BLOQUE 1 · 2012. 5. 31. · Bloque 1.indd 14 11/1/11 7:58 PM Ángulos, triángulos y relaciones...

Al concluir el bloque, podrás:

•Identificar diferentes tipos de ángulos y triángulos.

•Resolver ejercicios y/o problemas mediante la aplicación de las propie-dades de la suma de ángulos de un triángulo.

•Utilizar las propiedades y características de los diferentes tipos de án-gulos y triángulos en la resolución de situaciones matemáticas y reales.

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Ángulos, triángulos y relaciones métricas

Objetos de aprendizaje Competencias por desarrollar

Ángulos:•Porsuabertura.•Porlaposiciónentredosrectas.•Paralelasyunasecante

(transversal).•Porlasumadesusmedidas:

- Complementarios.- Suplementarios.

Triángulos:•Porlamedidadesuslados.•Porlaaberturadesus

ángulos.•Propiedadesrelativasdelos

triángulos.

•Expresaideasyconceptosmedianterepresentacioneslingüísticas,matemáticasográficas.•Sigueinstruccionesyprocedimientosdemanerareflexiva,comprendiendocómocadaunodesuspasoscontribuye

al alcance de un objetivo.•Construyehipótesisydiseñayaplicamodelosparaprobarsuvalidez.•Utilizalastecnologíasdelainformaciónycomunicaciónparaprocesareinterpretarinformación.•Eligelasfuentesdeinformaciónmásrelevantesparaunpropósitoespecíficoydiscriminaentreellasdeacuerdoconsurelevanciayconfiablidad.

•Definemetasydaseguimientoasusprocesosdeconstruccióndeconocimientos.•Proponelamaneradesolucionarunproblemaydesarrollaunproyectoenequipodefiniendouncursodeacciónconpasosespecíficos.

•Aportapuntosdevistaconaperturayconsideralosdeotraspersonasdemanerareflexiva.•Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosylashabilidadesconlosquecuentadentro

de distintos equipos de trabajo.

Actividades de enseñanza Actividades de aprendizaje Instrumentos de evaluación

Presentaralosestudianteslaclasificacióndeángulos y triángulos.

Investigar las características de los diferentes ángulos y triángulos.

Solicitar a los estudiantes un collage donde se muestrenlos diferentes ángulos y triángulos yexponerloalosdemásintegrantes del grupo.

Hacer un collage donde se muestren los diferentes ángulosytriángulosyexponerloalosdemásintegrantes del grupo.

Lista de cotejo para evaluar la elaboración del collage.

Pediralosestudiantesqueinvestiguen cuáles son las rectas y los puntos notables del triángulo.

Entregarunreporteescritoporequiposendondesepresente la investigación sobre las rectas y los puntos notables del triángulo. Usar software para realizar las construcciones geométricas, como el Cabri y/o Geogebra (que es de uso libre en la red).

Lista de cotejo para evaluar el reporte escrito.

Ejemplificaralosestudiantes la solución de ejercicios de las propiedades de ángulos y triángulos.

Obtener ángulos en rectas paralelas cortadas por una secante, a partir de al menos un ángulo conocido.

Lista de cotejo para evaluar cómo resolvieron los ejercicios.

Solicitar a los estudiantes que resuelvan ejercicios y problemas usando las propiedades de ángulos y triángulos en clase yextraclase.Losproblemasplanteados deben estar relacionados con situaciones que seidentificanensucomunidad.

Resolver ejercicios y problemas usando las propiedades deángulosytriángulostantoenclasecomoextraclase.

Rúbricaparaevaluarlosnivelesdedesempeñoqueadquirió el estudiante al resolver los problemas.

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Estasecciónestádiseñadaparaqueidentifiquesyrecuperestusconocimientospreviosacercadelostemasqueestudiarásenestebloque.

1. ¿Qué es un ángulo?

2. ¿Qué partes tiene un ángulo?

3. Dibujaunánguloagudo.

4. Encierraenuncírculolosángulosagudos.

5. Escribeelnombredecincofigurasquepresentenalmenosunángulo.

6. ¿Conocesalgúnoficiooprofesiónenelqueseempleenlosángulos?Escríbelo.

7. ¿Qué es un triángulo?

8. Escribeelnombrededosobjetoscuyasformastenganalmenosuntriángulo.

¿De qué me acuerdo?¿De qué

14 Ángulos, triángulos y relaciones métricas

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Ángulos, triángulos y relaciones métricas

Los ángulos y triángulos son construcciones geométricas que cotidianamente se emplean en gran cantidad de objetos y estructuras, como rampasparasillasderuedas,escaleras,resbaladillas,toboganes,paredes,sillas,aparatosparahacerejercicioycarreteras.

Endiversostrabajosserequieretenerconocimientosobreángulosytriángulosparadesarrollarlosdeformaeficiente,ejemplodeellosonlosquedesempeñanastrónomos,geógrafos,carpinteros,arqui-tectos,ingenieros,fotógrafosydiseñadoresgráficos,pormencionaralgunos.Eltriánguloseempleaenlafabricacióndegrúas,estructurasparatechos,puentesy juegosmecánicos,entreotros,paraconseguir que las estructuras permanezcan con su forma original.

1.1 Ángulos

Un ángulo se define como la abertura formada en un plano por dos rayos llamados lados, los cuales se unenenunpuntodenominadovértice.Enlasiguientefigurasemuestranloselementosdeunángulo.

