Calculo de Uniones Atornilladas

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER

SECCIN INGENIERA MECNICA

REA DE DISEO

ELEMENTOS DE MQUINAS

UNIONES ATORNILLADAS

KURT F. PAULSEN MOSCOSO

(v. 15-1)

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USO INTERNO

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PER SECCIN INGENIERA MECNICA REA DE DISEO

Elementos de Mquinas Uniones atornilladas Pag. 2 de 45 Kurt F. Paulsen M. / 150528

GENERALIDADES Los tornillos son de gran utilidad en la unin de elementos de mquinas, elementos estructurales y elementos en general. Se utilizan tambin en tapas, tensores, tornillos de traslacin, instrumentos de medicin y reguladores de distancia entre otras aplicaciones. El tornillo es un elemento cilndrico o cnico roscado en su superficie. Entendindose por rosca, la entalladura o resalte de geometra particular que sigue una trayectoria helicoidal sobre una superficie cilndrica o cnica. Esta geometra suele ser triangular,, cuadrada, trapezoidal, diente sierra o redonda.

Figura 1

La rosca puede ser exterior o interior y su sentido, derecho o izquierdo (ver figura 2).

Figura 2

Adems puede tener ms de una hlice o entradas.

Figura 3

Paso y ngulo de la hlice En la figura 4 se muestra una hlice sobre una superficie cilndrica y su desarrollo en un plano.

Figura 4

p

d2

d 2



Si denominamos p al paso de la hlice o avance axial de sta al completar una vuelta, al ngulo de la hlice o ngulo de inclinacin de la misma y d2 al dimetro primitivo, de paso o de flanco del tornillo; se cumple la relacin:

tg = P / ( d2)

Designacin de la resistencia de los tornillos (clase de material) Los tornillos de acero, de acuerdo a normas ISO, DIN, Eurocdigo y otras normas se designan por su resistencia a la traccin y resistencia a la fluencia. Esta designacin consta de dos nmeros separados por un punto. El primero representa un centsimo de la resistencia a la traccin en MPa (N/mm2), mientras que el segundo representa diez veces la relacin entre el lmite a la fluencia (F) y la resistencia mxima en el ensayo de traccin (B).

Por ejemplo, un tornillo de clase de material 5.6 - el 5 significa: 5 = B / 100 B = 500 MPa - el 6 significa: 6 = 10( F / B) F = 300 MPa

La designacin M10 x 60 10.9 indica que se trata de un tornillo mtrico con rosca en V, de dimetro exterior 10 mm, longitud de la zona cilndrica 60 mm y material clase 10.9; es decir 1000 MPa de resistencia a la traccin mxima y 900 MPa de resistencia a la fluencia. Las clases de material normalizadas son:

4.6 4.8 5.6 5.8 6.8 8.8 10.9 12.9.

Del 4.8 a 6.8 se fabrican de acero con bajo contenido de carbono y no requieren tratamiento trmico. Los tornillos 8.8 al 10.9 se suelen fabrican de acero aleado con tratamiento trmico previo a la laminacin de los filetes del roscado de los tornillos.

UNIN ATORNILLADA Una unin atornillada generalmente consta de tornillo, tuerca y elementos a unir. En la figura 5 se muestra una unin con tornillo y tuerca de cabeza hexagonal. El tornillo roscado parcialmente. Esta unin en particular no tiene arandelas.

Figura 5

Con el fin de estudiar el comportamiento de una unin atornillada se emplearn dos tubos unidos axialmente entre la cabeza del tornillo y la tuerca correspondiente. As, en la figura 6 se muestran:



(a) Los tubos en contacto con la tuerca y la cabeza del tornillo. Sin ajuste alguno.

(b) Los tubos comprimidos una magnitud nP luego de girar la tuerca n vueltas. Tenga en cuenta que en esta etapa se est asumiendo que el tornillo es completamente rgido (o que la rigidez del tornillo es mucho mayor a la del tubo) y por tanto no se deforma. Como el paso del tornillo es P, el desplazamiento relativo de la tuerca sobre el tornillo es nP; es decir el acercamiento entre tuerca y cabeza del tornillo.

(c) Tanto el tubo y el tornillo estn deformados. Como el tornillo no es completamente rgido tambin se deforma (estira) una cantidad . Resultando en un equilibrio de fuerzas internas. Los tubos finalmente resultaran deformados n.P .

(d) El diagrama de cuerpo libre del tornillo y tuerca, con la fuerza de los tubos sobre la tuerca y la cabeza del tornillo, respectivamente.

(e) El diagrama de cuerpo libre de los tubos. Se muestra la fuerza de la cabeza del tornillo sobre el tubo inferior y de la tuerca sobre el tubo superior.

(f) El diagrama de cuerpo libre del tornillo.

Figura 6

FUERZAS AXIALES Y MOMENTO TORSOR ROSCA CUADRADA

En este anlisis se considera una rosca de seccin cuadrada (ver figura 7). La fuerza F acta entre el tornillo y la tuerca, por tanto un elemento pequeo del filete del tornillo o la tuerca, estar cargado con una fuerza F en direccin axial.

