calculex 1.5
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Por tanto, queda demostrada la desigualdad de Minkowski
Nota Obsérvese un caso particular importante ocurre de la desigualdad de Hólder. Para
obtenemos la desigualdad de Cauchy – Schwarz.
Ejemplo Si y son continuas en demostramos que
Demostración El problema queda resuelto si sustituimos en la desigualdad de Minkwshi, sin
embargo, usaremos la desigualdad de Cauchy - Schwars para demostrarlo. En efecto
Haciendo uso de la desigualdad de Cuchy- Sechwar obtenemos
En consecuencia:
2.11 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
En esta sección veremos la estima exoneración existente entre derivadas e integrales definidas. Esta conexión se establece en un teorema que se denomina apropiadamente el teorema fundamenta del cálculo (consta de dos partes), y nos dice aproximadamente que la derivación y la integración son operadores inversas.
La primera parte (TFC.1) implica, al menos en teoría, que toda función continua tiene una antiderivada o es la derivada de alguna función. Más concretamente, dice el ritmo al que cambia una integral definida cuando el intervalo de integración cambia.
La segunda parte (TFC.2) proporciona un instrumento para valores muchas integrales definidas sin
recurrir a sumas Remannianas. Nos dice que para calcular , bata con hallar una antiderivada
de en .
TEOREMA 2.26 : Teorema fundamental del cálculo
Si es una función continua definida en
Parte 1. Si la función está definida en por
(2.20)
Entonces es una antiderivada de . Es decir,
Parte 2. Si es cualquier antiderivada de en , entonces
(.21)
Demostración de la parte 1
1. Fijemos un número tal que y probaremos que
2. En efecto , por hipótesis:
y
3. Luego,
4. Por la propiedad de la unión de intervalos
5. Entonces en el paso (3):
6. Por el teorema del valor medio para integrales, por cada número no nulo tal que
, existe un número m entre y tal que:
7. Como es continua en , estará arbitrariamente próximo a si está
suficientemente próximo a . Por lo que, en (5)
O bien:
Por lo tanto, la función definida por la ecuación (2) es una realidad una antiderivada de
Demostración de la parte 2
1. En efecto, por hipótesis es cualquier antiderivada de y como la función , de la parte
1, es también una antiderivada de , ambas defieren en una constante , esto es
2. Para obtener . sustituimos , entonces
3. Dado que
4. Por lo que, en el paso 1:
5. Con , esto da:
Como la variable es muda, sustituimos por para obtener
TEOREMA 2.27: Consecuencias del teorema fundamental
Parte 1. Si es una función continua en y es una función
diferenciable en , entonces
(2.22)
Parte 2. Si es una función continua en , y son funciones diferenciable en ,
entonces
(2.21)
Parte 3. Si es una función continua en , es una función diferenciable en , y es
continua en , entonces
(2.24)
Demostración de la parte 1
1. Sea la función definida como , en la que por hipótesis, es
continua en .
2. Entonces:
Como es una función diferenciable en , derivamos ambos miembros de esta
ecuación para obtener
(Regla de la cadena)
3. Pero por (1), es una antiderivada de , entonces , luego, en el Paso (2)
Demostración de la parte 2
1. Sea el número , tal que , entonces por el teorema 2.16 (propiedad de la unión
de intervalos)
2. Como y son diferenciales, entonces
(parte 1)
Demostración de la parte 3
1. Sea una antiderivada de , por lo que . Entonces por la regla de la cadena
2. Como y son integrables (por hipótesis, ambas son continuas), entonces integrando ambos
miembros de esta ecuación, de a hasta , obtenemos:
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Ejemplos 1 Hallar la derivada de las siguientes funciones
a) b)
c) d)
Solucióna) Según la parte 1 del teorema fundamental del cálculo se tiene
b) En este caso aplicamos la regla del producto para derivados, esto es, si
c) Como el límite superior de la integral es una función de , aplicamos la parte 1 del teorema 2.27, esto es, sí
Obsérvese que es real ó y como , si y
, si , entonces
d) En este caso ambos límites de la integral son funciones de , por lo que usaremos la parte 2 del teorema 2.27. esta es, sí
Ejemplo 2 Si es una función continua que satisface la fórmula
; hállese f (12)
Solución Como es derivable , usaremos el teorema 2.27 para derivar ambos miembros de la
ecuación dada.
