Clase n°3 de psu matemática 2011 conjuntos numéricos. números enteros y potencias
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Conjuntos Numéricos
APRENDIZAJES ESPERADOS:
UNIDAD 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricosen sus diversas formas de expresión .
• Resolver ejercicios en los enteros y racionales,aplicando operatoria básica , en desarrollo deejercicios y problemas en el ámbito cotidiano.
Conjuntos Numéricos
Los conjuntos numéricos reciben un nombre de acuerdo a los números que contienen
1 .Números Naturales
SucesorTodo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número.
AntecesorTodo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor
ℕ = 1,2,3,4,5,6, … .
Si n pertenece a IN, su sucesor es n + 1
Si n pertenece a IN, su antecesor es n - 1
Números Pares
Son de la forma 2n, con n
en los naturales
Sucesor Par
Se obtiene sumando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2.
Antecesor par
Se obtiene restando 2 al número.
Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2.
{2, 4, 6, 8, 10……, 2n}
Números Impares
Son de la forma 2n-1, con n en los naturales.
Sucesor impar
Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n+1.
Antecesor impar
Se obtiene restando 2 al
número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n-3.
{1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1}
Números PrimosSon aquellos números que son sólodivisibles por 1 y por sí mismos
Divisores de un número n
“divisor” de un número n , aquelvalor que lo divide exactamente.
(Está contenido en él, una cantidadexacta de veces)
Ejemplo
Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente:
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Múltiplos de un número n:
Ejemplo.
Algunos múltiplos de 3 son:
Mínimo Común Múltiplo
El mínimo común múltiplo(m.c.m.) de dos o másnúmeros, corresponde almenor de los múltiplos quetienen en común.
{1n, 2n, 3n, 4n, … }.
{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30, 33, 36,…, 60}
• El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30
Máximo Común Divisor
El máximo común divisor (M.C.D.)
de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente.
El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6
Operaciones en IN
Adición, sustracción, multiplicación y división.
Propiedades de la Adición:
a) Clausura Sean a, b 𝜖 ℕ
a + b ∈ ℕ
b)Conmutativa Sean a, b 𝜖 ℕ
c) Asociativa Sean a, b, c 𝜖 ℕ
a + (b+c) = (a+b) + c
Nota: En los naturales no existe neutro aditivo
• La suma de dos números
naturales es siempre un natural.
• Ejemplo: 12 + 5 = 5 + 12
• Ejemplo 13 + (5+9) = (13+5) + 9
13 + (14) =(18) + 9
27 = 27
a + b = b + a
Propiedades de la Multiplicación
a)Clausura Sean a, b 𝜖 ℕ
a ∙ b ∈ ℕ
b)Conmutativa Sean a, b 𝜖 ℕ
a ∙ b = b ∙ a
c) Asociativa Sean a, b, c 𝜖 ℕ
a ∙ ( b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c
Nota: El elemento neutro de la
multiplicación es el 1
• El producto de dos números
naturales es siempre un natural
• 12 ∙ 10 = 10 ∙ 12 = 120
• Ejemplo: 4 ∙ (5 ∙ 3)= (4 ∙ 5) ∙ 3
4 ∙ (15) = (20) ∙ 3
60 = 60
2.Números Cardinales ( N0) Números Cardinales
Operaciones en IN0
• Conjunto de los Números Naturales, al que se le agrega el cero
IN0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
• Adición, sustracción, multiplicación y división
En este conjunto se cumplen las mismas propiedades que en los naturales. La diferencia es que se incluye el cero, y por tal razón posee “elemento neutro aditivo”.
Sea a 𝜖 ℕ0 , entonces a + 0 = 0 + a = a
3.Números Enteros (ℤ)
Números cardinales
El conjunto de los números enteros es la unión del conjunto de los números naturales, el cero y los números negativos. Este conjunto se denota por ℤ.
Recta numérica𝑍 = 𝑍− ⋃ IN0 = 𝑍−⋃ 𝟎 ⋃ 𝑍+
ℤ ={…,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, …}
Valor absoluto
El valor absoluto de un número 𝒏 , representa la distancia del punto al origen (cero de la recta numérica).
