Circuitos Electr³nicos Aplicados con Amplificadores Operacionales: Teora y Problemas

Juan José González de la RosaAntonio Moreno Muñoz

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Primera Edición: 2009

Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de CádizC/ Doctor Marañón, 3-11002 Cádiz (España)www.uca.es/publicaciones

E-ISBN: 978-84-9828-424-9 Depósito Legal: MU-2495-2009 Imprime: Compobell, S.L.

A nuestras esposas Susana y Eva. A nuestros hijos María, Adriana y Alberto…

…fuentes constantes de inspiración y de motivación.

vii

Contenido

Prólogo ix

1 El AO de propósito general: Características y configuraciones 11 1.1 Introducción 1.2 Análisis de un circuito diferencial genérico 1.3 El amplificador diferencial 1.4 El amplificador operacional de propósito general 1.5 El AO ideal y la realimentación negativa 1.6 Configuraciones básicas. Primeros análisis en CC y CA 1.7 Desviaciones de la idealidad de los amplificadores operacionales 1.8 Encapsulados

2 Comparadores electrónicos 57 2.1 Introducción 2.2 Efectos del ruido sobre los circuitos comparadores 2.3 Realimentación positiva 2.4 Detector de cruce por cero con histéresis 2.5 Detectores de nivel de voltaje con histéresis 2.6 Regulación independiente del voltaje central y del voltaje de histéresis 2.7 Limitaciones de los AOs de propósito general como comparadores 2.8 El comparador integrado LM311 2.9 Comparativa de comparadores comerciales 2.10 Aplicaciones de los comparadores

3 Amplificadores diferenciales para instrumentación 75

3.1 Introducción 3.2 El amplificador diferencial básico 3.3 Mejoras introducidas al amplificador diferencial básico 3.4 El amplificador de instrumentación 3.5 Otros amplificadores diferenciales

4 Filtros activos 87 4.1 Introducción. Objetivos del capítulo 4.2 Filtros activos ideales 4.3 Filtros activos de primer orden 4.4 Filtros activos de segundo orden

5 Circuitos con diodos 115

5.1 Introducción 5.2 Limitador paralelo básico 5.3 Limitador serie básico

Índice. Circuitos Electrónicos Basados en el Amplificador Operacional

viii

5.4 Mejoras al recortador básico 5.5 Circuito de zona muerta de precisión 5.6 Rectificadores de onda completa de precisión 5.7 Amplificadores logarítmicos y anti-logarítmicos o exponenciales 5.8 Comparador de ventana

6 Generadores de señales 133

6.1 Introducción 6.2 Circuitos astables o multivibradores libres 6.3 Temporizador con disparo único retardado 6.4 Circuito monoestable basado en amplificador operacional 6.5 El temporizador integrado 555 6.6 Generador de ondas cuadradas y triangulares 6.7 Generador de señal en forma de “diente de sierra”

7 Características de los circuitos electrónicos realimentados 153 7.1 Introducción y objetivos del capítulo 7.2 Clasificación de los amplificadores electrónicos realimentados 7.3 Realimentación negativa 7.4 Ventajas e inconvenientes de la realimentación negativa 7.5 Topologías básicas de los amplificadores realimentados 7.6 Realimentación de tensión en serie 7.7 Realimentación de tensión en paralelo

8 Respuesta en frecuencia y estabilidad de los circuitos electrónicos

realimentados 173 8.1 Introducción y objetivos del capítulo 8.2 Características de un circuito realimentado con amplificadores operacionales 8.3 El Principio de Inversión 8.4 Concepto de estabilidad. Revisión de técnicas de estudio de la estabilidad 8.5 Lugar de las raíces de un circuito electrónico 8.6 Compensación electrónica. Técnicas

9 Osciladores sinusoidales con transistores y amplificadores operacionales 193

9.1 Introducción y objetivos 9.2 Principios. Criterio de Barkhausen 9.3 Osciladores RC o basados en redes desplazadotas de fase 9.4 Osciladores LC 9.5 Osciladores con cristal de cuarzo

Anexo. Transformada de Laplace y respuesta en frecuencia 215

ix

Prólogo

El objeto de la presente obra es, como su título indica, el tratamiento de los circuitos y sistemas electrónicos basados en el amplificador operacional (AO). Está concebida fundamentalmente para estudiantes universitarios de grado de electrónica y materias afines, entre las que cabe citar la Ingeniería Industrial, las Ciencias Físicas y las Comunicaciones, sin olvidar a la Formación Profesional. Aborda el análisis de numerosas aplicaciones de circuitos electrónicos en los diferentes ámbitos de la Tecnología. El libro también aborda el tratamiento de circuitos digitales, cuya base de operación se basa en la Electrónica Analógica.

Desde el primer capítulo se sientan las bases de análisis de los circuitos lineales y no lineales basados en el AO, mostrando al lector técnicas de análisis que, desde su concepción, son eminentemente prácticas. Es por ello, que el primer capítulo se considera fundamental en la estrategia de diseño de esta obra. Las técnicas de resolución en él adquiridas se aplican en el resto de los temas, por lo que se recomienda para la presente obra una lectura continuada.

A pesar de las numerosas obras de Electrónica Analógica y Digital existentes (entre las que figuran varias de los autores), la presente está concebida desde un punto de vista que hemos querido denominar de "rigor práctico", en el sentido de proporcionar con detalle al lector toda la explicación del funcionamiento del circuito en cuestión, pero también añadiendo la información práctica, que se deriva de nuestra larga experiencia docente e investigadora, con la idea subyacente de que el estudiante adquiera una formación técnica profunda e interdisciplinar. Como prueba de ello, se incluyen numerosas gráficas que resultan de realizar simulaciones con PSPICE (también con MATLAB). Se podría decir también de ella, que la obra es un libro de problemas, en el que éstos se encuentran imbricados en el desarrollo teórico.

Los autores queremos expresar nuestra gratitud a todas aquellas personas que han realizado valiosas sugerencias, las cuales sin duda han repercutido en la mejora de la obra. Asimismo, queremos agradecer al Ministerio de Ciencia e Innovación Español la financiación de los proyectos de investigación que hemos recibido en nuestra carrera investigadora. Finalmente, deseamos agradecer a la Consejería de Innovación, Ciencia y Empresa de la Junta de Andalucía la financiación de la actividad investigadora de nuestro grupo de investigación PAIDI-TIC-168, en “Instrumentación Computacional y Electrónica Industrial (ICEI)”.

J. J. González de la Rosa y A. Moreno Muñoz 11

1 El Amplificador Operacional de

propósito general: Características y Configuraciones

1.1 Introducción

En este capítulo se estudia en primer lugar el amplificador diferencial, primera etapa (y más relevante desde una perspectiva funcional) de un amplificador operacional (AO), con el objetivo de comprender el funcionamiento del circuito integrado AO del que forma parte. Con el fin de familiarizarnos con las configuraciones diferenciales comenzamos realizando un análisis diferencial genérico. Posteriormente se analizan sus primeras aplicaciones y las desviaciones prácticas más importantes del componente. Estas no-idealidades se ampliarán en el contexto de capítulos posteriores, que abordan aplicaciones y problemáticas específicas. Como en todo este libro, se numerarán sólo las expresiones necesarias, y principalmente las involucradas en demostraciones. 1.2 Análisis de un circuito diferencial genérico

Sea el circuito diferencial lineal de la Fig. 1. En él individualmente las entradas están referidas a tierra y posee alimentación bipolar, que se omite por sencillez.

Fig. 1. Circuito lineal diferencial genérico, con dos entradas y dos salidas.

Las salidas se obtienen como combinaciones lineales de las entradas según:

2221212

2121111

iio

iio

vAvAv

vAvAv

⋅+⋅=⋅+⋅= . (1)

vo1vi1

vi2

Circuito Lineal

Diferencial vo2

Circuitos Electrónicos Aplicados con Amplificadores Operacionales

12 J. J. González de la Rosa y A. Moreno Muñoz

Se definen las siguientes magnitudes: Tensión diferencial de entrada: 21 iiiD vvv −= ; diferencia de las dos entradas.

Tensión de entrada en modo común: 2

21 iiiCM

vvv

+= ; que es la media aritmética de las

dos entradas. Se obtiene a partir de ellas, sumándolas y restándolas:

→

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

−=

22

222

21

21

iiiCM

iiiD

vvv

vvv

22 21iD

iCMiiD

iCMiv

vvv

vv −=+= . (2)

Llevando la Ec. (2) a la Ec. (1) y renombrando los coeficientes de las relaciones lineales, se obtienen las salidas individuales, en función de las ganancias diferenciales y de modo común asociadas a cada una de las salidas:

iCMCMiDDo

iCMCMiDDo

iDiCM

iDiCMo

iDiCM

iDiCMo

vAvAv

vAvAv

vvA

vvAv

vvA

vvAv

⋅+⋅=⋅+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=

222

111

22212

12111

............

22

22

Antes de extraer consecuencias, se define la tensión diferencial de salida:

iCMCMiDDoooD vAvAvvv ⋅+⋅=−≡ 21 . (3)

En un buen amplificador diferencial se debe verificar la condición de que cualquier salida sólo debe depender de la diferencia de las entradas. Por ello, la ganancia diferencial debe superar con suficiencia a la ganancia de modo común. La salida sólo debe depender del término diferencial.

Para cuantificar en qué medida se verifica esta condición se define el factor de rechazo al modo común, en decibelios (dB):

1

CM

D

A

ACMRR log20 ⋅≡ .

Por ejemplo, un valor CMRR = 60 dB (muy conservador), significa que:

100060log20 =→=⋅≡CM

D

CM

D

A

AdB

A

ACMRR .

1 Common Mode Rejection Ratio

1 El Amplificador Operacional: Características y Configuraciones


Por otra parte, esta magnitud depende de la frecuencia y presenta una respuesta paso-baja. Se dice que el CMRR se degrada con la frecuencia. En Electrónica, los comportamientos de los circuitos dependen de la frecuencia; si a un circuito se le excita con una frecuencia comprendida dentro de su ancho de banda, su comportamiento es óptimo, responde a ecuaciones predeterminadas, verificándose las expectativas de diseño. A partir del ancho de banda el fabricante no garantiza que el comportamiento real coincida con el de los modelos lineales. 1.3 El amplificador diferencial

Este circuito constituye la etapa de entrada de numerosos circuitos electrónicos integrados, analógicos y digitales; formando parte de amplificadores operacionales de propósito general, comparadores y circuitos integrados digitales de la familia ECL. 1.3.1 Circuito básico El amplificador diferencial básico se muestra en la Fig. 2 y consta de una pareja de transistores (versión bipolar) acoplados por el emisor. Se observa simetría topológica, que conlleva simetría funcional que le dota de un comportamiento peculiar. Por ello se encuentra integrado y no realizado con componentes discretos. 1.3.1.1 Análisis del amplificador diferencial básico en CC Se analiza el circuito de la Fig. 2 considerando perfecta a la fuente de corriente (resistencia del modelo Norton infinita), y simetría total en componentes y transistores. Considerando los transistores en activa, sus corrientes de colector vienen dadas por:

T

BE

T

BE

V

V

ESFV

V

ESFEFC eIeIII ⋅⋅α≅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅α=⋅α= 1 .

Fig. 2. Amplificador diferencial bipolar básico. La fuente de corriente se representa por su modelo equivalente de Norton.

Vcc

RC1

RE

Q1

vo1

vi1

RC2

Q2

vo2

vi2

Vcc

-VEE

IEE



Ahora se plantea la relación entre las corrientes de colector:

T

iD

T

BEBE

T

BE

T

BE

V

V

V

VV

V

V

V

V

C

C ee

e

e

I

I===

− 21

2

1

2

1 , (4)

donde la diferencia de tensiones: VBE1-VBE2=Vi1-VE-(Vi2-VE).

Ahora se plantea la suma de corrientes de colector:

EEFEFEFCC IIIII ⋅α=⋅α+⋅α=+ 2121 . (5)

Combinando las Ecs. (4) y (5) se obtienen las corrientes de colector del par diferencial bipolar con fuente de corriente, en función de la tensión diferencial de entrada que, como veremos, se encarga de desplazar la conductividad de este par de transistores con alta sensibilidad. Resultan:

T

iD

T

iD

V

VEEF

C

V

VEEF

C

e

II

e

II

+

α=

+

α=

−11

21 .

Con el fin de mostrar el desplazamiento de la conductividad del par diferencial, se utilizan ecuaciones en las que las corrientes de colector están normalizadas a la corriente de referencia, y las tensiones diferenciales normalizadas a la tensión térmica; también se tiene en cuenta que αF generalmente es próximo a la unidad:

T

iD

T

iD

V

VEE

C

V

VEE

C

eI

I

eI

I

+

≅

+

≅−

1

1

1

1 21 . (6)

Considerando el voltaje térmico VT = 26 mV a temperatura ambiente, se obtienen las gráficas de la Fig. 3. En ellas se aprecian los desplazamientos del par, y la estrecha franja de región lineal, que demuestra que esta región operativa es muy poco probable.

La Fig. 3 muestra el comportamiento extremo del par diferencial cuando opera en lazo abierto (sin realimentación, como en la Fig. 1). En general, la situación de saturación se describe para las tensiones de salida. Se demuestra, que las dos salidas vienen dadas por las siguientes expresiones:

T

iD

T

iD

V

VcEEF

cco

V

VcEEF

cco

e

RIVV

e

RIVV

+

⋅⋅α−=

+

⋅⋅α−=

−11

21 . (7)



Fig. 3. Desplazamiento de la conductividad del par diferencial de la Fig. 1. Obsérvese la estrecha franja de comportamiento lineal en torno al origen.

La tensión de salida diferencial es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−⋅⋅⋅α=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−

+

⋅⋅⋅α−=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅⋅α−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅⋅α−=−≡

−

−

T

iDcEEF

V

V

V

VcEEF

V

VcEEF

cc

V

VcEEF

ccoooD

V

VRI

ee

RI

e

RIV

e

RIVVVV

T

iD

T

iD

T

iD

T

iD

2tanh

1

1

1

1

11

21

(8)

Esta expresión establece una relación no lineal entre la entrada y la salida diferencial del circuito. Al linealizar (aproximación lineal de primer orden) resulta una tensión diferencial de salida proporcional a la tensión diferencial de entrada:

iDT

cEEFoooD V

V

RIVVV ⋅

⋅⋅⋅α

−≈−≡221 . (9)

Generalmente se admite como válida la aproximación lineal en un margen de radio 2VT=52 mV en torno al origen. Para diferencias mayores entre las dos entradas el comportamiento ya no se considera lineal. Se demuestra que la región lineal puede incrementarse intercalando dos resistencias idénticas en serie con los emisores de los transistores.



1.3.1.2 Análisis del amplificador diferencial básico en CA Se considera el circuito de pequeña señal de la Fig. 4, que proviene de aplicar las consideraciones de CA al circuito de la Fig. 2. El circuito es simétrico. Se consideran las siguientes situaciones: Entrada diferencial pura: Las entradas son:

22 21iD

iiD

iv

vv

v −== .

Esto permite separar el circuito en dos mitades iguales, ya que por RE no circula corriente (las corrientes son iguales y opuestas). Resulta el circuito modelado para pequeña señal expuesto en la Fig. 5.

Fig. 4. Modelo de pequeña señal del amplificador diferencial bipolar básico de la Fig. 1.

Fig. 5. Mitad simétrica del modelo de pequeña señal del amplificador diferencial bipolar básico de la Fig. 4 en modo diferencial puro.

La ganancia del circuito de la Fig. 5 es un cociente de magnitudes diferenciales y resulta:

cmeb

c

ebbb

c

iD

oD

iD

oDD Rg

r

R

rr

Rv

v

v

vA ⋅−=

+⋅−

=+⋅−

==≡''' 0

2

2 ββ .

RC

RE

gmvb’e1

vo1vi1

RC

vo2

gmvb’e2

rbb’

rb’e

vi2

rbb

’

rb’e

i2i1

RC

gmvb’e

viD/2

rbb’

rb’e

voD/2

ib



Como consecuencia, ya que la ganancia diferencial depende de la transconductancia del transistor, como ésta depende de la corriente de colector en reposo y, a su vez, ésta depende de la corriente de la fuente. Es la corriente de la fuente de polarización inferior del par diferencial, la que determina la ganancia diferencial del circuito. La situación descrita ilustra el control de ganancia de pequeña señal mediante una magnitud de CC.

cT

CcmD R

V

IRgA ⋅=⋅−= .

Se calculan a continuación otros parámetros. La resistencia de entrada diferencial es:

C

T

r

meb

b

iDiD I

V

grr

i

vR ⋅β⋅=

β⋅=⋅=⋅=≡

π

π 00

' 2222 .

Esto supone que para lograr una resistencia de entrada diferencial elevada, se requieren corrientes de polarización más bien pequeñas, lo cual perjudica a la ganancia diferencial y, en consecuencia, al factor de rechazo al modo común. Entrada en modo común pura: Las entradas son:

021 =→== iDCMii vvvv

Por simetría las corrientes son iguales y resulta el circuito de la Fig. 6.

Fig. 6. Mitad simétrica del modelo de pequeña señal del amplificador diferencial bipolar básico de la Fig. 4 en modo común puro.

La ganancia de modo común resulta:

Em

cm

CM

oCMCM

Rg

Rg

v

vA

⋅⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅−=≡

21

110β

.

Esta expresión demuestra que un aumento de la resistencia de emisor conlleva una disminución de la ganancia en modo común. Esto supone que conviene emplear fuentes de corriente casi ideales, es decir, con resistencias de salida altas.

RC

gmvb’e

vCM

rbb’

rb’e

voCM

ib

2RE



Por otra parte, si la transconductancia debe ser alta, como gm=Ic/VT, se exige que la corriente de polarización sea lo más alta posible lo cual, normalmente no es deseable.

También podemos definir la resistencia de entrada en modo común:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

++⋅≅≡ Emebb

CMiCM Rgr

i

vR 2

111

0' .

Con todo, el factor de rechazo al modo común resulta:

dBEm

dB

EmdBCM

DdB

RgRgA

ACMRR ⋅⋅≈⋅⋅⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

++=≡ 221

110

.

Por ejemplo, para Ic = 1 mA, RE = 13 kΩ, resultan unos 60 dB a temperatura ambiente.

1.4 El amplificador operacional de propósito general El amplificador operacional (AO a partir de ahora) es un circuito electrónico integrado que se comporta como amplificador diferencial de gran ganancia en lazo abierto. Su arquitectura se fundamenta en bloques de la Electrónica Integrada, de los que hemos estudiado con detalle el amplificador diferencial; y se clasifican en diversos grupos atendiendo a criterios que estudiaremos a continuación. 1.4.1 Clasificación de los amplificadores operacionales En los siguientes esquemas aparecen los símbolos y criterios de clasificación más frecuentes de los amplificadores operacionales. - Número de entradas y de salidas: Quedan clasificados en la Fig. 7, donde hemos supuesto que las magnitudes son tensiones y ganancias de tensión, pero pueden ser corrientes y ganancias de corriente también

(a) (b)

(c)

Fig. 7. a) AO con una entrada y una salida (entrada simple-salida simple). b) Entrada diferencial-salida simple. c) Entrada diferencial-salida diferencial.

Av VoVi

Vo=Av Vi

Vi

-

+

Av Vo

Vo=Av⋅⋅⋅⋅Vi

Vi

-

+

Av Vo

Vo=Av⋅⋅⋅⋅Vi



- Tipo de señal de entrada y tipo de señal de salida. Quedan clasificados en los esquemas de la Fig. 8 y son los que siguen: OVA: Amplificador operacional de tensión. OTA: Amplificador operacional de transconductancia. OFA: Amplificador operacional de transimpedancia. OCA: Amplificador operacional de corriente. Existen otras clasificaciones atendiendo a su finalidad (de instrumentación, comercial, militar, etc.) y al tipo de transistor empleado en su fabricación (BJT, JFET, NMOS, CMOS, BI-CMOS, etc.).

El AO más extendido es el OVA (tratados en este tema casi monográficamente) de entrada diferencial y salida única, si bien en los últimos años está aumentando la utilización de los OTA y la salida diferencial, buscando unas corrientes de polarización cada vez más pequeñas.

(a) (b)

(c) (d)

Fig. 8. a) OVA. b) OTA. c) OFA. d) OCA. 1.4.2 Arquitectura Las arquitecturas o diagramas de bloques típicos de un OVA (AO a partir de ahora) de una y dos etapas se muestra en la Fig. 9. La primera etapa es diferencial, y su misión consiste en proporcionar una primera ganancia y convertir la entrada diferencial a única. La segunda etapa es la de ganancia, que proporciona una ganancia adicional. La tercera etapa fija la tensión de continua de la salida a unos niveles apropiados para su utilización. La cuarta etapa proporciona baja impedancia de salida; la alta impedancia de entrada del AO proporciona junto con esta característica el aislamiento o efecto de carga despreciable de este circuito integrado. La Fig. 10 muestra el diagrama esquemático de un circuito integrado AO de propósito general.

V1

-

+

Av Vo

Vo=Av(V1- V2)=AvVi=AdVd

V2

Vi

V1

-

+

Gm

Io

Io= Gm (V1- V2)= Gm Vi

V2

Vi

Rm Vo

Vo=Rm Ii

Ii

Ai

Io= Ai Ii

Ii Io



(a)

(b)

Fig. 9. Arquitecturas de OVAs: a) De 1 etapa. b) De 2 etapas.

Fig. 10. Diagrama esquemático de un AO de propósito general modelo LM741. Por etapas: amplificador diferencial, etapa de ganancia de CC-CC, desplazadota de nivel y etapa de salida.

En la práctica, para trabajar con circuitos electrónicos basados en el amplificador operacional se emplean modelos equivalentes de cuadripolos. 1.5 El amplificador operacional ideal y la realimentación negativa

Se plantea el primer modelo con el fin de estudiar las primeras configuraciones. 1.5.1 Características del AO ideal y planteamiento del modelo equivalente En primer lugar vemos las características del AO ideal. Un AO es ideal si verifica las siguientes características:

Vi

-

+ Amplificador

Diferencial

Desplazador de Nivel

o “Level Shifter”

Etapa de

Salida Vo

Vi

-

+ Amplificador

Diferencial

Desplazador De Nivel

o “Level Shifter”

Etapa de Salida:

Seguidor de

Emisor

Vo

Etapa de

Ganancia



a) Presenta un CMRR → ∞. b) Resistencia de entrada infinita. Así, no fluye corriente por ningún terminal de

entrada. c) Resistencia de salida nula. La salida del AO sería una fuente de tensión ideal. d) Ganancia de tensión (ganancia diferencial) en circuito abierto infinita: Av → ∞.

Esta condición supone que la salida diverge Vo = Av⋅Vid → ∞, a menos que la entrada sea nula Vid → 0, en lazo cerrado. A esta circunstancia se le denomina cortocircuito virtual. Esto supone que los terminales inversor y no inversor están “virtualmente” al mismo potencial. Cuanto mayor es la ganancia diferencial mejor es el cortocircuito virtual. El cortocircuito virtual es por tanto necesario para obtener una salida controlada en lazo cerrado. Veremos que esto se consigue con la realimentación negativa.

e) El ancho de banda es infinito. En la práctica presentan una respuesta paso-baja.

Presentado de esta forma ideal, y teniendo en cuenta las dos alimentaciones que limitan el rango de tensiones de salida, la característica ideal de AO, en lazo abierto, queda representada en la Fig. 11.

Fig. 11. Característica de transferencia (relación entrada-salida) de un AO ideal en lazo abierto.

En esta Fig. 11 se aprecia que cuando la tensión diferencial se desplaza un infinitésimo del origen, el componente se satura (la salida no puede superar la alimentación menos cierta cantidad disipada); la tensión de salida evoluciona de forma instantánea hacia uno de los dos “raíles” del circuito: ±Vsat= VOM.

Desde un enfoque analítico la función característica de transferencia en lazo abierto queda como sigue:

( )

∞→

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=<<−∞−

>>+∞

=⋅=−⋅= −+

−+

−+

v

d

dsat

dsat

dvvo

A

Vsiadoerin

VVVsiV

VVVsiV

VAVVAV

0mindet

0,,

0,,

Tal y como se ha definido el componente, en lazo abierto, su funcionamiento es

inútil, pues si aplicamos una diferencia de entradas por pequeña que sea, se satura. De

Vid=V+-V-

Vo

+Vsat

-Vsat

0

Vo =Av⋅⋅⋅⋅(V+-V-)

∞∞∞∞



ahí que para tener una salida controlada se deba insertar el componente en un circuito externo. Esto nos llevará al concepto de realimentación negativa 1.5.2 Modelo del AO ideal El circuito equivalente se representa en la Fig. 12. En ella se consideran los casos de resistencias de entrada y de salida, ideales (a) y no ideales (b).

Fig. 12. Modelos equivalentes del amplificador operacional de tensión: a) Con resistencia de entrada infinita y de salida nula. b) Con resistencias de entrada y de salida finitas, y eligiendo un punto de referencia.

Estos modelos se utilizan con el fin de analizar los circuitos electrónicos basados en el AO. Comenzamos con los circuitos que tienen por objeto la obtención de una salida controlada, es decir, que incorporan realimentación negativa. 1.5.3 Concepto de realimentación negativa El concepto de realimentación negativa se introduce por ejemplo con una configuración inversora, como la de la Fig. 13, que usa un AO ideal. La realimentación consiste en introducir una muestra de la salida en el circuito de entrada; en nuestro caso se realiza mediante el terminal inversor.

Veamos el mecanismo de estabilización de la salida. La dinámica de la realimentación negativa tiene por objeto estabilizar la salida de forma que en el estado estacionario, la salida tome un valor controlado, es decir, responda a unas expectativas de diseño. En el régimen transitorio la tensión diferencial no es nula. Vamos a suponer que V- > V+, entonces Vo → -∞. Pero al aplicar esta tensión muy negativa al terminal inversor, hacemos que esta tensión decrezca hasta que no se dé la desigualdad V- > V+. Análogamente (si viene de descompensarse) si V+ > V-, entonces Vo → +∞ y ello

+-

+

Vid

-

Ri

Ro

AvVid

+

Vo

-

+-

+

Vid

-

AvVid

+

Vo

-

(a)

(b)



conduce a que V- crezca. Por tanto, la situación de equilibrio consiste en la igualdad de tensiones: V- = V+. El equilibrio tiende a tensión diferencial nula.

Fig. 13. AO en configuración inversora. A menudo R2 se nota como RF con el fin de mostrar que es de realimentación (Feedback).

A la circunstancia así descrita se le denomina cortocircuito virtual (conocido también

como el Principio de tierra virtual). Recordemos que está presente siempre que la ganancia en circuito abierto del AO sea muy elevada. Hemos demostrado que la realimentación negativa fuerza el cortocircuito virtual.

Obsérvese que la realimentación negativa es un mecanismo que tiende a compensar aumentos en la entrada que puedan provocar saturaciones en el componente. Por el contrario, la realimentación positiva (a través del terminal no inversor del circuito integrado) tiende a acelerar el proceso de entrada en saturación, como veremos en el capítulo de comparadores basados en el amplificador operacional. 1.6 Configuraciones básicas. Primeros análisis en CC y CA En este apartado se analizan los primeros circuitos electrónicos basados en el AO, considerando el componente ideal a todos los efectos. 1.6.1 Configuración inversora El circuito de la Fig. 13 se analiza con facilidad planteando las condiciones de idealidad:

• Ganancia en lazo abierto infinita: cortocircuito virtual. • Resistencia de entrada infinita: no existe corriente hacia el interior del

operacional, por ninguno de sus nudos de entrada. Empezamos en CC donde distinguimos las magnitudes en mayúsculas. Aplicando las condiciones anteriores queda pues la expresión:

→−

=−

21

00

R

V

R

V oi

1

2

R

R

V

V

i

o −= .

Esta expresión demuestra que es una configuración inversora, por lo que la salida y la entrada desfasan en 180º.

+

-R1 +Vcc

-Vcc

Vo

R2

Vi

=

0

Ii

Ii



Obsérvese que la ganancia no es función de los parámetros del AO y sólo depende del cociente de resistencias. Esta es una de las principales ventajas que presenta la realimentación negativa; que la salida del circuito es independiente del componente activo; dicho de otra forma, es insensible ante las sustituciones del componente.

La Fig. 14 muestra la característica estática del circuito para los valores concretos R1

=10 kΩ y R2 =20 kΩ, 50 kΩ, 100 kΩ. En ella se observa que cuanto mayor es el valor absoluto de la ganancia menor es la zona de funcionamiento lineal. En efecto, al aumentar el valor de la resistencia de realimentación la corriente de realimentación disminuye y se pierden posibilidades de estabilizar la salida.

La resistencia de entrada del circuito (respecto de esa entrada) se evalúa realizando el cociente entre la tensión de entrada y la corriente que fluye por ese terminal:

10

RI

V

I

VR

i

i

i

ii =

−=≡ .

Fig. 14. Conjunto de características estáticas de la configuración inversora, para distintos valores de resistencias. Obsérvese que para R2 → ∞, la configuración se comporta en lazo abierto.

En CA (señales variables en el tiempo) el análisis es análogo y quedan por interpretar la gráficas en el dominio del tiempo en régimen permanente. Para ello vamos a considerar el ejemplo concreto con valores de resistencias: R1 =10 kΩ y R2 =20 kΩ; esto es, una ganancia teórica de – 2. Introduciendo una señal de entrada sinusoidal, de valor medio 1 y 2 Vpp y 1 kHz de frecuencia; el diagrama de señales en régimen permanente viene representado en la Fig. 15. En ella se aprecia la amplificación y la inversión de signo.

Si la entrada no tiene acoplado ningún valor de CC, se observa la compensación interna de offset de AO, ya que existe simetría en torno al punto central. La situación se refleja en la Fig. 16.



Fig. 15. Respuesta a una señal sinusoidal de la configuración inversora. Las características de la entrada son: 2 Vpp, Vm=1, f=1 kHz. La entrada es la señal superior.

Fig. 16. Respuesta a una señal senoidal sin valor medio de la configuración inversora. Las características de la entrada son: 2 Vpp, Vm=0, f=1 kHz. 1.6.2 Configuración no inversora

Su esquema del circuito se muestra en la Fig. 17. El análisis del circuito se realiza bajo las mismas hipótesis de idealidad del componente. Consideramos cortocircuito virtual y queda:

→−

=−

21

0

R

VV

R

V oii

1

21R

R

V

V

i

o += .

La ganancia no es inversora y de nuevo se observa que no depende de los parámetros del AO, sólo de los componentes del circuito (las resistencias en este caso).



Fig. 17. Configuración no inversora basada en AO ideal.

1.6.3 Sumadores ideales

1.6.3.1 Sumador/escalador inversor

Su esquema o circuito se muestra en la Fig. 18. Aplicando los mismos principios, se analiza el circuito:

F

o

N

NFN R

V

R

V

R

V

R

V

R

VIIIII

−=

−++

−+

−+

−↔=++++

00...

000...

3

3

2

2

1

1321 .

Fig. 18. Circuito sumador inversor basado en un AO ideal.

+

-R1 +Vcc

-Vcc

Vo

RF

V1

=

0

I1

R2

V2

I2

R3

V3

I3

RN

VN

IN

…

…

IF

+

-

R2

R1

ViVo

=

+Vcc

-Vcc



De aquí se sigue que la salida es la suma ponderada de las entradas (circuito sumador/escalador), cambiada de signo (inversor):

∑=

⋅−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⋅−=

N

i i

iF

N

NFo R

VR

R

V

R

V

R

V

R

VRV

13

3

2

2

1

1 ... .

Donde, la salida es la suma de cada una de las entradas ponderadas en RF/Ri. Si todas las resistencias son iguales:

∑=

⋅−=N

ii

Fo V

R

RV

1

.

Con lo que se demuestra la realización de la función “suma invertida”. 1.6.3.2 Sumador/escalador no inversor

Su esquema se muestra en la Fig. 19.

Fig. 19. Sumador no inversor basado en AO ideal.

+

-

RF

R

Vo

=

+Vcc

-Vcc

R1

V1

I1

R2

V2

I2

R3

V3

I3

RN

VN

IN

…

…

I+=0



Planteamiento de ecuaciones, con las corrientes en el terminal no inversor:

N

N

R

VV

R

VV

R

VV

R

VVI

+++++ −

++−

+−

+−

== ...03

3

2

2

1

1 .

−+ = VV

Se plantea ahora un divisor de tensión en el terminal inversor:

Fo RR

RVV

+⋅=− .

Combinando las tres últimas ecuaciones, se obtiene:

N

FoN

Fo

Fo

Fo

R

RR

RVV

R

RR

RVV

R

RR

RVV

R

RR

RVV

+⋅−

+++

⋅−+

+⋅−

++

⋅−= ...0

3

3

2

2

1

1

.

Desarrollando:

( ) ( ) ( )

( ) .

...033

3

22

2

11

1

FN

o

N

N

F

o

F

o

F

o

RRR

RV

R

V

RRR

RV

R

V

RRR

RV

R

V

RRR

RV

R

V

+⋅⋅

−+

++⋅⋅

−++⋅⋅

−++⋅⋅

−=

Se define ahora la resistencia en paralelo:

∑=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++⋅

+⋅ N

i i

i

R

NF

o

R

V

RRRRRR

RV

1

'/1

321

1...

111

44444 344444 21

.

De donde, finalmente:

N

N

i i

iFo RRRRRdonde

R

VR

R

RRV //...//////':' 321

1

≡⋅⋅+

= ∑=

1.6.4 Seguidor de tensión o seguidor de fuente El circuito se muestra en la Fig. 20. También recibe el nombre de amplificador de ganancia unitaria o amplificador de aislamiento (o buffer). De la Fig. 20 (a), la señal o tensión de entrada se aplica directamente a la entrada no inversora del AO. Al existir cortocircuito virtual, las tensiones en los terminales inversor y no inversor coinciden, por lo que:

→=== −+oi VVVV oi VV = .

Obsérvese que la tensión de salida coincide con la de entrada en magnitud y signo. La ganancia de tensión es la unidad y “la salida sigue a la entrada”.



Fig. 20. (a) Seguidor de tensión o amplificador de aislamiento (buffer). (b) Configuración para análisis de corrientes en CC.

La Fig. 20 (b) permite realizar un análisis en CC. Se basa en la suma de corrientes en el nudo de salida. En este circuito aparece por primera vez la corriente de salida del AO (Io). Aunque en la práctica son aproximadamente iguales la siguiente expresión demuestra la igualdad entre la corriente de salida del AO y la que circula por la resistencia de carga del AO.

mAk

V

R

V

R

VIIII

L

i

L

oLLo 5,0

10

5

0

=Ω

===≅+=≅

− .

Como veremos en el apartado de límites prácticos del AO, la corriente de salida y la

de entrada no pueden tomar un valor arbitrariamente alto sin deteriorar el funcionamiento del dispositivo.

El seguidor de tensión se emplea con el fin de disminuir los efectos de carga entre etapas. En efecto, al ser su resistencia de entrada muy alta, demanda muy poca corriente de una fuente que a él se conecte. El efecto puede comprobarse al comparar el seguidor de tensión con configuraciones que posean una resistencia de entrada finita., cuando se les conectan fuentes de resistencia de salida elevadas. Considérese así el circuito de la Fig. 21.

Comprobaremos que la entrada del circuito inversor (Vi) no coincide con la señal de excitación (Vs), que es la que debe ser amplificada, y no una fracción de ella. Para ello se plantean otra vez las corrientes.

ss

is

is

soi

s

isi V

RR

RV

RRV

R

V

R

V

R

V

R

VVI ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=↔

−=

−=

−=

1

1

121

1100 .

+

-

vi

vovd ≅≅≅≅ 0

+Vcc

-Vcc

i+ ≅≅≅≅ 0

i- ≅≅≅≅ 0

+

-

Vi=5 V

VoVd ≅≅≅≅ 0

+Vcc

-Vcc

(a) (b)

RL=

10 kΩΩΩΩ

≅≅≅≅ 0

IL

I-

Io



Fig. 21. Amplificador inversor basado en AO, conectado a fuente, Vs, de resistencia de salida, Rs, elevada.

De la relación anterior se deduce que cuando la resistencia de la fuente tiende a cero, la tensión de entrada al circuito es prácticamente la de la fuente de señal.

( ) ssiRs

VVR

RV =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=→ 0

lim1

1

0.

En el caso que nos ocupa se obtiene:

VVVkk

kV

RR

RV s

si 0909,01

110

101

10010

10

1

1 ≅×=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω+Ω

Ω=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+= .

Se comete un error de casi el 90% debido a este efecto de carga. En efecto, en la entrada deberíamos tener 1 V y tenemos aproximadamente 0,1 V (el 10%). 1.6.5 Integradores Comportamiento en el dominio del tiempo: La aplicación (función) lineal de integración se lleva a cabo mediante circuitos que incorporan un condensador en el lazo de realimentación. El primer circuito se muestra en la Fig. 22.

Fig. 22. Integrador básico basado en AO741.

+

-+Vcc

-Vcc

Vo

Vi

=

0

Ii

Rs=100 kΩΩΩΩ R1=10 kΩΩΩΩ

R2=10 kΩΩΩΩ

Vs=1 V

RL=

10 kΩΩΩΩ

+

-R=100 kΩΩΩΩ 12 V

-12 V

vo(t)

vi(t)

C=10 nF

741

ic(t)

i- ≅≅≅≅ 0

+ -

vd ≅≅≅≅ 0

vc(t)

ii(t)



En primer lugar vamos a comprobar que realiza la función de integrar la señal de entrada. Para ello supondremos todo lo referente a la idealidad del componente. Si Q es la carga almacenada en C, podemos plantear directamente la tensión de salida del circuito:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) dttv

RCtvtv

dt

tvdRCtv

tvtvR

tvti

dt

tvdC

dt

dQtiti

t

t

iooo

i

oc

ii

cci

⋅−=→−=→

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=

=

===

∫0

10 .

En esta última expresión se han considerado las condiciones iniciales de integración. Queda demostrada pues la función integración del circuito.

Antes de pasar al análisis práctico del circuito veamos en teoría cómo se comporta ante determinadas entradas. Por ejemplo, ante el escalón de tensión de la Fig. 23 (a).

Fig. 23. Respuesta de un integrador ideal (a) a un escalón de tensión (a).

Se parte de condiciones iniciales nulas y se obtiene la evolución de la salida en función del tiempo:

( ) ( ) ( ) ( )00

00

10

1tt

RC

VdtV

RCdttv

RCtvtv

t

t

t

t

ioo −−=⋅−=⋅−= ∫∫ .

