1

Matemtica Para Ingeniera (MA 261)

Clase Integral 12.3

1. Indique el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones justificando claramente sus respuestas:

a. Para cualquier valor x se cumple que xx 1coscos .

Falso. xx 1coscos solo cumple si 1;1x

b. El CVA de la ecuacin xxx tantancos es R.

Falso. xtan debe existir y para que ello ocurra x

k2

. Luego CVA=

Zk,kR

2.

c. La grfica de ecuaciones paramtricas 4sen 2

4cos 1

x t

y t

es una circunferencia con radio 2 y

centro en 2; 1 .

Falso.

De 2-sen4 tx tenemos 4

2sen

xt .

De 14cos ty tenemos 4

1cos

yt .

Por otro lado sabemos que 1cossen 22 tt , entonces:

14

1

4

222

yx o 222 412 yx .

Es una circunferencia, pero de radio 4.

d. Los vectores 3; 5 y 3 5

;2 2

son paralelos.

Verdadero. Dos vectores a y b son paralelos si a=kb, entonces 3; 5 =k3 5

;2 2

si k=-2.

2

2. Calcular el valor de: 3tantan6

coscos3

2sensen 111

Lo pueden evaluar con la calculadora

...4292,1...1416,063

Recordar que al si solo )sen(sen 1 xxx dominio restringido del seno: ;2 2

Recordar que 1cos (cos( )) solo si alx x x dominio restringido del coseno: ;0

Recordar que 1tan (tan( )) solo si alx x x dominio restringido de la tangente: ;2 2

3. Determinar la amplitud, el periodo y el desfase de:

a) )2cos(6)2(sen32)( xxxf

La regla de correspondencia de la funcin f ser expresada de la forma xkxf 2sen )( , donde

k= 34632 22

Para determinar el valor de construimos el siguiente tringulo rectngulo:

62sen 34

32sen 34)(

xxxf

Entonces:

Amplitud = 4 3

Periodo = 2

2

Desfase = izquierda) la (a 6

3

b) )3cos(4)3(sen4)( xxxf

La regla de correspondencia de la funcin f ser expresada de la forma xk)x(f 3sen ,

donde k= 2444 22

Para determinar el valor de construimos el siguiente tringulo rectngulo:

123sen 24

43sen 24)(

xxxf

Entonces:

Amplitud = 4 2

Periodo = 2

3

Desfase = derecha) la (a 12

4. Simplifique la siguiente expresin: xx

xxsen1

1

sen1

1sectan2

0

cos

sen2

cos

sen2

sen1

sen2

cos

1

cos

sen2

sen1

1

sen1

1sectan2

22

2

x

x

x

x

x

x

xx

x

xxxx

5. Demuestre la siguiente identidad: xxx

x

x

xsen cos

cot1

sen

tan1

cos

LDsencos

sencos

sencossencos

sencos

sen

sencos

cos

sen

cossen

sen

cos

sencos

cos

cot1

sen

tan1

cosLI

22

xx

xx

xxxx

xx

x

xx

x

x

xx

x

x

xx

x

x

x

x

x

4

6. Determine el CVA y el CS de:

a. tt cos41cos4 2

CVA = R

2

1cos01cos2

01cos4cos4

2

2

tt

tt

De donde

ZkktZkkt ;23

5,2

3

5C.S. 2 ; 2 ;

3 3k k k Z

Tambin pueden responder: C.S. 2 ; 2 ;3 3

k k k Z

b. 0)1)(tan4sen)(4.02(cos xxx

Como )cos(

)sen()tan(

x

xx entonces:

CVA =

ZkkRxxR /2

0)cos(/

, luego factorizando se tiene:

0)1)(tan4sen)(4.02(cos xxx

4.0)2cos( x

De donde

ZkkZkkx

Zkkx

x

;9.36CS

,90101196.36

,280282391.732

)4.0(cos2

1

1

4)(sen x

Como

2CS

4sen existe No

1sen1

x

x

1)(tan x

De donde

Zkk

Zkkx

x

;4

CS

,4

)1(tan

3

1

Zkkk ;4

;9.36CS

5

7. Una torre de 125 pies se localiza en la ladera de una montaa que tiene una inclinacin de 32 respecto de la horizontal. Se fijar un alambre de sujecin a la parte superior de la torre y se

anclar en un punto a 55 pies colina abajo de la base de la torre. Determine la longitud del

alambre.

