CACAPPIITTUULLOO 44 PRRO OYYE ECCTTOO EDDEE ...

Versión 2014

UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan

CCAAPPIITTUULLOO 44

PPRROOYYEECCTTOO DDEE EELLEEMMEENNTTOOSS DDEE SSUUJJEECCIIÓÓNN,, AANNCCLLAAJJEE

YY CCIIEERRRREE

División 2

Mecánica de Tornillos

Tornillos de transmisión

Tornillo de ajuste y sujeción

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1. Introducción

En esta División del Capítulo 4 se verá la forma de calcular, dimensionar o verificar tornillos

de potencia, es decir para transmisión de movimiento o bien para transmisión de fuerza. Se

efectuará una descripción de las partes componentes de los tornillos con sus diversas clases y

usos. Se analizará la mecánica de tornillos de cierre o de ajuste.

2. Descripción general

Terminología, clasificación y denominación de las roscas.

Todos los elementos de máquina tienen denominaciones específicas de cada una de sus partes

que pueden variar según la jerga o argot de un grupo de profesionales o técnicos dentro de un

país particular. La terminología de los elementos roscados no va en zaga. Así pues en la

Figura 4.20 se puede observar los parámetros más importantes para definir y especificar una

rosca de un tornillo.

Figura 4.20. Parámetros empleados para definir una rosca

Todo tornillo se caracteriza por los siguientes parámetros:

1) PASO

2) FORMA DEL FILETE

3) ANGULO DE LA ROSCA

4) AVANCE

5) SENTIDO DE GIRO

1) PASO.

Se denomina paso a la distancia existente entre dos dientes consecutivos medido entre puntos

homónimos sobre el diámetro mayor o diámetro de cresta (ver Figura 4.20). El paso “p” es un

parámetro importante en la identificación de un tornillo. Un parámetro alterno al paso es la

cantidad de roscas por pulgada “n”. El paso y el número de roscas están relacionados por:

n

1p (4.32)

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2) FORMA DEL FILETE

La forma del filete puede ser variada dependiendo del tipo de uso que tenga el tornillo,

pudiendo ser triangular, redonda, cuadrada, trapecial, diente de sierra, entre otras. En la Figura

4.21 se apreciar algunos ejemplos. Las roscas de tipo triangular son las más comúnmente

usadas, las roscas cuadradas se emplean como medio para transmitir movimiento en husillos

de máquinas herramientas y/o dispositivos de elevación, tal como se ve en Figura 4.22.a. Las

roscas circulares y circulares truncadas se emplean en husillos de transmisión de movimiento

que tienen bolillas esféricas para garantizar continuidad de desplazamiento en ambos sentidos

del husillo como en la Figura 4.22.b

Figura 4.21. Formas de los filetes de una rosca

(a) (b)

Figura 4.22. Ejemplos de aplicaciones de roscas. (a) cuadrada (b) circular y circular truncada

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3) ANGULO DE LA ROSCA

En la Figura 4.21 se pueden ver algunos ángulos característicos para las roscas trapeciales

ACME o las “diente de sierra”. Sin embargo las roscas de filete triangular son las que se

discriminan con mayor asiduidad en términos del ángulo de rosca. Así pues, cuando el ángulo

de rosca es de 60°, el tipo de rosca corresponde a la identificación unificada o UN, también es

el ángulo de la rosca denominada METRICA. Las roscas denominadas WHITWORT tienen

un ángulo de 55°. Las roscas triangulares suelen presentar truncamientos en la raíz y en la

cresta, para evitar problemas de rotura y optimizar su capacidad de roscado. En la Figura 4.23

se muestra una serie de relaciones para las roscas UN y M. Nótese que todos los parámetros

geométricos están en función del paso p y de la máxima altura que se obtendría si no

estuvieran los truncamientos, y aún esta última puede obtenerse de la Figura 4.23 como

función del paso, es decir:

2Tan2

pht

/. con = 60° (4.33)

Figura 4.23. Detalles de las roscas UN y Métrica.

4) AVANCE

El avance es la distancia longitudinal que avanza un punto de un diente en un giro del tornillo.

En la Figura 4.24 se pueden apreciar tres tipos distintos de avances y de acuerdo a que la

rosca sea de dos o tres entradas, el avance será dos o tres veces mayor al correspondiente a

una rosca de una entrada.

Figura 4.24. Avance de una rosca

5) SENTIDO DE GIRO

El sentido de giro puede ser simplemente dextrógiro o levógiro, en tanto que el tornillo gire en

sentido horario o antihorario cuando es introducido en una tuerca fija.

