E1 E2 E3 E4 E5 Calificacion

CALCULO INFINITESIMALExamen Final Julio-2011

NUM.de MATRICULA

APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICACIONES PREVIAS

La duracion del examen sera de tres horas sin interrupcion.

No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante laprimera hora.

No se admiten calculadoras.

E1. Hallar las soluciones de la ecuacion z4 = −16. (1 p.)

E2. Calcular las asıntotas de la funcion f(x) =x3

|x2 − 1| . (1.5 p.)

E3. Estudiar el intervalo de convergencia de la serie de potencias∞∑

n=0

(−4)n

(n + 4)4xn (1.5 p.)

E4. (a) Definir la integral impropia∫ +∞

1f(x) dx (1 p.)

(b) Sea D la region plana acotada por las graficas de las funciones

y = 5 + 4x − x2, y = x2 − 4x + 5

a) Calcular el area de D. (1 p.)

b) Calcular el volumen del solido generado al girar D alrededor del eje OX. (1 p.)

E5. (a) Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 3 +1

2

(

x2 + 6y2)

en el punto

(x0, y0, z0) = (2, 1, 8). (1 p.)

(b) Dada la funcion f(x, y) =

2x2y + 3y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

.

Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) f es continua en IR2.

b) Existen las derivadas parciales de f en IR2.

c) f es diferenciable en IR2 −{(0, 0)}.(2 p.)

Solucion del EXAMEN

E1. Soluciones de la ecuacion z4 = −16 =⇒ z = 4√−16

| − 16| = 16, Arg(−16) = π =⇒ 4√−16 = 4

√16π =

4√

16π+2kπ

4

= 2π+2kπ

4

k = 0, 1, 2, 3

Soluciones:

k = 0 −→ z1 = 2π

4= 2

(

cos(

π4

)

+ i sen(

π4

))

=√

2 + i√

2

k = 1 −→ z2 = 2 3π

4

= 2(

cos(

3π4

)

+ i sen(

3π4

))

= −√

2 + i√

2

k = 2 −→ z3 = 2 5π

4

= 2(

cos(

5π4

)

+ i sen(

5π4

))

= −√

2 − i√

2

k = 3 −→ z4 = 2 7π

4= 2

(

cos(

7π4

)

+ i sen(

7π4

))

=√

2 − i√

2

E2. Asıntotas de la funcion

f(x) =x3

|x2 − 1| =

x3

x2 − 1si x2 − 1 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1, +∞)

x3

1 − x2si x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1)

Asıntotas verticales: x = 1, x = −1 ya que se verifica

lımx→1

f(x) = lımx→1

x3

|x2 − 1|( 1

0)

= +∞, lımx→−1

f(x) = lımx→−1

x3

|x2 − 1|(− 1

0)

= −∞

Asıntotas no verticales: y = mx + n

m = lımx→±∞

f(x)

x= lım

x→±∞

x3

x(x2 − 1)= 1

n = lımx→±∞

(f(x) −mx) = lımx→±∞

(

x3

x2 − 1− x

)

= lımx→±∞

x

x2 − 1= 0

=⇒ y = x

E3. Intervalo de convergencia de la serie de potencias∞∑

n=0

(−4)n

(n + 4)4xn

Utilizamos el Criterio del cociente para calcular el radio de convergencia R

R =1

ρ, ρ = lım

n→∞

|bn+1||bn|

= lımn→∞

4n+1

(n+1+4)4

4n

(n+4)4

= lımn→∞

4n+1(n + 4)4

4n(n + 5)4= lım

n→∞

4(n + 4)4

(n + 5)4= 4

Por tanto, la serie converge en(

−1

4,1

4

)

. Ahora estudiamos los extremos del intervalo:

Para x = −1

4=⇒

∞∑

n=0

(−4)n

(n + 4)4

(

−1

4

)n

=∞∑

n=0

1

(n + 4)4convergente por el criterio de compa-

racion con la serie armonica generalizada:

lımn→∞

1(n+4)4

1n4

= lımn→∞

n4

(n + 4)4= 1

Para x =1

4=⇒

∞∑

n=0

(−4)n

(n + 4)4

(

1

4

)n

=∞∑

n=1

(−1)n

(n + 4)4absolutamente convergente, ya que la

serie de los valores absolutos es la anterior que sabemos converge.

