Calculo Integral (problemario)

uanl ciencias básicas fime

1

CAPÍTULO I 1.1- ANTIDERIVADAS F(x) es una antiderivada de f(x) si F’(x) = f(x). La regla para calcular antiderivadas se deducen de las correspondientes para las derivadas, por ejemplo: La antiderivada de Kf(x) donde K es una constante, es KF(x). La antiderivada de f(x) + g(x) es: F(x) + G(x), donde F’(x) = f(x) y G’(x) = g(x).

La antiderivada de f(x) = xn donde n es diferente de –1, es F(x) 1

1

+=

+

nxn

.

Si F(x) es una antiderivada de f(x),entonces a F(x) +C se le llama la antiderivada más general de f(x), siendo C cualquier constante.

PROBLEMAS RESUELTOS Hallar la antiderivada más general para las funciones dadas:

1.- f(x) = 3x 4 , F(x) = 14

3 14

+

+x + C , F(x) = Cx +5

53

2.- f(x) = 45

4 5 xx = , F(x) = Cx+

+

+

145

145

, F(x) = Cx +49

94

3.- f(x) = 33 44 −= x

x , F(x) = Cx

++−

+−

134 13

, F(x) = Cx +− −22

4.- f(x) = 8 , f(x) = 8 0x , F(x) = Cx+

+

+

108

10

, F(x) = 8x + C

5.- f(x) = 3x2-x+2 , F(x) = Cxxx++− 2

233

23

, F(x) = Cxxx ++− 22

23

6.- f(x) = 12f(x) , 121 21

22 −+=−+ − xxx

x , F(x) = Cxxx

+−+−

−

23

21

23

1

F(x) = Cxxx

+−+− 2

3

341


2

7.- f(x) = 32

2133 23 34f(x) , 34 xxxx

xx +−=+−

−

F(x) = cxxxCxxx++−=++− 3

52

143

52

14

536F(x)

35

21

34

4

8.- f(t) = 12 45

42

1+−+ −−

ttt

F(t) = CttttxFCtttt++++=++

−−+

−−

39102)(

3592

21

35

92

1359

21

9.- f(t) = 21

21

253

2f(t) ,12 −+−=

+− tttttt

F(t) = CtttCttt++−=++− 2

12

32

721

23

27

234

72F(t)

21

23

22

7

10.- f(z) = 2222

2

44f(z) ,441f(z) ,21 zzzz

zz

++=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + −

F(z) = Czzz

Czzz+++

−=+++

−

−

3441F(z)

344

1

331

11.- f(x) = ( )( ) 2f(x) ,3

23f(x) ,3

652

+=+

++=

+++ x

xxx

xxx , F(x) = Cxx

++ 22

2

12.- f(x) = ,3f(x) ,27 343 4 xx = F(x) = CxCx

+=+ 373

7

79F(x) ,

37

3


3

EJERCICIO 1.1 Encontrar la antiderivada más general de la función dada.

1.- f(x) = 1213 +− xx 2.- f(x) = 2431 32

1

2 +++ −xxx

3.- f(x) = 3 2

215 821 x

xx−+ 4.- f(x) =

3 2

2 1xxx −+

5.- f(x) = ( )( )xxx ++− 21 2 6.- f(x) = 21⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx

7.- f(x) = 1

23

−−+

xxx 8.- f(t) = ( )( )

( )14232

+−++

tttt

1.2.- INTEGRAL INDEFINIDA Y CAMBIO DE VARIABLE A la antiderivada más general de una función f(x), también se le llama antidiferencial o integral indefinida y se denota con el signo de la integral sin usar los límites, es decir:

∫ =+= )()(' que siempre ,)()( xfxFCxFdxxf

Así: (2.1) ∫ =dxxf )( Una función

(2.2) ∫ =b

adxxf )( Un número

Como dijimos a (2.1) se le llama la integral indefinida de f(x) y a (2.2) la integral definida de f(x) desde “a” hasta “b”, sin embargo a las dos formas se les acostumbra llamar simplemente la integral de f(x), teniendo en cuenta lo que representa en cada caso, con esta notación:

∫ ++

=+

Cnxdxx

nn

1

1

, n≠ -1

En algunos casos esta fórmula no se puede aplicar directamente sino mediante un cambio de variable, como se verá en los ejemplos siguientes.


4

PROBLEMAS RESUELTOS

En los siguientes ejercicios se calculan algunas integrales .

1.- ( )∫ +++=++ Cxxxdxxx 24

3

412

2.- ∫ ∫ ++=++=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

CxxCxxdxxxdxx

x 21

232

12

3

21

21

232

21

23

1

3.- ( )∫ + dxx 1501 haciendo u = 1 + x , du = dx

( ) ( )∫ ∫ +

+=+==+ CxCuduudxx

1511

1511

151151150150

4.- ( )∫ + 32x

dx haciendo u = x + 2, du = dx

( ) ( )∫ ∫ ∫ +

+−=+−=+

−===

+

−− C

xC

uCuduu

udu

xdx

22

23

33 221

21

22

5.- ( )∫ + xdxx 322 33 haciendo u = 33 3 +x , du = 6x dx , luego dx =

xdu6

( ) ( ) ( ) CxCuCuduux

duxxxdxx ++=+=+⋅==+=+∫ ∫∫ 3523

535

32

3223

22 33101

101

356

161

63333

6.- ( )∫

+ dxxx

81 haciendo u = 1 + x ,

xdxdu

2= , multiplicando y dividiendo por 2

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ++=+==+

=+ CxCuduudx

xxdx

xx 9

98

88

192

922

2121

7.- ∫ − tdt1

haciendo u = 1 – t , du = -dt

( )∫ ∫ ∫ ∫ +−−=+−=−=−=−

−−=

−− CtCuduu

u

dut

dtt

dt2

121

21

21 122

11

8.- ( )∫ − uduu 1026 haciendo z = 26 u− , dz = -2udu , multiplicando y dividiendo por –2


5

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ +−−=+⋅−=−=−−−=− CuCzdzzuduuuduu 11211

10102102 6221

1121

2126

216

9.- ( ) ( )∫ +− dxxx 23

121 , haciendo u = 1 – x, x = 1 – u, du = -dx, dx = -du

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +−−=−−=−+−−=+− duuuuduuuduuxdxxx 23

123123

1231

69321121

Cuuuduuuu +−+−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−= ∫ 3

103

73

43

73

43

1

103

718

42769

( ) ( ) ( ) Cxxx +−−−+−−= 310

37

34

11031

7181

427

10.- ( )( )∫ +

+ dxxx

5031 haciendo u = x + 3, x = u – 3, x + 1 = u – 2 =, du = dx

( )( )

( ) ( )∫ ∫ ∫ +−

−−

=−=−

=++ −−

−− Cuuduuuduu

udxxx

492

4822

31 4948

50495050

( ) ( )

Cxx

++

++

−= 4948 3492

3481

EJERCICIO 1.2 Calcular las siguientes integrales.

1.- ∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++− − dxxxx 23

124 2.- ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +− dxx

xx 3

3 2 11

3.- ∫ + 221 xxdx 4.- ( ) ( )∫ +++ dxxxxx 4412 3524

5.- ( )∫

++

+ dxxx

x23

2

1

26 6.- ∫ + dxxx 13

7.- ( )∫ ++ dxxx 212 8.- ( )∫+

31 xx

dx

9.- ( )∫ + xdxx 502 14 10.- ∫ + dxx 3


6

11.- ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + dx

xx 2

111

1.3.- EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Si F(x) es una antiderivada de f(x), entonces por el Teorema fundamental del cálculo

)()()( aFbFdxxfb

a−=∫ , )()( aFbF − se denota como: [ ]baxF )(

Por tanto el valor de la integral definida de f(x) de “a” hasta “b” esta dada por:

[ ] )()()()( aFbFxFdxxfb

a

b

a−==∫

PROBLEMAS RESUELTOS Calcular las integrales siguientes:

1.- ( )1

0

341

0

23

3 14 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−∫ xxxdxxx ( ) ( ) ( ) ( )

350

3001

311

34

34 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

2.- [ ] 24)4(4)10(444 10

4

10

4=−==∫ xdx

3.- [ ] 1233

2

3

2=−==∫ xdx

4.- ( )∫−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=++

0

1

0

1

3524

353 13 xxxdxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )15291

311

530

300

53 3

53

5 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−+−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++=


7

5.- ( ) ( )1

3

351

3

241

3

22

32

5121

−−− ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−=− ∫∫ tttdtttdtt

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )155123

332

531

312

51 3535

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

6.- 1

0

21

23

1

0

21

23

1

02

12

11

02

34

21

23

2212⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +∫∫

−xxxxdxxxdx

xx

( ) ( ) ( ) ( )3

1002034121

34

21

23

21

23

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

7.- 4

1

21

4

1

2114

12

12 24

211

414 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡++

−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ++

−−−∫ ttt

tttdttt

( ) ( ) 811214442

44

21

21

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++−=

8.- ( )( ) ( )1

0

231

0

21

0

21

0

3162

3164

41644

464

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=+−=

++−+

=++

∫∫∫ xxxdxxxdxx

xxxdxx

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )34301602

3011612

31 2

32

3=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

9.- ∫ =−+

+3

3 24

2

013

1 dxxx

x , ya que ( )∫ =a

adxxf 0

10.- ∫− +2

31dxx

Igualando a cero la expresión que esta entre los signos de valor absoluto, x +1 = 0 ,

x = -1, como –1 esta entre los límites de la integral, se descompone la integral en dos, usando la propiedad:

( ) ( )∫∫∫ +=

b

k

k

a

b

adxxfdxxfdxxf )(

∫∫∫ −

−

−−+++=+

2

1

1

3

2

3111 dxxdxxdxx

como x +1 es una expresión negativa si x esta entre –3 y –1, lo cual se puede ver

dándole un valor particular entre estos dos números, se tiene que:


8

( ) ( )∫∫−

−

−

−+−=++−=+

1

3

1

311 ,1 1 dxxdxxasixx

Similarmente, x +1 es positivo si x está entre –1 y2, de donde ( )11 +=+ xx , entonces ( )∫∫ −−

+=+2

1

2

111 dxxdxx

con esto, ( ) ( )2

1

21

3

22

1

1

3

2

3 22111

−

−

−−

−

−− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=+++−=+ ∫∫∫ xxxxdxxdxxdxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

131212

223

231

211

22222

3=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−−=+∫− dxx

11.- ∫ −6

34 dxx

con el procedimiento del problema anterior, 4- x = 0 , x = 4 , ∫∫∫ −+−=−

6

4

4

3

6

3444 dxxdxxdxx

4-x , es positivo si x está entre 3 y 4 , negativo si x está entre 4 y 6 , así, ( )∫∫ −=−

4

3

4

3,44 dxxdxx ( )∫∫ −−=−

6

4

6

444 dxxdxx , con esto

( ) ( )6

4

24

3

26

4

4

3

6

34

224444 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−−+−=− ∫∫∫ xxxxdxxdxxdxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2544

2464

26

2334

24444

22226

3=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−∫ dxx

12.- ∫ +

3

12 dxx

Igualando a cero x + 2 , x + 2= 0 , x = -2, como –2 no esta entre los límites de la

integral, no es necesario descomponerla en dos. La expresión x + 2 es positiva si x está entre 1 y 3, así 22 +=+ xx , con lo cual;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8122

132232

222

223

1

23

1

3

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=+ ∫∫ xxdxxdxx

13.- ∫− −2

13dxx


9

Haciendo x – 3 = 0, x = 3, 3 no está entre los límites de la integral, así no es necesario descomponerla en dos, x – 3 es negativo sí x esta entre –1 y 2, es decir

)3(3 −−=− xx , por tanto;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

15132123

223

233

222

1

22

1

2

1=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−=−−=−

−−− ∫∫ xxdxxdxx

14.- ∫− −

0

1 1 tdt Usando el ejemplo 7de la sección 2, donde se encontró que

( )∫ +−−=−

Ctt

dt2

112

1, se usa ahora el teorema fundamental del cálculo

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 222112012121

21

210

12

10

1+−=+−−−−=−−=

− −−∫ tt

dt

también se puede resolver, además de utilizar el cambio de variable del problema

anterior, efectuar un cambio en los límites de integración, así u = 1 – t, du = -dt, entonces si t = -1, u = 1-t = 1-(-1) = 2, si t = 0, u = 1-0 = 1, con lo cual

222211

1

2

211

2 21

0

1

0

1+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=−=

−−

−=− ∫∫∫ −−

uu

dut

dtt

dt

Esta última forma de resolver se aplicará en las integrales siguientes. 12.- dxx∫ +

6

41 haciendo u = x + 1, du = dx, si x = 4, u = 5, si x = 6, u = 7

( ) ( )∫∫ −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==+

7

52

32

37

5

23

216

45

327

32

321 uduudxx

13.- ( )∫

++

+1

0 22 421 dx

xxx haciendo u = x2+ 2x + 4, du = (2x + 2) dx, si x = 0, u = 4,

si x = 1, u = 7. Multiplicando y dividiendo por 2

( )( )

( ) 563

81

141

21

121

21

4222

21

4211

0

7

4

7

4

17

4 2

1

0 2222=+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅==++

+=

++

+∫ ∫∫

−

uu

udu

xxdxxdx

xxx

14.- ∫ −3

2

2 1dxxx haciendo u = x – 1, x = u + 1, x2 = (u + 1)2, du = dx, si x = 2, u = 1,

si x = 3, u = 2.

