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Universidad de La Serena Topografía General Capítulo V Depto. de Ing. de Minas

Ingeniero Constructor e Ingeniería de Ejecución en Minas

CAPÍTULO V “MEDICIÓN DE DISTANCIAS”

5.1 Medición de Distancia. Cuando se trabaja en Topografía, se cuenta con diferentes métodos para medir distancias, a la cual podemos clasificarlas en: - Medición de distancias en forma Indirecta - Medición de distancias en forma Directa.

5.1.1 Medición de Distancias en formas Indirecta:

5.1.1.0 Procedimiento Taquimétrico: Está definida en topografía como el proceso de enseñar y realizar levantamientos topográficos por medio de instrumental topográfico llamado Teodolito que tenga en el retículo del lente dos “hilos estadimétricos”, además de los propios de la cruz filar; estos hilos adicionales son paralelos y simétrico respecto al hilo horizontal del retículo; que corresponden al hilo superior (Ls), hilo medio o axial (Hm) y al hilo inferior (Li). En este proceso también se requiere del uso de una regla métrica graduada llamada Mira a la cual se dirige la visual y se realizan las respectivas lecturas. Por medio de la Taquimetría se puede medir indirectamente distancias horizontales y diferencias de nivel, este sistema puede ser empleado cuando no se requiere de una gran precisión o cuando las condiciones del terreno no permitan el uso directo de cintas métricas o huinchas, o sean terrenos de gran extensión. El instrumental Topográfico Teodolito, es aquel que se utiliza y nos permite medir direcciones o ángulos, tanto horizontales como verticales con una muy alta precisión angular (al segundo sexagesimal o centesimal). El instrumental topográfico llamado Taquímetro, es un teodolito cuya precisión angular es solo al minuto y además posee hilos estadimétricos. La taquimetría podemos decir, que es el procedimiento que nos permite determinar en forma simultánea las coordenadas Norte, Este y cota sobre la superficie del terreno a levantar.

5.1.1.1 Conceptos geométricos de la Taquimetría.

Carlos A. Pizarro Villalobos, Académico



i) En triángulo RSF no es semejante a triángulo FM’Zii) Di = A + X en donde triángulo FMN es semejante a triángulo RSF

RSf

= MNX

❑⇒

xMN∗fRS

; en donde ❑❑ RS=e ;MN=G'

X=G'∗fe;K= f

e Constante estadimétrica ( K= 100 , 50 , )

X=k∗G'

iii) En triángulo ONZ (triángulo rectángulo ) y ángulo = ZON , ángulo vertical medido , que puede ser cenital ( ), horizonte ( )o nadiral ( )

cos¿ G' /2G /2

❑⇒

G'=G∗cos❑ cómo

X=K∗G'=¿X=K∗G∗cos❑ pero Di = A + X

Di = A + K∗G∗cos❑ ; La distancia Horizontal es Dh = Di¿cos❑

dado que A = 0 cte. aditiva del instrumento y es igual cero y K=100esto implica que la distancia horizontal es:

Dh = K∗G¿cos2❑ = Generador; G = (LS Hilo Superior - LI Hilo inferior)




5.1.1.2 Expresiones de Distancias Horizontales y Alturas en función de ángulos verticales de tipo horizontal, cenital y nadiral:

DhAB = K∗G¿cos2❑ ; DhAB = K∗G¿ sen2❑ ; DhAB = K∗G¿ sen2❑

DiAB = K∗G∗cos❑ ; DiAB = K∗G∗sen❑ ; DiAB = K∗G∗sin❑

HAB = DhAB ¿ tan❑ ; HAB = DhAB ¿ tan ; HAB = -DhAB ¿ tan❑

Para registros por diferencia de nivel se tiene:

CotaB= CotaA +DnAB en donde DnAB= HiA + HAB - HmB

Para registro por cota instrumental se tiene:

CotaB = Cota instrumental TB en donde Cota instrumental = CotaA + HiA

TB = HAB - HmB

5.1.1.3 Glosario

Ls = Lectura del hilo superior en la miraLi = Lectura del hilo inferior en la miraG = Generador, es la diferencia entre Ls - LiHiA = Altura instrumental en el punto de estación AHmB = Altura del hilo medio en la estación B ; en teoría estaciones A y B horizontal HmB = (LS - LI)/2 ; esto se cumple cuando la mira está ⊥ a la línea AB = Ángulo vertical de tipo Cenital = Ángulo vertical de tipo al horizonte = Ángulo vertical de tipo nadiralDhAB = Distancia horizontal, es la distancia inclinada reducida al horizonteDi = Distancia inclinada medida entre la estación A y la estación BDnAB = Diferencia de nivel existente entre las estaciones A y BTAB = Diferencia de altura, entre la distancia vertical de la estación B y la línea de referencia horizontal a la altura instrumentalCotaA= Altura de ficticia o de referencia en la estación ACotaB= Altura de ficticia o de referencia en la estación B

5.1.1.4 Registros:


REGISTRO TAQUIMETRICO CON MIRAS. (DIFERENCIA DE NIVEL) EST.

ALT. INST. hi

PTOS OBS.

L E C T U R A S DISTANCIA HORIZONT. DH

DISTANCIA VERTICAL C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S A N G U L O S (g) E S T A D I A ALTURA D. NIVEL

HORIZONT. VERTICAL SUPER. INFER. MEDIO H DN N O R T E E S T E COTAS A 1,31 (g) + (NADIRAL)

Bd 0,0000 108,40 1,618 0,999 1,31

Bt 200,01 291,58 1,618 0,999 1,31

Cd 256,56 85,76 1,685 0,929 1,31

Ct 56,49 314,27 1,690 0,930 1,31

1 114,24 113,32 1,491 1,290 1,31

2 83,51 119,66 1,445 1,174 1,31

3 36,60 116,93 1,477 1,152 1,31

4 13,50 111,39 1,543 1,079 1,31

5 3,31 108,20 1,622 0,991 1,31

6 368,87 102,97 1,605 1,290 1,45



-Por diferencias de Nivel.

Est. Hi Pun-tosObs.

Ángulo (g)Horizont. (+)

Ángulo (g)Vertical (z)

EstadíaLs/ li

HiloMedio

DH Altura H

Dn Cota

II 1,32 600,500

IIId 000,000 100,320 3,240/1,000 2,120 223,995 -1,091 -1,891 598,609

IIIt 200,000 299,700 3,240/1,000 2,120 223,995 -1,091 -1,891 598,609102,398 98,254 3,080/1,000 2,040 207,844 5,702 4,982 605,482223,843 102,785 2,272/1,000 1,636 126,957 -5,557 -5,873 594,627 77,209 99,245 2,950/1,000 1,975 194,973 2,312 1,657 602,157 56,234 112,098 2,182/0,456 1,320 83,124 -15,989 -15,989 584,511

-Por Cota instrumental.


REGISTRO TAQUIMETRICO CON MIRAS: (COTA INSTRUMENTAL) EST.

ALT. INST. hi

PTOS OBS.

L E C T U R A S DISTANCIA HORIZONT. DH

DISTANCIA VERTICAL C O O R D E N A D A S R E C T A N G U L A R E S A N G U L O S (g) E S T A D I A ALTURA Diferencia

HORIZONT. VERTICAL SUPER. INFER. MEDIO H T NORTE ESTE COTAS instrumental

COTAS de Puntos

A 1,31 (g) + (NADIRAL)

Bd 0,0000 108,40 1,618 0,999 1,31

Bt 200,01 291,58 1,618 0,999 1,31

Cd 256,56 85,76 1,685 0,929 1,31

Ct 56,49 314,27 1,690 0,930 1,31

1 114,24 113,32 1,491 1,290 1,31

2 83,51 119,66 1,445 1,174 1,31

3 36,60 116,93 1,477 1,152 1,31

4 13,50 111,39 1,543 1,079 1,31

5 3,31 108,20 1,622 0,991 1,31

6 368,87 102,97 1,605 1,290 1,45



Est. Hi Pun-tosObs.