Considerando los valores numéricos de la Fig. 23(b) y suponiendo que se parte del origen con condiciones iniciales nulas, se plantea el caso R=100 kΩ y C=10 nF. Al cabo de 3 ms, la salida es:

vi(t)

t

V

t0

(a)

vo(t)

t (ms)t0 t1=3

vo(t1)

0

(b)

V= 1 V

0

vo(t)



( ) ( ) Vmsms

dtmstvmsRC

mst

t

o 3031

11

1

10311010

3

0

85

0

−=−−=⋅−===×==τ ∫=

=

− .

Este valor de salida está lejos de la tensión de saturación negativa (aproximadamente -12 V). Si se espera más tiempo se termina por alcanzar la saturación.

Es interesante observar que el integrador lo que hace en realidad es sumar 1 V a la salida cada vez que transcurre una constante de tiempo, es decir, cada vez que pasa 1 ms. Por tanto, como han pasado 3 ms y el integrador es inversor, entonces tendremos -3 V en la salida.

El caso práctico que se plantea con PSPICE en condiciones estacionarias en el domino del tiempo, consiste en suponer una señal cuadrada con T=10 ms, 1 Vpp y valor medio nulo. Suponiendo el condensador inicialmente descargado, la respuesta periódica en el dominio del tiempo viene representada en la Fig. 24.

Fig. 24. Entrada y salida del integrador básico basado en el AO741. Se supone por ejemplo que la señal empieza en nivel bajo. Obsérvese que la integración no finaliza en el cero por efecto de la tensión de offset de entrada del AO. Para hacer la simulación hay que habilitar la opción “Skip Initial Transient Solution” (saltar/obviar el transitorio inicial), para que el integrador empiece en cero. En caso contrario empezaría la integración en 12 ó en -12 V.

La constante de tiempo característica del integrador es:

mssRC 11010 85 =×==τ − . Se consideran unidades de ms. Para obtener la señal se analizan las dos situaciones: vi=-0,5 V en el intervalo 0-5 ms.-

( ) ( ) ( ) ( ) ttdtdttvRC

tvtvtt

t

ioo 5,01

5,05,0

1

10

1

0

0

0

==⋅−−=⋅−= ∫∫ .

Cuando t=5 ms: ( ) Vmstvo 5,25 == , como se aprecia en la Fig. 24. Este es el valor inicial para el siguiente intervalo temporal, correspondiente al otro nivel de tensión de entrada.



vi=0,5 V en el intervalo 5-10 ms.-

( ) ( ) ( ) ( )55,05,251

5,05,25,0

1

15

5

−−=−−=⋅−= ∫ ttdtvtvt

oo .

Esta rampa decreciente finaliza en el instante t=10 ms. En él:

( ) ( ) Vvo 05105,05,210 =−−= . Esto ratifica la evolución de la señal en el dominio del tiempo. A su vez, este valor constituye la situación inicial para el segundo periodo, y todo vuelve a repetirse.

Por otra parte, en la gráfica se observa que no se llega exactamente a cero, pero se atribuye a la tensión de offset de entrada del AO. Una resistencia en paralelo con el condensador de realimentación reduce el efecto de la tensión de offset de entrada. Por ahora hay que conocer esta circunstancia a nivel cualitativo. La nueva situación se muestra en la Fig. 25, en la que se muestra una compensación hacia el otro sentido, con otro signo, de la tensión de offset.

Fig. 25. Integrador con resistencia de realimentación de 10 MΩ. Se compensa la tensión de offset de entrada del AO; en este caso se compensa hacia el otro signo.

Utilizando el modelo de AO ideal se obtiene la gráfica de la Fig. 25 sin necesidad de conectar la resistencia de realimentación de alto valor. Respuesta en frecuencia del integrador: Se toma como circuito prototipo el integrador básico anterior. Empezaremos con un AO ideal a todos los efectos, salvo la ganancia diferencial en lazo abierto que será en primer lugar muy elevada, Ad0=106. Se obtiene la respuesta de la Fig. 26, el diagrama de Bode de ganancias. Es este un diagrama semi-logarítmico, que representa los decibelios de la ganancia frente al logaritmo en base 10 de la frecuencia:

( )fvsV

V

i

o log.1

log20 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=



En la Fig. 26 se observa el punto de corte con el eje horizontal, que se calcula partiendo de la constante de tiempo del integrador (1 ms). La pulsación característica se define como la inversa de la constante de tiempo, y así también se define la frecuencia característica, que a continuación se expone:

Hzw

fskradsrads

w ccc 15,159

2

1000

2/1/1000

10

113

≅π

=π

=→===τ

= − .

Recordemos que este es un diagrama de Bode de ganancias porque la salida está referida a la entrada, que en este caso posee 1 V de amplitud.

Fig. 26. Respuesta en frecuencia de un integrador básico (sin resistencia en paralelo con el condensador), basado en un AO con ganancia diferencial muy elevada.

Si se utiliza un modelo de AO “menos ideal”, ahora con una ganancia de 1000,

aparecerá una zona plana en la respuesta en frecuencia. La situación se aprecia en la Fig. 27. En la Fig. 27 se aprecia la frecuencia de corte, que depende del condensador de compensación del AO. Este concepto no nos debe preocupar por el momento.

Fig. 27. Respuesta en frecuencia de un integrador básico (sin resistencia en paralelo con el condensador), basado en un AO con ganancia diferencial en lazo abierto de 1000 (60 dB).

En la Fig. 27 se aprecia la situación para calcular la frecuencia superior de corte (3 dB por debajo de la ganancia en la zona plana, 60-3= 57 dB). El cursor indica unos 158,6



mHz. Veamos qué resulta de aplicar la expresión experimental (cuasi-empírica) para su cálculo. Seguimos en un circuito integrador básico con R=100 kΩ y C=10 nF:

mHzw

fsmradsradsA

w HH

dH 16,159

π2

1000

π2/1000/1

1010

1

τ1

330

≅==→==×

=⋅

=−

,

que obviamente es muy parecida a la obtenida por simulación. La ganancia diferencial del AO en lazo abierto es Ad0=1000, y recordemos que es la causante de la zona plana con frecuencia de corte tan pequeña.

A continuación vamos a comprobar que la resistencia en paralelo con el condensador, cuya misión era suprimir el efecto de la tensión de offset de entrada, provoca por otra parte (en el domino de la frecuencia) un aumento de la zona plana del integrador.

La situación se muestra en la Fig. 28. En ella se aprecia que cuanto mayor es la resistencia de realimentación, más próximo es el comportamiento del circuito al del integrador básico. Además, el cociente R2/R1 constituye la ganancia en la zona plana o banda de transmisión del integrador. Es precisamente esta característica la que a menudo da nombre al circuito de “integrador con banda de transmisión”.

Fig. 28. Respuesta en frecuencia de un integrador con banda de transmisión (con resistencia R2 en paralelo con el condensador), basado en un AO con ganancia diferencial en lazo abierto 1000 (60 dB). Se indican los cuatro valores de la resistencia de realimentación.

A continuación se obtiene analíticamente la característica de transferencia del

integrador en régimen sinusoidal permanente. Para ello consideraremos el circuito de la Fig. 29. Se consideran los fasores y la variable “s” del dominio de Laplace es s=jw. En estas condiciones la función de transferencia se denomina transmitancia isócrona.



Fig. 29. Integrador con banda de transmisión.

Obtengamos ahora la característica de transferencia. Suponemos todas las idealidades del AO y se obtiene (igualando las corrientes que circulan por las dos impedancias):

cc

i

ooioi

f

fj

RR

w

wj

RR

CjwR

RR

V

V

CjwR

R

V

R

V

Z

V

Z

V

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

=→

+

−=

−↔

−=

−

1111

0000 1

2

1

2

2

1

2

2

2121

.

Se observa en primer lugar que la ganancia para frecuencias bajas (en concreto para CC, f=0 Hz). Además, en esta ecuación se observa la frecuencia característica o frecuencia superior de corte del circuito, fc. Para trazar los diagramas de Bode se toman logaritmos de los módulos de las magnitudes complejas y se multiplica por “20”:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ci

o

dBi

o

f

fj

R

R

V

V

V

V1log20log20log20

1

2 .

Desarrollando (llamamos W a la magnitud):

2

2

1

2

1

2 1log20log201log20log20cc f

f

R

R

f

fj

R

RdBW +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= .

En la práctica, el tratamiento de esta expresión se realiza asintóticamente, tomando como referencia la frecuencia característica:

.log2040log20log20:

4010

10log20log20:

1

2

5

7

1

2

dBf

f

f

f

R

RWff

dBR

RWff

ccc

c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈>>

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈<<

Se aprecian los 40 dB de la zona plana y la pendiente de -20 dB/dec ó -6 dB/oct. Esto siempre ocurre en circuitos con sólo una frecuencia característica en el denominador (en circuitos con un solo polo).

+

-

R1=

100 kΩΩΩΩ

vo(t)

vi(t)

C=10 nF

i- ≅≅≅≅ 0

vd ≅≅≅≅ 0ii(t)

R2=10 MΩΩΩΩ

-Vcc

+Vcc

Z2

Z1



Por otra parte, si el integrador no posee resistencia en paralelo con el condensador, y el AO es ideal (con ganancia diferencial infinita, el integrador más básico tratado), el análisis es más simple aún:

( )

cc

i

ooioi

f

fj

w

wj

CjwRV

VjwW

jwC

V

R

V

Z

V

Z

V 1111

0000

1121

−=−=−=≡→−

=−

↔−

=− .

En este caso, la representación semi-logarítmica es una recta en cualquier rango de frecuencias. A lo largo de todo el intervalo de frecuencias para el que dura la pendiente de esta recta, se produce la integración. La ecuación es:

( ) ( ) dBffdBf

fdBW c

c

log20log20log20 +−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= .

En el dominio de Laplace (s=jw), las expresiones anteriores resultan: - Integrador con banda de transmisión:

( )1

222

22

1

2

11 R

RkyCRcon

s

k

CsR

RR

sW ≡≡+−=

+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−

= ττ

.

- Integrador básico:

( ) CRconsCsR

sW 11

11 ≡ττ

−=−= .

Obsérvese que ambas funciones de transferencia son inversoras. El integrador con banda de transmisión tiene un polo2 en s=-1/τ, y no tiene ceros. El integrador básico tiene un polo en el origen (s=0), y no tiene ceros. En ambos circuitos, la zona de frecuencias de integración corresponde a la pendiente.

El integrador con banda de transmisión se considera un filtro activo (amplifica) de orden 1 (el polinomio denominador es de grado “1” en “s”), paso-baja. Por analogía a la nomenclatura del tema 4, su característica de transferencia puede expresarse en la forma:

( )s

HsH

τ+=

10 , con CR2≡τ y

1

20 R

RH −= .

Es interesante con vistas al tema 4 familiarizarse con esta forma de expresar la función de transferencia, en el dominio algebraico de la variable “s”, de Laplace.

2 Los (ceros) polos de un circuito son aquellos valores de “s” que anulan el polinomio (numerador) denominador. La función de transferencia del circuito se considera como el cociente de los polinomios numerador y denominador: ( ) ( ) ( )sDsNsW /= .



1.6.6 Derivadores El circuito electrónico derivador produce una salida proporcional al ritmo de variación temporal de la entrada (su derivada). El primer circuito se muestra en la Fig. 30.

Fig. 30. Circuito derivador básico.

Con razonamientos similares, teniendo en cuenta que la tensión de entrada es la que cae en el condensador por causa de la tierra virtual, se obtiene la expresión de la salida instantánea:

( ) ( )[ ]→=

dt

tvdCti i

i ( ) ( ) ( )[ ]dt

tvdCRRtitv i

io 22 −=−= .

Realizando razonamientos análogos, se obtiene la función de transferencia. Esto se hace tomando transformada de Laplace (operador “L”) a ambos lados de la expresión anterior, suponiendo condiciones iniciales nulas:

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )( ) .2

22

ssCRsV

sVsW

sVsCRsVdt

tvdCRLtvL

i

o

ioi

o

ττ

−=⋅−==⇒

⋅⋅−=⇒⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=

Se observa que la función de transferencia tiene un cero en el origen (s=0). Para trazar el diagrama de Bode de amplitudes (siempre en régimen sinusoidal permanente) en su versión semilogarítmica:

( ) ( ) dBffdBf

fdBW c

c

log20log20log20 −=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= .

Es decir, es una recta de pendiente 20 dB/dec. 1.7 Desviaciones de la idealidad de los amplificadores operacionales

Los AOs son componentes electrónicos cuyo comportamiento real es muy similar al previsto idealmente. Además, en numerosas ocasiones sus circuitos incorporan realimentación negativa, que reduce el efecto que podrían producir las desviaciones de la idealidad.

+

-

vo(t)

vi(t)

C=10 nF

i- ≅≅≅≅ 0

vd ≅≅≅≅ 0ii(t)

R2=10 MΩΩΩΩ

-Vcc

+Vcc

Z2

Z1

+

ii(t)



Esto no significa que las limitaciones prácticas no hayan de ser consideradas en el análisis, puesto que suponen una pérdida de prestaciones. Se dividen en dos grupos: los valores límite o límites operativos, y las características. 1.7.1 Límites operativos o valores límite Para que el amplificador operacional se comporte como un amplificador diferencial de alta ganancia y mantenga sus características de bloque constructivo, sin deterioro de las características del circuito, las variables de entrada y de salida deben permanecer dentro de unos límites. Se puede decir también que si las variables se mantienen dentro de estos límites, la operación del circuito es predecible por modelos matemáticos aproximadamente lineales.

Los valores límite más significativos son: • Rango de entrada. • Rango de salida. • Máxima corriente de salida. • Máxima velocidad de cambio de la tensión de salida.

1.7.1.1 Rango de entrada La tensión aplicada a las entradas inversora y no inversora no puede tomar un valor arbitrario. De lo contrario no se satisface la relación lineal entre la ganancia diferencial y la tensión de salida, mediante la tensión diferencial de entrada:

( )−+ −⋅= vvAv do . Para cada AO, el fabricante especifica el intervalo de tensión de entrada en modo común (±VICM), es decir, la máxima y mínima tensión que pueden tener las dos entradas a la vez (con cortocircuito virtual). Este parámetro se proporciona de esta forma porque en la mayoría de las aplicaciones, la tensión en las dos entradas del AO es muy parecida. Debe pues garantizarse que este valor quede dentro del rango especificado.

Este parámetro depende de las tensiones de alimentación del circuito, y la relación entre ambos es aproximadamente lineal. En la práctica suelen tomarse unos 2 (ó 1,5) V por debajo (es un poco menor en valor absoluto que la tensión de alimentación). Así por ejemplo, para alimentación de ±12 V, ±VICM = ±10 V. En la práctica, suele especificarse mediante una curva que representa la tensión de modo común frente a la de alimentación, o viceversa.

Vamos a aplicar estos límites operativos al amplificador diferencial básico de la Fig. 31 (como preparación al tema 3); el resultado de la esta aplicación definirá los límites operativos para la entrada del circuito, dentro del rango dinámico lineal.



Fig. 31. Amplificador diferencial básico.

La salida se obtiene aplicando las hipótesis lineales de operación y considerando al AO ideal. Por una parte, el divisor de tensión de la entrada no inversora:

21

21 RR

RVV

+=+ .

Por otra, como la resistencia de entrada es infinita, la corriente por R1 (por donde se conecta V2) es la misma que la corriente de realimentación, que circula por R2; también se aplica el cortocircuito virtual:

⇔−

=− −−

21

2

R

VV

R

VV o 2

21

21

1

21

212

R

VRR

RV

R

RR

RVV o

VV

−+

=+

−

++4847648476

.

De esta ecuación se despeja la tensión de salida, como se muestra a continuación:

2211

21

1

2

221

1

21

1

2

11

2 11

R

V

RRR

RV

R

V

R

V

RR

V

RR

RR

VR

V oo −=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⇔−

+=

+− .

Al final, despejando la tensión de salida, resulta:

121

2

1

122

1

21

21

2

1

22

1

2 1 VRR

R

R

RRV

R

RV

RR

R

R

RV

R

RVo +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= .

De donde:

( ) ⇔+−⋅=+−= 121

21

1

22

1

2 VVR

RV

R

RV

R

RVo

( )211

2 VVR

RV

DA

o −⋅= .

+

-+12 V

Vo

R2=100 kΩΩΩΩ

V2

R1=10 kΩΩΩΩ

-12 V

V1

R1=10 kΩΩΩΩ

R2=

100 kΩΩΩΩ



Se ha introducido en este ejemplo por primera vez la ganancia diferencial del circuito, AD, como complemento a la ganancia diferencial del AO, Ad. Obsérvese que si las dos resistencias coinciden, el circuito se comporta como un restador.

La entrada no inversora (y la inversora) verifica la siguiente desigualdad:

10110

1001010101010

10

1121

2 +<⋅<−↔+<⋅+

<−↔+<<−

<=

+

+−

VVRR

RV

VV

Esto significa que la entrada V1 debe ser:

VV 11100

11001 =< .

Por tanto, de una limitación del componente se extrae una limitación para el circuito. Esta va a ser la norma general a tener en cuenta. Para la otra entrada se realiza una cuenta similar. 1.7.1.2 Rango de salida Viene dado por las tensiones de saturación del componente. Generalmente y como criterio práctico suelen tomarse 1,5 ó 1 V menores que las de alimentación, y la relación es aproximadamente lineal. Estos valores de saturación suelen ser simétricos y el fabricante los agrupa en el parámetro oscilación de la tensión de salida (±VOM). 1.7.1.3 Máxima corriente de salida El componente AO no puede absorber ni suministrar una cantidad arbitrariamente elevada de corriente. Superar este límite de corriente supondría degradar la tensión de salida, e incluso la ruptura del circuito integrado. El fabricante especifica el límite como la corriente de cortocircuito (IOS).

Para estudiar el efecto se considera la configuración no inversora, que se repite en la Fig. 32 por simplicidad. Se trata de obtener los límites resistivos que mantienen las especificaciones del fabricante.



Fig. 32. Configuración no inversora sin resistencia de carga. La corriente de carga, iL, circula por R2, que hace de resistencia de carga por defecto. Alimentación dual de ±15 V.

Se plantean en primer lugar las ecuaciones que surgen de los límites operativos del componente. En primer lugar, para no superar la máxima corriente, debe cumplirse:

OSi

L IR

vi <=

1

.

Además, para que no se supere la máxima entrada en modo común:

iCMi Vv < . Por último, para que la salida no se sature:

máxoi VvR

R,

1

21 <⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Tomamos los parámetros del μA741C (Fairchild Semiconductor), para alimentación dual de ±15 V:

)V,(VVVVmAI iCMOMOS 512131425 ±=±== . Vamos a aplicar también una regla empírica de diseño que consiste en imponer que la corriente por la resistencia de carga sea 500 veces más pequeña que la tensión de entrada. Esto es lo mismo que imponer que la corriente de salida tenga en mA el doble del valor de la tensión en voltios. Es decir, en el límite se cumplirá:

43421321321iOS VIR

mVmA 1250025500

1

=×Ω 3.

3 Hemos supuesto aquí 12,5 V de tensión máxima de entrada en lugar de 13 V, como indica el fabricante.

+

-

R2

R1

vivo

=

+Vcc

-Vcc

iL

iL



Y en general, se verificará: OSi IRV 1< . La primera restricción del fabricante nos lleva a plantear que una tensión de entrada

menor que la permitida en modo común debe producir una corriente menor que la de cortocircuito:

Ω=Ω>→=<= kkRmAIR

v

R

VOS

i 5,025

5,1225

5,121

11

.

Si tomamos una resistencia de R1=500 Ω (valor tabulado), entonces la entrada no puede superar los 12,5 V. Se trata pues de apurar simultáneamente ambos límites operativos. Con este valor de resistencia se plantea la limitación de la tensión de salida, considerando el caso más desfavorable en la entrada:

.06,015,12

145,0

114

5,0145,0

1

2

2,2

Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅<↔=<⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

kR

VRVv

R

imáxoi

R2 no puede exceder el valor anterior, ya que de lo contrario la salida de tensión del AO se satura.

Consideremos otro ejemplo, para ver cómo afecta el valor de la resistencia de carga. Sea una configuración no inversora, como la mostrada en la Fig. 33. Los límites de la tensión de salida del AO son ±12 V, y los límites máximos de la corriente de salida, Io, son ±25 mA. Determinar la máxima amplitud de la tensión de entrada si la resistencia de carga RL es de 10 kΩ. Repetir el cálculo si la resistencia de carga es de 100 Ω.

Fig. 33. Configuración no inversora con resistencia de carga. Ahora, la corriente de salida del AO no coincide con la corriente de carga, iL.

La ganancia en lazo cerrado del circuito vale 4 = (1+3/1). Los recortes en la salida comienzan cuando la tensión de salida alcanza ±12 V, ó cuando la corriente de salida alcanza el valor ± 25 mA.

Para el primer caso o valor de resistencia planteado en el problema, la resistencia de carga es relativamente grande, por lo que al haber poca demanda de corriente de salida,

+

-

R2=3 kΩΩΩΩ

vivo

=

+Vcc

-Vcc

R1=1 kΩΩΩΩ

RL

io



ésta es pequeña. Podemos en este caso predecir que los recortes se producirán cuando se alcancen los límites máximos de tensión de salida, o tensiones de saturación. Para comprobar esta hipótesis, se calcula la corriente de salida, cuando la tensión de salida es máxima, y se comprueba que queda por debajo de su límite máximo:

mARR

v

R

vi

máxo

L

máxomáxo 2,4

10003000

12

10

124

21

,,, =

++=

++= .

Por otra parte, el circuito recortará la salida para una tensión de entrada, que viene dada por:

VV

Ganancia

vv

máxomáxi 3

4

12,, === .

Sin embargo, con una resistencia de carga pequeña, la corriente de salida es grande y se puede suponer que los recortes se producirán cuando la corriente de salida del amplificador operacional supere los 25 mA. Imponiendo este límite se plantea la siguiente ecuación:

.44,210003000100

25 ,,,

21

,,, Vv

vv

RR

v

R

vmAi máxo

máxomáxomáxo

L

máxomáxo =→

++=

++==

Esta tensión de salida no excede del límite de tensión del AO. Es decir, cuando se ha excedido el límite de corriente, la salida no ha alcanzado ni la mitad de su valor máximo. Por tanto, se recortará la salida por una limitación de corriente. El valor de entrada que produce este recorte, motivado por superación de corriente, es:

VV

Ganancia

vv máxo

máxi 61,04

44,2,, === .

1.7.1.4 Máxima variación de la tensión de salida en la unidad de tiempo La tasa de cambio de la salida no puede tomar un valor arbitrario. Es decir, la entrada no puede variar tan rápido como queramos. Es decir, al circuito no se le puede excitar con una frecuencia arbitrariamente grande. El fabricante especifica el Slew Rate (SR, tasa de variación). Sus unidades son V/μs. Si se supera este parámetro, la señal de entrada se deforma y aparecen armónicos adicionales en la salida. Este parámetro suele especificarse para una configuración en seguidor de tensión.

Con el fin de estudiar su efecto en un circuito determinado, se estudia la derivada de la salida del circuito en función del tiempo (su valor absoluto):

SRdt

dv

máx

o < .

Si esta condición se cumple, este valor límite no afecta al comportamiento del circuito, y si no se cumple habrá distorsión en la salida. Esta distorsión en frecuencia se manifiesta mediante una deformación de la señal de salida; si se aplica un seno en la entrada la



salida aparece triangular. En consecuencia la frecuencia máxima de operación viene limitada.

Con el fin de mostrar un ejemplo se considera una configuración no inversora de ganancia 10, a la que aplicamos una entrada sinusoidal. Son parámetros del AO: SR=0,5 V/μs, Vosw=± 14 V, fT=1 MHz (frecuencia de ganancia unidad). Se impone ahora la condición de limitación de velocidad para obtener la frecuencia máxima de operación:

( ) ( )( ) ( )

( )44 344 21

máxf

máxmáx

máx

o

máxmáxo

máxi

VV

s

V

fs

VSRfV

dt

dv

ftfVdt

ftsenVd

dt

dvftsenVv

πμ

μπ

ππππ

210

5,0

5,0210

2cos210210

2

×

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

<→=<×=→

×==→=

La frecuencia máxima de operación recibe el nombre de ancho de banda a plena potencia, cuando la amplitud de la entrada es la máxima no saturante. En esta situación, la entrada no podría superar el valor absoluto 1,4 V (la ganancia del amplificador vale 10). Suponiendo una entrada con este valor máximo, calculamos a continuación la frecuencia máxima de operación:

( ) kHzHzHzV

s

V

f máx 7,51,5684104,1

025,0

24,110

5,06 ≈≅×

π×=

π××

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

= .

Si la entrada toma un valor menor, se obtiene otra limitación de frecuencia (se pueden introducir señales de mayor frecuencia en el circuito):

kHzHzHzV

s

V

f máx 810109577472,710025,0

2110

5,0636 ≈××≅×

π=

π××μ= − .

Si comparamos estas frecuencias máximas de operación con el ancho de banda del circuito observaremos que son mucho menores (son más limitantes). En efecto, para calcular el ancho de banda del circuito recurriremos a la constancia del producto ganancia por ancho de banda (GBW4). Esta cuestión es objeto de estudio en capítulos posteriores. Así, para una ganancia unitaria la magnitud GBW se puede relacionar con su valor en cualquier zona del diagrama de Bode de ganancias, y resulta útil la relación siguiente:

odocT fAfR

RfGBWbandadeAnchoGanancia =×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=×==×

1

211 .

La situación se adelanta en la Fig. 34, donde se pueden apreciar tres situaciones en las que evaluar el producto ganancia × ancho de banda.

4 Gain Band Width product.



Fig. 34. Constancia del producto ganancia-ancho de banda, en una configuración no-inversora. Observar que la ganancia unitaria corresponde a los 0 dB.

De la expresión anterior, se obtiene el ancho de banda del circuito:

kHzffR

RfGBWbandadeAnchoGanancia cc

Hz

T 10011

10

1

2

101 6

=→×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=×==×

× 43421

.

Es decir, que la distorsión armónica por velocidad (5,7 kHz) se alcanza mucho antes que la limitación en banda por amplificación (100 kHz).

Veamos un ejemplo con PSPICE y el AO μA741, alimentado a ±12 V. Vamos a estudiar la limitación de velocidad. En primer lugar muestro una situación de saturación por amplitud ante una señal sinusoidal, con el fin de calcular las tensiones de saturación (±11,6 V). La situación se muestra en la Fig. 35.

Fig. 35. Saturación del amplificador no inversor para entrada sinusoidal de 1 kHz, valor medio nulo y 10 Vpp.

La distorsión armónica que se produce en esta situación no es por sobrepaso de la

velocidad o frecuencia máxima de operación, sino por superación de la máxima entrada no saturante. La salida no es sinusoidal, está distorsionada, es trapezoidal.

20log|Av|

fT

0 dB log(f)fcf0

20log(Ad0)

20log[1+(R2/R1)]



Antes de pasar a la distorsión por velocidad, vamos a cuantificar la distorsión armónica total. Este parámetro se emplea también en el tema de osciladores, y establece la lejanía de la señal de salida con respecto a la sinusoidal de entrada (se espera una salida sinusoidal si el circuito es lineal), es decir, indica la calidad de una onda sinusoidal. Se define la distorsión armónica total como:

5 ...2

1

52

1

42

1

32

1

2 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≡

A

A

A

A

A

A

A

ATHD ,

donde Ai es la amplitud del armónico i-ésimo. Los resultados de la simulación se muestran en la Tabla 1. En esta tabla se observa que obviamente es el armónico principal el que predomina. Además se observa que los armónicos pares tienen muy baja amplitud y que son los impares los que contribuyen al parámetro de la distorsión armónica total, que se evalúa a continuación y que se puede comprobar que coincide con el resultado de la simulación.

( ) ( ) ( ) ( )%.6,34346,012,0025,00716,3096,00783,7

...01592,104621,501097,304049,8 2222

=≈≈+−++−≈

=+−+−+−+−≡

EE

EEEETHD

Tabla 1. Resultados del análisis de Fourier en el amplificador no inversor. Se observa que los armónicos impares están presentes en la salida.

FOURIER COMPONENTS OF TRANSIENT RESPONSE V(Vo) DC COMPONENT = 6.900900E-03HARMONIC

NOFREQUENCY

(HZ)FOURIER

COMPONENT NORMALIZED COMPONENT

PHASE (DEG)

NORMALIZED PHASE (DEG)

1 1.000E+03 1.465E+01 1.000E+00 -6.613E-01 0.000E+00 2 2.000E+03 1.179E-02 8.049E-04 9.394E+01 9.526E+01 3 3.000E+03 4.538E+00 3.097E-01 -1.977E+00 6.874E-03 4 4.000E+03 8.237E-03 5.621E-04 1.014E+02 1.041E+02 5 5.000E+03 2.334E+00 1.592E-01 -3.269E+00 3.684E-02

TOTAL HARMONIC DISTORTION = 3.482319E+01 PERCENT Pues bien, por superación de velocidad se produce también una distorsión armónica, un alejamiento de la respuesta lineal ideal ante una entrada sinusoidal. La Fig. 36 muestra esta situación en el mismo circuito amplificador no inversor basado en el AO741. Se ha introducido una señal sinusoidal de valor medio nulo, 2Vpp y de frecuencia 10 kHz.

5 Total Harmonic Distortion



Fig. 36. Deformación de la salida (aparece triangular) por superación del límite de velocidad en un amplificador no inversor de ganancia 10, basado en el AO741. La entrada posee una frecuencia de 10 kHz y casi apura el límite no saturante.

En este caso, la distorsión armónica total que calcula PSPICE vale THD ≅ 6,3 %. En primer lugar observar que este valor de distorsión armónica total es mucho menor que el obtenido para una distorsión armónica por saturación, ya que en esta la señal está mucho más distorsionada, y su forma se aleja notoriamente de una sinusoide.

Ahora, en el caso de distorsión por velocidad, la frecuencia central de este análisis se ha tomado en 10 kHz. Muestra la Fig. 37 cómo se escoge esta opción desde el capturador de esquemas. La variable de salida ha sido etiquetada previamente en el circuito.

Fig. 37. Habilitación del análisis de Fourier.



La Fig. 38 muestra el espectro de la señal de salida correspondiente a esta limitación de velocidad, en e que aparecen el armónico principal y los armónicos impares (propios de la onda triangular).

Fig. 38. Espectro simplificado correspondiente a la limitación de velocidad anterior. Aparecen los picos en los armónicos impares, que son los relevantes en una señal triangular.

Como conclusión diremos que los valores límite de los amplificadores operacionales se traducen en límites de funcionamiento de los circuitos electrónicos que los incorporan. 1.7.2 Características Corresponden a un grupo de parámetros relativos a la operación normal de componente. 1.7.2.1 Estabilidad de la tensión de alimentación En la práctica, las tensiones de alimentación de un amplificador operacional no son exactamente continuas, sino que presentan oscilaciones o “rizados”. En consecuencia, las corrientes que demandan los integrados de estas fuentes de alimentación presentan oscilaciones en el tiempo.

Más importantes aún resultan las oscilaciones de las tensiones de alimentación que resultan de que la demanda de corriente es aleatoria, y todos los circuitos conectados a la misma fuente no demandan corriente a la vez.

Los amplificadores operacionales no son insensibles a estas variaciones de la tensión de alimentación. El fabricante proporciona el parámetro relación de rechazo a la fuente de alimentación, definido como el cociente entre la variación en la salida producida por un rizado en la alimentación:

6

s

o

s

o

v

vdBPSRRó

v

vPSRR

ΔΔ

≡ΔΔ

≡ log20 .

6 Power Suppy Rejection Ratio



Un valor típico puede ser 30 μV/V (90 dB); para que la salida varíe 30 μV, el rizado debe ser de un voltio en la fuente de alimentación. 1.7.2.2 Resistencia de entrada En la práctica es finita y varía entre 0,5 MΩ y varias decenas de MΩ. Para cuantificar su efecto se considera por ejemplo una configuración no inversora como la de la Fig. 39.

Fig. 39. Configuración no inversora, que incluye amplificador operacional con resistencia e entrada finita.

Como se ha incluido en el modelo del AO una resistencia de entrada, es necesario plantear dos ecuaciones propias del componente:

( )−+ −= vvAv do (1)

iin iRvv ⋅=− −+ (2)

Otro conjunto de ecuaciones responden al circuito que incluye el componente:

ivv =+ (3)

22 iRvvo ⋅=− − (4)

11 iRv ⋅=− (5) iiii += 21 (6)

Despejando ii de la Ec. (6) y sustituyendo las otras corrientes, se obtiene la expresión (7):

( )( )

( ) iin

indo

in

ind v

RRRRR

RRRAv

RRRRR

RRA

2121

21

2121

11++

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+ . (7)

De la expresión (7) se obtiene:

+

-

R1

vivo

+Vcc

-Vcc

i2

i1 Rin

R2

ii Ad



( )[ ] ( )

( )( )[ ] .

12121

21

12121

21

2112121

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

+=+++

+=→

+=+++

RA

RR

RA

RR

RR

RRARRRRR

RRRA

v

v

vRRRAvRRARRRRR

dind

indin

ind

i

o

iindoindin

De forma que si hacemos el límite cuando la ganancia diferencial tiende a infinito, resulta la ganancia clásica no inversora. La expresión anterior es la ganancia del circuito con los efectos de la ganancia diferencial y de la resistencia de entrada del amplificador operacional.

La resistencia de entrada, Ri, de la etapa es directamente proporcional a la resistencia de entrada del componente, Rin:

ind

i

ii R

RR

RA

i

vR ⋅

+=≡

21

1 .

Obsérvese que si la ganancia diferencial del AO es muy elevada, independientemente del valor de la resistencia de entrada del AO, la resistencia de entrada del circuito es muy elevada (infinita en el caso ideal). De nuevo se comprueba la importancia de tener una elevada ganancia diferencial en lazo abierto. 1.7.2.3 Resistencia de salida En la práctica no es nula. Una situación de análisis se muestra en la Fig. 40, que emplea una configuración no inversora. El resultado del análisis es:

iout

doout

L

outd v

RR

R

RR

RAv

RR

R

R

R

RR

RA ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+++

+2121

2

2121

11 .

Fig. 40. Configuración no inversora para estudiar el efecto de la resistencia de salida. Se anula la entrada.

+

-

R1

vi

+Vcc

-Vcc

i2

i2

Rout

R2

Ad

RL

vo

i1

i1+i2



La resistencia de salida de la etapa resulta:

d

outo A

R

R

RR ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

21 .

Es importante observar que la ganancia diferencial del AO determina la resistencia de salida. Una ganancia diferencial infinita supone que la resistencia de salida de la etapa sea nula. 1.7.2.4 Desviación del origen de la curva de transferencia. Tensión de offset de entrada Hasta ahora la característica de transferencia en lazo abierto del AO pasaba por el origen. En la práctica esto no sucede y presenta una forma como la ilustrada en la Fig. 41. Existe un desplazamiento en esta curva estática.

Fig. 41. Característica de transferencia en lazo abierto considerando la tensión de offset.

De forma que ahora en lazo abierto se cumple:

( )IOdo VvvAv −−= −+ . Y en lazo cerrado, con realimentación negativa ya no es cero la tensión diferencial. Ahora:

IOVvv ≈− −+ .

Evaluamos su efecto en un amplificador diferencial básico, que se repite por simplicidad en la Fig. 42. Se escoge este circuito porque la tensión de offset es especialmente perjudicial en amplificadores diferenciales.

Vo

V+-V-

VIO



Fig. 42. Amplificador diferencial básico.

Las ecuaciones a plantear son en lazo cerrado:

IOVvv =− −+

121

2 vRR

Rv

+=+

1

2

2 R

vv

R

vvo −=

− −−

La primera de ellas incorpora el efecto del offset y las otras dos derivan del propio circuito. Operando con ellas (se sustituyen v+ y v- en la primera ecuación), se obtiene un término de error en la salida:

( )4434421

ov

IOo VR

Rvv

R

Rv

Δ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

1

221

1

2 1 .

Para una VIO=5 mV (AO de propósito general), la desviación en la salida (Δvo) es de 55 mV; cuantía que resulta relevante en aplicaciones de precisión.

Si la tensión se offset se considera en un integrador básico, se obtiene una expresión que muestra la influencia en el transcurrir del tiempo:

IOIO

t

io VtVRC

dtvRC

v −⋅−⋅−= ∫11

0

.

Se observa que la salida posee dos términos adicionales, uno constante y otro proporcional al tiempo.

Por último, resta comentar que los circuitos integrados poseen un terminal externo para compensar el offset.

+

-

Vo

R2=100 kΩΩΩΩ

V2

R1=10 kΩΩΩΩ

V1

R1=10 kΩΩΩΩ

R2

=100 kΩΩΩΩ



1.7.2.5 Corrientes de polarización de entrada En la práctica fluye una pequeña corriente hacia las entradas del amplificador operacional. Las corrientes en cada terminal de entrada no son iguales. El fabricante proporciona dos parámetros: la corriente de polarización de entrada (IBIAS), que es la media aritmética de las dos corrientes de entrada; y la corriente de compensación de entrada (IIO), que es la diferencia:

−+−+

−=+= IIIII

I IOBIAS 2.

El primer parámetro tiene valores típicos comprendidos entre decenas de pA y varias decenas de nA. El segundo parámetro es aproximadamente un orden de magnitud menor. Normalmente se supone que por los terminales fluyen corrientes iguales a la de polarización. Como por ejemplo en el circuito de la Fig. 43.

Fig. 43. Configuración no inversora para estudiar el efecto de la corriente de polarización de entrada en la salida. Para ello se anula la tensión de entrada.

Vamos a calcular el efecto de la corriente de polarización en la salida. Para este circuito se obtiene:

BIASdod IRR

RRAv

RR

RA

21

21

21

11+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+ .

Como normalmente se cumple:

21

11RR

RAd +

<< .

Entonces, la salida resulta aproximadamente:

BIASo IRv 2≈ . Con ello, se aprecia la desviación que experimenta la salida por efecto de esta corriente.

+

-

R1

vi

+Vcc

-Vcc

i2

i1

Rout

R2

Ad

RL

vo

IBIAS

IBIAS



1.8 Encapsulados Un encapsulado típico (National j08a Package 8L CERDIP, 0.26 x 0.40 x 0.16 inch body size) de AO se presenta en la Fig. 44.