En las figuras que se muestran a continuacin para hacer el anlisis de fuerzas entre los filetes se muestra un pequeo elemento de la tuerca sobre un plano inclinado, el cual representa el filete del tornillo inclinado segn el ngulo de la hlice del mismo. Se asumen dos casos, en el primero no hay rozamiento entre tuerca y tornillo y en el segundo s lo hay.

n p

F

F

FF

(a) (b) (c) (d) (e)

F

F

(f)



Figura 7

Unin sin rozamiento (Rosca cuadrada) Como se muestra en la figura 8, para mantener en equilibrio esttico del elemento tuerca es necesario aplicar una fuerza Ft. Esta fuerza es perpendicular al eje y tangencial a la circunferencia (de paso) del tornillo.

Figura 8

Como se pareca en el polgono de fuerzas, las fuerzas F y Ft se relacionan entre s con el ngulo de la hlice ;

Ft = F tg

El momento torsor aplicado a la tuerca es:

Mt = Mt

Mt = Ft . d2 / 2 = F tg . d2 / 2

F

F

F

F



Mt = (F tg . d2 / 2 )

Mt = F tg . d2 / 2

Unin con rozamiento (Rosca cudrada) Para ajustar la unin tuerca-tornillo (subir la carga en un plano inclinado) es necesario vencer la fuerza F y la fuerza de rozamiento o de friccin Ff. (ver figura 9)

La relacin entre la fuerza de friccin y la fuerza normal est dada por:

tg = Ff. / Fn.

y sabiendo que el coeficiente de friccin es la relacin = Ff. / Fn, se tendr

tg =

Ft = F tg ( + )

Figura 9

En este caso el momento torsor para ajustar la unin (subir la carga) est dado por

Mt = F tg ( + ) . d2 / 2

Para el caso de desajustar o aflojar la unin tuerca-tornillo (bajar la carga ) se pueden distinguir dos situaciones (figura 10), segn sea la relacin entre el ngulo de la hlice y el coeficiente de friccin representado por el ngulo .

Figura 10



- Situacin > . Se debe frenar la carga con la fuerza Ft para evitar que deslice, tenindose:

Ft = F tg ( - )

Mt = F tg ( - ) . d2 / 2

- Situacin < Se necesita una fuerza Ft para hacer bajar la carga. Es decir la fuerza de friccin es tal que la carga no baja por s sola. La unin atornillada en este caso se le denomina autobloqueante

Ft = F tg ( )

Mt = F tg ( ) . d2 / 2

Ajuste y desajuste (montaje y desmontaje) Rosca cuadrada. En el momento del ajuste durante el montaje la fuerza F es la fuerza de equilibrio entre tuerca y tornillo, y se la puede denominar fuerza de montaje FM, por tanto los momentos para ajustar y desajustar (aflojar) la unin, con filetes cuadrados, seran:

- Momento torsor de ajuste

Mt = FM tg ( + ) . d2 / 2

- Momento torsor de desajuste o para aflojar la unin

Mt = FM tg ( - ) . d2 / 2 si >

Mt = FM tg ( ) . d2 / 2 si <

FUERZAS AXIALES Y MOMENTO TORSOR ROSCA EN V

Las roscas de los tornillos y tuercas mtricas e inglesas son de perfil en V y no cuadradas como en el caso anterior. El ngulo que se forma entre los dos flancos de un filete, de acuerdo a normas se mide en un plano longitudinal al tornillo. Este ngulo es 60 para las roscas mtricas y para las inglesas UN.

Figura 11

Debido a esta inclinacin se demuestra que el ngulo efectivo de friccin () es mayor que para el caso de rosca cuadrada ( ).

tg = (1 + cos2 tg2 (/2))1/2

Como por lo general el ngulo de hlice es pequeo, el cos 1; obtenindose



tg = (1 + tg2 (/2))1/2 = / cos (/2) = (coeficiente de friccin efectivo)

En las figuras 12 y 13 el ngulo de friccin mostrado es el efectivo . La figura 12 muestra el caso de ajuste y la 13, el caso de desajuste en las dos situaciones

Figura 12

Figura 13

En forma similar al caso de rosca cuadrada, si FM es la fuerza que se genera durante el montaje entre tornillo y tuerca, los momentos torsores para ajustar y aflojar la unin, considerando nicamente la interaccin entre tuerca y tornillo son:

- Momento torsor de ajuste para rosca en V (Montaje)

MtM = FM tg ( + ) . d2 / 2

- Momento torsor de desajuste para rosca en V (Desmontaje)

MtD = FM tg ( ) . d2 / 2 si >

MtD = FM tg ( ) . d2 / 2 si <

Es importante tener en cuenta que slo ser necesario aplicar un momento torsor para desajustar la unin cuando el ngulo de friccin efectiva sea mayor al ngulo de la hlice. Mientras que en caso contrario el momento torsor ser necesario para evitar que la unin se afloje por s sola.



