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Sistemas de partículas y conservación de la cantidad de movimiento

Centro de masa. Energía potencial gravitatoria del sistema de partículas. Movimiento del centro de masa. Cantidad de

movimiento. Impulso. Colisiones.

12/11/09 Yuri Milachay, Eduardo Castillo, Hugo Vizcarra 2

Centro de masasEl centro de masas es el punto del cuerpo en el que se considera que se concentra toda la masa, por lo que si el cuerpo se suspende de dicho punto, se mantendrá en equilibrio.

Al mismo tiempo, es el punto en donde si se aplica una fuerza se produce una traslación pura, es decir, el objeto no rota.

La ubicación del centro de masas se determina con ayuda de la expresión:

iiCM

m rr

M

→→

= ∑


EjercicioEjercicio 34 página 236

El hacha de piedra de la figura, en donde se muestra sus dimensiones, está formada por una piedra simétrica de 8,00 kg atada al extremo de un palo homogéneo de 2,50 kg . ¿A qué distancia del mango del hacha se encuentra su centro de masa?

Solución:

Ubicamos el origen de coordenadas en el extremo del magno.

1 1 2 2

1 2cm

m x m xx

m m

+=+

(2,5)(40) (8)(89)

(2,5 8)cmx+=+

77,3cmx cm=

x

y


Energía potencial gravitatoria de un sistemaCalcularemos la energía potencial de un conjunto de partículas de masas diferentes.

Del resultado se observa que la energía potencial gravitatoria de un conjunto de partículas es igual a la energía potencial gravitatoria del centro de masas del conjunto.

CMU Mgy=

m1

m2

m3

m4

y1

y2

y3 y4

i iU m gy= ∑

i iU g m y= ∑


Movimiento del centro de masasEn la figura, se puede observar que el punto que corresponde a la ubicación del centro de masas de la deportista describe un movimiento parabólico.

¿Existe algún sustento físico para explicar esta observación?

CM iiM a m a→ →

= ∑

CM i

i

d r d rM m

dt dt

→ →

= ∑

CM iiM v m v→ →

= ∑ neta ,externa CMF M a→ →

=


EjerciciosEjemplo 8.3 página 208

Un proyectil que se lanza al aire desde el nivel del suelo y aterriza a 55,0 m . En el punto más alto de su trayectoria explota en dos fragmentos de igual masa. Justo después de la explosión, uno de los fragmentos tiene velocidad cero y y cae directamente al suelo. ¿Dónde cae el otro fragmento? Desprecie la acción del aire.

Solución:

Si el proyectil es el sistema, entonces las fuerzas de explosión son todas internas. Como la única fuerza externa que actúa sobre el sistema es la gravedad, el centro de masa continua su trayectoria parabólica.

Como los fragmentos tienen igual masa, el centro de masa siempre estará en el punto medio de la distancia que los separa.

155,0 (55,0)

2x = +

82,5x m=


La inercia

¿Qué es la inercia?

La inercia es la propiedad de los cuerpos de mantenerse en estado de reposo o en m.r.u.

¿Cómo se mide la inercia?

La inercia se mide a través de la magnitud denominada “masa”. A mayor masa, el cuerpo tendrá mayor inercia.

http://www.youtube.com/watch?v=BwkUNrSCNMg Si se tira bruscamente, ¿qué cuerda se romperá primero?

http://www.pulsephotonics.com/gallery/originals/Bullet%20exploding%20a%20pear.jpeg

http://www.youtube.com/watch?v=BwkUNrSCNMg

http://www.pulsephotonics.com/gallery/originals/Bullet exploding a pear.jpeg


Inercia de los cuerpos en movimientoLa inercia de los cuerpos en movimiento depende de un factor más: la velocidad.

La magnitud física que cuantifica la propiedad inercial de los cuerpos en movimiento se denomina “cantidad de movimiento”.

Unidad: [p]=kg x m/s

p m v→ →

=

¿La inercia de la bala en reposo es la misma que la de la bala en movimiento?


Ejercicioa) ¿Qué magnitud tiene la cantidad de movimiento de un camión de 10 000 kg que viaja con rapidez de 12,0 m/s? b) ¿Con qué rapidez tendría que viajar una vagoneta de 2 000 kg para tener i) la misma cantidad de movimiento? (ii) ¿la misma energía cinética?

Solución:

La misma cantidad de energía

La misma energía cinética

5camión

kg .mp 1,20 10

s= ×

camión

kg .mp 10000 12,0

s= ×

5vagoneta1,20 10 2 000 v× = ×

vagonetav 60 m / s=

2 2camión camión vagoneta vagoneta

1 1m v m v

2 2=

2 2vagoneta

1 110000 12,0 2000v

2 2× =

vagonetav 26,8 m / s=


EjercicioUn balón de fútbol de 0,420 kg viaja a 4,50 m/s con un ángulo de 20,0° en sentido antihorario respecto al eje +x. ¿Qué componentes x y y tiene la cantidad de movimiento del balón?