Se denota : 𝒏
Se define: • Ejemplo
|5| = 5
|-5| = −(-5) = 5
Operaciones en Z
• Sean a y b números enteros , entonces se cumple que
a) a + -b = a – b
b) a – (-b) = a + b
• Ej. 5 + - 9 = 5 – 9 = -4
• Ej. 12 – (-8) = 12 + 8 = 20
Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones en los enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos.
Adición en Z
a) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene.
b) Al sumar enteros de distintosigno, se calcula la diferenciaentre sus valores absolutos ,conservando el signo del númeromayor.
• Ejemplos1) 25 + 8 = +33
2) -5 + - 9 = -14
1) -10 + 7 = -3
2) 75 + -9 = +66
Multiplicación y División en Z
Multiplicación en Z
Si a y b son dos númerosenteros de igual signo (positivoso negativos), el producto y elcociente entre ellos es positivo.
Ejemplos:
1) −𝟒𝟐 ∙ −𝟖 = + 𝟑𝟑𝟔
2) 𝟐𝟖 ∶ 𝟕 = + 𝟒
División en Z
• Si a y b son dos números enteros de distinto signo, el producto y el cociente entre ellos es negativo.
• Ejemplos
1)− 𝟒𝟐 ∙ 𝟖 = - 𝟑𝟑𝟔
2) 𝟐𝟖 ∶ −𝟕 = − 𝟒
Propiedades de la suma en Z
• Clausura o Cierre
Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 + 𝒃 ∈ℤ
• Asociativa
Si 𝒂 , 𝒃 , 𝒄 ∈ ℤ, entonces𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄
• Conmutativa
Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 + 𝒃 =𝒃 + 𝒂
• El resultado de sumar números enteros es otro número entero
• (2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
• 2 + (− 5) = (− 5) + 2
• Elemento Neutro AditivoEs el cero, porque todo número sumado con él da el mismo número. Si 𝒂 ∈ ℤ entonces, 𝒂 + 𝟎 = 𝒂
• Elemento Inverso AditivoEs el opuesto del número, porque al sumar el número con su opuesto se obtiene como resultado cero.Si 𝒂 ,−𝒂 ∈ ℤ , entonces
𝒂 + (−𝒂) = 𝟎
• El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número
Ejemplos:
• (−5) + 0 = − 5
• 5 + (−5) = 0
• −(−5) = 5
Propiedades de la multiplicación en Z
• Clausura o Cierre
Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 ∙ 𝒃 ∈ℤ
• Asociativa
Si 𝒂 , 𝒃 , 𝒄 ∈ ℤ, entonces𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄
• Conmutativa
Si 𝒂 𝒚 𝒃 ∈ ℤ, entonces 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙𝒂
• El producto de números enteros es otro número entero
• (2 ∙ 3) ∙ (− 5) = 2 ∙ [3 ∙ (− 5)]
• 2 ∙ (− 5) = (− 5) ∙ 2
• Elemento Neutro Multiplicativo
Es el 1, porque todo número multiplicado por 1 da el mismo número.
Si 𝒂 ∈ ℤ , entonces 𝒂 ∙ 𝟏 = 𝒂
• Distributiva
𝒂 · (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 · 𝒃 + 𝒂 · 𝒄
Ejemplos:
(−5) ∙ 1 = (−5)
(−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · (5)
Prioridad en las operaciones
El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es:
1° Paréntesis
2° Potencias
3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha)
4° Adiciones y sustracciones
Existe un orden para resolver ejercicios como:
-5 + 15 : 3 - 3 =
Hay operaciones que tienen prioridad sobre otras.
Ejemplo
• −5 + 15 ∶ 3 − 3=−5 + 5 – 3
0 – 3– 3
• Desarrolle las operaciones1) (− 7 −2) + (6 + 4) − (− 3) − 4
2) − 5 + {4 + [3 − (4 − 8) + (− 5 − 10)]}
3) − 4(2 − 3 − 1) + 2(8 − 5) + 3(4 − 5)
4) 6 − [4 − 3(4 − 2)] − {7 − 5 [4 − 2(7 − 1)]}
• Problema de Aplicación
1) Al comprar un televisor de $280.900 a crédito, hay que dar un anticipo de $74.800 y el resto se paga a 6 meses.