Signo de un ángulo

Los ángulos se clasifican en positivos cuando su lado terminal se abre en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj, y negativos cuando aquél se abre en el sentido de las manecillas del reloj. Observa la imagen.

Vértice Lado inicial

Lado terminal

Lado terminal

( + )

Lado inicial

(–)

Lado terminal

Lado inicial

Ángulo positivo Ángulo negativo

15Ángulos, triángulos y relaciones métricas

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Notación de ángulos

Los elementos de un ángulo se indican con una notación específica, la cual nos permite distinguir entre los lados, el vértice y la abertura del ángulo; ésta puede componerse como se indica a continuación.

1. Con una letra mayúscula en el vértice.

2. Con una letra minúscula, letra griega minúscula o un número, que se coloca entre los lados del ángulo.

3. Con tres letras mayúsculas, la del vértice en el centro.

Medición de un ángulo

Medirunánguloescompararloconotroquesetomacomounidaddemedida.Existenvariasformasdemedirángulos,peroelsistemasexagesimaleselmásempleadoenMéxico.

Sistema sexagesimalEnéste,lacircunferenciasedivideen360partesigualesdenominadasgrados;ungrado,asuvez,posee60partesigualesllamadasminutos,ycadaminutotiene60partesigualesqueconstituyenlossegundos.Lanotaciónparaestoselementoses:

Grados(°)1circunferencia=360°Minutos(‘)1°=60‘Segundos(“)1‘=60“

Lostransportadoressonherramientasparamedirlosángulos.Haydostipos:unoesunacircunferenciacompleta,divididaen360°,yotroesunasemicircunferencia,conunagraduaciónquevade0°a180°enambossentidos(positivoynegativo).

D

� b 1

B

A C


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c) Tomamos la lectura numérica con el lado fnal.

Trazo de ángulos con el transportador

Paradibujarunánguloconeltransportador,hayqueseguirestasindicaciones.Observalafiguraenlaqueseilustracadapaso.

1. Traza el lado inicial del ángulo.

2. Seleccionaelvérticeenunodelosextremosdelladoinicial.Colocaelorigendeltransportadorenelpuntoanteselegido,cuidandoquelamedidade0°estésobreelvértice.

3. Mide el ángulo y traza una marca.

4. Dibujaunsegmentoparaunirelvérticeconlamarcatrazada.

Lamedidadeunángulonodependedelalongituddesuslados,sinodesuabertura;consideralasiguientefigura:adviertequehaytres ángulos con lados de diferente longitud, pero idéntica abertura.

Aunqueelsistemasexagesimalincluyegrados,minutosysegundos,laescaladeuntransportadorcomúnsólollegaagrados,porloquesiserequierehacermedicionesexactas,seempleaeltransportadordeprecisiónogoniómetro.

a �y

a � y

Lamedidadeunángulonodependedelalongituddesuslados,sinodesuabertura;consideralasiguientefigura:adviertequehaytres ángulos con lados de diferente longitud, pero idéntica abertura.

a �y

a � y

a �y

a � y

a �y

a � y

Ponte en forma

Aunqueelsistemasexagesimalincluyegrados,minutosysegundos,laescaladeuntransportadorcomúnsólollegaagrados,porloquesiserequierehacermedicionesexactas,seempleaeltransportadordeprecisiónogoniómetro.

Ponte Ponte

1. Mide los ángulos indicados y anota en la línea su medida en grados.

b) Colocamos el lado inicialen0º

a) Colocamos el vértice del ángulo en el origen del transportador


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Adiciones y sustracciones con ángulos

Casos de adición con ángulos

Ponte en formaPonte Ponte

1. Toma cada segmento como lado inicial y traza un ángulo positivo con la medida indicada.

�=30° � = 45° �=70° �=100° �=190°

ε = 215° � = 257° �=270° �=324° �=348°

Medida de losángulos Ejemplo Característica

Grados 50°+35° = 85°

Grados y minutos

50°40‘+35° 12‘ 85° 52‘

La suma de los minutos no completa un grado.

40°54‘+45°6‘85°60‘como60‘=1°=86°

La suma de los minutos completa un grado.

72°56‘+55°43‘85°99‘como60‘=1°=99‘–60‘=39‘tenemos99‘=1°=39‘entoncesson85°+1°=39‘=86°39‘

Lasumadelosminutosexcedeungrado.


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Ponte en formaPonte Ponte 1. Reúnanse en equipos y resuelvan las siguientes sumas de ángulos.


Grados y segundos

50°40“+35° 12“ 85° 52“

La suma de los segundos no completa un minuto.

40°54“+45°6“85°60“como60“=1‘85°+1‘=85°1‘

La suma de los segundos completa un minuto.

72°56“+55°43“85°99“como60“=1‘=99“–60“=39“tenemos99“=1‘39“entoncesson85°+1‘39“=85°1‘39“

Lasumadelossegundosexcedeunminuto.


Minutos y segundos

28‘ 42“+15‘11“43‘53“

La suma de los segundos no completa un minuto.

24‘ 47“+32‘13“56‘60“como60“=1‘56‘+1‘=57’

La suma de los segundos completa un minuto.

12‘56“+25‘43“37’99“como60“=1‘=99“–60“=39“tenemos99“=1‘=39“entoncesson37‘+1‘+39“=38‘39“

Lasumadelossegundosexcedeunminuto.

