CAPITULO II PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Elterminoprobabilidadestasociadoconelestudiodelaaleatoriedadylaincertidumbre.El objetivoestratardeasociaraunoovariosresultadosdeunexperimentounamedidadela posibilidad de ocurrencia de dichos resultados. Experimento Aleatorio: Es aquel que proporciona diferentes resultados, aun cuando se repita bajo las mismas condiciones. Espacio Muestral: Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Se denotaS.Un Evento es cualquier coleccin (subconjunto) de resultados de un espacio MuestralS (simples y compuestos). Ejemplos:-Lanzamiento de una moneda no cargada{ } S c , s = { } S cara , sello =- Lanzamiento de un dado no cargado,{ } 1 2 3 4 5 6 S , , , , , = .- Medicin del tiempo de duracin de una batera en horas,{ } 0 S , = + .- Seseleccionaalazartresartculosdelaproduccindiariadeunaempresa.Cadaartculose clasificacomodefectuoso( (( ( ) )) ) D Nodefectuoso( (( ( ) )) ) N . As { {{ { } }} } S NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD = == =- Lanzamiento de dos dados no cargados( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) { {{ { } }} }S 1 , 1 1 , 2 , , 6 , 5 6 , 6 = == = .Sean los siguientes eventos A: El resultado es cara{ {{ { } }} } A C = == =B: El resultado del lanzamiento del dado es par{ {{ { } }} } B 2, 4, 6 = == =C: La bombilla dura menos de1000 horas[ [[ [ ) )) ) C 0 , 1000 = == =D: Solo un artculo es defectuoso{ {{ { } }} } D NDD, DND, DDN = == =E: Lasumadelosresultadosallanzardosdadosessiete( (( ( ) )) ) 7( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) ( (( ( ) )) ) { {{ { } }} }E 1 , 6 2 , 5 3 , 4 4 , 3 5 , 2 6 , 1 = == =- De la produccin diaria de una empresa se examinan al azar artculos hasta encontrar el primero defectuoso. SiD: denota defectuoso yN: No defectuoso entonces{ {{ { } }} } S D, ND, NND, NNND, NNNND, = == = SeaF: el nmero de artculos no defectuosos antes de un primer defectuoso es par. { {{ { } }} } F NND, NNNND, = == = Ejemplo: Setomanalazartresartculosdeungranlote.Cadaartculoesclasificadocomo defectuoso D, o no- defectuoso N.El espacio Muestral para este experimento es: { } S NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, NDD, DDD =.SeaE eleventodadoporelconjuntoderesultadosenloscualesalmenosdosartculosson defectuosos:{ } E NDD , DDN , DND , DDD = .Sea 2E eleventodadoportodoslosresultadosenloscualeslostresartculossondefectuosos. { }2E DDD = .Debidoaqueloseventossonfinalmentesubconjuntosdeunconjuntomayor,lasoperaciones entre conjuntos se aplican a los eventos (unin, interseccin, complemento, entre otras). Ejemplo: Se toman muestrasdeuna pieza fundida de aluminioyse clasificande acuerdo conel acabadodelasuperficie(enmicropulgadas)yconlasmedicionesdelongitud.Sepresentaun resumen de los resultados obtenidos con 100 muestras. Longitud Excelente Bueno Excelente 757Acabado Superficie Bueno108 Considere los siguientes eventos: A: La muestra tiene acabado excelente. B: La muestra tiene longitud excelente. Determine el numero de muestras en:A, B, A' , B' , A B , A B, A B ' , A B ' '.Grafique en un diagrama de Venn # A 85 #B 72# A B 92 # A B 75# A 18 #B 15# A B 10 # A B 25= = = = = = = = = == == == =' ' ' ' ' ' ' ' = = = = = = = =' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' == == == ==Definicin: SeanA y B eventosdeunespacioMuestralS. SedicequeA y B excluyentes oDisjuntos siA B = C = C = C = C (Vaco es un evento deS). Engeneralsi 1 2 nE , E, , E eventosdeS, sedicenmutuamente disjuntosoexcluyentes si i jE E , i j = C = .Ejemplo: Selanzaundadonocargado.ElespacioMuestralparaesteexperimentoes { } 1 2 3 4 5 6 S , , , , , = .Defina los siguientes eventos: 1E : El resultado es un nmero par. 2E : El resultado es un nmero primo. 3E : El resultado es un nmero impar. IdentifiqueloseventosCulpardeellossonexcluyentes?Sonlostreseventosmutuamente excluyentes? Solucin: { } { } { }1 2 32 4 6 2 3 5 1 3 5 E , , , E , , , E , , = = ={} { } { }1 2 1 3 2 32 3 5 E E , E E , E E , = = C =1E y3E sonexcluyentes,pero. 1 2 3y E , E E nosonmutuamenteexcluyentes,aunque 1 2 3E E E = CEjercicios propuestos Capitulo2, 2-1, 2-9, 2-10, 2-14, 2-22, 2-24. Tcnicas de conteo: En algunos experimentos no es fcil enumerar todos los posibles resultados deeste.Sehacenecesarioentoncesproponermtodosquepermitanelconteodedichos resultados. Ejercicio: Seseleccionaalazarunvehculoenciertaciudad.Sitodaslasletrasdelaplacadel vehculosondiferentes,Cuntosautostienenlamismacaracterstica?Cuntosautostienen placas con todos sus dgitos impares? Ejercicio: Selanzan20monedasnocargadas,Cuntosposiblesresultadostienensolotres caras? Ejercicio: Seseleccionanalazartrespersonasdeungrupopor10obreros,4pintoresy6 carpinteros. Cuntos grupos diferentes conformados porun obrero, un pintory un carpintero se pueden formar? Regla multiplicativa: Si una operacin puede describirse como una secuencia dek pasosdonde elnmerodemanerasdecompletarelpaso1es 1n , paracadamaneradecompletarelpaso1 existen 2n manerasdecompletarelpaso2,yassucesivamente,entonceselnmerototalde formas de completar la operacin es. 1kiin=[Ejemplo: En una operacin de manufactura se produce una pieza con operaciones de maquinado, pulidoypintado.Existentresherramientasparamaquinado,cuatroparapulidoytresparael pintado.Cuantasrutasdistintas(maquinadopulido-pintura)sonposiblesparafabricaruna pieza? Solucin: # Formas de operaciones de maquinado:3# Operaciones de pulido :4# Operaciones de pintado :3# Rutas diferentes:3 4 3 36 =Ejemplo: EnColombialasplacasdelosautomvilesconstandetresletrasytresnmeros.Cuntasplacasdiferentessepuedentener?Cuntasconlosdgitospares?Cuntascon todas las letras diferentes? Cuntas con todas las letras y nmeros diferentes? Solucin: Placas diferentes: 3 326 5 Placas con dgitos pares: 3 326 5 Placasconletras diferentes: 326 25 24 10 Placas con letras y nmeros diferentes: 26 25 24 10 9 8 Permutaciones: Unapermutacinesunarregloordenadodeunconjuntodeobjetos.Elnmero de permutaciones (acomodos) den elementos diferentes esn!( )( ) 1 2 2 1 n! n n n ... = Elnumerodepermutaciones(acomodos)derelementosseleccionadosdeunconjuntoden elementos distintos se denota nrP y( )( ) ( )( )1 2 1nrn!P n n n ... n rn r != + =Ejemplo: Juan, Carlos, Ana, y Milena esperan en la parada del autobs. De cuantas maneras se pueden filar para subir al bus? Si solo hay puesto para dos, De cuantas maneras se pueden organizar ellos en los primeros dos lugares? Solucin: Usemos las iniciales para mayor facilidad: JCAM # Formas en que se pueden filar:4 24 ! =# Formas en que se pueden acomodar en dos lugares: 424122!P!= =El nmerode acomodos de 1 2 kn n n n = + + + objetosde loscuales 1n son del tipo1, 2n son del tipo dos, kn del tipok , es: 11 2knn , ..., nkn!Pn ! n ! ... n !=Ejemplo: Unapiezaseetiquetausando4lneasdelgadas,treslneasmedianasydoslneas gruesas.Si cada ordenamiento de las nueve lneas representa una etiqueta diferente.Cuntas etiquetas distintas pueden generarse con este esquema? Solucin: # de etiquetas diferentes 94 3 291260432, ,!P! ! != = El numero de subconjuntos de tamao r distintos, que pueden seleccionarse de un conjunto denelementos, se denota nr|||\.nrC rnC y( )nrP nn!r r! n r ! r!|| = =|\. Propiedades:1 0 10 1 1n n n nn !n n|| || || | |= = = = =| | ||\. \. \. \ .;Ejemplo: De una baraja de 52 cartas se extraen al azar dos cartas y sin reemplazo. Cuntas muestras de dos cartas contienen un As y un dos? Cuntas muestras contienen un diez y una figura? Cuntas muestras contienen dos figuras? Solucin: Defina los siguientes eventos: A: La carta extrada es un As; D: La carta extrada es un dos F: La carta extrada es una figura; T: La carta extrada es un diez a) Maneras de extraer un As de 4 posibles: 41|||\.Maneras de extraer un dos de 4 posibles: 41|||\.Maneras de extraer un AS y un dos: 4 4161 1|||| =||\.\. b) Maneras de extraer un diez y una figura: 4 12481 1||| | =| |\.