Fig. 44. Encapsulado típico de AO.

La Fig. 45 muestra el “patillaje” del AO741.

Fig. 45. Terminales del 741.

Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F.F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall hispanoamericana. México, 1993.

Faulkenberry, L.M., Introducción a los amplificadores operacionales con aplicaciones lineales, Limusa-Noriega, 1990. González de la Rosa, J.J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis. Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001.

Gray, P.R. y Meyer, R.G, Analysis and design of Analog Integrated Circuits, second edition, John Willey and sons, New York, 1990. Malik, N. R. Electronic circuit: analysis, simulation and design, Prentice Hall International Editions, 1995.

Millman, J. Microelectrónica. Circuitos y sistemas analógicos y digitales, 5ª edición, editorial hispano europea, Barcelona, 1989. Schilling, D. L., Belove, C., Apelewitz, T. y Saccardi, R. J., Circuitos electrónicos: discretos e integrados, 3ª edición, McGraw-Hill, 1993.


2 Comparadores electrónicos

2.1 Introducción En este capítulo se estudian los circuitos comparadores electrónicos con énfasis en los comparadores regenerativos y en los comparadores monolíticos, amplificadores operacionales con propósito específico de comparación. En efecto, los AOs pueden actuar como comparadores cuando su ganancia en lazo abierto sea muy elevada y su velocidad (SR) alta. Para conseguir esto último habría que emplear chips sin compensación interna.

La función del comparador consiste en cotejar dos tensiones, obteniéndose como resultados dos posibles situaciones, correspondientes a los niveles alto o bajo. Ya vimos en el capítulo 1 que en lazo abierto, el AO de propósito general se comporta como detector de nivel y las tensiones alta y baja de salida corresponden a las de saturación del componente. Precisamente es ésta la tercera limitación crítica a la hora de decidirse por un AO de propósito general en una aplicación de comparación, ya que los niveles lógicos de salida pueden no ser adecuados a la aplicación, como por ejemplo para direccionar o conducir una lógica TTL ó CMOS. El concepto de salida en “colector abierto” soluciona este problema.

El capítulo comienza estudiando las limitaciones en lazo abierto y luego se ven las mejoras introducidas por la realimentación positiva y la salida en colector abierto. 2.2 Efectos del ruido sobre los circuitos comparadores La Fig. 1 muestra el efecto de superponer una señal cuadrada a una sinusoidal en un comparador no inversor basado en AO de propósito general, en lazo abierto. En general el ruido es un proceso aleatorio, y la Fig. 1 debe considerarse con fines didácticos. 2.3 Realimentación positiva La realimentación negativa fuerza a un circuito a operar en la región lineal, y en nuestro caso, con lo AOs considerábamos nula o casi nula la tensión diferencial de entrada al componente. Por el contrario, la realimentación positiva fuerza la saturación, y en consecuencia el desequilibrio entre las tensiones presentes en las entradas inversora y no inversora del AO.



Fig. 1. Falsos cruces por cero provocados por una señal de ruido en un comparador no inversor basado en AO de propósito general. Esta situación no es deseable en un comparador.

Los circuitos que incorporan la realimentación positiva se denominan comparadores “regenerativos” o disparadores de Schmitt, en honor al investigador que los implantó. Por otra parte la realimentación positiva aumenta la velocidad de respuesta. A continuación empiezan los ejemplos. 2.4 Detector de cruce por cero con histéresis Por ahora se consideran AOs de propósito general. El primer circuito se muestra en la Fig. 2. Se trata de un comparador inversor (entrada por la terminal inversora) regenerativo (posee realimentación positiva). Es decir, de entrada podemos plantear una característica estática como la de la Fig. 3.

Fig. 2. Comparador regenerativo inversor basado en AO de propósito general (circuitos integrados 741 ó 301 por ejemplo). Suelen tomarse siempre R1=k×R2, múltiplos.

Para obtener la característica de transferencia se procede a partir de las dos posibles situaciones de la salida. Siempre se cumple, mediante un sencillo divisor de tensión:

+

-

Vo

12 V

-12 V

R1=

100 kΩΩΩΩ

R2=

10 kΩΩΩΩ

Vi



21

2

RR

RVV o +

=+ .

Esta es la muestra de la salida que se introduce en la entrada del circuito, que en este caso es la entrada no inversora.

Vo=VOM 21

2

RR

RVV H +

=+ 021

2 >−+

=−= +iOMid V

RR

RVVVV

Al crecer Vi provoca la conmutación en el punto de conmutación superior, para el cual Vd=0

Vo=-VOM 21

2

RR

RVV L +

=+ 021

2 <−+

−=−= +iOMid V

RR

RVVVV

Al disminuir Vi provoca la conmutación en el punto de conmutación inferior, para el cual Vd=0

La característica estática se muestra en la Fig. 3 y la evolución en el tiempo para entrada triangular contaminada con ruido en la Fig. 4.

Fig. 3. Característica estática del circuito de la Fig. 2. En general de un comparador inversor con histéresis

Fig. 4. Inmunidad frente al ruido de un comparador inversor con histéresis.

Vo

Vi

VH

VCS

VCI

VCTR

VOM

-VOM



El circuito exhibe histéresis porque al pasar de un estado a otro (alto a bajo por ejemplo) lo hace por un camino distinto del de regreso. La histéresis es habitual en cualquier circuito o sistema. Es una de las características estáticas más comunes de los circuitos electrónicos empleados en acondicionamiento y medida.

Los puntos de conmutación (en función de las resistencias y de las tensiones de saturación) resultan de anular la tensión diferencial del amplificador operacional e imponer el valor de la entrada en cada situación, y son:

21

2

21

2

RR

RVV

RR

RVV OMCSOMCI +

=+

−= .

En este caso hay simetría y las conmutaciones se producen en:

VVVV CSCI 09,1110

101209,1

110

1012 ≅×=−≅×−= .

Se aprovecha este primer ejercicio para definir la tensión de histéresis y el voltaje central. Estos dos parámetros suelen ser el objeto de un diseño de un comparador electrónico.

2CICS

CTRCICSHVV

VVVV+

=−= .

El primero de ellos da una idea de la inmunidad al ruido (2,2 V aprox.). En nuestro caso es excesivo. Suele ser del orden de decenas de milivoltios como mucho. Téngase en cuenta que ahora las conmutaciones no se producen donde estaban previstas (en la tensión central). La tensión que se especifica por diseño es la central.

Un circuito con ancho de histéresis grande se emplea en lazos de realimentación no lineal en generadores de ondas cuadradas y triangulares. 2.5 Detectores de nivel de voltaje con histéresis 2.5.1 Introducción

Se generaliza el caso anterior para un voltaje central distinto de cero en general. A menudo es deseable tener circuitos que presentan tensiones centrales distintas de cero.

Cuando se diseñan o construyen este tipo de detectores de nivel de tensión, se persiguen cuatro objetivos principalmente:

• Una resistencia para el control de la tensión de histéresis. • Una resistencia ajustable para el control de la tensión central. • Ajustes de la tensión de histéresis y del voltaje central independientes. • La tensión central debe estar relacionada con la tensión de referencia externa.

Los problemas (análisis de circuitos) se plantean a partir de la característica estática

que será o no inversora dependiendo del terminal por donde se introduzca la entrada.



2.5.2 Detector no inversor de nivel de voltaje con histéresis El circuito detector no inversor se presenta en la Fig. 5, en la que por observación (por inspección) se plantea de entrada la función de transferencia, o ciclo de histéresis.

Fig. 5. Comparador regenerativo no inversor y su característica estática, basado en un AO de propósito general ideal.

Para este circuito calculemos sus puntos de conmutación. Si partimos en primer lugar de una salida en nivel bajo, satOMo VVV −=−= , tratamos de buscar el punto de conmutación superior, CSi VV = . La situación de corrientes involucradas se muestra en la Fig. 6.

Fig. 6. Comparador regenerativo no inversor: situación de cálculo del punto de conmutación superior.

Del planteamiento de la corriente resulta el punto de conmutación superior:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

kV

k

V

R

RV

R

RVV REF

omREFomCS

111

1

2

1

2 .

Análogamente, para una salida o estado de nivel alto, satOMo VVV +=+= , se trata de buscar el punto de conmutación inferior (véase la Fig. 5). Recordemos que en ambos puntos de conmutación, la tensión diferencial del AO es nula. Se demuestra finalmente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

kV

k

V

R

RV

R

RVV REF

omREFomCI

111

1

2

1

2 .

Vi=VCS

+

-

Vo=-VSAT=

-Vom

Vcc

R1=kR

VREF

-Vcc

R2=R

Vd=0

Vo

ViVCSVCI

VCTR

0

VH

Vom

-Vom

Vi

+

-

Vo

Vcc

R1=kR

VREF

-Vcc

R2=R



A partir de aquí se calculan la tensión de histéresis y la central, aplicando las definiciones generales, resultando:

k

VVVV om

CICSH2

=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

kV

VVV REF

CICSCTR

11

2

2.5.3 Detector inversor de nivel de voltaje con histéresis El circuito objeto de estudio se muestra en la Fig. 7. Gracias a la observación, podemos plantear la característica estática para, posteriormente, deducir sus puntos más significativos.

Fig. 7. Comparador regenerativo inversor y característica estática ideal.

Para este circuito los puntos importantes de su característica estática son (ecuaciones de diseño):

REFomCI Vk

kV

kV

++

+−=

11

1

REFomCS Vk

kV

kV

++

+=

11

1

k

VVVV om

CICSH +=−=

1

2

REFCICS

CTR Vk

kVVV

+=

+=

12.

2.6 Regulación independiente del voltaje central y del voltaje de histéresis

La Fig. 8 representa el circuito con ajustes independientes. Se trata de un comparador no inversor y el diseño se realiza para puntos de conmutación positivos.

Vo

ViVCSVCI

VCTR

0

Vom

-Vom

+

-

Vo

Vcc

R1=kR

-Vcc

R2=R

Vi

VREF



Fig. 8. Detector de nivel con umbrales y punto central independientes.

Previo al análisis, sabemos por observación que el ciclo de histéresis es no inversor. Además, vamos a obtener las ecuaciones de diseño para puntos umbrales de conmutación superior e inferior mayores que cero. El análisis distingue como siempre entre las dos situaciones de saturación del AO:

satOMo VVV −=−= ; buscamos el punto de conmutación superior: CSi VV = .Situación de corrientes simbolizadas por flechas discontinuas en la Fig. 8.

( )bR

V

aR

V

R

V REFSATCS −+

−−=

− 000 .

satOMo VVV == ; buscamos el punto de conmutación inferior: CIi VV = . La situación de las

corrientes involucradas queda simbolizada por las flechas continuas en la Fig. 8.

bR

V

aR

V

R

V REFSATCI −=

−+

− 000 .

Del análisis del circuito se obtienen los puntos de conmutación:

b

V

a

VV

refsatCS −=

a

V

b

VV satref

CI −−= .

En consecuencia:

a

VV sat

H2

= 0>−=b

VV

refCTR .

Por tanto, se demuestra la independencia de la tensión de histéresis y de la tensión central. Cada tensión depende de un potenciómetro.

+

-

R

+Vcc

-Vcc=Vref

Vo

bR

Vi

aRAjuste del ancho de histéresis

Ajuste del voltaje central

AO741



2.7 Limitaciones de los AOs de propósito general como comparadores Se enumeran las limitaciones y se expone la situación de medida del tiempo de respuesta de los comparadores monolíticos (integrados). 2.7.1 Limitaciones Son las siguientes:

• Bajo “Slew-Rate” como consecuencia de emplear AOs con compensación interna. Hay que emplear AOs sin compensación interna.

• No se pueden modificar los niveles lógicos de salida (TTL, CMOS, etc.).

Como consecuencia se emplean comparadores comerciales de propósito específico. En ellos se mide el tiempo de respuesta como sigue. La Tabla 1 muestra las características del comparador comercial LM311. Tabla 1. Características principales del comparador LM311.

Parámetro Ideal LM311 Ganancia de tensión Ad infinita 200.000 Tensión offset Vos 0 2 mV Corriente de polarización IBIAS 0 250 nA Corriente offset Ios 0 60 nA Tiempo de respuesta tPD 0 200 ns Tensión de alimentación VS - ±15 V Margen de tensión de entrada en modo común

VIN infinito de -14,5 V a +13 V

Máxima tensión de entrada diferencial

VID infinita ±30 V

Consumo de potencia PD 0 135 mW Fan-out (cargabilidad de salida máxima)

- infinita 10 Unidades Lógicas (U.L.)

2.7.2 Medida del tiempo de respuesta A partir de una señal de sobre-excitación “overdriver” se estudia la evolución de la salida. La señal de excitación se muestra en la Fig. 9; consiste en una señal que después de valer –100 mV toma un pequeño valor de unos 5 mV. La finalidad es medir el tiempo de respuesta o retardo de propagación. Esto permite cotejar las respuestas temporales de los comparadores.



Fig. 9. Señal de excitación para medir el tiempo de respuesta.

La Fig. 10 muestra la situación de medida del retardo de comparación, para un comparador genérico, excitado con una entrada en forma de “escalón” de tensión, con pendiente contraria a la tensión de salida.

Fig. 10. Situación de media del retardo de propagación. El símbolo triangular representa un comparador, para el que los niveles de salida no se especifican.

La Fig. 11 muestra situaciones de sobre-excitación de un comparador comercial, extraídas de su hoja de características.

Fig. 11. Sobre excitación en el LM311, extraída de su hoja de características.

Dependiendo de la magnitud del sobre-impulso así es el tiempo de respuesta. Cuanto mayor sea el primero menor es el segundo. La Tabla 2 refleja esta situación, en una comparativa de diversos modelos entre sí y con un AO de propósito genérico:

+

-

vo

vi

+

-

Comparador

vo

t

0

VOL

VOH

tPD

50%

Sobre-excitación

-100 mV

t

vi

5 mV



Tabla 2. Comparación de varios modelos comparadores comerciales y para el AO 301. Comparador Tiempo (ns) sobre

impulso de 5 mV Tiempo(ns) para sobre

impulso de 20 mV 311 170 (200 otro fabricante) 100 522 17 15 710 40 20

301 (propósito general) >10.000 >10.000 2.8 El comparador integrado LM311

Se detalla en este apartado este circuito integrado. 2.8.1 Características o rasgos principales Son las siguientes, repitiendo parcialmente en contenido de la Tabla 1:

• Ganancia de tensión: 200.000. • Tensión de offset: Vos=2 mV. • Corriente de polarización: IBIAS=250 nA. • Tiempo de respuesta: tPD=200 ns. • Tensión de alimentación máxima: VS= ±15 V. • Margen de entrada en modo común: VICM=de –14,5 V a 13 V. • Máxima tensión diferencial de entrada: VID=±30 V. • Consumo de potencia: PD=135 mW. • Fan-out (cargabilidad máxima de salida)=10 U.L. (unidades lógicas).

2.8.2 Esquema interno del circuito integrado 311 Se muestra en la Fig. 12, extraída de la hoja de características del circuito integrado.

Fig. 12. Esquema interno del LM311. A diferencia del esquema interno del 741, se observa que la salida está diseñada en “colector abierto”.



Según esta figura se deduce que: Si V+>V- entonces Q15: OFF-CORTE. Si V+<V- entonces Q15: ON-SAT. Esta es la clave del funcionamiento de un comparador de propósito específico desde la perspectiva de adaptación de niveles lógicos. La caída en el emisor de Q15 se desprecia. 2.8.3 Terminales de salida Se estudian dos posibilidades simétricas de medir la salida. 2.8.3.1 Salida por colector La situación se muestra en la Fig. 13 y se dan las dos situaciones de la Fig. 14.

Fig. 13. Situación de salida por colector del 311.

Fig. 14. Casos presentados en la salida por colector de 311. El transistor de salida funciona como un interruptor electrónico.

2.8.3.2 Salida por emisor La situación se muestra en la Fig. 15.



Fig. 15. Situación de salida por emisor del 311.

La Fig. 16 establece una comparativa de las dos salidas, en la que se aprecia su naturaleza simétrica.

Fig. 16. Casos presentados en la salida por emisor del comparador 311.

2.8.4 Terminal “Strobe” Este es el terminal de habilitación, la patilla o terminal [6] del integrado. La salida cambia al estado de alta impedancia (se mantiene en estado alto), y es independiente de la entrada. Con el interruptor de habilitación abierto, el integrado opera en forma normal. En la práctica se suele conectar a tierra a través de una resistencia de 10 kΩ, cuando se quiere hacer independiente la entrada de la salida. Por último, comentar que esta opción no está habilitada en la versión de evaluación de algunos programas de simulación, como PSPICE (no disponible en la versión de evaluación de PSPICE). 2.8.5 Terminal ”latch” Es el terminal de cerrojo, número [5]. El integrado funciona como un elemento de memoria. La salida se mantiene con el valor de la comparación anterior.



2.9 Comparativa de comparadores comerciales La situación comparativa se muestra en la Tabla 3.

Tabla 3. Situación comparativa de diversos comparadores comerciales.

2.10 Aplicaciones de los comparadores

2.10.1 Detectores de nivel basados en el LM311 ó en comparadores comerciales El ejercicio se muestra en la Fig. 17.

Fig. 17. “Schmitt trigger” no inversor basado en comparador comercial y su característica estática.

R5 debe siempre verificar: 435 RRR +<< (especificado por el fabricante). Comencemos el análisis. La salida sólo puede tomar dos valores, la alimentación y cero (niveles alto y bajo, respectivamente). Siempre se cumple, aplicando el divisor de tensión y el principio de superposición:

21

1

RR

RVV cc +

=− ; 43

4

43

3

RR

RV

RR

RVV io +

++

=+ .

Vo

Vi

VCTR

0

VHigh

VCSVCI

VH

VLow

+

-

Vo

R4R3

Vi

R1

R2

Vcc

R5



Punto de conmutación superior: En él la tensión diferencial es cero, por lo que se plantea la igualdad de las tensiones en las terminales inversora y no inversora del AO.

−

===

+ =+

=+

++

= VRR

RV

RR

RV

RR

RVV cc

V

i

V

o

CSL21

1

43

4

43

3

0

.

De donde se obtiene la tensión correspondiente al punto de conmutación superior:

4

43

21

1

R

RR

RR

RVV ccCS

+×

+= .

Punto de conmutación inferior: De la misma forma, planteando-imponiendo que la tensión diferencial es nula:

−+ =+

=+

++

= VRR

RV

RR

RV

RR

RVV ccCI

V

High

cc21

1

43

4

43

3

321.

De donde se obtiene la tensión correspondiente al punto de conmutación inferior:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

×=+

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

=4

3

21

43

4

1

4

43

43

3

21

1

R

R

RR

RR

R

RV

R

RR

RR

R

RR

RVV ccccCI .

A partir de aquí se obtiene el resto de las magnitudes: Tensión de histéresis: Diferencia de los puntos de conmutación.

4

3

4

3

21

43

4

1

4

43

21

1

R

RV

R

R

RR

RR

R

RV

R

RR

RR

RVVVV ccccccCICSH =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

×−+

×+

=−= .

Tensión central: Media aritmética de los puntos de conmutación.

4

3

21

43

4

1

4

3

21

43

4

1

4

43

21

1

2222 R

RV

RR

RR

R

RV

R

R

RR

RR

R

RV

R

RR

RR

RVVVV cc

ccccccCICS

CTR −++

×=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

×++

×+

=+

=

Todo puede verse según las relaciones que han de verificar las resistencias. De la expresión de la tensión de histéresis se obtiene:

cc

H

V

V

R

R=

4

3 .

Y llevando esta relación al punto de conmutación superior, se obtiene la segunda relación entre las resistencias del circuito:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×

+=

+×

+=

cc

HccccccCS V

V

RR

RV

R

R

RR

RV

R

RR

RR

RVV 11

21

1

4

3

21

1

4

43

21

1 .



A partir de aquí:

11

11

1

2

1

2

1

21

−−+

=−+

=→

+=+→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+×=

+

CS

V

CICScc

CS

Hcc

CS

H

CS

cc

cc

H

CS

cc

V

VVV

V

VV

R

R

V

V

V

V

R

R

V

V

V

V

R

RR

H48476

Finalmente, después de ordenar queda:

→−−+=−−+

= 1111

2

CS

CI

CS

cc

CS

CICScc

V

V

V

V

V

VVV

R

R

CS

CIcc

V

VV

R

R −=

1

2 .

Este par de ecuaciones es otra opción de presentar los resultados del problema.

2.10.2 Detectores de ventana

El circuito se muestra en la Fig. 18. Se diseña/utiliza este circuito para monitorizar tensiones de entrada.

Fig. 18. Detector de ventana y característica estática.

A continuación se realiza el análisis. Recordemos primero la operación del AO con salida en colector abierto por el terminal [7], estando el terminal [1] conectado a tierra:

Si V+>V-, entonces Qsalida, OFF, Vo=Vcc. Si V+<V-, entonces Qsalida, ON, Vo=VCE,SAT≈0 V.

VCI VCS

Vo

Vi

0

Vcc

Q2 SAT Q2 OFF

Q1 OFF Q1 SATQ1,2 OFF

+

Vo

VCS

Vcc

R5

-

VCI

Vi

-

+

Q1

Q2

AO1

AO2

Vd1

Vd2



Entonces:

• Si Vi>VCS (obviamente sería también Vi>VCI): Vd1<0, con lo que Vo1≈0 V. Por otra parte, como Vi>VCI: Vd2>0, con lo que Qsalida,2 OFF (salida de Q2 desconectada). Con lo cual la salida es aproximadamente 0 V.

• Si Vi<VCI (obviamente Vi<VCS): Vd2<0, con lo que Vo2≈0 V. Por otra parte, como Vi<VCS: Vd1>0, con lo que Qsalida,1 OFF (salida de Q1 desconectada). Con lo cual la salida es aproximadamente 0 V.

• Finalmente, para VCI<Vi<VCS: los dos colectores del los transistores están desconectados, y la salida es nivel alto.

Otra versión del comparador de ventana, esta vez basado en AOs de propósito

general (que no tienen la salida en colector abierto), se muestra en la Fig. 19. En este caso, como la salida no es en colector abierto, es necesario intercalar diodos entre cada salida de los AOs y la salida del circuito.

Fig. 19. Detector de ventana basado en AOs de propósito general. Por simplicidad, se omiten las alimentaciones de los AOs: ±Vcc. Situación de corrientes para el caso VCI < Vi < VCS.

El funcionamiento es como sigue. Para VCI < Vi < VCS, Vo1 es alta (tensión diferencial de los AO1 positiva), y D1 conduce; Vo2 es alta también, pero D2 está en corte porque tiene en el cátodo tensión alta. Salvo el salto de tensión del diodo, que es ínfimo, la salida se parecerá a la de saturación del AO1.

Para VCI < VCS < Vi, D1 está en corte (tensión diferencial negativa) y D2 en corte (tensión diferencial positiva). Por tanto, por la resistencia de carga RL no circula corriente y la salida es nula.

Por último, para Vi < VCI < VCS, se da una situación opuesta-simétrica a la anterior, pero con el mismo resultado; en la que D2 conduce (Vo2=-15 V por ejemplo) por ser negativa la tensión diferencial del AO2, y D1 conduce también (Vo1=15 V por ejemplo), por ser positiva la tensión diferencial del AO1. Por lo que por la resistencia de carga no circula corriente al encontrar impedancia nula por los diodos. Esta curiosa situación se muestra en la Fig. 20.

+

Vo

VCS

-

VCI

Vi

-

+

D1.- 1N914

D2.- 1N914

AO1

AO2

Vo2=15 V

RL

OFF

ONVo1=15 V

≈15-0,7



Fig. 20. Detector de ventana basado en AOs de propósito general. Por simplicidad, se omiten las alimentaciones de los AOs: ±Vcc. Situación de corrientes para el caso Vi < VCI

< VCS. 2.10.3 Papel de un comparador en el control de procesos Los comparadores se utilizan para el control todo-nada (ON-OFF). Una situación básica se muestra en la Fig. 21, en la que se aprecia que la salida del comparador ataca al actuador (como por ejemplo una bobina de un relé, conectada al colector de un transistor bipolar). La actuación sobre el proceso está monitorizada por un sensor que provoca las transiciones del comparador según la necesidad.

Fig. 21. Esquema de un control todo-nada basado en comprador o inversor.

Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F.F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall hispanoamericana. México, 1993. González de la Rosa, J.J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis. Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Malik, N. R. Electronic circuit: analysis, simulation and design, Prentice Hall international editions, 1995.

Millman, J. Microelectrónica. Circuitos y sistemas analógicos y digitales, 5ª edición, Editorial Hispano Europea, Barcelona, 1989.

+

Vo

VCS

-

VCI

Vi

-

+

D1.- 1N914

D2.- 1N914

AO1

AO2

Vo2=-15 V

RL

ON

ONVo1=15 V ≈ 0

≈ 0 V

Actuador Proceso

Sensor


3 Amplificadores diferenciales para

instrumentación

3.1 Introducción

En este capítulo se estudian los circuitos amplificadores diferenciales, de instrumentación y de puente. La aplicación de estos circuitos se circunscribe al ámbito de las señales de bajo nivel (debajo de 100 mV aproximadamente) de sensores y transductores.

El amplificador de instrumentación es el circuito electrónico empleado en aplicaciones de medición que involucren diferencias de tensiones. Está formado por varios amplificadores operacionales y resistencias de precisión, que confieren al circuito grandes exactitud y precisión. En la actualidad existen numerosos encapsulados que cumplen esta función. Quizá el único inconveniente sea su precio (desde 6 a más de 90 €), pero merece la pena pagar este precio si la aplicación o los requisitos de diseño requieren el uso de un circuito integrado en lugar de emplear componentes discretos. 3.2 El amplificador diferencial básico

3.2.1 Análisis empleando el principio de superposición El amplificador diferencial básico puede medir y amplificar pequeñas señales que quedan ocultas en otras de mayor amplitud. La Fig. 1 muestra un amplificador diferencial básico. En general suele emplearse como AO un modelo de bajo offset, como por ejemplo el OP-07. Se emplean resistencias de precisión (1%).

La salida se obtiene aplicando las hipótesis lineales de operación, según vimos en el capítulo 1. Empleando por ejemplo magnitudes de CC (notadas en mayúsculas), se obtiene:

( )211

2 VVR

RVo −⋅= . (1)

Se consideran valores proporcionales de resistencias, con el fin de establecer

relaciones entre estos componentes. Así por ejemplo, se suele trabajar con R2=R4=kR1=kR3= kR.



Con todo esto, se obtiene la salida aplicando el principio de superposición a este circuito lineal (es otro procedimiento para obtener la expresión de la salida):

0,0, 1221 == +=VVoVVoo VVV . (2)

Fig. 1. Amplificador diferencial básico con AO discreto. Resistencias: R2=R4=kR1=kR3= kR. En este caso k=10.

Calculemos individualmente estas tensiones considerando ideal al AO. Para ello, se cortocircuita una entrada y se calcula la salida debida a la otra. Si la entrada V1=0, la tensión en la terminal no inversora del AO es cero (divisor de tensión) y el circuito se comporta como una configuración inversora. En efecto:

221

20, 12

VkVR

RVV

VVoo ⋅−=⋅−== = . (3)

Por otra parte, si la entrada V2=0, la tensión en la terminal no inversora vale:

1143

4

1V

k

kV

RR

RV

+=

+=+ . (4)

Considerando ahora la parte superior del circuito, vemos que se comporta como una configuración no inversora para la entrada V+:

( ) ++= +=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= VkVR

RV

k

V,Vo 111

2021

. (5)

Ahora se sustituye (4) en (5):

( ) ( ) 110, 111

21VkV

k

kkVkV

VVo =+

+=+= += . (6)

+

-+15 V

Vo

R2=100 kΩΩΩΩ

V2

R1=10 kΩΩΩΩ

-15 V

V1

R3=R1=10 kΩΩΩΩ

R4=R2=100 kΩΩΩΩ

3 Amplificadores diferenciales para instrumentación


Finalmente, se usan (2), (3) y (6) para obtener la salida en función de la entrada a través de la ganancia diferencial del circuito, AD:

( ) ( )2121210,0, 1221VVAVVkkVkVVVV DVVoVVoo −=−=−=+= == . (7)

Obsérvese en la expresión (7) que no existe ganancia en modo común, por lo que el

comportamiento sería diferencial puro, o diferencial ideal. Si la ganancia de modo común fuera distinta de cero, se obtendría la siguiente expresión para la tensión de salida:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−=

221

21VV

AVVAV CMDo . (8)

En la expresión anterior (8) las ganancias diferencial y de modo común dependen del factor de rechazo al modo común del componente y del desapareamiento de las resistencias. Este asunto nos ocupa en el siguiente apartado. Por ahora es muy importante recordar la dependencia matemática de las ganancias:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

4

1

2 ,,,R

R

R

RCMRRfAA CMD . (9)

Y también es importante recordar la definición de factor de rechazo al modo común del circuito (CMRRT), si el CMRR del componente (sin subíndices) es infinito (CMRR→∞):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡

3

4

1

2 ,,R

R

R

Rf

A

ACMRR

CM

DT

1, (10)

donde el subíndice “T” hace referencia a “total”, del circuito. Si el CMRR (el del componente) no diverge, entonces la dependencia (10) es más general:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≡

3

4

1

2 ,,,R

R

R

RCMRRf

A

ACMRR

CM

DT (11)

Finalmente, es necesario incidir en que los amplificadores diferenciales operan con

tensiones de bajo nivel (inferiores a los 100 mV de amplitud). Con el fin de ilustrar una simple cuenta consideremos por ejemplo V1=12 mV, V2=2 mV; entonces la salida es Vo=10×(12-2) mV =100 mV. 3.2.2 Tensión de modo común La salida de un amplificador diferencial ideal debe ser cero cuando las dos entradas del circuito son iguales (V1=V2). Como sabemos del capítulo 1, en la práctica esto no ocurre, debido a la presencia de una ganancia de modo común no nula. Esto significa que el CMRRT del circuito es finito (aunque elevado). En el caso que nos ocupa, esta

1 En general, depende de la configuración del circuito. Se define el tanto por ciento de desapareamiento. Se podría decir que depende de la diferencia entre las resistencias.



ganancia de modo común tiene un doble origen, como hemos dicho. En primer lugar, el CMRR del componente no es infinito. Por otra parte, si el componente es ideal (CMRR→∞), el CMRRT del circuito depende del apareamiento de las resistencias, es decir, depende de que se verifiquen en mayor o menor medida determinadas relaciones de proporcionalidad entre las resistencias. En el caso del amplificador diferencial básico estamos hablando de la constante k. Todo esto se resumía en la Ec. (11).

Para compensar este desapareamiento o desacoplo entre los valores de las resistencias, o el hecho de que el componente tenga un CMRR finito, dando lugar a salida no nula cuando las entradas del circuito son iguales, la resistencia R4 incorpora una parte variable; es decir, esta resistencia es una parte fija más un potenciómetro de ajuste fino que permite al usurario, al rotarlo, hacer que la salida del circuito amplificador diferencial básico sea cero cuando las entradas son iguales.

Cuando las dos entradas son iguales se dice que se está estudiando la respuesta en modo común del circuito. El modo más simple de estudiar el comportamiento ante el modo común es cortocircuitar ambas entradas y conectarlas a una fuente común de tensión. Con el fin de igualar las relaciones entre las resistencias, y de conseguir el comportamiento diferencial puro del amplificador diferencial básico de la Fig. 1, se emplea la resistencia variable R4, ya comentada. Este potenciómetro se suele ajustar en la práctica, en general, ante una situación de modo común, hasta que la salida sea aproximadamente cero. Se considera como una calibración.

Consideremos un ejemplo ilustrativo del efecto de la tensión de modo común. Un amplificador diferencial de dos entradas forma parte de un electrocardiógrafo. Su ganancia diferencial vale AD=1000. La señal de entrada diferencial deseada es de 1 mV de pico. La señal de entrada de modo común es una onda sinusoidal de 100 V de pico y 50 Hz. Se desea que la salida contenga una contribución de modo común cuyo pico sea del 1% ó menos que la salida de pico producida por la señal diferencial. Calcular el CMRR mínimo del amplificador diferencial.

Como la entrada diferencial es de 1 mV de pico, y la ganancia diferencial es 1000, el pico de salida de la señal deseada es 1 V. Para cumplir la especificación de diseño, la señal de salida de modo común debe presentar pues un valor de pico de 0,01 V (el 1 % de 1 V), o menor si cabe. Esto permite calcular la ganancia de modo común, según:

dBAAV

V

CMpicoentrada

ldiferenciaentradapicoA CMdBCMCM 80log2010

100

01,0%1 4 −==→=== − .

Como se aprecia, más que una ganancia, la ganancia de modo común es una atenuación. El CMRR es pues:

dBA

ACMRR

CM

D140

10

1000log20log20

4===

−.

Esta especificación para el electrocardiógrafo es extremadamente buena. En la práctica, la tensión de modo común se origina como consecuencia de conectar

a tierra dos puntos de un circuito, que están separados entre sí. Esta separación origina entre ambos una caída de tensión, aunque de hecho estén separados y unidos entre sí por un cable. La situación se indica en la Fig. 2. La tierra proviene de la conexión con un tubo de agua y también se conecta al chasis del amplificador (tierra de equipo), con el fin de proporcionar seguridad al operador.



Fig. 2. Amplificador de una sola entrada con tensión de modo común, originada por dos puntos de conexión a tierra (T1 y T2), entre los que existe una caída de potencial.

Las tensiones y corrientes de ruido quedan modeladas por la tensión de modo

común (Vcm), que se suma, en serie, con la señal de entrada. A veces esta señal es de un orden de magnitud superior al de la señal de interés, por lo que este circuito debe sustituirse por un amplificador diferencial, que rechaza esta señal, sumada a sus dos entradas. 3.3 Mejoras introducidas al amplificador diferencial básico

3.3.1 Defectos del amplificador diferencial básico El amplificador diferencial básico hasta ahora estudiado tiene dos claras desventajas. Por una parte, posee resistencia de entrada finita. Esto es lo que estudiaremos en las siguientes líneas. En efecto, para las dos entradas, sus resistencias de entrada son las que se muestran en la Fig. 3.

+

-

R2=100 kΩΩΩΩ

R1=10 kΩΩΩΩ

RL

Vi

Vo

+

-

Vcm

Amplificador

T1T2



Fig. 3. Amplificador diferencial básico con AO discreto. Situación de cálculo de las resistencias de entrada para cada entrada.

Las resistencias de entrada se evalúan como si se conectaran generadores de tensión y de corriente auxiliares en las entradas. Se evalúa el cociente tensión/corriente, obviando el efecto de la otra entrada.

Por ejemplo, si V1=0, la resistencia de entrada vista desde la entrada 2 es finita y viene dada por:

12

2

02

22

0

1

RI

V

I

VR

Vi =

−==

=

. (12)

La otra resistencia de entrada es finita también.

Por otra parte, se define la resistencia de entrada diferencial:

31 RRRiD +≡ . En cualquier caso, la resistencia de entrada es baja, del orden de kΩ.

La otra desventaja que presenta la configuración es el mal ajuste de la ganancia por no satisfacer la condición de simetría o balanceo entre las resistencias. En efecto si se quiere otro valor de ganancia hay que modificar el cociente de resistencias, y ya no se tiene un comportamiento diferencial ideal. Se recuerda que el potenciómetro de R4 es de ajuste fino, y no serviría para compensar este desplazamiento.

Las dos desventajas mencionadas hacen que el circuito sólo se pueda emplear para montajes fijos. Es decir, ganancia fija, que no haya que modificar, y resistencia de entrada diferencial fija. No sería útil para un osciloscopio por ejemplo, ya que se necesitará cambiar la ganancia (V/div) y la resistencia de entrada diferencial.

+

-+15 V

Vo

R2

V2

R1

-15 V

V1

R3

R4

I2

I1

Ri2

Ri1



3.3.2 Incremento de la impedancia de entrada El circuito de la Fig. 4 logra una impedancia de entrada infinita. Esto se consigue aislando las entradas con seguidores de voltaje.

Fig. 4. Amplificador diferencial con impedancia de entrada infinita. La salida es diferencial flotante.

El análisis del circuito es trivial puesto que se transmiten las tensiones en las salidas

de los seguidores de tensión. Hay que observar en el circuito de la Fig. 4 que la salida es diferencial flotante

(ningún extremo de la resistencia de carga está conectado a tierra); en contra de lo que sucedía con la salida referida a tierra del amplificador diferencial básico.

La salida diferencial que se consigue es en realidad una entrada diferencial a la etapa de ganancia variable, que se verá a continuación. 3.3.3 Amplificador de ganancia variable Este circuito se consigue añadiendo tres resistencias al amplificador aislador de la Fig. 4. Resulta un aislador con entrada y salida diferenciales, y con ganancia ajustable. Veamos el montaje, que mantiene la elevada resistencia de entrada con los dos seguidores de tensión. Queda descrito en la Fig. 5.

-

+

V1

V2

Vo1=V1

Vo2=V2

RL

+

-

Vo=V1-V2

+

-

+

+



Fig. 5. Amplificador de instrumentación de ganancia ajustable y alta impedancia de entrada.

La salida del circuito resulta ser:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×−=−=

a

21VVVVV 21o2o1o .

Acabamos de demostrar que el circuito de la Fig. 5 permite obtener una salida (ganancia) regulable. 3.4 El amplificador de instrumentación

El circuito queda representado en la Fig. 6, e incorpora las dos mejoras anteriores más un amplificador diferencial básico, con ganancia unitaria. La salida del circuito resulta:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +×−=−×=

a

21VVVVV 21o2o1o 1 .

Esta salida ya no sería flotante.

-

+

V1

V2

R

R

RG=aR

Vo1

Vo2

+

-

RL

+

-

Vo=Vo1-Vo2

V2

V1

I=0

I=0



Fig. 6. Amplificador de instrumentación basado en un amplificador diferencial de alta impedancia de entrada (y ganancia regulable) y un amplificador diferencial básico. Generalmente este circuito se presenta integrado, como por ejemplo el AD623.

3.5 Otros amplificadores diferenciales

El circuito de la Fig. 7 permite ajustar la ganancia. Sin embargo, presenta también el problema de la baja resistencia de entrada por canal, y de la baja resistencia de entrada diferencial (Rid).

Fig. 7. Amplificador de instrumentación con ganancia ajustable. Posible situación de corrientes para entradas positivas.

