Experiencias en AnÁlisis de la Peligrosidad Natural en Centro América PARTE 2
Análisis 2 Mauldhart Parte 1
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8/17/2019 Análisis 2 Mauldhart Parte 1
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Análisis
Matemático 2
UNA CUIDADOSA SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS
MARTÍN MAULHARDT
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8/17/2019 Análisis 2 Mauldhart Parte 1
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CAPÍTULO 1
Geometría
del Plano.
El plano y el espacio constituyen el lugargeométrico sobre el cual vamos a trabajar
en casi todo este libro y donde se aplicanlos teoremas integrales en los cualesculmina esta materia. La descripción delplano en coordenadas polares constituyeuna herramienta fundamental pararesolver muchos problemas.
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CONTENIDOS
1. Conjuntos de puntos en R2.
2. Inecuaciones.
3. Representación geométrica.
SECCIÓN I
Coordenadas Cartesianas. Esta sección es extremadamente sencilla y nodebería representar mayor dificultad para el lector.Trabajaremos sólo aquellos problemas en los cuales ellector pueda tener alguna dificultad. Si el lectorconsidera obvio su contenido puede pasar
directamente a la siguiente sección.
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Problemas.
1. Describir mediante un gráfico las regiones planasdescriptas por :
(a) A = {( x, y) ∈ R 2 : x 2 − 2 x + y2
4− y ≤ 16}
(b) B = {( x, y) ∈ R 2 : 5 sinh( x)
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(b) Este ejercicio es muy sencillo una vez que unorecuerda las definiciones de las funciones hiperbólicas.Recordamos que
sinh( x) = e x
− e− x
2 cosh( x) = e
x
+ e− x
2
De esta definición observamos que la ordenada dela función sinh( x) está siempre debajo de la ordenadade la función cosh( x) para cada abscisa. Pero a nosotros
nos interesa averiguar, ¿para que abscisas
5 sinh( x) < 3 cosh( x)?
Esto es, luego de simplificar los “2” de los
denominadores,
5e x − 5e− x < 3e x + 3e− x
e2 x < 4
x < ln(2).
El gráfico del conjunto B resulta entonces :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-10
-5
5
10
El área comprendida entre estasdos funciones hasta x = ln(2) esel gráfico del conjunto B
(c) Este ítem es un poco más interesante que los dosanteriores. Es preciso hallar los ( x, y) ∈ R 2 tales que
sen( x) <1
2.
Supongamos primero que x ∈ [0,2π ]. Entonces,
salvo queπ
6≤ x ≤
5
6π se ver i f icará nuestra
desigualdad. Es decir nuestra desigualdad se verifica
en [0,π
6) ∪ (
5
6π ,2π ] y entonces puede parecer errónea-
mente que nuestra solución es una unión de intervalos.
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Nuestra solución es el conjunto de los ( x, y) que lasatisfacen, no los x que la satisfacen. Por lo cualnuestra solución será un subconjunto del plano, no dela recta. Dicho conjunto se describe analíticamente así :
C = {( x, y) : x ∈ . . . (−7
6π ,
π
6) ∪ (
5
6π ,
13
6π ) ∪ (
17
6π ,
25
6π ) ∪ . . . } .
Su gráfico es el siguiente.
-2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5
-3
-2
-1
1
2
3
5
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CONTENIDOS
1. Curvas en coordenadas polares.
2. Descripción de conjuntos en coordenadaspolares.
SECCIÓN 2
Coordenadas Polares Esta sección es la primera del libro que no debesubestimarse. El motivo de la dificultad es quedebemos pensar el plano de otra manera a comoestamos acostumbrados. Debemos identificar un puntodel plano no por sus proyecciones sobre los ejes, sino
por su distancia al origen, lo cual nos sitúa en unacircunferencia, y luego por el ángulo que se formaentre el eje x y el rayo que sale desde el origen hacia elpunto. Los ejercicios seleccionados tienen por objetivofamiliarizarnos con estas ideas.
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Problemas.
1. Trazar aproximadamente las curvas en coordenadas
polares dadas por :
(a) r = 2 0 < θ < π
(b) θ =π
6
(c) r = 2 cos(θ ), 0 ≤ θ ≤π
2.
Solución.
(a)Recordamos que las coordenadas cartesianas seobtienen de las polares por las fórmulas
x = r cos(θ )
y = r sen(θ )
de lo cual se obtiene elevando al cuadrado ambosmiembros de cada ecuación y sumando miembro amiembro que
x2 + y2 = r 2.
