Índice general

1. Conjuntos 31.1. Conjuntos y elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Algunos axiomas de la teoría de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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Capítulo 1

Conjuntos

Hasta el siglo XIX se utilizaban los conjuntos, sin sentir la necesidad de fundamen-tarlos matemáticamente, sin embargo debido una mayor utilización y generalización de losconjuntos en todas las ramas de las matemáticas, a principios del siglo XX empezaron asurgir las dificultades. El problema apareció cuando se comenzaron a encontrar paradojasen esta teoría, siendo la más célebre la paradoja de Russell: si R es el conjunto de todoslos conjuntos que no son elementos de sí mismos, Russell se preguntó ¿R es o no elementode sí mismo? Si R no pertenece a R, entonces, por la definición de R, R pertenece a símismo; pero, si R pertenece a R, entonces por la definición de R, R no pertenece a sí mismo.En cualquiera de los dos casos hay contradicción. Russell descubrió su paradoja en 1901y la publicó en un apéndice de su libro Principios de las matemáticas, más tarde variosmatemáticos encontraron otras paradojas.

Para resolver estas y otras situaciones, se han desarrollado las teorías axiomáticasde conjuntos. Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomasescogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el suficiente rigormatemático. Algunos ejemplos conocidos son:

La teoría de conjuntos de Zermelo - Fraenkel.

La teoría de conjuntos de Von Neumann - Bernays - Gödel .

La teoría de conjuntos de Morse - Kelley.

En la actualidad, los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramientabásica en la formulación de cualquier teoría matemática.

El objetivo de este capítulo es el estudio de la teoría intuitiva de conjuntos. En estesentdo los términos “conjunto”, “pertenencia” y “elemento” son considerados como primi-tivos. Sobre esta base se definen la inclusión y la igualdad de conjuntos y se estudian suspropiedades. El mismo tratamiento se hace corresponder a las operaciones entre conjuntos.

1.1. Conjuntos y elementos

El concepto de conjunto es aceptado en matemáticas como primitivo desde que es im-posible dar una definición en términos de conceptos más elementales. Intuitivamente, unconjunto es una colección bien definida de objetos llamados elementos, esto quiere decirque podemos determinar con precisión si un objeto está o no en un conjunto.

1. Representaremos los conjuntos con letras mayúsculas y los elementos de los conjuntoscon letras minúsculas o mayúsculas.

2. Si el conjunto A está formado por los elementos a1, . . . ,an (se nombran todos loselementos), se escribe

A = {a1, . . . ,an} .

En este caso se dice que el conjunto está determinado por extensión.

Relaciones entre objetos

1. Relación de igualdad (entre elementos o entre conjuntos)

Si a y b son símbolos que representan objetos, decir que a es igual a b, se escribe:

a = b,

significa que el objeto representado por a es el mismo que el objeto representado porb. En caso contrario se escribe: a ̸= b.

Proposición 1.1.

1. Propiedad reflexiva.a = a

2. Propiedad simétrica.a = b ⇒ b = a

3. Propiedad transitiva.a = b ∧ b = c ⇒ a = c

4. Propiedad de sustitución. Sea P (x) una función proposicional. Si P (a) es verdadera yb = a, entonces P (b) también es verdadera.

2. Relación de pertenencia (entre elemento-conjunto)

Si un objeto x es elemento de un conjunto A se escribe:

x ∈ A

lo que se lee: x pertenece al conjunto A. En caso contrario se escribe x ̸∈ A.

3. Relación de inclusión (entre conjuntos)

Definición 1.2. Si A y B son conjuntos, diremos que A está contenido en B y escribimosA ⊆ B si todo elemento de A es un elemento de B.

Simbólicamente,

A ⊆ B ⇔ (∀x) (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ≡ ∀x ∈ A : x ∈ B

Proposición 1.3.

1. Propiedad reflexiva.A ⊆ A

2. Propiedad transitiva.A ⊆ B ∧ B ⊆ C ⇒ A ⊆ C

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1.2. Algunos axiomas de la teoría de conjuntos

La teoría intuitiva de conjuntos apela a la intuición para determinar cómo se comportanlos conjuntos, sin embargo, si se razona de esta manera es sencillo plantear cuestiones comola paradoja de Russell. Por ello, en esta sección vamos a presentar tres axiomas comunes alas diferentes teorías axiomáticas de conjuntos, importantes para evitar contradicciones aldefinir a los conjuntos.