Para analizar el circuito se supone ideal al AO. La Fig. 8 muestra su simulación en estática, con el fin de corroborar el sentido de las corrientes. Por tener resistencia de entrada infinita el AO, se cumplen las relaciones:

V1

R1

R1

R2

+

-

Vo

R3

R2

V2

R2

R2

V’’

V’

-

+

V1

V2

R

R

R

R

R

RG=aR

+

-

Vo

Vo1

Vo2

+

-R



Fig. 8. Simulación en estática del amplificador de instrumentación de la Fig. 7., con el fin de corroborar el sentido de las corrientes. Los valores de las resistencias no coinciden con los valores de la Fig. 7.

12

'

R

V-V

R

VV 2−−

=− ; 21

''

R

VV

R

VV1 −=− ++

.

Por otra parte, por tener el circuito realimentación negativa y ganancia diferencial infinita se verifica el cortocircuito virtual en la entrada diferencial del AO: es decir, V+=V-; por lo que las ecuaciones de arriba son:

12

'

R

V-V

R

VV 2−−

=− 21

''

R

VV

R

VV1 −=− −−

.

Por otra parte, en el nudo V’’ la suma de corrientes es:

232

0'''''''

R

V

R

VV

R

VV −=−+−+

232

'''''''

R

V

R

VV

R

VVVV =−+−⎯⎯⎯ →←−

= −+.

La última ecuación es para la tensión de salida, en la que se usa la suma de corrientes en el nudo V’:

232

'''''

R

VV

R

VV

R

VVo−−=−−

−



Resumen de ecuaciones y resolución final:

( )2121

1

2

V-VR

RVV

R

VV

R

V-V

R

VV

R

VV

miembroamiembrosrestándola

R

V-V

R

VV

1

2

21

21

12

''''''

''

'

=−→−=→

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=−

=−

−−

−−

( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−+−=−→

+−=−−=−+−

−−→

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

−=−−−

=−+−

−−−

−

−

3

2

32322

2222322

232

232

1'''2

11'''2

'''2

'''2

'''''''''2

'''

'''''

'''''''

R

RVVV

RRVV

R

VV

R

VV

R

V

R

V

R

VV

R

VV

R

V

R

VV

R

VV

R

VV

R

VV

R

VV

R

VV

miembroamiembrosrestándola

R

V

R

VV

R

VV

o

o

o

o

Combinando las ecuaciones subrayadas que se han indicado arriba resulta finalmente:

( )( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

3

2

1

2

3

2 121'''2

1

2

R

RV-V

R

R

R

RVVV 21

V-VR

R

o

21

43421 .

Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F.F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall hispanoamericana. México, 1993. González de la Rosa, J.J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis, Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Malik, N. R. Electronic circuit: analysis, simulation and design, Prentice Hall International Editions, 1995.

Millman, J. Microelectrónica. Circuitos y sistemas analógicos y digitales, 5ª edición, Editorial Hispano Europea, Barcelona, 1989.


4 Filtros activos

4.1 Introducción. Objetivos del capítulo

En este capítulo se estudian los circuitos electrónicos denominados filtros activos basados en el amplificador operacional. Después de introducir los filtros ideales se definen las especificaciones de diseño reales. Cada tipo y orden de filtro se acompaña de las topologías asociadas y de sus correspondientes ecuaciones de diseño. 4.2 Filtros activos ideales

4.2.1 Definición de filtro activo Un filtro es un circuito selectivo en frecuencia, que se emplea para eliminar cierto intervalo de frecuencias o componentes espectrales de la señal de entrada. Por ejemplo, un filtro paso-bajo eliminaría todas las componentes por encima de la frecuencia superior de corte; y se emplea, entre otras muchas aplicaciones, en la eliminación de componentes de altas frecuencias que pueden provocar falsos picos en el espectro en equipos electrónicos de medida, que incluyen un conversor analógico a digital; ese filtro se denomina anti-aliasing. 4.2.2 Filtros activos ideales Las Figs. 1 y 2 muestran las funciones de transferencia ideales.

Fig. 1. Filtros ideales paso-baja y paso-alta.



Fig. 2. Filtros ideales paso-banda y elimina-banda.

Estas cuatro funciones ideales de filtrado muestran su idealidad en el sentido de presentar una pendiente de rechazo infinita. Se observa que un filtro activo amplifica las frecuencias de interés. Esto contrasta con los filtros pasivos que, a lo sumo no alteran la amplitud de las componentes espectrales de interés.

También se tiene la función de transferencia pasa-todo, que tiene por fin la modificación de la fase de las componentes espectrales.

En los filtros activos reales es necesario cuantificar la proximidad a las funciones de transferencia ideales. La Fig. 3 muestra la característica real de un filtro paso-baja, donde se aprecian los parámetros involucrados en su diseño.

Fig. 3. Característica de transferencia real de un filtro paso-baja.

En la banda pasante se observa el rizado (Amáx), u oscilación máxima que presenta la

banda pasante. Por otra parte, en la banda suprimida también se observa el rizado. El rizado aumenta con el orden del filtro (cuanto más complejo es). Esto es un inconveniente.

Los rasgos de la respuesta de un filtro dependen del orden, es decir del grado del denominador de su característica de transferencia en el dominio de Laplace.

En efecto, la función de transferencia de un filtro es la relación entre las transformadas de Laplace de la salida y de la entrada, y presenta la forma de cociente de polinomios en “s”:

)(

)(

)(

)()(

sq

sp

sV

sVsH

i

o =≡ .

Esta función de transferencia puede plantearse en forma factorizada; presentando el

denominador términos no factorizables de orden dos como máximo. Esto significa que, ya que la resistencia de entrada al AO es infinita, o muy alta, y la de salida es nula, o muy

4 Filtros activos


pequeña, la síntesis de filtros se fundamenta en la interconexión en cascada de etapas amplificadoras de filtrado, basadas en amplificadores operacionales, siendo nulo o despreciable el efecto de carga entre etapas. Así, las etapas que componen las cascadas son de primero y de segundo orden. En consecuencia, se dedican los siguientes apartados al estudio detallado de estas realizaciones de circuitos electrónicos. 4.3 Filtros activos de primer orden

4.3.1 Funciones de transferencia

En este apartado, para cada tipo de filtro, se obtiene la transmitancia isócrona o función de transferencia en régimen sinusoidal permanente. Recordar que cada ganancia es una magnitud compleja. Se plantean las expresiones en forma polar (módulo-fase). Denominaremos H0 a la ganancia en la zona plana, en la banda pasante de frecuencias. 4.3.1.1 Primer orden paso-baja. Cuando s → 0 (condiciones de CC, corriente continua, frecuencia nula), H(s) → H0. Cuando s → ∞ (muy alta frecuencia), H(s) → 0.

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+

=⎯⎯ →⎯+

= =

02

0

0

0

0

0

0

111 w

warctan

w

w

H

w

wj

HjwH

w

s

HsH jws .

4.3.1.2 Primer orden paso-alta. Cuando s → 0 (condiciones de CC, corriente continua), H(s) → 0. Cuando s → ∞ (muy alta frecuencia), H(s) → H0.

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∠

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅=

+

⋅=⎯⎯ →⎯

+

⋅= =

02

0

00

0

00

0

00

90

111 w

warctan

w

w

w

wH

w

wj

w

wjH

jwH

w

s

w

sH

sH jws .

Obsérvese que son de primer orden porque “s” está en el denominador. Planteadas las funciones de transferencia, pasamos a las realizaciones prácticas. 4.3.2 Realizaciones prácticas: circuitos con amplificadores operacionales Básicamente las dividiremos en dos grupos: realizaciones basadas en las configuraciones, o circuitos, inversora y no inversora.

4.3.2.1 Primer orden paso-baja La Fig. 4 muestra la configuración inversora basada en integrador con banda de transmisión:



Fig. 4. Configuración inversora que sintetiza un filtro de primer orden del tipo paso-baja. Es un integrador con banda de transmisión.

La función de transferencia resulta del análisis tradicional de una configuración inversora basada en AO ideal:

( ) ( )( )

CRw

R

RH

CsR

R

R

R

CsR

R

sZ

sZsH

20

1

20

2

1

2

1

2

2

1

2

11

1

1

=τ

=

−=

+

−=

+−=−=

El procedimiento de diseño parte de las especificaciones u objetivos de diseño: H0, y

w0. Se elige siempre en primer lugar el condensador, debido a su mayor tolerancia o dispersión en su valor capacitivo en comparación con el valor resistivo de las resistencias. Sigue la secuencia de pasos que a continuación se indican:

1.- Elegir C. Por ejemplo 10 nF, es un valor típico.

2.- Se obtiene la resistencia de realimentación según Cw

RCR

w0

22

011 =→= .

3.- La otra resistencia se obtiene a partir de la ganancia: 0

21

1

20 H

RR

R

RH −=→−= .

Recordar que H0 es una magnitud negativa, por lo que el tercer paso de la secuencia de diseño es coherente.

La Fig. 5 muestra la configuración no inversora, basada en un circuito de fuente de tensión controlada por tensión (VCVS; Voltage Controlled Voltage Source), que no es más que una configuración no inversora. Conviene sin embargo familiarizarse con esta nomenclatura con vistas al diseño de filtros de orden superior a 1. La Fig. 6 muestra la configuración en forma compacta.

+

-R1

Vo

R2

Vi

CZ2

Z1

4 Filtros activos


Fig. 5. Configuración no inversora que sintetiza un filtro paso-baja VCVS de primer orden. Los bloques funcionales quedan mejor separados.

Fig. 6. Filtro paso-baja VCVS de primer orden en forma compacta. El triángulo simboliza el bloque de ganancia controlada por tensión.

La función de transferencia resulta del análisis tradicional de una configuración de tipo no inversor, basada en AO ideal:

( )

RC

11w

R

R1KH

RCs1

K

RCs1

R

R1

sH

0

1

20

1

2

=τ

=

+==

+=

+

+=

El procedimiento de diseño parte, como siempre, de las especificaciones u objetivos

de diseño: H0, y w0. Se elige siempre en primer lugar el condensador, por las razones ya expuestas. Sigue la secuencia de pasos que a continuación se indican:

1.- Elegir C. Por ejemplo 10 nF, es un valor típico.

Vi Vo

R

C

K=1+R2/R1

V+

+

-

R2

R1

Vi

VoR

C

Bloque VCVS

K≡≡≡≡1+R2/R1



2.- Se obtiene la resistencia de la constante de tiempo según la ecuación de la

pulsación característica: Cw

RRC

w0

011 =→= .

3.- La resistencia de realimentación se obtiene, despejando a partir de la ganancia, K

ó H0: 1

20 1

R

RH += . Se elige siempre R1 (e.g. 10 kΩ) y se despeja R2.

4.3.2.2 Primer orden paso-alta

Los filtros de primer orden paso-alta tienen una estructura muy parecida, basada en las configuraciones inversora y no inversora, y mostradas en la Fig. 7 y Fig. 8, respectivamente.

Fig. 7. Configuración inversora que sintetiza un filtro de primer orden de tipo paso-alta.

La función de transferencia resulta del análisis de una configuración inversora tradicional, aplicando la tradicional regla del cociente de impedancias:

( ) ( )( )

CR

11w

R

RH

1CsR

CsR

R

R

1CsR

CsRR

R

1CsR

CsR

Cs

1R

R

sZ

sZsH

10

1

20

1

1

1

2

1

11

2

1

2

1

2

1

2

=τ

=

−=

+−=

+−=

+−=

+−=−=

Para analizar la configuración no inversora se considera el amplificador no inversor como bloque de ganancia, que se ilustra en la Fig. 8. Se realiza este análisis con el fin de ilustrar el procedimiento. El AO se considera ideal a todos los efectos.

+

-R1

Vo

R2

Vi

C

Z2Z1

4 Filtros activos


Fig. 8. Configuración no inversora que sintetiza filtro paso-alta VCVS de primer orden.

Aplicando reglas elementales de teoría de circuitos calculamos el divisor de tensión en la entrada inversora (impedancia de entrada del AO infinita). Además, aplicamos la ganancia de la configuración no inversora, como hemos adelantado:

iio

o

ii

VRCs

RCsKV

RCs

RCs

R

RV

VR

RV

VRCs

RCsV

CsR

RV

⋅+

⋅=⋅+

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=→

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⋅+

=⋅+

=

+

+

111

1

11

1

2

1

2

.

Los procedimientos de diseño son análogos a los expuestos con anterioridad. 4.4 Filtros activos de segundo orden

4.4.1 Funciones de transferencia En ellas intervienen como parámetros característicos la ganancia en la zona plana, la pulsación característica y el coeficiente de amortiguamiento (δ). Hay ahora tres especificaciones de diseño en lugar de dos, como en primer orden sucedía. 4.4.1.1 Función de transferencia paso-baja La función de transferencia de un sistema paso-baja estándar es de la forma:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⎯⎯ →⎯+⋅δ⋅+

=+⋅⋅δ⋅+

= =

020

2

0

020

20

200

2

200

21122

w

wj

w

w

HjwH

w

s

w

s

H

wsws

wHsH jws .

El filtro es indivisible si las raíces del denominador (recordar que el denominador igualado a cero es la ecuación característica) son complejas conjugadas. En caso de ser

+

-

R2

R1

Vi

Vo

R

Bloque VCVS

C



las raíces reales, el filtro de segundo orden puede sintetizarse como una cadena de dos unidades de primer orden.

En resumen, si se cumple la condición para el factor de amortiguamiento: 10 <δ< significa no factorizable. Si 1>δ entonces es factorizable (si 1δ = , las dos raíces son reales e idénticas). Resolvamos la ecuación característica (denominador igualado a cero),

0wsw2s 200

2 =+⋅⋅δ⋅+ , para comprobarlo. En efecto:

0δ2 200

2 =+⋅⋅⋅+ wsws ,

de donde se obtienen las raíces de la ecuación característica, llamadas también polos del circuito. Aplicando la regla de resolución de la ecuación de segundo orden, resultan:

( ) ( ) ( )1δδ2

1δ4δ22

4δ2δ2 200

2200

20

200

2,1 −±−=−±−

=−±−

=→ wwwwwww

s .

Si el radicando de la expresión anterior, 1δ 2 − , es positivo, entonces las raíces son reales y el denominador es factorizable en términos de primer orden ( 1δ ≥ ). En caso contrario ( 1δ < ), las raíces son complejas conjugadas. Además, es sencillo observar que su parte real es constante y siempre negativa:

( ) ( ) ( )

( ) .δ1δ

δ1δδ11δδ1δ

202,1

200

200

2002,1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −±−=→

−±−=−−±−=−−±−=

jws

jwwwwwwsj

El signo de la parte real de las raíces es tratado en el capítulo 8, en el contexto de la estabilidad de circuitos. Veremos que un circuito cuyos polos (complejos conjugados) tienen parte real constante y negativa es inherentemente estable.

Un caso particular muy común en Física e Ingeniería es el correspondiente a filtro de Butterworth ( 2/1δ = ), en el que se comprueba fácilmente que el ángulo que forman los radio-vectores de los polos con el eje real es de 45º. La Fig. 9 ilustra la situación genérica de las raíces; es el diagrama del lugar de las raíces que representa la parte real frente a la parte imaginaria (una raíz genérica de un sistema lineal es de la forma: βα js += ). En ella, la situación inicial de los polos (antes por ejemplo de aplicar realimentación al AO) se ha dibujado con un aspa, la zona de movimiento con una línea vertical discontinua, y los radio-vectores son siempre simétricos respecto al eje real (regla general del trazado del lugar de las raíces).

4 Filtros activos


Fig. 9. Lugar de las raíces correspondiente a un circuito de segundo orden. Se muestran los radio-vectores asociados a cada polo.

Retomemos el trazado del diagrama de Bode de amplitudes. El módulo de la función

de transferencia en régimen sinusoidal permanente, o transmitancia isócrona, resulta:

( ) ( )( ) ( )222

0

2

0

2

20

2

0

2121

0

xx

HjxH

w

w

w

w

HjwH w

wx

⋅δ+−=⎯⎯ →⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=≡

.

Este módulo toma un máximo de valor:

( )2

0

12 δ−⋅δ=

HjwH máx .

Y esto ocurre para la pulsación:

20 21 δ−⋅= wwmáx .

Al valor máximo reseñado se le denomina pico de resonancia y a la frecuencia

(pulsación) donde se produce frecuencia de resonancia. El pico de resonancia es a menudo un “handicap” en cuestiones de diseño y selección de componentes pues en torno a él, el valor que toma la señal es muy elevado y pueden dañarse los equipos. La situación gráfica se indica en la Fig. 10. Realizamos las siguientes observaciones, que se pueden trasladar a dicha gráfica:

• Cuando δ decrece (crece) el máximo aumenta (disminuye). • El factor de amortiguamiento debe ser más pequeño que la unidad para que

exista máximo. De lo contrario, el radicando de la expresión de módulo máximo sería negativo.

Re(s)

Im(s)

0××××××××

s1

s2



• En la pulsación trivial (pulsación nula o para CC, frecuencia nula), la función también toma máximo pero no se suele considerar este punto por simplicidad. Sería un máximo relativo.

• Existe máximo cuando el radicando de la pulsación máxima es positivo, es decir, si se verifica la condición (iguale a cero el radicando):

2

1<δ .

Cuando se da la desigualdad contraria no existe máximo. Esto es obvio, ya que la el radicando de la expresión de la pulsación máxima es negativo.

• El máximo no trivial (el pico de resonancia) coincide con H0 cuando δ=1/√2. En este caso se dice que el filtro es de Butterworth, y la respuesta en frecuencia es “máximamente plana”. En este caso particular, la pulsación característica del filtro coincide con la pulsación de corte, y la expresión del módulo de la función de transferencia resulta:

( )

2

020

24

20

2

0

2

0

2

20

2

0

2

0

2

20

2

0

w

w2

w

w2

w

w1

H

w

w2

w

w1

H

w

w

2

12

w

w1

HjwH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

.

Finalmente resulta el módulo resulta:

( )4

0

0

w

w1

HjwH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= ,

donde se aprecia que, en la pulsación característica:

( )2

H

w

w1

HjwH 0

4

0

0

00 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= .

Esto significa que la pulsación característica es la frecuencia de corte del circuito.

4 Filtros activos


Fig. 10. Función de transferencia de un filtro activo paso-baja de segundo orden. Distintas situaciones del pico de resonancia.

4.4.1.2 Función de transferencia paso-alta El estudio es simétrico y análogo al anterior basándonos en la función:

( )1

w

s2

w

s

w

sH

wsw2s

sHsH

020

2

20

2

0

200

2

20

+⋅δ+

⋅=

+⋅δ+= .

4.4.1.3 Función de transferencia paso-banda Adopta la forma genérica:

( )1

w

s2

w

s

w

s2H

wsw2s

sw2HsH

020

20

0

200

200

+⋅δ+

⋅δ⋅=

+⋅δ+⋅δ

= .

Y la transmitancia isócrona resulta:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅δ+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⋅δ⋅=

020

2

0

0

020

2

00

w

w

Q

1j

w

w1

w

w

Q

Hj

w

w2j

w

w1

w

wj2H

jwH .

El módulo de esta función toma el máximo en wmáx=w0; coincidiendo este valor máximo con H0. Esta frecuencia (o pulsación) recibe a menudo el nombre de frecuencia de resonancia, y por ello su notación incluye a veces el subíndice “r”.

La función de transferencia suele expresarse en términos del factor de calidad (como hemos visto en las expresiones anteriores), Q. Como veremos, este parámetro cuantifica la selectividad en frecuencia del filtro. Se define según:

δ≡

2

1Q .

| H(jw)|dB

log(w)

| H(jwmáx)|máx

| H0|

log(wmáx) 0

δ<1/√2

δ>1/√2 δ=1/√2



La relación entre el ancho de banda (BW1) y el factor de calidad del filtro viene dada por:

Q

wBW o≡ .

Obsérvese, que cuanto mayor es el factor de calida, más selectivo en frecuencia (menor ancho de banda) es el filtro. La Fig. 11 muestra el diagrama de Bode de ganancias.

Fig. 11. Función de transferencia de un filtro activo paso-banda.

La frecuencia de resonancia puede calcularse empleando la expresión:

LHr fff = . 4.4.2 Realizaciones prácticas de filtros activos de segundo orden Las realizaciones prácticas de los filtros activos RC se basan en la estructura general de la Fig. 12. De ella, como veremos, se deducen las dos topologías de partida para la síntesis. El bloque de ganancia K es un elemento VCVS, pero incluso más general que en ese caso. De hecho, de esta configuración genérica se obtienen la configuración inversora, y la no inversora, que en todo el capítulo estamos llamando VCVS. Por otra parte, la síntesis es directa en el sentido de que cada rama incorpora un solo componente pasivo.

1 Band Width

| H(jw)|dB

log(w)

| H(jwmáx)|máx =| H0|

log(wmáx) 0 log(wL) log(wH)

| H0|/√2

4 Filtros activos


Fig. 12. Circuito genérico para la síntesis de filtros activos de segundo orden RC. El concepto de ganancia del amplificador, K, es incluso más general que para los filtros VCVS.

Cada admitancia verifica Yi=1/Zi. La función de transferencia resulta (no es el objetivo de este tema su demostración):

( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )213432164343215

31

1 YYYYYYYYKYYYYYYY

YYK

V

VsH

i

o

+⋅++++⋅+−⋅++++⋅⋅⋅

=≡ .

4.4.2.1 Filtros con realimentación múltiple. El circuito inversor de Rauch Los filtros activos con realimentación múltiple y ganancia infinita (IGMF; Infinite Gain Multiple Feedback), se sintetizan a partir de la estructura genérica de la Fig. 12 con las siguientes indicaciones:

• La ganancia de la fuente de tensión K es negativa e infinita. De esta forma, se emplea un AO en lazo abierto de manera que K es su ganancia diferencial.

• La admitancia Y6 se selecciona nula. Por tanto, su resistencia asociada es infinita y no aparece en el circuito.

A partir de estas indicaciones surge el circuito de la Fig. 13. Aplicando las leyes elementales de resolución de circuitos se obtiene su función de transferencia:

( ) ( ) 4343215

31

i

o

YYYYYYY

YY

V

VsH

⋅++++⋅⋅−

=≡ .

A partir de esta ecuación se realiza la generación directa de filtros paso-baja, paso-alta y paso-banda. Estas distintas realizaciones prácticas surgen de los casos particulares de esta función de transferencia, en concreto del carácter resistivo o capacitivo de las impedancias.

Vi

Y2

Y4

Vo

Y5

Y3Y1

Y6

K



Fig. 13. Circuito genérico para la síntesis de filtros activos de segundo orden basados en la topología IGMF o de Rauch. Obsérvese la doble (múltiple) realimentación que presenta el circuito.

Realización paso-baja: Responde al circuito de la Fig. 14. Si Y1 e Y3 se toman como resistencias, para que el numerador de la expresión genérica de la ganancia sea de orden cero, entonces Y5 debe ser un condensador e Y4 una resistencia.

Fig. 14. Realización paso-baja basada en la topología IGMF o de Rauch.

La función de transferencia se obtiene sustituyendo cada valor de impedancia:

( ) ( )( )

434315

252

31

43432

15

31

1111

11

11111

11

RRRRRsCsCC

RR

RRRRsC

RsC

RR

sV

sVsH

i

o

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅

−=≡ .

Vi

Vo

+

-

C5

C2

R1

R4

R3

Vi

Y2

Y4

Vo

Y5

Y3Y1

+

-

4 Filtros activos


Ahora se hace “1” el coeficiente de s2:

( ) ( )( )

52434312

2

5231

11111

1

CCRRRRRCss

CCRR

sV

sVsH

i

o

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=≡ .

Las ecuaciones de diseño se obtienen comparando la ecuación anterior con la función de transferencia genérica paso-baja:

20

02

200

200

2

200

2)(

wsQ

ws

wH

wsws

wHsH

+⋅+=

+⋅⋅δ⋅+= .

Comparando término a término se obtienen las expresiones que permiten obtener los parámetros del filtro dados los valores de los componentes:

5243

20

1

CCRRw = ; ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=δ

43120

11112

RRRCw .

De estas dos últimas expresiones se obtiene el factor de amortiguamiento del filtro:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=δ

1

43

3

4

4

3

2

5

43125243 2

11111

2

1

R

RR

R

R

R

R

C

C

RRRCCCRR .

Finalmente, comparando los numeradores, se obtiene la ganancia:

→−==52315243

0200

11

20

CCRRCCRRHwH

w

43421 1

40 R

RH −= .

Las ecuaciones de diseño permiten deducir los valores de los componentes en función de las especificaciones de diseño. El procedimiento de diseño consta de los pasos siguientes: 1.- Se elige C2=C.

2.- Se elige C5=mC, múltiplo del anterior, con la condición ( )02 14

1

HQm

+< (que se

obtiene de la expresión para la resistencia R4, que mostramos a continuación). 3.- Se calculan las resistencias: En primer lugar R4 en función de los parámetros del circuito y luego el resto de las resistencias en función de R4.

( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+= 0

2

04 1411

2

1HmQ

CmQwR (de aquí se obtiene la condición para “m”)

0

41

H

RR =

mRCwR

422

03

1= .



Veamos la demostración, la obtención de estas ecuaciones de diseño:

De la expresión 2

435243

20

mCRR

1

CCRR

1w == , se obtiene

24

20

3mCRw

1R = .

De la expresión de la ganancia se saca: 0

41

H

RR = .

Ya tenemos estas dos resistencias en función de R4. Ahora sustituimos en

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=δ

43120

11112

RRRCw , y tenemos:

( )1mCRwHR

1

R

1mCRw

R

H

R

1

R

1

R

1Cw2 22

4200

44

24

20

4

0

4310 ++=++=++=δ .

Como se anticipaba, lo anterior conduce a una ecuación de segundo grado en R4, cuyos coeficientes quedan realzados entre paréntesis:

( ) ( ) ( ) 0H1RCw2RmCw1mCRwHCRw2 04024

220

224

20040 =++δ−↔++=δ .

Ahora se replantea la ecuación anterior:

0mCw

H1R

mCw

2R0

mCw

H1R

mCw

Cw2R

220

04

0

2422

0

0422

0

024 =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ−↔=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ− .

Esta es la ecuación de segundo grado que vamos a resolver ahora:

( )mH1mCw

1

mCw2

mCw

H14

mCw

2

mCw

2

R 02

00

220

02

00

4 +−δ±δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ±⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ δ

= .

Reordenando un poco resulta:

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

δ+

−±δ=δ

+−δ±δ=

20

02

0

004

mH111

mCw

mH11

mCwmCwR .

La solución válida es la correspondiente al signo positivo:

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

δ

+−+δ=

2

0

04

mH111

mCwR .

A partir de ella, se obtienen R1 y R3, también en función de las especificaciones de diseño y de las elecciones realizadas.

4 Filtros activos


Plantéese como ejemplo práctico de diseño el proyecto de un filtro con ganancia en la “zona plana” H0=20, y frecuencia característica f0 = 2 kHz. Los valores capacitivos se consideran iguales a 10 nF. El valor de δ se deja abierto en el diseño. Téngase en cuenta que ha de verificarse que el radicando de R4 sea positivo o nulo. Podemos empezar por ahí, imponiendo además m=1:

( ) ( )2014

1

14

11

20

2 +=

+==

QHQm .

De esta expresión se obtiene el valor del factor de amortiguamiento (también el

factor de calidad, Q): Q2=1/84. Y a partir de aquí ya se puede calcular R4:

( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+×××××

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+

×=

=

−44 344 21

0

802

04 211

84

411

8411102000π22

11411

π22

1

/HmQ

CmQfR .

Haciendo la cuenta anterior resulta: R4 ≈ 36.467 Ω. Luego se calculan el resto de las resistencias en función de esta. Además, hay que elegir finalmente los valores normalizados más próximos. Estos valores normalizados resultan finalmente iguales a R1=R3=1,8 kΩ (al calcularlos se observa que son muy parecidos). Realización paso-alta: Ahora Y1 e Y3 se toman como condensadores. Responde al circuito de la Fig. 15.

Fig. 15. Realización paso-alta basada en la topología IGMF o de Rauch.

Expresión genérica: ( ) ( ) 4343215

31

i

o

YYYYYYY

YY

V

VsH

⋅++++⋅⋅−

=≡ .

Vi

Vo

+

-

C4R5

C3

C1

R2



En la expresión genérica anterior se sustituyen valores concretos de impedancias, según la naturaleza del componente, resultando:

243

21

435

2

43

31

24343

21

5

231

1111)(

ssCsCR

sCCCR

sCC

CC

sCCsCsCR

sCR

sCCsH

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅

⋅−=

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅

⋅−= .

Desarrollando la expresión, resulta finalmente:

4325435

4312

2

4

1

1)(

CCRRs

CCR

CCCs

sC

C

sH

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++

⋅−= .

Se comparan los coeficientes con la función de transferencia de tipo segundo orden paso-alta, repetida a continuación:

200

2

20

2)(

wsws

sHsH

+⋅⋅δ⋅+=

Resultan las ecuaciones que permiten obtener los parámetros del circuito en función de los componentes:

4325

20

435

4310

4

10

12

CCRRw

CCR

CCCw

C

CH =

++=⋅δ⋅−= .

Las ecuaciones de diseño, que permiten obtener los componentes que satisfacen

determinadas especificaciones, y se obtienen a partir del procedimiento de diseño simplificado, que consta de los siguientes pasos: 1.- Se eligen C1=C3=C. Por tanto:

04 H

CC = .

2.- Se obtienen los componentes según:

( )00

02

0

05 21

δ2;

δ221

HCw

HR

Cw

HR

+⋅=

+= .

Realización paso-banda: Responde al circuito de la Fig. 16. Ahora el numerador que se persigue es de orden 1.

4 Filtros activos


Fig. 16. Realización paso-banda basada en la topología IGMF o célula de Rauch.

La función de transferencia genérica de Rauch es, repetida por facilitar la comprensión:

( ) ( ) 4343215

31

i

o

YYYYYYY

YY

V

VsH

⋅++++⋅⋅−

=≡ .

El diseño entrando por capacidad es malo. En efecto, se demuestra que si Y1=C1s, entonces se verifica la relación: H0-H0

2-Q2 > 0, lo que supondría una ganancia menor que la unidad (es decir, que atenuaría).

Con el fin de conseguir un polinomio de grado 1 en la variable “s” en el numerador, se eligen los siguientes elementos o componentes pasivos:

sCY;R

Y 331

11 == .

A partir de aquí, se eligen el resto de los componentes para obtener un denominador de grado 2:

55

2244

11

RY;

RY;sCY === .

Entonces, la función de transferencia resulta:

Vi

Vo

+

-

C4R5

C3

R2

Vi

R1



.11111

1

111

1

)(

)()(

2143543

4

43

3

5

2

43

3

1

24343

215

31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+

⋅⋅−=

⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅

⋅−=≡

RRCCRs

CC

C

CC

C

Rs

sCC

C

R

sCCsCsCRRR

sCR

sV

sVsH

i

o

A partir de ahí, desarrollando:

444 3444 2144 344 211min

21435

2min

3545

2

41

111111

1

)(

)()(

otérotér

i

o

RRCCRs

CRCRs

sCR

sV

sVsH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅−=≡ .

Se comparan ahora los coeficientes con la función de transferencia de segundo orden paso-banda:

1min

20

2min

02

00

)(

otérotér

wsQ

ws

sQ

wH

sH

+⋅+= .

Obtengamos las ecuaciones que relacionan los componentes en función de las especificaciones de diseño (H0, w0, Q), es decir las denominadas ecuaciones de diseño. Se escoge la opción de diseño simplificado: C3=C4=C. Queda la función de transferencia:

444 3444 21

876

444 3444 2144 344 21

876

1min

212

5

2min

5

2

3min

1

1min

212

5

2min

55

2

3min

1

11112

1

111111

1

)(

)()(

otérotér

otér

otérotér

otér

i

o

RRCRs

CRs

sCR

RRCRs

CRCRs

sCR

sV

sVsH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅+⋅+

⋅−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⋅−=≡ .

Ecuaciones de diseño:

( )QwHCfunciónRRR ,,,,, 00215 = . Igualando los términos anteriores tenemos, para el término la siguiente relación:

→=CRQ

w

5

0 2 Cw

QR

05

2= .

4 Filtros activos


Para el término 3, considerando la ganancia en valor absoluto:

→=→==Q

wCH

RQ

wH

CRCR0

01

00

141

111 00

1 wCH

QR = .

Para el término 1, también sustituyendo la inversa de R5:

20

212

020

212

2

5

20

212

5

111

2

1111111

0

wRRCQ

Cww

RRCRw

RRCR

Q

Cw

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+↔=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+↔=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ .

Simplificando se obtiene:

CQwRR 0

21

211 =+ .

Ahora sustituyo la inversa de R1, para calcular R2:

CQ

wHCQw

RCQw

R00

01

02

21

21 −=−= C

Q

wHwQC

Q

wHCQw

R000

200

02

22

1 −=−=→ .

Con lo que se obtiene R2:

( ) CwHQ

QR

0022

2 −= .

Han resultado finalmente las siguientes ecuaciones de diseño, resumiendo:

( ) CwHQ

QR

CHw

QR

Cw

QR

0022

001

05

2

2

−=== .

Los parámetros del circuito en función de los componentes resultan:

.2

111111

2

1

2

5

0

2150

215

1

50

CRQ

wBW

RRRCw

RRRQ

R

RH

==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅⋅==



El procedimiento de diseño queda como sigue: 1.- Se escogen C3=C4=C. 2.-Finalmente, de las ecuaciones de diseño se obtienen los componentes:

( ) CwHQ

QR

CHw

QR

Cw

QR

0022

001

05

2

2

−=== .

4.4.2.2 Circuito general VCVS y circuito de Sallen-Key El circuito genérico VCVS (para la síntesis de configuraciones no inversoras) se obtiene aplicando al circuito general las reglas:

• Z5 se considera infinita. • K se toma de una configuración no inversora.

El circuito de Sallen-Key se sintetiza a partir del circuito general aplicando las

indicaciones siguientes:

• Z2 y Z5 se consideran infinitas. • K se toma de una configuración no inversora.

En el circuito de la Fig. 17 se indican las acciones anteriores sobre las impedancias. En la Fig. 18 se vuelve a mostrar el circuito que resulta finalmente después de adoptar estos criterios. A partir de este circuito se realiza el planteamiento y el estudio.

Fig. 17. Fase de construcción del circuito general VCVS y de Sallen-Key.

Vi

Y2

Y4

Vo

Y5

Y3Y1

Y6

K

Sallen-Key

VCVS general y Sallen-Key

4 Filtros activos


Fig. 18. Circuito de Sallen-Key definitivo.

La función de transferencia es (se demuestra):

( ) ( ) ( ) 34316431

31

1 YYKYYYYYY

YYK

V

VsH

i

o

−++++⋅⋅

=≡ .

Estudiaremos la síntesis del circuito para K>0. Donde este bloque puede ser un amplificador en configuración no inversora. Realización paso-baja: Responde al circuito de la Fig. 19.

Fig. 19. Realización paso-baja Sallen-Key. El bloque de ganancia K responde a una configuración no inversora.

La función de transferencia se obtiene sustituyendo cada valor de impedancia:

Vi

VoK

C4

R1

C6

R3

Vi

Vo

Y4

Y3Y1

Y6

K



( ) ( )( ) ( )

( )13

66

4

331

264

31

4331

6431

31

1111

11

11

11

1111

11

RRsC

C

C

RK

RRsCC

RRK

sCR

KRR

sCsCRR

RRK

sV

sVsH

i

o

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++

=

=−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=≡

Ahora se hace “1” el coeficiente de s2:

( ) ( )( ) ( )

643164

6

6

4

331

2

6431

111

11

1

CCRRs

CC

C

C

C

RK

RRs

CCRRK

sV

sVsH

i

o

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+++

=≡ .

Las ecuaciones de diseño se obtienen comparando la ecuación anterior con la genérica paso-baja:

20

02

200

200

2

200

2)(

wsQ

ws

wH

wsws

wHsH

+⋅+=

+⋅⋅δ⋅+= .

El procedimiento de diseño consta de los pasos siguientes: 1.- Se elige C4=C6=C. 2.- Se calculan las resistencias:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −++=

20

03

δ2

11δ H

CwR .

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −++=

20

203

1δ

211

1 H

CwRR .

Este circuito es particularmente útil si la ganancia no es un parámetro crítico. Es decir, si no es necesario que tenga un valor determinado de ganancia. En el diseño simplificado todas las resistencias son iguales a R, y los condensadores iguales a C, resultando:

( ) ( )( )

( )

( )22

2

13

1

RCs

RC

Ks

RCK

sV

sVsH

i

o

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=≡ .

En este caso de diseño simplificado, igualando coeficientes con la ecuación genérica, se obtiene lo siguiente:

4 Filtros activos


( )

( )200

2

200

22

2

wsw2s

wH

RC

1s

RC

K3s

RC

1K

+δ+⇔

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

RC

K3w2

R

R1KH

RC

1w 0

1

200

−=δ+===

La Fig. 20 muestra un caso concreto de realización, que vamos a analizar completamente, como si se desconociera la función característica. En efecto, vamos a obtenerla a partir de las leyes de teoría de circuitos.

Fig. 20. Ejemplo concreto de realización paso-baja Sallen-Key. Se omite alimentación dual del AO por simplicidad. El AO se considera ideal a todos los efectos.

En el nudo auxiliar V’ del circuito de la Fig. 20, se plantea la suma de los fasores de corriente:

( )CsVVR

VV

R

VVo

i −+−=− −

''' . (1)

Por otra parte, como la impedancia de entrada Al O es infinita, la corriente por R es la misma que por C:

CsVR

VV −−

=−' (2)

De esta última Ec. (2), es útil obtener V’:

Vi

R2=5,6 kΩΩΩΩ

C=1000 pF

Vo

-

+

R1=

10 kΩΩΩΩ

R=33 kΩΩΩΩ R=33 kΩΩΩΩ

C= 1000 pF

V’

V+=V-



( )RCsVVCsR

VR

V +=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += −− 1'

1' .

La tercera expresión de partida se obtiene de aplicar el divisor de tensión en el terminal inversor del AO:

21

1

RR

RVV o +

=− . (3)

A partir de aquí, el resto es operar algebraicamente. Se desarrolla la expresión (1):

CsVR

VCs

RV

R

VCsVCsV

R

V

R

V

R

V

R

Vo

io

i −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=↔−+−=−

−− 2''

'' .