MOMENTO TORSOR TOTAL Ajuste y desajuste Durante el ajuste, al hacer girar la tuerca hay que vencer las fuerzas de interaccin entre tornillo y tuerca (MtM) y adems la fuerza de friccin entre la tuerca y el elemento con el cual est en contacto (Mfr p.t). Al aflojar la unin, tambin se debe vencer esta ltima fuerza. El momento torsor total para el ajuste MAjuste y el total para el desajuste MDesajuste, estn dados por:

- Momento total de ajuste en el montaje

MAjuste = MtM + Mfr p.t

- Momento total de desajuste (aflojar) en el desmontaje

MDesajuste = MtD + Mfr p.t

Donde Mfp.t es el momento torsor necesario para vencer la friccin entre la tuerca y el elemento con el cual est en contacto (placa); o entre la placa y la cabeza del tornillo, segn dnde se aplique el torque con la llave.

Mf p.t = f FM Dfm t.p / 2

f : coeficiente de friccin entre la tuerca (o cabeza del tornillo) y la placa correspondiente. (Anexo 6).

Dcm : dimetro de contacto medio entre la tuerca (o cabeza del tornillo) y la placa correspondiente.

En los casos mostrados en la figura 14, el dimetro de contacto medio son:

Dcm = (d1 + dag) / 2

Figura 14

d 1 d 1

ag agD D



DIAGRAMAS FUERZA-DEFORMACIN Como se vi en la figura 6c la deformacin axial de los tubos es igual a (np ), mientras que la del tornillo es . Es decir la suma de ambas deformaciones es igual al avance de la tuerca sobre el tornillo al girar n vueltas. Y en las figuras 6d y 6e se observ que el tornillo y los tubos estn sometidos al mismo valor de fuerza, de compresin para los tubos y de traccin para el tornillo.

En la figura 15 se muestran los diagramas fuerza-deformacin para el tornillo y los tubos. Las pendientes de las lneas rectas inclinadas tienen el valor de la constante de rigidez de cada uno de estos elementos.

Figura 15

La constante de rigidez se define como

c = Fuerza / Deformacin

Empleando la ley de Hook para el caso de traccin de una barra slida de longitud L, seccin transversal A y mdulo de elasticidad E; la constante es: cbarra = F/ = E A / L. Si en lugar de una barra slida es un tubo cilndrico, el rea de la seccin transversal es A= (Dext2 Dint2)/4; es decir ctubo = E (Dext2 Dint2)/4L

En la figura 16 se muestran los mismos dos diagramas fuerza-deformacin, pero integrados en uno solo. A la izquierda est la lnea de comportamiento del tornillo y a la derecha la de los tubos.

Figura 16

DEFORMACIN

FFTRACCINCOMPRESINTORNILLO ATUBOS A

FUER

ZA

FUER

ZA

DEFORMACINTubo Tornillo

TRACCIN COMPRESINTORNILLO A TUBOS A

n p

TuboTornillo

F



En esta figura se observa, tal como se vio en las figuras 6 y 15, que la fuerza mxima tiene el mismo valor tanto para el tornillo (traccin) como para los dos tubos unidos (compresin). Esto porque se trata de la fuerza de equilibrio interna. Como se explic, la suma de las deformaciones del tornillo y de los tubos es igual al producto nP.

En una unin por lo general se unen placas, como la mostrada en la figura 17. La cual est compuesta por un tornillo de cabeza hexagonal, la tuerca respectiva y dos placas. Al girar la tuerca y ajustar la unin:

- las placas se comprimen localmente - el tornillo se tracciona.

En la misma figura se muestra el diagrama fuerza deformacin (integrado) de la unin. Las pendientes de las lneas corresponden a las constantes de rigidez del conjunto tornillo-tuerca (ct) y de las placas (cp). .

Figura 17

Al ajustar la unin, la fuerza de equilibrio interna entre los distintos elementos en contacto la denominaremos fuerza de ajuste en el montaje (FM).

UNIN ATORNILLADA SOMETIDA A FUERZA EXTERIOR Luego de ajustar la unin durante el montaje la mquina o estructura est lista para trabajar. As durante el trabajo se puede aplicar a la unin una fuerza exterior o carga de trabajo, tal como se muestra esquemticamente en la figura 18.

Figura 18

En este caso, como se puede apreciar, la fuerza exterior es de traccin; es decir tiende a separar las placas entre s. Esto originar que la fuerza de traccin en el tornillo aumente y que la fuerza de compresin en las placas disminuya. Es decir se alivia el estado de tensin de las placas, comparado con el estado en el momento del ajuste.

TRACCIN COMPRESINTORNILLO A PLACAS A

pt

FM

c ct p11

Fuerzaexterior

Fuerzaexterior



En la figura 19 se han reproducido las figuras 6a, 6b y 6c de la unin tornillo-tubos; la 6c corresponde al estado de montaje. Luego se aplica la fuerza exterior de trabajo; la cual origina un aumento de longitud (EXT) tanto del tornillo como del tubo. Es decir, aumenta la elongacin del tornillo y disminuye la compresin de los tubos.

Figura 19

Este aumento de la elongacin y disminucin de la compresin se aprecia en el diagrama fuerza-deformacin de la unin en la figura 20. La deformacin del tornillo aumenta a t + EXT), mientras que la de las placas disminuye a p Ext)

La fuerza exterior Fext se distribuye proporcionalmente entre las placas (Fext/p) y el tornillo (Fext/t); es decir Fext = Fext/t + Fext/p.

La fuerza en el tornillo aumenta a Ftor = FM + Fext/t y la fuerza entre placas disminuye a Fplac = FM Fext/p.