( )2

1

23

25

272

12

12

32

52

12

123

2

2

32

54

72211 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=+=− ∫∫∫ uuuduuuuduuudxxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++= 2

32

52

72

32

52

71

321

541

722

322

542

72

≈7.89121


10

15.- ∫ +1

01 dxxxx haciendo u = dxxdxxduxxx

23

23,11 2

12

3==+=+

si x = 0, u = 1, si x = 1, u = 2. Multiplicando y dividiendo por 3/2

( ) ( )∫ ∫ ∫ −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==⋅+=+

1

0

1

0

2

12

32

32

1

23

21

1942

94

94

32

231

321 uduudxxxxdxxxx

EJERCICIO 1.3 Evaluar las siguientes integrales.

1.- ( )∫− ++1

2

2 83 dxxx 2.- ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +6

4 23

12 dxx

x

3.- ∫ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

−2

32

12 dtttt 4.- ∫−7

6dx

5.- ( )( )∫− −+1

111 dxxx 6.- ∫ −

−1

0

3

28 dx

xx

7.- ( )∫ −2

2

10012 dxx 8.- ∫1

0

3 2125 dtt

9.- ∫− −

4

12 dxx 10.- ∫ −

6

35 dxx

11.- ∫ +

2

01dxx 12.- ∫− −

2

23dxx

13.- ( )∫− −

0

1 221 tdt 14.- ∫ +

2

0 2 1ttdt


11

CAPÍTULO II

2.1.- FUNCIONES LOGARITMO NATURAL Y EXPONENCIAL

NATURAL

∫ += Cxx

dx ln ∫ += ,ln Cuudu donde u = g(x)

∫ += Cedxe xx ∫ += ,Cedue uu donde u = g(x)

PROBLEMAS RESUELTOS Resolver las siguientes integrales:

1. ∫ xdx3

∫ ∫ +== Cxx

dxxdx ln333

2. ∫ − xdx

4 haciendo u = 4-x, du = -dx

∫ ∫ ∫ +−−=+−=−=−

−−=

−CxCu

udu

xdx

xdx 4lnln

44

3. ∫ + 4

3

32 xdxx haciendo u = 2 + 3x4, du = 12x3dx, multiplicando y dividiendo por 12

∫ ∫ ∫ ++=+==+

=+

CxCuudu

xdxx

xdxx 4

4

3

4

3

32ln121ln

121

121

3212

121

32

4. ∫ ++2

1 23 dx

xx dividiendo

211

23

++=

++

xxx

[ ] ( ) ( )34ln13ln14ln22ln

211

23 2

1

2

1

2

1+=+−+=++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++=

++

∫∫ xxdxx

dxxx

5. ( )∫ dx

xx 2ln haciendo u = ln x , du =

xdx


12

( ) ( )∫ ∫ +=+== CxCuduudx

xx

3ln

3ln 33

22

6. ∫ + xxdx haciendo u = 1 + x , du =

xdx

2 , multiplicando y dividiendo por 2

( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ++=+==+

=+

=+

CxCuudu

xxdx

xxdx

xxdx 1ln2ln22

122

1

7. ∫1

0

3 2

dxxe x haciendo u = 3x2 , du = 6xdx multiplicando y dividiendo por 6 y

cambiando los límites

( )161

61

616

61 33

0

3

0

1

0

31

0

3 22

−==== ∫∫∫ eeduexdxedxxe uuxx

8. ( )∫ + dxee xx 102 haciendo u = ex + 2 , du = exdx

( ) ( )∫∫ +

+=+==+ CeCuduudxee

xxx

112

112

11111010

9. ∫ + 4x

x

edxe haciendo u = ex + 4 , du = ex dx

∫ ∫ ++=+==+

CeCuudu

edxe x

x

x

4lnln4

10. ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ −−+=++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + −− xedxdxedxeedx

ee xxxx

xx 2

2122

2121 2222

2

Cexe xx +−+= −22

212

21

11. ∫ +−

−

2

2

x

x

edxe haciendo u = e-x + 2 , du = -e-x dx , e-x = u – 2

( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

−−=

+

−−=

+ −

−−

−

−

duuu

duue

dxeee

dxex

xx

x

x 21222

2

( )∫ ++++−=++−=+

−−−

−

CeeCuue

dxe xxx

x2ln22ln2

2

2

12. ∫ +− 1xe

dx multiplicando y dividiendo por ex , haciendo u = 1 + ex , du = ex dx

∫ ∫∫∫ ++=+==+

=+

=+ −−

CeCuudu

edxe

eedxe

edx x

x

x

xx

x

x1lnln

1)1(1


13

EJERCICIO 2.1 Calcular las integrales siguientes:

1. ∫ +

+

xxdxx

62)1(

3

2 2. ∫ +

+ dxxx

312

3. ∫ xxdxln

4. ∫+

xdxx 2)ln1(

5. [ ]∫ )ln(ln)ln( xxx

dx 6. ∫ +1

0

12 dxe x

7. ∫ xex

dx 8. ∫ + xx eedx

52

9. ∫ + xedx

321 10. ∫ + 32

4

x

x

edxe

2.2.- FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS GENERALES

∫ += Ca

adxa xx

ln1 ∫ += Ca

adua uu

ln1 , u = g(x)

PROBLEMAS RESUELTOS Resolver las siguientes integrales:

1. ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xx dx 5

5ln15

2. ∫ dxx x232 haciendo u = 3x2 , du = 6xdx, multiplicando y dividiendo por 6

∫ ∫ +=+== CCxdxdxx xuxx 222 333 22ln6

122ln

1·61)6(2

612


14

3. ∫ +1

0

126 dxx haciendo u = 2x + 1, du = 2 dx multiplicando y dividiendo por 2 y

cambiando los limites

6ln

105)66(6ln2

166ln

1216

21)2(6

216 13

3

1

3

1

1

0

121

0

12 =−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=== ∫∫∫ ++ uuxx dudxdx

4. ∫ −133

x

x dx haciendo u = 3x – 1 , du = 3x ln 3 dx multiplicando y dividiendo por ln 3

∫ ∫∫ +−=+==−

=−

CCuududxdx x

x

x

x

x13ln

3ln1ln

3ln1

3ln1

133ln3

3ln1

133

5. ∫ + dxxx 7)27( 3 haciendo u = 7x + 2 , du = 7x ln 7 dx , multiplicando y dividiendo por

ln 7

∫ ∫∫ ++

=+==+=+ CCuduudxdxx

xxxx

4)27(

·7ln

14

·7ln

17ln

17ln7)27(7ln

17)27(44

333

6. ∫ )(log 2 xx

dx haciendo u = log2x , du = 2lnx

dx , multiplicando y dividiendo por ln 2

CxCuudu

xxdx

xxdx

+=+=== ∫∫ ∫ 222

logln2lnln2ln2ln)(log2ln

2ln)(log

7. ∫∫ +== Ce

exdxedxe

xxx

)3ln()3(

)3(3

8. ∫ −

−

+

− dxxx

xx

2222 haciendo u = 2x + 2-x, du = (2x – 2-x) ln2 dx multiplicando y dividiendo

por ln 2

CCuududxdx xx

xx

xx

xx

xx++=+==

+

−=

+

− −−

−

−

−

∫ ∫∫ 22ln2ln

1ln2ln

12ln

12ln22

)22(2ln

12222

EJERCICIO 2.2 Calcular las integrales dadas 1. ∫ + dxx 14 2. ∫ ++ dxx xx 82 2

5)2( 3. ∫2

1

210 dxx x

4. ∫ + 2)36(6x

x dx 5. ∫ + )1(log3 xxdx 6. ∫ − dxe xx5

2.3.- INTEGRALES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS


15

En cada fórmula siguiente u es una función de x

∫ += Cusenudu cos ∫ +−= Cuudus cosen

∫ += Cuudus tan ec2 ∫ += Cuseudutus can ec

∫ +−= Cuudu cot csc2 ∫ +−= Cuuducuc cscot sc

CuCuudut +−=+=∫ coslnseclnan

∫ += Csenuuduc lnot ∫ ++= Cuuudus tansecln ec

∫ +−= Cuuuduc cotcscln sc

PROBLEMAS RESUELTOS Resolver las siguientes integrales 1. a) ∫ axdxcos , b) ∫ senaxdx , donde “a” es una constante ≠ 0

haciendo u = ax, du = adx, multiplicando y dividiendo por a

a) Csenaxa

Csenua

udua

adxaxa

axdx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫∫

11cos1)(cos1cos

b) Caxa

Cua

senudua

adxsenaxa

senaxdx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫∫ cos1cos11)(1

2. a) ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dxx

3cos , b) ∫ xdxsen4 . Por el problema anterior

a) CxsenCxsendxx+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∫ 3

33

311

3cos

b) Cxxdxsen +−=∫ 4cos414

3. ∫ dxxxx 22 cotcsc , haciendo u = x2 , du = 2xdx, multiplicando y dividiendo por 2

CxCuuduuxdxxxdxxxx +−=+−=== ∫ ∫∫ 22222 csc21csc

21cotcsc

21)2(cotcsc

21cotcsc

4. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dx

xxtan , haciendo u = x , du =

xdx

2, multiplicando y dividiendo por 2


16

∫ ∫∫ +=+==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛CxCuududx

xxdx

xx secln2secln2tan2tan2tan

5. ,csc 1 , ∫ = xsenxsenx

dx

∫ ∫ +−== Cxxxdxsenxdx cotcsclncsc

6. ∫ = ,cos

tan , costanx

senxxxdxx

∫ ∫∫ +−==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= Cxsenxdxdxx

xsenxxdxx cos coscos

costan

7. ∫ xdxsenx 2 2cos3 haciendo u = cos 2x , du = -sen 2x(2dx), multiplicando y dividiendo

por –2

[ ]∫ ∫∫ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= Cuduudxxsenxxdxsenx

4·

21

21)2(22cos

212 2cos

4333

Cx +−= 2cos81 4

8. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dx

xx

tansec2

haciendo u = tan x, du = sec2 x dx

∫∫ +=+==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛CxCu

ududx

xx tanlnln

tansec2

9.

∫ ∫∫ =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

xsenxdxdx

senx

xdxxx

3

33

cos1cos

1

cscsec haciendo u = cos x , du = -sen x dx

∫ ∫∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ CxCuudu

xsenxdxdx

xsenx 2

2

33cos

21

2coscos

10. ∫ + )cos1( x

dx multiplicando y dividiendo por 1 – cos x y usando sen2 x + cos2 x = 1

[ ] ∫ ∫∫∫−

=−

−=

−+−

=+ xsen

dxxxdxx

xxdxx

xdx

22)cos1(

)cos1()cos1(

)cos1)(cos1()cos1(

)cos1(

∫ ∫ ∫ ∫ ++−=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− Cxxxdxxxdxdx

senxsenxx

xsendx csccotcsccotcsc1·cos 2

2


17

11. ∫ xdxx 24 csccot haciendo u = cot x , du = -csc2 x dx

∫ ∫∫ +−=+−=−=−−= CxCuduuxdxxxdxx 52

42424 cot51

5)csc(cotcsccot

12. ∫ xdxe senx cos haciendo u = sen x , du = cos x dx

CeCeduexdxe senxuusenx +=+== ∫∫ cos

13. ∫ xdxx tan)ln(cos haciendo u = ln(cos x), du = -sen x dx / cos x = tan x dx

[ ]∫ ∫∫ +−=+−=−=−−= CxCuuduxdxxxdxx 22

)ln(cos21

2)tan)(ln(costan)ln(cos

EJERCICIO 2.3

Resolver las siguientes integrales 1. ∫ xdx3tan

2. ∫ dxxx 22sec

3. ∫ xsendx

2

4. ∫ + senxdxx cos1

5. ∫ xdxx 22 sectan

6. ∫ xdx

cot

7. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dx

xx

seccsc4

8. ∫ + )3cos1( xdx

9. ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

dxsenx

x)1(

cos

10. dxxx∫ 2tan sec2


18

11. ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

dxe

ex

xsec

12. [ ][ ]∫ +

+

)2()(

2 x

x

exsendxex

2.4.- INTEGRALES EN LAS QUE RESULTAN FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

− Causen

ua

du 122

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

− Caaau

du 1tan1 122

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

− Cau

aauu

du 122

sec1 , a = constante, u = g(x)

PROBLEMAS RESUELTOS Resolver las siguientes integrales

1. ∫ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

− Cxsenx

dx22

12

2. ∫ + )94( 2xdx , haciendo u = 2x, du = 2 dx, multiplicando y dividiendo por 2

[ ] ∫∫∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

+=

+−− CxCu

udu

xdx

xdx

32tan

61

3tan

31·

21

)9(21

9)2(2

21

)94(11

222

3. ∫

−916 2xx

dx , haciendo u = 4x, du = 4dx, multiplicando y dividiendo por 4

∫∫∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−=

−

−− CxCu

uu

du

xx

dx

xx

dx3

4sec31

3sec

31

99)4(4

4

91611

222


19

4. ∫− x

xdx2

2

tan91

sec , haciendo u = 3 tan x, du = 3 sec2 x dx, multiplicando y dividiendo por

3

∫ ∫∫ +=+=−

=−

=−

−− CxsenCusenu

du

x

xdx

x

xdx )tan3(31

31

131

)tan3(1

sec331

tan91

sec 1122

2

2

2

5. ∫ + 9

cos2 xsen

xdx haciendo u = sen x, du = cos x dx

CsenxCuu

duxsenxdx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

+=

+−−∫∫ 3

tan31

3tan

31

99cos 11

22

6. ∫

− 42xe

dx haciendo u = ex , du = ex dx, multiplicando y dividiendo por ex .

