antologia

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Universidad Tecnológica de Puebla Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicación

Materia:

INGENIERÍA ECONÓMICA

Séptimo cuatrimestre

Septiembre – Diciembre 2009


Colaboradores:

1. M en C. Alma Nelly Tlaxcala Castañeda

2. M.A. María Eva Pérez Ramírez

3. M.A. María Leticia Rodríguez Barrientos


ÍNDICE Página

UNIDAD 1

CONCEPTOS Y CRITERIOS ECONÓMICOS DEL VALOR DEL

DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO.

1.1. CONCEPTOS FINANCIEROS BÁSICOS

1.2. CAPITALIZACIÓN DE INTERESES

UNIDAD 2

MÉTODOS Y ANÁLISIS FINANCIERO DE PROYECTOS.

2.1.METODOS DE INVERSIÓN.

2.2. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

UNIDAD 3

PROGRMACIÓN LINEAL.

3.1. MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

3.2. MÉTODO SIMPLEX Y SUS VARIANTES

UNIDAD 4

SEGUIMIENTO DE PROYECTOS.

4.1. TÉCNICAS Y MÉTODOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS 4.2. TÉCNICA DE EVALUACIÓN Y REVISIÓN DEL PROGRMA (PERT ) 4.3 MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA


Unidad Temática: I. Conceptos y criterios económicos y el

valor del dinero a través del tiempo.

Objetivo: El alumno identificará los conceptos financieros para

plasmar las opciones que se ajusten a los recursos

disponibles.

UNIDAD 1 CONCEPTOS Y CRITERIOS ECONÓMICOS Y EL VALOR DEL

DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

1.1. CONCEPTOS FINANCIEROS BÁSICOS.

¿Qué es la Ingeniería Económica?

Es la disciplina que se preocupa de los aspectos económicos de la

ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los

proyectos técnicos propuestos. Los principios y metodología de la ingeniería

económica son parte integral de la administración y operación diaria de

compañías y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados,

unidades o agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas. Estos

principios se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros,

particularmente en relación con las cualidades físicas y la operación de una

organización.

¿De qué se encarga la Ingeniería Económica?

Se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los

ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado

altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre

diferentes tipos de costos y el desempeño (Tiempo de respuesta, seguridad,

peso, confiabilidad, etc.) proporcionado por el diseño propuesto a la solución

del problema.


¿Cuál es su Objetivo?

Lograr un análisis técnico, con énfasis en los aspectos económicos, de

manera de contribuir notoriamente en la toma de decisiones.

¿Cuáles son sus principios?

1.- Desarrollar las alternativas: La elección se da entre las alternativas. Es

necesario identificar las alternativas y después definirlas para el análisis

subsecuente.

2.- Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe considerarse

sólo aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las

diferencias en los posibles resultados.

3.- Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados posibles de las

alternativas, económicas y de otro tipo, deben llevarse a cabo

consistentemente desde un punto de vista definido.

4.- Utilizar una unidad de medición común: Utilizar una unidad de medición

común para enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis

y comparación de las alternativas.

5.- Considerar los criterios relevantes: La seleción de una alternativa requiere

del uso de uno o varios criterios. El proceso de decisión debe considerar los

resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra

unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva.

6.- Hacer explícita la incertidumbre: La incertidumbre es inherente al proyectar

los resultados futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y

comparación.

7.- Revisar sus decisiones: La toma de decisiones mejorada resulta de un

proceso adaptativo; hasta donde sea posible, los resultados iniciales

proyectados de la alternativa seleccionada deben compararse posteriormente

con los resultados reales logrados.


¿Por qué es importante la Ingeniería Económica?

La ingeniería económica, en forma bastante simple, hace referencia a la

determinación de los factores y criterios económicos utilizados cuando se

considera una selección entre una o más alternativas. Otra definición de la

ingeniería económica plantea que es una colección de técnicas matemáticas

que simplifican las comparaciones económicas. Con estas técnicas, es posible

desarrollar un enfoque racional y significativo para evaluar los aspectos

económicos de los diferentes métodos (alternativas) empleados en el logro de

un objetivo determinado.

Las técnicas funcionan igualmente bien para un individuo o para una

corporación que se enfrenta con una decisión de tipo económico. Algunas de

las preguntas usuales que pueden ser consideradas metódicamente por

individuos, negocios y corporaciones, y por las agencias públicas

(gubernamentales) que utilizan el material de este libro, se formulan aquí.

Individuos

¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crédito con dinero prestado?

¿Qué representan financieramente mis estudios universitarios en mi carrera

profesional?

¿Las deducciones federales al impuesto sobre la renta son para la hipoteca de

mi casa un

buen negocio o debo acelerar los pagos de mi hipoteca?

¿Exactamente qué tasa de retorno obtuvimos en esta inversión en acciones?

¿Debo comprar o arrendar mi próximo automóvil o conservar el que tengo

ahora y

continuar pagando el préstamo?

Conceptos básicos, términos y gráficas 5

Corporaciones y negocios

¿Lograremos el retorno requerido si instalamos esta nueva tecnología de

fabricación en


la planta?

¿Construimos o arrendamos las instalaciones para la nueva sucursal en Asia?

¿En términos económicos es mejor fabricar internamente o comprar por fuera

una parte

componente de una nueva línea de producto?

Unidades gubernamentales que atienden al público

¿Cuánto recaudo del nuevo impuesto necesita generar la ciudad para pagar la

emisión

de bonos escolares que se está sometiendo a votación?

¿Sobrepasan los beneficios los costos de un puente sobre el canal intracostero

en este

punto?

¿Es económico para la ciudad en términos de costos construir un domo para

eventos

deportivos importantes?

¿Debe la universidad estatal contratar una institución universitaria de la

comunidad local

para enseñar en cursos de pregrado a nivel básico o es preferible que el

profesorado

de la universidad lo haga?


Papel de la Ingeniería económica en la toma de decisiones

La gente toma decisiones; los computadores, las metodologías y otras

herramientas no lo hacen. Las técnicas y los modelos de ingeniería económica

ayudan a la gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que

se realizará, el marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente el

futuro. Por consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería

económica son las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra.

Es común incluir resultados en un análisis de hechos observados. Éste utiliza

los métodos de la ingeniería económica para analizar el pasado, puesto que no

se toma una decisión de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. En

lugar de ello, el análisis explica o caracteriza los resultados. Por ejemplo, una

corporación puede haber iniciado una división de pedidos por correo hace 5

años. Ahora ésta desea conocer el retorno real sobre la inversión (RSI) o la

tasa de retorno (TR) experimentada por esta división.

El análisis de resultados y la decisión de alternativas futuras se consideran el

dominio de la ingeniería económica.

Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y

selección de alternativas es el denominado enfoque de solución de problemas

o proceso de toma de decisiones. Los pasos habituales en el enfoque son los

siguientes:

Pasos en la solución de problemas

1. Entender el problema y la meta.

2. Reunir información relevante.

3. Definir las soluciones alternativas.

4. Evaluar cada alternativa.

5. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.

6. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.

La ingeniería económica tiene un papel importante en los pasos 2, 3 y 5, y es la

técnica principal en el paso 4 para realizar el análisis de tipo económico de


cada alternativa. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y la ingeniería

económica ayuda a estructurar las estimaciones de cada uno. El paso 4 utiliza

uno o más modelos de la ingeniería económica examinados en este libro para

completar el análisis económico sobre el cual se toma una decisión.

Ejemplo 1.2

Reconsidere las preguntas presentadas en el ejemplo anterior sobre la compra

conjunta de un avión corporativo. Establezca algunas formas en las cuales la

ingeniería económica puede contribuir al proceso de toma de decisiones en la

selección entre las dos alternativas.

Solución

Suponga que el problema y la meta son las mismas para cada presidente:

disponer de un transporte permanente y confiable que minimice los costos

totales. La ingeniería económica ayuda en diversas formas. Utilice el enfoque

de solución de problemas como marco de referencia.

Pasos 2 y 3: El marco de referencia de las estimaciones necesarias para un

análisis de ingeniería económica ayuda en la estructuración de cuales datos

deben ser calculados y recolectados. Por ejemplo, para la alternativa 1

(comprar el avión), estos incluyen el costo estimado de compra, los métodos de

financiación y las tasas de interés, los costos anuales de funcionamiento, el

posible incremento en los ingresos por ventas y las deducciones en el impuesto

sobre la renta. Para la alternativa 2(mantener el statu quo), éstos incluyen

costos de transporte comercial observados y estimados, ingresos de ventas

anuales y otra información relevante. Observe que Ia ingeniería económica no

incluye específicamente la estimación; ésta ayuda a determinar cuáles

estimaciones e información se necesitan para el análisis (paso 4) y para la

decisión (paso 5).

Paso 4: Éste es el centro de la ingeniería económica. Las técnicas generan

valores numéricos denominadas rnedidas de valor, que consideran

inherentemente el valor del dinero en el tiempo. Algunas medidas comunes del

valor son:


Valor presente (VP) Valor Futuro (VF)

Valor Anual (VA) Tasa de retorno (TR)

Razón beneficio/costo

(B/C)

Costo capitalizado

(CC)

ValorPpresente,(VP): Es la cantidad de dinero que se invierte o se presta

ahora en un proceso en el cual, los intereses o rendimientos se retiran

periódicamente con la condición que no se reinviertan. La característica

fundamental es que la obtención de nuevos rendimientos se obtienen siempre

sobre esta inversión que permanece constante.

Valor Futuro, (F): El valor futuro de un valor presente es la cantidad de dinero

de la cual se dispone al final del plazo de la transacción. El valor futuro es la

suma del valor presente y los intereses devengados durante el tiempo en que

se efectuó la inversión. A continuación se ilustra alguna de las ecuaciones que

permita efectuar cálculos de los rendimientos nominales:

Con la formula del valor futuro F, se pueden determinar los valores: presente, la

tasa de interés y los periodos de tiempo. En este texto no se pretende efectuar

dichos cálculos, pero el lector interesado los puede consultar en el texto de

“Fundamentos de Matemática Financieras “, de este autor.

Valor Anual (VA)

Este método se basa en calcular qué rendimiento anual uniforme provoca la

inversión en el proyecto durante el período definido. Por ejemplo: supongamos

que tenemos un proyecto con una inversión inicial de $1.000.000. El período de

beneficio del proyecto es de 5 años a partir de la puesta en marcha y la

reducción de costo cada año (beneficio del proyecto) es de $400.000. La

TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento es del

12%. Se calculan las anualidades de la inversión inicial: esto equivale a

calcular qué flujo de efectivo anual uniforme tiene el proyecto, combinando la

inversión y los beneficios. La situación equivale a pedir un préstamo de

$1.000.000 por 5 años al 12%. Si es así, se devolverían $277.410 cada año

durante 5 años.


El VA del proyecto se puede calcular usando la función PAGO(c1,c2,c3) de

Excel, en donde c1 = TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa

de Descuento (12%), c2 = cantidad de años que dura el proyecto (5 años) y c3

= inversión inicial ($1.000.000). En nuestro caso sería: PAGO(12, 5, 1.000.000)

= $277.410. Esto equivale a que el proyecto arrojará un flujo de efectivo

positivo de $277.410 durante los cinco años, cada año.

VA = $400.000 - $277.410 = $122.590 . (VA = ingreso anual provocado por el

proyecto - gastos anuales).

Este ejemplo asume que conocemos los gastos y los ingresos del proyecto.