Figura 20

Trabajando con el diagrama de la figura 20, se puede deducir cmo se distribuye la fuerza exterior entre el tornillo y las placas; obtenindose las siguientes expresiones:

Fuerzaexterior

Fuerzaexterior

TRACCIN

COMPRESIN

TORNILLO A

PLACAS A

pt

FM

c ct p11

(Ext.)

F

FF

ext

/text

/p ext



Donde: - Fext : fuerza exterior de trabajo - Fext/t : componente de la fuerza exterior sobre el tornillo - Fext/p : componente de la fuerza exterior sobre las placas - : factor de distribucin de carga

Constante de rigidez del tornillo ct - Para el clculo de la constante de rigidez del tornillo se emplea la ley de Hook, como si fuera una barra de seccin variable, incluyendo el efecto de tuerca y cabeza del tornillo que tambin se deforman.

Figura 21

En la figura 22 se muestran dos casos. En ambos el tornillo es el mismo, pero en un caso se utiliza tuerca y en el otro el ajuste es con agujero roscado. En lugar de cabeza hexagonal podra tener cabeza cilndrica con hexgono interno (tipo socket, conocido como Allen).

Figura 22

extextpt

ttext FF

cc

cF =+

= /

( ) extextpt

ppext FF

cc

cF =

+= 1/

pt

t

cc

c

+=

1 2 3 2 4 5 - 6

5 - 642321

1 2 3 4 5 6

P P



Para proceder con el clculo se puede plantear un modelo matemtico formado por resortes en serie, uno por cada tramo del tornillo, como se aprecia en la parte inferior de la figura 22.

La deformacin total originada por la fuerza P, se obtiene sumando las deformaciones parciales de cada uno de ellos. Luego la constante de rigidez es el cociente entre la fuerza P y la deformacin total. O si se tiene la constante de rigidez de cada tramo, la constante de rigidez ct se obtiene con la conocida expresin para resortes en serie:

donde ci es la constante de rigidez del tramo i-simo (ver figura 22).

ci = E Ai / Li Ai = Di2 / 4

Ai : es el rea de la seccin transversal constante en toda la longitud Li Li : longitud del tramo correspondiente.

Los tramos son los siguientes:

Tramo Descripcin Deformacin 1 Cabeza del tornillo Se deforma parcialmente 2 Tramos de mayor dimetro Se deforman en toda su longitud 3 Tramos de dimetro reducido Se deforman en toda su longitud 4 Tramo roscado fuera de la tuerca o agujero

roscado Se deforma en toda su longitud

5 Tramo roscado en el interior de la tuerca Se deforma parcialmente 6 Filetes en contacto. Se deforman por flexin y

compresin

Las longitudes y dimetros recomendados para el clculo de las constantes de rigidez de cada uno de los tramos, segn la VDI 2230, se dan en la siguiente tabla.

(1) : longitud del tramo del dimetro correspondiente

La nomenclatura para los dimetros es: - d : dimetro nominal del tornillo - d2 : dimetro primitivo, de paso o de flanco del tornillo - d3 : dimetro de raz del tornillo - dr : dimetro del tramo con reduccin de rea

En adelante al mencionar VDI 2230, se entiende que se trata de la parte 1 de dicha norma, correspondiente a febrero del 2003. (VDI: Verein Deutscher Ingenieure; Sociedad de Ingenieros Alemanes).

Tramo Di Li Comentarios 1 d

0,5 d 0,4 d

Tornillo cabeza hexagonal Tornillo cabeza socket

2 d LII (1) 3 dr LIII (1) 4 d3 LIV (1) 5 d3 0,5 d 6 d

0,4 d 0,33 d

Unin con tuerca Unin con agujero roscado

=

=

n

i it cc 1

11



Constante de rigidez de las placas cp - Como se ha mencionado, al ajustar la unin las placas son sometidas a compresin localizada. Para poder calcular la constante de rigidez de las placas se debe estudiar primero la distribucin de este esfuerzo de compresin. En la figura 23 se muestra aproximadamente el lmite de la zona comprimida. ste tiene un perfil curvo que se puede simplificar en forma recta, resultando dos troncos de cono, con agujero central.

Figura 23

Para el clculo de la constante de rigidez de las placas cp se parte de la definicin cp = F/p, donde F es la fuerza de compresin y p la deformacin de las placas. Necesitamos para ello calcular la deformacin de los troncos de cono. Es decir:

Como se aprecia, la integral se realiza en todo el espesor de la placa Lp, siendo el rea de la seccin transversal variable. Cada uno de los troncos de cono pueden a su vez estar formados por tramos de distintos materiales, cada uno con su mdulo de elasticidad.

Para poder continuar con este clculo hay que diferenciar dos casos; la unin empernada, es decir con tornillo y tuerca (UTT) y la unin con agujero roscado (UAR)

En la figura 24 se muestran estos dos tipos. En el caso de la unin empernada UTT, los troncos de cono abarcan todo el espesor de las placas (entre la cabeza del tornillo y la tuerca) mientras que en la unin UAR los dos troncos de cono (lnea de trazos) se pueden remplazar por uno equivalente (lnea continua) en la placa de espesor Lp. Debe tenerse en cuenta que la influencia del agujero roscado (en la placa) ya se incluy en el clculo de de la constante de rigidez del tornillo.