∫∫∫ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−=

−

−− CeCu

uu

du

ee

dxe

e

dx x

xx

x

x 2sec

21

2sec

21

44411

222

7. ∫

− xx

dx2ln16

, haciendo u = ln x , du = x

dx

CxsenCusenu

du

xx

dx+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−

−−∫∫ 4ln

416ln1611

22

8. ( )∫ + 44x

xdx , haciendo u = x2, du = 2x dx, multiplicando y dividiendo por 2

( ) ( ) ( ) CxCuu

du

x

xdxx

xdx+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

=+

−−∫ ∫∫ 2tan

41

2tan

21·

21

421

4

221

4

211

2224

9. ∫

−94xx

dx , haciendo u =x2 , du =2x dx, multiplicando y dividiendo por 2x

CxCu

uu

du

xx

xdx

xx

dx+=+=

−=

−=

−

−−∫∫∫ 3sec

61

3sec

31·

21

921

92

221

9

211

2424


20

EJERCICIO 2.4 Calcular las siguientes integrales 1. ∫ + )7( 2x

dx 2. ∫ +− )( xx eedx

3 ∫ + )52(

5cos2 xsen

xdx 4. ∫⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 3

23

24 xx

dx

5. ∫

− 294 x

dx 6. ∫−19 2xx

dx

7. ∫−− xx ee

dx24

8. ∫− x

xdx2

2

cot41

csc

9. ∫

−− 14xe

dx

CAPÍTULO III

3.1.- AREAS

Tipos de regiones y fórmulas aplicadas


21

Integración con respecto a “x” Integración con respecto a “y”

En algunos casos se puede encontrar el área de una región integrando con respecto a “x” , o con respecto a “y”.

PROBLEMAS RESUELTOS Hallar el área de la región acotada por las graficas de las ecuaciones dadas, graficar dicha región. 1. 0y , 22 =−= xxy

y = f(x)

y

x

[ ]baenxf , 0)( ≤

∫−=b

adxxfA )( )3.4(

b a

y = f(x)

[ ]baenxf , 0)( ≥

x

y

∫=b

adxxfA )( )1.4(

b a

y = g(x)

x b a

y = f(x) y

[ ]baenxgxf , )()( ≥

[ ]∫=b

adxg(x)-f(x) A (4.5)

y d

x

c

x = f(y)

[ ]dcenyf , 0)( ≥

∫=d

cf(y)dyA (4.2)

d

c

y

x

∫−=d

cf(y)dy A (4.4)

x = f(y)

[ ]dcenyf , 0)( ≤

y x = f(y)

x

[ ]dy∫=d

cg(y) - f(y) A (4.6)

[ ]dcenygyf , )()( ≥ c

d

x = g(y)

y

y = 0


22

La región es encuentra bajo el eje x limitada por x = 0 y x = 2. Aplicando (4.3).

∫−=b

adxxfA )(

∫∫ −=−−=2

0

22

0

2 )2()2( dxxxdxxxA

34

384

3

2

0

32 =−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

xxA

2. 0 x, 42 =+−= yx La región esta al lado derecho del eje y limitada por y = - 2 y y =2. Utilizando (4.2).

∫=d

cdyyfA )(

2

2

32

2

2 43

)4(−

− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−=+−= ∫ y

ydyyA

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

−= )2(4

3)2(

)2(43

)2( 33A

332

=A

3.- 33 23 −−+= xxxy , y = 0 , A = A1 + A2. Utilizando (4.1) y (4.2)

∫−

−−−+=

1

3

231 )33( dxxxxA

∫− −−+−=1

1

232 )33( dxxxxA

−−−+= ∫−

−

1

3

23 )33( dxxxxA

∫− −−+1

1

23 )33( dxxxx

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+=

−

−

1

3

23

43

24xxxxA

1

1

23

43

24−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+ xxxx

x

y

4

-2

2

x = 0 x = - y2 + 4

-3 -2 -1 x

y

1 A2

A1

(0,-3)

(-2,3) y = 0

33 23 −−+= xxxy


23

8=A En el siguiente ejemplo es más sencillo integrar con respecto a (y) 4. 2, 1,

3xy , ==== yyxy

Usando (4.6)

∫ −=2

1)3( dyyyA

[ ]2122

12 yydyA == ∫

3=A

5. 1xy , 1 22 −=−= xy Usando (4.5)

[ ]dxxxA ∫− −−−=1

1

22 )1()1(

∫− −=1

1

2 )22( dxxA

38

322

1

1

3 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

−

xxA

6. xy ,

41 3 == xy

A = A1 + A2 Aplicando (4.4)

1 2 3 4 5 6 x

y y = x (2,2) y = 2 x = 3y

(6,2)

(3,1)

(1,1)

y = 1

2

1

x

y

-1

-1

1

1

y = x2 – 1

y = 1 – x2

x

y

1 2

-1

2 3

41 xy =

(2,2)

A2

A1


24

∫−−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

0

2

0

2

243

1 21641 xxdxxxA

2

0

422

0

32 1624

1⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫

xxdxxxA

2162216

2

0

420

2

24=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−

xxxxA

En este caso se pudo haber simplificado él calculo mediante la simetría de la grafica haciendo,

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

2

0

3

412 dxxxA

7. 0 x, 9 2 =−= yyx A = A1 + A2 Usando (4.2)

∫ −=3

0

21 9 dyyyA

Usando (4.4)

∫− −−=0

3

22 9 dyyyA

Con la simetría A = 2A1, así A = 2A1 ∫ −=

3

0

292 dyyyA

Haciendo U = 9 – y2, du = -2ydy, Si y = 0 , u = 9 , si y = 3 , u = 0.

∫ −=3

0

292 dyyyA

∫ −−−=3

0

2 )2( 9 dyyyA

1832 0

9

230

92

1=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=−= ∫ uduuA

y

x

x = 0 A1

A2

3

-3

29 yyx −=


25

8. La región al lado derecho del eje y acotado por

9 , 6 , 31 2 =+−== yxyxy

A = A1 + A2 Usando (4.5)

[ ]∫ +−−=3

01 )6(9 dxxA

∫ +=3

01 )3( dxxA

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

33

3

22 3

19 dxxA

∫ +=3

0)3( dxxA + ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

33

3

2

319 dxx

33

3

33

0

2

99

23

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

xxxxA

221318 −=A

9. 63 ,2 ,4 −=−−=+= xyxyxy A = A1 + A2 Usando (4.5)

[ ]∫− −−−+=1

31 )2()4( dxxxA

∫− +=1

31 )62( dxxA

[ ]∫ +−+=5

12 )63()4( dxxxA

∫ +−=5

12 )102( dxxA

∫− +=1

3)62( dxxA + ∫ +−

5

1)102( dxx

[ ] [ ]51213

2 106 xxxxA +−++= − 32=A

También se puede utilizar la integración con respecto a “y” de la siguiente manera. En la grafica se han escrito las ecuaciones despejando la variable “x”.

x

y

y = -x + 6

(3,3)

)9,33(

y = 9

A2 A1 2

31 xy =

(1,-3)

y

x

(5,9)

(-3,1)

5

-3

-3

9

A1

A2 y = 3x – 6

y = x + 4

y = – x – 2


26

A = A1+ A2

∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=9

11 )4(2

3dyy

yA

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

9

11 6

32 dyyA

∫− ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=1

32 )2(2

3dyy

yA

∫− ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1

32 4

34 dyyA

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

9

16

32 dyyA + ∫− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

34

34 dyy

1

3

29

1

2 4326

31

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= yyyyA

32=A

EJERCICIO 3.1

Hallar el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas, grafique la región. 1.- y = x2 , y = 0 , x = -2 , x = 3 2.- x = y2 – 9 , x = 0 3.- y = -x2 + 4 , y = -3x 4.- y = x3 – x2 – 2x , y = 0 5.- x = 6y – y2 , x = 0 , y = 1 , y = 4 6.- x = y2 – 4 , x = 4 – y2 7.- x = y2 –4 , x = 5 , y = -1 , y = 2 8.- y = x 24 x− , y = 0 9.- y = x 3

2 , y = x2

10.- y = x4 , x = -1 , x = 2 11.- y = x – 2 , y = -x + 4 , y = 3x + 4

3.2.- VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

(1,-3)

y

x

(5,9)

(-3,1)

5

-3

-3

9

A1

A2

x = y/3 +2

x = y – 4

x = –y – 2


27

Método de cáscaras cilíndricas Consideremos una cáscara cilíndrica con las siguientes dimensiones: r1 = Radio interior. r2 = Radio exterior. r = Radio medio

221 rr +

h = Altura Δr = Espesor El volumen de esta cáscara es expresando como 2πrhΔr, es decir, volumen de una cáscara = 2π(Radio Medio)(Altura)(Espesor).

Para las dos siguientes regiones V, es el volumen de la cáscara cilíndrica generada por un rectángulo típico, V es el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región alrededor del eje indicado. f(x) ≥ 0 en [a, b], donde b > a ≥ 0, wi es el punto medio de [xi-1 , xi], la región gira alrededor del eje y.

r2

r r1

h

Δr

x

y

a b

xi-1 wi Δxi xi

y = f(x) [wi , f(wi)]

wi

f(wi)

Δxi

y

Vi =2π wi f(wi) Δxi


28

(1) V = ∫

b

adxxfx )( 2 π

g(y) ≥ 0 en [c, d], donde d > c ≥ 0, wi es el punto medio de [yi-1 , yi], la región que gira alrededor del eje x.

(2) V = ∫

d

cdyygy )( 2 π

Si se gira alguna otra región alrededor de un cierto eje, se calcula el volumen de la cáscara cilíndrica generada por un rectángulo típico, cuya expresión nos da la integral para obtener el volumen del sólido de revolución.

PROBLEMAS RESUELTOS

yi wi Δyi yi-1

y

x c

d x = g(y)

[g(wi), wi]

Δyi

x

wi

g(wi) Vi =2π wi g(wi) Δyi


29

1. Hallar el volumen del sólido de revolución que se genera al girar alrededor del eje y la región acotada por 3

1xy = , x = 0 , x = 8 , y = 0.

Por (1)

∫=8

03

1)(2 dxxxV π

∫=8

03

42 dxxV π

ππ7

768732

8

0

37

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= xV

2. La región limitada por 24 yyx −= , x = 0 gira alrededor del x, encontrar el volumen del sólido resultante. Usando (2)

∫ −=4

0

2 )4(2 dyyyyV π

∫ −=4

0

32 )4(2 dyyyV π

ππ3

12843

424

0

43 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

yyV

3. Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región acotada por

xyyx 4 ,042 2 ==−+ alrededor de a) la recta y = -4 , b) la recta y = 3.

8x

y 31

xy =

4

4

24 yyx −=

x

y

y

x

(1,2)

22 yx −=

4

2yx =

• • •

422

2ii ww

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− i

i ww

,2

2

(4 4)4wi

Δyi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛i

i ww

,4

2


30

iii

ii yww

wV Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

422)4(2

2

π

∫− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

2

4

2

422)4(2 dy

yyyV π

∫− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

2

4

23

823

42 dyy

yV π

ππ 54821

162

2

4

34

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−=

−

yyy

V

Δyi

422

2ii ww

−−

wi + 4

y = -4

(1,2)

y

x

22 yx −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− i

i ww

,2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛i

i ww

,4

2

422

2ii ww

−−

3 – wi

wi

Δyi

y = 3


31

iii

ii yww

wV Δ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

422)3(2

2

π

∫− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

2

4

2

422)3(2 dy

yyyV π

∫− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

2

4

236

27

442 dyy

yyV π

ππ 72647

12162

2

4

234

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−=

−

yyyy

V

4. Hallar el volumen de un cono circular recto truncado de altura h, con radio en la base r1 y radio en la tapa r2.

Δyi

422

2ii ww

−−

3 – wi

y = 3

(0,h)

Al girar las regiones R1 y R2 alrededor del eje y se obtiene el solido.