Haciendo , se tiene:
Por lo tanto, para
Ejemplo 3 Si . Hallar los valores de a de modo que
Solución Derivando ambos miembros de la fórmula dada se tiene
(1)
Si sustituyendo en (1) obtenemos
De donde:
Ejemplo 4 Halle , si es continua y satisface la fórmula
Solución Derivamos ambos miembros de la fórmula dada y obtenemos
(T.2.27)
Sea luego
Integrando cada extremo de esta ecuación diferencial resulta
Entonces, para se tiene:
Por lo tanto, existen dos soluciones:
Ejemplo 5 Si , hállese
Solución Derivando ambos extremos de la ecuación dada se tiene
Dividimos el numerador y denominador entre y nos queda
Por lo tanto:
Ejemplo 6 Si es una función continua, demostrando que
Demostración
1. En efecto, sea la función
2. Como es una función diferenciable, entonces por el T.2.26, tendremos
3. Una antiderivada para es:
4. En (1) para :
En (2) para :
5. Por lo tanto:
Ejemplo 7 Si y
Donde , calcular
Solución Sea , una función derivable, entonces por el T.2.27 se
tiene:
Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecuación obtenemos
Luego, si
Por lo que,
Ahora, si (Def. 2.9)
Por lo tanto:
Ejemplo 8 Si , una función derivada tal que:
i)
ii)
Sí x>0; demostrar que:
Demostración Dado que es una función derivable , también lo es la función g, por lo que:
1.
2. Por la hipótesis:
3. En el particular, para
4. Luego, en (1):
5. Por la Hipótesis :
6. Finalmente, integrando ambos miembros de esta ecuación tenemos:
Ejemplo 9 El siguiente ejemplo es una aplicación del teorema fundamental del cálculo, parte 2.
Recuérdese que si la derivada de la función es continúa en el intervalo , el teorema
de evaluación (fórmula 2.21) con y en lugar de y respectivamente,
producto:
Ejemplo 10 Calcúlese las siguientes integrales definidas
a) b)
c) d)
Solución
a) La función es continua luego, la antiderivada más general de esta
función es
Por tanto:
b) Si , entonces:
c) Sea , que es continua
Entonces:
d)
Ejemplo 11 Sea una función con derivada continua en tal que y . Si
es una partición de , hallar el valor de
Solución Ordenamos convenientemente los términos de la sumatoria y obtenemos:
Cuando , entonces, y , luego por el teorema 2.10
(existencia de la integral definida)
Como y
El siguiente ejemplo trata de como evaluar integrales definidas que contienen integrados con valor absoluto. En cada caso se debe aplicar su definición para tener los intervalos donde el módulo es positivo o negativo, (expresión dentro de las barras de valor absoluto)
Ejemplo 12 Evaluar las siguientes integrales definidas.
a) c)
b) d)
Solución
a) Si
El módulo es positivo en el intervalo
Si
El módulo es negativo en el intervalo
En consecuencia:
b) Si
Luego
c) En este caso usaremos el método de los puntos críticos escribiendo
Ubicamos los puntos críticos y es una escala real y determinamos el signo de cada
intervalo originado por estos números, esto es
Al interceptar estos intervalos con el intervalo de integración , vemos que el modulo es positivo en
y y negativo en luego:
d) En este ejemplo los números críticos son y , entonces:
En la escala real vemos que el módulo es negativo en y positiva en . Por lo que:
Ejemplo 13 Evaluar la integral
Solución Si
1. Si
Como