Analizando los datos tenemos la siguiente figura:

Aplicando la ley de cosenos, tenemos:

047,161

122cos12555212555 222

x

x

Respuesta: La longitud del alambre es de aproximadamente 161,05 pies.

8. Desde la azotea de un edificio que da al mar un observador ve un bote navegando directamente hacia el edificio. Si el ojo del observador se encuentra a 40 metros sobre el nivel del mar y el

ngulo de depresin del bote cambia de 25 a 40 (durante el periodo de observacin),

determine la distancia aproximada que recorre el bote.

Segn los datos, construimos la figura siguiente:

De donde:

40tan

404040tan y

y (A)

yxyx

25tan

404025tan (B)

Reemplazando (A) en (B)

...110,3840tan

40

25tan

40

x

Respuesta: La distancia que recorre el bote es de aproximadamente 38,11 metros.

32

pies125

pies55

x125

x

55

32

122

y x

2540

m40

2540

6

9. Determine la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por los puntos 1;3 y

4;1 utilizando vectores y luego elimine el parmetro de la ecuacin paramtrica resultante.

Tenemos que ABP , y adems

ABtOAP .

Luego 31;143;1; tyx

2;53;1 t

Entonces la ecuacin paramtrica de la

recta es:

t

ty

tx ,

23

51R

Ahora eliminamos el parmetro t, para ello tenemos:

ty

tx

10155

1022

Luego sumando 1352 yx .

10. Determine las ecuaciones paramtricas del segmento cuyos extremos son los puntos 2; 4A y

8;6B .

Tenemos que ABP , y adems ABtOAP , 1;0t

Luego 46;284;2; tyx

10;64;2 t

Entonces la ecuacin paramtrica de la recta es:

1;0 ,104

62

t

ty

tx

7

11. Determine la ecuacin paramtrica de la circunferencia que tiene por ecuacin rectangular: 2 22 4 1 0x x y y donde las variables x e y se expresen como funciones sinusoidales.

Acomodamos la ecuacin rectangular y completamos cuadrados

4114412 22 yyxx

222 221 yx

Reconocemos luego el centro 2;1 y el radio igual a 2.

Ahora determinamos la ecuacin paramtrica considerando

1 2senx t ty cos22

Luego

2sen 1

, 0;22cos 2

x tt

y t

12. Grafique la curva cuyas ecuaciones paramtricas son: 2

2 3

2

x t

y t t

y luego elimine el parmetro

y exprselo como una ecuacin rectangular.

Tabulamos y graficamos

t -3 -2 -1 0 1 2 3

x -9 -7 -5 -3 -1 1 3

y 3 0 -1 0 3 8 12

Ahora eliminamos el parmetro

Tenemos que de 32 tx , 2

3

xt ,

luego lo reemplazamos en tty 22

obteniendo

124964

34

96y

2

32

2

3

2

2

2

xxxy

xxx

xxy

Acomodando y completando cuadrados

145 o 514

251025214

10214

22

2

2

yxxy

xxy

xxy

8

13. Grafique e indique el sentido de la curva de ecuacin 2sen

, 0;2cos

x tt

y t

Tenemos que 222 2 yx , ecuacin que representa una circunferencia

de radio 2 y centro (0; 0) .