(r2,0) (r1,0)

y = h

R1 R2

)( 112

rxrr

hy −−

=

y

x

y

x

h

r2

r1


32

Al girar r1 alrededor del eje y se genera un volumen

hrxhdxxhVr

o

r 22

2

01

22

22 2 πππ === ∫

Al girar r2 alrededor del eje y se genera un volumen

∫ −−

=1

2

)(2 112

2r

rdxrx

rrhxV π

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−=−

−= ∫ 2323

2 23

2 )(2 221

32

31

31

12

2

1

3

121

122

1

2

1

2

rrrrrrr

hxrxrr

hdxrxxrr

hVr

r

r

r

πππ

El volumen del sólido es V = V1 + V2, simplificado

)(31

212

22

1 rrrrhV ++= π

5. Calcular el Volumen de una esfera de radio r

Al girar la región R alrededor del eje x se genera la mitad de una esfera así, el volumen V de la esfera es:

r

r

y

x

y

x

R

22 yrx −=

r


33

∫∫ −−−=−=rr

ydyyrdyyryV0

2122

0

22 )2()(2 22 ππ

Haciendo u = r2 – y2 , du = -2y dy , cambiando limites, si y = 0 , u = r2 si y = r , u = 0

30

230

21

34

322 2

22

ruduuVrr

πππ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=−= ∫

EJERCICIO 3.2

Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las graficas de las ecuaciones dadas alrededor del eje indicado. 1. ;0 ,0 ,623 ===+ yxyx alrededor del eje x. 2. ; , 33 yxxy == alrededor del eje x. 3. ;2 ,2 +== xyxy alrededor de la recta x = 2. 4. ;4 ,0 ,2 === yxxy alrededor del eje y. 5. ;0 ,2 2 =−= yxxy alrededor del eje y. 6. ;0 ,42 =+−= xyx alrededor del eje y. En los problemas 7 al 16 considérese la figura siguiente para hallar el volumen del sólido de revolución generado 7. R1 gira alrededor del eje x. 8. R1 gira alrededor del eje y. 9. R1 gira alrededor de la recta y = 4. 10. R1 gira alrededor de la recta x = 3. 11. R1 gira alrededor de la recta y = -1. 12. R2 gira alrededor del eje x. 13. R2 gira alrededor del eje y. 14. R2 gira alrededor de la recta x = 2. 15. R2 gira alrededor de la recta x = 4.

2 x R2

R1

4

y

(2,4)

2xy =


34

16. R2 gira alrededor de la recta y = 4. 17. Obtener el volumen de un cono circular recto de altura h y de radio en la base r. 18. Hallar el volumen del solido generado el girar la region acotada por la elipse

12

2

2

2=+

by

ax , alrededor del eje x.

3.3.- TRABAJO El trabajo W realizado por una fuerza constante F sobre un objeto, el cual es movido

una cierta distancia d en la dirección de la fuerza se define como

W = f · d Si la fuerza es variable se requiere hacer uso de la integral. Supongamos que el objeto es desplazado a la largo del eje x desde x = a hasta x = b, con b>a, mediante una fuerza variable dada por f(x) donde f(x) es continua en [a,b], así la fuerza aplicada en la coordenada x es f(x), en este caso se tiene que: El trabajo wi hecho a través del i-ésimo subintervalo [xi-1 xi] de longitud Δxi, donde Δxi es un valor pequeño, se puede aproximar como Wi ≈ f(wi) Δxi Siendo wi cualquier numero en [xi-1 xi] El trabajo W realizado en [a, b], es decir el trabajo hecho al mover el objeto desde x = a, hasta x = b esta dado por. ∫=

b

adxxfW )(

La forma de la integral para obtener W esta sugerida por la expresión Wi. Al considerar un resorte se utiliza la ley de Hooke, la cual establece que la fuerza f(x) necesaria para estirar (comprimir) un resorte x unidades a partir de su longitud natural esta dada por f(x) = kx, donde k es una constante.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Un objeto es desplazado a lo largo del eje x desde x = 3 hasta x = 6 mediante una fuerza dada por f(x) = x2. hallar el trabajo realizado. Usando: ∫=

b

adxxfW )(

633

6

3

36

3

2 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡== ∫

xdxxW


35

Las unidades de trabajo en la solución dependen de las unidades especificadas para la fuerza y la distancia. 2. Para un resorte de longitud natural de 20 cm se necesita una fuerza de 5 kg al estirarlo 3 cm a partir de su longitud natural. Calcular la siguiente:

a) El trabajo hecho al estirar el resorte de su longitud natural a una longitud de 24 cm.

b) El trabajo realizado al estirar el resorte de una longitud de 22 cm a una de 26 cm. c) El trabajo realizado al comprimir el resorte de su longitud natural a una de 15

cm. La fuerza esta dada por f(x) = kx, con los datos f(3) = k(3) =5, de donde k = 3

5 ,

así f(x) = 35 x

a) la fuerza se aplica en el intervalo [0,4], utilizando ∫=

b

adxxfW )(

cmkgxxdxW −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== ∫ 3

40 65

35 4

0

24

0

b) la fuerza es aplicada en el intervalo [2,6] así,


⎢⎣⎡== ∫ 3

80 65

35 6

2

26

2

c)

20

0 x

LONGITUD INICIAL

24

0 4 xLONGITUD FINAL

22

0 2 xLONGITUD INICIAL

26

0 6 xLONGITUD FINAL

20

x 0LONGITUD INICIAL

15

x 5 0LONGITUD FINAL


36

la fuerza se ejerce en el intervalo [0,5], con lo cual


⎢⎣⎡== ∫ 6

12565

35 5

0

25

0

3. Un tanque cilíndrico circular recto de 6 metros de altura y 2 metros de radio esta lleno de agua. Hallar el trabajo necesario para bombear el agua fuera del tanque por la parte superior. el volumen de la i-ésima rebanada es

ii xx Δ=Δ ππ 4)2( 2 , el peso del agua es de 1000kg/m3 así el peso de la i-ésima rebanada es ii xx Δ=Δ ππ 40004)1000( si Wi es el trabajo hecho al levantar la i-ésima rebanada a la parte superior, Wi es aproximadamente igual al producto de la fuerza aplicada. En este caso el peso ix4000 Δπ por la distancia 6 – Wi entonces iii xwW Δ−≈ π4000)6( , por lo tanto

Δxi

6 •

Wi •

6 – Wi

2


37

mkgxxdxxW −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=−= ∫ 72000

264000 4000)6(

6

0

26

0πππ

4. Un tanque tiene la forma de una paraboloide de revolución, el tanque tiene una profundidad de 8 metros y su radio en la parte circular superior es de 4 metros, si el tanque esta lleno de un liquido que pesa 500 kg/m3, calcular el trabajo requerido para bombear el liquido hasta la parte superior del tanque. De la figura el tanque y el plano xy se cortan en la parábola que pasa por el origen y el punto(4,8), esta parábola tiene por ecuación y = ax2 , donde a es una constante, sustituyendo (4,8) en esta ecuación, 8 =a(4)2 , donde a = ½ y la ecuación de la parábola es y =(1/2)x2

( )ii ww ,2 el volumen de la i-ésima rebanada es , iyr Δ2π , donde iwr 2= , asi el volumen es

( ) iiii ywyw Δ=Δ ππ 222

el peso de la i-ésima rebanada es iiii ywyw Δ=Δ ππ 1000)2)(500( El trabajo Wi al levantar la i-ésima rebanada es aproximadamente igual al producto de la fuerza ii yw Δπ1000 por la distancia 8 – wi

)1000)(8( iiii ywwW Δ−≈ π , con la cual

mkgydyyydyyW −=−=−≈ ∫∫ 3

256000 )8(1000 )1000)(8(8

0

8

0πππ

EJERCICIO 3.3 1.- Calcular el trabajo hecho al estirar un resorte de su longitud natural de 14 cm a una longitud de 18 cm, si se requiere una fuerza de 6 kg para estirar el resorte de 4 cm a partir de su longitud natural.

y

x

(4,8)

wi Δyi

8 – wi

yx 2=


38

2.- Se necesita una fuerza de 2 kg para comprimir un resorte de su longitud natural de 10 cm a una longitud de 8 cm. Calcular lo siguiente:

a) El trabajo realizado para estirar el resorte de una longitud de 12 cm a una de 14 cm.

b) El trabajo hecho al comprimir el resorte de su longitud natural a una longitud de 8cm.

3.- Se hace un trabajo de 4 kg – cm para estirar un resorte de una longitud de 8 cm a una de 9 cm y 6 kg – cm para estirarlo de una longitud de 10 cm a una de 11 cm. Hallar la constante del resorte y su longitud natural. 4.- Un tanque hemisférico de 10 metros de radio con la parte circular hacia arriba esta lleno de agua. Hallar el trabajo requerido para bombear el agua hasta la parte superior del tanque. 5.- En el problema anterior calcular el trabajo efectuado para bombear el agua hasta una altura de 5 metros sobre la parte superior del tanque. 6.- Un tanque cilíndrico circular recto de 8 metros de altura y 1 metro de radio esta lleno de agua hasta la mitad, de un líquido que pesa 800 kg/cm. Calcular el trabajo necesario para bombear el agua hasta una altura de 2 metros sobre la parte superior del tanque. 7.- Un recipiente de 10 metros de largo, cuya sección transversal vertical es un triángulo isósceles de base de 4 metros y altura de 2 metros, esta lleno de agua. Calcular el trabajo requerido para bombear el agua desde el recipiente hasta una altura de 4 metros sobre la parte superior del recipiente. 8.- Un recipiente de 8 metros de largo y cuya sección transversal vertical es un semicírculo de radio de 2 metros, esta lleno de agua. Hallar el trabajo necesario para bombear el agua hasta la parte superior del recipiente. 9.- Un tanque tiene la forma de un paraboloide de revolución, el radio de la parte circular superior es de 2 metros y su profundidad es de 10 metros. Si el tanque esta lleno de agua, calcular el trabajo requerido para bombear el agua hasta una altura de 3 metros sobre la parte superior del tanque. 10.- Calcular el trabajo desarrollado para jalar una cubeta de 4 kg llena con 10 kg de arena hasta la parte superior de un pozo, si la cubeta se encuentra suspendida del extremo de un cable uniforme de 30 metros de largo y que pesa 15 kg. 11.- La fuerza con la cual se repelen dos electrones es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos.

a) Suponga que se fija un electrón en el punto (8,0). Hallar el trabajo realizado al mover otro electrón a lo largo del eje x desde el origen hasta el punto (4,0).

b) Si dos electrones se fijan en los puntos (8,0) y (-8,0) respectivamente, calcular el trabajo hacho al mover un tercer electrón desde el origen hasta el punto (4,0).


39

CAPÍTULO IV

4.1.- INTEGRACIÓN POR PARTES

Este método es útil para resolver algunas integrales en las cuales el integrado contiene

funciones trigonométricas inversas, logaritmos y productos.

La fórmula que se aplica es ∫∫ −= vduuvudv donde al elegir u y dv se recomienda que

∫= dvv se pueda resolver y que ∫ vdu sea más simple de ∫ udv

PROBLEMAS RESUELTOS Resolver las integrales dadas 1. ∫ dxxe x u = x, dv = ex dx, du = dx, ∫∫ === xx edxedvv

Cexedxexedxxe xxxxx +−=−= ∫∫

2. ∫ xdxx 2cos , u =x, dv = cos 2x dx, du = dx, ∫∫ === xsenxdxdvv 2

212cos

∫∫ ++=−= Cxxxsenxdxsenxxsenxdxx 2cos412

212

212

212cos

3. ∫ − xdxsen 1 , u = sen-1x, dv = dx, xdxdvv

x

dxdu ===−

= ∫∫ ,1 2

∫∫ +−+=−

−= −−− Cxxxsenx

xdxxxsenxdxsen 2121

211 )1(

1

ya que en ∫− 21 x

xdx , haciendo z =1 – x2, dz = -2xdx, se tiene que

∫∫∫ +−−=+−=−=−

−−=

−CxCz

z

dz

x

xdx

x

xdx 2122

1

2122

)1(21

1

221

1

4. ∫ ∫ ∫ ====== senxxdxdvvdxeduxdxdveuxdxe xxx cos ,2 ,cos , ,cos 222


40

∫ ∫ ====== senxxdxdvvdxeduxdxdveu xx cos ,2 ,cos , 22

,2cos 222∫ ∫−= senxdxesenxexdxe xxx en esta ultima integral haciendo

∫ ∫ ====== xsenxdxdvvdxedusenxdxdveu xx cos- ,2 , , 22

[ ]∫∫ −−−−= dxxexesenxexdxe xxxx )cos(2cos2cos 2222

∫∫ −+= xdxexesenxexdxe xxxx cos4cos2cos 2222

xesenxexdxe xxx cos2cos5 222 +=∫

Cxesenxexdxexx

x +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +=∫ 5

cos2cos22

2

5. xxdxvxdxxduxdxdvxuxdx cot csc ,cotcsc ,csc ,csc ,csc 223 −==−=== ∫∫

∫∫ −−−−= )cotcsc)(cot(cotcsccsc3 xdxxxxxxdx

∫∫∫ −−−=−−= xdxxxxxdxxxxxdx csc)1(csccotcsccsccotcotcsccsc 223

∫∫∫ +−−= xdxxdxxxxdx csccsccotcsccsc 33

xxxxxdx cotcsclncotcsccsc2 3 −+−=∫

[ ]

Cxxxx

xdx +⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −+−

=∫ 2cotcsclncotcsc

csc3

6. x

xdxdvv

xdxdu

xdxdvxudx

xx 2 , , ,ln ,ln

====== ∫∫ ∫

Cxxxx

dxxxxdxxx

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫∫ 4ln)2()2(ln)2(ln

7. 212

2)3(2

3,2,

3,

3+=

+==

+==

+ ∫∫ xxdxvxdxdu

xdxdvxu

xdxx

∫∫ +−+=+

dxxxxxx

dxx 21

212

2)3(4)3(2

3, en esta ultima integral haciendo

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+==+== 2

32

12

1)3(

32)3( , ,)3( , xdxxvdxdudxxdvxu

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ +−+−+=∫

+dxxxxxx

xdxx 2

32

32

122

)3(32)3(

324)3(2

3

Cxxxxxx

dxx++++−+=

+∫ 25

23

212

2)3(

1516)3(

38)3(2

3

8. 1222

)1()1(

,)1( ,)1(

, ,)1(

−+−=+

=+=+

==+ ∫∫ x

xdxvdxxedu

xdxdvxeu

xdxxe xx

x


41

Cex

xedxxexx

xexdxxe x

xx

xx++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=++−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

