Apunte Control Avanzado Unidad 1 Fundamentos de Control Optimo 21-03-13

Apunte de Control Avanzado de Sistemas

EL4105

UNIDAD 1: FUNDAMENTOS DEL CONTROL ÓPTIMO

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Versión 21/03/13

Santiago, Chile

Autor: Dra. Doris Saez H.

Agradecimientos: Dr. Guillermo González R.

Dr. Marcos Orchard C.

Colaborador: Patricio J. Santis T.

i

Índice General

1. Fundamentos del Control Óptimo de Sistemas .......................................................... 1

1.1. Clasificación del Control Óptimo de Sistemas ..................................................... 1

1.2. Control Óptimo en Equilibrio determinístico ...................................................... 1

1.3. Control Óptimo Dinámico determinístico ........................................................... 2

1.3.1. Principio del Mínimo (Máximo) de Pontryagin ......................................... 3

1.3.2. Índice J con terminal funcional .................................................................. 3

1.3.3. Controlador LQ .......................................................................................... 4

1.3.4. Controlador LQR ....................................................................................... 5

1.3.4.1. LQR tiempo continuo ............................................................................ 5

1.3.4.2. LQR tiempo discreto ............................................................................. 6

1.3.4.3. LQR con seguimiento de referencia ....................................................... 6

1.4. Control Óptimo Dinámico estocástico ................................................................. 7

1.4.1. Controlador LQG ....................................................................................... 7

1.4.2. Controlador LQGR .................................................................................... 8

1.5. Problemas Resueltos ............................................................................................ 9

2. Introducción al Control Predictivo ............................................................................11

2.1. Control Predictivo basado en modelos (MBPC) ................................................11

2.1.1. Estrategia el MBPC ..................................................................................12

2.1.2. Estructura Básica del Control MBPC .......................................................13

2.1.3. Elementos del MBPC ................................................................................14

2.1.3.1. Modelo de predicción ............................................................................14

2.1.3.1.1. Modelo de respuesta al impulso ..................................................14

2.1.3.1.2. Modelo de respuesta al escalón. ..................................................15

2.1.3.1.3. Modelo función de transferencia ..................................................16

2.1.3.1.4. Modelo en espacio de estados ......................................................16

2.1.3.1.5. Modelo de perturbaciones ...........................................................16

2.1.4.1.6. Modelos Estocásticos ...................................................................17

2.1.3.2. Función objetivo ...................................................................................18

2.1.3.3. Obtención de la ley de control ..............................................................19

2.2. Trayectoria de referencia ....................................................................................20

2.3. Predicciones para diferentes tipos de modelos ....................................................21

ii

2.3.1. Modelo respuesta al escalón ......................................................................21

2.3.2. Modelo función de transferencia ................................................................22

2.3.2.1. Predicción de la salida ..........................................................................24

2.3.3. Predicción con modelo en variables de estado ...........................................29

2.4. Estructura de los predictores ..............................................................................31

2.5. Control de Varianza Mínima ..............................................................................31

2.5.1. Varianza Mínima con Minimización de Energía de Control ......................33

2.6. Control por Matriz Dinámica (DMC) ................................................................35

2.7. Control Predictivo Generalizado (GPC.) ...........................................................36

2.8. Control Predictivo con Restricciones ..................................................................42

2.8.1. Tipos de restricciones ................................................................................43

2.8.2. Consideraciones: Control predictivo con restricciones ...............................46

2.9. Algoritmo de Programación Cuadrática .............................................................47

2.10. Problemas Resueltos ...........................................................................................49

1

EL4105 Control Avanzado de Sistemas

fc∫m, UChile, otoño 2013

Capítulo 1

1. Fundamentos del Control Óptimo de

Sistemas

En esta sección se expone un resumen de los contenidos. Se encuentran

disponibles en u-cursos los apuntes de Control Óptimo del Profesor Guillermo

González R.

1.1. Clasificación del Control Óptimo de Sistemas

El control óptimo se basa en la definición de un criterio de desempeño. Además,

se pueden incluir también restricciones. Se genera una acción de control óptima

según el criterio establecido.

El Control Óptimo puede clasificarse según

DeterminísticoEn equilibrio

EstocásticoControl Óptimo

DeterminísticoDinámico

Estocástico

Determinístico: Modelo y señal conocida.

Estocástico: Modelo conocido y señal estocástica; Modelo incierto y señal

estocástica.

1.2. Control Óptimo en Equilibrio determinístico

Un sistema dinámico

( , )

( , )

x f x u

y h x u

2



Esta en equilibrio ssi x 0 , lo que genera puntos de equilibrio en función de la

entrada u . Entonces, se generan los estados de equilibrio:

( )ex u

Reemplazando es posible expresar el sistema en equilibrio:

( , ) ( ( ), ) ( )e ey u uh x u h h u

Se desea encontrar el u* tal que resuelva el problema para la siguiente función

de costo:

( , ) ,

min ( , )

. . ( )

( , ) ,

, ...,

, ...,

i

i

u y

u y i v n

J J u y

s a y h u

g i v

g

0 1

10

Entonces, para resolver el problema anterior se utiliza el teorema de Karush-

Kuhn-Tucker, el cual es una generalización de los multiplicadores de Lagrange,

el cual dice que existen n multiplicadores ,...,i n 1

tales que:

, (restricciones )

(restricciones )

, (restriccio

, ..., de desigualdad

, , ..., de desigualdad

, ..., de igualdane ds )

i

i i

i

i v

J

x

g i v

i

x

v n

g

0 1

0

1

1

0

Donde ... . .y .nng g gg

x x x x

12

21

1.3. Control Óptimo Dinámico determinístico

Se tiene una planta modelada por la ecuación de estado:

( , )x f x u

Con ( )x t x0 0 y ( ) Tx T x dados. Se desea encontrar el control óptimo ,u t T0

entre el periodo ,t T0 que minimice el funcional o índice de rendimiento del

sistema (o que lo maximice):

( ( )) ( , )T

t

x T L x uJ dt 0

Sujeto a ciertas restricciones.

3



Formalmente se considere el siguiente problema:

min

( , ), ,

( ) ,

, )

(

(

.

)

.

T

t

r n

T

J

x f x u u x

x t

L x u d

x

t

s a

x T x

0

0 0

Para resolver el problema se introduce la función Hamiltoniana:

( , , )( , , , ) ( , , ) TH x u t L x u t f x u t

Con ... , ( )n

n nC T 1

1 2 multiplicadores de Lagrange. Las

ecuaciones que resuelven este problema de optimización son:

, , ,( ) ( ), , ,( , , ), , , ,

T H Hdx f x u t t T

x u t x u

dt x

tt

u

00

Donde, ( ), , ,T T Tx uHd

dt x

t f L

x x

se denomina ecuación de

coestado.

1.3.1. Principio del Mínimo (Máximo) de Pontryagin

El principio del mínimo de Pontryagin, explicita que el proceso admisible

( * ( ), * ( ), * ( ))x t u t t es óptimo si se cumple:

0( *, *, *, ) ( ) ( * , , ,, *, )H x u t H x u t t Tt

es decir, u* resuelve el problema de control óptimo si minimiza el Hamiltoniano

sobre todo el conjunto de señales de control admisible en ,t t T 0.

1.3.2. Índice J con terminal funcional

En este caso el funcional a minimizar es:

( ( )) ( , )T

t

x T L x uJ dt 0

La diferencia con el caso anterior es que el vector de estado final ( )x T no está

dado, sino que es variable de optimización. Con esta formulación, el coestado al

instante T cumple: ( ( ))

( )x T

Tx

También las ecuaciones de Hamiltoniano y la ecuación de coestado.

4



Como se vio anteriormente, en el caso de que no existan restricciones para u, se

tiene que:

,( ), ,

, ,x u tt

Ht T

u

00

Si existen las restricciones ...T

mg g g g 1 2 , la minimización del

Hamiltoniano debe ser vista con las ecuaciones:

,

, ...,

, , ..

,

.

,

,j

j

j

Ht T

u

j m

g

gt

u

j m

0

1

0 1

0

0

Donde ... m 1 2 son los multiplicadores de Lagrange

correspondientes.

1.3.3. Controlador LQ

El control lineal cuadrático LQ consiste en regular un sistema lineal mediante la

minimización de un funcional cuadrático.

Sea el sistema línea:

,n m

x Ax Bu

y Cx

x u

Se desea llevar el sistema de ( )x t x0 0 a una vecindad del origen, con una señal

de control simple. Notar que ( ) Tx T x es libre y por lo tanto es una variable de

optimización.

Para lograr lo anterior se debe minimizar

min ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))

. .

( )

ft

t

T T T

f f fJ x t S x t x t Qx t u t Ru t dt

s a x Ax Bu

x t x

0

0 0

1 1

2 2

Donde las matrices , , fQ R S son matrices definidas positivas. Las matrices

anteriores pueden considerarse simétricas, sin pérdida de generalidad.

5



Para resolver el problema anterior, se considera el Hamiltoniano:

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ))T T TH x t Qx t u t Ru t Ax t Bu t 1

2

Entonces, con las condiciones del Hamiltoniano anteriormente mencionadas se

resuelve este problema de control óptimo.

Se asume que el coestado, puede ser escrito como ( ) ( ) ( )t S t x t

( ) ( ) ( ) ( )( )T Tu t tR B u t R B S t x t 1 1

Donde la ecuación diferencial de Riccati, viene dada por:

( )

T T

f f

S SA A S SBR B S Q

S t S

1

1.3.4. Controlador LQR

El LQR pretende mantener el estado dentro de una vecindad que contenga el

origen, por lo que no existe el concepto de tiempo final ft , y tampoco el de

estado final ( )fx t .