Para comparar dos proyectos: el supuesto es que los dos proyectos duran la

misma cantidad de períodos.

En todos estos casos, se considera el hecho de que el dinero hoy vale una

suma diferente en el. futuro.

Paso 5: Para la porción económica de la decisión, se utiliza algún criterio

basado en una de las

medidas de valor para seleccionar solamente una de las alternativas. Además,

hay tantos factores no económicos -sociales, ambientales, legales, políticos,

personales, para nombrar algunos que pueden parecer en ocasiones que el

resultado del análisis de ingeniería económica se utiliza menos de lo que el

ingeniero pueda desear. Pero ésta es la razón exacta por la cual quien toma

decisiones debe tener una información adecuada de todos los factores

económicos y no económicos para hacer una selección informada. En este

caso, el análisis económico favorece significativamente el avión de la propiedad

conjunta (alternativa 1); pero, debido a factores no económicos uno o ambos

presidentes puedan decidir continuar con la situación actual seleccionando la

alternativa 2.

A manera de ilustración, éste se esquematiza en la figura 1.1 para dos

alternativas, a saber: (alternativa 1)Nuevo diseño de planta y (alternativa 2)

Mejoramiento de la planta antigua.

Una vez que se han identificado las alternativas y está disponible la información

relevante (es decir, las estimaciones), el flujo del análisis de economía


generalmente sigue los pasos 3 a 5 de solución de problemas descritos en la

sección anterior. A continuación se hace un seguimiento de estos pasos a

través de las secciones principales identificadas en el enfoque de estudio de

ingeniería económica (figura 1.1).

Generalmente, las alternativas contienen información tal como costo inicial

(incluidos precios de compra y costos de construcción, instalación y despacho),

vida esperada, ingresos y gastos anuales estimados de la alternativa

(incluidos costos de mantenimiento anual), valor de salvamento proyectado

(valor de reventa o canje), una tusa de interés (tasa de retorno) apropiada y

posiblemente efectos de impuestos sobre la renta, En general, los gastos

anuales se agrupan en una suma y se denominan costos anuales de

operación (CAO).

Flujos de efectivo durante algún periodo de tiempo. Las entradas y salidas

de dinero reales se denominan flujos de efectivo. Para realizar el análisis

económico, pueden requerirse estimaciones para la financiación, las tasas de


interés, la vida de los activos, los ingresos, los costos, los efectos tributarios,

etc. Para especificar los aspectos económicos de las alternativas (paso 3), se

reúnen y formatean las estimaciones relevantes (paso 2). Sin las estimaciones

de flujos de efectivo durante un periodo de tiempo establecido, no es posible

realizar un estudio de ingeniería económica.

Análisis mediante un modelo de ingeniería económica.

Los procedimientos permiten tomar decisiones económicas solamente sobre

aquellas alternativas que han sido reconocidas como tales; los procedimientos

no ayudan a identificar las alternativas mismas.

Si sólo han sido identificadas y definidas las alternativas A, B y C para el

análisis, cuando el método D, aunque no se reconoce como una alternativa, es

el más atractivo, con seguridad se tomará la decisión equivocada. La

importancia de la identificación y definición alternativa en el proceso de toma de

decisiones nunca se enfatiza en demasía, puesto que dicho paso (paso 4 en el

enfoque de solución de problemas) hace que el resultado de un análisis

económico tenga un valor real.

Alternativa evaluada. Para cada alternativa se establece una medida de valor.

Este es el resultado del análisis de ingeniería económica. Por ejemplo, el

resultado de un análisis de tasa de retorno de las dos alternativas puede ser:

Seleccionar la alternativa 1 en la cual se estima una tasa de retorno del 18.4%

anual durante una vida de 20 años.

Factores no económicos. Como se mencionó anteriormente, muchos otros

factores -sociales, del entorno, legales, políticos, personales, etc.- deben ser

considerados antes de hacer una selección. Algunos de éstos son tangibles

(cuantificables), mientras que otros no lo son.

Criterios de evaluación o de selección. Al seleccionar una alternativa, la

persona que toma decisiones aplica una combinación de criterios económicos

utilizando la medida de valor, y los factores no económicos e intangibles. Si se

define solamente una alternativa, siempre existe una segunda alternativa


presente en la forma de su negación, llamada también la alternativa como está

o el statu que. Esta opción se analizará a lo largo del libro, pero, en resumen,

ello significa que se mantiene el enfoque actual.

Conscientes de ello o no, todos los días utilizamos criterios para seleccionar

alternativas.

Por ejemplo, cuando alguien se dirige a la universidad, decide tomar la “mejor”

ruta. ¿Pero cómo definió la persona el término mejor? ¿Fue la mejor ruta la

más segura, la más corta, la más rápida, la más barata, la de mejor paisaje, o

cuál? Obviamente, dependiendo del criterio o combinación de criterios que se

utilicen para identificar la mejor, cada vez podría seleccionarse una ruta

diferente. En el análisis económico, se utilizan generalmente como la base

tangible para la evaluación. Por tanto, cuando hay diversas formas de lograr un

objetivo determinado, se selecciona la alternativa con el costo global más bajo

o la utilidad neta global más alta.

En la mayoría de los casos las alternativas contienen factores intangibles que

no pueden expresarse de manera fácil en términos de dólares. Cuando las

alternativas disponibles tienen aproximadamente el mismo costo equivalente,

los factores no económicos e intangibles pueden ser utilizados como la base

para seleccionar la mejor alternativa.

La alternativa seleccionada. Una vez se ha hecho la selección, se espera que

tendrá lugar la implementación y el seguimiento continuo (paso 6).

Generalmente, el seguimiento origina nuevas alternativas a medida que

cambian la tecnología y los mercados y los activos se deterioran.

CÁLCULO DE INTERESES

La manifestación del valor del dinero en el tiempo se conoce con el término

interés, que es el incremento entre una suma original de dinero prestado y la

suma final debida, o la suma original poseída (o invertida) y la suma final

acumulada. Se hace referencia a la inversión original o al monto del préstamo


como el principal. Si una persona invirtió dinero en algún momento en el

pasado, el interés será:

Ecuación 1:

Interés = monto total ahora - principal original (1)

Si el resultado es negativo, la persona ha perdido dinero y no hay interés. Por

otra parte, si obtuvo en préstamo dinero en algún momento del pasado, el

interés será:

Ecuación 2:

Interés = monto debido ahora - principal original (2)

En cualquier caso, hay un aumento en la cantidad de dinero que se invirtió o

prestó originalmente y el incremento por encima de la suma original es el

interés.

Cuando el interés se expresa como un porcentaje de la suma original por

unidad de tiempo, el resultado es una tusa de interés. Esta tasa se calcula

como:

Ecuación (3)

(3)

El periodo de tiempo más común en el cual se expresa una tasa de interés es 1

año. Sin embargo, dado que las tasas de interés pueden estar expresadas en

periodos de tiempo menores de 1 año, por ejemplo, 1% mensual, la unidad de

tiempo utilizada al expresar una tasa de interés también debe ser identificada.

Este periodo se denomina el periodo de interés. Los siguientes ejemplos

ilustran cálculos de interés.

Ejemplo:

La firma Inversiones el Oráculo invirtió $100,000 el 1 de maya y retiró un total

de $106,000 exactamente un año mas tarde. Calcule (a) el interés obtenido y

(b) la tasa de interés sobre la inversión.


Solución

(a) Al aplicar la ecuación 1:

Interés = $106,000 - 100,000 = $6000

(b) La ecuación 3 determina la tasa de interés sobre el periodo de interés

de 1 año.

Comentario

Cuando se trata de dinero prestado, los cálculos son similares a los que

aparecen arriba excepto que el interés se calcula mediante la ecuación 2. Por

ejemplo, si el Oráculo hubiera obtenido en préstamo $100,000 ahora hubiera

reembolsado $110,000 después de 1 año, el interés es $10,000 y la tasa de

interés a través de la ecuación 3 es $10,000/$100,00 * 100%= 10% anual.

1.2. CAPITALIZACIÓN DE INTERESES

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés (introducidos en la

sección 1.4) son útiles para el cálculo de sumas equivalentes de dinero para un

periodo de interés en el pasado y un periodo en el futuro. Sin embargo, para

más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto

resultan importantes.

El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier

interés causado en los periodos de interés anteriores. El interés simple total

durante diversos periodos

se calcula como:

en donde la tasa de interés está expresada en forma decimal.


Ejemplo:

Si Julián obtiene $1000 en préstamo de su hermana mayor durante años a un

interés simple del 5% anual

¿ cuánto dinero pagara él al final de los 3 años? Tabule los resultados.

Los $50 de intereses acumulados durante el primer año y los $50 causados en

el segundo año no ganan interés.. El interés causado cada año se calcula

solamente sobre el principal de $1000.

Los detalles del pago de este préstamo se tabulan en la tabla 1.1. La cifra de

cero en la columna de final del año representa el presente: es decir, en el

momento en el cual el dinero es prestado. El prestatario no realiza pago alguno

hasta el final del año 3, de manera que la suma adeudada cada año aumenta

uniformemente en $50, puesto que el interés simple se calcula sólo sobre el

principal del préstamo.

Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés

se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos

los periodos anteriores. Por tanto, el interés compuesto significa un interés


sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo

también sobre el interés. Ahora, el interés para un periodo se calcula así:

Ejemplo:

Si Julián obtiene, de su hermana, en préstamo $1000 al 5 % de interés anual

compuesto en lugar del interés simple, como en el ejemplo anterior, calcule la

suma total a pagar después d e 3 años. Elabore gráficas y compare los

resultados de este ejemplo y del anterior.

Los detalles se muestran en la tabla 1.2. El plan de pago es el mismo que

aquel del ejemplo de interés simple; no se hacen pagos hasta que el principal

más el interés acumulado sean causados al final del año 3.

La figura 1.4 muestra la suma a pagar al final de cada año durante 3 años.

Para el caso del interés compuesto se reconoce la diferencia adeudada al valor

del dinero en el tiempo. Se paga un interés extra de $1157 - $1150= $7.63

comparado con el interés simple durante el periodo de 3 años. La diferencia

entre interés simple y compuesto crece cada año. Si se continúan los cálculos

durante más años, por ejemplo, 10 años, la diferencia es $128.90; después de

20 años, el interés compuesto es $653.30 más que el interés simple.


Si $7.63 no parece una diferencia significativa en 3 años solamente, recuerde

que la suma inicial aquí es de $1000. Si se hacen estos mismos cálculos para

una suma inicial de $100,00 ó $1 millón se está hablando de una suma

importante. Todo esto indica que el poder del cálculo compuesto es de vital

importancia en todos los análisis de tipo económico.

Ejemplo (Hoja de Calculo)

Desarrolle una hoja de calculo para determinar el interés compuesto y el saldo

del préstamo cada año para los $1000 que Julián obtuvo en préstamo al 5%

anual. Compare gráficamente los resultados para él interés compuesto y el

interés simple del ejemplo 1.7.

Solución:

La figura 1.5a presenta una hoja de cálculo para determinar el interés

compuesto anual y el saldo del préstamo. La figura 1.5b compara el interés

simple y el compuesto en formatos tabulares y gráficos


Para demostrar que los diferentes planes de rembolso de préstamos, o planes

de inversión, son equivalentes pero de un año a otro difieren sustancialmente

en las sumas monetarias, se combinan los conceptos de interés simple, interés

compuesto y equivalencia. Tal combinación muestra también cuántas formas

hay para considerar el valor del dinero en el tiempo. El siguiente ejemplo ilustra

la equivalencia para cinco planes de rembolso del préstamo.


TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO

Para que cualquier inversión sea rentable, el inversionista (corporación o

individuo) debe esperar recibir más dinero de la suma invertida. En otras

palabras, debe ser posible obtener una tasa de retorno o un retorno sobre la

inversión. Durante un determinado periodo de tiempo, la tasa de retorno (TR)

se calcula como:

El numerador puede llamarse utilidad, ingreso neto, o muchos términos

diversos. Obsérvese que este cálculo es en esencia el mismo que el de la tasa

de interés en la ecuación [ 1.31. Los dos términos pueden ser utilizados

indistintamente, dependiendo del punto de vista, o de quién realiza la

operación; el término tasa de interés es utilizado desde el punto de vista del

prestatario, cuando el dinero ha sido obtenido en préstamo, o cuando se

establece un interés fijo. El término tasa de retorno se utiliza comúnmente


cuando se estima la rentabilidad de una alternativa propuesta o cuando se

evalúan los resultados de un proyecto o inversión terminados. Ambos se

representan con el símbolo i.

Las alternativas de inversión se evalúan sobre el pronóstico de que puede

esperarse una TR razonable. Alguna tasa razonable debe, por consiguiente,

ser establecida y utilizada en la fase de criterios de selección del enfoque de

estudio de ingeniería económica (remítase nuevamente a la figura 1.1). La tasa

razonable se denomina tasa minima atractiva de retorno (TMAR) y es más

alta que la tasa esperada de un banco o alguna inversión segura que

comprenda un riesgo mínimo de inversión. La figura 1.6 indica las relaciones

entre diferentes valores de tasa de retorno. En Estados Unidos, el retorno

actual de los bonos del Tesoro de EE.UU. se utiliza algunas veces como la tasa

segura de referencia. También se hace referencia a la TMAR como la tasa

base para proyectos; es decir, para que un proyecto sea considerado

financieramente viable, la TR esperada debe igualar o exceder la TMAR o tasa

base.


Los términos capital, fondos de capital y capital de inversión se refieren todos a

fondos disponibles destinados a inversión para ayudar a la compañía a generar

negocios e ingreso.

El término capital es el que se utiliza con mayor frecuencia. Para la mayoría de

las organizaciones industriales y de negocios, el capital es un recurso limitante.

Aunque hay muchas alternativas que pueden generar un TR que excede el

TMAR como lo indica la figura 1.6, probablemente no habrá suficiente capital

disponible para todo, o puede estimarse que el riesgo del proyecto es muy alto

para incurrir en un riesgo de inversión. Los nuevos proyectos se emprenden

porque tienen una relación esperada TR > TMAR y en general son aquellos

proyectos que tienen un retorno esperado, por lo menos tan grande como el

retorno de otra alternativa que aún no ha recibido fondos. Un proyecto nuevo

seleccionado de esta manera sería una propuesta representada por la parte

superior de la flecha que indica la TR en la figura 1.6. Por ejemplo, si TMAR =

12% y la propuesta 1 con una TR esperada = 13% no puede ser financiada por

falta de fondos de capital, mientras que la propuesta 2 tiene una TR estimada =

14.5% y puede ser financiada con el capital disponible, sólo se emprende la

propuesta 2. Dado que la propuesta 1 no se lleva a cabo por la falta de capital,

se hace referencia a su TR estimada del 13% como el costo de oportunidad; es

decir, debe perderse la oportunidad de realizar un retorno adicional del 13%. El

capital limitado y los costos de oportunidad se analizan en más detalle en el

capítulo 17.

El concepto de TMAR se utilizará en todo el texto. Los puntos importantes

ahora son: (1) Para evaluar una propuesta única o para comparar alternativas

debe determinarse o establecerse una TMAR o tasa base y (2) La TR del

proyecto menor que la TMAR debe considerarse económicamente inaceptable.

Por supuesto, si se decreta que se seleccionará una alternativa y que todas las

TR son menores que TMAR, entonces se seleccionará la alternativa más

cercana a TMAR.

Como podría esperarse, los individuos utilizan en gran medida la misma lógica

antes presentada, pero con menos especificidad y estructura al fijar la TMAR y

en la definición, evaluación y selección de una alternativa. Además, los

individuos tienen dimensiones sustancialmente diferentes a las corporaciones


en cuanto a riesgo e incertidumbre cuando las alternativas son evaluadas

mediante estimaciones de TR y los factores intangibles asociados.

FLUJOS DE EFECTIVO: SU ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN

En este primer capítulo se desea analizar también uno de los elementos

fundamentales de la ingeniería económica: los pujos de efectivo. En la sección

1.3 los flujos de efectivo se describen como las entradas y salidas reales de

dinero. Toda persona o compañía tiene entradas de efectivo recaudos e

ingreso (entradas) y desembolsos de efectivo -gastos y costos (salidas). Estas

entradas y desembolsos son los flujos de efectivo, en los cuales las entradas

de efectivo se representan en general con un signo positivo y las salidas con

uno negativo.

Los flujos de efectivo ocurren durante periodos de tiempo específicos, tales

como 1 mes o 1 año. De todos los elementos del enfoque de estudio de la

ingeniería económica (figura 1. l), la estimación del flujo de efectivo

probablemente es la más difícil e inexacta. Las estimaciones de flujos de

efectivo son sólo eso: estimaciones sobre un futuro incierto. Una vez

estimados, las técnicas de este libro pueden guiar al lector en su toma de

decisiones. Pero la precisión, demostrada con el tiempo, de las entradas y

salidas de efectivo estimadas de una alternativa determinan con claridad la

calidad del análisis económico y de la conclusión. El libro de Ostwald

Engineering Cost Estimating (véase Bibliografía) es una fuente excelente para

la estimación de costos.

Losflujos de entradas de efectivo, o recibos, pueden estar compuestos de los

siguientes elementos, dependiendo de la naturaleza de la actividad propuesta y

del tipo de negocio involucrado. (Las entradas y salidas comúnmente utilizadas

en los capítulos iniciales de este libro aparecen en negrilla).

Ejemplos de entradas de efectivo

• �Ingresos (generalmente incrementales atribuidos a la alternativa).

• �Reducciones en el costo de operaciones (atribuidas a la alternativa).

• �Valor de salvamento de activos.

• �Recibo del principal de un préstamo.


• �Ahorros en impuestos sobre la renta.

• �Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos.

• �Ahorros en costos de construcción e instalaciones.

• �Ahorros o rendimiento de los fondos de capital corporativos.

• Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden estar conformadas de

los siguientes,

• dependiendo nuevamente de la naturaleza de la actividad y del tipo de

negocio.

Ejemplos de salidas de efectivo

• Primer costo de activos (con instalación y envío).

• Costos de operación (anual e incremental).

• Costos de mantenimiento periódico y de reconstrucción.

• Pagos del interés y del principal de un préstamo.

• Aumento esperado de costos principales.

• Impuestos sobre la renta.

• Pago de bonos y de dividendos de bonos.

• Gasto de fondos de capital corporativos.

La información de antecedentes para las estimaciones es proporcionada por

departamentos tales como marketing, ventas, ingeniería, diseño, manufactura,

producción, servicios de campo, finanzas, contabilidad y servicios de

computador. La precisión de las estimaciones depende, en gran medida, de las

experiencias de la persona que hace la estimación con situaciones similares.

Generalmente, se realizan estimaciones puntuales; es decir, se obtiene la

estimación de un valor único para cada elemento económico de una alternativa.

Si se adopta un enfoque estadístico al estudio de la ingeniería económica,

puede desarrollarse la estimación de un rango o de una distribución. En la

mayor parte de este libro se utilizarán estimativos puntuales. En capítulos

avanzados se introducirán estimaciones de distribución.

Una vez se desarrollan estimaciones de entradas y salidas de efectivo, el flujo

de efectivo

neto durante un determinado periodo de tiempo puede representarse como:


Dado que los flujos de efectivo tienen lugar naturalmente en intervalos de

tiempo variables y frecuentes dentro de un periodo de interés, se supone de

manera simple que todo el flujo de efectivo ocurre al final del periodo de

interés, lo cual se conoce como la convención de final del periodo. Cuando

ocurren diversos ingresos y desembolsos dentro de un periodo de interés

determinado, se supone que el flujo de efectivo neto ocurre al final del periodo

de interés. Sin embargo, debe entenderse que, aunque las sumas de F o A se

localizan al final de dicho periodo por convención, el final del periodo no es

necesariamente diciembre 3 1.

En el ejemplo 1.12, dado que la inversión tuvo lugar el 1 de mayo de 1998, los

retiros tendrán lugar el 1 de mayo de cada año siguiente durante 10 años. Por

tanto, el final del periodo significa un periodo de tiempo a partir de la fecha de

la transacción.

Conceptos y criterios económicos y el valor del dinero a través

del tiempo

Unidad Temática: II. Métodos y Análisis Financiero de

Proyectos.

Objetivo: El alumno empleará los métodos y análisis de

alternativas de inversión bajo certeza, riesgo, incertidumbre

para la toma de decisión.


UNIDAD 2 MÉTODOS Y ANÁLISIS FINANCIERO DE PROYECTOS

INVERSIÓN

La inversión es cualquier sacrificio de recursos hoy, con la esperanza de recibir

algún beneficio en el futuro. Estas inversiones pueden ser temporales, a largo

plazo, privada (gasto final del sector privado) y pública (gasto final del

gobierno). Por su parte, la inversión fija es la incorporación al aparato

productivo de bienes destinados a aumentar la capacidad global de la

producción (computadoras, nuevas tecnologías, etc.).

La inversión de capital humano es por ejemplo el pago de estudios

universitarios, cualquier curso de capacitación que hacen las empresas para

sus empleados, entre otros.

La inversión, es el flujo de producto de un período dado que se usa para

mantener o incrementar el stock de capital de la economía.

El gasto de inversión trae como consecuencia un aumento en la capacidad

productiva futura de la economía. La inversión bruta es el nivel total de la

inversión y la neta descuenta la depreciación del capital. Esta última denota la

parte de la inversión que aumenta el stock de capital. En teoría económica el

ahorro macroeconómico es igual a la inversión.

El inversionista, es quien coloca su dinero en un título valor o alguna alternativa

que le genere un rendimiento futuro, ya sea una persona o una sociedad.

Existen distintos tipos de inversión:

* Inversión Extranjera De Portafolio (O Indirecta)

Aquella inversión que hacen agentes de una economía en bonos, acciones y

otras participaciones que no constituyen inversión extranjera directa ni reservas

internacionales.

* Inversión Extranjera Directa


La define el FMI como "la inversión cuyo objeto sea adquirir una participación

permanente y efectiva en la dirección de una empresa en una economía que no

sea la del inversionista." La inversión debe contemplar los cambios en la

participación efectiva en el capital de las empresas, incluidas las utilidades que

se reinvierten.

DETERMINANTES DE LA INVERSIÓN

* Ingreso: El ingreso está compuesto por todas aquellas entradas de dinero

que tiene una persona y con el que cuentan para consumir y cubrir

necesidades. Dependiendo del ingreso las personas invierten o no en

determinado bien o servicio. Mientras mayor es el ingreso, mayor es la

inversión. Si la persona gana bien, invierte más y tiene ganancias a largo plazo.

