Caminos del saber matematicas 6

MatemáticasSecundaria y media

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Matemáticas 2

Estructura de la serieEl proyecto Los Caminos del Saber Secundaria y media es un programa de educación con soluciones tecnológicas que apoyan el libro de texto para que docentes y estudiantes enriquezcan sus experiencias de enseñan-za y aprendizaje.

Este proyecto ofrece:

1. Libro del estudiante

Responde a las exigencias planteadas por el Mi-nisterio de Educación Nacional y que promueve el desarrollo de competencias.

2. Edición para el docente

Incluye una guía de planeación con una gran va-riedad de recursos, para apoyar la planeación y la práctica diaria en el aula.

Allí encuentra:

• Competencias generales para el grado

• Estándares básicos de competencias

• Escala de valoración

• Plan de trabajo por bimestres

• Matrices de desempeño

• Organizadores conceptuales

• Sugerencias metodológicas

24

usa

cuyos pasos incluyen como

que son

El método científico

estudia a

Industria

Eubacteria

Partículas subatómicas

Campos

Reinos

Los seres vivos

Niveles

Observación

CélulasMedio ambiente

Archaea

Átomos

Sistemas

Planteamiento de hipótesis

Agricultura

Protista

Moléculas

Organismos

Experimentación

Ganadería

Fungi

Organelos

Poblaciones

Obtención de resultados y análisis

Nutrición

Medicina

Plantae

Células

Comunidades

Animalia

Tejidos

Ecosistemas

Órganos

Biosfera

Elaboración de conclusionesRelación

Comunicaciónde resultados

se aplica en

se clasifican en

LA BIOLOGÍA

se caracterizan por

que se organizan en

que son

EL UNIVERSO

posee

se encuentra en

90% materia invisible

Galaxias

Cúmulos galácticos

10% materia visible

que se estructuran en

el cual está compuesto por

Sistemas estelaresque se agrupan en

que se agrupan en

75% H20% He5% otros

El Big Bang (H, He)

alrededor de las cuales giranCometasPlanetas

Asteroides

Nebulosas que tienen

Satélites

por

Contracción gravitatoria

Expansiónlo que se prueba por

La separación creciente de las galaxiasLa radiación cósmica de fondo

que se forman a partir de

Las estrellas

Organizador conceptualUNIDAD 1

que surgieron duranteque se generaron en el interior de

estar formados por realizar

como

Funciones vitales

Reproducción

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8

ENTORNO VIVO

Sabe

r y s

aber

hac

er

LogrosIndicadores de desempeño

Tiempo estimado

en semanas

• Comprende y explica, con exac-

titud, las distintas teorías sobre

el origen del universo y del sis-

tema solar.

• Explica la teoría del Big Bang mediante un

modelo.

• Compara los postulados de las teorías sobre el

origen del universo.

• Explica cómo está organizado el sistema solar.

• Plantea hipótesis para explicar la posibilidad

de existencia de seres vivos en otros planetas.

• Reconoce los principales acon-

tecimientos que dieron origen a

las primeras formas de vida y la

manera en que estas evolucio-

naron para el surgimiento de las

células.

• Describe las teorías sobre el origen de la vida.

• Explica la teoría de la generación espontánea.

• Explica el origen de la vida, a partir de la sopa

primitiva y la sustenta con el trabajo realizado

por Stanley Miller.

• Explica las teorías de la evolución y de la se-

lección natural.

• Reconoce que la tecnología le ha permitido

al ser humano viajar al espacio y conocer más

acerca de nuestro sistema solar y de su origen.

• Escribe sus argumentos a favor y en contra de

la exploración espacial.

• Comprueba, explicaciones cien-

tíficas, utilizando procedimien-

tos experimentales rigurosos.

• Comprueba, a través de experimentos, algu-

nas características de los seres vivos.

• Registra, de manera ordenada, los resultados

obtenidos durante los laboratorios.

• Propone explicaciones a los resultados obte-

nidos y los relaciona con los conceptos vistos.

