CAPTULO 2 . RACES DE ECUACIONES. ...................................................................................... 152.1 RACES DE ECUACIONES. ..........................................................................................................162.2 MTODOS NUMRICOS PARA LA DETERMINACIN DE RACES DE ECUACIONES .......................................... 182 .3 EL USO DE GRFICOS. .............................................................................................................. 182.4 MTODO DE BISECCIN. ............................................................................................................ 212.5 MTODO DE LA SECANTE........................................................................................................... 252.6 MTODO DE LA SECANTE MODIFICADO .......................................................................................... 262.7 MTODO DE LA FALSA POSICIN .................................................................................................. 272.8 MTODO DE NEWTON-RAPHSON .................................................................................................. 322.9 LOCALIZACIN DE LA RAZ DE UNA FUNCIN MEDIANTE BIBLIOTECAS Y PAQUETES DE SOFTWARE......................................................................................................................... 362.9 .1 Excel.................................................................................................................................. 362.9.1.1 Buscar Un Resultado Especfico De Una Celda Ajustando El Valor De Otra Celda Mediante Buscar Objetivo....................................................................................................362.9.2 MATLAB............................................................................................................................ 372 .9.2.1 Uso De MATLAB Para Localizar Races............................................................................382 .9.2.2 Uso De MATLAB Para Manipular Y Determinar Las Races de Polinomios .......................392.10 PROBLEMAS DE APLICACIN. ...................................................................................................... 41CAPTULO 2CAPTULO 2. . Races de EcuacionesRaces de Ecuaciones2.1Races De EcuacionesSe le conocen como soluciones o racesde una ecuacin a aquellos valores de xque hacen que se verifique que se cumpla: f(x) = 0. Debido a esto, algunas veces a las races se les conoce como ceros de la ecuacin.y = f (x)y x Raz de una ecuacinDentro de una funcin existen dos tipos de variables: Aquellas cuyos valores no dependen de ninguna otra, conocidas como variables independientes. Yaquellascuyosvaloresdependendelosvaloresquetoman otras, es decir, estn en funcin de las variables independientes, y se denominan variables dependientes.En la resolucin de problemas de aplicacin de ingeniera es comn el determinar las races de una ecuacin. Dada la importancia de la resolucin de este tipo de problemas, a travs de los aos se han formulado un buen nmero de mtodos para determinar las races de una funcin. Seguramente, algunos de los tipos de ecuaciones con que se tenga ms familiaridad son ecuaciones lineales, de la forma:f(x) = a x + bDondeladeterminacindelasracesnotienemayor problemayse encuentra despus de un simple manejo algebraico obtenindose: x = -b /aOtro tipo, son las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadrticas de la forma:c bx ax x f + + 2) (Donde se pueden evaluar sus races a travs de la frmula:ac a b bx t 242Ambos tipos, sepueden resolver demanera analtica, al igual que muchosotrostiposdeecuacionesalgebraicasytrascendentales, peroenla prctica se llegan a encontrar muchas otras funciones cuya resolucin analtica no es posible o requiere de una manipulacin algebraica ms compleja,que llega a consumir ms tiempo. Debido a tales funciones, radica la importancia de conocer ymanejar losdiferentesmtodosnumricosparalaresolucinde ecuaciones y gracias aldesarrollo de diversos lenguajes de programacin es posible implementar estos mtodos para lograr la determinacin de las races de ecuaciones por medio de las computadoras.Si se quisiera obtener la raz de la funcin:f(x) = sen (x) x2, se podr observar que no es posible resolverlo por mtodos analticos ya que no hay maneradeexpresar deformaexplcitalavariablex. Detal forma, lanica opcin es aproximarse a la solucin a travs de algn mtodo.Una alternativa es hacer una estimacin aproximada de la raz por medio del mtodo grfico, sin embargo, este mtodo es poco preciso. Otra forma para determinar la raz de la ecuacin puede ser el mtodo de ensayo y error, donde se supone un valor de x y se verifica si cumple con la ecuacin, de no serlo se toma un nuevo valor y se evala para verificar si elnuevo valor hace cero la ecuacin, de no hacerlo, se contina con la bsqueda. Resulta obvio lo largo y tedioso que puede tornarse ese mtodo. En ambos mtodos se pierde bastante tiempo en su ejecucin y resultan poco exactos, adems de ser ineficientes e inadecuados por s solos. Lo anterior sepuede explicar demanera ms sencillamediante el siguiente planteamiento: tenemos una raz en una determinada funcin dentro de un intervalo del 1 al 100, entonces para aproximarse a esta raz, se prueba si el nmero es, por ejemplo 28, sin embargo, al sustituirlo en la funcin f(x),se comprueba que x=28 devuelve una f(x) menor a 0, por lo tanto el intervalo ahora se encuentra entre el nmero 28 y el nmero 100. Nuevamente se busca la raz, ahora sustituyendo f(x) en x=55, observando que f(55) es mayor a 0, por lo que intervalo se encuentra entre los nmeros 28 y 55, finalmente se pruebaf(x) en x= 46 y se obtiene la raz de la funcin.Este es el puntode partida de los Mtodos Numricos:Las aproximaciones,pero a diferencia del caso anterior,aproximaciones obtenidas de una forma ordenada.2.2Mtodos Numricos Para La Determinacin De Races De EcuacionesLastcnicasatratar se puedenclasificarendoscategoras:mtodos cerrados y mtodos abiertos. Los procedimientos cerrados o por intervalos consisten precisamente en determinar primero el intervalo que contiene a la raze ir reduciendo el tamao de dicho intervalo gradualmente hasta acercarse lo suficiente a la raz. Por otra parte, se puede decidir si se ha acercado lo suficiente a la raz por medio de la estimacin del error de aproximacin.Losprocedimientos abiertosnorequieren del establecimientodeun intervalo que contenga la raz, sino que a partir de un valor se va acercando de diversas maneras hacia la raz. Al igual que en los