OBGETIVO GENERAL :

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICOSANTIAGO MARIOEXTENSIN-MATURN

MANUAL TERICO-PRCTICO DE CENTROIDE, CENTRO DE MASA Y CENTRO DE GRAVEDAD

Trabajo de Nivelacin de ndice

Autor: Sara SanguinoTutor: Ing. Lorenzo Mantilla

Maturn, mayo de 2015

NDICE

Pp.

INTRODUCCIN .3

CAPTULO I .5

Planteamiento del Problema ......5

Objetivos de la Investigacin .................................................6

Objetivo General ..6

Objetivos Especficos ...6

CAPTULO II ..................................7

Desarrollo ...................................7

Centro de Masa 7

Centro de Gravedad ..11

Centroide ..14

Resultados .17

CONCLUSIN..40

RECOMENDACIONES ...41

REFERENCIAS............42

INTRODUCCIN

El primer paso de toda Ciencia consiste en la aplicacin de una minuciosa Observacin de un objeto de estudio determinado, teniendo para ello una gran variedad de campos donde llevar el planteo de una tcnica cientfica que posteriormente ser aplicada con un mtodo cientfico, que con la ayuda de respetar las condiciones de trabajo propuestas y garantizando la repeticin de los ensayos, nos dar lugar al arribo de una conclusin y la enunciacin de lo que ser una ley o principio que ser aplicable a un caso en particular o a un gran nmero de casos.En el caso de la Fsica, el objeto de estudio est justamente en la Materia, analizando sus distintas cualidades y propiedades como tambin a todos los factores que puedan generarle una modificacin sin que esta pierda su Esencia Material (es decir, que siga siendo el mismo objeto pero con otras condiciones)Adems de analizar estas propiedades, tambin tiene como objeto de estudio la Energa y todos los intercambios que las distintas materias realizan entre s o envan hacia el medio, como tambin el anlisis del tiempo en conjuncin del espacio, la trayectoria que describe un objeto determinado como tambin otras operaciones derivadas de la combinacin de distintos conceptos. La utilizacin de la fsica en la vida cotidiana quiz pasa desapercibida, pero lo cierto es que la utilizamos muy a menudo, contando por ejemplo con la medicin de una velocidad cuando utilizamos algn vehculo, cuando nos tomamos el peso corporal utilizando una balanza o bien todo lo relativo a la energa elctrica aplicado a los dispositivos electrnicos.Tambin es aplicada no solo en la industria sino tambin en la arquitectura e ingeniera, sin la cual no podramos tener hogares ni realizar emplazamientos de grandes estructuras sin el riesgo de que colapsen o existan fallas en su diseo y conformacin. Tomando en cuenta lo descrito, se lleva a cabo el presente trabajo de nivelacin de ndice, con el fin de elaborar un manual terico-prctico para el conocimiento del centroide, centro de masa y de gravedad. El mismo consta de dos (2) captulos, el Captulo I, donde se muestran el planteamiento del problema, objetivo general y especficos. Captulo II, conformado por el desarrollo y resultados de la investigacin. Seguidamente se muestran las conclusiones, recomendaciones y referencias.

CAPTULO I

Planteamiento del Problema

La fsica, la materia que estudia las caractersticas y comportamientos fsicos de un objeto, entre estos entran varios captulos pero en sntesis el presente trabajo se refiere a 3 de esas muchas caractersticas que tienen los cuerpos, estas son por consiguiente el centro de masa (CM), el centro de gravedad (CG), y el centroide. Estos 3 temas son estudiados para que el estudiante valindose de estos conocimientos pueda resolver ejercicios que tengan un grado de complicacin que sirva para demostrar que los conocimientos adquiridos de este trabajo son correctos.Elcentro de gravedades el punto de aplicacin de la resultante de todas las fuerzas de gravedad que actan sobre las distintas masas materiales de un cuerpo. Por otra parte, el centroide, el centro de gravedad y el centro de masas pueden, bajo ciertas circunstancias, coincidir entre s. En stos casos es vlido utilizar estos trminos de manera intercambiable. El centroide es un concepto puramente geomtrico, mientras que los otros dos trminos se relacionan con las propiedades fsicas de un cuerpo. Para que el centroide coincida con el centro de masas, el objeto tiene que tener densidad uniforme, o la distribucin de materia a travs del objeto debe tener ciertas propiedades, tales como simetra.As mismo, elcentro de masasde un sistema de partculas es un punto que, a muchos efectos, se mueve como si fuera una partcula de masa igual a la masa total del sistema sometida a la resultante de las fuerzas que actan sobre el mismo. Se utiliza para describir el movimiento de traslacin de un sistema de partculas.