• Observa células animales y elabora ilustracio-

nes científicas de estas.

• Registra, de manera ordenada, los resultados

obtenidos durante los laboratorios.

Matriz de desempeño

Del universo a los seres vivos

Temas de la unidad

• El universo

• Características de los seres vivos

• El interior celular

• Niveles de organización de los seres vivos

• Tejidos

• Clasificación de los seres vivos

• Explorando la diversidad biológica

• Plantas y animales1

Calendario A

Febrero

1 2 3 4

Marzo1 2 3 4

Calendario B

Septiembre

1 2 3 4

Octubre

1 2 3 4

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Matemáticas 3

3. Tics para el estudiante y para el docenteCaminos del Saber Matemáticas Secundaria ofrece un Libromedia en DVD para cada grado que:

• No requiere conectividad, facilita la práctica docente y se puede perso-nalizar.

• Contiene una amplia variedad de recursos virtuales de aprendizaje y ofrece múltiples alternativas de estrategias didácticas.

• Se vincula a las aulas como una oportunidad para aumentar la eficacia en el aprendizaje, a la vez facilita la comprensión de algunos temas difí-ciles o complejos.

• Cuenta con recursos digitales asociados a los contenidos y herramien-tas que permiten destacar información, incluir imágenes y desplegar otras funciones de gran utilidad.


Matemáticas 4

• Además, ofrece un sitio web: Santillana plus www.santillanaplus.com.co con:

− Más recursos interactivos y multimedia, en permanente ac-tualización que agregan valor a los procesos educativos.

− Una aplicación Appes (aplicación de pruebas y planeación Escolar Santillana).

− Acceso al CES (constructor de evaluaciones Santillana) que permite al docente personalizar las pruebas con las que eva-luará a sus estudiantes.


Matemáticas 5

Estructura de una unidad Página inicial

Al comienzo de cada unidad se encuentra una página de apertura, que presenta al estudiante los temas que se abordarán y los logros que debe alcanzar. Se enumeran los contenidos, las actividades y las evaluaciones que se encuentran en el libromedia.

Desarrollo de contenidos

El desarrollo de los contenidos está acompañado de ejercicios y de situaciones en contexto, cuya solución se explica paso a paso. Además se encuentran actividades para desarrollar competencias.


Matemáticas 6

En el desarrollo de las temáticas también se encuentran:

En estos recuadros se encuentran datos acerca de los acontecimientos históricos relacionados con la temática que se está trabajando.

En estos cuadros se encuentra una pregunta acerca del tema siguiente para que se prepare para la próxima clase.

Este recuadro recuerda información clave para que los estudiantes puedan comprender mejor la teoría.

Propone preguntas acerca de la teoría que se está trabajando.


Matemáticas 7

Al final de la unidad se encuentran

Ejercicios para repasar

Es una selección de actividades de cada tema para que el estudian-te repase y responda allí mismo.

Problemas para repasar

Presenta un problema de alguna de las temáticas y propone más problemas para que el estudiante resuelva. Contiene espacios para responder ahí mismo.


Matemáticas 8

Secciones especialesY esto que aprendí, ¿para qué me sirve?

Presenta una lectura para que el estudiante lea y analice situacio-nes que tienen aplicación con la temática estudiada.

Trabaja con…

Presenta diferentes programas informáticos para que el estudian-te desarrolle los temas de la unidad. Propone programas que no necesitan licencias, se pueden descargar libremente y tampoco tienen límite de tiempo para su uso.

− Geogebra− Wirirs− Stadis 1.05− Excel− Geonext− Winplot− Smart Studio

158

Figura 1. Trayectoria espiral del protón sobre el ciclotrón.

Ciclotrón de Medical Systems utilizado para el tratamiento de tumores cancerosos.

Y esto que aprendí, ¿para qué me sirve?

