Clase N°11 Métodos de reducción de varianza ICS3723 Simulación Profesor Pedro Gazmuri.

Clase N°11Métodos de reducción de varianza

ICS3723Simulación

Profesor Pedro Gazmuri

Métodos de reducción de varianza

1. Variables de control2. Números aleatorios comunes3. Variables antitéticas

1. Variables de control

• X: variable aleatoria de output.• Y: otra variable con valor esperado conocido.• Construimos una combinación lineal de ellas:

• Dos alternativas:o Variables internas de control: una v.a. de input del

sistema.o Variables externas: simular otro sistema similar pero

analíticamente tratable, de modo de conocer E(Y) (también necesitaríamos la correlación entre X e Y).

( )

( ) ( )C

C

X X a Y Y

X X

E

E E


• El método puede generalizarse a varias variables de control:

• Lo que importa es que las variables de control estén fuertemente correlacionadas (positiva o negativamente) con X.

• Consideremos el caso simple: 1m

1

( )m

C l l ll

X X a Y Y

E

( )CX X a Y Y E


• Se tiene:

• Luego:

• Podemos identificar el valor a más conveniente:

2( ) ( ) ( ) 2 cov( , )CVar X Var X a Var Y a X Y

* arg min ( )

cov( , )*

( )

Caa Var X

X Ya

Var Y

2( ) ( ) 2 cov( , ) ( )CVar X Var X a X Y a Var Y si


• Si reemplazamos a* en la expresión de Var(XC) obtenemos:

2

2

2,

cov( , )( ) ( ) ( )

( )

cov( , )2 cov( , )

( )

cov( , )( ) ( )

( ) ( )

(1 ) ( )

C

X Y

X YVar X Var X Var Y

Var Y

X YX Y

Var Y

X YVar X Var X

Var X Var Y

Var X


• En la expresión anterior ρX,Y es el coeficiente de correlación entre X e Y

• Problema: para calcular a* no conocemos cov(X, Y) ni Var(Y)

• Podemos estimarlas de la muestra de n réplicas:

,

cov( , )X Y

X Y

X Y

2

1

ˆ ( ) ( )( ) ˆˆ *( ) , con ( )( ) 1

nj jXY

XYjXY

X X n Y Y nC na n C n

s n n


• Pero â*(n) no es un estimador insesgado.• El estimador final de la medida de desempeño que

usaremos es

• Este estimador tampoco es insesgado, ya que â*(n) e son en general dependientes.

ˆ( ) ( ) *( ) ( ) ( )CX n X n a n Y n Y E

( )Y n


• Ejemplo: sistema M/M/1• • Medida de desempeño: espera promedio en la cola

de los 100 primeros clientes. Xj : demora promedio en la réplica j.

• Variable de control:Yj : promedio de los tiempos entre llegadas de los primeros 100 clientes.

• Estimamos , usando .

1;1 / 0.9; / 0.9

( )CX X a Y Y E 10n


• Resultados:

• Valores teóricos:

2 2

( ) (10) 4.497

( ) (10) 0.998

( ) ( ) 0.015Y Y

X n X

Y n Y

s n s n

100

1

2

( )( ) 1

100

( ) 1 /( ) 0.01

100 100

j

j

j

TY

Var TVar Y

E

E


• Resultados:

• Recordemos:

2

2

( ) 0.873

ˆ ( ) 0.264

ˆ ( ) 0.264ˆ *( ) 17.6( ) 0.015

XY

XY

Y

s X n

C n

C na n

s n

cov( , )* ( ) , *

( )C

X YX X a Y Y a

Var Y E


• Nuestro estimador será:

• Estimemos la reducción de varianza:

ˆ( ) ( ) *( ) ( ) ( )

4.497 17.6(0.998 1) 4.462CX n X n a n Y n Y

E

2 2

2 2 2

1( ) ( )

1( ) ( )

1 ˆˆ ˆ( ) * ( ) ( ) 2 *( ) ( ) 0.417

C C

C C

X Y XY

Var X n Var Xn

s X n s Xn

s n a n s n a n C nn


• Se tiene , comparado con

• Recordemos que es un estimador sesgado.• Una alternativa para evitar el sesgo es volver a repetir

el experimento tomando a fijo e igual a –17.6.• No se estima a en el nuevo experimento.