1.3.4.1. LQR tiempo continuo

Se considera el sistema definido por:

,n m

x Ax Bu

y Cx

x u

Se desea resolver el problema:

min ( ( ) ( ) ( ) ( ))

. .

( )

T

t

TJ x t Qx t u t Ru t dt

s a x Ax Bu

x t x

0

0 0

1

2

Donde Q y R son matrices constantes. El término ( ) ( )T

f f fx t S x t1

2 no aparece,

pues no existe un estado final.

Resolviendo el problema anterior con el Hamiltoniano:

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ))T T TH x t Qx t u t Ru t Ax t Bu t 1

2

6



Se considera que el coestado es el mismo que en el control LQ. Resolviendo lo

anterior, se tiene que el control viene dado por

( ) ( ) ( )Tu t R B S t x t 1

Dado que en ft t 0

S(t) alcanza el régimen permanente, se tendrá que la

ecuación de Riccati se transforma en una algebraica, es decir:

T TSA A S SBR B S Q 1 0

1.3.4.2. LQR tiempo discreto

Sea el sistema definido por:

( ) ( ) ( )x k Ax k Bu k 1


min [ ( ) ( ) ( ) ( )]

. . ( ) ( ) ( )

( )

T T

k

J x k Qx k u k Ru k

s a x k Ax k Bu k

x t x

0

0 0

1

2

1

Resolviendo el problema anterior, se llega a que el controlador viene dado por:

( ) ( )u t Kx k

Donde:

( )T TK R B PB B PA 1

La ecuación de Riccati viene dada por:

( )T T T TP Q A PA A PB R B PB B PA 1

1.3.4.3. LQR con seguimiento de referencia

Sea el sistema:

,n mx Ax Bu

x uy Cx


min (( * ) ( * ) ( ) ( ))

. .

ft

y y

T T

t

J y Cx Q y Cx u t Ru t dt

s a x Ax Bu

0

1

2

Donde Q y R son matrices definidas positivas (simétricas, sin pérdida de

generalidad).

7



Sea el Hamiltoniano dado por:

(( * ) ( * ) ( ) ( )) ( ( ) ( ))T TH y Cx Q y Cx u t Ru t Ax t Bu t 1

2

Resolviendo el problema, se llega al controlador de la forma:

( )

( )

T T

K H

u t R B Sx R B G

u t Kx H

1 1

Donde:

( ) *

( )( ) ,

T T T

T T T

f f

S SA A S SBR B S C QC

G A SBR B G C Q

G t

y

S t

1

1

0

0

0 0

1.4. Control Óptimo Dinámico estocástico

Cuando el sistema presenta perturbaciones estocásticas se requiere la

introducción de un estimador de estado óptimo para sistemas estocásticos.

1.4.1. Controlador LQG

Sea el sistema

,n m

x Ax Bu w

y Cx v

x u

Donde los ruidos blancos w y v tienen covarianzas:

( ( ) ( )) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ) ( )

w t w t W t

v t v t V t

Para realizar el control, se minimiza el siguiente funcional:

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ))( )f

T T T

f f f

t

t

S x t x t Qx t u tJ x Ru t dtt

0

2

1

2

1

Debido a que los estados son variables aleatorias.

El problema consiste en encontrar una estimación óptima del estado (a través

de un filtro de Kalman) y determinar el control LQ asociado.

Por lo anterior, el control LQ está dado por:

ˆ( ) ( )u t Kx t

8



Donde K es la misma ganancia de un LQ determinístico y ˆ( )x t es el estado

estimado a través de Kalman.

Las ecuaciones del filtro de Kalman vienen dadas por:

ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ( )

ˆ[ ]

dxAx Bu y Cx

dt

Ax BKx y Cx

A BK C x y

, ( )

T

T T

V

dPAP PA PC

P

V CP W tdt

C

P P

1

1

0 0

1.4.2. Controlador LQGR

Al igual que en el caso determinístico, es posible implementar un regulador para

el estado estimado. Considerar el sistema definido en variables de estado:

,n m

x Ax Bu w

y Cx v

x u

Para realizar el control, se minimiza el siguiente funcional:

( ( ) ( ) ( ) ( ))f

T T

t

t

x t Qx t u t Ru t dtJ

0

1

2

Al igual que lo anterior el problema consiste en encontrar una estimación del

estado y el controlador LQR ˆ( ) ( )u t Kx t , K es la misma ganancia.

El filtro de Kalman en el proceso estacionario, se convierte en una ecuación de

Riccati para P, se tiene que:

ˆˆ ˆ( )

ˆ ˆ ˆ( )

ˆ[ ]

dxAx Bu y Cx

dt

Ax BKx y Cx

A BK C x y

T

T T

V

AP PA PC V

C

CP W

P

1

10

9



1.5. Problemas Resueltos

Problema 1.1

Sea el sistema definido por y

xy

, donde y u ; dado 2

00( )x x y que

1( )u t . Se desea encontrar el mínimo tiempo necesario para que 0( )x T .

Solución

Dado que y u , el sistema se puede escribir en variables de estado como:

0 1 0

0 0 1x x u

En el problema de tiempo mínimo ( 0min ( )T x T ∣ ) se resuelve mediante el

índice de rendimiento definido por:

0

1

1

0

( ) ( , ) ( , )

. ( )

( )

.

T

J t L x u dt T L x u

s a u t

x T

Se considera el Hamiltoniano ( 1

2

):

1 2 2

0 1 01

0 0 1

1

1

min ( ) ( , ) ( , ),

. . ( )

, T TH L x u f x u x u

x u

s a u t

x u

El control minimizara solo 2u (principio del mínimo de Pontryagin), se

resuelve:

2

1

in

. . ( )

m u

s a u t

Por lo tanto

Si 2 0 1( )t u

Si 2 0 1( )t u

La ecuación del coestado, viene dada por T Tf L

x x

0

, ( )T

10



2

1 1 1

2 1 21

0 0

1 0

0 c

c t c

Graficamente

Gráfico 1.1: Posibilidades de realizar el control.

Es decir el control cambiara a lo mas una vez.

Volviendo a las ecuaciones de estado:

1 2

2

0 1 0

0 0 1

x xx x u

x u

Por simplicidad se supone 0 0( )x

Si 1( )u t

2 2

2 2 1 1 2

1 11

2 2( ) ( ) ( )x x t t x t t x t x

Si 1( )u t

2 2

2 2 1 1 2

1 11

2 2( ) ( ) ( )x x t t x t t x t x

Para el control hay que cambiar u (de -1 a 1 o viceversa)

Propuesto: Estudiar los diagramas de fases y calcular el tiempo mínimo.

0 0.5 1 1.5-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

22( )t

2 0 0( )

t

2 0 0( )

1u

1u

1u

1u

1u

1u

11



Capítulo 2

2. Introducción al Control Predictivo

El control predictivo tiene por objetivo resolver de forma efectiva,

problemas de control y automatización de procesos que se caracterizan por

presentar comportamientos dinámicos complejos, multivariable y/o inestable. El

control predictivo permite abordar problemas estocásticos, procesos con retardo

de tiempo, multivariables e incluir restricciones.

2.1. Control Predictivo basado en modelos (MBPC)

El control predictivo basado en modelos (MBPC o MPC, por su nombre

en inglés “Model (Based) Predictive Control”) se presenta actualmente como

una atractiva herramienta de control que permite incorporar criterios

operacionales a través de la utilización de una función objetivo y restricciones

para el cálculo de las acciones de control. Además, estas estrategias de control

han alcanzado un nivel muy significativo de aceptabilidad industrial en

aplicaciones prácticas de control de procesos. MBPC se basa principalmente en

los siguientes elementos:

El uso de un modelo matemático del proceso que se utiliza para predecir

la evolución futura de las variables controladas sobre un horizonte de

predicción.

El establecimiento de una trayectoria deseada futura, o referencia, para

las variables controladas.

El cálculo de las variables manipuladas optimizando una cierta función

objetivo o función de costos.

La aplicación del control siguiendo una política de horizonte móvil.

12



2.1.1. Estrategia el MBPC

La metodología de los controladores MBPC consiste en los siguientes pasos:

1. Las salidas futuras para un horizonte de predicción N son predichas en

cada instante t, usando un modelo del proceso. Estas salidas predichas

( )y t j t ∣ dependen de los valores conocidos hasta t (entradas y salidas

pasadas) y además pueden depender de las señales de control futuras

( )u t j t 1∣ que se quieren calcular (ver figura 2.1).

2. Las acciones de control futuras 1( )u t j t ∣ son calculadas optimizando

una función objetivo de manera de llevar la salida del proceso lo más cerca

posible de una trayectoria de referencia dada. Este criterio, generalmente es una

función cuadrática de los errores entre la salida predicha y la trayectoria de

referencia deseada, incluyendo el esfuerzo de control.

3. Sólo se aplica ( )u t t∣ al proceso, debido a que en el instante siguiente t+1

se tienen dos valores de la variable controlada hasta t+1 y variable manipulada

hasta t.

En síntesis, esta estrategia de control, utiliza el modelo matemático del

proceso a controlar para predecir el comportamiento futuro de dicho sistema, y

en base a esté criterio puede calcular la señal de control futura.

Figura 2.1: Metodología del control predictivo.

Horizonte de control

Horizonte de predicción

… …t Nt 1 ut N

Secuencia de control futura

Pasado Futuro

( )u t

Referencia Salidas predichas

( )y t

t

13



+

Modelo

Optimizador

Función

de costo Restricciones

Errores futuros

Salidas

predichas

Entradas

futuras

Entradas y Salidas pasadas

Trayectoria

de referencia

-

2.1.2. Estructura Básica del Control MBPC

La figura 2.2 muestra la estructura básica de las estrategias de control

predictivo basado en modelos. En este caso, se hace uso de un modelo para

predecir las salidas futuras del proceso, basándose además en los controles

futuros o entradas futuras propuestas. Estas señales son calculadas por un

optimizador teniendo en cuenta una función de costo y puede incluir

restricciones del proceso.

