C u r s o : Matemática

Material N° 35

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 29

UNIDAD: GEOMETRÍA

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Determinación del plano: Un plano queda determinado por:

� Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1). � Tres puntos no colineales (fig. 2). � Por una recta y un punto no perteneciente a ella

(fig. 3). � Por dos rectas paralelas (fig. 4). EJEMPLO 1. De las siguientes alternativas es (son) verdadera(s):

I) Un plano se puede generar por dos rectas paralelas. II) Un plano está determinado por los dos lados paralelos de un romboide. III) Un plano se puede determinar por la recta de ecuación y = 2x y el punto

(-1, -2).

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

L1

L2

P

fig. 1

L1

L2

P

fig. 4

A P

B C fig. 2

L1

A

P

fig. 3

2

DEFINICIONES POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices. PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto. EJEMPLOS 1. El ángulo diedro formado por las dos caras laterales de un paralelepípedo rectangular es

A) 180 B) 190 C) 80 D) 100 E) 90

2. El ángulo diedro formado por las caras laterales de un prisma, donde sus bases corresponden a un pentágono regular es

A) 58º B) 28º C) 118º D) 108º E) 208º

Ángulo diedro Arista

P1

SemiplanoP2

Arista

Vértice

Cara

3

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje:

ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CON CONO DOS CONOS

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana: EJEMPLOS 1. Dado un rectángulo ABCD, el cuerpo generado por la rotación del rectángulo en torno a su

lado mayor es un

A) prisma rectangular. B) una pirámide de base rectangular. C) un cubo. D) un paralelepípedo rectangular. E) un cilindro recto de base circular.

2. Para formar el cuerpo de revolución de la figura 1, la superficie que lo puede generar es

I) II) III)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

eje de giro

Prisma pentagonal Prisma trapezoidal Prisma hexagonal Prisma triangular Cilindro circular recto

fig. 1

4

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR

2(ab +bh + ah)

a ⋅ b ⋅ h

CUBO

6a2

a3

PRISMA RECTO RECTANGULAR

h(a + b + c)+ 2B B = área basal

Bh

CILINDRO RECTO BASE CIRCULAR

2πrh + 2πr2

πr2 ⋅ h

PIRÁMIDE RECTA BASE CUADRADA

2ag + a2 g = apotema

lateral

21a h

3⋅

CONO RECTO BASE CIRCULAR

πrg + πr2 g= generatriz

21r h

3π ⋅

ESFERA

4πr2

34r

3π

h

b a

a a

a

r •

Volumen

Área de la base por la altura

Volumen

Área de la base por la altura dividido

por tres

• r

h

c b

a

h B

a a

g h

• r

h g

5

EJEMPLOS 1. Si un rectángulo de lados 4 y 2 cm gira sobre su lado mayor y después sobre su lado menor.

Entonces, la razón entre los volúmenes de los cuerpos generados es

A) 1 : 2 B) 1 : 3 C) 2 : 1 D) 3 : 1 E) 5 : 4

2. La semicircunferencia de la figura 1 gira en torno al diámetro AB = 12. Calcular el área y

volumen del cuerpo generado.

A) 140π cm2 284π cm2 B) 142π cm2 286π cm2 C) 144π cm2 288π cm2 D) 145π cm2 287π cm2 E) 148π cm2 289π cm2

3. El área y el volumen de un prisma recto cuya base es un triángulo rectángulo de catetos

3 y 4, y altura 10 cm son

Área Volumen

A) 130 cm2 100 cm3 B) 140 cm2 130 cm3 C) 150 cm2 110 cm3 D) 132 cm2 160 cm3 E) 132 cm2 60 cm3

A

B

O fig. 1

fig. 2

6

PUNTOS EN EL ESPACIO En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ. El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas (a, b, c). EJEMPLOS 1. En la figura 1, ¿cuál es la distancia entre el punto R (0, 3, 0) y el punto (4, 3, 2)?

A) 2 B) 2 2

C) 33 D) 5 E) 2 5

2. En la figura 2, las coordenadas de los vértices A, B y C del cubo son, respectivamente,

(3,0,0), (0,3,0) y (0,0,3), entonces el área del triángulo ACD es

A) 32

3

B) 3 C) 9 3

D) 92

3

E) 29

2

Z

Y

X

M

A

c K

L

b a

fig. 1

z

y

x

B

D

C

A

fig. 2

4

3

2

x

z

y

fig. 1

R

7

EJERCICIOS 1. Un triángulo rectángulo tiene catetos m y n, se rota en torno a m y luego en torno n,

entonces la razón entre los volúmenes, es

A) mn

B) nm

C) 3

3

m

n

D) 3

3

n

m

E) 2

2

m

n

2. El hexágono regular de lado 2 2 cm se traslada 4 3 cm apoyado sobre sus lados en un plano perpendicular a él como se muestra en la figura 1. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?

A) 3 3 cm3 B) 12 cm3 C) 24 cm3 D) 72 cm3 E) 144 cm3

2. En la figura 2, se tiene un cubo de lado a con dos caras y el plano diagonal achurados, ¿cuál

es el área achurada descrita?

A) 3a2 B) 3a2 2 C) 4a2 D) 6a2 2

E) a2 2 + 2a2

4. En la figura 3, ¿cuánto mide el mayor ángulo diedro formado por el plano ABCD y una de las

caras del paralelepípedo, si AB = 4 cm? A) 30º B) 45º C) 60º D) 50º E) 90º

fig. 2

4 3

fig. 1

C

2 B

A

4 D

fig. 3

8

5. ¿Cuál es el radio de la mayor esfera que puede contener un cubo cuyo volumen es 125 cm3?