Figura 24

En general, como se ha mencionado, la zona esforzada est limitada en forma simplificada por troncos de cono, pero se debe tener en cuenta que el tamao de la placa influye en la forma de la zona a compresin. En la figura 25 se muestra esta

dxAE

FpL

xxpp

=

0 )()(

L p Lp

UTT UAR



influencia para los dos tipos de unin mencionadas anteriormente (UTT y UAR), agrupados en tres condiciones:

a) placa angosta comparada con su espesor; la zona esforzada tiene forma cilndrica

b) placa ancha comparada con su espesor; la zona comprimida est formada por dos troncos de cono para la unin empernada UTT y un trono de cono para la unin UAR.

c) la placa no es muy ancha comparada con su espesor; la zona comprimida est formada por dos troncos de cono y un cilindro para la unin UTT y un tronco de cono y un cilindro para la unin UAR.

Figura 25

Clculo de la constante de rigidez de un cilindro y de un tronco de cono A continuacin se presenta el resultado del clculo de la deformacin y de la constante de rigidez de un cilindro y de un tronco de cono.

Para un cilindro

Figura 26

- D1 cil : dimetro exterior del cilindro - Dag : dimetro del agujero - Lcil : longitud del cilindro - Ecil : mdulo de elasticidad del material del cilindro

( )22104

agcil

cilL

cilcilcil DDE

LFdxAE

Fcil

=

= pi

( )cil

agcilcil L

DDEc

=

4

221pi

(a) (b) (c)

L p Lp

L p Lp

UTT UAR UTT UARUTT

F

L

D D

cil

ag1ci

l

F



Para un trono de cono

Figura 27

- D1 con : dimetro mnimo del cono - D2 con : dimetro mximo del cono - Dag : dimetro del agujero - Lcon : longitud del cono - Econ : mdulo de elasticidad del material del ccono

Constante de rigidez total de las placas Para determinar si se trata de zona cilndrica, de troncos de cono o una combinacin de estos. Nos guiaremos de los lineamientos presentados en la norma VDI 2230. Esta norma presenta tres casos, en funcin de la relacin entre las dimensiones d1, Dmx y Dext (ver figura 28)

- Caso 1. d1 Dext Se forma un cilindro de longitud Lp.

- Caso 2. Dext > Dmx Se forman:

- dos troncos de cono en la unin tipo tornillo tuerca (UTT) - un tronco de cono de longitud Lp en la unin agujero roscado (UAR)

- Caso 3. Dmx > Dext > d1 Se forman:

- dos troncos de cono y un cilindro en las uniones UTT - un tronco de cono y un cilindro en las uniones UAR.

=

Lcon

xcon

con AEdxF

0 )(

+

+

=

conL

agconagcon

agconagcon

agconcon DDDD

DDDDtgDE

F

0 )12

12

()(()(

lnpi

+

+

=

)()(((

ln12

)1)2

agconagcon

agconagcon

agconcon

DDDDDDDD

tgDEc

pi

F

D 1co

nL con

F

Dag

D2c

on



Figura 28

A continuacin en la figura 24; se puede observar cada uno de los tres casos, distinguiendo el tipo de unin (UTT o UAR).

Figura 29

Las dimensiones Dmx, Lp y estn relacionadas geomtricamente; y se deduce fcilmente que:

Dmx = d1 + Lp tg para unin con tornillo y tuerca (UTT) Dmx = d1 + 2 Lp tg para unin con agujero roscado (UAR)

- d1 : dimetro de la superficie de apoyo de la cabeza del tornillo (ver figura 30) - Dext : dimetro de una circunferencia igual al menor ancho de la placa - Lp : espesor de la placa sometida a compresin. En una unin UAR no se incluye

la placa con el agujero roscado - : semingulo del cono. El valor se da a continuacin.

La conicidad del tronco de cono de la zona esforzada a compresin est en funcin del espesor de las placas Lp, del dimetro de la zona de apoyo de la cabeza del tornillo d1 y del ancho de la placa Dext. Segn la norma VDI 2230 el semingulo (ver figura) est dado por las siguientes expresiones.

tg = 0,362 + 0,032 ln (L/2) + 0,153 ln para unin con tornillo y tuerca (UTT)

tg = 0,348 + 0,013 ln L + 0,193 ln para unin con agujero roscado (UAR)

donde L = Lp / d1 y = Dext / d1

d

DD

L

extmx

p

1

agD

Caso 1 Caso 2 Caso 3

L p Lp

L p Lp

UTT UAR UTT UARUTT



Segn la misma norma, se puede hacer un clculo aproximado de la constante de rigidez, con un error de alrededor 5%, asumiendo que tg = 0,6 es decir = 31. Los valores de L y estn en los rangos siguientes.

- L = 0,5 a 4 = 4 a 6 para uniones UTT - L = 4 a 6 = 2,5 a 4 para uniones UAR

En relacin al rea de contacto entre la cabeza del tornillo y la placa, en la figura 30 se muestra que el dimetro exterior d1 corresponde al dimetro de la circunferencia inscrita al hexgono en un caso y al dimetro real de la cabeza en otro.