Ángulo (g)Horizont. (+)

Ángulo (g)Vertical (z)

EstadíaLs/ li

HiloMedio

DH Altura H

TCota

II 1,32 601,82 600,500

IIId 000,000 100,320 3,240/1,000 2,120 223,995 -1,091 -3,211 598,609

IIIt 200,000 299,700 3,240/1,000 2,120 223,995 -1,091 -3,211 598,609

102,398 98,254 3,080/1,000 2,040 207,844 5,702 3,662 605,482

223,843 102,785 2,272/1,000 1,636 126,957 -5,557 -7,193 594,627

77,209 99,245 2,950/1,000 1,975 194,973 2,312 0,337 602,157

56,234 112,098 2,182/0,456 1,320 83,124 -15,989 -17,309 584,511

5.1.1.5 Condiciones operacionales de los elementos Geométricos del instrumento Teodolito o Taquímetro.

Para proceder al uso de un instrumental topográfico, este debe cumplir con ciertas condiciones de posicionamiento y geométricos, siendo estos los siguientes: En la figura En la figurai) E.V.R. debe estar perpendicular al L.F.(P.S) VV ⊥ LLii) E.H.(A.T) debe estar perpendicular al E.C.(A.T) HH ⊥ ZZiii) E.H.(A.T) debe estar perpendicular al E.V.R. HH ⊥ VV E.V.R. = Eje vertical de rotación del anteojo del instrumento topográfico E.H.(A.T) = Eje horizontal del anteojo del instrumento topográfico




L.F.(P.S) = Línea de Fé del plato superior del instrumento E.C.(A.T) = Eje de colimación del anteojo del instrumental topográfico

Fig.: a Fig.: b

Estas condiciones de operatividad se ejecutan, moviendo los tornillos de nivelación que posee el instrumental. La línea de Fé ( burbuja tubular ) debe de colocarse paralela a por lo menos en la dirección de dos tornillos nivelantes para su nivelación, dejando el tercer tornillo perpendicular a este eje para su posterior nivelación. 5.1.1.6 Preguntas. ¿Cuál es la ventaja que puede tener este método taquimétrico en medir y determinar la distancia? ¿Cuáles son las posibles causas de error que se pueden originar con este método? ¿Si el terreno es horizontal que fórmula taquimétrica emplearía? ¿Si desconocemos la cte. Estadimétrica de un instrumento ( K ), como se puede determinar? ¿Si se tiene una mayor distancia entre instrumento y mira, su precisión es mayor, explique?




5.1.2 Medición de Distancias en formas Directa:

Una de las bases fundamentales de la Topografía, es poder medir distancias aún cuando se midan en cualquier tipo de levantamiento ángulos con instrumental de precisión siempre con el objetivo de poder definir puntos topográficos en el espacio, vale decir obtener sus coordenadas. Para medir distancias en forma directa, hay una gran variedad de métodos siendo algunos de ellos los siguientes:

5.1.2.1 Por pasos : Consiste en contabilizar el número de pasos que se originan en una determinada longitud de terreno , es práctico, es bastante fiable para algunos fines topográficos, se puede usar un contador de pasos ( Podómetro ). Las personas con bastante experiencia en este sistema, puede lograr precisiones de hasta 1/50 a 1/100 en superficies horizontales. Consiste en primera instancia conocer la longitud del paso de la persona, su longitud se determina recorriendo una distancia conocida varias veces contando los pasos, y posteriormente dividiendo la distancia por promedio de pasos obtenidos.

El podómetro, Es un sistema digital personal Electrónico, que “cuenta los pasos “, a su vez también puede medir las calorías que gasta al caminar una persona. 5.1.2.2 Odómetro : Es un instrumento que consiste en una rueda que gira encastrada en un engranaje calibrado con precisión, que puede ser independiente o bien estar incorporado a un vehículo, que al contar las vueltas que realiza la rueda se puede determinar y calcular la distancia recorrida que esta realiza. Este sistema puede estar en Vehículos, bicicletas, o de tipo personal.




Es un instrumental sencillo, su precisión es limitada, solo se le utiliza para verificar distancias medidas con otro método de levantamiento. Su precisión es de aproximadamente 1/200 sobre superficies con terrenos planos y lisos

5.1.2.3 Telémetro1: Es un instrumental óptico para medir distancias , se basa en el método matemático de la triangulación. Se toma una distancia base ( 1 y 2 ) que es fija, la que existe entre dos visores y a través de método mecánico óptico se puede calcular y obtener la distancia al objetivo que se está visualizando ( 3 ). Cuando mayor es la distancia existente de la línea base, más preciso es el Telémetro, un ejemplo más común de telémetro son las cámaras fotográficas réflex, los Telémetros son equipos más usados en operaciones de exploración y reconocimiento, tienen una precisión de 1/50 a la cual disminuye al aumentar su distancia.

