ATRACTOR DE RÖSSLER

INICIACIÓN A LA TEORÍA DEL CAOS Y FRACTALES CURSO 2009-2010

ÍNDICE

Introducción: Atractores

El atractor de Rössler:

Variaciones según los parámetros de la ecuación Aplicación del atractor de Rössler:

Reacciones químicas oscilatorias

INTRODUCCIÓN

Los sistemas dinámicos suelen ser definidos en términos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para un período breve. Para determinar el comportamiento del sistema para períodos más largos es necesario integrar las ecuaciones, ya sea analíticamente o por métodos numéricos (iteración), para lo que se ha hecho imprescindible la ayuda de los ordenadores.

Los sistemas dinámicos procedentes de aplicaciones físicas tienden a ser disipativos: si no fuera por alguna fuerza externa el movimiento cesaría. La disipación puede proceder de fricción interna, pérdidas termodinámicas o pérdida de material, entre otras causas. La disipación y la fuerza externa tienden a combinarse para eliminar el transitorio inicial y hacer entrar al sistema en su comportamiento típico. La parte del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el atractor.

Los conjuntos invariantes y los conjuntos límite son conceptos muy relacionados con el de atractor:

Un conjunto invariante es un conjunto que evoluciona hacia sí mismo cuando está sujeto a la legalidad del sistema dinámico. Los atractores pueden contener conjuntos invariantes.

Un conjunto límite es el estado al que llega el sistema después de un tiempo infinito. Los atractores son conjuntos límite, pero no todos los conjuntos límite son atractores: es posible que un sistema converja hacia un conjunto límite, pero que, una vez instalado en él, sufra pequeñas perturbaciones que lo alejen definitivamente del conjunto.

Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la teoría del caos.

Los atractores son partes del espacio de fases del sistema dinámico. Hasta los años 60, se creyó que los atractores eran conjuntos geométricos del espacio de fases (puntos, líneas, superficies o volúmenes) y que los conjuntos topológicamente extraños eran frágiles anomalías. Stephen Smale demostró que su mapa de herradura de caballo (herradura de Smale) era estructuralmente robusta y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor.

El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.

Tipos de atractores:

Punto fijo

Un punto fijo o punto de equilibrio es el punto correspondiente al estado del sistema que permanece constante el tiempo. Ejemplos: el estado final de una piedra que cae, un péndulo o un vaso con agua.

Ciclo límite

Un ciclo limite es una órbita periódica del sistema que está aislada. Ejemplos: el circuito de sintonía de una radio.

Toro límite

Una trayectoria periódica de un sistema puede ser gobernada por más de una frecuencia. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, si son inconmensurables), la trayectoria no se cerrará y el ciclo límite se convertirá en un toro.

Atractor extraño

A diferencia de los atractores clásicos, los atractores extraños tienen estructura a todas las escalas. Un atractor es extraño si tiene dimensión no entera (o "fractal") o si la dinámica en el atractor es caótica.

Características generales de los atractores extraños: 1º. Son considerados atractores extraños, por no presentan geometría euclidiana, pero si una dimensión fraccionada. Sus trayectorias no son curvas sencillas. 2º. Presentan sensibilidad extrema a las condiciones iniciales. 3º. Pueden poseer comportamientos contradictorios:

a) Convergencia al atractor:

Es invariante frente a la dinámica del sistema. Es decir, cualquier trayectoria que comience en el atractor permanece en él indefinidamente.

Atrae a un conjunto abierto de condiciones iniciales suficientemente cercanas a él. Al conjunto más grande de tales condiciones se le denomina cuenca de atracción.

b) Divergencia de las trayectorias del atractor: Presencia de sensibilidad extrema a las condiciones iniciales.

Partamos del sistema dinamico que puede ser descrito geométricamente a través de su atractor asociado. Consideraremos un ejemplo clásico que nos permitirá introducir el concepto de caos determinista y un nuevo atractor. El sistema siguiente es el modelo de Lorenz:

El atractor de Rössler es un modelo del modelo de Lorenz (metamodelo), el cual nos permitirá simplificar la estructura del atractor de Lorenz.