\ . c) Maneras de extraer dos figuras de 12 posibles: 12662| | = |\ . Ejercicios propuestos:- Elpedidodeunacomputadorapersonaldigitalpuedeespecificarunodecincotamaosde memoria,cualquiertipodemonitordetresposibles,cualquiertamaodediscodurodeentre cuatroposibles,ypuedeincluironounatabletaparalpizelectrnico.Cuntossistemas distintos pueden ordenarse? - Un proceso de manufactura est formado por 10 operaciones, las cuales pueden efectuarse en cualquier orden. Cuntas secuencias de produccin distintas son posibles? - Unprocesodemanufacturaestformadopor10operaciones.Sinembargo,cincodeellas deben terminarse antes de que pueda darse inicio a las otras cinco. Dentro de cada conjunto de cinco,lasoperacionespuedenefectuarseencualquierorden.Culeselnmerode secuencias de operaciones distintas posible? - Seinspeccionaunlotede140chipsmediantelaseleccindeunamuestradecincodeellos. Suponga que 10 chips no cumplen con los requerimientos del cliente. a. Cul es el nmero de muestras distintas posibles? b.Cuntasmuestrasdecincocontienenexactamenteunchipquenocumpleconlos requerimientos? c.Cuntasmuestrasdecincocontienenalmenosunchipquenocumpleconlos requerimientos? - El diseo de un sistema de comunicacin considera las siguientes preguntas: a.Cuntosprefijosdetresdgitosdetelfonopuedencrearsepararepresentarunrea geogrfica en particular (cdigo de rea) con los dgitos del 0 al 9? b.Aligualqueenelincisoa),Cuntosprefijosdetresdgitospuedencrearsedemodo que el primer dgito no sea 0 ni 1, y el segundo sea 0 o 1? c. Cul esel nmero deprefijos de tresdgitos en losqueningndgito aparece ms de una vez en cada prefijo? Probabilidad y Axiomas de ProbabilidadIntroduccin: Enlarealizacindeunexperimentoaleatorio,lavariacinenlasmediciones obtenidas puede ser muy pequea o apreciable y se hace necesario determinar que tanto influye esta variacinen las conclusionesque sedesprendandelanlisis de la informacin recolectada. Estasdecisionesvarandeunamuestraaotradebidoaloaleatoriodelexperimento.Otra componente adicional se debe tener en cuenta: La incertidumbre.Ejemplo: Suponga que un fabricante de bombillas asegura a un futuro comprador que estas tienen una duracin media de5270 horas. El comprador requiere de un gran nmero de bombillas. Para lresultadifcilevaluarladuracindetodaslasbombillas.Paratomarunadecisin,estedecide examinar30 bombillas elegidas al azar y si2 o mas no cumple con el requisito establecido por el (duracin superior a5300 horas), el lote no es adquirido. La incertidumbre acerca de elegir o no el adquirir el lote, recae en determinar de las30 bombillas, cuantasnocumplenelrequisito.EnunsentidoampliolaProbabilidad mideelgradode Creenciadeunaafirmacinhechaconbaseenlainformacinrecolectadaolaposibilidadde ocurrencia de uno o varios resultados del experimento aleatorio.SiunexperimentotieneN posiblesresultados,todosigualmenteposibles,laprobabilidad aproximada asociada a cada resultado ser 1n.Sienvezdeunresultadosetieneunconjuntoderesultados(digamoseleventoE),la probabilidadasociadaaleventoE despusden repeticionesdelexperimentoes Enn; donde En es el nmero de resultados contenidos enE de lasn repeticiones. Ejemplo:- Se lanza un dado no cargado,{ } 1 2 3 4 5 6 S , , , , , = la probabilidad asociada a cada resultado es 16.- Selanzantresmonedasnocargadas.{ } S ccc , ccs , csc , scc , css , scs , ssc , sss = . Laprobabilidad asignada a cada resultado es 18.Definicin: SeaE un evento de un espacio MuestralS, la probabilidad deE , se calcula como la suma de las probabilidades de los resultados contenidos enE .(Probabilidades aproximadas). Ejemplo: ElespacioMuestraldeunexperimentoaleatorioes{ } a , b , c , d , e , y lasprobabilidades asignadasacadaresultadoson0 1 0 1 0204 y 02 ., ., . , . . , respectivamente.Sean { } { } y A a , b B c , d , e = = . LaprobabilidaddeleventoA es0 1 0 1 0 2 . . . + = . Laprobabilidaddel eventoB es0 2 0 4 0 2 0 8 . . . . + + = . La probabilidad del eventoA Bes0 2 0 8 1 . . + = . SiA' denota el complemento deA, entonces la probabilidad deA' es0 2 0 4 0 2 0 8 . . . . + + = .Definicin: UnafuncinP: S R, serllamadaunamedidadeprobabilidadsisatisfacelas siguientes condiciones: I)SiA es cualquier evento de( ) ( ) 0 S A S P A _ >II)( ) 1 P S =III)Si 1 2 nE , E , , E, esunacoleccin(finitaoinfinita)deeventosdeS, mutuamente excluyentes, entonces ( ) ( )1 21 1n i ii iP E E E P E P E = =| |= = |\ . .En este caso tanto( ) P A como ( )iP E denotan la probabilidad asociada a estos eventos. Teorema: SeaE un evento de un espacio MuestralSI)( ) 0 1 P E s sII)( ) 0 P C=III)( ) ( ) 1 P E P E ' = , siendoE' el complemento deE .Proposicin: SeanA y B eventos de un espacio MuestralS. SiA B _ __ _ , entonces( ) ( ) P A P B s .Demostracin:( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) pues0B A B AP B P A P B AP A P B , P B A=' = + 's >Proposicin: SeanA y B eventosdeunespacioMuestralS entonces ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B= + .Ejemplo: Se extraen al azar y sin reemplazo tres cartas de una baraja de52 cartas.a)Cul es la probabilidad de extraer un As, un dos y una figura? b)Cul es la probabilidad de extraer dos figuras y un diez? c)Cul es la probabilidad de extraer tres Ases? Solucin: Definamos los eventos:A: Carta extrada es un As. F: Carta extrada es una figura. D: Carta extrada es un diez. DD: Carta extrada es un dos. ( )( )( )( )4 4 124 4 12 1 1 10 008752 221003P A DD F .||||| ||| |\.\.\ . = = =| | |\ . ( )12 42 1 2640 0119552 221003P F F D .| ||| ||\ .\. = = =| | |\ . ( )43 40 0001852 221003P A A A .|||\. = = =| | |\ . Ejemplo: Lasiguientetablapresentalahistoriade940 obleasdeunprocesodefabricacinde semiconductores. Se elige al azar una oblea de esta tabla. SeaA el evento en que la oblea tiene altosnivelesdecontaminacin.SeaB eleventoenquelaobleaestenelcentrode instrumentacin electrnica. En el centro de instrumentacin electrnica. Calcule:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A , P B , P A B , P A B , P A B Solucin:( )3580 38085940P A . = =( )3140 33404940P B . = =( )2460 2617940P A B . = = ( )112 246 68 4260 45319940 940P A B .+ + = = = ( ) ( )1120 11915940P A B P A B . ' = = = Ejemplo: SeanA y B eventosdeunespacioMuestralS Muestreque ( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B = + Sugerencia:( ) ( ) ( ) ( ) A A B A B ; B A B B A = = ( ) ( ) ( ) A B AB A B B A= Ejemplo: SiA y B soneventosdeunespacioMuestraltalesque ( ) ( ) ( ) 0 3 0 2 0 1 P A . , P B . , P A B . = = = .Calcule( ) P A' , ( ) P A B, ( ) P A B ' , ( ) P A B ' ', ( ) P A B ' Solucin:NO SI Contami- NO 514 68582nacinSI112 246 358alta626 314 940( ) ( ) 1 1 0 3 0 7 P A P A . . ' = = =( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 0 2 0 1 0 4 P A B P A P B P A B . . . .= + = + =( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 02 01 0 1P A B ? P B P B A P A BP A B P B P A B . . .' ' = = + ' = = =( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 9 P A B P A B P A B . .| | '' '= = = = |\ . ( ) ( ) ( ) ( ) 0 7 02 0 1 08 P A B P A P B P A B . . . . ' ' '= + = + =Ejemplo: Conbaseenunamuestrade539personas,seobservaronlasvariablesNAC: #accidentes en el ao,SEXO del conductor yTIPO: tipo del vehculo segn su peso: 1 TIPO = : Automvil;2 TIPO = : Caminobus;3 TIPO = : Camionetaocampero;SEXO H =Hombre ySEXO M = : Mujer. El resumen de esta informacin se presenta en la siguiente tabla: Seelige al azar una personade este grupo. a)Culeslaprobabilidaddequeseaun hombre?b)Cul es la probabilidad de que maneje un vehculo1 TIPO = ?c)Culeslaprobabilidaddequesea hombreysehayaaccidentadounavez? De que sea mujer y se haya accidentado? d)Sisehaaccidentadounavez,Culeslaprobabilidaddequeseaunhombreymanejeun automvil? e) Si se ha accidentado, Cul es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automvil? f) Si se ha accidentado y conduce un bus, Cul es la probabilidad de que sea un hombre? Una mujer? g) Cul es la probabilidad de que sea un hombre y maneje un automvil o se haya accidentado dos veces? Solucin: Defina los eventos H: Persona seleccionada es un hombre M: Persona seleccionada es una mujer Ti : Persona seleccionada maneja un vehculoTipo i = , 1 2 3 i , , =Ni : Persona seleccionada ha tenidoNAC i = accidentes,0 1 2 i , , =a)( )3190 592539P H . = =b) ( )157 27 20 58 50 38 245539 539P T+ + + + += =HN A C0 1 2T 1 5227 20 99 I 2 9313 6 112P 3 9014 4 108O 235 54 30 319MN A C0 1 25850 38 1461 4 0 54718 4 69 106 72 42 220c) ( ) ( ) ( )1 1 254 72 42 1140 1002539 539 539P H N . , P M N N+ = = = =d) ( ) ( )1 162 62 54 5454 62 116 54 62 116P M si N , P H si N = = = =+ + e) ( ) ( ) 1 1 227 20 470 2554 30 62 42 188P H T siN N .+= = =+ + + f)( ) ( ) 1 1 227 20 470 348227 20 50 38 135P H si T N N .+= = =+ + + ( ) ( )1 1 250 38 880 6519135 135P M si T N N .