5.1.2.4 Cinta ( huinchas de medición ) : En topografía el uso de la cinta de acero o plástica va depender del tipo de levantamiento a realizar, por ejemplo se puede deducir que: las cintas de acero son utilizadas en levantamientos de interior ( túneles , galerías, socavones , en minería subterránea), En levantamientos de superficie son utilizadas por lo general en la medición de levantamientos Topográficos (edificación, en la realización de poligonales, poligonales trigonométricas , en la medición de obras ); las cintas plásticas solamente deberán ser utilizadas para mediciones referenciales , especialmente en la construcción de obras. La cinta es un instrumento de medición que viene graduada en unidades métricas de longitud, también se puede enrollar haciendo más fácil su uso y transporte, se fabrican con longitudes que van desde 100 m , 50 m. ,30 m. principalmente para trabajos de índole topográfico

1 Fuente de imagen , Catalogo 100 de Lietz (1982) , “Precision Surveying Instruments and Equipment”




Las mediciones realizadas con cinta dependen de su calibración o corrección que se le realiza a la cinta, ya que influye en la precisión de sus mediciones, estas se someten a correcciones que son:

a) Corrección por Temperaturas CT = *L * ( T - T0 ) = Coeficiente de dilatación térmica.

T = Temperatura durante la medición. [℃ ]

T0= Temperatura de calibración ( 20 - 21 ℃. ).

L = Longitud de la cinta utilizada.[m. ]

b) Corrección por tensión incorrecta Cp= ( P - P0 )*L/(A*E) P= Tensión aplicada a la cinta durante la medición. [Kg ]

P0= Tensión de calibración ( 6 - 7 Kg ).

A = Sección transversal de la cinta.[mm2 ]

E= Módulo de elasticidad o módulo de Young.[Kg/mm2 ]

c) Corrección por Flecha o Pandeo CS= W2 * L/(24* P2 ) ; W= w*L Cs= w2

*L3/ (24* P2 ) W= Peso total de la cinta.[Kg ]

w= Peso por unidad de longitud.[Kg /m ]

P = tensión aplicada a la cinta durante la medición.[Kg ]

L= Longitud de la cinta utilizada.[m. ]

Si se igualan las expresiones de corrección por Tensión incorrecta y por corrección por Flecha o Pandeo se tiene:

CP = Cs ( P - P0 )*L/(A*E) = W2

* L/ (24* P2 ) 24* P2 *(P - P0) - W2

*A *E = 0




Finalmente la corrección final queda como n

L* = Corregida = L* + (L*/ L)*( CT + CS + CP ) i=1

L* = Tramo medido L*/L= Número de mediciones realizada en el tramo ( nº de huinchadas ).

d) Correcciones realizadas a la Cintas plásticas (Nylon, Tela, fibras de vidrio) Toda cinta plástica se debe comparar con una medición patrón, para poder efectuar sus correcciones ya que el material con el cual están fabricadas son afectadaspor su dilatación, temperaturas y tensión efectuada.

Cc = (L* /L)* (L0 - L ) En donde: L* = Tramo medido [m. ]

L = Longitud de la cinta utilizada[m. ]

L0 = Longitud de la cinta utilizada con la medida patrón[m. ]

(L*/L) = número de mediciones realizada en el tramo.

L’ corregida = L* medida + CcEj Gráfico:

iii) Ejercicios CT=? CT = 0,0000116 *30 *(4 ℃) = 0,00192 m T0= 20 ℃ Nº de huinchadas = 70/30 = 2,333 T = 20℃ Coeficiente de expansión en los 70 m = 0,00192*2,33 =0,004 L = 30 m. α=0,0000116 p∨℃ se miden 70*CT = 70,004 m.




Se miden longitud de 70 m.

Medida de peso por unidad de longitud ( w )y área de sección transversal de la cinta ( S )

EJ: CP = ? peso de la cinta = 1464 g = 1,464 kg Longitud nominal de la cinta = 30 m Longitud exterior a las divisiones más anillos y enganches = 0,25 m. Longitud total de cinta = 30,25 m. Peso de 1 mm2 de acero = 0,0078 [Kg /m ] w= 1,464/30,25 = 0,0484 [Kg/m ]. ; S = 0,0484 [K /mg ] / 0,0078 [Kg /m ] S = 0,6205 mm2

P = 10 kg ; P0 = 5 kg ; E = 22000 kg/mm2

CP = (10 -5 ) * 30 /(0,6205*22000) = 0,0109 m.