cerrados, se debe establecer un criterio de paro basado en que el error est por debajo de algn valor previamente especificado o haber realizado un cierto nmero de iteraciones. Losmtodosabiertosconvergenmsrpidoalarazquelos mtodos cerrados, pero no siempre funcionan. Esto se discutir ms adelante.Los mtodos anteriores funcionan tambin para encontrar las races de polinomios, pero slo sirven para determinar races reales. Es importante mencionar que elestablecimiento de los intervalos o delvalor inicial va a depender del tipo de problema de aplicacin en cuanto a ingeniera se refiere, y deben adecuarse de acuerdo a los criterios de planteamiento del problema as como de los resultados que se tienen previstos o que son razonables.En este trabajo, comenzaremos con la exposicin de los mtodos ms sencillos,pero que requieren de ms iteraciones para alcanzar elobjetivo,y terminaremosconlosquecuentanconunagranrapidezyefectividadpara alcanzar la raz pero que son basados en clculos que pueden resultar complicados. Al llegar alatcnicanumricamseficiente, nospodramos preguntar el por qu de la existencia de varios mtodos, sin embargo, se podr observar que unos tienen mayor eficacia en ciertos casos que en otros.2.3El Uso De GrficosLosgrficoseranmtodosqueservandebaseparaimplementar y desarrollar muchos otros mtodos, pero en la actualidad son lentos y anticuados. En el desarrollo de este trabajo, nos servirn de apoyo para lograr unamejor comprensindelostemas, perosinperder devistaqueparala resolucin de problemas ingenieriles no son indispensables. Los grficos son una representacin geomtrica de la funcin a evaluar. El punto donde corta la grfica con eleje de las abscisas o eje de las x, es la raz de la funcin, es decir, el valor de x, tal que se cumple f(x) = 0Ejemplo 2.3.1Considere la funcinf(x) =sen(x) x2, dondexest en radianes. Determine las races de la ecuacin utilizando grficos.Solucin:Se desea encontrar los valores de xque hacen cero la funcin. Para ello, se evala la funcin para varios valores de x y despus se grafica.x (en rad) f(x) = sen x - x2-0.2 -0.238670 0.000000.2 0.158670.4 0.229420.6 0.204640.8 0.077361 -0.15853f (x) = sen x - x2-0.4-0.200.20.4-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x, radf(x)De la tabla de evaluaciones y la grfica se observa que la funcin posee dosraces, unasituadaexactamenteenel puntox=0, quecumpleconla condicin de f(x) = 0.sen(0)-(0)2 = 0La otra raz se localiza entre 0.8 y 0.9. Se puede mejorar la estimacin de la raz ampliando la tabla en el intervalo de 0.8 a 0.9, donde se sabe est localizada la raz.x (en rad) f(x) = sen x -x20.8 0.077360.82 0.058750.84 0.039040.86 0.018240.88 -0.003660.9 -0.02667Si seprosigueampliandolatabladeevaluaciones, sepodr mejorar cada vez ms la estimacin de la raz cuyo valor es 0.876726215...Del ejemplo anterior se puede observar la imprecisin que implica el uso degrficos, stospermitenunaestimacindel intervalocuandosetratade ecuaciones meramente matemticas, sin embargo una mayor precisin consume ms tiempo.Existen funciones cuya graficacin manual implicara una labor detallada y requerira por tanto ms tiempo, por lo que se usan las grficas asistidas por computadora quefacilitan y mejoran lalocalizacin delas races deuna ecuacin. Tal es el caso de la funcin f(x) = sen(10 x) + cos(5 x), que presenta mltiples races y un comportamiento sinusoide muy remarcado.Existen diversos paquetes computacionales con funciones de graficacin excelentes, como es el caso de Excel, MATLAB o Mathcad.Ejemplo 2.3.2Determine las races de la funcin f(x) = sen(10 x) + cos(5 x).Solucin:Utilizando MATLAB, se genera primero el intervalo:x={0:0.1:5};y=sin(10*x)+cos(5*x);Plot(x,y);O bien:Ezplot(sin(10*x)+cos(5*x),[0,5]);0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4 4 . 5 5- 2- 1 . 5- 1- 0 . 500 . 511 . 52xs i n ( 1 0 x ) + c o s ( 5 x )Podemos observar que la grfica tiene varias races en este intervalo, pero suponiendo que nos interesa la raz cercana a 4.5, se puede mejorar la precisin de esta raz, ampliando el grfico. 2.4 Mtodo De BiseccinComo se haba expresado en la seccin 2.1 con elmtodo del tanteo, nuestro primer mtodo numrico se deriva de la bsqueda de una aproximacin cuyo procedimiento sea ordenado. Surgeas, el mtodo de biseccin, tambin conocido como de corte binario, de particin de intervalos o deBolzano, enestemtodo, nuestrointervalosevadividiendoenmitades hasta encontrar la raz, as como otros mtodos, se basa en el hecho de que la funcincambiadesignoaambosladosdelaraz, porloquesetomanen cuenta los valores en cuyo intervalo exista un cambio de signo.Recuerdelagrficadel problemaquehemosvenidomanejando, en donde claramente nuestra f(x) sufre un cambio de signo a ambos lados de las races:f (x) = sen x - x2-0.4-0.200.20.4-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2x, radf(x)Si la funcin a evaluar, f(x),es real y continua en el intervalo limitado por xl, limiteinferior, yxu, limitesuperior, yf(xl)yf(xu)tienensignosopuestos, entonces, habr al menos una raz real en dicho intervalo.El mtododebiseccinrequiere, por tanto, el establecimientodelos lmitesdel intervaloylacomprobacindequeendichointervaloocurrael cambiodesigno. Estemtodoconsisteenir dividiendoesteintervaloen intervalosmspequeosparamejorar laexactituddelaraz. Paraello, el intervalo inicial se divide en dos subintervalos iguales y se evala si el cambio designoocurreenlaprimeramitadoenlasegunda, paraposteriormente dividir el intervalo donde ocurra el cambio de signo en dos. Las divisiones se efectan sucesivamente hasta alcanzar una mejor estimacin en la raz. Si) ( ) (r lx f x f < 0, la raz se localiza entre lxy rx, y uxtomar el valor de rx Si) ( ) (r lx f x f > 0, la raz se localiza entre uxy rx, y lxtomar el valor de rx Si ) ( ) (r lx f x f = 0, la raz se localiza en rxEn el planteamiento de encontrar la raz de una funcin, en este caso: 239 . 0 05 . 0 0012 . 0 ) (2 x x x f , en un intervalo cuya xl=1y xu=100, primero se divide el intervalo verificando si es 50, como no lo es, se observa que el cambio de signo se encuentra entre xl=1 y xu=50:+ +- -1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 1001 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 1001 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 1001 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100Posteriormentesedivideel intervaloendospartesigualesahorase prueba elnmero 25, y debido a que no se trata de la raz de la ecuacin, observamos que la funcin cambia de signo en xl=25 y xu=50. Nuevamente se divide el intervalo entre dos, obteniendo ahora el nmero 37.5 que tampoco se trata de la raz, de esta manera nuestro nuevo intervalo ser xl=37.5 y xu=50, el mtodo contina hasta cumplir con 0 ) ( x f, en este caso el nmero 46.Ejemplo 2.4.1Resuelvalafuncinf(x)=sen(x)-x2por el mtododebiseccin. Dela grfica se sabe que la funcin posee dos races, una de x=0 y otra ubicada entre x=0.8 y x=0.9. Determinaremos el valor de esta ltima raz.Solucin:Estableceremos el lmite inferior del intervalo como0.8 y el lmite superior como 0.9. Observe que la funcin evaluada en dichos puntos posee signos opuestos.A continuacin se divide el intervalo en dos, estimando as el valor de la raz inicial, denotada por xr:85 . 