Objetivos de la Investigacin

Objetivo General

Elaborar un manual terico-prctico de centroide, centro de masa y centro de gravedad, con la finalidad de ofrecer a los estudiantes una herramienta para el conocimiento del tema.

Objetivos Especficos

1. Describir los elementos que conforman el centriode, centro de masa y de gravedad.2. Analizar los usos y aplicaciones del centroide, centro de masa y de gravedad en la fsica.3. Desarrollar ejercicios basados en la aplicacin del centroide, centro de masa y de gravedad.

CAPTULO II

Desarrollo

Centro de Masa

La conservacin del momento total nos da un mtodo para analizar un sistema de partculas. Un sistema tal puede ser virtualmente cualquier cosa. Otro concepto importante nos permite el anlisis del movimiento general de un sistema de partculas. Comprende la representacin del sistema entero, como una partcula sencilla cuyo concepto se iniciar aqu.Si no hay alguna fuerza externa que acte sobre una partcula, su cantidad demovimiento lineales constante. En una forma similar, si no hay alguna fuerza que acte sobre un sistema de partculas, la cantidad de movimiento lineal del sistema tambin es constante. Esta similitud significa que un sistema de partculas se puede representar por una sola partculaequivalente.Objetos mviles taIes como pelotas, automviles y dems, se pueden considerar en la prctica como sistemas de partculas y se pueden representar efectivamente por partculas simples equivalentes cuando se analiza su movimiento. Tal representacin se hace por del concepto de centro de masa (CM).El Centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o de un sistema. Aun si el objeto esta en rotacin, el centro de masa se mueve como si fuera partcula. Algunas veces el centro de masa se describe como si estuviera en el punto de equilibrio de un objeto slido. Por ejemplo, si se equilibra un metro sobre su dedo, el centro de masa de la varilla de madera est localizada directamente sobre su dedo y toda la masa parece estar concentrada ahLa segunda ley de Newton se aplica a un sistema cuando se usa el centro de masa:

En donde F es la fuerza externa neta,Mes la masa total del sistema o la suma masas de las partculas del sistema(M = m1+m2+ m3 +...+ mn), donde el sistema tienenpartculas), y ACM es la aceleracin del centro de masa. La ecuacin dice que el centro de masa de un sistema de partculas se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada all, y recibiera la accin de la resultante de las fuerzas externas.As mismo, si la fuerza externa neta que acta sobre un sistema de partcula cero, la cantidad de movimiento lineal total del centro de masa se conserva dado que como para una partcula. Esto significa que el centro de masa se mueve con una velocidad constante o permanece en reposo. Aunque usted puede visualizar con ms facilidad el centro de masa de un objeto slido, el concepto del centro de masa se aplica a cualquier sistema de partculas u objetos, aunque est en estado gaseoso. Para un sistema denpartculas dispuestas en una dimensin, a lo largo del eje de las x, la posicin del centro de masa est dada porEsto es, Xcm eslacoordenada x del centro de masa de un sistema de partculas. En una notacin corta en donde la sumatoria, indica la suma de los productosm1x1.Para i partculas (i= 1, 2, 3,..., n). Si sumatoria x1m1= 0, entonces Xcm= O, y el centro de masa del sistema unidimensional est localizado en el origen. Otras coordenadas del centro de masa para sistemas de partculas se definen en forma similar. Para una distribucin bidimensional de masas, las coordenadas Iro de masa son (Xcm, ; Ycm)Un concepto especialmente til al analizar el movimiento de un sistema de muchas partculas, o un cuerpo finito, es el deCentro de masa,abreviado CM de aqu en adelante. Aunque el CM es muy til al tratar la rotacin, tambin simplifica considerablemente el anlisis de los choques, y por tanto introduciremos este concepto. La posicin del CM de un sistema de N partculas de masasm1,m2,... mnen lugaresdados por sus vectores R1, R2, ............Rnest dada por

MRcm= m1R1+m2R2+......................+mnRn

en donde M(=M1 + M2 + .........Mn) es la masa total del sistema.