Figura 2.2: Diagrama de bloques de un MBPC

14



2.1.3. Elementos del MBPC

Los elementos principales del control predictivo son:

Modelos de predicción

Función objetivo

Obtención de la ley de control

2.1.3.1. Modelo de predicción

El modelo de predicción debe ser capaz de capturar la dinámica del

proceso para poder predecir las salidas futuras, al mismo tiempo es

recomendable que sea sencillo de usar y comprender, y además permitir un

análisis teórico.

Las estrategias de MBPC utilizan diferentes modelos del proceso para

representar la relación de las salidas con las entradas medibles (variables

manipuladas y perturbaciones medibles). Además, se considera un modelo de

perturbaciones que intenta incluir las entradas no medibles, el ruido y los

errores de modelación.

A continuación se presentarán los principales modelos de proceso y

modelos de perturbaciones utilizados para las formulaciones del control

predictivo.

2.1.3.1.1. Modelo de respuesta al impulso

La salida del modelo de respuesta al impulso a j -pasos, está dada por:

( ) ( )i

i

hy t u t i

1

Donde ih son los valores muestreados cuando el proceso es excitado con un

impulso unitario (ver figura 2.3).

Entonces, la predicción del modelo está dada por:

( ) ( )i

i

y t j t u t j i th

1

∣ ∣

Una gran ventaja de este método es que no requiere información previa sobre el

proceso, con lo cual el proceso de identificación se simplifica. Además, permite

modelar sistemas complejos como fase no mínima y sistemas con retardos. Sin

embargo, esta representación sólo es válida para procesos estables.

15



2.1.3.1.2. Modelo de respuesta al escalón.

La salida del modelo respuesta al escalón está dada por:

1

( ) ( )i

i

y t g u t i

Donde ig son los valores muestreadas cuando el proceso es excitado con un

escalón (ver figura 2.4).

Entonces, la predicción del modelo a j -pasos, está dada por:

1

( ) ( )i

i

y t j g u t j it t

∣ ∣

Este modelo presenta las mismas ventajas e inconvenientes del modelo de

respuesta al impulso.

y(t)

t t 1 t 2 ...

h2

ihNh

h1

t N

Figura 2.3: Respuesta al impulso de cierto proceso.

y( t )

t t 1 t 2 ...

g2

ig Ng

g1

t N

Figura 2.4: Respuesta al escalón de cierto proceso.

16



2.1.3.1.3. Modelo función de transferencia

Este modelo está dado por la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( ) ( )1 1A z y t B z u t

Con los polinomios A y B dados por:

( ) ...

( ) ...

na

na

nb

nb

A z a z a z a z

B z b z b z b z

1 1 2

1 2

1 1 2

1 2

1

Entonces, la predicción del modelo es:

( ) ( )( )

( )

B z w t j ty t j t

A z

1

1

∣∣

Esta representación es también válida para procesos inestables.

2.1.3.1.4. Modelo en espacio de estados

Las ecuaciones en variables de estados están dadas por:

1( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

Donde x(t) es un vector de estado, y A, B y C son las matrices del sistema. Para

este modelo la predicción es:

1

1

ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )jj

i

i

y t j t C x t j t C A x t A Bu t j i t

∣ ∣ ∣

Esta representación sirve para procesos multivariables. Sin embargo, se hace

necesario disponer de un observador cuando los estados no son medibles.

2.1.3.1.5. Modelo de perturbaciones

Uno de los modelos más utilizados para representar las perturbaciones, está

dado por:

( ) ( )( )

( )

1

1

C z e tn t

D z

Donde 1( )D z

es un polinomio que incluye al integrador 11 z , ( )e t es un

ruido blanco y generalmente el polinomio C es igual a 1.

17



2.1.4.1.6. Modelos Estocásticos

Con la representación del modelo de función de transferencia y moldeo de

perturbaciones es posible definir:

AR (Auto Regressive)

( ) ( ) ( )A z y t e t 1

ARX (Auto Regressive with eXogenous Input)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A z y t B z u t e t 1 1

ARMA (Auto Regressive Moving Average)

( ) ( ) ( ) ( )A z y t C z e t 11

ARMAX (Auto Regressive with Moving Average and eXogenous Input)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A z y t B z u t C z e t 1 1 1

ARIX (Auto Regressive Invegrated with eXogenous Input)

( )( ) ( ) ( ) ( )

e tA z y t B z u t

1 1

ARIMAX (Auto Regressive Integrated with Moving Average and eXogenous

Input)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

C z e tA z y t B z u t

11 1

ARARX (Auto Regressive Auto Regressive eXternal Input)

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

e tA z y t B z u t

D z

1

1

1

ARARMAX (Auto Regressive Auto Regressive Moving Average eXternal

Input)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

C zA z y t B z u t e t

D z

1

1 11

Output error

( )( ) ( ) ( )

( )

B zy t u t e t

F z

1

1

18



Box — Jenkins

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

B z C zy t u t e t

F z D z

1 1

1 1

Caso General

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

B z C zA z y t u t e t

F z D z

11

1 1

1

NARMAX (Nonlinear ARMAX)

1 1 1( ) ( ),..., ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ..., ( ) ( )a b cy t f y t y t n u t u t n e t e t n e t

Con f una función no lineal.

Es importante destacar que los modelos ARIX y ARIMAX son los más

utilizados en el control predictivo. En cambio los modelos ARX y ARMAX son

más utilizados en diagnóstico de fallas.

2.1.3.2. Función objetivo

Los diferentes algoritmos de control predictivo utilizan diferentes funciones

objetivo o de costo para la obtención de la ley de control.

En primer lugar se considera la función objetivo está dada por:

ˆ( ) ( )J w t y t t ∣2

1 1

Donde 1( )w t es la referencia o salida deseada en el instante t+1 y 1ˆ( )y t t ∣ es

la salida predicha en el instante t+1. Nótese que utilizando esta función objetivo

y un modelo ARIX, se obtiene un controlador de varianza mínima.

Para reducir las variaciones en la variable manipulada o sobreactuaciones se

puede utilizar la siguiente función objetivo, que además incluye acción integral.

2 21 1ˆ( ) ( ) ( )J w t y t t u t ∣

19



A continuación, para considerar sistemas de fase no mínima y sistemas

inestables se utiliza la siguiente función objetivo que incluye horizontes de

predicción y control mayores:

2

1 1

2 21ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

uN N

j N i

J j w t j y t j t i u t i

∣

Donde

( )j y ( )i son coeficientes que ponderan el comportamiento futuro,

( )y t j t ∣ es la salida predicha en el instante t+ j ,

1( )u t i t ∣ es la variación de control en el instante t+i -1,

( )w t j representa la trayectoria de referencia deseada,

1N y N2

son los horizontes mínimo y máximo de predicción,

uN es el horizonte de control

2.1.3.3. Obtención de la ley de control

Para obtener los valores 1( )tu t i ∣ es necesario minimizar la

función de objetivo planteada anteriormente. Para ello se calculan los valores de

las salidas predichas ˆ( )ty t j ∣ en función de los valores pasados de las entradas

y salidas, y de las señales de control futuras, haciendo uso de un modelo de

predicción.

Además se ha encontrado que una estructuración de la ley de control

produce una mejora en la robustez del sistema. Esta estructura de la ley de

control se basa en el uso del concepto de horizonte de control (uN ), que consiste

en considerar que tras un cierto intervalo uN < N2

no hay variación en las

señales de control propuestas, es decir, 1 0( )u t i , para ui N .

20



2.2. Trayectoria de referencia

Una de las ventajas principales del control predictivo es que la

evolución futura de la referencia es conocida a priori. El sistema reaccionará

antes que el cambio haya sido efectivamente aplicado, evitando de este modo

retardos en la respuesta del proceso.

La evolución futura de la referencia es conocida previamente en muchas

aplicaciones, por ejemplo, en robótica.

1.- ( ) ( )w t j r t j cte

2.- ( ) ( )w t y t

( ) ( ) )) (( w tt j j jw r t 1 1

Con j , ..., N ; 1 0 1

Cabe destacar que es un parámetro ajustable. Dependiendo de éste, la

dinámica de la trayectoria es más rápida o más lenta (ver figura 2.5).

Además la trayectoria de ( )w t constituye un filtro de primer orden para ( )r t ,

este filtro se pude representar mediante la siguiente función de transferencia:

1

1

1

( )

( )

w z

r z z

El filtro para ( )r t se puede implementar fuera del lazo de control, no afectando

de esta manera la estabilidad del sistema, pero si contribuyendo al rechazo del

ruido.

w(t j)

r(t j)

y(t)

Figura 2.5: Control predictivo con seguimiento de referencia

21



2.3. Predicciones para diferentes tipos de modelos

Para cada modelo se puede establecer una predicción distinta, tal como se

explica:

2.3.1. Modelo respuesta al escalón

Las perturbaciones se consideran constantes a lo largo del horizonte de

predicción e iguales al valor en el instante t, es decir:

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )mn t j t n t t y t y t t ∣ ∣ ∣

Donde ( )my t son los valores medidos de la salida e ( )y t t∣ es el valor estimado

para el modelo en el instante t.

