APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria

5/28/2018 APLICACI N DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria

APLICACIONES REALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Control de Procesos

Qu es un sistema de control ? En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitancumplirse.

En el mbito domstico Controlar la temperatura y humedad de casas y edificios

En transportacin Controlar que un auto o avin se muevan de un lugar a otro en forma

segura y exacta En la industria

Controlar un sinnmero de variables en los procesos de manufactura En aos recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez ms

importante en el desarrollo y avance de la civilizacin moderna y la tecnologa.

Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores dela industria: tales como control de calidad de los productos manufacturados, lneas de

ensa,ble automtico, control de mquinas-herramienta, tecnologaespacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas detransporte, sistemas de potencia, robtica y muchos otros

Ejemplos de procesos automatizados

Un moderno avin comercial


Satlites

Por que es necesario controlar un proceso ?

Incremento de la productividad Alto costo de mano de obra Seguridad Alto costo de materiales Mejorar la calidad

Reduccin de tiempo de manufactura Reduccin de inventario en proceso Certificacin (mercados internacionales) Proteccin del medio ambiente (desarrollo sustentable)

Control de Procesos

El campo de aplicacin de los sistemas de control es muy amplia. Y una herramienta que se utiliza en el diseo de control clsico es precisamente:

La transformada de Laplace

De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferencialeslineales mediante la transformacin en ecuaciones algebraicas con lo cual sefacilita su estudio.

Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinmicos, sepuede proceder a disear y analizar los sistemas de control de manera simple.

El proceso de diseo del sistema de control

Para poder disear un sistema de control automtico, se requiere Conocer el proceso que se desea controlar, es decir, conocer la ecuacin

diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes fsicas,qumicas y/o elctricas.


A esta ecuacin diferencial se le llama modelo del proceso. Una vez que se tiene el modelo, se puede disear el controlador.

Conociendo el proceso

MODELACIN MATEMTICASuspensin de un automvil

El rol de la transformada de Laplace

Suspensin de un automvil

2

2 )()()()(

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

maF

kbsmssF

sZ

kbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dt

tzdm

dt

tdzbtkztf

2

2

2

2

2

1

)(

)(

)()(

)()()()(

cero)aigualinicialesscondicionendo(considera

trminocadaaLaplacedeadatransformlaAplicando

)()()()(


Diagrama de bloques

Suspensin de un automvil

MODELACIN MATEMTICANivel en un tanque

Nivel en un tanque

dt

tdhAth

Rtq

tq

thR

dt

tdh

Atqtq

i

o

oi

)()(

1)(

)(

)(

)(

)()(

11

1

)(

)(

)1

)(()(

)()(1

)(

LaplacedeadatransformlaAplicando

)()(

1)(

ARs

R

RAs

sQ

sH

RAssHsQi

sAsHsH

R

sQi

dt

tdhAth

Rtq

i

i


Diagrama de bloques

Nivel en un tanque

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, esteintercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80F a 185F por dentro de tubosmediante un vapor saturado a 150 psia.

En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, producindoseuna perturbacin en el intercambiador.

a) Obtenga la funcin de transferencia del cambio de la temperatura de salida delagua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en elflujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua alintercambiador se mantiene constante en 80F.

b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambiotipo escaln de +20F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/minen el flujo de agua.

c) Grafique la variacin de la temperatura de salida del agua con respecto altiempo.

Ecuacin diferencial que modela el intercambiador de calor


Ecuacin diferencial

Donde:

Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al dimetro exterior (BTU/h F ft2) ATC0: rea de transferencia de calor referida al dimetro exterior (ft2) Cp : Capacidad calorfica (BTU/lb F) tv : Temperatura del vapor (F) te : Temperatura del agua a la entrada (F) ts : Temperatura del agua a la salida (F) (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (F) tref : Temperatura de referencia (F) w : Flujo de agua (lb/h) m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb) : Valores en condiciones estables Tv , Ts , W Variables de desviacin

Linealizando

..1

..2

Evaluando en condiciones iniciales estables

..3

Restando (2) de (3)

twtstv ,,


Utilizando variables de desviacin

Aplicando la transformada con Laplace

Simplificando

Datos fsicos Largo del intercambiador = 9 ft Dimetro de coraza = 17 Flujo = 224 gal/min Temperatura de entrada =80F Temperatura de salida = 185F Presin de vapor =150psia. Nmero de tubos= 112 Dimetro exterior de tubo = de dimetro y BWG 16, disposicin

cuadrada a 90, con un claro entre tubos de 0.63. Conductividad trmica de los tubos = 26 BTU/hftF, Factor de obstruccin interno = 0.0012 hft2F/BTU; externo = 0.001

hft2F/BTU Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2F

Calculando las constantes


Funcin de transferencia

Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipoescaln de +20F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo deagua.


