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7/23/2019 Bloque4_webCT

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Programación Lineal para la Ingeniería Técnica

77

12.1. EL MODELO DUAL

A todo programa lineal, llamado problema primal, le corresponde otro que se

denomina problema dual. Las relaciones existentes entre ambos problemas son las

siguientes:

• El dual tiene tantas variables como restricciones existen en el primal.

• El dual tiene tantas restricciones como variables tiene el primal.

• Los coeficientes de la función objetivo del primal son los términos

independientes de las restricciones del dual.

• Los términos independientes de las restricciones del primal son los

coeficientes en la función objetivo del dual.

• La matriz de coeficientes de las restricciones del dual es igual a latraspuesta de la del primal.

Se pueden distinguir dos tipos de problemas duales:

1. Duales simétricos: para primales que incluyan restricciones de

desigualdad.

2. Duales asimétricos: para primales en forma estándar, es decir, con

restricciones de igualdad.

Otro tipo de relaciones entre los problemas primal y dual son las siguientes:

Volver al bloque 3




78

• Para duales simétricos el sentido de desigualdad de las restricciones del

dual es inverso al de las del primal; mientras que para asimétricos, las

restricciones del dual son de sentido menor o igual en caso de que el

problema primal sea de minimización, y de mayor o igual en caso demaximización. Además, las variables del dual, variables duales, no están

sujetas a la condición de no negatividad.

• El problema dual de uno de minimización es de maximización y

viceversa.

• El dual del programa dual es el primal.

Según estas afirmaciones, el problema dual queda unívocamente determinado porsu primal. Si n x x ,,

1 K son las variables primales, m y y ,,

1 K las correspondientes

variables duales, el planteamiento del problema dual es:

1. Duales simétricos:

Primal: max ( ) nn xc xc X f ++= K11

s.a.:11111

b xa xa nn ≤++ K

mnmnm b xa xa ≤++ K11

ni xi ,,1,0 K=≥

Dual: min ( ) mm yb ybY g ++= K11

s.a.:11111

c ya ya mm ≥++ K

nmmnn c ya ya ≥++ K11

mi yi ,,1,0 K=≥

Se pueden resumir primal y dual en un cuadro como el que sigue, donde el primal

se lee verticalmente y el dual de forma horizontal:




79

PROGRAMAS PRIMAL (MAX.)

DUAL (MIN.)

mnmm

n

aaa

aaa

K

MMMM

K

21

11211

0

01

≥

≥

n x

x

M

≤

≤

M

mb

b

M

1

00021

≥≥≥ m y y y K variables

≥≥≥ K relación

nccc K21

constantes

2. Duales asimétricos:

a) Primal: max ( ) nn xc xc X f ++= K11

s.a.:11111

b xa xa nn =++ K

mnmnm b xa xa =++ K11

ni xi ,,1,0 K=≥

Dual: min ( ) mm yb ybY g ++= K11

s.a.:11111

c ya ya mm ≥++ K

nmmnn c ya ya ≥++ K11 mi y i ,,1, K= , no restringidas en signo

b) Primal: min ( ) nn xc xc X f ++= K11

s.a.:11111

b xa xa nn =++ K

mnmnm b xa xa =++ K11

ni xi ,,1,0 K=≥

Dual: max ( ) mm yb ybY g ++= K11

s.a.:11111

c ya ya mm ≤++ K

nmmnn c ya ya ≤++ K11

mi y i ,,1, K= , no restringidas en signo




80

La tabla anterior queda ahora de la siguiente forma:

PROGRAMAS PRIMAL MAX. (MIN.)

DUAL MIN.

(MAX.)mnmm

n

aaa

aaa

K

MMMM

K

21

11211

0

01

≥

≥

n x

x

M

=

=

M

mb

b

M

1

m y y y K21

variables

( ) ( ) ( )≤≥≤≥≤≥ K relación

nccc K21

constantes

Nota:

Sin distinguir en el caso de duales simétricos o asimétricos, podemos formular una

tabla general, que reúne las relaciones entre el problema primal y dual, sea cual sea

su formulación:

Problema de

minimización

Problema de

maximización

VARIABLESasrestringidno

0

0

≤

≥

=

≥

≤

RESTRICCIONES

RESTRICCIONES=

≤

≥

asrestringidno

0

0

≤

≥

VARIABLES

La ventaja de esta tabla es que se puede leer de derecha a izquierda o viceversa,

según el problema primal sea de maximización o minimización, respectivamente.