+ ∫∫ −

)1()1()1(

)1()1(1

2

9. ∫ ),(sec2 dxx haciendo el cambio de variable

dxdzzdxdzxx

dxdzxz ==== )(2 ,)(2 ,2

,

∫∫ ∫ == zdzzzdzzdxx 222 sec2)2(sec)(sec

zzdzvdzduzdzdvzu tansec , ,sec , 22 ===== ∫

∫ ∫ +−=−= Czztgzzdzztgzzdzz seclntansec2

CxxxCzzzdxx +−=+−=∫ secln2)(tan2secln2tan2)(sec2

10. xdxdvv

xxdxdudxdvxudxx ===+

==+=+ ∫∫∫ ,)1(

2 , ),1ln( ,)1ln(2

22

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

++−+=+ ∫∫ )1(

11)1(

, )1(

2)1ln()1ln(22

2

2

222

xxx

xdxxxxdxx

Cxxxxx

dxdxxxdxx ++−+=+

+−+=+ −∫∫∫ 122

22 tan22)1ln()1(

22)1ln()1ln(

11. xxdxvxdxxduxdxdvxuxdx cotcsc ,cotcsc3 ,csc ,csc ,csc 23235 −=−=== ∫∫

∫∫ −−= xdxxxxdxx 2335 cotcsc3cotcsccsc

∫∫ −−−= dxxxxxdxx )1(csccsc3cotcsccsc 2335

∫∫∫ +−−= xdxxdxxxxdx 3535 csc3csc3cotcsccsc

∫∫ −−= xdxxxdxx 335 csc3cotcsccsc4 por el problema 5,

[ ]

2cotcsclncotcsc

csc3 xxxxdxx

−+−=∫

[ ] Cxxxxxxdxx +−−−−=∫ cotcsclncotcsc83cotcsc

41csc 35

12. ∫ xdxx 32 csccot

∫∫∫∫ −=−= xdxxdxxdxxxdxx 353232 csccsccsc)1(csccsccot

usando los problemas 5 y 11


42

Cxxxxxxxdxx +−−+−=∫ cotcscln81cotcsc

81cotcsc

41csccot 332

EJERCICIO 4.1 Evaluar las integrales dadas 1. ∫ dxex x2 2. ∫ xdxx ln 3. ∫ senxdxx 2

4. ∫ dxsenxx 23 5. ∫ dxx x5 6. ∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+dx

xx

2)1(ln

7. ∫ dxx x2 8. ∫ ))(( dxxsen 9. ∫ − xdx1tan

10. ∫ − xdxx 1tan 11. ∫ − dxx )(tan 1 12. ∫ + dxxx 50)1(

13. ∫ dxx)cos(ln 14. ∫ + 22 )16( x

dx 15. ∫ xdx3sec

16. ∫ xdx5sec 17. ∫ xdxx 32 sectan 18. ∫ xdxxe x cos

4.2.- INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Distinguiremos varios casos con sus respectivos ejemplos Caso I. Las integrales de la forma ∫ ∫ ,cos, uduudusen nn donde n es un entero impar

positivo, se resuelven haciendo senn u = senn-1 u sen u, para expresar senn-1 u en términos del coseno usando sen2 u = 1- cos2 u cosn u = cosn-1 u cos u, para expresar cosn-1 u en términos del coseno usando cos2 u = 1- sen2 u


43

PROBLEMAS RESUELTOS 1. ∫ xdxsen3

∫∫∫ −== dxsenxxdxsenxxsenxdxsen )cos1( 223 , haciendo u =cos x, du = - senx dx

∫∫∫ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=−−=−−−− Cuuduudxsenxxdxsenxx

3)1() )(cos1( )cos1(

3222

Cxxxdxsen ++−=∫ 3coscos

33

2. ( )∫ ∫∫ −== xdxxsenxdxxxdx 2cos212cos2cos2cos

2245

haciendo u = sen 2x, du = cos 2x (2dx) ( ) ( ) ∫∫∫ −=−=− duudxxxsenxdxxsen 222222 )1(

21)2(2cos21

212cos21

Cuuuduuu +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+−= ∫ 5

342

101

321)21(

21

Cxsenxsenxsenxdx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=∫ 2

1012

312

212cos 535

Caso II. La integral de la forma ∫ uduusen mn cos , donde por lo menos uno de los dos

exponentes es un número impar positivo se resuelve utilizando 1cos22 =+ uusen de manera similar al caso I.

PROBLEMAS RESUELTOS

3. ∫∫ ∫ −== dxsenxxxdxsenxxxsenxdxxsen cos)cos1( coscos 2222425

haciendo u = cos x, du = - sen x dx ∫∫∫ −−=−−=− duuudxsenxxxdxsenxxx 222222222 )1() (- cos)cos1( cos)cos1(

Cuuuduuuu +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+−−= ∫ 75

23

)2(7

53

642

Cxxxxdxxsen +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=∫ `cos

71cos

52cos

31cos 75325

4. xdxxsenxsenxdxxsenxdxsen cos)1(coscoscos 222232 ∫∫∫ −==

haciendo u = sen x, du = cos x dx

Cuuduuuxdxxsenxsen +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=− ∫∫ 532222

51

31)1(cos)1(

Cxsenxsenxdxsen +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∫ 5332

51

31cos


44

5. ∫ xdxxsen35cos , como en este ejemplo los dos exponentes son impares, se puede

resolver de las dos siguientes maneras ∫ ∫∫ −== xdxxsenxsenxdxxxsenxdxxsen cos)1(coscoscos 3223435

haciendo u = sen x, du = cos x dx

( ) ( )∫ ∫ ++−=−=− Cuuuduuuxdxxsenxsen 864

32232281

31

41cos1

Cxsenxsenxsenxdxxsen ++−=∫ 86435

81

31

41cos

( )∫ ∫ ∫ −== senxdxxxxsenxdxxsenxdxxsen 252535 cos1coscoscos

haciendo u = cos x, du = -sen x dx ( ) ( )( ) ( )∫ ∫ ∫ −−=−−−=− duuusenxdxxxsenxdxxx 252525 1cos1coscos1cos

CxxCuu ++−=++−= 8686 cos81cos

61

81

61

estas dos soluciones parecen diferentes, pero usando sen2x + cos2x = 1 se puede pasar de una forma a la otra. Caso III. Las integrales de la forma ∫ ,udusenn , ∫ ,cos udun ∫ ,cos uduusen mn

donde m y son enteros pares positivos se resuelven usando las identidades

22cos1cos,

22cos1 22 uuuusen +

=−

= .

PROBLEMAS RESUELTOS 6. ∫ ∫ ∫∫ −=

−= xdxdxdxxxdxsen z 4cos

21

21

24cos12

Cxsenxxdxsen +−=∫ 481

2122

7. xdxxdxdxdxxxdx 2cos412cos

21

41

22cos1cos

224 ∫ ∫∫∫ ∫ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

xdxxsenxxdx 2cos412

41

41cos 24 ∫∫ ++=

resolviendo esta última integral xsenxdxxxdx 4

81

21

24cos12cos2 +=

+= ∫∫ , con esto

CxsenxsenxCxsenxxsenxxdx +++=++++=∫ 43212

41

834

321

812

41

41cos4


45

8. ( ) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== ∫∫ ∫ dxxxxdxxsenxdxxsen2

4cos12

4cos12cos22cos22

22224

dxxxx∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−= 4cos

814cos

814cos

81

81 32

∫∫∫ +−−= xdxxdxxsenxxdxxsen 4cos814cos

814

321

812cos2 3224

resolviendo estas dos últimas integrales

∫∫ +=+

= xsenxdxxxdx 8161

21

28cos14cos2

( ) ,4cos414cos 23 ∫∫ −= xdxxsenxdx si )4(4cos,4 dxxduxsenu ==

( ) ( )( ) ( )duudxxsenxdxxsen ∫∫∫ −=−=− 222 141441

414cos41

xsenxsenuu 41214

41

121

41 33 −==

con esto Cxsenxsenxsenxxsenxxdxxsen +−+−−−=∫ 4

9614

3218

1281

1614

321

812cos2 324

Caso IV. Las integrales de la forma ∫ ,cos udunumusen , ∫ ,udunusenmusen

∫ ,cos udunumusen donde m y n son cualquier número, se resuelve usando las

identidades: ( ) ( )[ ]basenbasenbasen ++−=

21cos

( ) ( )[ ]bababsenasen +−−= coscos21

( ) ( )[ ]bababa ++−= coscos21coscos

PROBLEMAS RESUELTOS 10. ( )[ ]∫∫ +−= ,73

215cos2 dxxsenxsenxdxxsen

( ) xsenxsen 33 −=−

Cxxdxxsendxxsendxxxsen +−=+−= ∫∫∫ 7cos1413cos

617

213

215cos2

11. dxxduxuhaciendodxxxx 2,,cos4cos 222 ==∫

( ) === ∫∫∫ uduudxxxxxdxxx cos4cos212cos4cos

21cos4cos 2222

[ ] Cusenusenduuu ++=+= ∫ 52013

1215cos3cos

21

21


46

Cxsenxsenxdxxx ++=∫ 2222 52013

121cos4cos

Caso V. Las integrales de la forma ∫ ,tan duun ∫ ,cot duun donde n es cualquier

número entero, se resuelven escribiendo:

),1(sectantantantan 2222 −== −− uuuuu nnn ),1(csccotcotcotcot 2222 −== −− uuuuu nnn

PROBLEMAS RESUELTOS

12. ∫ ∫∫ =−== dxxxxdxxdxx )1(sectantantantan 22224

( )∫∫∫∫ −−=−= dxxxdxxdxxxdxx 1secsectantansectan 222222

Cxxxdxdxxxdxx ++−=+−= ∫∫∫ tantan31secsectan 3222

donde en la primera integral se resolvió haciendo u = tan x 13. ∫ ∫∫ =−== dxxxdxxxdxx )12(csc2cot2cot2cot2cot 223 ∫∫ −= dxxxdxx 2cot2csc2cot 2 haciendo

( )dxxduxu 22csc,2cot 2−== , en la primera integral

( )[ ] ,2cot41

2122csc2cot

212csc2cot 22 xududxxxxdxx −=−=−= ∫ ∫∫ con esto

∫∫ +−−= Cxsenxdxx 2ln212cot

412cot 23

Caso VI. Las integrales de la forma ∫ ,sec duun ∫ ,csc duun donde n es un entero par

positivo, se resuelve expresando:

( )( )uuuuu

nnn 22/2222 sec1tansecsecsec−− +==

( )( )uuuuu

nnn 22/2222 csc1cotcsccsccsc−− +==

PROBLEMAS RESUELTOS

14. ∫ ∫∫ +== xdxxxdxxdxx 22224 sec)1(tansecsec , haciendo xdxduxu 2sec,tan ==

( ) CxxCuuduuxdx ++=++=+= ∫∫ tantan31

311sec 3324

si n es impar se utiliza integración por partes Caso VII. Las integrales de la forma ∫ ,sectan uduu nm ∫ ,csccot uduu nm donde n es

un entero par positivo, se resuelve escribiendo:


47

uu nn csc,sec como en el Caso VI

PROBLEMAS RESUELTOS 15. ∫ ∫∫ +== xdxxxxdxxxxdxx 222424464 csc)1(cotcotcsccsccotcsccot

haciendo xdxduxu 2csc,cot −== ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ =+−=−+−= duuuxdxxxxdxx

224222464 1csc1cotcotcsccot

( ) Cuuuduuuu +−−=++−= ∫ 579468

51

72

912

Cxxxxdxx +−−−=∫ 57964 cot51cot

72cot

91csccot

Caso VIII. Las integrales de la forma ∫ ,sectan uduu nm ∫ ,csccot uduu nm donde m es

un entero par positivo impar, se resuelve escribiendo: uuuuuu nmnm tansecsectansectan 11 −−=

para expresar um 1tan − en términos de la secante usando 1sectan 22 −= uu uuuuuu nmnm cotcsccsccotcsccot 11 −−= para expresar um 1cot − en términos de la cosecante usando 1csccot 22 −= uu

PROBLEMAS RESUELTOS 16. ( )∫ ∫∫ −== dxxxxxdxxxxxxdxx tansecsec1sectansecsectansectan 2222435

haciendo xdxxduxu tansec,sec ==

( ) ( ) Cuuuduuuuduuuxdxx ++−=+−=−−= ∫ ∫∫ 35724622235

31

52

7121sectan

Cxxx ++−= 357 sec31sec

52sec

71

si en las integrales ∫ ,sectan uduu nm ∫ ,csccot uduu nm m es par y n es impar, se

utiliza integración por partes.