…Para saber cómo se genera una radiografía.Una radiografía es una imagen que se toma del cuerpo humano, se registra en una placa fotográfica o de forma digital y sirve para analizar partes del sistema óseo del cuerpo especialmente. Esta imagen se genera cuando se expone el receptor de imagen radiográfica a una fuente de radiación de alta energía procedente de isótopos ra-diactivos. Las sustancias radiactivas que se necesitan para tomar una radiografía se producen con un dispositivo denominado ciclotrón.

El ciclotrón es un dispositivo de tipo circular que permi-te acelerar partículas subatómicas a grandes velocidades hasta hacerlas chocar con un blanco, produciendo una reacción nuclear, y así generar elementos radiactivos.

Su funcionamiento inicia con el ingreso de un protón (partícula subatómica con carga eléctrica positiva) en dos semicírculos llamados D’s por su forma de “d ma-yúscula”. Gracias a la interacción de campos eléctricos y magnéticos la partícula se mueve en forma espiral como se muestra en la figura 1.

Cuando alcanza la energía necesaria, la partícula choca con el blanco y la energía de la partícula subatómica se puede calcular de acuerdo con la siguiente expresión:

K mq B R

252 2 2

La energía (K) del protón cuando sale del ciclotrón de-pende del cuadrado del radio (R) de los semicírculos. (q) es la carga del protón equivalente a 1,6 3 1029 C, (B) es el campo magnético al cual se somete el protón cuando viaja por el ciclotrón y (m) es la masa del protón equiva-lente a 1,67 3 10227 kg.

1. Calcula la energía con que sale un protón al pasar por un ciclotrón de campo magnético de 0,4 T y radio 1,2 m.

2. Completa la tabla con la energía de cada protón para los diferentes radios y realiza la gráfica de K respecto a R para un campo magnético de 0,52 T.

3. ¿Cuál es el radio requerido de un ciclotrón para ace-lerar protones hasta una energía de 7,06 3 10210 J utilizando un campo magnético de 4,8 T?

Radio (m) 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4Energía (J)

Galería de imágenes

MAT 9-1(128-161)U5.indd 158 28/02/12 10:01

159

…También sirve para determinar la velocidad en las montañas rusas.La montaña rusa debe su nombre a los grandes tobo-ganes de madera que se construían en Rusia para lanzar trineos deslizables sobre nieve. Posteriormente, apareció en Francia un modelo de montaña rusa en el que se adaptaron rieles y vagones. Esta idea de montaña rusa se introdujo en Estados Unidos como una atracción po-pular llamada Roller coaster. En la actualidad, la montaña rusa es una de las atracciones mecánicas más llamativas para las personas y se utiliza en ferias o parque temáticos alrededor del mundo, donde se pueden encontrar las más rápidas, extensas, vertiginosas o altas.

Básicamente la montaña rusa consiste en el desplaza-miento de uno o más vagones por medio de un riel que tiene altibajos, de tal forma que los vagones alcanzan, en algún punto del riel, una altura máxima desde la que caen libremente aprovechando la energía potencial gra-vitacional que alcanzan.

A continuación se relacionan las montañas rusas más altas del mundo.

Figura 1. La montaña rusa Kingda ka ubicada en Jersey tiene 139 metros de altura.

Existe una expresión proveniente de la energía cinética y la energía potencial que relaciona la velocidad y la altura a la que cae libremente un objeto como sucede en las montañas rusas más altas del mundo.

La relación es:

v2 5 2gh

Donde v es la velocidad final del objeto, g es la constante gravitacional cuyo valor aproximado es 9,8 m/s2 y h es la altura de la cual cae libremente el objeto.

1. Calcula la velocidad máxima que se alcanza en cada una de las montañas rusas mencionadas en la tabla.

2. La energía cinética es la energía en movimiento que poseen los cuerpos y se halla mediante la expresión:

2E mv52

C

Si un vagón de la Kingda ka con 10 personas tiene una masa aproximada de 1.200 kg, ¿cuál es su energía cinética máxima?