A) 5 2 B) 5 C) 2,5

D) 25

2

E) 25

3

6. Al desplazar 2 cm un triángulo rectángulo de cateto 3 y 4 cm, se obtiene un prisma recto (fig. 4). ¿Cuál es el área del cuerpo geométrico generado?

A) 48 cm2 B) 42 cm2 C) 38 cm2 D) 36 cm2 E) 26 cm2

7. Si las pelotas de golf vienen envasadas en cajas cúbicas como lo muestra la figura 5, ¿cuál

es el volumen de la caja, si el volumen de cada pelota es de 36π cm3?

A) 5.832 cm3 B) 1.944 cm3 C) 864 cm3 D) 729 cm3 E) 486 cm3

8. El cuerpo de revolución mostrado en la figura 6, es una de las piezas del juego de ajedrez llamada torre. ¿Con cuál(es) de las siguientes opciones se puede generar dicha pieza, al rotar la figura plana en torno al eje AB?

I) II) III)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo I y II E) I, II y III

fig. 5

4

3 2

fig. 4

A

B

A

B

A

B

fig. 6

9

9. ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura 7, en torno al lado BC ?

A) 144π B) 96π C) 24π D) 48π E) 100π

10. La figura 8 muestra dos rectas perpendiculares, L y L’, que se intersectan en el centro 0 de

la circunferencia de radio R. Si la zona achurada se hace rotar indefinidamente respecto de la recta L, la razón entre el volumen generado por dicha zona y el volumen de la esfera de radio R es

A) 2 : 3 B) 3 2 : 2π C) 1 : 2 D) 1 : 4 E) 1 : 2π

11. El ABC equilátero de perímetro 24 cm se desplaza 8 cm, apoyándose sobre uno de sus lados

en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura 9. El área y el volumen del cuerpo generado son

A) 2 3 16 3 B) 4 3 + 192 32 3 C) 16 3 + 192 64 3 D) 32 3 + 192 128 3 E) 64 3 128 3

12. La figura 10 representa un depósito (una artesa) generado al trasladar 1 metro el trapecio

achurado, perpendicularmente a sí mismo. Si las bases el trapecio miden 0,4 m y 0,8 m, el depósito tiene una capacidad de 0,15m3, entonces la altura del depósito es

A) 0,25 m B) 12,5 cm C) 0,4 m D) 0,8 m E) 0,375 m

fig. 10

1 m

L

L’ R

O

fig. 8

D C

A B 4 cm

6 cm

fig. 7

fig. 9

A B

C

10

13. La figura 11 muestra una olla cilíndrica de 20 cm de diámetro, que contiene 5 huevos sumergidos completamente en agua. Si retiramos todos los huevos, observamos que el nivel del agua desciende 0,2 cm. ¿Cuál es el volumen promedio de los huevos? (considere π = 3)

A) 60 cm3 B) 48 cm3 C) 30 cm3 D) 12 cm3 E) falta información para determinarlo.

14. La pirámide recta de base cuadrada de la figura 12, tiene su base en el plano XY. Si el

volumen es 8 cm3 y las unidades en los ejes representan centímetros, entonces las coordenadas del punto más alto de la pirámide son

A) (1, 1, 2) B) (1, 1, 4) C) (2, 1, 4) D) (1, 1, 6) E) (2, 2, 2)

15. La figura 13 es un paralelepípedo recto. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Las rectas AF y HC son paralelas. II) Las rectas EF y GC se intersectan. III) Las rectas AD y FG son paralelas.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

16. El cilindro horizontal que de la figura 14, es de diámetro 8 cm, altura OO = 10 cm y es

tangente a los planos XY y XZ en su manto y una de sus bases esta en el plano YZ. ¿Cuáles

son coordenadas del punto medio de la altura OO del cilindro? A) (0, 4, 4) B) (5, 4, 4) C) (4, 5, 5) D) (10,4,4) E) (4, 5, 4)

fig. 11

Y

(2,2,0)

Z

X

fig. 12

A B

E F

H G

D

fig. 13

fig. 14 10

X

Y

Z

O’

O

11

fig. 16

a

b

c

F

E

D

fig. 17

17. La pirámide de la figura 15 tiene de base un cuadrado de perímetro 8, las caras laterales son triángulos equiláteros. Su área y su volumen son

A) 4 + 4 3 43

2

B) 4 + 3 4 2 C) 4 + 2 3 4 2 D) 4 + 3 3 2 2 E) 2 + 4 3 2

18. La menor arista de la caja (fig. 16) es a = 5. El volumen de la caja se puede determinar si : (1) a : b = 1 : 3 y b : c = 5 : 2.

(2) Área D : Área E = 5 : 6 y Área E = 90

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional.

19. Se puede determinar la razón entre el volumen de un cilindro y una esfera si : (1) El cilindro está inscrito en la esfera.

(2) La altura del cilindro es igual al radio de la esfera.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) * D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

20. Se puede determinar la razón entre los volúmenes generados por los triángulos ABC y DEF de la figura 18, al hacerlos girar en torno al eje indicado si : (1) Si AC : AB = 5 : 2

(2) AB = DF .

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) * D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

DMDMA35

fig. 15

D

fig. 18 C

A B E

F

α

α