APUNTES MAT 021 CÀLCULO DIFERENCIALsalarcon.mat.utfsm.cl/PDF/Alarcon-APUNTES-MAT021.pdf · VERSION...

!

!

!

CÀLCULO DIFERENCIAL

APUNTES MAT 021

VERSIÓN 2017

SALOMON ALARCON ARANEDA

APUNTES

MAT 021 | CALCULO DIFERENCIAL....VERSION 01 de Marzo de 2017

Prefacio

Estimados alumnos, en el contexto de la asignatura MAT 021 que se dicta en nuestra Universidad,me es grato presentar esta version actualizada de mis apuntes de Calculo Diferencial, la cual incluyenumerosas correcciones de las versiones anteriores. El principal objetivo de estas notas es ofrecerun material de consulta acorde a los contenidos tratados en clases.

Es importante senalar que estos apuntes no reemplazan a los libros de la Bibliografıa del programade la asignatura, ni tampoco a los que cito en la Bibliografıa al finalizar estos apuntes. Por estarazon, recomiendo revisar aquellos libros con la finalidad que puedan profundizar en el estudiode los contenidos aquı tratados y, de esta forma, puedan conocer puntos de vista diferentes a losexpuestos aquı.

En el desarrollo de algunos topicos relacionados con ecuaciones y funciones cuadraticas,colaboraron de manera valiosa los Profesores Florentino Baeza y Bernardo Leon de la Barra,mientras que en algunos topicos relacionados con el orden de los numeros reales, lo ha hechoel Profesor Pablo Gonzalez. Anado una mencion especial para Cristobal Cancino, quien duranteel primer semestre de 2016 realizo una cuidadosa lectura de este apuntes, y colaboro de maneraimportante en la correccion de esas erratas difıciles de detectar en versiones anteriores a esta.

Agradezco desde ya los comentarios y sugerencias que ustedes puedan hacerme llegar paramejorar estas notas y corregir algunas erratas que puedan existir. Para ello, pueden contactarmepor correo e-mail a:

[email protected].

Espero que este material les sea de utilidad.

Atte.

SALOMON ALARCON ARANEDA.

Valparaıso, 1 de Agosto de 2016

I

mailto:[email protected]

Indice general

Prefacio I

Indice general III

Indice de figuras IX

I Numeros Reales y Funciones Reales 1

1. Los Numeros Reales 31.1. Axiomas de cuerpo de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Axiomas de orden de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.1. Propiedades de las desigualdades en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Otras propiedades de las desigualdades en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.4. Distancia entre dos numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5. Valor absoluto de un numero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.6. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.7. Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2.8. Ecuaciones reducibles a una de primer grado vıa cambio de variables . . . . 291.2.9. Ecuaciones con valor absoluto de una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.10. Inecuaciones con una incognita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.11. Ecuaciones de primer grado con dos incognitas. Sistemas de ecuaciones . . . 41

1.3. Axioma de completitud de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.3.1. Cotas superiores e inferiores. Maximo y mınimo. Supremo e ınfimo . . . . . . 441.3.2. Axioma del supremo y sus consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.3.3. Densidad de Q en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.4. Problemas con enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III

INDICE GENERAL

1.4.1. Modelamiento matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Autoevaluaciones del Capıtulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Autoevaluacion 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Autoevaluacion 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2. Funciones Reales 632.1. Concepto de funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2. Funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2.1. Grafico de una funcion real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2.2. Traslacion horizontal de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 702.2.3. Traslacion vertical de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.2.4. Reflexion del grafico de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.2.5. Compresion vertical de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 732.2.6. Estiramiento vertical de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . 742.2.7. Compresion horizontal de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . 742.2.8. Estiramiento horizontal de la grafica de una funcion . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3. Funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.1. Funcion afın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3.2. Funcion lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.3.3. Funcion identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.3.4. Funcion constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.3.5. Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3.6. Funcion parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3.7. Funcion racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.3.8. Funcion valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.3.9. Funcion radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.4. Funciones con propiedades especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4.1. Funciones pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.4.2. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.4.3. Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.4.4. Funciones crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.4.5. Funciones decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.5. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.5.1. Funcion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.5.2. Funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.6. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.6.1. Funcion seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.6.2. Funcion coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

IV

INDICE GENERAL

2.6.3. Funciones sinusoidales (o senoidales) y cosenoidales . . . . . . . . . . . . . . 1022.6.4. Funcion tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.7. Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.7.1. Funcion compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.8. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.8.1. Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.8.2. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.8.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.9. Imagen inversa y funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.10. Relaciones y funciones trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.10.1. Arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.10.2. Arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.10.3. Arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

2.11. Problemas con enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1332.11.1. Problemas que involucran funciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . 1332.11.2. Problemas que involucran funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . 1362.11.3. Problemas que involucran funciones cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Autoevaluaciones del Capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Autoevaluacion 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Autoevaluacion 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

II Lımites y Continuidad 139

3. Lımites 1413.1. Discusion informal de los lımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.2. Definicion de lımite lateral y lımite de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.3. Algebra de lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523.4. Teorema del sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.5. Teoremas sobre algunos lımites relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.6. Algunas tecnicas para calcular lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

3.6.1. Simplificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.6.2. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.6.3. Uso de lımites especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.6.4. Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1633.6.5. Uso de identidades trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

3.7. Lımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1643.8. Lımites al infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169Autoevaluaciones del Capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

V

INDICE GENERAL


4. Continuidad 1774.1. Continuidad de una funcion real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1774.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.3. Teorema del valor intermedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1824.4. Criterio para maximos y mınimos globales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Autoevaluaciones del Capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188


III La Derivada y sus Aplicaciones 191

5. La Derivada 1935.1. Definicion de la derivada de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.2. Interpretacion geometrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.3. Dos teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1995.4. La funcion derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.5. Derivadas de algunas funciones conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.5.1. Derivadas de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.5.2. Derivadas de funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.5.3. Derivadas de funciones logarıtmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . 203

5.6. Algebra de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2045.7. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2055.8. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.9. Derivada de una funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.10. Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2165.11. Ecuaciones parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.12. Variaciones relacionadas. Razon de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222Autoevaluaciones del Capıtulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228


6. Aplicaciones de la Derivada 2316.1. Maximos y mınimos de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2316.2. Problemas de optimizacion en intervalos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2356.3. Teorema de Rolle y Teorema de Lagrange (o del valor medio) . . . . . . . . . . . . . 237

VI

INDICE GENERAL

6.4. Crecimiento y decrecimiento. Max. y mın. locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.5. Problemas de optimizacion en intervalos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2486.6. Convexidad, concavidad, puntos de inflexion y trazado . . . . . . . . . . . . . . . . . 2536.7. Regla de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

6.7.1. Otras formas indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268Autoevaluaciones del Capıtulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269


7. La Diferencial 2717.1. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2717.2. La diferencial y la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.3. Propiedades de las diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Autoevaluaciones del Capıtulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278


A. Soluciones de los Ejercicios 279

B. Desarrollos de las Autoevaluaciones 295

Bibliografıa 315

VII

Indice de figuras

1.1. El conjunto de los numeros reales R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Representacion grafica de un intervalo abierto ]a, b[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3. Representacion grafica de un intervalo cerrado [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4. Representacion grafica de un intervalo semiabierto por derecha [a, b[. . . . . . . . . . 221.5. Representacion grafica de un intervalo semiabierto por izquierda ]a, b]. . . . . . . . . 221.6. Representacion grafica de un intervalo infinito abierto por derecha ]�1, b[. . . . . . 221.7. Representacion grafica de un intervalo infinito abierto por izquierda ]a,+1[. . . . . 221.8. Representacion grafica de un intervalo infinito cerrado por derecha ]�1, b]. . . . . 231.9. Representacion grafica de un intervalo infinito cerrado por izquierda [a,+1[. . . . . 231.10. Representacion grafica del conjunto solucion de la inecuacion 5x+ 1 > 3x� 3. . . . 351.11. Grafica de la recta 2x� y = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1. Una funcion real es como una maquina que transforma un numero real x en otronumero real que llamamos f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.2. Representacion en R2 de Graf(f) =�

(x, y) 2 R2

: y = x2 � 4x� 5

. . . . . . . . . . . 692.3. Representacion en R2 de Graf(f) =

�

(x, y) 2 R2

: y =

px

. . . . . . . . . . . . . . . . 702.4. Grafica de la funcion g(x) = (x� 2)

2, que es la traslacion horizontal en 2 unidades ala derecha de la grafica de la funcion f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5. Grafica de la funcion g(x) = x2 + 1, que es la traslacion vertical en 1 unidad haciaarriba de la grafica de la funcion f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.6. La grafica de g(x) = 3

px, x 2 R, es la grafica de la reflexion del grafico de f(x) = x3,

x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.7. La union de las graficas de g

1

(x) =px, x � 0, y g

2

(x) = �px, x 0, es la grafica de

la reflexion del grafico de f(x) = x2, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.8. Compresiones verticales de la grafica de f(x)=x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.9. Estiramientos verticales de la grafica de f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.10. Compresiones horizontales de la grafica de f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.11. Estiramientos horizontales de la grafica de f(x)=x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.12. Grafica de la funcion afın f(x) = mx+ b, x 2 R, donde m > 0 y b > 0. . . . . . . . . 76

IX

INDICE DE FIGURAS

2.13. Grafica de la funcion afın f(x) = �2x+ 1, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.14. Grafica de la funcion lineal f(x) = 2x, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.15. Grafica de la funcion identidad en R, IdR(x) = x, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . 792.16. Grafica de la funcion identidad enZ: IdZ(x)=x,x 2 Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.17. Grafica de la funcion constante f(x) = 3, x 2 Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.18. Grafica de la funcion constante f(x) = 1, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.19. Grafica de una funcion cuadratica de la forma f(x) = ax2 + bx+ c, x 2 R. . . . . . . 822.20. Grafica de la funcion cuadratica f(x) = 4x2 + 2x� 1, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . 822.21. Grafica de la funcion parte entera f(x) = [x], x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.22. Grafica de la funcion racional f(x) =x2 + 7x� 11

x2 � 4

, x 2 R \ {2,�2}. . . . . . . . . . . 85

2.23. Grafica de la funcion valor absoluto f(x) = |x|, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.24. Grafica de la funcion F (x) = |x+ 1|, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.25. Grafica de la funcion f(x) =

px, x 2 [0,+1[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.26. Grafica de la funcion f(x) = 3

px, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.27. Grafica de la funcion valor absoluto f(x) = |x|, x 2 R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.28. Grafica de la funcion par f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.29. Grafica de la funcion impar f(x) = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.30. Grafica de la funcion impar f(x) = x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.31. Grafica de la funcion periodica h(x) = 0 si 0 < x < 1, h(x) = x � 1 si 1 < x <

2, h(x+ 2) = h(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.32. La funcion f(x) = x, x 2 R, es una funcion estrictamente creciente en R. . . . . . . . 912.33. La funcion f(x) = x3, x 2 R, es una funcion estrictamente creciente en R. . . . . . . 922.34. La funcion f(x) = �x, x 2 R, es una funcion estrictamente decreciente en R. . . . . 922.35. La funcion f(x) = 1

x , x 2 R+, es una funcion estrictamente decreciente en R+. . . . . 932.36. Grafica de la funcion exponencial de base a, a > 1, f(x) = ax, x 2 R. . . . . . . . . . 942.37. Grafica de la funcion exponencial de base a, 0 < a < 1, f(x) = ax, x 2 R. . . . . . . . 942.38. Grafica de la funcion logaritmo de base a, 0 < a < 1, y = loga x, x 2 R+, vista como

reflexion de la funcion y = ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.39. Grafica de la funcion logaritmo de base a, a > 1, f(x) = loga x, x 2 R+, vista como

reflexion de la funcion y = ax. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.40. Trazado de la reflexion del grafico de y = lnx, x > 0, en el plano cartesiano. . . . . . 1002.41. La funcion f(x) = � log

10

x, x 2 R+, es una funcion estrictamente decreciente en R+. 1002.42. Grafico de la funcion y = senx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.43. Grafico de la funcion y = cosx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1022.44. Grafico de la funcion f(x) = �2 sen

�

3x� ⇡4

�

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.45. Grafico de la funcion y = tanx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.46. Diagrama sagital que se asocia a una funcion inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

X

INDICE DE FIGURAS

2.47. La grafica de la izquierda representa a una funcion inyectiva, mientras que la de laderecha no. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.48. Un diagrama sagital que representa una funcion sobreyectiva: Cod(f) = Rec(f). . . 1172.49. La funcion cuadratica f(x) = x2, x 2 R no es inyectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.50. La funcion cuadratica f(x) = x2, es inyectiva para x 2 [0,+1[ o bien para x 2 ]�1, 0].1212.51. Se debe restringir el dominio de la funcion f(x) = x2, x 2 R, para definir una

funcion inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.52. Triangulo rectangulo asociado al seno inverso (0 < x < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.53. Grafico de la funcion y = arc senx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.54. Triangulo rectangulo asociado al coseno inverso (0 < x < 1) . . . . . . . . . . . . . . 1282.55. Grafico de la funcion y = arc cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1302.56. Triangulo rectangulo asociado a la tangente inversa (x > 0) . . . . . . . . . . . . . . . 1312.57. Grafico de la funcion y = arc tanx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.1. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral izquierdo de f(x) =

x+ 1 cuando x tiende a 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.2. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral derecho de f(x) =

x+ 1 cuando x tiende a 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.3. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral izquierdo de f(x) =

2� x, si x < 0, y f(x) = 1, si x � 0, cuando x tiende a 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.4. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral derecho de f(x) =

2� x, si x < 0, y f(x) = 1, si x � 0, cuando x tiende a 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.5. Una circunferencia unitaria con angulo central igual a x. . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.6. Grafica de la funcion f(x) = 1

x , x 6= 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.1. Recta L tangente a la curva f(x) = x(2 � x) en un punto de la forma (x0

, f(x0

)) yuna recta Lx que se aproxima a la recta L mientras mas pequena es la diferencia x�x

0

.1955.2. Recta T tangente a la curva y =

p2x3 en el punto

�

1

8

, 1

16

�

y perpendicular a la recta4x+ 3y + 2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5.3. Triangulo rectangulo tal que sen↵ = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.4. Triangulo rectangulo tal que cos↵ = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2135.5. Triangulo rectangulo tal que tan↵ = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.6. Triangulo rectangulo tal que cot↵ = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.7. Triangulo rectangulo tal que sec↵ = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.8. Triangulo rectangulo tal que csc↵ = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2155.9. La grafica de la curva C = {(x, y) 2 R2

: x = a cos t ^ y = a sen t}, donde a > 0, esla circunferencia centrada en el origen y radio a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.10. La grafica de la curva C = {(x, y) 2 R2

: x1

2

= t ^ y1

3

= t} es la grafica de la curvay = x

3

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

XI

INDICE DE FIGURAS

5.11. Razon de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2235.12. Una piedra lanzada a un estanque de agua en reposo genera ondas concentricas en

forma de cırculos concentricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2245.13. Distintos momentos de un globo esferico que se esta inflando a razon de 4, 5 m3

min . . . 2255.14. Un avion que vuela a 6mi de altitud en lınea recta hacia la posicion de un radar en

tierra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255.15. Un cono circular recto invertido de altura 16 metros y radio basal 4 metros. . . . . . 226

6.1. Una funcion que posee maximos y mınimos locales y globales . . . . . . . . . . . . . 2326.2. Una funcion que no posee maximo global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.3. Carton rectangular de 24 cm ⇥ 15 cm al cual se le cortan cuadrados en las esquinas

para formar una caja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2366.4. La pendiente de la recta T tangente a la curva y = f(x) en el punto (c, f(c)) es

paralela al eje x, por lo que su pendiente es mT = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2386.5. La recta T tangente a la curva y = f(x) en el punto (c, f(c)) es paralela a la recta que

pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), por lo que su pendiente es mT =

f(b)�f(a)b�a . . 239

6.6. Grafica de la funcion f (x) = x3 � 2x� 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2436.7. Grafica de la funcion f (x) = xex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2446.8. Grafica de la funcion f (x) = 5

3

px2 � 3

px5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.9. Grafica de la funcion f (x) = x2ex. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2476.10. Una hoja con margen superior e inferior de 1, 5 cm y margenes laterales de 1 cm cada

uno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2496.11. Un cilindro inscrito en una esfera de radio 10 cm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2506.12. Un cilindro circular recto de radio r y altura h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.13. A la izquierda se ilustra una funcion convexa; a la derecha, una funcion concava. . . 2546.14. Punto de inflexion del grafico de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2596.15. Grafica de la curva y = (x+ 2)(x� 1)

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2616.16. Grafica de la funcion f(x) = x

x2

+1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.1. Variaciones de P y f respecto a c y c+�x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

XII

Parte I

Numeros Reales y Funciones Reales

1

Capıtulo 1

Los Numeros Reales

Desde la perspectiva del Calculo, el conjunto numerico de mayor relevancia es el de los numerosreales debido a la gran cantidad de propiedades que verifican sus elementos. Estas propiedades sepueden agrupar de la siguiente forma:

i) axiomas de cuerpo

ii) axiomas de orden

iii) axioma de completitud

El conjunto de los numeros reales se denota por R y antes de estudiar cada uno de los gruposde axiomas mencionados anteriormente, es conveniente recordar algunos subconjuntos notablesde R y sus notaciones. Tenemos:

N = {1, 2, 3, . . .}, que denota al conjunto de los numeros naturales.

N0

= N [ {0}, que denota al conjunto de los numeros cardinales.

Z = {. . . ,�2,�1, 0, 1, 2, . . .}, que denota al conjunto de los numeros enteros.

Q =

�pq : p, q 2 Z ^ q 6= 0

, que denota al conjunto de los numeros racionales.

Q0= I, que denota al conjunto de los numeros irracionales (por ejemplo:

p2,p3,⇡, e).

Figura 1.1. El conjunto de los numeros reales R.

3

CAPITULO 1. LOS NUMEROS REALES [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

OBSERVACION 1.0.1 Recordar que

Q \Q0= ? y Q [Q0

= R.

Conviene aclarar en este momento lo siguiente: Q contiene a todos los numeros decimales conrepresentacion fraccionaria (numeros con una cantidad finita de decimales o con una cantidad infinitaperiodica o semiperiodica de decimales), mientras que Q0 contiene a todos los numeros con infinitosdecimales no periodicos, y que por lo tanto no tienen representacion fraccionaria.

1.1. Axiomas de cuerpo de los numeros reales

A continuacion presentamos los axiomas de cuerpo de los numeros reales. Consideramos enRlas operaciones: adicion (+), y multiplicacion (·). El trıo (R,+, ·) representa al conjunto R dotadode estas dos operaciones, verificando las siguientes propiedades:

Propiedades de la adicion en R

(A0) Clausura

(8a, b 2 R)(a+ b 2 R)

(A1) Conmutatividad

(8a, b 2 R)(a+ b = b+ a)

(A2) Asociatividad

(8a, b, c 2 R)�

a+ (b+ c) = (a+ b) + c�

(A3) Existencia de un elemento neutro aditivo (el cero)

(90 2 R) tal que (8a 2 R)(a+ 0 = a)

(A4) Existencia de un elemento inverso aditivo

(8a 2 R)�

9(�a) 2 R�

tal que�

a+ (�a) = 0

�

.

Propiedades de la multiplicacion en R

(M0) Clausura

(8a, b 2 R)(a · b 2 R)

4 Esta version puede contener errores

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 1.1. AXIOMAS DE CUERPO DE LOS NUMEROS REALES

(M1) Conmutatividad

(8a, b 2 R)(a · b = b · a)

(M2) Asociatividad

(8a, b, c 2 R)�

a · (b · c) = (a · b) · c�

(M3) Existencia de un elemento neutro multiplicativo (el uno) distinto del neutro aditivo

(91 2 R \ {0}) tal que (8a 2 R)(a · 1 = a)

(M4) Existencia de un elemento inverso multiplicativo excepto para el neutro aditivo

(8a 2 R \ {0})(9a�1 2 R) tal que�

a · a�1

= 1

�

Propiedad de la multiplicacion con respecto a la adicion en R

(MA) Distributividad de la multiplicacion con respecto a la adicion

(8 a, b, c 2 R)�

a · (b+ c) = a · b+ a · c�

Las propiedades anteriores corresponden a los axiomas de cuerpo en R. Ellas se aceptan y norequieren demostracion; sin embargo, dan origen a una serie de otras propiedades.

OBSERVACION 1.1.1 Las propiedades (A0)-(A4) constituyen un grupo conmutativo sobre el par(R,+); las propiedades (M0)-(M4) constituyen un grupo conmutativo sobre el par (R \ {0}, ·) yademas tenemos la propiedad (MA). En consecuencia, el trıo (R,+, ·) posee la estructuraalgebraica conocida como cuerpo. Notemos ademas lo siguiente:

N satisface las propiedades (A0)-(A2), (M0)-(M3) y (MA)

Z satisface las propiedades (A0)-(A4), (M0)-(M3) y (MA)

Q, al igual queR, tambien posee la estructura de cuerpo. Por lo tanto, sera importante mas adelanteprobar que R 6= Q.

Es muy importante tener en cuenta que 1 6= 0, de manera que cuando algun texto quita la condicionque 1 6= 0 es porque, de alguna forma, ha considerado que N ⇢ R, lo cual garantiza la existenciade numeros reales distintos de 0 (debido a los axiomas de Peano usados para la construccion delconjunto de los numeros naturales).

Esta version puede contener errores 5


1.1.1. Otras propiedades algebraicas de los numeros reales

A partir de los axiomas de cuerpo, y usando las reglas de la logica proposicional,podemos obtener otras propiedades que cumplen los numeros reales.

i) 0 es elemento absorbente multiplicativo: (8a 2 R)(a · 0 = 0).

Demostracion. Sea a 2 R. Tenemos:

a · 0 = a · 0 + 0 Prop. elem. neutro aditivo

= a · 0 + (a+ (�a)) Prop. elem. inverso aditivo

= (a · 0 + a) + (�a) Prop. asociativa

= (a · 0 + a · 1) + (�a) Prop. elem. neutro multiplicativo

= a · (0 + 1) + (�a) Prop. distributiva

= a · 1 + (�a) Prop. elem. neutro aditivo

= a+ (�a) Prop. elem. neutro multiplicativo

= 0 Prop. elem. neutro aditivo. ⌅

ii) Unicidad del elemento inverso aditivo: (8a2R)(9!(�a)2R) tal que�

a+ (�a) = 0

�

.

Demostracion. Sea a 2 R. Supongamos que existe un elemento a 2 R tal que a + a = 0.

Debemos probar que a = (�a).

Tenemos:a = a+ 0 Prop. elem. neutro aditivo

= a+

�

a+ (�a)�

Prop. elem. inverso aditivo

=

�

a+ a�

+ (�a) Prop. asociativa

=

�

a+ a�

+ (�a) Prop. conmutativa

= 0 + (�a) Por la hipotesis a+ a = 0

= (�a) + 0 Prop. conmutativa

= (�a) Prop. elem. neutro aditivo. ⌅

iii) Unicidad del elemento inverso multiplicativo:(8a2R\{0})(9! a�12R) tal que�

a ·a�1

= 1

�

.

Demostracion. Sea a 2 R \ {0}. Partimos probando que a�1 6= 0. Lo haremos por reduccional absurdo, esto es, probaremos que la negacion de este hecho es una contradiccion.

Asumamos que a�1

= 0. Entonces, como 0 es elemento absorbente, tendremos que a·a�1

= 0.Por otro lado, como a�1 es el inverso multiplicativo de a, entonces a · a�1

= 1. Concluimos



que 1 = a · a�1

= 0, lo cual es una contradiccion pues 1 6= 0. La contradiccion viene desuponer que a�1

= 0; por lo tanto, a�1 6= 0.

Ahora, supongamos que existe un elemento a 2 R tal que a · a = 1.

Debemos probar que a = a�1.

Tenemos:a = a · 1 Prop. elem. neutro multiplicativo

= a ·�

a · a�1

�

Prop. elem. inverso multiplicativo

=

�

a · a�

· a�1 Prop. asociativa

=

�

a · a�

· a�1 Prop. conmutativa

= 1 · a�1 Por la hipotesis a · a = 1

= a�1 · 1 Prop. conmutativa

= a�1 Prop. elem. neutro multiplicativo. ⌅

iv) (8a, b 2 R)(a · b = 0 , (a = 0 _ b = 0)).

Demostracion.

()) Sean a, b 2 R. Queremos probar que el enunciado (a · b = 0 ) (a = 0 _ b = 0)) esverdadero. Para ello, argumentaremos por reduccion al absurdo, esto es, probaremos que lanegacion del enunciado es una contradiccion.

Asumamos quea · b = 0 ^ a 6= 0 ^ b 6= 0.

Se sigue quea = a · 1 Prop. elem. neutro multiplicativo

= a · (b · b�1

) Prop. elem. inverso multiplicativo

= (a · b) · b�1 Prop. asociativa

= 0 · b�1 Por la hipotesis a · b = 0

= b�1 · 0 Prop. conmutativa

= 0 0 es elemento absorbente.

Concluimos que a = 0, pero por otro lado partimos suponiendo que a 6= 0. Entonceshemos obtenido una contradiccion. Por lo tanto, la negacion del enunciado es falsa, y asıel enunciado es verdadero.

(() Sean a, b 2 R. Probar que el enunciado (a = 0 _ b = 0 ) a · b = 0) es verdadero, esdirecto, pues 0 es elemento absorbente. ⌅



v) Cancelacion aditiva: (8a, b, c 2 R)((a+ b = c+ b) , a = c).

Demostracion.

()) Sean a, b, c 2 R y asumamos que a+ b = c+ b.

Debemos probar que a = c.

Tenemos:

a = a+ 0 Prop. elem. neutro aditivo

= a+ (b+ (�b)) Prop. elem. inverso aditivo

= (a+ b) + (�b) Prop. asociativa

= (c+ b) + (�b) Por hipotesis a+ b = a+ c

= c+ (b+ (�b)) Prop. asociativa

= c+ 0 Prop. elem. inverso aditivo

= c Prop. elem. neutro aditivo.

(() Es directa desde la definicion de igualdad. ⌅

vi) Cancelacion multiplicativa: (8a, b, c 2 R)�

a 6= 0 ) (a · b = a · c , b = c)�

.

Demostracion. Sean a, b, c 2 R y asumamos que a 6= 0.

()) Asumamos que a · b = a · c. Entonces:

b = 1 · b Prop. elem. neutro multiplicativo

= (a�1 · a) · b Prop. elem. inverso multiplicativo

= a�1 · (a · b) Prop. asociativa

= a�1 · (a · c) Por hipotesis a · b = a · c

= (a�1 · a) · c Prop. asociativa

= 1 · c Prop. elem. inverso multiplicativo

= c Prop. elem. neutro multiplicativo.

(() Es directa desde la definicion de igualdad. ⌅

OBSERVACION 1.1.2 La propiedad (A4) sobre la existencia de un elemento inverso aditivo, nos permitedefinir la operacion sustraccion en R, la cual denotamos por el signo “�”, de la siguiente manera:

(8a, b 2 R)(a� b = a+ (�b)).



OBSERVACION 1.1.3 La propiedad (M4) sobre la existencia de un elemento inverso multiplicativo exceptopara el cero, nos permite definir la operacion division en R \ {0}, la cual denotamos por el signo “:”, de lasiguiente manera:

(8a, b 2 R, b 6= 0)(a : b = a · b�1

)

entendiendo que si b 6= 0, entonces

b�1

=

1

by a · b�1

= a · 1b=

a

b.

OBSERVACION 1.1.4

Sea n 2 Z\{0}. Se define la n-esima potencia entera de un numero real a, al valor an determinadocomo sigue:

• (8a 2 R)(8n 2 N)

⇣

an = a · a · . . . · a| {z }

multiplicar n veces a

⌘

• (8a 2 R \ {0})(8n 2 N)

�

a�n= (a�1

)

n�

• (8n 2 N)(0�n es una expresion indeterminada, y no representa numero real alguno). Es decir:

(8n 2 N)

�

0

�n 62 R�

.

Para n = 0 tenemos la siguiente situacion:

• (8a 2 R \ {0})(a0 = 1)

• 0

0 es una expresion indeterminada, y no representa numero real alguno. Es decir:

6 9b 2 R tal que b = 0

0.

OBSERVACION 1.1.5 En adelante, cuando sea posible y no produzca confusion, omitiremos el signo “·” almultiplicar expresiones algebraicas o numeros.

EJERCICIOS 1.1.1 Demuestra las siguientes propiedades de los numeros reales:

a) El elemento neutro aditivo es unico

b) (8a 2 R)�

(�1) a = �a�

c) (8a, b 2 R)�

� (a b) = (�a) b = a (�b)�

d) (�1)

2

= 1

e) (8a 2 R)�

(�a)2 = a2 ^ (�a)3 = �a3�



f ) (8a 2 R)�

� (�a) = a�

g) (8a, b, c 2 R)�

a (b� c) = a b� a c�

h) El elemento neutro multiplicativo es unico

i) (8a 2 R \ {0})�

(a�1

)

�1

= a�

j) (8a, b 2 R \ {0})�

(ab)�1

= a�1b�1

�

k) (8a, b, c, d 2 R, b 6= 0, d 6= 0)

⇣a

b=

c

d, a d = b c

⌘

l) (8a, b, c, d 2 R, b 6= 0, d 6= 0)

⇣a

b· cd=

a c

b d

⌘

m) (8a, b, c, d 2 R, b 6= 0, d 6= 0)

⇣a

b± c

d=

a d± b c

b d

⌘

n) (8a, b, c, d 2 R, b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0)

⇣a

b:

c

d=

a d

b c

⌘

.

1.1.2. Ecuaciones de primer grado con una incognita

Partimos dando una definicion general de una ecuacion.

DEFINICION 1.1.1 Sean p(x) y q(x) dos expresiones algebraicas en x. La proposicion:

p(x) = q(x)

se llama ecuacion con una incognita. Si al reemplazar x por un valor a, la proposicion resultaverdadera, entonces el valor a, recibe el nombre de solucion de la ecuacion. El conjunto solucion de laecuacion es el conjunto conformado por todos los valores a tales que a es solucion de la ecuacion.Si dos o mas ecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entonces decimos quelas ecuaciones son equivalentes.

En esta subseccion estamos interesados en resolver ecuaciones con una incognita que sean a lomas de primer grado; es decir, estamos interesados en resolver ecuaciones que se puedan reducira la forma

ax+ b = 0,

donde a y b son numeros reales y x es la incognita.

El siguiente teorema establece la existencia y unicidad de soluciones reales de una ecuacion deprimer grado con una incognita con coeficiente no nulo:



TEOREMA 1.1.1 Sean a, b, c 2 R, a 6= 0. La ecuacion de primer grado

ax+ b = 0

posee una unica solucion en R.

Demostracion. Para probar la existencia, tenemos

ax+ b = 0 ) ax+ b+ (�b) = 0 + (�b)

) ax+

�

b+ (�b)�

= �b

) ax+ 0 = �b

) ax = �b

) a�1 a x = a�1

(�b)

)�

a�1 a)x = a�1

(�b)

) 1 · x =

�b

a

) x = � b

a.

Para probar la unicidad, supongamos que existe una segunda solucion de la ecuacion, la cualllamaremos z y probemos que en realidad se trata de la misma solucion. Tenemos

ax+ b = 0 ^ az + b = 0 ) ax+ b = az + b

) ax = az

) x = z. ⌅

A continuacion haremos algunos comentarios acerca de las soluciones de la ecuacion

ax+ b = 0, (1.1)

con a, b 2 R.

A menos que se diga otra cosa, el conjunto sobre el cual buscaremos soluciones para la ecuacion(1.1) sera R.

Si a 6= 0, entonces la ecuacion (1.1) posee una unica solucion, y esta esta dada por

x = � b

a.

En otras palabras, el conjunto solucion de la ecuacion es

S =

⇢

� b

a

�

.



Si a = 0 y b = 0, entonces la ecuacion (1.1) se puede reducir a la tautologıa

0 = 0,

que es una proposicion que es siempre verdadera independiente de los valores reales queasuma la incognita x, de donde concluimos que la ecuacion (1.1) tiene por solucion a cualquiernumero en R, que es lo mismo que decir que el conjunto solucion de la ecuacion es

S = R.

Si a = 0 y b 6= 0, entonces la ecuacion (1.1) se puede reducir a la contradiccion

b = 0,

que es una proposicion que es siempre falso independiente de los valores reales que asumala incognita x (pues hemos asumido que b 6= 0 y estamos concluyendo que b = 0), de dondeconcluimos que la ecuacion (1.1) no tiene solucion, que es lo mismo que decir que el conjuntosolucion de la ecuacion es

S = ?,

donde ? representa al conjunto vacıo.

En lo que sigue de esta subseccion, trataremos con ecuaciones que son a lo mas de primergrado.

OBSERVACION 1.1.6 Antes de continuar conviene recordar los siguientes productos notables:

[Cuadrado de un binomio] (x± a)2 = x2 ± 2ax+ a2

[Cubo de un binomio] (x± a)3 = x3 ± 3x2a+ 3a2x± a3

[Suma por su diferencia] (x+ a)(x� a) = x2 � a2

[Producto de binomios con termino comun] (x+ a)(x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab

[Diferencia de cubos] x3 � a3 = (x� a)(x2 + ax+ a2)

[Suma de cubos] x3 + a3 = (x+ a)(x2 � ax+ a2).

EJEMPLO 1.1.1 Resuelve la ecuacion: 4x+ 16 = 14.

Solucion. 4x+ 16 = 14 ) 4x = 14� 16

) 4x = �2

) x = �1

2

.

Por lo tanto el conjunto solucion de la ecuacion es S =

�

�1

2

. ⇤



EJEMPLO 1.1.2 Resuelve la ecuacion: (x+ 3)

2

= (x� 2)(x+ 1).

Solucion. (x+ 3)

2

= (x� 2)(x+ 1) ) x2 + 6x+ 9 = x2 � x� 2

) 6x+ 9 = �x� 2

) 7x = �11

) x = �11

7

.


�

�11

7

. ⇤

EJEMPLO 1.1.3 Resuelve la ecuacion: (x� 3)(x+ 1) = (x+

p3)(x�

p3)� 2x.

Solucion. (x� 3)(x+ 1) = (x+

p3)(x�

p3)� 2x ) x2 � 2x� 3 = x2 � 3� 2x

) 0 = 0.

Como hemos llegado a un resultado que es verdadero, independientemente del valor de x,concluimos que cualquier valor real es solucion de la ecuacion. Por lo tanto el conjunto solucionde la ecuacion es S = R. ⇤

EJEMPLO 1.1.4 Resuelve la ecuacion: (x+ 1)

2 � 2x = x2.

Solucion. (x+ 1)

2 � 2x = x2 ) x2 + 2x+ 1� 2x = x2

) 1 = 0.

Como hemos llegado a un resultado que es falso, independientemente del valor de x, concluimosque la ecuacion no tiene solucion. Por lo tanto el conjunto solucion de la ecuacion es S = ?. ⇤

EJEMPLO 1.1.5 Resuelve la ecuacion:1

x� 3

� 3

x� 2

� 4

1� 2x= 0.

Solucion. Notemos que la ecuacion tiene sentido para valores de x diferentes a 2, 3 y 1

2

. Por lotanto buscamos soluciones en R \

�

2, 3, 12

.

1

x� 3

� 3

x� 2

� 4

1� 2x= 0 ) (x� 2)� 3(x� 3)

(x� 2)(x� 3)

=

4

1� 2x

) x� 2� 3x+ 9

(x� 2)(x� 3)

=

4

1� 2x

) �2x+ 7

(x2 � 5x+ 6)

=

4

1� 2x



) (7� 2x)(1� 2x) = 4(x2 � 5x+ 6) pues x 2 R \⇢

2, 3,1

2

�

) 7� 16x+ 4x2 = 4x2 � 20x+ 24

) 4x = 17

) x =

17

4

con17

4

2 R \⇢

2, 3,1

2

�

.


�

17

4

. ⇤

EJEMPLO 1.1.6 Sean a, b 2 R. Resuelve la ecuacion:x+ a

5

+

x+ b

10

= 1.

En particular, si a = 5 y b = 0, ¿Cuanto vale x?

Solucion.

(1�) Resolvamos la ecuacion para x.

x+ a

5

+

x+ b

10

= 1 ) 2(x+ a) + (x+ b)

10

= 1

) 2x+ 2a+ x+ b = 10

) 3x = 10� 2a� b

) x =

10� 2a� b

3

resuelve la ecuacion.

(2�) Si a = 5 y b = 0, reemplazamos estos valores en la igualdad previa y obtenemos

x = 0. ⇤

EJEMPLO 1.1.7 Sea a 6= 0. Resuelve la ecuacion: (x�a)(x+a) = (x�2a)2. ¿Cual debe ser el valorde a para que la solucion obtenida sea igual a 1

2

?

Solucion.

(1�) Resolvamos la ecuacion para x.

(x� a)(x+ a) = (x� 2a)2 ) x2 � a2 = x2 � 4ax+ 4a2

) 4ax = 5a2

) x =

5a

4

resuelve la ecuacion (pues a 6= 0).

(2�) Si x =

1

2

, podemos sustituir este valor en la igualdad previa y despejar a, obteniendo

a =

2

5

. ⇤



EJEMPLO 1.1.8 Encuentra, si es posible, un valor a 2 R tal que la ecuacion (ax + 4)(3x + 2) = 4

resulte equivalente a la ecuacion 3x+ 2 = 1.

Solucion. Podemos resolver el ejemplo por dos diferentes vıas

(1�) Notemos que(ax+ 4)(3x+ 2) = 4 , 3ax2 + 2ax+ 12x+ 8 = 4

, 3

4

ax2 +1

2

ax+ 3x+ 2 = 1,

de donde deducimos que si a = 0 las ecuaciones resultan equivalentes, pues despues dedividir por 4 en la primera ecuacion obtenemos la segunda, por lo que ambas ecuacionesdeben tener el mismo conjunto solucion.

(2�) Notemos que

3x+ 2 = 1 , x = �1

3

.

Tomemos ahora este valor de x y reemplacemoslo en la primera ecuacion. Obtenemos✓

�1

3

a+ 4

◆

(�1 + 2) = 4 , �1

3

a+ 4 = 4,

de donde concluimos que con a = 0, ambas ecuaciones resultan ser de primer grado y poseenla misma solucion, por lo que resultan equivalentes. ⇤

EJERCICIOS 1.1.2

1. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas:

a)⇣

1

2

a2 +1

3

a+

1

4

⌘

·⇣

2

3

a� 1

2

⌘

b) (1 + 2b+ 3a)2 � (1� 2b+ 3a)2

c)a+ 5b

a2 + 6ab:

ab+ 5b2

ab3 + 6a2b

d)3ax3 + 3a3x� 6a2x2

ax3 � a3x

2. Encuentra condiciones sobre a, b y x que permitan verificar las siguientes igualdades:

a)ab(x2 + 1) + x(a2 + b2)

ab(x2 � 1) + x(a2 � b2)=

ax+ b

ax� b

b)⇣x� a

x� b

⌘

3

� x� 2a+ b

x+ a� 2b= 0



3. Demuestra que si a 6= �b, a 6= �c y b 6= �c, entonces

bc

(a+ b)(a+ c)+

ac

(b+ c)(b+ a)+

ab

(c+ a)(c+ b)+

2abc

(a+ b)(a+ c)(b+ c)= 1

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)2

4x� 5

� 6x+ 5

16x2 � 25

=

3

4x+ 5

b)x

x� 3

� x

x+ 3

� 6x� 4

x2 � 5x+ 6

= 0

5. Halla el valor de a y b, de modo que para cada x 2 R \ {3,�4} se verifique la igualdad

6x� 2

x2 + x� 12

=

a

x+ 4

+

b

x� 3

6. ¿Cual debe ser el valor de a en la ecuacion ax+5 = 2x+3 para que esta no tenga solucion?

7. ¿Que valor de a permite que la ecuacion a2x�3 = 2ax�(x+3a) tenga infinitas soluciones?

Para ver las Soluciones de los Ejercicios 1.1.2 presiona aquı A

RECURSOS MULTIMEDIA (ES NECESARIA UNA CONEXION A INTERNET) 1.1.1

Presiona aquı X para visitar un sitio web donde podras operar con expresiones algebraicas,resolver ecuaciones y realizar muchos otros calculos de materias tratadas en estos apuntes.Esta herramienta sera de gran utilidad cuando quieras chequear tus respuestas.

1.2. Axiomas de orden de los numeros reales

Para establecer una relacion de orden en el conjunto de los numeros reales, es convenienteconsiderar un subconjunto de R, denotado por R+, el cual llamaremos conjunto de los numerosreales positivos. Este conjunto queda definido por los siguientes axiomas:

(O1) Invarianza para la adicion

La suma de numeros positivos es un numero positivo. Esto es,

(8a, b 2 R)((a 2 R+ ^ b 2 R+

) ) a+ b 2 R+

)

(O2) Invarianza para la multiplicacion

El producto de numeros positivos es un numero positivo. Esto es,

(8a, b 2 R)((a 2 R+ ^ b 2 R+

) ) a · b 2 R+

)


http://www.wolframalpha.com

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 1.2. AXIOMAS DE ORDEN DE LOS NUMEROS REALES

(O3) Tricotomıa

Un numero real verifica una y solo una de las siguientes posibilidades, o bien el numero espositivo, o bien el numero es cero, o bien su inverso aditivo es un numero positivo. Esto es,

(8a 2 R)(a 2 R+ _ a = 0 _ � a 2 R+

)

DEFINICION 1.2.1 Sean a, b dos numeros reales. Se definen las siguientes relaciones de desigualdadentre a y b:

i) a es mayor que b, lo que denotamos por a > b, si y solo si a � b es un numero positivo; esdecir,

a > b , a� b 2 R+

ii) a es mayor o igual que b, lo que denotamos por a > b, si y solo si a� b es un numero positivo,o a es igual a b; es decir,

a > b , (a� b 2 R+ _ a = b)

iii) a es menor que b, lo que denotamos por a < b, si y solo si b � a es un numero positivo; esdecir,

a < b , b� a 2 R+

iv) a es menor o igual que b, lo que denotamos por a 6 b, si y solo si b� a es un numero positivo,o a es igual a b; es decir,

a 6 b , (b� a 2 R+ _ a = b)

Notemos que por definicion de “mayor que”, tenemos que

a 2 R+ , a > 0.

Por otro lado, por propiedad de tricotomıa tenemos que, si a 2 R+, entonces

(�a 2/ R+ ^ a 6= 0) ) (�a 0 ^ �a 6= 0)

) �a < 0.

De esta forma surge naturalmente otro subconjunto en R, denotado por R�, el cual llamamosconjunto de los numeros reales negativos. Mas aun,

a 2 R� , a < 0.

Es claro ahora que R� corresponde al conjunto de los inversos aditivos de los elementos en R+, yque la union de ambos conjuntos con cero resulta ser todo R. Es decir,

a 2 R , (a 2 R� _ a = 0 _ a 2 R+

).

En otras palabras,

R = R� [ {0} [R+ ^ ? = R� \R+ ^ ? = {0} \R+ ^ ? = R� \ {0}.

1.2.1. Propiedades de las desigualdades en R

De acuerdo a los axiomas y definiciones dados previamente, no es difıcil demostrar que en Rla relacion “mayor o igual que” constituye una relacion de orden; es decir, satisface las siguientespropiedades:

Propiedad reflexiva

(8a 2 R)(a > a)

Propiedad antisimetrica

(8a, b 2 R)(a > b ^ b > a ) a = b)

Propiedad transitiva

(8a, b, c 2 R)(a > b ^ b > c ) a > c)

Demostracion. Sean a, b y c tres numeros reales cualesquiera. Entonces:

Para la reflexividad,a = a ) a > a.

Para la antisimetrıa,

a > b ^ b > a ) (a� b 2 R+ _ a = b) ^ (b� a 2 R+ _ b = a)

)

8

>

<

>

:

(a� b 2 R+ ^ b� a 2 R+

) _ (a = b ^ b� a 2 R+

)

_(a� b 2 R+ ^ b = a) _ (a = b ^ b = a)

) ? _ ? _ ? _ a = b

) a = b.

Para la transitividad,

a > b ^ b > c ) (a� b 2 R+ _ a = b) ^ (b� c 2 R+ _ b = c)

)

8

>

<

>

:

(a� b 2 R+ ^ b� c 2 R+

) _ (a = b ^ b� c 2 R+

)

_(a� b 2 R+ ^ b = c) _ (a = b ^ b = c)

) a� c 2 R+ _ a� c 2 R+ _ a� c 2 R+ _ a = c

) a > c. ⌅

OBSERVACION 1.2.1 Es facil chequear que la relacion “menor o igual que” constituye una relacion deorden en R. Basta con cambiar los signos > por los signos 6 en las demostraciones previas.

1.2.2. Otras propiedades de las desigualdades en R

A continuacion probaremos algunas propiedades de las desigualdades en R.

i) (8a, b, c 2 R)(a > b ) a+ c > b+ c).

Demostracion. Sean a, b y c numeros reales. Entonces

a > b ) (a� b) 2 R+

) (a+ c� c� b) 2 R+

)�

(a+ c)� (b+ c)�

2 R+

) a+ c > b+ c. ⌅

ii) (8a, b, c 2 R)(a > b ^ c > 0 ) ac > bc).


a > b ^ c > 0 ) (a� b) 2 R+ ^ c 2 R+

) (a� b) c 2 R+

) (ac� bc) 2 R+

) ac > bc. ⌅

iii) (8a, b, c 2 R)(a > b ^ c < 0 ) ac < bc).


a > b ^ c < 0 ) (a� b) 2 R+ ^ c 2 R�

) (a� b) 2 R+ ^ (�c) 2 R+

a > b ^ c < 0 ) (a� b)(�c) 2 R+

) (bc� ac) 2 R+

) ac < bc. ⌅

iv) (8a 2 R)(a 6= 0 ) a2 > 0).

Demostracion. Sea aun numero real y recordemos que (�1)

2

=1 (vea Ejercicios 1.1.1, d)). Entonces

a > 0 ) a 2 R+

) a · a = a2 2 R+

) a2 > 0

ya < 0 ) a 2 R�

) (�a) 2 R+

) (�a)2 = (�a)(�a) = (�1)

2a2 = a2 2 R+

) a2 > 0. ⌅

v) (8a 2 R)(a > 0 ) a�1 > 0).

Demostracion. Antes de probar la propiedad, notemos que 1 = 1 · 1 = 1

2 > 0. Ahoraprobaremos la propiedad por reduccion al absurdo, esto es, supondremos que la negaciondel enunciado es verdadera y llegaremos a una contradiccion.

Sea a un numero real y supongamos que

a > 0 ^ a�1 6 0.

Entonces por propiedad iii), tenemos que a a�1 < 0, pues a�1 6= 0, pero esto es unacontradiccion con el hecho que a a�1

= 1 > 0. Esto quiere decir que la negacion delenunciado es falsa y luego el enunciado es verdadero. ⌅

vi) (8a, b 2 R)(a > b > 0 ) b�1 > a�1

).

Demostracion. Sean a y b numeros reales. Entonces

a > b > 0 ) (a� b) 2 R+ ^ a�1 2 R+ ^ b�1 2 R+

) (a� b) 2 R+ ^ a�1 b�1 2 R+

) (a� b) a�1 b�1 2 R+

) (a a�1 b�1 � b a�1 b�1

) 2 R+

) (b�1 � a�1

) 2 R+

) b�1 > a�1. ⌅

vii) (8a, b 2 R)(a > b > 0 ) a2 > b2).

Demostracion. Sean a y b numeros reales. Entonces

a > b > 0 ) (a� b) 2 R+ ^ (a+ b) 2 R+

) (a� b) (a+ b) 2 R+

) (a2 � b2) 2 R+

) a2 > b2. ⌅

EJERCICIOS 1.2.1

1. Sean a, b, c 2 R. Demuestra que ((a > b ^ b > c) ) a > c)

2. Sean a, b, c 2 R. Demuestra que ((a b · c)

3. Sean a, b 2 R. Si a 6= b, demuestra que a2 + b2 > 2ab

4. Sean a, b, c 2 R. Si a 6= b, b 6= c, a 6= c, demuestra que a2 + b2 + c2 > ab+ bc+ ac

5. Sean a, b, c, d 2 R. Si a2 + b2 = 1 y c2 + d2 = 1, demuestra que ac+ bd 1

6. Sean a, b,m, n 2 R. Si a > b y m,n 2 R+, demuestra que b <ma+ nb

m+ n< a

7. Sean a, b, c 2 R+. Si a 6= c, demuestra quea+ b

c+

b+ c

a+

a+ c

b> 6

8. Sean x, y, z 2 R+. Prueba que (x+ y + z)⇣

1

x+

1

y+

1

z

⌘

� 9.

1.2.3. Intervalos

Una forma de escribir y representar ciertos subconjuntos de los numeros reales que involucrandesigualdades en su definicion son los intervalos.

DEFINICION 1.2.2 Sean a, b dos numeros reales tales que a < b.

i) Llamamos intervalo abierto al conjunto

]a, b[ := {x 2 R : a < x < b}.

Figura 1.2. Representacion grafica de un intervalo abierto ]a, b[.

ii) Llamamos intervalo cerrado al conjunto

[a, b] := {x 2 R : a x b}.

Figura 1.3. Representacion grafica de un intervalo cerrado [a, b].

iii) Llamamos intervalo semiabierto por derecha al conjunto

[a, b[ := {x 2 R : a x < b}.

Figura 1.4. Representacion grafica de un intervalo semiabierto por derecha [a, b[.

iv) Llamamos intervalo semiabierto por izquierda al conjunto

]a, b] := {x 2 R : a < x b}.

Figura 1.5. Representacion grafica de un intervalo semiabierto por izquierda ]a, b].

v) Llamamos intervalo infinito abierto por derecha al conjunto

]�1, b[ := {x 2 R : x < b}.

Figura 1.6. Representacion grafica de un intervalo infinito abierto por derecha ]�1, b[.

vi) Llamamos intervalo infinito abierto por izquierda al conjunto

]a,+1[ := {x 2 R : x > a}.

Figura 1.7. Representacion grafica de un intervalo infinito abierto por izquierda ]a,+1[.

vii) Llamamos intervalo infinito cerrado por derecha al conjunto

]�1, b] := {x 2 R : x b}.

Figura 1.8. Representacion grafica de un intervalo infinito cerrado por derecha ]�1, b].

viii) Llamamos intervalo infinito cerrado por izquierda al conjunto

[a,+1[ := {x 2 R : x � a}.

Figura 1.9. Representacion grafica de un intervalo infinito cerrado por izquierda [a,+1[.

1.2.4. Distancia entre dos numeros reales

DEFINICION 1.2.3 Sean a y b dos numeros reales. Definimos la distancia entre a y b,denotada por dist(a, b) a la diferencia no negativa entre a y b. Esto es,

dist(a, b) :=

8

<

:

a� b si a� b � 0,

b� a si b� a � 0.

EJERCICIOS 1.2.2

1. Calcula la distancia entre los pares de numeros reales dados a continuacion y compruebalos resultados en una recta numerica:

a) 3 y � 4 b) � 7 y � 5 c) � 3 y 4 d) 5 y 0 e) 0 y � 5 f) � 1 y 6

2. De las siguientes afirmaciones, subraya aquellas que son verdaderas:

a) dist(�13, 2) = dist(�2, 13) b) dist(p5,p2) = dist(�

p5,p2)

c) dist(2, 5) = dist(5, 2) d) dist(�9,�3

2

) = dist(32

, 9)

e) dist(�a,�b) = dist(b, a) f) dist(a, b) = dist(b, a)

g) dist(5, 0) = 5 h) dist(1�p2, 0)=

p2�1

Propiedades relativas al concepto de distancia entre numeros reales

i) (8a, b 2 R)�

dist(a, b) = dist(b, a)�

ii) (8a, b 2 R)�

dist(a, b) = dist(�a,�b)�

iii) (8a, b 2 R)�

dist(a, c) dist(a, b) + dist(b, c)�

OBSERVACION 1.2.2 La distancia entre un numero real dado y el cero es muy sencilla de calcular. Enefecto, sea a 2 R, entonces

dist(a, 0) =

8

>

>

<

>

>

:

a si a > 0,

0 si a = 0,

�a si a < 0.

Como veremos a continuacion, la distancia de un valor real al cero, corresponde al concepto matematicodenominado valor absoluto de un numero real.

1.2.5. Valor absoluto de un numero real

DEFINICION 1.2.4 Sea a 2 R. Llamamos valor absoluto de a, a un valor real que se denota por |a|y que se define de la siguiente forma

|a| :=

8

>

>

<

>

>

:

a si a > 0,

0 si a = 0,

�a si a < 0.

Propiedades relativas al concepto de valor absoluto de un numero real

i) (8a, b 2 R)(|a · b| = |a| · |b|)

ii) (8a, b 2 R)✓

b 6= 0 )�

�

�

a

b

�

�

�

=

|a||b|

◆

iii) (8a, b 2 R)�

�

�|a|�|b|�

� |a±b| |a|+|b|�

(Desigualdad triangular)

iv) (8a 2 R)(|a| =pa2)

v) (8a 2 R)(|a| = dist(a, 0)).

EJEMPLO 1.2.1 Calcula |3| y |�p2|.

Solucion. Tenemos:

|3| = 3, pues 3 � 0 y |�p2| = �(�

p2) =

p2, pues �

p2 < 0. ⇤

EJEMPLO 1.2.2 Sea a > 0. ¿Cual es el valor de |1� a|?

Solucion.

Caso 0 < a < 1.

Notemos que en este caso 1� a > 0, entonces

|1� a| = 1� a.

Caso a � 1.

Notemos que en este caso 1� a 0, entonces

|1� a| = �(1� a) = �1 + a = a� 1. ⇤

EJERCICIOS 1.2.3 De las siguientes afirmaciones, subraya aquellas que son siempre verdaderas:

a) |a|+ |0| = |a+ 0| b) |a|� |a| = 0 c) |� a|+ |� b| = |� a� b|

d) |a|+ |b| = |a+ b| e) |a� b| � |a|� |b| f) |a+ b| � |a|+ |� b|

g) |a� b| � |a|� |b| h) |a+ b| � |a|� |b| i) |a� b| |a|+ |b|.


1.2.6. Ecuaciones de segundo grado

DEFINICION 1.2.5 Sean a, b, c 2 R, con a 6= 0. Una ecuacion de la forma

ax2 + bx+ c = 0

se denomina ecuacion cuadratica o ecuacion de segundo grado con una incognita.

Notemos que

ax2 + bx+ c = 0 ^ a 6= 0 ) x2 +b

ax = � c

a

) x2 + 2

✓

b

2ax

◆

+

✓

b

2a

◆

2

=

✓

b

2a

◆

2

� c

a

)✓

x+

b

2a

◆

2

=

b2 � 4ac

4a2.

Dado que enR el cuadrado de un numero real es siempre mayor o igual que cero, tiene sentido enR extraer raız cuadrada en ambos lados de la ultima igualdad obtenida siempre que b2 � 4ac � 0.Luego, el caso b2 � 4ac < 0 no tiene sentido en R.

De esta forma, asumiendo que b2 � 4ac � 0 tenemos que

✓

x+

b

2a

◆

2

=

b2 � 4ac

4a2) x+

b

2a= ±

pb2 � 4ac

2a

) x =

�b±pb2 � 4ac

2a.

Por lo tanto:

i) Si b2 � 4ac > 0 , la ecuacion tiene dos raıces reales (o soluciones reales) distintas dadas por

x1

=

�b�pb2 � 4ac

2ay x

2

=

�b+pb2 � 4ac

2a.

ii) Si b2 � 4ac = 0, la ecuacion tiene una raız real unica (con multiplicidad 2) dada por

x = � b

2a.

iii) Si b2�4ac < 0, la ecuacion no tiene raıces reales. Sin embargo, sı tiene solucion en el conjuntode los numeros complejos usualmente denotado porC. Sobre este conjunto la ecuacion poseedos raıces complejas conjugadas (las raıces tienen la misma forma que en i)). De todas formas,conviene decir que el conjuntoC escapa por ahora de nuestro interes, pues solo nos interesanlas soluciones reales de la ecuacion.

TEOREMA 1.2.1 [Teorema de Cardano-Viete] Sean a, b, c 2 R, a 6= 0. Si x1

y x2

son las raıces dela ecuacion cuadratica ax2 + bx+ c = 0, entonces

x1

+ x2

= � b

ay x

1

· x2

=

c

a.

EJEMPLO 1.2.3 Resuelve la ecuacion: x2 =x+ 5

6

.

Solucion. x2 =x+ 5

6

) 6x2 � x� 5 = 0

) (6x)2 � (6x)� 30 = 0

) (6x� 6)(6x+ 5) = 0

) x = 1 _ x = �5

6

.

Notemos que hemos llegado al mismo resultado que si hubiesemos usado la formula para resolveruna ecuacion cuadratica. ⇤

EJEMPLO 1.2.4 Resuelve la ecuacion:x+ 1

x+ 3

+

x+ 5

x� 2

=

14x+ 7

x2 + x� 6

.


Solucion. La ecuacionx+ 1

x+ 3

+

x+ 5

x� 2

=

14x+ 7

x2 + x� 6

tiene sentido si x 6= �3 y x 6= 2.

x+ 1

x+ 3

+

x+ 5

x� 2

=

14x+ 7

x2 + x� 6

^ x 6= �3 ^ x 6= 2

) (x+ 1)(x� 2) + (x+ 5)(x+ 3)

(x+ 3)(x� 2)

=

14x+ 7

(x+ 3)(x� 2)

^ x 6= �3 ^ x 6= 2

) x2 � x� 2 + x2 + 8x+ 15 = 14x+ 7 ^ x 6= �3 ^ x 6= 2

) 2x2 � 7x+ 6 = 0 ^ x 6= �3 ^ x 6= 2

) x =

7±p49� 4 · 2 · 62 · 2 =

7± 1

4

^ x 6= �3 ^ x 6= 2

) x =

3

2

. ⇤

1.2.7. Ecuaciones con radicales

Antes de definir una ecuacion con radicales conviene recordar la siguiente definicion.

DEFINICION 1.2.6 Sea a 2 R y sea n 2 N, n � 2. La raız n-esima del numero real a, denotada porn

pa, existe en R si y solo si existe un numero real b tal que:

i) Si n es impar,n

pa = b b verificando bn = a.

ii) Si n es par,n

pa = |b| b verificando bn = a.

Aquı a recibe el nombre de cantidad subradical y n el de ındice de la raız.

OBSERVACION 1.2.3 De acuerdo a la definicion de raız n-esima de un numero real, una raız de ındice paresta bien definida en R si la cantidad subradical es positiva o cero y su valor es siempre mayor o igual quecero. Es decir, n

px con n par es un numero real si y solo si x � 0; mas aun, si n es par y x � 0, entonces

n

px � 0, mientras que si n es impar, x puede ser cualquier numero real y n

px tiene el mismo signo que x.

Ahora conviene dar una nueva definicion para el valor absoluto de un numero real.

DEFINICION 1.2.7 Sea a un numero real. Llamamos valor absoluto de a al numero |a| definido por:

|a| :=pa2.

DEFINICION 1.2.8 Llamamos ecuacion con radicales de una incognita a cualquier ecuacion con unaincognita que posea al menos una expresion algebraica, que involucre a su incognita, como unacantidad subradical en alguno de los lados de la igualdad.



De ser necesario, al resolver una ecuacion con radicales se han de reordenar sus terminos con elfin de obtener una ecuacion equivalente cuyo lado derecho ha de ser solamente un termino radical,cuya cantidad subradical involucre a la incognita. Luego, buscamos las restricciones sobre laincognita de manera que las raıces involucradas en la ecuacion existan en R y elevamos a unapotencia apropiada en ambos lados de la igualdad para eliminar la raız del lado derecho. Esteproceso se debe realizar cuantas veces sea necesario hasta eliminar todas las raıces que contenganincognitas en su cantidad subradical respectiva y entonces se procede a resolver la ecuacionresultante como una ecuacion comun, considerando las restricciones establecidas al comienzopara descartar, si corresponde, los valores de las incognitas encontrados que no satisfacen talesrestricciones.

EJEMPLO 1.2.5 Resuelve la siguiente ecuacion:r

1

w�r

2

5w � 2

= 0.

Solucion. En la ecuacionr

1

w�r

2

5w � 2

= 0 los terminos tienen sentido si w > 0 y 5w � 2 > 0.

r

1

w�r

2

5w � 2

= 0 ^ w > 0 ^ w >2

5

)r

1

w=

r

2

5w � 2

^ w >2

5

) 1

w=

2

5w � 2

^ w >2

5

) 5w � 2 = 2w ^ w >2

5

) w =

2

3

. ⇤

EJEMPLO 1.2.6 Resuelve la siguiente ecuacion:px�

px+ 1 = 1.

Solucion. En la ecuacionpx�

px+ 1 = 1 los terminos tienen sentido si x � 0 y x+ 1 � 0.

px�

px+ 1 = 1 ^ x � 0 ^ x+ 1 � 0 )

px = 1 +

px+ 1 ^ x � 0

) x = 1 + 2

px+ 1 + x+ 1 ^ x � 0

)px+ 1 = �1 ^ x � 0.

Notemos que si x � 0, entonces x+ 1 � 0, de manera quepx+ 1 esta bien definida en R. Por otro

lado, la raız cuadrada de un numero real mayor o igual que cero es, por definicion, un numero realmayor o igual que cero. Ası

px+ 1 � 0. Por lo tanto, concluimos que la ecuacion no tiene solucion

en R. ⇤

EJEMPLO 1.2.7 Resuelve la siguiente ecuacion:py � 2 + 2�

p2y + 3 = 0.



Solucion. En la ecuacionp

y � 2+2�p

2y + 3 = 0 los terminos tienen sentido si y � 2 y 2y+3 � 0.p

y � 2 + 2�p

2y + 3 = 0 ^ y � 2 ^ y � �3

2

)py � 2 + 2 =

p2y + 3 ^ y � 2

) 4 + 4

py � 2 + y � 2 = 2y + 3 ^ y � 2

) 4

py � 2 = y + 1 ^ y � 2

) 16y � 32 = y2 + 2y + 1 ^ y � 2

) y2 � 14y + 33 = 0 ^ y � 2

) (y � 11)(y � 3) = 0 ^ y � 2

) y = 11 _ y = 3. ⇤

1.2.8. Ecuaciones reducibles a una de primer grado vıa cambio de variables

Hay ecuaciones que pueden parecer complejas en su forma, pero que mediante un cambio devariables, ellas pueden ser facilmente resueltas. Veamos los siguientes ejemplos.

EJEMPLO 1.2.8 Resuelve la ecuacion

1

x� 1

+ 5 +

5

2(x� 1)

=

13

5(x� 1)

� 4.

Solucion. La ecuacion se resuelve mas facil si ponemos u =

1

x�1

, considerando x 6= 1. Obtenemosuna nueva ecuacion

u+ 5 +

5

2

u =

13

5

u� 4,

que es muy facil de resolver, de hecho calculos directos conducen a u = �10. Ahora que hemosencontrado el valor de u, debemos volver a la variable original. Es decir, debemos preocuparnosde encontrar el valor de x.

u =

1

x� 1

(x 6= 1) , �10 =

1

x� 1

(x 6= 1) , x� 1 = � 1

10

, x =

9

10

. ⇤

EJEMPLO 1.2.9 Resuelve la ecuacion

3 · 2x + 2

x+2

= 28.

Solucion. La ecuacion se resuelve mas facil si ponemos u = 2

x, entonces obtenemos la nuevaecuacion

3u+ 4u = 28,

que es muy facil de resolver, de hecho u = 4. Ahora debemos volver a la variable original. Es decir,debemos preocuparnos de encontrar el valor de x.

u = 2

x , 4 = 2

x , 2

2

= 2

x , x = 2. ⇤


1.2.9. Ecuaciones con valor absoluto de una incognita

DEFINICION 1.2.9 Llamamos ecuacion con valor absoluto de una incognita a cualquier ecuacioncon una incognita que posea una expresion algebraica, que involucre a su incognita, en valorabsoluto en alguno de los lados de la igualdad.

Sean a, b, c, d 2 R, a 6= 0. Consideramos la siguiente ecuacion con valor absoluto

|ax+ b| = cx+ d.

(1�) Notemos que por definicion de valor absoluto, para cada x 2 R se verifica |ax+b| � 0;luego, para que la ecuacion tenga solucion una condicion necesaria es la siguiente

cx+ d � 0 ) cx � �d.

(2�) Tambien por definicion de valor absoluto tenemos que

|ax+ b| =(

�ax� b si ax+ b 0

ax+ b si ax+ b � 0.

Por lo tanto, las soluciones de la ecuacion |ax+ b| = cx+ d, con a 6= 0, corresponden a la union delas soluciones obtenidas al resolver las siguientes ecuaciones restringidas:

i) �ax� b = cx+ d ^ cx � �d

ii) ax+ b = cx+ d ^ cx � �d.

