Cálculo I – GPS

01 - (CEFET PR/2000) Se f(x)=x3+3 e g(x) for a função inversa de f, o valor de g’(0) será: a)

b)

c)

d)

e)

Gab: B

02 - (CEFET PR/2001)

O valor de “a” para que a função seja contínua para todo x

R é:a) 1.b) 2.c) 3.d) 1.e) – 2.

Gab: C

03 - (UNIMONTES MG/2007)

Se é uma função definida por , então, quando x cresce

indefinidamente, f(x) aproxima-se dea) -3

b)

c) 0d) 1

Gab: D

04 - (PUC RJ/1996)

A seqüência

a) tende para +;b) tende para 1;c) tende para 0;d) não tem limite;e) tende para 2.

Gab: B

05 - (UFJF MG/1996) Observe o gráfico da função f: R R definida por:

Considere as seguintes afirmativas:

I. O conjunto imagem de f é o intervalo

II.

III. Não existe

IV.

V. F é descontínua em x = 1.

São verdadeiras:a) I, II, IV e Vb) II, IV e V;c) II, III, IV e V;d) todas;e) nenhuma.

Gab: B

06 - (UFSC/1993)

Sendo f: R – {1} R – {1} definida por f(x) = , determine a soma dos números

associados às afirmativas verdadeiras.01. O gráfico de f(x) é uma reta.02. f(x) é uma função injetora.

04. Sua inversa é .

08. f(x) é uma função par.16. O valor de f(2) é igual a 2.32. f(x) é uma função bijetora.

Gab: 54

07 - (UNIFICADO RJ/1994) O valor é:

a) 0b) 1c) 2d) ee)

Gab: D

08 - (UNIFICADO RJ/1994) A tangente à curva y = x3 no ponto (1,1) tem coeficiente angular igual a:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

Gab: C

09 - (UNIFICADO RJ/1995)

O valor de é:

a) - b) -1 c) 0 d) 1 e)

Gab: E

10 - (UNIFICADO RJ/1995) Uma partícula se move sobre o eixo das abscissas, de modo que sua velocidade no instante

t segundos é v = t2 metros por segundo., A aceleração dessa partícula no instante t = 2 segundos é , em metros por segundo quadrado, igual a :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

Gab: D

11) Considere as proposições abaixo, sobre a função f:R R definida por

e assinale (V) ou (F)

00.

01.

02. Não existe o

03. f(3) = 104. A função f não é contínua no ponto x = 3.

Gab: CCCCC

12 - (PUC SP) Sobre a função pode-se afirmar:a) é definida e contínua R.b) é definida e contínua somente para x > 3.c) é definida R e descontínua somente para x = 3.d) é definida e contínua somente para x 3.e) n.d.a

Gab: C

13 - (INATEL MG/1982)

Sendo determine

Gab: 4

14 - (Mauá SP) Seja f:R R a função definida por: Considere as proposições e assinale (V) ou (F).

00.

01.

02. Existe o

03. f(2) = 404. A função f não é contínua no ponto x = 2.

Gab: CCCCC

15 - (OSEC SP) Seja f:R – {1} R a função definida por Considere as proposições e assinale (V) ou (F)

00.

01.

02. Existe o e

03. Não existe f{1}04. A função f não é contínua e nem descontínua no ponto x = 1

Gab: CCCCC

16 - (Mauá SP) Seja um número real e seja f:R R a função tal que:

Então, existe o , se, e somente se:

a) = 0b) = 1c) = 2d) = 3e) = 4

Gab: B

17 - (PUC RJ)

O valor de m R para que exista o , onde:

é:a) –1b) 0c) 1d) 2e) 3

Gab: C

18 - (FEI SP) Seja R e seja f:R R a função definida por: Assim, f é contínua no ponto x = 3, se, e somente se:a) = 0b) = 1c) = 2d) = 3c) = 4

Gab: B

19 - (MACK SP) O valor de m R para que a função f:R R tal que: seja contínua no ponto x = 4, é:

a) 3/2b) 2/3c) 4/3d) 3/4e) 2

Gab: B

20 - (PUCCampinas SP) Considere as seguintes proposições e assinale (V) ou (F)

00. x = 2

01. 3x = 6

02. (2x – 1) = 3

03. (3x – 2) = 4

04. (x2 – 5x + 6) = 0

05. (x2 – 5x + 6) = 0

Gab: CCCCCC

21 - (OSEC SP)

Seja f:R R a função definida por f(x) = 3. Então, o é igual a:

a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

Gab: D

22 - (SANTA CASA SP)

Se e , então a + b é igual a:

a) 3b) 5c) 7d) 11e) 13

Gab: E

23 - (PUCCampinas SP) Seja f:R R a função definida por f(x) = ax + b com a R* e b R.