"Existe un factor que influye y determina la inversión al igual que el anterior,

este está representado por los costos de bienes y servicios". Contrario a los

precios que no forman parte de los determinantes de la inflación, ya que los

precios no son más que los costos + las ganancias. Los inversionistas se ven

muy influenciados a adquirir o no un bien dependiendo de su costo. "El

inversionista siempre hace las cosas a su conveniencia" (Phill Morton,

Economía y principios, 1982)

*Las expectativas y la confianza de los empresarios, es un factor

sumamente importante que influye directa e indirectamente sobre las

inversiones de ellos. Esto depende mucho de la situación política y económica

del país; "si las cosas andan mal, los empresarios no invierten, no confían y

punto". (Phill Morton)

2.1 MÉTODOS DE INVERSIÓN 2.1.1. Valor presente

En vista de que el consumo presente se valora en mayor grado que el consumo

futuro, no pueden compararse directamente. Una forma de estandarizar el

análisis, consiste en medir el consumo en términos de su valor presente. El


valor presente es el valor actual de uno o más pagos que habrían de recibirse

en el futuro.

La fórmula para calcular el valor presente es la siguiente:

C

(1 + i)n

En donde:

VP = Valor presente

C = Cantidad futura

1 = Constante

i = Tasa de interés anual

n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,…

El valor presente es aquél que calcula el valor que una cantidad a futuro tiene

en este instante, ya que si pretendemos obtener cierto valor en algún préstamo,

cobro, etc., a futuro, primero se debe calcular lo que se posee imaginariamente

en el presente, sin embargo, ese valor siempre va a depender de la tasa de

interés anual.

Ejemplo:

¿Cuánto se pagaría en este momento por el derecho a recibir $100 dentro de 1

año, con una tasa de interés del 10%?

1.- Identificar los valores:

C = $100

i = 0.1

n = 1 año

VP = ?

2.- Aplicar la fórmula:

VP =


C

(1 + i)n

3.- Sustituir la fórmula:

VP = 100 = 100 = 99.90

(1+0.1) 1.1

4.- Resultado:

Por tanto, si la tasa de interés es de 10%, $99.90 es el valor presente de recibir

$100 de aquí a un año, que es lo máximo que estaría dispuesto a pagar hoy

por obtener $100 dentro de un año.

Ejercicios:

1.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir

$ 3,500 dentro de 5 años, con una tasa de interés anual de 15%?

C = $3,500

i = 0.15

n = 5 años

VP = ?

C

(1 + i)n

VP = 3500 = 3500 = 3500 = 1741.29

(1+0.15)5 (1.15)5 2.01

Por lo tanto, la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de

recibir $3,500 dentro de 5 años con una tasa de interés de 15%, es de

$1,741.29

VP =

VP =


2.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de

recibir $900,000 dentro de 8 años, con una tasa de interés anual de 10%

C = $900,000

i = 0.1

n = 8 años

C

(1 + i)n

VP = 900000 = 900000 = 900000 = 420560.74

(1+0.1)8 (1.1)8 2.14

Por lo tanto la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de

recibir $900, 000 dentro de 8 años, con una tasa anual de 10%, es de

$420,560.74

3.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de

recibir $500 dentro de 3 meses, con una tasa de interés anual de 12%

C = $500

i = 0.03 [(0.12 anual/12 meses) * 3 meses]

n = 3 meses

C

(1 + i)n

VP = 500 = 500 = 500 = 458.71

(1+0.03)3 (1.03)3 1.09

VP =

VP =


Por lo tanto, la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de

recibir $500 dentro de 3 meses con una tasa de interés anual de 12%, es de

$458.71.

2.1.2. Fondo de Amortización de salvamento.

Cuando se analiza el aspecto económico de un equipo se entiende que

éste tiene un costo inicial o de adquisición;. El dinero que se recibe por un

equipo al final de su vida útil se llama valor de salvamento (VS) o valor de

rescate, y debe contabilizarse como un ingreso, dentro del flujo de efectivo del

equipo, en algunas ocasiones puede ser cero” (Baca, 1999, Pág. 92).

Después de deducir el costo de desecho, el valor neto en el momento de

la disposición se denomina valor de desecho.

� Valor en libros y valor comercial

� Valor en libros como el valor de salvamento.

� Valor comercial de los activos como el valor de salvamento.

� VC: Precio de venta.

� VL = Valor en libros.

� VC = VL: Se registra como un ingreso no gravable.

� VC ≠ VL: Constituye un ingreso gravable si es positivo

Un costo deducible si es negativo.

Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas

formas de calcular el VA. Esta sección presenta el método del fondo de

amortización de salvamento, el que por lo general se utiliza en este texto. En el

método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte

primero en una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P

Dado, normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su

conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el valor

de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial. Estos cálculos

pueden estar representados por la ecuación general:


Naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de efectivo, éste debe

ser incluido en el cálculo completo de VA. Lo cual se ilustra en el ejemplo 6.1.

Ejemplo 6.1

Calcule el VA de un aditamento de tractor que tiene un costo inicial de $8000 y

un valor de salvamento de $500 después de 8 años. Se estima que los costos

anuales de operación para la maquina son $900 y se aplica una tasa de interés

del 20% anual.

El diagrama de flujo de efectivo indica que:

VA=A1 +A2

donde A, = costo anual de la inversión inicial con un valor de salvamento

considerado:

= -8000(A/P,20%,8)+500(A/F,20%,8) = $-2055

A2 = costo anual de operación = $-900

El valor anual para el aditamento es:

VA = -2055 - 900 = $-2955

2.1.3. Tasa interna de retorno.

En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de

dinero recibida luego de un número especificado de años pero de desconoce la

tasa de interés o tasa de retorno. Cuando hay involucrados un pago único y un


recibo único, una serie uniforme de pagos recibidos, o un gradiente

convencional uniforme de pagos recibido, la tasa desconocida puede

determinarse para “i” por una solución directa de la ecuación del valor del

dinero en el tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes, o muchos

factores, el problema debe resolverse mediante un método de ensayo y error, o

numérico.

Ejemplo: Si Carolina puede hacer una inversión de negocios que requiere de

un gasto de $3000 ahora con el fin de recibir $5000 dentro de 5 años, ¿Cuál

sería la tasa de retorno sobre la inversión?

P = F [1/(1+i)n]

3000 = 5000 [1 / (1+i)5]

0.600 = 1 / (1+i)5

i = (1/0.6)0.2-1 = 0.1076 = 10.76%

2.1.4 Vida útil igual y diferente

El costo capitalizado (CC) se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida

útil se supone durará para siempre. Algunos proyectos de obras públicas tales

como diques, sistemas de irrigación y ferrocarriles se encuentran dentro de

esta categoría. Además, las dotaciones permanentes de universidades o de

organizaciones de caridad se evalúan utilizando métodos de costo capitalizado.

En general, el procedimiento seguido al calcular el costo capitalizado de una

secuencia infinita de flujos de efectivo es la siguiente:

1. Trace un diagrama de flujo de efectivo que muestre todos los costos (y/o

ingresos) no recurrentes (una vez) y por lo menos dos ciclos de todos los

costos y entradas recurrentes (periódicas).

2. Encuentre el valor presente de todas las cantidades no recurrentes.

3. Encuentre el valor anual uniforme equivalente (VA) durante un ciclo de vida

de todas las cantidades recurrentes y agregue esto a todas las demás


cantidades uniformes que ocurren en los años 1 hasta infinito, lo cual genera

un valor anual uniforme equivalente total (VA).

4. Divida el VA obtenido en el paso 3 mediante la tasa de interés i para lograr el

costo capitalizado.

5. Agregue el valor obtenido en el paso 2 al valor logrado en el paso 4.

El propósito de empezar la solución trazando un diagrama de flujo de efectivo

debe ser evidente, a partir de los capítulos anteriores. Sin embargo, el

diagrama de flujo de efectivo es probablemente más importante en los cálculos

CC que en cualquier otra parte, porque éste facilita la diferenciación entre las

cantidades no recurrentes y las recurrentes (periódicas).

Dado que el costo capitalizado es otro término para el valor presente de una

secuencia de flujo de efectivo perpetuo, se determina el valor presente de

todas las cantidades no recurrentes (paso 2). En el paso 3 se calcula el VA

(llamado A anteriormente) de todas las cantidades anuales recurrentes y

uniformes. Luego, el paso 4, que es en efecto AL, determina el valor presente

(costo capitalizado) de la serie anual perpetua utilizando la ecuación:

Costo capitalizado = VA

i

O VA

VP= -----------

I

Ejemplo:

Evaluación del valor presente y del costo capitalizado 161

La ecuación anterior se deriva del factor (P/A, i, n) cuando n= ∞. La ecuación

para P utilizando el factor P/A es:

(1+i)n -1 P = A ------------------------

i (1+i) n

Si el numerador y el denominador se dividen por (1 + i)“, la ecuación se

transforma así:

1


---------------- (1 +i) P= A ------------------------------------ i

Ahora, a medida que TZ tiende a ~0, el término del numerador se convierte en

1, produciendo P= A / i

La validez de la ecuación [5. l] puede ilustrarse considerando el valor del dinero

en el tiempo. Si se depositan $10,000 en una cuenta de ahorros al 20% anual

de interés compuesto anualmente, la cantidad máxima de dinero que puede

retirarse al final de cada año eternamente es $2000, que es la cantidad igual al

interés acumulado cada año. Esto deja el depósito original de $10,000 para

obtener interés, de manera que se acumularán otros $2000 al año siguiente. En

términos matemáticos, la cantidad de dinero que puede acumularse y retirarse

en cada periodo de interés consecutivo durante un número infinito de periodos

es: A = Pi Por tanto, en el ejemplo,

A = 10,000(0.20) = $2000 anual

El cálculo del costo capitalizado en la ecuación es la ecuación resuelta para P:

A

P= -------------

i

2.1.5 Según el costo capitalizado

El costo capitalizado (CC) se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida

útil se supone durará para siempre. Algunos proyectos de obras públicas tales

como diques, sistemas de irrigación y ferrocarriles se encuentran en esta

categoría. Además, las dotaciones permanentes de universidades o de


organizaciones de caridad se evalúan utilizando métodos de costo capitalizado.

En general, el procedimiento seguido al calcular el costo capitalizado de una

secuencia infinita de flujos de efectivo es el siguiente:

� Trace un diagrama de flujo de efectivo que muestre todos los costos y/o

ingresos no recurrentes (una vez) y por lo menos dos ciclos de todos los costos

y entradas recurrentes (periódicas).

� Encuentre el valor presente de todas las cantidades no recurrentes.

� Encuentre el valor anual uniforme equivalente (VA) durante un ciclo de vida

de todas las cantidades recurrentes y agregue esto a todas las demás

cantidades uniformes que ocurren en los años 1 hasta el infinito, lo cual genera

un valor anual uniforme equivalente total (VA).

� Divida el VA obtenido en el paso 3 mediante la tasa de interés “i” para lograr

el costo capitalizado.

� Agregue el valor obtenido en el paso 2 al valor obtenido en el paso 4.

El propósito de empezar la solución trazando un diagrama de flujo de efectivo

debe ser evidente. Sin embargo, el diagrama de flujo de efectivo es

probablemente más importante en los cálculos de costo capitalizado que en

cualquier otra parte, porque éste facilita la diferenciación entre las cantidades

no recurrentes y las recurrentes o periódicas.