Cuando esas partculas se mueven bajo la influencia de fuerzas externas e internas, su posicin cambia con el tiempo. Si en el breve intervalo delta t, la posicin de los vectores a delta R1, delta R2.............delta Rn,la localizacin del CM estar dada por

M(Rcm + delta Rcm) = M1(R1+delta1) + M2(R2+delta2) + Mn(Rn+deltan)

De la ecuacin se despeja

Pcm= P1+P2+.......+Pn

Sabiendo que cuando no actan fuerzas externas, la cantidad total de movimiento de un sistema permanece constante. Como Pcm es, de hecho, igual a la cantidad de movimiento total del sistema, concluimos que en ausencia de fuerzas externas, el CM de un sistema en reposo permanece en reposo, y si el CM est en movimiento mantendr ese movimiento. Es ms si una fuerza externa neta acta, el CM se mover de acuerdo a la segunda ley de Newton. En especial, si la masa total no cambia con el tiempo, la aceleracin del CM estar dada por

acm= F. ExtM

En donde F.extes la fuerza externa neta que acta sobre el sistema.

Aplicaciones del Centro de Masa

El centro de masa casi siempre se refiere a cuerpos que constan de 2 dimensiones o, es decir son figuras que tienen caractersticas de ser finas es der no tienen profundidad, entonces el CM, nos sirve para, para determinar en esos cuerpos el punto donde se concentra toda la masa, y esto nos ayuda a determinar el punto en el que si aplicamos una fuerza no nos dar torque alguno.

Relacin del Cm con el momntum

El CM se relaciona con el momntum en la forma que nos ayuda a encontrar el CM de un sistema, es decir que esto nos ayuda a encontrar el punto en que no hay torque alguno por parte del sistema. En este punto de aqu la hoja no dara torque alguno si tuviera un sustento.El Centro de masa de un objeto puede quedar fuera del cuerpo del objeto. El centro de masa de un anillo homogneo est en su centro. La masa de cualquier seccin del anillo es cancelada por la masa de una seccin equivalente directamente a travs del anillo, y por simetra el centro de masa est en el centro. Para un objeto en forma de L con ramas iguales el centro de masa queda en una lnea que forma un ngulo de45con las ramas. Su posicin se puede determinar con facilidad si se suspende la L desde un punto en una de las ramas, y se anota en donde la lnea vertical a partir de ese punto interseca la lnea diagonal.No olvide que la posicin del centro de masa o centro de gravedad de un objeto depende de la distribucin de la masa. Por lo tanto, para un objeto flexible como es el cuerpo humano, la posicin del centro de gravedad cambia a medida que el objeto cambia su configuracin (distribucin de masa). Para determinar la posicin del centro de masa por suspensin:El Centro demasa de un objeto plano de forma irregular se puede encontrar suspendiendo el objeto de dos o ms puntos. El CM (y el CG) quedan sobre una lnea vertical bajo cualquier punto de suspensin, as la interseccin de dos de tales lneas marca la posicin media entre el espesor del cuerpo. El centro de masa puede estar localizado fuera de un cuerpoEl centro de masa puede quedar dentro o fuera de un cuerpo, dependiendo de la distribucin de su masa. 1. Para un anillo uniforme, el centro de masa est en su centro. 2. Para un objeto en forma de L, si la distribucin de la masa es uniforme y las ramas son de igual longitud, el centro de masa queda en la diagonal entre las ramas.Generalmente, las partes individuales de un sistema interaccionan entre s por medio de fuerzas internas, cambiando por lo mismo sus velocidades y cantidades de movimiento individuales cuando transcurre el tiempo. Sin embargo, esas interacciones no influyen sobre el movimiento del CM. Siempre que se puedan separar las fuerzas que actan sobre un sistema de dos o ms partculas en fuerzas internas y fuerzas externas, se puede simplificar la dinmica del problema preguntando y contestando a dos preguntas distintas:Cal es el movimiento del CM?