029 . 0 8 . 0+rxRecuerdequelarazreal es 0.876726215, esto da un error verdadero de: t =3.048 %A continuacin se evala en qu subintervalo se realiza el cambio de signo.f(0.85)= sen(0.85)-(0.85)2=0.02878.Se verifica si el cambio ocurre entre xl y xr si:f(xl) *f(xr) 0, la raz se localiza entre uxy rx, y lxtomar el valor de rx Si ) ( ) (r lx f x f = 0, la raz se localiza en rxEl mtodo de la falsa posicin es un procedimiento iterativo que se repite hasta que la aproximacin a la raz sea adecuada. La eficiencia de este mtodo radica en una convergencia ms rpida hacia la raz. En las siguientes grficas se puede observar el proceso que sigue este mtodo numrico con la funcin:1522 . 2 0837 . 0 0006 . 0 ) (2+ x x x f . En el paso uno, se cuenta con un intervalo de xl=1y xu=100se extiende una lnea recta queunef(xl)conf(xu)yas seobtieneunanuevaxr. Observandoel nuevo intervalo que incluye un cambio de signo, se procede a encontrar la nueva xr, este paso se repite hasta llegar a una aproximacin ptima de la raz.Ejemplo 2.7.1Se determinarla raz de f(x)=sen (x)-x2en el intervalo de 0.8y0.9, hasta que el error sea menor o igual a 0.5 %.Solucin:i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) at1 0.8 0.90.874360.07736 -0.02670.00263- 0.270%20.87436 0.90.876660.00263 -0.02670.00007 0.262% 0.008%Del ejemplo se observa la rpida convergencia del mtodo de la falsa posicin, comparado con la del mtodo de biseccin.Sin embargo, existen casos donde el mtodo de la falsa posicin converge muy lentamente, considere el siguiente problema:Ejemplo 2.7.2-1-0.500.511.522.50 20 40 60 80 100xlxuf(xu)f(xl)xr-1-0.500.511.522.50 20 40 60 80 100f(xu)xuxrf(xl)xl-1-0.500.511.522.50 20 40 60 80 100f(xu)xuxrf(xl)xl-1-0.500.511.522.50 20 40 60 80 100f(xu)xuxrf(xl)xlDetermine la raz de la siguiente funcin:f(x) = 5 x 8 0.1, en el intervalo de 0 a 1 con un s menor o igual al 0.5 %.f(x)=5x8- 0.1-10123450 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1xSolucin:Empleando el mtodo de la falsa posicin se obtiene:i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) at1 0 1 0.02 -0.1 4.9 -0.1 - 96.74%2 0.02 1 0.0396 -0.1 4.9 -0.1 49.49% 93.54%3 0.0396 1 0.05881 -0.1 4.9 -0.1 32.66% 90.41%. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .50 0.57796 1 0.58118 -0.0378 4.9 -0.0349 0.56% 5.23%51 0.58118 1 0.58415 -0.0349 4.9 -0.0322 0.51% 4.74%52 0.58415 1 0.58686 -0.0322 4.9 -0.0297 0.46% 4.30%Como se observa, se necesitan 52 iteraciones para alcanzar un xrcon un menor al 0.5%.Se puede apreciar as, la lenta convergencia que muestra el mtodo de lafalsaposicinenestecaso, estoesporquenuestrointervalocontiene puntos muy cercanos a la raz. Este caso se presenta en funciones que no se comportan de acuerdo a lo que supone el mtodo, es decir, ocurre en aquellas funciones donde el valor de la ecuacin en uno de los extremos del intervalo es ms prximo a cero que el del otro extremo, pero est ms distante a la raz. Por ello, un paso de utilidad aincluir enlosprogramas decmputoquees realizar lasustitucindel resultado en la ecuacin para verificar si se aproxima a cero.Ejemplo 2.7.3Considere ahora la funcin f(x) = x 3 +4 x 2 + 5 x +2. Determine la raz en el intervalo de 2.5 1.5 y de 1.5 a 0.5.Solucin:Empleando el mtodo de la falsa posicin para el intervalo de 2.5 a 1.5 se obtiene.i xl xu xr f(xl) f(xu) f(xr) at1 -2.5 -1.5 -1.6 -1.125 0.125 0.144 - 20.00%2 -2.5 -1.6 -1.7021 -1.125 0.144 0.146856.00%14.89%3 -2.5 -1.7021 -1.7942 -1.125 0.146850.129795.13%10.29%4 -2.5 -1.7942 -1.8673 -1.125 0.129790.099843.91%6.64%5 -2.5 -1.8673 -1.9188 -1.125 0.099840.068532.69%4.06%6 -2.5 -1.9188 -1.9522 -1.125 0.068530.043341.71%2.39%7 -2.5 -1.9522 -1.9725 -1.125 0.043340.025991.03%1.37%8 -2.5 -1.9725 -1.9844 -1.125 0.025990.015090.60%0.78%9 -2.5 -1.9844 -1.9913 -1.125 0.015090.008590.34%0.44%Despus de varias iteraciones, el mtodo converge hacia la raz real de x=-2, lacual seobtienesi factorizamoslafuncin,obtenindosef(x)=(x+1)(x+1)(x+2).Para la evaluacin enelintervalode1.5a -0.5,seobserva quef (-1.5)=0.125 y f(-0.5) = 0.375.Dado que ) 5 . 0 ( ) 5 . 1 ( f f> 0, parecera indicar que no existe raz en este intervalo, lo que difiere de lo que se puede notar en la forma factorizada de la funcin, que indica una raz en x = -1. Visto mediante una grfica: -3-2.5-2-1.5-1-0.50 -3 -2 -1 0 1 2 x Este hecho remarca la importancia de buscar intervalos que se acerquen lo ms posible a nuestra raz.Doscasos sencillosquepuedenpresentarse enlaestimacindeuna raz por medio de cualquiera de los mtodos cerrados, es que en el intervalo definido por xl y xu exista una sola razo no exista.f(xu) f(xl) xl xu x Y f(xu) f(xl) xlxu x Y Por otro lado, existen otros tipos de casos que pueden presentarse muy comnmente, por ejemplo, si f(xl) * f(xu) > 0, nos indicara que no existe raz en el intervalo, cuando en realidad s existe, tal como sucedi en el ejemplo 2.4.5. En tal ejemplo,lafuncinf(x)=(x+1)(x+1)(x+2)sehacecerocuando x = -2 y cuando x = -1. Esta ltima raz se conoce como raz mltiple, haciendo cero a dos trminos en esta funcin, observndose un comportamiento tangencial de la funcin en este punto respecto al eje x. Sif(xl) * f(xu) < 0, existe un nmero impar de races en el intervalo limitado por lxy ux Si f(xl) * f(xu) > 0, podr ya sea no existir o existir un nmero par de races, en el intervalo limitado por lx y uxExisten casos en que estas generalizaciones no se cumplen, tal como es el caso de las funciones con puntos tangenciales al eje x, y las funciones que presentan discontinuidad.f(xu) f(xl) xl xu x Y f(xu) f(xl) xl xu x Y El mtodo delafalsa posicin constituye una mejora alos mtodos de biseccin y secante aprovechando tcnicas que ambos utilizan. Disminuye el nmero de iteraciones si se cuenta con un intervalo cercano a la raz.2.8 Mtodo De Newton Raphson Finalmente, si sequisieraperfeccionar losmtodospresentadoscon anterioridad, buscaramos basarnos en un mtodo