EJERCICIO 4.2 Resolver las siguientes integrales: 1. ∫ xdx2cos3 2. ∫ xdxsen5

3. ∫ xdxxsen 23 4. ∫ xxdxsen

cos

3

5. ∫ xdxxsen 3cos3 23 6. ∫ xdxxsen 34 cos


48

7. ∫ xdxxsen 55 cos 8. ∫ xdx2cos 2

9. ∫ xdxsen6 10. ∫ xdxxsen 42 cos

11. ∫ xdxxsen 24 cos 12. ∫ xdxxsensen 26

13. ( ) ( )∫ dxeeesen xxx cos3 14. ∫ xdx5tan

15. ∫ xdx2cot 4 16. ∫ xdx4csc

17. ∫ xdx6sec 18. ∫ xdxx 46 sectan

19. ∫ xdxx 4sectan 20. ∫ xdxx 42 csccot

21. ∫ xdxx 33 csccot 22. ∫ x

xdx

cot

csc2

23. ∫ xdxx sectan3 24. ∫ xdxx 35 csccot

25. ∫ dxxx

3tancsc

4.3.- SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA EXPRESIÓN EN EL INTEGRANDO SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA

22 ua − θsenaU = 22 ua + θtanaU = 22 au − θsecaU =

PROBLEMAS RESUELTOS Calculando las integrales dadas 1. ∫

− 29 x

xdx haciendo ,3 θsenx = θθddx cos3=

( ) θθθθ cos3cos919999 2222 ==−=−=− sensenx

( )∫ ∫∫ +−===−

Cdsendsen

x

xdx θθθθ

θθθ cos33cos3

cos33

9 2

x

sen 3=θ

39cos

2x−=θ

x

θ

3


49

29 x−

∫ +−−=+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −−=+−=

−CxCxC

x

dxx 22

29

393cos3

9θ

2. ∫ + dxx 162 haciendo ,tan4 θ=x θθddx 2sec4=

θθθ sec4sec1616tan1616 222 ==+=+x

∫ ∫∫ ==+ θθθθθ dddxx 322 sec16)sec4(sec416

Integrando por partes, Cdd +++=∫ θθθθθθθ tansecln21tansec

21sec3

4tan x

=θ 162 +x 4

16sec2 +

=xθ

∫ +++=+ Cdxx θθθθ tansecln8tansec8162

Cxxxx +++

++=44

16ln81621 2

2

3. ∫− 422 xx

dx haciendo ,sec2 θ=x θθθ ddx tansec2=

( ) θθθθ tan2tan41sec44sec44 2222 ==−=−=−x

( )( )∫ ∫ +=∫===∫−

Csenddd

x

dx θθθθ

θ

θθ

θθθ41cos

41

sec4tan2sec4tansec2

4 22

x

sen 4=θ

44sec

2 −=

xθ

42 −x

∫ +−

=−

Cx

x

xx

dx 4141

4

2

22

4. ( )∫+ 2

329 x

dx haciendo ,tan3 θ=x θθddx 2sec3=

( ) ( ) ( )[ ] ( ) θθθθ 32222 sec27sec9tan19tan999 23

23

23

23

==+=+=+ x

( )

( )( )∫ ∫∫ +===

+Csendd

x

dx θθθθθθ

91cos

91

sec27sec3

93

2

2 23

θ

2

x

x

θ

4

θ

3

x


50

3xtag =θ 29 x+

29 x

xSen+

=θ

( )∫ ++

=+

Cx

x

x

dx22 99

1

9 23

5. ∫

−19 2x

dx haciendo ,sec3 θ=x ,sec31 θ=x θθθ ddx tansec

31

=

θθ tantan1sec19 222 ==−=−x

∫ ∫ ∫ ++===−

Cdd

x

dx θθθθθ

θθθtansecln

31sec

31

tan

tansec31

19 2

13sec x

=θ 19 2 −x 19tan 2 −= xθ

∫ +−+=−

Cxxx

dx 193ln31

192

2

6. ∫ − 23

)tan4(sec

2

2

xxdx haciendo ,sec2tan θ=x diferenciando en ambos lados se tiene

θθdxdx cos2sec2 = ( ) ( ) ( )[ ] ( ) θθθθ 32222 cos8cos41444tan4 2

32

32

32

3

==−=−=− sensenx

( )∫ ∫ ∫ +===−

Cdd

x

xdx θθθθθθ tan

41sec

41

cos8cos2

tan4

sec 232

2

23

2tansec x

=θ x

x2tan4

tantan−

=θ

x2tan4−

( )∫ +−

=−

Cx

x

x

xdx22

2

tan4

tan41

tan4

sec2

3

7. dxxx∫ − 42 en este caso en lugar de usar θsec2=x se puede resolver haciendo

dxxduxu 2,2 == con lo cual

( ) ( )∫ ∫ ∫ +−=+==−=− CxCuduuxdxxdxxx 232

3

21

431

232

12124

214 222

θ

3x

1

θ

2xtan x


51

EJERCICIO 4.3 Resolver las integrales dadas 1. ∫

− 225 xx

dx 2. ∫+ 29 xx

dx

3. ∫− 16

2

2

x

dxx 4. ∫ +14 2xx

dx

5. ∫ − dxx 291 6. ( )∫− 2

32

2

94 x

dxx

7. ( )∫

+22

16 x

dx 8. ( )∫

− 25

24 x

dx

9. ∫+ 94xx

dx 10. ∫− dxe

ex

x24

4.4.- FRACCIONES PARCIALES

Aquí consideraremos la integración de funciones racionales expresadas a estas como una suma de fracciones parciales. Una función racional h(x) tiene la forma h(x) = f(x) / g(x) donde f(x) y g(x) son polinomios, supongamos que f(x) es de grado menor que g(x) (si f(x) es de grado mayor o igual que g(x) se efectúa la división y se considera la función racional resultante), la descomposición de h(x) en una suma de fracciones parciales queda determinada por la factorización de g(x) como un producto de términos lineales y expresiones cuadráticas irreducibles aplicando lo siguiente: Para cada factor en el denominador que tenga la forma (Px + q)m con m>1 le corresponden m fracciones parciales de la forma:

( ) ( ) ( )mm

qPx

A

qPx

A

qPx

A

+++

++

+...................

221

Para cada factor en el denominador que tenga la forma ( ax2 + bx + c )n con n >1 y b2 – 4ac < 0 le corresponden n fracciones parciales de la forma:

( )( )

( )( )

( )( )n

nn

cbxax

CxB

cbxax

CxBcbxax

CxB

++

+++

++

++

+++

22222

211 ...................


52

PROBLEMAS RESUELTOS Resolver las siguientes integrales 1. ( )

( )∫ −++ dxxx

x103

322

( )( )

( ) ( )25)2)(5(32

103)32(

2 −+

+=

−++

=−+

+x

Bx

Axx

xdxxx

x

resolviendo, se tiene que A = 1, B = 1, con lo cual

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ =

−+

+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++

=−+

+252

15

1103

322 x

dxxdxdx

xxxxx

( )( ) CxxCxx +−+=+−++= 25ln2ln5ln

2. ( )∫ + 23 xx

dx

( ) ( )[ ] ( )dx

x

C

x

B

x

A

xxxx⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++=+

=+ 12

12

123

1

calculando las constantes, A = -1, B = 1, C = 1, así

∫ ∫ =+

+∫ +−=∫ +++−=∫

+ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ 1211

211

23 xdx

xdx

xdxdx

xxxxxdx

( ) C

xxxCx

xx +−

+=+++−−=

11ln1ln1ln

3. ( )( )∫ −

++ dxx

xx1

143

2

( )( )

( )( )( ) ( )

( )( )1111

141

1422

2

3

2

++

++

−=

++−

++=

−

++

xxCBx

xA

xxxxx

xxx

determinando las constantes, A = 2, B = 2, C = 1, así

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )∫ ∫∫∫

=++

++

−=

++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−=

−

++ dxxx

xxdxdx

xx

xx

dxx

xx1

121

21

121

2

114

223

2

( ) ( )[ ] CxxxCxxx +++−=++++−= 11ln1ln1ln2 222


53

4. ∫⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

dxxxx

xx

23

624

dividiendo primero, ( )( ) ( ) ( )

( )xxxxx

xxxxx

2631

262

23

2

23

4

−+

−+−=

−+

−+

descomponiendo esta última fracción ( )

( )( )( )( ) ( ) ( )1212

632

63 2

23

2

−+

++=

−+−

=−+

−xC

xB

xA

xxxxdx

xxxx

hallar las constantes, A = 3, B = 1, C = -1, por lo tanto

( )( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

−+

−+ dxxxx

xdxxxx

xx1

12

131262

23

4

( ) ( ) =−−

+++−= ∫ ∫∫∫∫ 12

3xdx

xdx

xdxdxxdx

=+−−+++−= Cxxxxx 1ln2lnln32

2

( )( ) Cxxxxx

+−+

+−=1

2ln2

32

5. ( )∫

+dx

x

x22

3

1

6

( ) ( ) ( )22222

3

111

6

+

++

+

+=

+ x

DCxx

BAx

x

x , donde A = 6, B = 0, C = -6, D = 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=+

−+

=+

−+

=+

∫ ∫∫∫ 22222222

3

1

231

231

61

6

1

6

x

xdxx

xdxdxx

xx

xdxx

x

( ) Cx

x ++

++=1

31ln32

2

EJERCICIO 4.4 Calcular las siguientes integrales

1. ( )( )∫ −

− dxxx

x3

2 35 2. ( )( )∫ +

+ dxxx

x2

2

3. ( )∫ +− 233 xxxdx 4. ( )

( )( )∫ ++

+ dxxx

x3

3

12178

5. ( )( )∫ −−

+ dxxx

x2

124

2 6. ( )

( )∫ −

++ dxxx

xx3

23

4124

7. ( )

( )∫ +

+ dxxx

x41

3 8.

( )∫+

22 1xx

dx

9. ( )∫ −14xdx 10. ( )

( )∫ −++

++ dxxxx

xx852

54323

2


54

11. ( )( )( )∫ ++

+++ dxxx

xxx41

1511322

23 12. ( )∫ −92

3

xdxx

13. ( )( )( )∫ ++

++ dxxx

xx11123

2

2 14. ( )

( )∫ ++

+++ dxxx

xxx168

45224

23

15. ( )( )∫ +

++ dxxx

xx4

8322

2

4.5.- EXPRESIONES CUADRÁTICAS

En algunas integrales que contengan una expresión de segundo grado con término en x, (ax2 + bx + c, b≠0) resultan necesario completar el cuadrado de dicha expresión para después mediante el cambio de variable, u = al término que esta elevado al cuadrado, utilizar una de las fórmulas o métodos anteriores.

PROBLEMAS RESUELTOS

Calcular las integrales dadas

1. ( )( )∫ ++

− dxxx

x146

12

( ) ,5)3(596146 222 ++=+++=++ xxxxx haciendo u = x + 3, du = dx, x = u - 3

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( ) =+

−+

=+

−−=

++

−=

−+

−∫ ∫∫∫∫ 5

455

1353

1146

122222 udu

uududu

uudx

xxdx

xxx

( ) ( ) Cuuu

duu

udu+−+=

+−

+= −∫∫ 5

tan5

45ln21

54

52

21 12

22

( ) ( ) Cxx ++

−++= −

53tan

5453ln

21 12

2. dxxx∫ + 22

( ) dxduuxhaciendoxxxxx ==+−+=−++= ,1,111122 222


55

( )∫ ∫∫ −=−+=+ duudxxdxxx 1112 222

haciendo 1tan,tansecd ,sec 2 −=== uduu θθθθθ ∫ ∫∫ ==− θθθθθθθ ddduu sectantansectan1 22

( ) ∫ ∫∫∫ −=−= θθθθθθθθθ doresolviendddd 332 sec,secsecsec1sec por partes, sostiene que:

Cduu +=+=−∫ θθθθθθ tanseclntansecln21tansec

2112

C+−= θθθθ tansecln21tansec

21

como 1tan,sec 2 −== uu θθ

Cuuuuduu +−−−=−∫ 1ln211

211 222 , así

( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxdxxx +−+++−−++=+∫ 111ln21111

212 222

3.