Se então,

a) 1

b) 3c) 5d) 7e) 9

Gab: C

24 - (MACK SP)

Se (I) (x2 + . x + ) = 6

(II) (x2 + . x + ) = 2

então – é igual a:a) –3b) –1c) 1d) 3e) 5

Gab: C

25 - (FEI SP) Seja f:R R a função definida por f(x) = x2 + mx + n com m R e n R.

Se: (I) f(x) = 7

(II) f(x) = 3

então, o f(x) é igual a:

a) 1b) 3c) 5d) 7e) 9

Gab: B

26 - (PUCCampinas SP) Considere as seguintes proposições e assinale (V) ou (F):

00. (2x – 1) = 5

01. (2x – 1) = 5

02. (2x – 1) = 5

03. (5 – x) = 3

04. (5 – x) = 3

05. (5 – x) = 3

Gab: CCCCCC

27 - (MACK SP)

O valor do é:

a) 10b) 15c) 20d) 25e) 30

Gab: B

28 - (SANTA CASA SP)

O limite de , quando x tende a zero, é igual a:

a) 0b) 6c) 12d) 3e) 2

Gab: B

29 - (CEFET PR/2003)

Seja e g(x) dada pelo gráfico que segue. Então, o valor de A tal

que A = é:

a) 0.b) 1.c) 12,5.d) – 8.e) – 10.

Gab: A

30 - (UEPI/2003) Sendo a um número real qualquer dado, então acerca do resultado do limite

o mais correto é afirmar que:a) será sempre um número inteiro;b) valerá, sempre, 3/2, qualquer que seja a;c) será de valor 3/2, se a for não nulo;d) será indeterminado se a for nulo;e) as alternativas c. e d. estão, ambas, corretas.

Gab: C

31 - (UFAM/2002)

O é:

a)

b)

c)

d)

e)

Gab: C

32 - (UFAM/2002) Se , então a derivada primeira de , no ponto é igual a:

a)

b)c)

d)

e)

Gab: A

33 - (UFAM/2003) Se então será:a) 2b) 4c) 32d) 16e) 8

Gab: E

34 - (UFAM/2004) O ponto do gráfico de , onde a reta tangente é paralela à reta é:

a)

b)

c)

d)

e)

Gab: D

35 - (UESPI/2004)

Qual o valor do limite ?

a) –1b) 0c) 1d) 2e) 3

Gab: E

36 - (UESPI/2004) Qual a derivada da função ?a) f’(x) = cos(ex)+5x4

b) f’(x) = exsen(ex)+5x4

c) f’(x) = excos(ex)+5x5

d) f’(x) = excos(ex)+5x4

e) f’(x) = cos(ex)+ 4x5

Gab: D

37 - (UFPR/2006) João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3. Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x1, x2, x3, x4, x5,…, xn Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse?a) 5

b) 0c) 5/2d) 1e) 15/2

Gab: A

38 - (UFPI/2006)

Se , então, o valor de é:

a) 2b)c) 1

d)

e)

Gab: A

39 - (UFPR/2006) João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3. Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x1, x2, x3, x4, x5,…, xn

Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse?a) 5b) 0c) 5/2d) 1e) 15/2

Gab: A

40 - (UFPR/2005)

Considere a seqüência cujo termo geral é com n = 1, 2, 3, ... . Atribuindo-se

valores cada vez maiores para n, o número xn se aproxima de:

a)

b) 1c) 2

d)

e) 0

Gab: A

41 - (URCA CE/2007)

Calcule o valor de x na expressão

a) 1

b)

c) 0,99d) 1,99

e)

Gab: C

42 - (UESPI/2008) A ilustração a seguir representa parte do gráfico da função dada por e da reta tangente ao gráfico no ponto com abscissa x = 1. A reta tangente, no ponto com abscissa x do gráfico de f(x), tem inclinação dada por f`’(x) (a derivada de f(x) em x). Assinale a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto com abscissa x = 1.