abierto que slo tuviera un valor inicial. Posiblemente el extender una lnea que se extienda de dicho valor Casos en que f(xl) * f(xu) < 0, teniendo un nmero par de races en el intervalo limitado por xl y xu.xf(x)f(xi)m=f(xi+1)xi+1xixf(x)f(xi)xi+1xim=f(xi+1)iniciala xi+1donde f(xi+1)=0,lo que implicara que esta lnea fuera tangente al punto inicial.Buscando la frmula que define el punto que se establecer como valor inicial y tomando en cuenta que al prolongar una recta hasta interceptar al eje x se obtiene un nuevo punto llamado xi+1, que representa una estimacin a la raz de la funcin, se deduce la siguiente ecuacin:10+i iix x) f(xm(2.10)Al observar detenidamente la grfica, se observa que el punto m obtiene el valor de la pendiente de la recta tangente a este punto lo cual significa que m es el valor de la derivada de la funcin:10) (+ i iiix x) f(xx f m(2.11)Despejandoxi+1, se deduce la frmula para el mtodo deNewton-Raphson:) (x f) f(xx xiii i +1(2.12)Resumiendo, estatcnicaconsisteentrazar unalneatangenteaun valor propuesto xi, sustituyndolo en la frmula (2.12), si elvalor obtenido de xi+1 se aproxima al valor esperado, entonces nuestra xi+1 obtenida, se convierte en elnuevo valor de xi, y se vuelve a sustituir en la ecuacin (2.12), esto se repite hasta llegar a una aproximacin ptima.Engeneral, el mtododeNewtonRaphsonesmuyeficiente, yaque presenta una convergencia cuadrtica. Esto significa que elnmero de cifras decimalescorrectasaproximadamenteseduplicaencadaiteracin. Enlas grficassiguientessemuestracomoesqueel MtododeNewton-Raphson avanza con la funcin 64 . 56 0248 . 0 0251 . 0 ) (2 x x x f a lo largo de sus iteraciones: xf(x) f(xi)xi+1ximSin embargo, en ocasiones converge lentamente o incluso llega a comportarse de manera divergente. Situaciones donde elmtodo llega a ser divergentesonaquellas funciones dondesepresentanpuntos deinflexin (f(x)=0), ycuandoenlacercanadelarazsepresentanmximoso mnimos (f (x)=0) que causan, debido a la expresin de la frmula para estimar la raz, una divisin entre cero.Ejemplo 2.8.1Calcule ahora la raz de f(x)= sen (x) x2, utilizando el mtodo de Newton Raphson. Utilice como valor inicial xi= 0.8Solucin:La primera derivada de la funcin es:x x cos (x) f 2 Empleando el mtodo de Newton Raphson:) 2(x ) cos(x) (x ) sen(xx xi i2i ii 1 i +Con un xi = 0.8i xi f(xi) f'(xi) xi+1 % a % t1 0.8 0.0773561 -0.903293 0.8856378 9.67 1.022 0.8856378 -0.010036 -1.13848 0.8768229 1.01 0.013 0.8768229 -0.000108 -1.114049 0.8767262 0.01 1.32 E-06Senotaqueel mtodoconvergemuyrpidamente, tantoqueenla tercera iteracin se alcanza un valor de la raz estimada con un t igual a 1.32 x 10-6. -200-1000100200300400-30 -10 10 30 50 70 90 110 130 150xif(xi)25 . 300 1373 . 8 3484 . 0 0023 . 0 ) (2 3+ + x x x x fLapresenciaderacesmltiplesafectael desarrollodel mtodode Newton-Raphson, ocasionandounaconvergencianocuadrtica, sinolineal, quehacemslentalaconvergencia. Unaalternativaesutilizar unanueva funcin definida por el cociente de la funcin original sobre su derivada:) x ( ' f) x ( f) x ( u (2.10)Cuyas races se obtienen con el mtodo de Newton-Raphson, como:) x ( ' u) x ( ux xiii i +1 (2.11)Si se deriva u(x) respecto a x para obtener u(x) y se sustituye u(x) y u(x) en la ecuacin anterior (2.11), se obtiene:[ ] ) x ( ' ' f ) x ( f ) x ( ' f) x ( ' f ) x ( fx xi i ii ii i +21 (2.12)Ejemplo 2.8.2Empleando el mtodo de Newton-Raphson estndar y modificado, evale la raz mltiple siguiente, utilizando como valor inicial x = 0.( ) 3 7 52 3 + x x x x fSolucin:La primera derivada de la ecuacin es:( ) 7 10 32+ x x x ' fEl mtodo de Newton-Raphson estndar para este problema es:7 10 33 7 522 31+ + +i ii i ii ix xx x xx xi xi % t0 0 1001 0.4285714 572 0.6857143 313 0.8328654 174 0.9133290 8.75 0.9557833 4.46 0.9776551 2.23El mtodo converge en forma lineal hacia el valor verdadero 1.0.Para el caso del mtodo modificado, la segunda derivada es: ( ) 10 6 x x ' ' fEn consecuencia, la ecuacin iterativa ser:( )( )( ) ( )( ) 10 6 3 7 5 7 10 37 10 3 3 7 52 3222 2 31 + + + + +i i i i i ii i i i ii ix x x x x xx x x x xx x i xi % t0 0 1001 1.105263 112 1.003082 0.313 1.000002 0.00024De esta manera, la frmula modificada converge en forma cuadrtica.Podemos concluir lo siguiente: El mtodo de Newton Raphson es de gran utilidad cuando se quiere llegar a una aproximacin acelerada, sin embargo su convergencia depender de la naturalezadelafuncinydelacercanaconqueseestablezcael valor inicial. El mtododeNewtonRaphsonmodificado, resuelveel hechode contar con races mltiples, pero ambas tcnicas requieren clculos de derivadas lo que puede complicar la situacin si se trata de derivadas complejas.2.9Localizacin De La Raz De Una Funcin Mediante Bibliotecas Y Paquetes De SoftwareLas bibliotecas y los paquetes de cmputo tienen gran capacidad para localizarraces. En esta seccin, se ofrece una muestra de los ms tiles.2.9.1 ExcelExcel determina races de una ecuacin el mtodo del tanteo, introduciendo un valor para la variable independiente en una celda y luego en otra celda la frmula de la variable dependiente, entonces Excel vara el valor de la primera celda hasta que el valor de la celda con la variable dependiente se aproxime a cero. Adems del mtodo anterior, Excel presenta las herramientas: Buscar Objetivo y Solver, que son empleadas tambin para ajustar valores iniciales. 2.9.1.1Buscar Un Resultado Especfico De Una Celda Ajustando El Valor De Otra Celda Mediante Buscar Objetivo1. En el men Herramientas, haga clic en Buscar objetivo.2. En elcuadro Definir celda, introduzca la referencia de la celda que contenga la frmula que desee resolver.3. En el cuadro Con el valor, introduzca el resultado que desee (cero en este caso).4. Enel cuadroParacambiar lacelda, introduzcalareferenciadela celdaquecontengael valor quedeseeajustar. Aestaceldadebe hacer referencia la frmula en la celda especificada del cuadro Definir celda.Ejemplo 2.9.1Resolver laecuacin ( ) 10 ) ( 2 . 12 x sen x conlaherramientaBuscar Objetivo.Solucin:Primero, enlahojadeclculoseestablecelafuncincuyarazse desea obtener (B2), calculando su valor en base a otra celda (A2), en este caso se da un valor inicial de x de 0. A B C1 x f(x)2 0=1.2*(A2-SENO(A2^2))-10La ventana de dilogo para Buscar objetivo se llena como sigue:Cuando se selecciona el botnAceptar, una ventana de mensaje presenta los resultados:Los resultados obtenidos son los siguientes:A B C D1 x f(x)2 8.13470296 -1.60646E-05LaherramientasolveresmssofisticadaqueBuscar Objetivo, porque puede variar simultneamente varias celdas y adems de llevar la celda destino a un valor, ste puede minimizarse o maximizarse. 