¿Cuánto resta para terminar de pagar el televisor?
¿Cuál es el valor de cada cuota a pagar ?
4.Números Racionales (Q)
Es el conjunto de todos aquellos números que sepueden escribir como fracción .
Pertenecen al conjunto de los números Racionales:
•Los números enteros positivos y negativos•Las fracciones•Los números decimales finitos•Los números decimales infinitos periódicos•Los números decimales infinitos semiperiódicos•El cero
a: numerador b: denominador
Ejemplo 2; 17; 0; -6; -45; -2;
70,489; 2,18; -0,647-1;
8
14;3
IN IN0 Z Q
15,0
NO es racional
Clasificación de fracciones
• Una fracción se llama propia si su numerador es menor que su denominador.
• Una fracción se llama impropia si su numerador es mayor que su denominador. Se puede expresar como un número mixtoformado por un número natural más una fracción propia.
• Número Mixto o fracción mixta :
7
6= 1
1
6
• Igualdad de Números Racionales
• Relación de orden en Q
Operatoria en los racionales• Suma y resta
4
15+
7
15=
11
15
4
15-
7
15
= -3
15
5
12 +
7
18=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36= =
23
36
1
6-
- 1∙6 - 6
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN Q
-4
5 ∙
8
7=
-32
35=
• Multiplicación: -4
5
7
8= ∙
-28
40=
28
40-
• División:-4
5 :
7
8=
32
35-
Transformación de números racionales
• Ejemplo
• Ejemplo
• De fracción común a decimal
Se divide numerador por denominador.
• De decimal finito a fracción común:
El numerador corresponde al número sin coma, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número.
7
4= 1,75
100175 = 7
4
25∙7
25∙4
=1,75 =
De número decimal a fracción
• Ejemplos:
1)
2)
• Decimal periódico a fracción
• El numerador de la fracciónes la diferencia entre elnúmero decimal completo,sin la coma, y la parteentera.
• El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período.
2,35 = 235 – 2 = 23399 99
0,376 = 376 – 0 = 376
999 999
Ejemplo
•Decimal semi periódico a fracción.
•El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período.
•El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y seguido de tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Nota: Se llama “ante período” a los números que
hay entre la coma, y el período.
3,21 = 321-32 = 2899090
Propiedades del conjunto Q
Amplificar y simplificar fracciones
• Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número.
Ejemplo:
2∙
3∙
6
6=
12
18
• Simplificar una fracción, significadividir, tanto el numerador comodenominador por un mismonúmero.
• Ejemplo.
3
3=
9
15
27 :
45 :
• REGLAS DE DIVISIBILIDAD
Un número se e puede dividir por :
• 2 : si termina en cifras par o cero .• 3 : la suma de de sus cifras da un múltiplo de 3.• 5 : si termina en 5 ó 0.• 6 : es divisible por 2 y por 3 a la vez.• 9 : si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.• 10 : si termina en cero.• 25 : si termina en 00, 25 , 50 ó
75
.
Propiedades en los Racionales
Respecto a la suma
• Clausura
• Asociativa
• Conmutativa
• Elemento neutro aditivo
• Elemento inverso aditivo
• Distributiva
Respecto a la multiplicación
• Clausura
• Asociativa
• Conmutativa
• Elemento neutro multiplicativo
• Elemento inverso multiplicativo
Inverso multiplicativo
El inverso multiplicativo de un número𝑎
𝑏∈ ℚ
Es aquel número𝑏
𝑎∈ ℚ , tal que al
multiplicarlos, se obtenga el neutro
multiplicativo que es 1
NÚMERO INVERSO
MULTIPL.
2
9
9
2
−4
3
−3
4
1
5
5
1
−7−1
7
5. Números Irracionales (Q*)
Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción(decimales infinitos NO periódicos).
,....,,2,3.....Q* =
Q
U
Q*=
6. Números Reales (IR)
• Es el conjunto formado por launión entre los númerosracionales y los númerosirracionales.
• Ejemplo
IR = Q U Q*3, -89, -2;
7
2,18; ;2
23,491002
Conjuntos Numéricos
Datos Unidad