EJ: CS =? w = 0,0484 Kg/m ; L = 30 m ; P = 10 Kg

CS = (0,0484)2*(30 )3/( 24 * 102) = 0,0264 m.

Problemas:

Cinta de acero de 150 m. ; sección transversal de 1,875 mm2 ; tiene una longitud de 149,990 m. al contrastarla enteramente apoyada con una tensión de 4 Kg.¿Cuál es su longitud en los 0 m. , 50 m ,100 m y 150 m, con una tensión de 8 Kg.?

Cinta de acero de 150 m. , peso de 0,014 kg. Por metro lineal y sección transversal de 1,865 mm2, al contrastarla tiene una longitud de 150,003 m a una tensión de 5 kg.¿Cuál es su longitud cuando se la porta en los puntos 0 m , 50 m, 100 m, 150 m , con una tensión de 10 kg.?

5.1.2.4.1 Uso de la cinta de Acero a) Medir distancias horizontales directamente por Banqueos

DHAB = ∑i=1

N

Li Ej: Si E2MLi = ± 0,013 m. y la cinta es

De 30 m. Estime la precisión al

dHAB = ∑i=1

N

dLi=¿¿ dLi1+ dLi2+ dLi3 medir una distancia de 87,375 m




dHAB = dLi√n = E2MLi *√n dHAB = ± 0,013*√87,375/30 = ±0,022n = al nº de huinchadas DHAB = 87,375±0,022

5.1.2.4.2 Medir distancia inclinadas con cinta y ángulos verticales con instrumental topográfico teodolito.

DhAB = DiAB* cos ∝ ; DhAB = DiAB* sen Z ; DhAB = DiAB* sen

DhAB = DiAB* sen Z => DhAB = F = f( Di , Z)dDhA-B =√( ∂ Dh∂ Di

∗dDi)2

+( ∂ Dh∂Z

∗dZ)2

; Si ∂ Dh∂Di

= sen Z =>0 ; Z =(0 ,2π)




entre más cerca al horizonte más exacta es la medición.

SI ∂ Dh∂Z

= COS Z => 0 Di ≠ 0 ; COS Z => Z( 1 R y 3 R )

Mientras más grande es el ángulo Vertical, más grande es el error de La medición.

5.1.2.4.3 Medir distancia inclinadas con cinta y diferencias de nivel con instrumental topográfico teodolito.

DiAB= DHAB 2 + DNAB 2 ¿>¿ DHAB = ( DNAB

2 ± DiAB2 )1/2

DHAB = F = f (DiAB , DNAB ) dDHA-B = √( ∂ DH∂Di dDi)2+( ∂ DH∂DNdN )

2

DH = DHAB ± dDHA-B

5.1.2.5 Sistema de medición con GPS.




Este sistema de Posicionamiento Global, es un exitoso proyecto realizado en su primera instancia por el Departamento de defensa de los Estados Unidos, que consiste en ubicarse espacialmente en un punto de tierra a través de un receptor que capta señales satelitales y entregar coordenadas métricas o geográficas del lugar. En la actualidad existen una gran variedad de satélites que cumplen con la finalidad de entregar puntos con coordenadas, siendo estos los siguientes:

Constelación GPS Navstar: Consiste en una constelación de 24 satélites que se mueven en órbita a distancias de 20200 Km respecto del geocentro en el cual entrega los datos de navegación hacia los usuarios militares y civiles en todo nuestro planeta. Su constelación está formada por seis planos orbitales elípticas con inclinación de 55 grados con respecto al plano Ecuatorial, en cada orbita se alojan cuatro satélites como mínimo regularmente distribuidos, dentro de sus funciones se tiene: Entrega servicio las 24 horas con alcance a nivel global, determinar la posición y la hora en cualquier parte del planeta ( posee reloj atómico ), dar con precisión en lecturas de Latitud, Longitud y Altitud, Velocidad extremadamente precisa, acceso a un número ilimitado de usuarios y áreas, dar dirección de rumbos gracias a su tridimensionalidad, orbita la tierra cada 12 horas dando señales continuas de navegación.