2.9.2 MATLABMATLABes capaz delocalizar races en ecuaciones algebraicas y transcendentales, siendoexcelente para lamanipulacin y localizacin de races de los polinomios. La funcin fzero est diseada para localizar la raz de una funcin. Una representacin simplificada de su sintaxis es:fzero (f,xo, opciones)Donde f es la funcin que se va a analizar, xo es el valor inicial y opciones son los parmetros de optimizacin (stos pueden cambiarse al usar la funcin optimset). Si noseanotanlasopcionesseempleanlosvaloresporomisin. Observe que se pueden emplear uno o dos valores iniciales, asumiendo que la razestdentrodel intervalo. El siguienteejemploilustracmoseusala funcin fzero.2.9.2.1 Uso De MATLAB Para Localizar RacesEjemplo 2.9.2Utilice la funcin fzero de MATLAB para encontrar las races de: f(x) = -2x6+3.4Cabe mencionar que existen dos races, una positiva y una negativa, dentro del intervalo de -1.3 a 1.3Solucin:Bajo las condiciones iniciales de xl=0y xu=1.3para la raz positiva, se calcula como sigue: xo=[0 1.3]; x=fzero(inline('-2*x^6+3.4'),xo)Zero found in the interval: [0, 1.3].x =1.0925Demanerasemejanteseempleanlosvaloresiniciales1.3y0para determinar la raz negativa. xo=[-1.3 0]; x=fzero(inline('-2*x^6+3.4'),xo)Zero found in the interval: [-1.3, 0].x = -1.0925El uso de optimsetse ilustra al mostrar en pantalla la forma en que las iteraciones conducen a la solucin. xo=[-1.3 0]; options=optimset('display', 'iter'); x=fzero(inline('-2*x^6+3.4'),xo,options) Func-countx f(x) Procedure1-1.3-6.25362initial2 0 3.4initial3 -0.457859 3.38157interpolation4-0.87893 2.47795bisection5-1.08946 0.0556683bisection6-1.09346-0.0185438interpolation7-1.09246 0.000127361interpolation8-1.092472.88478e-007interpolation9-1.09247 -1.46549e-014interpolation 10-1.092471.77636e-015interpolationZero found in the interval: [-1.3, 0].x = -1.0925Estosresultadosilustranlaestrategiaempleadaporfzerocuandose tiene unintervalo. Primeroevalalafuncinenlosextremosdel intervalo. Despus usa una combinacin del mtodo de biseccin e interpolacin para dirigirnos a la raz. La interpolacin considera tanto el mtodo del la secante como la interpolacin cuadrtica inversa.La funcin fzeropuede emplearse tambin con un valor inicial en lugar de un intervalo, en cuyo caso busca primero en la vecindad del valor inicial hasta detectar un cambio de signo y posteriormente emplea la combinacin de biseccin e interpolacin cuadrtica. xo=1; x=fzero(inline('-2*x^6+3.4'),xo)Zero found in the interval: [0.88686, 1.1131].x =1.0925Se tiene que para ese valor, la funcin fzero llevar a la raz a su valor positivo.2.9.2.2 Uso De MATLABPara Manipular YDeterminar Las Races De PolinomiosEjemplo 2.9.3AnalicecmoseempleaMATLABparamanipular ydeterminar las races de polinomios. Use la siguiente ecuacin:[3]f(x) = x5 - 3.5 x4 + 2.75 x3 + 2.125 x2 3.875 x + 1.25que tiene tres races reales:0.5, -1.0, 2 y un par de races complejas: -1t0.5 i.Solucin:El polinomioseintroduceenMATLABalmacenandoloscoeficientes como un vector. Por ejemplo, introduciendo los coeficientes en el vector a: a=[1 -3.5 2.75 2.125 -3.875 1.25];Despus se procede a manipular elpolinomio, por ejemplo, podemos evaluarlo en x=1, tecleando: polyval(a,1)Que resultar(1)5 - 3.5 (1)4 + 2.75 (1)3 + 2.125 (1)2 3.875 (1) + 1.25= -0.25ans = -0.2500Para evaluar la derivada del polinomio utilizamos la siguiente orden: polyder(a)ans =5.0000-14.00008.25004.2500 -3.8750[3] MATLAB. Chapra, Steven C.Pg. 201A continuacin, se crea un polinomio cuadrtico que tiene dos de las races originales de la ecuacin: 0.5 y-1. Esta cuadrtica es (x-0.5)(x+1)= x2 + 0.5x 0.5 y se introduce en MATLAB como el vector b b=[1 0.5 -.5];Se divide el polinomio original a entre este polinomio b con: [d, e]=deconv(a,b)El resultadodeladivisinesunpolinomiodetercer grado(d) yun residuo (e):d =1.0000 -4.00005.2500 -2.5000e = 0 0 0 0 0 0Debido a que el polinomio es un divisor perfecto, el residuo polinomial tiene coeficientes iguales a cero. Ahora las races del cociente polinomial se determinan como: roots(d)Con el resultado esperado para las races faltantes del polinomio original.ans = 2.0000 1.0000 + 0.5000i 1.0000 - 0.5000iAhora, al multiplicar d por b se regresa al polinomio original conv(d,b)ans =1.0000 -3.50002.75002.1250 -3.87501.2500Finalmente, podemos determinar todas las races del polinomio original con r=roots(a)r =-1.0000 2.0000 1.0000 + 0.5000i 1.0000 - 0.5000i 0.50002.10 Problemas De AplicacinProblema1:Utilice las funciones ya existentes en el software de MATLAB para resolver el problema que se presenta a continuacin:[3]En ingeniera ambiental se puede usar la siguiente ecuacin para calcular el nivel deoxgenoenunroaguasabajodesdeunadescargade aguas residuales:) ( 20 1075 . 0 2 . 0 x xe e c Donde x es la distancia aguas abajo en kilmetros. Determine la distancia aguas abajo donde elnivelde oxgeno cae primero a una lectura de 5. Este valor se encuentra alrededor de los 2 km de la descarga.Solucin:Debemos encontrar el valor de la distancia en km (x) para en donde el valor de la concentracin de oxgeno es igual a 5.Primero, creamos un archivo .m con la funcin:( ) c e e x fx x ) ( 20 1075 . 0 2 . 0function f=distancia(x)c=5;f=10-20.*(exp(-0.2.*x)-exp(-0.75.*x))-c;Podemosgraficar lafuncinmedianteezplotparavisualizar dndese localiza la raz. Recuerde lo siguiente: Sabemos que dicho valor se encuentra dentro de los 2 km de descarga por lo que podemos graficar estableciendo un intervalo de 2 a 10 km ezplot('distancia(x)',[2,10])Se genera la siguiente grfica:[3] Problemas propuestos. Chapra, Steven C.Pg. 225La raz parece estar muy cercana a7, para obtener una mejor apreciacin de lo que sucede ampliamos la zona donde la grfica corta con el eje y.Revisando la grfica, observamos que la raz de la ecuacin se encuentra muy cercano a x = 6.7. As que podemos utilizar este valor en fzero como sigue: [x,value]=fzero('distancia',6.7)Zero found in the interval: [6.5105, 6.8895].x =6.8121value = 0Por lo tanto, la distancia donde el nivel de oxgeno cae a una lectura de 5 es: 6.8121 km.Problema 2. Antecedentes: Leyes de los gasesTodas las ecuaciones que relacionan la presin, el volumen y la temperaturayquetratandereproducir adecuadamentelaconductadelos gases reales sonconocidas comoecuaciones deestado. Engeneral, las ecuaciones ms precisas son tambin las ms complejas y en este contexto, la ley del gas ideal es la ms simple de todas, y se expresa como:P V= n R TLa ecuacin de Van Der Waals para mejorar la ley del gas ideal es:( ) RT bap