Figura 30

La constante de rigidez total se calcula como si fueran varios elementos en serie, es decir la inversa de la constante de rigidez total de la(s) placa(s) ser la suma de las inversas de las constantes de rigidez de los distintos elementos; entendindose por elementos los troncos de cono y cilindros que se formen.

Ejemplo de clculo de constante de rigidez de placas: Calcular la constante de rigidez de las placas de acero (E = 2,1 x 105 N/mm2) de la unin mostrada en la figura 31. El tornillo es M16 x 110 y agujero pasante de 18 mm de dimetro.

Figura 31

=

=

n

i ip cc 1

11

d 1 d 1

ag agD D

80

5018

D mx

L

D =

18

cil

agD 1

con

L con

D =

50

ext

L con

pL = 80Caso 3



Para el tornillo M16 encontramos en tablas: - distancia entre caras del hexgono s = 24 mm; altura de cabeza del tornillo

k = 10 mm; espesor de la tuerca m = 15 mm

Hay que determinar el caso (1, 2 3) en que se encuentra esta configuracin. Para ello se necesitan conocer los valores de d1, Dmax, Dext, Lp

d1 = s = 24 mm _(de tablas) Dext. = 50 mm (dibujo de la unin) Lp = 80 mm (dibujo de la unin)

Dmx = d1 + Lp tg = 24 + 80 tg tg = 0,362 + 0,032 ln (L/2) + 0,153 ln L = Lp / d1 = 80 / 24 = 3,33 = Dext / d1 = 50 / 24 = 2,08 tg = 0,4904 ( = 26,12 ) Dmx = 63,23 mm

De donde, se concluye que: d1 = 24 mm < Dext.= 50 mm < Dmx = 63,23 mm.

Es decir se trata de un caso 3, lo que significa, que al ser una unin con tornillo y tuerca, se formarn dos troncos de cono y un cilindro.

Procedemos ahora a determinar las dimensiones del cilindro y de los conos. De acuerdo a la geometra de la unin, tg = (Dext d1) / (2 Lcon) de donde calculamos la longitud del tramo cnico Lcon. Para luego con este valor se obtiene la longitud del tramo cilndrico Lcil. Lcon = 26,51 mm Lcil = Lp - 2 Lcon = 26,98 mm

Remplazando en la expresin para el clculo de la constante de rigidez del cono: D1con = d1 = 24 mm D2con = Dext = 50 mm Lcon = 26,51 mm Dag = 18 mm

ccon = 4 885 010 N/mm

De manera similar para el clculo de la constante de rigidez del cilindro:

D1cil = Dext = 50 mm Dag = 18 mm Lcil = 26,98 mm ccil = 13 302 281 N/mm

Como son dos troncos de cono y un cilindro:

cp = 2 063 597 N/mm

concilconp cccc

1111++=



Ejercicio propuesto: Calcular la rigidez del tornillo de acero M12 de la figura 32. El agujero pasante es serie fina segn DIN69.

Figura 32

Introduccin a la solucin: para este clculo identificamos cada uno de los tramos que tienen caractersticas geomtricas distintas; as podemos empezar desde el extremo izquierdo con la cabeza del tornillo, luego un tramo cilndrico de 12 mm de dimetro y 10 de longitud y continuamos hasta llegar a la tuerca, pasando previamente por el tramo roscado de 10 mm de longitud.

El tornillo equivale a siete resortes en serie, estando el ltimo formado a su vez por dos efectos.

Se calculan las constantes de rigidez de cada uno de los siete resortes y finalmente se calcula la constante de rigidez total

Ejercicio propuesto: Calcular la constante de rigidez total de las placas de la unin atornillada mostrada en la figura 33. Son dos placas de hierro fundido (E F Fdo = 0,9 x 105 N/mm2), y una empaquetadura metlica (Eemp = 0,76 x 105 N/mm2) de 3 milmetros de espesor. El tornillo es M10 y el agujero pasante es serie media segn DIN69.

Comentarios a la solucin: observamos que se trata del caso 2; es decir se formarn dos troncos de cono. Identificamos primero los conos que se forman debido a que el material no es el mismo en todo el espesor de las placas (Lp = 33 mm). Luego de calcular los dimetros y longitudes (ver figura), calculamos las constantes de rigidez de cada uno de los cuatro conos, para finalmente realizar el clculo de la constante de rigidez total.

=

=

7

1

11i it cc

10 30 10 15 25

45 30

12 8

12

F F1 2 3 4 5 6 7

8



Figura 33

AJUSTE DE UNA UNIN - INCERTIDUMBRE Una unin atornillada se ajusta en funcin del trabajo a realizar. El ajuste puede ser tal que el conjunto simplemente se mantenga unido, es decir que la fuerza de ajuste en el montaje no requiera de un valor en particular. Hay otras situaciones en que se requiere una pretensin o ajuste mnimo con el fin de lograr una fuerza mnima entre placas; por ejemplo para tener hermeticidad entre la tapa y el recipiente a presin o para generar una fuerza de friccin que impida el movimiento relativo entre ambas.