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Nomenclatura

Para identificar la rosca de un tornillo de dientes triangulares se suelen emplear los siguientes

tópicos

1) Calidad

1.a) C: Roscas de paso grueso

1.b) F: Roscas de paso fino

1.c) EF: Roscas de paso extra fino

2) El diámetro de cresta o diámetro mayor

3) Clase de Ajuste para rosca en pulgadas

3.a) 1: Ajuste Suelto

3.b) 2: Ajuste Normal

3.c) 3: Ajuste Apretado

4) Ubicación de la Rosca en pulgadas

4.a) A: Rosca Externa

4.b) B: Rosca Interna

5) Especificaciones adicionales del ajuste para métrica

5.a) Rosca Externa

5.a.1) e: ajuste más suelto y holgura más amplia

5.a.2) f: ajuste normal y holgura normal

5.a.3) g: ajuste muy poco suelto y holgura pequeña

5.a.4) h: ajuste perfecto y holgura cero

5.b) Rosca Interna

5.b.1) G: ajuste más suelto y holgura más amplia

5.b.2) H: ajuste perfecto y holgura cero

6) Clase de ajuste para rosca métrica

6.a) 3-9: 9 es el más suelto y 3 el más apretado.

En la Tabla 4.9 se exponen las clasificaciones de roscas equivalentes en las series de pulgadas

y métricas (o en milímetros). Si bien en la Tabla 4.9 no se indican todas las posibles

equivalencias, se da una idea del orden de funcionamiento de los dos sistemas. En la Figura

4.25 se muestra una forma de como identificar la nomenclatura de estas roscas.

Series en Pulgadas Series métricas

Rosca externa Rosca Interna Rosca externa Rosca Interna

1 A 1 B 8 g 7 H

2 A 2 B 6 g 6 H

3 A 3 B 8 h 5 H

Tabla 4.9. Clasificaciones equivalentes de roscas en pulgadas y en milímetros

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Figura 4.25. Nomenclatura de una rosca UN o M

3. Tornillos de transmisión

Descripción y generalidades

Los tornillos de transmisión son mecanismos o dispositivos que transforman movimiento

giratorio en movimiento rectilíneo con el fin de transmitir fuerza o potencia mecánica. Los

tornillos de transmisión tienen una serie de usos como los siguientes:

a) Para la obtención de ventajas mecánicas en el levantamiento de pesos, como por

ejemplo los tornillos para elevar autos (Figura 4.22.a)

b) Para ejercer fuerzas muy grandes como por ejemplo en máquinas para compactar

residuos o en prensas.

c) Para obtener el posicionamiento preciso de una torreta de maquinado en un torno o

fresadora por control numérico computado (Figura 4.22.b)

En estas aplicaciones se emplea un par de torsión en los extremos de los tornillos para poder

transmitir a la carga el movimiento lineal inducido por la rotación del tornillo. El tipo de rosca

de perfil trapecial ACME es uno de los más frecuentes en los tornillos de transmisión. Para

calcular (verificar o dimensionar) el tornillo se suelen argumentar dos hipótesis, una a

tracción-compresión del núcleo del tornillo y otra a torsión del mismo. Tanto para una u otra

hipótesis se contabilizan áreas restringidas para poder emplear las expresiones de resistencia

típicas de tracción y torsión. En la (4.34) se tienen las expresiones más conservadoras para

calcular la tensión tractiva y la tensión cortante por torsión:

2

rd

P4

,

3

rd

T16

(4.34)

donde dr es el diámetro de la circunferencia de raíz del tornillo. En la (4.35) se pueden

apreciar algunas formas para calcular los diámetros primitivo y de raíz de roscas ACME

Rosca UN: n6495190dd cp /. , n2990381dd cr /. (4.35)

Rosca ISO o Métrica: p6495190dd cp . , p2268691dd cr .

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Nótese que las roscas UN se suelen disponer en función del número de filetes por pulgada. En

cambio para las roscas métricas o ISO se suele emplear el paso. Aun así recuérdese la utilidad

de la expresión (4.32).

Calculo de Fuerzas actuantes y pares de torsión

Para obtener las fuerzas impulsoras o los pares de torsión de un tornillo de transmisión se

puede apreciar la Figura 4.26, donde se puede apreciar la carga que se debe elevar o trasladar.