Sustituimos en esta última V’ en función de V-:

( ) ( ) CsV

R

VCs

RRCsVCsV

R

VCs

RV

R

Voo

RCsV

i −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−−

−

+−

21

2'

1

Llevamos, de la expresión (3), V-, para tener ya la relación entre Vi y Vo:

( ) CsVRRR

RVCs

RRCs

RR

RV

R

Vo

V

o

V

oi −

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+=

−−

121

21

1

21

1

4342143421

.

Se multiplica ahora toda la ecuación por “R”

( )( ) RCsVRR

RVRCsRCs

RR

RVV oooi −

+−++

+=

21

1

21

1 21 .

Ahora multiplicamos toda la ecuación por ( )kR

RR+=

+1

1

21 , con 1

2

R

Rk ≡ ; y desde aquí se

procede desarrollando y agrupando simplemente:

( )( ) →

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−−++=

+

++

RCsR

RRRCsRCsVV

R

RR

k

oi

k4342143421

1

1

21

1

1

21 121

( ) ( ) ( )[ ] →+−−+++=+→ RCskRCsRCsRCsVVk oi 11221 2

( ) ( ) ( )[ ] →+−++=+→ RCskRCsRCsVVk oi 1311 2

Recordemos ahora que la ganancia de la configuración no inversora, es la ganancia en la zona plana del filtro: kH +≡ 10 , por lo que:

4 Filtros activos


( ) ( )[ ] →+−+=→ 13 02

0 RCsHRCsVVH oi Finalmente:

( ) ( ) 13 022

0

+−+=→

RCsHsRC

H

V

V

i

o .

Dividimos numerador y denominador por (RC)2, y comparando con la forma estándar paso-baja, se obtienen los parámetros del filtro:

( )( )

002

200

02

20

δ213 wsws

wH

RCs

RC

Hs

RC

H

V

V

i

o

++↔

+−

+= ,

La ganancia (recordada), la pulsación característica y el factor de amortiguamiento son:

kHRC

w +≡≡ 1;1

00 ,

2

3

2

3δ

3δ2 0

0

000

H

RCw

H

RC

Hw

−=

−=→

−=

El análisis para el resto de las configuraciones es similar. Referencias Coughlin, R. F. y Driscoll, F.F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall hispanoamericana. México, 1993.

Faulkenberry, L.M., Introducción a los amplificadores operacionales con aplicaciones lineales, Limusa-Noriega, 1990. González de la Rosa, J.J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis. Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Pindado Rico, R., Electrónica analógica integrada, Introducción al diseño mediante problemas, Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 1997.


5 Amplificadores Operacionales

con Diodos

5.1 Introducción

En este capítulo se estudian los circuitos amplificadores operacionales que incorporan diodos. Estos componentes no lineales hacen que la característica de transferencia del circuito sea lineal a tramos, presentando discontinuidades evitables. Se consiguen interesantes funciones y aplicaciones, como el recorte de la salida por los limitadores en paralelo y la limitación serie de la entrada, por los circuitos de zona muerta.

La insensibilidad a las variaciones de temperatura y sustituciones de componentes se consigue incluyendo a los diodos en los lazos de realimentación. Esto da lugar a los circuitos de precisión, o circuitos con característica de diodo.

El capítulo finaliza con los rectificadores de precisión construidos según los circuitos de precisión básicos. 5.2 Limitador paralelo básico Los limitadores en paralelo se consiguen incorporado diodos y/o diodos zéner en el lazo de realimentación. El primer circuito viene representado en la Fig. 1., junto con su característica de transferencia (característica estática).



Fig. 1. Limitador serie básico y característica estática con diodo ideal. Se omiten las alimentaciones del AO ideal, por comodidad.

Cualitativamente se aprecia que cuando la tensión de entrada supera en valor

absoluto a la tensión de ruptura la salida ya no puede crecer más. Vamos a analizar el circuito. En principio se considera ideal al diodo, según la Fig. 2.

Cuando el diodo conduce la salida está fija a (VB+Vγ); esto ocurre para tensiones de entrada muy negativas (véase la orientación del diodo). Y cuando no conduce (la rama del diodo está abierta), y el circuito se comporta como una configuración inversora de ganancia –Rf/Ri. En resumen:

• Vi>>0.- D OFF, la rama del dio está abierta, y resulta una configuración

inversora, quedando la salida: ii

fo V

R

RV −= .

• Vi<<0.- D ON, y la salida queda fija en ( )γVVV Bo += . Se mide la salida con respecto al terminal inversor del AO, que está conectado a tierra virtual.

Igualando ambos tramos de la característica de transferencia se tiene el punto de

ruptura del circuito:

( )γγ +−=→−=+ VVR

RVV

R

RVV B

f

iirupirup

i

fB .

Fig. 2. Características estáticas I-V de diodo que se consideran en los análisis. A la izquierda característica estática ideal. Rd es la resistencia directa del diodo. En ambas gráficas, la corriente inversa de saturación se considera nula y no se tiene en cuenta la zona de ruptura inversa.

ID

VDVγ

pendiente=1/Rd

0

ID

VD

VDON=Vγ

0

Vo

Vi

-(Ri/Rf)(VB+Vγ)

0

P=-Rf/Ri

Virup=

(VB+Vγ)

Zona de recorte

D ideal

D modelado DOFF

+

-

Rf

Vi

R1=1 kΩΩΩΩ

Vo

VREF=VBD

DON

5 Amplificadores operacionales con diodos


Si el diodo no es ideal, entonces la característica estática en la zona de recorte viene dada por una recta de pequeña pendiente (P), y de ordenada en el origen muy próxima al valor de recorte. Veámoslo por suma de corrientes:

i

i

f

o

d

Bo

R

V0

R

0V

R

0VVV −=

−+

−−− γ .

De aquí se despeja la salida (Rf>>Rd):

γγγ1

VVVVVR

R

R

VV

RR

RRV

RR

RR

RV BBi

P

i

d

d

B

fd

fdi

P

fd

fd

io +≈++−≅

+

++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−=

=321444 3444 21

.

El diodo introduce una pendiente en la zona de conducción, aunque es muy pequeña. 5.3 Limitador serie básico También llamado circuito de zona muerta, su versión más simple viene representada en la Fig. 3. La zona muerta abarca hasta la tensión de ruptura.

Fig. 3. Limitador serie básico y característica estática (o de CC) estrada-salida. Se omiten las alimentaciones del AO ideal, por comodidad. La zona muerta es aquella en la que no hay salida.

Antes de que el diodo conduzca por su rama la corriente es nula; por tanto también

es nula por la resistencia de realimentación, y la salida es nula también porque es Vo=-I×R2. El diodo conduce a partir del umbral VB+Vγ.

La zona muerta del circuito es el intervalo de tensiones de entrada para las que el circuito produce salida nula. En este caso la zona muerta abarca (-∞, Virup). 5.4 Mejoras al recortador básico 5.4.1 Recortador con fuentes fijas Cuando interesa ajustar bien el punto de operación o de polarización, se pueden utilizar limitadores con fuentes externas. Es decir, la tensión de referencia vendrá establecida por circuitos diseñados a tal efecto. Estos circuitos evitan, entre otros factores, las fluctuaciones térmicas de la tensión de referencia. Es decir, las fuentes flotantes desaparecen.

Vo

Vi0

P=-Rf/Ri

Virup=VB+Vγ

DON

DOFF

+

-

Rf=R2=1 kΩΩΩΩ

Vi

R1=1 kΩΩΩΩ

VoVREF=5 V

D



El circuito de la Fig. 4 permite además gobernar la pendiente de la característica de transferencia. La característica de transferencia es la de un recortador paralelo.

Fig. 4. Limitador con fuentes fijas, que permite el control de la pendiente en la zona de recorte a través de R3. Situación de las corrientes cuando el diodo conduce.

Casos operativos:

• Vi>0, entonces la salida es negativa y D OFF, resultando el circuito de la Fig. 5:

Fig. 5. Limitador con fuentes fijas que resulta de aplicar entradas muy positivas.

En el caso de la Fig. 5 la salida es la que corresponde a una configuración inversora:

ii

fo V

R

RV −= .

• Vi<0, entonces la salida es positiva y D ON, resultando el circuito de la Fig. 4.

Se considera: DONVVV ≈≈ γ' . Ahora, sumando corrientes por la rama de realimentación:

+

-

Rf

Vi

R1=Ri

Vo

-VREF

D, OFF

R3

R2

V’

+

-

Rf

Vi

R1=Ri

Vo

-VREF

D, ON

R3

R2

V’

ID



i

i

f

oD R

V

R

VI −−= .

Y ahora, sumando corrientes en V’:

DoRR

IR

VV

R

VV+

−−=

−−

32

γ

Igualando las dos corrientes anteriores, se obtiene la salida cuando D conduce:

44444444 344444444 21444 3444 21testancons

f3

f3

2REF

f3

f3

32

32i

P

f3

f3

1o RR

RR

R

1V

RR

RR

RR

RRVV

RR

RR

R

1V

++

++

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= γ .

La pendiente P depende de R3, como anticipamos. Esto permite disminuirla, aunque no anularla.

Cuando D no conduce, el circuito se comporta como una configuración inversora tradicional. 5.4.2 Recortador con fuentes fijas y menor pendiente en la zona de recorte El circuito de la Fig. 4 queda mejorado introduciendo un transistor en el lazo de realimentación negativa. La ganancia de continua del transistor (hFE) provoca una disminución ostensible de la resistencia R3, y en consecuencia de la pendiente. El circuito se muestra en la Fig. 6.

Fig. 6. Limitador con fuentes fijas y menor pendiente en la zona de recorte. D es un diodo de protección del transistor; no interviene en la característica de transferencia. Se omite la alimentación dual del AO.

5.5 Circuito de zona muerta de precisión Se estudia en este apartado el primer circuito de precisión que incorpora diodos. En realidad es una configuración básica que nos sirve de prototipo, ya que en la práctica

+

-

Rf

Vi

R1

Vo

-VREFD

R3

R2

V’RC

VC



todos los circuitos se diseñan como este. Incorpora una tensión de referencia externa, que establece el voltaje de referencia. Esta fuente está convenientemente regulada. El voltaje de referencia se establece con la fuente de referencia +V y la resistencia mR.

Fig. 7. Circuito de zona muerta de precisión o circuito con característica de diodo. Si VREF=0 se tiene un rectificador de media onda de precisión. En general VREF y “+V” son distintas.

Este es el primer circuito con característica de diodo estudiado en este tema. A partir de él se pueden sintetizar todas las funciones tanto de recorte de la entrada como de recorte de la salida.

Se estudian a continuación los rectificadores de precisión, cuya operación se basa en esencia en el funcionamiento del circuito anterior. 5.6 Rectificadores de onda completa de precisión También se denominan circuitos de valor absoluto de precisión. El rectificador de precisión transmite una polaridad de la señal e invierte la otra (la parte negativa). La Fig. 8 muestra la característica estática de rectificación de onda completa.

Fig. 8. Característica de transferencia de rectificación de onda completa. Función valor absoluto.

Vemos en este apartado circuitos no sintetizados con el circuito básico anterior, que

fue presentado en la Fig. 7. Ello se debe a su interés concreto, o conveniencia de selección (por ejemplo, puede interesar un circuito con una elevada impedancia de entrada; o simplemente, puede interesar reducir al máximo el coste).

En cualquier caso, la técnica de análisis es muy parecida, ya que incorporan dos diodos cuyos estados de conducción-corte no pueden darse simultáneamente. Además,

Vo

Vi0

P=-1 P=1

Vo

Vi-VREF 0

P=-1+

-

R

Vi

Ri=R

Vo

D2

D1

+V

mR

RL

Vo’

I



los AOs no perderán nunca su realimentación negativa, por lo que en cada tramo de la característica estática se da un funcionamiento lineal.

Existen tres tipos de circuitos. El primero es de bajo coste porque usa dos AOs, dos diodos y cinco resistencias iguales. Presenta el inconveniente de no tener una resistencia de entrada elevada. El segundo ya tiene resistencia de entrada elevada. El tercero incorpora un nodo sumador para poder realizar promedios. 5.6.1 Circuito con resistencias iguales Este primer circuito se muestra en la Fig. 9, para entradas de tensión positivas. D1 conduce y D2 está en corte. Esto es lógico, ya que D2 tiene en el cátodo tensión de 0 V (cortocircuito virtual del AO1) a través de la resistencia de realimentación inferior R. Además, en el ánodo tiene aplicados -Vi-0,6 V (el salto de tensión se debe a la conducción de D1). Por otra parte, en el ánodo de D1 está la entrada cambiada de signo (cuestión que se deduce como si la primera etapa fuera una configuración inversora).

Tal y como aparece en la Fig. 9, cuando la entrada es positiva, como tampoco circula corriente hacia las entradas del AO2, no queda más remedio que por la resistencia de realimentación inferior, R, tampoco circule corriente. Esto supone que hayan 0 V en el cátodo de D2, que es la terminal no inversora del AO2 (ddp 0 V en R para que no circule corriente por ella). Esta segunda etapa queda configurada como amplificador inversor. Como en su entrada está Vi cambiada de signo, esta segunda etapa vuelve a cambiar el signo. Es decir, que el circuito no altera las entradas positivas.

Fig. 9. Para entradas positivas, sentidos de las corrientes y tensiones en el circuito de valor absoluto de precisión con resistencias iguales. Se suponen los AOs con alimentación dual, que se omite por sencillez. La Fig. 10 muestra el circuito resultante para entradas negativas, con las corrientes involucradas. La corriente de entrada (I), proviene de las ramas superior e inferior según: I=I1+I2; donde son I1=Vo/(3R); I2=(2Vo/3)/R. Con lo cual tenemos otra expresión para la corriente de entrada:

R

V

R

V

R

V

R

V

R

VIII ooo

o

o =+=+=+=3

2

33

2

321 .

+

-

R

Vi

R

Vo

D2

D1

RL

R

R

+

-

R

AO1 AO2

-Vi 0 V

0 A

0 A

0 A

0 V

=Vi



Al igualar las dos expresiones de la corriente de entrada (la que se muestra en la Fig. 9 con la que se acaba de obtener) se tiene ya la demostración:

iooi VV

R

V

R

VI −=→=

−= .

En efecto, la salida invierte el signo de la entrada, y tenemos un generador de valor absoluto.

Fig. 10. Para entradas negativas, sentidos de las corrientes y tensiones en el circuito de valor absoluto de precisión con resistencias iguales. Se suponen los AOs con alimentación dual, que se omite por sencillez.

En realidad en estos problemas la cuestión importante es siempre suponer un diodo en conducción y el otro en corte (y viceversa) y plantear las corrientes en cada caso, aplicando el sentido común. Veamos otro ejemplo, esta vez la configuración que consigue alta impedancia de entrada. 5.6.2 Circuito con alta impedancia de entrada El circuito se muestra en la Fig. 11 (situación para entradas positivas). La señal de entrada está conectada a la entrada de los AOs en configuración no inversora, con el fin de tener alta impedancia de entrada (infinita en el caso ideal). La Fig. 11 muestra la situación para entradas positivas. Por cortocircuito virtual, en ambas entradas de cada AO está aplicada Vi. Por tanto, no circula corriente por las resistencias de la zona superior del circuito (entre las dos resistencias centrales de valor R hay dos puntos que están al mismo potencial). De esta forma, tampoco puede circular corriente por la resistencia de valor 2R, y la salida coincide con la entrada.

+

-

R

Vi R

Vo

D2

D1

RL

R

R

+

-

R

AO1 AO2

=|Vi|I=-Vi/R

I2=(2/3)×I

I1=(1/3)×I

Vi/3 Vi/3 Vi/3+- - -+ +

0 V

2/3 Vo

2/3 Vo



Fig. 11. Circuito de valor absoluto de precisión con alta impedancia (infinita en el caso de AO ideal) de entrada. Situación para entradas positivas. La corriente que circula por la caga la suministra el AO. Esta es simplemente una aclaración al dibujo, ya que esta corriente no se emplea en el razonamiento sobre la operación del circuito.

La Fig. 12 muestra el circuito resultante para el caso de polaridad negativa de la señal de entrada. En el terminal inversor del AO1 está la entrada Vi (por cortocircuito virtual), por lo que en el ánodo de D2 está el doble de la entrada porque hemos “saltado” otra resistencia de igual valor (o por ganancia de configuración no inversora). En la terminal inversora del AO2 está también la entrada (cortocircuito virtual); así la salida se calcula fácilmente:

ioio

iioiiio VV

VVV

VV

R

VV

R

VV−=↔−=↔−=

−↔

−=

−222

2

2.

Como la entrada es negativa, la expresión de arriba muestra que la salida es positiva, invirtiendo la entrada.

Fig. 12. Circuito de valor absoluto de precisión con alta impedancia de entrada. Situación para entradas negativas.

+

-

R

Vi < 0

R

Vo

D2

RL

R

+

-

2R

AO1 AO2

Vi

D1

Vi

=|Vi|

+ - 2Vi

+

-

R

Vi > 0

R

Vo

D2

RL

R

+

-

2R

AO1 AO2

Vi

D1

=Vi

Vi

I=0I=0

Vi+0,6

I=0



5.7 Amplificadores logarítmicos y anti-logarítmicos o exponenciales 5.7.1 Amplificador logarítmico básico La Fig. 13 representa un amplificador logarítmico básico, que incluye un diodo en el lazo de realimentación, y que sirve para ilustrar las limitaciones que conducen a diseños de circuitos más sofisticados. El circuito opera correctamente para entradas positivas.

Fig. 13. Circuito amplificador logarítmico básico. Circuito válido para entradas positivas

El análisis del circuito se realiza partiendo de la ecuación del diodo y suponiendo

infinita la impedancia de entrada al AO:

T

D

T

D

V

V

V

V

D eIeII ηη00 1 ≅

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−= ; Di II = .

Las corrientes de entrada y por el diodo son iguales, y la tensión de conducción del diodo es igual a la salida cambiada de signo:

T

D

V

V

Di

i eIIR

VI η

0=== Do VV −= ;

por lo que finalmente tenemos la tensión de salida que depende “logarítmicamente” de la entrada y de parámetros, que dependen a su vez de la temperatura:

→=−

TV

V

i eIR

V η0

0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

RI

VVV i

T0

0 lnη : ( )TfV =→ 0 .

Un examen de la expresión obtenida muestra la dependencia térmica de la salida, de forma indirecta, a partir de los parámetros de diodo. En efecto, Vo depende de la temperatura a través del factor de escala ηVT, y de la corriente inversa de saturación I0. 5.7.2 Amplificador logarítmico mejorado La Fig. 14 representa un amplificador logarítmico (integrado) mejorado, que elimina la dependencia de la salida con la corriente inversa de saturación del diodo y el factor η. La

+

-Vi

R

VoAO1

VD

+ -

Ii

ID

D



configuración emplea transistores apareados. El circuito presenta además una etapa de salida en configuración no inversora.

La independencia del factor η se consigue utilizando un transistor cuya base se conecta a tierra. Además, el empleo de un transistor repercute en que la relación exponencial entre la corriente y la tensión se verifica para un mayor rango de tensiones. Por otra parte, la dependencia de la salida con la corriente inversa de saturación I0, se elimina introduciendo un segundo transistor apareado. Recordar que I0 se duplica por cada 10 ºC de aumento de la temperatura.

Fig. 14. Amplificador logarítmico integrado, optimizado. Los AOs son del modelo 709, integrados en el mismo chip (cortesía de Texas Instruments Inc.). La alimentación dual de los AOs se omite por simplicidad. Las tensiones auxiliares que se emplean en el cálculo son V y V’.

A continuación se pasa a analizar el circuito. Empezamos planteando la tensión en la base de Q2, para lo que supondremos los transistores aparejados o apareados (corrientes inversas de saturación iguales, IS1=IS2), supondremos mucho mayor la corriente de colector a la de base, y emplearemos la expresión de conducción en activa (ecuación del modelo de Ebbers-Moll). Con todo resulta:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=−=

2

11212 lnlnln

C

CTCTCTBEBE I

IVIVIVVVV .

Ahora se plantean las corrientes de colector de los transistores, en cuyas expresiones

(la de Ic2) se despreciará frente a la diferencia de tensiones entre las bases de los transistores. Hemos visto que V es igual a la pequeña diferencia entre las tensiones base-emisor de los transistores acoplados. Es pues una tensión muy pequeña, por lo que

+

-Vi

P1=100

kΩΩΩΩ

Vo

+15 V

-15 V

10 MΩΩΩΩ

10

kΩΩΩΩ

I≅0

AO1

Q1 Q2

IC1

VR = +10 V

R2=20

kΩΩΩΩ IC2

-

+

AO2

2N3680

1 kΩΩΩΩ

V’

R3=0,5

kΩΩΩΩ P2=

500

kΩΩΩΩ

+15 V

-15 V

R4=29,5 kΩΩΩΩ

1

MΩΩΩΩI≅0

+ +

-- I≅0

V

I≅0

R1=10 kΩΩΩΩ

IB2



podremos despreciarla frente a la tensión de referencia en la expresión que figura a continuación y que expresa la corriente de colector del transistor Q2:

( )22

0

12

22 R

V

R

VVV

R

VVI RBEBERR

C ≈−−

=−

=

≈ 4484476

.

La corriente de colector de transistor Q1 se plantea suponiendo que por la resistencia de 10 MΩ, del potenciómetro de 100 kΩ, no circula corriente. Tampoco circula corriente hacia la entrada del AO1, por lo que la corriente que circula por la resistencia de entrada del AO1 es la de colector de Q1:

111

0

R

V

R

VI ii

C =−

= .

Ahora se calcula la ganancia de la configuración del AO2. La entrada a esta

configuración no inversora es la tensión V:

.13

4 VR

RVo ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

Utilizando la expresión anterior para V, y sustituyendo las corrientes de colector tenemos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

2

1

2

1

2

1 lnlnlnRV

RVV

RV

RV

VI

IVV

R

iT

R

i

TC

CT

Finalmente, ahora se sustituye en la expresión de la salida del circuito, que resulta:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

1

2

3

4 ln1RV

RVV

R

RV

R

iTo .

Con los valores indicados en la Fig. 14, y considerando la temperatura ambiente, VT=26 mV, se obtiene:

( )iio VVkkV 2,0ln56,1)ln( 21 −≅= ;

donde: TVR

Rk ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−≡

3

41 1 ; y

1

22 RV

Rk

R

≡ .

Observaciones:

• La expresión obtenida sólo incluye la dependencia térmica en VT. Se ha reducido pues la dependencia de la salida con la temperatura. Ya no depende de la corriente inversa de saturación.



• Se puede comprobar experimentalmente que la expresión obtenida para la tensión de salida se satisface para un rango de tensiones de entrada 2 mV - 20 V (rango de 2 décadas, o cuatro órdenes de magnitud; de 10-3 a 10, de milésimas a decenas de voltio). Por encima de 20 V, se produce una desviación respecto de la relación logarítmica, debido a los elevados valores de las corrientes de los transistores, que circulan por las resistencias de colector y de base. Estas corrientes introducen en la salida términos lineales, que la alejan del comportamiento no lineal, logarítmico. Por contra, si la tensión de entrada se mantiene por debajo de los 20 mV, la corriente de entrada se hace del mismo orden que las corrientes de polarización, y la relación logarítmica ya no es válida.

• El potenciómetro P1 sirve para compensar la tensión de offset del AO1. Es decir, para Vi=0, se hace variar la resistencia del potenciómetro hasta que V’ sea prácticamente nula (unos 50 μV bastan en la práctica).

• La salida del circuito se anula como sigue. Se hace Vi=VR×(R1/R2)= 5 V, y se hace variar P2 hasta que Vo=0. Obsérvese que este valor de la entrada corresponde a un argumento unitario del logaritmo neperiano o natural, en la expresión de la salida, por lo que ésta se anula.

• La pendiente de la característica estática se suele proporcionar en términos semi-logarítmicos, según:

( ) →⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

1

2

3

41RV

RlnVlnV

R

RV

RiTo

( )( ) T

i

o VR

R

Vlnd

Vd⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

3

41 .

5.7.3 Amplificadores exponenciales o anti-logarítmicos Su circuito se muestra en la Fig. 15 y debe compararse con el de la Fig. 14, con el fin de comprender su funcionamiento por analogía. En este amplificador exponencial, la corriente de realimentación IC1 es constante, y se deduce de la tensión de referencia VR, mientras que IC2 depende de la señal de entrada.



Fig. 15. Amplificador exponencial integrado, optimizado. Los AOs son del tipo 709, integrados en el mismo chip (cortesía de Texas Instruments Inc.). La alimentación dual de los AOs de omite por simplicidad. –V es la tensión auxiliar.

Comienza el análisis. En la Fig. 15, donde se aprecia la propagación de la tensión auxiliar “V” debido a la tierra virtual de los amplificadores operacionales. La tensión auxiliar “V” (su valor absoluto) se desprecia frente a VR, ya que es una diferencia de tensiones base-emisor:

21 BEBE VVV −=− . Las corrientes de colector son entonces:

.;1

22

1 R

VI

R

VI o

CR

C ==

Ahora se plantea el divisor de tensión de entrada (atenuador):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+=−

2

1

43

3 lnC

CT

s

I

IV

RR

VRV ,

donde se ha aplicado una expresión análoga a la empleada en el amplificador logarítmico para la tensión auxiliar “-V”:

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=−=−

2

12121 lnlnln

C

CTCTCTBEBE I

IVIVIVVVV .

Sustituyendo ahora las dos corrientes de colector en la expresión anterior y considerando el atenuador, se tiene la comprobación de amplificador anti-logarítmico:

+

-

ViP=500

kΩΩΩΩ

Vo

+15 V

-15 V

1

MΩΩΩΩ

AO1

Q1 Q2

+

-

AO2

2N3680

1 kΩΩΩΩ

10 kΩΩΩΩ

47 ΩΩΩΩ

+

--

I≅0

R1=10 kΩΩΩΩ

I≅0

VR=+10 V

R2=20 kΩΩΩΩIC1 IC2

I≅0

R4=29,5

kΩΩΩΩ

R3=0,5

kΩΩΩΩ

-V

20 kΩΩΩΩ

I≅0

-V

-V

-V

VBE1 VBE2



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

R

oTi VR

RV

R

RRVV

1

2

3

43 ln .

Obsérvese que esta ecuación resulta simétrica a la del amplificador logarítmico, si se intercambian los papeles entrada-salida. 5.8 Comparador de ventana

En este apartado se estudia un circuito comparador de ventana con AO de propósito general, que complementa a los comparadores de ventana vistos en el capítulo 2, de comparadores electrónicos. El circuito viene representado en la Fig. 16. Su principal inconveniente es que es sensible a las fluctuaciones de temperatura.

Comencemos el análisis. Supondremos los diodos con una tensión umbral igual a la tensión de conducción de 0,7 V. También supondremos como oscilación de la salida un valor típico: ±Vom=±10 V.

Mediante simples divisores de tensión: V+=4 V y V-=3 V. Estos divisores de tensión son válidos cuando los diodos no conducen.

Veamos los casos: a) Caso D1 y D2 OFF.- Como V+=4 > V-=3 V (tensión diferencial del AO positiva), entonces la salida es Vo=+10 V.

VR

RV 4

3

12 ==+ ; .34

12V

R

RV ==−

De aquí es sencillo obtener los puntos de conmutación de los diodos. En efecto son 3,3 V para D1, y 3,7 V para D2; ya que la diferencia entre las tensiones ánodo cátodo respectivas son 0,7 V. La situación queda resumida en el esquema lineal de la Fig. 17.

Fig. 16. Comparador de ventana basado en AO con diodos. En el análisis se consideran ideales, salvo tensión de conducción.

-

+

Vi +Vo

-

2R +12 V

+12 V

R

3R R

D1

D2



Fig. 17. Esquema de conducción de los diodos del circuito de la Fig. 15. También se muestran los puntos de conmutación de la tensión de salida, que son aquellos en los que la tensión diferencial del AO es cero (simbolizados mediante una flecha vertical).

b) Caso D1 ON y D2 OFF.- Caso concreto: Si Vi=0, entonces V+=0,7 V, y como V-=3 V, entonces la salida vale -10 V. En general V+=Vi+0,7. Al seguir aumentando Vi, D1 se cortará y entrará en conducción D2; esto ocurrirá para una entrada de 3,7 V. El punto de conmutación para la salida se calcula igualando las tensiones en las terminales inversora y no inversora:

VVVVV CICIVV CIi

3,237,0 =→=+↔==

−+ .

Al seguir aumentando la entrada Vi los dos diodos se cortarán, llegando al caso (a). Si sigue aumentando la tensión de entrada alcanzamos el caso (c). c) Caso D1 OFF y D2 ON.- La salida está a nivel alto, +10 V. V-=Vi-0,7, V; y como V+= 4 V, el punto de conmutación se calcula:

VVVVV CSCSVV CSi

7,447,0 =→=−↔==

−+ .

La Fig. 18 muestra la característica estática del circuito, donde se observa la forma de ventana; y la Fig. 19 representa la respuesta en el dominio del tiempo ante una entrada triangular, de valor medio nulo y Vpp=16 V.

Fig. 18. Característica estática o característica de transferencia del circuito de la Fig. 14. Se han considerado entradas positivas por simplicidad.

Vi (V)0

-Vcc=-10

Vcc=10

Vo (V)

VCI=2,3 VCS=4,7× ×

D1 ON D2 OFF

D1 OFFD2 OFF

D1 OFFD2 ON

3,3 3,7

Vi (V)

2,3 4,7

Vi negativos

-10Vo(V) +10 +10 -10+10

V+=Vi+0,7V-=3 V

V-=Vi-0,7V+=4 V

V+=V- V+=V-



Fig. 19. Oscilograma de las señales de entrada y de salida. Se observan dos conmutaciones en cada rampa de subida y de bajada, como debe ser en un comparador de ventana. Se ha supuesto una frecuencia a la que el AO responde perfectamente.

Como se comentó al principio, este circuito presenta el inconveniente que los diodos

son muy sensibles a las variaciones térmicas, por lo que también lo serían las tensiones de conmutación. Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F.F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall hispanoamericana. México, 1993. González de la Rosa, J.J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis, Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Malik, N. R. Electronic Circuit: Analysis, Simulation and Design, Prentice Hall International Editions, 1995.

t0

+Vcc

-Vcc

VCS

VCI

8

-8… …

… …

vi, vo(t)


6 Generadores de Señales

6.1 Introducción En los capítulos anteriores la motivación principal ha sido el estudio de circuitos electrónicos que procesaban señales. En este capítulo se estudian los circuitos electrónicos aplicados en la generación de señales. La primera parte del capítulo se dedica a los astables (circuitos con dos estados). En primer lugar se estudian los basados en el amplificador operacional de propósito general, para luego pasar a ver los circuitos astables basados en comparadores de propósito específico.

La segunda parte del tema se dedica a los circuitos temporizadores. Se trata de un grupo de circuitos que, ante una excitación de tipo impulso generan un pulso o estado temporizado de duración establecida por componentes externos. Primero se ven circuitos basados en el amplificador operacional y luego se analiza el temporizador integrado 555.

El capítulo finaliza con el estudio de los lazos de realimentación no lineal para la generación de funciones matemáticas, o señales que se ven en un osciloscopio: triangular, cuadrada, diente de sierra y sinusoidal. Esta última es objeto monográfico del capítulo 9; en este tema se ve su generación por tramos. Todos los circuitos de este tema se basan en la operación no lineal del AO en régimen saturante. 6.2 Circuitos astables o multivibradores libres

Un circuito mulivibrador astable o de oscilación libre (free running multivibrator) es un generador de ondas cuadradas. En todos los circuitos se analiza la carga y descarga de un condensador según la ecuación no lineal siguiente:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] RC

t

cccc etvtvtvtv−

∞→−=+∞→= 0 . (1)

Escribiremos esta ecuación por simplicidad incluyendo al “∞” en los números reales:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] RC

t

cccc evvvtv−

∞−+∞= 0 .



Como comprobación de la ecuación basta considerar las situaciones extremas:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]∞/−+∞/=∞−+∞=−

cccRC

cccc vvvevvv0v 001

0

321

( ) ( ) ( ) ( )[ ] 3210

0→

∞→−

∞→∞→−=+∞→= RC

t

cccct

etvtvtvtvlim

También se puede plantear en términos genéricos de instante inicial y considerando incrementos temporales:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] RC

t

cinccRC

tt

cinccc evtvvevtvvtvin Δ

−−

−∞−+∞=∞−+∞= .

A continuación se estudian los distintos circuitos astables basados en amplificadores

operacionales. 6.2.1 Basados en el amplificador operacional de propósito general El circuito queda descrito en la Fig. 1. El par RC provoca las transiciones del AO gracias a la carga y descarga del condensador. El divisor de tensión de la parte inferior establece los puntos de conmutación del comparador, que son los límites de carga y de descarga del condensador. La relación de división suele denominarse a veces por la letra griega β (fracción de realimentación):

21

2

RR

R

+≡β .

Empezamos el análisis. El AO adopta dos estados de salida, ±VSAT (±VOM). En estado alto el condensador se carga hasta el punto de conmutación superior, VCS. Desde este valor de salida C, se descarga hasta el punto de conmutación inferior, VCI, estando la salida en estado bajo.

Fig. 1. Circuito multivibrador de oscilación libre (astable) basado en un AO de propósito general ideal.

R2

VREF

R1

R

+

-

Cvo

+-

+VSAT

-VSAT

IcargaIdescarga

6 Generadores de señales


Las señales involucradas en la dinámica se aprecian en la Fig. 2. Para comenzar el análisis es interesante observar en primer lugar que la tensión en el terminal no inversor del AO vale en todo momento (aplicando el principio de superposición):

21

REF2o

RR

RVRvv

++

=+ 1 .

Esta expresión se obtiene aplicando el principio de superposición en el terminal no inversor del AO.

Fig. 2. Dinámica estacionaria del circuito de la Fig. 1. El periodo de la oscilación viene dado por T=TH+TL; f=1/T.

Los tiempos involucrados son tres y proporcionales a la constante de tiempo del circuito τ=RC. El primero es el que tarda en alcanzar la oscilación en régimen permanente, y no interviene en el cálculo del periodo. Se obtiene aquí por interés operativo.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−τ=

11

1

1ln

R

RR

V

Vt 21

SAT

REF.

Ahora planteamos las expresiones de los tiempos de estados bajo y alto, que constituyen las ecuaciones de diseño, o expresiones que permiten calcular la duración de los estados:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+τ=

11

21ln

RV

V

RT

SAT

REF

2L

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+τ=

11

21ln

RV

V

RT

SAT

REF

2H .

Estas ecuaciones permiten realizar el diseño. Destaca su simetría. Veamos un ejemplo concreto. Se trata de diseñar un oscilador para Vom=±15 V, TH=10 ms, TL=40 ms.

Lo primero es elegir una constante de tiempo del mismo orden de magnitud que los tiempos involucrados; es buena opción τ=10 ms. Esto puede estar asociado a la elección de C=10 μF, lo que conlleva R=10 kΩ.

Con todo, las ecuaciones de diseño se particularizan en:

vo1

t0

+Vcc

-Vcc

Vcs

Vci

vo2

t0 t1

t2 t3

TH

TL



⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

11

21ln1010

RV

V

R

SAT

REF

2 ;

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

11

21ln1040

RV

V

R

SAT

REF

2

1

1

1

21

RV

V

Re

SAT

REF

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=− ;

1

4

1

21

RV

V

Re

SAT

REF

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=−

Y ahora, las anteriores expresiones se dividen miembro a miembro:

151

151

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1

4

1

REF

REF

SAT

REF

SAT

REF

SAT

REF

2

SAT

REF

2

V

V

V

V

V

V

RV

V

R

RV

V

R

e

e

−

+=

−

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−− ;

151

151

032,060,53

72,1

1

14

1

REF

REF

V

V

e

e

−

+=≈≈

−−

151

151

032,0REF

REF

V

V

−

+= ;

REF

REF

V

V

−+

==×15

1548,0032,015 ; REFREF VV +=− 1548,02,7

VVV REFREF 27,548,18,7 −=→=− . 6.2.2 Astable basado en comparador de propósito específico En este apartado de estudia un generador de ondas cuadradas u oscilador cuadrangular con LM111 (multivibrador de oscilación libre). Montaje experimental con PSPICE. Mostramos en esta ocasión la simulación del circuito. La Fig. 3 muestra en diagrama del circuito en el capturador de esquemas de ORCAD-PSPICE.



Fig. 3. Esquema de un astable basado en AO comparador LM111, dibujado con el “capturador de esquemas” (Schematics) de ORCAD-PSPICE.

Las señales involucradas (tensiones en el condensador y en la salida) se aprecian en la Fig. 4. La salida en colector abierto del LM111 y las conexiones de sus terminales indican que los niveles de tensión son 5 y 0 V, correspondientes al corte y a la saturación del transistor de salida respectivamente.

Fig. 4. Evolución de las señales del reloj de la Fig. 3, desde el régimen transitorio al permanente. En las opciones de simulación del menú “transient” no debe habilitar la pestaña “skip initial transient solution”.

Para analizar el circuito de la Fig. 3. se calcula el divisor de tensión en la terminal no inversora del AO (resistencias en kΩ):



( ) ( )( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=→=

=→==

+=

+=

+=

++

=+

+

+

.3

50

3

105

3

5

3150

5050

100//100100

100//100100//100

VVV

VVVVVVVVVV

V

o

ooccoccocco

Estos son los puntos de conmutación superior e inferior, respectivamente, (donde se producen las transiciones del condensador), que vienen representados en la Fig. 4. Entre ellos se evalúa la carga y descarga del condensador, para poder calcular los tiempos correspondientes a los estados alto y bajo. Veamos los tiempos de estados alto y bajo: a) Transición de alto a bajo, carga del condensador entre VCI=5/3 V y VCS=10/3 V. Siempre aplicaremos la ecuación de carga y de descarga del condensador:

msRC 1.01010τ 95 =×== − ; ( ) ( ) ( ) ( )[ ] RC

tt

cinccc

in

evtvvtv−

−∞−+∞= .

Sustituyendo los valores concretos asociados a las conmutaciones:

( ) msTee HRC

T

RC

T HH

069.02ln1.03

10

3

55

3

55

3

10 ≈=→−=−↔⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

−−.

La otra transición, de bajo a alto:

RC

TL

e−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= 0

3

100

3

5 .

Con el fin de analizar el circuito de nuevo, se muestra esta vez en la Fig.5., que una

versión extraída de la hoja de características del LM311. En la que se propone este circuito bajo el nombre de oscilador cuadrangular (“square wave oscillator”).