1. Axioma de extensión

Es un criterio que a partir de la noción de elemento, permite decidir cuando dos con-juntos son iguales.

Axioma (de extensión). Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos.

SimbólicamenteA = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A⇔ (∀x) (x ∈ A ⇔ x ∈ B)

La relación de igualdad de conjuntos tiene las siguientes propiedades.

Proposición 1.4.

1. Propiedad reflexiva.A = A para todo conjunto A

2. Propiedad simétrica.A = B ⇒ B = A

3. Propiedad transitiva.A = B ∧ B = C ⇒ A = C

Definición 1.5. Se dice que A está contenido propiamente en B si A ⊆ B y A ̸= B.

SimbólicamenteA B ⇔ A ⊆ B ∧ A ̸= B.

2. Axioma de especificación

Es un criterio que permite construir nuevos conjuntos a partir de un conjunto dado.

Axioma (de especificación). Dado un conjunto U y una función proposicional P (x) acercade x ∈ U, existe un único subconjunto A de U cuyos elementos son todos los x ∈ U talesque P (x) es verdadera.

Dado un conjunto U, existe un único subconjunto

A = {x ∈ U : P (x)} ⊆ U

Se cumple quex ∈ A ⇔ P (x) es verdadera.

La determinación de conjuntos por extensión es imposible en el caso de infinitos ele-mentos, y debemos limitarnos a la de definición por comprensión.

Ejemplo 1. Caracterice simbólicamente los siguientes conjuntos:

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a) P es el conjunto de los números enteros pares.

b) A es el conjunto de los números enteros múltiplos de tres.

c) B es el conjunto de los números naturales cuyo cuadrado es par.

d) C es el conjunto de los puntos del plano que equidistan de los puntos fijos A y B.

Solución.

a) Por definición,a es par ⇔ ∃k ∈ Z : a = 2k,

entoncesP = {x ∈ Z : x = 2k para algún k ∈ Z} .

A veces, abusando de la notación, se suele proponer una aparente determinación porextensión de un conjunto infinito, con la adjunción de puntos suspensivos. Así,

P = {. . . ,−4,−2, 0, 2, 4, . . .} .

b) Se tieneA = {x ∈ Z : x = 3k para algún k ∈ Z}

Nótese que el conjunto de los múltiplos positivos de tres es

D ={x ∈ Z+ : x = 3k para algún k ∈ Z

}.

c) Como A y B son puntos fijos del plano cartesiano, entonces

C ={P ∈ R2 : d (P,A) = d (P,B)

}.

�

Ejemplo 2. Los conjuntosA =

{x ∈ R : x2 = x

}B = {x ∈ R : x (x− 1) = 0}

son iguales puesx ∈ A ⇔ x ∈ R ∧ x2 = x ⇔ x ∈ R ∧ x2 − x = 0⇔ x ∈ R ∧ x (x− 1) = 0 ⇔ x ∈ B. �

Ejemplo 3. Demuestre que el conjunto de los números naturales impares es igual al con-junto de los números naturales cuyo cuadrado es impar.

Solución. Se debe demostrar que los conjuntos

A = {x ∈ N : x = 2k− 1, k ∈ N}

B ={x ∈ N : x2 = 2k− 1, k ∈ N

}son iguales. La demostración consiste en probar las dos inclusiones que definen la igualdad.

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1. A ⊆ B. En efecto,

x ∈ A ⇒ x ∈ N ∧ ∃k ∈ N : x = 2k− 1⇒ x ∈ N ∧ ∃k ∈ N : x2 = (2k− 1)2 = 2(2k2 − 2k+ 1

)︸ ︷︷ ︸

k′∈N

−1

⇒ x ∈ B

2. B ⊆ A. En efecto,

x ∈ B ⇒ x ∈ N ∧ x2 es impar⇒ x ∈ N ∧ x = x (x+ 1) − x2 es impar⇒ x ∈ A

En consecuencia A = B. �

3. Axioma de la unión de conjuntos

Este axioma da un criterio para construir nuevos conjuntos a partir de dos conjuntosdados.

Axioma (de la unión de conjuntos). Dados dos conjuntos A y B existe un conjunto X talque A ⊆ X y B ⊆ X.

1.3. Operaciones con conjuntos

Por el axioma de la unión, dados dos conjuntos A y B existe un conjunto U tal queA ⊆ U y B ⊆ U.