Factor de ajuste (A) En los casos que se desea que la unin tenga una fuerza entre placas no menor a un valor determinado (FM min), durante el montaje se tendr que ajustar a un valor mayor; es decir FM > FM mn. Esto debido a la incertidumbres existentes; a mayor incertidumbre, mayor deber ser la fuerza de montaje FM comparada con la fuerza de montaje mnima FM mn .

Para cubrir esta incertidumbre, en los clculos se utiliza el denominado factor de ajuste A . Para ello mencionaremos una fuerza de montaje mnima (FM min) y una fuerza de montaje mxima (FM mx). La relacin entre ambos valores ser justamente el factor de ajuste, definido por:

(Valores de A en el anexo 2)

=

=

4

1

11i iconop cc

10 203

d1

1 23 4

10,03,0 3,5

16,5

d 1D m

x

mnM

mxMA F

F=



Si no hubiera ningn tipo de incertidumbre ya sea durante el montaje, durante el trabajo de la unin o en los parmetros fsicos involucrados, la unin se ajustara al valor terico requerido; es decir A = 1, lo que sera lo mismo a tener FM mx = FM mn = FM.

En la figura 34 se muestra el diagrama fuerza-deformacin de la unin con sus dos valores lmites para la fuerza de montaje: el mnimo FM mn y el mximo FM mx.

Figura 34

Asentamiento (as) Con el fin de tener la fuerza de pretensin FM dentro del rango deseado, es importante incluir en el clculo el efecto del asentamiento superficial, el cual es causado por las fuerzas de montaje y de trabajo exterior. stas comprimen las superficies en contacto entre s, originando que las crestas de la superficie ocupen parcialmente el espacio entre valles. Esto trae como consecuencia que disminuya la fuerza de ajuste entre placas.

El asentamiento se producir en todos los pares de superficies en contacto y ser distinto segn estn sometidas a fuerzas normales o de corte. El valor del asentamiento total as es la suma de los asentamientos parciales; es decir a los producidos en los pares de elementos: cabeza del tornillo-placa, placa-placa, placa-arandela, arandela-tuerca, filetes del tornillo-filetes de tuerca o filetes del tornillo-filetes de placa.

En resumen el valor del asentamiento (as) depende del tipo de carga, cantidad de superficies y de la magnitud de la rugosidad entre las superficies en contacto. Los valores de la tabla del anexo 3 se pueden utilizar mientras no se tengan datos experimentales.

Es importante tener en cuenta que la presin entre las superficies en contacto no debe ser mayor a la presin admisible, en caso contrario el asentamiento sera mucho mayor que los valores mostrados. En la figura 35 se muestra la prdida de la fuerza Fas entre placas originada por el asentamiento superficial.

Con la informacin de esta figura se deduce que la relacin entre la fuerza de asentamiento Fas y el valor asentamiento as est dado por:

c ct p11

FM mx

COMPRESINPLACAS A

FM mnTRACCINTORNILLO A

as

pt

tpas

cc

ccF

+

=



Figura 35

Ejemplo de determinacin del asentamiento: Calcular el asentamiento de una unin con agujero roscado, compuesta de un tornillo de cabeza hexagonal y dos placas. Acabado superficial promedio es 55 m. Carga externa perpendicular al eje del tornillo. De acuerdo a la tabla del anexo 3: cabeza con placa 2,5; placa con placa 3,5; hilos tornillo-agujero roscado 3,0. as = 2,5 + 3,5 + 3,0 = 9,0 m = 9,0 x 10-3 mm

Diagrama fuerza deformacin de una unin Debido a la incertidumbre en el momento del ajuste de la unin, el valor de la fuerza de montaje FM estar entre los valores mnimo (FM mn) y mximo (FM mx). Si luego se aplica una carga exterior Fext (en este caso de traccin) como se mencion anteriormente, sta se distribuir entre el tornillo (Fext/t) y las placas (Fext/p), en proporciones y (1- ), respectivamente.

(a) (b) Figura 36

En la figura 36 (a) se ha graficado la situacin en la cual el tornillo est sometido a una fuerza mxima (Fmx/t). Esto resulta de la fuerza de montaje mxima (FM mx) y sin asentamiento.

TORN

ILLO

A TR

ACCI

N PLACAS A

COMPRESIN

as pas t

as pas tas = +

MF

ajust

eF

asF

c ct p11

FM mn

FM mx

F ext

F ext

/te

xt/p

F

F mx

/t

F as

F ext

F ext

/te

xt/p

F

FM mn

FM mx

Tornillo a traccin Placas a compresin Tornillo a traccin Placas a compresin

F res



En la figura 36 (b) se muestra la situacin en la cual la fuerza entre placas llega a ser mnima, valor denominado residual (Fres). Esto resulta de la fuerza de montaje mnima (FM mn) y de considerar el asentamiento.

La fuerza de compresin entre las placas disminuye desde FM mn hasta el valor Fres, luego del asentamiento y de aplicar la carga exterior (Fext).

Es til recordar ahora algunas de de las expresiones presentadas anteriormente.