La predicción está dada por:

i

i

y t j t g u t j i t n t j tˆ ˆ( ) ( ) ( )·

1

∣ ∣ ∣

Entonces, la predicción está dada por

j

i i

i i j

y t j t g u t j i t g u t j i n t j tˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

acciones de acciones decontrol futuras control pasadas

∣ ∣ ∣

Reemplazando la predicción de la perturbación en esta ecuación y el modelo

para ( )y t t∣ en ella, se tiene:

j

i i

i i j

m i

i

y t j t g u t j i t g u t j i

y t g u t i

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

∣ ∣

(**)

Entonces, se define la respuesta libre del sistema como los valores conocidos

hasta el instante t, es decir:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

j i i

i j i

j j i

m

mi

i

p g u t j i y t g u t i

p g g u t i y t

1 1

1

22



Suponiendo un proceso asintóticamente estable, j i ig g 0 para i N , se

tiene que 1

( ) ( )N

j j i i m

i

p g g u t i y t

Por lo tanto, la ecuación (**) se puede reescribir como:

( ) ( )j

i j

i

y t j t g u t j i t p

1

∣ ∣

Entonces, las predicciones en el intervalo N1 y N2 están dadas por:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

N N

N N

N N

y t N t g u t N t g u t t p



1 1

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1 1 1

2 1 2

1

1

1

∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣

Matricialmente, y considerando que 1 0( )u t j para j > uN , se tiene:

y G u p

Donde

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )T

y y t N t y t N t y t N t 1 1 21 ∣ ∣ ∣

u

N

N

N N N

g g

g g

G

g g

1

1

2 2

1

1 1

1

0 0

0 0

0

1 1 21

1 1( ) ( ) ( )

, , ,

T

u

N N N

u u t t u t t u t N t

p p p p

∣ ∣ ∣

2.3.2. Modelo función de transferencia

Modelo ARMAX

1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )A z y t B z u t d n t

Donde 1( ) ( ) ( )n t C z w t , con tw un Ruido Blanco Discreto ( 0( )w t y

2 2( ( ) ) ww t ) y d es el retardo del sistema.

Sin embargo, esta modelación no considera procesos no estacionarios.

23



Modelo ARIMAX

Para representar procesos no estacionarios, se considera el siguiente modelo

ARIMAX: 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )A z y t B z u t d n t

Donde 1( ) ( )

( )C z w t

n t

, z 11

Entonces, se tiene que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

n t C z w t n t n t

n t n t C z w t

1

1

1

1

Sea 1( ) ( ) ( )x t C z w t , entonces,

0

0

0

1

1

1 1

2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )t

i

n t n t x t

n n x

n n x x

n t n x i

Por lo tanto, ( )n t es un sumador y n0 es la condición inicial.

A continuación, se calcula el valor medio de ( )nt , es decir:

0

1

1( ) ( ) ( )

( )t

i

n t n t x t

n x i

Entonces, se tiene que a menos que 0( )x i x , ( )n t no es estacionario aunque

x lo sea.

Así, si ( )x i x , entonces 0( )n t n tx , además si 1C , ( ) ( )x t w t y como

( )w t es Ruido Blanco Discreto se tiene que 0( )w t , entonces 0( )x t . Por lo

tanto 0( )n t n

Sin embargo, el proceso ( )n t no es estacionario en sentido amplio porque 2

( )n t

no es constante como se demuestra a continuación.

24



n t n t n t

n t x t n t x t

n t n t E x t x t n t n t x t x t

( ) ( ) ( )

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))( ( ) ( ))

22

2

2 2

1 1

1 1 2 1 1

Además, 1( ) ( ) ( )x t C z w t

Si ( )C z 1 1 entonces ( ) t t tC z w x w 1 , 0t tx w

De esta manera,

( )t t tn n w 1 1 0

pues 1( ) ( ) ( )n t n t w t y ( )w t es Ruido Blanco Discreto con 0( )w t

Por lo tanto,

t t tn n w n n wt

1 0

2 2 2 2 2 2

tn n 0

2.3.2.1. Predicción de la salida

Para calcular la predicción a j -pasos de y( t ) , se considera un modelo

ARIMAX, con C 1 por simplicidad.

w tAy t Bu t d n t Bu t d

A

w tBy t u t d

A A

w t jBy t j u t d j

A At

( )( ) ( ) ( ) ( ) /

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1

∣

donde

j j

j

FE z

A A

CuocienteResto

1

(jF y

jG notación en ARMAX)

La división 1

A se realiza hasta que

jE sea un polinomio de grado j 1 , de

modo que ( )jE w t j

tenga los valores futuros de ( )w t , es decir,

1 2( ), ( ), , ( )w t w t w t j

25



Además,

A z a z a z 1 1 2

1 11

entonces A es mónico y por ende jE también.

En consecuencia,

j

j

w t w tw t w t

FBy t j u t d j E w t j w t

A A( ( ), ( ), )

( ( ), ( ), )

#( ) ( ) ( ) ( )

1 21

Para la determinación de 1( ), ( ), ...w t w t , se utiliza el modelo ARIMAX, es

decir

w tAy t Bu t d

( )( ) ( )

w t A y t B u t d( ) ( ) ( )

Entonces, reemplazando ( )w t en la ecuación (#), se obtiene:

j j

j

j j j

F FBy t j u t d j E w t j A y t B u t d

A A A

B Bu t d j F y t F u t d E w t j

A A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

j 1

jF es de grado 1n (n orden del sistema) considerando que jE tiene grado

1j .

A continuación,

j

j j j

u t d

j

j j j

B By t j u t d j E w t j F y t F u t d j z

A A

Bu t d j F z E w t j F y t

A

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

donde según la ecuación diofántica j

j jF z E A 1

Entonces,

j j j

j j j

By t j u t d j E A E w t j F y t

A

BE u t d j E w t j F y t

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Se define j jG BE

j j jy t j G u t d j E w t j F y t( ) ( ) ( ) ( )

26



Por lo tanto, la predicción a j pasos de ( )y t está dada por:

j jy t j y t j Gt u t d j F y tˆ( ) ( ) ( ) ( ) ∣ (*)

pues ( )jE w t j genera sólo valores futuros de ruido blanco 1 2( ( ), ( ), ...)w t w t .

Casos especiales

1d

j jty t j G u t j F y t( ) ( ) ( ) 1∣

j d

d dy t d G u tt F y tˆ( ) ( ) ( ) ∣

Valores futuros de u t() (u t u t 1 2( ), ( ), ...)

j jG u t d j BE z u t d j

b u t d j u t d j

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

0 1

1

1

Para j d , la predicción depende de términos hasta t, es decir:

j

j

F y t y t y t

G t d j u t tu u

( ) ( ), ( ),...

( ) ( ), ( ),...

1

1

Para j d , la predicción además depende de los valores de control por aplicarse

(no conocidos), dados por:

1 2( ) ( ), ( ),..., ( )jG t d j u t uu t u t d j

Entonces, ( )jG tu d j contiene términos conocidos en t 1 2( ), ( ),...u t u t

y términos desconocidos (o por determinarse) 1 2( ), ( ), ( ),...u t u t u t

Además, como j jG BE , entonces

( )j j j jG z g g z g z 1 1 2

0 1 2

Predicción con modelo ARIMAX con C 1

d e tA z y t B z z u t C z

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 11

donde ( )e t es ruido blanco.

27



En este caso, la ecuación diofántica está dada por:

j

j jC z E z A z z F z( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1

donde ( )e t es de grado 1j y jF es de grado na .

j

j

j

z F zC zE z

A z A z

( )( )( )

( ) ( )

111

1 1

A partir del modelo ARIMAX, se tiene:

d

j

j

B z C zy t j z u t j e t j

A z A z

FBy t j u t j d E e t j e t

A A

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

1 11

1

El ruido ( )e t en instantes previos está dado por:

1

1( ) ( )( )

( )

A y t B u t de t

C z

Entonces, la salida a j pasos es:

j

j

j

j j

j jj

j

j j

j

j

j

F A y t B u t dBy t j u t j d E e t j

A A C

FB Bu t j d E e t j y t F u t d

A C AC

F FBz u t j d E e t j y t

A C C

E A FBu t j d E e t j y t

A C C

BEu t j d E e

C

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

11

1 1

1 1

1

1j

j j

j

Ft j y t

C

BE Fu t j d E e t j y t

C C

( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

Por lo tanto, la predicción de la salida es:

y t j y t jt( ) ( ) ∣

j jBE Fy t j u t j d y t

C Ct( ) ( ) ( ) 1∣

Esta ecuación representa una expresión recursiva para la predicción.

28



Para separar las acciones de control futuras de las pasadas, se considera la

siguiente ecuación diofántica:

j

j j jE z B z C z H z z K z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1

con jH de grado 1j .

Por lo tanto, la predicción está dada por:

j

j j j

j j

j

CH z K Fy t j u t j d y t

C C

K Fy t j H u t j d u t d y t

C C

t

t

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1

∣

∣

Donde ( )jH u t j d 1 incluye las acciones de control futuras y

( )jK

u t dC

1 las acciones de control pasadas.

Predicción con modelo ARIMAX con C 1 (Método 2)

Considerar las siguientes señales filtradas de la planta:

1

f y ty t

C z ( )

( )( )

, 1

f u tu t

C z ( )

( )( )

Se sigue que el nuevo modelo queda dado por:

( )( ) ( ) ( ) ( )f d f e t

A z y t B z z u t

1 1 1

La predicción se calcula utilizando el procedimiento para ruido blanco. Luego, la

señal obtenida ˆ ( )fy t j es filtrada por ( )C z 1 para obtener la predicción de la

salida original ( )y t j .

Predicción con modelo ARIMAX con C 1 (Método 3)

1 1 11( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )d e tA z y t B z z u t C z

(*)

donde ( )e t es ruido blanco y 0d por simplicidad.