En otras palabras,

Si a 6= 0, la ecuacion |ax+ b| = cx+ d, tiene por solucion a todos los valores reales queverifiquen

(ax+ b = �cx� d _ ax+ b = cx+ d) ^ cx � �d.

En particular, la ecuacion |ax+ b| = d, a 6= 0, tiene por conjunto solucion a la union de lassoluciones obtenidas al resolver las siguientes ecuaciones restringidas:

ii) ax+ b = �d ^ d � 0

ii) ax+ b = d ^ d � 0.

En otras palabras,

I Si a 6= 0 y d < 0, la ecuacion |ax+ b| = d no tiene solucion real.

I Si a 6= 0 y d � 0, la ecuacion |ax+ b| = d tiene por solucion a todos los valores realesI que verifiquen

ax+ b = d _ ax+ b = �d.

OBSERVACION 1.2.4 Para resolver una ecuacion de la forma |ax + b| = |cx + d|, con a 6= 0,procedemos como sigue. Primero resolvemos las ecuaciones

ax+ b = cx+ d y ax+ b = �cx� d.

Luego, buscamos el conjunto solucion S, el cual estara formado por la reunion de los valores realescorrespondientes a las soluciones de cada una de las ecuaciones previas.

Los siguientes ejemplos corresponden a una aplicacion de los resultados previos pararesolver ecuaciones de primer grado con valor absoluto.

EJEMPLO 1.2.10 Resuelve la ecuacion |2x� 5| = 12.

Solucion. Notemos que |2x� 5| = 12 � 0. Luego, las soluciones de la ecuacion corresponden a lassoluciones de 2x� 5 = �12 y 2x� 5 = 12. Tenemos,

2x� 5 = �12 , 2x = �7 , x = �7

2

y

2x� 5 = 12 , 2x = 17 , x =

17

2

.

Por lo tanto, el conjunto solucion de la ecuacion es

S =

⇢

�7

2

,17

2

�

. ⇤

EJEMPLO 1.2.11 Resuelve la ecuacion |x� 3| = 2x+ 5.

Solucion. Las soluciones de la ecuacion deben verificar

2x+ 5 � 0 , x � �5

2

.

Ahora resolvemos, bajo esta condicion, las ecuaciones x� 3 = �2x� 5 y x� 3 = 2x+ 5:

x� 3 = �2x� 5 , 3x = �2 , x = �2

3

✓

con �2

3

� �5

2

◆

y

x� 3 = 2x+ 5 , x = �8

✓

con �8 < �5

2

◆

.

Por lo tanto, el segundo valor de x encontrado se descarta como solucion. Luego, el conjuntosolucion de la ecuacion es

S =

⇢

�2

3

�

. ⇤

EJEMPLO 1.2.12 Resuelve la ecuacion |x� 3| = 2.

Solucion. |x� 3| = 2 ) x� 3 = 2 _ �x+ 3 = 2

) x = 5 _ x = 1.

Por lo tanto el conjunto solucion de la ecuacion es

S = {1, 5} . ⇤

EJEMPLO 1.2.13 Resuelve la ecuacion |x+ 3|� |x� 2| = 4.

Solucion. Notemos que

|x+ 3| = 0 , x = �3 ^ |x� 2| = 0 , x = 2.

Luego, conviene estudiar la ecuacion en los siguientes tres casos: Caso 1) x < �3, Caso 2) �3 x 2

y Caso 3) x > 2, estudiando el signo de los valores absolutos para cada caso, resolviendo la respectivaecuacion y uniendo las soluciones obtenidas.

Caso 1) x < �3. Notemos que

x < �3 , x+ 3 < 0 ^ x < �3 , x� 2 < �5 < 0.

Por lo tanto, si x < �3, tendremos que

|x+ 3| = �(x+ 3) = �x� 3 ^ |x� 2| = �(x� 2) = �x+ 2,

y reemplazando en la ecuacion original, obtenemos que en este caso debemos resolver

�x� 3 + x� 2 = 4,

que es un resultado falso, pues �5 6= 4. Luego, la ecuacion no tiene soluciones menores que �3.

Caso 2) �3 x 2. Notemos que

�3 x 2 , 0 x+ 3 5 ^ �3 x 2 , �5 x� 2 0.

Por lo tanto, si �3 x 2, tendremos que

|x+ 3| = x+ 3 ^ |x� 2| = �(x� 2) = �x+ 2,

y reemplazando en la ecuacion original, obtenemos que en este caso debemos resolver

x+ 3 + x� 2 = 4 , 2x = 3 , x =

3

2

.

Caso 3) x > 2. Notemos que

x > 2 , x+ 3 > 5 � 0 ^ x > 2 , x� 2 > 0.

Por lo tanto, si �3 x 2, tendremos que

|x+ 3| = x+ 3 ^ |x� 2| = x� 2,

y reemplazando en la ecuacion original, obtenemos

x+ 3� x+ 2 = 4,

que es un resultado falso, pues 5 6= 4. Luego, la ecuacion no tiene soluciones mayores que 2.

Por lo tanto, la ecuacion |x+ 3|� |x� 2| = 4 tiene por conjunto solucion a

S =

⇢

3

2

�

. ⇤

EJEMPLO 1.2.14 Resuelve la ecuacion|x� 3|2x

=

x

|2x� 3| .

Solucion. La ecuacion |x�3|2x =

x|2x�3| tiene sentido en R si x 6= 0 y x 6= 3

2

. Luego,

|x� 3|2x

=

x

|2x� 3| ^ x 6= 0 ^ x 6= 3

2

) |(x� 3)(2x� 3)| = 2x2 ^ x 6= 0 ^ x 6= 3

2

) |2x2 � 9x+ 9| = 2x2 ^ x 6= 0 ^ x 6= 3

2

) (2x2 � 9x+ 9 = 2x2 _ �2x2 + 9x� 9 = 2x2) ^ x 6= 0 ^ x 6= 3

2

) (x = 1 _ 4x2 � 9x+ 9 = 0) ^ x 6= 0 ^ x 6= 3

2

.

Como el discriminante de la ecuacion cuadratica 4x2� 9x+9 = 0 es 81� 4 · 4 · 9 < 0, esta ecuacionno tiene solucion en R, ası que el conjunto solucion de la ecuacion es

S = {1}. ⇤

EJERCICIOS 1.2.4 Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto:

a) |x� 5| = 16 b) |4x� 12| = 16

c) |3x� 13| = |4x+ 21| d) |4x+ 3| = |5� 2x|

e) |5x� 6| = 3x+ 1 f) |x+ 8| = x

g) |x+ 8| = �x h) |� x� 8| = x+ 8

i) x+ |3x+ 2| = �5x+ 3 j) x+ |x+ 3| = 2x� 5 + |x+ 1|.

1.2.10. Inecuaciones con una incognita

DEFINICION 1.2.10 Sean p(x) y q(x) expresiones algebraicas en x. Las proposiciones:

i) p(x) q(x)

ii) p(x) � q(x)

iii) p(x) < q(x)

iv) p(x) > q(x)

se llaman inecuaciones con una incognita. Si al reemplazar x por un valor a, la proposicion resultaverdadera, entonces el valor a, recibe el nombre de solucion de la inecuacion. El conjunto solucionde la inecuacion es el conjunto conformado por todos los valores a tales que a es solucion de lainecuacion. Si dos o mas inecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto solucion, entoncesdecimos que las inecuaciones son equivalentes.

Inecuaciones de primer grado con una incognita

En esta subseccion estamos interesados en resolver inecuaciones con una incognita que sea a lomas de primer grado; es decir, estamos interesados en resolver inecuaciones que se pueden reducira la forma

ax+ b 0 _ ax+ b < 0 _ ax+ b > 0 _ ax+ b � 0,

donde a y b son numeros reales y x es la incognita. Una raız o solucion de la inecuacion es unvalor real de la incognita que permite verificar la desigualdad. La reunion de las soluciones de unainecuacion corresponde a su conjunto solucion.

Para resolver una inecuacion de primer grado con una incognita, despejamos la incognita. Paraello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la desigualdad, teniendo especialcuidado con los inversos multiplicativos negativos, pues al multiplicar por un numero negativoen una desigualdad, esta cambia de sentido. En muchos casos, la inecuacion original no es deprimer grado, pero podemos reducirla a una inecuacion equivalente de primer grado.

EJEMPLO 1.2.15 Resuelve la inecuacion 5x+ 1 > 3x� 3.

Solucion. 5x+ 1 > 3x� 3 ) 5x+ 1� (3x� 3) > 0

) 5x+ 1� 3x+ 3 > 0

) 2x+ 4 > 0

) 2x > �4

) x > �2.

Luego el conjunto solucion de la inecuacion es S = {x 2 R : x > �2} = ]� 2,+1[ . ⇤

Figura 1.10. Representacion grafica del conjunto solucion de la inecuacion 5x+ 1 > 3x� 3.

EJERCICIOS 1.2.5

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a) 6x� 2 3x+ 10 b) 2 4x� 2

3

6 c) x+ < 4� x+ 2

2. Si x satisface la desigualdad7

4

< x <9

4

. Determina los posibles valores de y, si y = 4x� 8.


Sistemas de inecuaciones con una incognita

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incognita esta formado por variasinecuaciones de primer grado con una misma incognita. El sistema se resuelve como sigue:resolvemos por separado cada inecuacion y luego realizamos la interseccion de todos los conjuntossolucion para obtener el conjunto solucion del sistema.

EJEMPLO 1.2.16 Encuentra el conjunto solucion del siguiente sistema de inecuaciones(

3x > �9

2x x+ 5

Solucion. Notemos que3x > �9 ) x > �3

y2x x+ 5 ) x 5.

Por lo tanto,�3 < x 5.

Luego, el conjunto solucion del sistema de inecuaciones es

S = ]� 3, 5]. ⇤

EJERCICIOS 1.2.6 Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a)

8

<

:

x > 3

x < 4

b)

8

>

>

>

<

>

>

>

:

x > 2

�7 < x 4

x �6

c)

8

>

>

>

<

>

>

>

:

2x� 7 � 3

3x� 2 < 4x+ 1

x 5

d)

8

<

:

5x 3x+ 2

x � 1.


Inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Sean a, b, c, d 2 R, con a 6= 0. Consideramos la siguiente inecuacion con valor absoluto

|ax+ b| cx+ d.

(1�) Notemos que por definicion de valor absoluto, para cada x2R se verifica |ax+b|�0; luego,para que la inecuacion tenga solucion, una condicion necesaria es la siguiente

cx+ d � 0 ) cx � �d.

(2�) Tambien por definicion de valor absoluto tenemos que

|ax+ b| =

8

<

:

�ax� b si ax+ b 0

ax+ b si ax+ b � 0.

Ası, asumiendo que cx � �d, obtenemos

|ax+ b| cx+ d ,

8

<

:

�ax� b cx+ d ^ ax+ b 0

ax+ b cx+ d ^ ax+ b � 0

,

8

<

:

�cx� d ax+ b ^ ax �b.

ax+ b cx+ d ^ ax � �b.

Por lo tanto, las soluciones de la inecuacion |ax+ b| cx + d corresponden a la union de lassoluciones obtenidas al resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:

i) � cx� d ax+ b ^ ax �b ^ cx � �d

ii) ax+ b cx+ d ^ ax � �b ^ cx � �d.

En otras palabras,

Si a 6= 0, las soluciones de la inecuacion |ax+ b| cx+ d corresponden a las solucionesobtenidas al resolver

�cx� d ax+ b cx+ d ^ cx � �d,

que corresponde a la interseccion entre las soluciones de las inecuaciones

�cx� d ax+ b ^ ax+ b cx+ d ^ cx � �d.

En particular, la inecuacion |ax+ b| d, con a 6= 0, tiene por conjunto solucion a la union de lassoluciones obtenidas al resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:

i) �d ax+ b ^ ax �b ^ d � 0

ii) ax+ b d ^ ax � �b ^ d � 0.

En otras palabras,

Si a 6= 0, las soluciones de la inecuacion |ax+ b| d corresponden a las solucionesobtenidas al resolver la inecuacion

�d ax+ b d ^ d � 0,

que corresponde a la interseccion entre las soluciones de las inecuaciones

�d ax+ b ^ ax+ b d ^ d � 0.

Los siguientes ejemplos corresponden a una aplicacion de los resultados previos para resolverinecuaciones de primer grado con valor absoluto.

EJEMPLO 1.2.17 Resuelve la inecuacion |2x� 3| < 5.

Solucion. �5 < 2x� 3 < 5 , �2 < 2x < 8

, �1 < x < 4.

Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion es

S = ]� 1, 4[ . ⇤

EJEMPLO 1.2.18 Resuelve la inecuacion |3x+ 5| > 6.

Solucion. Lo haremos de forma indirecta. Resolveremos la inecuacion con la desigualdadcomplementaria. Es decir, resolveremos la inecuacion

|3x+ 5| 6

y determinaremos el complemento de su conjunto solucion, que sera el conjunto solucion de lainecuacion original.Tenemos

�6 3x+ 5 6 , �11 3x 1

, �11

3

x 1

3

.

Luego, el conjunto solucion de la inecuacion complementaria |3x+ 5| 6 es

S⇤=

�11

3

,1

3

�

.

Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion |3x + 5| > 6 es el complemento de S⇤ en R. Esdecir,

S =

�

�1,�11

3

[�

1

3

,+1

. ⇤

EJEMPLO 1.2.19 Resuelve la inecuacion |3x+ 5| � 2� 6x.

Solucion. Lo haremos de forma indirecta. Resolveremos la inecuacion con la desigualdadcomplementaria. Es decir, resolveremos

|3x+ 5| < 2� 6x

y determinaremos el complemento de su conjunto solucion, que sera el conjunto solucion de lainecuacion original.Tenemos

�2+6x < 3x+5 < 2�6x ^ 2�6x > 0 , (�2 + 6x < 3x+ 5 ^ 3x+ 5 < 2� 6x ^ 6x < 2)

,✓

3x < 7 ^ 9x < �3 ^ x <2

6

◆

,✓

x <7

3

^ x < �1

3

^ x <1

3

◆

, x < �1

3

.

Luego, el conjunto solucion de la inecuacion |3x+ 5| < 2� 6x es

S⇤=

�

�1,�1

3

.

Por lo tanto, el conjunto solucion de la inecuacion |3x + 5| � 6 es el complemento de S⇤ en R. Esdecir,

S =

�1

3

,+1

. ⇤

EJERCICIOS 1.2.7


a) |7x� 3| < 6 b) |4x+ 5| 8 c) |3x� 4| > 34

d) |16� 5x| � 3 e) |2x� 4| < 4x+ 3 f) |x� 5| � 1� x.

2. Si y = 3x+ 5, prueba que |x� 1| < 1

10

) |y � 8| < 3

10

.


Resolucion de inecuaciones mediante construccion de tablas de signos

Este metodo consiste en reducir una inecuacion cualquiera a una inecuacion cuyo lado derechode la desigualdad es cero, y cuyo lado izquierdo es una expresion algebraica expresada solo enfactores de primer grado o de segundo grado irreductible. Luego, se determinan los valores paralos cuales los factores son iguales a 0, llamados valores crıticos, y se estudian los signos de lainecuacion en cada uno de los intervalos determinados por los valores crıticos, con el fin de obtenerel signo de la expresion algebraica completa al efectuar el producto de los signos en los intervaloscorrespondientes.

EJEMPLO 1.2.20 Determina el conjunto solucion de la inecuacionx+ 5

x(x+ 1)

0.

Solucion. En primer lugar, determinamos los valores crıticos. Tenemos,

(x+ 5 = 0 , x = �5) ^ (x+ 1 = 0 , x = �1) ^ x = 0.

Ahora construimos nuestra tabla de signos

�1 < x < �5 x = �5 �5 < x < �1 x = �1 �1 < x < 0 x = 0 0 < x < +1x � � � � � 0 +

x+ 5 � 0 + + + + +

x+ 1 � � � 0 + + +

x+ 5

x(x+ 1)

� 0 + 6 9 � 6 9 +

Finalmente, observando la ultima lınea de nuestra tabla y los intervalos correspondientes dondese verifica que x+5

x(x+1)

0, concluimos que el conjunto solucion es

S =]�1,�5][ ]� 1, 0[ . ⇤

EJEMPLO 1.2.21 Encuentra el conjunto solucion de: |x2 � 5x+ 5| < 1.

Solucion. Desde la definicion de valor absoluto, estudiamos dos casos, formando un sistema, eintersectamos sus soluciones.

(1�) Resolvemos la inecuacionx2 � 5x+ 5 < 1.

Ordenando y factorizando obtenemos la inecuacion equivalente

(x� 4)(x� 1) < 0.

Aquı los puntos crıticos son x = 4 y x = 1, y construimos la tabla de signos

�1 < x < 1 x = 1 1 < x < 4 x = 4 4 < x < +1x� 1 � 0 + + +

x� 4 � � � 0 +

(x� 4)(x� 1) + 0 � 0 +

Observando la ultima lınea de nuestra tabla y los intervalos correspondientes donde severifica que (x� 4)(x� 1) < 0, concluimos que el conjunto solucion en este caso es

S1

= ]1, 4[ .

(2�) Ahora resolvemos la inecuacionx2 � 5x+ 5 > �1.

Ordenando y factorizando obtenemos la inecuacion equivalente

(x� 3)(x� 2) > 0.

Aquı los puntos crıticos son x = 3 y x = 2, y construimos la tabla de signos

�1 < x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 3 < x < +1x� 3 � � � 0 +

x� 2 � 0 + + +

(x� 3)(x� 2) + 0 � 0 +

Observando la ultima lınea de nuestra tabla y los intervalos correspondientes donde severifica que (x� 3)(x� 2) > 0, concluimos que el conjunto solucion en este caso es

S2

= ]�1, 2[[ ]3,+1[ .

Finalmente, el conjunto solucion de la inecuacion |x2 � 5x+ 5| < 1 es

S = S1

\ S2

= ]1, 4[\�

]�1, 2[[ ]3,+1[

�

= ]1, 2[[ ]3, 4[ . ⇤

EJERCICIOS 1.2.8 Resuelve las siguientes inecuaciones:

a)|x� 1||x+ 1| < 2 b)

(x2 + x+ 1)(x� 3)

|x� 5| � 0 c)px� 2 (x2 � 1)

x2 � 3x+ 2

� 0 d)(x� 3)(x� 1)

|x+ 1|(x2 + 9)

< 0.


1.2.11. Ecuaciones de primer grado con dos incognitas. Sistemas de ecuaciones

Ecuacion de primer grado con dos incognitas

Una ecuacion de primer grado con dos incognitas tiene la forma

Ax+By = C,

donde A y B son coeficientes reales no nulos, y C es un numero real fijo. Es claro que una ecuacionde esta forma siempre tiene infinitas soluciones, pues dado un valor para x, siempre podemosencontrar otro valor para y que permita satisfacer la igualdad. Si las incognitas de la ecuacion sonx e y, entonces el conjunto solucion de la ecuacion esta dado por

S =

�

(x, y) 2 R2

: Ax+By = C

.

Recordemos que en el par (x, y), es usual llamar a la componente x abscisa, y llamar a la componentey ordenada. Cuando representamos el conjunto solucion S en el plano cartesiano obtenemos unalınea recta. Para trazar esta recta es usual hacer una tabla de valores que considere al menos dospares ordenados que correspondan a soluciones de la ecuacion, pues es conocido que por dospuntos en el plano pasa una unica recta.

EJEMPLO 1.2.22 Consideramos la ecuacion

2x� y = 2.

Una tabla de valores asociada a esta ecuacion se puede confeccionar despejando la variable y, ennuestro caso y = 2x � 2. Luego, consideramos valores arbitrarios de x, y evaluamos para obtenerlos respectivos valores de y.


x y Par asociado

0 �2 (0,�2)

1 0 (1, 0)

2 2 (2, 2)

3 4 (3, 4)

Ahora ubicamos al menos dos de estos puntos en el plano cartesiano y trazamos la recta como enla figura a continuacion.

Figura 1.11. Grafica de la recta 2x� y = 2.

Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incognitas

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incognitas es un arreglo entre dos ecuacioneslineales con las mismas dos incognitas. La forma general de un sistema de ecuaciones de este tipo es

(

Ax+By = C

Dx+ Ey = F,

donde A, B, C y D son coeficientes reales, y C y F son numeros reales fijos.Se denomina solucion del sistema de ecuaciones de incognitas x e y, a todo par (x, y) que verifiquesimultaneamente ambas ecuaciones.

Analisis de las soluciones de un sistema de ecuaciones

Como cada ecuacion de un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas representa una recta en elplano cartesiano, podemos hacer un analisis de sus soluciones de acuerdo a las posiciones relativasde dos rectas en un plano:

Si las ecuaciones del sistema representan dos rectas no paralelas en un plano, entonces ellas seintersectan en un unico punto, y ası el sistema tiene solucion unica. La solucion del sistema



es precisamente el punto (par ordenado) donde ambas rectas se intersectan. En terminos delos coeficientes involucrados en las ecuaciones del sistema, esta situacion se da cuando laspendientes de las rectas son diferentes; es decir, cuando se verifica que

�B

A6= �E

D,

o bienA

D6= B

E.

Si las ecuaciones del sistema representan rectas paralelas diferentes, el sistema no tienesolucion. Las rectas no se intersectan por lo cual el conjunto solucion del sistema es vacıo.Este es el caso cuando las rectas tienen la misma pendiente, pero ellas son diferentes entre sı;es decir, cuando se verifica

�B

A= �E

Dy

B

C6= E

F

✓

oA

C6= D

F

◆

,

o bienA

D=

B

Ey

B

E6= C

F

✓

oA

D6= C

F

◆

.

Si las ecuaciones del sistema representan a la misma recta en el plano, el sistema tiene infinitassoluciones. Las soluciones del sistema corresponden a todos los puntos que componen larecta. Este es el caso cuando una recta es un multiplo de la otra; es decir, cuando se verifica

Ax+By � C = k · (Dx+ Ey � F )

para alguna constante k 6= 0 independiente de x e y, o bien

A

D=

B

E=

C

F.

Metodos de resolucion algebraica de un sistema de ecuaciones

Metodo de sustitucion. Consiste en despejar una variable en una de las dos ecuaciones yreemplazarla en la otra, obteniendose una ecuacion lineal con una incognita la cual se resuelve.El valor obtenido se reemplaza en alguna de las ecuaciones previas para calcular el valor dela otra variable.

Metodo de reduccion. Consiste en escoger una variable como referencia y multiplicar cadaecuacion por un factor conveniente de manera que, despues de realizar el producto, loscoeficientes de la variable escogida resulten cantidades opuestas en las ecuaciones. Luego,se suman ambas ecuaciones y se resuelve la ecuacion con una incognita resultante. El valorobtenido se reemplaza en alguna de las ecuaciones previas para calcular el valor de la otravariable.


EJERCICIOS 1.2.9

1. ¿Cual es el valor de x+ y si se sabe que x e y resuelven el sistema

(

5x+ 4y = 2

�3x+ 2y = 4

?

2. ¿Que condicion debe cumplirnpara que el sistema

(

3x� 2y = 5

4y � nx = �10

tenga solucion unica?

3. ¿Que condicion debe cumplir k para que el sistema

(

x� 3y = 6

kx+ y = �2

tenga infinitas soluciones?

4. Para que el par ordenado (�1,�2) sea la solucion del sistema

(

rx+ sy = �1

2sx� 3y = 8

¿cuales

deben ser los valores de r y s respectivamente?

5. Si

8

>

>

<

>

>

:

1

x+

2

y= 5

2

x� 3

y= 3

entonces ¿cual es el valor dey

x?

6. Si

(

2

x � 4 · 3y = �11

3 · 2x+1

+ 2 · 3y+1

= 24

entonces ¿cual es el valor de x?


1.3. Axioma de completitud de los numeros reales

1.3.1. Cotas superiores e inferiores. Maximo y mınimo. Supremo e ınfimo

Partimos esta subseccion entregando algunas definiciones basicas.

DEFINICION 1.3.1 Sea S ⇢ R y sea M 2 R. Decimos que M es una cota superior de S si para cadas 2 S se verifica que s M .

DEFINICION 1.3.2 Sea S ⇢ R. Decimos que S es acotado superiormente si posee una cota superior,es decir:

S es acotado superiormente , (9M 2 R) tal que (8s 2 S)(s M).

DEFINICION 1.3.3 Sea S ⇢ R. Decimos que b es el maximo de S si existe un elemento b 2 S talque s b para todo elemento s 2 S . Usualmente escribimos b = max(S).

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 1.3. AXIOMA DE COMPLETITUD DE LOS NUMEROS REALES

EJEMPLO 1.3.1 Considera los conjuntos A = ]1,+1[, B = ]�1, 1] y C = [�2, 7[. Determina, si esposible, el conjunto se las cotas superiores y el maximo de cada conjunto.

Solucion.

El conjunto A no posee cotas superiores. El conjunto A no posee maximo.

El conjunto de las cotas superiores de B es [1,+1[. El maximo de B es max(B) = 1.

El conjunto de las cotas superiores de C es [7,+1[. El conjunto C no posee maximo. ⇤

DEFINICION 1.3.4 Sea S ⇢ R y sea m 2 R. Decimos que m es una cota inferior de S si para cadas 2 S se verifica que m s.

DEFINICION 1.3.5 Sea S ⇢ R. Decimos que S es acotado inferiormente si posee una cota inferior, esdecir:

S es acotado inferiormente , (9m 2 R) tal que (8s 2 S)(m s).

DEFINICION 1.3.6 Sea S ⇢ R. Decimos que a es el mınimo de S si existe un elemento a 2 S talque a s para todo elemento s 2 S . Usualmente escribimos a = mın(S).

EJEMPLO 1.3.2 Considera los conjuntos A = ]1,+1[, B = ]�1, 1] y C = [�2, 7[. Determina, si esposible, el conjunto se las cotas inferiores y el mınimo de cada conjunto.

Solucion.

El conjunto de las cotas inferiores de A es ]�1, 1]. El conjunto A no posee mınimo.

El conjunto B no posee cotas inferiores. El conjunto A no posee mınimo.

El conjunto de las cotas inferiores de C es ]�1,�2]. El mınimo de C es mın(C) = �2. ⇤

DEFINICION 1.3.7 Decimos que S ⇢ R es acotado si lo es superiormente e inferiormente a la vez.

DEFINICION 1.3.8 Sea S ⇢ R un conjunto acotado superiormente, llamamos supremo de S a lamenor de las cotas superiores de S . Es decir, b es el supremo de S si

i) (8s 2 S)(s b),

ii) (8s 2 S)(s c) ) (b c).

Usualmente el supremo de S se denota por sup(S).


DEFINICION 1.3.9 Sea S ⇢ R un conjunto acotado inferiormente, llamamos ınfimo de S a la mayorde las cotas inferiores de S . Es decir, a es el ınfimo de S si

i) (8s 2 S)(a s),

ii) (8s 2 S)(c s) ) (c a).

Usualmente el ınfimo de S se denota por ınf(S).

EJEMPLO 1.3.3 Considera los conjuntos A = ]1,+1[, B = ]�1, 1] y C = [�2, 7[. Determina, si esposible, el supremo y el ınfimo de cada conjunto. Senala ademas si estos conjuntos son acotados.

Solucion.

El conjunto A es acotado inferiormente, por lo que posee ınfimo, a saber ınf(A) = 1. Elconjunto A no es acotado superiormente, por lo que no posee supremo. El conjunto A no esacotado, pues no es acotado superiormente.

El conjunto B no es acotado inferiormente, por lo que no posee ınfimo. El conjunto B esacotado superiormente, por lo que posee supremo, a saber sup(B) = 1. El conjunto B no esacotado, pues no es acotado inferiormente.

El conjunto C es acotado inferiormente, por lo que posee ınfimo, a saber ınf(C) = �2. Elconjunto C es acotado superiormente, por lo que posee supremo, a saber sup(C) = 7. Elconjunto C es acotado. ⇤

1.3.2. Axioma del supremo y sus consecuencias

La importancia del axioma del supremo, que enunciamos a continuacion, es que nos permitedistinguir entre el conjunto de los numeros racionales Q y el conjunto de los numeros reales R,pues tanto Q como R satisfacen los axiomas de cuerpo y los axiomas de orden.

AXIOMA 1.3.1 (Axioma del supremo) SeaS⇢Run conjunto no vacıo que es acotado superiormente.Entonces S posee supremo.

El axioma del supremo es tambien llamado axioma de completitud pues garantiza que los numerosreales R “completan la lınea recta”, a diferencia del conjunto de los numeros racionales Q. Porejemplo, el conjunto A = {x 2 Q : x2 < 2} es un conjunto acotado superiormente, por lo que poseesupremo en R, pero tal supremo no pertenece a Q. En efecto,

p2 es el supremo de A, con

p2 2 R

yp2 62 Q, como veremos mas adelante.Una consecuencia inmediata del axioma del supremo es siguiente resultado, conocido como

axioma del ınfimo.


TEOREMA 1.3.1 (Axioma del ınfimo) SeaS⇢Run conjunto no vacıo que es acotado inferiormente.Entonces S posee ınfimo.

Demostracion. Sea c una cota inferior de S y sea M el conjunto de las cotas inferiores de S .Claramente M es no vacıo pues c 2 M y ademas esta acotado superiormente por cualquierelemento de S . Entonces, por el Axioma 1.3.1 del supremo, M posee supremo. Sea c

0

el supremode M. Entonces se verifica que

i) (8m 2 M)(m c0

)

ii) (8m 2 M)(m c) ) (c0

c).

Veamos que c0

es el ınfimo de S . Por ii), tenemos que

i’) (8s 2 S)(c0

s).

Ademas, se verifica que

ii’) (8s 2 S)(c0 s) ) (c0 2 M) ) (c0 c0

). ⌅

TEOREMA 1.3.2 (Caracterizacion del supremo) Sea S un conjunto no vacıo de R que es acotadosuperiormente. Entonces, b = sup(S) si y solo si se verifican las siguientes dos condiciones:

i) (8s 2 S)(s b)

ii) (8" > 0)(9s0 2 S) tal que (s0 > b� ").

Demostracion.

()) i) Se cumple por definicion de supremo, parte i).

ii) Procederemos por reduccion al absurdo. Esto es, asumiremos que la negacion delenunciado es verdadera y llegaremos a una contradiccion. Como estamos asumiendoque la negacion del enunciado se cumple, entonces se debe verificar que

(9"0

> 0) tal que (8s0 2 S)(s0 b� "0

).

De esta forma, tenemos que b � "0

es una cota superior de S , que es menor que susupremo, lo que es una contradiccion con la parte ii) de la definicion de supremo, quesenala que toda cota superior de S debe ser mayor o igual que su supremo.

(() i) Se cumple la parte i) en la definicion de supremo, por parte i) de nuestra hipotesis.

ii) Procederemos por reduccion al absurdo. Esto es, asumiremos que la negacion delenunciado es verdadera y llegaremos a una contradiccion. Como estamos asumiendoque la negacion del enunciado se cumple, entonces se debe verificar que

(8s 2 S)(s c) ^ (b > c).


Pongamos ahora "0

= b� c > 0. Entonces, por hipotesis,

(9s0 2 S) tal que (s0 > b� " = b� b+ c = c),

que es una contradiccion pues tendrıamos que c es una cota superior de S , que esestrictamente menor que s0 que es un elemento de S . ⌅

TEOREMA 1.3.3 (Caracterizacion del ınfimo) Sea S un conjunto no vacıo de R que es acotadoinferiormente. Entonces, a = ınf(S) si y solo si se verifican las siguientes dos condiciones:

i) (8s 2 S)(s � a)

ii) (8" > 0)(9s0 2 S) tal que (s0 < a+ ").

La demostracion del Teorema 1.3.3 es similar a la del Teorema 1.3.2, por lo que aquı la omitimos.

OBSERVACION 1.3.1 Las siguientes observaciones son elementales:

No todo conjunto no vacıo de R y acotado superiormente posee maximo.

No todo conjunto no vacıo de R y acotado inferiormente posee mınimo.

Todo conjunto no vacıo de R que posee maximo, contiene a su maximo.

Todo conjunto no vacıo de R que posee mınimo, contiene a su mınimo.

No todo conjunto no vacıo de R que posee supremo, contiene a su supremo.

No todo conjunto no vacıo de R que posee ınfimo, contiene a su ınfimo.

OBSERVACION 1.3.2 Se puede probar facilmente que si S es un conjunto no vacıo de R que es acotadosuperiormente, entonces el conjunto M = {�s 2 R : s 2 S} es acotado inferiormente y se verifica que

sup(S) = � ınf(M).

EJEMPLO 1.3.4 Senala, de existir, el conjunto de todas las cotas superiores, el conjunto de todaslas cotas inferiores, el maximo, el mınimo, el supremo y/o el ınfimo de los siguientes conjuntos:

a) S = {1, 2, 3, 4}

b) S = ]� 3,+1[

c) S = [1, 8[.

Solucion.

a) El conjunto de las cotas superiores es: [4,+1[.

El conjunto de las cotas inferiores es: ]�1, 1].

max(S) = 4 = sup(S).

mın(S) = 1 = ınf(S).

b) El conjunto de las cotas superiores es: ?.

El conjunto de las cotas inferiores es: ]�1,�3].

El conjunto no tiene maximo ni supremo.

El conjunto no tiene mınimo, pero sı ınfimo, a saber ınf(S) = �3.

c) El conjunto de las cotas superiores es: [8,+1[.

El conjunto de las cotas inferiores es: ]�1, 1].

El conjunto no tiene maximo, pero sı supremo, a saber sup(S) = 8.

mın(S) = 1 = ınf(S). ⇤

EJEMPLO 1.3.5 Sea S =

n

x 2 R :

x+ 3

x+ 2

< 0

o

a) Prueba que S es un conjunto acotado

b) Demuestra que ınf(S) = �3.

Solucion.

a)x+ 3

x+ 2

< 0 ^ x 6= �2 ,�

(x+ 3) > 0 ^ (x+ 2) < 0

�

_�

(x+ 3) < 0 ^ (x+ 2) > 0

�

, (x > �3 ^ x < �2) _ (x < �3 ^ x > �2)

, �3 < x < �2.

El conjunto de las cotas inferiores de S es ]�1,�3]. Por lo tanto S es acotado inferiormente.Por otro lado, el conjunto de las cotas superiores de S es [�2,+1[. Por lo tanto S , es acotadosuperiormente. De esta forma, S es un conjunto acotado.

b) Debemos demostrar que a = �3 es el ınfimo de S = ] � 3,�2[. Es decir, debemos demostrarque:

(8" > 0)(9s0 2 S) tal que (s0 < �3 + ").

En efecto, sea " > 0 dado.

Si " � �2� (�3) = 1, entonces es claro que existe s0 = �5

2

2 S tal que s0 < �3 + ".

Si 0 < " < 1, entonces es claro que existe �3 < s0 = �3 +

"

2

2 S tal que s0 < �3 + ". ⇤

TEOREMA 1.3.4 (Primera version del principio de Arquımedes) El conjunto de los numerosnaturales no es acotado superiormente.

Demostracion. Probaremos el teorema argumentando por reduccion al absurdo; esto es,asumiremos que la negacion del enunciado del teorema es verdadera y llegaremos a unacontradiccion. Asumamos que N es acotado superiormente. Entonces, por axioma del supremo,existe un numero real ↵ tal que

↵ = sup{n 2 N}.

Luego, por propiedad caracterıstica del supremo, para " = 1 debe existir un numero natural n0

talque n

0

> ↵� 1. Ası, n0

+1 > ↵; y como n0

+1 2 N, obtenemos una contradiccion con la definicionde ↵. ⌅

TEOREMA 1.3.5 (Segunda version del principio de Arquımedes) Six, y 2 R, con y > 0, entonces

9n 2 N tal que ny > x.

Demostracion. Probaremos el teorema argumentando por reduccion al absurdo; esto es,asumiremos que la negacion del enunciado del teorema es verdadera y llegaremos a unacontradiccion. Asumamos que existen x

0

, y0

2 R, con y0

> 0, tales que para todo numeronatural n se tiene que x

0

� ny0

. Entonces, obtenemos que

n x0

y0

8n 2 N,

que equivale a decir que N es acotado superiormente, que es una contradiccion con el Teorema1.3.4 anterior. ⌅

COROLARIO 1.3.1 El conjunto de los numeros reales es arquimediano. Es decir,

(8r 2 R+

)(9n 2 N) tal que✓

1

n< r

◆

.

Demostracion. La demostracion es directa. Basta aplicar el Teorema 1.3.5 anterior con y = r yx = 1. ⌅

EJEMPLO 1.3.6 Prueba que el conjunto

S =

⇢

x 2 R : x =

1

n: n 2 N

�

es acotado. Indique el conjunto de las cotas superiores, el conjunto de cotas inferiores, su supremoe ınfimo y, de existir, su maximo y mınimo.

Solucion.

Notemos que el menor numero natural es el 1, que es positivo. Luego, todos los numerosnaturales son positivos y

n 2 N ) 0 < 1 n

) 0 <1

n 1.

Luego, 0 es una cota inferior para S y 1 es una cota superior para S. Se deduce de inmediatoque S es acotado.

Es claro que si m,n 2 N entonces

1 m < n ) 1

n<

1

m 1.

Es decir, 1 2 S, siendo este el mayor valor que se alcanza en el conjunto S, de manera que:

max(S) = 1 = sup(S)

y el conjunto de las cotas superiores de S es [1,+1[.

Como ya se probo, 0 es una cota inferior para S. Probaremos que 0 es la mayor de las cotasinferiores. Lo haremos argumentando por reduccion al absurdo. Asumamos que existe unacota inferior mayor que 0, digamos r

0

> 0 es una cota inferior para S, entonces desde elCorolario del principio de Arquımedes tendrıamos que existirıa n

0

2 N tal que

0 <1

n0

< r0

.

Esto ultimo equivale a decir que existe un elemento en S, a saber 1

n0

2 S, que es menorque una cota inferior de S, lo que es una contradiccion con la definicion de cota inferior.La contradiccion viene de suponer que 0 no es la mayor cota inferior de S. De esta forma,ınf(S) = 0, y como 0 62 S, concluimos que S no posee mınimo. ⇤

1.3.3. Densidad de Q en R

El siguiente principio, denominado principio del buen orden, es de gran utilidad en la pruebadel teorema de densidad que motiva esta subseccion. Antes, introducimos la siguiente definicion.

DEFINICION 1.3.10 Sea A ⇢ N, A 6= ?. Decimos que n0

es el primer elemento de A si verifica lassiguientes dos condiciones:

i) n0

2 A,

ii) n0

n 8n 2 A.

LEMA 1.3.1 (Principio del buen orden) Si A es un subconjunto no vacıo de N, entonces A

contiene un elemento que es el menor de todos.

TEOREMA 1.3.6 (Densidad de Q en R) Q es denso en R. Es decir,�

(8x, y 2 R) tal que (x < y)��

(9r 2 Q) tal que (x < r < y)�

.

Demostracion. Partimos analizando el caso 0 x < y. En este caso tenemos

y � x > 0.

Luego, por Corolario 1.3.1 obtenemos que

9n 2 N tal que1

n< y � x,

lo cual equivale a decir que

9n 2 N tal que x+

1

n< y.

Ahora, para este valor n consideramos el conjunto

A =

⇢

k 2 N :

k

n> x

�

.

Por Teorema 1.3.4 este conjunto es no vacıo, y por el principio del buen orden, debe existir unprimer elemento de A, que denotamos por m; el cual verifica lo siguiente

m 2 A ^ m� 1 62 A.

De esta formam� 1

n x <

m

n.

Ahora, notando que

x <m

n=

m� 1

n+

1

n x+

1

n< y,

podemos concluir que el numero racional r =

mn satisface

x < r < y.

En el caso x < 0 < y, el numero r buscado es precisamente 0.Finalmente, en el caso x < y 0, podemos proceder de forma analoga al primer caso, pues

esta situacion es equivalente a 0 �y < �x. ⌅

OBSERVACION 1.3.3 Basicamente, el teorema anterior senala que dado un numero real cualquiera, siemprepodemos encontrar un numero racional que este tan cerca del numero real dado como lo deseemos. En otraspalabras, dado un numero real x, y dado un margen de error " > 0, siempre podremos aproximar el numerox por medio de un numero racional r tal que |x� r| < ".


OBSERVACION 1.3.4 Otra lectura al teorema de densidad previo es que siempre podemos encontrar unnumero racional entre dos numeros reales dados.

Recordemos queQ yR satisfacen los axiomas de cuerpo y orden. El siguiente resultado es util paraver que en verdad no son el mismo conjunto, y luego concluir que Q no satisface el Axioma 1.3.1del supremo, tal como se senalo al inicio de esta seccion.

TEOREMA 1.3.7 (p2 no es un numero racional)

p2 62 Q.

Demostracion. Procederemos por reduccion al absurdo. Esto es, supondremos quep2 2 Q y

llegaremos a una contradiccion.Como estamos suponiendo que

p2 2 Q, entonces deben existir m,n 2 N, primos relativos

entre sı (esto es, m y n no tienen factores enteros distintos de 1 en comun), tales quep2 =

m

n.

Luego,

2 =

m2

n2

,

de donde obtenemos

m2

= 2n2.

Notemos que n2 2 N, ası que m2 es un numero natural par.Afirmamos ahora que si m2 es par, entonces m es tambien es par. En efecto, si m no fuese par,

entonces m debiese ser impar (porque los numeros naturales son pares o impares, no hay masposibilidades), y entonces tendrıamos que

m = 2k � 1 para algun k 2 N.

Ası,

m2

= 4k2 � 4k + 1 = 4k(k � 1) + 1,

que claramente es un numero natural impar, en contradiccion con el hecho que ya sabemos quem2 es par. Por lo tanto, m es par.

Como una consecuencia del hecho que m es par, obtenemos que

m = 2K para algun K 2 N,

de donde

m2

= 4K2.

Ası,

m2

= 4K2

= 2n2 ) n2

= 2K2.


Luego, usando el mismo razonamiento para probar que m es par, obtenemos que n tambien espar. Esto ultimo es una contradiccion con el hecho que m y n son primos relativos entre sı (noposeen factores enteros distintos de 1 en comun), pues al ser ambos pares, m y n tendrıan al factor2 en comun. La contradiccion viene de suponer que

p2 2 Q, por lo que esto debe ser falso, y lo

contrario a esto, verdadero. ⌅

Veamos ahora, con mas detalle, que Q no satisface el Axioma del supremo 1.3.1. Definamos elconjunto

S = {r 2 Q : r > 0 ^ r2 < 2}.

Claramente este conjunto es no vacıo, pues 1 2 S, y es acotado superiormente, pues existe 2 2 Qtal que

r < 2 8r 2 S.

Si Q verificase el axioma del supremo, entonces el conjunto S debiese tener supremo en Q. ComoS puede ser reescrito en la forma

S = {r 2 Q : 0 < r <p2} = ]0,

p2[,

cuyo supremo esp2, obtendrıamos que

p2 2 Q, lo cual ya hemos visto que no es cierto. Por lo

tanto, Q no puede satisfacer el axioma del supremo.

EJERCICIOS 1.3.1


a) 6x� 2 3x+ 10 b) 2 4x� 2

3

6 c)2

x� 2� x

x� 1

1

d) x+ 1 >4x

x+ 1

e) x2 � 2x� 8 < 0 f) |x|2 + 2|x|� 3 0

g)�

�

�

�

3x� 2

x+ 1

�

�

�

�

> 2 h) |x2 � |3 + 2x|| < 4 i) |x|+ |x+ 2| < 4

j)|x� 1|� |2x+ 3|

3x� 4

� 0 k)�

�x+ |x+ 1|�

�� |x� 2|(x+ 2)|x+ 1| > 1 l)

�

�

2x� |x+ 2|�

�

|x+ 1| |x+ 4|

2. Si x satisface la desigualdad7

4

< x <9

4

. Determina los posibles valores de y, si y = 4x� 8

3. Si y = 3x+ 5, muestra que |x� 1| < 1

10

implica que |y � 8| < 3

10

.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 1.4. PROBLEMAS CON ENUNCIADO

1.4. Problemas con enunciado

Cuando queremos resolver un problema cotidiano, de la vida real, es usual introducir unmodelo matematico que permita interpretar el problema en lenguaje matematico en la busqueda desoluciones al problema. Conviene destacar que en esta situacion nuestras respuestas matematicasdeben ser validadas y/o contrastadas con aquello que se conoce desde la experimentacion.Lo basico en todo caso, es saber plantear un problema y resolverlo matematicamente. Por estarazon, en esta seccion estamos interesados en plantear y resolver problemas con enunciado usandooperaciones basicas, ecuaciones o inecuaciones. En la medida de lo posible, es recomendable seguirlos siguientes pasos:

(1o) Lee cuidadosamente el enunciado del problema, identificando claramente todo aquellopor lo cual se pregunta, asignando una letra para cada objeto en cuestion (estas seran lasincognitas).

(2o) Anota todos los datos del problema, y si es necesario, traza una figura o grafico querepresente la situacion planteada, ubicando la informacion o datos dados en el enunciadosobre tal figura o grafico.

(3o) Identifica las materias o contenidos especıficos que te han de ayudar en la resoluciondel problema, planificando el trabajo a realizar, escribiendo las relaciones matematicasque conecten los datos con las incognitas (que pueden verse como ecuaciones o inecuaciones).

(4o) Identifica las restricciones numericas que puedan tener las relaciones planteadas y resuelve,bajo estas consideraciones, las ecuaciones o inecuaciones que ha planteado.

(5o) Por ultimo, en base a los resultados obtenidos, escribe tu respuesta en forma clara y precisa.

1.4.1. Modelamiento matematico

A traves de algunos ejemplos, tratare de dar una idea del significado de modelamientomatematico.

EJEMPLO 1.4.1

Asumamos que poseemos la siguiente informacion

Tengo doce manzanas y regalo dos.

¿Que pregunta de interes surge naturalmente?

Pensamos un momento, y concluimos que una pregunta de interes es

¿Cuantas manzanas me quedan?



Y ¿por que esta pregunta es de interes? Simplemente porque a partir de cierta informacion,ella apunta a obtener informacion nueva. Luego, preguntas tales como ¿cuantas manzanastenıa al inicio? o ¿cuantas manzanas he regalado? no son de interes, pues no apuntan aobtener informacion nueva.

El modelo matematico que resuelve nuestra pregunta es una simple operacion

12� 2 = 10,

y la respuesta a nuestra pregunta es

Me quedan diez manzanas.

Note que para esta pregunta en ningun momento nos ha interesado saber el estado de lasmanzanas (podridas, sanas), o su tamano (grandes, pequenas, medianas). ⇤

EJEMPLO 1.4.2


Hay cinco ovejas en un corral y la mayor sale del corral.

¿Que pregunta de interes surge naturalmente?

Pensamos un momento, y concluimos que una pregunta de interes es

¿Cuantas ovejas quedan en el corral?

La pregunta apunta a obtener informacion nueva.

El modelo matematico que resuelve nuestra pregunta es una simple operacion

5� 1 = 4,

y la respuesta a nuestra pregunta es

Quedan cuatro ovejas en el corral.

Pero algo podrıa andar mal aquı. ¿Por que? porque hemos descuidado la informacion acercade que aquella oveja que sale del corral es la mayor, y es conocido que en grupos de ovejassi una esta por delante de las otras y esta sale del corral, entonces las restantes la siguen. Deesta forma, no es extrano que aquellas personas que tienen experiencia con estos animalesrespondan que

No quedan ovejas en el corral.



Luego, aunque el modelo matematico parece razonable para responder a la preguntaque nos hemos hecho, la respuesta matematica no necesariamente corresponde a unasituacion que se pueda dar en la realidad. ⇤

Una version del ejemplo a continuacion es atribuido a Einstein.

EJEMPLO 1.4.3

Un Encuestador (E) toca el timbre de una casa y es atendido por la Duena de Casa (DC). Seproduce el siguiente dialogo:

E: ¿Cuantos hijos tiene?

DC: Tres hijas

E: ¿Que edad, en anos, tiene cada una de sus hijas?

DC: El producto de sus edades es 36 y su suma es igual al numero de esta casa

El Encuestador piensa un momento . . .

E: Necesito mas informacion para deducir las edades de sus hijas

DC: Tiene usted razon, la mayor toca el piano.

Con esta informacion el Encuestador completo el formulario, y no pudo evitar dialogar conla Duena de Casa sobre la particular situacion que ella estaba viviendo, pues esta siempreresulta llamativa. Al terminar de comentar sobre tal hecho, el encuestador siguio su camino.

La pregunta aquı es conocida,

¿Que edad tienen las hijas de la Duena de Casa?

Adicionalmente, sobre el relato en sı, surgen algunas preguntas: ¿Por que necesito elEncuestador informacion adicional? ¿Por que la informacion extra dada por la Duena deCasa resulto ser suficiente para resolver el acertijo? ¿Cual sera la particular situacion que elEncuestador advirtio que estaba experimentando la Duena de Casa?

Este problema no sigue los canones usuales para ser resuelto. Ası que partiremos realizandoun analisis de todas las tripletas de numeros enteros cuyo producto sea igual a 36.

1 · 1 · 36 1 · 2 · 18 1 · 3 · 12 1 · 4 · 9 1 · 6 · 6

2 · 2 · 9 2 · 3 · 6 3 · 3 · 4.

A continuacion, sumamos cada tripleta:

1 + 1 + 36 = 38 1 + 2 + 18 = 21 1 + 3 + 12 = 15 1 + 4 + 9 = 14 1 + 6 + 6 = 13

2 + 2 + 9 = 13 2 + 3 + 6 = 11 3 + 3 + 4 = 10.



Termina de resolver el problema. ⇤

EJEMPLO 1.4.4


A las 14:00 hrs entran dos senoras a un almacen. Una compra dos kilos de tomates y uno de papaspor $400, mientras que la otra compra tres kilos de tomate y dos de papas por $700.

¿Que preguntas de interes surge naturalmente?

Pensamos un momento, y concluimos que algunas preguntas de interes son

¿Cuanto cuesta el kilo de papas?

o bien

¿Cuanto cuesta el kilo de tomates?

Las preguntas apuntan a obtener informacion nueva y se pueden abordar de la siguienteforma.

(1o) De acuerdo a las preguntas planteadas, definimos las incognitas:

x: el valor del kilo de tomates,

y: el valor del kilo de papas.

(2o) Luego de una lectura del enunciado, interpretamos las frases en terminos de nuestrasincognitas: dos kilos de tomates y uno de papas valen $400 se traduce como

2x+ y = 400,

y tres kilos de tomates y dos de papas vales $700 se traduce como

3x+ 2y = 700.

(3o) Tenemos dos incognitas y dos ecuaciones de primer grado, ası que el problema lopodemos resolver si resolvemos el sistema:

(

2x+ y = 400

3x+ 2y = 700.

(4o) Resolvemos el sistema y obtenemos x = 100, y = 200.

(5o) Ahora entregamos nuestra respuesta: El valor del kilo de papas es de $200 y el valor del kilode tomates es de $100.



EJERCICIOS 1.4.1

1. Una companıa manufactura termostatos. El costo combinado de labor y material es $4 portermostato. El costo fijo que paga la companıa en un mes (gastos de luz, agua, arriendo,etc.) es de $60.000. Si el precio de venta de un termostato es de $7, ¿cuantos termostatosdebe vender la companıa para obtener ganancia en un mes?

2. La UTFSM esta evaluando ofrecer un curso de gestion en recursos medioambientales alpersonal de la companıa PACIFICO. Si esta actividad deja ganancias, se ofrecera a otrascompanıas. Ofrecer tal curso resulta economicamente factible si se matriculan al menos 30

personas pagando US$50 cada una. La UTFSM, pensando en reducir los gastos de costo acada persona, aplicara un descuento de US$1,25 por cada persona que se matriculeadicionalmente por sobre los treinta. Si fueses el asesor financiero de la UTFSM, indicael tamano lımite que debe tener el grupo curso para que el dinero recibido por matrıculasnunca sea menor que el recibido por 30 participantes en el curso.

3. Un inversionista tiene US$8.000 colocados al 9% de interes anual y desea invertir masdinero al 16% de interes anual a fin de obtener un monto final de al menos 12% sobrela inversion total en un ano. ¿Cual es la cantidad mınima de dinero que debe invertir?

4. A los pintores generalmente se les paga por hora o por obra terminada. El salario quereciben puede afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden trabajarpor US$8,50 la hora, o por US$300 mas US$3 por cada hora por debajo de 40, si completanel trabajo en menos de 40 horas. Si el trabajo les toma“t” horas. ¿Para que valores de “t” elsalario por hora es mejor?

5. En biologıa existe una regla aproximada, llamada regla bioclimatica para zonas templadas,que establece que en primavera y a principios de verano, fenomenos periodicos tales comola aparicion de insectos y la maduracion de frutas, por lo general se demoran alrededor de 4dıas mas por cada 1.500 metros (m) de altura sobre el nivel del mar, esta regla bioclimaticase resume en la siguiente expresion d =

4n1.500 , donde d = demora en dıas; n = cambio de

altura medida en metros. Si esta regla es valida para 0 n 4.000. Determina la mınima yla maxima demora para que un fruto madure entre los 1.600m y 2.300m sobre el nivel delmar.

6. En un pequeno negocio familiar se emplean dos trabajadores que solo laboran unas horaspor semana. La cantidad total de los salarios que pagan a estos empleados varıa desde$128.000 hasta $146.000 por mes. Si un empleado gana $18.000 mas que el otro, determinalas posibles cantidades ganadas mensualmente por cada empleado.



7. Un carpintero fabrica cierto numero de mesas, vende 70 de ellas y le queda mas de la mitadpor vender. Luego fabrica 6 mesas mas y vende 36 mesas quedandole menos de 42 mesaspor vender. Determina cuantas mesas fabrico el carpintero.

8. Sobre la misma hipotenusa se construyen dos triangulos rectangulos. Los catetos delsegundo triangulo miden 4m menos y 8m mas, respectivamente, que los catetoscorrespondientes del primero. El area de segundo triangulo es 66m2 mayor que el areadel primero. Calcula los catetos del primer triangulo.

9. Un cliente se dirige a una farmacia y adquiere un paquete de algodon de 125 gr. El vendedorle manifiesta que es de esperar no recibir un peso exacto de 125 gr. Si el peso real, “r”(en gramos) de un paquete de algodon marcado como de 125 gr esta dado por |r�125| 4.Si el cliente decide comprar 5 paquetes de algodon. ¿Cual es la cantidad maxima y mınimade algodon que debe esperar obtener?

10. Se ha establecido que el virus sincicial que ataca preferentemente a los ninos, se debe a dosfactores:

a) La posibilidad de contagio de acuerdo a la edad del nino, la cual obedece a la formulac(x) = 2x2 � 5x+ 4; y

b) La disminucion de ciertas vitaminas en el organismo, tambien de acuerdo a su edad,dada por la formula d(x) = x2 + 6x� 8.

Si se estima que los mayores trastornos producidos por este “virus” se producen cuando ladiferencia entre ambos factores es menor que 12. ¿Cuales son las edades de mayor riesgopara contraer la enfermedad?

11. La suma de dos numeros es 64 y su diferencia es 16. ¿Cuales son los numeros?

12. La diferencia de dos numeros es a su producto como 1 : 30. Si la suma de los valoresrecıprocos de los numeros es 2

15

. ¿Cuales son los numeros?

13. Dos numeros estan en la razon de 5 : 3. Si se resta 10 del primero y se agrega 10 al segundo,resulta la razon inversa. ¿Cuales son los numeros?

14. La suma, la diferencia y el producto de dos numeros son entre si como 5 : 3 : 16. ¿Cualesson los numeros?

15. Se sabe que 10m de un genero de seda y 12m de uno de lana valen, con un 2% dedescuento, US$207,76; mientras que 4m del primer genero y 6m del segundo, con un 4%

de descuento, valen US$82,32. ¿Cual es el precio del metro de cada genero?


16. Un objeto compuesto de oro y plata pesa 502 gr. Su volumen es de 41 cm3. Calcula el pesodel oro y la plata que contiene el objeto, sabiendo que 1 cm3 de oro pesa 19 gr y que 1 cm3

de plata pesa 10, 5 gr.

17. Dos conductos de agua llenan un deposito, si el primero permanece abierto por 15min yel segundo por 18min. Si el primero se abre por 12min y el segundo por 15min, se alcanzaa llenar 41

50

del deposito. ¿En cuantos minutos se llenarıa el deposito por cada uno de losconductos separadamente?

18. Aumentando la base de un triangulo en 6m y la altura en 4m, el area aumenta 120m2 yaumentando la base en 2m y la altura en 9m el area aumenta 160m2. Calcula la base y laaltura del triangulo.


Autoevaluaciones del Capıtulo 1

Autoevaluacion 1.1

1. Inecuaciones con valor absoluto. Resuelve la inecuacion

|2 + |3x� 5|| < 1� |x|.

2. Supremo e ınfimo. Considera el conjunto

A =

⇢

z 2 R : z =

1

2

� n

2n+ 1

_ z =

1

2

+

n

2n+ 1

: n 2 N�

.

Prueba que ınf A = 0 y supA = 1.

Para ver el Desarrollo de la Autoevaluacion 1.1 presiona aquı B

Autoevaluacion 1.2

1.

Capıtulo 2

Funciones Reales

Para una buena comprension de algunos fenomenos de la vida real, necesitamos tener a manoherramientas matematicas adecuadas. Una de las herramientas mas utiles son las funciones reales,las cuales sirven para modelar diversos problemas cotidianos, por lo que dedicaremos este capıtuloa su estudio.

2.1. Concepto de funcion

El concepto de funcion es uno de los mas importantes en matematicas, pues ellas se puedenusar para modelar diversas situaciones de la vida real.

DEFINICION 2.1.1 Sean A y B dos conjuntos cualesquiera y sea f una relacion de A en R ⇢ B.

Decimos que f es una funcion de A en B, la cual denotamos por f : A ! B, si y solo si a cadaelemento a 2 A le corresponde un unico elemento b 2 B, denotado por b = f(a).

El elemento a 2 A es llamado preimagen del elemento b 2 B mediante la correspondencia f .

El elemento b 2 B es llamado imagen por f del elemento a 2 A.

El conjunto A se denomina dominio de f , y se denota por Dom(f).

El conjunto B se denomina codominio de f , y se denota por Cod(f).

El conjunto R, que es el conjunto formado por todas las imagenes por f de los elementosde A, recibe el nombre de recorrido de f (o bien conjunto de las imagenes de la funcion f ), yse denota por Rec(f ) (o Im(f )).

OBSERVACION 2.1.1 Notemos que, f : A ! B es una funcion si y solo si

i) (8a 2 A)(9b 2 B) tal que (b = f(a)),

ii) (8a 2 A)(f(a) = b1

^ f(a) = b2

) b1

= b2

).

63

CAPITULO 2. FUNCIONES REALES [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

OBSERVACION 2.1.2 La notacion f : D ⇢ A ! B se utiliza para indicar que D es el mayor conjuntocontenido en A, para el cual se puede definir la funcion f . Luego, D = Dom(f), donde

Dom(f) = {a 2 A : 9b 2 B : b = f(a)} ⇢ A.

OBSERVACION 2.1.3 Si f es una relacion de A en B, entonces (a f b , (a, b) 2 f ), con (a, b) 2 A⇥B.En caso que f : A ! B sea una funcion, la relacion de un elemento a 2 A con un elemento b 2 B

mediante f se denota por b = f(a).

OBSERVACION 2.1.4 Notemos que si f : A ! B es una funcion, entonces

Rec(f) = {b 2 B : 9a 2 A : b = f(a)} ⇢ B.

EJEMPLO 2.1.1 El siguiente diagrama sagital representa una funcion f : A ! B.

De acuerdo con el diagrama, determina la imagen de a, b, c y d; y las preimagenes de 2 y 3.Ademas, encuentra el Dom(f), Rec(f) y Cod(f).

Solucion. Tenemos que f(a) = 2, f(b) = 3, f(c) = 2 y f(d) = 3. Luego, la imagen de a es 2, laimagen de b es 3, la imagen de c es 2 y la imagen de d es 3. Las preimagenes de 2 son a y c, y laspreimagenes de 3 son b y d. Mas aun,

Dom(f) = {a, b, c, d}, Cod(f) = {1, 2, 3, 4} y Rec(f) = {2, 3}. ⇤

Funciones iguales

DEFINICION 2.1.2 Sean f : A ! B y g : C ! B dos funciones. Decimos que f es igual a g si secumplen las siguientes tres condiciones:

i) A = Dom(f) = Dom(g) = C

ii) Rec(f) = Rec(g)

iii) Para cada elemento a 2 A uno tiene que f(a) = g(a).


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.1. CONCEPTO DE FUNCION

EJEMPLO 2.1.2 Sean f : Dom(f) ⇢ R ! R y g : Dom(g) ⇢ R ! R dos funciones, definidas porlas formulas

f(x) =x2 + 2x+ 1

x+ 1

yg(x) = x+ 1.

¿Son iguales estas funciones?

Solucion. Notemos que las funciones coinciden en todoR, excepto en el valor x = �1, donde f noesta definida pero g si lo esta. Luego, existe �1 2 R tal que �1 2 Dom(g) pero �1 62 Dom(f); y ası

Dom(f) 6= Dom(g).

Por lo tanto,f 6= g. ⇤

Restriccion del dominio de una funcion

DEFINICION 2.1.3 Sea f : A ! B una funcion y sea D0

⇢ A. Llamaremos restriccion de f alconjunto D

0

a la funcionf|

D

0

: D0

! B

x ! f|D

0

(x) = f(x).

EJERCICIOS 2.1.1

1. Sea f = {(�2, 2), (�1, 1), (0, 0), (1,�1)}

a) Explica por que f es una funcion.

b) Indica el dominio de f y el recorrido de f .

c) Encuentra una regla de correspondencia, para la funcion f , de la forma (x, f(x)).

2. Determina si los siguientes pares de funciones, cuyo condominio es el conjunto de losnumeros reales, son iguales en sus respectivos dominios (el mayor conjunto contenido enR donde las funciones estan definidas). En caso de no ser iguales, realiza las restriccionesen los correspondientes dominios para que ello ocurra.

a) f(x) = x+ 3 y g(x) =px2 + 6x+ 9.

b) f(x) = x2 � 8 y g(x) = (x� 2

p2)(x+ 2

p2).




2.2. Funciones reales

DEFINICION 2.2.1 Sea f una relacion entre valores en D ⇢ R y valores en R.

Decimos que f es una funcion real si a cada elemento x 2 D, f le asocia un unico elementoy 2 R, denotado por y = f(x). En este caso escribimos

f : D ✓ R ! R

x ! f(x).

Si y = f(x), llamamos preimagen por f de y al elemento x 2 D y llamamos imagen de f en x

al elemento y 2 R.

El conjunto D, que corresponde al conjunto de todas las preimagenes por f , se llama domi-nio de f , se denota por Dom(f), y esta dado por el conjunto:

Dom(f) =�

x 2 R : 9y 2 R : y = f(x)

.

El conjunto de todas las imagenes de f se llama recorrido de f , se denota por Rec(f), y estadado por el conjunto:

Rec(f) =�

y 2 R : 9x 2 Dom(f) : y = f(x)

.

OBSERVACION 2.2.1 Basicamente, una funcion real es como una maquina que transforma un numeroreal x en otro numero real, que llamamos f(x).

Figura 2.1. Una funcion real es como una maquina que transforma un numero real x en otro numero realque llamamos f(x).

OBSERVACION 2.2.2 En el caso de una funcion real, el codominio siempre es R.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.2. FUNCIONES REALES

EJEMPLO 2.2.1 Encuentra el dominio y el recorrido de la funcion definida por f(x) =x+ 2

x� 2

.

Solucion. Tenemos:

Dom(f) =

⇢

x 2 R : 9 y 2 R : y =

x+ 2

x� 2

�

=

⇢

x 2 R :

x+ 2

x� 2

2 R�

= {x 2 R : x 6= 2}

= R \ {2}.

Rec(f) =⇢

y 2 R : 9x 2 R \ {2} : y =

x+ 2

x� 2

�

= {y 2 R : xy � 2y = x+ 2} se puede pues x 6= 2

= {y 2 R : x(y � 1) = 2(1 + y)} si y = 1 esto es falso

=

⇢

y 2 R : x =

2(y + 1)

(y � 1)

2 R : y 6= 1

�

= {y 2 R : y 6= 1}

= R \ {1}. ⇤

EJEMPLO 2.2.2 Encuentra el dominio y el recorrido de la funcion definida por f(x) =p4 + x.

Solucion. Tenemos:

Dom(f) =�

x 2 R : 9y 2 R : y =

p4 + x

=

�

x 2 R :

p4 + x 2 R

= {x 2 R : x � �4} pues p esta definida si su cantidad subradical es � 0

= [�4,+1[ .