Además, en el problema primal pueden darse diferentes combinaciones en cuanto

al sentido de sus desigualdades o al signo de sus variables.




81

Ejemplos:

1. Primal: max21

2 x x +

s.a.: 105 21 ≤+ x x 63

21 ≤+ x x

82221

≤+ x x

0,21 ≥ x x

Como el primal es de maximización, el dual será de minimización, por lo

que leemos la última tabla de derecha a izquierda. Esto nos dice que por ser

todas las restricciones de menor o igual, las variables duales serán de signo

no negativo; además por ser las variables primales no negativas, todas las

restricciones duales serán de mayor o igual. El problema dual quedará por

lo tanto como:

Dual min321

8610 y y y ++

s.a.: 22321 ≥++ y y y

1235321

≥++ y y y

0,,321

≥ y y y

2. Primal min 321 25 x x x ++ s.a.: 2032

321 ≥++ x x x

30586321 ≥++ x x x

4037321

≥++ x x x

5042321

≥++ x x x

0,,321

≥ x x x

En este caso, leemos la tabla de izquierda a derecha, resultando el dual:

Dual max 4321 50403020 y y y y +++

s.a.: 57624321 ≤+++ y y y y

22834321

≤+++ y y y y

14354321

≤+++ y y y y

0,,,4321 ≥ y y y y

lver aoblema

mal

lver aoblemaual




82

3. Primal min321

23 x x x −+

s.a.: 25684321

=++ x x x

30957321 =++ x x x

0,,321 ≥ x x x

Ahora, aunque como en el ejemplo anterior hay que leer la tabla de

izquierda a derecha, la formación del dual será ligeramente diferente a la de

dicho ejemplo.

Dual max21

3025 y y +

s.a.: 17421

≤+ y y

35821

≤+ y y

296 21 −≤+ y y

21, y y no restringidas en signo

4. Primal max21

3 x x +

s.a.: 721

=+ x x

83221

=+ x x

0,21 ≥ x x

Al igual que el ejemplo 1, leemos la tabla de derecha a izquierda, resultando:

Dual min21

87 y y +

s.a.: 3221 ≥+ y y

1321

≥+ y y

21, y y no restringidas en signo

Nota:

La forma del dual asimétrico (ejemplos 3 y 4) está determinada exclusivamente por

la forma del dual simétrico. Si pasamos a forma estándar el problema con

restricciones de desigualdad y calculamos el dual, que sería dual asimétrico, el

problema que se obtiene es el mismo que le correspondería al primal como dual

simétrico. Por ejemplo:




83

max ( ) nn xc xc X f ++= K11

s.a.:11111

b xa xa nn ≤++ K

mnmnm b xa xa ≤++ K

11 ni xi ,,1,0 K=≥

Si pasamos a forma estándar:

max ( ) H

mn

H

nnn x x xc xc X f ++ +++++= 00111

KK

s.a.: 111111 b x xa xa H

nnn =+++ +K

m

H

mnnmnm b x xa xa =+++ +K11

ni xi ,,1,0 K=≥ , m j x H

jn ,,1,0 K=≥+

El correspondiente dual asimétrico de este último problema primal es:

min ( ) mm yb ybY g ++= K11

s.a.:11111

c ya ya mm ≥++ K


01 ≥ y

0≥m y

Es el mismo que el dual simétrico que le correspondería al problema sin

transformar en su formulación estándar.

Una vez visto que los duales simétricos pueden convertirse en asimétricos

utilizando variables de holgura, vamos a enunciar un teorema de dualidad válidopara ambos.




84

Teorema:

Sea P un problema de Programación Lineal cuya región de factibilidad es F , y sea

D su problema dual de región de factibilidad G. Entonces:

i) Si F X ∈ , GY ∈ , se cumple que ( ) ( )Y g X f ≤ .

ii) Si para algún F X ∈ y algún GY ∈ se verifica que ( ) ( )Y g X f = ,

entonces X es solución óptima de P, Y es solución óptima de D.

iii) Si uno de los problemas P ó D tienen una solución óptima * X ó *Y , el

otro también la tiene, verificándose además que ( ) ( )** Y g X f = .

iv) Si f está acotada superiormente en ∅≠ F , ó g está acotada

inferiormente en ∅≠G , entonces ambos problemas P y D tienen

solución óptima.

Consecuencias del teorema:

1. Si el primal tiene solución finita, entonces el dual también la tiene y ambas

coinciden.2. Si el primal tiene solución no acotada, el dual no tiene solución.