+= = = g) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 21 2 1 299 30 20 1090 2022539 539 539 539P H T N P H T H NP H T P H N P H T N.= = + = + = = Laspreguntasd),e)yf) involucrandosomaseventos,dondelaocurrenciadeunoomas,esta condicionada a la ocurrencia de otro o de otros. Este tipo de probabilidad es llamada condicional. Probabilidad CondicionalEnmuchosexperimentoslaocurrenciadeuneventoparticularestusualmenteasociadaala ocurrencia de otro u otros eventos de manera que al calcular la probabilidad de dicho eventos es necesario considerar aquellos que condicionan su ocurrencia. Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo: Un comit de dos personas va a ser seleccionado al azar de un grupo de 3 mdicos y 4 socilogos. Cul es la probabilidad de que el primer seleccionado sea mdico? Socilogo? De que los dos sean mdicos? Cul es la probabilidad de que el segundo sea mdico? La ltima pregunta revierte cierto inters Si 2M : es el evento donde el segundo seleccionado es mdico. 1M : El primer seleccionado es mdico 1S : El primer seleccionado es socilogo Entonces para calcular ( )2P Mes necesario tener en cuenta que pas con el primer seleccionado. Si el primer seleccionado es mdico entonces ( )22 16 3P M = =Si el primer seleccionado es socilogo entonces ( )23 16 2P M = =La probabilidad de 2M depende de lo ocurrido con la primera seleccin. En este sentido diremos que la ocurrencia de 2M est condicionada a la ocurrencia de otro evento (ya sea 1M 1S )Definicin: SeanA y B eventosdeunespacioMuestralS. LaprobabilidadCondicionalde AdadoB, la cual se denota( ) P A| B , esta dada por ( )( )( )( ) si 0P A BP A| B , P BP B= > . Anlogamente ( )( )( )( ) si 0P A BP B| A , P AP A= >De esta manera se tiene la siguiente Regla Multiplicativa( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | P A B P A P AB P B P AB = =En generalpueden tenerse una seriede eventos que condicionan o son condicionadospor otros eventos, es decir los eventosy A B pueden ser combinaciones de otros eventos. Ejemplo: Conbaseenunamuestrade539personas.SeobservaronlasvariablesNAC: # de accidentes en el ao,SEXO: del conductor yTIPO: tipo de vehculo segn su peso: TIPO=1Automovil;TIPO=2Camin o bus TIPO=3Camioneta o campero SEXO=HHombreSEXO=MMujer La informacin resumida se muestra a continuacin: SEXOSe elige al azar una persona de este grupo a)Culeslaprobabilidaddeque tenga un vehculo tipo 1? b)Culeslaprobabilidaddeque seahombre?ysehaya accidentado? c)Sisehaaccidentado,Culeslaprobabilidaddequeseahombre?Dequemaneja automvil? d) Si conduce un camin o bus. Cul es la probabilidad de que se haya accidentado? e) Cul es la probabilidad de que sea mujer, si conduce un campero y no se ha accidentado? f)Culeslaprobabilidaddequeseaunhombredadoquemanejaunautomviloseha accidentado dos veces? Solucin: Defina los siguientes eventos H: La persona seleccionada es hombre M: La persona seleccionada es mujer iT : La persona seleccionada maneja un vehculo123 TIPO i , i , , = =iN : La persona seleccionada se ha accidentadoi veces012 i ,, = ( ) 0 1 2 NAC i ; i , , = =a) ( )1245 50 4545se ha accidentado539 11P T . A: = = =HN A CT 0 1 2I 1 5227 20 99 P 2 9313 6 112O 3 9014 4 108235 54 30 319MN A C0 1 25850 38 1461 4 0 54718 4 69 106 72 42 220b)( ) P H A . Si la persona se ha accidentado es porqueNAC es 1 2 . As ( )( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 254 30 84 120 1558539 539 7754 30 84539 539 539P H A .P H N N P H N P H N+ = = = == + = + = c)( )54 30 84 140 424254 30 72 42 198 33P H| A .+= = = =+ + +d) ( )213 6 4 0 230 1966112 5 117P A| T .+ + += = =+e) ( )347 470 343190 47 137P M| T A . ' = = =+f)( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 21 21 2 1 2 1 21 2 1 21 2 1 247 P H T N P H T H NP H| T NP T N P T P N P T NP H T P H N P H T NP T P N P T N = = + + =+ ( )1 299 30 20539 539 539187 58 145391090 4208259P H| T N.+ =+ += = Otra forma( )1 252 27 20 6 4 109259 259P H| T N+ + + + = =Ejemplo: Considereunaurnacon4bolasblancasy3bolasnegras.Seextraealazarunabola perono se miradeque color es. Seguidamente seextraeuna segunda bola. Qu tanprobable es que sea blanca? La probabilidad del segundo evento depende exclusivamente del resultado en el primer experimento ( primera extraccin) Si la primera bola es blanca, la respuesta es 3 16 2=Si la primera bola es negra, la respuesta es 4 26 3=(Mayor).Porlotantodichaprobabilidadtieneunvalordiferentedependiendodelresultadoenel primer experimento. Seany A B eventos de un espacio Muestral. Observe que( ) ( ) ( ) A A S A B B A B A B ' ' = = = ComoA B y A B' son excluyentes, entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A B P A B P A| B P B P A| BP B ' ' ' = + = +Lo anterior se conoce como Teorema de Probabilidad TotalPara el ejemplo, SiB : La primera bola es blanca y A: La segunda bola es blanca entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 2 3 42 7 3 7 7P A P A B P A B P A| B P B P A| BP B ' ' ' = + = +| || | | || |= + = | || |\ .\ . \ .\ . Ejemplo: Suponga que un lote contiene 15 piezas de hierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen al azar y sin reemplazo dos piezas del lote de 40. SeanA:eleventodondelaprimerapiezaseleccionadaesdelproveedorlocalyB: eleventodondela segunda pieza seleccionada es del proveedor local. a) Cul es el valor de( ) P A ?b) Cul es el valor de( ) P B| A ?c) Cul es el valor de( ) P A B ?d) Cul es el valor de( ) P B | A ' ?Solucin:a)( )1540P A=b)( )1439P B| A=c)( ) ( ) ( )15 14 70 134640 39 52P A B P A P B| A . = = = =d)( )2539P B | A ' =Ejercicios propuestos SiA, B y C son eventos mutuamente excluyentes, con( (( ( ) )) ) 0 2 P A . = == = , ( (( ( ) )) ) 0 3 P B . = == = y ( (( ( ) )) ) 0 4 P C . = == = ,determine las siguientes probabilidades. - SiA, B y C soneventosmutuamenteexcluyentes,esposibleque( (( ( ) )) ) 0 3 P A . = == = ,( (( ( ) )) ) 0 4 P B . = == = y ( (( ( ) )) ) 0 5 P C . = == = ? Por qu? - La tabla siguiente presenta un resumen del anlisis realizado a las flechas de un compresor para determinar el grado con que stas satisfacen ciertos requerimientos. la curvatura cumple con los requerimientos el acabado superficial cumple ssnocon los requerimientosno 345 5128 a.Sisetomaunaflechaalazar,culeslaprobabilidaddequecumplaconlos requerimientos de acabado superficial? b.Culeslaprobabilidaddequelaflechaseleccionadacumplaconlosrequisitosde acabado o con los de curvatura? c. Cul es la probabilidad de que la flecha cumpla con los requisitos de acabado o que no cumpla con los de curvatura? d.Culeslaprobabilidaddequelaflechacumplaconlosrequisitosdeacabadoy curvatura? - Continuacin del ejercicio anterior Lasflechasseclasifican,adems,entrminosdelamquinaherramientautilizadaensu fabricacin Mquina herramienta 1 la curvatura cumple con los requerimientos el acabado superficial cumple snocon los requerimientossi200 1no 4 2Mquina herramienta 2 la curvatura cumple con los requerimientos el acabado superficial cumple snocon los requerimientossi145 4no 8 6a.Siseeligeunaflechaalazar,Culeslaprobabilidaddequecumplaconlos requerimientosdeacabadooconlosdecurvatura,oqueprovengadelamquina herramienta 1? b.Siseescogeunaflechaalazar,Culeslaprobabilidaddequecumplaconlos requerimientosdeacabadooquenocumplaconlosdecurvaturaoqueprovengadela mquina herramienta 2? c. Si se elige una flecha al azar, Cul es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado y curvatura o que provenga de la mquina herramienta 2? d. Si se toma una flecha al azar, Cul es la probabilidad de que cumpla con los requisitos de acabado o que provenga de la mquina herramienta 2? - Un lote contiene 15 piezas de fierro fundido de un proveedor local y 25 de un proveedor de otro estado. Se eligen tres piezas al azar, sin reemplazo, del lote de 40. SeanA: el evento donde la primera pieza seleccionada es del proveedor local,B: el evento donde la segunda piezaseleccionadaesdelproveedorlocalyC: eleventodondelatercerapieza seleccionada es del proveedor local. a. Cul es el valor de( (( ( ) )) ) P A B C ?b. Cual es el valor de( (( ( ) )) ) P A B C' '' ' ?