Luego para graficar y ver el sentido tabulamos

14. Sean los vectores: a 3; 4 y b PQ donde 2;3P y 4;2Q , determine: a. 2a 3b. b. La magnitud del vector 2a 3b. c. La medida del ngulo que hay entre los vectores.

d. Un vector c 5;n que sea ortogonal al vector a.

e. El vector unitario de c.

f.La proyeccin del vector a sobre el vector QP .

a. Tenemos que b= 1;632;24 , luego

2a 3b 5;121;634;32

b. 1351232 22 ba

c. Sabemos que 375

22

1643

1;64;3cos

2222

ba

ba

Luego

...6677.43

375

22cos 1

d. Como el vector c es ortogonal al vector a, entonces 0ac . De este modo

4

15041504;3;5 nnn

luego 4

15;5c .

e. El vector unitario de c es 5

3;

5

4

4

25

4

15;5

16

625

4

15;5

16

22525

4

15;5

4

155

4

15;5

2

2

c

c.

f. Se tiene: 1;6QP

1;6

1;6

4;31;6aPr

2QPoy =

37

22;

37

1321;6

37

22

t 0 2/ x 0 2 0

y 2 0 -2

9

15. Sean las matrices:

2 1

3 2

0 1

A

y ijB b donde

1 ;

2 ;

1;

ij

i i j

b i j i j

j i j

, determine, sabiendo que

es posible hacerlo, el determinante de AB .

Inicialmente debemos determinar i y j; para ello, si AB tiene determinante entonces debe ser

una matriz cuadrada. De este modo

33ji23 ABBA , luego 2i y 3j .

Ahora hallamos

221

211B y luego

221

1015

241

221

211

10

23

12

AB

Finalmente usando menores el

0

18018

1125-210125-410221--

21

1512

21

10514

22

1011det

312111

B

16. Determine la solucin de los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la eliminacin gaussiana e indicando el tipo de sistema que es basado en el conjunto solucin:

a.

2 1

2 3

2 1

y z

x y z

y z x

b.

3 2 4

4

4 4

x y z

x y z

x y

c.

3 2 3

1

4 4

x y z

x y z

x y

En cada caso obtenemos su matriz aumentada y mediante operaciones elementales por fila la

transformaremos a su forma escalonada por filas respectivamente.

a.

7310

1120

3211

1112

1120

3211

1112

3211

1120

312

21

FF

FF

15500

7310

3211

1120

7310

3211

322

32

FF

FF

Luego

155

73

32

z

zy

zyx

, de donde obtenemos 1x , 2y y 3z .

Entonces el sistema es compatible determinado y su 3;2;1CS .

10

b.

20450

16450

4111

4014

4123

4111

4014

4111

4123

314

21321

FF

FFFF

4000

16450

4111

32 FF

Luego

40

1645

4

zy

zyx

, de donde CS , es decir el sistema es incompatible.

c.

0450

0450

1111

4014

3123

1111

4014

1111

3123

314

21321

FF

FFFF

0000

0450

1111

32 FF

Luego

045

1

zy

zyx, entonces haciendo tz obtenemos ty

5

4 y

5

5 tx

Por lo tanto el sistema es compatible indeterminado y su

Rttt

tCS ;;

5

4;

5

5

17. Resuelva la ecuacin matricial 1 0 2 4

2 1 3 2d AI

, indicando los valores de las

constantes , ,a b c y d , siendo I una matriz identidad y 0

a bA

c

.

Tenemos inicialmente que AI=A, entonces:

10

01

023

42

12

01

c

bad

Operando tenemos

0232

42

c

ba

dd

d

Luego (4)02-(3)32d(2)4- )1(2 dcbad

De (4) -2d , en (3) 1c , de (2) -4b y en (1) -4a .

11

18. Dada la matriz

1 4 2

0 2 3

1 3 5

B

, determine B e indique si la matriz es singular.

Hallamos B considerando las entradas de la fila 2.

3

1332

4131321512

31

4113

51

21120

3222

B

De este modo 0B por lo tanto B no es una matriz singular.