2 ( ) 0.417Cs X n

2 ( ) 0.873s X n ( )CX n

1. Variables de Control

Tomemos ahora 2 variables de control:Y₁= Promedio de los tiempos entre llegadas primeros 100 clientes.Y₂= Promedio de los tiempos de servicio de primeros 100 clientes.

1 1 1 2 2 2( ) ( )cX X a Y E Y a Y E Y

De aquí se deduce que:

En ambos casos las covarianzas se estiman a partir de las réplicas.

2 21 1 2 2

1 1 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

2 ( , ) 2 ( , )cVar X Var X a Var Y a Var Y

a Cov X Y a Cov X Y

1 21 2

1 2

( , ) ( , );

( ) ( )

Cov X Y Cov X Ya a

Var Y Var Y

Se hicieron 50 réplicas y se obtuvieron los siguientes resultados:

Estimador Valor Muestral Valor Teorico

0.9893 1

0.9082 0.9

0.0106 0.01

0.0099 0.01235

11.8442 ( (50))s X

2

2 (50)Ys

1(50)Y

2 (50)Y

1

2 (50)Ys

Luego:

1

2

( , ) 0.1847

( , ) 0.1774

Cov X Y

Cov X Y

1

2

11 2

22 2

( , ) 0.184717.35

0.0106

( , ) 0.177417.919

0.0099

Y

Y

Cov X Ya

s

Cov X Ya

s

Se hicieron 50 réplicas adicionales usando los valores estimados para a₁ y a₂.Se obtuvo:Debemos comparar este valor con

Veamos los intervalos:

2 (50) 0.105cs X

2 (50) 11.844s X

2

1,1 /2

( )( ) n

s nX n t

n

Sin variables de Control:

Si hubiéramos hecho 100 réplicas:

Con variables de Control:

2

1

( ) 11.8441.3 0.63

50n

s nt

n

2

1

( ) 11.8441.3 0.447

100n

s nt

n

2

1

( ) 0.1051.3 0.06

50n

s nt

n

Los intervalos de confianza son:

4.5 0.63

4.5 0.06

2. Números aleatorios comunes

• Se usa para la comparación de dos diseños alternativos.

• Diseño 1: Medida de desempeño: X1

Diseño 2: Medida de desempeño: X2

Queremos estimar E(X1) – E(X2)

• La idea es someter ambos sistemas a las mismas condiciones experimentales.

• Se utiliza la misma secuencia de números U(0,1) en ambos modelos.

• Se trata de introducir una correlación positiva entre ambos resultados.


• Sean:X1j , j = 1,…,n: output de n réplicas del sistema 1X2j , j = 1,…,n: output de n réplicas del sistema 2

• Queremos estimar:

• Sean:

• Estimador:

1 2( ) ( )j jX X E E

1 2 , 1,...,j j jZ X X j n

1

( )n

j

j

ZZ n

n


• Si las corridas fueran independientes:

• Para estimar en el caso correlacionado usamos su estimador muestral .

1 2 1 2

1( ) ( )

1( ) ( ) 2cov( , )

j

j j j j

Var Z n Var Zn

Var X Var X X Xn

1 2

1( ) ( ) ( )j jVar Z n Var X Var X

n

( )Var Z n2( )Zs n


• Este estimador se obtiene calculando:

• Puesto que estamos usando estimadores de las varianzas, no podemos saber qué tanto vamos a reducir la varianza.

2

2

1

2 2

( )( )

1

1( ) ( )

j

j

nj

Zj

ZZ

Z Z ns n

n

s n s nn


• Principio a utilizar: tener el convencimiento de que ambos modelos responderán en forma similar a valores grandes o pequeños de las variables aleatorias de input del modelo.