Rec(f) =�

y 2 R : 9x 2⇥

� 4,+1⇥

: y =

p4 + x

=

�

y � 0 : x � �4 : y2 = 4 + x

(y � 0 pues p � 0 cuando esta definida)

=

�

y � 0 : y2 � 4 � �4

=

�

y � 0 : y2 � 0

= [0,+1[ . ⇤

EJEMPLO 2.2.3 Encuentra el dominio y el recorrido de la funcion definida por f(x) =1

x2 + 3x+ 2

.


Solucion. Tenemos:

Dom(f) =

⇢

x 2 R : 9y 2 R : y =

1

x2 + 3x+ 2

�

=

⇢

x 2 R :

1

x2 + 3x+ 2

2 R�

=

�

x 2 R : x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1) 6= 0

= R \ {�2,�1} .

Rec(f) =⇢

y 2 R : 9x 2 R \ {�2,�1} : y =

1

x2 + 3x+ 2

�

=

�

y 2 R : yx2 + 3yx+ 2y � 1 = 0

se puede pues x 62 {�2,�1}

=

(

y 2 R : x =

�3y ±p

9y2 � 8y2 + 4y

2y2 R : y 6= 0

)

= {y 2 R : y 6= 0 ^ (y + 4)y � 0}

=

�

y 2 R : y 6= 0 ^�

(y �4 ^ y 0) _ (y � �4 ^ y � 0)

�

= {y 2 R : y �4 _ y > 0}

= ]�1,�4] [ ]0,+1[ . ⇤

EJEMPLO 2.2.4 Encuentra el dominio y el recorrido de la funcion definida por f(x) =�3px2 + 4

.

Solucion. Tenemos:

Dom(f) =

⇢

x 2 R : 9 y 2 R : y =

�3px2 + 4

�

=

⇢

x 2 R :

�3px2 + 4

2 R�

= R puespx2 + 4 > 0 para cualquier valor real de x.

Rec(f) =⇢

y 2 R : 9x 2 R : y =

�3px2 + 4

�

=

⇢

y < 0 : y2 =9

x2 + 4

� ✓

y =

�3px2 + 4

< 0 pues � 3 < 0 yp

x2 + 4 > 0

◆

=

�

y < 0 : y2x2 + 4y2 � 9 = 0

=

n

y < 0 : x = ±p

9� 4y2 2 Ro

=

⇢

y < 0 : y2 9

4

� ✓

y2 9

4

) |y| 3

2

) �3

2

y 3

2

◆

=

�3

2

, 0

. ⇤


2.2.1. Grafico de una funcion real

DEFINICION 2.2.2 Sea f : D ✓ R! R una funcion.

i) Decimos que x 2 D es un cero de f si f(x) = 0.

ii) Llamamos Grafico de f al conjunto Graf(f) dado por:

Graf(f) =�

(x, y) 2 R2

: x 2 Dom(f) : y = f(x)

.

OBSERVACION 2.2.3 La representacion en el plano cartesiano R2 del grafico de una funcion se denominagrafica de la funcion.

EJEMPLO 2.2.5 Encuentra los ceros y el grafico de la funcion f(x) = x2 � 4x� 5, x 2 R.


f(x) = 0 , x2 � 4x� 5 = (x� 5)(x+ 1) = 0

, x = 5 _ x = �1

Por lo tanto, son ceros de f los valores x = 5 y x = �1. Por otro lado,

Graf(f) =�

(x, y) 2 R2/ y = x2 � 4x� 5

. ⇤

Figura 2.2. Representacion en R2 de Graf(f) =�

(x, y) 2 R2

: y = x2 � 4x� 5

.

EJEMPLO 2.2.6 Encuentra los ceros y el grafico de la funcion f(x) =px, x 2 ]0,+1[.

Solucion. Notemos quef(x) = 0 , x = 0.

Por lo tanto, el valor x = 0 es el unico cero de f . Por otro lado,

Graf(f) =�

(x, y) 2 R2/ y =

px

. ⇤


Figura 2.3. Representacion en R2 de Graf(f) =�

(x, y) 2 R2

: y =

px

.

2.2.2. Traslacion horizontal de la grafica de una funcion

DEFINICION 2.2.3 Sea f : D ✓ R! R una funcion y sea a 2 R un valor fijo. La funcion g : D ! R

definida porg(x) = f(x+ a)

se denomina traslacion horizontal de la grafica de f en a unidades.

OBSERVACION 2.2.4 Sea f : D ✓ R! R una funcion y sea a 2 R un valor fijo. Entonces,

Dom(g) = {x 2 R : x = z � a : z 2 D = Dom(f)}.

Rec(g) = Rec(f).

Si a � 0, la grafica de g es identica a la grafica de f trasladada horizontalmente |a| unidades haciala izquierda.

Si a < 0, la grafica de g es identica a la grafica de f trasladada horizontalmente |a| unidades haciala derecha.

EJEMPLO 2.2.7 Sea f(x) = x2, x 2 R. Identifica una funcion g que corresponda a la traslacionhorizontal en 2 unidades a la derecha de la grafica de f . Determina Dom(g) y Rec(g) en terminosde Dom(f) y Rec(f).

Solucion. La funcion g solicitada es

g(x) = x2 � 4x+ 4 = (x� 2)

2,

la cual tiene identica grafica a la de f(x) trasladada en 2 unidades a la derecha, pues

g(x) = f(x� 2) y � 2 < 0.

Ademas,Dom(g) = R y Rec(g) =

⇥

0,+1⇥

= Rec(f). ⇤

Figura 2.4. Grafica de la funcion g(x) = (x � 2)

2, que es la traslacion horizontal en 2 unidades a la derechade la grafica de la funcion f(x) = x2.

2.2.3. Traslacion vertical de la grafica de una funcion

DEFINICION 2.2.4 Sea f : D ✓ R! R una funcion y sea b 2 R un valor fijo. La funcion g : D ! R

definida porg(x) = f(x) + b

se denomina traslacion vertical de la grafica de f en b unidades.

OBSERVACION 2.2.5 Sea f : D ✓ R! R una funcion y sea b 2 R un valor fijo. Entonces,

Dom(g) = Dom(f).

Rec(g) = {y 2 R : y = z + b : z 2 Rec(f)}.

Si b � 0, la grafica de g es identica a la grafica de f trasladada verticalmente b unidades hacia arriba.

Si b < 0, la grafica de g es identica a la grafica de f trasladada verticalmente b unidades hacia abajo.

EJEMPLO 2.2.8 Sea f(x) = x2, x 2 R. Identifica una funcion g que corresponda a la traslacionvertical en 1 unidad por sobre la grafica de f , y determina Dom(g) y Rec(g) en terminos delDom(f) y Rec(f).

Solucion. La funcion g solicitada esg(x) = x2 + 1,

la cual tiene identica grafica a la de f(x) trasladada en 1 unidad hacia arriba, pues

g(x) = f(x) + 1 y 1 > 0.

Ademas,Dom(g) = R = Dom(f) y Rec(g) =

⇥

1,+1⇥

. ⇤Esta version puede contener errores 71


Figura 2.5. Grafica de la funcion g(x) = x2

+ 1, que es la traslacion vertical en 1 unidad hacia arriba de lagrafica de la funcion f(x) = x2.

2.2.4. Reflexion del grafico de una funcion

DEFINICION 2.2.5 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Si y = f(x), entonces el conjunto

{(f(x), x) 2 R2

: x 2 Dom(f)}

se denomina reflexion del grafico de f con respecto a la recta y = x.

OBSERVACION 2.2.6 La grafica de la reflexion del grafico de f es simetrica a la grafica de f con respectoa la recta y = x.

EJEMPLO 2.2.9 Sea f(x) = x3, x 2 R. Halla la reflexion del grafico de f con respecto a la recta y = x.


y = x3 , x = y1

3 .

Luego, la reflexion del grafico de f es el conjunto {(y, y1

3

) : y 2 R = Rec(f)}. ⇤

Figura 2.6. La grafica de g(x) = 3px, x 2 R, es la grafica de la reflexion del grafico de f(x) = x3, x 2 R.


EJEMPLO 2.2.10 Sea f(x) = x2, x 2 R. Halla la reflexion del grafico de f con respecto a la recta y = x.


y = x2 , |x| = py , (x = �p

y _ x =

py).

Luego, la reflexion del grafico de f es el conjunto {(y,±py) : y 2 [0,+1[ = Rec(f)}. ⇤

Figura 2.7. La union de las graficas de g1

(x) =px, x � 0, y g

2

(x) = �px, x 0, es la grafica de la reflexion

del grafico de f(x) = x2, x 2 R.

2.2.5. Compresion vertical de la grafica de una funcion

DEFINICION 2.2.6 Sea f : D ✓ R ! R una funcion y sea 0 < a < 1. La grafica de la funciony = a f(x), para x 2 Dom(f), se denomina compresion vertical de la grafica de la funcion f .

EJEMPLO 2.2.11 Traza la grafica de f(x) = x2 y de sus siguientes dos compresiones verticales:f1

(x) = 1

2

x2 y f2

(x)= 1

4

x2.

Solucion.

Figura 2.8. Compresiones verticales de la grafica de f(x) = x2 (en azul). En naranja f1

(x) =

1

2

x2 y enmagenta f

2

(x)= 1

4

x2. ⇤


2.2.6. Estiramiento vertical de la grafica de una funcion

DEFINICION 2.2.7 Sea f : D ✓ R ! R una funcion y sea a > 1. La grafica de la funciony = a f(x), para x 2 Dom(f), se denomina estiramiento vertical de la grafica de la funcion f .

EJEMPLO 2.2.12 Traza la grafica de f(x) = x2 y de sus siguientes dos estiramientos horizontales:f1

(x) = 2x2 y f2

(x) = 4x2.

Solucion.

Figura 2.9. Estiramientos verticales de la grafica de f(x) = x2 (en azul). En rojo f(x) = 2x2 y en magentaf(x) = 4x2. ⇤

2.2.7. Compresion horizontal de la grafica de una funcion

DEFINICION 2.2.8 Sea f : D ✓ R ! R una funcion y sea a > 1. La grafica de la funciony = f(a x), para a x 2 Dom(f) se denomina compresion horiontal de la grafica de la funcion f .

EJEMPLO 2.2.13 Traza la grafica de f(x) = x2 y de sus siguientes dos compresiones horizontales:f1

(x) = (2x)2 y f2

(x) = (4x)2.

Solucion.

Figura 2.10. Compresiones horizontales de la grafica de f(x) = x2 (en azul). En rojo f(x) = (2x)2 y enmagenta f(x) = (4x)2. ⇤


2.2.8. Estiramiento horizontal de la grafica de una funcion

DEFINICION 2.2.9 Sea f : D ✓ R ! R una funcion y sea 0 < a < 1. La grafica de la funciony = f(a x), para a x 2 Dom(f), se denomina estiramiento horizontal de la grafica de la funcion f .

EJEMPLO 2.2.14 Traza la grafica de f(x) = x2 y de sus siguientes dos estiramientos horizontales:f1

(x) =�

1

2

x�

2 y f2

(x) =�

1

4

x�

2.

Solucion.

Figura 2.11. Estiramientos horizontales de la grafica de f(x) = x2 (en azul). En naranja f1

(x) =�

1

2

x�

2 y enmagenta f

2

(x) =�

1

4

x�

2. ⇤

EJERCICIOS 2.2.1

1. Basandote en la grafica de la funcion y =

1

x , traza la grafica de la funcion y =

x+1

x�1

.

2. Traza la reflexion de f(x) = x2 � 2x+ 3, con respecto a la recta y = x.

3. Traza la reflexion de f(x) = �px+ 3, x � �3, con respecto a la recta y = x.

4. Traza la grafica de f(x) = x2 y luego traza la grafica de g(x) = �x2. Compara las graficasresultantes y escribe un principio general para las graficas del par de funciones f y �f .

5. Para cada una de las siguientes funciones g, indica si se trata de una compresion oestiramiento vertical, una contraccion o una dilatacion de la funcion f(x) = 2x3 + 5.

a) g(x) = 16x3 + 5

b) g(x) = 4x3 + 10

c) g(x) = x3 + 5

2

d) g(x) = x3 + 5

6. Sea f una funcion real. ¿Que puedes decir de la grafica de la funcion g(x) = |f(x)|?

Para ver las Soluciones de los Ejercicios 2.2.1 presiona aquı AEsta version puede contener errores 75


2.3. Funciones algebraicas

Las funciones algebraicas son funciones que se obtienen por una aplicacion finita de adiciones,sustracciones, multiplicaciones, divisiones y/o radicaciones entre constantes y una variable enprimer grado. Tambien pueden ser funciones que a trozos posean tales caracterısticas. A continuacionmostramos algunos ejemplos de funciones algebraicas.

2.3.1. Funcion afın

DEFINICION 2.3.1 Sea m, b 2 R dos numeros fijos. La funcion

f : R ! R

x ! f(x) = mx+ b

es llamada funcion afın.

Figura 2.12. Grafica de la funcion afın f(x) = mx+ b, x 2 R, donde m > 0 y b > 0.

OBSERVACION 2.3.1

Sea f(x) = mx+ b, x 2 R. Si m 6= 0, entonces

Dom(f) = R = Rec(f).

Por otro lado, si m = 0, entonces

Dom(f) = R y Rec(f) = {b}.

Ademas, la grafica de f corresponde a una recta que corta el eje y en el punto (0, b) y tiene pendientem, verificandose que si m = 0 la recta es paralela al eje x, mientras que si m 6= 0, la recta corta aleje x en el punto

�

� bm , 0

�

.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.3. FUNCIONES ALGEBRAICAS

La ecuacion de una recta no perpendicular al eje y permite definir una funcion afın con respecto a lavariable x. En efecto, sean A,B,C 2 R, con B 6= 0; entonces la ecuacion

Ax+By + C = 0

se puede reescribir en la formay = mx+ b

dondem =

✓

�A

B

◆

y b =

✓

�C

B

◆

.

EJEMPLO 2.3.1 Traza la grafica de la funcion afın f(x) = �2x+ 1, x 2 R.

Solucion.

Figura 2.13. Grafica de la funcion afın f(x) = �2x+ 1, x 2 R. ⇤

2.3.2. Funcion lineal

La funcion lineal corresponde a un caso particular de la funcion afın f(x) = mx+ b, cuando b = 0.

DEFINICION 2.3.2 Sea m 2 R. La funcion

f : R ! R

x ! f(x) = mx,

es llamada funcion lineal.

OBSERVACION 2.3.2 Sea f(x) = mx, x 2 R.

Si m 6= 0, entoncesDom(f) = R = Rec(f).



Sea f(x) = mx, x 2 R.

Si m = 0, entoncesDom(f) = R y Rec(f) = {0}.

La grafica de f corresponde a una recta que pasa por el origen (0, 0) y tiene pendiente m.

Mas generalmente, una funcion f es lineal en R si para cada x1

, x2

2 R y ↵ 2 R verifica que:

i) f(x1

+ x2

) = f(x1

) + f(x2

)

ii) f(↵x1

) = ↵f(x1

).

EJEMPLO 2.3.2 Traza la grafica de la funcion lineal f(x) = 2x, x 2 R.

Solucion.

Figura 2.14. Grafica de la funcion lineal f(x) = 2x, x 2 R. ⇤

2.3.3. Funcion identidad

La funcion identidad corresponde a un caso particular de la funcion afın f(x) = mx+b, cuandom = 1, b = 0 y se restringe su dominio a un conjunto D ⇢ R dado.

DEFINICION 2.3.3 Sea D ⇢ R. La funcion

f : D ⇢ R ! R

x ! f(x) = x

es llamada funcion identidad (o identica) en D. Es usual denotar a esta funcion por IdD.

OBSERVACION 2.3.3 Es claro que si IdD es la funcion identidad en D ⇢ R, entonces

Dom(IdD) = D = Rec(IdD).



EJEMPLO 2.3.3 Traza la grafica de la funcion identidad en R, IdR.

Solucion.

Figura 2.15. Grafica de la funcion identidad en R, IdR(x) = x, x 2 R. ⇤

EJEMPLO 2.3.4 Traza la grafica de la funcion identidad en Z, IdZ.

Solucion.

Figura 2.16. Grafica de la funcion identidad en Z: IdZ(x) = x, x 2 Z. Notemos que Dom(IdZ) = Z = Rec(IdZ). ⇤

2.3.4. Funcion constante

La funcion constante corresponde a un caso particular de la funcion afın f(x) = mx+b, cuandom = 0 y se restringe su dominio a un conjunto D ✓ R dado.

DEFINICION 2.3.4 Sea D ✓ R y sea b 2 R un valor constante y fijo. La funcion

f : D ✓ R ! R

x ! f(x) = b

es llamada funcion constante en D.



OBSERVACION 2.3.4 Si f es una funcion constante en D ⇢ R, digamos f(x) = b, x 2 D, entonces

Dom(f) = D y Rec(f) = {b}.

Luego, la grafica de una funcion constante corresponde a un conjunto de puntos contenidos en una unicarecta que es paralela al eje x.

EJEMPLO 2.3.5 Traza la grafica de la siguiente funcion constante

f : Z ! R

x ! f(x) = 3.

Solucion.

Figura 2.17. Grafica de la funcion constante f(x) = 3, x 2 Z. Notemos que Dom(f) = Z y que Rec(f) = {3}. ⇤

EJEMPLO 2.3.6 Traza la grafica de la siguiente funcion constante

f : R ! R

x ! f(x) = 1.

Solucion.

Figura 2.18. Grafica de la funcion constante f(x) = 1, x 2 R. Notemos que Dom(f) = R y que Rec(f) = {1}. ⇤

2.3.5. Funcion cuadratica

DEFINICION 2.3.5 Sean a 2 R \ {0}, b 2 R y c 2 R. La funcion

f : R ! R

x ! f(x) = ax2 + bx+ c

es llamada funcion cuadratica.


Notemos que si a 6= 0, entonces

f(x) = ax2 + bx+ c

= a

✓

x2 +b

ax+

c

a

◆

= a

x2 + 2

b

2ax+

✓

b

2a

◆

2

!

�✓

b

2a

◆

2

+

c

a

!

= a

✓

x�✓

� b

2a

◆◆

2

� (b2 � 4ac)

4a2

!

.

Luego, la grafica de la funcion corresponde a una parabola con vertice en el punto

V

✓

� b

2a,�b2 � 4ac

4a

◆

y tal que el valor

f

✓

� b

2a

◆

= �b2 � 4ac

4a

es el valor maximo de la funcion f si a < 0, mientras que si a > 0, se trata del valor mınimo de lafuncion. Ası, la parabola esta orientada hacia abajo si a < 0, o hacia arriba si a > 0, y se verifica losiguiente

Dom(f) = R ^ Rec(f) =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

�

�1,4ac� b2

4a

�

si a < 0

4ac� b2

4a,+1,

si a > 0.

Ahora, para trazar la grafica de una funcion cuadratica conviene calcular el valor � b2a ± d donde d

es una constante escogida arbitrariamente. Notemos que debe ocurrir que

f

✓

� b

2a+ d

◆

= f

✓

� b

2a� d

◆

.

En resumen:

Si a > 0, entonces mın

x2Dom(f)f(x) =

4ac� b2

4a

Si a < 0, entonces max

x2Dom(f)f(x) =

4ac� b2

4a

Si f(z1

) = f(z2

), entonces � b

2a=

z1

+ z2

2

.


Figura 2.19. Grafica de una funcion cuadratica de la forma f(x) = ax2

+ bx+ c, x 2 R, con dos ceros distintos.

EJEMPLO 2.3.7 Traza la grafica de la funcion f(x) = 4x2 + 2x� 1.


f(x) = 4

x2 + 2 · 14

x+

✓

1

4

◆

2

�✓

1

4

◆

2

� 1

4

!

= 4

✓

x�✓

�1

4

◆◆

2

� 5

4

.

Como a = 4 > 0, la grafica de la funcion corresponde a una parabola con vertice en V

✓

�1

4

,�5

4

◆

orientada hacia arriba. Ademas, el valor

f

✓

�1

4

◆

= �5

4

es el valor mınimo de la funcion y se verifica en particular que

f(1) = f

✓

�1

4

+

5

4

◆

= f

✓

�1

4

� 5

4

◆

= f

✓

�3

2

◆

= 4

25

16

� 5

4

=

20

4

= 5.

Con esta informacion estamos en condiciones de trazar la grafica de f .

Figura 2.20. Grafica de la funcion cuadratica f(x) = 4x2

+ 2x� 1, x 2 R. ⇤


2.3.6. Funcion parte entera

DEFINICION 2.3.6 La funcionf : R ! R

x ! f(x) = [x]

es llamada funcion parte entera (o mayor entero), donde [x] denota al mayor entero que es menoro igual que x.

OBSERVACION 2.3.5 Si f es la funcion parte entera, entonces

Dom(f) = R y Rec(f) = Z.

Por otra parte, es claro que[x] x < [x] + 1.

Figura 2.21. Grafica de la funcion parte entera f(x) = [x], x 2 R.

2.3.7. Funcion racional

DEFINICION 2.3.7 Sean p y q dos polinomios de una variable. Entonces

f : D ✓ R ! R

x ! f(x) =p(x)

q(x)

recibe el nombre de funcion racional.

OBSERVACION 2.3.6 Sea f(x)=p(x)

q(x)una funcion racional. Entonces D = Dom(f)={x 2 R : q(x) 6= 0}.

Los ceros de q(x) dan origen a rectas llamadas asıntotas verticales a la grafica de f , y corresponden arectas perpendiculares al eje x que no forman parte de la grafica de f , pero son tales que ayudan a trazarmejor su grafica. Por otro lado, los ceros de p(x) dan los ceros de f .

EJEMPLO 2.3.8 Traza una grafica aproximada de la funcion f(x) =x2 + 7x� 11

x2 � 4

, x 2 R \ {�2, 2}.



Dom(f) = {x 2 R : x2 � 4 6= 0} = {x 2 R : x = ±2} = R \ {2,�2},

Rec(f) =⇢

y 2 R : 9x 2 R \ {2,�2} ^ y =

x2 + 7x� 11

x2 � 4

�

.

Ahora notemos que

x 6= ±2 ^ y =

x2 + 7x� 11

x2 � 4

) yx2 � 4y = x2 + 7x� 11

) (y � 1)x2 � 7x+ (11� 4y) = 0

)

x =

7±p

16y2 � 60y + 93

2(y � 1)

si y 6=1

!

_⇣

x = 1 si y = 1

⌘

) y 2 R \ {1} (pues 16y2 � 60y + 93 � 0 8 y 2 R) _ y = 1.

) Rec(f) = R.

Por otra parte,q(x) = x2 � 4 = 0 , x = ±2.

Luego, las rectas x = 2 ^ x = �2 son asıntotas verticales a la grafica de f . Ademas,

f(x) = 0 , p(x) = 0 , x2 + 7x� 11 = 0 , x =

�7±p93

2

.

Ası que los ceros de f se producen en los siguientes valores de x:

x1

=

�7�p93

2

⇡ �8,3218 y x2

=

�7 +

p93

2

⇡ 1,3218.

Tambien tenemos que

x = 0 ) f(0) =11

4

.

Construimos una tabla de valores para trazar una grafica, que por ahora es mas bien intuitiva. Sinembargo, cuando estudiemos derivadas, podremos trazar una grafica mas precisa.

x f(x)

�8,3218 0

�4 �1,916

�3 �4,6

�1 5,6

0 2,75

1 1

3 3,8

6 2,09375



Figura 2.22. Grafica de la funcion racional f(x) =x2

+ 7x� 11

x2 � 4

, x 2 R \ {2,�2}. ⇤

2.3.8. Funcion valor absoluto

DEFINICION 2.3.8 La funcionf : R ! R

x ! f(x) = |x|

es llamada funcion valor absoluto.

OBSERVACION 2.3.7 Es claro que

Rec(f) = R+

0

= [0,+1[ y Dom(f) = R.

Figura 2.23. Grafica de la funcion valor absoluto f(x) = |x|, x 2 R.

EJEMPLO 2.3.9 Sean f(x) = |x| y g(x) = x + 1, con x 2 R. Determina la funcion F (x) definidapor F (x) = f

�

g(x)�

, x 2 R, y traza la grafica de F .

Solucion. Notemos que f�

g(x)�

=

�

�g(x)�

�

= |x+ 1|. Por lo tanto,

F (x) = |x+ 1|.

Por otro lado, F (x) = 0 si x = �1 y F (0) = 1.



Figura 2.24. Grafica de la funcion F (x) = |x+ 1|, x 2 R. ⇤

2.3.9. Funcion radical

DEFINICION 2.3.9 Sea n 2 N, n � 2. La funcion

f : Dom(f) ⇢ R ! R

x ! f(x) = n

px

es llamada funcion radical de ındice n.

OBSERVACION 2.3.8 Sea f(x) = n

px una funcion radical. Entonces

Dom(f) =

(

[0,+1[ si n es par,

R si n es impar.

Ademas,

Rec(f) =

(

[0,+1[ si n es par,R si n es impar.

EJEMPLO 2.3.10 Traza la grafica de la funcion f(x) =px, x � 0.

Solucion.

Figura 2.25. Grafica de la funcion f(x) =px, x � 0. Notemos que Dom(f) = [0,+1[ y Rec(f) = [0,+1[ . ⇤

EJEMPLO 2.3.11 Traza la grafica de f(x) = 3

px, x 2 R.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.4. FUNCIONES CON PROPIEDADES ESPECIALES

Solucion.

Figura 2.26. Grafica de la funcion f(x) = 3px, x 2 R. Notemos que Dom(f) = R y Rec(f) = R. ⇤

2.4. Funciones con propiedades especiales

Ahora estamos interesados en estudiar funciones que verifiquen ciertas propiedades especiales.

2.4.1. Funciones pares

DEFINICION 2.4.1 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Decimos que f es una funcion par si

f(x) = f(�x) 8x 2 D.

OBSERVACION 2.4.1 Las funciones pares tienen graficas simetricas con respecto al eje y (o bien rectax = 0). El eje y hace el papel de un espejo. Ademas, por definicion, si f es par, entonces D = Dom(f) esun conjunto simetrico respecto al 0 en R; es decir,

a 2 D , �a 2 D.

EJEMPLO 2.4.1 Prueba que la funcion f(x) = |x|, x 2 R, es par.

Solucion. Como Dom(f) = R es un conjunto simetrico respecto al 0 en R, y

f(x) = |x| = |�x| = f(�x) 8x 2 R,

concluimos que f es una funcion par. ⇤

Figura 2.27. Grafica de la funcion valor absoluto f(x) = |x|, x 2 R.



EJEMPLO 2.4.2 Prueba que la funcion f(x) = x2, x 2 R, es par.

Solucion. Como Dom(f) = R es un conjunto simetrico respecto al 0 en R, y

f(x) = x2 = (�x)2 = f(�x) 8x 2 R,

concluimos que f es una funcion par. ⇤

Figura 2.28. Grafica de la funcion par f(x) = x2.

2.4.2. Funciones impares

DEFINICION 2.4.2 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Decimos que f es una funcion impar si

�f(x) = f(�x) 8x 2 D.

OBSERVACION 2.4.2 Las funciones impares tienen graficos simetricos con respecto al origen (0, 0). Apartir del origen, la grafica hacia la derecha del eje x se repite, en sentido de inverso aditivo del valor dey = f(x), hacia la izquierda del eje x. Ademas, por definicion, si f es impar, entonces D = Dom(f) es unconjunto simetrico respecto al 0 en R; es decir,

a 2 D , �a 2 D.

EJEMPLO 2.4.3 Prueba que la funcion f(x) = x, x 2 R, es impar.

Solucion. Como Dom(f) = R, que es un conjunto simetrico respecto al 0 en R, y

f(x) = x = �(�x) = �f(�x) 8x 2 R,

concluimos que f es una funcion impar. ⇤



Figura 2.29. Grafica de la funcion impar f(x) = x.

EJEMPLO 2.4.4 Prueba que la funcion f(x) = x3, x 2 R, es impar.

Solucion. Como Dom(f) = R, que es un conjunto simetrico respecto al 0 en R, y

f(x) = x3 = �(�x)3 = �f(�x) 8x 2 R,

concluimos que g es una funcion impar. ⇤

Figura 2.30. Grafica de la funcion impar f(x) = x3.

2.4.3. Funciones periodicas

DEFINICION 2.4.3 Sea f : R ! R una funcion. Decimos que f es periodica si existe un numeroP > 0 tal que

f�

x+ P�

= f(x) 8x 2 R.

El numero P recibe el nombre de perıodo de f . El menor de todos los perıodos de f recibe elnombre de perıodo fundamental.

OBSERVACION 2.4.3 En el resto de este apuntes usaremos el termino perıodo para referirnos al perıodofundamental de una funcion periodica.


OBSERVACION 2.4.4 Si b � a > 0 es el perıodo de una funcion periodica, entonces conocida su graficasobre el intervalo [a, b], podemos obtener el resto de su grafica copiando y pegando el trozo de graficaconocida mediante un uso reiterado de traslaciones horizontales hacia la izquierda y hacia la derecha.

OBSERVACION 2.4.5 La definicion de funcion periodica se puede adaptar a dominios que no sean todo R.Por ejemplo, si se conoce f(x) para cada x 2 ]a, b[ y

f�

x+ (b� a)�

= f(x) 8x 2 R \ [a, b].

En este caso la funcion f no estarıa definida en a ni en b, y por lo tanto tampoco lo estarıa en a+ k(b� a)

ni en b+ k(b� a), para cada k 2 Z.

EJEMPLO 2.4.5 Considera la funcion:

h : D ✓ R ! R

x ! h(x) =

8

>

>

<

>

>

:

0 0 < x < 1

x� 1 1 < x < 2

h(x+ 2) = h(x) en otro caso.

¿Es periodica? Si lo es, indica su perıodo. Ademas, traza su grafica.

Solucion. Sı, h es periodica de perıodo 2. Por otro lado, para trazar su grafica basta conocer unaparte de ella (considerando una parte de su dominio con longitud igual al perıodo), pues luego secopia ese trozo de grafica y se pega reiterada y consecutivamente hacia la izquierda y la derechade la zona trazada (vea figura a continuacion).

Figura 2.31. Grafica de la funcion 2–periodica h(x) = 0 si 0 < x < 1, h(x) = x�1 si 1 < x < 2, h(x+2) = h(x).Esta funcion no esta definida en Z; es decir: Dom(f) = {x 2 R : x 62 Z} = R \Z. ⇤

2.4.4. Funciones crecientes

DEFINICION 2.4.4 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Decimos que f es una funcion creciente si

(8x1

, x2

2 D) (x1

< x2

) f(x1

) f(x2

)) .

OBSERVACION 2.4.6 Si reemplazamos el signo por < decimos que f es estrictamente creciente.

EJEMPLO 2.4.6 Prueba que la funcion f(x) = x, x 2 R es creciente.

Solucion. Sean x1

, x2

2 R. Comox1

< x2

) f(x1

) = x1

< x2

= f(x2

),

concluimos que f es una funcion estrictamente creciente. ⇤

Figura 2.32. La funcion f(x) = x, x 2 R, es una funcion estrictamente creciente en R.

EJEMPLO 2.4.7 Prueba que la funcion f(x) = x3, x 2 R, es creciente.

Solucion. Sean x1

, x2

2 R. Debemos probar que

x1

< x2

) f(x1

) = (x1

)

3 < (x2

)

3

= f(x2

),

para concluir que f es una funcion estrictamente creciente. Veamos esto con mas detalle.

x1

< x2

) x1

� x2

< 0. (2.1)

Por otro lado, notemos que

x21

+ x1

x2

+ x22

> 0 8x1

, x2

2 R. (2.2)

Esto se deduce del analisis por casos. Asumamos que x1

< x2

, luego:

i) Si x1

x2

� 0, entonces es claro que: x21

+ x1

x2

+ x22

> 0 pues x21

� 0 y x22

� 0, donde o bienx21

> 0 o bien x22

> 0.

ii) Si x1

x2

< 0, entonces x21

+ x1

x2

+ x22

> 0 pues x21

+ x1

x2

+ x22

= (x1

+ x2

)

2 � x1

x2

donde(x

1

+ x2

)

2 � 0 y �x1

x2

> 0.

Por lo tanto, desde (2.1) y (2.2), concluimos que

x1

< x2

) x31

� x32

= (x1

� x2

)(x21

+ x1

x2

+ x22

) < 0,

que equivale a decir quex1

< x2

) x31

< x32

. ⇤Esta version puede contener errores 91

Figura 2.33. La funcion f(x) = x3, x 2 R, es una funcion estrictamente creciente en R.

2.4.5. Funciones decrecientes

DEFINICION 2.4.5 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Decimos que f es una funcion decreciente si

(8x1

, x2

2 D )(x1

< x2

) f(x1

) � f(x2

)) .

OBSERVACION 2.4.7 Si reemplazamos el signo � por > decimos que f es estrictamente decreciente.

EJEMPLO 2.4.8 Prueba que la funcion f(x) = �x, x 2 R, es decreciente.

Solucion. Sean x1

, x2

2 R. Como

x1

< x2

) f(x1

) = �x1

> �x2

= f(x2

),

concluimos que f es una funcion estrictamente decreciente. ⇤

Figura 2.34. La funcion f(x) = �x, x 2 R, es una funcion estrictamente decreciente en R.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.5. FUNCIONES TRASCENDENTES

EJEMPLO 2.4.9 Prueba que la funcion f(x) = 1

x , x 2 R+, es decreciente.

Solucion. Sean x1

, x2

2 R. Como

0 < x1

< x2

) f(x1

) =

1

x1

>1

x2

= f(x2

),


Figura 2.35. La funcion f(x) = 1

x , x 2 R+, es una funcion estrictamente decreciente en R+.

2.5. Funciones trascendentes

Llamamos funciones trascendentes a aquellas funciones que no son algebraicas. Un estudioriguroso de algunas de estas funciones sera realizado en un curso posterior. Aquı mostramos algunasde estas funciones trascendentes solo por conveniencia, y desde un punto de vista menos formal.

2.5.1. Funcion exponencial

DEFINICION 2.5.1 Sea a 2 R+ \ {1} un numero fijo. La funcion

f : R ! R+

x ! f(x) = ax

es llamada funcion exponencial de base a.

OBSERVACION 2.5.1 Notemos que la funcion exponencial de base a, f(x) = ax, con a > 0, a 6= 1, tieneDom(f) = R y Rec(f) = R+. Ademas, si f(x) = ex, con e el numero de Euler o constante de Napier,entonces decimos que f(x) es la funcion exponencial a secas.

Se verifica que

i) Si f(x) = ax, con a > 1, entonces f es una funcion estrictamente creciente.

Figura 2.36. Grafica de la funcion exponencial de base a, a > 1, f(x) = ax, x 2 R.

ii) Si f(x) = ax, con 0 < a < 1, entonces f es una funcion estrictamente decreciente.

Figura 2.37. Grafica de la funcion exponencial de base a, 0 < a < 1, f(x) = ax, x 2 R.

TEOREMA 2.5.1 (Propiedades de los exponentes) Sean a, b 2 R+ y x, y 2 R. Entonces:

i) ax+y= ax · ay

ii) ax�y=

ax

ay

iii) axy = (ax)y

iv) a0 = 1

v) a1 = a

vi) a�1

=

1

a ^�

a�1

��1

= a

vii) a�y=

�

1

a

�y

viii) (ab)y = ay · by.


NOTACION 2.5.1 La funcion exponencial f(x) = ex, con e el numero de Euler, es usual denotarlapor exp(x). Es decir,

exp(x) = ex.

2.5.2. Funcion logaritmo

Partimos definiendo el significado del logaritmo de un numero.

DEFINICION 2.5.2 Sea a 2 R+ \ {1} y sea b 2 R+. Se define el logaritmo en base a del numero realpositivo b como el valor real denotado por loga b el cual esta determinado por la relacion

loga b = x , ax = b.

NOTACION 2.5.2 Sea b 2 R+ y sea e el numero de Euler, entonces es usual escribir

loge b = ln b,

y leer ln b como logaritmo natural de b, en vez de logaritmo en base e de b. Tambien es usual escribir

log

10

b = log b,

y leer log b como logaritmo de b, en vez de logaritmo en base 10 de b.

Por definicion de logaritmo, sus propiedades estan directamente relacionadas con las propiedadesde los exponentes.

TEOREMA 2.5.2 (Propiedades de los logaritmos) Sean a, b, c 2R+ \ {1}y seanx, y 2R+. Entonces:

i) loga(x · y) = loga x+ loga y

ii) loga

✓

x

y

◆

= loga x� loga y

iii) loga xb= b loga x

iv) loga 1 = 0

v) loga a = 1

vi) loga

1

a= �1 ^ log 1

a

a = �1

vii) loga x = � loga

✓

1

x

◆

= � log 1

a

x

viii)loga x

loga b= logb x ^ loga c

logb c= loga b.



Demostracion. Sean a, b, c 2 R+ \ {1} y sean x, y 2 R+, entonces:

i) (s = loga x ^ t = loga y) )�

as = x ^ at = y�

) as · at = x · y

) as+t= x · y

) loga x · y = s+ t

) loga x · y = loga x+ loga y.

ii) (s = loga x ^ t = loga y) )�

as = x ^ at = y�

) as

at=

x

y

) as�t=

x

y

) loga

✓

x

y

◆

= s� t

) loga

✓

x

y

◆

= loga x� loga y.

iii) s = loga x ) as = x

) (as)b = xb

) abs = xb

) loga xb= bs

) loga xb= b loga x.

iv) s = loga 1 ) as = 1 (a > 0 ^ a 6= 1)

) s = 0

) loga 1 = 0.

v) s = loga a ) as = a (a > 0 ^ a 6= 1)

) s = 1

) loga a = 1.

vi)✓

s = loga

1

a^ t = log 1

a

a

◆

)

as =1

a^

✓

1

a

◆t

= a =

�

a�1

��1

!

)⇣

as = a�1 ^�

a�1

�t=

�

a�1

��1

⌘

) (s = �1 ^ t = �1)

)✓

loga

1

a= �1 ^ log 1

a

a = �1

◆

.



vii) s = loga x ) as = x

)⇣

�

a�1

��s= x ^ as =

�

x�1

��1

⌘

)

✓

1

a

◆�s

= x ^ as =

✓

1

x

◆�1

!

)

log 1

a

x = �s ^ loga

✓

1

x

◆�1

= s

!

)✓

� log 1

a

x = s ^ � loga

✓

1

x

◆

= s

◆

) loga x = � log 1

a

x = � loga

✓

1

x

◆

.

viii) (s = loga x ^ t = loga b ^ u = logb x) )�

as = x ^ at = b ^ bu = x�

) (at)u = bu = x = as

) atu = as

) tu = s

) loga b · logb x = loga x

) loga x

loga b= logb x. ⌅

OBSERVACION 2.5.2 Sea a > 0, a 6= 1.

El logaritmo en base a de un numero x > 0, puede ser considerado como el resultado de operaciondenominada “logaritmacion” aplicada al par (a, x) 2 R+\{1}⇥R+. En otras palabras, la operacionlogaritmacion se puede definir como la siguiente funcion:

log

(·)(·) : R+ \ {1}⇥R+ ! R

(a, x) ! loga x.

En terminos de operatoria, loga(·) resulta ser una operacion inversa para la operacion potenciaciona(·). Es decir, dados a 2 R+ \ {1}, x 2 R+ e y 2 R, se verifica:

ay = x , y = loga x.

Luego, es claro que

aloga x= ay = x

yloga a

y= loga x = y.



EJERCICIOS 2.5.1

1. Usa propiedades de los logaritmos y de los potencias y sus exponentes para reducir lassiguientes expresiones algebraicas:

a) log(x+ 1)

2 � log(x+ 1) + log x

b)1

2

log(x2 + 4x+ 4)� 2 log(x+ 2) + log(x+ 1)

c) log

⇥

(x+ 3)(x� 2)

⇤

� 2 log(x� 2) + log(x+ 3)

2

d) loga(x+ 2)

2 · logb(x+ 2)

2 · logb a, a > 0, b > 0, a 6= 1, b 6= 1

e)�

a2(x+3)

+ a(x+3)

�

:

�

a(x+3)

+ 1

�

, a > 0

f )ax�1 · a3x�2 · a3y+3

ax · ay , a > 0

g)a(x+y)2 · ax+y · bx+y · (ab)x�y · a�x

ax2

+y2 · bx�y · a2xy · a�y, a > 0, b > 0

h) loga(x+ 1)

y�3 � y loga(x+ 1) + (y � 3)

2

loga(x+ 1)

�1 � y loga(x+ 1)

�1, a > 0.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) e2x = 2

b) log

2

2x = 4

c) 2

x+2

+ 2

x+3 · 13

= 5

x · 83

d) ln 4 + ln(4x)� 1 = ln

1

x+ 6

e) x+ log(1 + 2

x) = x log 5 + log 6.


DEFINICION 2.5.3 Sea a 2 R+ \ {1}. Llamamos funcion logaritmo en base a a la funcion

f : R+ ! R

x ! f(x) = loga x.

OBSERVACION 2.5.3 Sea a 2 R+ \ {1}. Si f(x) = loga x, entonces:

Dom(f) = R+ y Rec(f) = R.

Ademas, Graf�

loga(·)�

resulta ser una reflexion del Graf�

a(·)�

con respecto al eje y = x.


Se verifica que

i) Si f(x) = loga x, con 0 < a < 1, entonces f es una funcion estrictamente decreciente.

Figura 2.38. Grafica de la funcion logaritmo de base a, 0 < a < 1, y = loga x, x 2 R+, vista como reflexionde la funcion y = ax.

ii) Si f(x) = loga x, con a > 1, entonces f es una funcion estrictamente creciente.

Figura 2.39. Grafica de la funcion logaritmo de base a, a > 1, f(x) = loga x, x 2 R+, vista como reflexion dela funcion y = ax.

EJEMPLO 2.5.1 Sea f(x) = lnx, x > 0. Determina el conjunto reflexion del grafico de f .

Solucion. Notemos quey = lnx , ey = x.

Ahora cambiamos x por y, y ponemosg(x) = ex.

Luego el conjunto reflexion del grafico de f es:

{(x, ex) : x 2 Rec(f) = R}. ⇤Esta version puede contener errores 99

Figura 2.40. Trazado de la reflexion del grafico de y = lnx, x > 0, en el plano cartesiano.

EJEMPLO 2.5.2 Prueba que la funcion f(x) = � log

10

x, x > 0, es estrictamente decreciente.

Solucion. Sean x1

, x2

2 R. Como

0 < x1

< x2

) log

10

x1

< log

10

x2

) f(x1

) = � log

10

x1

> � log

10

x2

= f(x2

),


Figura 2.41. La funcion f(x) = � log

10

x, x 2 R+, es una funcion estrictamente decreciente en R+.

EJERCICIOS 2.5.2 Encuentra el dominio y recorrido de las funciones:

a) f(x) = ln(x+ 3) b) f(x) = ex�2

c) f(x) = (lnx)2 d) f(x) = ln

✓

r

x+ 1

x� 1

� 1

◆

.

Ademas, indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada funcion. Bosqueja la graficade estas funciones.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

2.6. Funciones trigonometricas

Partimos recordando en esta seccion la siguiente tabla para las relaciones trigonometricas seno,coseno y tangente.

0

⇡

6

⇡

4

⇡

3

⇡

2

2⇡

3

3⇡

4

5⇡

6

⇡

7⇡

6

5⇡

4

4⇡

3

3⇡

2

5⇡

6

7⇡

4

11⇡

6

2⇡

senx

||||

0

1

2

1p2

p3

2

1

p3

2

1p2

1

2

0 � 1

2

� 1p2

�p3

2

�1 �p3

2

� 1p2

� 1

2

0

cosx

||||

1

p3

2

1p2

1

2

0 � 1

2

� 1p2

�p3

2

�1 �p3

2

� 1p2

� 1

2

0

1

2

1p2

p3

2

1

tanx

||||

0

1p3

1

p3 @ �

p3 �1 � 1p

3

0

1p3

1

p3 @ �

p3 �1 � 1p

3

0

2.6.1. Funcion seno

DEFINICION 2.6.1 Llamamos funcion seno a la funcion

sen : R ! [�1, 1]

x ! senx.

Ahora mostramos un grafico para la funcion seno.

Figura 2.42. Grafico de la funcion y = senx.

OBSERVACION 2.6.1 Es importante destacar las siguientes propiedades de la funcion seno:

i) Es periodica de perıodo 2⇡. Esto significa que su grafica se comienza a repetir en intervalos adyacentesde longitud 2⇡.

ii) Dom(sen) = R y Rec(sen) = [�1, 1].

iii) Es una funcion impar; esto es: sen(�x) = � sen(x), x 2 R. Esto significa que su grafica es simetricarespecto del origen.

2.6.2. Funcion coseno

DEFINICION 2.6.2 Llamamos funcion coseno a la funcion

cos : R ! [�1, 1]

x ! cosx.



A continuacion mostramos un grafico para la funcion coseno:

Figura 2.43. Grafico de la funcion y = cosx.

OBSERVACION 2.6.2 Es importante destacar las siguientes propiedades de la funcion coseno:

i) Es periodica de perıodo 2⇡. Esto significa que su grafica se comienza a repetir en intervalosadyacentes de longitud 2⇡.

ii) Dom(cos) = R y Rec(cos) = [�1, 1].

iii) Es una funcion par; esto es: cos(�x) = cos(x), x 2 R. Esto significa que su grafica es simetricarespecto del eje y.

2.6.3. Funciones sinusoidales (o senoidales) y cosenoidales

Funciones de la formaf(x) = A sen(B x+ C) +D

son conocidas como funciones sinusoidales (o senoidales). Estas funciones incluyen a la funcion seno.De forma analoga, funciones de la forma

f(x) = A0cos(B0 x+ C 0

) +D0

son conocidas como funciones cosenoidales. Estas funciones incluyen a la funcion coseno.

Comocosx = sen

⇣

x+

⇡

2

⌘

8x 2 R,

sera suficiente profundizar solo sobre las funciones sinusoidales.

Caracterısticas de las funciones sinusoidales

La grafica de una funcion sinusoidal se puede obtener a partir de la grafica de la funciony = senx, cuyas caracterısticas se senalan a continuacion:

Amplitud. Es el promedio de la diferencia entre los valores maximo y mınimo, en nuestrocaso corresponde al valor |A|.

Perıodo. 2⇡|B| .


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.6. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Desfase. Es el desplazamiento horizontal en�

�

CB

�

� unidades a la derecha o a la izquierda,respectivamente segun si C

B es negativo o positivo, de la grafica de y = A sen(B x).

Desplazamiento vertical. Es la traslacion vertical enD unidades de la grafica de y=sen(B x+ C).

Frecuencia angular. 2⇡P , donde P es el perıodo.

EJEMPLO 2.6.1 Para la funcion f(x) = �2 sen

�

3x� ⇡4

�

determina su amplitud, desfase, perıodoy desplazamiento vertical. Traza su grafica.

Solucion. Tenemos que su desfase es ⇡12

, su amplitud es | � 2| = 2, su perıodo es 2⇡3

, y sudesplazamiento vertical es 0. Para trazar su grafica, es conveniente observar los cambios que vansurgiendo entre las siguientes graficas:

(1�) y = senx

(2�) y = sen(3x)

(3�) y = sen

�

3x� ⇡4

�

(4�) y = 2 sen

�

3x� ⇡4

�

(5�) y = �2 sen

�

3x� ⇡4

�

para obtener finalmente,

Figura 2.44. Grafico de la funcion f(x) = �2 sen

�

3x� ⇡4

�

. ⇤

Uso de identidades trigonometricas para reescribir algunas funciones en forma sinusoidal

Partimos recordando quesen

2 � + cos

2 � = 1



ysen(↵+ �) = sen↵ cos� + sen� cos↵.

Por otro lado, dados a, b 2 R, con al menos uno de estos valores no nulo, es claro que

apa2 + b2

,bp

a2 + b22 [�1, 1]

y✓

apa2 + b2

◆

2

+

✓

bpa2 + b2

◆

2

= 1.

Luego, si ademas consideramos c 6= 0, se tiene que

f(x) = a sen(c x) + b cos(c x)

=

p

a2 + b2✓

apa2 + b2

sen(c x) +bp

a2 + b2cos(c x)

◆

=

pa2 + b2 (cosC sen(c x) + senC cos(c x))

= A sen(Bx+ C),

dondeA =

p

a2 + b2, B = c, y cosC =

apa2 + b2

,

con senC =

bpa2+b2

; es decir, si a 6= 0, entonces

tanC =

b

a.

EJERCICIOS 2.6.1

1. Calcula la amplitud, el perıodo, el desfase y el desplazamiento vertical de las siguientesfunciones:

a) f(x) = 5 cos(2x� ⇡)

b) f(x) = 3 sen

�

⇡3

x+

⇡4

�

+ 5

2. Escribe las siguientes funciones en la forma y = A (senB x+ C):

a) f(x) =p3 senx� cosx

b) f(x) = sen(3x) + cos(3x)

c) f(x) = cos(2x)� 2 cosx cos

�

x� ⇡2

�

.



Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.7. ALGEBRA DE FUNCIONES

2.6.4. Funcion tangente

DEFINICION 2.6.3 Se define la funcion tangente como:

tan : R \�

(2n�1)

2

⇡ : n 2 Z

! R

x ! tanx.

A continuacion mostramos un grafico para la funcion tangente.

Figura 2.45. Grafico de la funcion y = tanx.

OBSERVACION 2.6.3 Es importante destacar las siguientes propiedades de la funcion tan:

i) Es periodica de perıodo ⇡. Esto significa que su grafica se comienza a repetir en intervalosadyacentes de longitud ⇡.

ii) Dom(tan) = R \�

(2n�1)

2

⇡ : n 2 Z

y Rec(tan) = R.

iii) Es una funcion impar; esto es: tan(�x) = � tan(x), x 2 R. Esto significa que su grafica essimetrica respecto del origen.

iv) Las rectas de la forma x =

(2n�1)⇡2

son asıntotas verticales en el grafico y no forman parte de el.Sin embargo, observamos que la grafica de la funcion se esta acercando a estas rectas, sin llegar aintersectarse con ellas.

2.7. Algebra de funciones

Sea F = {f : D ! R : f es una funcion para algun D ✓ R}. Nos interesa realizar operacionesentre funciones. Como la expresion f(x) representa un numero real, parece facil definir la adicion,sustraccion, multiplicacion y division de funciones. Veamos bajo que condiciones esto es posible.



DEFINICION 2.7.1 Sean f, g 2 F y sea D = Dom(f) \ Dom(g) 6= ?. Se define:

i) La funcion suma entre f y g, denotada por f + g, como:

f + g : D ! R

x ! (f + g)(x) = f(x) + g(x).

ii) La funcion resta entre f y g, denotada por f � g, como:

f � g : D ! R

x ! (f � g)(x) = f(x)� g(x).

iii) La funcion producto entre f y g, denotada por f · g, como:

f · g : D ! R

x ! (f · g)(x) = f(x) · g(x).

iv) La funcion cuociente entre f y g, denotada porf

g, como:

f

g: D⇤ ! R

x !✓

f

g

◆

(x) =f(x)

g(x),

donde D⇤= D \ {x 2 D : g(x) = 0}.

OBSERVACION 2.7.1 En la definicion anterior, si g(x) = k para todo x 2 R, donde k 2 R es unaconstante, entonces la funcion k · f , se define como:

k · f : Dom(f) ! R

x ! (k · f)(x) = k · f(x).

OBSERVACION 2.7.2 Sea n 2 N tal que

f · f · f . . . f = fn: Dom(f) ! R

x ! fn(x) = (f(x))n = f(x) · f(x) · . . . · f(x)

| {z }

.

n veces

EJEMPLO 2.7.1 Sean f(x) = x+ 2, x 2 R, y g(x) = x2 + 3, x 2 R. Determina una expresion parala funcion f + g.

Solucion. f + g : R ! R

x ! (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x+ 2) + (x2 + 3) = x2 + x+ 5. ⇤



EJEMPLO 2.7.2 Sean f(x) = x+ 1, x 2 R, y g(x) = x2 + 3, x 2 R. Determina una expresion parala funcion 2f � g.

Solucion. 2f � g : R ! R

x ! (2f � g)(x) = 2 · f(x)� g(x) = 2(x+ 1)� (x2 + 3) = �(x� 1)

2. ⇤

EJEMPLO 2.7.3 Sea h(x) =xpx+ 1

, x > �1. Determina una expresion para la funcion h2 = h · h.

Solucion. h2 : ]� 1,+1[ ! R

x ! h2(x) = h(x) · h(x) =✓

xpx+ 1

◆

2

=

x2

x+ 1

. ⇤

EJEMPLO 2.7.4 Sean f(x) = x + 1, x 2 R, g(x) = x2 + 3, x 2 R, y h(x) =

px+ 1, x � �1.

Determina una expresion para la funcion2f � g

h2.

Solucion.2f � g

h2: ]� 1,+1[ ! R

x !✓

2f � g

h2

◆

(x) =2f(x)� g(x)

(h(x))2=

�x2 + 2x� 1

(x+ 1)

= �(x� 1)

2

x+ 1

. ⇤

2.7.1. Funcion compuesta

Ahora surge la pregunta natural

¿Existen otras operaciones entre funciones?

La respuesta es sı.

DEFINICION 2.7.2 Sean g : A ! B y f : B ! C dos funciones. La funcion

f � g : A ! C

x ! (f � g)(x) = f�

g(x)�

se denomina funcion compuesta de g y f o bien funcion composicion de g y f .

OBSERVACION 2.7.3

Dom(g) ✓ Rg�! Rec(g) ✓ Dom(f)

f�! Rec(f) ✓ R

x �! g(x) �! f�

g(x)�

.

En ciertas ocasiones se debe restringir el dominio de g para que el nuevo recorrido de g este contenidoen el dominio de f , y ası la funcion compuesta este bien definida.



EJEMPLO 2.7.5 Considera las funciones:

f(x) = x2, g(x) = x+ 3, h(x) =px� 1, x � 1, k(x) = 3.

Determina las siguientes funciones compuestas:

a) f � g b) f � h c) f � k d) g � f e) h � f

f) k � f g) h � g h) g � h i) k � h.

Solucion.

a) Notemos que

Rec(g) = R ✓ R = Dom(f).

Luego, podemos definir

f � g : R = Dom(g) ! R

x ! (f � g)(x) = f�

g(x)�

=

�

g(x)�

2

= (x+ 3)

2.

b) Notemos que

Rec(h) = R+

0

✓ R = Dom(f).


f � h : [1,+1[ = Dom(h) ! R

x ! (f � h)(x) = f�

h(x)�

=

�

h(x)�

2

=

px� 1

2

= x� 1.

c) Notemos que

Rec(k) = {3} ✓ R = Dom(f).


f � k : R = Dom(k) ! R

x ! (f � k)(x) = f�

k(x)�

=

�

k(x)�

2

= 3

2

= 9.

d) Notemos que

Rec(f) = R+

0

✓ R = Dom(g).


g � f : R = Dom(f) ! R

x ! (g � f)(x) = g�

f(x)�

= f(x) + 3 = x2 + 3.



e) Notemos queRec(f) = R+

0

* [1,+1[ = Dom(h).

Ası que h � f no se puede definir, salvo que hagamos restricciones en el dominio de f . Lamejor restriccion para el dominio sera el conjunto de valores de x para los cuales f(x) � 1.Notemos que

f(x) = x2 � 1 , x 2 R\ ]� 1, 1[.

Luego, si consideramos la restriccion de f dada por ˜f : R\]� 1, 1[! R, es facil ver queRec( ˜f) = [1,+1[✓ Dom(h). Entonces sobre esta restriccion de f definimos la compuesta

h � ˜f : R\ ]� 1, 1[ ! R

x ! (h � ˜f)(x) = h�

˜f(x)�

=

q

˜f(x)� 1 =

px2 � 1.

f) Notemos queRec(f) = R+

0

✓ R = Dom(k).


k � f : R = Dom(f) ! R

x ! (k � f)(x) = k�

f(x)�

= k(x2) = 3.

g) Notemos queRec(g) = R * [1,+1[ = Dom(h).

Ası que h � g no se puede definir, salvo que hagamos restricciones en el dominio de g. Lamejor restriccion para el dominio sera el conjunto de valores de x para los cuales g(x) � 1.Tenemos que

g(x) = x+ 3 � 1 , x 2 [�2,+1[ .

Luego, si consideramos la restriccion de g dada por g : [�2,+1[! R, es facil ver queRec(g) = [1,+1[✓ Dom(h). Entonces sobre esta restriccion de g definimos la compuesta

h � g : [�2,+1[ ! R

x ! (h � g)(x) = h�

g(x)�

=

p

g(x)� 1 =

px+ 3� 1 =

px+ 2.

h) Notemos queRec(h) = R+

0

✓ R = Dom(g).


g � h : [1,+1[ = Dom(h) ! R

x ! (g � h)(x) = g�

h(x)�

= h(x) + 3 =

px� 1 + 3.



i) Notemos que

Rec(h) = R+

0

✓ R = Dom(k).


k � h : [1,+1[ = Dom(h) ! R

x ! (k � h)(x) = k�

h(x)�

= 3. ⇤

OBSERVACION 2.7.4 Notemos que en general

�

f � g�

(x) 6=�

g � f�

(x).

2.8. Clasificacion de las funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

DEFINICION 2.8.1 El codominio de una funcion corresponde a un conjunto que contiene al recorridode la funcion, y que esta dado en la definicion de la funcion. Si f es la funcion, el codominio def se denota por Cod(f). Tratandose de una funcion real, y a menos que se senale otra cosa, elcodominio es R.

EJEMPLO 2.8.1 Considera la funcion

f : R ! R

x ! f(x) = x2.

Determina su dominio, codominio y recorrido.

Solucion. Es claro que, de acuerdo a la definicion de f , tenemos que

Dom(f) = R ^ Cod(f) = R ^ Rec(f) = R+

0

⇢ R = Cod(f). ⇤


g : R+

0

! R+

0

x ! g(x) =px.

Determina su dominio, codominio y recorrido.

Solucion. Es claro que, de acuerdo a la definicion de f , tenemos que

Dom(g) = R+

0

^ Cod(g) = R+

0

^ Rec(g) = R+

0

= Cod(g). ⇤


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.8. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

2.8.1. Funciones inyectivas

Observa las siguientes funciones representadas en diagramas sagitales:

¿Que diferencia existe entre las funciones representadas en a) y b) con aquellasrepresentadas en c) y d)?

Notemos que

a) f : A ! B, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = d

b) f : N! N, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, f(4) = 8, . . . , f(n) = 2n

c) f : N! N, f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 3, f(4) = 3

d) f : A ! B, f(1) = a, f(2) = a, f(3) = a, f(4) = a, f(5) = u.

Luego, las funciones representadas en a) y b) asocian a cada elemento del recorrido una unicapreimagen. Esto es, se produce una relacion uno a uno: a cada elemento del dominio le correspondeun unico elemento del codominio que no es imagen de ningun otro elemento del dominio.Mientras que en c) y d) existen elementos del recorrido que tienen mas de una preimagen. Estoes, hay elementos distintos del dominio que tienen una misma imagen.

La situacion anterior se describe en la siguiente definicion.

DEFINICION 2.8.2 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Decimos que f es inyectiva (o uno a uno) si

(8x1

, x2

2 D) (x1

6= x2

) f(x1

) 6= f(x2

)) . (2.3)



OBSERVACION 2.8.1 Una formulacion equivalente a la propiedad (2.3) es la siguiente:

(8x1

, x2

2 D) (f(x1

) = f(x2

) ) x1

= x2

) .

OBSERVACION 2.8.2 En diagramas sagitales, las funciones inyectivas se representan de la siguienteforma: desde cada elemento del dominio “sale” una unica flecha que se dirige a un unico elemento delcodominio, el cual no es imagen de ningun otro elemento del dominio.

Figura 2.46. Diagrama sagital que se asocia a una funcion inyectiva

OBSERVACION 2.8.3 Notemos que, de acuerdo a la definicion de una funcion inyectiva, la grafica de unafuncion inyectiva debe intersectar a lo mas en un punto a una recta paralela al eje x.

Figura 2.47. La grafica de la izquierda representa a una funcion inyectiva, mientras que la de la derecha no.

EJEMPLO 2.8.3 Prueba que la funcion

f : R ! R

x ! f(x) = ax+ b, a 6= 0,

es inyectiva.



Solucion. Sean x1

, x2

2 R. Tenemos

f(x1

) = f(x2

) ) ax1

+ b = ax2

+ b

) ax1

= ax2

/ : a pues a 6= 0

) x1

= x2

.

) f es inyectiva. ⇤


f : R ! R

x ! f(x) = x3 + 2x+ 1

es inyectiva.

Solucion. Sean x1

, x2

2 R. Tenemos

f(x1

) = f(x2

) ) x31

+ 2x1

+ 1 = x32

+ 2x2

+ 1

) (x31

� x32

) + 2(x1

� x2

) = 0

) (x1

� x2

)(x21

+ x1

x2

+ x22

+ 2) = 0

) x1

= x2

_ x21

+ x2

x1

+ (x22

+ 2) = 0

) x1

= x2

_ x1

=

�x2

±p

x22

� 4(x22

+ 2)

2

62 R

) x1

= x2

.



f : R+ ! R

x ! f(x) =1

x

es inyectiva.

Solucion. Sean x1

, x2

2 R+. Tenemos

f(x1

) = f(x2

) ) 1

x1

=

1

x2

/ · x1

x2

(x1

> 0, x2

> 0 ) x1

x2

> 0)

) x1

= x2

.





f : R ! R

x ! f(x) = x2 � 4

no es inyectiva.

Solucion. 9 2,�2 2 R tales que

2 6= �2 ^ f(2) = 2

2 � 4 = 0 = (�2)

2 � 4 = f(�2).

) f no es inyectiva. ⇤


f : R ! R

x ! f(x) = |x� 2|

no es inyectiva.

Solucion. 9 3, 1 2 R tales que

3 6= 1 ^ f(3) = |3� 2| = 1 = |1� 2| = f(1).



f : R ! R

x ! f(x) =

(

x si x > 0

x2 si x 0

no es inyectiva.

Solucion. 9 1,�1 2 R tales que

1 6= �1 ^ f(2) = 1 = 1 = (�1)

2

= f(�1).


TEOREMA 2.8.1 (Propiedades de las funciones inyectivas) Sean f y g dos funciones tales que sepuede definir la compuesta f � g.

i) Si f y g son inyectivas, entonces f � g es inyectiva.

ii) Si f � g es inyectiva, entonces g es inyectiva.



Demostracion.

i) Asumamos que f y g son funciones inyectivas. Queremos demostrar que f � g es inyectiva,que equivale a probar que

(8x1

, x2

2 Dom(f � g))(x1

6= x2

) (f � g)(x1

) 6= (f � g)(x2

)).

Sean x1

, x2

2 Dom(f � g).

Por definicion de la compuesta f � g se tiene que

Dom(g) = Dom(f � g) y Rec(g) ⇢ Dom(f).

Luego, x1

, x2

2 Dom(g), y se sigue que

x1

6= x2

) g(x1

) 6= g(x2

) pues g es inyectiva

) f(g(x1

)) 6= f(g(x2

)) pues g(x1

), g(x2

) 2 Dom (f), y f es inyectiva

) (f � g)(x1

) 6= (f � g)(x2

) por definicion de f � g.

ii) Asumamos que f � g es inyectiva. Queremos demostrar que g es inyectiva, que equivale aprobar que

(8x1

, x2

2 Dom(g))(x1

6= x2

) g(x1

) 6= g(x2

)).

Sean x1

, x2

2 Dom(g).

Por definicion de la compuesta f � g se tiene que

Dom(g) = Dom(f � g) y Rec(g) ⇢ Dom(f).

Luego, x1

, x2

2 Dom(f � g), y se sigue que

x1

6= x2

) (f � g)(x1

) 6= (f � g)(x2

) pues f � g es inyectiva

) f(g(x1

)) 6= f(g(x2

)) por definicion de f � g

) g(x1

) 6= g(x2

) pues g(x1

), g(x2

) 2 Dom (f), y f es una funcion. ⌅

2.8.2. Funciones sobreyectivas

Observa cuidadosamente las siguientes funciones representadas en diagramas sagitales:



¿Que podemos afirmar sobre los recorridos de las funciones representadas en a), b), c) y d)?

En este sentido,

¿Que diferencia a las funciones representadas en a) y b), de aquellas representadas en c) y d)?

Notemos que

a) Rec(f) = Cod(f)

b) Rec(f) = Cod(f)

c) Rec(f) ⇢ Cod(f) con Rec(f) 6= Cod(f)

d) Rec(f) ⇢ Cod(f) con Rec(f) 6= Cod(f).

Luego, las funciones representadas en a) y en b) tienen recorrido igual a su codominio, mientrasque las funciones representadas en c) y d) no verifican este hecho.La situacion anterior se describe en la siguiente definicion.

DEFINICION 2.8.3 Sea f : D ✓ R ! B ✓ R una funcion. Decimos que f es sobreyectiva (oepiyectiva) si

Cod(f) = Rec(f). (2.4)

OBSERVACION 2.8.4 Una formulacion equivalente a la propiedad (2.4) es la siguiente:

(8y 2 Cod(f))(9x 2 Dom(f) = D tal que f(x) = y).