El tornillo se apoya en un collarín de fricción que soporta la carga y produce un par de

fricción. El collarín tiene un diámetro externo De y uno interno Di. La fuerza de ficción se

puede suponer de varias formas, algunos autores (Referencias [1]-[4]) consideran que actúa en

una circunferencia de radio re equidistante a De y a Di. En la deducción que aquí se ofrece se

presentará una hipótesis más general suponiendo que la fuerza de fricción actúa en toda la

superficie de contacto. Por otro lado se supone que la carga W se distribuye sobre el diámetro

de paso dp de la rosca.

Figura 4.26. características de un tornillo de transmisión

El tornillo de transmisión posee una rosca genérica trapezoidal de ángulo (el cual puede

anularse y conducir a una rosca cuadrada) y un ángulo de hélice . El ángulo de hélice está

relacionado con el avance del tornillo según la siguiente expresión:

pd

pmArcTan

.

.

(4.36)

Siendo dp el diámetro de paso, p el paso y m el número de entradas del tornillo. La distancia

axial recorrida en No vueltas de tornillo se calculará como:

pmNL oAxial . (4.37)

En la Figura 4.27 se puede observar la distribución de las fuerzas actuantes sobre la superficie

de un punto del tornillo, con sus proyecciones en los planos longitudinal y tangencial.

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Figura 4.27. Distribución de fuerzas en el filete de un tornillo y su descomposición vectorial (descenso de carga)

Figura 4.28. Diagramas de cuerpo libre para descenso y elevación

Existen dos posibles casos de transmisión. El primer caso corresponde al descenso de una

carga W, cuya distribución de cargas y diagrama de cuerpo libre se muestra en la Figura 4.27.

El segundo caso corresponde a la elevación de una carga. En ambos casos se debe determinar

la fuerza P, con la cual generar el momento torsor TT que venza la fricción del collarín y la

resistencia de fricción de la carga W en los filetes del tornillo.

Caso 1: Descenso de carga

Tal como se ve en la Figura 4.27 y Figura 4.28 se puede establecer el equilibrio de fuerzas en

el plano tangencial según:

0TTTM

0CosCosPSenPWF

0PCosPSenCosPF

CRTtorsores

nnnRverticales

nRnneshorizontal

(4.38)

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en la cual Pn es la carga normal al perfil del filete del tornillo, R y C son los coeficientes de

fricción de la rosca y del collarín, P es la carga a aplicar para generar el momento torsor TR de

la rosca que junto con el momento torsor de fricción del collarín TC permiten obtener el

momento torsor total TT.

Así pues del equilibrio de momentos, queda claro que el momento total es la suma de los

momentos en el collarín y en la rosca. Ahora, del equilibrio vertical se puede obtener la

expresión para Pn:

SenCosCos

WP

Rn

n

(4.39)

De la ecuación de equilibrio horizontal se tiene P, y teniendo en cuenta (4.39) se obtiene:

TanCos

TanCosW

SenCosCos

SenCosCosWP

Rn

nR

Rn

nR

(4.40)

Ahora bien los momentos torsores en las roscas y en el collarín vendrán dados por

TanCos

TanCos

2

dW

2

dPT

Rn

nRpp

R

. (4.41)

eCC rWT (4.42)

Así pues el momento torsor total viene dado por (Ver Figura 4.28 para comprender el signo):

eC

Rn

nRp

CRT rWTanCos

TanCos

2

dWTTT

. (4.43)

Siendo re el radio desde el eje del tornillo donde se reduce la acción de la fuerza de fricción.

Este radio suele considerarse como el diámetro medio sobre la superficie del collarín (ver

Figura 4.26), es decir

2

DDr ie

e

(4.44)

Sin embargo, una forma más general para encarar la fricción en la superficie del collarín se

puede implementar suponiendo que todo el peso esta distribuido uniformemente. Así pues la

fuerza de fricción en un área elemental del collarín viene dada por:

rdrdDD

W4dA

DD

W4dF

2

i

2

e

CC2

i

2

e

CC

..

(4.45)

siendo dAC el área diferencial del collarín y el momento de fricción viene dado por:

2

i

2

e

3

i

3

e

C

2eD

2iD

2

2

0

2

i

2

e

C

CA

C

CA

CCDD3

DDWdrrd

DD

W4rdFdTT .

./

/

(4.46)

Comparando (4.42) y (4.46) se puede colegir que re debería ser:

2

i

2

e

3

i

3

e

eDD3

DDr

(4.47)

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Comparando ahora (4.47) y (4.44) se aprecia una discrepancia que puede llegar a ser muy

grande. En la Figura 4.29 se muestra la variación de ambos casos en función de la relación de

diámetros.