En este caso, la ecuación diofántica está dada por:

( ) ( ) ( ) ( )j

j jC z E z A z z F z 1 1 1 1 (**)

donde jE es de grado 1j y jF es de grado na.

29



Multiplicando la ecuación (*) por 1 j

jE z z y usando la ecuación (**), se

tiene:

1 1 1 1 11j j jC z y t j E z e t j E z B z u t j F z y t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Considerando el valor esperado, se tiene:

1 1 1

jC z y t j E z e t j C z y t j t ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Entonces,

1 1 1 11j jC z y t j t E z B z u t j F z y t ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (***)

Esta predicción es recursiva y para obtener una expresión explícita se utiliza la

siguiente ecuación diofántica:

1 1 11 j

j jC z M z z N z ( ) ( ) ( )

Donde el grado de jM es 1j y grado de jN es el grado de 1C .

Multiplicando la ecuación (***) por 1

jM z ( ) , se tiene:

1 1 1 1 11j j j j jy t j t M E z B z u t j M z F z y t N z y t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Entonces,

1 1

1 1 1

1 1p

j j j

y t j G z u t j G z u t j

M z F z

t

N z y t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∣

con grado de 1G z j

2.3.3. Predicción con modelo en variables de estado

Se considera el siguiente modelo en variables de estado:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t B u t Gw t

y t Dx t w t

1

donde ( )w t es ruido blanco.

30



El estado a j -pasos, está dado por:

jj j i

i

jj i j

i

x t Ax t B u t Gw t

A x t AB u t AGw t B u t Gw t

x t A x t A B u t A Gw t

AB u t AGw t B u t Gw t

x t j A x t A B u t i

A Gw t i A Gw t

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

3 2 2

1

1

2

2 1 1 1

1 1

3

1 1 2 2

1

1

Donde ( )j

j i

i

A Gw t i

2

1 agrupa las perturbaciones futuras.

El ruido en instantes siguientes, desde t hacia atrás es conocido y está dado por:

( ) ( ) ( )w t y t Dx t

Por lo tanto, el estado a j -pasos es:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

jj j i

i

jj i j

i

x t j A x t A B u t i

A Gw t i A G y t Dx t

1

1

2

1

1

Entonces, la predicción de la salida es:

y t j t Dx t j t w t j tˆ ˆ( ) ( ) ( ) ∣ ∣ ∣

donde ( )w t j t 0 ∣ pues ( )w t es ruido blanco.

jj j i

i

jj i j

i

A x t A B u t i

y t j t D

A Gw t i A G y t Dx t

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1

2

1

1

∣ .

Además, se tiene x t t x t tˆ( ) ( )∣ ∣

Si el estado no es medible se requerirá de un observador de estado. También,

w t i i( ) 2 1 0

31



Finalmente, la predicción de la salida es:

j

j j i j

i

y t j t DA x t t A BD u t i DA G y t Dx t tˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1∣ ∣ ∣

2.4. Estructura de los predictores

Tipo de modelo Futuro Pasado

Modelo

respuesta al

escalón

j

i

i

g u t j i( )

1

N

j i i

i

g g u t i y t( ) ( )

1

Modelo

ARIMAX

C1

jH u t j i( ) j jK Fu t y t

C C( ) ( ) 1

Modelo en

variables de

estado

jj i

i

A BD u t i( )

1

1 j jDA A GD x t t DA Gy t( ) ( ) 1 1∣

Respuesta forzada

f ty t j( ) ∣

Respuesta libre

l ty t j( ) ∣

Tabla 2.1: Estructura de los predictores.

Por lo tanto, la predicción se puede escribir de la forma:

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )f lt t ty t j y t j y t j ∣ ∣ ∣

ˆ ( )f ty t j ∣ es la respuesta forzada que depende de las futuras acciones de

control ˆ ( )l ty t j ∣ es la respuesta libre, suponiendo que no hay futuras acciones

de control y por lo tanto, el control permanece en el valor que tiene en el

instante t, 1 0 1( ) ,u t i i .

2.5. Control de Varianza Mínima

Se considera el siguiente criterio para determinar la acción de control:

2in m ( )J y t d

Donde d es el tiempo muerto; el modelo utilizado está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A z y t B z u t d C z e t 1 1 1

32



Para determinar la predicción ( )y t d , se utiliza la siguiente ecuación

diofántica:

( ) ( ) ( ) ( ) dC z F z A z G z z 1 1 1 1

Entonces ( ) ( ) ( )B C

y t d u t e t dA A

Utilizando la ecuación diofántica, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

dB Gy t d u t Fe t d z e t d

A A

B Gu t Fe t d e t

A A

Además, se tiene que el ruido ( )e t en instantes anteriores 1 2t , t ,... se

puede calcular como ( ) ( )

( )Ay t Bu t d

e tC

En efecto,

d

Ay t Bu t dB Gy t d u t Fe t d

A A C

B G GBu t Fe t d y t u t d

A C AC

B G Gz u t Fe t d y t

A C C

B FA Gu t Fe t d y t

A C C

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1

G BFy t d y t u t Fe t d

C C( ) ( ) ( ) ( )

Continuando con el problema de varianza mínima, se tiene:

G BFJ y t d y t u t Fe t d

C C

G BFy t u t Fe t d

C C

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

22

m

in

33



Se sabe qué ( ), ( ), ..., ( ), ( ), ...y t y t u t u t 1 1 y ( ), ..., ( )e t d e t 1 son independientes

entre sí, luego al calcular la esperanza del término cruzado:

G BFy t u t Fe t d

C C

G BFy t u t F e t d

C C

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 0

Pues e(t) es ruido blanco y su esperanza es cero.

Por lo tanto, la condición necesaria es:

BFu t

J G BF Cy t u t

u t C C u t

( )

( ) ( )( ) ( )

0 2 0

donde

B Fu t h u t h u t

C( ) ( ) ( ) ...

0 1 1

G BFy t u t h

C C( ) ( )

02 0

De donde se llega al controlador optimo, dado por:

Gu t y t

BF

*( ) ( )

2.5.1. Varianza Mínima con Minimización de Energía de Control

Se considera el siguiente criterio:

( ( ) ( )) ( )J w t d y t d u t 2 2 min

con w t d( ) es la trayectoria de referencia y es un factor de ponderación.

El modelo utilizado está dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A z y t B z u t d e t 1 1

Para determinar la predicción y t d( ) , se utiliza lo de la sección 2.5 y se tiene

que:

( ) ( ) ( ) ( )y t d BFu t Gy t Fe t d

34



Por lo tanto,

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

J w t d BFu t Gy t Fe t d u t

w t d BFu t Gy t Fe t d u t

2

2

2 2

2

min

Los términos cruzados se anulan por lo mismo que en la sección 2.5.

La condición necesaria está dada por:

( ( ))( ( ) ( ) ( )) ( )

( ) ( )

B Fu tJw t d B Fu t Gy t u t

u t u t

2 2 0

Además,

1 1 1

0 1 1 11nb d

nb dB Fu t b b z b z f z f z u t

( ) ( )

Entonces,

0

B Fu tb

u t

( )

( )

Por lo tanto,

( ( ) ( ) ( )) ( )w t d B Fu t Gy t b u t 0

0

La acción de control óptima está dada por:

*( ) ( )

( )b w t d Gy t

u tBFb

0

0

35



2.6. Control por Matriz Dinámica (DMC)

Este algoritmo (“Dynamic Matrix Control”) utiliza el modelo repuesta al escalón

para la predicción. Asumiendo que el proceso es estable.

1

1

( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( ) ( )

i

i

N

i

N

i

y t g u t i

y t j g u n jt t tj i t

∣ ∣

Además,

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )mn t j t n t t y t y t t ∣ ∣ ∣

De la sección 2.3.1, la predicción está dada por:

( ) ( )j

i ji

y t j t g u t j i t p

1

∣ ∣

Con 1

( ) ( )N

j j i i mi

p g g u t i y t

Entonces, las predicciones en el intervalo 1N y

2N están dadas por:

N N

N N

N N




( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 1

1 1

2 2

1 1 1

1 1 1 1 1

2 1 2

1

1

1

∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣

∣ ∣ ∣

Matricialmente, y considerando que ( )u t j 1 0 para uj N , se tiene:

y G u p

Donde T

y y t N t y t N t y t N tˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) 1 1 21 ∣ ∣ ∣

u

N

N

N N N

g g

g g

G

g g

1

1

2 2

1

1 1

1

0 0

0 0

0

1 1 21

1 1( ) ( ) ( )

, , ,

T

u

N N N

u u t t u t t u t N t

p p p p

∣ ∣ ∣

36



Por otra parte, el controlador por matriz dinámica utiliza la función objetivo

general del MBPC con 1 , la cual matricialmente está dada por:

T Tˆ ˆJ w y w y u u

Reemplazando en esta ecuación la predicción y , se tiene

T TJ w G w Gu p u p u u

Minimizando esta función objetivo se obtiene:

1

( )T Tu G G I G w p

donde sólo se aplica ( )u t t ∣ de acuerdo a la estrategia de control de horizonte

móvil definida. Esto es,

( ) ( )tu t K w p ∣

Donde K es la primera fila de matriz TG G I G

1

.

(ver problema resuelto 2.4).

2.7. Control Predictivo Generalizado (GPC.)

Para el diseño de Controladores Predictivos Generalizados GPC. (“Generalized

Predictive Control”) se utiliza el siguiente modelo ARIMAX:

11 1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )C z w t

A z y t B z u t d

Donde d es el retardo del sistema. Además se supone 1 1( )C z por

simplicidad.

Por lo anteriormente mencionado en la sección 2.3.2.1 se tiene que la predicción

viene dada por:

( ) ( ) ( ) ( )j jy t j y t j t G ut t d j F y t ∣ ∣ (*)

con j jG BE y

j

j

j

z FE

A A

1

(Ecuación diofántica).