- Considerelosdatossobrecontaminacindeobleasyposicinenuninstrumentode deposicinelectrnica,dadosacontinuacin.Supongaquedeesteconjuntosetomaal azar una oblea. SeanA: el evento donde la oblea contiene cuatro o ms partculas, yB: El evento donde la oblea est en el centro del instrumento de deposicin. a. Cul es el valor de( (( ( ) )) ) P A ?b. Cul es el valor de( (( ( ) )) ) P A| B ?c. Cul es el valor de( (( ( ) )) ) P B ?d. Cul es el valor de( (( ( ) )) ) P B| A ?e. Cul es el valor de( (( ( ) )) ) P A B ?f. Cul es el valor de( (( ( ) )) ) P A B?- Si( (( ( ) )) ) 1 P A| B = == = , PuedeconcluirsequeA B = == = ? DibujeundiagramadeVennparaexplicar su respuesta. - SupongaqueA y B soneventosmutuamenteexcluyentes.Construyaundiagramade Venn que contenga los eventosA, B y C, tales que( (( ( ) )) ) 1 P A| C= == = y ( (( ( ) )) ) 0 P B| C= == = .Teorema de Probabilidad TotalSean 1 2 nA , A, A , eventosnovacosdeunespacioMuestralmutuamenteexcluyentesque constituyen una particin deS, es decir, ni =1iA S =. SiB es un evento cualquiera deS, entonces ( ) ( ) ( ) ( )1 1n ni i ii iP B P A B P A P B| A= == = .Ejemplo:Considereunaurnaquecontiene4bolablancasy3negras.Delaurnaseextraeunabolasin mirar de qu color es y se extrae una segunda bola. Qu tan probable es que sta sea blanca? Indudablemente todo depende de cul bola fue extrada primero.Si la bola extrada primero es blanca, la respuesta es 3 16 2= .Si la bola extrada primero es negra, la respuesta es 4 26 3= .Pararesolveresteproblema,observequeparacualquierpardeeventosA y B deunespacio MuestralS: ( ) ( ) ( ) A A S A B B A B A B ' ' = = = . comoA B y A B' sonexcluyentes, entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A P A B P A B P A| B P B P A| BP B ' ' ' = + = + Para el ejercicio en cuestin sean B : La primera bola extrada es blanca y A: La segunda bola extrada es blanca Ahora, As,( )1 4 2 3 42 7 3 7 7P A| || | | || |= + = | || |\ .\ . \ .\ ..Este resultado se conoce como Regla de Probabilidad Total. Ejemplo: La irregularidad del corte de productos de papel aumenta a medida que las hojas de las cuchillas se desgastan. Se sabe que el 1% de los productos cortados con cuchillas nuevas tienen cortes irregulares, el 3% de los cortados que se cortan con cuchillas de filo promedio tienen cortes irregulares y el 5% de los cortados con cuchillas desgatadas tienen cortes irregulares. Adems, el 25% de las cuchillas son nuevas, el 60% tienen filo promedio y el 15% estn desgastadas, Cul es la proporcin de productos con cortes irregulares? Solucin: Defina I : Producto presenta cortes irregulares N: Las cuchillas son nuevasP: Las cuchillas tienen filo medio D: Las cuchillas estn desgastadas Segn el enunciado se tiene que:( ) ( ) ( ) 0 25 0 6 0 15 5 P N . P P . P D . N P D = = ==adems son mutuamente disjuntos. ( ) ( ) ( ) 0 01 0 03 0 05 P I | N . , P I | P . , P I | D . = = Ahora( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 01 0 25 0 03 0 6 0 05 0 150 028P I P I | N P N P I | P P P P I | D P D. . . . . ..= + += + +=El 2.8% de los productos cortados presenta cortes irregulares. Definicin: SeanA y B eventosdeunespacioMuestral.SedicequeA y B son estadsticamenteindependientessiysolosi,cualquieradelassiguientesproposicionesse cumple:a)( ) ( ) P A| B P A = b)( ) ( ) P B| A P B = c)( ) ( ) ( ) P A B P A P B =Engeneral,unacoleccindeeventos 1 2 nE , E, E deunespacioMuestralS, sedicen Mutuamente Independientes, siysolosi, lainterseccindecualquiersubconjuntodeeventosde estacoleccincumplequelaprobabilidaddedichainterseccineselproductodelas probabilidades de los eventos involucrados. Ejemplo: Laprobabilidaddequeunamuestradelaboratoriocontengaaltosnivelesde contaminacines0 1 . . Seanalizan3 muestrasdeestetipo.Seasumequelosresultados obtenidos del anlisis de cada muestra son independientes. a) Cul es la probabilidad de que ninguna muestra contenga altos niveles de contaminacin? b) Cul es la probabilidad de que al menos una los tenga? ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P A P A B P A BP A| B P B P A| BP B' = + ' ' = +Solucin: SeaN: La muestra tiene altos niveles de contaminacin ( ) 0 1 P N . = , sin importar cul sea la muestra. a) b) Exactamente una los contenga c) ( ) ( )( )3al menos una 1 Ninguna1 0 9 0 271P P. .= = =Ejemplo: Elsiguientecircuitotrabajasiysolosi,existeunatrayectoriadedispositivosen funcionamientodeizquierdaaderecha.Supongaquelosdispositivosfallandemanera independiente. Cul es la probabilidad de que el circuito funcione? Los nmeros al interior de los recuadros son las probabilidades de falla de cada dispositivo. ( ) ( ) ( )( )21 1 0 1 1 0 99 0 99801 P I P I . . . ( ' = = = Ejemplo: Retomandoelejemplodelairregularidadenloscortesdeproductosdepapel,siel producto presenta cortes irregulares, que tan probable es que se hayan utilizado cuchillas nuevas. Solucin: Usando los mismos eventos definidos previamente se pide: ( )( )( )( ) ( )( )P N I P N P I | NP N| IP I P I= = .Como( ) ( ) ( ) 0 25 0 01 y 0 028 P N . P I | N . P I . = = = . As: ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )0 25 0 01 0 6 0 030 0893 0 64290 028 0 0280 15 0 050 26790 028. . . .P N| I . , P P| I .. .. .P D| I ..= = = == = Teorema de BayesSean1 2 nA , A, A eventos no vacos de un espacio MuestralS, mutuamente excluyentes y tales que iA S =. SiB es un evento deS; entonces: ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )1j j j j jj ni iiP B A P B| A P A P B| A P AP A | BP B P BP B| A P A== = =( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 233 3 0 1 0 9 0 243P N N N N N N N N N P N N NP N P N . . .' ' ' ' ' ' ' ' = ' = =( ) ( ) ( )3 30 9 0 729 P N N N P N . . ' ' ' ' = = =Ejemplo: (Ejercicio 2 - 91). Los clientes se encargan de evaluar los diseos preliminares de varios productos.Enelpasado,el95%delosproductosconmayorxitoenelmercadorecibieron buenasevaluaciones,el60%delosproductosconxitomoderadorecibieronbuenas evaluaciones y el 10% de los productos con poco xito recibieron buenas evaluaciones. Adems, el40%delosproductoshantenidomuchoxito,el35%unxitomoderadoyel25%unabaja aceptacin. a) Cul es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluacin? b) Si un nuevo diseo obtiene una buena evaluacin, Cul es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran xito? c) Si un producto no obtiene una buena evaluacin, Cul es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran xito? Solucin: Defina los siguientes eventosG: Un producto es catalogado como de gran xito M: Un producto es catalogado como de xito moderado E: Producto catalogado como de baja aceptacin (xito escaso) B: La evaluacin del producto es buena [ ] ( ) ( )[ ] [ ] [ ]0 4 0 35 0 250 95 0 6 0 1P G . , P M . , P E .P B| G . , P B| M . , P B| E .= = == = = a) b) c) Ejercicios propuestos - La probabilidad de que falle un conector elctrico que se mantiene seco durante el perodo de garanta, es 1%. Si el conector se humedece, la probabilidad de falla durante el perodo degarantaes5%.Siel90%delosconectoressemantienensecos,yel10%se humedece, qu proporcin de conectores fallar durante el periodo de garanta? - Las muestras de vidrio de un laboratorio se colocan en empaques pequeos y ligeros o en empaquespesadosygrandes,respectivamente,serompenduranteeltrayectoasu destino. Si el 60% de las muestras se envan en empaques grandes, y el 40% en empaques pequeos, Cul es la proporcinde muestras que se rompern durante el envo? - Si( ) 0 2 P A . = y ( ) 0 2 P B . = , y loseventosA y B sonmutuamenteexcluyentes,puede afirmarse que son independientes? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 95 0 4 0 6 0 35 0 1 0 250 615P B P B| G P G P B| M P M P B| E P E. . . . . ..= + += + +=[ ]( ) ( )( )( )( ) 0 95 0 40 61790 615P B| G P G . .P G | B .P B .