3. Si el primal no tiene solución, entonces ó el dual no tiene solución ó tiene

solución no acotada.

El dual del dual:

Consideremos ahora como primal al dual, ¿cuál es su dual?.

min ( ) mm yb ybY g ++= K11

s.a.: 11111 c ya ya mm ≥++ K


mi yi ,,1,0 K=≥

ver all del Dual




85

Introducimos variables de holgura:

min ( ) H

nm

H

mmm y y yb ybY g ++ +++++= 00111

KK

s.a.: 111111 c y ya ya H

mmm =−++ +K

n

H

nmmmnn c y ya ya =−++ +K11

mi yi ,,1,0 K=≥ , n j y H

jm ,,1,0 K=≥+

Su dual sería:

max ( ) nn xc xc X f ++= K11

s.a.:11111

b xa xa nn ≤++ K

mnmnm b xa xa ≤++ K11

01 ≤− x

0≤− n x

Las últimas n restricciones son las de no negatividad, y el problema que se obtiene

es el primal. Luego el dual del dual es el primal.

12.2. RELACIONES PRIMAL-DUAL

Con la solución del primal, se obtiene con el Simplex implícitamente la del dual.

Veámoslo:

Sea el primal en forma estándar: max Z = CX

s.a.: AX = b 0≥ X

Escribimos A = (B/N ), con B la submatriz formada por las columnas

correspondientes a las variables básicas, y N lo mismo para las no básicas o libres.

Entonces:




86

Solución óptima primal

max N N B B X C X C Z +=

s.a.: b NX BX N B =+

0, ≥ N B X X

La solución de este problema consiste en hacer que el vector no básico N X sea cero,

y resolver el vector básico en términos de la base B, es decir:

b B X b BX b NX BX B B N B

1−=⇒=⇒=+

y la función objetivo será:

b BC X C X C X C Z B B B N N B B

1−==+=

Ahora bien, la función objetivo dual es ( ) bY Y bY g T T == , y en el óptimo el valor de

la función objetivo primal coincide con el valor óptimo de la función objetivo dual,

esto es, ( ) ( )** Y g X Z = . Por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T

B

T

B Y BC bY b BC Y g X Z *1***1**** =⇒=⇒= −−

En los casos particulares que estudiaremos, este valor no hace falta calcularlo

explícitamente si hemos resuelto el primal aplicando el algoritmo del Simplex,

puesto que en la última tabla:

Variables originales Variables de holgura

Variables básicas

B

X

Valor de las

variables

básicas

b B X B1−=

A B 1− 1− B

A BC C B

1−− 1−− BC B

Solución óptima dualopuesta en signo

ver amal-Dual




87

Ejemplo:

max21

34 x x + max21

34 x x +

s.a.: 1832 21 ≤+ x x s.a.: 1832 321 =++

H

x x x 1024

21 ≤+ x x 1024

421 =++ H x x x

0,21 ≥ x x 0,,,

4321 ≥ H H x x x x

Introduciendo las variables de holgura. La última tabla es:

1 x

2 x H x

3 H x

4

H x3

3 -4 0 1 -3/2

2 x 5 2 1 0 1/2

-2 0 0 -3/2

Solución óptima dual:

=2

3,0

*Y

Solución óptima primal: ( )5,0* = X

Función objetivo primal y dual óptimas: ( ) ( ) 15** == Y g X f

El dual sería:

min21

1018 y y + max A A My My y y6521

1018 −−−−

s.a.: 44221 ≥+ y y s.a.: 442

5321 =+−+ A H y y y y

32321

≥+ y y 3236421

=+−+ A H y y y y

0,21 ≥ y y 0,,,,,

654321 ≥ A A H H y y y y y y

Se puede comprobar con el Simplex que da la misma solución, pero el proceso esmás largo por la introducción de variables de holgura y artificiales, de ahí el interés

de la relación entre dual y primal (entre otras razones).

Interesará pasar al dual cuando su resolución sea más fácil que la del primal. Así,

podemos resolver el dual por el Simplex y deducir, sin ningún cálculo

o a

maándar

cionesmas

bre elal




88

suplementario, la solución óptima del primal. Este caso se presentará cuando el

primal incluya restricciones de mayor o igual para las cuales es preciso introducir

variables de holgura y artificiales.