OBSERVACION 2.8.5 En diagramas sagitales, las funciones sobreyectivas se identifican de la siguienteforma: a cada elemento del codominio “llega” al menos una flecha proveniente desde algun elemento en eldominio.



Figura 2.48. Un diagrama sagital que representa una funcion sobreyectiva: Cod(f) = Rec(f).


f : R ! R+

0

x ! f(x) = x2

es sobreyectiva.

Solucion. y 2 R+

0

= Cod(f) ) x = ±py 2 R

) 9x 2 R tal que x2 = y 2 R+

0

) 9x 2 R = Dom(f) tal que f(x) = y.

Por lo tanto f es sobreyectiva. ⇤


f : R ! R

x ! f(x) = ax+ b, a 6= 0

es sobreyectiva.

Solucion. y 2 R = Cod(f) ) x =

y � b

a2 R (a 6= 0)

) ax+ b = y 2 R

) 9x 2 R = Dom(f) tal que f(x) = y.



f : R+ ! R

x ! f(x) = lnx

es sobreyectiva.



Solucion. y 2 R = Cod(f) ) x = ey 2 R+

) lnx = y 2 R

) 9x 2 R+

= Dom(f) tal que f(x) = y.



f : R ! R

x ! f(x) = |x|

no es sobreyectiva.

Solucion. 9 � 1 2 R = Cod(f) tal que � 1 62 Rec(f). En efecto,

(8x 2 Dom(f) = R)(|x| 6= �1), pues |x| � 0, para cada x 2 R.

Por lo tanto f no es sobreyectiva. ⇤


f : R ! R

x ! f(x) = x2 + 1

no es sobreyectiva.

Solucion. 90 2 R = Cod(f) tal que 0 62 Rec(f). En efecto,

(8x 2 Dom(f) = R)�

x2 + 1 6= 0

�

, pues x2 + 1 � 1, para cada x 2 R.



f : R ! R+

x ! f(x) = ex + 1

no es sobreyectiva.

Solucion. 91 2 R+

= Cod(f) tal que 0 62 Rec(f). En efecto,

(8x 2 Dom(f) = R) (ex + 1 6= 1) , pues ex + 1 > 1, para cada x 2 R.




TEOREMA 2.8.2 (Propiedades de las funciones sobreyectivas) Sean f y g dos funciones talesque se puede definir la compuesta f � g.

i) Si f y g son sobreyectivas, entonces f � g es sobreyectiva.

ii) Si f � g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva.

Demostracion.

i) Asumamos que f y g son funciones sobreyectivas. Queremos demostrar que f � g essobreyectiva, lo que equivale a probar que

(8y 2 Cod(f � g))(9x 2 Dom(f � g)) tal que ((f � g)(x) = y).

Sea y 2 Cod(f � g).

Por definicion de la compuesta f � g, y el hecho que se tiene que f y g son funcionessobreyectivas, tenemos que

Dom(g) = Dom(f � g), Rec(g) = Cod(g) = Dom(f) y Rec(f) = Cod(f) = Cod(f � g).

Luego, Cod(f � g) = Rec(f), y se sigue que

y 2 Rec(f) ) (9 z 2 Dom (f)) tal que (f(z) = y)

) (9 z 2 Rec (g)) tal que (f(z) = y) pues Dom(f) = Rec(g)

) (9x 2 Dom (g)) tal que (g(x) = z)

) (9x 2 Dom (g)) tal que (f(g(x)) = f(z) = y) pues g(x) = z y f(z) = y

) (9x 2 Dom (g)) tal que ((f � g)(x) = y) por definicion de f � g.

ii) Asumamos que f�g es una funcion sobreyectiva. Queremos demostrar que f es sobreyectiva,es sobreyectiva, lo que equivale a probar que

Rec(f) = Cod(f).

Por definicion de la compuesta f � g, y el hecho que se tiene que f � g es una funcionsobreyectiva, tenemos que

Dom(g) = Dom(f � g), Rec(g) ⇢ Cod(g) = Dom(f) y Rec(f � g) = Cod(f � g) = Cod(f).

Ademas, Rec(f) ⇢ Cod(f) y Rec(f � g) ⇢ Rec(f). Luego,

Rec(f) ⇢ Cod(f) = Cod(f � g) = Rec(f � g) ⇢ Rec(f),

y se sigue que Rec(f) ⇢ Cod(f) ⇢ Rec(f), que equivale a

Rec(f) = Cod(f). ⌅



2.8.3. Funciones biyectivas

DEFINICION 2.8.4 Sea f : D ✓ R! B ✓ R una funcion. Decimos que f es biyectiva (o biunıvoca)si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.


f : R ! R

x ! f(x) = ax+ b, a 6= 0,

es biyectiva.

Solucion. En el Ejemplo 2.8.3 se probo que inyectiva, mientras que en Ejemplo 2.8.10 se probo quees sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. ⇤


f : R ! R+

0

x ! f(x) = x2

no es biyectiva.

Solucion. 91,�1 2 R tales que

f(1) = 1

2

= (�1)

2

= f(�1) y 1 6= �1.

Por lo tanto, f no es biyectiva. ⇤

EJEMPLO 2.8.17 ¿Es la funcion

f : R+ ! R

x ! f(x) = ex

biyectiva?

Solucion. No, no es biyectiva pues no es sobreyectiva. En efecto,

Cod(f) = R 6= R+

= Rec(f). ⇤


f : R ! R

x ! f(x) = x2.

Restringe el dominio y/o el codominio para que la funcion restringida sea biyectiva.



Solucion.

Notemos que Rec(f) = R+

0

. Luego, debemos restringir el codominio para que la funcionrestringida sea sobreyectiva.

Notemos que la grafica de la funcion no representa a una funcion inyectiva, pues existe almenos una recta paralela al eje x que intersecta a la grafica de la funcion en mas de un punto.

Figura 2.49. La funcion cuadratica f(x) = x2, x 2 R no es inyectiva.

Entonces, debemos restringir dominio de f , y ponemos

Dom(f) = [0,+1[= R+

0

o bien Dom(f) = ]�1, 0] = R�0

.

Figura 2.50. La funcion cuadratica f(x) = x2, es inyectiva para x 2 [0,+1[ o bien para x 2 ]�1, 0].

Por lo tanto, dos restricciones adecuadas de f son

f1

:]�1, 0] ! R+

0

x ! f1

(x) = x2

_ f2

: [0,+1[ ! R+

0

x ! f2

(x) = x2. ⇤

TEOREMA 2.8.3 (Una propiedad de las funciones biyectivas) Sean f y g dos funciones tales quese puede definir la compuesta f � g. Si f y g son biyectivas, entonces f � g es biyectiva.

Demostracion. Como f y g son biyectivas, tenemos que f y g son inyectivas y sobreyectivas a lavez. Luego, desde el Teorema 2.8.1 parte i) obtenemos que f � g es inyectiva, y desde el Teorema2.8.2 parte i) obtenemos que f � g es sobreyectiva. En consecuencia, f � g es biyectiva. ⌅



2.9. Imagen inversa y funcion inversa

DEFINICION 2.9.1 Sea f : D ✓ R ! B ✓ R una funcion y sea b 2 Rec(f). Llamamos imageninversa de b al conjunto de valores

f�1

�

{b}�

= {a 2 Dom(f) = D : f(a) = b}.

Si A ✓ B, llamamos imagen inversa de A al conjunto

f�1

(A) = {a 2 Dom(f) = D : f(a) 2 A}.

EJEMPLO 2.9.1 Sea f(x) = x2. Encuentra el conjunto de las imagenes inversas de 2, 0,�5, 4, 1.

Solucion. f�1

�

{2}�

= {p2,�

p2} pues x2 = 2 ) |x| =

p2 ) x = ±

p2

f�1

�

{0}�

= {0} pues x2 = 0 ) x = 0

f�1

�

{�5}�

= ? pues x2 = �5 no posee solucion real

f�1

�

{4}�

= {2,�2} pues x2 = 4 ) |x| = 2 ) x = ±2

f�1

�

{1}�

= {1,�1} pues x2 = 1 ) |x| = 1 ) x = ±1. ⇤

EJEMPLO 2.9.2 Sea f(x) =

px� 1. Define el conjunto de todas las imagenes inversas de f

mediante una formula para una imagen arbitraria.

Solucion. f�1

�

Rec(f)�

= Dom(f) = {x 2 R : 9!y 2 R : y =

px� 1}

f�1

�

{y}�

= {x 2 R : y =

px� 1 2 R+

0

}

= {x 2 R : x = y2 + 1 ^ y � 0}. ⇤

EJEMPLO 2.9.3 Encuentra f�1

�

{0}�

, f�1

�

{�1}�

, f�1

�

{5}�

y f�1

�

{2}�

para f(x) =px� 1.

Solucion. f�1

�

{0}�

= {1} pues 0

2

+ 1 = 1

f�1

�

{�1}�

= ? pues y =

px� 1 ) �1 =

px� 1 pero 8x � 1,

px� 1 � 0

f�1

�

{5}�

= {26} pues 5

2

+ 1 = 26

f�1

�

{2}�

= {5} pues 2

2

+ 1 = 5. ⇤

DEFINICION 2.9.2 Sea f : D ✓ R! R una funcion inyectiva. Llamamos funcion inversa de f a lafuncion

f�1

: Rec(f) ✓ R ! R

x ! f�1

(x) = y

dondef�1

(x) = y , f(y) = x.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.9. IMAGEN INVERSA Y FUNCION INVERSA

OBSERVACION 2.9.1

No se debe confundir f�1, la funcion inversa, con1

f.

Notemos que si f es biyectiva, entonces la funcion inversa f�1 tambien es biyectiva.


f : R ! R

x ! f(x) = 3

px.

Determina, si es posible, la funcion inversa de f .

Solucion. Se puede chequear directamente que f es una funcion biyectiva. Luego, 9 f�1 ycalculamos f�1 de la siguiente forma:

y = f(x) , y =

3

px

, y3 = x

, f�1

(y) = x =

3

py.

Entonces:f�1

: R ! R

y ! f�1

(y) = 3

py. ⇤


f : R ! R+

x ! f(x) = ex.

Determina, si es posible, la funcion inversa de f .

Solucion. Se puede chequear directamente que f es una funcion biyectiva. Luego, 9 f�1 ycalculamos f�1 de la siguiente forma:

y = f(x) , y = ex

, ln y = x

, f�1

(y) = x = ln y.

Entoncesf�1

: R+ ! R

y ! f�1

(y) = ln y. ⇤



EJEMPLO 2.9.6 Seaf : R ! R

x ! f(x) = x2.

Realiza algunas restricciones sobre Dom(f) y Cod(f) de manera que se pueda definir f�1.

Solucion.

Restringimos el dominio de f a ]�1, 0], o bien a [0,+1[, para tener inyectividad. En verdadexisten muchas otras posibles restricciones sobre Dom(f) que permiten inyectividad, perocualquiera de estas restricciones sera un subconjunto de alguna de las ya mencionadas.

Figura 2.51. Se debe restringir el dominio de la funcion f(x) = x2, x 2 R, para definir una funcion inversa.

Como Rec(f) = [0,+1[, restringimos Cod(f) a [0,+1[ = R+

0

.

Comoy = f(x) ) y = x2 ) x = ±p

y = f�1

(y),

podemos considerar las siguientes restricciones

f1

: ]�1, 0] ! R+

0

x ! f1

(x) = x2

que es biyectiva, y entonces

f�1

1

: R+

0

! ]�1, 0]

y ! f�1

1

(y) = �py

o bienf2

: [0,+1[ ! R+

0

x ! f2

(x) = x2

que es biyectiva, y entonces

f�1

2

: R+

0

! [0,+1[

y ! f�1

2

(y) =py. ⇤


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 2.10. RELACIONES Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

EJERCICIOS 2.9.1 Para cada una de las siguientes funciones, realiza las restricciones necesariassobre Dom(f) y Cod(f) de manera que se pueda definir f�1:

a) f : [1,+1[ ! R

x ! f(x) =px� 1

b) f : R ! R

x ! f(x) = senx

c) f : R ! R

x ! f(x) = cosx

d) f : R \n

(2n+1)

2

⇡ : n 2 Zo

! R

x ! f(x) = tanx.


TEOREMA 2.9.1 (Propiedades de la funcion inversa) Sea f una funcion biyectiva. Se cumpleque:

i) f�1 es una funcion biyectiva.

ii) (f�1

)

�1

= f .

iii) Para cada x 2 Dom(f), f�1

(f(x)) = x (o equivalentemente, f�1 � f = IdDom(f)).

iv) Para cada y 2 Cod(f) = Rec(f), f(f�1

(y)) = y (o equivalentemente, f � f�1

= IdCod(f)).

v) Si adicionalmente g es una funcion biyectiva tal que Rec(g) = Dom(f), entonces f � g esbiyectiva y se verifica que

(f � g)�1

= g�1 � f�1.

2.10. Relaciones y funciones trigonometricas inversas

2.10.1. Arcoseno

DEFINICION 2.10.1 Llamamos arcoseno a la relacion inversa de la funcion seno, y la denotamospor arc sen. Es decir,

sen ✓ = x , arc senx = ✓.


Para la resolucion de algunos ejercicios es conveniente asociar el siguiente triangulo rectangulo aesta relacion, asumiendo que 0 < x < 1.

Figura 2.52. Triangulo rectangulo asociado al seno inverso (0 < x < 1)

EJEMPLO 2.10.1 Calcula los siguientes valores

a) arc sen 0 b) arc sen�

� 1

2

�

.

Solucion.

a) arc sen 0 = ✓ , sen ✓ = 0

, ✓ = 0 _ ✓ = ⇡

, ✓ = 0 + 2n⇡ = 2n⇡ _ ✓ = ⇡ + 2n⇡ = (2n+ 1)⇡, 8n 2 ZPor lo tanto,

arc sen 0 = {. . . ,�3⇡,�2⇡,�⇡, 0,⇡, 2⇡, 3⇡, . . .} = {✓ 2 R : ✓ = n⇡ : n 2 Z}.

b) arc sen

�

� 1

2

�

= ✓ , sen ✓ = �1

2

, ✓ = ⇡ +

⇡

6

=

7⇡

6

_ ✓ = 2⇡ � ⇡

6

=

11⇡

6

, ✓=7⇡

6

+ 2n⇡=(12n+ 7)⇡

6

_ ✓=11⇡

6

+ 2n⇡=(12n+ 11)⇡

6

, 8n 2 Z

Por lo tanto,

arc sen

�

�1

2

�

=

⇢

✓ 2 R : ✓ =

(12n+ 7)⇡

6

_ ✓ =

(12n+ 11)⇡

6

: n 2 Z�

. ⇤

EJEMPLO 2.10.2 Encuentra en terminos de x el valor de

a) csc(arc senx) b) sec(arc sen(x� 1)) c) tan(arc senpx).

Solucion.

a) arc senx = ✓ ) csc ✓ =

hipotenusacateto opuesto a \✓

ver 4 en Figura 2.52) csc ✓ =

1

x.


Por lo tanto,

csc(arc senx) =1

x.

b) arc sen(x� 1) = ✓ ) sec ✓ =

hipotenusacateto adyacente a \✓

en Fig. 2.52 cambiar xpor (x�1)

) sec ✓ =

1

p

1� (x� 1)

2

.

Por lo tanto,

sec(arc senx) =1

p

1� (x� 1)

2

.

c) arc sen

px = ✓ ) tan ✓ =

cateto opuesto a \✓cateto adyacente a \✓

en Fig. 2.52 cambiar xpor px

) tan ✓ =

pxp

1� x.

Por lo tanto,

tan(arc senx) =

pxp

1� x. ⇤

Notando que la funcion seno es biyectiva en [�⇡2

, ⇡2

] y que su recorrido es [�1, 1], podemos definiren este intervalo su funcion inversa arcoseno como sigue.

DEFINICION 2.10.2 Se define la funcion arcoseno, denotada por arc sen, como

arc sen : [�1, 1] ! [�⇡2

, ⇡2

]

x ! arc senx.

Figura 2.53. Grafico de la funcion y = arc senx


EJERCICIOS 2.10.1

1. Calcula los siguientes valores

a) arc sen 1p2

b) arc senp3

2

c) arc sen(�1).

2. Encuentra en terminos de x el valor de

a) cos(arc senx) b) sen�

arc sen

xx�1

�

c) cot�

arc sen

1

x

�

.


2.10.2. Arcocoseno

DEFINICION 2.10.3 Llamamos arcocoseno a la relacion inversa de la funcion coseno, y la denotamospor arc cos. Es decir,

cos ✓ = x , arc cosx = ✓.

Para la resolucion de algunos ejercicios es conveniente asociar el siguiente triangulo rectangulo aesta relacion, asumiendo que 0 < x < 1.

Figura 2.54. Triangulo rectangulo asociado al coseno inverso (0 < x < 1)

EJEMPLO 2.10.3 Calcula los siguientes valores

a) arc cos 0 b) arc cos�

� 1p2

�

.

Solucion.

a) arc cos 0 = ✓ , cos ✓ = 0

, ✓ =

⇡

2

_ ✓ =

3⇡

2

, ✓ =

⇡

2

+ 2n⇡ =

(4n+ 1)⇡

2

_ ✓ =

3⇡

2

+ 2n⇡ =

(4n+ 3)⇡

2

, 8n 2 Z.

Por lo tanto,

arc cos 0 =

⇢

✓ 2 R : ✓ =

(4n+ 1)⇡

2

_ ✓ =

(4n+ 3)⇡

2

: n 2 Z�

.


b) arc cos

�

� 1p2

�

= ✓ , cos ✓ = � 1p2

, ✓ = ⇡ � ⇡

4

=

3⇡

4

_ ✓ = ⇡ +

⇡

4

=

5⇡

4

, ✓=3⇡

4

+ 2n⇡=(8n+ 3)⇡

4

_ ✓=5⇡

4

+ 2n⇡=(8n+ 5)⇡

4

, 8n 2 Z.

Por lo tanto,

arc cos

�

� 1p2

�

=

⇢

✓ 2 R : ✓ =

(8n+ 3)⇡

4

_ ✓ =

(8n+ 5)⇡

4

: n 2 Z�

. ⇤

EJEMPLO 2.10.4 Encuentra en terminos de x el valor de

a) csc(arc cosx) b) sec�

arc cos

x�1

x

�

c) tan(arc cospx).

Solucion.

a) arc cosx = ✓ ) csc ✓ =



1p1� x2

.

Por lo tanto,

csc(arc cosx) =1p

1� x2.

b) arc cos

x� 1

x= ✓ ) sec ✓ =


en Fig. 2.54 cambiar xpor x�1

x) sec ✓ =

1

x�1

x

=

x

x� 1

.

Por lo tanto,

sec(arc cosx) =x

x� 1

.

c) arc cos

px = ✓ ) tan ✓ =

cateto opuesto a \✓cateto adyacente a \✓


) tan ✓ =

p1� xpx

.

Por lo tanto,

tan(arc cosx) =

p1� xpx

. ⇤

Notando que la funcion coseno es biyectiva en [0,⇡] y que su recorrido es [�1, 1], podemos definiren este intervalo su funcion inversa arcocoseno como sigue.



DEFINICION 2.10.4 Se define la funcion arcocoseno, denotada por arc cos, como

arc cos : [�1, 1] ! [0,⇡]

x ! arc cosx.

Figura 2.55. Grafico de la funcion y = arc cosx

EJERCICIOS 2.10.2

1. Calcula los siguientes valores

a) arc cos 1p2

b) arc cosp3

2

c) arc cos(�1).

2. Encuentra en terminos de x el valor de

a) cos(arc cosx) b) sen�

arc cos

xx�1

�

c) cot�

arc cos

1

x

�

.


2.10.3. Arcotangente

DEFINICION 2.10.5 Llamamos arcotangente a la relacion inversa de la funcion tangente, y la denotamospor arc tan. Es decir,

tan ✓ = x , arc tanx = ✓.

Para la resolucion de algunos ejercicios es conveniente asociar el siguiente triangulo rectangulo aesta relacion, asumiendo que x > 0.



Figura 2.56. Triangulo rectangulo asociado a la tangente inversa (x > 0)

EJEMPLO 2.10.5 Calcula los siguientes valores:

a) arc tan 0 b) arc tan(�1).

Solucion.

a) arc tan 0 = ✓ , tan ✓ = 0

, ✓ = 0 _ ✓ = ⇡

, ✓ = 0 + 2n⇡ = 2n⇡ _ ✓ = ⇡ + 2n⇡ = (2n+ 1)⇡, 8n 2 Z.Por lo tanto,

arc tan 0 = {✓ 2 R : ✓ = n⇡ : n 2 Z} .

b) arc tan(�1) = ✓ , tan ✓ = �1

, ✓ = ⇡ � ⇡

4

=

3⇡

4

_ ✓ = 2⇡ � ⇡

4

=

7⇡

4

, ✓ =

3⇡

4

+ 2n⇡ =

(8n+ 3)⇡

4

_ ✓ =

7⇡

4

+ 2n⇡ =

(8n+ 7)⇡

4

, 8n 2 Z.Por lo tanto,

arc tan(�1) =

⇢

✓ 2 R : ✓ =

(8n+ 3)⇡

4

_ ✓ =

(8n+ 7)⇡

4

: n 2 Z�

. ⇤

EJEMPLO 2.10.6 Encuentra en terminos de x el valor de:

a) csc(arc tanx) b) sec�

arc tan

x�1

x

�

c) cot(arc tanpx).

Solucion.

a) arc tanx = ✓ ) csc ✓ =



p1 + x2

x.

Por lo tanto,

csc(arc cosx) =

p1 + x2

x.



b) arc tan

x�1

x = ✓ ) sec ✓ =


en Fig. 2.56 cambiar xpor x�1

x) sec ✓ =

q

1 +

�

x�1

x

�

2

1

=

p

x2 + (x� 1)

2

x.

Por lo tanto,

sec(arc tanx) =

p

x2 + (x� 1)

2

x.

c) arc tan

px = ✓ ) cot ✓ =

cateto adyacente a \✓cateto opuesto a \✓


) cot ✓ =

1px.

Por lo tanto,

cot(arc tanx) =1px. ⇤

Notando que la funcion tangente es biyectiva en ] � ⇡2

, ⇡2

[ y que su recorrido es todo R, podemosdefinir su funcion inversa arcotangente como sigue.

DEFINICION 2.10.6 Se define la funcion arcotangente, denotada por arc tan, como

arc tan : R ! ]� ⇡2

, ⇡2

[

x ! arc tanx.

Figura 2.57. Grafico de la funcion y = arc tanx

EJERCICIOS 2.10.3

1. Calcula los siguientes valores:

a) arc tanp3 b) arc tan

�

� 1p3

�

c) arc tan 1

2. Encuentra en terminos de x el valor de:

a) cos(arc tanx) b) sen�

arc tan

xx�1

�

c) sec�

arc tan

1

x

�

.




2.11. Problemas con enunciado

En esta seccion estamos interesados en plantear y resolver problemas con enunciado que seresuelven usando funciones exponenciales, logarıtmicas, trigonometricas y cuadraticas.

2.11.1. Problemas que involucran funciones exponenciales y logarıtmicas

EJEMPLO 2.11.1 Sea x la presion atmosferica (medida en milımetros de mercurio), h la altura(medida en metros sobre el nivel del mar) y T la temperatura (medida en �C). Si la altura enmetros de un objeto sobre el nivel del mar se puede determinar mediante la formula:

h = (30T + 8.000) · log✓

760

x

◆

,

entonces calcula:

a) La altura aproximada de un montana si los instrumentos ubicados en la cima registran 5

�Cy una presion de 500 milımetros de mercurio.

b) La presion aproximada fuera de un avion volando a 1.000 metros de altura, si la temperaturaexterior es de �10

�C.

Solucion.

a) Para responder la pregunta basta con remplazar la informacion que tenemos en la formulade la altura dada. Tenemos,

h = (30 · 5 + 8.000) · log✓

760

500

◆

= 8.150 · log✓

76

50

◆

⇡ 1.482, 025241.

Por lo tanto, la altura aproximada de la montana es de 1.482 metros sobre el nivel del mar.

b) La idea aquı es reemplazar la informacion dada y la reemplazarla en la formula de la altura,despejando finalmente la presion (dada por x). Obtenemos,

1.000 =

�

30 · (�10) + 8.000�

·✓

log

76

x

◆

) 10

77

= log

76

x

) 10

10

77

=

76

x

) x =

76

10

10

77

⇡ 56,35642848.

Por lo tanto, la presion aproximada fuera del avion es de 56 milımetros de mercurio. ⇤



Un modelo matematico de crecimiento poblacional

Cuando el crecimiento de una poblacion en el tiempo es proporcional a su valor, las leyes de labiologıa permiten establecer la siguiente relacion:

n(t) = n0

ekt

donde t representa el tiempo medido en una unidad de tiempo dada, n(t) indica el tamano de lapoblacion en el instante t, n

0

representa el tamano inicial de la poblacion (tamano de la poblacioncuando t = 0, que corresponde al tamano de la poblacion al inicio de la medicion), k > 0

representa la tasa de crecimiento instantanea (esto es, la tasa de crecimiento media desde elinicio de la medicion hasta un tiempo t > 0) y e es el numero de Euler.

Este modelo es aplicable en diversos contextos de la biologıa, la economıa u otros.

EJEMPLO 2.11.2 El numero de bacterias en un cultivo crece a razon proporcional al numero debacterias presentes. Si en la primera observacion hay n

0

bacterias y trascurrida 1 hora hay n1

bacterias.

a) Encuentra el numero de bacterias presentes t horas despues.

b) ¿En cuanto tiempo se duplicara el cultivo?

Solucion. Como el numero de bacterias en un tiempo t, aquı denominado n(t), t � 0, crece a razonproporcional al numero de bacterias presentes, entonces podemos asumir que

n(t) = n0

ekt,

donde n0

= n(0) el numero inicial de bacterias (esto es, cuando t = 0) y k es positivo (pues se tratade crecimiento).

a) Para conocer el numero de bacterias presentes t horas despues, necesitamos conocer k en laformula previa. Ahora notamos que con la informacion del problema podemos obtener k deforma explıcita. En efecto, tenemos

�

n(t) = n0

ekt ^ n(0) = n0

^ n(1) = n1

�

) n1

= n0

ek

) n1

n0

= ek

) k = ln

✓

n1

n0

◆

> 0 pues n1

> n0

.

Luego,

n(t) = n0

et ln�

n

1

n

0

�

= n0

eln

�

n

1

n

0

�

t

= n0

✓

n1

n0

◆t

= n1�t0

nt1

.

Por lo tanto, el numero de bacterias presentes t horas despues esta dado por la formula

n(t) = n1�t0

nt1

t � 0.



b) Responder la pregunta planteada es equivalente a resolver la siguiente ecuacion en t:

n(t) = 2n0

.

Tenemos,

n(t) = 2n0

, n0

✓

n1

n0

◆t

= 2n0

, t log

✓

n0

n1

◆

= log 2

, t =log 2

log

�

n0

n1

�

= log

n

0

n

1

2.

Por lo tanto, el tiempo en horas que el cultivo demora en duplicarse es de log

n

0

n

1

2. ⇤

EJEMPLO 2.11.3 El elemento radio posee un decaimiento exponencial en su permanencia y unavida media de 1.600 anos.

a) Encuentra la formula para determinar la cantidad presente de 50 miligramos de radiodespues de t anos.

b) ¿En cuanto tiempo se tendran 20 miligramos?

Solucion.

a) Sea r(t) el radio presente t anos despues del inicio y sea r0

la cantidad de radio presenteal inicio de la medicion, esto es cuando t = 0. Entonces, de acuerdo al enunciado, podemosponer

r(t) = r0

e�kt.

Como la vida media del radio es de 1.600 anos (este es el tiempo en que el radio disminuye ala mitad), tenemos que

r0

2

= r0

e�1.600 k,

y despejando k, obtenemos

ln

1

2

= �1.600 k , �k =

� ln 2

1.600, k =

ln 2

1.600.

Entonces si r0

= 50, la formula para determinar la cantidad de radio presente de 50 miligramosde radio despues de t anos es

r(t) = 50e��

ln 2

1.600�

t.

b) Nos interesa ahora encontrar un valor de t tal que

r(t) = 20.



Tenemosr(t) = 20 , 20 = 50e�

�

ln 2

1.600�

t

, 2

5

= e��

ln 2

1.600�

t

, ln

✓

2

5

◆

= � ln 2 · t

1.600

, t = �ln

2

5

ln 2

· 1.600 = �✓

ln 2

ln 2

� ln 5

ln 2

◆

· 1.600

, t = �(1� log

2

5) · 1.600.

Por lo tanto, el tiempo para que el radio disminuya a 20 miligramos es de �(1� log

2

5) ·1.600anos. ⇤

2.11.2. Problemas que involucran funciones trigonometricas

EJEMPLO 2.11.4 Movimiento armonico simple. Una partıcula vibra verticalmente de acuerdo conel modelo determinado por la funcion f(t) = 2 sen (2⇡t), donde f(t) es la distancia dirigida (en cm)de la partıcula desde su posicion central (t = 0) a los t segundos, considerando como sentidopositivo hacia arriba. ¿Cual es el maximo desplazamiento de la partıcula respecto de su posicioninicial?¿Cuanto tiempo se requiere para que se produzca una vibracion completa de la partıcula?

Solucion. Como f es una funcion sinusoidal de amplitud 2, el maximo desplazamiento de lapartıcula es 2 cm. Por otro lado, el perıodo de f es 1, por lo que se requiere de 1 segundo paraobtener una vibracion completa de la partıcula. ⇤

EJEMPLO 2.11.5 Pautas cıclicas de empleo. Un economista ha determinado que la demanda deempleo temporal de cierta agencia de empleos, (expresada en miles de solicitudes de trabajo porsemana), se puede aproximar mediante la funcion d(t) =

9

2

sen(

4

5

t � 2

5

) + 8, t � 0, donde t esel tiempo, en anos, a partir de enero de 2010. Calcula la amplitud, el desplazamiento vertical, eldesfase y el periodo, e interpreta los resultados.

Solucion. Directamente obtenemos los siguientes resultados:

Amplitud: 9

2

Desplazamiento vertical: 8

Desfase: 1

2

hacia la derecha

Perıodo: 5⇡2

Estos numeros se pueden interpretar de la siguiente manera: La demanda de empleo temporalfluctua en ciclos de 5⇡

2

anos anos respecto a una lınea base de 8.000 solicitudes de trabajo por



semana. Cada ciclo, la demanda sube a un maximo de 12.500 solicitudes por semana (4.500 masque la lınea base) y baja hasta un mınimo de 3.500 solicitudes por semana (4.500 menos que la lıneabase). ⇤

EJEMPLO 2.11.6 Corriente electrica. El voltaje normal V suministrado en muchos paısescorresponde a una funcion sinusoidal que oscila entre �165 volts y 165 volts, con una frecuenciade 60 ciclos por segundo. Determina una ecuacion del voltaje en funcion del tiempo t.

Solucion. Buscamos una funcion de la forma

V (t) = A sen(Bt+ C) +D

Directamente obtenemos que:

Amplitud: A = 165

Desplazamiento vertical: D = 0

Desfase: Podemos escoger C = 0

Perıodo: 1

60

Frecuencia angular: 120⇡

Por lo tanto,V (t) = 165 sen(120⇡ t). ⇤

2.11.3. Problemas que involucran funciones cuadraticas

EJEMPLO 2.11.7 Un agricultor posee 1.000 metros de cerca y una superficie de terreno muygrande. Pone una cerca formando un area rectangular con dimensiones x metros de ancho por(500 � x) metros de largo. Calcula el area del rectangulo mas grande que el agricultor puedeencerrar con esta cerca.

Solucion. El area A (en metros cuadrados) del rectangulo encerrado por la cerca esta dada por

A(x) = x(500� x) 0 x 500.

Ahora, poniendo y = A(x), y completando un cuadrado de binomio, obtenemos que

y = �(x� 250)

2

+ 62.500.

Como el vertice de esta parabola es (250, 62.500), deducimos de inmediato que la maxima areaposible del rectangulo es de 62.500 metros cuadrados. ⇤



Un problema de lanzamiento de objetos

Una ecuacion que comunmente se usa para modelar la altura (medida en metros) de un objetoque ha sido lanzado hacia arriba es la siguiente:

h(t) = �16t2 + v0

t+ h0

t � 0,

donde v0

es la velocidad inicial (medida en metros por segundos) con la cual es lanzado el objeto,y h

0

es la altura inicial (medida en metros) desde la cual el objeto es lanzado.

EJEMPLO 2.11.8 Una pelota es lanzada hacia arriba a una velocidad de 48

mseg (metros por segundo),

desde una plataforma que esta a 100m de altura. Encuentra la altura maxima que alcanza lapelota, y calcula el tiempo que demorara en alcanzarla.

Solucion. El enunciado se enmarca en el comentario previo a la pregunta, por lo que podemosponer

h(t) = �16t2 + 48t+ 100 t � 0,

donde h representa la altura del objeto en el tiempo t. Ahora, poniendo y = h(t), y completandoun cuadrado de binomio, obtenemos que

y = �16

✓

t� 3

2

◆

2

+ 136.

Como el vertice de esta parabola es�

3

2

, 136�

, deducimos de inmediato que la maxima altura posibleque alcanza la pelota es 62.500m. ⇤


Autoevaluacion 2.1

1. Compuesta de una funcion. Considera las funciones f : D ⇢ R ! R, definida por f(x) =x�2p

x�1+

p2

y la funcion g : D0 ⇢ R ! R, definida por g(x) = x2 + 1. Calcula la funcioncompuesta f � g, realizando adecuadas restricciones si es necesario, de forma tal que el do-minio sea lo mas grande posible y la expresion para la compuesta sea lo mas simple posible.Justifica tu respuesta.


Autoevaluacion 2.2

1.



Parte II

Lımites y Continuidad

139

Capıtulo 3

Lımites

En el presente capıtulo estudiaremos el concepto de lımite y sus propiedades, lo cual adquieregran relevancia al momento de definir y estudiar otros conceptos matematicos tan importantestales como el de continuidad y el de derivada de una funcion, los cuales abordaremos mas adelante.

3.1. Discusion informal de los lımites laterales de una funcion

En el ambito del analisis matematico, la expresion lımite lateral de una funcion real correspondeal valor al cual se esta aproximando la funcion cuando su variable se esta aproximando a un valorreal c dado, ya sea mediante valores mayores que c, o mediante valores menores que c. Por otrolado, decir que nos aproximamos a un valor c dado mediante valores menores que c, equivale adecir que en la recta real nos aproximamos a c por el lado izquierdo de c. Analogamente, decir quenos aproximamos a un valor c mediante valores mayores que c, es equivalente a decir que en larecta real nos aproximamos a c por el lado derecho de c.

Mediante los siguientes ejemplos discutiremos la idea de lımite lateral.

EJEMPLO 3.1.1 Sea f(x) = x+ 1.

a) ¿A que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1 por el lado izquierdo en la rectareal (esto es, x se aproxima a 1 mediante valores menores que 1)?

b) ¿A que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1 por el lado derecho en la recta real(esto es, x se aproxima a 1 mediante valores mayores que 1)?

Solucion. Para responder, consideraremos la siguiente tabla de valores y nuestra intuicion

x f(x)

0, 9 1, 9

0, 99 1, 99

0, 999 1, 999

... ...x se aprox. a 1, x < 1 f(x) se aprox. a 2

x f(x)

1, 1 2, 1

1, 01 2, 01

1, 001 2, 001

... ...x se aprox. a 1, x > 1 f(x) se aprox. a 2

141

CAPITULO 3. LIMITES [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

Entonces:

a) A partir de nuestra tabla e intuicion, afirmamos que “el valor al que se aproxima f(x) cuandox se aproxima a 1, mediante valores menores que 1, es 2” y denotamos esto como sigue:

lım

x!1

�(x+ 1) = 2.

Aquı la expresion x ! 1

� indica que nos aproximamos a 1 por el lado izquierdo en la rectareal (es decir, mediante valores de x menores que 1) y matematicamente leemos ası: “Lımitelateral izquierdo de f(x), cuando x tiende a 1, es 2”; o bien “Lımite lateral de f(x) cuando x

tiende a 1 por la izquierda, es 2”.

Ahora, con el objetivo de dar una interpretacion analıtica al concepto de lımite lateral izquierdo,conviene realizar un analisis grafico de la funcion. Consideremos un valor " > 0 arbitrariamentepequeno de manera que, para valores de x proximos a 1, pero menores que 1, la diferencia entreel valor de la funcion y su lımite es menor que ", y por lo tanto tan pequena como deseemos. Esdecir, estamos en la situacion |f(x)�2| < ". Observemos cuidadosamente el siguiente grafico:

Figura 3.1. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral izquierdo de f(x) = x+1 cuandox tiende a 1.

El grafico nos dice que: dado un valor " > 0 arbitrariamente pequeno, es posible determinarun valor � > 0 tal que si x es mayor que 1 � � y menor que 1 (que equivale a decir que�� < x� 1 < 0), entonces la diferencia entre la funcion evaluada en estos valores de x y su lımitelateral izquierdo 2, es menor que el valor " > 0 dado. En sımbolos, para f(x) = x+1 tenemos:

lım

x!1

�f(x) = 2,

o equivalentemente

(8" > 0) (9� > 0) tal que (�� < x� 1 < 0 ) |f(x)� 2| < ").

b) A partir de nuestra tabla e intuicion, afirmamos que “el valor al que se aproxima f(x) cuandox se aproxima a 1, mediante valores mayores que 1, es 2” y denotamos esto como sigue:

lım

x!1

+

(x+ 1) = 2.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.1. DISCUSION INFORMAL DE LOS LIMITES LATERALES


+ indica que nos aproximamos a 1 por el lado derecho en la rectareal (es decir, mediante valores de x mayores que 1) y matematicamente leemos ası: “Lımitelateral derecho de f(x), cuando x tiende a 1, es 2”; o bien “Lımite lateral de f(x), cuando x

tiende a 1 por la derecha, es 2”.

Ahora, con el objetivo de dar una interpretacion analıtica del concepto de lımite lateral derecho,realizaremos un analisis grafico de la funcion. Consideremos un valor " > 0 arbitrariamentepequeno de manera que, para valores de x proximos a 1, pero mayores que 1, la diferencia entreel valor de la funcion y su lımite es menor que ", y por lo tanto tan pequena como deseemos. Esdecir, estamos en la situacion |f(x)�2| < ". Observemos cuidadosamente el siguiente grafico:

Figura 3.2. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral derecho de f(x) = x+1 cuandox tiende a 1.

El grafico nos dice que: dado un valor " > 0 arbitrariamente pequeno, es posible determinarun valor � > 0 tal que si la variable x es mayor que 1 y menor que 1+ � (que equivale a decirque 0 < x�1 < �), entonces la diferencia entre la funcion y su lımite lateral derecho es menorque el valor " > 0 dado. En sımbolos tenemos para f(x) = x+ 1:

lım

x!1

+

f(x) = 2,

que es equivalente a decir que:

(8" > 0) (9� > 0) tal que (0 < x� 1 < � ) |f(x)� 2| < "). ⇤

EJEMPLO 3.1.2 Sea f(x) =

(

2� x si x < 0

1 si x � 0.

a) ¿A que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 0 por su lado izquierdo en la rectareal (esto es, x se aproxima a 0 mediante valores menores que 0)?

b) ¿A que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 0 por su lado derecho en la recta real(esto es, x se aproxima a 0 mediante valores mayores que 0)?

Solucion. Para responder, consideraremos la siguiente tabla de valores y nuestra intuicion

x f(x)

�0, 1 2, 1

�0, 01 2, 01

�0, 001 2, 001

... ...x se aprox. a 0, x < 0 f(x) se aprox. a 2

x f(x)

0, 1 1

0, 01 1

0, 001 1

... ...x se aprox. a 0, x > 0 f(x) se aprox. a 1

Entonces:

a) A partir de nuestra tabla e intuicion, afirmamos que “el valor al que se aproxima f(x) cuandox se aproxima a 0 mediante valores menores que 0, es 2” y denotamos esto como sigue:

lım

x!0

�f(x) = 2.


� indica que nos aproximamos a 0 por el lado izquierdo en la rectareal (es decir, mediante valores de x menores que 0) y matematicamente leemos ası: “Lımitelateral izquierdo de f(x), cuando x tiende a 0, es 2”; o bien “Lımite lateral de f(x), cuando x

tiende a 0 por la izquierda, es 2”.

Ahora, con el objetivo de dar una interpretacion analıtica del concepto de lımite lateral izquierdo,conviene realizar un analisis grafico de la funcion. Consideremos un valor " > 0 arbitrariamentepequeno de manera que, para valores de x proximos a 0, pero menores que 0, la diferencia entrela funcion y su lımite es menor que ", y por lo tanto tan pequena como deseemos. Es decir,estamos en la situacion |f(x)� 2| < ". Observemos cuidadosamente el siguiente grafico:

Figura 3.3. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral izquierdo de f(x) = 2 � x, six < 0, y f(x) = 1, si x � 0, cuando x tiende a 0.

El grafico nos dice que: dado un valor " > 0 arbitrariamente pequeno, es posible determinarun valor � > 0 tal que si la variable x es mayor que �� y menor que 0 (que equivale a decir que�� < x < 0), entonces la diferencia entre el valor de la funcion y su lımite lateral izquierdo

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.1. DISCUSION INFORMAL DE LOS LIMITES LATERALES

es menor que el valor " > 0 dado. En sımbolos tenemos para f(x) =

(

2� x si x < 0

1 si x � 0

:

lım

x!0

�f(x) = 2,


(8" > 0) (9� > 0) tal que (�� < x < 0 ) |f(x)� 2| < ").

b) A partir de nuestra tabla e intuicion, afirmamos que “el valor al que se aproxima f(x) cuandox se aproxima a 0, mediante valores mayores que 0, es 1” y denotamos esto como sigue:

lım

x!0

+

f(x) = 1.


+ indica que nos aproximamos a 0 por el lado derecho en la rectareal (es decir, mediante valores de x mayores que 0) y matematicamente leemos ası: “Lımitelateral derecho de f(x), cuando x tiende a 0 por la derecha, es 1”; o bien “Lımite lateral def(x), cuando x tiende a 0 por la derecha, es 1”.

Ahora, con el objetivo de dar una interpretacion analıtica del concepto de lımite lateral derecho,realizaremos un analisis grafico de la funcion. Consideremos un valor " > 0 arbitrariamentepequeno de manera que, para valores de x proximos a 0, pero mayores que 0, la diferencia entrela funcion y su lımite es menor que ", y por lo tanto tan pequena como deseemos. Es decir,estamos en la situacion |f(x)� 1| < ". Observemos cuidadosamente el siguiente grafico:

Figura 3.4. Representacion grafica de la interpretacion "–� del lımite lateral derecho de f(x) = 2 � x, six < 0, y f(x) = 1, si x � 0, cuando x tiende a 0.

El grafico nos dice que: dado un valor " > 0 arbitrariamente pequeno, es posible determinarun valor � > 0 tal que si la variable x es mayor que 0 y menor que � (que equivale a decir que0 < x < �), entonces la diferencia entre el valor de la funcion y su lımite lateral derecho es

menor que el valor " > 0 dado. En sımbolos tenemos para f(x) =

(

2� x si x < 0

1 si x � 0

:

lım

x!0

+

f(x) = 1,

(8" > 0) (9� > 0) tal que (0 < x < � ) |f(x)� 1| < "). ⇤

EJERCICIOS 3.1.1 Con ayuda de una tabla de valores, calcula intuitivamente, para cada una delas funciones a continuacion, los lımites laterales que se solicitan:

a) f(x) =x2 � 4

x+ 2

, lım

x!�2

�f(x); lım

x!�2

+

f(x)

b) f(x) =x

|x| , lım

x!0

�f(x); lım

x!0

+

f(x)

c) f(x) =p

1� x2, lım

x!1

�f(x); lım

x!1

+

f(x)

d) f(x) =

8

>

<

>

:

x� 1

x2 � 1

si 0 < x < 1

x2 si x � 1

, lım

x!1

�f(x); lım

x!1

+

f(x).


3.2. Definicion de lımite lateral y lımite de una funcion

Sean c 2 R y � > 0 dos valores dados. Con el fin de usar un lenguaje verbal adecuado queinterprete a cada una de las expresiones

|x� c| < � ^ 0 < |x� c| < �

introducimos las siguientes definiciones.

DEFINICION 3.2.1 Sean c 2 R y � > 0 dos valores dados.

i) El conjuntoV = {x 2 R : |x� c| < �} = ]c� �, c+ �[

se denomina �-vecindad de c (o �-entorno de c o vecindad de c de centro c y radio �).

ii) El conjuntoV ⇤

= {x 2 R : 0 < |x� c| < �} = ]c� �, c+ �[ \{c}

se denomina �-vecindad perforada de c o (�-entorno perforado de c o vecindad de c de centro c yradio � perforada en su centro).

OBSERVACION 3.2.1 Por simplicidad, uno generalmente omite nombrar a � en las definiciones anterioresy menciona simplemente: vecindad (entorno) de c, para referirse al conjunto ]c � �, c + �[, y vecindadperforada (entorno perforado) de c, para referirse al conjunto ]c� �, c+ �[ \{c}.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.2. DEFINICION DE LIMITE LATERAL Y LIMITE DE UNA FUNCION

DEFINICION 3.2.2 Sea f una funcion real definida en ]a, b[, excepto tal vez para c 2 ]a, b[.

i) Decimos que un numero real L1

es el lımite lateral izquierdo de f(x) cuando x se aproxima ac (o bien, lımite lateral de f(x) cuando x se aproxima a c por la izquierda), si

(8" > 0) (9� = �" > 0) tal que (�� < x� c < 0 ) |f(x)� L1

| < ")

y lo denotamos porlım

x!c�f(x) = L

1

.

ii) Decimos que un numero real L2

es el lımite lateral derecho de f(x) cuando x se aproxima a c

(o bien, lımite lateral de f(x) cuando x se aproxima a c por la derecha), si

(8" > 0) (9� = �" > 0) tal que (0 < x� c < � ) |f(x)� L2

| < ")


x!c+f(x) = L

2

.

DEFINICION 3.2.3 Sea f una funcion real definida en ]a, b[, excepto tal vez para c 2 ]a, b[. Decimosque un numero real L es el lımite de f(x) cuando x se aproxima a c, si

i) 9 lım

x!c�f(x) = L

1

ii) 9 lım

x!c+f(x) = L

2

iii) L1

= L2

= L,


x!cf(x) = L.

TEOREMA 3.2.1 (Definicion alternativa del lımite de una funcion) Un numero real L es el lımitede f(x) cuando x tiende a c, si y solo si

(8" > 0) (9� = �" > 0) tal que�

0 < |x� c| < � ) |f(x)� L| < "�

.

Demostracion.

()) Asumamos que9 lımx!c

f(x) y lım

x!cf(x) = L 2 R.

Sea " > 0 dado. Por definicion de lımite, existe L 2 R tal que

lım

x!c�f(x) = L y lım

x!c+f(x) = L.

Ası,(9�

1

= �1" > 0) tal que (��

1

< x� c < 0 ) |f(x)� L| < ") (3.1)

y(9�

2

= �2" > 0) tal que (0 < x� c < �

2

) |f(x)� L| < "). (3.2)

Ahora, escojamos el valor mınimo entre �1

y �2

, esto es, escojamos � = mın{�1

, �2

} > 0. Notemosque cuando reemplazamos � por �

1

y �2

respectivamente en (3.1) y (3.2), ambas relacionespermanecen validas. Es decir, para el valor " dado inicialmente tenemos que 9� > 0 tal que:

(�� < x� c < 0 ^ 0 < x� c < �) ) |f(x)� L| < ",

o equivalentemente0 < |x� c| < � ) |f(x)� L| < ".

(() Es directo, siguiendo un sentido inverso a lo expuesto previamente con �1

= �2

= � > 0. ⌅

TEOREMA 3.2.2 (Unicidad del lımite) Si el lımite (o lımite lateral) de una funcion existe en unpunto, entonces es unico.

Demostracion. Sea f una funcion definida en ]a, b[, excepto tal vez para c 2 ]a, b[ . Si

lım

x!cf(x) = L y lım

x!cf(x) = M ,

entonces para " > 0 dado tendremos que

9�1

> 0 tal que⇣

0 < |x� c| < �1

) |f(x)� L| < "

2

⌘

y9�

2

> 0 tal que⇣

0 < |x� c| < �2

) |f(x)�M | < "

2

⌘

.

Luego, para |x� c| < mın{�1

, �2

} se tiene

0 |L�M | = |f(x)�M + L� f(x)|

|f(x)� L|+ |f(x)�M |

<"

2

+

"

2

= ".

Es decir,(0 |L�M | < ") (8" > 0) ,

y como el ınfimo de los positivos es 0, se tiene que |L�M | = 0, o equivalentemente, que

L = M. ⌅

TEOREMA 3.2.3 (Ley de conservacion del signo) Sea L > 0 y sea f : ]a, b[! R una funcion tal que

lım

x!cf(x) = L,

donde c 2 ]a, b[. Entonces, existe V ⇤, una �-vecindad perforada de c, tal que se verifica

f(x) > 0 8x 2 V ⇤.

Demostracion. Como L > 0 ylım

x!cf(x) = L,

se sigue que dado " > 0, entonces

(9� > 0) tal que (x 2 ]c� �, c+ �[ \ {c} ) |f(x)� L| < ") .

Luego,L� " < f(x) < L+ " 8x 2 ]c� �, c+ �[ \ {c}

Por lo tanto, si escogemos " < L, tendremos que L� " > 0, y ası, poniendo V ⇤= ]c� �, c+ �[ \ {c},

obtenemos quef(x) > 0 8x 2 V ⇤. ⌅

OBSERVACION 3.2.2 Un resultado analogo al del Teorema 3.2.3 se puede obtener si consideramos L < 0.Es decir, si L < 0 y si f : ]a, b[! R es una funcion tal que

lım

x!cf(x) = L,

donde c 2 ]a, b[, entonces, existe V ⇤, una �-vecindad perforada de c, tal que se verifica

f(x) < 0 8x 2 V ⇤.

EJEMPLO 3.2.1 Sea c un valor real fijo. Usando la definicion de lımite prueba que:

lım

x!ac = c 8a 2 R.

Solucion. Sea a 2 R fijo. Sea " > 0 dado y pongamos f(x) = c, x 2 R. Debemos probar que

9� > 0 tal que (0 < |x� a| < � ) |f(x)� c| < ").

Notemos que|f(x)� c| = |c� c| = 0 < " 8x 2 R.

Luego, basta escoger cualquier valor � > 0 para concluir que si 0 < |x� a| < �, entonces

|f(x)� c| = 0 < ". ⇤

EJEMPLO 3.2.2 Usando la definicion de lımite prueba que:

lım

x!ax = a 8a 2 R.

Solucion. Sea a 2 R fijo. Sea " > 0 dado y pongamos f(x) = x, x 2 R. Debemos probar que

9� > 0 tal que (0 < |x� a| < � ) |f(x)� a| < ").

Notemos que

|f(x)� a| = |x� a| 8x 2 R.

Luego, escogiendo � = ", obtenemos que si 0 < |x� a| < ", entonces

|f(x)� a| < ". ⇤

EJEMPLO 3.2.3 Usando la definicion de lımite prueba que:

lım

x!ax2 = a2 8a 2 R.

Solucion. Sea a 2 R fijo. Sea " > 0 dado y pongamos f(x) = x2, x 2 R. Debemos probar que

9� > 0 tal que (0 < |x� a| < � ) |f(x)� a2| < ").

Notemos que para cualquier x 2 R se verifica que

|f(x)� a2| = |x2 � a2|

= |x+ a||x� a|.

En este momento necesitamos acotar la expresion |x + a| y para esto procedemos como sigue:fijamos un valor real conveniente, en nuestro caso 1, y ponemos

|x� a| < 1 ) �1 + a < x < 1 + a

) �1 + 2a < x+ a < 1 + 2a

) |x+ a| < 1 + |2a|.

Luego, escogiendo � = mın

n

1, "1+|2a|

o

, obtenemos que si 0 < |x� a| < �, entonces

|f(x)� a2| = |x+ a||x� a|

< (1 + |2a|)|x� a|

< ". ⇤

EJEMPLO 3.2.4 Usando la definicion de lımite prueba que

lım

x!1

3x+ 1

x� 2

= �4.

Solucion. Sea " > 0 dado y pongamos f(x) = 3x+1

x�2

, x 2 R \ {2}. Debemos probar que

9� > 0 tal que (0 < |x� 1| < � ) |f(x)� (�4)| < ").

Notemos que

|f(x)� (�4)| =�

�

�

�

3x+ 1

x� 2

+ 4

�

�

�

�

=

�

�

�

�

7x� 7

x� 2

�

�

�

�

= 7

�

�

�

�

x� 1

x� 2

�

�

�

�

=

7

|x� 2| |x� 1| 8x 2 R \ {2}.

En este momento necesitamos acotar la expresion 7

|x�2| y para esto procedemos como sigue: fijamosun valor real conveniente y ponemos

|x� 1| < 1

2

) �1

2

+ 1 < x <1

2

+ 1

) 1

2

� 2 < x� 2 < 3

2

� 2

) �3

2

< x� 2 < �1

2

< 0

) �2 <1

x� 2

< �2

3

) 14

3

<7

|x� 2| < 14.

Entonces, escogiendo � = mın

�

1

2

, "14

, obtenemos que si 0 < |x� 1| < �, entonces

|f(x)� (�4)| < ". ⇤

EJERCICIOS 3.2.1 Usando la definicion "� � del lımite de una funcion, demuestra que

a) lım

x!4

(2x+ 1) = 9 b) lım

x!a|x| = |a| c) lım

x!3

(7� x2) = �2

d) lım

x!1

1

x= 1 e) lım

x!�1

x2 � 1

x+ 1

= �2 f) lım

x!1

x� 2

x+ 3

= �1

4

.

3.3. Algebra de lımites

TEOREMA 3.3.1 (Algebra de lımites) Sean f y g dos funciones reales definidas en ]a, b[, exceptotal vez para c 2 ]a, b[, y supongamos que existe lım

x!cf(x) y que existe lım

x!cg(x). Entonces

9 lımx!c

(f(x) + g(x)) , 9 lımx!c

(f(x)� g(x)) , 9 lımx!c

(k · f(x)) y 9 lımx!c

(f(x)g(x)) .

Si ademas B 6= 0, entonces tambien

9 lımx!c

f(x)

g(x).

Mas especıficamente, asumamos que

lım

x!cf(x) = A 2 R y lım

x!cg(x) = B 2 R.

Entonces:

i) El lımite de la suma es la suma de los lımites:

lım

x!c(f(x) + g(x)) = A+B.

ii) El lımite de la resta es la resta de los lımites:

lım

x!c(f(x)� g(x)) = A�B.

iii) El lımite del producto con un escalar es el escalar por el lımite:

lım

x!c(k f(x)) = k A.

iv) El lımite del producto es el producto de los lımites:

lım

x!c(f(x) g(x)) = AB.

v) Asumiendo adicionalmente que B 6= 0, el lımite del cuociente es el cuociente de los lımites:

lım

x!c

f(x)

g(x)=

A

B.

Demostracion. Sea " > 0 dado.

i) Comolım

x!cf(x) = A y lım

x!cg(x) = B,

entonces para "2

> 0 se tiene, respectivamente, que

(9 �1

> 0) tal que⇣

0 < |x� c| < �1

) |f(x)�A| < "

2

⌘

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.3. ALGEBRA DE LIMITES

y(9 �

2

> 0) tal que⇣

0 < |x� c| < �2

) |g(x)�B| < "

2

⌘

.

Escojamos ahora � = mın{�1

, �2

}. Luego, si 0 < |x� c| < �, entonces

|(f(x) + g(x))� (A+B)| |f(x)�A|+ |f(x)�B| < "

2

+

"

2

= ".

Es decir,lım

x!c(f(x) + g(x)) = A+B.

ii) La demostracion es analoga a la de la parte i). Se deja como ejercicio.

iii) Es directa. Se deja como ejercicio.

iv) Comolım

x!cf(x) = A y lım

x!cg(x) = B,

entonces para "2(1+|B|) > 0 se tiene que

(9 �1

> 0) tal que✓

0 < |x� c| < �1

) |f(x)�A| < "

2(1 + |B|)

◆

,

y para "2(1+|A|) > 0 se tiene que

(9 �2

> 0) tal que✓

0 < |x� c| < �2

) |g(x)�B| < "

2(1 + |A|)

◆

.

Mas aun, para 1 > 0, tambien se verifica que

(9 �3

> 0) tal que (0 < |x� c| < �3

) |f(x)�A| < 1) ,

de donde en particular obtenemos que si 0 < |x� c| < �3

, entonces

|f(x)| < 1 + |A|.


, �2

, �3

}. Luego, si 0 < |x� c| < �, entonces

|f(x) g(x)�AB| = |f(x) g(x)� f(x)B + f(x)B �AB|

= |f(x) (g(x)�B)�B (f(x)�A)|

|f(x)| |g(x)�B|+ |B| |f(x)�A|

< (1 + |A|) "

2(1 + |A|) + (1 + |B|) "

2(1 + |B|)

= ".

v) Sera suficiente con probar que

lım

x!c

1

g(x)=

1

B,

y luego aplicar iv) al producto f(x) 1

g(x) en una adecuada vecindad perforada x = c. Si B > 0,entonces desde la demostracion del Teorema 3.2.3 de conservacion del signo, para "

0

> 0

suficientemente pequeno existe un �0

> 0 tal que

0 < k0

< g(x) < k1

8x 2 ]c� �0

, c+ �0

[ \{c},

donde k0

= B � "0

> 0 y k1

= B + "0

> k0

. En particular, esto implica que

0 <1

k1

<1

g(x)<

1

k0

8x 2 ]c� �0

, c+ �0

[ \{c}.

Ademas, comolım

x!cg(x) = B,

tenemos que

(9�1

> 0) tal que (0 < |x� c| < �1

) |g(x)�B| < Bk0

") .


, �1

}. Luego, si 0 < |x� c| < �, entonces�

�

�

�

1

g(x)� 1

B

�

�

�

�

=

�

�

�

�

B � g(x)

B g(x)

�

�

�

�

=

1

B

�

�

�

�

1

g(x)

�

�

�

�

|g(x)�B|

<1

Bk0

Bk0

"

= ".

Tomando en cuenta la Observacion 3.2.2, se procede de manera similar cuando B < 0. Estecaso se deja como ejercicio. ⌅

OBSERVACION 3.3.1 Todos los lımites en el teorema pueden ser reemplazados por los correspondienteslımites laterales.

TEOREMA 3.3.2 (Lımite de una funcion compuesta) Sean a, b, c 2 R y sean f y g dos funcionesreales tales que: la compuesta f � g esta bien definida en una vecindad de c, excepto tal vez en c;la funcion g es distinta de a en esta misma vecindad perforada de c, y; existen lım

x!cg(x) y lım

x!af(x).

Si lımx!c

g(x) = a y lım

x!af(x) = b, entonces

lım

x!c(f � g)(x) = lım

x!cf(g(x)) = b.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.3. ALGEBRA DE LIMITES

Demostracion. Sea " > 0 dado. Queremos probar que

(9� > 0) tal que (0 < |x� c| < � ) |f(g(x))� b| < ").

Notemos que como lım

z!af(z) = b, tenemos que

(9⌘ > 0) tal que (0 < |z � a| < ⌘ ) |f(z)� b| < ").

Ahora, para este valor ⌘ > 0, como lım

x!cg(x) = a, tenemos que

(9�0

> 0) tal que (0 < |x� c| < �0

) |g(x)� a| < ⌘).

Notemos que de acuerdo a nuestras hipotesis, podemos considerar �1

> 0 de manera que

0 < |x� c| < �1

) |g(x)� a| > 0.

De esta forma, para � = mın {�0

, �1

} > 0 obtenemos que

0 < |x� c| < � ) 0 < |g(x)� a| < ⌘

) |f(g(x))� b| < ". ⌅

OBSERVACION 3.3.2 El Teorema 3.3.2 del lımite de una funcion compuesta nos permite calcular lımitesusando un cambio de variable. En efecto, sea F una funcion a la cual queremos calcular el lım

x!cF (x). Si

F (x) = f(g(x)), con f y g verificando las condiciones del Teorema 3.3.2, y lım

x!cg(x) = a y lım

x!af(x) = b,

entonceslım

x!cF (x) = lım

x!cf(g(x)) = lım

z!af(z) = b.

EJERCICIOS 3.3.1

1. Calcula los siguientes lımites:

a) lım

x!ax3 b) lım

x!a(|x|+ b) c) lım

x!a

x2

x� b, para a 6= b

2. Calcula lım

x!2

f(x) para

a) f(x) =

(

2x+ 1 si x < 2

x+ 3 si x � 2

b) f(x) =

(

x2 + 1 si x < 2

x� 3 si x � 2.

3.4. Teorema del sandwich

TEOREMA 3.4.1 (Teorema del sandwich) Sean f , g y h funciones reales definidas en ]a, b[, excep-to tal vez en c 2 ]a, b[. Supongamos que f(x) g(x) h(x) para toda x 6= c y que

9 lımx!c

f(x), 9 lımx!c

h(x) y lım

x!cf(x) = lım

x!ch(x) = L.

Entonces9 lımx!c

g(x) y lım

x!cg(x) = L.

Demostracion. Sea " > 0 dado. Como lım

x!cf(x) = lım

x!ch(x) = L, tenemos que

(9�1

> 0) tal que (0 < |x� c| < �1

) |f(x)� L| < ")

y(9�

2

> 0) tal que (0 < |x� c| < �2

) |h(x)� L| < ").


, �2

} > 0. Luego, si 0 < |x� c| < �, entonces

�" < f(x)� L < g(x)� L < h(x)� L < ",

de donde obtenemos que0 < |x� c| < � ) |g(x)� L| < ". ⌅

EJERCICIOS 3.4.1

1. Sea g una funcion real tal que |g(x) � 2| 3(x2 � 1)

2, para toda x 2 R. Encuentra, si esposible, lım

x!1

g(x).

2. Usando el Teorema 3.4.1 del sandwich, encuentra los siguientes lımites:

a) lım

x!0

✓

x cos1

x

◆

b) lım

x!0

✓

x sen

1

x

◆

c) lım

x!0

✓

x2 sen

1

3

px

◆

.

3. Dada una funcion real f tal que

� senx < f(x) < 2 + senx 8x 2 ]� ⇡, 0[ .

Determina el valor de lım

x!�⇡

2

f(x).

4. Sea f una funcion real tal que

|f(x)| M 8x 2 ]� a, a[ \{0},

donde M es una constante positiva. Demuestra que lım

x!0

x2f(x) = 0.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.5. TEOREMAS SOBRE ALGUNOS LIMITES RELEVANTES

3.5. Teoremas sobre algunos lımites relevantes

TEOREMA 3.5.1 (Lımites de polinomios y funciones radicales)

i) Sea p un polinomio. Entonceslım

x!ap(x) = p(a).

ii) Sea f una funcion tal que lım

x!af(x) = L y sean m,n 2 Z,m 6= 0. Entonces

lım

x!a(f(x))

n

m

= Ln

m ,

siempre que Ln

m 2 R. En otro caso el lımite no esta definido.

Demostracion.

i) Sea a 2 R. Notemos que

(xn � an) = (x� a)(xn�1

+ xn�2a+ . . .+ x2an�3

+ xan�2

+ an�1

) = 0

y que

0 < |x� a| < 1 ) 0 |xn�1

+ xn�2a+ . . .+ x2an�3

+ xan�2

+ an�1|

(|a|+ 1)

n�1

+ (|a|+ 1)

n�2|a|+ . . .+ (|a|+ 1)|a|n�2

+ |a|n�1

:=Ka

< +1.

Luego, dado " > 0, podemos escoger � = mın {1,Ka"} > 0 de manera que

0 < |x� a| < � ) |xn � an| < Ka|x� a|

) |xn � an| < ",

de donde deducimos quelım

x!axn = an.

Ahora, usando el Teorema 3.3.1 del algebra de lımites, podemos tambien concluir que dadoun polinomio p(x),

lım

x!ap(x) = p(a).

ii) Esbozaremos una demostracion para L > 0 y m,n 2 N. Sea a > 0, es claro que

0 < |x� a| < a

2

) 0 <a

2

x 3a

2

.

Notemos que

x� a =

⇣

x1

m � a1

m

⌘⇣

xm�1

m

+ xm�2

m a1

m

+ . . .+ x1

mam�2

m

+ am�1

m

⌘

y que, debido a que y = x1

m es una funcion creciente, para x � a2

tenemos que

xm�1

m

+ xm�2

m a1

m

+ . . .+ x1

mam�2

m

+ am�1

m �⇣a

2

⌘

m�1

m

+

⇣a

2

⌘

m�2

m

a1

m

+ . . .+⇣a

2

⌘

1

m

a+ am�1

m

� m⇣a

2

⌘

m�1

m

:= Ka

> 0.