= = =[ ][ ][ ][ ] ( ) ( )( )( ) ( )1 1 0 95 0 40 0521 1 0 615P B| G P G P B | G . .P G | B .P B P B . ' ' = = = =' - Se toman muestras de espuma de dos proveedores y se hace una evaluacin a stas paara determinarelgradoconelquecumplenciertasespecificaciones.Acontinuacinse resumen losa resultados obtenidos con 126 muestras. SNoProveedor 1 80 42 40 2SeanA: eleventoenquelamuestraesdelproveedor1,yB: eleventodondela muestra cumple con las especificaciones. a. Los eventosA y B son independientes? b. Los eventosA' y B son independientes? - Enlapruebadelatarjetadeuncircuitoimpresoenlaqueseutilizaunpatrndeprueba aleatorio, un arreglo de 10 bits tiene la misma probabilidad de ser uno o cero. Suponga que los bits son independientes. a. Cul es la probabilidad de que todos los bits sean uno? b. Cul es la probabilidad de que todos los bits sean cero? c. Cul es la probabilidad de que exactamente cinco bits sean uno, y los otros cinco, cero? - Lasochocavidadesdeunamquinademoldeoporinyeccinproducenconectores plsticosquecaenenunabandadetransportecomn.Setomaunamuestradeconectores cada determinado tiempo. Suponga que las muestras son independientes. a.Culeslaprobabilidaddequecincomuestrassucesivashayansidoproducidasenla cavidad uno del molde? b.Culeslaprobabilidaddequecincomuestrassucesivashayansidoproducidasenla misma cavidad del molde? c. Cul es la probabilidad de que cuatro de cinco muestras sucesivas hayan sido producidas en la cavidad uno del molde? - Un lote de 500 contenedores para jugo de naranja de congelado contiene cinco que estn defectuosos.Seescogendosalazar,sinreemplazo.SeanA y B loseventosdondeel primero y el segundo contenedor son defectuosos, respectivamente. a. Los eventosA y B son independientes? b. Si el muestreo se hace con reemplazo, Los eventosA y B son independientes? - Elcircuitosiguientetrabajasi,ysolosi,existeunatrayectoriaenfuncionamiento,de izquierda a derecha. El dibujo indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione. Suponga quelaprobabilidaddequeundispositivofuncionenodependedelfuncionamientodelos dems dispositivos. Cul es la probabilidad de que el circuito funcione? - El siguiente circuito trabaja si, y solo si, existe una trayectoriaen funcionamiento, de izquierda a derecha. En el dibujo se indica la probabilidad de que cada dispositivo funcione. Suponga que la probabilidad de que un dispositivo trabaje no depende del funcionamiento de los dems dispositivos. Cul es la probabilidad de que el circuito funcione? - Suponga que( ) ( ) ( ) 0 8 0 5 0 2 P A| B . P A . y P B . = = = . Calcule( ) P B| A- Los lseres de semiconductor utilizados en los productos para almacenamiento ptico requieren niveles de potencia mucho mayores para las operaciones de escritura que para las de lectura. Entre ms grande es el nivel de potencia menor es la duracin del lser. Los lseres utilizados en productos para el respaldo de discos magnticos de alta velocidad se utilizan principalmente para escribir, y la probabilidad de que su vida til sea mayor que cinco aos es 0.95. Los lseres que se emplean en productos para almacenamiento, invierten aproximadamente el mismo tiempo en operaciones de lectura y escritura, y la probabilidad de que la vida til de stos sea mayor que cinco aos es 0.995. El 25% de los productos de cierto fabricante se utilizan para operaciones de respaldo, mientras que el 75% restante se emplea para almacenamiento. SeanA: el evento donde la vida til de lser es mayor que cinco aos, yB: el evento donde el producto que emplea el lser se utiliza para respaldar informacin. Utilice un diagrama de rbol para determinar lo siguiente. a.( ) P Bb.( ) P B'c.( ) P A| Bd.( ) P A| B'e.( ) P A B f.( ) P A B' g.( ) P A- En una operacin de llenado automtico, la probabilidad de que el volumen de llenado sea incorrecto es 0.001 cuando el proceso se realiza a baja velocidad. Cuando el proceso se efecta a alta velocidad, la probabilidad de un llenado incorrecto es 0.01. Suponga que el 30% de los contenedores se llena cuando el proceso se efecta a alta velocidad, mientras que el resto se ejecuta el proceso se lleva a cabo a baja velocidad. a. Cul es la probabilidad de encontrar un contenedor lleno con un volumen incorrecto? b. Si se encuentra un contenedor lleno con un volumen incorrecto, Cul es la probabilidad de que haya sido llenado cuando el proceso se realizaba a alta velocidad? - Un lote de 50 arandelas espaciadoras contiene 30 que son ms gruesas que la dimensin requerida. Suponga que del lote se escogen tres arandelas al azar, sin reemplazo. a. Cul es la probabilidad de que las tres arandelas sean ms gruesas que la dimensin requerida? b. Cul es la probabilidad de que la tercera arandela sea ms gruesa de lo necesario si las dos primeras son ms delgadas que la dimensin requerida? c. Cul es la probabilidad que la tercera arandela sea ms gruesa que la dimensin requerida? - La tabla siguiente presenta un resumen de las caractersticas solicitadas en 940 rdenes de compra de computadoras. memoria adicionalnos No 51468 Procesador opcional de alta velocidad Si112246 SeanA: el evento donde se pide en una orden un procesador opcional de alta velocidad, yB:el evento donde se pide memoria adicional. Calcule las probabilidades siguientes. a.( ) P A B b.( ) P A B c.( ) P A B ' d.( ) P A B ' ' Elcircuitosiguientetrabajasi,ysolosiexisteunatrayectoriadedispositivosen funcionamiento,deizquierdaaderecha.Supongaquelosdispositivosfallandemanera independienteyquelaprobabilidaddefalladecadaunodeelloseslaquesemuestraenla figura. Cul es la probabilidad de que el circuito trabaje? Variables AleatoriasEn la mayora de problemas a los que comnmente nos enfrentamos, la descripcin del conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio puede ser complicada y por lo tanto el clculo de probabilidades tambin se dificulta. La idea sera poder resumirla adecuadamente asignando un valor real a cada resultado. Ejemplo: Si una persona es seleccionada de una poblacin diversas caractersticas pueden ser de intersycadaunaaportaalentendimientodeunfenmenoenespecial.Porejemploeltiempo que emplea en transportarse de su casa al lugar de trabajo, que tan lejos est de su casa el sitio donde trabaja, cuntos hijos tiene, cuantas horas duerme, cuntas personas conforman su grupo familiar,cuantogana,cuantogasta,cuantopagaporservicios,cuantasllamadashace diariamente, etc. Cadavezqueseleccionemosunapersonadeestapoblacin,lascaractersticasantes mencionadas pueden variar. Asociadas a estas caractersticas podemos establecer una regla que relacione un resultado con un nmero real. Porejemplo:El#dehijos,horasqueduerme,estrato,gastosetc.Estaasociacinoreglase conoce como Variable Aleatoria.Definicin: Una Variable Aleatoria es una funcin definida en un espacio MuestralS que asigna a cadaresultadodelexperimentounvalorreal.Usualmentelasdenotamosconletrasmaysculas ( ) etc X , Y , Z , T, As, ( )X: Ss X s x , x = eRREjemplo: Tres monedas no cargadas son lanzadas al tiempo. { }S ccc, ccs , csc, scc, css , scs , ssc, sss =Definamos la v.aX: # caras en cada lanzamiento. Denotemos porA el conjunto de todos los posibles valores que toma la v.aX. Asignando a cada resultado un valor de la variable aleatoriaX se tiene: 3 2 2 2 1 1 2 0ccc ccs csc scc css scs ssc sssX: + + + + + + + +As{ } 01234 ,, , , A = Podemos escribir ( )SX:XA RDonde( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 0 1 X ccc , X scc , X sss , X ssc = = = =Ejemplo: Se lanzan un par de dados no cargados. El espacio Muestral es ( ) ( ) ( ) ( ) { }11 1 2 5 6 6 6 S , , , , , , , , = Si definimosX: suma de los dos resultados, As ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 5 4 3 71 2 3 3 5 8 6 2 85 6 11 6 6 12 2 5 7, , , , ,, , , , ,, , , , , etc En este casoX toma los valores de2 3 12 , , , . As{ } 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 A , , , , , , , , , , = .Si definimosY: Diferencia entre los dos resultados entonces ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 0 3 2 1 4 3 11 2 1 3 5 2 6 2 45 6 1 6 6 0 2 5 3, , , , ,, , , , ,, , , , , As,{ } 5 4 3 2 10 123 45 , , , , , ,, , , , A = DiferentesvariablesimplicanespaciosdevaloresdiferentesA tambinesllamadoRangodela Variable Aleatoria. Ejemplo: De la produccin diaria de jabones se escoge uno al azar y se mide su PH. SeaX: el Ph del jabn. EntoncesX toma cualquier valor entre 0 y 14. As:[ ]0 14 , A = .Ejemplo: Eldesgastedeunallantaenunperododeunaoesunavariablealeatoria.SiX: el desgaste de la llanta, entonces( ) A 0 , a = , dondea representa la profundidad mnima de la llanta estando nueva. Estosejemplosrepresentandostiposdevariables:Discretas o Continuas. Unav.asedice Discreta si el conjunto de posibles valores que toma la variable es finito o numerable. Una variable se dice continua si el conjunto de posibles valores es un intervalo o unin de intervalos. Los dos primeros ejemplos son de variables discretas y los dos ltimos son de v.a continuas. Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias DiscretasConsidere de nuevo el ejemplo del lanzamiento de tres monedas no cargadas. { } S ccc, ccs , csc, scc, css , scs , ssc, sss ={ } 0123 ,, , A = . SiX: # de caras Si se quiere calcular la probabilidad de obtener dos caras definimos el eventoA: caen dos caras.