Ejemplo:

min 21 65 x x + max A A Mx Mx x x

6521 65 −−−−

s.a.: 202521

≥+ x x s.a.: 20255321

=+−+ A H x x x x

248321 ≥+ x x 2483

6421 =+−+ A H x x x x

0,21 ≥ x x 0,,,,,

654321 ≥ A A H H x x x x x x

Si calculamos su dual:

max21

2420 y y + max21

2420 y y +

s.a.: 53521

≤+ y y s.a.: 535321

=++ H y y y

68221

≤+ y y 682421

=++ H y y y

0,21 ≥ y y 0,,,

4321 ≥ H H y y y y

Se ve que es más fácil aplicar el Simplex al estándar del dual que al del primal.

La última tabla es:

1 y

2 y H y

3 H y

4

1 y 11/17 1 0 ----- -----

2 y 10/17 0 1 ----- -----

0 0 -56/17 -30/17

Lo que realmente nos interesa es el valor de los costes en la tabla final, por esodejamos sin rellenar huecos en esa tabla que no aportan nada a la solución que

buscamos. Así:

=

17

10,

17

11*Y ,

=

17

30,

17

56* X , ( ) ( )17

460** == Y g X f

so amaándar

culoDual

ucionesimas




89

12.3. MÉTODO DUAL DEL SIMPLEX

Supongamos el problema de la dieta (mezcla de alimentos más barata,

satisfaciendo unos valores nutritivos necesarios):

min nn xc xc ++ K11

s.a.:11111

b xa xa nn ≥++ K

mnmnm b xa xa ≥++ K11

ni xi ,,1,0 K=≥

Aquí, j x representa la cantidad del alimento j a precio jc y con una composición

ija de un cierto elemento nutritivo i N del cual hay un requerimiento de al menos

ib unidades.

Una posible interpretación del dual sería: supongamos que una empresa se plantea

la posibilidad de fabricar un concentrado de cada uno de los elementos nutritivos

que se requieren para la correcta alimentación, de modo que propondría que se

ingirieran los concentrados directamente en lugar de los alimentos que contienen

los elementos nutritivos, de modo que se satisfacieran las necesidades

nutricionales igualmente.

El problema que se plantearía la compañía consistiría en encontrar los preciosunitarios m y y ,,

1 K para cada nutriente de forma que maximizara su beneficio, pero

teniendo en cuenta que al mismo tiempo este procedimiento debería ser

competitivo con el usual en el que se aportan directamente los alimentos. Así, sedebe maximizar mm yb yb ++ K

11 .

Esta competitividad significa que la suma de los precios totales de los elementos

nutritivos en las cantidades que intervienen en cada alimento deberá ser menor o a

lo sumo igual que el precio o coste de este alimento. Así, para el alimento j-ésimode coste jc , deberá verificarse jmmj j c ya ya ≤++ K

11.




90

Por último, el precio de cada unidad de nutriente i y debe ser positivo. Con todo

esto, planteamos el dual:

max mm yb yb ++ K

11 s.a.:

11111 c ya ya mm ≤++ K

nmmnn c ya ya ≤++ K11

mi yi ,,1,0 K=≥

Podemos deducir fácilmente del estudio desarrollado en los apartados anteriores

una de las aplicaciones inmediatas de la teoría de la dualidad: la resolución de

problemas lineales con más restricciones que variables. Puesto que parte de la

dificultad y el número de iteraciones del Simplex dependen del número de

restricciones, resolveremos el primal si m < n, y el dual si m > n.

Otra aplicación de la dualidad es la resolución de problemas lineales utilizando

el Algoritmo Dual del Simplex, que consiste básicamente en aplicar el Simplex al

problema dual, pero efectuando los cálculos sobre el primal. Lo explicamos a

continuación.

Para comenzar con el Simplex, si no es posible obtener una solución factible, seañaden tantas variables artificiales como sea necesario. El Método Dual del

Simplex hace innecesario el empleo de dichas variables artificiales, pero necesita

para comenzar a iterar una condición llamada de factibilidad dual, es decir, que

todos los costes marginales jc sean negativos o nulos (en caso de máximo). Por

tanto, no siempre se podrá aplicar.

Algoritmo.

Paso 1: Partimos de una tabla en la que 0≤−= j j j z cc .

Paso 2: Si B X (solución básica) es tal que 0≥ B X , estamos en la solución óptima.

PARAR.

ver aodo DualSimplex




91

En otro caso, elegimos para que salga de la base la variable i x , cuya

coordenada ( )i B X es la más negativa.

Paso 3: Si todos los elementos ija de la fila correspondiente a la variable que salede la base son positivos o nulos, entonces el problema no tiene solución o

tiene solución óptima no acotada.