Figura 4.29. Variación de re en función de los diámetros (De=1)

Si bien la expresión (4.46) es más precisa frente a la (4.42) empleando (4.44) se debe tener

presente que la última da un momento torsor mucho mayor, el cual daría por resultado final la

selección de un motor más potente para generar la transmisión.

Por otro lado como la (4.43) se halla en función de qn, este se puede despejar observando el

paralelepípedo de la Figura 4.27 como:

2TanCosArcTan2TanCosCosSen nnn // (4.48)

Así pues se reemplaza (4.48) en (4.43) y se obtiene la expresión del momento torsor en

función de parámetros conocidos.

Caso 2: Elevación de carga

Tal como se ve en la Figura 4.27 y Figura 4.28 se puede establecer el equilibrio de fuerzas en

el plano tangencial según:

0TTTM

0CosCosPSenPWF

0PCosPSenCosPF

CRTtorsores

nnnRverticales

nRnneshorizontal

(4.49)

Empleando un procedimiento similar al caso anterior se puede hallar la carga Pn, P y en

definitiva el momento torsor de elevación como:

SenCosCos

WP

Rn

n

(4.50)

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TanCos

TanCosW

SenCosCos

SenCosCosWP

Rn

nR

Rn

nR

(4.51)

eC

Rn

nRp

CRT rWTanCos

TanCos

2

dWTTT

. (4.52)

Potencia y eficiencia mecánica

Establecido el momento torsor se puede obtener la potencia que transfiere el tornillo

empleando la siguiente expresión:

TP TH (4.53)

siendo w la velocidad de rotación circular (es decir medida en [rad/seg]).

Por otro lado la eficiencia mecánica de un tornillo de transmisión se define como la relación

de trabajo mecánico a la salida del tornillo respecto al trabajo en la entrada del tornillo. Esto

significa:

T

a

fT2

LW

EntradadeTrabajo

SalidadeTrabajoe

.

.

__

__

(4.54)

Siendo La el avance del tornillo.

Condición de Autobloqueo.

Si el ángulo de hélice de la rosca es muy pronunciado (esto significa gran avance), es posible

que la fuerza de fricción de la rosca no impida la caída o deslizamiento de la carga que se

pretende mantener quieta- Es práctica usual que los tornillos de transmisión, tengan ángulos

de hélice más bien pequeños. La condición de autobloqueo se produce cuando la fuerza de

fricción es suficiente para evitar que una carga se deslice descendiendo. Si se supone que el

collarín está montado sobre rodamientos se puede considerar que la fricción en el collarín es

nula o muy baja respecto de la correspondiente a las roscas, entonces de (4.40) se tiene la

siguiente condición:

0TanCos nR (4.55)

y recordando (4.36) se tiene:

P

nnRd

pmCosTanCos

.

.

(4.56)

Con (4.56) se puede verificar, para una configuración geométrica dada en el tornillo, si se

puede lograr autobloqueo. Aunque (4.56) garantiza el autobloqueo en forma estática, es

posible que ante la presencia de vibraciones se produzca el deslizamiento de la carga. Esto es

material que aun se está investigando por el grado de complejidad que involucra.

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4. Tornillos de sujeción y ajuste

Los tornillos de sujeción sirven para mantener firmes miembros o partes diversas de una

misma máquina. En las Figuras 4.1 y 4.30 se pueden ver algunos ejemplos de tornillos como

elementos de sujeción de partes. Estos ensambles tienen como elementos afines a las

“arandelas”, cuya función es mejorar la clase del ajuste y servir como fusible para evitar

deterioro en las partes a ensamblar, y también a las tuercas. En la Figura 4.31 se muestran

algunos tipos de arandelas, mientras que en la Figura 4.32 se muestran algunos tipos de

tuercas.

Figura 4.30. Algunos tipos de Tornillos y bulones y sus aplicaciones

Figura 4.31. Algunos tipos de arandelas

Figura 4.32. Algunos tipos de tuercas

Estudio de la carga en los pernos y la unión. La precarga

Las Figura 4.1 y 4.30 muestran las uniones de sujeción típicas por tornillos o bulones. En

ellas se presenta la interacción de dos fenómenos de deformación. Los tornillos se estiran y la

zona de unión se comprime. Esto se puede analizar con mayor detenimiento en la Figura 4.33,

donde se muestra el ensamble tornillo y junta como si se tratara de dos resortes. Para

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representar la junta un resorte a compresión de constante km y para representar el tornillo otro

resorte a extensión de constante kb.