Fig. 5. Montaje practico de oscilador cuadrangular, o reloj temporizador, basado en el circuito LM111. En la hoja de características el montaje empela C=1200 pF. Se emplean, por ejemplo, 1500 pF está disponible.

+

-vo

Vcc=5 V R5=1 kΩΩΩΩR1=20 kΩΩΩΩ

R4=

39 kΩΩΩΩ

R3=10 kΩΩΩΩ

R2=

10 kΩΩΩΩ

C= 1500 pF

4

3

2

8

7

1

LM 111

+



Lo primero es calcular la tensión en el terminal no inversor, V+. Para ello se recurre al circuito de la Fig. 6. En él se aplica el principio de superposición, planteando las dos tensiones posibles de salida. Genéricamente (en función de las resistencias), resulta:

( ) ( )214

21

421

42

//

//

//

//

RRR

RRV

RRR

RRVV occ +

++

=+ .

Fig. 6. Circuito didáctico para calcular V+ aplicando el principio de superposición.

Valores concretos de las resistencias:

Ω=+×=

+= k

RR

RRRR

49

390

3910

3910//

42

4242 ; Ω=

+×=

+= k

RR

RRRR

30

200

2010

2010//

21

2121 .

6.3 Temporizador con disparo único retardado

El circuito de la Fig. 7 es un temporizador que se emplea para alimentar una carga resistiva RL después de haberse conectado la alimentación. Está basado en un AO de propósito general funcionando como comparador; es decir que ofrece como posibles salidas ±Vcc.

Vo

V+

5 VR4=

39 kΩΩΩΩR2=

10 kΩΩΩΩ

R1=20 kΩΩΩΩ



Fig. 7. Circuito de alimentación retardada de una carga resistiva RL. El diodo zéner se considera ideal, presentando tensión nula entre ánodo y cátodo cuando conduce en la zona directa, y pendientes de conducción infinitas en la zona directa y en la zona zéner.

En el instante t=0 s, se aplica la alimentación del circuito y aparecen 6 V en el

terminal inversor del AO (que provienen del divisor de tensión en dos resistencias idénticas). Esta es la tensión de referencia del comparador; es la tensión a vencer-superar para cambiar de estado.

Inicialmente el condensador está descargado, por lo que la tensión en el terminal no inversor del AO es cero. Esto significa que la tensión diferencial de entrada del AO vale -6 V; en consecuencia la tensión de salida del AO es -12 V. Esta tensión mantiene al diodo zéner funcionando como diodo normal, y ofreciendo una tensión de conducción de 0 V. Esta es la tensión de salida si el zéner opera como diodo normal.

Este estado es transitorio, ya que la tensión diferencial va creciendo con la carga del condensador, y en algún momento cambiará la salida de 0 al valor de la tensión zéner. El tiempo que dura la salida en nivel bajo (estado temporizado) se denomina tiempo o intervalo de temporización. La evolución de las señales se indica en la Fig. 8.

En resumen:

( )( ) VvVvVVtv

VvVvVVtv

ooAOREFc

ooAOREFc

5126

0126

=→=→=>=→−=→=<

+

-

C=

10 μμμμF

Vcc=12 V

R=

10 kΩΩΩΩ

vc

R1=

10 kΩΩΩΩ

R1=

10 kΩΩΩΩ

+

+Vcc

-Vcc

R2=

2 kΩΩΩΩvo

voAO

VZ=5 V

6 V

vc(0)=0

vd

RL



Fig. 8. Evolución de las señales involucradas en el temporizador de retardo. De arriba hacia abajo: tensión en el condensador, salida del AO y salida del circuito en el diodo zéner.

A continuación, vamos a calcular el intervalo de temporización; es decir, el tiempo

que emplea el circuito en ofrecer una tensión en la salida distinta de cero. La constante de tiempo asociada a la carga del condensador vale τ=100 ms. Planteamos la ecuación de carga del condensador partiendo de condiciones iniciales nulas:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=−+=↔∞−+∞=

−−−RC

t

ccRC

t

cccccRC

t

cccc eVeV0Vtvevvvtv 10 .

Cuando se alcanzan los 6 V, se contabiliza el tiempo o intervalo de temporización:

( ) mste126 temp

ttemp

3,695,0ln1001 100 ≅×−=→⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

−.

Por otra parte, el estado estacionario se alcanza al cabo de 5 veces la constante de tiempo. Al cabo de este tiempo, llamado tiempo de estabilización (ts), el condensador se habrá cargado totalmente a la tensión de alimentación, y por él ya no circula corriente. Es este un criterio generalmente adoptado en Electrónica. Si se deseara modificar el tiempo de temporización sería necesario modificar la constante de tiempo.

0 ttemp

12

6

12

-12

0 t (ms)

5τt (ms)

5t (ms)

vo(V)

0

vc(V)

voAO(V)

5τ

5τ

ttemp

ttemp



6.4 Circuito monoestable basado en amplificador operacional Los circuitos monoestables o temporizadores de estado único generan un pulso de duración finita, y dependiente de los componentes que rodean al amplificador operacional (resistencias y condensadores). El pulso generado se denomina estado temporizado.

El pulso generado (estado temporizado) se emplea para excitar otro circuito o un instrumento electrónico. Por ejemplo, para sincronizar la actuación de dos equipos, el pulso que emitiera el primero serviría para iniciar el segundo.

Estos circuitos presentan pues dos estados. En el estado estable (o de reposo), el circuito no recibe excitación que provoque la transición al estado temporizado. Cuando el circuito recibe como entrada un pulso, pasa al estado inestable o temporizado. Por sí sólo el circuito abandona este estado, regresando al estado estable, que es el que presenta por defecto. Una red RC es la que se encarga de provocar el regreso al estado estable o por defecto. En concreto, será un condensador conectado a uno de los terminales de entrada de un AO comparador, el que actúe como elemento de restablecimiento del estado estable. Todos estos componentes se aprecian en la Fig. 9.

Fig. 9. Circuito temporizador genérico de estado único basado en amplificador operacional. D es un diodo ideal. S es un pulsador; para accionar el circuito se cierra y se abre. S por defecto está abierto.

El análisis del circuito comienza deduciendo el estado estable o por defecto que

presenta, antes del disparo, es decir, antes de pulsar “S”. Partimos de la hipótesis de que este estado estable se presenta con la salida a nivel bajo. En efecto, si vo=-Vcc, V+=-βVcc. Por otra parte, si la salida está en estado bajo, el diodo D está conduciendo (en el ánodo tiene 0 V y en el cátodo -Vcc, a través de la resistencia de arriba, R). Esta situación es coherente con la tensión de 0 V que acumula inicialmente el condensador (diodo conduciendo entre sus placas).

Con todo, la tensión diferencial del comparador al inicio es muy negativa (vd=v+-v-=-βVcc- (-0,6)); si consideramos D con tensión de conducción), con lo que la salida por defecto es el estado bajo:

+

-

C

vc

R1

+

+Vcc

-Vcc

vo

vc(0)=0

vd

R

R2D S



ccoccv

d VvRR

RVvvv

c

−=→<−+

−=−= −+ 0021

2 .

Este era nuestro punto de partida, por lo que es coherente esta situación inicial.

Veamos cuál es la evolución del circuito (su dinámica) al pulsar “S” (cerrar y abrir, no se queda cerrado). Cuando esto sucede, la tensión diferencial del comparador se anula (V- estaba prácticamente a 0 V y ahora al pulsar S hacemos V+=0) y del estado bajo que estaba por defecto se pasa al alto, que es el estado temporizado. En esta situación de salida en estado alto, la tensión diferencial del comparador vale:

ccocccd VvvRR

RVv =→>−

+= 0

21

2 .

La tensión en el condensador va creciendo y llegará un momento en que la tensión diferencial se anule y el circuito pase de nuevo al estado bajo. La conmutación hasta este estado, que ya se mantiene, se produce en el instante en que la tensión del condensador vale:

21

2

RR

RVVv ccconc +

== .

La Fig. 10 muestra la evolución en el tiempo de las señales mencionadas en los razonamientos anteriores, que constituyen la dinámica del circuito:

Fig. 10. Evolución de las señales del temporizador de disparo único, o generador de impulsos, de la Fig. 9. El circuito permanece en el estado inestable (estado alto en este caso) durante el tiempo de estado temporizado T. La tensión diferencial sólo es nula en los puntos de conmutación.

El ancho del impulso viene dado por la expresión:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= 1ln

1

2

R

RRCT .

vo

t0

+Vcc

-Vcc

vc

T

Vcon

ttemp

vd=0

Trec



En efecto:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) [ ] ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=−+=↔∞−+∞=

−−−Δ−RC

t

ccRC

t

cccccRC

t

cccc eVeV0Vtvevvvtv 100

.

En el punto de conmutación, la tensión es:

RC

T

RC

T

cccc eRR

ReV

RR

RV

−−−=

+↔⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

+11

21

2

21

2 .

La tensión en el condensador evolucionará hacia el valor inicial transcurrido el llamado tiempo de recuperación del circuito. En nuestro caso, como el condensador se carga a cero a través del diodo y de una resistencia, predomina la resistencia dinámica del diodo y la constante de tiempo de transición al estado inicial de reposo es prácticamente cero. Durante este tiempo no se pueden efectuar nuevos disparos.

Puesto que el disparo único genera una onda rectangular que se inicia en un instante de tiempo definido, y por tanto puede utilizarse para excitar otras partes del equipo u otros circuitos, este circuito recibe el nombre de circuito de disparo (igual que en el ejemplo del apartado anterior). Además, como provoca una transición rápida a su estado de reposo, un tiempo T después del disparo de entrada, se denomina también circuito retardador de tiempo (como vimos antes).

A continuación se estudian los temporizadores integrados. Independientemente de su tecnología de fabricación, estos circuitos se fundamentan en la introducción de bi-estables. 6.5 El temporizador integrado 555

Es el temporizador integrado más común y fue introducido primero por Signetics Corporation. Se puede aplicar a gran variedad de aplicaciones y es de bajo coste. Puede operar con voltajes de alimentación en el rango 5-18 V. Incluye dos comparadores, dos transistores, tres resistencias iguales, un flip-flop, y una etapa de salida. A continuación se exponen sus modos de operación. 6.5.1 Modo astable En el modo de funcionamiento astable opera como un reloj, produciendo oscilaciones entre dos estados, llamándose pues multivibrador de oscilación libre. La Fig. 11 muestra las señales más significativas medidas en el circuito, dibujado en la Fig. 12. El valor de la tensión de salida es ligeramente menor que Vcc (disipación interna en el circuito integrado), y la tensión de estado bajo es aproximadamente de 0,1 V (situaciones representadas aproximadamente en la Fig. 11).



Fig. 11. Dinámica estacionaria del circuito astable basado en el temporizador integrado 555. Las señales de activación del bi-estable RS sólo cambian en las transiciones.

Fig. 12. Temporizador 555 en modo astable o multivibrador de oscilación libre. Cada triángulo representa un comparador. Entre corchetes se sitúan los terminales al exterior. El terminal [1], de tierra, se omite por simplicidad. A la derecha figuran sus tres elementos externos: las resistencias RA, RB, y el condensador C.

El funcionamiento es simple, mientras la tensión en el condensador esté

comprendida entre 1/3Vcc y 2/3Vcc, las señales R (“reset”) y S (“set”) son cero y no provocan cambios en la salida. Cuando se alcanzan 2/3Vcc, la salida de C1, la señal R, pasa a estado alto y la salida negada del biestable de pone a 1, con lo que la salida [3] se pone a cero. Como la salida negada es 1, el transistor T entra en saturación (0,1 ó 0,2 V entre [7] y tierra) y C se descarga por RB y la resistencia dinámica de T (prácticamente nula), la constante de tiempo de descarga es RBC. Planteando la ecuación de la descarga de C entre los instantes de tiempo que nos convengan (conmutaciones 2/3Vcc y 1/3Vcc), se logra obtener el tiempo de estado bajo:

t

+VccTH

TL

0

1/3Vcc

2/3Vccvc

vo

R=S=0

R=S=0R=S=0

R=1; S=0 R=0; S=1

R=S=0

C

R

+

vo

-

+C1

[5]

R

-

+C2

R

Vcc

2Vcc/3

Vcc/3[2]

Control

Disparo

[6]Umbral[8]

R

S

Q

Q

SalidaInversor

[3]

vc

[7]

DescargaT

RA

RBVREF

Restableci-miento

[4]

TR



( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) CR

t

ccCR

t

ccc

t

ccccBB eVeVtvevvvtv

−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=↔∞−+∞=

3

20

3

200 τ ,

2ln3

2

3

1CRTeVV BL

CR

T

ccccB

L

=↔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−.

Análogamente se plantea el cálculo del tiempo de estado alto resultado:

( ) ( ) 2ln3

1

3

2CRRTeVVVV BAH

CRR

T

ccccccccBA

H

+=↔⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= +

−.

El periodo del multivibrador es la suma de ambos tiempos:

( ) 2ln2 CRRTTT BAHL +=+= .

( ) 2ln2

11

CRRTf

BA +== .

6.5.2 Modo monoestable o de un disparo No todas las aplicaciones requieren una onda periódica como la obtenida a partir de un multivibrador de oscilación libre. En el modo de funcionamiento monoestable el circuito opera como un temporizador de disparo único, generando un pulso (estado temporizado) a partir de un impulso de disparo. La duración del pulso generado depende de la resistencia y el condensador externos. La Fig. 13 muestra el circuito resultante. Observar que ahora desaparece RB, resultando más fácil el camino de descarga a tierra, con una constante de tiempo de descarga prácticamente cero, por descargarse a través de la resistencia dinámica del transistor T.



Fig. 13. Circuito interno del temporizador 555 en modo monoestable. La resistencia RB desaparece y el condensador C, al restablecer su carga, provoca el regreso a estado bajo, estado por defecto o estable. El estado temporizado es el estado alto.

Los impulsos de disparo son negativos. Las distintas señales se muestran en la Fig. 14. La duración del estado temporizado es:

3lnCRT A= . Para obtener la expresión anterior se plantea la carga del condensador desde 0 a (2/3)Vcc, según la ecuación:

( )CR

TeeeVVV

A

CR

T

CR

T

CR

T

ccccccAAA −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛↔=−↔−=↔−+=

−−−

3

1ln

3

211

3

20

3

2 .

La Fig. 14 muestra las principales señales involucradas en la dinámica del circuito. El

circuito es sensible a impulsos de disparo por flanco de bajada desde estado alto a bajo.

C

R

+

vo

-

+C1

[5]

R

-

+C2

R

Vcc

2Vcc/3

Vcc/3[2]

Control

Disparo, vi

[8]

R

S

Q

Q

SalidaInversor

[3]

vc

[7]

DescargaT

RA

VREF

Restableci-miento

[4]

TR



Fig. 14. Dinámica del circuito monoestable basado en el temporizador integrado 555. La descarga de C se produce de forma casi instantánea a través de la resistencia dinámica del transistor.

La Fig. 15 muestra el resultado de una simulación del circuito en funcionamiento en

modo monoestable. Obsérvese que la señal que provoca los disparos es cuadrada (“tren”). Los disparos (“impulsos”) son negativos, e inician un estado alto (estado de duración predeterminada por el diseño). Una vez finalizado un estado alto, la salida pasa al estado bajo (estado estable) y el circuito queda a la espera de un nuevo disparo.

t

+Vcc

0

R=S=0 Q=1 T sat.

+Vcc

T

0

vo: Estadostemporizados

vi: Impulsos de disparo

S=1R=0

t0

2/3Vcc

T

t

S=1R=0

S=0R=0

S=0R=0

S=0R=1

vc: tensión condensador

S=0R=1

S=0R=0

S=0R=0



Fig. 15. Señales involucradas en la operación como monoestable (simulación con ORCAD-PSPICE).

La Fig. 16 (a,b) muestra el circuito de disparo, empleado con el fin de excitar el monoestable. Al añadir D se suavizan mucho los flancos positivos, que no son deseados para el disparo. Como mucho, los impulsos de disparo pasan a valer 5+0,6 V.

(a) (b) Fig. 16. Circuito de disparo del monoestable de la Fig. 13. Los valores de los componentes son los incluidos en la simulación con ORCAD-PSPICE. (a) y (b) son el mismo circuito, y ambos dibujos-orientaciones se emplean indistintamente. 6.6 Generador de ondas cuadradas y triangulares Se basan en el lazo de realimentación no lineal, como el mostrado en la Fig. 17. Este circuito es la base de la mayoría de los instrumentos electrónicos generadores de funciones de coste medio-bajo. Como se aprecia, está compuesto por un comparador regenerativo y un integrador de corriente constante. La salida del primero es una señal cuadrada y la del segundo triangular. Para analizar el circuito se estudia la interacción de ambas etapas. El circuito es la base de un generador de funciones. La primera etapa también recibe el nombre de astable puesto que su salida bascula entre las dos tensiones de alimentación del amplificador operacional.

R

C

D

5 V

Señal cuadrada

Impulsos de disparo

R=10 kΩ

C=0,001 μF

D=1N4148 C

RD

5 V

Señal cuadrada

Impulsos de disparo

R=10 kΩ

C=0,001 μF

D=1N4148



Fig. 17. Lazo de realimentación no lineal, formado por un integrador Miller (integrador de corriente constante) y un comparador regenerativo. También llamado astable con integrador. En la parte superior se indica el circuito alternativo.

En régimen permanente (se repiten periódicamente), las señales significativas son:

Salida del comparador en +Vcc: ( ) ∫−=t

t

cccso2

0

dtVRC

1Vtv

Salida del comparador en -Vcc: ( ) ∫+=t

t

cccio2

0

dtVRC

1Vtv

Puntos de conmutación del comparador: 2

1ics, R

RVccV ×±=

Frecuencia de oscilación: 1

2osc 4RCR

R

T

1f ==

La evolución en el tiempo de las tensiones relevantes del circuito se aprecia en la Fig. 16.

Fig. 18. Dinámica estacionaria del circuito de la Fig. 17. Se muestran las dos señales o funciones.

vo1

t0

+Vcc

-Vcc

Vcs

Vci

vo2

T

+

-

R2

vo1

R1

R

+

-

C

vo2

R2> R1

R

CDR’



El circuito permite incluir modificaciones interesantes, como la de añadir una resistencia R’, en serie con un diodo, para conseguir distintas constantes de tiempo de carga y de descarga. Así, C se cargaría por R (rampa creciente, cuando la salida del comparador es nivel bajo y D está en OFF) y se descargaría por R//R’ (rampa decreciente, correspondiente a una salida del comparador de nivel alto). El siguiente circuito también es un generador de “diente de sierra”. 6.7 Generador de señal en forma de “diente de sierra”

El circuito de la Fig. 19 es un “generador de barrido” o generador de señal en forma de diente de sierra. Las señales se muestran en la Fig. 20. El circuito puede verse como un oscilador controlado por tensión (VCO1) mediante la tensión de entrada –V.

Fig. 19. Generador de “diente de sierra” o de barrido. Se suponen ideales los AOs y los diodos. La señal de referencia o de entrada es tal que V<0.

1 Voltage Controlled Oscillator.

Ri

+

-

C

vo1

T1

V

AO1

-

+

AO2

D1

R1=

5 kΩΩΩΩ

R2=

0-10 kΩΩΩΩ

RC=10 kΩΩΩΩ

RB=10 kΩΩΩΩ

T2

D2

RB=

10 kΩΩΩΩ

vo2

Vcc

Vcc

Vcc

-Vcc

-Vcc

VREF

+



Fig. 20. Evolución temporal de las señales del generador de diente de sierra de la Fig. 19.

Siguiendo el procedimiento ya explicado en este capítulo, es sencillo comprobar que la frecuencia de la señal de barrido generada resulta ser:

RCV

-V

T

1f

REF

1== .

Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F.H., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall hispanoamericana. México, 1993. González de la Rosa, J.J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis, Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Malik, N. R. Electronic circuit: analysis, simulation and design, Prentice Hall International Editions, 1995.

t0

+Vcc

-Vcc

T

t0

+Vcc

VREF

vo1

vo2


7 Características de los circuitos

electrónicos realimentados

7.1 Introducción y objetivos del capítulo

La realimentación negativa se emplea con mucha frecuencia en Electrónica en el diseño de amplificadores, debido a los numerosos beneficios que presenta. Los efectos positivos redundan, en primer lugar, en la estabilización1 de la ganancia de los amplificadores electrónicos frente a las sustituciones de los dispositivos, el envejecimiento, las derivas térmicas de los parámetros de los componentes y fluctuaciones de la fuente de alimentación. Es decir, se consigue desensibilizar la magnitud de interés.

Además, las impedancias de entrada y de salida se ajustan con sencillez; se reduce la distorsión armónica y aumenta el ancho de banda en equipos de audio y etapas de potencia.

La realimentación negativa es un recurso básico en el diseño de sistemas electrónicos analógicos ya que, a pesar de que la magnitud que se desensibiliza disminuye al realimentar el circuito, la cantidad en que lo hace puede compensarse añadiendo más dispositivos activos y/o etapas.

Sin embargo, la realimentación negativa presenta dos inconvenientes: Una disminución de la ganancia proporcional al aumento del ancho de banda y el riesgo de oscilación.

En este capítulo se estudian las topologías o configuraciones básicas de los circuitos electrónicos realimentados. Se presta especial interés a la evolución que experimentan las magnitudes del circuito al aplicar la realimentación negativa. 7.2 Clasificación de los amplificadores electrónicos realimentados

Se clasifican en cuatro grandes categorías: amplificador de tensión, de intensidad, de transconductancia y de transresistencia, en función de cuál sea la magnitud característica del circuito; es decir, la magnitud que se estabiliza; es decir, aquella que experimentará los beneficios de la realimentación negativa. Cada categoría se caracteriza por un modelo equivalente cuadripolar, y una característica de transferencia que relaciona la entrada con

1 Otros campos de la Ciencia y de la Técnica se benefician se las ventajas de la realimentación en la estabilización de magnitudes físicas.



la salida del circuito. La notación utilizada consiste en un subíndice con mayúsculas cuando se considera la magnitud con los efectos de carga. 7.2.1 Modelo o circuito equivalente del amplificador de tensión

En el amplificador de tensión ideal la impedancia de entrada es infinita y la de salida nula. El modelo se adapta al comportamiento real cuando la impedancia de la fuente es despreciable frente a la de entrada, y la de salida frente a la de carga. La Fig. 1 representa el circuito equivalente de Thêvenin, a modo de cuadripolo, que recuerda en gran medida al del amplificador operacional de tensión (OVA).

Fig. 1. Modelo equivalente del amplificador de tensión. Se cumple en la práctica: Ri>>Rs; Ro<<RL. RL es la carga exterior.

En el circuito de entrada, si Ri>>Rs, entonces Vi ≈ Vs. En el circuito de salida, si

RL>>Ro, entonces Vo≈Av×Vi≈Av×VS. Las características propias del circuito son las ganancias de tensión en circuito abierto

y con los efectos de carga:

VR

vvoL

L

i

oV AAA

RR

R

v

vA

L ∞→=⋅

+=≡ lim . (1)

Para obtener (1) basta con considerar un simple divisor de tensión en la malla de salida. En efecto:

LoL

ivo R

RR

vAv ⋅

+= .

7.2.2 Modelo equivalente del amplificador de corriente

Se representa en la Fig. 2. En el amplificador de corriente ideal la impedancia de entrada es nula y la de salida infinita. El modelo es adecuado cuando la impedancia de entrada es mucho menor que la de la fuente y la impedancia de carga lo es también frente a la de salida.

+-

+

vi

-

Ri

Ro

Avvi

+-

vs

Rs

RL

+

vo

-

ii io

7 Características de los circuitos electrónicos realimentados


Fig. 2. Modelo equivalente del amplificador de corriente.

La magnitud característica de este amplificador es la ganancia de corriente en cortocircuito.

IR

iioL

o

i

oI AAA

RR

R

i

iA

L 0lim

→=⋅

+=≡ . (2)

7.2.3 Modelo equivalente del amplificador de transconductancia En el modelo ideal las impedancias de entrada y la de salida son infinitas, ya que el circuito de entrada es una malla (conexión serie, en la que la magnitud de interés es la tensión), y el de salida contiene un nudo (conexión en paralelo, en la que la magnitud de interés es la corriente). En la práctica, el modelo es adecuado cuando la impedancia de entrada supera con suficiencia a la de la fuente y la de salida a la de carga.

Fig. 3. Modelo equivalente del amplificador de transconductancia.

La característica de transferencia es la transconductancia en cortocircuito:

MR

mmoL

o

i

oM GGG

RR

R

v

iG

L 0lim

→=⋅

+=≡ . (3)

7.2.4 Modelo equivalente del amplificador de transresistencia El modelo ideal posee resistencias de entrada y de salida nulas. En la práctica, el modelo se aproxima al real cuando la resistencia de la entrada es mucho menor que la de la fuente, y la de salida lo es frente a la de carga.

Ri

is

RsRL

+

vo

-

ii io

+

vi

-

Aiii

Ro

Ri RL

+

vo

-

ii io

+

vi

-

Gmvi

Ro+-

vs

Rs



Fig. 4. Modelo equivalente del amplificador de transresistencia.

La característica de transferencia del circuito viene dada por la transresistencia:

MR

mmoL

L

i

oM RRR

RR

R

i

vR

L ∞→=⋅

+=≡ lim . (4)

Los cuatro amplificadores básicos descritos constituyen las topologías de partida para diseñar circuitos electrónicos realimentados. La magnitud característica de cada uno de ellos (ganancia de tensión, ganancia de corriente, transconductancia y transresistencia) es la que se desensibiliza al añadir al circuito realimentación negativa. 7.3 Realimentación negativa

7.3.1 Concepto de realimentación Un circuito posee realimentación cuando se toma una muestra de tensión o de corriente de la salida, mediante una red de muestreo, y se aplica a la entrada mediante una red o técnica de mezclado o comparación. La entrada aplicada al amplificador es el resultado del efecto de esta señal de realimentación.

Un circuito posee realimentación negativa cuando cualquier variación de la salida provoca una señal de realimentación que, actuando sobre el amplificador, tiende a compensarlo. Esto lo hemos visto con amplificadores operacionales; en efecto, con la realimentación negativa se conseguían salidas controladas. 7.3.2 Elementos de un circuito electrónico realimentado

La Fig. 5 muestra los elementos de un circuito electrónico realimentado genérico, en forma de diagrama de bloques.

Fig. 5. Diagrama de bloques de un lazo de realimentación negativa, en el que se incluye el amplificador básico A, y la red de realimentación, β.

Ri

is

RsRL

+

vo

-

ii io

+

vi

-

+-

Ro

Rmii

RL

+

vo

-

vi= vs- vf

vs A

ββββ

+

-

vf



En ella se observa que al amplificador básico entra una señal de error, que es la diferencia entre la tensión de la fuente de señal (la señal del sensor) y la señal de realimentación. La nomenclatura y las magnitudes empleadas son:

• A: Ganancia o magnitud del amplificador básico. Generalmente en ella se incluyen los efectos de carga debidos a la red de realimentación y a la resistencia de la fuente de señal de excitación y la resistencia de carga.

• Af: Ganancia del circuito realimentado. • β: Red de realimentación o factor de transmisión. • -Aβ: ganancia del lazo o relación de retorno. Aβ>0 si la realimentación es

negativa. • D ≡ 1+ Aβ: Diferencia de retorno, “desensibilidad”. • N ≡ decibelios de la realimentación:

β+=

β+==

AAA

AN

f

1

1log20

1

1log20log20 .

Si N<0, la realimentación es negativa. Veamos ahora la demostración de la ganancia.

La ganancia del circuito realimentado resulta:

β+=≡

A

A

v

vA

s

of 1

.

En efecto:

( ) ⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−×=−×=×==

fiv

os

v

fsioof vvAvvAvAvvv β;β43421

.

La ganancia (magnitud) de un amplificador realimentado se hace independiente del

amplificador básico (es decir, dependiente sólo de la red de realimentación) si Aβ>>1 (en módulo |Aβ|>>1). En efecto:

β≈

β<<+= 1

)1(1 A

AA f .

Esta circunstancia es ampliamente utilizada en el diseño de circuitos realimentados y motiva su empleo, ya que la ganancia sólo dependería de elementos externos al amplificador, incluidos en la red de realimentación. La ganancia es independiente del amplificador.



7.4 Ventajas e inconvenientes de la realimentación negativa La ventaja fundamental a frecuencias intermedias (i. d. la zona donde amplifica) consiste en la desensibilización de su magnitud característica. 7.4.1 Desensibilidad de la característica de transferencia

En principio se define la sensibilidad relativa de la función Af respecto al parámetro χ:

χχ

χχχ

d

A

dA

A

A

Sf

f

f

f

Af =Δ

Δ

= .

En el caso concreto χ=A, se plantea evaluar cómo es de sensible la ganancia del circuito realimentado al variar la ganancia (magnitud) del circuito sin realimentar. Se demuestra:

D

A

dA

A

dA

Sf

f

AA

f 1== .

Con esto, se puede avaluar un caso concreto. Así por ejemplo, si D=10 y la variación relativa de la ganancia del amplificador básico es de 0,1 (10 %), entonces la variación relativa de ganancia del circuito realimentado es 0,01 (1 %). Ello demuestra la estabilización de la magnitud propia del circuito realimentado. Se consigue una ganancia más estable. 7.4.2 Reducción del ruido y de la distorsión no lineal La realimentación negativa reduce las no linealidades del amplificador básico. En el caso particular de verificarse Aβ>>1 la distorsión se elimina totalmente, al ser la ganancia del circuito realimentado independiente del amplificador básico. Así, un amplificador básico con dos ganancias pasa a tener sólo una. La situación se muestra en la Fig. 6.

Fig. 6. Diagrama de bloques de un lazo de realimentación negativa. Obsérvese que la realimentación negativa también amplía la región de linealidad.

vo

vi

A2

A1

Af2

Af1



Si en un amplificador la amplitud de la entrada es lo suficientemente elevada como para hacerlo trabajar en la región no lineal, se generan armónicos en la salida. Si por ejemplo, se generara el segundo armónico B2, en la salida aparecería dividido por la desensibilidad:

D

BB f

22 = .

Esto demuestra la reducción de la distorsión no lineal. Por el mismo razonamiento, el ruido introducido en el amplificador queda dividido por la desensibilidad.

1.4.3 Producto ganancia-ancho de banda El ancho de banda del amplificador realimentado de tensión en serie (como por ejemplo el de un amplificador en configuración no inversora) es el del amplificador original multiplicado por la desensibilidad. En la misma proporción disminuye la ganancia. La situación se demuestra a partir de la función de transferencia con un polo (es decir, con una sola frecuencia característica):

( )

0

0

1f

fj

AjfA

+= .

Cuando el amplificador forma parte de un circuito realimentado la ganancia resulta:

( ) ( )( ) ( )jfjfA

jfA

v

vjfA

s

of β+

=≡1

.

Desarrollando la expresión anterior se demuestra que la nueva ganancia en la zona de frecuencias intermedias resulta:

β+=

0

00 1 A

AA f ,

y la nueva frecuencia superior de corte queda multiplicada por la desensibilidad:

( )β+⋅= 01 Aff HHf . Si el amplificador básico posee frecuencia inferior de corte, ésta queda dividida por la desensibilidad.

El producto ganancia/ancho de banda (GBW2) del circuito realimentado se conserva. En efecto:

HHff fAfAGBW ⋅=⋅= 00 .

2 Gain Band Width



La Fig. 7 muestra la situación de la conservación de esta magnitud en el diagrama de Bode de ganancias.

Fig. 7. Conservación del producto ganancia/ancho de banda. Diagrama de Bode asintótico.

7.5 Topologías básicas de los amplificadores realimentados

Hay cuatro topologías básicas que dependen de la forma de mezclado y de muestreo. Estas cuatro combinaciones llevan asociadas la magnitud del amplificador que se desensibiliza. La Fig. 8 muestra las cuatro combinaciones de circuitos electrónicos realimentados. Asociado a cada topología está un tipo de amplificador básico, como muestra la Tabla 1.

Tabla 1. Topologías de cada tipo de realimentación y amplificadores básicos. Realimentación de Amplificador básico de tensión en serie tensión

tensión en paralelo transresistencia corriente en serie transconductancia

corriente en paralelo intensidad

Ganancias

log f

A0

A0f

fL fLf fHf fH

A0f/√2

A0/√2

1.- Amplificador básico2.- Amplificador realimentado

1

11

1, 2

2

BW

BWf



Fig. 8. Topologías de circuitos electrónicos realimentados. Obsérvese que, siempre que la magnitud involucrada sea una corriente se compara o

se muestrea por nudo; y siempre que la magnitud sea una tensión se compara o se muestrea por malla.

A continuación se estudian con detalle las topologías de circuitos electrónicos realimentados. Para cada caso, se estudia primero el cambio que experimentan las magnitudes propias del amplificador cuando se realimenta el circuito. 7.6 Realimentación de tensión en serie

7.6.1 Magnitudes propias La topología se muestra en la Fig. 9. Se obtienen sus magnitudes propias.

RLvoA

ββββ

io

RLvoA

ββββ

io

Muestreo de tensión-por nudoRealimentación de tensión en...

Muestreo de corriente-por malla, serieRealimentación de corriente en...

A

ββββ

Comparación de tensión-por mallaRealimentación de ... en serie

RS

vS

+

-

+

-

vi

+

-

vf

Comparación de corriente-por nudoRealimentación de ... en paralelo

A

ββββ

RSis

ii

if

+

-



Fig. 9. Circuito equivalente de realimentación de tensión en serie.

Impedancia de entrada: Suponemos nula la resistencia de la fuente, Rs, por simplicidad.

iiifis Rivvvv ⋅=+= .

i

fi

i

fi

i

sif i

vR

i

vv

i

vR +=

+=≡ .

A partir de esta última expresión se observa que la resistencia de entrada aumenta (suma de la resistencia sin realimentar más un término positivo). Lo mismo sucede para todas las topologías con comparación por malla o serie, ya que para nada se ha trabajado sobre el circuito de salida.

Se concreta la expresión de la resistencia de entrada:

( )Vii

iVi

i

oi

i

fiif AR

i

vAR

i

vR

i

vRR ⋅β+⋅=

⋅β+=

⋅β+=+= 1 . (5)

Ganancia de tensión:

V

V

i

o

i

i

i

o

oi

o

fi

o

s

oVf A

A

v

v

v

v

v

v

vv

v

vv

v

v

vA

β+=

β+=

β+=

+==

1. (6)

Esta expresión coincide con la esperada según el esquema genérico de diagrama de bloques. Es decir se obtiene la magnitud característica del amplificador realimentado, su ganancia de tensión, como la ganancia de tensión del amplificador básico con los efectos de carga (AV) dividida por la desensibilidad.

+-

+

vi Ri

Ro

Avvi

+-

vs

Rs

RL

+

vo

ii io

+

vf ββββvo Riββββ

Roββββ

if

+-



Impedancia de salida: Abriendo el circuito por la resistencia de carga se mide la relación tensión-corriente de un generador auxiliar:

aux

auxvoaux

aux

fvoaux

aux

ivoaux

vaux

auxof i

vARi

i

vARi

i

vARi

i

vR

s

β−⋅=−⋅

=+⋅===0

.

De esta relación se obtiene:

ofvoaux

auxvoofauxvoauxauxof RAR

i

vARRvARiiR β−=

β−=β−⋅=⋅ .

Finalmente resulta la expresión de la resistencia de salida del circuito realimentado:

β+=

v

oof A

RR

1. (7)

Esto significa que la resistencia de salida viene atenuada por la desensibilidad. Esta relación es válida para cualquier configuración que incorpore muestreo en paralelo, pues es independiente del circuito de entrada.

Obsérvese que la expresión incluye un subíndice minúsculo en la ganancia de tensión ya que no se considera el efecto de la resistencia de carga.

Si se considera la resistencia de salida con la incorporación de la resistencia de carga se obtiene:

=+

⋅=

Lof

Lofof RR

RRR '

β+ V

o

A

R

1

' . (8)

En esta expresión las magnitudes con apóstrofe hacen referencia a asociaciones en paralelo de la resistencia sin apóstrofe con la de carga. Por otra parte, el subíndice de la ganancia de tensión es ahora mayúsculo. 7.6.2 Ejemplo. Amplificador de dos etapas con transistores Se considera el amplificador de dos etapas de la Fig. 10, con realimentación del segundo colector al primer emisor. Los parámetros de los transistores según su modelo de parámetros híbridos son (únicos no nulos):

Ω== k,hh iefe 1150 .



Fig. 10. Amplificador bi-etapa con realimentación de tensión en serie. Se supone la fuente de señal sin resistencia en serie.

El tipo de realimentación se identifica fácilmente por observación. En efecto, R1 está conectada en serie con vs (está en su misma malla) y, a la vez, pertenece a la malla de salida. Es decir, es un componente que pertenece a las mallas de entrada y de salida a la vez. Por tanto la comparación es en serie y la tensión en este componente es la tensión de realimentación, vf.

Por otra parte, con el fin de inferir el tipo de muestreo, se anula la salida (vo=0); lo que significa que vf=0. Por tanto se muestrea tensión. En consecuencia es una realimentación de tensión en serie.

Veamos ahora los efectos de carga sobre el amplificador básico:

Efectos de carga en la entrada: Hacemos, vo=0, y queda R1//R2. Efectos de carga en la salida: Se abre el circuito de entrada (ii=0), y las dos resistencias quedan en serie. Por tanto, el amplificador básico con los efectos de carga de la red de realimentación queda como muestra la Fig. 11.

Vcc = 25 V

RC1=

10 kΩΩΩΩ

-

+

RE1=

4,7 kΩΩΩΩ

Q1

Rb11=

150 kΩΩΩΩ

5 μμμμF

Rb21=

47 kΩΩΩΩvs

vo

50 μμμμF

5 μμμμF

RC2=

4,7 kΩΩΩΩ

RE2=

4,7 kΩΩΩΩ

Q2

50 μμμμF

Rb12=

47 kΩΩΩΩ

R1=

100 ΩΩΩΩ

R2=

4,7 kΩΩΩΩ5 μμμμF

Rb22=

33 kΩΩΩΩ

-

+

vf



Fig. 11. Amplificador básico de la Fig. 10 sin realimentación y con los efectos de carga de la red de realimentación.

Se sigue que la red de realimentación es (divisor de tensión cortocircuitando el condensador de la red de realimentación, 5 μF):

21

1

RR

R

v

v

o

f

+=≡β .