,_

+ 2Donde:ase relaciona con el efecto de las fuerzas atractivas.bes el volumen efectivo de las molculas es el volumen molar *Las constantes a yb son diferentes para cada gas.Planteamiento del Problema:Una empresa sintetiza amoniaco a partir de H2 y N2 con la reaccin:N2 H23NH3+Al almacn llegan tanques llenos de las materias primas, elH2y N2, de capacidad de 30 l y 50 l respectivamente. El amoniaco producido se almacena en tanques, en forma lquida. Las condiciones de los tanques de H2 y N2son de200 K, bajo una presin de 35 atm.Calcule, a partir de estos datos, el nmero de moles deH2yN2 contenidos en cada tanque, con base en la ecuacin de Van Der Waals.Los valores de las constantes son:Para N2 a = 1.390 atm l/mol2 b = 0.03913 l/molPara H2 a = 0.2444 atm l/mol2 b = 0.02661 l/molSolucin:Metodologa: Emplearemos la ecuacin de Van Der Waals para determinar primero el volumen molar ocupado por cada gas.( ) RT bap

,_

+ 2La ecuacin se puede escribir como:( ) 02 3 + + ab a RT pb p Senecesitaencontrar el valor del volumenmolar quehacecerola funcin. Paraello, seemplearel mtododeNewton-Raphson. Recurdese que el mtodo de Newton-Raphson se expresa como:) u ( ' f) u ( fu uiii i +1Observe lo siguiente: En este problema un valor inicial puede ser obtenido por la ecuacin del gas ideal.RT p Por tanto:( ) ( )mol latmK atm/ 469 . 035200 K l/mol 08205 . 0 Seudocdigo: MATLABLas funciones cuyas races se desea encontrar se crean en MATLAB. El cdigo de las funciones tanto para el caso del nitrgeno como el hidrgeno se muestra en las siguientes figuras. Tambin se indica el cdigo para la derivada de cada una de estas funciones. Se crea un programa para el mtodo de Newton-Raphson talcomo se muestra a continuacin:%------------------------------------------------------------------------------------%%NEWTON RAPHSON Programa para encontrar la raz de una% funcin "fun" numricamente mediante el% mtodo de Newton-Raphson%------------------------------------------------------------------------------------%%funFuncin objetivo creada previamente%dfun Derivada de la funcin creada previamente%************************************************************************%function x=NewtonRaphson(fun,dfun,xi)es=0.01;imax=100;fi=feval(fun,xi);if fi==0 x=xi;else i=1;fprintf('-------------------------------------------------------------------------------------------------\n');fprintf('\t\tSOLUCION NUMERICA EMPLEANDO EL METODO DE NEWTON RAPHSON\n');fprintf('-------------------------------------------------------------------------------------------------\n'); fprintf('i xif(xi)df(xi)xrf(xr)ea\n');fprintf('-------------------------------------------------------------------------------------------------\n'); while (1) fi=feval(fun,xi); dfi=feval(dfun,xi); xr=xi-fi/dfi; ea=abs(((xr-xi)/xr)*100); fr=feval(fun,xr);fprintf('%5.0f',i);fprintf('%13.6f%13.6f%13.6f%13.6f%13.6f%13.6f\n',xi,fi,dfi,xr,fr,ea); xi=xr; i=i+1; if ea=imaxbreak endendx=xr; fprintf('-------------------------------------------------------------------------------------------------\n'); endEmpleando el valor inicial de 0.469 l/mol obtenido mediante la ley del gas ideal, se obtienen los siguientes resultados con el mtodo de Newton-Raphson:El volumen molar se expresa como:nV De donde se puede despejar el nmero de moles, n, obtenindose:molesl/mol 0.423l Vn 203 . 11850 Se realiza lo mismo para el H2. Los resultados son:Gases a 200 K y 35 atmN2 H2Volumen molar(Ley del gas ideal) en l/mol0.469 0.469Nmero de moles(a partir de la ley del gas ideal) en moles106.61 63.966Volumen molar(Ley de Van der Waals) en l/mol0.423 0.482Nmero de moles(a partir de Van der Waals) en moles118.203 62.241Problema 3: Otras Ecuaciones de EstadoAdems de la ecuacin de Van der Waals, se han propuesto un numeroso grupo de ecuaciones de estado. La forma de estas ecuaciones es de gran inters, ya que representan los diversos intentos para conformar los datos experimentales en una ecuacin con la ayuda del mnimo posible de constantes.Las ecuaciones de Kammerlingh-Onnes y de Holborn ilustran un tipo de ecuacin conocido con el nombre de forma virial. Estas ecuaciones son esencialmente exponenciales en / 1o en p, y las cantidades B, C, D, etc., se conocen con el nombre de coeficientes viriales. Estas ecuaciones son fundamentalmente semiempricas, es decir, las constantes han sido determinadas utilizando datos experimentales. La ecuacin de Beattie-Bridgeman, que incluye 5 constantes (sin contar R), y la ecuacin de Benedict-Webb-Rubin, lacual tieneochoconstantes, sonlasmejoresquesetienen actualmente. Naturalmente, el uso de estas ecuaciones requiere de gran consumodetiempo, particularmentecuandolosclculossellevanacabo manualmente en lugar de usar una computadora,aun cuando los resultados pueden, en ciertas circunstancias, ser ms exactos que los obtenidos por otros mtodos ms simples.La ecuacin de Beattie-Bridgeman est dada por:3 2 + + + RT p ,_