EL ATRACTOR DE RÖSSLER El atractor de Rössler, es un atractor del sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. Estas ecuaciones diferenciales definen un sistema dinámico continuo que muestra comportamientos caóticos asociado a las propiedades fractales de este atractor. Algunas propiedades del sistema de Rössler pueden ser deducidas a través de los autovectores, pero las principales características requieren métodos no lineales como los mapas de Poincaré y los diagramas de bifurcaciones. La principal intención del atractor de Rössler era encontrasr un comportamiento del sistema parecido al de Lorenz, pero más fácil de analizar cualitativamente. Una órbita que se encuentre dentro del atractor sigue una espiral en el plano XY que se aleja de un punto fijo inestable girando en torno a él. Llega un momento en que la órbita está suficientemente alejada de ese punto fijo viéndose influenciada por un segundo punto fijo, lo que provoca un aumento y giro en la dimensión Z. En el dominio del tiempo las oscilaciones comienzan a ser caóticas. Estas son las ecuaciones:

Puntos fijos: Para encontrar los puntos fijos, las tres ecuaciones de Rössler son igualadas a cero y las coordenadas x, y, z de cada punto fijo se determinan resolviéndolas.

Obteniendo dos puntos fijos cuyas coordenadas son:

Como se puede apreciar en los gráficos de atractores de Rössler, uno de los puntos fijos reside en el centro del atractor y el otro aparece notablemente retirado del atractor.

GRÁFICOS DE ATRACTOR DE RÖSSLER

Variaciones en función de los parámetros (a, b y c).

Atractor base: a=b=0.2, c=5.7

1º) Variaciones del parámetro a, siendo b= 0.2 y c=5.7

:converge a punto fijo a = 0.1:órbita de period 1 a = 0.2:valor del parámetro estándar seleccionado por Rössler, periodo de caos a = 0.3:atractor caótico

Para a ≤ 0 :

Para a=0.1

Se ve que es de periodo 1

Para a=0.2 es caótico al igual que para valores mayores, y partiendo de un punto perteneciente a la trayectoria atractora tarda un tiempo t=17.99 en dar una vuelta hasta volver al mismo punto luego tiene un periodo de 17.99

Para a=0.3

2º) Variación del parámetro b, siendo a=0.2 y c=5.7

b=0.4: caótico b=0.8:periodo 4 b=1: periodo 2 b=1.8:periodo 1

Diagrama de bifurcación:

Para b=0.4

Para b=0.8

Para b=1

Para b=1.8

3º) Variación del parámetro c, siendo a=b=0.1

c=6: periodo 2 c=8.5: periodo 4 c=24.9: periodo4 (ventana de regularidad dentro de la región caótica) c=40: caos

Diagrama de bifurcación

Para c=6

Para c=8.5

Para c=24.9

Para c=40

REACCIONES QUÍMICAS OSCILATORIAS

Una reacción autocatalítica es aquella en la que uno de los reactivos es también un producto de la reacción. Por ejemplo: A + B → 2B

Donde r es la velocidad de la reacción y [A] y [B] son las concentraciones de A y B respectivamente. De manera que a medida que la reacción transcurre, se genera más B y, como B es un reactivo, la reacción avanza más. B es, por tanto, reactivo, producto y catalizador, de manera que se puede considerar que la reacción se cataliza a sí misma. Si tenemos un sistema abierto en el que constantemente vamos adicionando A, la producción acelerada de B podría continuar indefinidamente. Sin embargo, en un sistema cerrado el componente A se iría agotando y, con ello, la velocidad de la reacción iría disminuyendo, hasta hacerse nula cuando desaparezca este componente. Así, la concentración de A o B con el tiempo sigue una curva sigmoidea, que viene dada por la ecuación integrada (una ecuación cinética integrada nos indica la variación de las concentraciones con el tiempo):

Una reacción oscilante es aquella que tiene una o más etapas autocatalíticas en su mecanismo, de manera que la concentración de un reactante aumenta y disminuye con el tiempo. Los mecanismos que explican este tipo de reacciones son tremendamente complejos, y para obtener su ecuación cinética integrada es necesario resolver ecuaciones diferenciales.

No obstante, vamos a exponer brevemente y de forma muy somera, el caso más simple (y, desgraciadamente, el más ideal, hasta tal punto que no se conoce ninguna reacción que siga este mecanismo), el Mecanismo de Lokta:

A+X 2XYB

Donde las etapas 1 y 2 son autocatalíticas.

La reacción oscilante más conocida es la reacción de Belousov-Zhabotinsky. El descubrimiento del fenómeno se le acredita a Boris Belousov que, en un intento de conseguir un equivalente inorgánico al ciclo de Krebs, hizo una mezcla de bromato potásico, sulfato de cerio (IV) y ácido cítrico, la concentración de los iones Ce(IV) y Ce(III) oscilaba, notándose esto mediante la oscilación de color de la reacción de un color amarillo a incoloro. Esto se debe a que los iones Ce (IV) son reducidos a Ce(III) por el ácido cítrico y éstos son a su vez oxidados por el bromuro.