42°30‘22“+12° 12‘ 14“

55°34‘42“+15° 12‘04“

22°03‘34“+37° 42‘ 44“

22°03‘34“+31° 42‘ 44“

45°30‘52“+15° 29‘13“

52°30‘52“+15° 29‘13“

82°00‘28“+15° 00‘32“

98°00‘18“+17° 00‘22“

73°30‘12“+35° 12‘34“

72°30‘12“+36° 42‘34“


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Casos de sustracción con ángulos


Grados 50°–35° = 85°

Grados y minutos

50°40‘–35° 12‘ 15° 28‘

Elminuendodelosminutosesmayorqueelsustraendo de los minutos.

60°54‘–44° 54‘16°00‘

Elminuendoyelsustraendodelosminutos son iguales.

72°26‘–55°43‘

Tomamos1°delminuendo,loconvertimosa60‘yselosumamos a los minutos que tenemos:

72°26‘=71°+1°+26‘=71°+60‘+26‘=71°86‘

71°86‘–55°43‘16°43‘

Elminuendodelosminutosesmenorqueelsustraendo de los minutos.

Recuerda que:1°=60‘


Grados y segundos

50°40“–38°13“ 12° 27“

Elminuendodesegundosesmayorqueelsustraendo de segundos.

50°14“–44° 14“6°00“

Elminuendoyelsustraendodesegundos son iguales.

72° 25“–55°40“

Tomamos1°delminuendo,loconvertimosa60‘,quedando71°60‘25“Ahoratomamos1‘yloconvertimosasegundos,quedando71°59‘60“+25“=71°59‘85“

Así realizamos la resta

71° 59‘ 85“–55°00‘40“16°59‘45“

Elminuendodesegundosesmenorqueelsustraendo de segundos.

Recuerda que:1°=60‘1‘ = 1“


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Minutos y segundos

28‘ 42“–15‘ 11“13‘31“

Elminuendodelossegundosesmayorqueelsustraendo de los segundos.

24‘ 47“–22‘ 47“2‘00“

Elminuendoyelsustraendodelossegundosson iguales.

32‘6“–25‘43“

Tomamos un 1‘ del minuendo, lo convertimos a segundos 32‘–1‘=31‘

32‘6“=31‘+1‘+6“=31‘+60“+6“=31‘66“

Así realizamos la resta

31‘66“–25‘43“6‘23“

Elminuendodelossegundosesmenorqueelsustraendo de segundos.

Recuerda que:1‘=60“

Ponte en formaPonte Ponte

1. Reúnanse en equipos y resuelvan las siguientes sustracciones de ángulos.

45°30‘22“–15° 12‘ 14“

55°34‘42“–28° 12‘04“

42°03‘34“–25° 42‘ 44“

53°03‘34“–52° 42‘ 44“

47°30‘52“–45° 29‘13“

79°30‘52“–55° 29‘13“

92°00‘28“–19° 00‘32“

65°00‘58“–53° 00‘02“

72°30‘12“–35° 42‘34“

72°30‘12“–35° 42‘34“


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Clasificación de ángulos

Los ángulos se pueden clasificar según varios criterios: por su abertura, por la posición del observador y por la posición de sus lados.

Ponte en forma

TIC

Ponte Ponte

Los ángulos se pueden clasificar según varios criterios: por su abertura, por la posición del observador y por la posición de sus lados.

TICTICTIC

1. Investigacómoseclasificanlosángulossegúnsumagnitud,escribeenlasiguientetablalosdatosyhazlasrepresentaciones indicadas. Recurre a libros, enciclopedias o sitios web.

Visita los siguientes sitios para encontrar información acerca de clasificación de ángulos por su abertura.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/angulosclasificacion.htmhttp://www.icarito.cl/enciclopedia/articulo/segundo-ciclo-basico/matematica/geometria/2009/12/102-8681-9-1-angulos.shtml

Clasifi cación de ángulos según su magnitud

Nombre Medidas Representación gráfi ca Imagen de un objeto que contenga el ángulo

Nulo

Agudo


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Clasificación de ángulos según su magnitud

Nombre Medidas Representación gráfica Imagen de un objeto que contenga el ángulo

Recto

Obtuso o convexo

Llano, colineal o extendido

Entranteocóncavo

Perigonoocompleto


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Clasificación de ángulos según la posición del observador

Ponte en formaPonte Ponte 1. Analiza la magnitud de los ángulos y escribe el nombre que le corresponde.

Magnitud Nombre del ángulo Magnitud Nombre del ángulo

2° 222°

124° 14° 14‘ 14“

45°30‘ 145°30‘

289° 9‘ 89° 9‘

99°20‘3“ 199°20‘3“

360° 359°59‘59“

45° 89° 45‘

180° 180°2‘1“

235°23‘ 179° 59‘

43°12‘3“ 3“

Nombre Características Representación

Ángulo de elevaciónEstáformadoporlahorizontalquepasaporelojodelobservador y el rayo que se determina al dirigir la vista haciaunpuntoporencimadelobservador.

Ángulo de depresiónEstáformadoporlahorizontalquepasaporelojodelobservador y el rayo que se determina al dirigir la vista haciaunpuntopordebajodelobservador.

Ángulo de elevación

Observador

Ángulo de depresiónObservador


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Ponte en formaPonte Ponte 1. Enlassiguientesfiguras,trazaunalíneahorizontalapartirdelojodelobservadoryotralíneahaciadondese

dirige la vista. Luego, escribe cómo se clasifica ese ángulo según la posición del observador.