En nuestro caso r = 2, así que se obtiene laecuación de una circunferencia de radio 2.
x2 + y2 = 4.
La solución anterior no es la mejor paradesarrollar el pensamiento en coordenadas polares.Incidentalmente hay una pérdida de la variación de θ que no se está teniendo en cuenta. Lo que hicimos fuepasar la ecuación que nos dieron en coordenadaspolares a las coordenadas cartesianas. Veamos comollegar al mismo resultado pensando en coordenadas
polares.
Una ecuación de la forma r = f (θ ) define al radioen función del ángulo de la misma manera que unaecuación de la forma y = f ( x) define la ordenada paracada abscisa. Entonces r = 2 nos dice que el radio es 2 para cada 0 < θ < π . El gráfico resulta el siguiente, don-
de el lector debe dirigir su atención a que el plano estásiendo pensado en coordenadas polares y nocartesianas.
A lo largo del curso utilizaremos el color amarilloen los gráficos cuando el plano tenga las coordenadas
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polares y conservaremos el clásico blanco para lascoordenadas cartesianas.
-3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2
-1.6
-0.8
0.8
1.6
0.5!
!
1.5!
(b) De las ecuaciones
x = r cos(θ )
y = r sen(θ )
deducimos que, excepto que algún denominador seanule
tg(θ ) = y
x.
Luego introduciendo el valor de θ que nos han dadoobtenemos
tg(π
6) =
1
3=
y
x
o lo que es lo mismo
y = x
3.
Pero si procedemos así estamos nuevamentepensando el plano el coordenadas cartesianas ypodríamos nuevamente agregar puntos que en la curva
polar (en coordenadas polares) no estaban. Volviendo ameditar en coordenadas polares θ =
π
6 representa el
ángulo igual a una constante. Es decir, representa unasemirrecta. Dicha semirrecta la vemos en el siguientegráfico.
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-4.8 -4 -3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8
-2.4
-1.6
-0.8
0.8
1.6
2.4
0.5!
!
1.5!
(c) Este ítem es el más interesante del ejercicio, porque verdaderamente el radio depende del ángulo comoindica la fórmula r = 2 cos(θ ). Si pasamos de estaecuación a la correspondiente en cartesianasteniendo en cuenta que x = r cos(θ ) encontramos
x2 + y2 = 2 x x2 + y2
o lo que es lo mismo
x2 + y2 = 2 x
que luego de un completamiento de cuadrados
( x − 1)2 + y2 = 1.
Esto representa una circunferencia de radio 1 concentro en el punto P = (1,0).
Pero ya discutimos los inconvenientes del paso a laligera de las coordenadas cartesianas a las polares sintener en cuenta el dominio de variación de las variablesen cuestión. Si calculamos para distintos valores de θ el valor de r obtendremos, por ejemplo, que si
θ = 0, r = 2. Si θ =π
6 , r = 3. Si θ =π
4 , r = 2.
El grá f i co que res ult a es en ton ce s lasemicircunferencia siguiente donde volvemos agraficar en amarillo puesto que el plano está siendopensado en coordenadas polares.
Podés ver una solución on-line clickeando en el
siguiente aquí.
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http://youtu.be/fLiLuWA4AqEhttp://youtu.be/fLiLuWA4AqEhttp://youtu.be/fLiLuWA4AqE
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-2.4 -2 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4
-1.2
-0.8
-0.4
0.4
0.8
1.2
0.25!
0.5!
0.75!
!
1.25!
1.5!
1.75!
2. Describir mediante inecuaciones en coordenadascartesianas las regiones planas descriptas, encoordenadas polares, por
(a) 1
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y al ser tg(θ ) = y
x obtenemos
tg(π
6) ≤ tg(θ ) ∣ x ∣ }.
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Solución.
El gráfico resulta sencillamente
-3.2 -2.4 -1.6 -0.8 0 0.8 1.6 2.4 3.2
-1.6
-0.8
0.8
1.6
La primera inecuación re-escrita
x2
+ y2
≤ 2 y
se describe en coordenadas polares
r 2 ≤ 2 r sen(θ )
o simplificando
r ≤ 2 sen(θ ).
Y la segunda define trivialmente la variación delángulo
π
4< θ <
3π
4.
La respuesta final es entonces el sistema deinecuaciones
{0