Problema. Demostrar que jG es igual a los primeros j términos de la respuesta

a escalón unitario de la planta ( ) ( )Ay t Bu t d

37



De este modo, como jG representa los j primeros términos de la respuesta

escalón, entonces ji ig g para 1 2 3i , , ,... j . Es decir,

j k

ji ji ki i

g g g g

g g g g

0 10 0 0

Por lo tanto, se tiene

( )

( )

( )

b

b

b

b

b

b

b

b

n

n

n

n

n

n

n j

j n j

G g g z g z

G g g z g z

G g g z g z

G g g z g z

1

1 0 1

1 1

2 0 1 1

1 2

3 0 1 2

1 1

0 1 1

Por otra parte,

( ) ( ) ( )j jy t j G u t dt j F y t ∣

y si 1d , 1 1N y

2N N , se tiene

1 1

2 2

1

2 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )N N

y t G u t F y t

y t G u t F y t

y t N G u t N F y

t

t

t

t

∣

∣

∣

A continuación, se agrupan los términos conocidos hasta t en el vector f

( 1), ( 2),..., ( ), ( 1),...u t u t y t y t , es decir

1

1 0 1

1 1

2 1 0 2

1

2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f t G z g u t F y t

f t G z g z g u t F y t

(*)

Entonces, la expresión (*) se puede expresar de manera matricial como

y Gu f

Donde ˆ ˆ ˆ ˆ( ), ( ), , ( )y y t y tt Ntt yt 1 2∣ ∣ ∣ son las predicciones desde el

horizonte de predicción 1 1N hasta

2N N .

38



N N N N

g

g g

G

g g g

0

1 0

1 2 0

0 0

0

1 2 1( ), ( ), ..., ( ), ...., ( )T

u u t u t u t u t N son las acciones de control

futuras. Por lo tanto, Gu contiene términos desconocidos por determinar

u t u t u t N( ), ( ), ..., ( ) 1 1 y f agrupa los términos conocidos

u t u t y t y t( ), ( ), ..., ( ), ( ), ... 1 2 1

Para el cálculo de las acciones de control futuras, el algoritmo de Control

Predictivo Generalizado G.P.C. se minimiza la siguiente función de costos:

2

1

2 2

1

1( ) ( ) ( )uN N

ij N i

J y t j r t tt j u i

∣

(**)

En general,

1N horizonte predictivo mínimo. (N d1

, retardo, por defecto)

N2 es del orden del tiempo de estabilización (Ts) del sistema y es el

horizonte de predicción máximo.

uN : hasta el orden de la planta.

: Parámetro de ponderación de control.

Por otra parte, para una planta con n polos se necesitan n cambios de u t( )

para llegar a valor de y t r t( ) ( ) dado, entonces 0u t ( ) paraut N . Por lo

tanto, u t( ) queda fijo para. Además, la función de costo definida anteriormente

(ecuación (**)) se puede expresar en forma más compacta por (u u )

ˆ ˆ( ) ( )T TJ y r y r u u

donde

y Gu f

1 2( ), ( ),..., ( )T

r r t r t r t N

(con N ,N N 1 21 )

39



u u

uu

N N

N N N NN N

g

g g

Gg g g

g g g

0

1 0

1 2 0

1 2

0 0

0

pues ( )u t j 0 parauj N .

Entonces,

( ) ( )T TJ Gu f r Gu f r u u

Para la minimización de esta función de costos, se tiene 0( )

J

u t

Entonces,

( ) /()

( )

( )

TT T

T

T T

Gu f r G u

G Gu f r u

G Gu u G r f

0

0

Por lo tanto las acciones de control vienen dadas por:

( ) ( )T Tu G G I G r f 1

De este modo, se tiene

( )

u

Tt

Tt

t N

u H

u Hr f

u

1

1 2

1

Sin embargo, sólo se utiliza ( )u t , dado que en el siguiente instante se

desplazan los horizontes de predicción y control, siendo posible calcular una

nueva acción de control para ese instante.

La acción de control en t está dada por: 1( ) ( )Tu t H r f , con TH1 la primera

fila de( )T TG G I G 1

Notar que: 1( ) ( ) ( )u t u t u t

11( ) ( ) ( )Tu t u t H r f

40



Caso

Se considera el caso en que 2uN N , 1 1N , para la función

2

1

2 2

1

1( ) ( ) ( )uN N

ij N i

J y t j r t tt j u i

∣

Matricialmente se tiene

ˆ ˆ( ) ( )T TJ y r y ur u

Donde ( )y t G u f

Además

21

1 1

2( ) ( )

( ) ( )

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ...

... ( )

T

u

y y y t y t N

u u u u t

t

t t N

Entonces,

( ) ( )T TG u f G u fJ r r u u

Como la dimensión de y u , es decir, la multiplicación de G u no calza, por

lo cual se crea un vector u “ficticio” tal que cumpla con la relación u M u ,

con

2 2 12

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1

0 1

( )

( )

( )

( )

,

u

u

NN N

u

u t

M

t

uu t N

u t N

Donde M tiene tantos unos como las componentes de u .

Reemplazando en la función de costos, dada por:

( ) ( )T TGu f GuJ r r M Mf u u

Para la minimización, se tiene 0J

u

Entonces,

( ) /()

( )

( )

T T

T

T T

T

T

T

Gu f r G u M

G Gu f r M u

G Gu M u G r f

0

0

uN N 2

41



Por lo tanto el controlador u viene dado por la primera fila de:

( ) ( )T TTu G G M G r f 1

2.7.1. Control predictivo en variables de estado

Considere que un proceso con n salidas y m estados puede ser descrito por el

siguiente modelo en variables de estado:

1( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Ax t B u t Gw t

y t Dx t w t

De la sección 2.3.3 se tiene que la predicción viene dada por:

1

1

1ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j

j j i j

i

y t j t DA x t t A BD u t i DA G y t Dx t t

∣ ∣ ∣

donde la repuesta libre es: 1 1ˆ( ) ( )j jDA A GD x t t DA Gy t ∣ y la repuesta

forzada es: ( )j

j i

i

A BD u t i

1

1

Entonces, las predicciones sobre el horizonte de predicción son:

- -

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

N N

N N

D Dy t t

DA DAy t tA GD x t t Gy t

DA DAy t N t

DB u t

DAB DB

DA B DA B DB u t N

1 1

1 2

1

2

1

∣

∣∣

∣

Matricialmente, se tiene:

NY S U F

donde

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )T

Y y t t y t t y t N t 1 2∣ ∣ ∣

( ) ( ) ( )T

U u t u t u t N 1 1

42



N

N - N -

DB

DAB DBS

DA B DA B DB

1 2

( ) ( )

N

D

DAF A GD x t t Gy t

DA

1

∣

Matricialmente, la función objetivo del control predictivo se puede expresar

como:

T

e uJ Y R Y R U Uˆ ˆ

Minimizando esta función objetivo se obtiene que el vector de acciones futuras

está dado por:

T T

N e N u N eU S S S R F

1

con R es la matriz de referencia y u e, son las matrices de ponderación.

2.8. Control Predictivo con Restricciones

En la práctica, se requiere mantener las variables del proceso en rangos

que aseguren el buen comportamiento de los equipos y evitar situaciones

críticas. Por ejemplo, los actuadores tienen restricciones de límite y velocidad,

existen restricciones ambientales en los procesos, válvulas, seguridad, etc.

Además, los puntos de operación del proceso están determinados por objetivos

económicos, que usualmente llevan al proceso a operar cerca de las restricciones.

En especial, los sistemas de control predictivo se anticipan a estas restricciones

y corrigen las acciones de control.

43



2.8.1. Tipos de restricciones

Restricciones de rango en las variables manipuladas

min máx( ) , , uu u t i u i N 11

En general, se pueden saturar las variables manipuladas pero la solución

obtenida no es óptima con respecto a la función objetivo predictiva. No

considerar restricciones en las variables manipuladas, puede provocar que

alcance valores muy elevados en la función objetivo, en el peor de los casos.

Violar los límites de las variables manipuladas puede ser muy costoso y

peligroso, ya que puede cause daño a los equipos y pérdidas de producción.

En forma matricial, la restricción de rango en las variables manipuladas está

dada por:

u

u t

u tu u

u t N

min max

( )

( )

( )

1 1

1 1 1

1 1 1

min maxu u u 1 1

Esta misma restricción en función de ( )u t , se puede expresar como:

u u t u u u tmin max( ) ( )

1 1 0 0 1

1 1 1 11 1

1 1 1 1 1

u u t T u u u tmin max( ) ( ) 1 11 1

Con Tuu u t u t u t N( ), ( ), , ( ) 1 1

Restricciones de variación de las variables manipuladas

Los actuadores generalmente no responden con una rapidez adecuada, por lo

cual es usual que se establezcan restricciones sobre las variaciones de las

variables manipuladas.

uu u t i Nu imin máx) , ,( 11

44



Matricialmente, se tiene

u u umin máx

1 1 0 0 1

1 0 1 1

0

1 0 0 1 1

u u umin máx 1 I 1

Restricciones de rango en las variables controladas

En muchos procesos productivos, por problemas de seguridad o costos, se debe

limitar las variables controladas a rangos de operación establecidos.

y y t j t j Nymin máxˆ( ) , , 21∣

Utilizando el predictor del GPC, se tiene:

y G u f

Con ( ), ( ), , ( )T

uu u t u t u t N 1 1 e 21ˆ ˆ ˆ( ) ( )T

y y , , N tytt t ∣ ∣ y

f agrupa los términos conocidos hasta t.

