Aplicación de la Transformada de Laplace

Deflexión en Vigas

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Introducción

> Las aplicaciones de la transformada de Laplace son muy amplias, por lo que a continuación se pretende dar a conocer una aplicación para resolver problemas de deflexión en vigas, ya que la mayoría de los problemas para encontrar deflexiones en vigas se basan en las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión y sus relaciones asociadas, por tal motivo, estos problemas pueden ser resueltos mediante la adecuada aplicación de los diferentes teoremas y definiciones de la transformada de Laplace.

Transformada de Laplace aplicada en la Deflexión en Vigas

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Objetivos

> Objetivo General:  Aplicar los diferentes teoremas y

definiciones de la transformada de Laplace para resolver problemas de deflexiones en vigas simplemente apoyadas.

> Objetivos Específicos:  Encontrar la ecuación de deflexión para

una viga simplemente apoyada.  Calcular la deflexión máxima alcanzada

por una viga simplemente apoyada.

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Aplicación

> Viga simplemente apoyada con una carga distribuida aplicada

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Calculo de reacciones en los apoyos

> Aplicando las ecuaciones de equilibrio correspondientes tenemos:

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Modelado de la ecuación de momento:> Realizando un corte antes del apoyo B

y haciendo sumatoria de momentos respecto al corte, tenemos:

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Determinación de la Ecuación de Deflexión:

> Ecuación diferencial básica de una viga:

> Ecuación de momento de una viga simplemente apoyada:

> Condiciones iniciales: Tomado en cuenta que la deflexión en los apoyos es cero, tenemos:

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> Haciendo uso de la ecuación diferencial para la deflexión de una viga y sustituyendo el modelo de la ecuación para el momento:

> Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación:

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> Sustituyendo y’(0)=C y y(0)=0:

> Despejando :

> Aplicando la transformada inversa de Laplace:

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> Aplicando y(L)=0 :

> Despejando C :

> Sustituyendo C en y(x) :

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Ecuación de deflexión

> Simplificando la ecuación anterior obtenemos la ecuación de deflexión para una viga simplemente apoyada con una carga uniforme aplicada.

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Ecuación de deflexión máxima> La deflexión máxima en una viga con

una carga uniformemente distribuida, se da en el centro de la luz libre entre apoyos, por lo que la ecuación para la deflexión máxima se obtiene sustituyendo x=L/2 en la ecuación para la deflexión, así:

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Datos experimentales

> Sección Transversal: 7.5 cm * 7.5 cm> Inercia: 2.64 * 10-6 m4

> Longitud (L): 4 m> Carga uniforme (q): 0.5 kgf/m (4.91 N/m)> Carga puntual equivalente (Q): 2 kgf> Modulo de elasticidad: 5000 kgf/cm2 (4.905

*108 N/m2)(madera de pino – perpendicular a las fibras)

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Calculo de la deflexión máxima> Sustituyendo los datos

experimentales, obtenemos:

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Modelo experimental

>Escala 1:10  Sección Transversal: 7.5 mm * 7.5 mm

  Longitud: 40 cm

  Carga puntual equivalente: 200 gr

  Deflexión máxima: 1.26 mm (cálculos) - 1.00 mm (modelo)

  Error: 0.26 mm

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Aplicaciones reales

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