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Clasificación de ángulos por la posición de sus lados


Ángulos consecutivos Tienen vértice común y un lado común.

Ángulos adyacentes Son consecutivos y los lados no comunes forman parte de una misma recta.

Ángulos opuestospor el vértice

Los lados de uno de ellos son prolongacionesde los lados del otro.

Ponte en formaPonte Ponte 1. Observa el ángulo marcado con rojo y escribe su nombre según su posición entre las dos rectas formadas.

� �

a b

y

El es opuesto al yδ

δ


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Ponte en formaPonte Ponte 1. Encuentraelvalordelasincógnitasenlossiguientesejercicios.

Piensa 1. Identificaencuáldelossiguientescasosseformanángulosconsecutivosyanótalo.Paralosotrosdospares,

justifica por qué no cumplen con las condiciones necesarias para ser ángulos consecutivos.

a

b

a

b

b

a

46˚

88˚

C

125˚

?

30˚

80˚

138˚

?


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a

105˚

b

c

?

52˚

95˚

120˚

125˚

85˚

a

cb

d e

f

95˚

130˚

30˚

a

75˚ ? 30

50˚

˚


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Clasificación de ángulos por la suma de sus medidas


Ángulos complementarios

Sondosánguloscuyasmagnitudessuman90º.Unángulo es complemento del otro, si:

∡ α + ∡ β = 90°

Ángulos suplementarios

Sondosánguloscuyasmagnitudessuman180º.Un ángulo es suplemento del otro, si:

∡ α + ∡ β = 180°

Ángulos conjugados

Sondosánguloscuyasmagnitudessuman360°.Un ángulo es conjugado de otro si:

∡ α + ∡ β = 360°

�

�

��

�

�

Ponte en formaPonte Ponte 1. Calcula el complemento, suplemento y conjugado de cada uno de los siguientes ángulos y anótalo.

Ángulo Complemento Suplemento Conjugado

43°

79°

55°10’

25’25’’

55’

20’

45’’

13’’

4°59’20’’

40°40’40’’


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Cuandodosrectasparalelassoncortadasporunatransversal,seformanochoángulosqueseclasificanporparejas,yaseaporsuposición entre las paralelas o la transversal.

Clasificación de pares de ángulos

Correspondientes:sondosángulossituadosdelmismoladodelatransversal(unointernoyotroexterno)yquesoncongruentes(es decir, tienen la misma medida).

Ángulos interiores o internos Ángulos exteriores o externos

Son los que se encuentran entre las líneas paralelas. Son los que se encuentran fuera de las líneas paralelas.

Ángulos colaterales Ángulos alternos

Son los que se encuentran de un mismo lado de la transversal. Son los que se encuentran en lados opuestos respecto de la transversal, sin ser consecutivos.


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Alternos internos: se trata de dos ángulos situados a uno y otro lado de la transversal (alternos), dentro de las paralelas (internos) y son congruentes.

Alternos externos:sondosángulossituadosaunoyotro ladode latransversal (alternos)yfuerade lasparalelas(externos).También son congruentes.

Colaterales internos: se trata de dos ángulos situados del mismo lado de la transversal (colaterales) y dentro de las paralelas (internos). Son suplementarios.

Colaterales externos:sondosángulossituadosdelmismoladodelatransversal(colaterales)yfueradelasparalelas(externos).Son suplementarios.

Observa que los ángulos formados por dos rectas paralelas que están cortadas por una recta transversal, presentan las siguientes propiedades:

1. Los pares de ángulos correspondientes son iguales.

2. Los pares de ángulos alternos internos son iguales.

3. Los ángulos colaterales internos son suplementarios.

4. Losánguloscolateralesexternossonsuplementarios.

5. Si varias rectas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas también es perpendicular a las otras.


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Ponte en formaPonte Ponte 1. A partir de la siguiente figura, escribe las letras de los ángulos solicitados en cada inciso.

a) Ángulos correspondientes b) Ángulos alternos internos c)Ángulosalternosexternos

d) Ángulos colaterales internos e)Ánguloscolateralesexternos f) Ángulos opuestos por el vértice

2. Escribeelvalordetodoslosángulosfaltantes.

a) b)

c) d)

x y

z w

a

c

b

l

md

150˚

50˚

50˚

65˚

70˚


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3. Calcula todos los ángulos indicados en cada figura. (Sugerencia: alarga las rectas paralelas y la línea transversal.)

a) b)

c) d)

e) f)

35˚

73˚

y

AB

CD

x

D C

A B

38˚

68˚x

y

A B

DC

190˚

S´

S

xy

54˚

70˚x y y

A B

E

DC

60˚

54˚

FG

x

y

x + 2y

4yA

120˚

B

C D

S´

S


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1.2 Triángulos

Eltriángulosedefinecomounaporcióndelplanolimitadoportresrectasquesecortandosados.Loselementosdecualquiertriánguloson: tres vértices, tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores. Los vértices corresponden a los tres puntos no alineados que determinan el triángulo. Los lados, en tanto, son tres segmentos de recta que se cortan en los vértices y delimitan el triángulo.Finalmente,losángulosinterioresseformancondosladosconsecutivosdeltriángulo,ylosexteriores,conlaprolongaciónde un lado y el lado consecutivo.

Notación de los elementos de un triángulo

Paradistinguirloselementosdeltriángulo,seusandiferentessímbolos.Losvérticessenombranconletrasmayúsculasylosladosconletras minúsculas; en los ángulos, se emplean letras minúsculas del alfabeto griego, como puedes observar en las siguientes figuras (adviertequeenlaqueestáaladerecha,losángulosinterioresestánmarcadosenrojoylosexterioresenverde).Tambiénseocupaelsímbolo ∡paraseñalaralángulo.