Respuesta del proceso

Transformada inversa de Laplace

sb

s

b

s

a

s

a

sssssT

ssssss

x

sssT

ss

K

ss

KsT

ssW

ssTsW

s

KsT

s

KsT

s

s

s

vvs

2121

4

2

2

1

1

2

2

1

1

583772.0583772.0583772.0

213928.2

583772.0

458658.4)(

parcialesfraccionesenExpansin

1712995.1

792464.3

1712995.1

63766.725.5007

1712995.1

10573947.720

1712995.1

381883.0

)(

25.5007

1

20

1)(

25.5007)(

20)()(

1)(

1)(

TsseetTemperaturTsseetT

sssssT

sssb

sssb

sssa

sssa

tt

s

tts

s

s

s

s

s

583772.0583772.0

583772.0583772.0

0

2

583772.0

1

0

2

583772.0

1

1792453.31637670.7)(

salida)deinicialat(Tss792453.3792453.3637670.7637670.7)(

792453.3

583772.0

792453.3637670.7

583772.0

637670.7)(

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2

792453.3583772.0

213928.2

583772.0

213928.2583772.0

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4

6376.7583772.0

458658.4

583772.0

458658.4583772.0


APLICACIN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A LOS CIRCUITOS ELCTRICOS

Nuestro objetivo fundamental es tomar sta teora y aplicarla en la resolucin deproblemas de ingenieria y mas especficamente en el anlisis de circuitos elctricos.

Por tal motivo, en esta seccin se presentarn ejemplos que sean claros y losuficientemente generalizables, para que el estudiante pueda mas tarde llevar acabo problemas similares con algn grado de dificultad superior.

El primer paso ser aprenderla transformadaque est asociada a cada uno de losparmetros componente de un circuito elctrico basico:

EL PARMETRO RESISTIVO

EL PARMETRO INDUCTIVO

EL PARMETRO CAPACITIVO

FUENTES

EL PARAMETRO RESISTIVO

La transformada de Laplace en un circuito meramente resistivo, no tiene efectosino en las funciones de voltaje y corriente:

cuya transformada es:

Este resultado se puede observar en la figura:

EL PARAMETRO INDUCTIVO

Observe la figura, y detalle que para una inductancia L en Henrys, que posee unacorriente inicial de i(0+)A en la direccin de la corriente i(t), se transforma en eldominio de s como una impedancia sL en ohmios, en serie con una fuente devoltaje cuyo valor en s es Li(t)y que va en la direccin de la corriente I(s).
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded1.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded1.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded2.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded2.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded4.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded4.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded4.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded3.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded2.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded1.htm


La ecuacin que describe el comportamiento del inductor en el dominiodel tiempo es:

cuya respectiva transformada es:

EL PARAMETRO CAPACITIVO

La figura que se observa en esta seccin muestra una capacitancia de C faradiosen el dominio del tiempo; en el dominio de s, sta se transforma en unaimpedancia y una fuente de voltaje en serie oponindose a la corriente i(t), cuyoscuyos se observan tambin en dicha figura:

En el dominio del tiempo se tiene:

transformamos esta ecuacin, y obtenemos:


FUENTES

En cuanto a fuentes, la transformada depende de la funcin que caracterice a dichafuente. Otra herramienta que debemos aprender, es el intercambio de fuentes:

En la primera figura, se cumple:

despejamos I(s):

Resultado que nos conduce a la segunda figura. Estastransformaciones son bidireccionales, es decir, si tenemos una fuente de corrienteen paralelo con una impedancia se convertirn en una fuente de voltaje en seriecon la impedancia, y viceversa.