3TcRTAB RToo

,_

3Tc BRTa Ab B RTo oo ,_

3Tbc BRToUtilizando la ecuacin de Beattie-Bridgeman, calclese el volumen molar (en litro/mol) de amoniaco a 300 C y 200 atm de presin.Los valores de las constantes son:Ao= 242.48 X 10-3Pa m6/mol2Bo= 34.15 X 10-6m3/mola = 170.31 X 10-6m3/molb = 191.13 X 10-6m3/molc = 4768.8 K3m3/molSolucin:Primero, convertimos las constantes a las unidades adecuadas para el clculo.Ao=atm l2/mol2Bo=l/mola =l/molb =l/molc = K3l/molLa funcin a resolver es:( ) p RT f + + + 3 2Para encontrar la raz de esta ecuacin, podemos emplear el mtodo de lasecante, y desarrollar el cdigo en Visual Basic de Excel. Para crear funciones a utilizar en Exceles necesario elegirherramientasdelmen, hacer clic en Editor de Visual Basic. Despus seleccionar Insertar del men de Microsoft Visual Basic, hacer clic en Mduloy en ste, escribir el cdigo o cdigos que desea ejecutar.La funcin fun(v) se indica a continuacin:Function fun(v)T = 573.15P = 200R = 0.08205A0 = 2.39309B0 = 0.03415A = 0.17031b = 0.19113c = 4768800beta = R * T * (B0 - A0 / (R * T) - c / T ^ 3)gamma = R * T * (-B0 * b - A0 * A / (R * T) - B0 * c / T ^ 3)delta = R * T * (B0 * b * c / T ^ 3)fun = R * T + beta / v + gamma / v ^ 2 + delta / v ^ 3 - P * vEnd FunctionEl cdigo para la funcin secante es el siguiente:Function secante(x1, x2)Dim imax As Integer, I As IntegerDim es As Double, ea As DoubleDim xn As Double, xn_1 As Doublexn_1 = 0I = 0: imax = 100es = 1 * 10 ^ -5y1 = fun(x1)y2 = fun(x2)Doxn = (x1 * y2 - x2 * y1) / (y2 - y1)yn = fun(xn)x1 = x2y1 = y2x2 = xny2 = ynI = I + 1ea = Abs((xn - xn_1) / xn) * 100xn_1 = xnLoop While I < i_max Or es < easecante = xnEnd Function Se puede establecer el intervalo bajo el criterio de que el volumen molar debe ser mayor a cero.-1500-1000-50005001000150020002500300035000 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6vf(v)Se observa que la raz se encuentra muy cercana a cero. Como valores iniciales para v podemos emplear 0.001 y 0.01.A B C D E1 ECUACION DE BEATTIE-BRIDGEMAN23 V f(V)4 =secante(0.001,0.01) =fun(B4)5Despus de emplear la funcin, se obtienen los siguientes resultados:A B C D E1 ECUACION DE BEATTIE-BRIDGEMAN23 V f(V)4 0.01008924 5.72085E-105A pesar de las complicaciones que representa su uso, las ecuaciones de estado son muy importantes por varias razones. Permiten conocer un sumario concisodeuna gran cantidad dedatos experimentales, y tambin hacen posible la interpolacin exacta en losdatosexperimentales.Suministran una funcincontinuaquefacilitalos clculos termodinmicos endondequeda implicado el uso de diferenciales e integrales. Por ltimo, constituyen un punto de partida para el tratamiento termodinmico de las propiedades de las mezclas.Problema 4.Antecedentes:Flujo de FluidosEl flujo de fluidos es complejo y no siempre puede ser estudiado de forma exacta mediante elanlisis matemtico. Contrariamente a lo que sucede con los slidos, las partculas de un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Tres principios fundamentales que se aplican al flujo de fluidos son: El principiodeconservacindelamasa, apartir del cual se establece la ecuacin de continuidad. El principiodelaenergacintica, apartir del cual sededucen ciertas ecuaciones aplicables al flujo. El principiodelacantidaddemovimiento, apartir del cual se deducen ecuaciones para calcular las fuerzas dinmicas ejercidas por los fluidos en movimiento.El flujo de fluidos puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento; unidimensional, bidimensional o tridimensional, y rotacional o irrotacional.El flujopermanente tienelugar cuando, en unpuntocualquiera, la velocidad de las sucesivas partculas que ocupan ese punto en cada instante es la misma. Por tanto, la velocidad es constante respecto del tiempo o bien, V/ t = 0 pero puede variar de un punto a otro, es decir, ser variable respecto de las coordenadas espaciales. Ahora se deducirn las ecuaciones del movimiento para el flujo permanente de un fluido cualquiera.W=w dl dAdz dFsdFs dl p dA (p+dp) dASe considera como cuerpo libre la masa elemental de fluido dM mostrada en la figura. Se ha escogido al eje x paralelo a la direccin del movimiento. No se han representado las fuerzas que actan sobre el cuerpo libre dM en direccin normal al movimiento. Las fuerzas que actan en la direccin x se deben a: Las presiones que actan sobre las caras de los extremos La componente del peso Las fuerzas cortantes (dFs) ejercidas por las partculas fluidas adyacentes.De la ecuacin del movimiento x xMa F , se obtiene[ ]