19. Dos especies de insectos se cran juntas en un recipiente de laboratorio. Todos los das se les proporcionan dos tipos diferentes de alimento. Cada individuo de la especie 1 consume 5

unidades del alimento A y 3 unidades del alimento B y cada individuo de la especie 2 consume

2 unidades del alimento A y 4 unidades del alimento B. Todos los das los tcnicos del

laboratorio suministran a los insectos 900 unidades del alimento A y 960 unidades del alimento

B. Cuntos insectos hay de cada especie?

Ordenamos la informacin en la siguiente tabla:

Alimento A Alimento B

Especie 1 5 3

Especie 2 2 4

Total 900 960

Sea x el nmero de insectos especie 1

Sea y el nmero de insectos especie 2

Planteando las ecuaciones

96043

90025

yx

yx

3203

41

1805

21

3

1;

5

1

96043

9002521 ff 21 ff

15010

1805

21

14

15

14015

140

1805

21

2f de donde: 120x e 150y

Luego existen 120 insectos de la especie 1 y 150 insectos de la especie 2

12

20. Un empresario tiene tres mquinas que son empleadas en la fabricacin de cuatro productos diferentes. Para utilizar plenamente las mquinas, estas estarn en operacin 8 horas diarias. El

nmero de horas que cada mquina es usada en la produccin de una unidad de cada uno de los

cuatro productos est dada por:

Encuentre el nmero de unidades que se deben producir de cada uno de los cuatro productos

en un da de 8 horas, bajo el supuesto de que cada mquina se usa las ocho horas completas y

que al menos se requiere producir una unidad de cada producto.

Sea x el nmero de unidades que se deben producir del producto 1

y el nmero de unidades que se deben producir del producto 2

z el nmero de unidades que se deben producir del producto 3

w el nmero de unidades que se deben producir del producto 4

Como cada mquina trabaja 8 horas diarias tenemos:

Nwzyxwzyx

zyx

wzx

wzyx

,,,;0,0,0,0

8 32

8 2

822

Aplicando eliminacin gaussiana tenemos:

80321

81102

82121

31

212

ff

ff

02200

83140

82121

luego

022 wz ; 834 wzy ; 822 wzyx ; haciendo tztw , tx 4 ; ty 2 por

las condiciones antes mencionadas 20 t 2;1;0t y como se debe de producir al menos una unidad de cada producto entonces 1t Luego, se deben producir 3 unidades del producto 1 y una unidad de los productos 2, 3 y 4.

13

21. Se va a construir un gran edificio de departamentos usando tcnicas de construccin modular. La distribucin de los departamentos en cualquier piso se escoge entre uno de tres diseos de

piso bsicos. El diseo A tiene siempre 18 departamentos en un piso e incluye 3 departamentos

con tres dormitorios, 7 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio. Cada piso del diseo B tiene

siempre 4 departamentos con tres dormitorios, 4 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio.

Cada piso del diseo C tiene siempre 5 departamentos con tres dormitorios, 3 con dos

dormitorios y 9 con un dormitorio.

a) Formule un modelo matemtico que permita disear el edificio con exactamente un total de 66 departamentos con tres dormitorios, 74 departamentos con dos dormitorios y 136

departamentos con un dormitorio.

b) Resuelva el modelo obtenido en (a) e indique si es posible disear tal edificio. Si se pudiera, hay ms de una manera? Explique su respuesta.

Sea x el nmero de pisos del diseo A

y el nmero de pisos del diseo B

z el nmero de pisos del diseo C

Ordenamos la informacin en la siguiente tabla:

3 dormitorios 2 dormitorios 1 dormitorios

Diseo A 3 7 8

Diseo B 4 4 8

Diseo C 5 3 9

total 66 74 136

Planteamiento: Nzyxzyx ,,;0,0,0

136988

74347

66543

zyx

zyx

zyx

136988

74347

66543

31

21

3

2

ff

ff

62641

58741

66543

21 ff

62641

66543

58741

21

213

ff

ff

1201380

24026160

58741

322

1ff

0000

1201380

58741

tz

zy

zyx

120138

5874

tz

ty

tx

8

1315

22

t puede ser 0 u 8; luego, para que se cumpla lo solicitado existen dos posibilidades:

I.- Cuando t = 0

2 pisos del diseo A

15 pisos del diseo B

0 pisos del diseo C

II.- Cuando t = 8

6 pisos del diseo A

2 pisos del diseo B

8 pisos del diseo C