Costo capitalizado = VA / i ó VP = VA / i ; P = A / i

Ejemplo: Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial

de $150,000 y un costo de inversión adicional de $50,000 después de 10 años.

El costo anual de operación será de $5,000 durante los primeros 4 años y

$8,000 de allí en adelante. Además se espera que haya un costo de adaptación

considerable de tipo recurrente por $15000 cada 13 años. Suponga que i = 15

% anual.

P1 = -150,000 - 50,000(P/F,15%,10[0.2472]) = -$162,360.00


A1 = -15,000(A/F,15%,13[0.02911] = -$436.65

P2 = -436.65 / 0.15 = -$2911.00

P3 = 5,000 / 0.15 = -$33,333.33

P4 = -3,000 / 0.15 (P/F,15%,4[0.5718]) = -$11,436.00

VP = P1 + P2 + P3 + P4 = -$210,040.33

Actualmente hay dos lugares en consideración para la construcción de un

puente que cruce el río Ohio. El lado norte, que conecta una autopista estatal

principal haciendo una ruta circular interestatal alrededor de la ciudad, aliviaría

en gran medida el tráfico local. Entre las desventajas de éste lugar se

menciona que el puente haría poco para aliviar la congestión de tráfico local

durante las horas de congestión y tendría que ser alargado de una colina a otra

para cubrir la parte más ancha del río, las líneas del ferrocarril y las autopistas

locales que hay debajo. Por consiguiente, tendría que ser un puente de

suspensión. El lado sur requeriría un espacio mucho más corto, permitiendo la

construcción de un puente de celosía, pero exigiría la construcción de una

nueva carretera.

El puente de suspensión tendría un costo inicial de $30,000,000 con costos

anuales de inspección y mantenimiento de $15,000. Además, el suelo de

concreto tendría que ser repavimentado cada 10 años a un costo de $50,000.

Se espera que el puente de celosía y las carreteras cuesten $12,000,000 y

tengan costos anuales de mantenimiento de $10,000. Así mismo, éste tendría

que ser pulido cada 10 años a un costo de $45,000. Se espera que el costo de

adquirir los derechos de vía sean de $800,000 para el puente de suspensión y

de $10,300,000 para el puente de celosía. Compare las alternativas con base

en su costo capitalizado si la tasa de interés es de 6% anual.

Solución:

Alternativa 1: P = 30,000,000 + 800,000; A = 15,000; R1 = 50,000 c/10 años.


Alternativa 2: P = 12,000,000 + 10,300,000; A = 8,000; R1 = 10,000 c/ 3 años;

R2 =45,000 c/ 10 años.

VP1 = -30,000,000 - 800,000 -(15,000/0.06) -

((50,000/0.06)(A/F,6%,10)[0.07587]) = -$31,113,225.00

VP2 = -12,000,000 - 10,300,000 -- ((10,000/0.06(A/F,6%,3)[0.31411]) -

((45,000/0.06(A/F,6%,10)[0.07587]) = -$22,542,587.50

Se debe construir el puente de celosía, puesto que su costo capitalizado es

más bajo.

Ejemplo: Un ingeniero de una ciudad está considerando dos alternativas para

el suministro de agua local. La primera alternativa comprende la construcción

de un embalse de tierra sobre un río cercano, que tiene un caudal altamente

variable. El embalse formará una represa, de manera que la ciudad pueda

tener una fuente de agua de la cual pueda depender. Se espera que el costo

inicial del embalse sea de $8,000,000 con costos de mantenimiento anual de

$25,000 y que el embalse dure indefinidamente.

Como alternativa, la ciudad puede perforar pozos en la medida requerida y

construir acueductos para transportar el agua a la ciudad. El ingeniero estima

que se requerirá inicialmente un promedio 10 pozos a un costo de $45,000 por

cada uno, incluyendo la tubería de conducción. Se espera que la vida promedio

de un pozo sea de 5 años con un costo anual de operación de $12,000 por

pozo. Si la tasa de interés que se utiliza es del 15% anual, determine cuál

alternativa debe seleccionarse con base en sus costos capitalizados.

Alternativa 1: P = 8,000,000; A = 25,000

Alternativa 2: P = 45,000 * 10; n = 10 años; A = 12,000 * 10

VP1 = -8,000,000 - 25,000/0.15 = -$8,166,666.67

A1 = -45,000*10(A/P,15%5[0.29832]) = -134,244.00

A2 = 12,000 * 10 = 120,000


VP2 = (A1 + A2)/i = (-134,244 - 120,000) / 0.15 = -$1,694,960.00

Los costos son considerablemente más baratos que el embalse.

2.2. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

La conveniencia de llevar a cabo una inversión se debe estudiar desde distintos

puntos de vista o criterios. No existe un indicador que resuma en una única

cifra toda la información significativa para decidir la conveniencia o no de una

inversión. Son los llamados elementos clave para la evaluación de proyectos

de inversión.

Rentabilidad

En principio, lo que interesa fundamentalmente es la rentabilidad. El proyecto

es rentable si el valor de los rendimientos que proporciona es superior al valor

de los recursos que utiliza, es decir, si el valor de los movimientos de fondos

positivos supera al de los negativos, teniendo en cuenta que el valor de unos

movimientos de fondos no es igual a su suma, puesto que tales movimientos

tienen lugar en diferentes instantes.

La comparación en el tiempo de cantidades monetarias

Al comparar estas dos cantidades, teniendo en cuenta los momentos a que van

asociadas, hay que considerar dos aspectos. Por una parte, las unidades

monetarias no son constantes. La moneda, es una unidad cuya magnitud varia

a lo largo del tiempo, y hay que tener en cuenta esta variación para comparar

dos cantidades en tiempos distintos. Si se estima que a lo largo del próximo

año el aumento del nivel de precios será de un 4% ello significa que 1.100 u.m.

percibidas dentro de un año tendrán el mismo poder adquisitivo que 1.100/1,04,

es decir, igual a 1.057,69 u.m. actuales.

En segundo lugar, es evidente, que no es lo mismo disponer de una cierta

cantidad ahora que un año después. Las entidades financieras prestan dinero a

quien lo solicita ahora y ofrece garantías de devolverlo más tarde.


Este servicio tiene un coste; si el banco nos presta 1.000 unidades monetarias

hoy al 7% de interés, al cabo de un año habrá que devolverle 1.070 unidades.

Por lo tanto, deberemos tener en cuenta:

a) La tasa de interés nominal, o coste del alquiler del dinero referido a unidades

monetarias corrientes. (el 7 % en este ejemplo)

b) La tasa de variación del nivel de precios, llamada inflación, en el lenguaje

corriente. (el 4% en este ejemplo).

Y a partir de estos dos, se puede definir un tercero:

c) El tipo de interés real o coste del alquiler del dinero referido a unidades

monetarias constantes. En el ejemplo, las 1.070 u.m. que se pagan dentro de

un año son equivalentes (tienen el mismo poder adquisitivo) a 1.070/1,04

=1.028,85 u.m. actuales, por lo cual el tipo de interés real es igual a

1.028,85/1000 =1,102885*100= 2,88%.

Riesgo/Seguridad

Entre dos proyectos con la misma rentabilidad es lógico preferir el de

resultados más ciertos, es decir, el que ofrece mayor seguridad, o lo que es lo

mismo, menor riesgo.

El riesgo mayor o menor, es inherente a la inversión. Recuérdese que invertir

es, básicamente, renunciar a unas satisfacciones ciertas a cambio de unas

expectativas, es decir, a cambio de algo no totalmente seguro o inclusive muy

incierto. Por lo tanto, el riesgo y la inversión son dos conceptos íntimamente

relacionados.

La cuantía y el momento de los pagos se pueden prever muchas veces con

poco error, pero en cuanto a los cobros siempre hay dificultades para su

estimación exacta. Las previsiones parten de supuestos que pueden o no

cumplirse, y evidentemente, la posibilidad de cometer errores crece en la

medida que las previsiones se alejan del presente y se entran en el futuro.


Liquidez

En general, la liquidez se refiere a la capacidad de los activos para generar

fondos con los que recuperar los pagos iniciales.

En determinados tipos de inversión, la liquidez es la facilidad con que se puede

cambiar por dinero el objeto de la inversión. Al invertir habremos pagado dinero

a cambio de un activo; la liquidez es la facilidad para andar el camino inverso.

Así una inversión en acciones que se cotizan en bolsa es más líquida que la

inversión en un inmueble.

Desde el punto de vista que se acaba de expresar, los proyectos industriales

(inversiones productivas en general) serán casi siempre inversiones de escasa

liquidez, puesto que una vez realizado el proyecto y efectuado los pagos

correspondientes, suele ser muy difícil vender los activos si no es a costa de

grandes pérdidas.

Un indicador muy sencillo y utilizado en la evaluación de la liquidez de un

proyecto es el período de retorno o período de recuperación, definido como el

tiempo necesario para recuperar la inversión inicial.

Desde luego el concepto sólo queda claramente definido en el caso de que

haya unos primeros periodos con movimientos de fondos negativos seguidos

de otros con movimientos positivos. Si los signos negativos y positivos se van

alternando a lo largo de la vida del proyecto no se puede hablar propiamente

de un periodo de retorno. Pero el primero de estos casos es el más frecuente y

por lo tanto, dicho periodo puede calcularse para la mayoría de los proyectos

de inversión.

Por supuesto, lo deseable, es que el periodo de retorno sea lo más corto

posible.

Consideraciones adicionales sobre la evaluación de las inversiones

a) El horizonte de los proyectos que se comparan ha de ser el mismo. Si no se

hace así, la comparación no es correcta.


Supóngase que se trata de elegir un modelo de máquina para un sistema

productivo que ha de funcionar indefinidamente, y que la elección se plantea

entre dos modelos (P y Q) de duración respectiva de 2 y 3 años. En este caso

no se debe calcular el VAN de P con un horizonte de 2 años y el de Q con 3

años, sino calcular ambos VAN para un mismo horizonte (como 6 años (que

por ser múltiplo de 2 y de 3 facilita los cálculos.)

b) Las variaciones en el nivel de precios

Cuando la variación de precios en los cobros y en los pagos no sea la misma,

(cosa que sucede con cierta frecuencia) conviene hacer las previsiones en

unidades monetarias corrientes para cada concepto por separado y

actualizarlas después con la tasa de interés o de descuento que proceda.

c) El valor residual

Cuando al final de la vida útil de la inversión exista un valor residual de la

misma, que puede ser positivo o negativo, deberá tenerse en cuenta en

cálculos del V.A.N., como un cobro o un pago, según corresponda.

Por ejemplo, la vida útil estimada de unas instalaciones industriales podría

fijarse en un determinado número de años en función de una política de

empresa, pero dichas instalaciones podrían tener algún valor en el mercado de

maquinaria de segunda mano. Si este valor fuese significativo, debería incluirse

en los cálculos del V.A.N.

Por el contrario, desmontar dichas instalaciones podría suponer un coste por

las causas que fueren, en cuyo caso debería de contemplarse dicho coste

como un pago.

e) Horizonte y períodos

Desde el punto de vista económico, la vida de un proyecto es el tiempo durante

el cual producirá cobros y pagos; a este tiempo se le denomina horizonte de la

inversión y puede o no coincidir con la vida del proyecto desde el punto de vista


técnico. Por supuesto, generalmente el horizonte no se conoce exactamente a

priori, pero es indispensable una estimación del mismo.