Otramaneradeindicarloslados,esusarlasletrasmayúsculascorrespondientesalosdosvérticesqueconstituyensusextremosycolocarunalíneahorizontalsobreellas,delasiguientemanera:

AB BC AC

Elsímbolo∆seutilizaparaindicaruntriángulo,porejemplo,lasfigurasanteriorespuedenserreferidascomo:∆ABC.

Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y la magnitud de sus ángulos internos.

β

α

B

ACA

B

ac

b

�

C

β

α

B

ACA

B

ac

b

�

C

TIC

Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y la magnitud de sus ángulos internos.

TICTICTICEnlasiguientedirecciónelectrónicaencontrarásinformaciónsobretriángulos:

http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm


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Ponte en formaPonte Ponte 1. Pararecordarcómoseclasifican lostriángulossegúnla longituddesus lados,completa lasiguientetabla.

Investiga en libros, enciclopedias o sitios web.


Equilátero

Sus lados son:

Sus tres ángulos miden:

Isósceles

Dosdesusladosson:

Dosángulosson:

Escaleno

Sus tres lados son:

Sus tres ángulos son:

2. Pararecordarlaclasificacióndetriángulossegúnlamagnituddesusángulos,completalasiguientetabla.Investigaenlibros,enciclopedias o sitios web.


Obtusángulo Tiene un ángulo:

Acutángulo Sus tres ángulos son:

Rectángulo Tiene un ángulo:


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Propiedadesgeneralesdelostriángulos

Todos los triángulos, independientemente de la longitud de sus lados o la magnitud de sus ángulos internos, cumplen estas propiedades:

1. Lasumadesusángulosinterioresesiguala180°.

2. Lasumadesusángulosexterioressiempreesiguala360°.

3. Unánguloexterioresigualalasumadelosdosángulosinterioresnoadyacentesaél.

4. Un lado cualquiera es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

5. Elladomayorseoponealángulodemayormagnitud.

Adicionalmente,lostriángulosisóscelestienenunapropiedadespecífica:asusdosladosigualesseoponenángulosiguales.

Enlassiguientesactividadespodráscomprobarlaspropiedadesdelostriángulos.

Piensa 1. Analiza los cuestionamientos y contesta. Justifica cada respuesta y da un ejemplo. Si la respuesta es afirmativa,

además dibuja en tu cuaderno la figura con los datos que permitan cumplir la condición.

a) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo obtusángulo?

b) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo rectángulo?

c) ¿Un triángulo equilátero puede ser triángulo acutángulo?

d) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo obtusángulo?

e) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo rectángulo?

f) ¿Un triángulo isósceles puede ser triángulo acutángulo?

g) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo obtusángulo?

h) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo rectángulo?

i) ¿Un triángulo escaleno puede ser triángulo acutángulo?


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Bloque 1.indd 36 11/1/11 7:59 PM

Ponte en formaPonte Ponte 1. Trazatrestriángulosdistintos,recortacadaunoenotrostrestriángulosdistintos.Después,pegatodoslosvértices

de cada triángulo sobre un mismo punto. Al terminar, responde:

a) ¿Qué observaste al pegar los ángulos de los tres triángulos en forma consecutiva?

b) ¿Cuál es la medida del ángulo que forman?

2. Determinaelángulofaltanteencadatriángulo.

3. Enlossiguientestriángulosestánindicadoslosángulosinterioresconsumedida(lafiguranoestáaescala).

a) Obténelvalordelosángulosexterioresyanótalo.

b) ¿Cuántosumanlosángulosexterioresencadacaso?

a) c) b)

46˚

?

57˚

?

62˚

20˚

135˚

?

52˚

48˚

80˚ 51˚ 75˚

52˚

48˚

80˚ 51˚ 75˚


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Bloque 1.indd 37 11/1/11 7:59 PM

Piensa 1. Sigue las instrucciones para el siguiente triángulo y luego responde.

a) Mide los ángulos interiores del triángulo y anota la medida de cada uno.

b) Prolongaunodelosladosparaformarunánguloexterior.Mídeloyescribesumagnitud.

c) Sumalosángulosinterioresnoadyacentesalánguloexteriortrazado.Escribesumedida.¿Quénotas?

d) ¿Sucederálomismosirepiteselprocedimientoparalosotrosdosángulosexteriores?¿Porquécreesqueocurraesto?

2. Paracadatriángulo,calculaelánguloexteriorfaltante.

?

42

?

42˚

?

74˚

42˚

?

42

?

42˚

?

74˚

42˚

a) b) c)


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Bloque 1.indd 38 11/1/11 7:59 PM

Ponte en formaPonte Ponte Haz la siguiente actividad que te permitirá comprobar la propiedad 4 de los triángulos.

1. Responde y argumenta tu respuesta en cada caso (puedes usar una representación gráfica para ello, utiliza tu cuaderno).

a) ¿Esposibleformaruntriánguloenelquelasumadedosladosseamayorquelamedidadeltercerlado?

b) ¿Esposibleformaruntriánguloenelquelasumadedosladosseaigualquelamedidadeltercerlado?

c) ¿Esposibleformaruntriánguloenelquelasumadedosladosseamenorquelamedidadeltercerlado?