Matricialmente, las restricciones de rango en las variables controladas están

dadas por:

min máxy G u f y 1 1

fmin máxy G u y f 1 1

45



Restricciones de variación en las variables controladas

y y t j yt j Nmin máxˆ( ) , , 21∣

Matricialmente, expresando estas restricciones en función de u , se tiene:

y t y t y t

y

y t N y t N y t N

y t

y y t

y t N

y

t t t

t

y

y

t

tt

t

t

N

t

t

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

ˆ

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )

( )

ˆ ( )

( )

( )

ˆ

( )

2 2 2

2

2

1 1

1

1 11

1 1 0

0 0

1 0

1

∣ ∣ ∣

t∣ ∣ ∣

∣

∣

∣

∣

D y t( )

01

y G u f

y G u f y(t)

0D D 1

Entonces,

y f y t G u y f y tmin máx ( ) ( )0 0D 1 D - D 1

Restricciones para asegurar el comportamiento monotónico

Algunos sistemas de control presentan oscilaciones en las variables controladas

antes de alcanzar una condición de régimen. En general, estas oscilaciones no

son deseables, pues entre otras razones pueden dar origen a perturbaciones sobre

otros procesos.

Para evitar el comportamiento monotónico y en caso que y( t ) w( t ) , se tiene:

y t j y t j y t w t

y t j y t j y t w

t

t

t

t t

ˆ ˆ( ) ( ), ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( ), ( ) ( )

1

1

∣ ∣

∣ ∣

46



Matricialmente, se tiene:

y tG u f u y t w t

G f

y tG u f u y t w t

G f

( ), ( ) ( )

' '

( ), ( ) ( )

' '

0

0

con G' se compone de las primeras 1N filas de G y f ' se compone de las

primeras 1N componentes de f .

Restricciones para evitar comportamiento de fase no mínima

Existen procesos que presentan un comportamiento de fase no mínima, es

decir, cuando son excitados responden inicialmente en sentido inverso a como lo

hacen finalmente.

Para evitar este comportamiento, que en ciertos procesos es muy

perjudicial, se incorporan las siguientes restricciones cuando ( ) ( )y t w t .

y t j y t y t w t

y t j y t y t w t

t

t

( ) ( ), ( ) ( )

( ) ( ), ( ) ( )

∣

∣

Matricialmente,

G u f y t y t w t

G u f y t y t w t

( ), ( ) ( )

( ), ( ) ( )

1

1

2.8.2. Consideraciones: Control predictivo con restricciones

1. Si no existen restricciones o si éstas no se consideran, la minimización de la

función objetivo genera una solución analítica.

2. Si se consideran restricciones, la solución, en general, se obtiene utilizando

un algoritmo numérico de optimización con restricciones. Para esta clase de

problemas, en que la función objetivo es cuadrática, se cumple:

Para que exista solución al problema sin restricciones, la función

objetivo debe ser convexa.

Para que exista solución al problema de optimización con

restricciones, debe haber al menos un valor para el cual las variables

de optimización cumplan todas las restricciones impuestas.

Para asegurar la existencia de una solución única, el espacio de

restricciones debe ser convexo.

47



2.9. Algoritmo de Programación Cuadrática

La implementación de GPC con restricciones requiere la solución de un

problema de programación cuadrática.

T TJ G f

A u

r G r u

b

f u

min

s.a.

Donde A y b se explicaron anteriormente.

Programación cuadrática (QP): Función objetivo cuadrática y

restricciones lineales.

Restricciones de igualdad

T TJ u H u b u

A u

f

a

0

1min

2

s.a.

con A matriz de m n . Si A u a , entonces:

u Ya Zv

donde Y , Z son matrices de n m y ( )n n m respectivamente tales que

0AY I AZ ,

Entonces, la función objetivo queda expresada como:

T T

T T T T T T T T

J v Ya Zv H Ya Zv b Ya Zv f

J v v Z H Zv b a Y Zv b a Y H Ya f

( )

( )

0

0

1

2

1 1

2 2

Entonces, el óptimo global se encuentra resolviendo:

T TZ HZv Z b HYa

Nótese que ku es un punto que satisface la restricción kA u a . Cualquier

otro punto u que satisface la restricción se puede expresar como:

k

k k

u u Zv

A u A u AZv A u

Entonces, el vector v se puede expresar como la solución de:

( )T T kZ HZv Z g u

48



con ( )k kg u H u b , que es el gradiente de ( )J u en ku . Obtenido v, se

encuentra *u Ya Zv

49



2.10. Problemas Resueltos

Problema 2.1

Considerar el siguiente modelo ARIMAX

( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ( )y t y t y t u t u t w t 1 7 1 0 7 2 0 9 1 0 6 2

donde ( )w t es ruido blanco. Calcular las predicciones ˆ ˆ ˆ( ), ( ), ( )y t y t y t 1 2 3

Solución

Se debe notar que para el modelo quede como un ARIMAX, se le debe restar a

( )y t 1 toda la ecuación, es decir,

1 7 1 0 7 2 0 9 1 0 6 2 1

1 1 7 1 1 0 7 2 0 9 1 0 6 2

0 7 1 0 7 2 0 9 1 0 6 2

( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ( ) / ( )

( ) ( ) . ( ) ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ( )

( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) ( )

y t y t y t u t u t w t y t

y t y t y t y t y t u t u t w t

y t y t y t u t u t w t

En efecto, para formar el modelo ARIMAX, se hace lo siguiente:

y t y t u t u t w t

w ty t y t u t u t

( ) . ( ) . ( ) . ( ) ( ) /

( )( ) . ( ) ( ) )

·

. . (

1

0 7 1 0 9 1 0 6 2

0 7 1 0 9 1 0 6 2

Donde se concluye que:

A z z B z z( ) . , ( ) . . 1 11 11 0 7 0 9 0 6 y d 1

En primer lugar, se calcularan las salidas predichas por sustitución.

y t y t y t u tt u t( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( ) 1 1 7 0 7 1 0 9 0 6 1∣

y t y t y t u t u t

y t y t u t u t u t

t t

ˆ ˆ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ( )

.19 ( ) . ( ) . ( ) . ( ) . ) (

2 1 7 1 0 7 0 9 1 0 6

2 1 19 1 0 9 1 0 93 1 02 1

∣ ∣

y t y t y t u t u t

y

t t t

t y t u t u t

u t u t

ˆ ˆ ˆ( . ( ) . ( ) . ( ) . ( )

. ( ) . ( ) . ( ) . ( )

. ( ) . ( )

)

3 1 7 2 0 7 1 0 9 2 0 6 1

2 533 1 533 1 0 9 2 0 93 1

0 951 1 314 1

∣ ∣ ∣

50



Por otra parte, utilizando la ecuación diofántica también se pueden predecir las

salidas. Para j 1 , se tiene

E A z F 1

1 11

donde 1 y E F f f z 1

1 10 111 . Entonces igualando polinomios

. z z z f f z 1 1 1 1

10 111 1 1 0 7 1

Se obtiene que: 1 y E F . . z 1

1 1 1 7 0 7

Similarmente, se obtiene

y

y

E . z F . . z

E . z . z F . . z

1 1

2 2

1 2 1

3 3

1 1 7 2 19 1 19

1 1 7 2 19 2 533 1 533

Se debe mencionar que el polinomio jE repite sus coeficientes, agregando uno

nuevo en cada predicción.

Entonces,

G E B . . z

G E B . . z . z

G E B . . z . z . z

1

1 1

1 2

2 2

1 2 3

3 3

0 9 0 6

0 9 0 93 1 02

0 9 0 93 0 951 1 314

Así, como la predicción está dada por ( ) ( ) ( )j jy t j G u t yt j F t 1∣ , se

tiene que:

( ) . . ( ) ( . . ) ( )

( ) . . . ( ) ( . . ) ( )

( ( . .) ( ) ( .. ) .. ) ( )

y t z u t z y t

y t z z

t

t

t u t

u t z y t

y t z z yz z t

1 1

1 2 1

1 2 3 1

1 0 9 0 6 1 7 0 7

2 0 9 0 93 1 02 1 2 19

2 2 533

1 19

3 0 9 1 5330 93 0 951 1 314

∣

∣

∣

Además, en forma vectorial, la predicción está dada por:

51



( ) . ( )

( ) . . ( )

( ) . . . ( )

ˆ

. ( ) . ( ) . ( )

. ( ) . ( ) . ( )

. ( ) .

y t u t

y t u t

y t u t

uGy

y t y t u t

y

t

t y t u t

y t

t

t

1 0 9 0 0

2 0 93 0 9 0 1

3 0 951 0 93 0 9 2

1 7 0 7 1 0 6 1

2 19 1 19 1 1 02 1

2 533 1 5

∣

∣

∣

( ) . ( )y t u t

f

33 1 1 314 1

Problema 2.3

Considera un calentador de agua donde el agua fría es calentada por medio de

un quemador de gas (ver figura 2.6).

La temperatura del agua que sale depende de la energía agregada al agua, es

decir, cuanto gas se quema. Para controlar la temperatura existe una válvula, la

cual manipula el gas que fluye al calentador. Se quiere diseñar un controlador

por DMC, para regular la temperatura del agua que sale en el calentador de

agua.

La función de transferencia discreta (con tiempo de muestreo T=1[s]) que

relaciona la válvula con la salida del sistema está dada por:

3

1

0 2713

1 0 8351

zG z

z

.

( ).

Solución

Dado que es un diseño de DMC, se calcula la respuesta al escalón del sistema

como se muestra en la figura 2.7, mediante el código en matlab:

num=[0 0 0 0.2713]; den=[1 -0.8351 0 0]; sys=tf(num,den, 1, 'Variable','z^-1') step(sys) xlabel('muestras')

Figura 2.6: Calentador de agua.