El horizonte se considera dividido en periodos de igual duración (tales como un

año, un mes, etc.) y normalmente se tratan todos los cobros y pagos de un

período como si tuvieran lugar en el instante final del mismo.

Evidentemente, al reducir a un solo instante lo que en realidad ocurre a lo largo

de un intervalo, introduce errores.

Conviene tener esto en cuenta para definir períodos suficientemente cortos

como para que estos errores no tengan importancia, pero sin perder de vista

que las dificultades para hacer previsiones aumentan a medida que el intervalo

de tiempo disminuye.

Aunque todos los ejemplos de análisis de inversiones que hemos podido

consultar, utilizan periodos de tiempo para fijar el horizonte temporal de la

inversión, nosotros pensamos que también es correcto utilizar el número de

unidades a fabricar/vender y su distribución temporal, e incluso pensamos que

puede mejorar la calidad de las previsiones.

f) Cobros, pagos, ingresos y gastos

Para evaluar económicamente una inversión los datos básicos son los

instantes en que se producen entradas y salidas de dinero y los importes de

estos movimientos. Estas entradas y salidas se denominan respectivamente,

cobros y pagos.

Los flujos que se han de prever son los asociados al proyecto de inversión, que

se superponen a una situación anterior a la puesta en marcha del proyecto. En

definitiva, los cobros y los pagos futuros que dependan del proyecto en

cuestión.

La base de dichos cobros y pagos será la Cuenta de Resultados previsional

asociada al proyecto de inversión, en la cual como mínimo, figurarán los

ingresos previstos en función de las unidades a vender y el precio previsto de


venta, así como los costes correspondientes a dichas unidades de producto, en

función de los correspondientes costes fijos y variables. (Una vez más, las

unidades a producir/vender son importantes a la hora de hacer los cálculos).

Ni el precio de venta, ni los costes unitarios pueden considerarse

necesariamente lineales, puesto que además de los incrementos lógicos de

I.PC., los precios de venta de los productos pueden verse afectados por la

política de precios que deba seguir la empresa en la comercialización del

producto, su ciclo de vida, la reacción de la competencia, etc. En cuanto a los

costes, podrían verse afectados por las llamadas “economías de escala” y otras

reducciones de precios que la empresa logre obtener (curva de la experiencia),

mayor apalancamiento operativo, etc.

g) Dimensión de un proyecto de inversión

Desde el punto de vista económico se suele considerar como dimensión de un

proyecto la cantidad máxima de fondos que requiere, es decir, el valor más

negativo de la curva acumulada de movimientos de fondos.

No debe ignorarse, que con frecuencia, las inversiones de capital fijo arrastran

a su vez, mayor necesidad de capital circulante, debido fundamentalmente al

incremento de la producción y venta. Incremento del crédito a conceder a los

clientes, incremento de materias primas y auxiliares para alimentar las líneas

de producción, incremento de productos en curso de producción, incremento de

productos terminados, etc.

La dimensión financiera de un proyecto de inversión, puede ser un factor de

riesgo importante, junto con la estructura financiera de la empresa y el volumen

de recursos propios de la misma, y dentro de dicha dimensión deben incluirse

tanto los importes que se contabilizan en el Activo, como los que se registran

directamente como gasto.

La verdadera inversión que hay que tener en cuenta, para calcular la tasa de

rentabilidad, es la suma de desembolsos originada por el proyecto, con

independencia del tratamiento contable que la empresa le haya dado.


h) Estructura financiera correcta

Aunque los manuales no inciden demasiado en el tema, nosotros lo

consideramos de vital importancia.

Peumans dice que es frecuente observar cómo algunas empresas que no

obtienen resultados altamente satisfactorios superan los periodos de crisis con

cierta facilidad, mientras que otras con rentabilidades muy elevadas, al

atravesar períodos críticos se ven obligadas a cesar en su actividad. La razón

de esta diferencia radica exclusivamente en el equilibrio o desequilibrio de su

estructura financiera. De aquí la importancia de establecer un plan de

inversiones racional y la necesidad de efectuar un estudio detallado de la

estructura financiera de la empresa que refleja el balance ”.

Por lo tanto, debemos tener en cuenta la estructura financiera del balance, y el

impacto que tendrá en dicha estructura la inversión una vez realizada, y a lo

largo de su horizonte temporal.


Unidad Temática: III. Programación Lineal

Objetivo: El alumno empleará los métodos de programación

lineal para la solución de problemas.

UNIDAD 3

PROGRAMACIÓN LINEAL

INTRODUCCIÓN

La programación lineal es una herramienta cuantitativa para tomar decisiones

administrativas. Hace parte de un grupo de técnicas de optimización, conocido

como Programación Matemática. Se compone de un conjunto de conceptos

teóricos y algoritmos matemáticos que nos permiten analizar diferentes tipos de

problemas encontrados en la gestión empresarial, para los cuales necesitamos

obtener la solución óptima.

Consiste fundamentalmente en la elaboración de un modelo matemático lineal

del problema, en la utilización de un algoritmo para la búsqueda de su solución

óptima y finalmente en interpretar y analizar esta.

La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la

Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos

modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir,

función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de

decisión.

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente

usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en

ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones

importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

3.1 MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL


Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas

(MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que

los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a

diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de

los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada.

Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para

determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo)

escogida de un gran número de decisiones posibles.

En todos los problemas de Programación Lineal, el objetivo es la maximización

o minimización de alguna cantidad.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Existen tres métodos de solución de problemas de programación lineal:

• Método gráfico o de las rectas de nivel. Las rectas de nivel dan los

puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor.

• Método analítico o de los vértices. El teorema fundamental de la

programación lineal, nos permite conocer otro método de solucionar un

programa con dos variables: “En un programa lineal con dos variables, si

existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se

encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada,

nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo

valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos


del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es

acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor

óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los

vértices de la región”

• Esquema práctico. Los problemas de programación lineal pueden

presentarse en la forma estándar, dando la función objetivo y las

restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado. Este es el

método que se utilizará en forma práctica.

3.1.1. SIMPLEX

El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la

solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir

mejorando más dicha solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo,

f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte

de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Modelo estándar de Programación Lineal

⋅ Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn). Función objetivo.

⋅ Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) £ b1

⋅ a21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) £ b1

⋅ Restricciones

⋅ am1X1+ am1X2 +…..+ amnXn) £ bm

⋅ Debiendo ser

⋅ X1 ³ 0, X2 ³ 0, ….. Xn ³ 0

Donde :

⋅ Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n.

⋅ n : número de variables.

⋅ m : número de restricciones.

⋅ aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.


Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones

que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o

iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de

que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥"

o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las

Dos Fases.

3.1.2. MÉTODO SIMPLEX DUAL

El modelo para resolver problemas de programación lineal que

pueden resolverse sin utilizar variables artificiales se llama método

simplex Dual, en este modelo la solución comienza siendo factible

pero no optima (Fuera del área Solución).

El algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce

con el nombre de Método Dual-Simplex.

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar,

agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.

La conversión de las ecuaciones se hace de tal manera de que

todas las variables exceso en las restricciones tengan un

coeficiente de mas uno (+1), multiplicando simplemente toda la

ecuación por menos uno (-1).

Dentro el proceso de solución solo cambiara la forma de elegir la

variable entrante o saliente:

La variable entrante será la “más negativa” del lado derecho (el

término independiente), es decir la variable menor.

La variable saliente será determinada por medio de una división

entre las filas de los coeficiente de “z” y los coeficientes de la

variable entrante, eligiendo así las más pequeña en valor absoluto.

El proceso de iteración será el mismo planteado para el método


Simplex PRIMAL.

3.2. MÉTODO SIMPLEX Y SUS VARIENTES

CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN

LINEAL

De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos

para construir un modelo de Programación Lineal:

• Función objetivo. (FO): Debe haber un objetivo (o meta o

blanco) que la optimización desea alcanzar.

• Restricciones y decisiones: Debe haber cursos o alternativas

de acción o decisiones, uno de los cuáles permite alcanzar el

objetivo.

• La FO y las restricciones son lineales. Deben utilizarse

solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.

Pasos para la construcción del modelo

1. Definir las variables de decisión.

2. Definir el objetivo o meta en términos de las variables de

decisión.

3. Definir las restricciones.

4. Restringir todas las variables para que sean no negativas.

3.2.1 SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES Y SOLUCIONES

ÓPTIMAS NO ACOTADAS

Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse

atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser:

• FACTIBLES. Si existe el conjunto de soluciones o valores


que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser:

con solución única, con solución múltiple (si existe más de

una solución) y con solución no acotada (cuando no existe

límite para la función objetivo).

• NO FACTIBLES. Cuando no existe el conjunto de soluciones

que cumplen las restricciones, es decir, cuando las

restricciones son inconsistentes.

La aplicación del método simplex dual es especialmente útil en el

análisis de sensibilidad. Se usa cuando después de haber obtenido

la solución óptima, se desea agregar una nueva restricción al

modelo si la nueva restricción no se cumple.

En este caso se obtiene que para los valores óptimos de las

variables de decisión, la solución permanece óptima pero se

convierte en infactible. Surge entonces la necesidad de aplicar el

algoritmo Dual-Simplex para extraer la variable básica que tiene

valor infactible. Cuando estudiemos el tema de análisis de

sensibilidad analizaremos un caso como el citado

EJEMPLO

La empresa AHM tiene una pequeña planta en la que fabrica en

forma artesanal 2 productos: jarrón modelo “fash” y jarrón modelo

“exquiso”. Las contribuciones a las utilidades para los productos

determinados por el departamento de contabilidad son de $10.00 y

$16.00 respectivamente.

Para su fabricación, los jarrones pasan por dos áreas de proceso

de producción. En el área A se prepara la materia prima y en el

área B se arma y hornea. El tiempo requerido para fabricar un

producto de jarrón modelo “fash” en el área A es de 2 horas y en el

área B es de 1 hora. Para la elaboración de un jarrón modelo

“exquiso” se requiere de 2 horas en el área A y en el área B 2


horas.

Las horas/hombre disponibles por día en el proceso de preparación

de materia prima es de 8 horas y en el proceso de armado y

horneado de 6 horas.

Maximice sus utilidades:

a) Realice el planteamiento: identifique la función objeto

y restricciones del problema.

b) Inserte el planteamiento en Excel y utilizando la

aplicación “solver” encuentre la solución óptima.

c) Interprete su resultado.

a) REALICE EL PLANTEAMIENTO: IDENTIFIQUE LA

FUNCIÓN OBJETO Y RESTRICCIONES DEL PROBLEMA.

FUNCIÓN OBJETO: MAX 10X + 16Y

RESTRICCIONES : S.A. 2X + 2Y <= 8

1X + 2Y <= 6

X>= 0, Y>= 0

Donde : X corresponde a los jarrones “fash” y

Y corresponde a los jarrones “exquiso”

La función objeto, esta formada considerando las ganancias a la

venta de cada uno de los productos.

La primera restricción esta basada en el tiempo disponible en el

proceso del área A, preparación de materia prima.

La segunda restricción esta basada en el tiempo disponible en el

proceso del área B, armado y horneado.

La tercera restricción indica que no se utilizarán valores

negativos, ya que no podemos fabricar en forma negativa (eliminar

productos); esta restricción será indicada en “opciones”

seleccionando la casilla “Adoptar no negativos”.


b) INSERTE EL PLANTEAMIENTO EN EXCEL Y UTILIZANDO LA

APLICACIÓN “SOLVER” ENCUENTRE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA.