Centro de Gravedad

LA fuerza ms corriente que acta sobre un cuerpo es su propio peso. En todo cuerpo por irregular que sea, existe un punto tal en el que puedo considerarse en l concentrado todo su peso, este punto es considerado el centro de gravedad. El centro de gravedad puede ser un punto exterior o interior del cuerpo que se considere. El conocimiento de la posicin de los centros de gravedad, es de suma importancia en la resolucin de problemas de equilibrio, porque son los puntos de aplicacin de los vectores representativos de los respectivos pesos.El centro de gravedad de una lnea est en el punto de aplicacin de un sistema de fuerzas paralelas aplicadas a cada uno de los fragmentos elementales en que se puede considerar descompuesta la misma y proporcionales respectivamente a las longitudes de estos elementos de lnea. Si se trata de un elemento rectilneo, el centro de gravedad se halla en su punto medio. El de un arco de circunferencia puede calcularse mediante recursos de clculo referencial, y se encuentra situado sobre el radio medio, a una distancia del centro.En conclusin el centro de gravedad es el punto en el que se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es decir es el punto en el que acta el peso. Siempre que la aceleracin de la gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas. El equilibrio de una partcula o de un cuerpo rgido tambin se puede describir como estable o inestable en un campo gravitacional. Para los cuerpos rgidos, las categoras del equilibrio se pueden analizar de manera conveniente en trminos delcentro de gravedad. El Centro de gravedad es el punto en el cual se puede considerar que todo el peso de un cuerpo est concentrado y representado como una partcula. Cuando la aceleracin debida a la gravedad sea constante, el centro de gravedad y el centro de masa coinciden.En forma anloga, el centro de gravedad de un cuerpo extendido, en equilibrio estable, est prcticamente cuenco de energa potencial. Cualquier desplazamiento ligero elevar su centro de gravedad, y una fuerza restauradora lo regresa a la posicin de energa potencial mnima. Esta fuerza es, en realidad, una torca que se debe a un componente de la fuerza peso y que tiende a hacer rotar el objeto alrededor de un punto pivote de regreso a su posicin original.Un objeto est en equilibrio estable mientras su Centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo. Cuando ste es el caso, siempre habr una torca de restauracin. No obstante cuando el centro de gravedad o el centro de masa cae fuera de la base de apoyo, pasa sobre el cuerpo, debido a una torca gravitacional que lo hace rotar fuera de su posicin de equilibrio.Los cuerpos rgidos con bases amplias y centros de gravedad bajos son, por consiguiente ms estables y menos propensos a voltearse. Esta relacin es evidente en el diseo de los automviles de carrera de alta velocidad, que tienen neumticos y centros de gravedad cercanos al suelo. El centro de gravedad de este auto es muy bajo por lo que es casi imposible que se voltee.Tambin la posicin del centro de gravedad del cuerpo humano tiene efectos sobre ciertas capacidades fsicas. Por ejemplo, las mujeres suelen doblarse y tocar los dedos de sus pies o el suelo con las palmas de las manos, con ms facilidad que los hombres, quienes con frecuencia se caen al tratar de hacerlo. En general, los hombres tienen el centro de gravedad ms alto (hombros ms anchos) que las mujeres (pelvis grande), y es por eso que es ms fcil que el centro de gravedad de un hombre quede fuera de apoyo cuando se flexiona hacia el frente.Cuando el centro de gravedad queda fuera de la base de soporte, el objeto es inestable (hay una torsin desplazadora). En los circos usualmente hay actos de acrbatas y lo que sucede es que el acrbata, cualquiera sea el acto que haga tiene una base de soporte muy angosta, o sea el rea pequea del contacto de su cuerpo con su soporte. Mientras que elcentro de gravedad permanezca sobre esta rea, l est en equilibrio, pero un movimiento de unos cuantos centmetros sera suficiente para desbalancearlo.

Aplicacin del Centro de Gravedad

El centro de gravedad sirve para calcular el equilibrio de un sistema, este sistema puede ser infinidad de cosas, por ejemplo una casa, y aqu el centro de gravedad ayudara a calcular a la persona que gua la construccin, los puntos en los cuales poner las columnas y /o la columna principal..

Relacin con el Momntum

En algunos problemas que contienen de materia o en ellos interfiere el momento lineal, o tal vez se resuelven por sumatoria de momentos, el centro de gravedad ayuda a simplificar notablemente estos ejercicios.