Nombre Ubicación Altura

Tower of terror II dreamword Australia 115 metros

Superman Escape of krypton California, Estados Unidos 126,5 metros

Top thrill dragster Ohio, Estados Unidos 128 metros

Kingda ka Jersey, Estados Unidos 139 metros

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Trabaja con Winplot

sinnombre1.wp2Archivo Ecua Ver Btns Una Dos Anim Misc

4y

x

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

y = x 2 + 2x - 3

y = f(x)

f(x) =

x infx sup

ancho de lápiz densidad de dibujo

bloquear el intervalo hacer periódica-5.000005.00000

ax 2+bx+c

1 1 color

ayudacancelarok

x = -1.00000y = -4.00000

siguiente extremo de Y

guardar

como

X

A

Coordenadasdel vértice.

valores extremos

y = x 2 + 2x - 3

cerrar

160

Objetivo: analizar la gráfica de la función f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, a partir de la variación de los parámetros a, b y c, reconociendo los elementos de la función cuadrática.

Descripción: representar una función cuadrática particular y después la familia de funciones f(x) 5 ax2 1 bx 1 c,en el programa Winplot. Luego, hacer variar los parámetros a, b y c para encontrar generalidades y formular conclusiones acerca de las características de la gráfica de una función cuadrática.

y = f(x)

f(x) =

x infx sup

ancho de lápiz densidad de dibujo

bloquear el intervalo hacer periódica-5.000005.00000

x 2+2x-3

1 1 color

ayudacancelarok

inventario [sinnombre1.wp2]

editar

gráfico

borrar

ecuación

dupl

nombre

copiar

derivar

tabla

red

familia

cerrar

y = x 2 + 2x - 3

ceros

y = x 2 + 2x - 3

-3.00000 siguiente

guardar x como

graficar punto

cerrarA

Ceros

Para acceder a Winplot, ingresa y descarga el programa en winplot.softonic.com

6 Observa en la herramienta tabla, los cortes de la función f(x) 5 x2 1 2x 2 3 con los ejes e iden-tifica el vértice. Luego, confirma con la gráfica de la función que sean los mismos.

7 Activa la opción Una, en el menú, y selecciona Ceros. Luego, en la ventana que se despliega, identifica los ceros de f(x) 5 x2 1 2x 2 3. Haz clic en siguiente para encontrar otros ceros, como se ve en la figura.

8 Activa la opción Una, en el menú, y selecciona Extremos. Luego, en la ventana que se des-pliega aparecen las coordenadas del vértice de la gráfica de la función f(x) 5 x2 1 2x 2 3, como aparece en la figura.

9 Repite el paso 3 con f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, como se observa en la ilustración.

1 Haz doble clic en el icono wplotsp.exe.

2 Activa la opción Ventana y selecciona 2-dim.

3 Activa la opción Ecua, en el menú y selecciona Explicita. Luego, en la ventana que se desplie-ga, escribe la expresión x2 1 2x 2 3, como se observa en la ilustración.

4 Haz clic en ok y observa dos ventanas: la gráfi-ca de la función y otra que se denomina inven-tario.

5 En la ventana inventario observa qué pasa cuando haces clic en las herramientas editar, gráfico, ecuación y tabla. Describe en tu cua-derno lo que ves en cada una.

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Archivo Ecua Ver Btns Una Dos Anim Misc

4

y

x

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4valor actual de A

Flechas

Parámetro

0.00000

23

A

def l

automostrar diapositivas

auto rev auto cicl def D

cerrar

0,8 m

x

Archivo Ecua Ver Btns Una Dos Anim Misc

Función cuadrática.wp2

4

y

x

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

16 1

10 Haz clic en ok y observa que la gráfica es una línea recta. Esto sucede porque el programa asigna los valores de a, b y c igual a cero (por defecto).

11 Despliega la herramienta Anim del menú, se-lecciona la opción Parámetros A-W. En ella podrás cambiar los valores de a, b y c seleccio-nando cada parámetro y moviendo las flechas hacia la derecha o la izquierda.