Luego, dado " > 0, podemos escoger � = mın

�

Ka",a2

> 0 de manera que

0 < |x� a| < � ) Ka

�

�

�

x1

m � a1

m

�

�

�

|x� a| < Ka "

)�

�x1

m � a1

m

�

� < ".

Es decir, hemos probado quelım

x!ax

1

m

= a1

m .

Ahora aplicamos el Teorema 3.3.2 del lımite de una funcion compuesta, con f(x) = x1

m yg(x) = xn, para obtener

lım

x!ax

n

m

= an

m .

Nuevamente aplicamos el Teorema 3.3.2 del lımite de una funcion compuesta para obtener

lım

x!a(f(x))

n

m

= Ln

m . ⌅

Para demostrar los siguientes dos teoremas, tomaremos como referencia la figura a continuacion:

Figura 3.5. Una circunferencia unitaria con angulo central igual a x.

Notemos que en la Figura 3.5, tenemos que la base del 4AOB mide 1, mientras que su alturamide senx. Ademas, en el 4COB la base mide 1 y su altura mide tanx. En efecto,

4AOH ⇠ 4COB,

y entonces

tanx =

senx

cosx

=

AH

OH

=

CB

OB

=

altura del 4COB

1

.

Por otro lado, notemos tambien que en la Figura 3.5 el area del sector circular AOB mide, enradianes, lo mismo que la mitad del angulo del centro en radianes, puesto que el radio de lacircunferencia es 1 y el area de un sector circular cuyo angulo del centro es x y cuyo radio aso-ciado es r es

As.c. =1

2

r2x.

De esta forma, como

A4AOB < As.c.AOB < A4COB ,

entonces1

2

senx <1

2

x <1

2

tanx. (3.3)

En particular, si en (3.3) consideramos solo la desigualdad del lado izquierdo, obtenemos

0 < senx < x 8x 2i

0,⇡

2

h

.

Claramente, esta desigualdad se puede generalizar a

| senx| |x| 8x 2 R. (3.4)

Ahora, si en (3.3) dividimos por senx, con x 2 ]0, ⇡2

[, y luego invertimos las desigualdades,obtenemos

0 < cosx <senx

x< 1 8x 2

i

0,⇡

2

h

.

Claramente, esta desigualdad se puede extender y obtenerse lo siguiente

0 < cosx <�

�

�

senx

x

�

�

�

< 1 8x 2i

�⇡

2

,⇡

2

h

\ {0}. (3.5)

TEOREMA 3.5.2 (Lımites de funciones trigonometricas) Sean a, b 2 Rfijos, y sea f(x)=sen (ax+ b),x 2 R, o f(x) = cos(ax+ b), x 2 R. Entonces

lım

x!x0

f(x) = f(x0

) 8x0

2 Dom(f).


Demostracion.

Sea f(x) = senx, x 2 R. Tenemos

| sen(x+ h)� senx| = 2

�

�

�

�

sen

✓

h

2

◆

cos

✓

2x+ h

2

◆

�

�

�

�

2

�

�

�

�

sen

✓

h

2

◆

�

�

�

�

|h|,

gracias a (3.4) y el hecho que | cos↵| 1 para todo ↵ 2 R. Entonces, desde el Teorema 3.4.1del sandwich, concluimos que

lım

h!0

sen(x+ h) = senx.

Sea f(x) = cosx, x 2 R. Tenemos que

| cos(x+ h)� cosx| = 2

�

�

�

�

sen

✓

h

2

◆

sen

✓

2x+ h

2

◆

�

�

�

�

2

�

�

�

�

sen

✓

h

2

◆

�

�

�

�

|h|,

gracias a (3.4) y el hecho que | sen↵| 1 para todo ↵ 2 R.

Entonces, desde el Teorema 3.4.1 del sandwich, concluimos que

lım

h!0

cos(x+ h) = cosx. ⌅

TEOREMA 3.5.3 (Un lımite trigonometrico especial)

lım

x!0

senx

x= 1.

Demostracion. Pasando al lımite cuando x tiende a 0 en la desigualdad (3.5), y usando el Teorema3.4.1 del sandwich y la imparidad de senx y x, obtenemos de inmediato el resultado deseado. ⌅

DEFINICION 3.5.1 Se define el numero de Euler e como el siguiente lımite:

lım

x!0

(1 + x)1

x

= e.

TEOREMA 3.5.4 (Lımites de funciones exponenciales y logarıtmicas) Sean a, b, c 2 R fijos, cona 6= 0 y c > 0, y sea f(x) = eax+b, x 2 R, o f(x) = logc (ax+ b), x 2 R tal que ax > �b. Entonces

lım

x!x0

f(x) = f(x0

) 8x0

2 Dom(f).



Una demostracion del teorema previo la daremos en el curso a continuacion, el cual correspondea un curso de calculo integral en una variable. Allı definiremos de una forma precisaa las funciones exponencial y logaritmo natural. De esta manera, en lo que resta de este apuntes,asumiremos que el Teorema 3.5.4 se cumple.

TEOREMA 3.5.5 (Algunos lımites especiales)

i) lım

x!0

ln(1 + x)

x= 1.

ii) lım

x!0

ax � 1

x= ln a si a > 0.

Demostracion.

i) Notemos que

lım

x!0

ln(1 + x)

x= lım

x!0

✓

1

xln(1 + x)

◆

= lımx!0

⇣

ln(1 + x)1

x

⌘

.

De esta forma, como

lım

x!0

(1 + x)1

x

= e y lım

z!eln z = ln e = 1,

concluimos que

lım

x!0

ln(1 + x)

x= lım

x!0

⇣

ln(1 + x)1

x

⌘

= ln

⇣

lım

x!0

(1 + x)1

x

⌘

= 1.

ii) Sea a > 0 fijo, y definamos el cambio de variable

z = ax � 1.

Entonces,z = ax � 1 , ax = 1 + z

, x = loga(1 + z)

, x =

ln(1 + z)

ln a.

Ahora, comolım

z!0

(1 + z) = 1 y lım

u!1

lnu = ln 1 = 0,

entonceslım

z!0

ln(1 + z) = 0.



Desde aquı se deduce que

lım

z!0

ln(1 + z)

ln a= 0,

que implica quez ! 0 , x ! 0.

Luego,

lım

x!0

ax � 1

x= lım

z!0

zln(1+z)ln a

= ln a lım

z!0

1

ln(1+z)z

= ln a. ⌅

3.6. Algunas tecnicas para calcular lımites

En general, las tecnicas descritas a continuacion se usan para calcular lımites de la forma

lım

x!c

f(x)

g(x),

con f(c) = 0 y g(c) = 0. Es decir, si al evaluar directamente la expresion

f(x)

g(x)

en el valor c, que es el valor al cual tiende x, obtenemos una expresion indeterminada del tipo

0

0

.

Entonces, tratamos de hacer arreglos para, en la medida de lo posible, proceder a “levantar” laindeterminacion, intentando nuevamente realizar una evaluacion directa, y/o usar ciertos lımitesconocidos operados segun el Teorema 3.3.1 del algebra de lımites, el Teorema 3.3.2 del lımite deuna funcion compuesta (en el caso de realizar un cambio de variable) y/o los Teoremas 3.5.1, 3.5.4y 3.5.5 sobre algunos lımites relevantes.

3.6.1. Simplificacion

Se factorizan las expresiones en el numerador y en el denominador, y luego se simplifican.

EJERCICIOS 3.6.1 Calcula los siguientes lımites

a) lım

x!�1

x2 + x

x2 � x� 2

b) lım

x!2

x2 � 2x

x2 � 4

c) lım

x! 1

2

6x2 + 7x� 5

2x2 + x� 1

.



Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.6. ALGUNAS TECNICAS PARA CALCULAR LIMITES

3.6.2. Racionalizacion

Se puede racionalizar en el numerador o en el denominador, segun convenga.


a) lım

x!1

x� 1px� 1

b) lım

x!0

3

px+ 1� 1

xc) lım

h!0

px+ h�

px

h.


3.6.3. Uso de lımites especiales

Se hacen los arreglos necesarios para usar los lımites especiales acompanados de algunasformas de lımites conocidos o al cual se le puede aplicar alguna otra tecnica.


a) lım

x!0

ex � e�x

2xb) lım

✓!0

✓

sen (sen ✓)

sen ✓

◆�1

c) lım

x!0

4x3 (ex � 1)

(1� cos (2x))2.


3.6.4. Sustitucion

Se realiza un cambio de variables conveniente que ayude a obtener una expresion mas sencilla,a la cual podamos calcularle su lımite, y/o podamos aplicarle alguna otra tecnica para encontrarel lımite.


a) lım

x!1

6

px� 1

3

px� 1

b) lım

x!4

px� 2

x� 4

c) lım✓!0

sen(3✓)

sen(5✓).


3.6.5. Uso de identidades trigonometricas

Se hacen los arreglos necesarios usando las identidades trigonometricas para obtener algunaforma de lımite conocido o al cual se le puede aplicar alguna otra tecnica.


a) lım

✓!0

+

p1� cos ✓

✓b) lım

✓!0

+

1� cos ✓

sen ✓c) lım

✓!⇡

2

1� sen ✓⇡2

� ✓.



3.7. Lımites infinitos

Observemos el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 3.7.1 Sea f(x) = 1

x , x 6= 0.

a) ¿A que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 0 por la izquierda (esto es, por valoresde x menores que 0)?

b) ¿A que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 0 por la derecha (esto es, por valoresde x mayores que 0)?

Solucion. Recurrimos a una tabla de valores y a nuestra intuicion para responder a cada una deestas preguntas:

x f(x)

�1 �1

�0, 01 �100

�0, 0001 �10000

�0, 000001 �1000000

�0, 00000001 �100000000

... ...x se aprox. f(x) decrecea 0, x < 0. sin lımite.

x f(x)

1 1

0, 01 100

0, 0001 10000

0, 000001 1000000

0, 00000001 100000000

... ...x se aprox. f(x) crecea 0, x > 0. sin lımite.

Entonces podemos afirmar lo siguiente,

a) f(x) no se aproxima a valor real alguno. De hecho, f(x) decrece sin lımite cuando x tiende a 0

por la izquierda. En concordancia con las notaciones previamente introducidas, denotamos aesta situacion de la forma siguiente:

lım

x!0

�

1

x= �1.

b) f(x) no se aproxima a valor real alguno. De hecho, f(x) crece sin lımite cuando x tiende a 0 porla derecha. En concordancia con las notaciones previamente introducidas, denotamos a estasituacion de la forma siguiente:

lım

x!0

+

1

x= +1. ⇤

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.7. LIMITES INFINITOS

DEFINICION 3.7.1 Sea f una funcion real definida en ]a, b[. Decimos que:

i) f(x) crece sin lımite cuando x tiende a a por la derecha si

(8N 2 N)(9� > 0) tal que (0 < x� a < � ) f(x) > N).

En este caso escribimoslım

x!a+f(x) = +1.

ii) f(x) decrece sin lımite cuando x tiende a a por la derecha si

(8N 2 N)(9� > 0) tal que (0 < x� a < � ) f(x) < �N).


x!a+f(x) = �1.

iii) f(x) crece sin lımite cuando x tiende a b por la izquierda si

(8N 2 N)(9� > 0) tal que (�� < x� b < 0 ) f(x) > N).


x!b�f(x) = +1.

iv) f(x) decrece sin lımite cuando x tiende a b por la izquierda si

(8N 2 N)(9� > 0) tal que (�� < x� b < 0 ) f(x) < �N).


x!b�f(x) = �1.

v) la lınea recta vertical x = a es una asıntota vertical de la grafica de f si se verifica i) o ii) y lalinea recta vertical x = b es una asıntota vertical de la grafica de f si se verifica iii) o iv).

Figura 3.6. Grafica de la funcion f(x) = 1

x , x 6= 0.

OBSERVACION 3.7.1 Por simplicidad es usual decir que f tiene lımite infinito positivo en i) o iii) y que ftiene lımite infinito negativo en ii) o iv), pero debe aclararse que esto solo indica un comportamiento de lafuncion, ya que por definicion de lımite, los lımites en i), ii), iii) y iv) no existen.

El resultado basico en esta seccion es el que ya se ha conjeturado en el ejemplo previo.

TEOREMA 3.7.1 Se verifica:

i) lım

x!0

+

1

x= +1

ii) lım

x!0

�

1

x= �1.

Demostracion.

i) Procederemos argumentando por reduccion al absurdo. Esto es, asumamos que el enunciadoes falso, y obtengamos una contradiccion. Dado que estamos asumiendo que el enunciado esfalso, entonces debiesemos tener que

(9N0

2 N) tal que (8� > 0)(9x� 2 R) tal que✓

0 < x� < � ^ 1

x� N

0

◆

.

Esto implica en particular que

(9N0

2 N) tal que (8N 2 N)(9xN 2 R) tal que✓

0 < xN <1

N^ 1

xN N

0

◆

.

Desde aquı, obtenemos que

(9N0

2 N) tal que (8N 2 N)(N < N0

),

que es una contradiccion, pues por el Teorema 1.3.4 de la primera version del principio deArquımedes, el conjunto de los numeros naturales no es acotado superiormente.

ii) La demostracion es analoga a la anterior, por lo tanto se deja como ejercicio. ⌅

Las demostraciones de todos los teoremas que siguen en esta seccion seran omitidas.

TEOREMA 3.7.2 Sea n 2 N. Entonces

i) lım

x!0

+

1

xn= +1

ii) lım

x!0

�

1

xn=

(

�1 si n es impar

+1 si n es par.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.7. LIMITES INFINITOS

TEOREMA 3.7.3 Sean f y g dos funciones definidas en ]a, b[, excepto tal vez para c 2 ]a, b[. Si

lım

x!cf(x) = 0 y lım

x!cg(x) = k,

donde k es una constante distinta de 0, entonces tenemos que:

i) Si k > 0 y si f(x) se aproxima a 0 mediante valores de f(x) positivos, entonces

lım

x!c

g(x)

f(x)= +1.

ii) Si k > 0 y si f(x) se aproxima a 0 mediante valores de f(x) negativos, entonces

lım

x!c

g(x)

f(x)= �1.

iii) Si k < 0 y si f(x) se aproxima a 0 mediante valores de f(x) positivos, entonces

lım

x!c

g(x)

f(x)= �1.

iv) Si k < 0 y si f(x) se aproxima a 0 mediante valores de f(x) negativos, entonces

lım

x!c

g(x)

f(x)= +1.

OBSERVACION 3.7.2 Todos los lımites en el teorema previo pueden reemplazarse por los correspondienteslımites laterales.

EJERCICIOS 3.7.1


a) lım

x!0

�

1

x3b) lım

x!0

+

1

x5c) lım

x!0

�

1

x4d) lım

x!0

+

1

x2.


a) lım

x!3

�

3

(x� 3)

3

b) lım

x!2

+

x+ 2

x2 � 4

c) lım

✓!⇡

2

�tan ✓ d) lım

x!1

+

2x

x� 1

.

3. Encuentra, si es que existen, las asıntotas verticales de las siguientes funciones:

a) f(x) =x+ 2

x2 � 1

b) f(x) =x� 1

x3 � 1

c) f(x) =x

x5 � 1

.

TEOREMA 3.7.4 Sean f y g dos funciones definidas en ]a, b[, excepto tal vez para c 2 ]a, b[, tales que

lım

x!cf(x) = +1 y lım

x!cg(x) = k,

donde k es una constante cualquiera. Entonces

lım

x!c

�

f(x) + g(x)�

= +1 y lım

x!c

�

f(x)� g(x)�

= +1.


lım

x!cf(x) = �1 y lım

x!cg(x) = k,

donde k es una constante cualquiera. Entonces

lım

x!c

�

f(x) + g(x)�

= �1 y lım

x!c

�

f(x)� g(x)�

= �1.

OBSERVACION 3.7.3 Todos los lımites en los dos teoremas previos pueden ser reemplazados por loscorrespondientes lımites laterales.


a) lım

x!3

�

✓

3

(x� 3)

3

+

1

x

◆

b) lım

x!2

+

✓

1

x� 2

+

1

x+ 2

◆

c) lım

✓!⇡�(tan ✓ + cot ✓) .



lım

x!cf(x) = +1 y lım

x!cg(x) = k,

donde k es una constante distinta de 0, entonces tenemos que

i) si k > 0, entonces lım

x!c

�

f(x) · g(x)�

= +1

ii) si k < 0, entonces lım

x!c

�

f(x) · g(x)�

= �1.


lım

x!cf(x) = �1 y lım

x!cg(x) = k,

donde k es una constante distinta de 0, entonces tenemos que

i) si k > 0, entonces lım

x!c

�

f(x) · g(x)�

= �1

ii) si k < 0, entonces lım

x!c

�

f(x) · g(x)�

= +1.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 3.8. LIMITES AL INFINITO

OBSERVACION 3.7.4 Todos los lımites en los dos teoremas previos pueden ser reemplazados por loscorrespondientes lımites laterales. Ademas, en ambos teoremas k 6= 0. Si k = 0 nada podremos afirmaracerca del lımite resultante.


a) lım

x!2

+

✓

4

x� 2

· x+ 2

x+ 3

◆

b) lım

x!0

✓

1

x4· 2

x� 5

◆

c) lım

x!2

�

p4 + x2

x� 2

· x+ 2

x+ 3

!

d) lım

x!1

+

✓

1

1� x· 2

x� 5

◆

.


3.8. Lımites al infinito

Ahora nos interesa encontrar el comportamiento de una funcion f en intervalos abiertos no acotados.En particular, nos interesa conocer el valor hacia el cual se aproxima f(x) cuando x creceilimitadamente (es decir, cuando x se aproxima a +1), o cuando x decrece ilimitadamente (esdecir, cuando x se aproxima a �1).

DEFINICION 3.8.1 Sea f : ]a,+1[! R una funcion. Si existe L 2 R tal que

(8" > 0)(9M > 0) tal que (x > M ) |f(x)� L| < "),

entonces decimos que L es el lımite de f(x) cuando x crece ilimitadamente y escribimos:

lım

x!+1f(x) = L.

OBSERVACION 3.8.1 La expresion “x crece ilimitadamente” puede reemplazarse por “x tiende a infinitopositivo”.

DEFINICION 3.8.2 Sea f : ]�1, b[! R una funcion. Si existe L 2 R tal que

(8" > 0)(9M < 0) tal que (x < M ) |f(x)� L| < "),

entonces decimos que L es el lımite de f(x) cuando x decrece ilimitadamente y escribimos:

lım

x!�1f(x) = L.

OBSERVACION 3.8.2 La expresion “x decrece ilimitadamente” puede reemplazarse por “x tiende a infinitonegativo”.

OBSERVACION 3.8.3 El Teorema 3.3.1 del algebra de lımites tambien es valido cuando reemplazamos“x ! c” por “x ! +1” o “x ! �1”.

El resultado basico en esta seccion es el que se senala a continuacion.

TEOREMA 3.8.1 Se verifica:

i) lım

x!+1

1

x= 0

ii) lım

x!�1

1

x= 0.

Demostracion.

i) Procedemos argumentando por reduccion al absurdo. Esto es, asumimos que el enunciadoes falso, y obtenemos una contradiccion.

Dado que asumimos que el enunciado no se cumple, entonces debemos tener que

(9"0

> 0) tal que (8M 2 N)(9xM 2 R) tal que✓

xM > M ^ 1

xM� "

0

◆

.

Desde aquı, obtenemos que

(9"0

> 0) tal que (8M 2 N)

✓

0 < "0

<1

M

◆

.

Entonces, tomando el ınfimo de los M 2 N, obtenemos que

0 < "0

ınf

⇢

1

M: M 2 N

�

,

que es una contradiccion con lo probado en el Ejemplo 1.3.6, donde se establece que

ınf

⇢

1

M: M 2 N

�

= 0.

ii) La demostracion es analoga a la anterior notando previamente que

sup

⇢

� 1

M: M 2 N

�

= � ınf

⇢

1

M: M 2 N

�

= 0. ⌅

Las demostraciones de todos los teoremas que siguen en esta seccion seran omitidas.

TEOREMA 3.8.2 Sea n 2 N. Entonces

i) lım

x!+1

1

xn= 0

ii) lım

x!�1

1

xn= 0.

Mas generalmente,

lım

x!+1

a0

+ a1

x+ a2

x2 + . . .+ an�1

xn�1

+ anxn

b0

+ b1

x+ b2

x2 + . . .+ bm�1

xm�1

+ bmxm=

8

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

:

0 si n < manbm

si n = m

+1 si n > m yanbm

> 0

�1 si n > m yanbm

< 0.

OBSERVACION 3.8.4 En el infinito tambien pueden considerarse definiciones formales para “lımitesinfinitos”, tales como:

lım

x!+1f(x) = +1, lım

x!�1f(x) = +1, lım

x!+1f(x) = �1 y lım

x!�1f(x) = �1.

Recuerda que en cualquiera de estos casos el lımite no existe, pues solo se trata de una expresion matematicaque indica el tipo de comportamiento de la funcion para valores de |x| cada vez mas grandes. En estos casospodemos usar los criterios de lımites al infinito, pero no el Teorema 3.3.1 del algebra de lımites.

EJERCICIOS 3.8.1 Calcula los siguientes lımites:

a) lım

x!+1

4x� 3

2x+ 5

b) lım

x!�1

2x2 � x+ 5

4x3 � 1

c) lım

x!+1

x2

x+ 1

d) lım

x!+1

3x+ 4p2x2 � 5

e) lım

x!�1

x� 2p2x2 � 8

f) lım

x!+1

2x� x2

3x+ 5

.


DEFINICION 3.8.3 Sea L 2 R. Decimos que la recta y = L es una asıntota horizontal de la graficade una funcion f si se verifica al menos una de las siguientes condiciones:

i) lım

x!+1f(x) = L

ii) lım

x!�1f(x) = L.

EJERCICIOS 3.8.2 Encuentra, si existen, las asıntotas horizontales de las siguientes funciones:

a) f(x) =3x� 5

3

p2x3 � x2 + 1

x 2 Dom(f) b) f(x) =6x3 + 3x2 � 8

7x4 + 16x2 + 2

x 2 Dom(f).

TEOREMA 3.8.3 (Algunos lımites especiales al infinito)

i) lım

x!±1

✓

1 +

1

x

◆x

= e

ii) lım

x!+1ax = 0 si 0 a < 1.

EJERCICIOS 3.8.3 Calcula los siguientes lımites:

a) lım

x!+1

✓

x+ 1

bx

◆cx

b > 0, c 2 R b) lım

x!+1

✓

ax+ 1

x+ 1

◆x

a > 0

c) lım

x!+1

(

2

x + 2)

2x

9

2x�1

d) lım

x!+1

2

x(x+ 1)

5

x(3x+ 2)

.


DEFINICION 3.8.4 Sea m 2 R \ {0} y sea n 2 R. Decimos que la recta y = mx+ n es una asıntotaoblicua de la grafica de una funcion f si se verifica al menos una de las siguientes condiciones:

i) lım

x!+1(f(x)� (mx+ n)) = 0

ii) lım

x!�1(f(x)� (mx+ n)) = 0.

OBSERVACION 3.8.5 La recta y = mx+ n es una asıntota oblicua de la grafica de una funcion f , si paraa = �1 o para a = +1 se tiene que

lım

x!a(f(x)� (mx+ n)) = 0 ) lım

x!a

f(x)�mx� n

x= 0

) lım

x!a

✓

f(x)

x�m� n

x

◆

= 0

) lım

x!a

f(x)

x= m.

Luego, en la busqueda de una asıntota oblicua de la grafica de f podemos proceder como sigue:

Primero calculamoslım

x!a

f(x)

x.

Si el lımite previo no existe, inmediatamente descartamos la existencia de la asıntota oblicua;mientras que si el lımite previo existe, su valor sera m; es decir

m = lım

x!a

f(x)

x.

Ademas, el valor de n se puede obtener tal como se observa a continuacion:

n = lım

x!a(f(x)�mx) .

EJEMPLO 3.8.1 Encuentra todas las asıntotas de la funcion

f(x) =x⇣

x+

px2 + x+ 1

⌘

x� 1

x 6= 1.

Solucion.

Partimos analizando la existencia de asıntotas verticales; para ello debemos estudiar todoslos lımites donde la funcion se indetermina. Entonces calculamos

lım

x!1

�f(x) = lım

x !x<1

1

x⇣

x+

px2 + x+ 1

⌘

x� 1

tiene la forma constante positiva�

1 +

p3

�

dividida por cero, acercandose a cero con valores negati-vos, luego

lım

x!1

�f(x) = lım

x !x<1

1

x⇣

x+

px2 + x+ 1

⌘

x� 1

= �1,

de donde se deduce que x = 1 es asıntota vertical.

Ahora analizamos las asıntotas horizontales; para ello debemos tomar el lımite de la funcioncuando x ! ±1.

(1o) Tenemos

lım

x!+1f(x) = lım

x!+1

x⇣

x+

px2 + x+ 1

⌘

x� 1

= lım

x!+1

✓

x

x� 1

⇣

x+

p

x2 + x+ 1

⌘

◆

que tiene la forma constante positiva (a saber 1) por infinito positivo, luego

lım

x!+1f(x) = +1.

(2o) Ahora vemos que sucede con

lım

x!�1f(x) = lım

x!�1

x⇣

x+

px2 + x+ 1

⌘

x� 1

= lım

x!�1

✓

x

x� 1

⇣

x+

p

x2 + x+ 1

⌘

◆

En este caso, el lımite podrıa existir, ya que⇣

x+

px2 + x+ 1

⌘

podrıa tender a un valorconstante cuando x tiende a �1.


Veamos, lo que acontece: Ponemos u = �x, y obtenemos

lım

x!�1

✓

x

x� 1

⇣

x+

p

x2 + x+ 1

⌘

◆

= lım

u!+1

✓

�u

�u� 1

⇣

�u+

p

u2 � u+ 1

⌘

◆

= lım

u!+1

0

@

u

u+ 1

⇣

�u+

p

u2 � u+ 1

⌘

⇣

u+

pu2 � u+ 1

⌘

⇣

u+

pu2 � u+ 1

⌘

1

A

= lım

u!+1

0

@

u

u+ 1

�

�u2 + u2 � u+ 1

�

⇣

u+

pu2 � u+ 1

⌘

1

A

= � lım

u!+1

u(u� 1)

(u+ 1)

⇣

u+

pu2 � u+ 1

⌘

= � lım

u!+1

u2 � u

u2 + u+ upu2 � u+ 1 +

pu2 � u+ 1

·1

u2

1

u2

= � lım

u!+1

u2

u2

� uu2

u2

u2

+

uu2

+

uu

q

u2

u2

� uu2

+

1

u2

+

q

u2

u4

� uu4

+

1

u4

= �1

2

.

Por lo tanto,

y = �1

2

es una asıntota horizontal.

Resta ver si existen asıntotas oblicuas. Recordemos que una asıntota oblicua tiene la formay = mx+ n, si para a = �1 o para a = +1 se tiene que

lım

x!a

f(x)

x= m y lım

x!a(f(x)�mx) = n.

Como ya sabemos el comportamiento de la funcion en �1, solo debemos preocuparnos delo que sucede en +1. Ahora calculamos los lımites correspondientes. Tenemos:

lım

x!+1

f(x)

x= lım

x!+1

x+

px2 + x+ 1

x� 1

·1

x1

x

= lım

x!+1

xx +

q

x2

x2

+

xx2

+

1

x2

xx � 1

x

= 2.

Por lo tanto,

m = 2.



Con este valor de m vamos a calcular n. Tenemos

lım

x!+1(f(x)� 2x) = lım

x!+1

✓

x

x� 1

(x+

p

x2 + x+ 1)� 2x

◆

= lım

x!+1

✓

⇣

x+

p

x2 + x+ 1� 2(x� 1)

⌘ x

x� 1

◆

= lım

x!+1

✓

⇣

x+

p

x2 + x+ 1� 2x+ 2

⌘ x

x� 1

◆

= lım

x!+1

✓

⇣

p

x2 + x+ 1� x+ 2

⌘ x

x� 1

◆

.

Notemos ahora que

lım

x!+1

⇣

p

x2 + x+ 1� x⌘

= lım

x!+1

⇣

p

x2 + x+ 1� x⌘

⇣px2 + x+ 1 + x

⌘

⇣px2 + x+ 1 + x

⌘

= lım

x!+1

x2 + x+ 1� x2⇣p

x2 + x+ 1 + x⌘

= lım

x!+1

x+ 1

⇣px2 + x+ 1 + x

⌘ ·1

x1

x

= lım

x!+1

xx +

1

x✓

q

x2

x2

+

xx2

+

1

x2

+

xx

◆

=

1

2

ylım

x!+1

x

x� 1

= 1.

Se sigue que

lım

x!+1(f(x)� 2x) = lım

x!+1

✓

x

x� 1

(x+

p

x2 + x+ 1)� 2x

◆

= lım

x!+1

✓

⇣

p

x2 + x+ 1� x+ 2

⌘ x

x� 1

◆

= lım

x!+1

✓

⇣

p

x2 + x+ 1� x⌘ x

x� 1

+

2x

x� 1

◆

=

1

2

· 1 + 2 · 1

=

5

2

.

Por lo tanto, la funcion f(x) posee una asıntota oblicua dada por la recta y = 2x+

5

2

. ⇤



EJERCICIOS 3.8.4 Encuentra, de existir, las asıntotas oblicuas de las siguientes funciones

a) f(x) =x2

x� 2

b) f(x) =x3 � 4

x2c) f(x) =

4x3 + 5

�6x2 � 7x.



Autoevaluacion 3.1

1. Lımites. Calcula el siguiente lımite

lım

x!2

�

(x2 + 4x+ 4) sen

2

(x� 2)

(x2 � 4)

2

(3� x)2

x�2

!

.

2. Lımites. Calcula el valor de:

a) lım

x!2

p2x� 3 � 5

p2x� 3

x� 2

b) lım

x!m

xpx�m

pmp

x�pm

, con m 2 R fijo y positivo

c) a que permita verificar la igualdad

lım

x!a

x2 � 4

x2 � 3x+ 2

= 4.

3. Lımites. Calcula los siguientes lımites:

a) lım

x!0

x� 1

x

1� x

!

✓

x+ senx

1� senx

◆

b) lım

x!+1

✓

1 + sen

1

x

◆x

.

4. Asıntotas. Considera la funcion f definida por

f(x) =x2 � 2x+ 2

x� 1

8x 2 R \ {1}.

Encuentra todas las asıntotas de la funcion.


Autoevaluacion 3.2

1.



Capıtulo 4

Continuidad

E l concepto de continuidad de una funcion es muy importante en el modelamiento matematicode ciertos fenomenos de naturales tales como el crecimiento de un ser vivo o el movimiento de unobjeto. Similarmente, tambien es importante el concepto de discontinuidad de una funcion, todavez que permite comprender mejor algunos fenomenos fısicos tales como el de la corriente electrica,que puede ser alterna o continua.

4.1. Continuidad de una funcion real

DEFINICION 4.1.1 Sea f : D ⇢ R! R una funcion real. Decimos que

f es continua en c 2 ]a, b[, con ]a, b[⇢ D, si

i) 9 lımx!c

f(x),

ii) lım

x!cf(x) = f(c).

f es continua por la derecha de c 2 [a, b[, con [a, b[⇢ D, si

i) 9 lım

x!c+f(x),

ii) lım

x!c+f(x) = f(c).

f es continua por la izquierda de c 2 ]a, b], con ]a, b] ⇢ D, si

i) 9 lım

x!c�f(x),

ii) lım

x!c�f(x) = f(c).

f es discontinua en c si f no es continua en c.

OBSERVACION 4.1.1 Una funcion es continua en ]a, b[ si ella es continua en cada c 2 ]a, b[. Una funciones continua en [a, b] si ella es continua en cada punto c 2 ]a, b[, es continua por izquierda en a y es continuapor derecha en b. El concepto de continuidad tambien puede ser extendido a intervalos de la forma [a, b[ y]a, b].

177

CAPITULO 4. CONTINUIDAD [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

OBSERVACION 4.1.2 Se deduce desde las definiciones anteriores que f es continua en c 2 ]a, b[ si

i) 9 lım

x!c+f(x)

ii) 9 lım

x!c�f(x)

iii) lım

x!c�f(x) = lım

x!c+f(x) = f(c).

OBSERVACION 4.1.3 Una definicion equivalente para el concepto de continuidad de una funcion en unpunto es la siguiente: Sea f : ]a, b[! R una funcion, y sea c 2 ]a, b[. Entonces, f es continua en c si y solosi

(8" > 0)(9� > 0) tal que (8x 2 ]a, b[)(|x� c| < � ) |f(x)� f(c)| < ").

DEFINICION 4.1.2 Sea f : ]a, b[! R una funcion que es discontinua en c 2 ]a, b[. Decimos que taldiscontinuidad es

Reparable o evitable si mediante una simple redefinicion de la funcion en c, la funcionredefinida resulta continua en c.

Irreparable o no evitable si tal discontinuidad no se puede evitar mediante una simpleredefinicion de la funcion en c.

OBSERVACION 4.1.4 De acuerdo a la definicion de continuidad de una funcion f en un valor c:

i) Una funcion f posee una discontinuidad reparable en un valor c si

9 lımx!c

f(x).

ii) Una funcion f posee una discontinuidad irreparable en un valor c si

6 9 lımx!c

f(x).

Notemos que el valor c puede pertenecer o no al dominio de f .

TEOREMA 4.1.1 Supongamos que existe el lım

x!cf(x) y que lım

x!cf(x) = L 2 R. Entonces son

equivalentes

i) lım

x!cf(x) = L

ii) lım

h!0

f(c+ h) = L

iii) lım

x!c(f(x)� L) = 0.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 4.1. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION REAL

Demostracion.

i) , ii) lım

x!cf(x) = L , (8" > 0)(9� > 0) tal que (0 < |x� c| < � ) |f(x)� L| < ")

, (8" > 0)(9� > 0) tal que (0 < |x� c| < � ) |(f(x)� L)� 0| < ")

, lım

x!c(f(x)� L) = 0.

i) , iii) Pongamos g(h) = c+ h con h en una vecindad del 0. Entonces

lım

h!0

g(h) = lım

h!0

(c+ h) = c.

Ademas, si ponemos x = c+ h, entonces

x ! c , h ! 0.

Finalmente, aplicando el Teorema 3.3.2 (vea tambien la Observacion 3.3.2), obtenemos que

lım

h!0

f(c+ h) = lım

h!0

f(g(h))

= lım

x!cf(x)

= L. ⌅

EJERCICIOS 4.1.1

1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en el valor indicado:

a) f(x) =

8

>

<

>

:

|x� 2|x� 2

si x < 2

ex�2 si x � 2

en x = 2

b) f(x) =

8

>

>

<

>

>

:

x2 + 5

25� 10xsi x 6= �2

1

5

si x = �2

en x = �2

2. Analiza las discontinuidades enR de las siguientes funciones. Indica cuales son reparablesy cuales no. Justifica adecuadamente.

a) f(x) =x2 + 2x

x� 1

b) f(x) =x2 � 3x+ 2

x2 � 5x+ 6

c) f(x) =x2 + 4x+ 4

x2 + x� 2

d) f(x) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

senx

xsi x < 0

0 si x = 0

1�px

1 +

px

si x > 0


4.2. Propiedades de las funciones continuas

TEOREMA 4.2.1 (Algebra de funciones continuas) Sean f y g dos funciones reales con dominiocomun D. Sea a 2 int(D) y supongamos que f y g son continuas en a. Entonces:

f + g, f � g y f · g son continuas en a.

Si ademas g(a) 6= 0, entoncesf

ges continua en a.

Demostracion. Asumamos que f y g son funciones continuas en a. Luego,

9 lım

x!af(x) y 9 lım

x!ag(x),

conlım

x!af(x) = f(a) y lım

x!ag(x) = g(a).

Entonces, aplicando el Teorema 3.3.1, obtenemos que

9 lım

x!a(f + g), 9 lım

x!a(f � g) y 9 lım

x!a(f g),

y si ademas, g(a) 6= 0, entonces tambien

9 lım

x!a

f(x)

g(x).

Mas particularmente, obtenemos que

lım

x!a(f(x) + g(x)) = f(a) + g(a),

lım

x!a(f(x)� g(x)) = f(a)� g(a)

ylım

x!a(f(x) g(x)) = f(a) g(a),

y si ademas, g(a) 6= 0, entonces tambien

lım

x!a

f(x)

g(x)=

f(a)

g(a).

En consecuencia, f + g, f � g y f g son funciones continuas en a, lo mismo que la funcion fg

cuando g(a) 6= 0. ⌅

El Teorema a continuacion es una consecuencia directa de los Teoremas 3.5.1, 3.5.2 y 3.5.4, y dela definicion de funcion continua.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 4.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

TEOREMA 4.2.2 (Continuidad de funciones trigonometricas, exponenciales, logarıtmicas,polinomiales y radicales) Las siguientes funciones son continuas:

f(x) = senx, x 2 R, f(x) = cosx, x 2 R f(x) = ex, x 2 R f(x) = ln x, x > 0

f(x) = p(x), x 2 R, con p(x) un polinomio f(x) = xn

m , x 2 Dom(f), con n,m 2 N.

Otro resultado de nuestro interes es el siguiente.

TEOREMA 4.2.3 (Lımites y funciones continuas) Sea f una funcion real que es continua en L 2 Ry sea g una funcion real tal que lım

x!ag(x) = L. Entonces

lım

x!af�

g(x)�

= f⇣

lım

x!ag(x)

⌘

= f(L).

La demostracion del Teorema 4.2.3 es muy similar a la del Teorema 3.3.2, por lo que aquı la omitimos.Ahora, una consecuencia directa del Teorema 4.2.3 previo, junto a la definicion de funcion continua,es el siguiente resultado.

COROLARIO 4.2.1 (Lımite de la composicion de funciones continuas) Sean f y g dos funcionesreales tales que Rec(g) ⇢ Dom(f). Si a 2 Dom(g) es tal que g es continua en a y f es continua eng(a) 2 Dom(f), entonces

f � g es continua en a.

EJEMPLO 4.2.1 ¿Es f(x) = ex + senx una funcion continua en R?

Solucion. Sı, f es continua es una funcion continua en R pues ex y senx lo son en R. ⇤

EJEMPLO 4.2.2 Indica el conjunto donde f(x) = tanx es una funcion continua.

Solucion. La funcion f(x) = tanx es continua en R \n

(2n�1)

2

⇡ : n 2 Zo

pues

tanx =

senx

cosx8x 2 R \ {z 2 R : cos z 6= 0}

y sabemos que senx y cosx son continuas en todo R, con cosx 6= 0 para todo x 6= (2n�1)

2

⇡, n 2 Z.⇤

EJEMPLO 4.2.3 ¿Es f(x) = sen

�

log x�

, x > 0, una funcion continua?

Solucion. Sı, f es continua en R+ pues es la compuesta de las funciones continuas senx, x 2 R, ylog x, x > 0. ⇤


EJERCICIOS 4.2.1

1. Estudia la continuidad de las siguientes funciones. En caso de discontinuidad en un punto,indica si ella es reparable o no, y reparala de ser posible:

a) f(x) = cos(x2 � 5x+ 2) b) f(x) =senx

xc) f(x) =

sen(3x+ ⇡)

ex � 1

d) f(x) =

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

tan(2x)

sen(3x)si x < 0

1 si x = 0

7x2 � 3x� 3 si x > 0

e) f(x) = cos

1

x2

2. Determina los valores de ↵ y �, si existen, para que la funcion f sea continua en todo R:

a) f(x) =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

↵x si x 1

↵x2 + �x+ 3 si 1 < x 4

� si x > 4

b) f(x) =

8

>

>

>

>

<

>

>

>

>

:

x2 � 3x+ 2

x� 2

si x < 2

↵ si x = 2

↵x+ � si x > 2

c) f(x) =

8

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

:

↵x3 � 1

x� 1

+ � si x < 1

2↵x� 3 si 1 x 2

�x2 + 3x� 10

x� 2

si x > 2

d) f(x) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

sen((1� ↵)x)

xsi x < 0

�(x� ↵)2 si 0 x < 1

sen((x� 1)↵)

lnxsi x > 1.


4.3. Teorema del valor intermedio

TEOREMA 4.3.1 (Ley de conservacion del signo) Sea f : ]a, b[! R una funcion y sea c 2 ]a, b[. Sif es continua en c y f(c) 6= 0, entonces existe � > 0 tal que f posee el mismo signo que f(c) en]c� �, c+ �[\ ]a, b[.

Demostracion. Para fijar ideas, supongamos que f(c) > 0.Como f es continua en c, entonces dado " > 0, existe �" > 0 tal que

(8x 2 ]a, b[)(|x� c| < �" ) |f(x)� f(c)| < ").

En particular, para " = f(c)2

> 0, existe � > 0 tal que

(8x 2 ]a, b[)

✓

|x� c| < � ) |f(x)� f(c)| < f(c)

2

◆

,

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 4.3. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

o equivalentemente

c� � < x < c+ � ^ a < x < b ) f(c)

2

< f(x) <3 f(c)

2

. ⌅

TEOREMA 4.3.2 (Teorema de Bolzano) Sea f : [a, b] ! R una funcion continua en [a, b] tal quef(a) y f(b) poseen signos contrarios. Entonces existe al menos un punto c 2 ]a, b[ tal que f(c) = 0.

Demostracion. Para fijar ideas, supongamos que f(a) < 0 < f(b). Definamos

A = {x 2 [a, b] : f(x) 0}.

Notemos que A ⇢ [a, b] y que a 2 A, de donde obtenemos que A es acotado y A 6= ?. Luego, poraxioma del supremo, A posee supremo. Es decir, existe c = sup(A) tal que a c < b.

Ahora, resta probar que f(c) = 0. Razonaremos por reduccion al absurdo. Supongamos quef(c) 6= 0. Entonces, como f es continua en c 2 ]a, b[, por la Ley de conservacion del signo, existe� > 0 tal que

c� � < x < c+ � ^ a < x c, tal que f(x0

) < 0. De esta forma,x0

2 A, con x0

> c, pero c = sup(A) implica que c � x0

, una contradiccion.

Si f(c) > 0, entonces para x > c se tiene f(x) > 0. Por otro lado, de existir x0

2 ]a, b[, conx0

< c, tal que f(x0

) > 0. Mas aun, para x0

< x c se tiene f(x) > 0. De esta forma, x0

62 A,x0

< c, con x0

siendo una cota superior para el conjunto A, pero c = sup(A) implica que c esla menor de las cotas superiores, y entonces c x

0

, nuevamente una contradiccion. ⌅

COROLARIO 4.3.1 (Propiedad de Darboux: Teorema del valor intermedio) Sea f : [a, b] ! R

una funcion continua en [a, b] tal que f(a) 6= f(b). Entonces, para cada numero k entre f(a) yf(b) existe un numero c 2 ]a, b[ tal que f(c) = k.

Demostracion. Para fijar ideas, supongamos que f(a) < f(b) y sea k 2 ]f(a), f(b)[. Definamosahora la funcion

g(x) = f(x)� k 8x 2 [a, b].

Claramente g es continua en [a, b] y satisface g(a) = f(a) � k < 0 y g(b) = f(b) � k > 0. Luego,desde el Teorema 4.3.2 de Bolzano, obtenemos que existe c 2 ]a, b[ tal que g(c) = f(c) � k = 0, dedonde se deduce que f(c) = k. ⌅

EJERCICIOS 4.3.1

1. Encuentra, si es posible, un numero c 2 Dom(f) tal que f(c) = k. Considerando los intervalosde definicion. ¿En cuales de estos casos es aplicable el Teorema 4.3.1 del valor intermedio?

a) f(x) = 2 + x� x2, x 2 [0, 3], k = 1 b) f(x) =

8

<

:

x� 1 si 0 x 2

x2 si 2 < x 3

, k = 3

c) f(x) =4

x+ 2

, x 2 [�1, 10], k =

1

2

.

2. Sea f(x) = x5 � x3 + 2x� 1 con f(0) = �1 y f(1) = 1. Verifica que existe una raız de f(x).

3. Prueba que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raız real.

4. Sea f(x) = x+ senx� 1. Prueba que existe al menos una raız real de la ecuacion f(x) = 0.

5. La funcion y = tanx toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo [

⇡4

, 3⇡4

] ysin embargo no se anula en el. ¿Contradice esto el Teorema 4.3.2 de Bolzano? Sugerencia:Observa lo que sucede en x =

⇡2

.


4.4. Criterio para maximos y mınimos globales

DEFINICION 4.4.1 Sea I ⇢ R un intervalo, sea f : I ! R una funcion y sea c 2 I . Decimos que:

i) f alcanza un maximo global (o maximo absoluto) en c, si

f(c) = sup

x2 If(x).

ii) f alcanza un mınimo global (o mınimo absoluto) en c, si

f(c) = ınf

x2 If(x).

iii) f alcanza un valor extremo global (o valor extremo absoluto) en c, si f alcanza un mınimo globalo un maximo global en c.

Un resultado preliminar, relacionado con nuestro principal objetivo en esta seccion, es el quepresentamos a continuacion, el cual establece que si una funcion es continua en un punto, entoncesella es acotada en una vecindad del punto.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 4.4. CRITERIO PARA MAXIMOS Y MINIMOS GLOBALES

TEOREMA 4.4.1 (Acotamiento local de una funcion continua en un punto) Sea f : ]a, b[! R unafuncion y sea c 2 ]a, b[. Si f es continua en c, entonces f es acotada en una vecindad de c.

Demostracion. Como f es continua en c, tenemos que dado 1 > 0, existe � > 0 suficientementepequeno, tal que ]c� �, c+ �[⇢ ]a, b[ y se verifica que

|f(x)� f(c)| < 1 8x 2 ]c� �, c+ �[,

o equivalentemente

�1 + f(c) < f(x) < 1 + f(c) 8x 2 ]c� �, c+ �[.

Desde aquı se deduce que

|f(x)| < 1 + |f(c)| 8x 2 ]c� �, c+ �[. ⌅

TEOREMA 4.4.2 (Acotamiento global de una funcion continua en un intervalo cerrado) Seaf : [a, b] ! R una funcion continua en [a, b]. Entonces, f es acotada en [a, b].

Demostracion. Haremos la demostracion por reduccion al absurdo. Es decir, supondremos que f

no es acotada en [a, b] y llegaremos a una contradiccion.Partimos realizando el siguiente proceso: dividimos el intervalo I

0

= [a, b] en dos intervaloscerrados de igual longitud que se traslapan en un extremo donde termina uno y comienza el otro.De entre estos dos intervalos cerrados escogemos uno de ellos, que llamamos I

1

= [a1

, b1

], en elcual f no es acotada. Notemos que a a

1

y que b1

b. A continuacion repetimos el proceso sobreeste intervalo cerrado; es decir, lo dividimos en otros dos intervalos cerrados de igual longitudque se traslapan en un extremo donde termina uno y comienza el otro, y escogemos uno de ellos,que llamamos I

2

= [a2

, b2

], donde la funcion f no es acotada, y ası sucesivamente. Notemos quea1

a2

y que b2

b1

. Por lo tanto, hemos creado una familia de intervalos cerrados {Ii}i2N talesque

Ii ⇢ Ii�1

8i 2 N,

por lo que decimos que es una familia de intervalos cerrados encajonados, con

a ai ai+1

< bi+1

bi b 8i 2 N.

Notemos tambien que la longitud del intervalo Ii es igual a

b� a

2

i8i 2 N

0

.

De esta forma, el conjunto {ai : i 2 N} y el conjunto {bi : i 2 N} son ambos no vacıos y acotadosinferiormente por a y superiormente por b, por lo cual, de acuerdo al Axioma del supremo 1.3.1 y el

Axioma del ınfimo 1.3.1, poseen supremo e ınfimo. Por construccion se verifica que existe c 2 ]a, b[

tal queai sup

n2Nan c ınf

n2Nbn bi 8i 2 N.

Desde aquı, teniendo en cuenta que toda interseccion de intervalos cerrados encajonados es unintervalo cerrado, que si r 2 R, entonces {r} = [r, r] tambien es un intervalo cerrado, y que lalongitud de Ii (que es igual a bi� ai) tiende a cero cuando i tiende a infinito, podemos deducir que

+1\

i=1

Ii = {c}.

Pero, al ser f continua en c, desde el Teorema 4.4.1, obtenemos que f es acotada en una vecindadde c, con lo que llegamos a una contradiccion. ⌅

El siguiente teorema nos entrega un resultado que garantiza la existencia de maximos y mınimosglobales de una funcion continua en un intervalo cerrado.

TEOREMA 4.4.3 (Teorema de Weierstrass) Sea f : [a, b]! Runa funcion continua en [a, b]. Entonces

(9c1

, c2

2 [a, b]) tales que

f(c1

) = mın

x2 [a,b]f(x) = ınf

x2 [a,b]f(x) ^ f(c

2

) = max

x2 [a,b]f(x) = sup

x2 [a,b]f(x)

!

.

Demostracion. Desde el Teorema 4.4.2, tenemos que f es acotada en [a, b], que equivale a decir queRec(f) es acotado, y como Rec(f) 6= ? (pues f(a) 2 Rec(f)), desde el Axioma del supremo 1.3.1 yel Axioma del ınfimo 1.3.1, obtenemos que Rec(f) posee supremo M e ınfimo m. Vamos a probarque M es el maximo de f en [a, b] y que m es el mınimo de f en [a, b].

Para probar que M es el maximo de f en [a, b] procederemos por reduccion al absurdo. Esdecir, asumiremos que f no alcanza el valor M en [a, b], o equivalentemente, asumiremos queM 62 Rec(f), y probaremos que se produce una contradiccion.

Por conveniencia, introducimos la funcion

g(x) =1

M � f(x)8x 2 [a, b],

que esta bien definida, pues f(x) 6= M en cada x 2 [a, b]. Ahora, notemos que por el Teorema4.2.1 algebra de funciones continuas, la funcion g resulta ser continua en [a, b], y desdeel Teorema 4.4.2 de acotamiento global de una funcion continua en un intervalo cerrado,obtenemos que g es acotada en [a, b]. Por lo tanto, existe K > 0 tal que

1

M � f(x)< K 8x 2 [a, b].

Desde aquı, teniendo en cuenta que M � f(x) > 0, obtenemos que

f(x) < M � 1

K8x 2 [a, b],

de donde obtenemos que

M = sup

x2[a,b]f(x) M � 1

K< M ,

lo cual es una contradiccion.

Para probar que m es el mınimo de f en [a, b] se puede proceder de forma analoga al casoprevio, por lo que omitimos la prueba de este caso.

Como m es el mınimo de f en [a, b], existe c1

2 [a, b] tal que

mın

x2[a,b]f(x) = f(c

2

) = m = ınf

x2[a,b]f(x)

y como M es el maximo de f en [a, b], existe c2

2 [a, b] tal que

max

x2[a,b]f(x) = f(c

1

) = M = sup

x2[a,b]f(x). ⌅

COROLARIO 4.4.1 Sea f : [a, b] ! R una funcion continua en [a, b]. Entonces, f([a, b]) es unintervalo cerrado y acotado en R.

Demostracion. Por el Teorema 4.4.3 de Weierstrass, existen c1

, c2

2 [a, b] tales que

f(c1

) = mın

x2[a,b]f(x) y f(c

2

) = max

x2[a,b]f(x).

Si f(c1

) = f(c2

), entonces f es la funcion constante y se verifica que

f([a, b]) = Rec(f) = {k} = [k, k],

para algun k 2 R.

Si f(c1

) 6= f(c2

), entonces por el Teorema 4.3.1 del valor intermedio, f alcanzara todos losvalores comprendidos entre f(c

2

) y f(c1

), de donde obtendremos que

f([a, b]) = Rec(f) = [f(c1

), f(c2

)]. ⌅

EJERCICIOS 4.4.1

1. Sea f(x) = sen(x), x 2 [0, 2⇡]. ¿Alcanza f su valor maximo global y/o su valor mınimoglobal en [0, 2⇡]?

2. Sea f la funcion definida por

f(x) =

(

0 si x < 0

1 si x � 0.

¿Alcanza f su valor maximo y/o su valor mınimo en [�1, 1]? ¿Contradice este hecho alTeorema 4.4.3 de Weierstrass?

3. Considera f como

f(x) =

(

x2 si x < 2

x+ 2 si x � 2.

¿Es f acotada en el intervalo [�1, 4]?

4. Sea f : [0, 1] ! [0, 1] una funcion continua y sobreyectiva. Prueba que f tiene un punto fijo;es decir, pruebe que existe x

0

2 [0, 1] tal que f(x0

) = x0

.

5. Sea f : [0, 1] ! R un funcion continua y supongamos que, para cada x 2 [0, 1] puedeencontrarse y 2 [0, 1] tal que |f(x)| > 2|f(y)|. Prueba que existe c 2 [0, 1] tal que f(c) = 0.



Autoevaluacion 4.1

1. Continuidad. Sea

f(x) =

(

cos

�

⇡x2

�

si � 1 x 1

|x� 1| si |x| > 1.

Estudia la continuidad de f en x = �1 y x = 1.

2. Continuidad. Sea e el numero exponencial, y sean a y b dos numeros reales. Dada la funcion

f(x) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

a(x3 � 1) tan(x� 1)

(x2 � 2x+ 1)

+

sen(⇡x) + ⇡b

⇡xsi x < 1

4 si x = 1

a� b

e+ 1

⇣

x1

x�1

+ 1

⌘

si x > 1,

encuentra a y b adecuados para que la funcion f sea continua en x = 1.

3. Continuidad. Considera la funcion f : R \ {�1} ! R definida por

f(x) =

8

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

:

x� 1

3x2 � 3

si x < 1

1

2

si x = 1

p2x� 1�

px

sen(3(x� 1))

si x > 1.

a) Determina si f es continua en x = 1.

b) En caso que tu respuesta en a) sea negativa, indica si se puede reparar.

4. Teorema de Bolzano. Prueba que la ecuacion 2x7 = 1� x tiene una solucion en [0, 1].


Autoevaluacion 4.2

1. Continuidad.

a) Sea

f(x) =

8

>

<

>

:

xpx�

p8p

x� 2

si x > 2

ax+ 1 si x < 2.

¿Para que valor de a existe lım

x!2

f(x)?

b) Sea

f(x) =

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

x3 + x senx

x2si x < 0

0 si x = 0

1�px

1 +

px

si x > 0.

Determina si f es continua o no. En caso de no ser continua en algun punto, indica si esreparable o no, y reparala en caso de ser reparable.

2. Continuidad.

a) Considera la funcion

f(x) =

8

>

>

<

>

>

:

4x3 si x < 1

4 si x = 1

3x+ 1 si x > 1.

Prueba que f es continua en R.

b) Considera la funcion

f(x) =

8

<

:

x2 sen1

xsi x 6= 0

0 si x = 0.

¿Es f continua en x = 0?

3. Continuidad. Sean f, g, h y k cuatro funciones reales continuas en R, siendo h y f estrıcta-mente positivas en todo R, y sea F : R! R la funcion definida por

F (x) = (f(x))2✓

(g � k)(x) + 2

h(x)

◆

8x 2 R.

Asume adicionalmente que

lım

x!+1k(x) = lım

x!+1h(x) = +1,

lım

x!+1f(x) = sen↵ con 0 < ↵ <

⇡

2

,

lım

x!+1F (x) = ↵2

y que9 lım

x!+1g(x).

Para que lım

x!+1g(x) posea un valor muy cercano a 1, ¿A que valor debe estar muy cercano

↵?. Justifica apropiadamente tu respuesta.

4. Teorema del valor intermedio. Sea f(x) = ln(x�1)

10

x , x 2 ]1,+1[.

a) Prueba que existe c 2 [2, 4] tal que f(c) = 1.

b) Prueba que existe c 2 [4,1[ tal que f(c) = 0,1.

Parte III

La Derivada y sus Aplicaciones

191

Capıtulo 5

La Derivada

En el presente capıtulo vamos a introducir el concepto de derivada de una funcion en un punto,y a establecer sus propiedades mas importantes. Ademas, discutiremos dos interpretaciones clasicasde la derivada: una interpretacion geometrica, relacionada con la pendiente de la recta tangente auna curva en un punto dado; y otra fısica, relacionada con la razon de cambio de ciertas magnitudesen el tiempo. Otras utilidades de la derivada y sus aplicaciones seran estudiadas en el capıtulosiguiente.

5.1. Definicion de la derivada de una funcion

DEFINICION 5.1.1 Sea f : ]a, b[! R una funcion y sea x0

2 ]a, b[. Decimos que f es derivable en x0

si

9 lımh!0

f(x0

+ h)� f(x0

)

h,

en cuyo caso escribimos

f 0(x

0

) = lım

h!0

f(x0

+ h)� f(x0

)

h,

entendiendo que f 0(x

0

) es la derivada de f en x0

.

EJEMPLO 5.1.1 Sea f(x) = c. Calcula f 0(x).

Solucion. Tenemos,

f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

= lım

h!0

c� c

h

= 0. ⇤

EJEMPLO 5.1.2 Sea f(x) = x. Calcula f 0(x).

193

CAPITULO 5. LA DERIVADA [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

Solucion. Tenemos,

f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

= lım

h!0

x+ h� x

h

= 1. ⇤

EJEMPLO 5.1.3 Sea f(x) = ax2 + bx+ c. Calcula f 0(x).

Solucion. Tenemos,

f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

= lım

h!0

a(x+ h)2 + b(x+ h) + c� (ax2 + bx+ c)

h

= lım

h!0

ax2 + 2ahx+ ah2 + bx+ bh+ c� ax2 � bx� c

h

= lım

h!0

h(2ax+ ah+ b)

h

= 2ax+ b. ⇤

EJERCICIOS 5.1.1

1. Encuentra la derivada de cada una las siguientes funciones, en su correspondiente dominio,usando la definicion:

a) f(x) = xn, n 2 Z b) f(x) = m

px, m 2 N, m � 2 c) f(x) = senx

d) f(x) = cosx e) f(x) = tanx f) f(x) = secx

g) f(x) = cscx h) f(x) = cotx

2. Utilizando la definicion de derivada, halla f 0(x

0

) en el valor dado x0

.

a) f (x) =�

x2 + x�

, x0

= 2 b) f (x) = �2x3, x0

= 0

c) f (x) =

(

x3 si x 1

2� x si x > 1

, x0

= 1 d) f (x) =

8

>

>

<

>

>

:

2x si x < �1

3x2 si �1 x < 2

x3 si x � 2

,x0

= 1

x0

= 2

3. Determina condiciones sobre las constantes a, b y c de modo que la funcion definida por

f (x) =

(

x2 si x c

ax+ b si x > c

sea derivable en x = c.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.2. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

4. Calcula, si existe, f 0(x

0

) .

a) f (x) =

(

3x2 si x < 1

6x� 3 si x � 1

, x0

= 1 b) f (x) =

(

8� x si x 3

25x� 1 si x > 3

, x0

= 3

c) f (x) =

8

>

<

>

:

1

2

x2 + x si x < 0

1

3

x3 + x si x � 0

, x0

= 0 d) f (x) = |x� 2| , x0

= 2


5.2. Interpretacion geometrica de la derivadaSabemos que la ecuacion de la recta que pasa por dos puntos dados, a saber (x

0

, y0

) y (x1

, y1

),esta dada por

y � y0

=

y1

� y0

x1

� x0

(x� x0

), (5.1)

donde el valor m =

y1

�y0

x1

�x0

es conocido como la pendiente de la recta. Ademas, si se conoce unpunto (x

0

, y0

) por donde pasa la recta y su pendiente m, entonces tambien podemos determinar laecuacion de la recta reemplazando el valor de m en la ecuacion (5.1), la cual se reduce a

y � y0

= m(x� x0

).

Consideremos ahora una curva cualquiera en el planoR2 y un punto cualquiera de ella por dondepase una recta tangente, por ejemplo, consideremos la curva f(x) = x(2 � x) y la recta L que estangente a ella en el punto (x

0

, f(x0

)).

Figura 5.1. Recta L tangente a la curva f(x) = x(2 � x) en un punto de la forma (x0

, f(x0

)) y una recta Lx

que se aproxima a la recta L mientras mas pequena es la diferencia x� x0

.

Notemos que la pendiente mLx

de la recta Lx que pasa por un punto de la forma (x, f(x)) ypor el punto (x

0

, f(x0

) se aproxima a la pendiente mL de la recta L cuando la diferencia entre x y


x0

es muy pequena. Mas aun,

y � f(x0

) = mLx

(x� x0

) ) y � f(x0

)

x� x0

= mLx

con y0

= f(x0

)

) f(x)� f(x0

)

x� x0

= mLx

con y = f(x)

) f(x0

+ h)� f(x0

)

h⇡ mL 8h = x� x

0

pequena

) lım

h!0

f(x0

+ h)� f(x0

)

h= mL

) f 0(x

0

) = mL.

Luego, podemos interpretar la derivada de una funcion f en un punto x0

como la pendiente de larecta tangente a la grafica de f en el punto (x

0

, f(x0

)).

DEFINICION 5.2.1 Sea f una funcion real definida en ]a, b[ y derivable en x0

2 ]a, b[. Llamamos

i) Recta tangente a la curva representada por la grafica de f en el punto (x0

, f(x0

)) a la rectade ecuacion

y � f(x0

) = f 0(x

0

)(x� x0

).

ii) Recta normal a la curva representada por la grafica de f en el punto (x0

, f(x0

)) a la recta deecuacion

y � f(x0

) = � 1

f 0(x

0

)

(x� x0

).

EJEMPLO 5.2.1 Prueba que la pendiente de una funcion afın es constante en R.

Solucion. Sabemos que

f(x) es afın , f(x) = ax+ b con a, b 2 R

y

f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

= lım

h!0

a(x+ h) + b� ax� b

h

= lım

h!0

ah

h

= a

Entonces, para cualquier x tenemos m = a, donde m es la pendiente de la grafica de f , que es larecta de ecuacion y = ax+ b. ⇤


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.2. INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA

EJEMPLO 5.2.2 Prueba que la pendiente de la funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx+ c, a, b, c 2 R,a 6= 0, es igual a 2ax+ b para cualquier x 2 R.

Solucion. Tenemos,

f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

= lım

h!0

a(x+ h)2 + b(x+ h) + c� ax2 � bx� c

h

= lım

h!0

h(2ax+ h+ b)

h

= 2ax+ b

= m. ⇤

EJEMPLO 5.2.3 Determina el punto de la curva y =

p2x3 por donde pasa una recta tangente a

ella, que es perpendicular a la recta de ecuacion 4x+ 3y + 2 = 0.

Solucion. Notemos que la curva esta bien definida si x � 0. Como la recta L : 4x + 3y + 2 = 0 esperpendicular a una recta tangente a la curva en algun punto de la curva, tal recta tangente debetener pendiente m = � 1

mL

, donde mL es la pendiente de la recta L. Como

4x+ 3y + 2 = 0 , y = �4

3

x� 2

3

,

entoncesmL = �4

3

) m =

3

4

.

Ahora, si ponemos f(x) =p2x3, x � 0, o equivalentemente f(x) =

p2x

3

2 , x � 0, entonces

f 0(x) =

3p2

px,

y como en el punto (x0

, f (x0

)), donde la recta tangente a la curva f (x) =p2x3 se intersecta con

tal curva, se debe verificar que la pendiente de la curva en (x0

, f (x0

)), debe ser igual a m. Es decir,se debe cumplir que

f 0(x

0

) = m , 3p2

px0

=

3

4

, x0

=

1

8

,

y ası,

y0

= f (x0

) =

s

2

✓

1

8

◆

3

=

1

16

.

Por lo tanto, el punto de interseccion entre la recta tangente que es perpendicular a la recta4x+ 3y + 2 = 0 y la curva y =

p2x3, es el punto

�

1

8

, 1

16

�

. ⇤



Figura 5.2. Recta T tangente a la curva y =

p2x3 en el punto

�

1

8

, 1

16

�

y perpendicular a la recta 4x+ 3y + 2 = 0.

EJERCICIOS 5.2.1

1. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de la funcion dada enel punto P dado:

a) y = x3 , P (1, 1) b) y = x2 + 1 , P (0, 1)

c) y = x� x3 , P (1, 0) d) y =

p1� x2 , P (0, 1)

e) y =

8a3

x2, P (2a, 2a) f) y = �x4 + 2x2 + x , P (1, 2) .

2. Encuentra el punto en que la recta tangente a la grafica de f (x) = x3 + 4 en (1, 5) seintersecta con ella nuevamente.

3. Dada la funcion f (x) = (x+ 2)

2 � 4, determina:

a) La ecuacion de la recta normal N a la grafica de f en el origen.

b) La ecuacion de la recta tangente T a la grafica de f en el origen.

4. Determina el valor de a, b para que la recta y = 5x � 3 sea tangente a la grafica def (x) = x3 + ax+ b en el punto (1, 2) .

5. Demuestra que la recta tangente a la grafica de f (x) = x3 � 2x2 � 3x+ 7 en el punto (2, 1)

es una de las rectas normales a la grafica de g (x) = x2 � 3x+ 2.