Existen múltiples variaciones de la Reacción BZ, una de ellas es la siguiente:

3BrO3¯ + 5CHOOH)2 + 3H⁺ → 3BrCH(COOH)2 + 2HCOOH + 5H2

Las reacciones oscilantes constituyen un ámbito de estudio muy interesante dentro de la Cinética Química, pero poseen mecanismos tremendamente complejos.

REACCIÓN DE BELOUSOV-ZHABOTINSKY

El físico ruso B. Belousov en 1959, intentando modelar el ciclo biológico de Krebs en el laboratorio mediante la reacción de oxidación-reducción en la cual interviene como oxidante el ión bromato y como reductor el ácido malónico, actuando como catalizador el catión cerio, notó asombrado cambios periódicos espontáneos de coloración de amarillo a incoloro y vuelta a amarillo, una y otra vez en lapsos de aproximadamente un minuto. Continuó las investigaciones el también ruso A. Zhabotinsky y llegó a elaborar la fundamentación teórica de las reacciones oscilatorias sirviéndose del tratamiento físico-matemático de los sistemas dinámicos aplicados a procesos no-lineales alejados del equilibrio. Zhabotinsky presentó los resultados de sus investigaciones en un evento donde asistieron países occidentales aprovechando la presencia de éstos.

Desarrollo El proceso químico real es sumamente complicado al producirse múltiples reacciones intermedias, por lo que se acudió a modelaciones y aproximaciones que hicieran viable el tratamiento matemático manteniendo la esencia de lo investigado. Una primera aproximación para el modelo consistió en utilizar como reactivos ClO2 – I2 – Ma para una reacción que semeja bastante al proceso real que se investiga. Las concentraciones de los reactantes citados varían durante el proceso mucho mas lentamente que los productos intermedios I¯ y ClO2¯ por lo cual, se hizo una última aproximación suponiendo constantes las concentraciones de los citados reactantes de variación lenta. De esta forma el sistema dinámico no-lineal para proceso alejado del equilibrio se toma de manera simplificada así: dx/dt = a – x –4xy/(1 + x2 ) (1) dy/dt = bx (1 – y/ (1 + x2)) (2) Donde x e y son las concentraciones adimensionales de I¯ y ClO2¯ respectivamente, a y b parámetros que dependen de las concentraciones que varían lentamente asumidas como constantes. Antes de pasar a tratar el sistema dinámico (1-2), vamos a realizar una resumida alusión a los conceptos y procedimientos propios de esos sistemas en general. Para ello nos referiremos al retrato fásico de un sistema. En dicho retrato aparecen las trayectorias fásicas (lugar geométrico de los puntos representativos o puntos fásicos de los distintos estados en que puede encontrarse el sistema físico que se examina) en el sistema de coordenadas x-y o plano fásico, de las cuales puede hacerse un boceto dibujando en varios puntos fásicos pequeñas saetas con pendientes dadas por dy/dx calculadas para cada punto, todas las cuales darán idea del campo vectorial del sistema. Las trayectorias se trazan tangentes a las saetas y en sus direcciones. Podrán presentarse uno o varios puntos para los cuales dx/dt y dy/dt se hacen cero a los cuales se les denomina puntos fijos o estacionarios. Si hacia esos puntos se dirigen algunas trayectorias, el punto fijo es de estabilidad o nodo estable y si por contrario salen del punto fijo, ese será un foco inestable o repulsor. Las trayectorias al salir del foco suelen hacerlo en forma de espiral. Estas espirales para ciertos valores de los parámetros, algunas veces se enrollan conformando una órbita cerrada o un ciclo límite. Una órbita cerrada sólo adquirirá la condición de ciclo límite si no encierra un punto fijo que no sea un foco o repulsor. Los ciclos límites son muy importantes en problemas como el que nos ocupa, pues su existencia motiva que, el estado representado por cualquier punto del ciclo, se repetirá cada vez que el sistema “de una vuelta completa” recorriendo todos los demás estados o puntos fásicos de la trayectoria cerrada. Tal cosa explica el carácter oscilatorio de algunos procesos como el de las reacciones oscilatorias que nos ocupan. Por ejemplo cuando para un estado (x, y), aparezca una coloración de la masa reaccionante, ese color aparecerá de nuevo al volver el sistema “en su recorrido” al mismo punto (x,y) del ciclo. En el tratamiento matemático del sistema (1)-(2) veremos el cumplimiento de lo expuesto. Llamaremos f y g a los segundos miembros de las ecuaciones del sistema. Comenzamos por calcular las coordenadas del punto fijo, resolviendo el sistema df/dt=0 y dg/dt=0. Las coordenadas son x*=a/5 y y*= 1 + (a/5)2. Para determinar si se trata de un nodo o un foco, se halla el Jacobiano J=∂(f,g)/∂(x,y) y se evalúa para las coordenadas del punto fijo.