( )1 1 1 38 8 8 8P A= + + = { } A ccs , csc, scc =EleventoA esequivalenteaquelav.aX tomeelvalor22 X = . Elevento 2 X = estar formadoportodoslosresultadosdelespacioMuestralS, talesque2 X = . As( ) ( ) 2 P A P X = = .En general, el evento X x = estar formado por todos los resultados deS tales queX asigna el valorx y ( ) ( ) P X x P A = = , donde ( ) { }A S X x = e =As( ) ( ) { } 2 con P X P A , ccs , csc, scc = = A =( ) { } ( )108P X P sss = = =( ) { } ( )138P X P ccc = = =Observe que( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 3 1 P X P X P X P X = + = + = + = =Como calcular la probabilidad de obtener a lo ms dos caras?( ) ( ) 2 P X P s = C , donde ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )01 20 1 272 0 1 2812 38sss , ssc, scs , css , scc, csc, ccsX X XP X P X P X P XP X P X = ` )= = =s = = + = + = => = = =C__ Definicin La Distribucin de Probabilidad pmf de una v.aX definida enS, se denotar( ) P x yest dada por( ) ( ) P x P X x , x A = = eEsta funcin debe satisfacer las siguientes condiciones: 1)( ) 0 P x , x A > e2)( ) 1x P x =Ejemplo: Para el ejemplo de las monedas, siX representael nmero de caras,entonces la pmf deX estar dada porx 0 1 2 3 Suma( ) P x183838181{ } 0 1 2 3 A , , , =Ejemplo: Una urna contiene 4 bolas blancas y 3 bolas negras. Se extraen al azar y sin reemplazo dos bolas de dicha urna. SeaX: bolas blancas en las dos extradas. La pmf paraX, est dada por: ( )4 52P 0 1 272x xX , x , ,||| || |\.\ .= =|||\. Definicin: SeaX unav.adiscretaconp.m.f( ) P x . LadistribucinAcumuladadeX, denotada ( ) F x (cdf) est definidax eR y( ) ( ) ( )x xF x P X x P x , x's' = s = eRPropiedades:1)( ) 0 1 F x s s2)( ) ( ) 1 P X x F x > = 3) Si( ) ( ) X Y F x F y < =( ) ( ) ( ) ( )( ) ()7 12 2 1 8 1 88 21 11 1 1 12 2P X F P X . F .P X Fs = = < = => = = =Ejemplo: Selanzaundadonocargado.SeaX: resultadodellanzamientodeldado. { } 1 2 3 4 5 6 , , , , , A =( )11 2 3 4 5 66P x , x , , , , , = =Si( ) 1 0 x F x < =Si( )11 26x F x s s =Si( )22 36x F x s < =Si( )33 46x F x s < = ( )[ ]6xF x , x = eRSi( )44 56x F x s < =Si( )55 66x F x s < =Si( ) 6 1 x F x > =Definicin: Unavariablealeatoriasedicecontinuasielconjuntodeposiblesvaloresparala variable es un intervalo o unin de intervalos. Ejemplos: mesa, estatura, presin, temperatura, tiempos de espera, etc. Considere la estatura (en metros). Definicin: SeaX unavariablealeatoriacontinua.LadistribucindeprobabilidadparaX es llamada Funcin de Densidad de Probabilidad, se denota( ) fx .Paraqueesta( ) fx realmenteseaunadistribucindeprobabilidadparaX debecumplirlas siguientes condiciones: 1)( ) 0 fx , x > eR2)( ) 1 rea total bajo f es 1 f x dx+ = }3) Sia yb son reales tales quea b < entonces ( ) ( )baP a X b fx dx s s =}Se puede mostrar que( ) 0 P X a = = (el rea en una lnea es cero). Estoimplicaqueelclculodeprobabilidadesseobtienealintegrarlap.d.fenelrango especificado sin importar si los extremos se incluyen o no. Ejemplo: SeaX laduracinenhorasdeciertotipodebombillaelctrica.Lap.d.fparaX esta dada por: ( )31500 25000 otrocasoa, xf xx,s s= Calcule: a)( ) 2000 P Xsb)( ) 2000 1800 P X | X s >Solucin: primero hallemos el valor de a. Como( ) ( ) ( ) ( )001500 25001500 25001 1 f x dx f x dx f x dx f x dx+ + ++= + + =} } } } 250025003 21500 15001 70312502a adx ax x = =}a)( )25003 2 215001 12000 0 683592 1500 2000a aP X dx .x (s = = ~ ( }b)( )( )( )2000318002500318001800 20002000 18001800adxP XxP X | XaP Xdxxs ss > = =>}}Ejemplo: El tiempo de esperade un cliente hasta ser atendidoes una variable aleatoria continua con p.d.f dada por ( )x 00 otro casoxe ,f x, >= Calcule( ) ( ) 1 1 2 P X , P X < < < . Halleelvalordek talque( ) 0 95 P X k . < = . Halleunaexpresin para el percentil 100 0 1 p , p < = 4) Si( ) ( ) x y F x F y < sAdems si( ) Fx ' es precisamente la p.d.f dex es decir( ) ( ) ( )dondeexistedf x F x , x Fdx' = ( ) ( )xF x f t dt x = e}REjemplo: Para el ejemplo del tiempo de espera de un cliente hasta ser atendido, halle la c.d.f. Si( ) 0 0 x F x s =Si( )00xtx F x e dt> =}( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ()121 01 1 1 1111 2 2 11 1 xF x e , xP X P X F eeP X F Fe e= >< = s = = = < < = = Ejemplo: La c.d.f para la v.aX: tiempo de prstamo de un libro, est dada por: (tiempo en horas) Halle: a)( ) 1 P X = < = s = + = + = = ~( )( )11pois 100 8pois 2 25YY ~~( )4 2 24044 42 1 42130 238103zzeP Z ez!.e= (s = = + + ( = =SeaW: # componentes que fallan antes de 125 horas. ( )3 33pois 100 8 10125W =~( )( ) ( )( )10 2021010pois10103 1 2 1 10 611 1 10 123 0 99723WWWeP W P WW!eeP W .=> = s = (= + + = ( > =~Ejemplo: Estudiosrecienteshanmostradoquelaprobabilidaddemoriracausadecierto medicamentocontralagripees0.00002.Siseadministradichomedicamentoa100.000 personas. Cul es la probabilidad de que no ms de dos personas mueran? Solucin:SeaX: # depersonasquemuerenporcausadelmedicamento ( ) 100000 0 00002 X bin ,. ~Se pide( ) 2 0 676676 P X . s = .SeaY: # personas que mueren por cada 100.000 habitantes( ) Y pois ~ Si2 np ~ = ( ) ( )2 2202 52 2 0 67668yyeP X P Y .y! e=s ~ s = = =Generacin en SAS de Distribucin Binomial y PoissonCalculo de probabilidadesSuponga que( ) ( ) ( ) 20 0 1 20 53 y 2 X bin ,. , Y hip , , T pois ~ ~ ~Calcule( ) ( ) ( ) 2 2 2 P X , P Y , P T s s s1230 67692680 99122810 6766764P .P .P .===( )( )2 22pois 100 8 4pois 4 50ZZ =~~( )( )( )123Data uno:0 120 2205 3 22 2run;P Probbnml . , , ;P Probhypr , , , ;P Poisson , ;===Generacin de DistribucionesGenerar 20 datos de una Binomial( ) 10 0 1 b ,. y de una( ) 2 pois( )( )Data dos;do1to20010 0 10 2outputendruni ;x ranbin , ,. ;y ranpoi , ;;;;===Algunas distribuciones continuasDistribucin UniformeSeaX una v.a continua definida en el intervalo( ) a , b , ( ) P X I e es proporcional a la longitud de I , en particular( ) ( ) ( )11 P X a , b k b a kb ae = ==DiremosqueX tieneunapdfuniformeen( ) a , b y escribimos( ) X a , b ~. LapdfdeX est dada por ( )10 otro caso, a x bb a f x,< < = [ ] [ ]( )2y2 12a ba bE X V X++= =La cdf paraX es( )01, x ax aF x , a x bb a, x b Ejemplo: Lalongituddeunabisagraparapuertasesunv.aX, distribuidauniformementeenel intervalo( ) 74 6 75 4 ., . mma) Calcule( ) 74 8 P X . = = =< = =}Distribucin NormalEsta distribucin juega un papel clave en el desarrollo de la inferencia estadstica, pues muchas de lasherramientasusadasenlatomadedecisionesoenlaspruebasdehiptesis,tienensu fundamento en sta distribucin. Ungrannmerodeestudiospuedenseraproximadosusandounadistribucinnormal:Algunas variablesfsicasdatosmeteorolgicos(temperatura,precipitaciones,presinatmosfrica,etc), mediciones en organismos vivos, notas o puntajes en pruebas de admisinode aptitud, errores en instrumentacin, proporciones de errores en diversos procesos, etc. Definicin: SeaX una v.a continua, se dice queX tiene una distribucin normal si su p.d.f es de la forma ( )( )2212102xxf x e ;, o < < =e o >t oREscribimos ( )2X n , o ~f tienesumximoabsolutoenx = y suspuntosdeinflexinen o. Esunadistribucin simtrica respecto ax = .Se puede demostrar que( ) 1 fx dx+ =}y que[ ] [ ]2y E X V X = = o .Si0 y 1 = o = diremos queX tiene una distribucin normal estndar y es usual denotarlaZ.( )2212Zf Z e , Z= etRSi( ) ( ) ( )2210 12ZtZ n , F Z e dt Z = = ut}~Usar tablas Cmo calcular probabilidades para cualquier normal? Suponga que ( )2X n , o ~ y sean a y b reales( )( ) 2221221212XbabzaXP a X b e dx Si Zb ae dz o o os s = =ot o | | | |= = u u ||o ot \ . \ .}}O sea( ) ( ) 0 1a bP a X b P Z con Z n , | |s s = s s |o o\ .~Teorema: SeaX una v.a continua tal que ( )2X n , o ~ si( ) 0 1XZ Z n , = o~Ejemplo: Suponga queZ es una v.a tal que( ) 0 1 Z n , ~a) Calcule( ) 1 32 P Z . < d)( ) 1 1 P Z < c)( ) 2 15 P Z . > f) ( )2 P Z >g) Cul es le valor deC, para que( ) 0 975 P Z c . < = ?( ) 0975196P Z c .c .< ==Ejemplo: El dimetro de un cable elctrico est distribuido normalmente con un dimetro medio de 0 8plg . y una desviacin estndar de0 02 . .a) Qu proporcin de cables tiene un dimetro superior a0 81plg . ?b)Uncableesdefectuososisudimetrodifieredelpromedioenmsde0 025plg . , Qu proporcin de cables son defectuosos? Solucin: SeaX: dimetro del cable ( ) 0 8 0 0004 X n .,. ~a) ( ) ( )( )0 81 0 80 81 1 0 81 10 021 0 5 1 0 6915 0 3085X . .P X . P X . P.P Z . . . | |> = s = s |o\ .