Si al menos algún 0<ija , calculamos:

ik

k

ij

ij

j

n j a

ca

a

cmin =

<∋=

0,,1 K

Si corresponde a la columna k-esima, entra en la base k x .

Paso 4: Pivotamos sobre ik a , efectuando las operaciones precisas para que la

columna k tenga un 1 en el lugar i-ésimo y ceros en el resto.

Volver al paso 2.

Nótese que los problemas “ideales” para resolver mediante este algoritmo son

aquellos de minimización que incluyen restricciones del tipo mayor o igual, y

cuyas desigualdades contienen coeficientes positivos. Así, el problema de la dieta

es un candidato para aplicarle este procedimiento.

Ejemplo:

min321

543 x x x ++ max321

543 x x x −−−

s.a.: 532321

≥++ x x x s.a.: 532321

−≤−−− x x x

622321 ≥++ x x x 622

321 −≤−−− x x x

0,,321

≥ x x x 0,,321

≥ x x x

Introducimos las correspondientes variables de holgura para obtener la

formulación estándar:




92

max321

543 x x x −−−

s.a.: 5324321

−=+−−− H x x x x

6225321

−=+−−− H x x x x

0,,,, 54321 ≥ H H

x x x x x

La tabla inicial con la que comenzar a iterar, siguiendo los pasos del Algoritmo

Dual del Simplex, es la siguiente:

1 x

2 x 3

x H x4

H x5

H x4

-5 -1 -2 -3 1 0 H x5

-6 -2 -2 -1 0 1

-3 -4 -5 0 0

Puesto que jc j ∀≤ ,0 , sale de la base la variable cuya coordenada ( )i B X es la más

negativa, en este caso 65 −= x , y aplicamos el criterio de entrada, calculando:

2

3

1

5,

2

4,

2

3=

−

−

−

−

−

−min

Así pues, entra en la base la variable1

x , siendo el elemento pivote 221

−=a .

Con todo esto, la siguiente tabla quedará como sigue:

1 x

2 x 3

x H x4

H x5

H x4 -2 0 -1 -5/2 1 -1/21

x 3 1 1 1/2 0 -1/2

0 -1 -7/2 0 -3/2

paso 2

paso 3

paso 2

paso 3




93

Seguimos teniendo que jc j ∀≤ ,0 , y ahora la variable básica con valor más

negativo es 24

−= H x (la única), por tanto es la que abandona la base.

Aplicamos el criterio de entrada calculando:

121

23,

25

27,

1

1=

−

−

−

−

−

−min

que corresponde a la variable 2 x , que entra en la base, siendo el elemento pivote el

elemento 112 −=a .

Con todo esto, la siguiente tabla quedará como sigue:

1 x

2 x 3

x H x4

H x5

2 x 2 0 1 5/2 -1 1/2

1 x 1 1 0 -2 1 -1

0 0 -1 -1 -1

Todas las variables básicas son positivas, por lo que el algoritmo termina con lasolución óptima:

1*

1 = x , 2

*

2 = x , 0

*

3 = x , 11

* = Z

Ejemplo:

min21

2 x x Z += max21

2 x x Z −−=−

s.a.: 3321 ≥+ x x s.a.: 33

321 −=+−− H x x x

63421

≥+ x x 634421

−=+−− H x x x

3221

≥+ x x 32521

−=+−− H x x x

0,21 ≥ x x 0,,,,

54321 ≥ H H H x x x x x

aso 2




94

Una vez que hemos cambiando de signo, e introducido las correspondientes

variables de holgura, la primera tabla será:

1 x

2 x H x

3 H x

4 H x

5

H x3

-3 -3 -1 1 0 0 H x4

-6 -4 -3 0 1 0 H x5

-3 -1 -2 0 0 1

-2 -1 0 0 0

1 x

2 x H x

3 H x

4 H x

5

H x3

-1 -5/3 0 1 -1/3 0

2 x 2 4/3 1 0 -1/3 0 H x5

1 5/3 0 0 -2/3 1

-2/3 0 0 -1/3 0

1 x 2 x H x3 H x4 H x5

1 x 3/5 1 0 -3/5 1/5 0

2 x 6/5 0 1 4/5 -3/5 0 H x5

0 0 0 1 -1 1

0 0 -2/5 -1/5 0

Todas las variables básicas son positivas, por tanto el algoritmo concluye con la

solución óptima:

53*

1 = x , 56

*

2 = x , 512

* = Z

paso 2

paso 3

aso 4

paso 2

paso 3

aso 4

aso 2

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