Figura 4.33. Esquema de representación del ensamble de la junta y el bulón.

En las juntas atornilladas suelen prefijarse estados de precarga para evitar que la misma se

suelte ante una solicitación determinada bajo servicio. Para entender este fenómeno se puede

ver la secuencia ilustrativa de Figura 4.34. En primer lugar (a) se tiene la junta, simulada por

un resorte de compresión. Ahora en (b) se ejerce una fuerza de 100 lb sobre el bulón y

poniendo un tope para mantener una carga en el resorte de 100 lb. En (c) se tendría el mismo

caso de (b) pero de la manera convencional, es decir ajustando la tuerca. Tanto en (b) como en

(c) se produjo una precarga en el bulón de 100 lb que no desaparece por que está la traba. En

(d) se carga con una fuerza de 90 lb que es menor que la precarga y en (e) se carga el perno

con una carga que es mayor que la precarga y se suelta la traba. Esto muestra lo importante

que es la precarga especialmente cuando las solicitaciones bajo servicio pueden ser variables

y generar riesgos en la unión.

Figura 4.34. Esquema de representación del ensamble de la junta y el bulón ante precarga

En la Figura 4.35.a se muestra por separado la relación de fuerza a desplazamiento para los

resortes correspondientes al bulón y a la junta hasta la fuerza de precarga Fi, mientras que en

la Figura 4.35.b se muestra el ensamble armado bajo la acción de una solicitación P.

Figura 4.35. Relación fuerza-desplazamiento. (a) Precarga (b) bajo acción de la carga

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La precarga Fi es la misma que actúa en el bulón como en la junta del material, pero genera

obviamente distintos valores de deformación según se ve en la Figura 4.35.a. Ahora bien ante

una carga tractiva externa P, posterior a la precarga, se verificará una extensión adicional en

el perno (lo que significa que el punto B se traslada al C en la Figura 4.35.b) y un alivio en la

junta (lo que significa que el punto A se traslada al D en la Figura 4.35.b). De manera que la

carga P se reparte de la siguiente forma

bulónelenP

juntalaenPPPP

b

mbm __

__ (4.57)

Pero la fuerza resistente en el bulón Fb y la fuerza resistente en la junta Fm vienen dadas por:

mim

bib

PFF

PFF

(4.58)

Téngase presente que la variación de desplazamiento es tal que

b

m

m

b

b

b

m

m kk

PP

k

P

k

P (4.59)

Lo que significa que cuanto se estira el bulón, se alivia la junta. De tal manera que teniendo

presente (4.57) y reemplazando en (4.58) se pueden obtener las siguientes relaciones para la

precarga.

PC1FF

PCFF

Kim

Kib

siendo

mb

b

Kkk

kC

(4.60)

Con la (4.60) se puede calcular la precarga en función de la carga a soportar P y la máxima

carga que soporta el material del perno y de la junta Fm y Fb. Si en (4.60) se anula Fm se puede

obtener la carga que separa la junta como

K

i

OC1

FP

(4.61)

y el factor de seguridad contra la separación

1C1P

F

P

Pn

K

iO

SP

.

(4.62)

Esto significa que el perno es quien resiste toda la carga, en consecuencia Ki C1PF . Aún

así el perno debe soportar la fluencia, los cálculos de seguridad para los pernos se verán más

adelante.

Calculo de la rigidez del perno y de la junta.

Se recordará de resistencia de materiales que la rigidez axial para una barra de longitud L,

área A y módulo de elasticidad E se obtiene como:

L

AEkbarra

. (4.63)

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Si la barra tiene varios segmentos de distintas secciones y longitudes, la rigidez global será

N

1i bib k

1

k

1 (4.64)

Para un tornillo de rosca métrica como el de la Figura 4.36, la constante de rigidez se calcula

como:

(4.65)

siendo de y dr los diámetros de cresta y de raíz respectivamente. Lt es la longitud roscada y se

puede calcular como

mm200L25d2

mm200L12512d2

mm125L6d2

L

c

c

c

t para roscas métricas (dc en [mm])

(4.66)

pul6L500d2

pul6L250d2L

c

ct .