Centroide

Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos los puntos, la misma figurar como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecer. Las expresiones definen entonces una propiedad del cuerpo puramente geomtrico, sin referencia alguna a sus propiedades fsicas, cuando el clculo se refiera nicamente a una figura geomtrica, se utilizar el trmino centroide. Si una figura geomtrica posee un centro de simetra, este punto es elcentroidede la figura. Cuando se hable de un cuerpo fsico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad vara de unos puntos a otros, aquellos no coincidirn, en general. Los clculos relacionados con los centroides caen dentro de 3 categoras claramente definidas segn que la forma del cuerpo en cuestin pueda ser representada por una lnea, una superficie o un volumen

Para lneas

En x = (Distancia del eje X x (derivada de la lnea))/masaEn y = (Distancia del eje Y x (derivada de la lnea))/masaEn z = (Distancia del eje Z x (derivada de la lnea))/masa

Para superficies

En x = (Distancia del eje X x (derivada del rea))/masaEn y = (Distancia del eje Y x (derivada del rea))/masaEn z = (Distancia del eje Z x (derivada del rea))/masa

Para volmenes

En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masaEn y = (Distancia del eje Y x (derivada del volumen))/masaEn z = (Distancia del eje Z x (derivada del volumen))/masaSi una figura geomtrica posee un eje de simetra, el centroide de la figura coincide con este eje.

Volumen

Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localizacin del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son:

X = "x dvY = "y dvZ = "z dv" dv " dv " dv

rea

De manera semejante, el centroide para el rea para el rea superficial de un boleto, como una palanca o un casco puede encontrase subdividiendo el rea en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de rea en torno a los ejes de coordenadas a saber.

X = "x dAY = "y dAZ = "z dA" dvA " dA " dA

Lnea

Si la geometra del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una lnea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente:X = "x dLY = "y dLZ = "z dL" dL " dL " dLEn todos los casos anteriores la localizacin del centroide no est necesariamente dentro del objeto. Tambin los centroides de algunas formas pueden especificarse parcialmente o completamente usando condiciones de simetra. En los casos en los que la forma tiene un eje de simetra el centroide de la forma estar lo largo del eje.

Definicin para los Momentos de Inercia para las reas

El momento de inercia de una rea se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distribuida que varia linealmente desde el eje de momento. Un ejemplo caracterstico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presin debida a un lquido sobre la superficie de una placa sumergida.

Teorema de los Ejes Paralelos

Si se conoce el momento de inercia de una rea alrededor de un eje que pasa por su centroide, conviene determinar el momento d inercia del rea en torno al eje correspondiente paralelo usando el teorema de los eje paralelos. Para deducir este teorema, consideramos la determinacin del momento de inercia de la regin sombreada que se muestra en la figura, alrededor del eje x. En este caso, un elemento diferencial dA del rea se localiza a una distancia arbitraria y a partir del eje centroidal x' mientras que la distancia fija entre los ejes paralelos x y x' se define como dy. Como el momento de inercia de dA alrededor del eje x es dlx=(y' + dy)2 entonces para la totalidad del rea:

Ix ="A (y' + dy)2 dAIy ="A y'2 dA + 2dy "A y' dA + dy2 "A dA

RESULTADOS

Ejercicio 1

Encontrar el cmTres masas, de 2.0 kg, 3.0 kg y 6.0 kg, estn localizadas en posiciones (3.0, 0), (6.0, 0) y (4.0,0), respectvamente, en metros a partr del origen En dnde est el centro de masa de este sistema?

Solucin

Dados: m1=2.0kgEncontrar:Xcm (coordenadas CM)m2 =3,0 kgm3 = 6,0 kgx1 = 3,0 mx2 = 6,0 mx3 = -4,0 m

Luego, simplemente realizamos la sumatoria Xcm = Sumatoria m1x1M (2,0 kg)(3,0 m) + (3,0 kg)(6,0 m) + (6,0 kg)(4,0 m)2,0kg + 3,0kg + 6,0kgLa resolucin = 0, por lo que sabemos que el centro de masa est en el origen

Ejemplo 2

Centro de masa y marco de referencia. Una pesa tiene una barra de conexin de masa despreciable. Encuentre la posicin del centro de masa (a) si m1 ym2tienen cada una 5,0 kg, y (b) si m2es de 5,0 kg y m2 es de 10,0 kg.

Solucin

Dados:(a)m1=m2=5,0kg Encontrar. (a)(Xcm, Ycm) (coordenada)x1 -0,25m (b) (Xcm, Ycm)x2 -0,75mY1= Y2= 0,25m(b)m1=5 kgm2=10 kg

Note que cada masa se considera una partcula localizada en el centro de la su centro de masa.

Al encontrarXcmtenemos

Xcm =m1x1+ m2X2m1+ m2Xcm = (5,0 kg)(0,25 m) + (5,0 kg)(0,75 m)5,0kg + 5,0kgXcm = 0,5 mEn forma similar, es fcil encontrar que YCM = 0,25 m. (Tal vez ya se dio cuenta de esto ya que cada centro de masa est a esta altura. El centro de masa de la pesa est localizado entonces en (Xcm, YCM) = (0,50 m, 0,25 m) o a medio camino entre las masas de los extremos.