a) y = -5x + 4b) y = 3x – 4c) y = 7x – 8d) y = -4x + 3e) y = -3x + 2

Gab: A

43 - (UESPI/2008) A produção de uma mina de carvão após x horas de operação é de

toneladas por hora, para . A produção será

máxima, em toneladas de carvão por hora, para o valor de x , com , que seja raiz de (aqui, p’(x) é a derivada de p(x)). Assinale esta raiz.a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20

Gab: E

44 - (UESPI/2008)

Sabendo que , temos que

a) 0b) 1/2c) 1d) 2e) 4

Gab: D

45 - (UESPI/2009)

Qual o valor do limite

a) 0b) 1c) 2d) 12/5e) 3

Gab: D

46 - (UFTM/2009) O limite da soma dos termos da progressão geométrica infinita , de

razão q, é igual a 2. Se S e T são os limites das somas infinitas e

, respectivamente, então

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Gab: C

47 - (UFS/2009) Analise as afirmações abaixo.

00.

01.

02.

Gab: VFV

48 - (UESPI/2010)

Qual o valor do seguinte limite ?

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 6

Gab: D

49 - (UESPI/2010)

Para qual dos valores abaixo, a derivada da função dada por se anula?

a)b)c) 1d) 2e)

Gab: A

50 - (UFMG/2010) Considere uma função f (x) crescente, positiva e definida no intervalo [0,1].A soma parcial inferior de ordem n de f(x), representada por Sn (f) , é definida por:

.

Essa soma é uma aproximação para o valor da área da região do plano cartesiano que se situa abaixo do gráfico da função f (x), acima do eixo x e entre as retas de equações x = 0 e x = 1.A interpretação geométrica de S10 (f) para a função f (x) = 2x é a área da região sombreada representada nesta figura:

Considerando essas informações,

1. DEMONSTRE que a soma parcial inferior de ordem n da função f (x) = 2x é expressa,

também, por e DETERMINE o valor de r.

2. Utilizando a aproximação 2 (1,007)100, CALCULE a soma parcial inferior de ordem 100 da função f (x) = 2x e ESCREVA o resultado com aproximação de duas casas decimais.

Gab:

1. Da definição, temos que:

Substituindo 21/n por r, mostramos que a soma pode ser escrita como:

, com

2. S100(f) = 142

51 - (UFRJ/2010) Seja F uma figura plana. Para cada número real positivo a, define-se n( a ) como o menor número de quadrados de lado a necessários para cobrir F (isto é, F estará contida na união de n( a ) quadrados de lado a).

Exemplo 1: Se F é um retângulo de lados 2 e 3, então n( 1 ) = 6 e n( 1/2 ) = 24.

Exemplo 2: Se F é um segmento de comprimento 2, então n( 1 ) = 2 e n( 1/2 ) = 3.

Sabe-se que, quaisquer que sejam F e a, tem-se para todo k = 1, 2, 3, .....

a) Suponha que, para uma dada F, exista um número d(F) tal que, para toda sequência {

a1, a2, a3, a4, …} de números positivos com , se tenha .

Mostre que d(F) 2.

b) Mostre que, de fato, quaisquer que sejam F e a, tem-se para todo k =

1, 2, 3, ….

Gab:

a) Se considerarmos a sequência (a1, a2, a3, …) com , obtemos:

Como a função logarítmica de base 10 é crescente e , tem-se que n(1/2k) 22k n(1), tem-se que

Logo,

b) Seja a um número positivo qualquer. Como F está contida na união de n(a) quadrados de lado a, podemos, decompondo cada um desses quadrados em k2 quadrados de lado a/k, garantir que F está contida na união de k2n(a) quadrados de lado a/k. Logo, n(a/k) k2n(a). Podemos ter a desigualdade estrita, como bem ilustra o exemplo 2.

52 - (PUCCampinas SP/2009) Uma das informações essenciais sobre a civilização humana no campo da ciência e que deixou aspectos marcantes da nossa trajetória neste planeta, foi a obra de Arquimedes: um dos pontos altos do pensamento grego e está na origem da revolução científica iniciada no século XVII. Por exemplo, Arquimedes fez saber que a área limitada pelo arco

de parábola ACB era exatamente da área do triângulo ABC:

(Adaptado: Scientific American Brasil − Gênios da Ciência,São Paulo: Ediouro. p. 33-37)

Nessas condições, em unidades de superfície, qual é a área da região hachurada na figura abaixo?

a) 18b) 21c) 27d) 32e) 36

Gab: C