Paracomprobardemodográficolapropiedad4delostriángulos,tambiénpuedesusaralgunosmaterialessencillos.Enestapartedelaactividad necesitarás doce palillos de madera (cada uno representará un valor de 1 unidad de longitud); reúnelos y sigue las indicaciones. Debesusartodoslospalillosencadacaso.

2. Usalospalillosparaformarlostriángulosqueseindican.Dibújalosentucuadernoyresponde.

a) Triángulo equilátero. Anota cuánto mide cada lado.

a+b = c =

b+c = a =

a+c = b =

a − b = c =

b − c = a =

a − c = b =


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Bloque 1.indd 39 11/1/11 7:59 PM

b) Triánguloconladosde3,4y5unidades.Anotacuántomidecadalado.

a+b = c =

b+c = a =

a+c = b =

a − b = c =

b − c = a =

a − c = b =

c) Triángulo con dos lados de 5 unidades. Anota cuánto mide el tercer lado.

a+b = c =

b+c = a =

a+c = b =

a − b = c =

b − c = a =

a − c = b =

3. Siintentamostrazarlossiguientestriángulos,¿enquécasossípodríamoshacerlo?Explicaporqué.

5 cm

10 cm

4 cm

5 cm

5 cm

5 cm

2 cm

7 cm

10 cm


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Bloque 1.indd 40 11/1/11 7:59 PM

4. Ahorarealizaloqueseindicaparacomprobarlapropiedad5delostriángulos.

a) Determinalamedidadelostresángulosinterioresyanótala.¿Cómoessumagnitud?

b) Mide los tres lados y escribe su longitud. Observa y compara la posición y longitud de cada lado en relación con los otros. ¿Qué puedes decir al respecto?

5. Verifica si las conclusiones obtenidas para el ejercicio anterior también son válidas para los siguientes triángulos. Haz lo que se indica y responde.

a) Mide los ángulos, márcalos y escribe su medida.

b) Mide los lados, márcalos y escribe su longitud.

c) ¿Qué característica tienen dos de los lados, en ambos triángulos?

d) ¿Qué característica tienen dos de los ángulos, en ambos triángulos?

e) ¿Estosladosyángulosserelacionandealgunamanera?

f) ¿Qué sucede con el tercer lado y ángulo, que no consideraste para responder los incisos c y d?

k

Md

m

K

D


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Bloque 1.indd 41 11/1/11 7:59 PM

Rectas y puntos notables en un triángulo

Enuntriángulopodemostrazarcuatrorectasnotables,cadaunaconsucorrespondientepuntonotable.

Altura y ortocentroLa altura es un segmento de recta perpendicular que va de un vértice al lado opuesto o la prolongación del mismo; cada triángulo tiene tres alturas.

Elortocentroeselpuntodondeseintersecanlasalturasdeuntriángulo.Enuntriánguloacutángulo,ésteselocalizaenelinteriorde la figura; en un triángulo rectángulo coincide con el vértice del ángulo recto, y en el triángulo obtusángulo, queda localizado fuera del triángulo.

c

A B

B‘

A‘

C‘

Ortocentro

A

BC

del triángulo.

A

CB

ha

hb

A

hb

hc

B hcC

A

hahc

cB hb

Ortocentro

TICTICTICTICEnlasiguientedirecciónelectrónicaencontrarássimulacionesconlasalturasyelortocentrodeuntriángulo;podrásmanipularloselementosdeltriánguloyobservarcómosecambiaelortocentroalhacerlo.

http://www.mathopenref.com/triangleorthocenter.html


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Bloque 1.indd 42 11/1/11 7:59 PM

Ponte en formaPonte Ponte 1. Traza la altura a partir del lado AB en los siguientes triángulos y al finalizar responde las preguntas.

a) ¿Dóndequedaubicadalaalturatrazadaenelprimertriángulo?

b) ¿Dóndequedaubicadalaalturatrazadaenelsegundotriángulo?

c) ¿Dóndequedaubicadalaalturatrazadaeneltercertriángulo?

2. Ahoratrazalastresalturasenlossiguientestriángulosydeterminaelortocentro.Alfinalizarrespondelaspreguntas.

a) ¿Dóndequedósituadoelortocentrodel∆ABC?

b) ¿Dóndequedósituadoelortocentrodel∆MNP?

c) ¿Dóndequedósituadoelortocentrodel∆JKL?

A BA BBA

B

A C

N

PM

K

J L


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Bloque 1.indd 43 11/1/11 7:59 PM

Medianas y baricentroLa medianaeselsegmentoderectaquepartedeunvérticeyllegahastaelpuntomediodelladoopuesto.Unamedianadivideauntriángulo en dos triángulos con la misma área. Todo triángulo tiene tres medianas.

Elbaricentro —también llamado centro de gravedad— es el punto donde se intersecan las medianas de un triángulo. Éste siempre estáenelinterioraltriánguloydivideacadamedianaenunaproporción2:1.Enlasiguientefigurasemuestranlasmedianasyelbaricentro de algunos triángulos de distintas dimensiones.

BaricentroA

mBmC

B mA C

A

mC mB

B mA C

Baricentro

mC

A

mB

CmAB

BaricentroA

mBmC

B mA C

A

mC mB

B mA C

Baricentro

mC

A

mB

CmAB

TICTICTICTICConsultaMathOpenReferenceenladirecciónhttp://www.mathopenref.com/trianglecentroid.html; encontrarás un applet que te muestra las medianas y el baricentro de un triángulo; además, puedes manipular el triángulo para observar lo que sucede.