Con m2=10.0kg

Xcm= m1x1+ m2x2m1+ m2Xcm = (5,0 kg)(0,25 m) + (10,0 kg)(0,75 m)5,0kg + 10,0kgXcm = 0,58 mLo cual es 1/3 de la longitud de la barra a partir dem2.(Usted puede esperar en este caso que el punto de equilibrio de la pesa est ms cerca dem2.) El que la posicin del centro de masa no dependa del marco de referencia sepuede demostrar colocando el origen en el punto en que la masa de 5.0 kg toca el eje de las x. En este caso, x1 = O y x2 = 0.50 m, y

Xcm = (5,0 kg)(0) + (10,0 kg)(0,50 m) =0,33m5,0kg + 10,0kg

La coordenada Y del centro de masa es de nuevo Ycm = 0.25 m, como ya hemos comprobado. En el ejemplo 2, cuando el valor de una de las masas cambi, la coordenada x del centro de masa cambi. Usted podra haber esperado que tambin cambiara el eje de las y. Sin embargo; los centros de las masas de los extremos estuvieron an a la misma altura, y Ycm permaneci igual. Para incrementar Ycm se deben elevar una o las dos masas de los extremos, lo que requerira de un trabajo en contra de la gravedad y resultara en un aumento en la energa potencial.Como usted ya sabe, la masa y el peso estn relacionados directamente. Asociado aen forma estrecha con el centro de masa est el Centro de gravedad(CG),el punto en el que se puede considerar que se concentra el peso de un objeto al representar ese objeto como una partcula. Al tomar la aceleracin debida a la gravedad como constante, cosa que generalmente se hace cerca de la superficie de la Tierra, podemos reescribir la ecuacin principal como

MgXcm=X,m,x,

Entonces todo el peso,Mg,est concentrado en Xcm, y el centro de masa y el centro de gravedad coinciden.

Ejemplo 3

Una masa de 4,00 kg est en x =0,20 m, y =z= Orn, y una segunda masa de 6,00 kg est en x = 0,80 m,y = z =0 m. Localizar el CM.

Solucin

Laecuacin principal es, como todas las ecuaciones vectoriales en realidad un conjunto de tres ecuaciones, una para cada coordenada. Como las coordenadas x, y, z de las dos masas son cero, Ycm =Zcm= 0. La ecuacinXcm:(10,0 kg)Xcm = (4,00 kg)(0,20 m) + (6,00 kg)(0,80 m)quedando que el Cm estaen el eje de las x a 0,56 m

Ejemplo 4

Una masa de 2.00 kg en reposo que contiene una pequea carga explosiva de masa despreciable se desintegra en tres fragmentos. Dos de ellos tienen masas idnticas de 0.50 kg cada uno; el tercero tiene una masa de 1.00 jg. Las velocidades de los fragmentos de 0.50 kg hacen un ngulo de 60 entre si y la magnitud de dichas velocidades es de 100 m/s. Cul es la velocidad del fragmento de 1.00 kg?

Solucin

El eje y es la lnea que bisecta el ngulo entre las velocidades de los fragmentos de 0.50kg.Como Vcm = O antes de la explosin tambin debe ser cero despus de ella.De la ecuacin de CM, tenemos que(0.50 kg)v1 + (0.50 kg)v2 + (1.00 kg)v3 = O kg.m/so bien, en forma de componentes,(0.50 kg)(v1x + v2x) + (1.00 kg)v3x = 0 kg m/s(0.50 kg)(v1y+v2y)+ (1.00 kg)v3y= O kg m/sComo V1x = -V2x , v3x O m/s. Tambin,V1y=V2y= (100 m/s) cos 30 = 86.6 m/sPor tanto,V3y =-86.6 m/s

Ejemplo 5

Como un ejemplo ms de la aplicacin del concepto del CM, pondremos como ejemplo para resolver un problema de colisin de frente en el caso general de una masa m1 que se mueve con una velocidad inicial Vo.contra otra masam2que estaba en reposo.