12 Utiliza Winplot para analizar las siguientes fun-ciones cuadráticas:

f(x) 5 ax2

f(x) 5 ax2 1 c

f(x) 5 ax2 1 bx

f(x) 5 ax2 1 bx 1 c

Para ello, cambia los parámetros de a, b y c, según corresponda.

13 Responde las siguientes preguntas a partir de las gráficas de funciones cuadráticas.

a. ¿Cuál es el color de la gráfica de la función cuadrática si a . 1?

b. ¿Cuál es el color de la gráfica de la función cuadrática si a , 0?

c. ¿Qué diferencias encuentras entre las grá-ficas de las funciones representadas en Winplot? Escribe dos.

14 Determina por ensayo y error en Winplot, la ecuación de la función cuadrática que aparece en la siguiente figura. Luego, encuentra las coordenadas exactas del vértice.

15 Realiza la representación gráfica de cada fun-ción en el programa Winplot. Luego, halla los ceros de la función y encuentra las coorde-nadas exactas del vértice.

a. f(x) 5 x2 1 4x 1 3

b. f(x) 5 2x2 1 6x 1 4

c. f(x) 5 2x2 2 20x 1 57

d. f(x) 5 26x2 2 12x 2 5

16 Resuelve el siguiente problema aplicando el programa de Winplot.

Se lanza una pelota de béisbol a través de un campo de juego a partir de una altura de 0,8 metros sobre el suelo, en un ángulo de 45° respecto a la horizontal, a una velocidad de 8,5 m/s. Aplicando las leyes de la física sobre la trayectoria de la pelota es posible establecer una función para la altura (y) de la pelota en términos de la distancia recorrida (x), así:

( ) 72,259,8 0,8f x x x� � � �2

Encuentra la altura máxima que alcanza la pe-lota de béisbol.

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Matemáticas 9

Hiperpágina

Propone la ampliación de uno de los temas de la unidad, de una manera visual para facilitar su comprensión.


Matemáticas 10

Fortalezas de Caminos del Saber Matemáticas Secundaria• En la serie se maneja con propiedad el lenguaje propio de las

matemáticas.

• Los Caminos del Saber traen una cronología (línea de tiempo) que cuenta a los estudiantes la historia de cada una de las te-máticas trabajadas en cada unidad.

• Contiene mayor cantidad de ejercicios (para cada temáti-ca explicada y en general por unidad). Y las actividades que se proponen inmediatamente después de la teoría están de acuerdo con la temática tratada y el nivel de los estudiantes.

• Las actividades en Caminos del Saber Matemáticas se encuen-tran ordenadas de menor a mayor dificultad, y son clasificadas según los procesos de matemáticas: ejercitar, razonar, modelar comunicar y solucionar problemas con el fin de que los profe-sores puedan evaluar esos procesos en sus estudiantes, tam-bién en las competencias interpretar, argumentar y proponer.

• En la serie se proponen ejercicios y problemas con espacio para responder allí mismo (se pueden utilizar como taller de re- paso).


Matemáticas 11

• Se enseña un procedimiento claro y sistemático para resolver problemas mediante pasos, en el cual se plantea un problema y se explica cómo se resuelve de principio a fin.

• En la sección Trabaja con, se proponen programas que no tie-nen necesidad de utilizar licencia.

• Integra de manera efectiva los contenidos impresos con los contenidos digitales. El libro del estudiante indica los objetos digitales que se relacionan con los contenidos del libro y se pueden encontrar en el Libromedia o en la página web.

• Las evaluaciones que hay por unidad están relacionadas en la página inicial y tienen el estilo de las que propone el estado, esto hace que los estudiantes se enfrenten a una prueba lo más real posible, y no se limiten a responder un cuestionario de se-lección múltiple.

• Se ofrece un gran número de objetos digitales de aprendiza-je que favorecen la consolidación y apropiación de los cono-cimientos. En el libromedia encuentran: galerías de imagen, actividades interactivas, recursos imprimibles, ampliaciones, enlaces web y audios.


Caminos del saber matematicas 6

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