Agua fría Agua caliente

52



Figura 2.7: Respuesta al escalón del sistema.

Es fácil ver en la figura 2.7, que la salida del sistema se estabiliza después de los

30 periodos, así que el modelo de la respuesta al escalón está dado por:

30

1

i

i

y t g u t i

( ) ( )

Los coeficientes ig se muestran a continuación:

1g : 0 2g : 0 3g : 0.271 4g : 0.498

5g : 0.687 6g : 0.84

7g : 0.977 8g : 1.087 9g : 1.179 10g : 1.256 11g : 1.32 12g : 1.74

13g : 1.42 14g : 1.45615g : 1.487 16g : 1.513 17g : 1.535 18g : 1.553

19g : 1.565 20g : 1.581 21g : 1.59 22g : 1.6 23g : 1.608 24g : 1.614

25g : 1.619 26g : 1.623 27g : 1.627 28g : 1.63 29g : 1.633 30g : 1.635

Cabe notar que los coeficientes son obtenidos de la respuesta grafica del sistema.

Otra forma de obtener los coeficientes es mediante los coeficientes de la función

de transferencia dada por la expresión: 1

1 0

00j j

ii

ii

j i j ka gg g b k

, ,

Donde los coeficientes ,ii

a b son los coeficientes del denominador y numerador

respectivamente (comenzando en 0i ).

En este ejemplo los primeros dos coeficientes de la respuesta al escalón son cero,

eso se debe a que el sistema tiene dos periodos de muestreo que corresponden al

retardo del sistema.

Considerando un horizonte de predicción de 10 y un horizonte de control de 5,

la matriz dinámica viene dada por:

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0

0.5

1

1.5

Muestras

53



0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 271 0 0 0 0

0 498 0 271 0 0 0

0 678 0 498 0 271 0 0

0 84 0 678 0 498 0 271 0

0 977 0 84 0 678 0 498 0 271

1 087 0 977 0 84 0 678 0 498

1 179 1 087 0 977 0 84 0 678

1 256 1 179 1 087 0 977 0 84

G

.

. .

. . .

. . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Considerando 1l , la matriz

1T TG G I G

es calculada y la ley de control

está dada por la primera fila de esta matriz (K) multiplicada por la diferencia

entre la trayectoria y la respuesta libre.

( ) ( )u t K w f

0 0 0 1465 0 1836 0 164 0 1224 0 078 0 041 0 01 0 0157. . . . . . . .K

% Código Utilizado para el cálculo de parámetros a1=den(2); a2=den(3); a3=den(4); b1=num(2); b2=num(3); b3=num(4); % Horizontes de control N2 =10; % Cálculo de g_i g(1) = b1; g(2) = - a1*b1 + b1 + b2; g(3) = - a1*g(2) - a2*g(1) + b1 + b2 + b3; for k=4:N2 g(k) = - a1*g(k-1) - a2*g(k-2) - a3*g(k-2) + b1 + b2 + b3; end % Matriz Dinámica G=[g(1) 0 0 0 0 g(2) g(1) 0 0 0 g(3) g(2) g(1) 0 0 g(4) g(3) g(2) g(1) 0 g(5) g(4) g(3) g(2) g(1) g(6) g(5) g(4) g(3) g(2) g(7) g(6) g(5) g(4) g(3) g(8) g(7) g(6) g(5) g(4) g(9) g(8) g(7) g(6) g(5) g(10) g(9) g(8) g(7) g(6)];

54



Problema 2.3

Considere un proceso descrito por:

( ) ( ) ( ) ( )y t ay t bu t e t 1 1

Con ( )e t ruido blanco de varianza unitaria.

a) Encontrar el controlador de varianza mínima con control de energía.

b) Resolver el problema de a) considerando que la variable manipulada esta

en un rango entre 0 y 1 y el límite máximo de la variable controlada es 2

(suponer 0, ,a b y referencia positiva).

c) Resolver el problema dado por:

( ) , ,

ˆ( ( ) )

..

( )

.

)

,

j

J y t j r u t j

u t i i

0

1

2 21

0 1 1 1

min 1

s.a. 0 1

Solución

a) Propuesto, el controlador viene dado por 2

b a y t ru t

b

* ( ( ) )( )

b) Se debe resolver el problema dado por:

ˆ( ( ) ) ( )

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

J y t r u t

y t ay t bu t

u t

y t

2 2

min 1

s.a. 1

0 1

2

Aplicando las condiciones de KKT, dado que J es convexa, se tiene que el

problema queda dado por:

( ( ) ( ) ) ( )

( )

( )

(

)

J ay t bu t r u t

u t

u t

y t

2 2min

s.a. 0

1 0

2 0

Resolviendo para u , la función a considerar:

2 2

1 2 31 2ay t bu t t u t ur u t y t ( ) (( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ) ( ( ) ))

Resolviendo el Lagrangeano y aplicando las condiciones de complementariedad y

no negatividad:

55



1

3 3

1

2 2

2

1

2 2

0

1 0

0

02 0

0

ay t bu t r bu t

u t

u t

y t

u t

( ( ) ( ) )( )

( ( )) ,

( ( ) ) ,

( ( ) ) ,

( )

Si 1 2 3

0 , se tiene que el control no está limitado por

restricciones, por lo cual esta solución no tiene sentido analizarla.

Si 1 2 3

0 0 , se tiene que 0u t ( ) y 1u t ( ) , contradicción;

análogo al caso 1 2 3

0

Si 1 2 3

0 0 , se tiene que el controlador 1u t ( ) e 2y t ( ) , por

lo tanto se tiene que:

1 2

2 2

2

2

2 2 0

2 2 2 0

2 2 2 0

2

0

2

ay t bu t r b

a b r b

a b r b

ab

u t

b

a b b

b

b

r

r

( ( ) ( )

(

))

) ,

(

(

)

Lo anterior es equivalente

2

21

( )

( )

u t

b a r

b

Por lo tanto cumple con la restricción, posible solución del problema y el

controlador viene dado por 1u t *( ) .

Si 2 1 3

0 0 , se tiene que el controlador 0u t ( ) e 2y t ( ) ,

por lo tanto se tiene que:

1 2

1 1

1

2 2 0

2 2 0

2

0

0

2 2 0

2

ay t bu t r b

a r b

t

a r

a r

u

( ( ) ( ) )

( ) ,

)

( )

( )

(

Resolviendo la primera ecuación,

2 2

20

b a y t r b a ru t

b b

* ( ( ) ) ( )( )

56



Por lo tanto el optimo viene dado por 0u t *( ) (ya que 0b , )

Analizar los demás casos y comprobar que el mínimo de la función objetivo

viene dado para 0u t *( ) e 2*( )y t .

c) Las variables de optimización vienen dadas por

1 1 10u t j jy t j ( ) ,ˆ ) ...,( ,

Aplicando el método de programación cuadrática:

min

s.a.

T T TJ x Hx p x f f

Ax b

Donde

1

10

9

y t

y tx

u t

u t

( )

( )

( )

( )

,

1

1H

,

2

2

0

0

r

rp

, 0

0

r

rf

Si suponemos Ax b x x x inf sup

Para calcular las predicciones, se hace mediante recursividad:

1

10 9 9

y t ay t bu t

y t ay t bu t

( ) ( ) ( )

ˆ ˆ( ) ( ) ( )

1

1

1

b

aA

a b

,

0

0

0

0

ay t

b

( )

, 0

0

x

inf,

1

1

x

sup

Los valores de x son infinitos, ya que no hay restricción sobre y.

Propuesto, resolver el problema en algún programa computacional para algún

valor de a y b.

57



Anexos

En esta sección se agregaran contenidos ya visto en otros ramos de control.

Linealización

Considerar el sistema no lineal representado por la ecuación:

( ) ( ( ), ( )), , nx t f x t u t x u

La linealización del sistema puede realizarse mediante una expansión en serie de

Taylor en torno a un punto de operación. Sean los puntos de operación 0 0( , )x u ,

realizando la expansión:

0 0 0 0

0 0 0

1 1

0

, ,

( ) ( ( ), ( )) ( ) ( )i ii j j j j

j jx x

n n

i

j ju u

f fx t f x t u t x x u u

x u

Para 1 2, , ...i n

Tomando

0

0

i i i

i i i

x x

u

x

u u

Entonces 0i i ix x x

Donde 0 0 0( ) ( ( ), ( ))i ix t f x t u t , entonces la ecuación puede ser escrita:

0 0 0 01 1

, ,

( ) ( ) ( )i ii j j

j jx x

n n

j ju u

f fx t x u

x u

Matricialmente

x A x B u

Con

58



1 1

2

2

1

1

1

1

n n

n

n

f f f

x x x

f

xA

f f

x x

,

1 1

2

2

1

1

1

1

n n

n

n

f f f

u u u

f

uB

f f

u u

Controlabilidad y observabilidad

Una planta es controlable si en cada instante dado, es posible controlar cada

estado de modo que un resultado deseado se puede alcanzar.

Sea un sistema lineal, con parámetros invariantes en el tiempo:

( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t

Es completamente controlable ssi la matriz de controlabidad n nm :

1nB AB BA

Tiene rango completo (n ), donde A es n n de y B es de n m .

Una planta es observable si los estados pueden ser determinados de las

mediciones de la salida.

Sea un sistema lineal, con parámetros invariantes en el tiempo:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

x t Ax t Bu t

y t Cx t

Es completamente observable ssi la matriz de observabilidad nr n :

1T

nC CA CA

Tiene rango completo (n ), donde A es n n de y C es de n r .

Apunte Control Avanzado Unidad 1 Fundamentos de Control Optimo 21-03-13

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