de un conductor

cargado, existen cargas libres demoverse.

I Por lo tanto, si hubiese un campoeléctrico en su interior, no estaríaen equilibrio ⇒ ~E = 0 en el interiorde un conductor.

I Sea S una superficie cerradacualquiera, contenida en elconductor. El flujo eléctrico sobredicha superficie es nulo.

I Por la Ley de Gauss, la cargaencerrada por esa superficie debeser nula ⇒ toda la carga debeestar en la superficie delconductor.

Consecuencia 3: Campo eléctrico en la superficie de unconductor

I Sobre la superficie de un conductor enequilibrio, ~E debe ser normal.

I ⇒ ~E = σε0

n en cada punto de la superficiedel conductor.1. Construímos una superficie de Gauss

cilíndrica, de altura h y radio r pequeños,con sus tapas paralelas y a ambos ladosde la superficie.

2. La carga contenida es Q = σπr2.3. El flujo total sobre la superficie será

Φtotal = Φint + Φext + Φlat .4. Φint = 0 ya que ~E = ~0 en el interior, y

Φlat = 0, ya que ~E es siempre ‖ a lasuperficie. Por lo tanto,Φtotal = Φext = πr2~E · n .

5. Por la Ley de Gauss Φtotal = Qε0⇒

I ~E · n =πr2σπr2ε0

⇒

~E = σ

ε0n

Blindaje eléctrico. Jaula de Faraday.O ¿Por qué no me anda el 3g en el aula?I Debido a la condición de equilibrio,

una región rodeada por unconductor quedaelectromagnéticamenteblindada, de la región exterior.

I El campo en el exterior sólo depende de la carga neta y laforma de la superficie exterior del conductor.

I Si el conductor se conecta a tierra, el blindaje es completo: lascargas encerradas no “ven” a las cargas en el exterior niviceversa.

El efecto persiste aún si

I el conductor no es “maciso”.I Las distribuciones de cargas encerradas, y/o en el exterior no

están “en equilibrio”.