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A

C B

A

C B B

A

C

Mediana de ABMediana de ACMediana de CB

A

C B

A

C B B

A

C


A

C B

A

C B B

A

C


Bloque 1.indd 44 11/1/11 7:59 PM

Ponte en formaPonte Ponte 1. Traza la mediana a partir del lado AB en los siguientes triángulos y responde.

a) ¿Enquéposiciónquedalamedianatrazadaenelsiguientetriángulo?

b) ¿Enquéposiciónquedalamedianaenelsiguientetriángulo?

c) ¿Enquéposiciónquedalamedianaenelsiguientetriángulo?

2. Traza las tres medianas en los siguientes triángulos y obtén el baricentro.

a) ¿Dóndequedósituadoelbaricentrodel∆ABC?

b) ¿Dóndequedósituadoelbaricentrodel∆MNP?

c) ¿Dóndequedósituadoelbaricentrodel∆JKL?

B

A C

N

M P

K

J L


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A B

A B

A B

Bloque 1.indd 45 11/1/11 7:59 PM

Mediatrices y circuncentroUna mediatriz es la recta perpendicular que se traza a partir del punto medio de un lado. Todo triángulo tiene tres mediatrices.

Elcircuncentro es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo y también es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del mismo.

Eneltriánguloacutángulo,elcircuncentroestáenelinteriordelafigura;eneltriángulorectángulo,coincideconelpuntomediodelahipotenusay,eneltriánguloobtusánguloesunpuntoexterioraltriángulo.

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

Mb

Mc

C

Ma

B

A

0 MbMc

Ma

CB

A

A

B C

MM

M

ab

c

0

TICTICTICTICVisitaMathOpenReferenceenladirecciónhttp://www.mathopenref.com/trianglecircumcenter.html; en él encontrarás un applet que te muestra las mediatrices y el circuncentro de un triángulo; también puedes manipular el triángulo para observar lo que sucede.


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Bloque 1.indd 46 11/1/11 7:59 PM

Ponte en formaPonte Ponte 1. Traza la mediatriz a partir del lado AB en los siguientes triángulos.

2. Trazalastresmediatricesenlossiguientestriángulosydeterminaelcircuncentro.Después,dibujalacircunferenciaquepasaporlosvérticesdeltriánguloycuyocentroeselcircuncentro.Porúltimo,respondelaspreguntas.

a) ¿Dóndeselocalizaelcircuncentrorespectoal∆ABC?

b) ¿Dóndeselocalizaelcircuncentrorespectoal∆MNP?

c) ¿Dóndeselocalizaelcircuncentrorespectoal∆JKL?

A B A B A BA B A B A B

A B A B A B

A

B

C

N

PM

K

J L


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Bloque 1.indd 47 11/1/11 7:59 PM

Bisectrices e incentroLa bisectriz es la recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Todo triángulo tiene tres bisectrices.

Elincentro es el punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo y también es el centro de la circunferencia que está inscrita enuntriángulo,yestangentealostresladosdeéste.Porello,elincentrosiempreestáalinteriordeltriángulo.

A A

B CC

A

BC B

A A

B CC

A

BC B

A A

B CC

A

BC B

A

bB

CbA

b

B

Incentro

A

bBb

B bA C

b

A

bB

CbAB

Incentro

C

C C

A

bB

CbA

b

B

Incentro

A

bBb

B bA C

b

A

bB

CbAB

Incentro

C

C C

TICTICTICTICConsultaMathOpenReferenceen ladirecciónhttp://www.mathopenref.com/triangleincenter.html, en la cual encontrarás un applet que te muestra las bisectrices y el incentro de un triángulo; además, puedes manipular el triángulo para observar lo que sucede.


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Bloque 1.indd 48 11/1/11 7:59 PM

Ponte en formaPonte Ponte 1. Traza las tres bisectrices en los siguientes triángulos para obtener el incentro y dibuja la circunferencia tangente

a los lados del triángulo. Al finalizar, responde las preguntas.

a) ¿Dóndeselocalizaelincentrorespectoal∆ABC?

b) ¿Dóndeselocalizaelincentrorespectoal∆MNP?

c) ¿Dóndeselocalizaelincentrorespectoal∆JKL?

B

A C

N

M P

K

J L


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Bloque 1.indd 49 11/1/11 7:59 PM

Autoevaluación

Autoevaluación sobre competencias genéricas

Criterio por autoevaluar Nunca A veces Siempre

1. Solicité ayuda para resolver mis dudas.

2. Cuando cometí errores, los acepté y corregí.

3.Expresémisideasconlenguajegráficoysimbólico.

4. Seguí las instrucciones para llevar a cabo las actividades.

5. Consulté los sitios web sugeridos.

6.Diseguimientoamiaprendizajeenformaconstante.

7. Ayudé en la organización y resolución de trabajos en equipo.

8.Dialoguéconmiscompañerosdemanerarespetuosa.

9. Hice todas mis actividades en tiempo y forma.

Utilización de la escala tipo LikertTotalAcuerdo(TA);ParcialAcuerdo(PA);NiAcuerdo/NiDesacuerdo(NA/ND);ParcialDesacuerdo(PD);TotalDesacuerdo(TD).

Autoevaluación por competencias disciplinares

Criterio TA PA NA/ND PD TD

Puedoexpresarverbalymatemáticamenteideassobreángulosytriángulos.