( )∫++ 2

3

222 xx

dx

( ) dxdu 1,xu ,1)1(12222 222 =+=++=+++=++ xxxxx

( ) ( )[ ] ( )∫ ∫∫

+=

++−=

++ 23

23

23

11122 222 u

du

x

dx

xx

dx

( ) ∫ ∫ ∫∫ +====

+Csenddd

u

du θθθθθ

θθθ cos

secsecsec

13

2

2 23

12 +u

uTan =θ ( )∫

++=

23

1,

1 22 u

du

u

usenθ

Cu

u+

+=

12

( ) ( )

Cx

x

xx

dx+

++

+=

++∫∫ 11

1

2222 2

3

4. ( ) ( )521

52 22234 ++=

++∫ xxxxxxdx

( ) ( )( )

( ) ,52521

521

2222234 ++

+++=

++=

++∫ xxDCx

xB

xA

xxxxxx calculando las constantes,

θ

u

1


56

251,

252,

51,

252

−===−= DCBA

( )( )( )dx

xxdx

xdx

xxxxdx x

∫∫∫∫ ++

−++−=

++ 5252 225

125

2

25

125

2

234

( )( )

( )dxxx

xxxxxx

dx∫∫ ++

−+−−=

++ 5212

251

51ln

252

52 234

en esta última integral, ( ) 1,,1,4152 22 −==+=++=++ uxdxduxuxxx ( )

( )( )

( )dx

xxdx

xxx

∫∫ ++

−=

++

−

4112

5212

22

( )( )

( )( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫ +−+=

+−

+=

+

−=

+

−− − Cuuu

duu

ududuu

uduuu

2tan

234ln

43

42

432

4112 12

2222

( )( ) ( ) ( ) Cxxdx

xxx

++

−++=++

− −∫ 21tan

2341ln

5212 12

2, así

( ) ( ) ( ) Cxxxxxxx

dx+

+−++−=

++−∫ 2

1tan50341ln

251

51ln

252

5212

234

5. ( )∫ + 44xdx

( ) ( )( )

( )( )

( )( )122222221

41

2224 −++

++

++

+=

++=

+ xxxDCx

xxBAx

xxx, determinando constantes

41,

81,

41,

81

=−=== DCBA

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )∫∫∫ ∫∫ +−

−−

++

+=

+−

+−+

++

+=

+dx

xxxdx

xxxdx

xx

xdx

xx

x

xdx

222

81

222

81

2241

81

2241

81

4 22224

Considerando la primera integral de la derecha

( )( )

( )( )∫∫ ++

++=

++

+ dxxx

xxx

1111

222

22, haciendo dxduxu =+= ,1

( )( )

( )( ) ( ) ( ) =++=

++

+=

+

+=

++

++ −∫ ∫ ∫∫ uuu

duu

duuduuudx

xx 12

2222tan1ln

21

1111

1111

( ) ( )1tan11ln21 12 ++++= − xx

para la segunda integral, haciendo y = x – 1, dv = dx ( )

( )( )( )∫∫ =

+−

−−=

+−

− dxxxdx

xxx

1111

222

22


57

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),1tan11ln

21tan1ln

21

1111 1212

222−−+−=−+=

+−

+=

+

− −−∫ ∫∫ xxvvv

dvv

dvvdvvv

así ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxx

dx+−++−−++++=

+−−∫ 1tan

8111ln

1611tan

8111ln

161

41212

4

( )( )

( ) ( )[ ] Cxxxx

+−++++−

++= −− 1tan1tan

81

1111ln

161 11

2

2

aquí se puede suprimir el valor absoluto ya que

( )( ) 11

112

2

+−

++

xx es positivo y como ( ) ( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=−++ −−−

2111

22tan1tan1tan

xxxx , se tiene que

( )( )( )

Cxxx

xx

xdx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

+−

++=

+∫ − 212

2

42tan

81

1111ln

161

4

EJERCICIO 4.5

Resolver las siguientes integrales

1. ( )∫ +− 522 xxdx 2. ( )∫ ++ 422 xx

dx

3. ( )( )dx

xxx

∫ +−

−

10413

2 4. ∫

−+ 242 xx

dx

5. ∫ − dxxx 24 6. ( )∫

++22 84xx

dx

7.

( )dx

xx

dx∫

++ 23

1062 8. ( )∫ ++ 234 186 xxx

dx

9. ( )∫ + 44

2

xdxx

4.6.- SUSTITUCIONES DIVERSAS

Mencionaremos de las sustituciones diversas, tres de las más elementales. Sustitución n xfu )(= o u = f(x) Se utiliza cuando el integrado contiene una expresión de la forma n xf )(


58

Sustitución nzx = Es empleada cuando en el integrando aparece la variable x elevada a exponentes fraccionarios, donde n es el mínimo común múltiplo de los denominadores de los exponentes. La siguiente sustitución involucra a una función racional en sen x y cos x, por lo cual primeramente daremos una idea de este tupo de función. Un polinomio de dos variables x, y, es una suma de términos de la forma axmyn, donde m y n son enteros no negativos y a es cualquier número, por ejemplo 2 +x2y-y3, el cociente de dos de estos polinomios se llama una función racional en x, y, por ejemplo ( )( )xyxyyx

yyxx+−+

++−

231

32

32

Así, si en una función racional en x, y, se cambia la x por sen x y la y por cos x se obtiene una función racional en sen x y cos x, con el ejemplo anterior:

( )( )xsenxsenxxxxsen

xxxsensenxcos2coscos

coscos3132

32

+−+

++− es una función racional en sen x y cos x

Sustitución ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2tan xz

Se aplica cuando el integrando es una función racional en sen x y cos x, quedando este

convertido en una función racional en z. A partir de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2tan xz , se deduce que

( ) ,12

2zzsenx

+=

( )( ) ,11cos

2

2

zzx

+

−= ( )21

2z

dzdx+

=

Siendo estas relaciones utilizadas para expresar a la integral en términos de z.

PROBLEMAS RESUELTOS

Calcular las siguientes integrales: 1. ∫ − dxxx 35 4 haciendo uxdxxduxu −=−=−= 4,3,4 323

( ) ( ) duuudxxxxdxxx 21

43134

314 23335 ∫∫∫ −−=−−−=−

Cuuduuduu +⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=+−= ∫∫

253

1

233

431

34 2

52

3

23

21

( ) ( ) Cxxdxxx +−+−−=− ∫∫∫2

52

33335 4

1524

984


59

2. ∫ +dx

xxx

3

4 haciendo 6431112 2

13

14

1,,,12, zxzxzxdzzdxzx =====

( )( )∫ ∫∫∫ +

=+

=+

=+ 1

121

12122

10

24

14

46

113

3

4

zz

zzdzz

zzdzzzdx

xxx

dividiendo ( )111

1 22468

2

10

+−+−+−=

+ zzzzz

zz

( ) ( )∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+−+−=

+dz

zzzzz

zdzz

11112

112

22468

2

10

Czzzzzz +−+−+−= −13579 tan12123

125

127

129

12

como 41

125

127

43

121 3579 ,,,, xzxzxzxzxz =====

( ) Cxxxxxxdxxx

x+−+−+−=

+−∫ 12

112

14

112

512

74

3 13

4tan12124

512

712

34

3. ∫ ++

3 1

xxdxx haciendo dxduxu =+= ,1

∫∫ +=

++

+3

1

21

4141

3 uduu

xdxx lo cual sugiere la sustitución ,6zu = es decir 61 zx =+

así 61 zx =+ , 2335 1,1,6 zxzxdzzdx =+=+=

( )∫∫∫ +

=+

=++

+2

8

2

53

3 46

46

141

zdzz

zdzzz

xdxx

dividiendo, 2246

2

8

425664164

4 zzzz

zz

++−+−=

+

∫ ∫ =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+

+−+−=+

dzz

zzzzdzz

2246

2

8

4256641646

46

=++−+− − Czzzzz2

tan76838432524

76 1357

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Cxxxxx ++

++−+++−+ −

21tan76813841321

5241

76

61

61

21

65

67

1

4. ∫ +

−

xdxx

11 multiplicando y dividiendo por x−1

( )( )( )( )

( )∫ ∫ ∫∫∫ =

−−

−=

−

−=

−+

−−=

+

−222 111

11111

11

x

dx

x

dx

x

dxxdxxxxx

xdxx

( ) ( )xdxxx

dx 2121

12

122

−−++

= ∫ ∫−


60

( ) Cxxsenxdxx

+++=+

− −∫ 2121 1

11

5. ∫ + x

x

e

dxe

1

3 haciendo ( )22 1,1,,1 ueuedxedueu xxxx −=−=−=−=

( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫ +−−=

−−=

−

−−=

+ 21

21

2223 211

11 uduuu

uduu

e

dxee

e

dxex

xx

x

x

( ) Cuuuduuuu +−+−=+−−= ∫ − 25

23

21

23

21

21

52

3422

( ) ( ) ( ) Ceeee

dxe xxxx

x+−−−+−−=

+∫ 2

52

32

1

1521

3412

1

3

6. dxe x∫ +1 haciendo dxeudueueu xxx =+=+= 2,1,1 2

1

222 −

==u

udueududx

x( )( )∫ ∫∫ −

=−

=+1

21

212

2

2 uduu

uuduudxe x dividiendo ( ) ( ) ,1

111 22

2

−+=

− uuu

descomponiendo en fracciones parciales, ( ) ( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=− 1

121

11

21

11

2 uuu

así ∫∫ +−++−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

−Cuuudu

uuuduu 1ln1ln2

11

21

11

2112

12

2

2

( )( ) Cuuu ++−

+=11ln2

Ce

eedxex

xxx +

++

−+++=+∫ 11

11ln121

7. ∫ + xdxcos35

usando la sustitución ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2tan xz

( )( )

( )∫ ∫ ∫∫ +=

+=

+=

+

−+

+=

+− Cz

zdz

zdz

zz

zdz

xdx

2tan

21

4822

1135

12

cos351

22

2

2

2

C

x

xdx

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=+

−∫ 22

tantan

21

cos351

8. ∫ + senxxdx

3cos en lugar de aplicar

2tan xz = , es más cómodo


61

hacer xdxdusenxu cos,3 =+=

∫∫ ++=+==+

CsenxCuudu

senxxdx 3lnln

3cos

EJERCICIO 4.6

Calcular las integrales dadas

1. ∫+13 2

3

x

dxx 2. ∫ + xdx

5

3. ( )∫ + dxxx 31

3 4. ( )∫

−32

5

1x

dxx

5. ∫+ x

dx

1 6. ∫

− 4 3xx

dx

7. ( )∫ +− 13 xx

dx 8. ∫ ++ 42 xdx

9. ( ) ( )[ ]∫ +++ 4

12

133 xx

dx 10. ∫ −−+ 33 xx

dx

11. ∫ −+

++ dxxx

1222 12. ( )

( )dx

xx

∫ ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

−

911

32

32

13. ∫−1xe

dx 14. ∫ − dxee xx 124

15. dxex x∫ 16. ∫ + dxx 2cos

17. ∫ dxxtan 18. dxxsen

xxsen∫ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+2cos

19. ∫ + xsendx

32 20. ∫ ++ senxx

dxcos31

21. ∫ + xxsendx

tan 22. ( )

∫ ++

+

xxdxx

2cos5cos1813cos1

23. dxx

xsen∫ ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

− cos43

CAPÍTULO V

5.1.- INTEGRALES MULTIPLES La integral doble de una función f(x,y) sobre R se simboliza como ( )∫∫

R

dAyxf , donde R

es una región cerrada del plano xy en la cual esta definida dicha función.


62

Si ( )yxf , > 0 entonces ( )∫∫

R

dAyxf , representa el volumen del sólido que tiene como base

la región R y como altura en cada punto (x,y) de R el valor de (x,y) el sólido se muestra en la siguiente figura. Otra interpretación de la integral doble es la siguiente. Si se considera la R como una lámina con una cierta distribución de masa, cuya densidad (masa por unidad de área) en cada punto (x,y) de R esta dada por f(x,y) entonces la masa M de la lámina es:

( )∫∫=R

dAyxfM ,

Sea R la región rectangular acotada por las rectas x = a, x = b, y = c, y = d, la integral doble sobre R se calcula de la dos siguientes integrales: Si R es la región acotada por las rectas x = a, x = b, las funciones y = g1(x), y = g2(x) donde g2(x) > g1(x) en [a,b], entonces:

y

z

x

Si f(x,y), entonces:

( )∫∫ ∫∫=R R

dAyxf ,

Representa además del volumen mencionado

Gráfica de z = f(x,y)

[x,y,f(x,y)]

(x,y)

x b a

R

y

d

c

( ) ( )∫∫ ∫ ∫=R

b

a

d

cdydxyxfyxf ,,

( ) ( )∫∫ ∫ ∫=R

d

c

b

adydxyxfyxf ,,

( ) ( )( )

( )∫∫ ∫ ∫=R

b

a

xg

xgdydxyxfdAyxf

2

1

,,

•

•x

R

y

a b

y=g2(x)

y=g1(x)

Figura 1


63

Si R es la región acotada por las rectas y = c, y = d, las funciones x = h1(y), x = h2(y) donde h2(y)>h1 (y) en [c,d], entonces: La integral triple de una función f(x,y,z) sobre una región R cerrada del espacio tridimensional donde f(x,y,z) es continua se denota como:

( )∫∫ ∫R

dvzyxf ,,

La región más simple es el espacio tridimensional es la que tiene forma de un paralelepípedo rectangular y esta descrita como los puntos (x,y,z) donde a< x <b, c< y <d, k< z <1 en este caso:

( ) ( )∫∫ ∫ ∫ ∫∫ =R

b

a

d

c kdxdydzzyxfdvzyxf

1,,,,

Si f(x,y,z)=1 ( ) ∫∫ ∫∫∫ ∫ =

RR

dvdvzyxf ,, representa el volumen de la región R. La integral

triple tiene la siguiente interpretación si se considera la región R como un sólido cuya densidad (masa por unidad de volumen) en cada punto (x,y,z) de R esta dada por (x,y,z), entonces la masa M del sólido es:

( ) ( )( )

( )∫∫ ∫ ∫=R

d

c

yh

yhdxdyyxfdAyxf

2

1

, ,

x

R

y

d

c

y=h1(y)

y=h2(y)

Figura 2

( )∫∫ ∫R

dvzyxf ,,

( )dxdydzzyxf

l

k

d

c

b

a∫ ∫ ∫ ,,

Cambiando el orden de integración existen otras formas de calcular la triple así cambiando dx dy dz por dz dy dx

y

z

x

(b,d,1)

(a,c,k)

R


64

( )∫∫ ∫=

R

dvzyxfM ,,

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Para f(x,y) = x2 + 2y y la región rectangular R acotada por x = 0, x = 2, y = 1, y =1, y = 3, calcular:

( )∫∫R

dAyxf ,

de las formas (intercambiando el orden de integración)