6. ¿Para que valores de a, b, c las graficas de g (x) = x3 + cx y f (x) = x2 + ax+ b tienen unarecta tangente comun en el punto (2, 2)?

7. ¿En que punto la tangente de la grafica de f (x) = x2 � 7x + 3 es paralela a la recta5x+ y � 3 = 0?

8. Muestra que existe un punto en R2 tal que la recta 4y = x+ 4 es tangente a la grafica de lafuncion f(x) =

px.



Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.3. DOS TEOREMAS IMPORTANTES

5.3. Dos teoremas importantes

TEOREMA 5.3.1 (Forma alternativa de la derivada) Sea f : ]a, b[! R una funcion y sea x0

2 ]a, b[.Si f es derivable en x

0

, entonces

f 0(x

0

) = lım

x!x0

f(x)� f(x0

)

x� x0

.

Demostracion. Queremos calcular el siguiente lımite

lım

x!x0

f(x)� f(x0

)

x� x0

.

Para ello, introducimos el cambio de variable h = x� x0

, obteniendo x = x0

+ h y

x ! x0

, x� x0

! 0 , h ! 0.

Luego, reemplazando adecuadamente, obtenemos

lım

x!x0

f(x)� f(x0

)

x� x0

= lım

h!0

f(x0

+ h)� f(x0

)

h= f 0

(x0

),

pues f es derivable en x0

. ⌅

TEOREMA 5.3.2 (Derivabilidad implica continuidad) Sea f : ]a, b[! Runa funcion y seax0

2 ]a, b[.Si f es derivable en x

0

, entonces f es continua en x0

.

Demostracion. Debemos probar que

lım

x!x0

f(x) = f(x0

),

o equivalentemente, debemos probar que

lım

x!x0

(f(x)� f(x0

)) = 0.

Veamos que esto ultimo es ası. Notemos que

lım

x!x0

(x� x0

) = 0

y que, como f es derivable en x0

, por el Teorema 5.3.1 anterior tenemos que,

lım

x!x0

(f(x)� f(x0

))

x� x0

= f 0(x

0

) 2 R.

Por lo tanto, por el Teorema 3.3.1 del algebra de lımites, se sigue

lım

x!x0

(f(x)� f(x0

)) = lım

x!x0

(x� x0

)

f(x)� f(x0

)

x� x0

= lım

x!x0

(x� x0

) · lım

x!x0

f(x)� f(x0

)

x� x0

= 0 · f 0(x

0

)

= 0. ⌅Esta version puede contener errores 199

OBSERVACION 5.3.1 El contrarrecıproco del Teorema 5.3.2 siempre es cierto. Es decir, si f : ]a, b[! R esuna funcion que no es continua en x

0

, con x0

2 ]a, b[, entonces f no es derivable en x0

.

OBSERVACION 5.3.2 El recıproco del Teorema 5.3.2 no siempre es cierto. Es decir, una funcion continuaen x

0

no es necesariamente derivable en x0

.

EJEMPLO 5.3.1 Muestre que la funcion f(x) = x2, x 2 R verifica el Teorema 5.3.2.

Solucion. Sabemos que f(x) = x2 tiene derivada f 0(x) = 2x para todo x 2 R. Luego, f(x) = x2 es

una funcion continua en todo R. ⇤

EJEMPLO 5.3.2 Use la funcion f(x) = |x|, x 2 R, para probar que el recıproco del Teorema 5.3.2no es valido.

Solucion. Sabemos que la funcion f(x) = |x| es continua en x = 0. Sin embargo:

lım

h!0

+

f(0 + h)� f(0)

h= lım

h!0

+

|h|� |0|h

= lım

h!0

+

h

h= 1

y

lım

h!0

�

f(0 + h)� f(0)

h= lım

h!0

�

|h|� |0|h

= lım

h!0

�

�h

h= �1.

En otras palabras,

@ lımh!0

f(0 + h)� f(0)

h

y por lo tanto, no existe f 0(0). Mas aun, tenemos que

(|x|)0 =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

1 si x > 0

6 9 si x = 0

�1 si x < 0. ⇤

5.4. La funcion derivada

DEFINICION 5.4.1 Sea I ⇢ R un intervalo y sea f : I ✓ R ! R una funcion. Llamamos funcionderivada de f (o funcion primera derivada de f ) a la funcion f 0 definida por:

f 0: A ⇢ I ! R

x ! f 0(x) = lım

h!0

f(x+ h)� f(x)

h

donde A es el conjunto de todos los puntos en I para los cuales existe el lımite en la definicionde f 0.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.4. LA FUNCION DERIVADA

NOTACION 5.4.1

Es usual escribirf 0(x) =

d

dx

�

f(x)�

=

df

dx(x).

Esta notacion, introducida por Leibniz, es util para destacar la variable respecto a la cualestamos derivando.

Cuando ponemos y = f(x), entonces escribimos

y0 =dy

dx.

EJERCICIOS 5.4.1

1. Utilizando la definicion de derivada determina, si existe, la funcion derivada f 0 e indica sudominio:

a) f (x) =x2 + 1

xb) f (x) =

1

x

c) f (x) = 1 +

px d) f (x) = x5 � 4x3 + 2x� 3

e) f (x) =

8

>

>

<

>

>

:

x si x < 0

2x si 0 x 3

9� x si x > 3

f) f (x) =

(

2x si x 3

3 si x > 3

2. Sea f : ]�1, 2[ ! R la funcion definida por:

f (x) =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

x4 � x3 � x2

2

+ 3 si x < 0

2x3 � 3x2 + 3 si 0 x 1

sen (⇡x) + 1 si 1 < x < 2

a) Determina si f es derivable en x = 0 y en x = 1.

b) Define f 0(x) donde exista.

3. Encuentra a, b 2 R tales que la funcion f resulte derivable en ]0,+1[ y calcula f 0(x) si:

f (x) =

(

3

p3x si 0 < x 9

ax2 + bx si x > 9.

4. Considera la funcion

f(x) =

(

x2 si x > 0

x si x 0.

Determina el dominio de la funcion f 0.

5.5. Derivadas de algunas funciones conocidas

A continuacion se muestran las derivadas de algunas funciones.

5.5.1. Derivadas de funciones algebraicas

La derivada de una constante

Sea k una constante, entonces

d

dx(k) = 0.

La derivada de una potencia

Sea p 2 Q, entonces

d

dx(xp) = p xp�1.

En particular,

d

dx(x) = 1.

La derivada del valor absoluto

d

dx(|x|) =

8

>

>

>

<

>

>

>

:

1 si x > 0,

6 9 si x = 0,

�1 si x < 0.

5.5.2. Derivadas de funciones trigonometricas

La derivada de seno

d

dx(senx) = cosx.

La derivada de coseno

d

dx(cosx) = � senx.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.5. DERIVADAS DE ALGUNAS FUNCIONES CONOCIDAS

La derivada de tangente

d

dx(tanx) = sec

2 x.

La derivada de cosecante

d

dx(cscx) = � cscx · cotx.

La derivada de secante

d

dx(secx) = secx · tanx.

La derivada de cotangente

d

dx(cotx) = � csc

2 x.

5.5.3. Derivadas de funciones logarıtmicas y exponenciales

La derivada de una funcion exponencial de base a

d

dx(ax) = ln a · ax.

En particular, si a = e, entonces

d

dx(ex) = ex.

La derivada de una funcion logaritmo en base a.

d

dx(loga x) =

1

ln a · x.

En particular, si a = e tenemos loge x = lnx, x 2 R+, y entonces

d

dx(lnx) =

1

x.



5.6. Algebra de derivadas

TEOREMA 5.6.1 (Algebra de derivadas) Sean f y g dos funciones derivables en ]a, b[, donde]a, b[⇢ Dom(f) \ Dom(g). Entonces para cada x 2 ]a, b[ se obtienen los siguientes resultados:

i) Derivada del producto por escalar

�

kf(x)�0=

d

dx

�

kf(x)�

= kf 0(x); donde k es una constante.

ii) Derivada de la suma�

f(x) + g(x)�0=

d

dx

�

f(x) + g(x)�

= f 0(x) + g0(x).

iii) Derivada de la resta�

f(x)� g(x)�0=

d

dx

�

f(x)� g(x)�

= f 0(x)� g0(x).

iv) Derivada del producto

�

f(x) g(x)�0=

d

dx

�

f(x) g(x)�

= f 0(x) g(x) + f(x) g0(x).

Ademas, para cada x 2 D tal que g(x) 6= 0 se verifica

v) Derivada de un cuociente✓

f(x)

g(x)

◆0=

d

dx

✓

f(x)

g(x)

◆

=

f 0(x) g(x)� f(x) g0(x)

�

g(x)�

2

.

EJERCICIOS 5.6.1

1. Deriva las siguientes funciones indicando que regla se esta usando:

a) f(x) = 7x5 � 3x3 + 2x2 � x+ 3 b) f(x) = (3x+ 5)(4x3 � 2x� 1)

c) f(x) =3x5 � 4x2 + 2

x3 � xd) f(x) =

✓

x3 � 2x

x4 + 4

◆✓

x� 1

x

◆

e) f(x) = senx cosx+ tanx f) f(x) = senx · ex · lnx+ x · lnx

2. Utilizando los teoremas sobre derivacion, encuentra las derivadas de las siguientesfunciones:

a) f (x) = secx b) f (x) = cscx c) f (x) = cotx

d) f (x) =x senx

1 + x2e) f (x) =

1

1 + 2 cosxf) f (x) =

2� senx

2� cosx.



Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.7. REGLA DE LA CADENA

5.7. Regla de la cadena

TEOREMA 5.7.1 (Derivada de una funcion compuesta. Regla de la cadena) Sean f y g dosfunciones reales tales que Rec(g) ⇢ Dom(f), con g derivable en cada x 2 Dom(g) y f derivableen cada g(x). Entonces

d

dx((f � g)(x)) =

⇣

f�

g(x)�

⌘0= f 0�g(x)

�

g0(x).

Equivalentemente, si ponemos y = f(z) y z = g(x), tenemos que

dy

dx=

dy

dz· dzdx

.

COROLARIO 5.7.1 (Regla de la cadena para potencias) Sea g una funcion real que es derivableen cada x 2 Dom(g) y sea p 2 Q. Entonces si

�

g(x)�p esta bien definida, tenemos que

d

dx

��

g(x)�p�

= p (g(x))p�1 g0(x),

siempre que la expresion del lado derecho este bien definida.

EJEMPLO 5.7.1 Sea f(x) = x3 y sea g(x) = x2 + 1. Calcula (f � g)0(x).

Solucion. Tenemos que f 0(x) = 3x2 y g0(x) = 2x, de donde se sigue que

�

f�

g(x)��0

= f 0(g(x)) g0(x)

= 3

�

g(x)�

2 · 2x

= 6x(x2 + 1)

2. ⇤

EJEMPLO 5.7.2 Sea y = (x3 + 2x+ 1)

4. Calcula y0 = dydx .

Solucion. Buscamos una composicion entre funciones de las cuales conocemos sus derivadas y deforma tal que la composicion resulte ser exactamente igual a y. Por ejemplo, escogiendo

f(x) = x4 y g(x) = x3 + 2x+ 1,

obtenemos(f � g)(x) = f

�

g(x)�

=

�

g(x)�

4

= (x3 + 2x+ 1)

4

= y.



Entonces, como f 0(x) = 4x3 y g0(x) = 3x2 + 2, tenemos que

y0= f 0�g(x)�

g0(x)

= 4

�

g(x)�

3

g0(x)

= 4(x3 + 2x+ 1)

3

(3x2 + 2). ⇤

OBSERVACION 5.7.1 Informalmente hablando, la regla de la cadena consiste en derivar la funcion queesta “mas afuera”, evaluada en la funcion que “va por dentro”, y multiplicar este resultado por la derivadade la funcion que “va por dentro”. Si es necesario, se debe volver a aplicar la regla de la cadena para laderivada de la funcion que “va por dentro”.

EJEMPLO 5.7.3 Sea f(x) = sen(tanx). Encuentra f 0(x).

Solucion. Ponemos F (x) = senx y G(x) = tanx. Entonces:

f(x) = F�

G(x)�

= sen(tanx).

Luego, como F 0(x) = cosx y

G0(x) = (tanx)0

=

✓

senx

cosx

◆0

=

cosx · cosx� senx · (� senx)

cos

2 x

=

cos

2 x+ sen

2 x

cos

2 x

=

1

cos

2 x

= sec

2 x,

entonces tenemos quef 0(x) = F 0�G(x)

�

G0(x)

= cos(tanx) sec2 x. ⇤


p

1 + tan(lnx). Halla f 0(x).

Solucion. Ponemos F (x) = 3

px y G(x) = 1 + tan(lnx). Entonces:

f(x) = F�

G(x)�

=

3

p

1 + tan(lnx).

Notemos que F 0(x) =

1

3

x�2

3 y que para encontrar G0(x) debemos aplicar la regla de la cadena.



Tenemos,

G0(x) = S0�T (x)

�

T 0(x)

= sec

2

(lnx) · 1x

,

donde hemos considerado S(x) = tanx (ası que S0(x) = sec

2 x), y T (x) = lnx (ası que T 0(x) = 1

x ).Luego,

f 0(x)= F 0�G(x)

�

G0(x)

=

1

3

�

G(x)�� 2

3 G0(x)

=

1

3

�

1 + tan(lnx)�� 2

3

sec

2

(lnx) · 1x. ⇤

EJEMPLO 5.7.5 Sea a > 0.

a) Si f(x) = ax, prueba que f 0(x) = ln a ax.

b) Mas generalmente, si g : A ⇢R!R es una funcion derivable enAy f(x)=ag(x), prueba quef 0(x)=ln a g0(x) ag(x),x 2 A. En particular, este resultado muestra que

�

eg(x)�0=g0(x) eg(x).

Solucion.

a) En primer lugar, notemos que

ax =

�

eln a�x

= (ex)ln a .

Luego, si consideramos F (x) = xln a y G(x) = ex, obtenemos que

F (G(x)) = (ex)ln a

= ax.

Ademas, como

G0(x) = ex

y

F 0(x) = ln a xln a�1

entonces,

F 0(G(x)) = ln a (ex)ln a�1

= ln a�

eln a�x

e�x

= ln a axe�x.



De aquı, por regla de la cadena obtenemos

(ax)0 =�

F (G(x))�0

= F 0(G(x))G0

(x)

= ln a�

eln a�x

e�xex

= ln a ax.

b) Notemos ahora queag(x) =

�

eln a�g(x)

= eg(x) ln a

=

�

eg(x)�

ln a.

Luego, si consideramos F (x) = xln a y G(x) = eg(x), obtenemos que

F (G(x)) =

�

eg(x)�

ln a

= ag(x).

Notemos tambien que G(x) = eg(x) es la composicion entre la funcion T (x) = ex y g(x). Esdecir, G(x) = T (g(x)) y como

T 0(x) = ex,

entoncesT 0(g(x)) = eg(x).

De aquı, por regla de la cadena obtenemos

G0(x) =

�

T (g(x))�0

= T 0(g(x)) g0(x)

= eg(x) g0(x).

Por otro lado, F 0(x) = ln a xln a�1 implica que

F 0(G(x)) = ln a

⇣

eg(x)⌘

ln a�1

.

Luego, por regla de la cadena obtenemos�

ag(x)�0=

�

F (G(x))�0

= F 0(G(x))G0

(x)

=

⇣

ln a ·�

eg(x)�

ln a�1

⌘

�

eg(x) g0(x)�

= ln a eg(x) ln a e�g(x) eg(x) g0(x)

= ln a eg(x) ln a g0(x)

= ln a ag(x) g0(x). ⇤


EJERCICIOS 5.7.1

1. Usando regla de la cadena, encuentra una expresion para f 0(x), cuando:

a) f(x) = sen

�

cos(5x)�

b) f(x) =p

etan(x+5)

3

c) f(x) = ln

✓

x+ 3

x� 2

◆

· cot�

x3 · e2x�

d) f(x) = 4

p

x lnx� x sen ex3

2. Sean f y g dos funciones reales derivables en un intervalo abierto I ⇢ R, con f(x) > 0 paratodo x 2 I . Utilizando la regla de la cadena, encuentra una expresion para la derivada dela funcion H(x) = (f(x))g(x), x 2 I .

3. Calcula f 0⇣⇡

2

⌘

si f (x) =

✓

senx+ cosx

senx� cosx

◆

1

2

4. Encuentrady

dxsi

a) y =

cot

2

(3x)

1 + x2b) y = sen

3

⇣

5x�p

2x2 + 1

⌘

c) y = 3x2 � 2xy � y2 d) y = x cos⇣

p

tan(x2 + 1)

2

⌘

5. Utilizando las reglas sobre derivacion, encuentra las derivadas de las siguientes funciones

a) f (x) = cos (senx)� sen (cosx) b) f (x) = x cos1

x� sen

1

x

c) f (x) = sen

�

cos

2 x�

� tan (senx) d) f (x) =p

sen (tan(4x)� cos

2

(3x6))

e) f (x) =�

2� x2�

cosx2 + 2x senx3 f) f (x) = (x senx)�2

3

senx

g) f (x) = tan

6

�

x2 � 2x (senx) + 1

�

h) f (x) = tan

x

2

� cot

x

2

, 8x 6=n⇡, n 2 Z

6. Sea g (x) =

8

>

<

>

:

f (x) · sen 1

xsi x 6= 0

0 si x = 0

. Si f 0(0) = f (0) = 0, calcula el valor de g0 (0).

7. Sea g : R! R la funcion definida por:

g (x) =

8

>

>

<

>

>

:

q

(x� 1)

2

+ 1� 1

x� 1

si x 6= 1

0 si x = 1

a) ¿Es g continua en todo su dominio?

b) ¿Es g derivable en x = 1?


5.8. Derivadas de orden superior

Sabemos que si una funcion f es derivable, entonces podemos definir la funcion derivada de f oprimera derivada de f , la cual denotamos por f 0. Recordemos que

Dom(f 0) ⇢ Dom(f).

Ahora, si f 0 es derivable, podemos definir la funcion derivada de f 0, que con respecto a f vienea ser la segunda derivada de f , la cual denotamos naturalmente por f 00. Notemos que

Dom(f 00) ⇢ Dom(f 0

) ⇢ Dom(f).

Si f 00 es derivable, podemos definir la funcion tercera derivada de f , la cual denotamos por f 000.Notemos que

Dom(f 000) ⇢ Dom(f 00

) ⇢ Dom(f 0) ⇢ Dom(f).

Este proceso de derivacion de f puede continuar hasta que la (n + 1)-esima derivada noeste definida para ningun valor x 2 Dom(f (n)

).

NOTACION 5.8.1 Sea f una funcion n veces derivable en x, entonces:

f (1)

(x) = f 0(x) =

df

dx(x) denota la primera derivada de f en x (derivada de orden 1).

f (2)

(x) = f 00(x) =

d

2f

dx2(x) denota la segunda derivada de f en x (derivada de orden 2).

f (3)

(x) = f 000(x) =

d

3f

dx3(x) denota la tercera derivada de f en x (derivada de orden 3).

f (4)

(x) =d

4f

dx4(x) denota la cuarta derivada de f en x (derivada de orden 4).

. . . . . . . . . . . .

f (n)(x) =

d

nf

dxn(x) denota la n-esima derivada de f en x (derivada de orden n).

DEFINICION 5.8.1 Sea f : ]a, b[! R una funcion continua en ]a, b[. Decimos que f es de clase Ck

en ]a, b[, lo que denotamos por f 2 Ck(]a, b[), si las derivadas de orden superior f 0, f 00, . . . , f (k)

son todas funciones continuas en ]a, b[. Si f (k) existe y es continua para todo k 2 N, entoncesdecimos f es de clase C1, lo que denotamos por f 2 C1

(]a, b[).

EJEMPLO 5.8.1 Sea y = x cos(lnx) + x sen(lnx).

a) Usando la regla del producto en combinacion con la regla de la cadena, encuentra y0 e y00.

b) Reemplazando adecuadamente los valores de y0 e y00, calcula el valor mas simplificado dela expresion

x2y00 � xy0 + 2y.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.8. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Solucion.

a) Notemos quey = x cos(lnx) + x sen(lnx) ) y0 = 2 cos (lnx)

) y00 = �2

sen (lnx)

x.

b) Ahora reemplazamos y0 e y00 en la expresion requerida.

x2y00 � xy0 + 2y = x2✓

�2

sen (lnx)

x

◆

� x (2 cos (lnx)) + 2 (x cos(lnx) + x sen(lnx))

= �2x sen(lnx)� 2x cos(lnx) + 2x cos(lnx) + 2x sen(lnx)

= 0. ⇤

EJEMPLO 5.8.2 Sea f(x) = xex. Encuentra una formula para f (n)(x) (la n-esima derivada de f ).

¿De que clase es esta funcion?

Solucion. Tenemosf(x) = xex ) f 0

(x) = ex + xex

) f 00(x) = 2ex + xex

) f 000(x) = 3ex + xex

. . .

) f (n)(x) = nex + xex = (n+ x)ex.

Como para cada n 2 N la correspondiente derivada esta bien definida y es continua en R = Dom(f),concluimos que la funcion es de clase C1

(R). ⇤

TEOREMA 5.8.1 (Regla de Leibniz) Sean f, g : [a, b] ! R funciones n veces derivables en ]a, b[ ,entonces su producto tambien es n veces derivable en ]a, b[ y verifica

(fg)(n) =nX

k=0

n

k

!

f (n�k)gk.

EJERCICIOS 5.8.1

1. Sea f(x) = 1

2

sen(4x). Determina para que valor de b se verifica la igualdad:

f 000⇣⇡

8

⌘

� 7f 0⇣⇡

2

⌘

= b⇣

144f⇣⇡

8

⌘

+ 12

p2f 0⇣

� ⇡

2

⌘⌘

.

2. Encuentra una formula general para f (n)(x) si:

a) f(x) = senx b) f(x) = e2x c) f(x) = lnx, x > 0.

¿De que clase es cada una de las funciones anteriores?



3. Determina de que clase es en R la funcion f(x) = x5

3 .

4. Considera el polinomio p(x) = a0

+ a1

x+ a2

x2 + . . .+ anxn. Muestra que

ak =

p(k)(0)

k!.

5. Encuentra la n-esima derivada de la funcion

a) f(x) = x2ex

b) f(x) = xn lnx.


5.9. Derivada de una funcion inversa

TEOREMA 5.9.1 (Derivada de una funcion inversa) Sea f : ]a, b[! R una funcion continua einvertible, y sean c 2 ]a, b[ y k 2 R tales que f(c) = k. Si 9f 0

(c), con f 0(c) 6= 0, entonces

9(f�1

)

0(k) y (f�1

)

0(k) =

1

f 0(f�1

(k)).

Demostracion. Partimos observando lo siguiente.

Por definicion de inversa,

y = f(x) , x = f�1

(y) , f(x) = f(f�1

(y)),

k = f(c) , c = f�1

(k) , f(c) = f(f�1

(k)).

Ahora, como f es biyectiva, por continuidad de f obtenemos que

x ! c , f(x) ! f(c) , y ! k.

Luego,

(f�1

)

0(k) = lım

y!k

✓

f�1

(y)� f�1

(k)

y � k

◆

=

1

lım

y!k

f�

f�1

(y)�

� f�

f�1

(k)�

f�1

(y)� f�1

(k)

=

1

lım

x!c

f (x)� f (c)

x� c

=

1

f 0(c)

=

1

f 0(f�1

(k)). ⌅


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.9. DERIVADA DE UNA FUNCION INVERSA

TEOREMA 5.9.2 (Derivadas de funciones trigonometricas inversas) En sus correspondientesdominios tenemos que:

(arc senx)0 =1p

1� x2(arc cosx)0 = � 1p

1� x2

(arc tanx)0 =1

1 + x2(arc cotx)0 = � 1

1 + x2

(arc secx)0 =1

|x|px2 � 1

(arc cscx)0 = � 1

|x|px2 � 1

Demostracion.

Para estudiar la derivada de la funcion arco seno, procedemos como sigue. Construimos untriangulo rectangulo tal que sen↵ = x; ası arc senx = ↵:

Figura 5.3. Triangulo rectangulo tal que sen↵ = x.

Ahora aplicamos el Teorema 5.9.1 de la derivada de una funcion inversa y obtenemos:

(arc senx)0 =1

(sen↵)0

=

1

cos↵(en nuestro triangulo cos↵ =

p1� x2).

=

1p1� x2

.

Para estudiar la derivada de la funcion arco coseno, procedemos como sigue. Construimosun triangulo rectangulo tal que cos↵ = x; ası arc cosx = ↵:

Figura 5.4. Triangulo rectangulo tal que cos↵ = x.




(arc cosx)0 =1

(cos↵)0

= � 1

sen↵(en nuestro triangulo sen↵ =

p1� x2).

= � 1p1� x2

.

Para estudiar la derivada de la funcion arco tangente, procedemos como sigue. Construimosun triangulo rectangulo tal que tan↵ = x; ası arc tanx = ↵:

Figura 5.5. Triangulo rectangulo tal que tan↵ = x.


(arc tanx)0 =1

(tan↵)0

=

1

sec

2 ↵(en nuestro triangulo sec↵ =

p1 + x2).

=

1

1 + x2.

Para estudiar la derivada de la funcion arco cotangente, procedemos como sigue. Construimosun triangulo rectangulo tal que cot↵ = x; ası arc cotx = ↵:

Figura 5.6. Triangulo rectangulo tal que cot↵ = x.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.9. DERIVADA DE UNA FUNCION INVERSA


(arc cotx)0 =1

(cot↵)0

= � 1

csc

2 ↵(en nuestro triangulo csc↵ =

p1 + x2).

= � 1

1 + x2.

Para estudiar la derivada de la funcion arco secante, procedemos como sigue. Construimosun triangulo rectangulo tal que sec↵ = x; ası arc secx = ↵:

Figura 5.7. Triangulo rectangulo tal que sec↵ = x.


(arc secx)0 =1

(sec↵)0

=

1

sec↵ tan↵(en nuestro triangulo tan↵ =

px2 � 1).

=

1

xpx2 � 1

.

Para estudiar la derivada de la funcion arco cosecante, procedemos como sigue. Construimosun triangulo rectangulo tal que csc↵ = x; ası arc cscx = ↵:

Figura 5.8. Triangulo rectangulo tal que csc↵ = x.



Ahora aplicamos el teorema de la funcion inversa y obtenemos:

(arc cscx)0 =1

(csc↵)0

= � 1

csc↵ cot↵(en nuestro triangulo cot↵ =

px2 � 1).

= � 1

xpx2 � 1

. ⌅

EJERCICIOS 5.9.1

1. Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) = cos

p

lnx+ arc sen(x)� e5x b) f(x) = ln

�

2x+ arc tan(x� 1)

2

�

+ (x� 1)

2

2. Encuentra las derivadas de las siguientes funciones. En cada caso, la funcion f se suponedefinida para los valores reales que permiten que la expresion f (x) tenga sentido.

a) f (x) =px� arc tan

px b) f (x) = arc cos

✓

1� xp2

◆

� arc sen

✓

1 + xp2

◆

c) f (x) = arc sen (senx� cosx) d) f (x) = arc tan

�

sen

2 x� tan

2 x�

e) f (x) = arc cot

✓

1 + x

1� x

◆

f) f (x) =�

arc tanx2�

3 � arc senx2

g) f (x) = arc sen (1 + x) h) f (x) = arc sec

p1 + x

i) f (x) =1

1 + arc tanxj) f (x) = arc sen

�

cos

2

�

1 + x2��

3. Demuestra que✓

arc cotx� arc tan

1

x

◆0= 0 8x 2 R \ {0}

4. Encuentra la derivada de la funcion

f (x) = x (arc senx)2 � 2x+ 2

p

1� x2 arc senx

y expresala en su forma mas simple.


5.10. Derivacion implıcita

DEFINICION 5.10.1 Sea f una funcion real y sea x 2 Dom(f). La expresion y = f(x) correspondea una ecuacion en dos variables, donde la variable y queda definida explıcitamente en funcionde la variable x. En este caso decimos que y es una funcion definida explıcitamente por la funcionf que depende de la variable x.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.10. DERIVACION IMPLICITA

Sin embargo, no todas las funciones estan definidas explıcitamente.

DEFINICION 5.10.2 Una expresion del tipoF (x, y)=0, dondeF representa una funcion de variablesx e y, corresponde a una ecuacion en dos variables de manera tal que la variable y esta ligadamediante F a la variable x. En este caso decimos que y queda definida implıcitamente por una omas funciones que dependen de x, las cuales no siempre se pueden determinar explıcitamente.

EJEMPLO 5.10.1 Indica que funciones a continuacion estan definidas explıcitamente, y cualesimplıcitamente con respecto a x.

a) y = x3 � 4x+ 2 b) tan(xy2) = ln(x2y) c) y =

x+ 2

x� 2

, x 6= 2 d) y = ex + tanx e) xy = 1.

Solucion. Las funciones y en a), c) y d) estan definidas explıcitamente respecto a x, mientras queen b) y e) no lo estan. ⇤

EJEMPLO 5.10.2 La ecuacion xy = 1 define implıcitamente una funcion que depende de x. Obten,si es posible, una formula explıcita para y en funcion de x.

Solucion. Despejando y, obtenemos

y =

1

xx 6= 0. ⇤

EJEMPLO 5.10.3 La ecuacion x2 + 3y2 = 5 representa una o mas funciones implıcitas de y enfuncion de x. Determina, si es posible, alguna formula explıcita para y en funcion de x.

Solucion. Resolviendo la ecuacion cuadratica para y, obtenemos explıcitamente para |x| p5 :

y =

r

5� x2

3

y = �r

5� x2

3

. ⇤

EJEMPLO 5.10.4 La ecuacion yx = tan(yx) representa una o mas funciones implıcitas de y enfuncion de x. Determina, si es posible, alguna formula explıcita para y en funcion de x.

Solucion. No posible despejar y en funcion de x, pues se trata de una ecuacion trascendente. Sinembargo, si ponemos y = f(x), en muchos casos podremos estudiar la ecuacion

x f(x) = tan(x f(x)). ⇤

Como ya sabemos derivar funciones definidas explıcitamente, ahora nos interesa derivarfunciones definidas implıcitamente. Para ello es conveniente usar el Teorema 5.6.1 del algebra dederivadas y el Teorema 5.7.1 de la regla de la cadena, interpretando la variable y como y = f(x), yderivando directamente sobre la ecuacion.



NOTACION 5.10.1 Sea y = f(x), con f una funcion derivable hasta el orden n, n 2 N; entonces

y0 =dy

dx= f 0

(x) =df

dx(x)

y00 =d

2y

dx2= f 00

(x) =d

2f

dx2(x)

y000 =d

3y

dx3= f 000

(x) =d

3f

dx3(x)

. . . . . . . . . . . .

y(n) =d

ny

dxn= f (n)

(x) =d

nf

dxn(x).

EJEMPLO 5.10.5 Considera la curva (xy + ln y)2 = 5xy.

a) Usando regla de la cadena y derivando implıcitamente con respecto a x, encuentra y0.

b) Usando el resultado obtenido anteriormente, encuentra la ecuacion de la recta tangente ala curva en el punto (5, 1).

Solucion.

a) Derivando implıcitamente obtenemos

2 (xy + ln (y))

✓

y + xy0 +y0

y

◆

= 5y + 5xy0

) 2y (xy + ln (y)) + 2x (xy + ln (y)) y0 +2

y(xy + ln (y)) y0 = 5y + 5xy0

)✓

2x (xy + ln (y)) +2

y(xy + ln (y))� 5x

◆

y0 = 5y � 2y (xy + ln (y))

) y0 =5y � 2y (xy + ln (y))

2x (xy + ln (y)) + 2

y (xy + ln (y))� 5x.

b) Desde el resultado previo se sigue que

y0�

�

�

(5,1)=

5� 10

50 + 10� 25

= � 5

35

= �1

7

.

Luego, la ecuacion de la recta tangente a la curva que pasa por el punto (5, 1) es:

y � 1 = �1

7

(x� 5). ⇤


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.11. ECUACIONES PARAMETRICAS

TEOREMA 5.10.1 (Una aplicacion de la derivacion implıcita) Sean f y g dos funciones reales ysea D = Dom(f) \ Dom(g). Si f y g son derivables en c 2 D y f(c) > 0, entonces la funcion realH definida por H(x) =

�

f(x)�g(x) es derivable en c y se verifica que

H 0(c) = H(c)

✓

g0(c) ln f(c) + g(c)f 0(c)

f(c)

◆

.

Demostracion. Notemos que como f(c) > 0, entonces H(c) > 0 y ası, lnH(c) esta bien definido.Luego,

H(c) =�

f(c)�g(c) ) lnH(c) = g(c) ln f(c)

) H 0(c)

H(c)= g0(c) ln f(c) + g(c)

f 0(c)

f(c)

) H 0(c) = H(c)

✓

g0(c) ln f(c) + g(c)f 0(c)

f(c)

◆

. ⌅

EJERCICIOS 5.10.1

1. Halla dydx si:

a) y3 + y2 � 5y � x2 = �4 b) xy2 � yx2 = 3 c) sen(xy) = ey2

+ 2.

2. Calcula la pendiente de la recta tangente a la grafica de x2+4y2 = 4 en el punto⇣p

2,� 1p2

⌘

.(La grafica es una elipse de lado mayor 2 y lado menor 1, este ultimo sobre el eje y).

3. Calcula la pendiente de la grafica de 3(x2 + y2)2 = 100xy en el punto (3, 1).

4. Halla d

2ydx2

a partir de x2 + y2 = 25. Encuentra la ecuacion de la recta normal a esta curva enel punto (4, 3).

5. Encuentra las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la grafica de la curva:

a) x2 + 2x =

py en el punto (1, 9) b) y2 = x en el punto (1,�1).

6. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = (cosx)senx, x 2i

0,⇡

2

h

b) f(x) = cos(xsenx), x 2

i

0,⇡

2

h

.


5.11. Ecuaciones parametricas

El movimiento de una partıcula en el planoR2 se puede representar mediante el grafico de unacurva C. Luego, las coordenadas (x, y) 2 C representan la posicion de la partıcula en un instante t;



es decir, la posicion de la partıcula en un instante t se puede representar mediante las ecuaciones

x = x(t) e y = y(t).

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones parametricas de la curva C.De forma mas rigurosa, si f, g : [a, b] ! R dos funciones continuas en [a, b] y ponemos

x = f(t) e y = g(t) 8t 2 [a, b],

entonces la curva generada por los pares (x, y) queda definida parametricamente mediante el con-junto

C = {(x, y) 2 R2

: x = f(t) ^ y = g(t) : t 2 [a, b]}.

El punto de coordenadas (f(a), g(a)) se denomina usualmente punto inicial de la curva C y el puntode coordenadas (f(b), g(b)) se denomina usualmente punto terminal de la curva C. En el caso en queel punto inicial y terminal de la curva coinciden, se dice que la curva plana C es cerrada.

Por otro lado, si (f(t1

), g(t1

)) 6= (f(t2

), g(t2

)) para todo t1

, t2

2 [a, b], con t1

6= t2

, salvo tal vezpara t

1

= a y t2

= b, entonces decimos que la curva es simple.

EJEMPLO 5.11.1 Sea C la curva de ecuaciones parametricas x = a cos t e y = a sen t, t 2 [0, 2⇡[ ,donde a > 0. Determina la ecuacion cartesiana para la curva C y traza su grafica en el plano R2.


x = a cos t ^ y = a sen t ) x2 + y2 = a2.

Luego, la ecuacion cartesiana de la curva C esta dada por la ecuacion x2+y2 = a2, que correspondea la ecuacion de la circunferencia de radio centrada en el origen y radio a. ⇤

Figura 5.9. La grafica de la curva C = {(x, y) 2 R2

: x = a cos t ^ y = a sen t}, donde a > 0, es lacircunferencia centrada en el origen y radio a.

EJEMPLO 5.11.2 Sea C la curva determinada por las ecuaciones parametricas x = t2 y y = t3,t � 0. Determina la ecuacion cartesiana para la curva C y traza su grafica en el plano R2.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.11. ECUACIONES PARAMETRICAS


x = t2 ^ y = t3 ) t = y1

3

= x1

2

) y = x3

2 .

Luego, la ecuacion cartesiana de la curva C esta dada por la ecuacion y = x3

2 , con x � 0. ⇤

Figura 5.10. La grafica de la curva C = {(x, y) 2 R2

: x12= t ^ y

13= t} es la grafica de la curva y = x

32 .

Debemos advertir que no siempre sera facil determinar la ecuacion cartesiana de una ecuaciondefinida parametricamente, ası como tampoco sera facil determinar su grafica. Sin embargo, comoveremos mas adelante, es posible obtener informacion acerca de su grafica, conociendo algunasderivadas de la variable y considerada como una funcion que depende de x. Nos interesa,por lo tanto, derivar ecuaciones que esten definidas parametricamente, usando el Teorema 5.7.1de la regla de la cadena y/o derivando implıcitamente con respecto al parametro. En efecto,recordemos que la ecuacion cartesiana de una curva C definida parametricamente por{(x, y) 2 R2

: x = f(t) ^ y = g(t)} puede obtenerse considerando y = F (x) siempre que x = f(t)

y y = g(t) = F�

f(t)�

. En este caso, podemos obtener y0 = dydx como sigue:

dy

dt=

dy

dx· dxdt

| {z }

Regla de la Cadena

) dy

dx=

dy

dtdx

dt| {z }

Despejandody

dx

sidx

dt6= 0.

De igual forma podemos encontrar

y00 =d

2y

dx2=

d

dx

✓

dy

dx

◆

=

d(y0)

dx=

d(y0)

dtdx

dt

, y000 =d

3y

dx3=

d

dx

✓

d

2y

dx2

◆

=

d(y00)

dx=

d(y00)

dtdx

dt

,

y ası sucesivamente.


EJERCICIOS 5.11.1

1. Encuentra y0, y00 y y000 a partir de las ecuaciones parametricas:

a) x = 2t� t2, y = 3t� t3 b) x = a cos t, y = a sen t.

2. Sea C la cicloide dada por las ecuaciones

x(✓) = a(✓ � sen ✓), y(✓) = a(1� cos ✓), con a > 0.

a) Encuentra la tangente a la cicloide donde ✓ =

⇡3

.

b) Halla los puntos de la cicloide donde la recta tangente es horizontal y donde es vertical.

3. Sea C la curva definida parametricamente por

x(t) = 2 sen t, y(t) = 3 cos t, con 0 < t < 2⇡.

a) Halla dydx y d

2ydx2

.

b) Encuentra los valores de tpara los cuales d

2ydx2

> 0.


5.12. Variaciones relacionadas. Razon de cambio

A continuacion vamos a considerar funciones definidas por un parametro comun t, de las cualesconocemos la ecuacion cartesiana que las relaciona, y derivaremos implıcitamente esta ecuacioncon respecto al parametro t para obtener una ecuacion en variaciones relacionadas, en la cual seexpresa la razon de cambio de cada funcion definida parametricamente con respecto al parametrocomun t.

EJEMPLO 5.12.1 Acerca del agua que sale desde un deposito conico circular recto invertido, esconocido que el volumen, el radio y la altura del nivel del agua contenida en el estanque se puedeninterpretar como funciones que dependen del tiempo t, t � 0, en el sentido que el volumen, elradio y la altura del nivel del agua disminuyen con el paso del tiempo. Determina la variacion(razon de cambio) del volumen de agua en el cono respecto al radio de la superficie del agua yla altura del nivel de agua en el cono.

Solucion. Es conocido que si V es el volumen de agua en el cono, r es el radio de la superficie delagua y h es la altura del nivel de agua en el cono, entonces

V =

⇡

3

r2h.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 5.12. VARIACIONES RELACIONADAS. RAZON DE CAMBIO

Como V = V (t), r = r(t) y h = h(t), derivando implıcitamente con respecto al tiempo t, obtenemosla siguiente ecuacion en variaciones relacionadas

dV

dt=

⇡

3

⇣

2rhdr

dt+ r2

dh

dt

⌘

.

Aquı vemos que la razon de cambio del volumen V esta ligado a la razon de cambio de h y r, conrespecto al tiempo t, mediante la ecuacion anterior (vea la figura 5.11). ⇤

Figura 5.11. A medida que el tiempo avanza, tanto el volumenV de agua en el tanque conico, el radio r y laaltura h disminuyen. La razon de cambio del volumen indica la velocidad a la que se esta vaciando eltanque.

EJEMPLO 5.12.2 Sean x = x(t) e y = y(t) dos funciones derivables para t > 0, que estan relacio-nadas por la ecuacion y = x2 + 3. Calcula dy

dt para x = 1, dado que dxdt = 2 si x = 1.

Solucion. Derivamos implıcitamente la ecuacion y = x2 + 3 con respecto a t y obtenemos

dy

dt= 2x

dx

dt.

Ahora, reemplazamos los correspondientes valores de x y dxdt , y concluimos que

dy

dt= 2 · 1 · 2 = 4 cuando x = 1. ⇤

EJEMPLO 5.12.3 Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas concentricas.El radio r de la onda exterior crece a ritmo constante 30

cmseg (centımetros por segundo). Cuando

su radio es 120 cm, ¿a que ritmo esta creciendo el area total A de la zona perturbada?

Solucion. Sea A el area total de la zona perturbada del agua en un estanque en reposo. Notemosque esta area corresponde a un cırculo de radio r. Ası,

A = ⇡r2. (5.2)

Tambien de acuerdo a la informacion del enunciado, la onda exterior crece a ritmo constante 30

cmseg .



Es decir, el radio r del cırculo crece a ritmo constante 30

cmseg ; que se traduce como

dr

dt= 30

cmseg

�

,

en cualquier tiempo t > 0; y se nos pide calcular el ritmo de crecimiento de A. Esto es, se nos pidecalcular dA

dt .

Figura 5.12. Una piedra lanzada a un estanque de agua en reposo genera ondas concentricas en forma decırculos concentricos.

Ahora, derivando implıcitamente con respecto a t en la ecuacion (5.2), obtenemos

dA

dt= 2⇡r

dr

dt,

y reemplazando los valores de r y drdt que ya conocemos, concluimos que

dA

dt= 2 · ⇡ · 120 [cm] · 30

cmseg

�

= 7.200⇡

cm2

seg

�

cuando r = 120 cm. ⇤

EJEMPLO 5.12.4 Se bombea aire en un globo esferico a razon de 4, 5 m3

min (volumen de aire en m3

que se traspasa al globo en un minuto). Halla la razon de cambio del radio cuando este es 2m.

Solucion. Sea V el volumen del globo esferico. Notemos que este volumen corresponde al volumende una esfera de radio r. Ası,

V =

4

3

⇡r3. (5.3)

Tambien de acuerdo a la informacion del enunciado, el aire ingresa al interior del globo a razon de4, 5 m3

min . Es decir, el volumen V de la esfera crece a razon de 4, 5 m3

min ; que se traduce como

dV

dt= 4, 5

m3

min

�

,

en cualquier tiempo t > 0; y se nos pide calcular la razon de cambio del radio r. Esto es, se nospide calcular dr

dt .



Figura 5.13. Distintos momentos de un globo esferico que se esta inflando a razon de 4, 5 m3

min .

Ahora, derivando implıcitamente con respecto a t en la ecuacion (5.3), obtenemos

dV

dt= 4⇡r2

dr

dt,

y reemplazando los valores de r y dVdt que ya conocemos, se sigue que

4, 5

m3

min

�

= 4 · ⇡ · 22⇥

m2

⇤

· drdt

cuando r = 2 [m].

Finalmente, despejando drdt concluimos que

dr

dt=

9

32⇡

mmin

�

cuando r = 2 [m]. ⇤

EJEMPLO 5.12.5 Un avion vuela a 6 millas (mi) de altitud en lınea recta hacia la posicion deun radar en tierra. Sea s la distancia (en millas) entre el avion y la posicion del radar. Si s estadisminuyendo a razon de 400

mih (millas por hora). Cuando s es 10mi, ¿Cual es la velocidad del

avion?

Solucion. Trazamos una figura interpretando la situacion.

Figura 5.14. Un avion que vuela a 6mi de altitud en lınea recta hacia la posicion de un radar en tierra.



De acuerdo a la informacion en la figura 5.14 y el Teorema de Pitagoras, podemos establecer lasiguiente relacion entre x y s:

x2 + 6

2

= s2. (5.4)

En particular, cuando s = 10 [mi], obtenemos x = 8 [mi]. Por otro lado, desde la informacion en elenunciado, tenemos

ds

dt= �400

mih

�

,

pues s esta disminuyendo, y nos preguntan por la velocidad del avion (que se mide en lınea recta)y que corresponde a dx

dt . Ahora, derivando implıcitamente con respecto a t en (5.4), obtenemos

2xdx

dt= 2s

ds

dt.

De aquı, reemplazando los valores que ya conocemos en la ecuacion anterior y despejando dxdt , se

sigue quedx

dt=

10[mi]8[mi]

·✓

�400

mih

�◆

= �500

mih

�

.

Es decir, la velocidad del avion es de 500

mih . ⇤

EJEMPLO 5.12.6 Un tanque en forma de cono circular recto invertido tiene una altura de 16

metros y un radio basal de 4 metros. El agua fluye al tanque por la parte superior a razon de2 metros cubicos por minuto. ¿Que tan rapido sube el nivel cuando el agua tiene 5 metros deprofundidad?

Solucion. Trazamos una figura interpretando la situacion.

Figura 5.15. Un cono circular recto invertido de altura 16 metros y radio basal 4 metros.

Sea h la altura del agua, sea r el radio de la superficie de agua, tal como se senala en la figura; ysea V el volumen de agua al interior del cono. De acuerdo a la informacion del enunciado tenemos

dh

dt=? ; h = 5 [m] ;

dV

dt= 2

m3

min

�

.



Ademas, por el Teorema de Thales, obtenemos✓

16

4

=

h

r, r =

h

4

◆

^✓

16

4

=

5

r, r =

5

4

[m]

◆

.

Se sigue que

V =

⇡

3

r2h ) V =

⇡

3

· 1

16

· h3

) dV

dt=

⇡

3

· 1

16

· 3h2dhdt

) 2

m3

min

�

=

⇡

16

· 52⇥

m2

⇤

dh

dt

) dh

dt=

32

25⇡

mmin

�

.

Por lo tanto, el nivel del agua sube a32

25⇡

mmin

�

. ⇤

EJERCICIOS 5.12.1

1. Un estanque conico tiene una profundidad de 3, 6m y un radio de 1, 8m en su partesuperior. Si se vierte agua en el estanque a razon de 0, 09 m3

min (metros cubicos por minuto)¿Con que rapidez esta cambiando el radio de la superficie del agua en el estanque cuandola profundidad es de 1, 8m?

2. Una escalera de 4, 5m esta apoyada contra una pared vertical. Si el extremo superior de laescalera se desliza hacia abajo con una velocidad de 0, 5 m

seg (metros por segundo), determinala velocidad con que se desplaza el extremo inferior en el instante en que dicho extremoesta a 3, 5m de la pared.

3. Un hombre de 1, 8m de estatura se aleja de una luz, que esta 4, 5m sobre el suelo, a unavelocidad constante de 1

mseg (metros por segundo). Determina la razon de cambio de la

longitud de la sombra proyectada por el hombre sobre el suelo.

4. Una partıcula se mueve en la orbita circular x2+y2 = 1. Cuando pasa por el punto⇣

1

2

,p3

2

⌘

su ordenada decrece a razon de 3 unidades por segundo. ¿En que razon esta variando laabscisa en ese mismo instante?

5. Una piedra se lanza dentro de un estanque y produce ondas que se expanden a partirdel punto de impacto. Cuando el radio es de 2, 4m se observa que el radio esta creciendocon una velocidad de 0, 4 m

seg (metros por segundo). ¿Con que rapidez esta creciendo en eseinstante el area encerrada por la onda circular?


6. Un punto P se mueve a lo largo de la curva y = x3 � 3x2. Cuando P esta en (1,�2) suabscisa esta creciendo a una velocidad de 3 unidades por segundo. Encuentra la razon decambio de la distancia de P al origen.

7. La resistencia electrica de cierto resistor, como funcion de la temperatura T , esta dada porR = 4, 060 + 0, 003T 2, donde R se mide en ohms (⌦) y T en grados Celcius (

�C). Si latemperatura esta creciendo a una velocidad de 0, 1

�Cseg (grados Celcius por segundo), encuen-

tra la velocidad con la que esta cambiando la resistencia cuando T = 150

�C.

8. Un globo esferico se infla a razon de 15

cm3

seg (centımetros cubicos por segundo). ¿A que razonesta creciendo el diametro en el instante en que el radio ha alcanzado los 5 cm?

9. Un bebedero tiene 4m de longitud y su seccion transversal es un triangulo equilatero conlados de 60 cm de longitud. Si se vierte agua en el bebedero a razon de 1

m3

min (metroscubicos por minuto). ¿Con que rapidez aumenta el nivel del agua cuando la profundidadde la misma es de 15 cm?

10. Cuando un cohete esta a 4.000m de altura se eleva verticalmente con una velocidad de540

kmh (kilometros por hora). Calcula con que rapidez aumenta el angulo de elevacion del

cohete, en ese instante, cuando es visto por un observador sobre la tierra a 9 km de laplataforma de lanzamiento.



Autoevaluacion 5.1

1. (Derivabilidad) Considera la funcion

f(x) =

8

>

>

<

>

>

:

4x3 si x < 1

4 si x = 1

3x+ 1 si x > 1.

a) Encuentra f 0(x) si x 6= 1. ¿Es posible extender f 0 para que sea continua en x = 1?.

b) ¿Es f derivable en x = 1? Justifica apropiadamente tu respuesta.

2. (Interpretacion geometrica de la derivada) Determina, si es posible, las ecuaciones de lasrectas tangente y normal a la curva x2 + 4y2 = 4

a) en el punto⇣p

2,� 1p2

⌘

b) en el punto (1, 1).

3. (Reglas de derivacion) Encuentra la derivada de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) =x2 � 1

x+ 1

+ tan(|x+ 2|), 8x 2 D =

⇢

z 2 R : z 6= 1 : z + 2 6= (2k � 1)⇡

2

: k 2 Z�

.

b) f(x) =

�

1

2

�xecos(x

3

)

ln

�

1

x

� 8x > 0

4. (Derivacion implıcita)

a) Determina la ecuacion de la recta normal a la curva 2(x2 � y2)2 = 50(2xy + 1) en elpunto (4, 1).

b) Sea y = x3 � ax2 + bx+ c. Encuentra los valores de a, b y c de manera que la pendientede la recta tangente en x = 1 sea 0, x = 2 es un punto de inflexion y la grafica de lafuncion pase por el punto (1, 7).

5. (Ecuaciones parametricas) Encuentra un conjunto de ecuaciones parametricas que represen-te a la grafica de la funcion y = 1� x2, usando el parametro:

a) t = x

b) m =

dydx , la pendiente de la grafica en el punto (x, y).

6. (Variaciones relacionadas. Razon de cambio) Un programa computacional simula un sismocon epicentro en una ciudad representada por un punto sobre la pantalla mediante ondascirculares concentricas en torno a este punto. Cuando el radio es 2 cm, el esta creciendo conuna velocidad de 0, 4

⇥ cmseg⇤

sobre la pantalla. ¿Con que rapidez esta creciendo en ese instanteel area encerrada por la onda circular sobre la pantalla?


Autoevaluacion 5.2

1. (Derivabilidad) Considera la funcion

f(x) =

8

<

:

x2 sen1

xsi x 6= 0

0 si x = 0.

Determina f 0 donde sea posible.

2. (Interpretacion geometrica de la derivada)

a) Sea f(x) = x3 � x � 1, x 2 R, y considera la recta L : y = � 1

26

x + 2. Encuentra lasecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = f(x) que son perpendiculares a L.Senala explıcitamente los puntos de tangencia de las rectas encontradas con la curvay = f(x).


b) Las rutas de navegacion de dos embarcaciones que parten al mismo tiempo desde unmismo puerto, se representan sobre un plano cartesiano, y estan determinadas por lasfunciones f(t) = t2 + t +

pt y g(t) = t2 + t + ln(t + 1), respectivamente, donde t es

el tiempo en horas. ¿Es posible que las embarcaciones posean la misma direccion endeterminado tiempo t?. Justifica apropiadamente tu respuesta, y senala explıcitamenteel tiempo t en caso que tu respuesta sea afirmativa.

c) Encuentra los valores de b y c para que la parabola de ecuacion y = x2 + bx + c seatangente a la recta y = x en el punto (1, 1).

3. (Reglas de derivacion)

a) Sea F (x) = f

✓

x� 1

x+ 1

◆

. Si se sabe que f 0(x) = x3. ¿Cual es el valor de F 0

(2)?

b) Determina analıticamente si y = sen(sen(x)) satisface la ecuacion diferencial

y00 + tan(x) y0 + y cos2(x) = 0.

c) Calcula la derivada de

f(x) =

r

sen(ex) +x

ln(cosx)2.

d) Calcula la derivada def(x) = (cos(x2))sen(x

2

).

4. (Derivacion implıcita) Considera la curva definida implıcitamente por

(xy + ln y)2 = 5xy.

a) Usando regla de la cadena y derivando implıcitamente con respecto a x, encuentra y0.

b) Usando el resultado obtenido anteriormente, encuentra la ecuacion de la recta tangente a lacurva en el punto (5, 1).

5. (Derivadas parametricas) Encuentra la pendiente y la concavidad en el punto (1,�1) de lacurva plana de ecuaciones parametricas x =

pt e y = t2 � 2 para t 2 [0,+1[.

6. (Variaciones relacionadas. Razon de cambio) Una escalera de 5m de largo se afirma sobreuna pared perpendicular al piso, que es plano. Si el extremo superior de la escalera se deslizahacia abajo a razon de 0,6

⇥ mseg⇤

, encuentra la razon de cambio del angulo de elevacion de laescalera en el instante en que el extremo inferior de ella se encuentra a 3m de la pared.



Capıtulo 6

Aplicaciones de la Derivada

En el presente capıtulo estudiaremos, cuando sea posible, la primera y segunda derivada deuna funcion con la finalidad de obtener informacion relevante acerca de su grafica, como por ejemplointervalos de crecimiento y/o decrecimiento y sus valores maximos y/o mınimos en un sentidoglobal o local, asunto que discutiremos en la siguiente seccion. La informacion obtenida nospermitira resolver algunos problemas de optimizacion (que son problemas cuyo principal propositoes maximizar beneficios y/o minimizar perdidas), ası como tambien trazar curvas, destacando ental trazado las caracterısticas mas importantes de la curva. Finalmente, mostraremos la regla deL’Hopital, que es una forma sencilla de calcular lımites que poseen una forma indeterminada, lacual esta basada en el conocimiento que uno posee de las derivadas de las funciones involucradasen el lımite.

6.1. Maximos y mınimos de una funcion

En este momento conviene recordar las definiciones de maximo global y mınimo global de unafuncion que fueron introducidas en la seccion 4.4. Estos conceptos tratan sobre los valores extremosque alcanza una funcion en todo su dominio; esto es, desde un punto de vista global.

DEFINICION 6.1.1 Sea I ⇢ R un intervalo, sea f : I ! R una funcion y sea c 2 I . Decimos que

i) f alcanza un maximo global (o maximo absoluto) en c, si

f(c) = sup

x2 If(x).

ii) f alcanza un mınimo global (o mınimo absoluto) en c, si

f(c) = ınf

x2 If(x).

iii) f alcanza un valor extremo global (o valor extremo absoluto) en c, si f alcanza un mınimo globalo un maximo global en c.

231

CAPITULO 6. APLICACIONES DE LA DERIVADA [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

Ahora introducimos el concepto de maximo y mınimo de una funcion en un subconjunto abiertode su dominio; es decir, desde un punto de vista local.

DEFINICION 6.1.2 Sea I ⇢ R un intervalo, sea f : I ! R una funcion y sea c 2 I . Decimos que

i) f alcanza un maximo local (o maximo relativo) en c, si

(9� > 0) tal que�

]c� �, c+ �[⇢ I ^ f(x) f(c) 8x 2]c� �, c+ �[�

.

ii) f alcanza un mınimo local (o mınimo relativo) en c, si

(9� > 0) tal que�

]c� �, c+ �[⇢ I ^ f(c) f(x) 8x 2]c� �, c+ �[�

.

iii) f alcanza un valor extremo local (o valor extremo relativo) en c, si f alcanza un mınimo local oun maximo local en c.

Figura 6.1. Una funcion que posee maximos y mınimos locales y globales

Figura 6.2. Una funcion que no posee maximo global


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.1. MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

A continuacion transcribimos el Teorema 4.4.3, el cual senala que toda funcion real continuasobre un intervalo cerrado y acotado alcanza su maximo global y su mınimo global.

TEOREMA 6.1.1 (Teorema de Weierstrass) Sea f : [a, b] ! R una funcion continua. Entonces

(9c1

, c2

2 [a, b]) tales que

f(c1

) = mın

x2 [a,b]f(x) = ınf

x2 [a,b]f(x) ^ f(c

2

) = max

x2 [a,b]f(x) = sup

x2 [a,b]f(x)

!

.

OBSERVACION 6.1.1 Si una funcion es continua en un abierto o semiabierto, el Teorema 6.1.1 deWeierstrass no garantiza la existencia de valores extremos globales (o valores extremos absolutos).

Antes de dar un criterio que nos permita identificar a puntos del dominio de una funcionderivable donde esta alcanza valores extremos locales, conviene introducir algunas definicionespreliminares.

DEFINICION 6.1.3 Sea I ⇢ R un intervalo. Llamamos interior de I al conjunto int(I), que es elmayor intervalo abierto (en el sentido de la inclusion) totalmente contenido en I .

OBSERVACION 6.1.2 Sean a, b 2 R, con a < b.

En cualquiera de los siguientes casos: I = [a, b], I = ]a, b[ , I = [a, b[ , o bien I = ]a, b], se tiene queint(I) = ]a, b[ .

Si I = [a,+1[ o bien I = ]a,+1[ , se tiene que int(I) = ]a,+1[ .

Si I = ]�1, b] o bien I = ]�1, b[ , se tiene que int(I) = ]�1, b[ .

DEFINICION 6.1.4 Sea I ⇢ R un intervalo, sea f : I ! R una funcion y sea c 2 int(I). Decimosque c es un punto crıtico de f , si f no es derivable en c o bien si f 0

(c) = 0.

OBSERVACION 6.1.3 Un punto crıtico c es candidato a que f(c) sea un valor maximo o mınimo localde f , pues en el caso que f 0

(c) = 0, se observa directamente que la recta tangente a la grafica de f tienependiente cero en el punto

�

c, f(c)�

.

Ahora estamos en condiciones de presentar un criterio para chequear que una funcionderivable alcanza un valor extremo local en un punto de su dominio.

TEOREMA 6.1.2 (Teorema de Fermat) Sea I ⇢ R un intervalo, sea f : I ! R una funcion y seac 2 int(I) tal que f 0

(c) existe. Si f alcanza un valor extremo local en c, entonces f 0(c) = 0.

Demostracion. Sea c un valor extremo local de f . Sin perdida de generalidad, supongamos quef(c) es un valor maximo local de f . Entonces,

(9� > 0) tal que�

]c� �, c+ �[⇢ I ^ f(x) f(c) 8x 2]c� �, c+ �[�

.

Ademas, notemos quef(x)� f(c)

x� c� 0 8x 2 ]c� �, c [ ,


lım

x ! cx < c

f(x)� f(c)

x� c� 0.

Notemos tambien quef(x)� f(c)

x� c 0 8x 2 ]c, c+ �[ ,


lım

x ! cx > c

f(x)� f(c)

x� c 0.

En consecuencia, como f es derivable en c, y c no es uno de los extremos del intervalo I , se verificaque

f 0(c) = lım

x!c

f(x)� f(c)

x� c= 0,

pues como f 0(c) existe, se verifica que

0 lım

x ! cx < c

f(x)� f(c)

x� c= lım

x!c

f(x)� f(c)

x� c= lım

x ! cx > c

f(x)� f(c)

x� c 0. ⌅

OBSERVACION 6.1.4 Geometricamente, el Teorema 6.1.2 de Fermat nos dice que si una funcion f alcanzaun valor extremo local en c y existe f 0

(c), entonces la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto(c, f(c)) es horizontal (paralela al eje x).

OBSERVACION 6.1.5 El Teorema 6.1.2 de Fermat establece una condicion necesaria para la existencia deextremos locales, pero no una condicion suficiente. En decir, el recıproco del Teorema 6.1.2 de Fermat nosiempre se cumple, pues dada una funcion derivable f , puede ocurrir que en algun punto c de su dominiose verifique que f 0

(c) = 0 y que, sin embargo, f(c) pueda no corresponder a un valor extremo local de f ,tal como sucede, por ejemplo, con la funcion cubica f(x) = x3 en x = 0. En efecto,

f 0(x) = 3x2 = 0 , x = 0

pero f(0) = 0 no es un valor maximo local ni mınimo local para f .

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.2. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION EN INTERVALOS CERRADOS

De acuerdo a los teoremas previos, la definicion de punto crıtico y las observaciones anteriores,concluimos lo siguiente.

COROLARIO 6.1.1 Si f : [a, b] ! R es una funcion continua, entonces f alcanza sus valoresextremos globales en a, en b o en alguno de los puntos crıticos de f .

EJERCICIOS 6.1.1

1. Calcula el maximo global y el mınimo global de la funcion

a) f(x) = x2 � 3x+ 2, en el intervalo [�3, 3] b) f(x) = 3� |x� 2|, en el intervalo [1, 4].

2. Indica por que la funcion f(x) = e|x| � 1 es acotada en [�1, 1], y muestra que posee unpunto crıtico en [�1, 1]. ¿Tiene ella un maximo y/o un mınimo global en ]� 1, 1[?


6.2. Problemas de optimizacion en intervalos cerrados

Antes de resolver algunos problemas, conviene tener en mente los siguientes pasos a seguirpara su resolucion:

(1�) Siempre que sea posible, conviene trazar un dibujo relacionado con el problema, identificandolos datos y la(las) incognita(s). De ser necesario, tambien conviene usar propiedades geometricasy/o relaciones conocidas para escribir alguna(s) incognita(s) en terminos de otra.

(2�) Determina la funcion a maximizar o minimizar en terminos de una unica incognita,estableciendo un dominio logico para ella.

(3�) Encuentra los puntos crıticos de la funcion.

(4�) Evalua la funcion en los puntos crıticos encontrados y en los extremos del intervalo dedefinicion de la funcion.

(5�) Concluye.

EJEMPLO 6.2.1 Un fabricante de cajas de carton quiere elaborar cajas abiertas a partir detrozos rectangulares de carton cortando cuadrados en las esquinas y doblando hacia arriba. Silas dimensiones de cada trozo de carton son de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, determina lalongitud que deben tener los lados de los cuadrados a cortar para que la caja resultante tenga elmayor volumen posible.



Solucion.

(1�) Hacemos un dibujo que interprete el problema.

Figura 6.3. Carton rectangular de 24 cm ⇥ 15 cm al cual se le cortan cuadrados en las esquinas para formaruna caja.

En la figura, x representa la medida del lado del cuadrado que se cortara en cada esquina delcarton.

(2�) Ahora, determinamos la funcion a maximizar en terminos de una sola variable, en unintervalo razonable,

V (x) = x(24� 2x)(15� 2x) = 360x� 78x2 + 4x3 0 x 15

2

.

(3�) Buscamos los puntos crıticos de nuestra funcion. Tenemos

V 0(x) = 0 , 360� 156x+ 12x2 = 0 , x2 � 13x+ 30 = 0.

Luego, los puntos crıticos de V son x = 3 y x = 10.

(4�) Evaluamos en los extremos de definicion de nuestra funcion y en los puntos crıticos quepertenecen al dominio de definicion de la funcion V , que en este caso es unicamente el valorx = 3, pues x = 10 > 15

2

. Tenemos

V (0) = 0, V

✓

15

2

◆

= 0 y V (3) = 4 · 32 � 78 · 32 + 360 · 3 = 108� 702 + 1.080 = 486.

(5�) Conclusion: El volumen de la caja alcanza su maximo valor cuando el lado del cuadrado quese recorta en cada esquina del carton es de 3 cm. ⇤


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.3. TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DE LAGRANGE (O DEL VALOR MEDIO)

EJERCICIOS 6.2.1

1. Sean A y B dos puntos opuestos a orillas de un rıo recto de ancho constante igual a 3

kilometros. Un tercer punto C esta en la orilla donde esta B, a k kilometros de B. UnaCompanıa telefonica desea tender un cable desde A hasta C. Si el costo por kilometro decable tendido sobre tierra es de $10.000 y el costo por kilometro de cable tendido bajo el rıo(cable subterraneo) es de $12.500, encuentra el costo mınimo del cableado desde A hastaC para k = 4 y para k = 10. En cada caso senala las condiciones bajo las cuales el costoencontrado es mınimo. Sugerencia: Considera un punto arbitrario P entre B y C, de modo queal cable comience a extenderse desde A, se dirija hacia P y luego llegue hasta C.

2. Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puedeinscribirse en un cono circular recto cuyo radio mide 5 cm y su altura 12 cm.


6.3. Teorema de Rolle y Teorema de Lagrange (o del valor medio)

TEOREMA 6.3.1 (Teorema de Rolle) Sea f : [a, b] ! R una funcion continua en [a, b] y derivableen ]a, b[. Si f(b) = f(a), entonces

9c 2 ]a, b[ tal que f 0(c) = 0.

Demostracion. Como f : [a, b] ! R es una funcion continua en [a, b], el Teorema 6.1.1 de Weierstrassgarantiza que existen x

1

, x2

2 [a, b] tales que f alcanza su mınimo global en x1

y su maximo globalen x

2

.

Si {x1

, x2

} = {a, b}, entonces

f(x1

) = mın

x2[a,b]f(x) = max

x2[a,b]f(x) = f(x

2

),

pues f(a) = f(b). Luego, f es constante en [a, b], y por lo tanto

f 0(x) = 0 8x 2 ]a, b[.

Si {x1

, x2

} 6= {a, b}, entonces al menos uno de los puntos x1

o x2

pertenecera a ]a, b[. Deesta forma, o bien en x

1

o bien en x2

, la funcion f alcanzara un valor extremo global, queen el intervalo abierto ]a, b[ sera un valor extremo local de la funcion, la cual sabemos quees derivable en dicho intervalo. Finalmente, gracias al Teorema 6.1.2 de Fermat, concluimosque la derivada de f se anula en el punto donde alcanza un valor extremo local. ⌅



Figura 6.4. La pendiente de la recta T tangente a la curva y = f(x) en el punto (c, f(c)) es paralela al eje x,por lo que su pendiente es mT = 0.

TEOREMA 6.3.2 (Teorema de Lagrange o Teorema del valor medio) Sea f : [a, b] ! Runa funcioncontinua en [a, b] y derivable en ]a, b[. Entonces

9c 2 ]a, b[ tal que f 0(c) =

f(b)� f(a)

b� a.

Demostracion. Sea L la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Entonces

L : y =

f(b)� f(a)

b� a(x� a) + f(a).

Definamos ahora la funcion

g(x) = f(x)� f(a)� f(b)� f(a)

b� a(x� a) 8x 2 [a, b].

Es claro que g(b) = g(a) = 0 y que

g0(x) = f 0(x)� f(b)� f(a)

b� a8x 2 ]a, b[.

Por lo tanto, podemos aplicar el Teorema 6.3.1 de Rolle y obtener que

9c 2 ]a, b[ tal que g0(c) = 0.

Finalmente, evaluando g0 en c obtenemos

g0(c) = f 0(c)� f(b)� f(a)

b� a= 0,

desde donde despejamos f 0(c) para obtener

f 0(c) =

f(b)� f(a)

b� a. ⌅


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.3. TEOREMA DE ROLLE Y TEOREMA DE LAGRANGE (O DEL VALOR MEDIO)

Figura 6.5. La recta T tangente a la curva y = f(x) en el punto (c, f(c)) es paralela a la recta que pasa porlos puntos (a, f(a)) y (b, f(b)), por lo que su pendiente es mT =

f(b)�f(a)b�a .

EJERCICIOS 6.3.1

1. Verifica que las hipotesis del Teorema 6.3.1 de Rolle se cumplen para la funcion dada en elintervalo correspondiente. Luego, encuentra un valor c adecuado para el cual se cumple laconclusion del Teorema de Rolle.

a) f(x) = x2 � 4x+ 3, en [1, 3]

b) f(x) = x3 � 2x2 � x+ 2, en [1, 2]

c) f(x) = sen(2x), enh

0,⇡

2

i

.

2. Verifica que las hipotesis del Teorema 6.3.2 del valor medio se cumplen para la funciondada en el intervalo correspondiente. Luego, encuentra un valor c adecuado para el cual secumple la conclusion del Teorema 6.3.2 del valor medio.

a) f(x) = x2 + 2x� 1, en [0, 1]

b) f(x) = x3 + x2 � x, en [�2, 1]

c) f(x) =p1� senx, en

h

0,⇡

2

i

.

3. Usando el Teorema 6.3.1 de Rolle, demuestra que la ecuacion

4x3 � 6x2 + 4x� 1 = 0

posee al menos una raız real en el intervalo ]0, 1[. Sugerencia: Considera la funcionf(x) = x4 � 2x3 + 2x2 � x.



6.4. Criterios de crecimiento y decrecimiento. Criterios de maximos ymınimos locales

Por conveniencia, partimos recordando el significado de funcion creciente y decreciente.

DEFINICION 6.4.1 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Decimos que f es una funcion creciente si

(8x1

, x2

2 D) (x1

< x2

) f(x1

) f(x2

)) .

OBSERVACION 6.4.1 Si en la definicion previa reemplazamos el signo por <, entonces decimos que fes estrictamente creciente.

DEFINICION 6.4.2 Sea f : D ✓ R! R una funcion. Decimos que f es una funcion decreciente si

(8x1

, x2

2 D )(x2

< x1

) f(x1

) � f(x2

)) .

OBSERVACION 6.4.2 Si en la definicion previa reemplazamos el signo � por >, entonces decimos que fes estrictamente decreciente.

OBSERVACION 6.4.3 En general, para referirnos a una funcion creciente o decreciente, decimos que ellaes monotona.

A continuacion damos criterios para determinar crecimiento o decrecimiento de una funcionderivable en un intervalo abierto.

TEOREMA 6.4.1 (Criterio de la 1ra derivada para crecimiento y/o decrecimiento de una funcion)Sea I ⇢ R un intervalo y sea f : I ! R una funcion continua en I y derivable en int(I). Entonces:

i) f 0(x) � 0 para cada x 2 int(I) si y solo si f es creciente (%) en I .

ii) f 0(x) 0 para cada x 2 int(I) si y solo si f es decreciente (&) en I .

iii) f 0(x) = 0 para cada x 2 int(I) si y solo si f es constante en I .

Demostracion.

i) ()) Asumamos que f 0 � 0 en int(I) y sean x1

, x2

2 I tales que x1

< x2

. Debemos probarque

f(x1

) f(x2

).

Por hipotesis, f es continua en [x1

, x2

] y derivable en ]x1

, x2

[. Desde el Teorema 6.3.2 delvalor medio, deducimos que

9c 2 ]x1

, x2

[ tal que f 0(c) =

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.4. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MAX. Y MIN. LOCALES

()) Ahora, como c 2 int(I), entonces f 0(c) � 0, y como ademas x

2

� x1

> 0, se sigue que

f(x2

)� f(x1

) � 0.

Por lo tanto,f(x

1

) f(x2

).

(() Asumamos que f es creciente en I , y sea c 2 int(I). Debemos probar que

f 0(c) � 0.

Notemos que para cada x > c se verifica que

f(x)� f(c)

x� c� 0.

Pasando al lımite, y usando el hecho que f es derivable en c, obtenemos

f 0(c) = lım

x!c

f(x)� f(c)

x� c= lım

x!c+

f(x)� f(c)

x� c� 0.

ii) La demostracion es analoga a la del caso i), por lo que aquı la omitimos.

iii) ()) Asumamos que f 0 ⌘ 0 en int(I) y sean x1

, x2

2 I . Debemos probar que

f(x1

) = f(x2

).

Consideramos el hecho que

f 0(x) = 0 8x 2 int(I) ) f 0

(x) � 0 8x 2 int(I) ^ f 0(x) 0 8x 2 int(I)

) f es creciente y decreciente en int(I).

Luego, con ayuda de la continuidad de f en [a, b], obtenemos lo siguiente

x1

< x2

) f(x1

) f(x2

) ^ f(x1

) � f(x2

)

) f(x1

) = f(x2

).

(() Asumamos que f es constante en I . Entonces f 0 ⌘ 0 en int(I). ⌅

OBSERVACION 6.4.4 Notar que bajo las hipotesis del Teorema 6.4.1, la propiedad “f 0(x) > 0 en el int(I)

implica que f es estrictamente creciente en I” es cierta, pero su recıproca es falsa. Es decir, no siemprese verifica que si f es estrictamente creciente en I , entonces f 0

(x) > 0 en el int(I). Un contraejemplo esf(x) = x3 que es estrictamente creciente en R pero tal que existe 0 2 R verificando f 0

(0) = 0.

El siguiente resultado es una consecuencia directa del Teorema 6.4.1, y establece un criterio paradeterminar puntos donde una funcion derivable alcanza un maximo local o un mınimo local.

Basicamente, el teorema a continuacion establece que si existe un punto en el dominio de unafuncion derivable tal que en una vecindad pequena de el se tiene que antes de ese punto la funcioncrece (%) y despues de ese punto la funcion decrece (&), entonces en ese punto la funcion alcanzaun maximo local. De forma similar, si existe un punto en el dominio de una funcion tal que en unavecindad pequena de el se tiene que antes de ese punto la funcion decrece (&) y despues de esepunto la funcion crece (%), entonces en ese punto la funcion alcanza un mınimo local.

COROLARIO 6.4.1 (Criterio de la 1

ra derivada para maximos y/o mınimos locales de una funcion)Sea I ⇢ R un intervalo y sea f : I ! R una funcion continua en I y derivable en int(I) exceptotal vez en c 2 int(I).

i) Si existe � > 0 tal que ]c� �, c+ �[⇢ I , y se verifica que

f 0(x) > 0 8x 2 ]c� �, c[ y f 0

(x) < 0 8x 2 ]c, c+ �[ ,

entonces f(c) es un maximo local de f en I.

ii) Si existe � > 0 tal que ]c� �, c+ �[⇢ I , y se verifica que

f 0(x) < 0 8x 2 ]c� �, c[ y f 0

(x) > 0 8x 2 ]c, c+ �[ ,

entonces f(c) es un mınimo local de f en I.

EJEMPLO 6.4.1 Usando el criterio de la primera derivada, determina los intervalos de crecimientoy decrecimiento, maximos y/o mınimos locales de la funcion

f (x) = x3 � 2x� 2 8x 2 R.

Solucion.

(1�) Comenzamos determinando la primera derivada de f . Notemos que

f (x) = x3 � 2x� 2 ) f 0(x) = 3x2 � 2.

(2�) Ahora, calculamos los puntos crıticos de f . Notemos que como f es un polinomio, entoncesf es continua. Ademas, tenemos

�

f 0(x) = 0

�

,�

3x2 � 2 = 0

�

,⇣p

3x�p2

⌘⇣p3x+

p2

⌘

= 0

, x = �p6

3

_ x =

p6

3

.

(3�) Ahora estudiamos los signos de la derivada en los intervalos determinados por los puntos

crıticos en el dominio de f e interpretamos los resultados en una tabla de signos. Para nuestroanalisis en la interpretacion de f , conviene tener en cuenta el hecho que f 0

(x) = 3x2 � 2,x 2 R, es una funcion continua en R. Tenemos,

�1 < x < �p6

3

x = �p6

3

�p6

3

< x <p6

3

x =

p6

3

p6

3

< x < +1�

p3x�

p2

�

� � � 0 +

�

p3x+

p2

�

� 0 + + +

f 0(x) = 3x2 � 2 + 0 � 0 +

interpretacion para f % max. local & mın. local %

(4�) Concluimos que:

f es estrictamente creciente eni

�1,�p6

3

h

[ip

6

3

,+1h

f es estrictamente decreciente eni

�p6

3

,p6

3

h

f alcanza un valor maximo local en el punto x = �p6

3

. Este valor maximo local es

f

�p6

3

!

= � 6

27

p6 +

2

3

p6� 2 ⇡ �0, 91134.

f alcanza un valor mınimo local en el punto x =

p6

3

. Este valor mınimo local es

f

p6

3

!

=

6

27

p6� 2

3

p6� 2 ⇡ �3, 0887. ⇤

Figura 6.6. Grafica de la funcion f (x) = x3 � 2x� 2.


f (x) = xex 8x 2 R.

Solucion.

(1�) Determinamos la primera derivada de f . Notemos que f es continua y

f (x) = xex ) f 0(x) = ex + xex.

(2�) Calculamos los puntos crıticos. Notemos que

f 0(x) = 0 , ex + xex = 0

, ex (1 + x) = 0

, x = �1.

(3�) Ahora estudiamos los signos de la derivada en los intervalos determinados por los puntoscrıticos en el dominio de f e interpretamos los resultados en una tabla de signos. Para nuestroanalisis en la interpretacion de f , conviene tener en cuenta el hecho que f 0

(x) = ex(1 + x),x 2 R, es una funcion continua en R. Tenemos,

�1 < x < �1 x = �1 �1 < x < +1ex + � +

(1 + x) � 0 +

f 0(x) = ex (1 + x) � 0 +

interpretacion para f & mın. local %


f es estrictamente decreciente en ]�1,�1[

f es estrictamente creciente en ]� 1,+1[

f alcanza un valor mınimo local en el punto x = �1. Este valor mınimo local es

f (�1) = �1

e⇡ �0, 36788. ⇤

Figura 6.7. Grafica de la funcion f (x) = xex.

f (x) = 3

px2

(5� x) 8x 2 R.

Solucion.


f (x) = 3

px2

(5� x) = 5

3

px2 � 3

px5 ) f 0

(x) =10

3

1

3

px� 5

3

3

px2

.


f 0(x) = 0 , 10

3

1

3

px� 5

3

3

px2

= 0, x 6= 0

, �5

3

(x� 2)

3

px

= 0, x 6= 0

, x = 2.

Tambien es punto crıtico x = 0, pues allı la derivada no esta definida pero la funcion sı lo esta.


(x) = �5

3

(x�2)

3

px

escontinua en R \ {0}. Tenemos,

�1 < x < 0 x = 0 0 < x < 2 x = 2 2 < x < +1(x� 2) � � � 0 +

3

px � 0 + + +

�

�5

3

�

� � � � �

f 0(x) =

�

�5

3

�

(

3

px3�2

)

3

px

� @f 0(0) + 0 �

interpretacion para f & mın. local % max. local &


f es estrictamente decreciente en ]�1, 0[[ ]2,+1[

f es estrictamente creciente en ]0, 2[

f alcanza un valor maximo local en el punto x = 2. Este valor maximo local es

f (2) = 3

3

p4 ⇡ 4, 7622

f alcanza un valor mınimo local en el punto x = 0. Este valor mınimo local es

f (0) = 0. ⇤

Figura 6.8. Grafica de la funcion f (x) = 5

3px2 � 3

px5

.


f (x) = x2ex 8x 2 R.

Solucion.


f (x) = x2ex ) f 0(x) = 2xex + x2ex.


f 0(x) = 0 , 2xex + x2ex = 0

, x (2 + x) ex = 0

, x = 0 _ x = �2.


(x) = x(2 + x)ex,x 2 R, es una funcion continua en R. Tenemos,

�1 < x < �2 x = �2 �2 < x < 0 x = 0 0 < x < +1ex + + + + +

x � � � 0 +

(2 + x) � 0 + + +

f 0(x) = x(2 + x)ex + 0 � 0 +

interpretacion para f % max. local & mın. local %

f es estrictamente creciente en ]�1,�2[[ ]0,+1[

f es estrictamente decreciente en ]� 2, 0[

f alcanza un valor maximo local en el punto x = �2. Este valor maximo local es

f (�2) =

4

e2⇡ 0, 54134.

f alcanza un valor mınimo local en el punto x = 0. Este valor mınimo local es

f (0) = 0. ⇤

Figura 6.9. Grafica de la funcion f (x) = x2ex.

Para funciones dos veces derivables, tambien es posible establecer un criterio para maximos ymınimos locales.

TEOREMA 6.4.2 (Criterio de la 2da derivada para maximos y/o mınimos locales de una funcion)Sea I ⇢ R un intervalo, sea f : I ! R una funcion continua en I que es dos veces derivable enint(I) y sea c 2 int(I) un punto crıtico de f .

i) Si f 00(c) < 0, entonces f(c) es un maximo local de f en I .

ii) Si f 00(c) > 0, entonces f(c) es un mınimo local de f en I .

iii) Si f 00(c) = 0, entonces no se puede concluir nada sobre f(c).

En la busqueda de maximos y/o mınimos locales, sera la experiencia la que nos dira cuando esmejor usar el criterio de la primera derivada y cuando es mejor usar el criterio de la segundaderivada.


EJERCICIOS 6.4.1

1. Usando el criterio de la primera derivada, determina los intervalos de crecimiento ydecrecimiento, maximos y/o mınimos locales de las siguientes funciones:

a) f(x) = 2x3 + 2x2 � 12x� 3 b) f(x) = x3ex c) f(x) =1

x, x 6= 0.

2. Usando el criterio de la segunda derivada, encuentra los extremos locales de lassiguientes funciones:

a) f(x) = x3 � x2 � 1 b) f(x) =1

x2 + 1

ex c) f(x) =x2 � 27

x� 6

, x 6= 6.


6.5. Problemas de optimizacion en intervalos reales

Para resolver estos problemas, primero debemos notar que los extremos del intervalo en quese trabaja no son necesariamente cerrados. Sin embargo, se pueden seguir pasos similares a losestablecidos para aquellos casos, dados en la seccion 6.2:

(1�) Siempre que sea posible, conviene trazar un dibujo relacionado con el problema,identificando los datos y la(las) incognita(s). De ser necesario, tambien conviene usarpropiedades geometricas y/o relaciones conocidas para escribir alguna(s) incognita(s) enterminos de otra.

(2�) Determina la funcion a maximizar o minimizar en terminos de una unica incognita,estableciendo un dominio logico para ella.

(3�) Encuentra los puntos crıticos de la funcion.

(4�) Analiza los valores extremos de la funcion usando el criterio de la primera o de la segundaderivada.

(5�) Concluye.

EJEMPLO 6.5.1 Los margenes superior e inferior de una pagina son ambos de 1, 5 cm y losmargenes laterales son de 1 cm cada uno. Si el area del material impreso por pagina es fijo eigual a 30 cm2 ¿cuales son las dimensiones de la pagina de area total mınima?

Solucion.

(1�) Trazamos un dibujo que represente el enunciado y definimos el(los) valor(es) incognito(s)del problema.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.5. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION EN INTERVALOS REALES

Figura 6.10. Una hoja con margen superior e inferior de 1, 5 cm y margenes laterales de 1 cm cada uno.

(2�) Determinamos una funcion en terminos de una unica incognita. Notemos que, de acuerdo anuestra figura, el ancho de la hoja es (x+2) cm y el largo es (y+3) cm, por lo que el area totalde la hoja es

A = (y + 3)(x+ 2).

Por otro lado, el area total impresa esta dada por

xy = 30 ) y =

30

x.

Luego, en terminos de x, obtenemos la funcion

A(x) =

✓

30

x+ 3

◆

(x+ 2) = 36 +

60

x+ 3x x > 0.

(3�) Calculamos los puntos crıticos de A. Tenemos que

A0(x) = �60

x2+ 3 = 3

�

x2 � 20

�

x2= 0 , x =

p20 = 2

p5 _ x = �2

p5.

(4�) Analizamos los valores extremos de la funcion A. Primero descartamos el valor negativo dex y solo nos queda el valor positivo x = 2

p5. Ademas, como A0

(x) < 0 si 0 < x < 2

p5 y

A0(x) > 0 si x > 2

p5, obtenemos que A alcanza un mınimo local en x = 2

p5, que en verdad

es global de acuerdo al comportamiento de A antes y despues de este punto.

(5�) Notemos que para x = 2

p5, se tiene que

y =

30

2

p5

=

15p5

=

15

p5

5

= 3

p5.

Por lo tanto, las dimensiones de la pagina deben ser: ancho igual a�

2 + 2

p5

�

cm y largo iguala�

3 + 3

p5

�

cm. ⇤

EJEMPLO 6.5.2 Halla las dimensiones del cilindro de mayor area lateral que se puede inscribir enuna esfera de radio 10 cm.

Solucion.


Figura 6.11. Un cilindro inscrito en una esfera de radio 10 cm.

(2�) Determinamos una funcion en terminos de una unica incognita. De acuerdo al dibujo y lainformacion del problema tenemos por Teorema de Pitagoras

h2 + (2r)2 = 20

2 ) h =

p

400� 4r2 = 2

p

100� r2.

Luego,A = 2⇡rh ) A(r) = 4⇡r

p

100� r2 r 2 ]0, 10[.


A0(r) = 0 , 4⇡(100� 2r2)p

100� r2= 0

, r = 5

p2.

(4�) Analizamos los valores extremos de la funcion A. Primero notamos que r = 5

p2 2 ]0, 10[ es

el unico valor crıtico. Ademas, como

A0(r) > 0 si 0 < r < 5

p2 y A0

(r) < 0 si r > 5

p2,

obtenemos que A alcanza un valor mınimo local en r = 5

p2, que en verdad es global de

acuerdo al comportamiento establecido para la funcion A antes y despues de este punto.

(5�) Por lo tanto, las dimensiones del cilindro pedido son radio igual a 5

p2 cm y altura igual a

10

p2 cm. ⇤

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.5. PROBLEMAS DE OPTIMIZACION EN INTERVALOS REALES

EJEMPLO 6.5.3 Se desea envasar duraznos en un tarro con forma de cilindro circular recto cuyovolumen sea de 16⇡ pulgadas cubicas. Determina la altura y el radio basal para que la cantidadde lata utilizada para hacer el tarro sea mınima.

Solucion.


Figura 6.12. Un cilindro circular recto de radio r y altura h.

(2�) Determinamos una funcion en terminos de una unica incognita. Sea h la altura del cilindroy sea r su radio, tal como se senala en la figura; y sea V el volumen del cilindro. Entoncestenemos

V = 16⇡ ) ⇡r2h = 16⇡ ) h =

16

r2.

Ademas, como A = 2⇡r2 + 2⇡rh, obtenemos

A(r) = 2⇡⇣

r2 +16

r

⌘

r > 0.


A0(r) = 2⇡

⇣

2r � 16

r2

⌘

.

Luego,

A0(r) = 0 , 2⇡

⇣

2r3 � 16

r2

⌘

= 0

, r3 = 8

, r = 2.

(4�) Analizamos los valores extremos de la funcion A. Primero notamos que r = 2 > 0 es el unicovalor crıtico. Ademas, como

A0(r) < 0 si 0 < r < 2 y A0

(r) > 0 si r > 2,

concluimos que en r = 2 se alcanza un mınimo local, que en verdad es global de acuerdo alcomportamiento de A antes y despues de este punto.

(5�) Por lo tanto, las dimensiones pedidas son: radio igual a 2 pulg y altura igual a 4 pulg. ⇤Esta version puede contener errores 251


EJERCICIOS 6.5.1 Resuelve los siguientes problemas.

1. Halla las dimensiones de un tambor cilındrico con una capacidad de 2.000 cm3 que tenga lamenor superficie posible.

2. Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano, el cual tiene forma deun cilindro circular recto en su parte central y forma de semiesfera en cada uno de susextremos. El costo por metro cuadrado para construir los extremos del tanque es el doblede lo que cuesta el metro cuadrado de la parte central. Si el volumen del tanque debe serde 10⇡ metros. ¿Que dimensiones del tanque minimizan el costo para construirlo?

3. Halla las dimensiones del rectangulo de area maxima que se puede inscribir en la elipse deecuacion

x2

a2+

y2

b2= 1.

4. Un triangulo rectangulo tiene hipotenusa de longitud 13 cm, y un cateto mide 5 cmEncuentra las dimensiones del rectangulo de area maxima que tiene un lado en la hipotenusay los vertices del lado opuesto en los catetos. ¿Cual es el resultado si la hipotenusa es H cmy la altura del triangulo es de h cm?

5. La suma de tres numeros positivos es 30. El primero, mas el doble del segundo, mas eltriple del tercero suman 60. Elige los numeros de manera que el producto de los tres sea elmayor posible.

6. Un fabricante produce vasos de aluminio con un volumen dado de 16 cm3 y con forma decilindro circular recto abierto en el extremo superior. Halla las dimensiones necesarias para quela cantidad de material empleado sea mınima. ¿Cual es el resultado si el volumen dado es V

0

?

7. Determina el segmento mas corto cuyos extremos estan en la parte positiva de los ejes x ey, y que pasa por el punto (1, 8) .

8. Halla las dimensiones del cilindro de mayor area lateral que se puede inscribir en unaesfera de radio R.

9. Una pieza de alambre de longitud L se corta en dos partes. Con una de ellas se forma uncuadrado y con la otra una circunferencia.

a) ¿Como se debe cortar el alambre para que la suma de las areas sea mınima?

b) ¿Como se debe cortar el alambre para que la suma de las areas sea maxima?

10. El interior de una caja de fondo cuadrado y sin tapa debe revestirse de plomo. Si el volumende la caja debe ser de 32 l (litros), ¿Cuales deben ser sus dimensiones para que la cantidadde plomo sea mınima?


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.6. CONVEXIDAD, CONCAVIDAD, PUNTOS DE INFLEXION Y TRAZADO

11. Se desea almacenar aceite en tambores cilındricos de 375 cm3, ¿Que dimensiones deltambor corresponden a la menor cantidad de material utilizado en su fabricacion?

12. Un agricultor desea emplear cortadores de tomates para cosechar 62.500 tomates. Cadacortador puede cosechar 625 tomates por hora y se pagan 6 por hora. Ademas, el agricultordebe pagar un supervisor a $10 la hora y pagar al sindicato $10 por cada cortador empleado.

a) ¿Cuantos cortadores deberıa emplear el agricultor para minimizar el costo de lacosecha de tomates?

b) ¿Cual es el costo mınimo para el agricultor?


6.6. Convexidad, concavidad, puntos de inflexion y trazado de curvas

DEFINICION 6.6.1 Sea f : ]a, b[! R una funcion. Decimos que f es:

i) convexa (^) si para cada x1

, x2

2 ]a, b[ se verifica

f(tx1

+ (1� t)x2

) tf(x1

) + (1� t)f(x2

) 8t 2 [0, 1].

ii) concava (_) si para cada x1

, x2

2 ]a, b[ se verifica

f(tx1

+ (1� t)x2

) � tf(x1

) + (1� t)f(x2

) 8t 2 [0, 1].

Sean x1

, x2

2 ]a, b[.

Si t 2 [0, 1] es dado, entonces es facil chequear que al considerar x = tx1

+(1� t)x2

, uno tieneque x 2 [x

1

, x2

].

Recıprocamente, si x 2 [x1

, x2

] es dado, entonces es facil chequear que al considerar

t =x� x

2

x1

� x2

,

uno tiene que x = tx1

+ (1� t)x2

y que t 2 [0, 1].

Luego, podemos reescribir la definicion de una funcion convexa en la siguiente forma: Decimos quef : ]a, b[! R es convexa si para cada [x

1

, x2

] ⇢ ]a, b[ se verifica que

f(x) x2

� x

x2

� x1

f(x1

) +

x� x1

x2

� x1

f(x2

) 8x 2 [x1

, x2

].

Notemos que si ponemos

g(x) =x2

� x

x2

� x1

f(x1

) +

x� x1

x2

� x1

f(x2

) 8x 2 [x1

, x2

],



entoncesf(x) g(x) 8x 2 [x

1

, x2

].

Ademas, notemos que la grafica de g representa un segmento de recta en el plano que une lospuntos (x

1

, f(x1

)) y (x2

, f(x2

)). En efecto, se chequea facilmente que

g(x1

) = f(x1

) y g(x2

) = f(x2

),

y que

g(x) =f(x

2

)� f(x1

)

x2

� x1

(x� x1

) + f(x1

) 8x 2 [x1

, x2

].

De esta forma, obtenemos que el segmento de recta que une los puntos (x1

, f(x1

)) y (x2

, f(x2

)) seencuentra ubicado en el plano cartesiano por “sobre” la grafica de f en el intervalo [x

1

, x2

].Evidentemente, sobre cada intervalo [x

1

, x2

] ⇢ ]a, b[ podemos obtener la misma conclusion; es decir,si f es una funcion convexa en ]a, b[, entonces sobre cada intervalo [x

1

, x2

] ⇢ ]a, b[ el segmento derecta que une los puntos (x

1

, f(x1

)) y (x2

, f(x2

)) se encuentra ubicado en el plano cartesiano por“sobre” la grafica de f en el intervalo [x

1

, x2

].Se puede razonar de manera analoga para concluir que si f es una funcion concava en ]a, b[,

entonces sobre cada intervalo [x1

, x2

] ⇢ ]a, b[ el segmento de recta que une los puntos (x1

, f(x1

))

y (x2

, f(x2

)) se encuentra ubicado en el plano cartesiano por “debajo” de la grafica de f en elintervalo [x

1

, x2

].Los comentarios previos nos permiten establecer que si f es continua sobre ]a, b[ entonces su

grafica es una curva con una forma bien definida tanto si ella es una funcion convexa en ]a, b[ comosi ella es una funcion concava en ]a, b[, tal como se ilustra a continuacion.

Figura 6.13. A la izquierda se ilustra una funcion convexa; a la derecha, una funcion concava.

Usando la notacion previa, observemos tambien que

(f(x) g(x) 8x 2 [x1

, x2

] ) )✓

f(x)� f(x1

)

x� x1

f(x2

)� f(x1

)

x2

� x1

8x 2 ]x1

, x2

[

◆

. (6.1)


OBSERVACION 6.6.1 De acuerdo a la definicion previa, si f es concava, entonces �f es convexa. Por otrolado, si en la definicion previa cambiamos las desigualdades por desigualdades estrictas, entonces decimosque f es estrictamente convexa o estrictamente concava, segun corresponda.

A continuacion presentamos un criterio para determinar si una funcion derivable en unintervalo abierto (por lo tanto, continua en ese intervalo abierto) es convexa o concava.

TEOREMA 6.6.1 (Criterio de la 1ra derivada para convexidad o concavidad de una funcion) SeaI ⇢ R un intervalo y sea f : I ! R una funcion derivable en int(I).

i) f 0 es una funcion creciente en int(I) si y solo si f es convexa en int(I)

ii) f 0 es una funcion decreciente en int(I) si y solo si f es concava en int(I).

iii) f 0 es una funcion constante en int(I) si y solo si f es una funcion afın en int(I).

Demostracion.

i) ()) Asumamos que f 0 es una funcion creciente en int(I). Sean x1

, x2

2 ]a, b[ con x1

< x2

, seat 2 ]0, 1[ y consideremos x = tx

1

+ (1� t)x2

. Debemos probar que

f(x) tf(x1

) + (1� t)f(x2

). (6.2)

Como f(x) = tf(x) + (1� t)f(x), probar (6.2) es equivalente a probar

tf(x) + (1� t)f(x) tf(x1

) + (1� t)f(x2

),

o bient(f(x)� f(x

1

)) (1� t)(f(x2

)� f(x)). (6.3)

Probemos que (6.3) se cumple. Primero aplicamos el Teorema 6.3.2 del valor medio ala funcion f en los intervalos [x

1

, x] y [x, x2

], y obtenemos que existen c1

2 [x1

, x] yc2

2 [x, x2

] tales que

f(x)� f(x1

) = f 0(c

1

)(x� x1

) y f(x2

)� f(x) = f 0(c

2

)(x2

� x). (6.4)

Como f 0 es creciente, es claro que

0 f 0(c

1

) f 0(c

2

). (6.5)

Ademas, notemos que

t(x� x1

) = t(tx1

+ (1� t)x2

� x1

) = t(1� t)(x2

� x1

)

y que(1� t)(x

2

� x) = (1� t)(x2

� tx1

� (1� t)x2

) = t(1� t)(x2

� x1

).

i) ()) Luego,0 t(x� x

1

) = (1� t)(x2

� x). (6.6)

Entonces, desde (6.5) y (6.6), se sigue que

tf 0(c

1

)(x� x1

) (1� t)f 0(c

2

)(x2

� x).

Finalmente, desde (6.4) y la desigualdad previa, obtenemos directamente (6.3).

(() Asumamos que f es convexa en int(I). Sean a, b 2 int(I) con a < b. Debemos probarque

f 0(a) f 0

(b).

Sean x 2 ]a, b[ e introduzcamos por conveniencia las funciones

fa(x) =f(x)� f(a)

x� ay fb(x) =

f(x)� f(b)

x� b.

Como f es convexa, se cumple (6.1) con x1

= a y x2

= b. Es decir, se cumple

f(x)� f(a)

x� a f(b)� f(a)

b� a8x 2 [a, b]. (6.7)

Definamos ahora el conjunto

{fb(x) : x 2 int(I) : a x < b}.

Claramente este conjunto es no vacıo (pues contiene a a), y es acotado superiormente�

por f(b)�f(a)b�a

�

, por lo cual, de acuerdo al axioma del supremo, posee supremo. Ponga-mos

sb = sup

x 2 Ia x 0, por definicion de supremo

(9x0

2 [a, b[ ) tal que (fb(x0) > sb � ").

Escojamos ahora � = b� x0

> 0. Entonces,

b� � < x < b ) sb � " < fb(x0) fb(x) sb,

de donde�� < x� b < 0 ) |fb(x)� sb| < ".

i) ()) Esto prueba que (6.8) se cumple. Ademas, como f es derivable en int(I), obtenemos

f 0(b) = lım

x!b

f(x)� f(b)

x� b= lım

x ! bx < b

f(x)� f(b)

x� b= lım

x ! bx < b

fb(x) = sb.

Entonces, como a < b y f 0(b) = sb, se sigue que

fb(a) =f(b)� f(a)

b� a f 0

(b).

Ademas, por (6.7), para cada x 2 [a, b] se verifica que

fa(x) =f(x)� f(a)

x� a f(b)� f(a)

b� a= fa(b).

Como a, x 2 int(I), podemos pasar al lımite cuando x ! a y obtener

f 0(a) = lım

x!afa(x) = lım

x!a

f(x)� f(a)

x� a fa(b).

Notando ahora quefa(b) = fb(a),

concluimos quef 0(a) fa(b) = fb(a) f 0

(b).

ii) La demostracion es analoga a la de la parte i), por lo que aquı la omitimos.

iii) ()) Asumamos que f 0 es una funcion constante en int(I), y pongamos int(I) = ]a, b[. Note-mos que

]a, b[ =+1[

n=1

a+

k0

n, b� k

0

n

�

,

con k0

> 0 fijado convenientemente pequeno, de manera que [a+ k0

, b� k0

] 6= ?. Luego,gracias a la continuidad de f en int(I) y el hecho que la pendiente de la recta tangentea la curva y = f(x) es igual en todo punto de int(I), sera suficiente probar que f es afınen [x

1

, x2

] ⇢ ]a, b[, donde [x1

, x2

] es cualquier intervalo de la formah

a+

k0

n , b� k0

n

i

paraalgun n 2 N. Como f 0 es constante, entonces f 0 es creciente y decreciente en int(I), y sesigue desde i) y ii), que f es convexa y concava en int(I). De esta forma, de acuerdo acalculos previos, se verifica que

f(x) =f(x

2

)� f(x1

)

x2

� x1

(x� x1

) + f(x1

) 8x 2 [x1

, x2

],

que es una funcion afın en [x1

, x2

], que era lo que querıamos probar.

(() Asumamos que f es una funcion afın en int(I). Entonces f(x) = mx + n para cadax 2 int(I) y f 0

(x) = m para cada x 2 int(I). ⌅

OBSERVACION 6.6.2 Notemos que el criterio que da el Teorema 6.6.1 para determinar si una funcionderivable es convexa o concava, resulta mas practico si la funcion f posee segunda derivada. En efecto, elTeorema 6.4.1 establece que f 0 es creciente (decreciente) si y solo si f 00 � 0 en int(I) (f 00 0 en int(I)).El teorema a continuacion establece de forma precisa el criterio de la segunda derivada.

TEOREMA 6.6.2 (Criterio de la 2da derivada para convexidad o concavidad de una funcion) SeaI ⇢ R un intervalo y sea f : I ! R una funcion dos veces derivable en int(I).

i) f 00(x) � 0 para cada x 2 int(I) si y solo si f es convexa en int(I).

ii) f 00(x) 0 para cada x 2 int(I) si y solo si f es concava en int(I).

iii) f 00(x) = 0 para cada x 2 int(I) si y solo si f es una funcion afın en int(I).

OBSERVACION 6.6.3 Si consideramos las desigualdades estrictas de la segunda derivada de f , entonces fresulta estrictamente convexa o estrictamente concava, segun corresponda; pero no podemos garantizar elrecıproco. Un contrajemplo es f(x) = x4 que es estrictamente convexa en R, pero tal que existe 0 2 Rverificando f 00

(0) = 0.

DEFINICION 6.6.2 Sea f : ]a, b[! R una funcion continua en ]a, b[ y sea c 2 ]a, b[. Decimos que(c, f(c)) es un punto de inflexion del Graf(f) si existe � > 0 tal que ]c� �, c+ �[⇢ ]a, b[ y se verificauna y solo una de las siguientes situaciones:

i) f es estrictamente convexa en ]c� �, c[ y estrictamente concava en ]c, c+ �[; o bien

ii) f es estrictamente concava en ]c� �, c[ y estrictamente convexa en ]c, c+ �[.

En terminos de una funcion una vez derivable, la definicion anterior quedarıa de la siguienteforma: Sea f : ]a, b[! R una funcion derivable en ]a, b[ y sea c 2 ]a, b[. Decimos que (c, f(c)) es un puntode inflexion del Graf(f) si existe � > 0 tal que ]c � �, c + �[⇢ ]a, b[ y se verifica una y solo una de lassiguientes situaciones:

i) f 0 es estrictamente creciente en ]c� �, c[ y estrictamente decreciente en ]c, c+ �[; o bien

ii) f 0 es estrictamente decreciente en ]c� �, c[ y estrictamente creciente en ]c, c+ �[.

En terminos de una funcion que posee segunda derivada, la definicion anterior quedarıa de lasiguiente forma: Sea f : ]a, b[! R una funcion que es dos veces derivable en ]a, b[ y sea c 2 ]a, b[. Decimosque (c, f(c)) es un punto de inflexion del Graf(f) si existe � > 0 tal que ]c� �, c+ �[⇢ ]a, b[ y se verificauna y solo una de las siguientes situaciones:

i) f 00 > 0 en ]c� �, c[ y f 00 < 0 en ]c, c+ �[; o bien

ii) f 00 < 0 en ]c� �, c[ y f 00 > 0 en ]c, c+ �[.

Figura 6.14. Punto de inflexion. En la imagen del lado izquierdo, la funcion pasa de estrictamente concava aestrictamente convexa y la recta tangente a la curva en el punto de inflexion corta a la curva unicamente ental punto. En la imagen del lado derecho, la funcion pasa de estrictamente convexa a estrictamente concavay la recta tangente a la curva en el punto de inflexion corta a la curva unicamente en tal punto.

A continuacion presentamos un criterio para chequear que un punto de la forma (c, f(c)) es unpunto de inflexion de la grafica de f .

TEOREMA 6.6.3 Sea f : ]a, b[! R una funcion dos veces derivable en ]a, b[ y sea c 2 ]a, b[ tal que(c, f(c)) es un punto de inflexion del Graf(f). Entonces

f 00(c) = 0.

Demostracion. Por conveniencia, pongamos

g(x) = f 0(x) 8x 2 ]a, b[.

Luego,g0(x) = f 00

(x) 8x 2 ]a, b[.

Ahora, como (c, f(c)) es un punto de inflexion de la grafica de f , entonces existe � > 0 tal que]c � �, c + �[⇢ ]a, b[ y se verifica que f 00 > 0 en ]c � �, c[ y f 00 < 0 en ]c, c + �[; o bien que f 00 < 0

en ]c � �, c[ y f 00 > 0 en ]c, c + �[. Es decir, se verifica que g0 > 0 en ]c � �, c[ y g0 < 0 en ]c, c + �[;o bien que g0 < 0 en ]c � �, c[ y g0 > 0 en ]c, c + �[. Entonces, por el Corolario 6.4.1 (criterio de la1

ra derivada para maximos y/o mınimos locales de una funcion), obtenemos que g(c) es un valorextremo local para g, y se sigue por el Teorema 6.1.2 de Fermat que g0(c) = 0, o equivalentemente,que f 00

(c) = 0. ⌅

EJEMPLO 6.6.1 Traza la grafica de la curva f(x) = (x+2)(x�1)

2, e indica, si es posible: puntos demaximos y/o mınimos locales, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexion,intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, asıntotas verticales y horizontales.

Solucion.

(1�) Estudio de la primera derivada. Notemos que

f(x) = (x+ 2)(x� 1)

2

= x3 � 3x+ 2.

Luego,

f 0(x) = 3x2 � 3

= 3(x� 1)(x+ 1).

Ahora buscamos los valores crıticos de f ,

f 0(x) = 0 , x = 1 ^ x = �1.

A continuacion, estudiamos la primera derivada mediante una tabla de signos; a saber

�1 < x < �1 x = �1 �1 < x < 1 x = 1 1 < x < +1(x� 1) � � � 0 +

(x+ 1) � 0 + + +

f 0(x) = 3(x� 1)(x+ 1) + 0 � 0 +

interpretacion para f % max. rel. & mın. rel. %

A partir de la informacion obtenida en la tabla anterior, concluimos que:

f es estrictamente creciente en ]�1,�1[[ ]1,+1[

f es estrictamente decreciente en ]� 1, 1[

f alcanza un valor maximo local en f(�1) = 4

f alcanza un valor mınimo local en f(1) = 0.

(2�) Estudio de la segunda derivada. Notemos que

f 00(x) = 6x.

Ahora buscamos los valores crıticos de f 0,

f 00(x) = 0 , x = 0.

A continuacion, estudiamos la segunda derivada mediante una tabla de signos; a saber

�1 < x < 0 x = 0 0 < x < +1x � 0 +

f 00(x) = 6x � 0 +

interpretacion para f _ pto. inflex. ^



f es estrictamente concava en ]�1, 0[

f es estrictamente convexa en ]0,+1[

La grafica de f tiene un punto de inflexion en (0, f(0)) = (0, 2).

(3�) Estudio de asıntotas. Notemos tambien que

lım

x!+1f(x) = +1 y lım

x!�1f(x) = �1,

y que, por lo tanto, no hay asıntotas horizontales ni verticales.

(4�) Trazado de la curva. Ahora estamos en condiciones de trazar la curva

Figura 6.15. Grafica de la curva y = (x+ 2)(x� 1)

2 . ⇤

EJEMPLO 6.6.2 Traza la grafica de la funcion f(x) =x

x2 + 1

.

Solucion.

(1�) Estudio de la primera derivada. Notemos que Dom(f) = R. Ademas, tenemos que

f 0(x) =

(x2 + 1)� x · x(x2 + 1)

2

=

�x2 + 1

x2 + 1

=

�(x� 1)(x+ 1)

x2 + 1

.

Luego,f 0(x) = 0 , x = 1 _ x = �1.

A continuacion, estudiamos la primera derivada mediante una tabla de signos; a saber


�1 < x < �1 x = �1 �1 < x < 1 x = 1 1 < x < +1�(x� 1) + + + 0 �(x+ 1) � 0 + + +

x2 + 1 + + + + +

f 0(x) = �(x�1)(x+1)

x2

+1

� 0 + 0 �interpretacion & mın. rel. % max. rel. &


f es estrictamente decreciente en ]�1,�1[[ ]1,+1[

f es estrictamente creciente en ]� 1, 1[

f tiene un valor mınimo local en f(�1) =

�1

2

f tiene un valor maximo local en f(1) = 1

2

.

(2�) Estudio de la segunda derivada. Tambien tenemos que

f 00(x) =

2x3 � 6x

(x2 + 1)

3

=

2x(x�p3)(x+

p3)

(x2 + 1)

3

,

de dondef 00

(x) = 0 , x = 0 _ x = �p3 _ x =

p3.

A continuacion, estudiamos la segunda derivada mediante una tabla de signos; a saber

�1<x<�p3 x=�

p3 �

p3<x<0 x=0 0<x<

p3 x=

p3

p3<x<+1

2x � � � 0 + + +

(x�p3) � � � � � 0 +

(x+

p3) � 0 + + + + +

(x2

+ 1)

3

+ + + + + + +

f 00(x)= 2x(x�

p3)(x+

p3)

(x2+1)

3 � 0 + 0 � 0 +

interpretacion _ pto. infl. ^ pto. infl. _ pto. infl. ^


f es estrictamente concava en ]�1,�p3[[ ]0,

p3[

f es estrictamente convexa en ]�p3, 0[[ ]

p3,+1[

La grafica de f tiene puntos de inflexion en (�p3, f(�

p3)) =

⇣

�p3,�

p3

10

⌘

,

(0, f(0)) = (0, 0) y (

p3, f(

p3)) =

⇣p3,

p3

10

⌘

.

Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 6.7. REGLA DE L’HOPITAL

(3�) Estudio de asıntotas. Se observa que no hay asıntotas verticales y que

lım

x!�1f(x) = 0 ^ lım

x!+1f(x) = 0.

(4�) Trazado de la curva. Ahora estamos en condiciones de trazar la curva:

Figura 6.16. Grafica de la funcion f(x) =x

x2

+ 1

. ⇤

EJERCICIOS 6.6.1

1. Encuentra para cada una de las siguientes funciones los puntos de inflexion, si los hay, ylos intervalos en que la funcion es concava hacia arriba y/o abajo:

a) f(x) = 2 sen(3x), x 2 [�⇡,⇡] b) f(x) = ex

c) f(x) =2

x2 + 3

d) f(x) = 3x4 � 4x3.

2. Realizando un analisis previo que implique el estudio de: puntos crıticos, intervalos decrecimiento y/o decrecimiento, maximos y/o mınimos locales y/o globales, concavidadhacia arriba y/o hacia abajo, puntos de inflexion, asıntotas horizontales, verticales y/uoblicuas; traza las curvas (o graficas) de las siguientes funciones:

a) f(x) =x

x2 � 1

b) f(x) = (x+ 2)

2

3

(x� 1)

2 c) f(x) =x2

x� 1

.


RECURSOS MULTIMEDIA (ES NECESARIA UNA CONEXION A INTERNET) 6.6.1

Presiona aquı X para visitar un sitio web donde podras trazar curvas.

6.7. Regla de L’Hopital

La regla que a continuacion presentamos facilita enormemente el calculo de los lımites conformas indeterminadas. En particular, si

lım

x!a

f(x)

g(x)=

lım

x!af(x)

lım

x!ag(x)

tiene la forma0

0

o bien la forma11 .

El siguiente teorema permite establecer los resultados principales de esta seccion.


https://www.desmos.com/calculator

TEOREMA 6.7.1 (Teorema de Cauchy o Teorema del valor medio generalizado) Sean f : [a, b]!R

y g : [a, b] ! R dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[. Entonces,

(9c 2 ]a, b[) tal que�

(f(b)� f(a))g0(c) = (g(b)� g(a))f 0(c)�

.

Demostracion. Consideramos la funcion h : [a, b] ! R definida por

h(x) = (f(b)� f(a))g(x)� (g(b)� g(a))f(x) + f(a)g(b)� f(b)g(a) 8x 2 [a, b].

Claramente esta funcion es continua en [a, b] y derivable en ]a, b[, con h(a) = h(b) = 0 y

h0(x) = (f(b)� f(a))g0(x)� (g(b)� g(a))f 0(x) 8x 2 ]a, b[ .

Luego, por una aplicacion del Teorema 6.3.1 de Rolle, obtenemos que

9c 2 ]a, b[ tal que h0(c) = 0,

de donde se deduce el resultado del teorema. ⌅

TEOREMA 6.7.2 (Regla de L’Hopital) Sean f : ]a, b[! R y g : ]a, b[! R dos funciones derivablesen ]a, b[ excepto tal vez en c 2 ]a, b[, con g0(x) 6= 0 para cada x 2 ]a, b[ \{c}, y tales que lım

x!c

f 0(x)

g0(x) = L,para algun L 2 R [ {�1,+1}.

i) Si lımx!c

f(x) = 0 y lım

x!cg(x) = 0, entonces

lım

x!c

f(x)

g(x)= lım

x!c

f 0(x)

g0(x).

ii) Si lımx!c

f(x) = 1 y lım

x!cg(x) = 1, entonces

lım

x!c

f(x)

g(x)= lım

x!c

f 0(x)

g0(x).

Demostracion. Solo probaremos la parte i) en el caso en que L 2 R. Los casos restantes se pruebande forma similar.

Como lım

x!cf(x) = 0 y lım

x!cg(x) = 0, podemos extender f y g de forma continua, de forma que

f(c) = g(c) = 0, donde a las funciones extendidas las seguimos llamando f y g respectivamente.Ahora, sea x 2 ]a, b[\{c} tal que c < x. Como g es continua en [c, x] y derivable en ]c, x[, por el

Teorema de Lagrange (o Teorema 6.3.2 del valor medio) obtenemos que

9c 2 ]c, x[ tal que g0(c) =g(x)� g(c)

x� c,

y como g(c) = 0 y, por hipotesis, g0(c) 6= 0, obtenemos que g(x) 6= 0. Ademas, como f tambien escontinua en [c, x] y derivable en ]c, x[, por el Teorema de Cauchy (o Teorema 6.7.1 del valor mediogeneralizado) obtenemos que

9cx 2 ]c, x[ tal que (f(x)� f(c))g0(cx) = (g(x)� g(c))f 0(cx).

Luego, como f(c) = g(c) = 0 y, por hipotesis, g0(cx) 6= 0 y g0(x) 6= 0, obtenemos que

f 0(cx)

g0(cx)=

f(x)

g(x).

Mediante un razonamiento analogo, si x 2 ]a, b[ \{c} es tal que x < c, concluimos que

9cx 2 ]x, c[ tal quef 0(cx)

g0(cx)=

f(x)

g(x).

En conclusion, hasta aquı hemos probado que

(8x 2 ]a, b[ \{c})(9cx 2 ]a, b[ ) tal que✓

0 < |cx � c| < |x� c| ^ f 0(cx)

g0(cx)=

f(x)

g(x)

◆

. (6.9)

Ahora la conclusion es inmediata. En efecto, como

lım

x!c

f 0(x)

g0(x)= L,

dado " > 0 tenemos que

9� > 0 tal que (8z 2 ]a, b[ )

✓

0 < |z � c| < � )�

�

�

�

f 0(z)

g0(z)� L

�

�

�

�

< "

◆

.

Luego, dado x 2 ]a, b[ tal que 0 < |x� c| < �, desde (6.9) obtenemos que existe cx 2 ]a, b[ tal que

0 < |cx � c| < |x� c| < � )�

�

�

�

f 0(cx)

g0(cx)� L

�

�

�

�

=

�

�

�

�

f(x)

g(x)� L

�

�

�

�

< ".

En resumen, hemos probado que

(8" > 0)(9� > 0) tal que (8x 2 ]a, b[ )

✓

0 < |x� c| < � )�

�

�

�

f(x)

g(x)� L

�

�

�

�

< "

◆

,

que equivale a decir que

lım

x!c

f(x)

g(x)= L. ⌅

OBSERVACION 6.7.1 El Teorema 6.7.2 de la regla de L’Hopital tambien es valido si reemplazamos loslımites por lımites laterales.

EJEMPLO 6.7.1 Calcula, si es posible,

lım

x!⇡

2

+

2 tanx� x

secx.


Solucion. Consideremos f(x) = 2 tanx� x y g(x) = secx, y notemos que

lım

x!⇡

2

+

f(x) = +1 y lım

x!⇡

2

+

g(x) = +1.

Luego, el lımite que queremos encontrar tiene la forma 11 , ası que podemos proceder a estudiar

tal lımite como lo sugiere el Teorema 6.7.2 de la regla de L’Hopital. Tenemos que

lım

x!⇡

2

+

f 0(x)

g0(x)= lım

x!⇡

2

+

2 sec

2 x� 1

secx tanx

= lım

x!⇡

2

+

2

1

cos

2 x� 1

1

cosxsenxcosx

= lım

x!⇡

2

+

2�cos

2 xcos

2 xsenxcos

2 x

= lım

x!⇡

2

+

✓

2� cos

2 x

senx

◆

= 2.

Por lo tanto,lım

x!⇡

2

+

2 tanx� x

secx= 2. ⇤


lım

x!0

+

1

x lnx.

Solucion. Reescribimos el lımite en la forma

lım

x!0

+

1

x

lnx.

Consideremos f(x) = 1

x y g(x) = lnx, y notemos que

lım

x!0

+

f(x) = +1 y lım

x!0

+

g(x) = �1.

Luego, el lımite que queremos encontrar tiene la forma 11 , ası que podemos proceder a estudiar

tal lımite como lo sugiere el Teorema 6.7.2 de la regla de L’Hopital. Tenemos que

lım

x!0

+

f 0(x)

g0(x)= lım

x!0

+

� 1

x2

1

x

= � lım

x!0

+

1

x

= �1.

Por lo tanto,lım

x!0

+

1

x lnx= �1. ⇤




lım

x!0

x

ex � 1

.

Solucion. Consideremos f(x) = x y g(x) = ex � 1, y notemos que

lım

x!0

f(x) = 0 y lım

x!0

g(x) = 0.

Luego, el lımite que queremos encontrar tiene la forma 0

0

, ası que podemos proceder a estudiar tallımite como lo sugiere el Teorema 6.7.2 de la regla de L’Hopital. Tenemos que

lım

x!0

f 0(x)

g0(x)= lım

x!0

1

ex

= 1.

Por lo tanto,lım

x!0

x

ex � 1

= 1. ⇤

EJERCICIOS 6.7.1 Halla los siguientes lımites.

a) lım

x!⇡

2

+

cosx

senx� 1

b) lım

x!1

+

x� 1� lnx

x lnxc) lım

x!0

1 + senx� ex

(arc tanx)2

d) lım

x!0

+

1

x

e1

x

2

e) lım

x!0

+

x� senx

tanx� senx.


El resultado a continuacion establece que el Teorema 6.7.2 la regla de L’Hopital tambien valeen infinito para funciones que son derivables en intervalos no acotados.

TEOREMA 6.7.3 (Regla de L’Hopital) Sean f : ]a,+1[! R y g : ]a,+1[! R dos funcionesderivables, con g0(x) 6=0 para cada x 2 ]a, b[, tales que lım

x!+1f 0(x)

g0(x) = L para algun L 2 R [ {�1,+1}.

i) Si lım

x!+1f(x) = 0 y lım

x!+1g(x) = 0, entonces

lım

x!+1

f(x)

g(x)= lım

x!+1

f 0(x)

g0(x).

ii) Si lım

x!+1f(x) = 1 y lım

x!+1g(x) = 1, entonces

lım

x!+1

f(x)

g(x)= lım

x!+1

f 0(x)

g0(x).



OBSERVACION 6.7.2 El Teorema 6.7.3 de la regla de L’Hopital tambien es valido en infinito si reemplazamosel intervalo ]a,+1[ por el intervalo ]�1, b[, y ademas en cada lımite cambiamos +1 por �1.


a) lım

x!+1

2x2 � 1

exb) lım

x!�1

⇡2

+ arc tanx1

x

c) lım

x!�1

e�x

x3d) lım

x!+1

px

(lnx)3.


6.7.1. Otras formas indeterminadas

Otras formas indeterminadas son las siguientes:

0 ·1, 0

0, 1

1, 10 y 1�1.

La tecnica para tratar este tipo de situaciones se ilustra en el ejemplo a continuacion.


lım

x!⇡

2

✓

2x

⇡+ cosx

◆

1

cos x

.

Solucion. Este lımite tiene la forma 1

1, y resulta conveniente estudiarlo de la siguiente forma.Supongamos que

lım

x!⇡

2

✓

2x

⇡+ cosx

◆

1

cos x

= L,

con L 2 R+. Entonces, aplicando ln a ambos lados de la igualdad (podemos porque L es unaconstante estrictamente positiva), obtenemos

ln

lım

x!⇡

2

✓

2x

⇡+ cosx

◆

1

cos x

!

= lnL,

de donde, por continuidad de la funcion ln, se sigue que

lım

x!⇡

2

✓

1

cosxln

✓

2x

⇡+ cosx

◆◆

= lnL.

A continuacion estudiamos el lımite de la izquierda, teniendo en cuenta que si consideramosf(x) = ln

�

2x⇡ + cosx

�

y g(x) = cosx, siendo funciones continuas en ⇡2

, con f�

⇡2

�

= g�

⇡2

�

= 0

y g0(x) = � senx 6= 0 en cualquier entorno (de longitud pequena) de ⇡2

, de manera que podemos



estudiar el lımite como lo sugiere el Teorema 6.7.2 de la regla de L’Hopital. Tenemos

lım

x!⇡

2

f 0(x)

g0(x)= lım

x!⇡

2

2

⇡

�senx2x

⇡

+cosx

� senx

= � lım

x!⇡

2

2

⇡ � senx

(

2x⇡ + cosx) senx

= �✓

2

⇡� 1

◆

.

Luego, tenemos que

lnL = lım

x!⇡

2

f(x)

g(x)= lım

x!⇡

2

✓

1

cosxln

✓

2x

⇡+ cosx

◆◆

= �✓

2

⇡� 1

◆

.

Ahora despejamos L aplicando la funcion exponencial a ambos extremos de la igualdad previa, yobtenemos

L = e�(2

⇡

�1

). ⇤


a) lım

x!0

+

x lnx b) lım

x!0

+

xx c) lım

x!+1

✓

1 +

1

x

◆x

d) lım

x!+1x

1

x e) lım

x!0

(cscx� cotx).



Autoevaluacion 6.1

1. Optimizacion. Una ventana sobre una pared plana tiene la forma de un rectangulo coronadopor un semicırculo. Esto es, la forma de la ventana se obtiene al pegar el lado superior de unrectangulo con el diametro de un semicırculo, ambos de igual longitud. Si el perımetro de lapuerta es 12m, calcula las dimensiones de la ventana para que deje pasar el maximo de luzposible.


Autoevaluacion 6.2

1.



Capıtulo 7

La Diferencial

Es conocido que el cambio o incremento de una variable corresponde a la diferencia entredos de sus valores. Si x es la variable, y el incremento es �x, entonces

�x = (x+�x)� x,

mientras que si y = f(x), entonces el incremento de y respecto al incremento de x es

�y = f(x+�x)� f(x).

Cuando el incremento es infinitamente pequeno, es usual referirse a tal incremento como ladiferencial de y respecto a la variable x. Nuestro interes aquı es entender el calculo diferencialcomo una parte del calculo infinitesimal, donde se determinan los incrementos infinitamentepequenos a partir de las magnitudes de las funciones involucradas. Este asunto puede llegara ser de gran interes cuando se modelan matematicamente ciertos fenomenos de los cuales seconocen valores de una funcion pero no la regla general que la define. En tales casos resulta muyutil estimar la magnitud del incremento tanto de la variable como de la informacion disponibledesde el punto de partida; es decir, nos interesa estimar la magnitud de variacion tanto de lainformacion que se conoce respecto del valor original de la variable, como de los valores de lafuncion respecto a ese punto.

7.1. La diferencial

Sea I ⇢ R un intervalo, sea c 2 int(I) y sea f : I ! R una funcion. Si existe f 0(c), entonces la

ecuacion de la recta tangente a la grafica de f en el punto (c, f(c)) esta dada por la ecuacion

y � f(c) = f 0(c)(x� c).

Consideremos ahora la funcion P : R! R definida por

P (x) = f(c) + f 0(c)(x� c) 8x 2 R, (7.1)

271

CAPITULO 7. LA DIFERENCIAL [BORRADOR] Salomon Alarcon Araneda

y evaluemos esta funcion en un valor cercano a c, al que denotaremos por c+�x (siendo |�x| unvalor suficientemente pequeno). Entonces,

P (c+�x) = f(c) + f 0(c)(c+�x� c) , P (c+�x) = f(c) + f 0

(c)�x. (7.2)

Introduzcamos ahora la siguiente notacion para la variacion de P respecto a c y c+�x,

�P|x=c

= P (c+�x)� P (c)

y similarmente, la siguiente notacion para la variacion de f respecto a c y c+�x,

�f|x=c

= f(c+�x)� f(c).

Entonces,P (c+�x) = P (c) +�P|

x=c

y f(c+�x) = f(c) +�f|x=c

. (7.3)

Observemos a continuacion el siguiente grafico.

Figura 7.1. Variaciones de P y f respecto a c y c+�x.

Notemos que cuando |�x| esta muy cerca de 0, se tiene que

P (c+�x) ⇡ f(c+�x). (7.4)

En otras palabras, desde (7.2), (7.3) y (7.4) obtenemos

P (c+�x) = P (c) +�P|x=c

= f(c) + f 0(c)�x ⇡ f(c) +�f|

x=c

= f(c+�x).

Ası, como P (c) = f(c), obtenemos

�P|x=c

= f 0(c)�x ⇡ �f|

x=c

= f(c+�x)� f(c). (7.5)

Luego,

f 0(c) ⇡ f(c+�x)� f(c)

�x,


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 7.1. LA DIFERENCIAL

de donde concluimos quef(c+�x)� f(c)� f 0

(c)�x

�x⇡ 0.

Los calculos previos motivan la siguiente definicion.

DEFINICION 7.1.1 Sea I ⇢ R un intervalo y sea c 2 int(I). Decimos que una funcion f : I ! R

es diferenciable en c si existe una funcion lineal L : R! R tal que

lım

h!0

f(c+ h)� f(c)� L(h)

h= 0.

La funcion L se llama diferencial de f en c y se denota por df(c).

TEOREMA 7.1.1 Sea I ⇢ R un intervalo, sea c 2 int(I) y sea f : I ! R una funcion diferenciableen c. Entonces, la funcion lineal df(c) en la definicion previa es unica.

Demostracion. Asumamos que L1

y L2

son diferenciales de f en c, entonces

lım

h!0

f(c+ h)� f(c)� L1

(h)

h= 0 y lım

h!0

f(c+ h)� f(c)� L2

(h)

h= 0,

de dondelım

h!0

✓

f(c+ h)� f(c)� L1

(h)

h� f(c+ h)� f(c)� L

2

(h)

h

◆

= 0.

Se sigue que

lım

h!0

L2

(h)� L1

(h)

h= 0.

Desde aquı, como L1

y L2

son lineales, para cada a 2 R \ {0} fijo, pero arbitrario, obtenemos que

lım

h!0

a(L2

(h)� L1

(h))

ah= lım

h!0

h(L2

(a)� L1

(a))

ah= lım

h!0

L2

(a)� L1

(a)

a= 0,

de dondeL1

(a) = L2

(a) 8a 2 R \ {0},

pues el lımite de una constante es la misma constante, y como, gracias a la linealidad de L1

y L2

,

L1

(0) = L2

(0),

concluimos queL1

⌘ L2

. ⌅

Continuando con nuestra discusion previa a la Definicion 7.1.1, notemos desde (7.5) que siy = f(x), entonces la variacion de y = f(x) cuando x varıa desde c hasta c+�x, verifica que

�y = f(c+�x)� f(c) ⇡ f 0(c)�x.



En concordancia con lo anterior, es usual escribir

f 0(c) = lım

�x!0

�y

�x

y

dy = f 0(x) dx,

que se ajusta a la notaciondy

dx= f 0

(x).

DEFINICION 7.1.2 Sea I ⇢ R un intervalo, sea c 2 int(I) y sea f : I ! R una funcion diferenciableen c. Llamamos linealizacion de f en c a la expresion

P (x) = f(c) + f 0(c)(x� c)

que representa a la mejor aproximacion afın para la funcion f cerca del punto c.

OBSERVACION 7.1.1 Sea I ⇢ R un intervalo, sea c 2 int(I) y sea f : I ! R una funcion diferenciable en c.

Para valores de x cercanos a c, P (x) representa una estimacion de f(x).

Es usual llamar error en la aproximacion de �f|x=c

al valor �f|x=c

� df(c)�x, que verifica

�f|x=c

� df(c)�x ⇡ f(c+�x)� f(c)� f 0(c) dx,

donde este ultimo valor se usa para estimar tal error.

Es usual llamar error absoluto (o simplemente error) a la cantidad �f|x=c

= f(c+�x)� f(c), queverifica

�f|x=c

= f(c+�x)� f(c) ⇡ f 0(c) dx,


Por ultimo, mencionamos que es usual llamar error relativo a la cantidad �f|x=c

f(c) que verifica

�f|x=c

f(c)⇡ f 0

(c) dx

f(c),



px � x. Para x = 4 y dx = 0, 56, estima el error absoluto, y luego

calcula su valor preciso.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 7.2. LA DIFERENCIAL Y LA DERIVADA

Solucion. En primer lugar, nos solicitan estimar el valor de �f|x=4

, que equivalente a calcular

f 0(4) · 0, 56.

Como f 0(x) = 2p

x� 1, entonces f 0

(4) = 0, de donde

�f|x=4

= 0.

Calculemos ahora el valor preciso de �f|x=4

. Tenemos

�f|x=4

= f(4+0, 56)� f(4)

= (4

p4, 56� 4, 56)� (4

p4� 4)

= 4

p4, 56� 8, 56

=�0, 018337 . . . ⇤

EJEMPLO 7.1.2 El radio r de un cırculo crece de 10m a 10, 2m. Estima el crecimiento del area A

del cırculo usando diferenciales.