. para roscas en pulgadas (dc en [pul])

siendo L la longitud total del perno (es decir L = Ls + Lt)

Figura 4.36. Descripción de un perno para calcular la rigidez

Para calcular la rigidez de la junta se recurre a una metodología propuesta por Mischke [1],

según la cual se considera una región troncocónica para afectar al cálculo de la rigidez, tal

como se ve en la Figura 4.37.

Figura 4.37. Descripción de una junta para calcular la rigidez

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Se determina la variación del desplazamiento como (4.67) y luego se integra en el dominio

troncocónico de una parte según (4.68), para obtener kmi según (4.69).

dxAE

Pd

. (4.67)

t

02dDTanx2dDTanx

dx

E

P

/./. (4.68)

dDdDTanL2

dDdDTanL2Ln

TandEPk

i

i

i

mi

...

(4.69)

Donde D es el diámetro base del tronco cónico y d es el diámetro del agujero por donde pasa

el bulón. Luego la rigidez global se obtiene una vez que se hallaron todos los kmi empleando

(4.70) que es una forma similar a la (4.64).

N

1i mim k

1

k

1 (4.70)

Se debe tener presente que esta metodología para obtener km es útil para cálculo con

calculadora manual, sin embargo es muy dependiente del ángulo del tronco de cono que se

adopte. En sus investigaciones Mishke sugiere = 30°. En la Figura 4.38 se aprecia la prueba

que corrobora el método presentado, comparando con otros autores y el método de elementos

finitos (FEA).

Figura 4.38. Comparación de métodos para hallar la rigidez de la junta. Tomado de [1]

Otra forma para calcular con mayor precisión la rigidez de cada elemento i-esimo de la junta

es empleando la siguiente expresión obtenida por Wileman [5]:

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iL

di2B

i1imi eBEdk

.

. (4.71)

Luego se emplea (4.70) con los valores de (4.70) para calcular la constante de rigidez km de

toda la junta. En (4.71), i1B y i2B son dos constantes de regresión exponencial que vienen

dadas en la Tabla 4.10

Material E (Gpa) i1B i2B

Acero 206.8 0.291 0.78715 0.62873

Aluminio 71.0 0.334 0.79670 0.63816

Cobre 118.6 0.326 0.79568 0.63566

Fundición de hierro gris 100.0 0.211 0.77871 0.61616

Tabla 4.10. Parámetros de rigidez para la ecuación de Wileman (4.71)

Carga estática para un perno con precarga

La ecuación (4.60) para el perno se puede escribir en términos de tensiones como:

e

K

e

i

e

b

bA

PC

A

F

A

F con

mb

b

Kkk

kC

(4.72)

Siendo Ae el área equivalente de tracción, que puede obtenerse de diferentes formas:

2

cen

97430d

4A

. para roscas en pulgadas (n = número de hilos/pulgada)

(4.73) 2

ce p93820d4

A ..

para roscas métricas (p = paso)

2

rp

e2

dd

4A

con dp y dr dados por la ecuación (4.35)

Para fijar criterios, en la Tabla 4.11 se muestra una comparación de la expresión (4.73) para

algunos tipos de roscas. Se podrá comprobar que la última de (4.73) se puede reducir a

cualquiera de las dos restantes.

En el Apéndice 6 se hallarán tablas donde se especifican las resistencias de los bulones según

normas SAE o métricas, como también otros datos relativos a los bulones estandarizados.

Se recordará que (4.62) da el factor de seguridad contra la separación de las partes, lo cual

conduce a que el perno esté soportando toda la carga activa

mbK

ep

0iFbs

mbK

iep

bs

e

mbbs

K

e

i

pPC

ASn

PC

FASn

A

PnC

A

FS

(4.74)

Siendo Sp la tensión de prueba del material del perno, Pmb es la carga máxima sobre el perno.

Nótese que si el perno no estuviera precargado (Fi=0) el factor de seguridad sería más alto,

sin embargo esto no es posible en virtud de (4.62) para evitar que las juntas no se separen, que

es lo más importante.

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Entonces, la precarga real que debe aplicarse a un tornillo que actúa bajo condiciones

estáticas, está en un valor intermedio entre las condiciones de sobrecarga del perno y la

condición de separación de la junta. Como dato estimativo se suelen emplear las siguientes

expresiones

epi ASF 75.0 Para el caso de conexiones reutilizables

epi ASF 90.0 Para el caso de conexiones permanentes

Siendo Sp la tensión de prueba del material del perno. Este valor de la tensión de prueba se

puede obtener de las tablas de bulones que se suministra a modo de ejemplo en el Apéndice 6.