,_

+ +dtdVgdl dAdF dAdlsen dA ) dp p ( pdAs x Dividiendo por dA y sustituyendodt / dlpor la velocidad V,gVdVdAdFdlsendpsx1]1

El trmino dFs / dA representa la resistencia que se opone al movimiento en la longitud dl. Las fuerzas cortantes dFs pueden sustituirse por el producto de la tensin cortante por el rea sobre la que acta (permetro x longitud), es decir, dFs= dPdl.As,RdldAdPdldAdFs , dondeRseconoceconel nombrederadio hidrulicoysedefinecomoel cocientedel readelaseccinrectapor elpermetro mojado o, en cada caso,dA/dP. La suma deltrabajo realizado por todas la fuerzas cortantes mide la prdida de energa debida alflujo, y ser:RdldhL carga de prdidaAhora, como dl sen x = dz, se llega a la ecuacin:0 + + +Ldh dzgVdV dpEsta expresin se conoce con el nombre de ecuacin de Euler cuando se aplica aun fluido ideal (prdida de carga = 0). Al integrar la ecuacin anterior, para fluidos de densidad constante, se obtiene la llamada ecuacin de Bernoulli. Laecuacindiferencial, paraflujos permanentes, es unadelas ecuaciones fundamentales del flujo de fluidos.Para fluidos compresibles, la integracin es como sigue:021212121 + + + Lvvvvvvdh dzgVdV dpSinembargo, el trmino21vvdpnopuedeintegrarsehastanoconocer la expresin de en funcin de la variable p. La relacin entre y p depende de las condiciones termodinmicas implicadas. Para condiciones isotrmicas (temperatura constante) la ecuacin general de los gases puede expresarse en la forma:constante / p / p1 1o( ) p p /1 1 Dondep1/1esunaconstante, ypeslapresinabsoluta. Sustituyendo ahora el valor de se obtiene:( )0212121211 1 + + + Lvvvvvvdh dzgVdVp p /dpIntegrando y sustituyendo lmites (el trmino de la prdida de carga total se representa por HL), se llega a:2222111211112 2zgVp lnpH zgVp lnpL+ + + + Al combinaresta ecuacinconla de continuidad yla ley delosgases perfectos, paracondicionesisotrmicas, sellegaaunaexpresinenlaque solo es desconocida una velocidad. As, para un flujo permanente:2 2 2 1 1 1V A V A yT Rp p 2211 de donde ( )212121 1 2 22 2 21 VppAAA p p /V AV

,_

Sustituyendo el valor deV1en la ecuacin de Bernoulli obtenida anteriormente, se llega a:1]1

+ + 11]1

+

,_

,_

+2222111222122121112 2zgVp lnpH zgVppAAp lnpL Planteamientodel Problema:Unacorrientedenitrgenoestfluyendo desde una tubera de 2.5 cm de dimetro hacia otra de 5 cm de dimetro donde la temperatura es de 0 C, la presin 262.7 KPa manomtrica y la velocidad de 43 m/seg. Calcular la presin y la velocidad en la tubera de 2.5 cm, suponiendo que no hay prdidas y aplicando el proceso isotrmico.Solucin:Metodologa:

Utilizaremos la ecuacin de Bernoulli para condiciones isotrmicas:1]1

+ + 11]1

+

,_

,_

+2222111222122121112 2zgVp lnpH zgVppAAp lnpL En este caso,dado que no existe prdida de carga,HL=0y teniendo en cuenta que z1 = z2, se llega a:11]1

,_

,_

1]1

21221222211112 ppAAgVpplnpDado que T Rp p 2211 11]1

,_

,_

1]1

212212222112 ppAAgVppln T RRecurdesequelas presiones debenser absolutas, por loquedebe sumrselealapresinmanomtricael valor delapresinatmosfrica, que tomaremoscomo1atm=101,300Pa; ylatemperaturadebeencontrarseen grados Kelvin. Por tanto, la presin p2 ser de 364 KPa y la temperatura T=273K.Lo que restaahoraes calcular el valorde p1.Aunquesloaparece una incgnita,la solucin directa no es fcil, por lo tanto utilizaremos un mtodo numrico para resolver la ecuacin.Podemos reordenar la ecuacin para llegar a:0 12212412222111]1

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+ppDDgVppln T RDonde:R =8.205 x10-2 (atm-l)/(mol-K) = 30.3 m/K;T=273 K;p2=364 KPa;V2=43 m/s;D2=0.05 m;D1=0.025 m;Seudocdigo: MATLABEmpleando MATLAB, se genera la funcin fun(p1):function f=fun(p1)T = 273.15;R = 30.3;g=9.81;p2=364;V2=43;D2=0.05;D1=0.025;f=R*T*log(p1/p2)+V2^2*((D2/D1)^4*(p2/p1)^2-1)/(2*g);Se emplear el mtodo de la falsa posicin. El cdigo para este mtodo en MATLAB se muestra a continuacin.function x=falsaposicion(fun,xl,xu)es=1e-2;imax=100;fl=feval(fun,xl);fu=feval(fun,xu);if fl*fu