Unión e intersección de conjuntos

Definición 1.6. Dados los conjuntos A y B,

1. la unión de A y B es el conjunto

A∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B} .

es decir,x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ U ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ B) .

2. la intersección de A y B es el conjunto

A∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B} .

es decir,x ∈ A∪ B ⇔ x ∈ U ∧ (x ∈ A ∧ x ∈ B) .

Se siguen inmediatamente de la definición

A∩ B ⊆ A ⊆ A∪ B

A ⊆ A∪ B y B ⊆ A∪ B A∩ B ⊆ A y A∩ B ⊆ B

A ⊆ C∧B ⊆ C ⇔ A∪ B ⊆ C C ⊆ A∧C ⊆ B ⇔ C ⊆ A∩ B

A ⊆ B ⇔ A∪ B = B A ⊆ B ⇔ A∩ B = A

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Proposición 1.7. Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades1. A∪A = A A∩A = A

2. A∪ B = B∪A A∩ B = B∩A

3. (A∪ B)∪C = A∪ (B∪C) (A∩ B)∩C = A∩ (B∩C)4. A∪∅ = ∅∪A = A A∩U = U∩A = A

5. A∪ (B∩C) = (A∪ B)∩ (A∪C) A∩ (B∪C) = (A∩ B)∪ (A∩C)

Definición 1.8. Dos conjuntos se llaman disjuntos si la intersección de ellos es vacía.

Diferencia de conjuntos

Definición 1.9. Dados los conjuntos A y B, la diferencia de A y B es el conjunto

A−B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ̸∈ B}

es decir,x ∈ A−B ⇔ x ∈ U ∧ (x ∈ A ∧ x ̸∈ B) .

Proposición 1.10. Dados los conjuntos A, B y C, se cumplen las siguientes propiedades

1. A−∅ = A.

2. A−A = ∅.

3. A∩ (B−C) = (A∩ B) − (A∩C).

Complemento de conjuntos

Definición 1.11. Dados el conjunto A subconjunto de U, el complemento de A es el conjunto

Ac = {A = U−A.

es decir,x ∈ Ac ⇔ x ∈ U ∧ x ̸∈ A.

Proposición 1.12. Si A y B son subconjuntos de U, entonces

1. El complemento del conjunto vacío (universal) es el conjunto universal (vacío)

∅c = U y Uc = ∅.

2. Involución.(Ac)c = A.

3. Complemento de la inclusión.A ⊆ B ⇔ Bc ⊆ Ac.

4. Leyes de De Morgan.(A∪ B)c = Ac ∩ Bc.

(A∩ B)c = Ac ∪ Bc.

5. Absorción.A∪ (Ac ∩ B) = A∪ B y A∩ (Ac ∪ B) = A∩ B.

A∪ (A∩ B) = A y A∩ (A∪ B) = A.

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Proposición 1.13. Si A y B son subconjuntos de U, entonces

A−B = A∩ Bc

Ejemplo 4. Demuestre queB ⊆ A ⇔ (A−B)∪ B = A.

Solución.

⇒) Consideremos B ⊆ A, entonces

(A−B)∪ B = (A∩ Bc)∪ B = (A∪ B)∩ (Bc ∪ B) = (A∪ B)∩U = A∪ B

pero B ⊆ A ⇒ A∪ B = A, así(A−B)∪ B = A.

⇐) Debemos probar que∀x ∈ U : x ∈ B ⇒ x ∈ A.

En efecto, por la hipótesis,

x ∈ B ⇒ x ∈ (A−B)∪ B = A.

Ejemplo 5. Demuestre la equivalencia de las siguientes proposiciones

(1) A ⊆ B (2) Bc ⊆ Ac (3) A∪ B = B (4) A∩ B = A

Solución. Para demostrar la equivalencia de una cadena de n proposiciones es suficienteprobar n implicaciones. En nuestro caso

(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)

(1) ⇒ (2) Es el complemento de la inclusión.

(2) ⇒ (3) Por la definiciones de unión y complemento, por hipótesis, definición de complementoe idempotencia de la disyunción, tenemos

x ∈ A∪ B ⇒ x ∈ A∨ x ∈ B ⇒ x ̸∈ Ac ∨ x ∈ B.