Por otro lado, se debe tener presente que el control y/o la cuantificación experimental de la

precarga se bastante complicada y suele emplearse en su reemplazo el valor de un torque de

precarga, el cual se efectua mediante una herramienta adecuada. En los siguientes apartados

se ampliarán estas nociones.

Carga dinámica para un perno con precarga tractiva

El caso más común es el que presenta cargas fluctuantes desde un valor nulo hasta un máximo

de valor P. Así pues en (4.72) la carga P puede tener fluctuaciones que generan una tensión

máxima y una mínima dadas por:

e

K

e

i

bA

PC

A

F

max ,

e

i

mínbA

F (4.75)

Luego se deben obtener las tensiones media y alternante como:

e

Kbb

baA2

PC

2

minmax

,

e

i

e

Kbb

bmA

F

A2

PC

2

minmax

(4.76)

Queda claro de (4.76) que la tensión media es igual a la suma de la componente alternante

más una componente inicial, o sea:

ibabm , con e

i

iA

F (4.77)

Luego se podrá analizar la fatiga del perno a partir del criterio de Goodman o de Gerber, o

Goodman modificado, etc. Para sentar ideas, se empleará como ejemplo el criterio de

Goodman tal como se expresa en (4.78). En virtud de (4.77) la línea de carga para este criterio

se puede ver en la Figura 4.39. Con ibabm ,, se ubican los puntos A y B y luego se traza

la recta de carga para poder obtener Sa y Sm y discriminar las zonas seguras.

1S

S

S

S

ut

m

e

a (4.78)

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Figura 4.39. Diagrama de fatiga para el criterio de Goodman en un perno precargado

De la Figura 4.39 se pueden obtener las expresiones analíticas para calcular Sm y Sa como:

ute

ieut

mSS

SSS

, ima SS (4.79)

Para hallar una relación con un coeficiente de seguridad ns se debe mirar la Figura 4.39, de la

cual surgiría que:

s

ba

a nS

y ibasm nS (4.80)

Reemplazando (4.80) en (4.78) y despejando ns, se obtiene:

e

utK

ieut

s

S

S1

2

PC

FASn

(4.81)

Recuérdese que Se es el límite de fatiga modificado por todos los efectos considerados en la

División 5 del Capítulo 2, sin embargo el efecto más importante es el de entalla. En Tabla

4.11 se presentan los valores de resistencia a la fatiga completamente corregidos (Se) para

algunos tornillos estandarizados:

Grado o Clase Intervalo de tamaños Resistencia a fatiga

modificada Se

SAE 5 ¼ a 1 pulg 18.6 kpsi



ISO 8.8 M16-M36 129 Mpa

ISO 9.8 M1.6-M16 140 Mpa

ISO 10.9 M5-M36 162 Mpa

Tabla 4.11. Resistencia a la fatiga modificada para algunos tornillos rosca UN e ISO (o Metrica)

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Control de la precarga. El par de apriete

La precarga en el perno es obviamente un factor importante. Sin embargo la determinación

precisa del valor de la precarga exige que se tenga control de lo que ocurre en los dos

extremos del perno o bulón, para poder determinar así la elongación con un comparador o un

micrómetro. Si bien esto es posible es costoso y en la mayoría de los casos poco práctico.

Un método práctico para la determinación de la precarga recurre a la consideración de un par

de apriete que puede medirse con un torquímetro manual o bien uno neumático (más preciso).

Para mensurar el par de apriete se recurre a una modificación de la (4.52), de manera tal que

W es reemplazada por Fi. Se hacen unas especulaciones (hipótesis aproximadas [5]) para

obtener el radio equivalente en el collarín (re) que no es otra cosa que el radio medio de la

superficie de apoyo de la tuerca (Ver Figura 4.28) y sobre el diámetro de paso dp

considerándolo aproximadamente igual al diámetro del perno d. Así el torque de apriete es:

dFKT iii con

C

Rn

nR

i 6150TanCos

TanCos

2

1K

.

(4.82)

El valor de Ki depende del tipo de roscas. Para las roscas UNC y UNF estándares que tienen

sus filetes lubricados, Ki = 0.21.

5. Bibliografía

[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002.

[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000.

[3] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000.

[4] W.C. Orthwein, “Diseño de componentes de máquinas” Ed CECSA, 1996.

[5] J. Wileman, M Choudhury y I. Green. “Computation of member stiffness in bolted

connections” Journal of Machine Design Vol. 193 pp 432-437, 1991

6. Problemas propuestos

Problema 1.