Identificotodoslostiposdeángulosytriángulos.

Utilizo las propiedades y características de ángulos y triángulos para valorar objetos en mi entorno.

Puedoresolverlamayoríadelosejerciciosy/oproblemasrelacionadosconángulos y triángulos.


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Bloque 1.indd 50 11/1/11 7:59 PM

1. Resuelve los crucigramas.

Verticales

1. Ángulos con un lado y vértice común.

2. Unidad de medida de ángulos que sedivideen60segundos.

4. Instrumento para medida de ángulos en grados.

5.Ánguloquemide90°.

6.Unidaddemedidadeángulosquesedivideen60minutos.

8. Ángulo que se forma cuando vemos haciaabajo.

11. Ángulo que se forma cuando vemos haciaarriba.

13.Ánguloquemidemásde0°ymenosde90°.

14.Pardeángulosquesuman90°.

15. Instrumento para mediciones exactasdeángulos.


19. Ángulos situados entre las dos paralelas cortadas por una transversal.

22. Ángulos situados fuera de las dos paralelas cortadas por una transversal.

Horizontales



7.SistemademedidadeángulosenMéxico.

9. Ángulos situados en lados opuestos de la transversal sin ser consecutivos.

10.Ángulosdonde los ladosdeunosonprolongaciones del otro.

12. Ángulos situados del mismo lado de la transversal que interseca dos paralelas.

16.Aberturaque formados ladosqueparten de un mismo punto.





24. Ángulos situados del mismo lado de una transversal siendo uno interno y otroextremo.

1. Resuelve los crucigramas.

Lo que aprendíLo que aprendí


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Bloque 1.indd 51 11/1/11 7:59 PM

Verticales

2.Puntodondeseintersecanlasmediatricesdeuntriángulo.

3.Puntodondeseintersecanlasbisectricesdeuntriángulo.

4.Puntodondeseintersecanlasalturasdeuntriángulo.

5.Lasumadeestosánguloses360°.

8. Triángulo con un ángulo obtuso.

9. Recta perpendicular en el punto medio de un lado.

11. Recta que divide un ángulo en dos ángulos de igual medida.

12. Triángulo con un ángulo recto.

15.Puntosnoalineadosquedeterminanuntriángulo.

17.Encualquiertriángulo,al ladomayorse leoponeelángulo...

19.Segmentoderectaquepartedeunvérticehastasuladoopuesto o prolongación de éste, en forma perpendicular.

Horizontales

1. Triángulo con tres ángulos agudos..

5. Triángulos con tres lados diferentes.

6.Puntodondeseintersecanlastresmedianasdeuntriángulo.

7. Segmentos de recta que se forman con dos lados consecutivos de un triángulo.

10.Triángulocondosladosiguales.

13.Triángulocontresladosiguales.

14.Característicadeltriánguloquelohaceimprescindibleenlasconstrucciones.

16.Lasumadeéstosánguloses180°.

18.Segmentoderectaquepartedeunvérticehastaelpuntomediodel lado opuesto.


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Bloque 1.indd 52 11/1/11 7:59 PM

2. Calcula el ángulo faltante y escribe el nombre de cada par de ángulos

3. Determinaelvalordelángulomarcadoconsignodeinterrogación.

51˚

60˚ 25´48˚ 43´

xx x

102˚ 13´ 20”46˚ 52´ 30”

115˚

x

x

x

102˚ 13´ 20”46˚ 52´ 30”

115˚

x

x

x

a?

eb

cd

higjk

f

119˚

98˚


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Bloque 1.indd 53 11/1/11 7:59 PM

4. Enel∆ABC se ubica el punto D sobre el lado AB. Obtén los ángulos indicados en cada inciso.

a) ∡ACD = b) ∡DCB =

c) ∡CBD = d) ∡ACB =

5. Dadoslos puntos A, B, C y M, prueba que ∡ABC es un ángulo recto, si AM = BM = CM.

6. El∆ABC esisóscelesconunángulode36°.ElsegmentoBD divide al ∡Benpartesiguales.Pruebaque AB = BD = CD.

C

A D B30˚ 50˚ 40˚

C

BMA

C

36˚

D

BA


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7. Enlasiguientefiguraestánmarcadosalgunossegmentosyángulos.Haz lo que se indica y responde. Considera que ∡NMK=108°y el segmento RW es paralelo al segmento JK.

a) ¿Cuál es el valor del ∡WNM?

b) Escribelasparejasdeángulos.

• Correspondientes

• Alternos internos

• Alternosexternos

• Colaterales internos

• Colateralesexternos

c) ¿Quétipodetriánguloes∆JMT?

d) ¿Quétipodetriánguloes∆NMJ?

e) Nombre de los ángulos (por su medida).

∡RNJ ∡NMK ∡RNM

f) ¿Cómo podrías calcular la medida de los ángulos centrales de la rueda?

8. Respondelaspreguntas.Paracadacaso,justificaypresentaunejemplo.

a) ¿Elbaricentropuedelocalizarsefueradeuntriángulo?

b) ¿Elincentropuedelocalizarsefueradeuntriángulo?

c) ¿Elortocentropuedelocalizarsefueradeuntriángulo?

d) ¿Elcircuncentropuedelocalizarsefueradeuntriángulo?

w

A B

K

MN

J TR


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BLOQUE 1 · 2012. 5. 31. · Bloque 1.indd 14 11/1/11 7:58 PM Ángulos, triángulos y relaciones...

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