Pero

Bc ⊆ Ac ⇔ ∀x ∈ U : x ∈ Bc ⇒ x ∈ Ac ⇔ ∀x ∈ U : x ∈ Bc ⇒ x ∈ Ac ⇔ ∀x ∈ U : x ̸∈ Ac ⇒ x ̸∈ Bc

entoncesx ∈ A∪ B ⇒ x ̸∈ Bc ∨ x ∈ B ⇒ x ∈ B∨ x ∈ B ⇒ x ∈ B.

Luego,A∪ B ⊆ B. (1)

Por otra parteB ⊆ A∪ B (2)

Por lo tanto, de (1) y (2), se cumple que A∪ B = B.

(3) ⇒ (4) Por las leyes de De Morgan

A∩ B = ((A∩ B)c)c= (Ac ∪ Bc)c = [Ac ∪ (A∪ B)c]

c= [Ac ∪ (Ac ∩ Bc)]c = (Ac)c = A

(4) ⇒ (1) Tenemos, para cualquier x ∈ U se cumple

x ∈ A ⇒ x ∈ A = A∩ B ⊆ B ⇒ x ∈ B.

Por lo tanto A ⊆ B.

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1.4. Ejercicios

1. Se considera un experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas. Si unamoneda cae cara, se anota 1, y si cae sello se anota 0. Forme el conjunto cuyoselementos son los posibles resultados del experimento.

2. Con ralación al ejercicio anterior, determine por extensión los siguientes subconjuntos

S1 : se dan más caras que sellos.S2 : se obtienen al menos dos caras.S3 : se obtiene el mismo resultado en las tres monedas.

3. Con los conjuntos definidos en el ejercicio anterior, obtenga

Sc2, S2 − S3, S1 ∩ S3, (S2 ∪ S3)∩ S1.

4. Sean los conjuntosA = {x ∈ Z : |x| 6 3}

B ={x ∈ Z : x2 < 7

}determine A∩ B, A∪ B, A−B y B−A.

5. DadosA =

{x ∈ R :

∣∣∣∣x− 12

∣∣∣∣ 6 2}

B =

{x ∈ R : |x− 1| 6 3

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}.

obtenga A∩ B, A∪ B y Bc.

6. Si A ={x ∈ R : x2 − 1 = 0

}y B = {x ∈ R : |x| 6 1}, obtenga A∩ B y (A∪ B)c.

7. Si A = {x ∈ Z : |x| < 4} y B = {x ∈ Z : x | 6}, determine A∪ B, A∩ B, A−B y B−A.

8. Demuestre que

a) (A∩ B) ⊂ A ⊂ (A∪ B),b) A ⊂ B∧A ⊂ C =⇒ A ⊂ (B ⊂ C) ,c) A ⊂ ∅ =⇒ A = ∅,d) A−B = A− (A∩ B) = (A∪ B) −B,e) (A∪ B) −C = (A−C)∪ (B−C) ,f ) (A∩ B) −C = (A−C)∩ (B−C) ,g) (A−B) −C = A− (B∪C) ,h) A− (B−C) = (A−B)∪ (A∩C) ,i) (A−B) −C ⊂ A− (B−C) ,j) A∪ (B−C) = (A∪ B) − (C−A) ,k) A = (A∩ B)∪ (A∩ Bc) ,l) B ⊂ A ⇐⇒ (A−B)∪ B = A, y

m) (A−B)∪ B = A∪ B.

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9. DemuestreA ⊂ B =⇒ (A∪C) ⊂ (B∪C)

yA ⊂ B =⇒ (A∪C) ⊂ (B∩C) .

10. Demuestre

a) A ⊂ B∧A ⊂ C ⇐⇒ A ⊂ (B∩C) ,b) A ⊂ C∧B ⊂ C ⇐⇒ (A∪ B) ⊂ C, yc) A∩ B = ∅ ∧A∪ B = C =⇒ A = C−B.

11. DemuestreUc = ∅ A∩Ac = ∅U = ∅c A∪Ac = U

12. DemuestreA∪ B = U∧A∩ B = ∅ =⇒ B = Ac.

13. Dos conjuntos A y B se dice que son equipotentes si existe una función f : A → B

biyectiva. Demuestre que,

a) con la notación del ejemplo 1, los conjuntos P y N son es equipotentes.b) los conjuntos N y Z son equipotentes.

14. Se dice que un conjunto A es infinito si existe un subconjunto propio B de A equipo-tente con A. Demuestre que N y Z son conjuntos infinitos.

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