Solucion. Notemos que nos piden estimar el crecimiento del area del cırculo; es decir, nos pidenrealizar la resta entre A0

(10) · 0, 2 + A(10), que es el area aproximada del cırculo despues de sucrecimiento, y A(10) que es su area inicial. En otras palabras, nos piden estimar el error absoluto�A, que verifica

�A ⇡ A0(10) · 0, 2.

Como el area del cırculo esA(r) = ⇡r2,

entoncesA0

(r) = 2⇡ r,

de donde obtenemos queA0

(10) · 0, 2 = 20⇡ · 0, 2 = 10. ⇤

7.2. La diferencial y la derivada

Nos interesa ahora establecer una relacion entre los conceptos de diferencial y derivada.

TEOREMA 7.2.1 Sea I ⇢ R un intervalo, sea c 2 int(I) y sea f : I ! R una funcion. Entonces, fes derivable en c si y solo si f es diferenciable en c. En particular, se verifica

df(c)(h) = f 0(c)h 8h 2 R.



Demostracion.

()) Asumamos que f es derivable en c. Entonces,

9f 0(c) y f 0

(c) = lım

h!0

f(c+ h)� f(c)

h.

Se sigue que

lım

h!0

f(c+ h)� f(c)

h� f 0

(c) = 0 ) lım

h!0

f(c+ h)� f(c)� f 0(c)h

h= 0.

Luego, considerando la funcion lineal L : R! R definida por

L(h) = f 0(c)h 8h 2 R.

concluimos que f es diferenciable en c.

()) Asumamos que f es diferenciable en c. Entonces

9L : R! R funcion lineal tal que lım

h!0

f(c+ h)� f(c)� L(h)

h= 0.

Notando que hL(1) = L(h) para toda h 2 R, se sigue que

lım

h!0

f(c+ h)� f(c)� hL(1)

h= 0 ) lım

h!0

f(c+ h)� f(c)

h� L(1) = 0,

de donde obtenemos que9f 0

(c) y f 0(c) = L(1).

Ası,f 0(c)h = hL(1) = L(h) 8h 2 R. ⇤

El resultado previo es, en muchas ocasiones, usado para decir que la derivada y la diferencialsignifican lo mismo, pero esto no es correcto, pues la diferencial es una aplicacion lineal, mientrasque la derivada es un lımite. La diferencia entre la diferencial y la derivada sera evidente parafunciones con mas de una variable, que estudiaremos en un curso de calculo diferencial en variasvariables mas adelante.

7.3. Propiedades de las diferenciales

Gracias al Teorema 7.2.1, es posible establecer un resultado relativo al algebra de diferencia-les, que en su forma nos recordara al Teorema 5.6.1 del algebra de derivadas ya estudiado, comotambien una regla de la cadena.


Salomon Alarcon Araneda [BORRADOR] 7.3. PROPIEDADES DE LAS DIFERENCIALES

TEOREMA 7.3.1 (Algebra de diferenciales) Sean f y g dos funciones diferenciables en ]a, b[,donde ]a, b[⇢ Dom(f) \ Dom(g). Entonces para cada x 2 ]a, b[ se obtienen los siguientes resultados:

i) La diferencial del producto por escalar

d

�

k f�

= k df donde k es una constante.

ii) La diferencial de la suma

d

�

f + g�

= df + dg.

iii) La diferencial de la resta

d

�

f � g�

= df � dg.

iv) La diferencial del producto

d

�

f g�

= (df) g + f (dg).

Ademas, para cada x 2 D tal que g(x) 6= 0 se verifica

v) La diferencial de un cuociente

d

✓

f

g

◆

=

(df) g � f (dg)

g2.

TEOREMA 7.3.2 (La diferencial de una funcion compuesta. Regla de la cadena) Sean f y g dosfunciones reales tales que Rec(g) ⇢ Dom(f), con g diferenciable en cada x 2 Dom(g) y f diferenciableen cada g(x). Entonces

d (f � g) = d

�

f�

g��

= df�

g�

dg.

EJERCICIOS 7.3.1

1. Dado un paralelepıpedo recto de base rectangular de dimensiones: largo igual a 4x + 2

unidades, ancho igual a 3x unidades y altura igual a 2x+5 unidades. Calcula cuanto varıasu volumen cuando x varıa en 0, 01 unidades.

2. Sea y = 4x2 � 3x+ 1. Calcula �y � dy:

a) para cualquier x y �x.

b) para x = 2, cuando �x = 0, 1.

Ademas, encuentra la mejor aproximacion afın a la funcion y en el punto x = 2, y comparael valor de esta aproximacion con el de la funcion en x = 2, 2.



3. El error al medir el lado de un cubo es a lo sumo de 1%. ¿Que porcentaje de error se obtieneal estimar el volumen de un cubo? Sugerencia: Estima el error relativo dV

V en terminos del errorrelativo ds

s , e interpreta esto (aquı s es la medida del lado del cubo).

4. La formula para predecir cuanto se tiene que expandir el radio de una arteria parcialmenteobstruida para restaurar el flujo normal de sangre, esta dada por la formula

V = kr4.

Esta formula es la Ley de Poiseuille que establece que el volumen del flujo de sangre quefluye por una arteria (en una unidad de tiempo a presion constante) es proporcional a lacuarta potencia del radio de la arteria (con una constante de proporcionalidad k). ¿Comoafecta a V el crecimiento del radio en un 10%? Sugerencia: Estima el error relativo dV

V enterminos del error relativo dr

r , e interpreta esto.



Autoevaluacion 7.1

1.


Autoevaluacion 7.2

1.



Apendice A

Soluciones de los Ejercicios

Para volver a los ejercicios del capıtulo y seccion respectiva, presiona sobre el trıo de numerosen rojo correspondiente.LEMA 1 h

Soluciones de los Ejercicios 1.1.2

1. a) 1

3

a3 � 1

36

a2 � 1

8

b) 8b(3a+ 1)

c) 6a+b2

a+6b

d) 3(x�a)x+a

2. a) Las condiciones son: ax 6= b y bx 6= �a

b) Las condiciones son: x =

a+b2

y a 6= b; o bien x 6= a y a = b

3. �

4. a) x = 2

b) x =

6

13

5. a =

26

7

, b = 16

7

6. a = 2

7. a = 1. ⇤

LEMA 2 h


1. a) 7 b) 2 c) 7 d) 5 e) 5 f) 7

2. a) V b) F c) V d) V e) V f) V g) V h) V. ⇤

LEMA 3 h


a) V b) V c) F d) F e) V f) F g) V h) V i) V. ⇤

279

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS Salom´on Alarc´on Araneda

LEMA 4 h


a) S = {�11, 21} b) S = {�1, 7} c) S = {�34,� 8

7

} d) S = {�4, 1

3

} e) S = { 5

8

, 7

2

}f) S = ? g) S = {�4} h) S = {x 2 R : x � �8} i) S = { 1

9

} j) S = {7}. ⇤

LEMA 5 h


1. a) x 4 b) 2 x 5 c) x < 3

2. �1 y 1. ⇤

LEMA 6 h


a) S = {x 2 R : 3 < x < 4} b) S = ? c) S = {x 2 R : 3 < x < 4}d) S = {x 2 R : 3 < x < 4}. ⇤

LEMA 7 h


1. a) � 3

7

< x < 9

7

b) � 13

4

x 3

4

c) x < �10 _ x > 38

3

d) x < 13

5

_ x > 19

5

e) x > 1

6

f) x 2 R

2. Primero prueba que 9

10

< x < 11

10

, y luego obten el rango para 3x+ 5. Concluye. ⇤

LEMA 8 h


a) x < �3 _ x > � 1

3

b) x � 3 ^ x 6= 5 c) x > 2 d) 1 < x < 3. ⇤

LEMA 9 h


1. x+ y =

7

11

2. n 6= 6

3. k = �1

3

4. r = 3, s = �1

5.y

x= 3

6. x = 0. ⇤

280

Salom´on Alarc´on Araneda

LEMA 10 h


1. a) x 4 b) 2 x 5 c) x < 0 _ 1 < x 2 d) x > �1 ^ x 6= 1 e) � 2 < x < 4 f) � 1 x 1

g) (x < 0 ^ x 6= �1) _ x > 4 h) � 1�p2 < x < 1 + 2

p2 ^ x 6= 1 i) � 3 < x < 1

j) x �4 _ � 2

3

x < 4

3

k) � 2�p3 < x < �2 l) x �4�

p10 _ x �

p7� 3

2. �1 < y < 1

3. �. ⇤

LEMA 11 h


1. Al menos 20.001

2. El lımite es 40 personas

3. US$6.000

4. Para t � 36,52

5. Mın: 4,2¯6 dıas ; Max: 6,1¯3 dıas

6. Entre $55.000 y $64.000 recibe el que gana menos

7. Fabrico 141 mesas

8. 24m y 7m

9. Mın: 605 gr; Max: 645 gr

10. 0 a 3 anos o 8 a 11 anos

11. 24 y 40

12. 20 y 12

13. 25 y 15

14. 16 y 4

15. $14 y $6

16. Oro: 361 gr ; Plata: 231 gr

17. 37,5min y 30min respectivamente

18. b = 30m ; h = 16m. ⇤

LEMA 12 h


1. a) – b) Dom(f) = {�2,�1, 0,�1} ^ Rec(f) = {2, 1, 0,�1} c) f(x) = �x

2. a) Son distintas b) Son iguales. ⇤

281


LEMA 13 h


1. Grafica de la curva y = 1 +

2

x�1

= 1 + 2

1

x�1

2. Reflexion de la grafica de la funcion f(x) = x2 � 2x+ 3

3. Reflexion de la grafica de la funcion f(x) = �px+ 3

282


4. Grafica de las funciones f(x) = x2 y g(x) = �f(x) = �x2

Las graficas de f y �f son simetricas respecto al eje x (se trata de una reflexion de f respecto a la rectay = 0)

1. a) – b) Dom(f) = {�2,�1, 0,�1} ^ Rec(f) = {2, 1, 0,�1} c) f(x) = �x

2. �. ⇤

LEMA 14 h


1. a) log(x(x+ 1)),x>0 b) log

⇣

x+1

x+2

⌘

,x>�1 c) log

⇣

(x+3)

3

x�2

⌘

, x>2 d)⇣

log(x+2)

2

log b

⌘

2

,x>�2

e) ax+3 f) a3x+2y g) (ab)x+y h) � (y � 4)(y � 3) loga(x+ 1), x > �1.

2. a) x =

1

2

log 2 b) x = 8 c) x = 1 d) x =

1

4

e72 e) x = 1. ⇤

LEMA 15 h


a) Dom(f) = ]� 3,+1[ , Rec(f) = R b) Dom(f) = R , Rec(f) = ]0,+1[

c) Dom(f) = ]0,+1[ , Rec(f) = [0,+1[ d) Dom(f) = ]1,+1[ , Rec(f) = R. ⇤

LEMA 16 h


1. a) amplitud es 5, el perıodo es ⇡, el desfase es ⇡2

, desplazamiento vertical es 0

b) amplitud es 5, el perıodo es 6, el desfase es 3

4

, desplazamiento vertical es 5

2. a) f(x) = 2 sen

�

x� ⇡6

�

b) f(x) =p2 sen

�

3x+

⇡4

�

c) f(x) = �p2 sen

�

2x� ⇡4

�

. ⇤

LEMA 17 h


a) Cod(f) = [0,+1[ b) Dom(f) =⇥

�⇡2

, ⇡2

⇤

, Cod(f) = [�1, 1]

c) Dom(f) = [0,⇡] , Cod(f) = [�1, 1] d) Dom(f) =⇤

�⇡2

, ⇡2

⇥

. ⇤

283


LEMA 18 h


1. a) ⇡4

b) ⇡3

c) � ⇡2

2. a)p1� x2 b) x

x�1

c) xq

1� 1

x2 . ⇤

LEMA 19 h


1. a) ⇡4

b)p3

2

c) ⇡

2. a) x b)q

1� x2

(1�x)2 c) 1px2�1

. ⇤

LEMA 20 h


1. a) ⇡3

b) � ⇡6

c) ⇡4

2. a) 1px2

+1

b) x

(x�1)

q(

x

x�1 )2+1

c)q

1

x2 + 1. ⇤

LEMA 21 h


a) � 4; � 4 b) � 1; 1 c) 1; 6 9 d) 1

2

; 1. ⇤

LEMA 22 h


1. a) a3 b) |a|+ b c) a2

a�b

2. a) 5 b) 6 9. ⇤

LEMA 23 h


1. 2

2. a) 0 b) 0 c) 0

3. 1

4. –. ⇤

LEMA 24 h

284



a) 1

3

b) 1

2

c) 13

3

. ⇤

LEMA 25 h


a) 2 b) 1

3

c) 1

2

px

. ⇤

LEMA 26 h


a) 1 b) 1 c) 1. ⇤

LEMA 27 h


a) 1

2

b) 1

4

c) 3

5

. ⇤

LEMA 28 h


a)p2

2

b) 0 c) 0. ⇤

LEMA 29 h


1. a) �1 b) +1 c) +1 d) +1

2. a) �1 b) +1 c) +1 d) +1

3. a) x = �1; x = 1 b) 6 9 c) x = 1. ⇤

LEMA 30 h


a) �1 b) +1 c) �1. ⇤

LEMA 31 h


a) +1 b) �1 c) �1 d) +1. ⇤

LEMA 32 h

285

a) 2 b) 0 c) +1 d) 3p2

e) � 1p2

f) �1. ⇤

LEMA 33 h


a) y =

3

3p2

b) y = 0. ⇤

LEMA 34 h


a)

8

>

>

>

<

>

>

>

:

0 si (0 0) _ (b > 1 ^ c < 0)

ec si b = 1 ^ c 6= 0

+1 si (0 1 ^ c > 0)

1 si c = 0

b)

8

>

<

>

:

0 si 0 < a < 1

1 si a = 1

+1 si a > 1

c) 0

d) 0. ⇤

LEMA 35 h


a) y = x+ 2 b) y = x c) y = � 2

3

x+

7

9

. ⇤

LEMA 36 h


1. a) No es continua b) Sı, es continua

2. a) No reparable en x = 1 b) Reparable en x = 2, no reparable en x = 3

c) Reparable en x = �2, No reparable en x = 1 d) Reparable en x = 0. ⇤

286

LEMA 37 h


1. a) Continua en R b) Reparable en 0; se redefine f(0) = 1

c) Reparable en 0; se define f(0) = �3 d) No reparable en 0 e) No reparable en 0

2. a) ↵ =

3

8

,� = �3 b) ↵ = 1,� = �1 c) ↵ = � 18

11

,� = � 15

11

d) ↵ =

1

2

,� = 2. ⇤

LEMA 38 h


1. a) c = 1

2

(1 +

p5). Aplicable

b) 69c, pues 3 62 Rec(f) para x 2 [0, 3]. No aplicable

c) c = 6. Aplicable

2. Poniendo f(x) = x5 � x3

+ 2x � 1, que es una funcion continua en R, deducimos desde el Teorema4.3.2 de Bolzano que existe una raız de f(x).

3. Sea P (x) un polinomio de grado n, con n impar. Si el coeficiente de xn es positivo, entonces lımx!+1 P (x) =

+1 y lımx!�1 P (x) = �1. La conclusion es inmediata desde el Teorema 4.3.2 de Bolzano.

4. Como f es continua en R, con f(0) = �1 < 0 y f(⇡) = ⇡ � 1 > 0, desde el Teorema 4.3.2 de Bolzanoconcluimos que f posee una raız real.

5. No. La funcion tangente no es continua en ⇡2

2⇥

⇡4

, 3⇡4

⇤

, de hecho x =

⇡2

es una asıntota vertical parala grafica de tan(x). ⇤

LEMA 39 h


1. Sı

2. Sı, pero no contradice el Teorema 4.4.3 de Weierstrass.

3. Sı.

4. �

5. �. ⇤

LEMA 40 h


1. a) f 0(x) = nxn�1 b) f 0

(x) = 1

mx1m

�1 c) f 0(x) = cosx d) f 0

(x) = � senx e) f 0(x) = sec

2 x

f) f 0(x) = secx tanx g) f 0

(x) = � cotx cotx h) f 0(x) = � csc

2 x

2. a) f 0(2) = 5 b) f 0

(0) = 0 c) 6 9f 0(1) d) 6 9f 0

(1), f 0(2) = 12

3. Se tiene que c2 = ac+ b, 2c = a y c2 = �b, b 0

287

4. a) f 0(1) = 6 b) 6 9f 0

(3) c) f 0(0) = 1 d) 6 9f 0

(2). ⇤

LEMA 41 h


1. a) T : y = 3x� 2 N : y =

4�x3

b) T : y = 1 N : x = 0 c) T : y = �2x+ 2 N : y =

x�1

2

d) T : y = 1 N : x = 0 e) T : y = �2x+ 6a N : y =

x2

+ a f) T : y = x+ 1 N := �x+ 3

2. (�2,�4)

3. a) y =

�x4

b) y = 4x

4. a = 2 b = �1

5. �

6. a = 5 b = �12 c = �3

7. (1,�3)

8. (4, 2). ⇤

LEMA 42 h


1. a) f 0(x) = x2�1

x2 Dom(f 0) = R \ {0} b) f 0

(x) = � 1

x2 Dom(f 0) = R \ {0}

c) f 0(x) = 1

2

px

Dom(f 0) = R+ d) f 0

(x) = 5x4 � 12x2

+ 2 Dom(f 0) = R

e) f 0(x) =

8

>

>

<

>

>

:

1 si x < 0

2 si 0 < x < 3

�1 si x > 3

Dom(f 0) = R \ {0, 3}

f) f 0(x) =

(

2 si x < 3

0 si x > 3

Dom(f 0) = R \ {3}

2. a) En 0 sı, en 1 no. b) f 0(x) =

8

>

>

<

>

>

:

4x3 � 3x2 � x si x < 0

6x2 � 6x si 0 x < 1

⇡ cos(⇡x) si x > 1

288

3. a = 0 b = 1

3

f 0(x) =

(

1

3p3x

si 0 < x 9

1

3

si x > 9

4. Dom(f) = R \ {0}, pues 6 9f 0(0), y en cambio 9f(x) para cada x 6= 0. ⇤

LEMA 43 h


1. a) f 0(x) = 35x4 � 9x2

+ 4x� 1 b) f 0(x) = 48x3

+ 60x2 � 12x� 13 c) f 0(x) = 6x7�12x5

+4x4�2x2+2

(x3�x)2

d) f 0(x) = �x6

+2x5+6x4�8x3

+12x2�8x�8

(x4+4)

2 e) f 0(x) = cos(2x) + sec

2

(x)

f) f 0(x) = cos(x)ex ln(x) + sen(x)ex ln(x) + sen(x)ex

x + ln(x) + 1

2. a) f 0(x) = sec(x) tan(x) b) f 0

(x) = � csc(x) cot(x) c) f 0(x) = � csc

2

(x)

d) f 0(x) = x3

cos(x)�x2sen(x)+x cos(x)+sen(x)x4

+2x2+1

e) f 0(x) = 2 sen(x)

(1+2 cos(x))2 f) f 0(x) = 1�2 cos(x)�2 sen(x)

(2�cos(x))2 . ⇤

LEMA 44 h


1. a) f 0(x) = �5 cos(cos(5x)) sen(5x)

b) f 0(x) = 3

2

(x+ 5)

2e12 tan(x+5)

3

sec

2

(x+ 5)

3

c) f 0(x) = �5 cot(x3e2x)

(x+3)(x�2)

� (2x3e2x + 3x2e2x) ln(x+3

x�2

) csc

2

(x3e2x)

d) f 0(x) = ln(x)�sen(ex

3)�3x3ex

3cos(ex

3)+1

4

4p

(x ln(x)�x sen(ex3))

3

2. �

3. f 0(

⇡2

) = �1

4. a) dydx (x) =

�6(x+x3) cot(3x) csc2(3x)�2x cot

2(3x)

(1+x2)

2

b) dydx (x) = 3 sen

2

(5x�p2x2

+ 1) cos(5x�p2x2

+ 1)(5� 2xp2x2

+1

)

c) dydx (x, y) =

6x�2y2x+2y+1

d) dydx (x) = cos(

p

tan(x2

+ 1)

2

)� 2(x4+x2

) sen(

ptan(x2

+1)

2) sec

2(

ptan(x2

+1)

2)p

tan(x2+1)

2

5. a) f 0(x) = cos(cos(x)) sen(x)� sen(sen(x)) cos(x)

b) f 0(x) = cos(

1

x ) +sen(

1x

)

x +

cos(

1x

)

x2

c) f 0(x) = � cos(cos

2

(x)) sen(2x)� cos(x)cos

2(sen(x))

d) f 0(x) = 2 cos(tan(4x)) sec2(4x)+18x5

cos(3x6) sen(3x6

)psen(tan(4x))�cos

2(3x6

)

e) f 0(x) = 6x3

cos(x3

) + 2 sen(x3

)� 2x cos(x2

) + (2x3 � 4x) sen(x2

)

f) f 0(x) = � 1

3

(x sen(x))�2 sen(x)

3

⇣

sen(2x) ln(x) + 2 sen(x)x + 2 cos(x)

⌘

g) f 0(x) = 12 tan

5

(x2 � 2x sen(x) + 1) sec

2

(x2 � 2x sen(x) + 1) (x� sen(x)� x cos(x))

h) f 0(x) =

sec

2(

x

2 )+csc

2(

x

2 )

2

6. g0(0) = 0

7. a) Sı b) Sı. ⇤

289


LEMA 45 h


1. b = �7

36+12

p2

2. a) f (n)(x) = sen(x+

n⇡2

) b) f (n)(x) = 2

ne2x c) f (n)(x) = (�1)

n+1

(n� 1)!x�n

3. C1(R \ {0}) [ C1

(R)

4. �

5. a) f (n)(x) = ex

�

x2

+ 2nx+ n(n� 1)

�

b) f (n)(x) = n! ln(x) +

Pn�1

k=0

n!n�k . ⇤

LEMA 46 h


1. a) f 0(x) = �5e5x � (

1

x +

1p1�x2 )

sen(

pln(x)+arc sen(x))

2

pln(x)+arc sen(x)

b) f 0(x) = 2(x� 1) +

2(x�1)

4+2x

(2x+arc tan(x�1)

2)(1+(x�1)

4)

2. a) f 0(x) = x

2xpx+2

px

b) f 0(x) = 1p

2�(1�x)2� 1p

2�(1+x)2c) f 0

(x) = cos(x)+sen(x)psen(2x)

d) f 0(x) = sen(2x)�2 tan(x) sec2(x)

1+(sen

2(x)�tan

2(x))2 e) f 0

(x) = �1

x2+1

f) f 0(x) = 6x arc tan

2(x2

)

1+x4 � 2xp1+x4

g) f 0(x) = 1p

�2x�x2 h) f 0(x) = 1

2xpx+2

px

i) f 0(x) = �1

(1+arc tan(x))2(1+x2)

j) f 0(x) = � 2x sen(2x2

+2)p1�cos

4(1+x2

)

3. �

4. f 0(x) = arc sen

2

(x). ⇤

LEMA 47 h


1. a) dydx =

2x3y2

+2y�5

b) dydx =

2xy�y2

2xy�x2 c) dydx =

y cos(xy)

2yey2�x cos(xy)

2. 1

2

3. 13

9

4. d

2ydx2 = � 25

y3 N : y =

3x4

5. a) T : y = 24x� 15 N : y =

217�x24

b) T : y =

�x�1

2

N : y = 2x� 3

6. a) (cosx)sen x(cosx · ln(cosx)� senx · tanx)

b) � sen(xsen x) · x�1+sen x

(x · cosx · lnx+ senx) . ⇤

LEMA 48 h


1. a) y0 = 3t+3

2

y00 = 3

4�4t y000 = 3

8(1�t)3 b) y0 = � cot(t) y00 = � csc

3(t)

a y000 = cot(t) csc4(t)a2

2. a) y = xp3 +

a(6�⇡p3)

3

b) Horizontal: ✓ = (2k + 1)⇡ Vertical: ✓ = 2k⇡ k 2 Z3. a) y0 = � 3

2

tan(t) y00 = � 3

4

sec

3

(t) b) t 2⇤

⇡2

, 3⇡2

⇥

. ⇤

290


LEMA 49 h


1. 1

18⇡m

min

2. 2

p2

7

mseg

3. 2

3

mseg

4. 3

p3 unidades por segundo

5. 48

25

⇡ m2

seg

6. 21

5

p5 unidades por segundo

7. 9

100

⌦

seg

8. 3

10⇡cmseg

9. 5

p3

2

mmin

10. 4860

97

gradosh . ⇤

LEMA 50 h


1. a) Mınimo global en x =

3

2

, y maximo global en x = �3

b) Mınimo global en x = 4, y maximo global en x = 2

2. Es acotada por que se trata de una funcion continua definida sobre un intervalo cerrado (ver Teorema6.1.1 de Weierstrass). Posee un punto crıtico en x = 0, pues allı la derivada no existe. En x = 0 poseeun mınimo global. No posee maximo global en ]� 1, 1[. ⇤

LEMA 51 h


1. Para k = 4 el costo mınimo es $62.500. Para k = 10 el costo mınimo es $122.500

2. De altura 4 cm y radio 10

3

cm. ⇤

LEMA 52 h


1. a) c = 2 b) c = 2+

p7

3

c) c = ⇡4

2. a) c = 1

2

b) c =p7�1

3

c) c = arc cos(

16�⇡2

⇡2 )

3. �. ⇤

291


LEMA 53 h


1. a) Crecimiento estricto en: R \h

�1�p19

3

, �1+

p19

3

i

Decrecimiento estricto en:i

�1�p19

3

, �1+

p19

3

h

Maximo: �1�p19

3

Mınimo: �1+

p19

3

b) Crecimiento estricto en: ]�3,+1[

Decrecimiento estricto en: ]�1,�3[

Mınimo: � 3

c) Decrecimiento estricto en: R \ {0}No tiene valores extremos locales

2. a) Maximo: 0 Mınimo: 2

3

b) No hay valores extremos locales

c) Maximo: 3 Mınimo: 9. ⇤

LEMA 54 h


1. r =

10

3p⇡h =

20

3p⇡

2. r =

3p15

2

h = 2

3p15

3. De lados: ap2, b

p2

4. De lados: 13

2

, 30

13

. De lados:H2

, hpH2�h2

2H

5. 10, 10 y 10

6. h = r = 2

3

q

2

⇡ h = r =

3

q

V0⇡

7. De (0, 10) a (5, 0)

8. h =

q

R3

r =

q

R2 � R3

9. a) x =

8L8+2⇡ b) x = 0

10. Cubo de lado 3p32

11. r =

3

q

375

2⇡ h =

3

q

750

⇡

12. a) 10 cosechadores b) $800. ⇤

292


LEMA 55 h


1. a) Inflexion: {�⇡,� 2⇡3

,�⇡3

, 0, ⇡3

, 2⇡3

,⇡} Convexidad:⇤

�⇡,� 2⇡3

⇥

[⇤

�⇡3

, 0⇥

[⇤

⇡3

, 2⇡3

⇥

Concavidad:⇤

� 2⇡3

,�⇡3

⇥

[⇤

0, ⇡3

⇥

[⇤

2⇡3

,⇡⇥

b) No hay puntos de inflexion Convexidad: R Concavidad: ?

c) Inflexion: {�1, 1} Convexidad: R \ [�1, 1] Concavidad: ]�1, 1[

d) Inflexion: {0, 2

3

} Convexidad: R \⇥

0, 2

3

⇤

Concavidad:⇤

0, 2

3

⇥

2. a) Grafica de la curva f(x) = xx2�1

b) Grafica de la curva f(x) = (x+ 2)

23(x� 1)

2

c) Grafica de la curva f(x) = x2

x�1

. ⇤

293


LEMA 56 h


a) +1 b) 0 c) � 1

2

d) 0 e) 1

3

. ⇤

LEMA 57 h


a) 0 b) � 1 c) �1 d) +1. ⇤

LEMA 58 h


a) 0 b) 1 c) e d) 1 e) 0. ⇤

LEMA 59 h


1. Cuando x varıa en 0, 01 unidades, el volumen del paralelepıpedo varıa en

(72x2

+ 144x+ 30) · 0, 01 unidades.

2. Tenemos:

�y = y(x+�x)� y(x) = (8x� 3)�x+ 4(�x)2.

dy = y0(x)dx = (8x� 3)dx.

a) �y � dy = 4(�x)2.

b) �y|x=2

� dy = 0, 04 cuando �x = 0, 1.

Ademas, la mejor aproximacion afın a la funcion y en el punto x = 2 es

P (x) = y0(2)(x� 2) + y(2).

Nota que P (2, 2) = 13, 6 y y(2, 2) = 13, 76.

3. El error obtenido al estimar el volumen del cubo es a lo sumo 3%.

4. Un aumento de un 10% en el radio, produce un aumento de un 40% en el volumen. ⇤

294

Apendice B

Desarrollos de las Autoevaluaciones

Para volver a la autoevaluacion del capıtulo y seccion respectiva, presiona el par de numerosen rojo correspondiente.LEMA 60 h

Desarrollo de la Autoevaluacion 1.1

1. Notemos que una primera restriccion para las soluciones de la inecuacion es que

1� |x| > 0 , �1 < x < 1.

Luego, de existir soluciones, estas deben estar contenidas en ]� 1, 1[.

Notemos que si

�1 < x < 1 , �3 < 3x < 3 , �8 < 3x� 5 < �2.

Luego,|3x� 5| = �(3x� 5) = 5� 3x,

de donde, para �1 < x < 1 se tiene que

|2 + |3x� 5|| = |2 + 5� 3x| = |3x� 7|.

Por lo tanto, nuestro problema se reduce, para �1 < x < 1, a la inecuacion

|3x� 7| < 1� |x|.

Observemos que

�1 < x < 1 , �3 < 3x < 3 , �10 < 3x� 7 < �4.

Luego,|3x� 7| = �(3x� 7) = 7� 3x,

de donde nuestro problema se reduce, para �1 < x < 1, a la inecuacion

7� 3x < 1� |x|,

que equivale a|x| < 3x� 6.

295

DESARROLLOS DE LAS AUTOEVALUACIONES Salom´on Alarc´on Araneda

Finalmente, notemos que

�1 < x < 1 , �3 < 3x < 3 , �9 < 3x� 6 < �3,

que conduce a|x| < 0

lo cual es una contradiccion, de manera que la inecuacion no posee solucion. ⌅

2. Sea " > 0 dado.

De acuerdo al Teorema 1.3.3 de caracterizacion del ınfimo, debemos encontrar n0

2 N tal que

0 1

2

� n0

2n0

+ 1

< ",

que es equivalente a encontrar n0

2 N tal que

n0

2n0

+ 1

1

2

y n0

> (2n0

+ 1)

✓

1

2

� "

◆

= n0

(1� 2") +1

2

(1� 2"), (B.1)

y que a su vez es equivalente a encontrar n0

2 N tal que

n0

>1� 2"

4",

pues la otra desigualdad se satisface trivialmente para cualquier numero natural. En efecto,tendrıamos 2n

0

2n0

+ 1, que se cumple para cualquier n0

2 N.

Si " � 1

2

, entonces 1�2"4" 0 y por lo tanto cualquier numero natural resulta mayor que 1�2"

4" .

Si " < 1

2

, entonces 1�2"4" > 0, y por el Teorema 1.3.5 de la segunda version del Principio de

Arquımedes, tenemos que

9n0

2 N tal que n0

>1� 2"

4".

Analogamente, de acuerdo al Teorema 1.3.2 de caracterizacion del supremo, debemos encontrarn0

2 N tal que

1� " <1

2

+

n0

2n0

+ 1

1,

que es equivalente a encontrar n0

2 N tal que✓

1

2

� "

◆

(2n0

+ 1) < n0

yn0

2n0

+ 1

1

2

. (B.2)

Como (B.2) es lo mismo que (B.1), nuestra demostracion ha finalizado. ⌅

LEMA 61 h


1.

LEMA 62 h

296



1. Tenemos,

Dom(g) = R,

Rec(g) = {y 2 R : 9x 2 R : y = x2

+ 1}

= {y 2 R : 9x 2 R : |x| =py � 1}

= [1,+1[ puespy � 1 2 R, y � 1,

Dom(f) =

⇢

x 2 R :

x� 2

px� 1 +

p2

2 R�

= [1,+1[ puespx� 1 2 R, x � 1, y en este caso

px� 1 +

p2 > 0.

Luego, comoRec(g) = [1,+1[= Dom(f),

la funcion compuesta queda bien definida, y obtenemos

(f � g)(x) = f(g(x))

=

g(x)� 2

p

g(x) +p2

=

(x2

+ 1� 2)px2

+ 1� 1 +

p2

=

x2 � 2

|x|+p2

=

x2 � 2

x+

p2

pues (x � 1 ) |x| = x)

= x�p2 tomando en cuenta que (x � 1 ) x+

p2 > 0) y luego simplificando.

Es decir: f � g : R! R esta dada por (f � g)(x) = x�p2. ⌅

LEMA 63 h


1.

LEMA 64 h


1. Tenemos,

lım

x!2

�

(x2

+ 4x+ 4) sen

2

(x� 2)

(x2 � 4)

2

(3� x)2

x�2

!

= lım

x!2

�

✓

(x+ 2)

2

sen

2

(x� 2)

(x+ 2)

2

(x� 2)

2

(3� x)2

2�x

◆

= lım

x!2

�

✓

sen(x� 2)

x� 2

◆

2

⇣

(1 + (2� x))1

2�x

⌘

2

!

.

297


Notemos que

lım

x!2

�

✓

sen(x� 2)

x� 2

◆

2

=

✓

lım

v!0

�

sen v

v

◆

2

= 1

y que

lım

x!2

�

⇣

(1 + (2� x))1

2�x

⌘

2

=

✓

lım

u!0

+(1 + u)

1u

◆

2

= e2,

Concluimos que

lım

x!2

�

(x2

+ 4x+ 4) sen

2

(x� 2)

(x2 � 4)

2

(3� x)2

x�2

!

= e2. ⌅

2. a) Haremos el cambio de variable u10

= 2x � 3, de donde es claro que u ! 1 cuando x ! 2;p2x� 3 = u5, 5

p2x� 3 = u2 y 2x� 3� 1 = u10 � 1 (que equivale a x� 2 =

u10�1

2

).

Luego,

lım

x!2

p2x� 3 � 5

p2x� 3

x� 2

= lım

u!1

u5 � u2

u10�1

2

= 2 lım

u!1

u2

(u� 1)(u2

+ u+ 1)

(u� 1)(u9

+ u8

+ . . .+ u+ 1)

= 2 · 3

10

=

3

5

. ⌅

b) lım

x!m

xpx�m

pmp

x�pm

= lım

x!m

✓

xpx�m

pmp

x�pm

· xpx+m

pmp

x+

pm

·px+

pm

xpx+m

pm

◆

= lım

x!m

✓

x3 �m3

x�m·

px+

pm

xpx+m

pm

◆

= lım

x!m

✓

(x2

+mx+m2

) ·px+

pm

xpx+m

pm

◆

= 3m. ⌅

c) Observemos que

lım

x!a

x2 � 4

x2 � 3x+ 2

= lım

x!a

(x� 2)(x+ 2)

(x� 2)(x� 1)

= 2 lım

x!a

x+ 2

x� 1

=

a+ 2

a� 1

(a 6= 1)

= 4.

Luego,a+ 2

a� 1

= 4 , a = 2. ⌅

298


3. a) lım

x!0

✓

x� 1

x

1� x

◆✓

x+ senx

1� senx

◆

= lım

x!0

✓

x2 � 1

x(1� x)

◆✓

x+ senx

1� senx

◆

= lım

x!0

✓

x2 � 1

�(x� 1)(1� senx)

◆✓

x+ senx

x

◆

= � lım

x!0

✓

x+ 1

1� senx

◆

⇣

1 +

senx

x

⌘

= �1(1 + 1)

= �2. ⌅b) Ponemos u = sen

1

x , entonces es claro que u ! 0 cuando x ! +1 (pues 1

x ! 0 cuandox ! +1) y arc senu =

1

x , de donde x =

1

arc senu .

Luego,

lım

x!+1

✓

1 + sen

1

x

◆x

= lım

u!0

(1 + u)1

arc senu

= lım

u!0

(1 + u)1u

u

arc senu

= lım

u!0

⇣

(1 + u)1u

⌘

u

arc senu

.

Ahora, comolım

u!0

(1 + u)1u

= e

y, tomando en cuenta que v = arc senu implica que u = sen v y v ! 0 cuando u ! 0,

lım

u!0

u

arc senu= lım

v!0

sen v

v= 1,

obtenemos que

lım

x!+1

✓

1 + sen

1

x

◆x

= e1 = e. ⌅

4. Partimos estudiando las asıntotas horizontales (estudiamos los lımites en infinito):

lım

x!±1

x2 � 2x+ 2

x� 1

= ±1.

Luego, no existen asıntotas horizontales.

Ahora estudiamos las asıntotas verticales (estudiamos los valores donde la expresion que definea la funcion se indetermina):

lım

x!1

�

x2 � 2x+ 2

x� 1

= �1,

y

lım

x!1

+

x2 � 2x+ 2

x� 1

= +1.

Luego, x = 1 es asıntota vertical.

Ahora estudiaremos las asıntotas oblicuas. Buscamos una recta de la forma y = mx+ n.

lım

x!+1

f(x)

x= lım

x!+1

x2 � 2x+ 2

x(x� 1)

= lım

x!+1

x2

x2 � 2

xx2 +

2

x2

x2

x2 � xx2

= 1 = m

299


y

lım

x!+1(f(x)�mx) = lım

x!+1

✓

x2 � 2x+ 2

x� 1

� x

◆

= lım

x!+1

�x+ 2

x� 1

= �1 = n.

Por lo tanto, la funcion posee una asıntota oblicua cuando x tiende a “+1”, a saber

y = x� 1.

Ahora repetimos el procedimiento en “�1”. Tenemos,

lım

x!�1

f(x)

x= lım

x!�1

x2 � 2x+ 2

x(x� 1)

= lım

x!�1

x2

x2 � 2

xx2 +

2

x2

x2

x2 � xx2

= 1 = m

y

lım

x!�1(f(x)�mx) = lım

x!�1

✓

x2 � 2x+ 2

x� 1

� x

◆

= lım

x!�1

�x+ 2

x� 1

= �1 = n.

Por lo tanto, la funcion posee una asıntota oblicua cuando x tiende a “�1”, a saber

y = x� 1. ⌅

LEMA 65 h


1.

LEMA 66 h


1. Partimos estudiando continuidad para x = �1:

lım

h!0

+f(�1 + h) = f(�1) , lım

h!0

+cos

✓

⇡(�1 + h)

2

◆

= cos

✓

�⇡

2

◆

= 0,

lo cual es cierto pues la funcion coseno es continua en R.

Por otro lado,

lım

h!0

�f(�1 + h) = f(�1) , lım

h!0

�|� 1 + h� 1| = cos

✓

�⇡

2

◆

= 0 , 2 = 0,

lo cual es falso, pues 2 6= 0.

Por lo tanto,f no es continua en x = �1.

Ahora estudiamos continuidad en x = 1:

lım

h!0

+f(1 + h) = f(1) , lım

h!0

+|1 + h� 1| = cos

⇣⇡

2

⌘

= 0 , 0 = 0,

lo cual es cierto.

300

Por otro lado,

lım

h!0

�f(�1 + h) = f(�1) , lım

h!0

�cos

✓

⇡(1 + h)

2

◆

= cos

⇣⇡

2

⌘

= 0,

lo cual es cierto pues la funcion coseno es continua en R.Por lo tanto,

f es continua en x = 1. ⌅

2. Tenemos,

lım

x!1

�f(x) = lım

x !x<1

1

✓

a(x3 � 1) tan(x� 1)

b(x2 � 2x+ 1)

+

sen(⇡x) + ⇡b

⇡x

◆

=

lım

x !x<1

1

a(x� 1)(x2

+ x+ 1) sen(x� 1)

(x� 1)

2

cos(x� 1)

!

+

sen⇡ + ⇡b

⇡

= a lım

x !x<1

1

(x2

+ x+ 1)

cos(x� 1)

sen(x� 1)

(x� 1)

+ b

= a · 3

cos 0

· 1 + b

= 3a+ b.

Por lo tanto, para que f sea continua en x = 1, una condicion que se debe cumplir es que

3a+ b = 4.

Por otro lado,

lım

x!1

+f(x) = lım

x !x>1

1

a� b

e+ 1

⇣

x1

x�1+ 1

⌘

=

a� b

e+ 1

lım

x !x>1

1

(1 + (x� 1))

1x�1

+ 1

!

pues x = 1 + (x� 1)

=

a� b

e+ 1

lım

u !u>0

0

(1 + u)1u

+ 1

!

cambio de variable u = x� 1

=

a� b

e+ 1

· (e+ 1)

= a� b.

Por lo tanto, para que f sea continua en x = 1, otra condicion que se debe cumplir es que

a� b = 4.

Entonces, resolvemos el sistema(

3a+ b = 4

a� b = 4

y obtenemos que paraa = 2 y b = �2.

la funcion f es continua en x = 1. ⌅

301

DESARROLLOS DE LAS AUTOEVALUACIONESLEMA 67 Salom´on Alarc´on Araneda

3. a) Notemos que

lım

x!1

�f(x) = lım

x!1

�

x� 1

3x2 � 3

= lım

x!1

�

x� 1

3(x� 1)(x+ 1)

= lım

x!1

�

1

3(x+ 1)

=

1

6

.

Notemos tambien que

f(1) =1

2

.

Comolım

x!1

�f(x) =

1

6

6= 1

2

= f(1),

concluimos que la funcion no es continua en x = 1.

b) Notemos que

lım

x!1

+

p2x� 1�

px

sen(3(x� 1))

= lım

x!1

+

(

p2x� 1�

px)(

p2x� 1 +

px)

sen(3(x� 1))(

p2x� 1 +

px)

= lım

x!1

+

✓

1

(

p2x� 1 +

px)

x� 1

sen(3(x� 1))

◆

.

Notemos tambien que

lım

x!1

+

1

(

p2x� 1 +

px)

=

1

2

y que

lım

x!1

+

x� 1

sen(3(x� 1))

= lım

x!1

+

3(x� 1)

3 sen(3(x� 1))

=

1

3

lım

v!0

+

v

sen v=

1

3

.

Luego,

lım

x!1

+

p2x� 1�

px

sen(3(x� 1))

=

1

2

· 13

=

1

6

.

Se sigue que

lım

x!1

+f(x) = lım

x!1

�f(x) =

1

6

,

de donde concluimos que existe lım

x!1

f(x) y que lım

x!1

f(x) =

1

6

. Por lo tanto, f se puede

reparar redefiniendo el valor de f en x = 1 por f(1) = 1

6

. ⌅

4. Notemos que la ecuacion 2x7

= 1 � x tiene una solucion en [0, 1] si y solo si 2x7 � 1 + x = 0 en[0, 1]. Para encontrar los ceros de esta ultima ecuacion, consideremos la funcion

f(x) = 2x7 � 1 + x 8x 2 [0, 1].

Observemos ahora que f es continua en [0, 1] y que

f(0) = 2 · 07 � 1 + 0 = �1

yf(1) = 2 · 17 � 1 + 1 = 2,

verificandose quef(0) = �1 < 0 < 2 = f(1),

por lo que podemos aplicar el Teorema 4.3.2 de Bolzano.

302

Tenemos entonces que9c 2 [0, 1] tal que f(c) = 0,

que equivale a decir que existe c 2 [0, 1] que resuelve la ecuacion 2x7

= 1� x. ⌅

h


1. a) Notemos que

lım

x!2

+

xpx�

p8p

x� 2

=

0p2� 2

= 0.

y

lım

x!2

�ax+ 1 = 0 , 2a+ 1 = 0 , a = �1

2

.

Por lo tanto, existe lım

x!2

f(x) si a = � 1

2

. ⌅

b) Notemos que por reglas de lımites y la definicion de continuidad, f es continua si x < 0 ysi x > 0, pues se trata de operaciones entre funciones continuas. Resta ver que sucede enx = 0. Tenemos,

lım

x!0

�

x3

+ x senx

x2

= lım

x!0

�

⇣

x+

senx

x

⌘

= 0 + 1 = 1

y

lım

x!0

+

1�px

1 +

px= 1.

Por lo tanto, lımx!0

f(x) = 1, y como f(0) = 0, la funcion no es continua en 0, pero se puedereparar redefiniendo f(0) = 1. ⌅

2. a) Notemos que f es continua en (�1, 1) [ (1,1) pues en esos intervalos f corresponde apolinomios, que son funciones continuas. Resta estudiar la continuidad de f en x = 1. Paraello, debemos probar que

9 lım

x!1

f(x) y lım

x!1

f(x) = f(1) = 4.

Tenemos,lım

x!1

�f(x) = lım

x !x<1

1

4x3

= 4

ylım

x!1

+f(x) = lım

x !x>1

1

(3x+ 1) = 4.

Luego,lım

x!1

�f(x) = lım

x!1

+f(x) = 4 = f(1).

Por lo tanto, la funcion es continua en x = 1. ⌅

b) Ponemos u =

1

x . Luego, u ! 1 cuando x ! 0, sen 1

x = senu y x2

=

1

u2 .

303

DESARROLLOS DE LAS AUTOEVALUACIONESSalom´on Alarc´on Araneda

Entonces,

lım

x!0

�f(x) = lım

x!0

x2

sen

1

x= lım

x!0

sen

1

x1

x2

= lım

u!1

senu

u2

.

Notando ahora que � 1

u2 senuu2 1

u2 para todo u 2 R, y que 1

u2 ! 0 cuando u ! 1, por elTeorema 3.4.1 del sandwich concluimos que

lım

u!1

senu

u2

= 0.

Luego,

9 lım

x!0

x2

sen

1

x^ lım

x!0

x2

sen

1

x= 0 = f(0).

Por lo tanto f es continua en 0. ⌅

3. Tenemos que

lım

x!+1F (x) =

✓

lım

x!+1f(x)

◆

2

·✓

lım

x!+1g(k(x)) + 2 lım

x!+1

1

h(x)

◆

que equivale a

↵2

= sen

2 ↵ ·✓

lım

u!+1g(u) + 2 · 0

◆

(Hemos considerado u = k(x), y es claro que u ! +1 cuando x ! +1), de donde concluimos�

gracias a que 0 < ↵ < ⇡2

�

que

lım

x!+1g(x) =

↵2

sen

2 ↵.

Ahora resulta claro que en la medida que ↵ se aproxima a 0, el lımite

lım

x!+1g(x)

se aproxima a 1, pues sabemos que

lım

↵!0

sen↵

↵= 1. ⌅

4. a) Observemos que f es continua en [2, 4] y que

f(2) =ln(2� 1)

10

2

= 0

y

f(4) =ln(4� 1)

1

0

4

=

10 · ln 34

>10 · 14

pues 3 > e ) ln 3 > ln e = 1,

verificandose que

f(2) = 0 < 1 <10 · ln 3

4

= f(1),

por lo que podemos aplicar el Teorema 4.3.1 del valor intermedio.

Tenemos entonces que9c 2 [2, 4] tal que f(c) = 1. ⌅

304

b) Observemos que f es continua en [4,1[ y que

f(4) =ln(4� 1)

1

0

4

=

10 · ln 34

>10 · 14

pues 3 > e ) ln 3 > ln e = 1

y

f(e10 + 1) =

ln(e10 + 1� 1)

1

0

e10 + 1

=

100

e10 + 1

<100

2

1

0 + 1

<100

1000

= 0,1,

verificandose que

f(e10 + 1) =

100

e10 + 1

< 0,1 <10 · ln 3

4

= f(4),

por lo que podemos aplicar el Teorema 4.3.1 del valor intermedio.

Tenemos entonces que9c 2 [2, 4] tal que f(c) = 0,1. ⌅

LEMA 68 h


1. a) Tenemos

f 0(x) =

(

12x2 si x < 1

3 si x > 1,

y comolım

x!1

�f 0(x) = 12 6= 3 = lım

x!1

+f 0(x),

concluimos que no es posible extender f 0 para que defina una funcion continua. ⌅b) Para estudiar la derivabilidad de f en x = 1 vamos a recurrir a la definicion de derivada. Tene-

mos,

lım

h!0

�

f(1 + h)� f(1)

h= lım

h !h<0

0

f(1 + h)� f(1)

h

= lım

h !h<0

0

(4(1 + h)3)� 4

h

= lım

h !h<0

0

(4(1 + 3h+ 3h2

+ h3

)� 4

h

= lım

h !h<0

0

4h(3 + 3h+ h2

)

h

= 4 lım

h !h<0

0

(3 + 3h+ h2

)

= 12

y

lım

h!0

+

f(1 + h)� f(1)

h= lım

h !h>0

0

(3(1 + h) + 1)� 4

h= 3.

Por lo tanto, f no es derivable en x = 1. ⌅

305

2. a) Primero chequeamos que el punto pertenezca a la curva.

(

p2 )

2

+ 4

✓

� 1p2

◆

2

= 2 + 4 · 12

= 2 + 2 = 4.

Ahora, tenemos dos formas de resolver este problema, con derivacion implıcita o sin derivacionimplıcita. Aquı lo resolveremos sin usar derivacion implıcita. Pueden chequear la respuesta conotra forma.

Como no vamos a usar derivacion implıcita (esto es posible cuando se puede despejar y respectoa x), despejamos y en terminos de x:

y2 =

4� x2

4

,

desde donde podemos obtener dos funciones. Tenemos,

y =

p4� x2

2

y y = �p4� x2

2

.

La rama que nos interesa es la negativa, pues de esta manera, si y = f(x), tenemos que

f(p2 ) = �

q

4� (

p2 )

2

2

= �p2

2

= � 1p2

.

Ahora calculamos f 0(

p2 ), que corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en el

punto⇣p

2,� 1p2

⌘

. Tenemos,

f 0(x) = �1

2

⇣

p

4� x2

⌘0= �1

2

1

2

p4� x2

· (�2x) =x

2

p4� x2

,

de donde

f 0(

p2 ) =

p2

2

p2

=

1

2

.

Por lo tanto, la ecuacion de la recta tangente a la curva x2

+ 4y2 = 4 en el punto⇣p

2,� 1p2

⌘

, es

y +1p2

=

1

2

⇣

x�p2

⌘

y la ecuacion de la recta normal es

y +1p2

= �2

⇣

x�p2

⌘

. ⌅

b) No es posible determinar rectas tangente y normal a la curva en el punto (1, 1), pues este puntono pertenece a la curva. En efecto,

1

2

+ 4 · 12 = 1 + 4 · 1 = 1 + 4 = 5 6= 4. ⌅

3. a) Vamos a tomar en cuenta los siguientes hechos

(|x|)0 =

8

>

>

<

>

>

:

1 si x > 0

6 9 si x = 0

�1 si x < 0

, (tanx)0 = sec

2 x 8x 2 Dom(tan) yx2 � 1

x+ 1

= x� 1 8x 6= 1.

306

Tenemos:

✓

x2 � 1

x+ 1

+ tan(|x+ 2|)◆0

=

8

>

>

<

>

>

:

1 + sec

2

(x+ 2) si x > �2 ^ x 2 D,

6 9 si x = �2,

1� sec

2

(x+ 2) si x < �2 ^ x 2 D,

pues secante es una funcion par; es decir, sec(�↵) = sec(↵). ⌅b) Vamos a tomar en cuenta los siguientes hechos

(lnx)0 =1

xsi x > 0, ln

x

y= lnx� ln y si x, y > 0, ln 1 = 0, ax = ex ln a si a > 0,

eh(x) = h0(x)eh(x) si h es derivable en x, (tanx)0 = sec

2 x y cosx = � senx.

Tenemos✓✓

1

2

◆x◆0

=

⇣

ex ln

(

12 )

⌘0

= ln

✓

1

2

◆

ex ln

(

12 )

= �(ln 2)

✓

1

2

◆x

,

⇣

ecos(x3)

⌘0= �3x2

sen(x3

)ecos(x3)

y✓

ln

✓

1

x

◆◆0=

1

1

x

·✓

� 1

x2

◆

= � 1

x.

Por lo tanto,

f 0(x) =

�

1

2

�xecos(x

3)

ln

�

1

x

�

!0

=

⇣

� ln 2(2

�x)ecos(x

3) � 3x2

senx 2�xecos(x3)

⌘

(� lnx)��

� 1

x

�

2

�xecos(x3)

(� lnx)2

= 2

�xecos(x3)

x ln 2 lnx+ 3x3

lnx senx+ 1

x(lnx)2. ⌅

4. a) Tenemos2(x2 � y2)2 = 50(2xy + 1) , (x2 � y2)2 = 25(2xy + 1)

Entonces, derivando implıcitamente con respecto a x la ecuacion previa, obtenemos

2(x2 � y2)(2x� 2yy0) = 50y + 50xy0 ) (x2 � y2)(2x� 2yy0) = 25y + 25xy0

) 2x(x2 � y2)� 2y(x2 � y2)y0 = 25xy0 + 25y

) 2x(x2 � y2)� 25y = 2y(x2 � y2)y0 + 25xy0

) 2x(x2 � y2)� 25y

2y(x2 � y2) + 25x= y0.

Ahora, reemplazamos el punto (4, 1) en la derivada encontrada y obtenemos

y0(4, 1) =8 · 15� 25 · 12 · 15� 25 · 4 =

120� 25

30 + 100

=

95

130

=

19

26

.

307


Este valor es la pendiente de la recta tangente a la curva 2(x2 � y2)2 = 50(2xy + 1) en el punto(4, 1). Entonces la ecuacion de la recta normal a esta curva en el punto (4, 1) es:

y � 1 = �26

19

(x� 4). ⌅

b) Como la grafica de la funcion y = f(x) pasa por el (1, 7), se debe cumplir

f(1) = 7 ) 1

3 � a · 12 + b · 1 + c = 7 ) �a+ b+ c = 6.

Por otro lado, tenemosf 0(x) = 3x2 � 2ax+ b,

y como la pendiente de la recta tangente a la grafica en x = 1 es 0, se debe cumplir

f 0(1) = 0 ) 3 · 12 � 2 · a · 1 + b = 0 ) �2a+ b = �3 ) 2a� b = 3.

Por ultimo,f 00

(x) = 6x� 2a,

y como la grafica tiene un punto de inflexion en x = 2, se debe cumplir

f 00(2) = 0 ) 6 · 2� 2 · a = 0 ) 2a = 12.

Luego,a = 6, b = 9 y c = 3 son los valores pedidos. ⌅

5. a) Si ponemosx = t

obtenemosy = 1� t2,

constituyendo ambas ecuaciones las ecuaciones parametricas de la funcion y = 1 � x2 en estecaso. ⌅

b) Notemos que

m =

dy

dx= �2x,

de donde obtenemos las ecuacionesx = �m

2

ey = 1�

⇣m

2

⌘

2

,

que vienen a ser las ecuaciones parametricas de la funcion y = 1� x2 en este caso. ⌅

6. Sabemos que este es un problema de variaciones relaciones y que

AJ= A = ⇡r2.

Entonces derivando con respecto al tiempo, obtenemos:

dA

dt= ⇡ · 2rdr

dt.

308

Ademas, de acuerdo a la informacion en el problema, nos interesa encontrar el valor dedA

dtcuando

r = 2 [cm] ydr

dt= 0, 4

cmseg

�

.

Entonces reemplazamos estos valores y calculamos:

dA

dt= ⇡ · 2rdr

dt= ⇡ · 2 · 2 · 0, 4 =

8

5

⇡

cm2

seg

�

.

Por lo tanto, el area encerrada por la onda circular esta creciendo con una rapidez de8

5

⇡

cm2

seg

�

. ⌅

LEMA 69 h


1. Tenemos,

lım

h!0

f(0 + h)� f(0)

h= lım

h!0

h2

sen

1

h � 0

h= lım

h!0

h sen1

h= lım

u!1

senu

u.

Notando ahora que � 1

u senuu 1

u para todo u 2 R, y que 1

u ! 0 cuando u ! 1, por el Teorema3.4.1 del sandwich concluimos que

lım

u!1

senu

u= 0.

Por lo tanto,9 lım

x!0

x sen1

xy lım

x!0

x sen1

x= 0.

Ademas, si x 6= 0, tenemos✓

x2

sen

1

x

◆0= 2x sen

1

x+ x2

✓

� 1

x2

◆

cos

1

x= 2x sen

1

x� cos

1

x.

De esta forma,

f 0(x) =

8

<

:

2x sen1

x� cos

1

xsi x 6= 0

0 si x = 0.⌅

2. a) Notar que

f 0(x) = 3x2 � 1 = 26 = � 1

mL= mT , x2

= 9 , x = 3 _ x = �3.

Comof(3) = 27� 3� 1 = 23

yf(�3) = �27 + 3� 1 = �25,

tenemos que existen dos rectas tangentes a la curva y = f(x); a saber

y � 23 = 26(x� 3)

yy + 25 = 26(x+ 3),

y los puntos respectivos de tangencia son (3, 23) y (�3,�25). ⌅

309


b) Notar que necesitamos determinar el tiempo en que f y g tienen la misma pendiente. Tenemos,

f 0(t) = g0(t) , 2t+1+

1

2

pt= 2t+1+

1

t+ 1

, 2

pt = t+1 , 0 = t2�2t+1 , t = 1.

Luego, sı es posible que las embarcaciones posean la misma direccion. Esto ocurre cuando t = 1

hora. ⌅c) Notar que se debe cumplir:

y0(1) = 2 · 1 + b = 1 ^ y(1) = 1

2

+ b+ c = 1 , b = �1 ^ c = 1.

Por lo tanto, los valores solicitados son b = �1 y c = 1. ⌅

3. a) Notar que

F 0(x) = f 0

✓

x� 1

x+ 1

◆ ✓

x� 1

x+ 1

◆0=

✓

x� 1

x+ 1

◆

3 x+ 1� x+ 1

(x+ 1)

2

=

✓

x� 1

x+ 1

◆

3

2

(x+ 1)

2

.

Ası,F 0

(2) =

1

27

· 29

=

2

243

. ⌅

b) Notar que

y0 = cos(sen(x)) · cos(x) y y00 = � sen(sen(x)) · (cos(x))2 � cos(sen(x)) · sen(x).

Luego,� sen(sen(x)) · (cos(x))2 � cos(sen(x)) · sen(x)

+ tan(x) · cos(sen(x)) · cos(x) + sen(sen(x)) · (cos(x))2 = 0. ⌅c) Notar que

f 0(x) =

1

2

1

sen(ex) + xln(cos x)2

!

12 ✓

cos(ex)ex +

2 ln(cosx) + 2

x sen xcos x

4(ln(cosx))2

◆

=

1

2

✓

ln(cosx)2

sen(ex) ln(cosx)2 + x

◆

12✓

cos(ex)ex +

ln(cosx) cosx+ x senx

2 cosx(ln(cosx))2

◆

. ⌅

d) Una forma de resolverlo es notando que

f(x) = esen(x2) ln(cos(x2

)).

Luego,f 0(x) = (sen(x2

) ln(cos(x2

)))

0esen(x2) ln(cos(x2

))

=

✓

2x cos(x2

) ln(cos(x2

))� sen(x2

)

2x sen(x2

)

cos(x2

)

◆

(cos(x2

))

sen(x2)

= 2x(cos(x2

))

sen(x2)+1

�

ln(cos(x2

))� (tan(x2

))

2

�

.

El ejercicio tambien se puede resolver aplicando ln en la definicion de f , aprovechando que f esestrictamente positiva. En este caso,

ln(f(x)) = sen(x2

) ln(cos(x2

)),

y derivando en ambos lados y despejando la derivada podemos obtener la misma respuesta.⌅

310


4. a) Derivando implıcitamente obtenemos:

2 (xy + ln (y))

✓

y + xy0 +y0

y

◆

= 5y + 5xy0

) 2y (xy + ln (y)) + 2x (xy + ln (y)) y0 +2

y(xy + ln (y)) y0 = 5y + 5xy0

)✓

2x (xy + ln (y)) +2

y(xy + ln (y))� 5x

◆

y0 = 5y � 2y (xy + ln (y))

) y0 =5y � 2y (xy + ln (y))

2x (xy + ln (y)) + 2

y (xy + ln (y))� 5x. ⌅

b) Desde el resultado previo se sigue que

y0(5, 1) =5� 10

50 + 10� 25

=

�5

35

=

�1

7

.

Luego, la ecuacion de la recta tangente a la curva que pasa por el punto (5, 1) es:

y � 1 =

�1

7

(x� 5). ⌅

5. Notemos en primer lugar que el punto (1,�1) pertenece a la curva pues para t = 1 tenemos quex(1) =

p1 = 1 e y(1) = (1)

2 � 2 = �1. Ademas,

dy

dx=

dydtdxdt

=

2t1

2

pt

= 4t32 .

Por lo tanto, la pendiente de la curva en (1,�1) es

m =

dy

dx�

�

t=1

= 4.

Tambien tenemos que

d

2y

dx2

=

dy0

dtdxdt

=

6t12

1

2

pt

= 12t.

Por lo tanto,d

2y

dx2

�

�

t=1

=

1

2

> 0,

que implica que la funcion es convexa (o concava hacia arriba). ⌅

6. Sea:

x = x(t) la distancia del extremo superior de la escalera al piso en el instante t

y = y(t) la distancia del extremo inferior de la escalera a la pared en el instante t

↵ = ↵(t) el angulo de elevacion de la escalera respecto al piso en el instante t.

311


De acuerdo a la informacion del problema, tenemos que

dx

dt= �3

5

mseg

�

sen↵ =

x

5

d↵

dt=? cuando y = 3.

Luego, obtenemos

sen↵ =

x

5

) cos↵d↵

dt=

1

5

dx

dt

) d↵

dt=

1

5

✓

�3

5

◆

5

ypues cos↵ =

y

5

) d↵

dt

�

�

�

�

y=3

=

✓

�3

5

◆

1

3

.

Por lo tanto,d↵

dt= �1

5

radseg

�

cuando y = 3.

Esto quiere decir que cuando el extremo inferior de la escalera esta a 3 metros de la pared, el angulo

de elevacion decrece a razon de1

5

radseg

�

. ⌅

LEMA 70 h


1. Hacemos un dibujo que interprete el problema: consideramos un semicırculo de radio r y luego,el largo del rectangulo sera 2r, y ponemos x para referirnos al ancho del rectangulo.

312

Ahora tratamos de escribir todo en terminos de una sola variable. Como el perımetro de la figuraes 12m, tenemos de acuerdo a la figura:

2r + 2x+ ⇡r = 12 ) x =

12� 2r � ⇡r

2

= 6� (2 + ⇡)r

2

.

Como el area que debemos maximizar es la suma del area del rectangulo (x·2r = 12r � 2r2 � ⇡r2)

con el area del semicırculo⇣⇡r2

2

⌘

. Es decir, debemos maximizar la siguiente funcion:

A(r) = 12r � 2r2 � ⇡r2 +⇡r2

2

= 12r � (4 + ⇡)r2

2

Entonces derivamos y obtenemos:

A0(r) = 0 , 12� (4 + ⇡)r = 0 , r =

12

4 + ⇡.

Por el criterio de la segunda derivada, como

A00(r) = �(4 + ⇡) < 0 8r > 0,

esto se cumple en particular para r =

12

4 + ⇡, lo que indica que en este valor, A(r) alcanza un

maximo relativo que es absoluto en el intervalo donde 0 < r < 6.

Por lo tanto el radio del semicırculo sebe ser 0 < r =

12

4 + ⇡< 6 y el ancho del rectangulo debe

serx = 6� 6(2 + ⇡)

4 + ⇡. ⌅

LEMA 71 h


1.

LEMA 72 h


1.

LEMA 73 h


1.

313

Bibliografıa

[1] Tom Apostol, Análisis Matemático. Editorial Reverte, S.A., segunda edicion, reimpresion,2006. Impreso en Espana.

[2] Charles Lehmann, Geometr´ıa Anal´ıtica. Editorial Limusa, S.A. de C.V., primera edicion, deci-mo tercera reimpresion, 1989. Impreso en Mexico.

[3] Louis Leithold, El Cálculo. Oxford University Press – Harla Mexico, S.A. de C.V., septimaedicion, 1998. Impreso en Mexico.

[4] Michael Spivak, Cálculo infinitesimal, Reverte Ediciones, S.A. de C.V., segunda edicion, ter-cera reimpresion, 1996. Impreso en Mexico.

[5] James Stewart, Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas, Cengage Learning Edito-res, S.A. de C.V., septima edicion, 2012. Impreso en Mexico.

[6] George Thomas jr., Cálculo. Una variable. Pearson Educacion de Mexico, S.A. de C.V., deci-mosegunda edicion, 2010. Impreso en Mexico.

315

APUNTES MAT 021 CÀLCULO DIFERENCIALsalarcon.mat.utfsm.cl/PDF/Alarcon-APUNTES-MAT021.pdf · VERSION...

Documents

Transcript of APUNTES MAT 021 CÀLCULO DIFERENCIALsalarcon.mat.utfsm.cl/PDF/Alarcon-APUNTES-MAT021.pdf · VERSION...