Veamos el cálculo de magnitudes del circuito. Resistencia de carga efectiva de Q1:

Ω== 942////' 2211 ieBcL hRRR .

Resistencia de carga efectiva de Q2:

( ) Ω=+= kRRRR cL 37,2//' 2122 .

Resistencia de emisor efectiva de Q1:

Ω== 98// 21 RRRE .

Ganancias de los amplificadores y conjunta:

( )

835

108'

73,71

'

21

22

11

=⋅=

−=⋅−

=−=++⋅−

=

VVV

ie

LfeV

Efeie

LfeV

AAA

h

RhA

Rhh

RhA

Red de realimentación y ganancia del lazo:

4,1748

1835

48

1 =⋅=β=β VA .

vsvo

R1 R2

Av1

R2

R1

Av2

vf



Desensibilidad:

4,181 =β+= VAD .

Ganancia del circuito realimentado:

( ) dBAA

AA

dBVfV

VVf 62,3348log2048

14,45

1≅⋅=→=

β≈=

β+= .

Es importante observar que la ganancia no es la inversa de la red de realimentación porque estamos considerando los efectos de carga.

Resistencia de entrada sin realimentación y con los efectos de carga de la red de realimentación:

( ) Ω=⋅++= kRhhR Efeiei 1,61 .

Resistencia de entrada del circuito realimentado:

Ω=⋅= kDRR iif 112 .

Resistencia de salida sin realimentación con los efectos de carga:

Ω== kRR Lo 37,2'' 2 .

Resistencia de salida del circuito realimentado:

Ω== 129'

'D

RR o

of .

La simulación con PSPICE arroja los resultados trazados en la Fig. 12 para tres valores de la resistencia R1 (20, 100 y 200 Ω).

Fig. 12. Respuesta en frecuencia del circuito realimentado de tensión en serie de la Fig. 11 para los tres valores de resistencia de realimentación. Las gráficas son semi-logarítmicas en decibelios de la salida. La situación del cursor corresponde a 100 Ω, en la gráfica central.



Además de apreciar lo descrito en el pie de la Fig. 12, es interesante comentar que la respuesta es de tipo paso-alto, lo que evidencia que no se han considerado las limitaciones prácticas de los transistores en la respuesta a altas frecuencias (condensadores internos). Además, presentan picos de sobre-oscilación que muestran que el circuito es de orden dos o superior.

7.7 Realimentación de tensión en paralelo

7.7.1 Magnitudes propias La topología se muestra en la Fig. 13. En este apartado se obtienen sus magnitudes características.

Fig. 13. Circuito equivalente de realimentación de tensión en paralelo. El amplificador básico se caracteriza por la transresistencia, Rm.

Impedancia de entrada: Las resistencias de las fuentes de corriente situadas en la entrada y en la red de realimentación se consideran infinitas. Asimismo, se considera infinita la resistencia de entrada de la red de realimentación. Con todo, el efecto de carga de la red de realimentación se limita a una extracción de corriente en el circuito de muestreo. Esta situación es la que se presenta habitualmente.

Para comenzar el análisis, se plantean las ecuaciones. En el circuito de entrada:

oifis viiii ⋅β+=+= En la salida:

Lo

Lm

i

oM

Lo

Limo RR

RR

i

vR

RR

RiRv

+⋅

=≡→+

⋅= ; M

Rm RR

L ∞→= lim .

+-

Ri

Ro

Rmii

RL

+

vo

io

ββββvo

Riββββ

if

is

Rs

ii

if

Ro

ββββ

+

vi

Zif Zof



Como la corriente de entrada se relaciona con la tensión de salida según:

iMo iRv ⋅= .

Sustituyendo en la expresión de la corriente de entrada resulta:

( )MiiMifis RiiRiiii ⋅β+⋅=⋅⋅β+=+= 1 . Finalmente:

( ) M

i

Mi

ii

s

iifif R

R

Ri

Ri

i

vRZ

⋅β+=

⋅β+⋅⋅

=≡=11

.

Como se observa, se obtiene una disminución de la impedancia de entrada. Este resultado es coherente con el tipo de comparación, de corriente o de nudo. La resistencia de entrada sin realimentar queda dividida por la desensibilidad al realimentar. Ganancia de tensión: El generador de corriente de entrada se convierte a generador de tensión (conversión del modelo de Norton al de Thêvenin) y replantea la definición de ganancia del circuito realimentado:

M

s

M

s

Mf

ss

o

s

oVf R

RR

R

R

iR

v

v

vA

β+==

⋅=≡

1.

Impedancia de salida: Por definición de impedancia de salida:

0=

≡=siaux

auxofof i

vRZ

El circuito resultante es el de la Fig. 14.



Fig. 14. Circuito equivalente para calcular la resistencia de salida en una configuración con realimentación de tensión en paralelo.

En la malla de salida tenemos:

o

imauxaux R

iRvi

−= .

En la malla de entrada:

auxofi vvii β−=β−=−= .

Se combinan:

( )o

maux

o

auxmauxaux R

Rv

R

vRvi

β+=

β+=

1 .

Y se aplica en la definición:

β+=≡=

= m

o

iaux

auxofof R

R

i

vRZ

s1

0

.

De nuevo se observa que la impedancia de salida queda dividida por una desensibilidad que contiene la transresistencia en circuito abierto.

Si se considera la incorporación de la resistencia de carga del circuito se obtiene:

== Lofof RZZ //'β+ M

o

R

R

1

' .

+-

Ri

Ro

Rmii

iaux

ββββvo

is=0

ii

if

+

vi

Zof

+-

vaux



7.7.2 Ejemplo. Amplificador basado en AO en configuración inversora Se considera el amplificador basado en AO inversor de la Fig. 15.

Fig. 15. AO en configuración inversora.

Veamos la topología para el tipo de realimentación. Queda descrita en la Fig. 16.

Fig. 16. Circuito equivalente al de la Fig. 15, con realimentación de tensión en paralelo.

La cantidad característica del amplificador es la transresistencia.

Ahora vemos los efectos de carga sobre el amplificador básico. Como se trata de una realimentación de tensión, se anula la tensión salida para evaluar los efectos de carga sobre el amplificador básico, en el circuito de entrada. Como se compara corriente se anula la tensión de entrada para evaluar los efectos de carga en el circuito de salida. Al hacer lo primero, R2 queda en paralelo en el circuito de entrada; al hacer lo segundo queda en serie en el circuito de salida y en ella se mide la salida.

Para obtener la red de realimentación:

22

1

RRi

i

v

ivi

f

f

o

fof −=

⋅−==β→⋅β=

Ahora vemos el cálculo de magnitudes: transresistencia y ganancia de tensión.

+

-R1 +Vcc

-Vcc

vo

R2

vs

=

0

Ii

+-

Ri

Ro

Av vi

ii

if

+

vi

RL,

∞∞∞∞vs

+

vo

R1

R2

is

+-



Transresistencia:

io

v

s

oM YYYRR

RA

i

vR

++⋅

+⋅

=≡212

2 1 .

Como es una realimentación de tensión en paralelo, esta es la magnitud afectada por la realimentación. La magnitud del circuito realimentado queda:

( ) ( )iv

oM

MMf

YYYA

YRYR

RR

++⋅+−

−=β+

=2122

11

1

1.

Ganancia de tensión del circuito realimentado:

( ) ( )iov

s

oVf

YYYYRA

Y

Y

v

vA

++⋅+⋅−

−=≡

2122

1

11

.

Si se verifica la condición:

12 <<⋅YRo .

Entonces la expresión de arriba se reduce a:

( )iV

Vf

YYYA

Y

YA

++⋅−

−≅

212

1

1.

Nótese que, cuando la ganancia en lazo abierto tiende a infinito la ganancia corresponde a la de una configuración inversora ideal.

A partir de este punto, en el próximo capítulo, se estudian las características de la respuesta en frecuencia de circuitos electrónicos basados en amplificadores operacionales. Definiremos las limitaciones prácticas del amplificador operacional, a efectos de su respuesta en frecuencia, que inciden en el comportamiento de un sistema realimentado que lo incluya. Básicamente estudiaremos la estabilidad de estos circuitos. Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F. F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall hispanoamericana. México, 1993. González de la Rosa, J. J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis, Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Malik, N. R. Electronic circuit: analysis, simulation and design, Prentice Hall International Editions, 1995.


8 Respuesta en frecuencia y estabilidad de los circuitos electrónicos realimentados

8.1 Introducción y objetivos del capítulo

El amplificador operacional posee limitaciones en el dominio de la frecuencia que repercuten de forma decisiva en los circuitos electrónicos que lo incluyen. En este capítulo se tratan estas limitaciones con el fin de estudiar la estabilidad de los circuitos electrónicos mediante técnicas en el dominio de la frecuencia.

8.2 Características de un circuito realimentado con amplificadores operacionales 8.2.1 Especificaciones del amplificador operacional real Ganancia diferencial o en lazo abierto: También llamada Voltage gain/Open-loop gain/Differential-mode gain [Ad]. Planteamos la relación entre tensión de salida y tensión diferencial de entrada.

ddo VAV ⋅= La Fig. 1 representa el esquema del AO de tensión (OVA) con su función de transferencia en lazo abierto, ganancia diferencial, Ad.

Fig. 1. Modelo ideal de un AO en lazo abierto.

V1

-

+

Ad Vo

V2

Vd

Vo=Ad⋅⋅⋅⋅(V1- V2)= Ad⋅⋅⋅⋅Vd



Ancho de banda: También llamado Unity-gain closed-loop bandwidth [BW]. Se define como la frecuencia a la que la ganancia del amplificador es de -3 (dB), operando como seguidor (montaje no-inversor con ganancia unitaria). Producto ganancia-ancho de banda: Llamado Gain-bandwidth product/Unity-gain frequency response [GBW]. Se define en AO compensados, como la frecuencia para ganancia diferencial con módulo unitario. 8.2.2 Función de transferencia del amplificador operacional real Incorpora dos limitaciones prácticas del componente: la ganancia diferencial en la mitad de la banda sin realimentación (Ado, real y negativa), y los polos, que limitan la banda a altas frecuencias. Por ejemplo, si el amplificador operacional posee tres polos, su ganancia diferencial es la siguiente:

( ) ( ) ( )

( ) ( ).)(

)(

3213231212

3213

3210

321

3210

pppsppppppsppps

pppAsA

pspsps

pppAsA

dd

dd

+++++++⋅

=

+++⋅

=

Diremos que el amplificador operacional tiene polos en s = - p1, - p2 y - p3. El número de polos del amplificador operacional proporciona el orden del sistema (la expresión desarrollada indica que el orden del sistema es tres).

En régimen sinusoidal permanente, estas expresiones se particularizan sin más que hacer s = jw. Por ejemplo, en el caso de un amplificador con un solo polo tenemos:

1

02

1

0

1

0

1)(

1)(

1)(

f

fj

AjfA

w

wj

AjwA

w

s

AsA d

dfwd

djwsd

d

+=⎯⎯⎯ →⎯

+=⎯⎯ →⎯

+= == π .

Supondremos que el amplificador operacional posee sólo polos, con lo que su

respuesta en frecuencia es del tipo paso-baja. El polo de menor frecuencia determinará el ancho de banda del amplificador. Cuando un amplificador operacional forma parte de un circuito realimentado, éste presenta una respuesta frecuencial distinta. Sin embargo, sus nuevas características (ganancia y ancho de banda) guardan relación con las del componente. 8.2.3 Ganancia y ancho de banda de un amplificador realimentado La función de transferencia de un circuito electrónico realimentado basado en AOs (en configuración no inversora) viene dada por:

A sA

A

A

Afd

d

( ) =+ ⋅

=+ ⋅1 1β β

Supongamos que el AO tiene un polo, e incluyamos su función de transferencia en la expresión anterior de la ganancia del sistema realimentado. Se obtiene:



A s

A

jf

fA

jf

f

A

A jf

f

A

A

jf

f A

f

do

H

do

H

do

doH

do

do

H do

( )

( )

=+

++

⋅=

+ ⋅ +=

+ ⋅

+⋅ + ⋅

1

11

1

1

11

β β

β

β

Es decir, compactando la expresión:

.1

0

Hf

ff

f

fj

AA

+=

Vemos que la amplificación con realimentación en frecuencias medias, Aof, es igual a la amplificación en frecuencias medias sin realimentación Ad0 dividida por 1+ βAd0. También se modifica la frecuencia superior de corte del amplificador realimentado fHf; esta vez multiplicando fH por 1+ βAd0. Sin embargo, el producto frecuencia-ganancia (ganancia × ancho de banda) se mantiene constante al realimentar al amplificador:

( ) 00

000 1

1 dHd

ddHfdHf Af

A

AAfAf =

β+×β+=× .

Si trasladamos los anteriores razonamientos a un diagrama de Bode asintótico obtendremos la representación de la Fig. 2.

-20 dB/déc

20 log IAdoI

20 log IAdofI

log f

dB

20 log I(1+BAdo)I

fH fHf

20 log IAdo/(1+BAdo)I

Fig. 2. Representaciones asintóticas de magnitud de Bode.



La intersección de las curvas de ganancia del amplificador operacional y del circuito realimentado tiene lugar en la frecuencia fHf. Para realizar la comprobación analítica no hay más que imponer la igualdad de las dos funciones de transferencia:

( )

2

2

0

0

0

0

1

log201

log20

log20log20

H

d

d

d

fd

f

f

A

A

A

jfAimpuestoA

+

⋅=β+

⋅

⋅==⋅

( ) HfdH

H

d

d

d fAff

f

f

A

A

A =⋅β+⋅=→⋅≈β+

⋅ 00

0

0 1log201

log20

La Fig. 4 muestra un ejemplo en el que se emplea PSPICE para determinar el ancho de banda del circuito en configuración no inversora de la Fig. 3, con un amplificador operacional. En el siguiente apartado veremos que, al variar la resistencia de realimentación R2=RF, se obtienen distintos valores para la red β y, por tanto, obtendremos distintos valores para la amplificación en lazo cerrado. Como anticipo, basta observar que en la zona de frecuencias medias (banda de transmisión) se verifica:

A AA

A

A

Ado fdo

do

do

do

⋅ >> ⇒ =+ ⋅

≈⋅

=ββ β β

11

1

Fig. 3. Configuración no inversora basada en AO.

+

-

R2

R1

ViVo

=

+Vcc

-Vcc



Fig. 4. Diagrama de Bode de ganancias para distintos valores de la realimentación.

8.3 El Principio de Inversión

8.3.1 Notación de partida y enunciado del Principio de Inversión A partir de este punto utilizaremos la siguiente notación y consideraremos la estructura para el sistema realimentado con un lazo de la Fig. 5.

• Ad Ganancia diferencial del amplificador operacional. • G(s) Función de transferencia de la cadena directa. • W(s) Función de transferencia en lazo cerrado. • H(s) Función de transferencia de la realimentación. • K≡Z2/Z1 Relación de impedancias de realimentación.

Cuando el técnico diseña un sistema de este tipo, comienza por determinar la función

de transferencia del sistema en cadena abierta. Luego procede al diseño de una red de realimentación adecuada para cumplir los requisitos deseados en lazo cerrado.

La ganancia en cadena directa del sistema, G(s), es el resultado de añadir a la ganancia del amplificador diferencial, Ad(s), los efectos de carga de la red de realimentación β. H(s) resulta de haber añadido los efectos de carga y, según veremos, representa el inverso de la ganancia del circuito realimentado en la zona de frecuencias medias. Además, esta ganancia coincide con la del amplificador realimentado cuando su amplificador operacional es ideal (ganancia y ancho de banda infinitos). Por tanto, los sistemas que estudiaremos permiten apreciar con mayor claridad las diferencias con respecto al caso de incluir un amplificador operacional ideal.



Fig. 5. Diagrama de bloques genérico de un lazo con realimentación negativa.

Vamos ahora a enunciar el Principio de Inversión. Al abordar la tarea de análisis de un sistema realimentado, nos planteamos en primer lugar adaptar su estructura a la del diagrama de bloques anterior, es decir, identificar las funciones G(s) y H(s). El Principio de Inversión permite adaptar cualquier circuito realimentado a la estructura de la Fig. 5, ya que permite la aproximación de la función de transferencia en lazo cerrado a partir de las de cadena directa y de realimentación por separado.

Partimos de la función de transferencia en lazo cerrado:

W sG s

G s H s

W jwG jw

G jw H jwG jw

H jw

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

=+ ⋅

=+ ⋅

=+

1

1

11

Esta última expresión puede ser aproximada por tramos, según el intervalo de frecuencias de trabajo (condiciones situadas en la parte izquierda), de la forma siguiente:

).()(1)()()(

1)(

)(

1)(1)()(

)(

1)(

jwGjwWjwHjwGjwH

jwG

jwHjwWjwHjwG

jwHjwG

≅→<<⋅⇔<<

≅→>>⋅⇔>>

Estas simplificaciones son el fundamento del Principio de Inversión, cuyo nombre

proviene del hecho de que cuando se realimenta un sistema de ganancia G(s) muy elevada, la función de transferencia resultante equivale a la "inversa" de la función de transferencia de la realimentación H(s). Se consigue de esta forma una división del sistema realimentado, en el sentido de que se comporta bien como la cadena directa, G(s), o bien como el inverso de la realimentación, H(s), según la zona de frecuencias de trabajo. La frecuencia que limita los anteriores intervalos es la frecuencia superior de corte del circuito realimentado.

RL

+

vo

-

vi= vs- vf

vs G(s)

H(s)

+

-

vf



2.3.2 Ejemplo de aplicación El siguiente problema muestra la aplicación de este principio al análisis de un amplificador en configuración no inversora. Ejemplo 1. Un AO con Ado=105, fo=10 (Hz) forma parte de una configuración no inversora, como la mostrada en la Fig. 3. Hallar la función de transferencia del circuito y representar los diagramas de Bode de ganancias del amplificador y del sistema-circuito realimentado, si el módulo de la ganancia en lazo cerrado del circuito es: a) 10, b) 100. Si el AO se comportara como ideal, no habría limitación en frecuencia y el circuito presentaría una ganancia de valor 1+(R2/R1) = 1+K. Esta es la ganancia del sistema realimentado en la zona plana, que coincide con el inverso de H, donde:

( )K

jwH+

=1

1 .

Considerando el modelo de Thêvenin del AO, con resistencia de entrada infinita e incluyendo las dos limitaciones prácticas a las que se refiere el problema, se encuentra que G(s)=Ad(s). Por tanto, la función de transferencia del circuito queda como sigue:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅+

++

=

+++

=

+⋅

++

+=

++

=+

=

K

Aw

sK

A

A

K

A

w

s

A

w

s

A

K

w

s

A

K

sA

sA

sHsG

sGsW

d

d

d

d

d

d

d

d

d

11

1

11

11

11

11

1

1

)(1

)(

)()(1

)()(

00

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Se observa que la ganancia en la zona plana y la frecuencia superior de corte del sistema realimentado quedan multiplicada y dividida, respectivamente, por los decibelios de la realimentación. La frecuencia de corte representa la separación de los intervalos de validez para las funciones del Principio de Inversión. Considerando que Ado⋅ H>>1, se obtienen:



Caso a: foHf = 100 kHz

W ss

( )( . )

=⋅ ⋅ +−

10

15915 10 16

Caso b: foHf = 10 kHz

W ss

( )( . )

=⋅ ⋅ +−

100

15915 10 15

Los diagramas asintóticos de Bode de las ganancias se muestran en la Fig. 1 Ej1.

log f

dB

(1)

(1)

(2)

(3)

(1)(3)

(1)(2)(3)

100

40

20

fo foHfb foHfa

Fig. 1. Ej1. Diagramas asintóticos de magnitud: (1) Ad(s); (2) W(s)a; (3) W(s)b.

8.4 Concepto de estabilidad. Revisión de técnicas de estudio de la estabilidad 8.4.1 Definición de estabilidad y criterio de Bode En los problemas aplicaremos los criterios y técnicas para su estudio que siguen:

• Criterio de Bode • Criterio de Routh • El lugar de las raíces

Además, en los problemas volveremos a aplicar los conocimientos adquiridos con anterioridad acerca de la aplicación del Principio de Inversión.

Empezamos con el criterio de Bode. De forma simplista, un circuito es inestable si produce salida en ausencia de entrada. Normalmente un AO se emplea con realimentación negativa debido a las ventajas ya mencionadas. Para dar lugar a oscilaciones, la señal devuelta a la entrada del amplificador debe superarla y estar en fase con ella. Así, para vs=0, vi=-vf en el caso de una oscilación mantenida (oscilación sinusoidal) y cuando sucede que |vf|>|vi| se da el caso de una oscilación no controlada. En estas circunstancias se verifica:

1>β→>β=β= diidof AvvAvv .



De manera que el módulo de la ganancia del lazo debe ser mayor que la unidad para que se produzcan oscilaciones. Para que esto se dé, debe verificarse además que la señal realimentada y la de entrada al amplificador deben desfasar en 180º. Esta condición puede escribirse en términos de la ganancia en lazo cerrado, que es la inversa de la ganancia de la red de realimentación.

β>↔>β 1

1 dd AA .

La frecuencia de cruce (frecuencia de oscilación) de la ganancia del lazo es aquella a la que se igualan la ganancia en lazo cerrado con la ganancia en lazo abierto. La Fig. 6 muestra un caso práctico.

Fig. 6. Las dos ganancias y la frecuencia de cruce.

Veamos un ejemplo para establecer el criterio de estabilidad basado en diagramas de Bode. La Fig. 7 muestra la respuesta en frecuencia de un AO con tres etapas integradas. Se muestran también varias situaciones para la ganancia en lazo cerrado. Se trata de determinar si el amplificador es estable para las distintas situaciones de ganancias en lazo cerrado.

En el primer caso la ganancia en lazo cerrado es de 55 dB y la frecuencia de cruce vale 31 kHz (calcúlese mediante la intersección). La función de transferencia en lazo abierto tiene 3 polos y el ángulo de desfase en función de la frecuencia se evalúa según la expresión siguiente:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=θ

321

arctanarctanarctanf

f

f

f

f

ff .

En la frecuencia de cruce la fase (unidades en kHz) de la ganancia en lazo abierto vale:

( ) ( ) º1,135º06,135º97,1078,3731,86160

31arctan

40

31arctan

2

31arctan31 −≈−=++−≅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=θ .

Al no haberse alcanzado todavía los -180º en la frecuencia de cruce, el circuito es estable, siendo el margen de fase de 180º-135,1º=44,90º (unos 45º).

Ganancias(dB)

log f

90 dB

f1 f3f2

38 dB 1/β

-20 dB/dec

-40 dB/dec

-60 dB/dec

Lazo abierto: Ad

Lazo cerrado

Frecuencia de cruce



Fig. 7. Respuesta en frecuencia de un AO típico: notas originales de laboratorio.

Calculemos otra magnitud, en la frecuencia de cruce, llamada ganancia del lazo en la zona de frecuencias intermedias:

dBAAAA

A

dd

crucefrecuenciaA

dd

kHzd

d

255580log20log20/1log20log20log20log20

log20

0

)(/1

00

310

=−=−=β−=β+

=β

=β43421

De aquí se deduce el valor en la escala lineal de la ganancia del lazo e la zona de frecuencias intermedias:

11810 20

25

0 >≈=βdA

La cuestión es que para esa frecuencia de cruce de 31 kHz, correspondiente a un valor de 55 dB de ganancia en lazo cerrado en la zona plana, el margen de fase vale 45 º. Y podemos decir que la ganancia del lazo en frecuencia media para un margen de fase dado (correspondiente a una frecuencia de cruce) es la diferencia entre Ad0 (ganancia en lazo abierto a frecuencia cero) y la ganancia a aquella frecuencia de cruce correspondiente a ese margen de fase.

Una situación parecida se plantea de nuevo en la Fig. 8. Si el valor de β aumenta, la ganancia en lazo cerrado disminuye y también lo hacen los márgenes de ganancia y de fase.



Fig. 8. Evolución de las ganancias y de la fase. Se plantea una situación genérica de realimentación.

En esta situación, cuando la ganancia del lazo es mayor que la unidad la fase todavía no ha llegado a -180º. En general, podemos decir que si la ganancia en lazo cerrado corta a la asíntota de pendiente -20 dB/dec (o está próximo, como en la Fig. 8), entonces es estable para este valor de realimentación. Analice el resto de los casos de la Fig.7. Los casos correspondientes a las realimentaciones 2b y 3 conducen a un circuito inestable (márgenes de fase negativos).

Con todo, es claro que no son posibles las oscilaciones si el módulo de la ganancia del lazo es menor que la unidad cuando la fase de la ganancia del lazo vale -180º. Esta es la condición que permite asegurar la estabilidad de un amplificador. Los márgenes de ganancia y de fase se aprecian gráficamente en la Fig. 9 considerando la ganancia del lazo en este caso.

Ganancias(dB)

log f

Ad0 dB

f1 f3f2

1/β

-20 dB/dec

-40 dB/dec

-60 dB/dec

Lazo abierto: Ad

Lazo cerrado

Frecuencia de cruce

Fase(grados)

log f

-135

-90

-225

-270

Frecuencia de oscilación

1/βosc

-180 MF

MG



Fig. 9. Márgenes de ganancia y de fase: anotaciones originales de los autores.

Seguimos profundizando en el criterio de Bode sobre el ejemplo de un amplificador con tres polos. Vamos a considerar la ganancia de tensión en cadena abierta de un AO que se representa en la Fig. 10.

Fig. 10. Curvas de ganancia y de fase en un amplificador con tres polos.

Para este amplificador con tres polos, la ganancia viene dada por la expresión:

( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−=

501

101

11

1000

fj

fj

fj

jfAV .

Si desde el valor de -180º se traza una perpendicular hasta cortar a la curva de ganancia de tensión, se observa que el valor de corte es aproximadamente de unos 26 dB. Esta situación se da a la frecuencia de 22 MHz. Si tomamos estos 26 dB como valor de la realimentación dB26/1 =β , entonces en esta situación ( )0log201 =β=β AA . Por tanto, 22 MHz es la frecuencia de oscilación.



Si tomamos valores de β/1 superiores a 26 dB el circuito es estable, porque la fase de la ganancia no ha alcanzado -180º. Por ejemplo, para un valor de realimentación de

β/1 =42 dB el margen de fase es de 45º. 8.4.2 Criterio de estabilidad de Routh Hemos visto que, de una forma simplista, la estabilidad puede definirse como la característica de un sistema que impide que su salida aumente indefinidamente si no lo hace su entrada. También podemos decir que un circuito es estable si a toda entrada acotada corresponde una salida acotada.

Sea H(s) la transmitancia (función de transferencia) de un circuito, definida como el cociente de las transformadas de Laplace de la salida y de la entrada, que se puede expresar como el cociente entre dos polinomios según:

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )sE

ps

sNsE

sD

sNsEsHsR

sD

sN

sE

sRsH

N

ii

×

+

=×=×=→=≡

∏=1

.

Para calcular la transformada inversa se descompone en fracciones simples y se obtiene la respuesta en el dominio del tiempo:

( ) ( )tcekekektr etp

Ntptp N ++++= ...21

21 , donde ce(t) corresponde a una entrada acotada, luego su contribución no aumenta con el tiempo. Así, para que las exponenciales no diverjan (discontinuidades asintóticas de la función), las partes reales de los polos deben ser negativas. Si la parte real de los polos fuese positiva, la salida crecería indefinidamente; si es nula, el circuito oscilaría; y si es negativa, las exponenciales se “extinguirían” y se obtendría un circuito estable. El segundo caso corresponde a un oscilador lineal o sistema marginalmente estable, y el primero a un sistema inestable. Basta pues que un polo presente parte real positiva para que el sistema sea inestable.

Por ejemplo, si la salida de un circuito ante una entrada acotada viene dada por:

( ) ( )

)(

65 2

1

tc

tj

e

p

etr += +−48476

.

Entonces el circuito es estable puesto que a sinusoide está modulada por una exponencial de amplitud decreciente con el tiempo.

Este criterio de estabilidad nos permite por primera vez relacionar la estabilidad con las raíces de la ecuación característica del circuito; es decir, con el movimiento de sus polos.

El criterio establece que un circuito es estable si en la primera columna de la matriz de Routh no existe cambio de signo. Todo se muestra en el ejemplo 2.



Ejemplo 2. Se considera el siguiente denominador de a función de transferencia de un circuito. Estudiar su estabilidad aplicando el criterio de Routh.

82)( 23 +++= ssssD Tabla de Routh:

s3 1 2 0 s2 1 8 0 s1 -6 0 0 s0 8 0

Como hay en la primera columna un elemento con cambio de signo, existe un polo con parte real positiva y el circuito es inestable.

8.5 Lugar de las raíces de un circuito electrónico

8.5.1 Circuito con dos polos En este apartado se estudia a través de un ejemplo la estabilidad de un amplificador inversor basado en un AO con dos polos. Consideramos el AO en configuración inversora de la Fig. 11.

Fig. 11. AO en configuración inversora.

Las especificaciones del AO son:

• Dos polos en –10 y –20 Megrad/seg, • Ad0=5000, • Impedancia de entrada infinita, e • Impedancia de salida nula.

Primero se demuestra que la función de transferencia en lazo cerrado resulta:

( ) ( )( )sAk

sAk

V

VsW

d

d

i

o

++⋅−

=≡1

,

+

-R1 +Vcc

-Vcc

Vo

R2

Vi

k ≡≡≡≡ R2/R1



donde Ad(s) es la ganancia diferencial en lazo abierto del amplificador operacional y viene representada en la Fig. 12. La función de transferencia en lazo cerrado se representa en la Fig. 13 para un valor de ganancia en lazo cerrado correspondiente a k=-2.

Sustituyendo la expresión de la ganancia diferencial en lazo abierto para dos polos se tiene:

( ) ( )

( ) ( )21

210

21

210

1)(

psps

ppAk

psps

ppAk

V

VsW

d

d

i

o

++++

++⋅−

=≡ .

La ecuación característica (denominador igualado a cero) del circuito resulta:

( )k

Akkss d

+≡=+⋅++

1'0'120030 02 .

Fig. 12. Función de transferencia del AO; simulación con MATLAB.



Fig. 13. Función de transferencia en lazo cerrado del circuito.

El lugar de las raíces del circuito se muestra en la Fig. 14.

Fig. 14. Lugar de las raíces del amplificador con dos polos.



Se observa que los polos nunca tendrán parte real positiva. Por tanto, el circuito realimentado con dos polos siempre es estable (inherentemente estable). Sin embargo, desde la perspectiva de su respuesta en frecuencia, puede presentar pico de resonancia. Se demuestra que la realimentación máxima aplicable sin pico de resonancia es:

3999/1=máxH .

Para trazarlo según las reglas tradicionales se ha de considerar:

( ) ( ) ( ) ( )44 344 2132143421

''

21

21

'

0

21

210

11

1

1

1

1HGk

ddd

HG

d

psps

pp

k

A

psps

ppA

kk

A

kk

AkHG

+⋅+⋅

+=

+⋅+⋅

+=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−

=⋅ .

Este planteamiento es necesario en el circuito con tres polos. 8.5.2 Circuito con tres polos En este apartado se estudia un ejemplo que incluye un AO con tres polos. Su lugar de las raíces veremos que adopta también una forma típica. Sin embargo, esta vez el circuito puede ser inestable, ya que la parte real de los polos complejos conjugados puede llegar a ser positiva a partir de cierto valor de la realimentación.

Se considera una topología inversora con el AO MC1530, que posee tres polos en: 2, 4 y 22 MHz; y una ganancia en lazo abierto para el AO de Ad0=5000. Trabajando con los polos en Megrad/seg, la función de transferencia el AO en lazo abierto, o ganancia diferencial resulta:

( ) ( )( )( )12,57s25,13s138,2s

8293218284187,

+++=sAd .

Para trazar el lugar de las raíces del circuito realimentado consideramos la función de transferencia de cadena directa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4444 34444 21

''

321

321

'

0

321

3210

11

1

1

1

1HGk

dddd

pspsps

ppp

k

A

pspsps

pppA

kk

A

kk

AkHG

+⋅+⋅+⋅

+=

+⋅+⋅+⋅

+=

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−

=⋅

Se obtiene el lugar de las raíces de la Fig. 15.



Fig. 15. Lugar de las raíces del amplificador con tres polos.

Demuéstrese (a partir de la gráfica de la Fig. 15) que la frecuencia de oscilación del circuito vale 74,3 Megrad/seg aproximadamente. 8.6 Compensación electrónica. Técnicas

La compensación tiene por fin aumentar los márgenes de ganancia y de fase. Se plantea estudiar el circuito de la Fig. 16.

Fig. 16. Circuito compensado.

Utilizando un modelo de AO con resistencia de entrada infinita y resistencia de salida nula, se obtiene la función de transferencia del circuito:

+

-R1 +Vcc

-Vcc

Vo

R2

Vi

k ≡≡≡≡ R2/R1

ττττ≡≡≡≡RC

R<<R1+R2

R

C



( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )1

1

11R

RsAsk

R

RskA

sV

sVsW

d

d

i

o

++τ++

−=≡ .

Se suele considerar R<<R1, y así obtener:

( ) ( )( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )sAk

skA

sAk

sAk

sAsk

skAsW

deq

deq

sA

d

sA

d

d

d

deq

deq

++=

τ+++

τ+=+τ++

≅1

11

111

321

876

Es decir, es como si el AO incorporara un polo, añadido a través de la constante de tiempo anterior. Se ha introducido un polo o retraso de fase. Se retrasa la situación correspondiente a que la fase alcance el valor crítico de -180º.

Su pongamos el AO MC1530 y k=20, sin la red RC, demuestre que el circuito es inestable usando el criterio de Bode. Según este criterio gráfico, trace la función Ad(s) (diagramas de Bode de amplitud y de fase) y calcule su intersección con la recta 1+k (todo en decibelios). Para k=20 sale inestable debido a que la fase es más negativa que -180º. Entonces hay que plantearse la compensación para este valor de k. Hágase un diseño (obtener una pareja de valores de R y C) para conseguir un margen de fase de 45º. La Fig. 17 ilustra el procedimiento gráfico.

Fig. 17. Compensación por retraso de fase. Se introduce el polo pp de forma que en p1 el margen de ganancia sea de 45º.

Ganancias(dB)

log f

Ad0 dB P1

Lazo abierto: Ad

P2

P3

Fase(grados)

log f-45

-180-135

47 dB; sin compensar

-225

Pp

-90

MF

fosc

compensado



Una posible solución es R=10 Ω y C=1,5 μF. Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F. F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall Hispanoamericana. México, 1993. González de la Rosa, J. J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis, Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Malik, N. R. Electronic circuit: analysis, simulation and design, Prentice Hall International Editions, 1995.


9 Osciladores Sinusoidales con Transistores y Amplificadores

Operacionales

9.1 Introducción y objetivos

Los osciladores (lineales) sinusoidales juegan un papel clave en los equipos electrónicos; en especial en aquellos que involucran señales armónicas. La generación de la onda sinusoidal es un proceso lineal en el que a menudo intervienen procesos o características no lineales, aunque sólo en los mecanismos de control de amplitud.

Al igual que los osciladores de relajación, un oscilador sinusoidal es un circuito autónomo, es decir, que es capaz de generar una señal periódica en ausencia de entrada. A diferencia de los multivibradores, los osciladores sinusoidales son lineales.

La calidad de una onda sinusoidal se expresa mediante el coeficiente de distorsión armónica total (THD; Total Harmonic Distortion), que ya ha sido estudiado en el capítulo 1.

En este capítulo se estudian los principios operativos y los circuitos que realizan los osciladores RC, LC y basados en cristales de cuarzo. 9.2 Principios. Criterio de Barkhausen 9.2.1 Definiciones y principios Un oscilador lineal es un circuito electrónico que opera en la frontera existente entre la estabilidad y la inestabilidad. Se dice pues que es un circuito marginalmente estable. Los polos del circuito sólo poseen parte imaginaria y existen polos complejos conjugados.

Para comenzar el análisis, a partir de la estructura general de bloques de un circuito realimentado de la Fig. 1, vamos a suponer nula la entrada y abierto el bloque mezclador. Esto, origina la configuración de la Fig. 2. En ella se considera una entrada exterior (o como si fuera exterior, ya que la exterior vs no se considera) vi, y la señal de retorno -vf.



Fig. 1. Diagrama de bloques de un lazo de realimentación negativa.

Si los elementos de la Fig. 2 se ajustan de forma que las tensiones instantáneas en los puntos a y b coincidan, entonces si se elimina la fuente exterior (vs) y se unen los puntos a y b, el amplificador continuará dando la misma salida que antes. Se dice que la salida “se regenera”; existe salida en ausencia de entrada. La igualdad de tensiones en los puntos a y b nos lleva a plantear por primera vez la condición de mantenimiento de la oscilación:

β−=⇔β−=⇔−= AvAvvv iifi 1 . (1) Esta condición se dará (cumplirá, se verifica) sólo a una frecuencia o pulsación, que se denomina frecuencia de oscilación. Esto es lo importante de un oscilador con vistas a considerar la selectividad en frecuencia. En efecto, un oscilador sinusoidal puede considerarse como un circuito selectivo de la frecuencia de oscilación. Los procesos de ruido que se acoplan en el lazo poseen ancho de banda infinito, pero de todas las componentes en frecuencia se selecciona la frecuencia de oscilación.

Fig. 2. Lazo de realimentación abierto y sin entrada. La tensión en V’ se regenera cuando la señal se ha propagado a lo largo de del lazo.

RL

+

vo

-

vivs A

ββββ

+

-

vf

RL

+

vo

-

vi A

ββββ-1

a

b-vf

A⋅⋅⋅⋅vi

vf=ββββ⋅⋅⋅⋅A⋅⋅⋅⋅vi

RL

+

vo

-

A

-ββββ

V’=-β⋅A⋅ V’

9 Osciladores Sinusoidales con Transistores y AOs


La condición expresada en la Ec. (1) es coherente con la forma general, o diagrama de bloques, de un sistema realimentado, que se muestra en la Fig. 1, y cuya función de transferencia1 es Af:

β+=≡

A

A

v

vA

s

of 1

. (2)

En efecto, si se da la condición de oscilación (1), entonces resulta la divergencia de la función de transferencia (1=-Aβ) y la generación de salida en ausencia de entrada:

.det00

invA

v

vo

s

o =⋅∞=⇔∞→=

Esta indeterminación siempre se resolverá en un valor finito o acotado. Por tanto es coherente la condición de oscilación con la generación de salida en ausencia de entrada.

