Aplicaciones La Transformada De Laplace
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¿Qué es un sistema de control ?› En nuestra vida diaria existen numerosos
objetivos que necesitan cumplirse. En el ámbito doméstico
› Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios
En transportación› Controlar que un auto o avión se muevan de un
lugar a otro en forma segura y exacta En la industria
› Controlar un sinnúmero de variables en los procesos de manufactura
En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.
Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:› tales como control de calidad de los productos
manufacturados, líneas de ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros
Satélites
El campo de aplicación de los sistemas de control es muy amplia.
Y una herramienta que se utiliza en el diseño de control clásico es precisamente:
La transformada de Laplace
En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.
Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.
El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:
La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.
De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.
Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.
MODELACIÓN MATEMÁTICASuspensión de un automóvil
2
2 )()()()(
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
maF
f(t)
z(t)
kb
m
Fuerza de entrada
Desplazamiento, salida del
sistema
Suspensión de un automóvil
kbsmssF
sZ
kbsmssZsF
sZmssbsZskZsF
dt
tzdm
dt
tdzbtkztf
2
2
2
2
2
1
)(
)(
)()(
)()()()(
cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera
términocada a Laplace de ada transformla Aplicando
)()()()(
Función de transferencia
MODELACIÓN MATEMÁTICACircuito eléctrico
)()(1
)(1
)()(
)(
tedttiC
dttiC
tRidt
tdiLte
o
i
Circuito eléctrico
1
1
)(
)(
1)()(E
)(1
)()()(E
I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando
)()(1
)(1
)()()(E
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(1
)(1
)()(
)(
2
2i
i
i
RCsLCssE
sE
RCsLCssEs
sCsECs
sCsERsCsELss
sEsICs
sICs
sRIsLsIs
tedttiC
dttiC
tRidt
tdiLte
i
o
o
ooo
o
oi
Función de transferencia
Representa el comportamiento dinámico del proceso
Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada
Diagrama de bloques
forzanteFunción
proceso del Respuesta
)(
)(
proceso del entrada laen Cambio
proceso del salida laen Cambio
)(
)(
sX
sY
sX
sY
Proceso Entrada del
proceso
(función forzante o
estímulo)
Salida del proceso
(respuesta al
estímulo)
Diagrama de bloques Suspensión de un automóvil
kbsms 2
1
Entrada
(Bache)
Salida
(Desplazamiento del coche)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3x 10
-3
Diagrama de bloques Circuito eléctrico
1
12 RCsLCs
Ei(s)
(Voltaje de entrada)
Eo(s)
(Voltaje de salida)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x 104
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL(Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)
TEOREMA DE VALOR FINAL(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)
TEOREMA DE VALOR INICIAL(Nos indica las condiciones iniciales)
Transformada Inversa De Laplace
s
b
s
b
s
a
s
a
sssssT
ssssss
x
sssT
ss
K
ss
KsT
ssW
ssTsW
s
KsT
s
KsT
s
s
s
vvs
2121
42
2
1
1
2
2
1
1
583772.0583772.0583772.0
213928.2
583772.0
458658.4)(
parciales fraccionesen Expansión
1712995.1
792464.3
1712995.1
63766.725.5007
1712995.1
10573947.720
1712995.1
381883.0)(
25.5007
1
20
1)(
25.5007)(
20)()(
1)(
1)(
TsseetT
emperaturTsseetT
sssssT
sssb
sssb
sssa
sssa
tts
tts
s
s
s
s
s
583772.0583772.0
583772.0583772.0
02
583772.01
02
583772.01
1792453.31637670.7)(
salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(
792453.3
583772.0
792453.3637670.7
583772.0
637670.7)(
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2
792453.3583772.0
213928.2
583772.0
213928.2583772.0
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4
6376.7583772.0
458658.4
583772.0
458658.4583772.0
Transformada Inversa De Laplace
Temperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin control)
Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control)
1713.1
3819.0
s
Tv(s)
(Aumento de la temperatura de vapor a
la entrada )
Ts(s)
(Aumento en la temperatura de agua a la salida)
11
1
sK
Controlador+
-
Valor desead
oAcción
de control
Variable controlad
a
ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID
Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido
sssE
sM
ssEsEssE
sM
ssEsEs
dt
tdedtteteKctm
di
di
di
di
11Kc
)(
)(
)()(1
E(s)Kc)(
)(
)()(1
E(s)KcM(s)
Laplace de ada transformla Aplicando
)()(
1)()(
El sistema de control automático
Temperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con control)
(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)
1713.1
3819.0
s
+
-
Valor desead
oAcción
de control
Variable controlad
a
sKc dsi
11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
X: 0.683Y: 4.91
-1 0 1 2 3 4 50
1
2
3
4
5
6