Solución

xp 0, 420kg 4, 50m / s cos 20,0= × × °

xp 1,78 kg .m / s=

yp 0, 420kg 4, 50m / s sen20,0= × × °

yp 0,646 kg .m / s=


• La segunda ley de Newton se expresa entonces como:

• Los cambios súbitos (corto tiempo) de cantidad de movimiento requieren de grandes fuerzas.

• La bolsa de aire hace que el tiempo de interacción vehículo-persona (Dt) se incremente, por lo que el cociente de la cantidad de movimiento con dicho intervalo de tiempo haga que el resultado (la fuerza neta) disminuya de valor.

Para un conjunto de partículas se tiene:

d pF

dt

→→

=∑

http://www.sicurauto.it/sicurezza/casi_airbag/index.php?subaction=showfull&id=1169327584&archive=&start_from=&ucat=1&

CM iiMv m v→ →

= ∑

Fuerza y cantidad de movimiento

neta ,externad p

F Mdt

→→

=

http://www.sicurauto.it/sicurezza/casi_airbag/index.php?subaction=showfull&id=1169327584&archive=&start_from=&ucat=1&


Conservación de la cantidad de movimientoLa ley de conservación de la cantidad de movimiento señala que si sobre un sistema de partículas no actúan fuerzas externas o la suma de las fuerzas externas es nula, entonces la cantidad de movimiento total del sistema es constante.

1 2 3 np p p ... p cte→ → → → →

+ + + + =

d p0 M

dt

→→

=

neta ,externad p

F Mdt

→→

=Si sobre los bloques no actúa ninguna fuerza

F/2F/2

F

2F

2F

Si sobre el cuerpo las fuerzas se cancelan

1v→

2v→


Conservación de la cantidad de movimiento¿En qué casos se aplicaría la ley de conservación de la cantidad de movimiento? ¿Por qué?

Caso A

Caso B

→v

0=µ

→→=∑ 0F

→v

0=µ

→→≠∑ 0F


2 2

1 1

t p

2 1

t p

dpF

dt

F dt dp

F dt dP p p

→

→

→

=

⋅ =

⋅ = = −∫ ∫r

r

r

r

r r r

ImpulsoSe puede hallar una relación entre la diferencia de las cantidades de movimiento inicial y final y la fuerza resultante que la ha producido.

El cambio de la cantidad de movimiento de una partícula durante un intervalo de tiempo es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula durante ese intervalo. 2

1

t

2 1t

I F dt p p→ → → →

= = −∫


2

1

t

m

t

I F dt→ →

= ⋅∫

El Impulso en función de la fuerza mediaLa integral de la izquierda es por definición el impulso de la fuerza neta durante el intervalo de tiempo desde t1 hasta t2.

Podemos definir una fuerza neta media tal que, aun si la fuerza no es constante, el impulso esté dado por:

F∑r

I→

m

IF

t

→→

=∆


Ejemplo 8.11 página 218

Un coche equipado con un maniquí de 80,0 kg choca contra un muro con 25,0 m/s . Estimar la fuerza que el cinturón ejerce sobre el maniquí en el impacto. (suponer que el coche y el maniquí recorren aproximadamente 1,00 m al plegarse la parte delantera del coche)

EjercicioSolución:

Para estimar el tiempo del impacto:

= = =r r rro o

m mP mv ( 80 kg )( 25 )i ( 2 000 kg )i

s s

= =r r

f fP mv 0

= ⋅ ∆ = ∆ = −r r r rmJ F t P ( 2000 kg )i

s

−=

∆

rr

m( 2000 kg )i

sFt

+∆ = ∆1 2v v

x t2

+= ∆25 01 t

2

∆ =t 0,08 s = −r rF ( 25,0 kN )i


Colisiones en una dimensiónConsideremos dos partículas de masas m1 y m2

que se mueven con velocidades iniciales v1i y v2i

y chocan. Sus velocidades finales, después del choque, son v1f y v2f .

Se define el coeficiente de restitución:

El coeficiente es un número adimensional comprendido entre:

1 1 2 2 1 1 1 1i i f fm v m v m v m v+ = +

• Si e = 1, el choque es elástico y se conserva la energía cinética del sistema.

• Si e = 0, el choque es completamente inelástico, no se conserva la energía cinética del sistema.

• Si 0 < e < 1, el choque es inelástico y no se conserva la energía cinética del sistema.

Ejemplo 8.17 página 224

Un neutrón de masa mn y velocidad vni choca elásticamente con un núcleo de carbono de masa mC en reposo. ¿Cuáles son sus velocidades finales?0 1e≤ ≤


Colisiones en una dimensiónSolución:

…… (1)

……….. (2)

De (1) y (2)

n ni n nf C Cfm v m v m v= +

1 Cf nf

Ci ni

v v

v v

−= −

−

ni Cf nfv v v= −

n Cnf ni

n C

m mv v

m m

−=+

2 nCf ni

n C

mv v

m m=

+

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