La condición de oscilación (1) o criterio de Barkhausen establece el punto de partida para plantear las condiciones de amplitud y de fase a la frecuencia de oscilación:

( )( )[ ]

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

→=β−

→=β−ϕ⇔β−=

arranquejwA

wjwA

jwA

osc

oscosc

osc

1

0

1

En general, la ganancia del lazo es una función de la frecuencia, es por lo tanto una ganancia compleja, y de ella se obtienen las condiciones de oscilación y mantenimiento de la oscilación. 9.2.2 Condición de desfase. Frecuencia natural de oscilación La primera de ellas es la condición de fase y establece: La frecuencia a la cual oscila un oscilador sinusoidal es aquella que verifica que el desfase total introducido durante el trayecto entrada-amplificador-red de realimentación-entrada es cero o múltiplo entero de 2⋅π.

Dicho de una forma simple, la frecuencia de un oscilador sinusoidal viene determinada por la condición de que el cambio de fase del lazo sea cero. De esta condición se obtiene la frecuencia natural de oscilación.

( )[ ] 0=β−ϕ oscjwA . También se demuestra con ella que en esencia, un oscilador sinusoidal es un circuito electrónico selectivo en frecuencia. De las componentes en frecuencia del ruido que lo arranca, él toma la frecuencia natural, la amplifica y la mantiene. 1 A menudo, a esta función de transferencia en lazo cerrado se la suele denominar como “T(s)”, en el argot de la Regulación Automática y de la Ingeniería y la Física.



9.2.3 Condición de amplitud: Arranque y mantenimiento de la amplitud Otra condición que debe cumplirse es que la magnitud de vf’ sea idéntica a la de vi. Esta condición se incluye en el siguiente enunciado: Las oscilaciones no se mantienen si a la frecuencia de oscilación el módulo de la ganancia del lazo es inferior a la unidad.

( ) 1=β− oscjwA .

En efecto si ( ) 1jwA osc <β− , entonces la señal terminaría extinguiéndose. La amplificación no recuperaría la energía disipada por la red β.

En la práctica, para asegurar el mantenimiento de las oscilaciones se debe superar un poco la unidad. Un criterio es el del 5 % (cantidad a superar = 1,05). Si no se asegura esto, por envejecimiento o tolerancias de los componentes, la oscilación se extingue.

Esto puede hacernos pensar que la amplitud de los osciladores crecería sin límite; pero en la práctica, existe un mecanismo de control de la oscilación. El control de la oscilación viene dado por defecto por la saturación del elemento activo (transistor o amplificador operacional). En la práctica se suelen disponer elementos no lineales, como redes limitadoras para controlar la oscilación. Esto se refleja en la Fig. 3.

Fig. 3. Característica estática del elemento amplificador del oscilador sinusoidal. Se aprecian las curvaturas reales de la curva de transferencia, que indican la pérdida de linealidad.

En la Fig. 3 se aprecia que el mecanismo por defecto de control de la amplitud son

las tensiones de alimentación del amplificador (“los raíles”). En la práctica se dispone de circuitos re-cortadores de tensión (basados en amplificadores operacionales con diodos) que limitan la tensión de salida a los valores deseados.

En los apartados que siguen se estudian los circuitos electrónicos osciladores.

Vo

+Vsat

-Vsat

0 Vi

Vo = A×Vi



9.3 Osciladores RC o basados en redes desplazadoras de fase2 Dos importantes osciladores incorporan circuitos desplazadores de fase RC en su red de realimentación. Ambos circuitos son adecuados para generar frecuencias que van desde los pocos hercios hasta cientos de kilohercios. 9.3.1 Oscilador en puente de Wien

Su circuito de muestra en la Fig. 4. También se llama circuito puente, porque el elemento activo está rodeado por un puente RC, como muestra la Fig. 5. Consta de un amplificador no inversor basado en AO. El análisis empieza por el examen de la topología. La ganancia del amplificador en configuración no inversora es:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

1

2

R

R1jwA .

La red de realimentación siempre está compuesta por elementos pasivos, en los que se disipa energía. Su misión es propagar sólo la frecuencia de oscilación, atenuando el resto de las frecuencias que pudieran existir en el lazo de realimentación, durante un tiempo determinado.

Fig. 4. Oscilador sinusoidal en puente de Wien basado en AO en configuración no inversora.

2 Phase-shift oscillator.

+

-

R2

R1

vo

R

R

C

C

-ββββ(jw)

-vf

A(jw)

Z1(jw)

Z2(jw)

vi



Fig. 5. Oscilador sinusoidal en puente de Wien basado en AO en configuración no inversora. Disposición de los componentes de la Fig. 4 en forma de puente.

Atendiendo por ejemplo a la Fig. 4, se plantean a continuación las magnitudes

características del circuito, que se usan en la obtención de las funciones de transferencia de cada bloque.

Impedancias del circuito:

( ) ( )

( ) ( )Cs

RCs1sZ;

RCs1

RsZ

jwC

jwRC1jwZ;

jwRC1

RjwZ

21

21

+=+

=

+=+

=

La red de realimentación en régimen sinusoidal permanente es:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

jwRC3wRC1

RCjw

jwRC2jwRC1RCjw

RCjw

jwRC1RCjw

RCjw

jwC

jwRC1R

R

jwC

jwRC1

jwRC1

R

jwRC1

R

jwZjwZ

jwZ

v

vjwβ

222

221

1

o

f

+−=

+++=

++=

=+

+=

+++

+=

+=

−≡−

De donde, finalmente resulta una forma compacta:

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

o2o

2

o

w

w3j

w

w1

w

wj

jwβ ,

siendo τ= 1ow , con RC≡τ , la pulsación característica; que luego se comprueba que

coincide con la pulsación de oscilación, en este caso. Para obtener la frecuencia de oscilación, se plantea la ganancia del lazo y se aplican

los criterios de oscilación ya comentados, y asociados a las condiciones de módulo y de fase:

R2R1

-R +

C C

R

Vi

Vo



( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−↔=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=−

−

1jwβjwA

jwβjwA

w

w3j

w

w1

w

wj

R

R1jwβjwA

oscosc

oscosc

osc2osc

2

o

A

1

2oscosc

01

β4444 34444 21

43421

De la primera condición se obtiene la pulsación de oscilación del circuito, anulando

la parte real del denominador:

RC2

1

2

wf;

RC

1w osc

oscosc π=

π== .

De la segunda se obtiene la condición que han de verificar las resistencias del amplificador para que las oscilaciones se mantengan. Esta se obtiene siempre a partir de la pulsación de oscilación y resulta:

( ) ( )

11

1

0β

>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+↔>

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=>−

=−

o2o

2

o

1

2

o2o

2

o

A

1

2

oscosc

w

w3j

w

w1

w

wj

R

R1

w

w3j

w

w1

w

wj

R

R1

jwβjwA

43421444 3444 21

43421

De lo que sigue finalmente:

↔>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 1

3

1

1

2

R

R1 12 2RR > .

Por último, destacar que el único mecanismo de control, de la amplitud de las oscilaciones reside en las tensiones de alimentación del circuito.

La Fig. 6 muestra la salida, resultado de realizar la simulación con PSPICE, considerando su modelo del AO741, y para los siguientes valores resistivos: R = 3300 Ω, C = 10 nF, R2 = 2 kΩ, R1=1 kΩ. En este caso la oscilación sale perfecta, sin saturaciones. Al realizarla en otro ordenador o en otra ocasión, pudiera ser necesario aumentar R2, ya que estamos en el límite de la condición de arranque.



Fig. 6. Salida que ofrece la simulación de un oscilador en puente de Wien.

9.3.2 Oscilador de desplazamiento de fase La Fig. 7 muestra el circuito inicial para el análisis teórico de la red de realimentación. En ella se aprecia la primera diferencia respecto del anterior, que reside en que ahora el amplificador es inversor. El desplazador de fase consta de 3 grupos o secciones RC; cada una introduce 60º de desfase. Como consecuencia, el desfase total que introduce vale 180º (ó -180º), y el amplificador debe aportar otros 180º de desfase para completar los 360º y cumplir la condición de regeneración de la señal.

Fig. 7. Oscilador sinusoidal genérico de desplazamiento de fase. El bloque de ganancia es un amplificador inversor de ganancia K<0 (-K).

La Fig. 8 muestra una versión simplificada del oscilador de desplazamiento de fase,

en la que se ha sustituido el amplificador por circuitos equivalentes en la entrada y la salida. En principio se supone infinita la resistencia de entrada, y nula la resistencia de salida.

vi

vo

R

C

-ββββ(jw)

-vf

A(jw)=-K

R R

C C

Red de desplazamiento de fase

180º

180º



Fig. 8. Oscilador sinusoidal genérico de desplazamiento de fase. El amplificador se ha representado por circuitos elementales. El bloque de ganancia es un amplificador inversor de ganancia K<0 (-K>0).

La red de desplazamiento de fase se vuelve a representar en la Fig. 9 para realizar su

análisis, y calcular la red de realimentación.

Fig. 9. Red de desplazamiento de fase preparada para su análisis.

El objetivo es calcular la red de realimentación, como siempre, en régimen sinusoidal

permanente. Recordemos su expresión:

( )o

fi

V

-VV

entrada

salidajwβ

===− .

vi

vo

R

C

-ββββ(jw)

-vf

R R

C C

Red desplazadora

-

+Kvi

+

-

A(jw)=-K

Vo

R

C

Vi=-Vf

R R

C C

I3 I2 I1

V1

V2



Por ello se empiezan a calcular corrientes desde el nudo de tensión Vi hacia detrás, empezando por el nudo V1. Primero se calcula la corriente y después la tensión:

ii

I

ii

i

VjwRC

VjwCR

VV

jwCIV

;R

VI

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=+=

=

11

11

1

11

1

.

Ahora pasamos al nudo de la izquierda; se replantea primero la corriente:

,

R

V

jwRCR

V

R

V

jwRCI

R

VI i

I

i

RV

i⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+= 1

21

1

11

11

2

44 344 21

y luego la tensión:

.VjwRCjwRC

VjwRC

V

jwRC

VjwRCjwCR

V

jwRCV

jwCIV

iii

V

i

I

i

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

111

31

3

11

112

1

12

122

44 344 2144 344 21

Ya por último, pasamos a calcular el fasor de la tensión de salida. Primero se plantea

la corriente en el nudo de V2:

.R

V

jwRCjwRC

R

V

jwRCjwRCjwRCjwRC

R

V

jwRCjwRCjwRC

R

V

jwRCR

V

jwRCjwRCI

R

VI

i

i

i

I

i

RV

i

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

1143

121

113

121

113

121

113

22

22

3

44 344 2144444 344444 21

La tensión de salida resulta finalmente:

44444 344444 2144444 344444 2121

23

23

111

3111

431

omintér,V

i

omintér,I

io V

jwRCjwRCjwCR

V

jwRCjwRCV

jwCIV

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+= .

En esta expresión anterior he nombrado dos términos que expando ahora con

detalle. Desarrollando pues, resulta:



21

3

1111

43

omintérdelVjwRC

V

jwRCjwRC

V

omintérdeljwRC

V

jwRCjwRCjwRC

V

jwRCjwRC

VV

iii

iiio

←+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

←++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ahora se suman los términos semejantes, los agrupados entre paréntesis y los

agrupados entre corchetes:

( ) iiii

o VjwRC

V

jwRC

V

jwRCjwRC

VV ++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

3

156 .

Se sigue operando con los complejos:

( ) ( ) ( ) ( ) iiii

iiii

o VwRC

Vj

wRC

V

wRC

VjV

wRCj

V

wRC

V

jwRC

VV ++−−=+−−=

32325656 .

Se suele ahora definir la constante α, y ponerlo todo en función de ella:

wRC

1α ≡ ;

con todo, resulta la siguiente expresión para la tensión de salida:

iiiio VVjVVjV ++−−= 32 αα5α6 .

Sacando factor común a la tensión de entrada, tenemos:

( ) io VjjV 1αα5α6 32 ++−−= . Con lo que finalmente, la red de realimentación (o de desplazamiento de fase) en régimen sinusoidal permanente resulta:

( ) ( )3αα6α −−=

−=≡−

j5-1

1

v

vvjwβ

2o

fi ,

siendo la constante α≡(RCw)-1.

La ganancia del lazo del oscilador es:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )444 3444 21

β

3αα6α−

−−×−=×=−

j5-1

1Kjwβ-jwAjwβjwA

2A

.

Imponiendo la condición de fase, se ve que la red “-β” debe introducir 180º. En efecto:

( ) ( )[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 0º180º180

=−+−=−+=− 321321 βφφβφφφ KAjwβjwA oscosc ;



por lo que la parte imaginaria del denominador debe anularse y la red “-β” debe ser negativa. Anulando la parte imaginaria del denominador de –β(jwosc), a la frecuencia de oscilación, la frecuencia de oscilación resulta de resolver la siguiente ecuación:

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

→+→±=

→=↔=−=−

,sin66

sin0066 23

sentidonegativasolución

físicosentido

osc

osc

α

ααααα

donde αosc≡(RCwosc)-1.

Finalmente se tiene:

→==→=RC6

1

RCw

RCw

osc

oscosc

oscosc

α

α11α

RC62π1w

f oscosc ==

π2.

El valor de la red de realimentación en condiciones de oscilación, –β(jwosc), resulta ser

(ya con la parte imaginaria del denominador anulada y sustituyendo el valor de αosc):

( ) ( )

( ) 29

1

αα6αα

32−=

−−=−=−

44344210

oscosc

6

oscoscosc

j5-1

1jβjwβ .

Se confirma pues que la red “–β” introduce un desfase de -180º (ó de 180º, da igual el sentido de giro en la circunferencia polar).

Para obtener la condición de arranque basta con aplicar, a la frecuencia de oscilación:

( ) ( ) 129

βββ1β >=−−=−=−↔>− KKAwAwA oscosc .

Y la condición de mantenimiento de amplitudes es: |K|>29. Este es el valor que debe superar K para que la oscilación empiece (arranque) y se mantenga. En el caso de ser un amplificador basado en AOs en configuración inversora, con R2 como resistencia de realimentación y R1, como resistencia de entrada, la condición anterior se particulariza en la siguiente condición que han de verificar las resistencias:

121

2 2929;29129

RRR

RK

K >↔>>↔> .

La Fig. 10 muestra un circuito práctico cuyo bloque amplificador se basa en una

configuración inversora con AO de propósito general, nombrada antes. La ganancia del amplificador es K=-R2/R1. Posee la frecuencia de oscilación anterior y la condición que han de verificar sus resistencias es, como hemos dicho, en este caso R2>29R1.



Fig. 10. Oscilador sinusoidal de desplazamiento de fase basado en un AO en configuración inversora.

Con el fin de obtener un circuito que incorpore limitación de la tensión de salida, es

decir, que tenga un mecanismo de control de la amplitud de la tensión de salida, que sea distinto al fundamentado en la saturación de los amplificadores operacionales, se modifica el circuito estudiado para dar lugar al de la Fig. 11. Este circuito incorpora dos diodos que impiden que la salida supere las tensiones de conducción.

vo

Rvar

C

R R

C C

+

-12 V

-12 V

741CR

vi



Fig. 11. Oscilador sinusoidal de desplazamiento de fase basado en AO en configuración inversora. Incluye mecanismo de control de la amplitud de la salida. Un caso práctico corresponde a C=3 nF, R=10 kΩ, RF=500 kΩ, R1=100 kΩ; VD1=VD2=0,6 V.

9.4 Osciladores LC

A partir de determinada frecuencia (típicamente los 50 kHz), es más práctico emplear circuitos sintonizados RLC, de alta selectividad para fijar la frecuencia de oscilación. Estos circuitos se comportan como resistencias sólo a la frecuencia de resonancia, dominando la componente reactiva a cualquier otra frecuencia.

Para analizar los osciladores LC vamos a partir de la forma general de un circuito oscilador, que podía haber sido adoptada para analizar cualquier oscilador RC ó LC. Para ello, se plantea el circuito genérico de la Fig. 12. En ella, al elemento activo (“triángulo”), se le supone con una impedancia de entrada elevada (infinita), como por ejemplo un JFET o un AO. También se han planteado los puntos “1”, “2” y “3” característicos, con el fin de orientarse adecuadamente, para mayor claridad.

El amplificador (“triángulo”) se sustituye (en este análisis genérico que estamos realizando) por un modelo lineal de amplificador de tensión, con impedancia de entrada infinita e impedancia de salida Ro; el resultado se muestra en la Fig. 13.

vo

R2

C

R R

C C

+

-12 V

-12 V

741CR1

D2

D1



Fig. 12. Estructura de bloques genérica de un circuito oscilador. El “triángulo” es un amplificador (no un amplificador operacional).

Fig. 13. Estructura de bloques genérica de un circuito oscilador, donde el “triángulo” amplificador se ha sustituido por su modelo lineal. La ganancia en circuito abierto es –Av.

La Fig. 13 presenta una topología genérica de realimentación de tensión en serie. Con

el fin de adaptar la Fig. 13 a esta topología se modifica, resultando la Fig. 14, donde se aprecian las variables involucradas en este tipo de realimentación. Se muestrea tensión en la salida y se compara tensión en la entrada (en la malla de entrada). Después de proceder como se ha descrito, se aplica todo lo concerniente a este tipo de realimentación.

Vo

+

-

Z1

Z3

Z2

3

3

1 2Ro

Avv13vs=vi

Vo

+

-

Z1

Z3

Z2

3

3

1

2

I=0

vs=vi



Fig. 14. Estructura de bloques genérica del circuito oscilador de la Fig. 13, donde se modifica levemente para mostrar la topología de realimentación de tensión en serie.

Se muestran a continuación los pasos del análisis, donde se ha subrayado cada

magnitud involucrada. La impedancia de carga del oscilador resulta:

( ) ( )321

312312 //

ZZZ

ZZZZZZZ L ++

+=+= .

Vamos a simplificar el circuito de la Fig. 14, evaluando los efectos de carga. Para ver

el efecto de carga en la salida, en una topología de comparación en serie, hay que anular la corriente de entrada, es decir, hay que hacer cero la corriente de entrada en la Fig. 14: ii=0. En realidad esto no es necesario hacerlo, porque la impedancia de entrada del elemento activo amplificador operacional es infinita. El efecto de carga en la salida se manifiesta entonces conectando ZL. De lo anterior se deduce que el efecto de carga en el circuito de entrada no existe, ya que la impedancia de entrada es infinita. Ambos efectos de carga aparecen reflejados en la Fig. 15, que muestra un circuito simplificado, a partir del de la Fig. 14.

Fig. 15. Simplificación de la Fig. 14, donde se incluye la resistencia-impedancia de carga.

vo

+

-ZL

3

1Ro

Avv13vs=-vf

vo

+

-

Z1

Z3

Z2

3

1Ro

Avv13

2

vs=vi

-βVo= Vf ‘=-Vf

-β

Ii



Ahora se calcula la ganancia con los efectos de carga, cuya definición recordamos:

s

oV v

vA ≡ .

Estudiando la malla de salida del circuito de la Fig. 15, se tiene:

LLo

svo Z

ZR

vAv ×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−= .

Resulta así la anunciada ganancia del amplificador con los efectos de carga:

Lo

Lv

s

oV ZR

ZA

v

vA

+−=≡ .

El factor de realimentación se obtiene mediante un simple divisor de tensión:

31

1βZZ

Z

+=− .

Finalmente, la ganancia el lazo del oscilador es:

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )312321

21

31321

312

1321

312

31

1

β

31

1β

ZZZZZZR

ZZA

ZZZZZ

ZZZR

ZZZZ

ZZZA

ZZZR

ZZA

ZZ

Z

ZR

ZAA

o

v

Z

o

Z

v

Lo

Lv

A

Lo

Lv

L

L

++++−

=

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

+

+++

−=

++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=−

4434421

4484476

443442144 344 21

Simplificando la anterior, se obtiene una expresión compacta y genérica para la ganancia del lazo “ βA− ”:

( ) ( )312321

21βZZZZZZR

ZZAA

o

v

++++−

=− .

El oscilador de Colpitts de la Fig. 16 se basa en un transistor bipolar polarizado a 0,5

mA, ganancia de continua β=120. Cc es un condensador de acoplo grande. El circuito oscila a 1 MHz. Se trata de obtener los valores de la red de realimentación para conseguir esa frecuencia de oscilación.



Fig. 16. Oscilador LC tipo Colpitts basado en transistor bipolar.

La pulsación de oscilación del circuito resulta ser:

21equequ3osc CCC

,CL

1w

111 +≡=

Si en el oscilador de Colpitts se sustituye la bobina por un cristal de cuarzo se obtiene el oscilador Pierce controlado por cristal. 9.5 Osciladores con cristal de cuarzo La estabilidad de la frecuencia es una consideración importante en un oscilador. Interesa que las desviaciones de la frecuencia en el tiempo se mantengan comprendidas en un margen de error. Las ecuaciones de diseño de los osciladores LC muestran que en estos circuitos, las condiciones de oscilación involucran a los componentes pasivos. Los parámetros de estos componentes se ven alterados por el envejecimiento, la temperatura y las tolerancias. En especial, las capacidades parásitas del transistor forman a veces parte del desplazador de fase.

Cuando se necesita mayor estabilidad que la que pueden proporcionar los condensadores y bobinas discretos, se utilizan cristales de cuarzo en la red de desplazamiento de fase.

Un cristal de cuarzo es un dispositivo electromecánico en el que las deformaciones físicas pequeñas y reversibles provocan tensiones eléctricas y éstas, a su vez, originan deformaciones que vuelven a provocar tensiones eléctricas. Esta conversión cíclica de energía entre los dominios eléctrico y mecánico, a la frecuencia natural del oscilador, convierten a la célula piezoeléctrica en y transductor.

vo

6 kΩΩΩΩ

Cc, ∞∞∞∞

C1

12 V

8 kΩΩΩΩ

159 kΩΩΩΩ

112 kΩΩΩΩ 1000 pF

C2

L3

vi



Además de la propiedad resonadora, el cristal se caracteriza por poseer pérdidas muy pequeñas. La Fig. 17 muestra el símbolo del circuito equivalente y la curva de la reactancia del cristal frente a la pulsación.

Fig. 17. Circuito equivalente de un cristal de cuarzo y curva de reactancia vs. pulsación. En realidad la impedancia es reactancia porque se consideran casi nulas las pérdidas resistivas del cristal a la frecuencia de oscilación.

Despreciando la resistencia óhmica de pérdidas (R=0) se obtiene la impedancia del cristal de cuarzo en función de las frecuencias de resonancia en serie y en paralelo:

( )2p

2

2s

2

ww

ww

wC'

jjwZ

−−

×−

= LC

1ws ≡

LC

1

L

1

CC'

C'Cw

equp =⋅+≡ .

La Fig. 18 muestra un oscilador basado en un cristal piezoeléctrico para la generación de una señal de referencia empleada en radiofrecuencia.

LRC

C’

Impedancia

wwp

ws0

C’.-contactos eléctricos con cuarzo.R.- pérdidas de energía del cristal. LC.- circuito puro.

Inductiva

Capacitiva

Z(jw)



Fig. 18. Oscilador electrónico sinusoidal con cristal de cuarzo y circuito equivalente de pequeña señal. Oscilador de Pierce. Se demuestra que la pulsación de oscilación es:

LC

1w

equosc = ;

C

1

C

1

C

1

C

1

21equ

++= .

Si se usa como amplificador una puerta lógica (como un inversor), con X1 y X2 condensadores, obtendríamos un circuito como el mostrado en la Fig. 19. El circuito oscilará cuando el cristal se comporte con una inductancia igual a la suma de las capacitancias de los condensadores.

Fig. 19. Oscilador-reloj con inversor. Los condensadores pueden tomarse de 220 pF ó 27 pF (son valores típicos). Los dos condensadores son de igual valor.

vo

Vcc

820 ΩΩΩΩ1 MΩΩΩΩ

∞∞∞∞∞∞∞∞

C2

RFC

C1

C

C1 C2

L3

C2XTAL

G

S gmvgs rgs

vgs

C1 C21 MHz

1 kΩ

1 MΩ

V0



Los circuitos con puertas lógicas son útiles en aplicaciones que no necesitan aportar potencia, como por ejemplo en circuitos de reloj. Referencias

Coughlin, R. F. y Driscoll, F. F., Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales, 4ª edición, Prentice-Hall Hispanoamericana. México, 1993. González de la Rosa, J. J., Circuitos Electrónicos con Amplificadores Operacionales. Problemas, fundamentos teóricos y técnicas de identificación y análisis, Marcombo, Boixareu Editores, Barcelona, 2001. Malik, N. R. Electronic circuit: analysis, simulation and design, Prentice Hall International Editions, 1995.


Anexo Transformada de Laplace y

respuesta en frecuencia

A.1 La transformada de Laplace En Ingeniería se utilizan técnicas para reemplazar las funciones de variable real por ciertas representaciones dependientes de la frecuencia o por funciones de una variable compleja que, a su vez, depende de la frecuencia. Un ejemplo típico es el uso de las series de Fourier para resolver ciertos problemas eléctricos. En esta sección se presenta la transformada de Laplace, cuya misión es relacionar funciones de tiempo con funciones dependientes de la frecuencia de una variable compleja. El empleo de la transformada de Laplace reduce considerablemente los cálculos en los sistemas de lineales, produciendo además diagramas de bloques sencillos que se aproximan en gran medida al modelo real del sistema A.1.1 Definición matemática Sea f(t) una función real de variable real t, definida para t > 0. Entonces la transformada de Laplace de f se define como:

,0

)()(lim

0

)( dtstetfdtT stetf

TsF −∫

∞

+=∫ −

∞→→

=ε

ε

(1)

donde “s” es una variable compleja definida como: s = σ + jw.

Existe la transformada de Laplace de f(t) siempre que se cumpla la condición de convergencia:

∞<∫∞

− dtetf rt

0

)( , (2)

El éxito de la transformada de Laplace en la resolución de problemas de sistemas

físicos radica tanto en la facilidad de resolver los problemas en la variable “s”, como en su posterior paso al dominio del tiempo. Al encontrar la solución de un problema, es



necesario encontrar la inversa de la transformada, es decir, pasar al dominio temporal. Matemáticamente la transformada inversa de Laplace se define como:

,)(2

1)( dsste

jc

jcsF

jtf ∫

∞+

∞−=

π (3)

donde j= 1− . Todos estos puntos justifican matemáticamente la transformada de Laplace, aunque en la práctica se harán uso de las propiedades y tablas que se detallan a continuación. A.1.2 Propiedades de la transformada de Laplace Linealidad: )()()]()([ sbYsaXtbytaxL +=+ .

Transformada de la derivada de una función:

)0()( xssXdt

dxL −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ,

)0()0()(22

2

dt

dxsxsXs

dt

xdL −−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡,

)0()0(...)0()0()0()()1(

)1(

)2(

)2(

2

2321

−

−

−

−−−− −−−−−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡n

n

n

nnnnn

n

n

dt

xd

dt

xds

dt

xds

dt

dxsxssXs

dt

xdL .

Teorema del valor inicial: )(lim)(lim)0(

0ssFtff

st →∞→

+ == .

Teorema del valor final: )(lim)(lim)0(

0ssFtff

st ∞→→

+ == .

Función retardo de tiempo: TtTtf >− ),( ; [ ] )(sFefL sT−= . Desplazamiento temporal: 0)()]()([ >=−− − asXeatxatUL as .

Desplazamiento en el dominio “s”: )()]([ asXtxeL at +=− , que se presenta también como:

)]([)]([ 11 sXLeasXL at −−− =+ . Derivada de la transformada de Laplace de una función:

ds

dXtxtL −=⋅ )]([ .

El teorema de convolución: ∫ ∫ =−=−t t

sYsXduutyuxduuyutx0 0

)()()()()()( .

Anexo: Transformada de Laplace y respuesta en frecuencia


La Tabla A.1 presenta los valores resumidos de la transformada de Laplace:

Tabla A.1. Valores resumidos de la Transformada de Laplace. x(t) X(s)

)(tδ 1

)(tU (p.e. 1, para t > 0) s

1

!n

t n

(n = 1, 2, 3…) 1

1+ns

ate− as +

1

!n

et atn − ( ) 1

1++ nas

)cos( tω 22 ω+s

s

)( tsen ω 22 ω

ω+s

)cosh( ta 22 as

s

−

)( tasenh 22 as

a

−

)(2

tsent ωω

222 )( as

s

+

[ ])cos()(2

1tttsen ωωω

ω−

222

2

)( ωω+s

( )wtsene at− 22a)+(s ωω

+

( )wte at cos− 22a)+(s ω++ as

A.2 Función de transferencia Un sistema lineal e invariante en el tiempo puede ser representado mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden, que puestas en forma matricial podrían expresarse como:

,DuCxy

BuAxx

+=+=&

(3)



donde u es el vector de señales de entrada, x es el vector de variables de estado, y es el vector de señales de salida.

Por otra parte, se define la función de transferencia, como la relación de la transformada de Laplace de la salida (función respuesta) con la transformada de Laplace de la entrada (función excitadora), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son nulas.

Si existe un sistema lineal invariable en el tiempo, del que sólo se conocen los valores de su salida para cada valor de la entrada, su respuesta se puede representar por una ecuación de términos derivativos (o integrales):

xmbxmbm

xbmxbyaya

nya

nya nn +

•−++

−+=+

•++

−+ − 1...

)1(

1

)(...

)1()(0110 ;

con n ≥ m, siendo”y” la salida del sistema, “x” la entrada y los coeficientes “ai” y “bi” constantes. Si se aplica transformada a ambos miembros, y suponiendo las condiciones iniciales nulas:

( ) ( ) ( ) ( )sXbsbsbsbsYasasasa mmmm

nnnn ++++=++++ −

−−

−1

1101

110 ...... .

La función de transferencia es por tanto:

( ) ( )( ) nn

nnmm

mm

asasasa

bsbsbsb

sX

sYsG

++++++++==

−−

−−

11

10

11

10

...

... . (4)

La expresión (4) constituye la relación entre la entrada y la salida de un sistema,

independientemente de su estructura física, que luego sirve para analizar un sistema distinto pero con igual relación entrada-salida y trabajando sólo con relaciones algebraicas en ”s”.

Si partimos de la representación interna se tendrá que:

DBAsICsG +−= − 1)()( .

En el caso más general, G(s) es una matriz tridimensional, y estaremos hablando de un sistema MIMO1. Ejemplo 1.

En las redes eléctricas se define la impedancia como la relación entre la tensión en extremos y la corriente que circula; en cambio, hablaremos de impedancia compleja cuando la relación antes mencionada se de mediante la transformada de Laplace. Como ejemplo las impedancias complejas de los elementos pasivos más usuales son (para condiciones iniciales nulas): Impedancia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) RsI

sEsZsRIsEtRite ==⇒=⇒= .

1 MIMO: Multiple-Input Multiple-Output



Capacidad: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) CssI

sEsZdtti

s

sI

CsEdtti

Cte

t

111

0==⇒⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+=⇒=

=∫∫ .

Inductancia: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) LssI

sEsZissILsE

dt

tdiLte ==⇒+=⇒= 0 .

Con esta nueva herramienta, el cálculo de la función de transferencia de un circuito podrá realizarse bien por el empleo de ecuaciones diferenciales, o de impedancias complejas. Ilustremos esto con un circuito de dos mallas, como el mostrado en la Fig. A.1. que consta de dos circuitos RC en cascada

Fig. A.1. Circuito en cascada y equivalente complejo.

Las ecuaciones diferenciales que caracterizan su dinámica son:

( )

( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

−=+−

=+−

∫

∫

∫

o

o

i

edtiC

eiRdtiiC

eiRdtiiC

22

22121

11211

1

1

1

(5)

Tomando transformadas de Laplace en ambos miembros de (5), y suponiendo nulas las condiciones iniciales, se obtienen las expresiones:

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

−=+−

=+−

sEsIC

sEsIRsIsIsC

sEsIRsIsIsC

o

o

i

22

22121

11211

1

1

1

(6)

Si de las tres igualdades de (6) despejamos en las dos primeras las corrientes y sustituimos en ellas la tercera, obtendremos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−=−⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=−⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

sEsIsC

sEsCRsC

sEsEC

CsIR

sC

oo

io

11

221

1

211

1

11

1

(7)

Si se desarrolla la segunda de (7) y se sustituye en la superior resulta:



( ) ( ) ( ) ( ) ;11

122

221221

11 sEsCsCsRCCsEsCRsC

sCsI oo ⋅++=⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= (8)

De donde, finalmente:

( ) ( ) ( ) ( ) ;1

1

212

22211

1

sEsEC

CsEsCsCsRCCR

sC ioo =−⋅++⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ (9)

Quedará finalmente:

( )( ) ( ) 1

1

2122112

2211 ++++=

sCRCRCRsCRCRsE

sE

i

o ; (10)

El mismo problema se podría resolver operando con impedancias complejas. El planteamiento que haremos será el siguiente:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )sZsZ

sZ

sZsZ

sZ

sE

sE

sE

sE

sE

sE o

ii

o

42

4

51

5

2

2

+⋅

+=⋅= , (11)

Siendo:

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) .11

11

11

212

212

22

12

2122

22

22

1

22

1

423

4233425

sCCsCCR

sCR

sCsCCRsC

sCR

sCR

sC

sCR

sC

ZZZ

ZZZsZsZsZZ

+++=

+++=

++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

=++

+=+=

( )( ) ( )

( )

( )( )

;1

11

1

2122112

2211

22

121

2212

22

212

212

22

15

5

+++++

=+

+++

+++

=+ sCRCRCRsCRCR

sCR

RsCCsCCR

sCR

sCCsCCR

sCR

sZsZ

sZ

Como: ( )( ) ( ) 1

1

2242

4

+=

+ sCRsZsZ

sZ.

El resultado final, evidentemente es el mismo que antes. Otra forma de interés para los sistemas SIMO y SISO es la factorizada, es decir, ganancia, polos y ceros:

))((...))2(())1((

))((....))2(())1(()(

npspsps

nzszszsKsH

++++++++++++= (12)

En general se pueden encontrar los siguientes casos:



1.cs

C

bs

B

as

A

csbsas

sf

++

++

+⇒

+++ ))()((

)( .

2.nn as

N

as

C

as

B

as

A

as

sf

)(...

)()()(

)(32 +

+++

++

++

⇒+

.

3.

cbsas

bAs

cbsas

sf

+++

⇒++ 22

)( .

4. Factores cuadráticos con raíces imaginarias en el denominador, Si hay además algún

factor lineal en el denominador:

ds

C

cbsas

BAs

dscbsas

sf

++

+++

⇒+++ 22 ))((

)( .

Ejemplo 2. Calcular la anti-transformada de Laplace de la función:

)1)(2(

)1()2(

21)1)(2(

5

1,223

52

+++++=

++

+=

+++

−=−=→++

+

ss

sBsA

s

B

s

A

ss

s

ssss

s

.34)2

3()

1

4(

2

3

1

43,4

52

1

52)(

5)1()2(

211 tt ees

Ls

L

ssBA

BA

BA

sBAsBA

ssBsA

−−−− −=+

−+

+−

+→−==→

=+=+

→+=++++=+++



Ejemplo 3. Calcular la transformada inversa de Laplace de la siguiente función:

).()1()()()(

1

1;

2

12

)1(

2

1

1

)1(

2)(

1,0,2

3

22

1

32)12()1()1()1(

1)1()1()(

)1(

32)(

22

1223

1

3

232

233

2

tuettueettf

es

Letets

L

sssF

CBA

CBA

CB

C

ssssCsBAsCsBA

s

C

s

B

s

AsF

s

sssF

ot

ott

ttt

−−−

−−−−−

+=+=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

++

+=

===→⎪⎭

⎪⎬

⎫

=++=+

=

++=+++++=++++

++

++

+=→

+++=



A.3 Conexión de sistemas Existe una serie de reglas que es necesario utilizar para simplificar los diagramas de bloques formados por las funciones de transferencia de los sistemas. Se resumen en la siguiente tabla. Tabla A.2. Transformación de diagramas de bloques.

Transformación Diagrama original Diagrama equivalente

1. Combinación de bloques en cascada

2. Movimiento de un punto de suma anterior a un bloque

3. Movimiento de un punto de separación posterior a un

bloque

4. Movimiento de un punto de separación anterior a un

bloque

5. Movimiento de un punto de suma posterior a un

bloque

6. Eliminación de un circuito de retroalimentación



A.4 Dominios del tiempo y de la frecuencia La descripción del comportamiento de un sistema en función del tiempo corresponde a la representación en el “dominio del tiempo”. Si dicho sistema se alimenta con una variable de entrada sinusoidal, la descripción de su comportamiento en función de la frecuencia corresponde a la representación en el “dominio de la frecuencia”. Así, la tensión que aparece en una inductancia L recorrida por una corriente, es:

.)(

)(dt

tdiLtu =

Si i(t) es la corriente alterna sinusoidal, la tensión será:

jwtjwt eIjwLtueIti))

== )(;)(

Si se expresa la corriente en su notación compleja, quedará:

IjwLUeII jwt == ;)

Igualmente, para el caso de un condensador:

ICj

UeICj

tudttitu tjt

ωωω 1

;1

)(;)()(0

=== ∫)

Con lo que se pueden establecer las siguientes equivalencias entre operadores para los dominios del tiempo y de la frecuencia:

jwdt

d ↔

jwdt

t1

0

↔∫ .

Para un elemento de retardo de primer orden, formado por un circuito RL:

TR

L

dt

tdiTti

R

tu

dt

tdi

R

Lti

R

tu

dt

tdiLtRitu

=⇐+=

+=+=

)()(

)(

;)(

)()(

;)(

)()(

Si se vuelve al plano fasorial:

).1(

);1()(

;)(

jwTRIU

jwTeIeIjwTeIR

tueIti jwtjwtjwtjwt

+=

+=+==))))



Se podrá obtener la función de transferencia de acuerdo con la Tabla A.3: Tabla A.3. Funciones de transferencia fasoriales.

Función de transferencia

Parte real, imaginaria Módulo Argumento

)1(

1

)(

jwTR

U

IjF

+=

==ω

[ ]

[ ])1(

1)(Im

)1()(Re

22

22

TRjF

TR

TjF

ωω

ωωω

+=

+=

)1(

122TR ω+

[ ][ ]

)()(

)(Re

)(Im)(

TarctgTarctg

jF

jFarctg

ωωωωωϕ

−=−=

==

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