Como segunda instancia, se aprendern a resolver circuitos que contengan losanteriores parmetros, e involucren corrientes, voltajes y condiciones iniciales:


CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC

CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC

CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES

CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES

CIRCUITO RL SERIE CON FUENTE DC

Considere el circuito de la figura:

La ecuacin diferencial que resulta de hacer LVK, es:

sometiendo esta ecuacin a la transformada de Laplace, obtenemos:

De esta ecuacin despejamos I(s):
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded5.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded5.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded6.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded6.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded7.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded7.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded8.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded7.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded6.htmhttp://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ingenieria/2001603/lecciones/cap10/cap10lec6/cap10lec6ded5.htm


Ahora, cambiamos la forma del denominador para realizar un procedimiento defracciones parciales:

hallamos el coeficienteA, igualando s a cero:

hallamos el coeficiente B, igualando s a , y reemplazamos los valores:

finalmente, aplicamos transformada inversa de Laplace, para que la respuesta est

en el dominio del tiempo:


CIRCUITO RC SERIE CON FUENTE DC

Observe la siguiente figura:

La ecuacin integral que resulta de hacer LVK, es:

aplicando transformada de Laplace:

despejamos I(s):

Si observamos detenidamente esta ltima ecuacin, nos damos cuenta quepodemos aplicar directamente la transformada inversa de Laplace:


Este resultado generaliza la respuesta en el dominio del tiempo para este tipo decircuitos.

CIRCUITO RLC SERIE CON CONDICIONES INICIALES

Considere el circuito de la figura, donde la corriente inicial del inductores amperes, y el voltaje inicial en el condensadores es voltios, con lapolaridad indicada:

Si aplicamos LVK, obtenemos la ecuacin integro-diferencial:

le aplicamos transformada de Laplace, y se obtiene:

arreglamos esta ecuacin, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:


El primer factor de esta ecuacin corresponde a la funcin del sistema, mientrasque el segundo factor corresponde a la funcin de excitacin. De acuerdo a loanterior, el primer factor puede ser expresado de la siguiente forma:

en Siemens.

Y dada la relacin entre admitancia e impedancia:

podemos deducir que:

ahora, dejamos todo en una sola fraccin:

Si detallamos la ltima ecuacin escrita, y la relacionamos con la ecuacin dondeest despejada I(s), veremos que los ceros de Z(s) son los que en ltimasdeterminan el comportamiento del circuito. Lo anterior, escrito en una ecuacinsera:

Despus de tener en cuenta todas estas consideraciones, lo nico que resta es

encontrar la respuesta en el dominio del tiempo; sin embargo, no se puedegeneralizar una respuesta debido a que dependiendo de las funciones de excitacin


y de las condiciones iniciales, la respuesta en el tiempo cambia. Lo que haremosentonces es plantear la ecuacin de transformada inversa de Laplace:

CIRCUITO RLC PARALELO CON CONDICIONES INICIALES

La fuente de corriente i(t)de la figura, es la que excita el circuito. El inductor lleva

una corriente inicial . En la misma direccin de . El voltaje inicial del

condensador es con la polaridad opuesta al sentido de la corriente .

Por LCK:

Hallamos el equivalente de cada una de estas corrientes, para el caso del resistoren siemens:

para el inductor:

y para el condensador:


Reemplazamos estas tres expresiones en la primera ecuacin:

Aplicamos transformada de Laplace, y el resultado es:

arreglamos esta ecuacin, de tal forma que se pueda ver de forma mas clara:

El primer factor de esta ecuacin corresponde a la funcin del sistema, mientrasque el segundo factor corresponde a la funcin de excitacin. De acuerdo a loanterior, el primer factor es una impedancia que puede ser expresada de lasiguiente forma:

o una admitancia cuyo valor es:


en Siemens

los polos de Z(s) o los ceros de Y(s), determinan el comportamiento transitorio dela funcin respuesta V(s). La funcin respuesta en el dominio del tiempo es:

Estudiamos un caso de superposicin resuelto con transformada de Laplace:

SOLUCION POR SUPERPOSICIN

La funcin respuesta para el caso del circuito RLC serie con excitacin de voltaje,puede expresada como:

donde:

De forma similar, la respuesta para el circuito RLC paralelo con fuente devoltaje como excitacin, puede escribirse:

donde:

con estas ecuaciones, se puede concluir que la funcin respuesta es la suma de

componentes separadas, cada una de ellas obtenida dejando unafuente activa mientras las otras son cero (Teorema de Superposicin).A


continuacion, se presenta un ejemplo que resume de forma prctica esteprocedimiento. El siguiente circuito posee tres fuentes, una de voltaje senoidal, otrade voltaje DC, y otra de corriente DC:

Como primer paso, recordamos la transformada de coseno y aplicamos latransformada de Laplace a la fuente de voltaje:

cada una de las tres fuentes se analiza como si las otras dos fuesen cero. Hay quetener en cuenta que cuando una fuente de voltaje se reduce a cero, en su lugarqueda un corto-circuito; cuando se trata de una fuente de corriente, queda uncircuito-abierto. Las tres situaciones se presentan en los circuitos a continuacin:


del primer circuito podemos extraer la primera componente de la funcinrespuesta:


y de los otros dos:

La tercera componente es cero, porque la corriente de la fuente fluye toda por elcorto-circuito.De acuerdo a lo expuesto al principio de esta seccin, la respuesta es igual a lasuma de las componentes:

Ahora aplicamos transformada inversa de Laplace, para encontrar la respuesta enel dominio del tiempo:

Esta expansion de fracciones parciales se hace con el fin de facilitar latransformacin inversa y utilizar pares de transformadas. Los valores de loscoeficientes A, B y C, son:


reemplazamos estos coeficientes y obtenemos:

vemos que la transformada de coseno puede tener equivalentes en exponencialesde Frecuencia.

Finalmente, dos ejemplos que involucran conceptos de esta seccin

EJEMPLO 1

Dado el circuito de la figura, con las siguientes condiciones iniciales:

Encuentrei(t), utilizando la transformada de Laplace.

SOLUCION:


Como primer paso, incluimos las condiciones iniciales en el circuito del dominio deltiempo, y luego transformamos todo el circuito al dominio de la frecuencia:

La ecuacin principal para resolver el problema, es:

Ahora planteamos dos ecuaciones de malla, teniendo en cuenta que la segundaecuacin corresponde a la malla exterior del circuito:


despejamos estas ecuaciones:

Y reemplazando en la ecuacin principal:

separamos el primer sumando en fracciones parciales, ya que el segundo sumandoya posee coeficiente:

hallamos estos coeficientes:

con lo cual la funcin respuesta en el dominio de la frecuencia, es:

Esta ecuacin podemos convertirla directamente al dominio del tiempo:


EJEMPLO 2

Segn el circuito de la figura, encuentre:

a)

b) h(t)

c) i2(t)si

SOLUCION 2:

a) Transformamos el circuito al dominio de la frecuencia:

Planteamos las siguientes ecuaciones de malla:


Organizando estas ecuaciones:

despejamos de la segunda ecuacin el valor de I1(s),y lo reemplazamos en laprimera ecuacin:

Esta ltima ecuacin es una funcin de transferencia del circuito.

b) Para saber el equivalente de H(s)en el dominio del tiempo aplicamos fraccionesparciales:

En esta ocasin, empleamos el planteamiento de ecuaciones para hallar loscoeficientes A y B:

resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas:


con lo cual, la funcin H(s)queda:

ecuacin a la que aplicamos directamente la tabla de transformadas inversas, loque se traduce en una respuesta en el dominio del tiempo:

c) Tomamos la funcin de transferencia H(s)y despejamos el valor de I2(s)entrminos de Vs(s):

Aplicamos la transformada de Laplace a la funcin vs(t), y reemplazamos elresultado en la anterior ecuacin:

hallamos estos coeficientes, utilizando la misma tcnica que se uso en el temanterior:


ordenando:

resolviendo este sistema, obtenemos:

con lo cual la funcin I2(s)se puede rescribir como:

y finalmente, aplicando pares de transformadas para regresar al dominio deltiempo, se llega a:

f(t)z(t)kbmFuncinde

transfere

ncia

Flujo queentra

Flujo quesale =

Funcin

de

transfere

ncia

APLICACIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE A la ingenieria

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