Una prensa es accionada por un motor eléctrico puede ejercer una fuerza de apriete total de

5000 lbf. Los tornillos de la prensa son de rosca ACME con ángulo de rosca de 29°, dp = 3

pul, p = L = 0.5 pul y el coeficiente de rozamiento de 0.05. Los collarines de empuje tienen

un diámetro medio de dc = 5 pul y un coeficiente de fricción de 0.06. El motor gira a una

velocidad de 1720 RPM, la razón de velocidad es de 75 a 1, y la eficiencia mecánica es del

95%. Se necesita saber cuál es la velocidad de la cabeza de la prensa y la potencia del motor.

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Problema 2.

Un recipiente de fundición de hierro sometido a presión, se usa para almacenar gas

presurizado a 8 Mpa. El recipiente sometido a presión tiene un cabezal de acero de bajo

carbono unido por pernos. Se plantea utilizar un perno grado SAE 8 con un factor de

seguridad 3. En la figura se muestran las dimensiones (mm). Si se emplean pernos de 3/4

pulg, cuantos pernos son necesarios?

Problema 3.

Un tornillo de potencia como el de la figura se debe diseñar para elevar o bajar unos equipos

pesados en una parte de la línea de procesamiento de una industria alimenticia. Se propone un

diseño previo tal como el que se muestra en la figura. El peso que se debe elevar/bajar es de

4000 libras a distribuirse equitativamente en cada una de las dos ranuras. Se puede notar que

el tornillo está bajo tracción y se decidió emplear una rosca de tipo ACME. Según algunos

diseños históricos se consideró como apropiado que las tensiones en el tornillo no superen la

tensión de diseño de 8000 psi. Todos los coeficientes de concentración de tensiones están

aplicados en tal valor de tensión de diseño. Problemas de fatiga no habrá pues el uso del

sistema es esporádico. El tornillo rota soportado sobre un rodamiento de muy baja fricción. La

tuerca fija se hará de bronce poroso tiene un coeficiente de fricción estimado de 0.08.

Determine:

a) el diámetro de raíz tentativo del tornillo si el mismo se halla sometido a tracción y es

este fenómeno el que pudiera dominar la condición de falla.

b) Identifique los puntos críticos de la rosca ACME para analizar tensionalmente.

c) Con los resultados de ítem anterior que especificación de rosca ACME emplearía

como primera posibilidad

d) Cuál sería el máximo momento torsor de transmisión

e) Cuál será la potencia de entrada que se requeriría para elevar el equipo unos 60 cm en

no menos de 20 segundos.

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Problema 3 Problema 4

Problema 4.

El elevador que se muestra en la figura usa un tornillo de potencia para elevar la plataforma

con un peso máximo de 3000 N. La turca montada a la plataforma está fija, mientras que el

collarín de empuje rota con contra la estructura de montaje. El tornillo es de tipo ACME de 1

½ pulgada con 4 hilos por pulgada, con un coeficiente de fricción de 0.40 El radio medio del

collarín es de 2.0 pulgadas. El coeficiente de fricción del collarín con la estructura de montaje

es de 0.30. Si la potencia del motor de transmisión es de 7.5 HP, cual será la máxima

velocidad de elevación.

Problema 5.

Un elevador similar al del problema 4 tiene un tornillo de potencia con rosca cuadrada. El

elevador debe subir una carga de 50 kN. El tornillo tiene un diámetro mayor de 36 mm y un

paso de 6 mm. El radio medio del collarín de empuje es de 40 mm. Los coeficientes de

fricción estática para la rosca y para el collarín son 0.15 y 0.10 respectivamente. Calcule

a) la profundidad del roscado

b) el ángulo de hélice

c) el torque necesario para elevar a carga

Problema 6.

La compuerta de una válvula como se ve en la figura una vez fija en su asiento despliega una

carga vertical de 1000 lb. La válvula tiene un vástago con una rosca de tipo ACME de una

entrada de 1 pulgada de diámetro, da 4 giros por pulgada de avance y tiene un diámetro menor

de 0.78 pulgadas. La misma es operada por un volante de 15 pulgadas de diámetro. El

coeficiente de fricción del vástago y del collarín de empuje son 0.15 y 0.03 respectivamente.

El diámetro medio del collarín de empuje es de 0.05 pulgadas. Determine:

a) la fuerza tangencial de actuación en el extremo del volante.

b) Las tensiones en los dientes del tornillo

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Problema 5

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