Solucin

Para evitar utilizar demasiados subndices, usaremos el smboloupara las velocidades en el marco de referencia del centro de masa. De acuerdo con la ecuacin de CM, el centro de la masa se mueve inicialmente a una velocidad m1voVcm = m1+ m2 y debe mantener esa velocidad durante el proceso porque no actan fuerzas externas sobre el sistema. Recordemos que la velocidad v de una partcula en un marco de referencia estacionario se relaciona a su velocidad con respecto a un marco de referencia en movimiento mediante

V = Vr + VR

En dondeVRes la velocidad del marco de referencia. En este caso,VRes la velocidad del centro de masa, vcm, y hemos usado el smbolo u paraVr.De aqu que

V = u + Vcm;U = V Vcm

Si pasamos al sistema del CM, las velocidades iniciales dem1y m2son entonces.

Uo= ((Vo - m1)/(m1+m2))xVo = ((m2)/(m1+m2)) xVo

Como el choque es inelstico, la EC enelmarco del CM antes y despus de la colisin debe ser la misma. Adems, el CM, en ese marco de referencia, queda en reposo. Esas dos condiciones slo se pueden satisfacer si las velocidades finales de los dos objetos en el marco de referencia del CM son o bien las mismas que antes del choque, o inversas. Si las velocidades no cambian, los dos objetos no han chocado, y as podemos considerar esta solucin como no compatible con el enunciado del problema. Por ello, despus del choque,

Ujf = - Uo = -m2 x Vom1+ m2U2f = - U2o = -m1 x Vom1+ m2

Para completar la solucin se transforma el marco de referencia del laboratorio agregando a las velocidades U1f Y U2f la velocidad del CM, siendo el resultado

V1f = ((m1-m2)/(m1+m2)) x Vo y V2f = ((2m1)/(m1+m2)) x Vo

Ejemplo 6

Calcule las fuerzas que se aplican al siguiente sistema.-L/3 L/2FA 10kg 20 kg FBPor momento.-Sumatoria Fy = 0FA +FB - 10 -196 = 0FA + FB = 206

Sumatoria de momentos desde el punto A = 0

10x (L/3) + 196(L/2) - FB. L =0L(10/3 + 196/2 - FB) = 020 + 588 - 6 FB =0608/6 = FB = 101,3 NFA=206-101,3FA=104,7 N

Por centro de gravedad

Sacamos el CG = (L/3 x10 + L/2 x 20)/(10 + 20) =(10/3 L + 10 L)/30 = (40/3 L)/ 30 =4/9 L = 0,444444Centro de gravedad = X/masas0,444444L = FB/30 FB= 101,3 N

Por lo que vemos que podemos resolver por cualquiera de los mtodos.

Ejemplo 7

Si tenemos un grupo de bloques idnticos, de 20 cm de largo, se apilan de modo que cada uno sobresalga del bloque anterior 4.0 cm, y se coloca uno encima de otro. Cuntos bloques se podrn apilar de esta forma antes de que la pila se caiga?La pila se caer cuando su centro de masa no est ms sobre su base de apoyo. Todos los ladrillos tienen la misma masa, y el centro de masa de cada uno est colocado en su punto medio. Si tomamos el origen en el centro del ladrillo inferior, la coordenada horizontal o de masa (o centro de gravedad) para los primeros dos ladrillos del rimero est dada por la ecuacin de CM en dondem1=m2= my x2 es el desplazamiento del segundo ladrillo:

Xcm2 =(mx1+mx2)/ (m + m)Xcm2=m(x1+x2)/ 2m = (x1+x2)/2 = (0+4.0 cm)/2 = 2.0 cm

Las masas de los ladrillos se cancelan (debido a que todas ellos tiene la misma masa)Para tres ladrillos,Xcm3=m(x1+x3+x2)/ 3m = = (0+4.0+8.0)/3 = 4.0 cmPara cuatro ladrillos,Xcm4=m(x1+x3+x4+x2)/4m= (0+4.0+8.0+12)/4 = 6.0 cmY as se sigue sucesivamente.

Esta serie de resultados demuestra que el centro de masa del rimero se mueve horizontalmente, 2.0 cm por cada ladrillo que se agregue. Para una pila de seis, el centro de masa estar a 10 cm del origen, directamente sobre el borde del ladrillo inferior (2.0 cm x 5 ladrillos adicionados= 10 cm, que es la mitad de la longitud del ladrillo), de modo que el primero estar en equilibrio inestable. Esto significa que la pila puede no caerse si colocamos el sexto ladrillo con mucho cuidado, pero es muy difcil que en la prctica se pueda lograr. En cualquier caso, el sptimo definitivamente har que la pila se caiga.