GPS GLONASSConstelación GPS Glonass: Constelación desarrollada por Unión Soviética siendo hoy administrada por la Federación Rusa, cuenta con 31 satélites de los cuales 24 están activos , 3 están de repuestos ,2 en mantenimiento, 1 servicio y 1 en pruebas. Orbitan en tres planos elípticos con 8 satélites cada plano, con una órbita inclinada de 64,8 0 a con un radio de 25510 km. y a una altitud de 19100 Km. sobre la tierra , una duración de 11 :15 horas en completar una órbita. El sistema se encuentra hoy a cargo del Ministerio de Defensa de la Federación Rusa, la situación económica de Rusia en los años 90 deja sin mantención la constelación, solo el 2002 existían 8 satélites completamente operativos, en el año 2004 existían solo 11 satélites en funcionamiento, a fines del 2007 ya eran 19 satélites operativos; para dar posición global en territorio Ruso se necesitan por lo menos 18 satélites y para disponer del sistema a nivel mundial 24 satélites.




La aparición en el mercado mundial de receptores, que permiten captar señales de ambas constelaciones GPS-GLONASS, a pesar de ser sistemas de referencias diferentes hacen interesantes las posibilidades de apoyo que dá Glonass en la medición al sistema Navstar. Glonass y GPS Navtar son distintos, pero trabajan en conjunto para poder conseguir posicionarse de manera más rápida en un lugar donde uno se encuentra, entregando mayor precisión, mayor cantidad de satélites en órbita y mayor coberturaterritorial, siendo los usuarios los que al final obtendrán ventaja de la integración de los dos sistemas creados en un principio como competidores.

Constelación GPS Galileo : Este sistema global de navegación por satélite GNNS , es desarrollado por la Unión Europea para sí no depender de los sistemas ya existentes como son GPS ni GLONASS, su gran diferencia es que Galileo con éstos otros dos sistemas es que de uso civil. El sistema debería haber quedado operativo el 2008, pero por motivos de oposición de algunos países participantes se retraso y a la cual deberá quedar puesto en marcha el 2014. GNNS prestará servicios de ubicación, autonomía en navegación y además será compatible su operación con los sistemas GPS y GLONASS, una de las ventajas de este sistema es que sus satélites estarán ligeramente más inclinados a los polos por lo que su medición será más exacta en esas regiones. Galileo en sus sistemas cuenta por lo menos con 10 tipos de frecuencias, evitando el problema de corte de señal; funciona con una red de 30 satélites, que orbitan a 23222 km de altitud de la tierra, en tres planos orbitales inclinados diferentes con un ángulo de 56 0 hacia el Ecuador, con una distribución de 10 satélites por cada plano orbital quedando un satélite de reserva activo y cada satélite tarda alrededor de 14 horas en completar una vuelta alrededor de la tierra, utilizando una técnica conocida como Multilateración. Los servicios que proveerá el sistema responden a diferentes necesidades:a) Servicio abierto gratuito, para el público en general, frecuencias E5A, E5B y L1 b) Servicio para aplicaciones críticas, trasporte en general, Frecuencias E5A, E5B y L1c) Servicio comercial, aplicaciones de mercado, pagado, Frecuencias E6d) Servicio público regulado, aplicaciones gubernamentales, Frecuencias E6 y L1e) Servicio de búsqueda y salvamiento, servicio SAR mejorado.

Los sistemas de posicionamiento satelital (GPS - GLONASS- GNNS y otros similares como EGNOS, WAAS en EE.UU, MSAS en Japón, y GAGN en India) nos permite obtener




distancias , rumbos o azimut , velocidades de desplazamiento , ubicación espacial , todo a través de sus coordenadas que nos entregan sus receptores, por lo tanto es otra forma de medir distancias entre puntos.

Bibliografía y Referencias de pág. web: www.cuentapasos.cl/www.caminar-mas.blogspot.com/2006/09/el-reloj-cuenta-pasos.htmles.wikipedia.org/wiki/Podómetrowww.scheitler.com.ar/Productos/podómetros/PD-130P.aspxes.wikipedia.org/wiki/teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/.../telemetro.htmTopografía para Ingenieros, Philip Kissam, capitulo3, ítem3-45 al 3-49 McGraw-Hill www.esa.int/.../Galileo_una_constelacion_de_30_satelites_de_navegacio.www.xatakaciencia.com/tecnologia/fundamentos-del-gpswww.upv.es/satelite/trabajos/pracGrupo4/glonass.htm


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