Por tanto, la serie de potencias converge en el intervalo[

−1

4,1

4

]

E4. (a) Definir la integral impropia∫ +∞

1f(x) dx

Sea f una funcion acotada en [1, +∞), e integrable en [1, b], b > 1, podemos definir∫ +∞

1f(x) dx = lım

b→+∞

∫ b

1f(x) dx si este lımite existe diremos que la integral impropia es

convergente.

(b) Sea D la region plana acotada por las graficas de las funciones

y = 5 + 4x − x2, y = x2 − 4x + 5

Calculamos los puntos de interseccion de ambas parabolas:

{

y = 5 + 4x − x2

y = x2 − 4x + 5

}

=⇒0 = 8x − 2x2 ⇐⇒ 2x(4 − x) = 0 ⇐⇒ x = 0, x = 4

a) Area(D) =∫ 4

0

((

5 + 4x − x2)

−(

x2 − 4x + 5))

dx =∫ 4

0

(

8x − 2x2)

dx =

=

(

4x2 − 2x3

3

]4

0

= 43 − 243

3=

64

3

b) Volumen del solido generado al girar D alrededor del eje OX

V ol =∫ 4

0π(

5 + 4x − x2)2

dx −∫ 4

0π(

x2 − 4x + 5)2

dx = π

∫ 4

0

(

80x − 20x2)

dx =

= 20π

(

2x2 − x3

3

]4

0

= 20π(

32 − 64

3

)

=640π

3

E5. (a) Ecuacion del plano tangente a la superficie z = 3 +1

2

(

x2 + 6y2)

en el punto (x0, y0, z0) = (2, 1, 8).

El plano tangente a la superficie z = 3 +1

2

(

x2 + 6y2)

en el punto (2, 1), z(2, 1) = 8

z − z(2, 1) =

(

∂z

∂x

)

(2,1)

(x− 2) +

(

∂z

∂y

)

(2,1)

(y − 1)

z − 8 = (x)(2,1) (x − 2) + (6y)(2,1) (y − 1) =⇒ z − 8 = 2(x − 2) + 6(y − 1)

(b) Dada la funcion f(x, y) =

2x2y + 3y2

x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

.

Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) f es continua en IR2.Falso.f es continua en IR2 −{(0, 0)} por ser composicion y producto de funciones continuas,siendo ademas x2 + y2 > 0. Estudiamos el punto (0, 0) : f(0, 0) = 0

lım(x,y)→(0,0)

f(x, y) = lım(x,y)→(0,0)

2x2y + 3y2

x2 + y2

0/0= lım

r → 0

α ∈ IR

2r3 cos2 α senα + 3r2 sen2 α

r2=

= lımr → 0

α ∈ IR

(

2r cos2 α senα + 3 sen2 α)

= 3 sen2 α

no existe el lımite de f en (0, 0), luego f no es continua en dicho punto.

b) Existen las derivadas de f en IR2.Falso.

(

∂f

∂x

)

(0,0)

= lımh→0

f(0 + h, 0) − f(0, 0)

h= lım

h→0

0 − 0

h= 0

(

∂f

∂y

)

(0,0)

= lımh→0

f(0, 0 + h) − f(0, 0)

h= lım

h→0

3h2

h2 − 0

h= lım

h→0

3

h= ∞

No existe la parcial de f respecto de y en el punto (0, 0). En IR2 −{(0, 0)} aplicamoslas reglas de derivacion:

∂f

∂x=

4xy(x2 + y2) − (2x2y + 3y2)2x

(x2 + y2)2,

∂f

∂y=

(2x2 + 6y)(x2 + y2) − (2x2y + 3y2)2y

(x2 + y2)2

c) f es diferenciable en IR2 −{(0, 0)}.Verdadero.f no es diferenciable en (0, 0) ya que f no es continua en dicho punto. En IR2 −{(0, 0)},existen las derivadas parciales y son continuas en dicho conjunto abierto, luego por lacondicion suficiente de diferenciabilidad , f es diferenciable en IR2 −{(0, 0)}.