Si se comprueba que el determinante del Jacobiano (∂f/∂x)(∂g/∂y)-(∂f/∂y)(∂g/∂x) es mayor que cero y que para los debidos valores de los parámetros a y b, la traza ∂f/∂x + ∂g/∂y es también mayor que cero, el punto fijo será un foco repulsor, podrá existir el ciclo límite en instalarse el régimen oscilatorio. Y eso es precisamente lo que ocurre en las reacciones Belousov-Zhabotinsky. Conclusiones En lo esencial hemos mostrado el fundamento físico-matemático de este singular ejemplo de procesos oscilatorios espontáneos. Casos de procesos oscilatorios explicables por la ocurrencia de ciclos límites como el de las reacciones de Belousov-Zhabotinsky, se presentan en los procesos circadianos, los latidos del corazón y similares, no sólo en el ámbito de la química o de la biología, también se encuentran en fenómenos físicos y de otra índole.

REACCION DE BRIGGS-RAUSCHER

Aunque las reacciones oscilantes son complejas y poco comunes, pueden utilizarse como modelo para estudiar los relojes biológicos que se observan con frecuencia en los procesos naturales (por ejemplo, el latido del corazón). En el siguiente experimento, el color de una disolución cambia cíclicamente, dependiendo de la concentración de las diferentes especies químicas que se van formando mientras tiene lugar una reacción química. Explicación teórica La transformación global que ocurre en esta reacción puede representarse así: IO3¯(aq) + 2 H2O2 (aq) + CH2(COOH)2 (aq) + H+ (aq) →ICH(COOH)2 (aq) + 2 O2 (g)+ 3 H2O (l) VII Semana de la Ciencia y la Tecnología En realidad, esta transformación global se realiza en dos etapas: IO3¯(aq) + 2 H2O2 (aq) + H+ (aq) → HIO (aq) + 2 O2 (g) + 2 H2O (l) HIO (aq) + CH2(COOH)2 (aq) → ICH(COOH)2 (aq) + H2O (l) La primera de estas dos reacciones puede ocurrir a través de dos mecanismos de reacción diferentes, que implican la formación de yodo (I2) y de un complejo yodoalmidón. Las oscilaciones aparecen debido a los diferentes caminos que va atravesando la reacción hasta alcanzar el punto final.

Procedimiento experimental Para llevar a cabo esta reacción, vamos a partir de tres probetas que contienen 50 ml de las siguientes disoluciones: • Disolución A: KIO3 (0.2 M) (yodato potásico) + H2SO4 (0.08 M) (ácido sulfúrico) • Disolución B: H2O2 (3.6 M) (peróxido de hidrógeno) • Disolución C: CH2(COOH)2 (0.15 M) (ácido malónico) + MnSO4 (0.02 M) (sulfato de manganeso) + almidón (3% masa/volumen) Añadimos en un matraz Erlenmeyer, colocado sobre un agitador, cada una de estas disoluciones incoloras, en el orden A - B - C. La disolución pasa cíclicamente a tener color ámbar (debido a la formación de yodo molecular, I2), azul (debido a la formación de un complejo yodo-almidón, cuando la concentración de yodo molecular es elevada) e incoloro (cuando en la disolución la concentración de I2 es muy baja).

BIBLIOGRAFIA Y ENLACES Brian Davies. “Exploring chaos”. Westview. Ricard V. Solé, Susanna C. Manrubia. “Orden y caos en sistemas complejos”. Ediciones UPC (Universidad Politécnica de Cataluña) Briggs, T. S., Rauscher, W. C. (1973).“An Oscillating Iodine Clock”. J. Chem. Ed. 50, 496. Wang, M. R. (2000). “An Introductory Laboratory Exercise on Solution Preparation”. J. Chem. Ed. 77, 249-250. Volkenshtein, M. V. Biofísica. Editorial Mir. 1985. Strogatz, S. H. Non Linear Dynamics and Chaos. Perseus Books Publishing. 2000. J. González Álvarez. Tratamiento de los Sistemas Dinámicos. www.casanchi.com. 17/6/2006. Programas de ordenador utilizados: 3D Attractors: Mac program to visualize a explore the Rössler and Lorenz attractors in 3 dimensions. Maple 12.