= s = =b) Ejemplo: Lanotapromedioobtenidaporunestudiantedeciertocursoesunav.a aproximadamentenormalconunamediade3 3 . y desviacinestndarde0 2 . . Sisedeseaque soloel2% detodoslosestudiantesdedichocursorepruebe,Culdebeserlanotamnima aprobatoria? Solucin: SeaX: Nota obtenida por el estudiante( ) 3 3 0 04 X n .,. ~Sik es la nota mnima aprobatoria, entonces ( ) 0 02 P X k . s = o sea3 3 3 3 3 30 02 0 020 2 0 2 0 2X . k . k .P . P Z .. . . | | | |s = s = ||\ . \ . Si( )3 30 020 2k .z P Z z ..=s = . En la tabla2 05 z . = As 3 32 05 2 89 2 90 2k .. k . ..= = ~Los Percentiles en una normal son calculados usando( ) Z u .Sea0 1 < o < y supongamos que ( ) 0 1 Z n , ~ .El valor deZ que deja un reao a la derecha se denotaZo:( )1 P Z Zo< = oAproximacin Normal de la Binomial( ) ( )( )( )( ) ( )0 8 0 025 1 0 8 0 0251 0 025 0 8 0 0250 025 0 8 0 02510 02 0 02 0 021 1 25 1 251 1 25 1 251 0 8944 0 1056 0 2112PX . . PX . .P . X . .. X . .P. . .P . Z .. .. . . > = s= s s | |= s s |\ .= s s= u + u= + =SupongaqueX esunv.aBinomial( ) X bin n , p ~ . Sinesgrande,entonceslasprobabilidades para esta v.a pueden ser aproximadas usando la distribucin normal. Es decir ( )( )11221x n pP X x P X x P Zn p p| |+ || |s = < + ~ s | |\ . |\ .En la practica estas aproximaciones son buenas cuando10 n p > y ( ) 1 10 n p > .Ejemplo: Unprocesodefabricacinproduceun2% dechipsdefectuosos.Supongaquela determinacindestacaractersticaesindependienteparacadachipy1000 deellosson seleccionados. a) Calcule la probabilidad de que este lote contenga ms de 25 chips defectuosos b) Aproxime la probabilidad en a) usando la distribucin normal. Solucin: SeaX: # de defectuosos en los 1000 seleccionados( ) 1000 0 02 X bin ,. ~a) ( ) ( )( ) ( )251000025 1 2510001 0 02 0 981 0 8900660 109934x xxP X P X. .x..=> = s| |= |\ .= =b) ( ) ( )( )( )[ ][ ]25 1 251 25 525 5 20119 61 1 24 1 0 8925 0 10752019 6P X P XP X ..P Z.P Z . . .E X npV X .> = s= < | |~ s |\ .= s = == ==Ejercicios propuestos: - SupongaqueX tieneunadistribucinPoissonconmedia0.4.Calculelassiguientes probabilidades: a.( (( ( ) )) ) 0 P X = == =b.( (( ( ) )) ) 2 P X s ss sc.( (( ( ) )) ) 4 P X = == =d.( (( ( ) )) ) 8 P X = == =- Suponga que el nmero de clientes que entran en una banco en una hora es una variables aleatoria Poisson, y que( (( ( ) )) ) 0 0 05 P X . = = = = = = = = . Calcule la media y la varianza deX.- A menudo, el nmero de llamadas telefnicas que llegan a un conmutador se modela como unavariablealeatoriaPoisson.Supongaque,enpromedio,sereciben10llamadaspor hora. a. Cul es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en una hora? b. Cul es la probabilidad de que se reciban tres llamadas o menos en una hora? c. Cul es la probabilidad de que se reciban exactamente 15 llamadas en dos horas? d. Cul es la probabilidad de que lleguen exactamente cinco llamadas en 30minutos? - Elnmerodebachesenunaseccindeunaseccindeunacarreterainterestatalque requieren reparacin urgente, puede modelarse con una distribucin Poissonque tiene una media de dos baches por milla. a. Cul es la probabilidad de que no haya baches qu reparar en un tramo de cinco millas ? b. Cules laprobabilidad deque seanecesariorepararal menos unbacheen un tramo de media milla? c. Si el nmero de baches est relacionado con la carga vehicular de la carretera, y algunas seccionesdestatienenunacargamuypesadamientrasqueotrasno,Qupuede decirse sobre la hiptesis de que el nmero de baches que es necesario reparar tiene una distribucin Poisson? - El nmero de fallas de un instrumento de prueba debidas a las partculas contaminantes de un producto, es una variable aleatoria Poisson con media 0.02 fallas por hora. a. Cul es la probabilidad de que el instrumento no falle en una jornada de ocho horas? b.Culeslaprobabilidaddequesepresentealmenosunafallaenunperiodode24 horas? - Enunprocesodefabricacindondeselaminanvariascapasdecermicas,el1%delos ensambles es defectuoso. Suponga que los ensambles son independientes. a. Cul es el nmero promedio deensambles que ser necesario examinarparaobtener cinco defectuosos? b.Culesladesviacinestndardelnmerodeensamblesqueesnecesarioexaminar para obtener cinco defectuosos? - Los mensajesque llegan a una computadorautilizada como servidor lohacende acuerdo con una distribucin Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora. Determine el intervalodetiemponecesarioparaquelaprobabilidaddequenollegueningnmensaje durante ese lapso sea 0.90. Distribucin ExponencialSeaX una v.a continua. Diremos queX tiene una distribucin exponencial si la pdf paraX es de la forma( )00 otro casoxe , xf x, >= Escribimos( ) [ ] [ ]21 1y X Exp , E X V X = = ~La cdf paraX es( )1 00 0xe , xF x, x >= = 4. Si( ) ( )x xX Y F X F Y < sSi existe una funcin xF tal que( ) ( )x xF X F X x ' = donde xF' existe, entonces xF es llamada una funcin de densidad de probabilidad de la v.aX (f. d. p). Por el T. F. C( ) ( )xx xF X F t dt x = e}R donde xF' existe. Propiedades de xF1. ( ) 0xF x , x > eR2. ( ) 1xF x dx+=}3. ( ) 0 P X x = =; as ( ) ( ) ( ) ( )bx x xaP a x b Fb F a F x dx s s = =}( ) ( ) ( ) ( ) P a x b P a x b P a x b P a x b s s = < s = s < = < entonces ( ) 1xF x =Esta distribucin es conocida como distribucin Uniforme continua. Ejemplo: Eltiempoquedebeesperarunclientehastaseratendidoenventanillaesunav.a continua con f. d. p xf dada por ( )00 otro casoxxe , xf x, >= (tiempo en minuto). ( )25003 2 215007031250 7031250 1 12002 1500 20000 68359P x dxx. (s = = ( ~ }( ) ( ) ( ) ( )211 2 2 1 2 11xxxP x x x F x dx k x x x xb a< < = = = }( )( )( )1800 200020001800 2500 0 394521800 2500P xP x | x .P xs ss s s = ~s sHalle xF ; Calcule( ) 1 P X< , ( ) 1 2 P X < < . Halle el valor dek para le cul( ) 0 95 P X k . < = .Solucin: Si0 x s entonces ( ) 0xF x =Si0 x > entonces ( ) ( )xx xF x f t dt=}( )001xt t x xxF x e dt e | e = = = }( )0 01 0x x, xF xe , xs = >( ) ( ) ( )11 11 1 1 1 1 0 63212xeP x P x F e .e e< = s = = = = ~( ) ( ) () ( ) ( )2 12 21 1 11 2 2 1 1 1 0 23254x xeP x F F e e .e e e < < = = = = ~( ) ( ) ( ) 1 0 95 0 05 0 05 2 99573k kxP x k Fk e . e . k ln . k . < = = = = = =Valor esperado de una variable continuaSeax una variable aleatoria continua con f.d,p.( ) fX . El valoresperadodeX est dado por[ ] ( )xU E x x f x+= =}, si la integral existe. Este valor esperado cumple las mismas propiedades que en el caso discreto. [ ] [ ] E a x b a E x b + = +,( ) ( ) E c g x c E g x(( = y( ) ( ) ( )xE g x g x F x dx+ ( = }La varianza de la v.aX estar dada por[ ] [ ] ( ) 222 2x xxVAR x V x E x U E x U ( ( o = = = = La desviacin estndar de la v.aX ser 2x xo = o .Para el ejemplo de la duracin en horas de cierta bombilla.Halle[ ]E X .Solucin: ( )22500 2500231500 15002500215007031250 70312507031250 3591742 667xE x dx dxx xE x ln x . ( = = ( = = } } [ ] ( )2500 25003 21500 1500250015007031250 703125070312501875 horasxxE x x f x dx dxx x( )x+= = == =} } }2 23591742 667 1875 76117 667 275 894 h)x x. . ; . ( o = = o =Para el ejemplo del tiempo de espera de un clienteX( )00 otro casoxxe , xf x, >= [ ]01xE x x e dx+= =},2 2 202 2 1 1 1xx xE x x e dx , ,+ ( = = o = = o = }Ejercicios propuestos - SeaX una v.a continua con f.d.p dada por ( )( ) 2 0 20 en otro casoc x , xf x, s s= Calculea) c b) Halle( )xF Xc) Calcule( ) 1 1 5 P X . s sd)[ ]E X y [ ]V Xe) Hallar el valor dek tal que( ) 0 95 P X k . < =- Cuandounserviciodetransportereducesutarifa,entoncessevuelvemuypopularun recorrido muy especial entre dos ciudades. Para hacer el recorrido se emplea un transporte especial Que puede llevar cuatro pasajeros. El tiempo entre llamadas para comprar boletos tieneunadistribucinexponencialconunamediade30minutos.Supongaqueencada llamadaseadquiereunboleto.Culeslaprobabilidaddequeeltransporteselleneen menos de tres horas a partir del momento en que se reduce la tarifa? - Demuestrequelasiguientesfuncionessonfuncionesdedensidaddeprobabilidadpara algn valor dek ; determine el valor dek .a.( )2Xf x k x = para0 4 x < = = =La c.d.f paraX es( ) ( ) ( ) 1 F x P X x P X x = s = >( ) 1 0xF x e ; x= > . Asi, la p.d.f paraX es( )xF X e= , osea( ) X exp ~ .Proposicin: (Carencia de memoria) SupongaqueX esunavariablealeatoriacontinuatalque( ) X exp ~ . Sean ( ) ( )1 2 1 2 1 2t t x t t x t x t , P | P+e < + > = < RDemostracin:( ) x , y( )( )( )( )( )1 2111 21 2111 121 121t txt 1 1 21 2 1 +x1tt +txt +tttt ttttt2dxt x t tx t t x tx tdx11x tePP |Peee ee ee eeeP+ < < +< + > = => = = ( = = = = < + > = =e.