• Procedimiento: sincronizar los números aleatorios de modo que uno utilizado para un cierto propósito en el primer sistema sea utilizado para el mismo propósito en el segundo.


• Ejemplo:1. λ,μ; ρ = λ/μ

2. λ,μ/2; ρ = λ/μ

• Ambos tienen la misma intensidad de tráfico.


• Interesa: tiempo promedio de espera en la cola de los primeros 100 clientes. Queremos escoger el sistema con menor valor.

• Teóricamente, se sabe que el segundo es mejor. Cuando hay 2 o más personas en el sistema, ambas son iguales para efectos de la espera. Pero cuando hay una, un individuo que llega al segundo sistema no espera nada; en el primero sí.


• Experimento: ρ = 0.9• Se hicieron 100 réplicas independientes para 4 casos:

1. Números aleatorios independientes para cada modelo: I

2. Coordinación tiempos entre llegadas, servicios independientes: LL

3. Coordinación tiempos de servicios: S4. Coordinación de ambos: LL + S


• X1j : valor promedio demora 100 clientes en sistema 1, en a réplica j.X2j : valor promedio demora 100 clientes en sistema 2, en a réplica j.

• Para cada caso se estimó y se analizó si se obtenía la respuesta correcta (i.e. X2j < X1j). Se calculó la proporción de error en las 100 réplicas.

( )Var Z n


• Obsérvese que al reducir estamos mejorando la precisión del intervalo de confianza para

I LL S S+LL

25.5 11.6 10.5 0.1

Proporción Error 0.44 0.37 0.4 0.05

2( )Zs n

2( )Zs n

1 2( ) ( )j jX X E E

3. Variables antitéticas

• Se usa para el caso de un solo sistema.• Idea: hacer pares de corridas, compensando un valor

pequeño de la variable de interés con un valor grande. Se usa el promedio de ambas observaciones como un valor del output.

• Procedimiento: usar números aleatorios U(0,1) complementarios.

• Si U ~ U(0,1), entonces 1 – U ~ U(0,1).


• Si uk ~ U(0,1) es usado con un propósito específico en un la primera corrida, se usa 1 – uk para el mismo propósito en la segunda corrida.

• Nota: Y(1) = F-1(uk)Si Y(1) es grande, Y(2) = F-1(1 – uk) es pequeño, ya que F es creciente.


• Se hacen n pares de corridas (cada par independiente de los otros):

• Definimos

(1) (2)1 1

(1) (2)

,

,n n

X X

X X

(1) (2)

1

, ( )2

nj j j

jj

X X XX X n

n


• Queremos estimar:

• Queremos inducir una correlación negativa entrey .

(1) (2) (1) (2)

1( ) ( )

2cov ,

j

j j j j

Var X n Var Xn

Var X Var X X X

n

(1) ( ) ( )j jX X X n E E E

(1)jX

(2)jX


• Principio general: la variable de output del sistema tiene que ser monótona (creciente o decreciente) en la variable de input.

• Y : input, X : outputY grande X grande, Y chico X chico (o al revés)

• No existe garantía que el método funcione, podría pasar que Y grande ó Y chico X grande.


• Ejemplo: Sistema M/M/1, ρ = 0.9• : promedio de la demora en cola de los primeros

100 clientes.• : promedio de la demora en cola de los primeros

100 clientes.• Variables antitéticas:

o Servicioso Tiempo entre llegadas

(1)jX

(2)jX


• Se hacen 100 réplicas:1. Independencia, es decir, .2. Sincronización (v. antitéticas, servicios y llegadas)• Resultados:

(1) (2)cov , 0j jX X

Independencia V. Antitéticas

s2(100) 4.84 1.94

½ Intervalo al 90% 0.36 0.23

-0.07 - 0.52 (1) (2)cov ,j jX X

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