- Fuerza exterior sobre el tornillo

- Fuerza exterior sobre las placas

- Factor de distribucin de carga

- Factor de carga

- Fuerza perdida por el asentamiento

ESFUERZOS Y VERIFICACIN POR RESISTENCIA Se debe analizar cada elemento en la peor condicin que se pudiera presentar, es decir en su situacin crtica. Se deben tener en cuenta las solicitaciones sobre los distintos elementos involucrados durante el montaje y durante el trabajo. As:

a) durante el montaje, se ajusta la unin aplicando un torque sobre la tuerca (o cabeza del tornillo), es decir el tornillo es sometido a momento torsor. Las superficies se van asentando; b) durante la operacin o trabajo de la unin, se somete a sta a una fuerza de trabajo exterior de traccin o de compresin, esttica o variable en el tiempo. Las superficies pueden continuar asentndose. El tornillo permanece sometido a un momento de torsin, menor al alcanzado durante el ajuste en el montaje, porque la friccin no deja que recupere su forma original.

Esfuerzos en el tornillo durante el montaje Sobre el tornillo actan la fuerza de montaje FM y el torque de montaje MtM

correspondiente, originando un esfuerzo axial de traccin y un esfuerzo de cizallamiento por torsin, ambos estticos.

El caso crtico se da con FM = FM mx

extextpt

ttext FF

cc

cF =+

= /

( ) extextpt

ppext FF

cc

cF =

+= 1/

pt

t

cc

c

+=

mnM

mxMA F

F=

as

pt

tpas

cc

ccF

+

=

textMtmx FFF mx // +=

pextasmnMres FFFF /=



M = FM / Ao con Ao = do2 / 4 tM = MtM / Wp con Wp = do3 / 16

Donde do en situaciones normales es igual al dimetro resistente ds del tornillo. Pero en caso de haber un dimetro menor se deber utilizar ste.

El rea resistente es una seccin transversal al tornillo, como la obtenida por el plano de corte A-A en la figura 37. Tiene forma ovalada.

Figura 37

El rea de esta seccin es aproximadamente igual al rea de un crculo de dimetro ds, tal que

ds = (d2 + d3) / 2

d2 : dimetro de paso del tornillo d3 : dimetro de raiz o de fondo

Con estos dos esfuerzos, se calcula el esfuerzo equivalente. Y se debe cumplir:

3 donde el factor = 0,9 (VDI 2230)

Esfuerzos en el tornillo durante el trabajo con carga exterior esttica. Finalizado el montaje y retirada la llave con la cual se aplic el torque de ajuste, se aplica la carga exterior sobre la unin. Sobre el tornillo actan la fuerza de montaje FM, la componente de la fuerza exterior de trabajo Fext/t y un torque residual del montaje kMtM donde el factor k se le da el valor de 0,5. Este factor est recomendado en la norma VDI 2230, asumiendo que el momento torsor en el tornillo, despus del montaje, disminuye un 50%.

Estas solicitaciones originan esfuerzo axial y el esfuerzo de cizallamiento por torsin, ambos estticos:

max/t = Fmax/t / Ao t.trab = k t.M donde k= 0,5

Calculado el esfuerzo equivalente, se debe cumplir que

3.



Esfuerzo de aplastamiento en las superficies en contacto Se deben analizar los elementos a compresin, en la superficie de contacto con otro elemento. Por ejemplo la tuerca o la cabeza del tornillo con la placa. El rea de contacto se calcula segn la geometra de cada caso, a manera de gua se presentan los casos de la figura 30.

(figura 30)

La presin de contacto ser

p = Fc / Ac

Ac = (d12 dag2) / 4

Se debe cumplir p = Fc / Ac pAdm

La fuerza de contacto Fc es la fuerza de compresin entre elementos. Se deber tomar, como se ha mencionado el caso crtico; es decir el mximo valor que pudiera presentarse, ya sea durante el montaje o durante la operacin.

Se debe tener presente que si la presin es mayor a la presin admisible podra originarse deformaciones permanentes que traeran como consecuencia la reduccin de la fuerza de ajuste.

Verificacin del tornillo sometido a esfuerzo variable. La fuerza exterior sobre la unin puede ser constante o fluctuante en el tiempo. En la figura 38 se muestra el diagrama fuerza-deformacin de la unin con una fuerza exterior fluctuante.

Las componentes de las fuerzas exteriores sobre el tornillo y las placas tienen la misma fluctuacin con magnitudes distintas. Para cada instante en el tiempo se aplican las expresiones presentadas anteriormente:

Fext/t = (ct / (ct + cp)) Fext y Fext/p = (cp / (ct + cp)) Fext

En la verificacin de los tornillos a fatiga segn la VDI 2230 se debe cumplir que

FS = A / a/t FSR

FSR = 1,2

A : lmite a la fatiga que incluye los coeficientes de fatiga en el tornillo a/t : componente alternante sobre el tornillo FSR : factor de seguridad recomendado a la fatiga

d 1 d 1

ag agD D



Figura 38

La componente alternante sobre el tornillo se calcula

a/t = (Fext/t s Fext/t i) / (2 As )

El valor de la resistencia A se puede calcular con las siguientes expresiones. Estas son vlidas si se cumple el siguiente rango:

Donde

Expresiones para calcular los valores de la resistencia a la fatiga A en N/mm2:

a) Tornillo laminado antes del tratamiento trmico

13,02,0

Calculo de Uniones Atornilladas

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