El complemento Solver es un programa (complemento: programa

suplementario que agrega funciones o comandos personalizados a Microsoft

Office.) de Microsoft Office Excel que está disponible cuando instala Microsoft

Office o Excel. Sin embargo, para utilizarlo en Excel primero lo debe cargar:

1. Haga clic en el botón de Microsoft Office y, a continuación, haga

clic en Opciones de Excel.

2. Haga clic en Complementos y, en el cuadro Administrar, seleccione

Complementos de Excel.

3. Haga clic en Ir.

4. En el cuadro Complementos disponibles, active todas las casillas de

verificación, sin olvidar Complemento Solver y, a continuación, haga clic

en Aceptar.

Sugerencia Si Complemento Solver no aparece en la lista del cuadro

Complementos disponibles, haga clic en Examinar para buscar el

complemento.

Si se le indica que el complemento Solver no está instalado actualmente

en el equipo, haga clic en Sí para instalarlo.

5. Una vez cargado el complemento Solver, el comando Solver estará

disponible en el grupo Análisis de la ficha Datos.

Solver es un excelente complemento de MS Excel que permite la resolución de

pequeños y medianos problemas de Programación Lineal. En la mayoría de las

aplicaciones con fines estudiantiles es suficiente para resolver dichas

instancias.

Basados en planeamiento del problema anterior:

MAX 10X + 16Y

S.A. 2X + 2Y <= 8


..... . 1X + 2Y <= 6

..... .X>= 0, Y>= 0

PASO 1. Se ingresan los parámetros a una planilla de cálculo. Las celdas

marcadas en amarillo corresponde a las "Celdas Cambiantes" o variables de

decisión del modelo. La Celda C2 corresponde al Valor de la Función Objetivo

que esta dada por: A2*A3 + B2*B3. Las Celdas C5 Y C6 almacenan el valor o

lado izquierdo de las restricciones 1 y 2, quedando definidas como A2*A5 +

B2*B5 y A2*A6 + B2*B6, respectivamente.

PASO 2. Se inicia la aplicación Solver y se cargan los datos de la planilla.

PASO 3. Una vez ingresados los parámetros se selecciona "Opciones". Una

vez dentro de este menu se deben activar las opciones de "Adoptar modelo

lineal" y "Asumir no negativos". Luego se selecciona "Aceptar" y luego

"Resolver.


PASO 4. Si el modelo admite solución se obtienen los resultados. Se

recomienda seleccionar los Informes que sugiere Solver para una mayor

comprensión del modelo resuelto.

PASO 5. Los resultados son desplegados en las celdas cambiantes y se

verifica el cumplimiento de las restricciones del problema. La Solución Óptima

es X=2, Y=2 con Valor Óptimo V(P)=52. Adicionalmente, ambas restricciones

se encuentran activas, es decir, se cumplen en igualdad.

PASO 6. Al seleccionar los Informes de Respuesta, en particular el "Informe de

Sensibilidad" se obtiene información relevante sobre el modelo propuesto.

c) INTERPRETE SU RESULTADO.

De acuerdo a los resultados lanzados por “solver”. El resultado óptimo es que

fabrique 2 jarrones modelo “fash” y 2 jarrones modelo “exquiso”, para obtener

una ganancia de $52.00 en la venta de éstos.


CASOS:

1. La industria de manufactura BOMBIER S.A. DE C.V. fabrica y vende dos

tipos de bombas hidraúlicas: bomba normal y extra grande. El proceso

de manufactura asociado con la fabricación de bombas implica 3

actividades: ensamblado, pintura y prueba (control de calidad). Los

requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las

bombas se muestra a continuación:

BOMBA TIEMPO DE

ENSAMBLE

TIEMPO DE

PINTADO

TIEMPO DE

PRUEBA

Normal 3.6 1.6 0.6

Extra grande 4.8 1.8 0.6

La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de

$50.00, en tanto que la utilidad por una bomba grande es de $75.00. Existen

disponibles por semana 4800 horas de tiempo de ensamble, 1980 horas de

tiempo para pintura y 900 horas e tiempo de prueba. Las experiencias

anteriores de venta señalan que la compañía puede esperar vender cuando

menos 300 bombas normales y 180 de las extra grandes por semana. Se

desea determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar

semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades.

R= 300 b normales y 775 extra grandes con utilidades de $73,125.01

2. La empresa dedicada a la fabricación de muebles de oficina, produce

dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene

dos plantas que fabrican los escritorios. La planta 1, es una planta

antigua, que opera con doble turno, o sea 80 horas por semana. La

planta 2 es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin

embargo y dado que los administradores planean operar la segunda

planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han

encontrado operadores para que trabajen en los dos turnos. En estos

momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. En la

siguiente tabla se muestra el tiempo de producción (en horas por unidad)

y los costos estándar (en dólares por unidad) en cada planta.


TIEMPO DE PRODUCCIÓN COSTO ESTÁNDAR ( dll/

unidad)

PRODUCTO PLANTA 1 PLANTA 2 PLANTA 1 PLANTA 2

Escritorio ejecutivo 7 6 250 260

Escritorio

secretarial

4 5 200 180

La compañía ha competido con éxito en el pasado asignando en precio de

$350.00 dll. a los escritorios ejecutivos. Sin embargo parece que la

compañía tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a

$270.00 dll. con objeto de estar en posición competitiva. La compañía. La

compañía ha estado experimentando excesos de costos en las últimas ocho

semanas; por tanto, los administradores han fijado una restricción

presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto

semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de $2000.00

dll. , en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de

$2200.00 dll. A los administradores les gustaría determinar cual es el

número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta

con el objeto de maximizar las utilidades.

R= fabricar 8 escritorios ejecutivos en la planta 1, 2 escritorios secretariales

en la planta 1; 0 escritorios ejecutivos en la planta 2 y 10 escritorios

secretariales en la planta 2, con lo cual se alcanzaría una utilidad de

$1900.00 dll.

3. La industria Agro-Tech es una pequeña compañía de fabricación de

productos químicos, especialmente dos tipos de fertilizantes que se

elaboran combinando ingredientes que se compran con proveedores

externos . Se desea elaborar un programa de producción que conduzca

a las mayores utilidades posibles, al mismo tiempo solo se puede utilizar

una cantidad especifica de cada uno de los ingredientes por mes.

Los fertilizantes son: el fertilizante “FERTI 5-5-10” y el fertilizante “FERTI 5-

10-5” . En cada caso, el primer valor se refiere al porcentaje que el producto

final tiene de NITRATO QUIMICO, el segundo valor se refiere al porcentaje

de FOSFATO que tiene el producto final y el tercer valor da el porcentaje de


POTASIO en cada una de las mezclas. El fertilizante se estabiliza con un

material de relleno que es barro. No hay restricciones para el uso de mano

de obra, ni de maquinaria, ni de barro, el costo del relleno por tonelada es

de $10.00. Para mezclar se requiere utilizar una máquina mezcladora

especial con un costo de uso de $15.00 por mezclar una tonelada de

cualquier fertilizante.

El cliente compra cualquier cantidad de fertilizante de cualquier tipo. Esta

dispuesto a pagar $71.50 por tonelada de “FERTI 5-5-10” y $69.00 por

tonelada de “FERTI 5-10-5”. Este mes la disponibilidad y costo de la materia

prima es:

NITRATO: lo compramos a $200.00 la tonelada y nos pueden vender hasta

1100 toneladas.

FOSFATO: lo compramos a $80.00 la tonelada y nos pueden vender hasta

1800 toneladas.

POTASIO: lo compramos a $160.00 la tonelada y nos pueden vendar hasta

2000 toneladas.

Agro – Tech desea conocer la forma de obtener mayores utilidades

utilizando los recursos limitados.


Unidad Temática: IV. Seguimiento de Proyecto

Objetivo: El alumno empleará las técnicas y métodos para el

seguimiento de un proyecto

4. Seguimiento de Proyecto

4. 1 Técnicas y Métodos para la administración de proyectos

Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos

antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y

los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado por

parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados

con dichos proyectos.

El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de

armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y

subcomponentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una

nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación

de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina

Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de

Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica

demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno

como en el sector privado.

Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la

Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el

mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es

idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos

es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo

para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son

determinísticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticos o

estocásticos.


El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de

información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM

expone la "ruta crítica" de un proyecto.

Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras

palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la

ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta

crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad.

Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de

holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto

como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas

actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.

El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las

actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos

hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del

proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la

flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades

no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar

estos problemas.

Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y

monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en

éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta

inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica,

permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la

terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no

críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de

recursos.

Definición: El método del camino crítico es un proceso administrativo de

planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las

actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un

tiempo crítico y al costo óptimo.


Usos: El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran

flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para

obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las

siguientes características:

a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad.

b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo,

sin variaciones, es decir, en tiempo crítico.

c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo

disponible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la

planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de

presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios,

reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización,

estudios económicos regionales, auditorías, planeación de carreras

universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones

de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos

de población, etc., etc.

4.2 Técnica de evaluación y revisión del programa (PERT)

El método PERT (Program Evaluation and Review Technique –Técnica de

evaluación y revisión de programas) es un método que sirve para planificar

proyectos en los que hace falta coordinar un gran número de actividades.

Por ejemplo, supongamos que queremos hacer un viaje de fin de curso. El

PERT es una herramienta que nos permite planificar las diferentes actividades

que son

necesarias para el éxito del viaje. Utilizaremos el PERT para encontrar

respuesta a una serie de preguntas, como:

• ¿Cuándo debemos empezar a planificar el viaje?


• ¿Qué tareas tenemos que realizar?

• ¿En qué orden?

• ¿Qué tareas son más importantes si queremos evitar retrasos?

• ¿Qué retraso nos podemos permitir en cada tarea?

• ¿Qué ocurrirá con el proyecto si terminamos una tarea antes o después

de lo previsto?

El método PERT nos permite representar gráficamente las diferentes

actividades

que componen el proyecto y calcular los tiempos de ejecución de forma que

podamos contestar a esas preguntas.

Para ello debemos seguir 4 pasos:

1. Hacer una lista de actividades o tareas

2. Hacer una “tabla de precedencias”

3. Dibujar el grafo

4. Calcular las duraciones

A continuación, explicamos los diferentes pasos:

Paso nº 1:

Hacer una lista de las actividades que tienen que llevarse a cabo:

Tenemos que hacer una lista de todas las tareas que son necesarias para

poder

llevar el proyecto a buen término. En este punto, no es necesario que las tareas

estén ordenadas cronológicamente. Simplemente se trata de hacer una lista de

tareas lo más completa posible. Es fundamental que no nos dejemos ninguna

tarea fuera.

En nuestro caso, queremos organizar un viaje de fin de curso y, por tanto, una

posible lista de tareas sería la siguiente:


A. Contactar con otros compañeros que podrían estar interesados en organizar

el

viaje y formar un comité organizador.

B. Elaborar una lista de agencias de viaje potenciales.

C. Recabar información acerca de diferentes destinos turísticos, con

presupuestos

orientativos.

D. Estudiar posibles fechas para el viaje.

E. Preparar una reunión informativa para ver la disponibilidad de los

compañeros

de clase y discutir destinos y fechas.