( ) ( ) [ ] ( ) ( )[ ]∫ ∫∫∫∫∫ =+−+=+=+=2

0

2

0

223

1

2

0

223

1

2 1932, dxxxdxyyxdydxyxdAyxfR

( )∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+=

2

0

2

0

32

3648

3282 xxdxx

( ) ( )∫ ∫∫∫∫∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=+=

3

1

3

1

23

1

2

0

3

1

32

0

2

3642

384

382

32, yydyyydyyxxdxdyyxdAyxf

R

2. Para f(x,y) = x + y y la región R acotada por y = x2, x = y2, hallar ( )∫∫

R

dAyxf ,

considerando a R como a) la figura 1, b) la figura 2. a) Considerando a R como una región de la figura 1 b) Considerando a R como una región dela figura 2

R x

y

1

1

y=x2

(1,1)xy =

( ) ( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=+=∫∫ ∫ ∫∫ dxyxydydxyxdAyxf

x

xR

x

x2

2

1

0

1

0

2

2,

103

104452

22

1

0

5421

0

43 2

52

3=−−+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫

xxxxdxxxxx

R x

y

1

1

y=x2

(1,1)xy =

( ) ( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=+=∫∫ ∫ ∫∫ dyxyxdydxyxdAyxf

y

yR

y

y2

2

1

0

1

0

2

2,

103

410 5 2

422

1

0

45 2 1

0

34

2 5 2

3= − − + =

⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎢ ⎣

⎡ ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ + − ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ + ∫ yy y ydyyyyy


65

En los problemas 3 y 4 calcular la integral doble dada cambiando el orden de integración

3. ∫ ∫6

0

2

3

2dxdye

y

x

Esta región también se puede considerar como acotada por las rectas x = 0, x = 2 y las ecuaciones y = 0, y = 3x, así:

4. ( )∫ ∫ −4

0 2

2 dxdyyxx

X

Por la forma de la integral la región de integración es como la de la figura 2, es decir esta acotada pro las rectas y = 0, y=6

y las ecuaciones 2,

3== xyx

x

y

2

6

R

(2,6)

2=x

3yx =

x

y

2

6

R

(2,6) xy 3=

0=y

[ ]∫∫ ∫∫ ∫ ===2

0

3

0

2

0

36

0

2 2

3

2

3

2dxyedxdyedxdye

xxx xxyy

( )∫ −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

2

0

42

01

23

233

22eedxxe xx

R

(4,2)2yx =

2xy =

x

y

4

6

Por la forma de la integral la región de integraciones es como la de la figura 1, esta acotada por la rectas x = 0, x = 4 y las

ecuaciones xyxy == ,

2


66

Dicha región también se puede considerar limitada por las rectas y = 0, y = 2 y las ecuaciones x = y2, x = 2y, así:

( ) ( )∫ ∫ ∫∫ −=−4

0

2

0

2

22

22 dxdyyxdydxyxy

y

x

x

[ ] ( ) ( )∫ ∫ −−−=−=2

0

2

0

342222 242 dyyyyyxyxy

y

( )528

453

2

0

2

0

453342 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=+−= ∫

yyydyyyy

5. Calcular ( )dVzyx

R∫∫∫ −+ 22 , R es el paralelepípedo rectangular determinado por los

puntos (x,y,z) donde –1 < x < 0, 2 < y < 3, 0 < z < 1, hacer dicho cálculo de tres maneras diferentes (intercambiando el orden de integración):

( ) ( ) dydxzyzzxdzdydxzyxdVzyxR

∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ −− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=−+=−+

0

1

3

2

1

0

22

0

1

3

2

1

0

222

222

( ) dxxxdxyyyxdydxyx ∫∫∫ ∫ −−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

0

1

223

2

0

1

220

1

3

2

2 1422393

21

212

629

29

329

0

1

30

1

2 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−−∫ xxdxx

( ) ( ) dxdyzyzzxdzdxdyzyxdVzyxR

∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ −− ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=−+=−+

3

2

0

1

1

0

223

2

0

1

1

0

222

222

629

61

612

212

3212

3

2

3

2

20

1

3

2

33

2

0

1

2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫∫∫ ∫

−−

yydyydyxxyxdxdyyx

( ) ( ) [ ] =−+=−+=−+ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ −−

dxdzzyyyxdydxdzzyxdVzyxR

1

0

0

1

32

221

0

0

1

3

2

22 22

( )( ) ( ) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=+−=−+−+ ∫∫ ∫∫ ∫

−−−

dzxzxxdxdzzxdxdzzxzx1

0

0

1

31

0

0

1

21

0

0

1

22 53

5242393

R

(4,2)2yx =

2xy =

x

y

4

6


67

629

316

23161

0

1

0

2

∫ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +− zzdzz

EJERCICIO 5.1

En los problemas 1 al 8, para la función f(x,y) y la región R dadas. Calcular:

∫∫R

dAyxf ),(

1. f(x,y) = 2x + 3y2, R acotada por x = 1, x = 2, y = 0, y = 3 2. f(x,y) = ysenx - xey, R acotada por x = 0, x = Π/2, y = -1, y = 1 3. f(x,y) = sen(x+y) , R acotada por x = 0, x = Π/2, y = 0, y = Π/2 4. f(x,y) = 2 – x , R acotada por x2 + y2 = 4 5. f(x,y) = senx2 , R acotada por y = x, y = 0, x = 1 6. f(x,y) = 4-x2-y2 , R acotada por 0,1 2 =−= yxy 7. f(x,y) = x cos(x+y) , R es el triángulo con vértices (0,0), (Π,0), (Π,Π) 8. f(x,y) = 3x –y+1 , R es acotada por x=0, y=0, x+3y-3=0 En los problemas 9 al 12 calcular la integral doble cambiando el orden de integración:

9. ∫ ∫1

0

1dxdye

yx

y 10. ∫ ∫2

0

1 2

2

cos dydxyx

11. ( )∫ ∫ +1

0 0

2 3 dxdyyxy

12. ( )∫ ∫ +1

0

222 dydxyx

x

x

13. Evaluar ( )∫∫∫ +

R

dvzyyx 22 33 , R es el paralelepípedo rectangular determinado por los

puntos (x,y,z) donde 1 ≤ x ≤ 3, -1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 2. Calcular las integrales siguientes:

14. ( )∫ ∫ +3

1

2

12ln dydxyx 15. ∫ ∫

−

−

1

0

1

1

2

ydydxx

x

16. ∫ ∫ +

e ydxdy

yx1 0 221 17. ∫ ∫ +

2ln

0

ln

0dxdye yxy

18. ∫ ∫p sen

drdr0 0

cosθ

θθ 19. ∫ ∫ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛20 0

2π

dydxxy

senx

20. ∫ ∫ ∫2

1

1

0

3

2

22 dydxdzzyx 21. ( )∫ ∫ ∫ +2

1

1

0

3

1

2 2 dxdydzyzx

22. ∫ ∫ ∫1

0

2 2

2dzdydxz

x

x

x

y 23. ∫ ∫ ∫− ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

12

0 0

2

dxdydzyxsen

yzyπ

24. ( )∫ ∫ ∫+

+1

0 0 0dxdzdyyz

y yz 25. ∫ ∫ ∫−

x senz y x dxdydzye1 1

ln

0

26. ∫ ∫ ∫−π

θ2

0

1

0

1

0

2

dzdrdrr

27. ∫ ∫ ∫2

0

cos2

0

coscos

π θ θθθdzdrdrz

r


68

SOLUCIONES IMPARES DE LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 1.1

1. ( ) CxxxxF ++−= 23

31

41 4 3. ( ) CxxxxF +−+−= − 3

52

1

564

61 6

5. ( ) CxxxxF +++= 23

23

32 7. ( ) CxxxxF +−+= 2

21

31 23

EJERCICIO 1.2

1. Cxxx

x ++++ 2431

51

345 3. ( ) Cx ++ 2

122121 5. C

xx+

++−

12

3

7. ( ) ( ) ( ) Cxxx ++++−+ 23

25

27

2322

542

72 9. [ ] cx ++

512 144081 11. c

x+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

21121

EJERCICIO 1.3

1. 245 3.

623)32(2 −− 5.

34

− 7. 0

9. 2

13 11. 4 13. 31

EJERCICIO 2.1 1. Cxx ++ 62ln

61 3 3. Cx +2

1)(ln2 5. ( )[ ]xlnlnln

7. Ce x +− 2 9. Ce x ++− )2ln(31 3

EJERCICIO 2.2

1. Cx

++

4ln4 1

3. 10ln

4995 5. Cx ++ )1ln(log)3(ln 3

EJERCICIO 2.3

1. Cx +3secln

31 3. Cxx +− 2cot2cscln

21 5. Cx +3tan

31

7. Cxsen+

331 9. Csenx +−− 1ln 11. Cee xx ++ tansecln


69

EJERCICIO 2.4

1. Cx+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

7tan

71 1 3. Cxsen

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

25tan

251 1 5. Cxsen +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

23

31 1

7. Cesenx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

21 9. ( ) Ce x +− −− 21sec

21

EJERCICIO 3.1

1.

535 3.

6125 5. 24 7. 24

9. 158 11. 18

EJERCICIO 3.2

1. π6 3. π

227 5. π

38 7. π

5128

9. π25

256 11. π15544 13. π8 15. π

340

17. hr 2

31 π

EJERCICIO 3.3

1. cmKg −12 3. cmLk 5.4,1 == 5. mkg −

3000,500,17 π

7. mkg −7000,560 π 9. mkg −

3000,380 π 11. teconsKKbKa tan,

12),

8) =

EJERCICIO 4.1

1. Cexeex xxx ++− 232 3. Cxxsenxxx +++− cos22cos7 5. Cxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

5ln1

5ln5

7. ( )

Cx xx+−

22ln2

2ln2 9. ( ) Cxxx ++−− 21 1ln

21tan 11. ( ) Cxxx +−+ −

2tan1´ 1

13. 2

)(ln)cos(ln xxsenxx + 15. Cxxxx +−+ tansecln21sectan

21

17. Cxxxxxx ++−− tansecln81sectan

81tansec

41 3


70

EJERCICIO 4.2 1. Cxsenxsen +− 2

612

21 3 3. Cxx ++− 232 cos

61cos

21

5. Cxx +− 3cos1513cos

81 53 7. Cxsenxsenxsen ++− 1086

101

41

61

9. Cxsenxsenxsenx +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++− 2

614

8322

25

81 3 11. Cxsenxsenx +−− 2

4814

641

161 3

13. ( ) ( ) Cee xz +− 4cos812cos

41 15. Cxxx +++ 2cot

212cot

61 3

17. Cxxx +++ 53 tan51tan

32tan 19. ( ) ( ) Cxx ++ 2

72

3tan

72tan

32

21. Cxx ++− 35 csc31csc

51 23. Cxx +−+ secsec

31 3

25. Cxx ++− cscsec31 3

EJERCICIO 4.3

1. Cx

h +− −

5sec

51 1 3. Cxxxx

+−++− 16ln8162

22

5. Cxxxsen +−+− 21 9121)3(

61 7. Cx

xx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+−

4tan

1281

)16(321

2

9. Cx

x+

+−

−−

39

39ln121

4

4

EJERCICIO 4.4

1. Cxx +− )1(ln 23 3. Cxx

x+

+−

+− 2

1ln92

)1(31

5. Cxxx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+−

11ln

31

2tan

231 1 7. Cx

xx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

+−

2tan

21

4ln

81 1

2

2

9. Cxxx

+−+− −1tan

21

11ln

41 11. Cxxx +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+++ −

2tan

231ln2 1

13. ( ) ( ) Cxx +++ 11ln 2 15. Cxx +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++ −

2tan

23ln2 1

EJERCICIO 4.5

1. Cx+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

21tan

21 1 3. ( ) Cxx +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+− −

62tan

6562ln

23 12


71

5. ( ) Cxsenxx+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−−− −

22224

22 12 7.

( )C

x

x+

++

+

13

32

9. Cxx

xxxx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

++

+− −2

12

2

22tan

41

1212ln

81

EJERCICIO 4.6

1. Cxx ++−+ 2

12

3)13(

91)13(

271 22 3. Cxx ++−+ 2

32

5)3(2)3(

52

5. ( ) ( ) Cxx ++−+ 21

23

14134 7. ( ) Cx

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +− −

21tan

21

1

9. ( ) ( ) ( ) Cxxx +++++−+ 13ln43432 41

41

21 11. Cxxx +−+++++ 12ln6262

13. ( ) Ce x +⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −− 2

1

1tan2 1 15. Ceexxe xxx ++− 442

17. Cxx

xxxx

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

++

+− −

tan1tan2tan

21

1tan2tan1tan2tanln

221 1 19. C

x

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− −

5

32

tan2tanh

52 1

21. Cxx+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

2tan

41

2tanln

21 2 23. Cx

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3

2tan5ln

56

2

EJERCICIO 5.1

1. 36 3. 2 5. [ ] C+− )1cos(121

7. π23

− 9. ∫ ∫ =1

0 0

2

21x

dydxe xy 11. ( )∫ ∫ =+

1

0

1 2

12133

xdydxyx

13. 8 15. 61 17. 22ln2 −

19. 82

12ππ

+− 21. 3

64 23. 23

43

−π

25. 129

4 π− 27.

158

−

Calculo Integral (problemario)

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