Ejercicio 8

Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura.

Rectngulo 1:

Rectngulo 2:

Triangulo 1:

Triangulo 2:

ComponenteA, ,mm,mm

. A,

.A,

Rectngulo 1144-4.514-6482016

Rectngulo 219261411522688

Triangulo 127-32-8154

Triangulo 2364214472

Q(x)=576mm Q(x)= Y.A

Q(y)=4830mm Q(y)= X.A

(399)=576

=1,4mm

(399)=4830

=12,10mm

Ejercicio 9

Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura.

Cuarto de Circulo 1:

Cuarto de Crculo 2:

Cuarto de Crculo 3:

Cuarto de Crculo 4:

ComponenteA, ,in,in

. A,

.A,

Cuarto de Circulo 128,26-2,542,54-71,7871,78

Cuarto de Circulo 2-12,56-1,691,6921,22-21,22

Cuarto de Circulo 328,262,542,5471,7871,78

Cuarto de Circulo 4-12,561,691,69-21,2221,22

Q(x)= 0 Q (x)= Y.A

Q(y)=101,12in Q (y)= X.A =0 (31,4)= 101,12

= 3,22in.

Ejercicio 10

Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura. Y

12in6in 8in 16in X

Rectngulo 1:

Rectngulo 2:

ComponenteA, ,in,in

. A,

.A,

Rectngulo 148-49-192432

Rectngulo 21928615361152

Q(x)= 1344in Q(x)= Y.A

Q(y)= 1584in Q(y)= X.A

(240)=1344

=5,6in

(240)=1584

=6,06in

Ejercicio 11

Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura

r=60mm

Y 80mm

120mm X 120mm

Rectngulo 1:

Semicrculo:

=0

ComponenteA, ,mm,mm

. A,

.A,

Rectngulo 240006010014400002400000

Semicrculo-2826025,470-71978,22

Q(x)=2328021,8mm Q(x)= Y.A

Q(y)=1440000mm Q(y)= X.A

(21174)=1440000

=68,007mm

(21174)= 2328021,8

=109,94mm

Ejercicio 12

Localice el Centroide del rea plana de la siguiente Figura

Y 60mm 105mm

75mm

X

Rectngulo:

Triangulo:

ComponenteA, ,mm,mm

. A,

.A,

Rectngulo 7875112,537,5885937,5295312,5

Triangulo225020254500056250

Q(x)=930937,5mm Q(x)= Y.A

Q(y)=351562,5mm Q(y)= X.A

(10125)=930937,5

=91,94mm

(10125)= 351562,5

=34,72mm

CONCLUSIONES

1. Los trminos "centro de masa" y "centro de gravedad ", se utilizan como sinnimos en un campo gravitatorio uniforme, para representar el punto nico de un objeto o sistema que se puede utilizar para describir la respuesta del sistema a lasfuerzasyparesexternos. El concepto de centro de masa es el de un promedio de las masas, factorizada por sus distancias a un punto de referencia. En un plano, es como el punto de equilibrio o de pivote de un balancn respecto de los pares producidos.2. El centro de masa es el punto en el que se puede considerar que est "concentrada" toda la masa, con el objetivo de calcular por ejemplo, el "primer momento", o sea, el producto de la masa por la distancia.3. En Matemticas, los centroides de una figura bidimensional se refieren al punto en el cual todas las lneas de la figura correspondiente se intersectan unas con otras de tal manera que dividen la figura en dos partes iguales en los momentos equivalentes.

RECOMENDACIONES

1. Ofrecer a los alumnos guas de estudio para mejorar el nivel de comprensin de la materia.2. Dictar talleres para aquellos estudiantes que presentes debilidades en el tema, a fin de solventarlas.3. Desarrollar otros manuales para las materias y/o temas de gran complejidad.

REFERENCIAS

Selby, Samuel M, STANDARD MATHEMATIC TABLES, The chemical Rubber Co. Ohio, USA. 1964, 1965, 1967, 1969, diez y siete ava edicin.Wilson, Jerry D, FISICA, Prentice Hall, Segunda Edicin, Tomo 1, Mxico, 194-198. 260-261.Blatt, Frank J. FUNDAMENTOS DE FISICA, 3ra edicin, Prentice Hall, Mxico, 129-136.www.monografias.comwww.altavista.comhttp://www.geocities.com/Athens/Delphi/8951/

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