F. Sabiendo el número aproximado de personas interesadas y las fechas

aproximadas, negociar con diferentes agencias.

G. Organizar reunión para decidir la opción final.

H. Recaudar reservas de plaza.

I. Organizar el pago completo y recogida de billetes.

J. Preparar folleto informativo para los participantes.

Paso nº 2:

Hacer una tabla de precedencias:

Para cada actividad, se trata de establecer qué actividades deben precederla.

Es

decir, vamos a tomar la lista de actividades, que posiblemente estará

desordenada, y vamos a ordenar las tareas según una relación de precedencia.

En la tabla, indicamos en la columna de la izquierda cada una de las tareas y,

en la columna de la derecha, las tareas que la preceden, es decir: aquellas

tareas que necesariamente tenemos que haber terminado antes de poder

empezar cada tarea.

Actividad

Actividades

precedentes

A -

B A


C A

D A

E B, C, D

F E

G F

H G

I H

J G

Por ejemplo, para poder empezar la tarea C (recabar información acerca de

posibles destinos turísticos), es necesario haber terminado la tarea A (formar

un

comité organizador): al fin y al cabo, es el comité organizador el que va a tener

que contactar con las agencias y recabar información.

Cada una de las relaciones de precedencia que tenemos en la tabla se puede

representar gráficamente. En realidad hay sólo 4 tipos distintos de grafos

parciales:

Nudo inicial:

De él deben partir todas las actividades que no tienen precedente. En nuestro

caso, sólo hay una actividad sin precedente y por tanto dibujaríamos:

Precedencias lineales:

Corresponden a los casos en los que hay una única actividad que precede y

una

única actividad que procede. Por ejemplo,


Precedencias de divergencia:

Corresponden a los casos en los que hay una actividad que precede y varias

actividades que proceden. En nuestro caso,

Precedencias de convergencia:

Corresponden a los casos en los que hay varias actividades que preceden y

una

única actividad que procede.

Paso nº 3:

Dibujar el grafo:

D

C E

B

B

A C

D

E F


Se hace siguiendo 3 reglas:

- Un nudo sólo puede numerarse una vez que se han numerado todos los

nudos

que le preceden (que tienen flechas que llegan hasta él)

- Debe haber un único nudo de comienzo y un único nudo de final.

- Dos flechas que parten del mismo nudo no pueden tener el mismo nudo de

destino.

Esta última regla es la menos intuitiva. Puede suceder perfectamente que, para

pasar de una fase del proyecto a la siguiente, sean necesarias varias

actividades

distintas. Por ejemplo, en nuestro proyecto, las actividades B, C y D son

proceden

de A y preceden a E. En principio, esto se podría representar de la siguiente

forma:

Sin embargo es interesante (para que la notación no sea demasiado pesada a

medida que el PERT se complica) poder definir una actividad como un conjunto

de 2 nudos (los 2 nudos que están ligados por esa actividad); y con la forma de

representación que acabamos de plantear esto no sería posible. Por eso,

utilizamos la siguiente representación:


Hemos añadido 3 actividades “ficticias” (con los nombres B’, C’ y D’) y 3 nudos

intermedios simplemente para respetar el principio de designación unívoca.

Para construir el grafo completo, utilizamos estas reglas que acabamos de

describir y obtenemos el siguiente grafo:

Paso nº 4:

Análisis de duraciones: tiempos "early" y "last":

El grafo PERT se utiliza para calcular la duración del proyecto y para evaluar la

importancia de las diferentes tareas:

• Tiempo "early" = tiempo mínimo necesario para alcanzar un nudo.

• Tiempo "last" = tiempo máximo que podemos tardar en alcanzar un nudo

sin que el proyecto sufra un retraso.

Las duraciones previstas nos vienen dadas por las características de las

diferentes

tareas: hay tareas que llevan más o menos tiempo.

Por el contrario, los tiempos early y last dependen de la relación entre las

diferentes tareas, y podemos calcularlos a través del grafo PERT.


Por ejemplo, supongamos que las duraciones previstas son las siguientes:

A continuación incorporaríamos estos datos al grafo PERT, de la siguiente

forma:

• Debajo de cada flecha, colocamos la duración de la actividad

correspondiente.

• Para los tiempos early: empezamos por el nudo inicial, asignándole un

tiempo early = 0. A partir de este nudo, el tiempo early de cada nudo

será

igual al tiempo early del nudo anterior + la duración de la actividad

precedente. Si hay varios nudos y actividades inmediatamente

anteriores, se toma el máximo de los “candidatos”.

• Para los tiempos last: empezamos por el nudo final, asignándole un

tiempo last igual a su tiempo early. A partir de este nudo, el tiempo last

de cada nudo será igual al tiempo last del nudo posterior menos la

duración de la actividad procedente. Si hay varios nudos y actividades

inmediatamente posteriores, se toma el valor mínimo entre los

“candidatos”.

Decimos que hay “HOLGURA” en un nudo cuando el tiempo early es inferior al

tiempo last. Que haya holgura significa que podemos permitirnos un retraso sin

que la duración total del proyecto se vea comprometida.

No hay holgura en un nudo cuando el tiempo early es igual al tiempo last. El


“CAMINO CRÍTICO” es la senda definida por los nudos que no tienen holgura.

Este camino es importante porque nos indica todas las actividades para las

cuales es importante que no haya ningún retraso.

En nuestro caso, tenemos holgura únicamente en 2 actividades:

• B (Elaborar la lista de agencias de viajes potenciales)

• D (Estudiar posibles fechas para el viaje)

A continuación mostramos el grafo PERT completo:

4.3 Método de la Ruta Crítica

Existen dos conceptos claves para la aplicación del método CPM:

Definición 1 El tiempo más temprano para un nodo i es el instante más

inmediato en el cual puede ocurrir el evento correspondiente al nodo i.

Definición 2 El tiempo más tarde para un nodo i es el último instante en el cual

puede ocurrir el evento correspondiente al nodo i sin retrasar la duración total

del proyecto.

Resolución Grafica

Para calcular los tiempos más tempranos para cada actividad se comienza

fijando el tiempo como cero en el nodo inicial. Luego, se calcula el intervalo de

tiempo que transcurre entre el inicio y las actividades inmediatas al comienzo

del proyecto (figura 3.1). Debido a que la actividad artificial no tiene duración, el

tiempo acumulado al nodo 3 para que sean terminadas todas las actividades


predecesoras a dicho nodo corresponde a 9 d³as. En otras palabras, el tiempo

más temprano para el nodo 3 es 9 d³as. Luego, las actividades que comienzan

en el nodo 3 no pueden comenzar antes de 9. Los nuevos intervalos de tiempo

se muestran en la figura 3.2.

A continuación, es posible completar el intervalo de tiempo de desarrollo para

la actividad E (figura de abajo).

Finalmente, el tiempo mas temprano para el nodo 5 es de 26 d³as, por lo que la

actividad F solo puede comenzar en dicho instante. Los intervalos de tiempo

mas temprano para todas las actividades del proyecto se muestran en la figura

3.4. A partir de esta figura, se puede concluir que la duración m³nima del

proyecto es de 38 d³as, cantidad que corresponde al camino mas largo para

llegar del nodo inicial 1 al nodo final 6.

Como segunda etapa se procede a calcular los tiempos mas tarde para cada

nodo. La idea consiste en determinar cuanto es posible retardar el inicio de

cada actividad sin afectar la duración total del proyecto.


Para ello se comienza desde el nodo final. En este caso, dado que existe una

única actividad que llega a dicho nodo no es posible retardarla sin afectar la

duración del proyecto. La figura 3.5 muestra el intervalo de tiempo más tarde

para la última actividad en paréntesis cuadrado.

Las actividades que llegan al nodo 5 terminan a más tardar en el día 26, por lo

tanto, es posible retardar la actividad C en 26 ¡ 17 = 9 días

. Se incorpora los intervalos de duracion de tiempo mas

tarde a la malla en la figura 3.6. El nodo 4 tiene como tiempo mas tarde 26, por

lo que no es factible re-

tardar la actividad D (figura 3.7). De esta forma, el nodo 3 tiene como tiempo

mas tarde 9 días, por lo

tanto las actividades deben llegar a mas tardar el día 9. Como la actividad

artificial no tiene duracion,

la actividad B no puede ser retardada. La actividad A puede ser retardada en

9¡6 = 3 días (figura 3.8).

Luego, se puede definir:


Definicion 3 Una actividad crítica es una actividad que no puede ser retardada

sin afectar la

duracion total del proyecto. En otras palabras, en el tiempo más temprano y el

tiempo mas tarde de

inicio de la actividad son identicos.

Definición 4 Un camino desde el nodo inicial al final constituido solo por

actividades críticas se denomina ruta crítica. Es decir, constituye el camino que

no puede ser retrasado sin afectar la duración del proyecto, o bien, la ruta más

larga entre los nodos inicial y final.

De acuerdo a la definiciones anteriores, la ruta crítica del proyecto corresponde

a las actividades B ¡Dummy¡D¡E ¡F segun los calculos realizados (figura 3.8).

La ruta crítica se ha marcado con línea más gruesa en la figura. Es importante

mencionar que en un proyecto puede existir más de una ruta crítica.

Resolucion Mediante LP Para determinar la ruta crítica mediante programacion

lineal podemos definir las siguientes variables:

xj = tiempo acumulado hasta al nodo j

De acuerdo a ello, las restricciones a satisfacer son:


Es decir, para cada arco (i; j) que conecta al nodo j se debe cumplir que el

tiempo acumulado desde el nodo i mas la duración de la actividad que conecta

el nodo i con el j (tij) deber ser mayor al tiempo acumulado al nodo j. Como el

objetivo es completar el proyecto, interesa minimizar la diferencia entre el

tiempo acumulado al nodo inicial (x1) frente al nodo final (xf ):

Aplicando las variables definidas al ejemplo se obtiene:

Resolviendo el problema se obtiene una solución optima: z = 38, x1 = 0, x2 = 9,

x3 = 9, x4 = 16, x5 = 26 y x6 = 38, lo que indica que el proyecto puede ser

completado en 38 días.

Evidentemente el problema anterior tiene muchas soluciones alternativas

debido a que las actividades pueden ser retrasadas sin afectar la duracion del

proyecto y a la arbitrariedad en fijar el instante de inicio, sin embargo todas

ellas poseen como valor de la funcion objetivo z = 38.

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM

Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera

en que se realizan los estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo

para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por

una distribución de probabilidad. El CPM por otra parte, infiere que los tiempos


de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar

cambiando el nivel de recursos utilizados.

La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una

distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres

estimados:

(1) el estimado de tiempo más probable, m;

(2) el estimado de tiempo más optimista, a; y

(3) el estimado de tiempo más pesimista, b.

La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo más

probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones

normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la

incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo,

disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar,

respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede

calcularse por medio de las fórmulas de aproximación.

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los

tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar,

suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son

independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la

varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta

crítica. Estas propiedades se demostrarán posteriormente.

En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se

hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida

que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear

el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por

lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación

de recursos.


BIBLIOGRAFÍA:

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Pinilla, Vicente. (2004) Simulación: Introducción Teórica y Aplicaciones en

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Quesada Ibargüen, V. Manuel y Vergara Schmalbach, Carlos J. (2006) Análisis

Cuantitativo con WINQSB Cartagena Colombia Ediciones Uniandes

(Universidad de Cartagena)

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