( ) 0 99 P x X x . < < =- La resistencia a la compresin de una serie de muestras de cemento puede modelarse con unadistribucinnormalconmedia6000kilogramosporcentmetrocuadrado,yuna desviacin estndar de 100kilogramos por centmetro cuadrado. a.Culeslaprobabilidaddequelaresistenciadeunamuestraseamenorque6250 2kg / cm ?b. Cul es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800 y 5900 2kg / cm ?c. Cul es el valor de resistencia que excede el 95% de las muestras? - Elvolumendeunamquinadellenadoautomticodepositaenlatasdeunabebida gaseosatieneunadistribucinnormalconmedia12.4onzasdelquidoydesviacin estndar de 0.1 onzas de lquido. a.Culeslaprobabilidaddequeelvolumendepositadoseamenorque12onzasde lquido? b. Si se desechan todas las latas que tienen menos de 12.1 o ms de 12.6 onzas de lquido, Cul es la proporcin de latas desechadas? c.Calculeespecificacionesqueseansimtricasalrededordelamedia,demodoquese incluya al 99% de todas las latas. - Lamediadelaoperacindellenadopuedeajustarseconfacilidad,peroladesviacin estndar sigue teniendo el mismo valor, 0.1 onzas de lquido. a. Qu valor debe darseal media para que el 99.9% de todas las latas contengan ms de 12 onzas de lquido? b. Qu valor debe darseal media para que el 99.9% de todas las latas contengan ms de 12 onzas de lquido si la desviacin estndar puede reducirse a 0.05 onzas de lquido? - Lalongituddeunestuchemoldeadoporinyeccinparaunacintamagnticatieneuna distribucinnormalconunamediade90.2milmetrosydesviacinestndarde0.1 milmetros. a. Cul es la probabilidad de que la longitud de una pieza sea mayor que 90.3 milmetros o menor que 89.7 milmetros? b. Aque valor debeajustarse la mediadel proceso paraque elmayornmero de partes tenga una longitud entre 89.7 y 90.3 milmetros? c. Si se desechan los estuches cuya longitud no est entre 89.7 y 90.3 milmetros, Cul es el rendimiento del proceso para el valor de la media determinado en el inciso b)? - Suponga que el proceso se ajusta de modo que la media y la desviacin estndar queden en 90 y 0.1 milmetros, respectivamente. Suponga que se mide la longitud de 10 estuches y que las mediciones son independientes. a.Culeslaprobabilidaddequelalongituddelos10estuchesestentre89.7y90.3 milmetros? b. Cul es el numero esperado de los 10 estuches cuya longitud est entre 89.7 y 90.3? - El tiempo que transcurre entre las llamadas a una empresa de artculos para plomera tiene una distribucin exponencial con un tiempo promedio entre llamadas de 15 minutos. a. Cul es la probabilidad de que no haya llamadas en un lapso de 30 minutos? b. Cul es la probabilidad de recibir al menos una llamada en unintervalo de 10 minutos? c. Cul es la probabilidad de recibir la primera llamada entre cinco y 10 minutos despus de haber abierto la empresa? - Calcule la dimensin de un intervalo de tiempo, de modo tal que la probabilidad de recibir al menos una llamada en ese lapso sea 0.90. - Eltiempodevidadelosreguladoresdevoltajedelosautomvilestieneunadistribucin exponencial con un tiempo de vida medio de seis aos. Una persona compra un automvil quetieneunaantigedaddeseisaos,conunreguladorenfuncionamiento,yplanea tenerlo por espacio de seis aos. a. Cul es la probabilidad de que el regulador de voltaje falle en ese lapso de seis aos? b. Si el regulador falla despus de tres aos de haber efectuado la compra del automvil y se reemplaza, Cul es el tiempo promedio que transcurrir hasta que el regulador vuelva a fallar? - El tiempo entre llegadas de mensajes electrnicos a una computadora tiene una distribucin exponencial con media de dos horas. a.Culeslaprobabilidaddequelacomputadoranorecibamensajesenunperiodode dos horas? b. Si la computadora no ha recibido ningn mensaje en las ltimas cuatro horas, Cul es la probabilidad de recibir un mensaje en las dos horas siguientes? C. Cul es el tiempo esperado entre el quinto y el sexto mensaje? - Eltiempoentrearribosdelostaxisauncrucemuyconcurridotieneunadistribucin exponencial con media de 10 minutos. a. Cul es la probabilidad de que una persona que est en el cruce tenga que esperar ms de una hora para tomar un taxi? b. Suponga que la persona ya esper una hora; Cul es la probabilidad de que llegue uno en los siguientes 10 minutos? Continuacin del anterior ejercicio 4-83 - a.Determinex , demodotalquelaprobabilidaddequelapersonaesperemsdexminutos para tomar un taxi sea 0.10. b. Calculex , de modo tal que la probabilidad de que la persona tenga que esperar menosdex minutos para tomar un taxi sea 0.90. c. Determinex , de modo que la probabilidad de que la persona tenga que esperar menos dex minutos para tomar un taxi sea 0.50. - Eltiempodeduracindeunensamblemecnicoenunapruebadevibracintieneuna distribucin exponencial con media de 400 horas. a.Culeslaprobabilidaddequeelensamblefalledurantelapruebaenmenosde100 horas? b. Cul es la probabilidad de que el ensamble trabaje durante ms de 500 horas antes de que falle? c.Sielensamblesehaprobadodurante400horassinfallaalguna,Culesla probabilidad de que falle en las siguientes 100 horas? Continuacin del anterior ejercicio - a. Si se prueban 10 ensambles, Cul es la probabilidad de que falle al menos uno de ellos en menos que 100 horas? Suponga que los ensambles fallan de manera independiente. b.Siseprueban10ensambles,Culeslaprobabilidaddequetodoshayanfallado despus de 800 horas? Suponga que los ensambles fallan de manera independiente. - El tiempo entre las llegadas de avionetas a un aeropuerto tiene una distribucin exponencial con una media de 1 hora. Cul es la probabilidad aterricen ms de tres avionetas en una hora? Continuacin del anterior ejercicio - a. Si se escogen 30 intervalos de una hora, Cul es la probabilidad de que en ninguno de ellos hayan aterrizado ms de tres avionetas? b. Determine la duracin de un intervalo (en horas), de modo tal que la probabilidad de que no aterrice ninguna avioneta en ese tiempo sea 0.10. SilavariablealeatoriaX tieneunadistribucinexponencialconmediau , calculelo siguiente: a.( ) P X > ub.( ) 2 P X > uc.( ) 3 P X > ud. Cmo depende el resultado deu ?Leer Seccin 4.9. Probabilidad y estadistica Montgomery, Douglas C Distribucin LognormalUna variable aleatoriaX, no negativa, tiene una p.d.f Lognormal si( ) Y ln X = es una v.a con p.d.f normal. Si[ ] E Y= y [ ]2V Y= o , la p.d.f deX es de la forma( )( ) 22121020lnxe , xfxx, otro caso o>= t o y2o no son la media yvarianza deX. Son la mediayvarianzade( ) ln x . Sepuededemostrar que[ ]22E X eo += y [ ]( )2 221 V X e e + o o= - Es una curva con un sesgo grande a la derecha. Elclculodeprobabilidadesconunap.d.f Lognormalesalgocomplicado.Perodebidoal hecho de que el logaritmo natural de un v.a Lognormal es una v.a normal, podemos usar las tablas paraunanormalestndarparacalculardichasprobabilidades.Como( ) ln x esunafuncin estrictamente creciente, entonces( ) ( )lnx lnaP X a P lnx lna Plna lnaP Z | |s = s = s |o o\ . | | | |= s = u ||o o\ . \ . As, la c.d.f deX es de la forma( ) ( ) 0lnxF x P X x ; x | |= s = u > |o\ . Ejemplo: ElarticuloThestatisticsofphytotoxicairpollutants(JournalRoyalStatSoc.,1989, pp.183-198)sugierequelaconcentracinde 2SO sobreciertobosquetieneundistribucin aproximadamente Lognormal con1 9 . = y 0 9 . o = .a) SiX: es la concentracin de 2SO en este bosque. Calcule la concentracin media de 2SO y la desviacin estndar paraX?b)Culeslaprobabilidaddequelaconcentracinde 2SO seaalosumo10?Esteentre5y 10? c) Calcule la mediana paraXSolucin:a)[ ]( ) 22 0 91 92 3052 210 024...E X e e e .o + += = = =[ ]( ) ( )2 22 4 61 0 811 1 125 395. .V X e e e e . + o o= - = - =b) ( ) ( )( )( )( )( ) ( )10 1010 1 90 90 45 0 67365 1 9 10 1 95 100 9 0 90 32 0 450 45 0 320 6736 0 3745 0 2991P X P lnx lnlnx ln .P.P Z . .ln . ln .P X P Z. .P . Z .. .. . .s = s | |= s |o\ .= s = | |< < = s s |\ .= s s= u u = =c) Hallemos el valor dex , x tal que( )( )( )1 90 51 90 5 0 50 91 90 50 90 1 9 6 686.P X x .lnx lnx .P lnX lnx . P ..lnx .P Z z . con z.z lnx . x e .s = | |s = s = |o\ . s = ==== = d) En general el percentil 100p se calcula como( )( )1 9 0 91 90 91 90 9ppp p. . Zplnxp .P X X p P Z p.lnxp .P Z z p z Z Z.X e+ | |s = s = |\ .s = == =