UnADM

Unidad 1 Algebra Lineal

Reporte: Solución del problema ll

Integrantes

Yesenia Alpizar Guzmán enya_0610@hotmail.com

Yazmin Hernández Melchor princesyaz@gmail.com

Manuel Bonifacio Nápoles bo1351@yahoo.com.mx

Introducción

Durante los últimos 40 anos las matemáticas han aportado un sin numero de contribuciones a la teoría general

de ala ingeniera, estas constan de modelos matemáticos capaces de conceptuar y proporcionar soluciones a los

problemas en todas las áreas.

El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices,

sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones

lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis

funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.

La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William Rowan Hamilton (de quien

proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro

Die lineare Ausdehnungslehre (La teoría lineal de extensión).

Conceptos básicos

Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores con n elementos forma un espacio vectorial .

Así, por ejemplo, el vector (4.5, 7/11, -8) es un vector del espacio y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de . En

particular, corresponde a un plano cartesiano XY y es el espacio euclidiano provisto de un sistema de coordenadas XYZ.

Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al álgebra lineal) son dos: la suma de vectores y

el producto por escalar.

El producto por un escalar en sigue la regla:

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contracción o dilatación del vector (dependiendo de la

magnitud del escalar, es decir, si es mayor o menor de 1), junto con una posible inversión de su sentido (si el

signo es negativo, es decir, si es mayor o menor de 0).

Las funciones de interés para el álgebra lineal, entre los espacios vectoriales descritos, son aquellas que

satisfacen las dos condiciones siguientes con la operaciones básicas para todo par de vectores y todo

escalar :

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo

que estamos usando corresponden a vectores de números reales, pero puede extenderse a matrices del espacio

que son las matrices de números reales de tamaño .

El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre

los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una "ecuación" de la forma Au=v (donde u, v son vectores y A es una

matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene

solución o no.

Representación gráfica de la suma de dos vectores en .

Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio

vectorial (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n, es decir, un espacio formado por

vectores de n componentes) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones de uso.

Contexto general

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan

de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de

suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo,

que la suma es conmutativa).(métodos cuantitativos).

Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las

condiciones de linealidad:

A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de

escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede

construirse un espacio vectorial sobre un campo fijo).

Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura

adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno

(una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulo

entre un par de los mismos...

Espacios vectoriales de uso común

Dentro de los espacios vectoriales de dimensión finita, son de amplio uso los tres tipos siguientes de espacios

vectoriales:

Vectores en Rn

Este espacio vectorial está formado por el conjunto de vectores de n dimensión (es decir con n número de

componentes). Podemos encontrar un ejemplo de ellos en los vectores R2 , que son famosos por representar las

coordenadas cartesianas: (2,3), (3,4),...

Matrices

Artículo principal

Es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, cuyas dimensiones son descritas en las

cantidades de filas (usualmente m) por las de columnas (n) que poseen. Los arreglos matriciales son

particularmente estudiados por el álgebra lineal y son bastantes usados en las ciencias e ingeniería.

Generalización y temas relacionados

Puesto que el álgebra lineal es una teoría exitosa, sus métodos se han desarrollado por otras áreas de la

matemática: en la teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo; en el algebra

multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las

diferentes variables se dirige al concepto de tensor; en la teoría del espectro de los operadores de control de

matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica.

En todos estos casos las dificultades técnicas son mucho más grandes.

Desarrollo ALGEBRA LINEAL Y VECTORES

Para resolver el problema de la actividad 1, realizariamos lo siguiente:

1. Se van a construir tres vectores, el primero con las cantidades que se utilizaron de la sustancia 1; el segundo, con las cantidades que se utilizaron con las cantidades de la sustancia 2; el tercero, con las cantidades que se utilizaron con las cantidades de la sustancia 3 en cada prueba.

- Se representa geométricamente los vectores dados e indica sus componentes.

Vector A (6, 2,4), Vector B (9, 2,6), Vector C (7, 1,3)

2.Se construye tres vectores el primero, con las cantidades de las 3 sustancias que se utilizaron en la prueba 1; el segundo, con las cantidades de las 3 sustancias que se utilizaron en la prueba 2 y el tercero, con las cantidades de las 3 sustancias que se utilizaron en la prueba 3.

- Representa geométricamente los vectores dados e indica sus componentes.

Vector A-C (6, 9, 7), Vector 1ª Prueba (2, 2, 1), Vector 2ª Prueba (4, 6, 3)

- Suma los tres vectores que obtuviste para obtener el total de vasos utilizados de cada sustancia para las tres pruebas.

3.Se nombrarán s1, s2 y s3 a las tres diferentes sustancias. Calcula el producto punto de cada uno de los vectores de la pregunta 2, con el vector formado por s1, s2 y s3.

Vector A-C (6, 9, 7)

Vector 1ª Prueba (2, 2, 1)

Vector 2ª Prueba (4, 6, 3)

En seguida calcularemos el ángulo de cada uno de los experimentos o pruebas con respecto al vector que resulto de la suma de las sustancias 1, 2 y 3. Utilizando la siguiente fórmula:

Cos θ = u. v / |u|. |v|

Entonces, para el primer experimento (accidente científico), tenemos que:

Cos θ = (A – C) (S123) / |A - C|. |S123|

Cos θ = 302 / Ѵ (6)2+ (9)2+ (7)2 . Ѵ (12)2+ (17)2+ (11)2

Cos θ = 302 / Ѵ166. Ѵ544

θ = Cos-1(302/Ѵ91964)

θ = 5.22grados (Angulo de la primera prueba que corresponde al accidente científico con respecto a S123).

Segundo experimento:

Cos θ = (P2) (S123) / |P2|. |S123|

Cos θ = 69 / Ѵ(2)2+ (2)2+ (1)2 . Ѵ (12)2+ (17)2+ (11)2

Cos θ = 69 / Ѵ9. Ѵ544

θ = Cos-1(69/Ѵ4986)

θ = 12.26 grados (Angulo del Segundo experimento o primer prueba con respecto a S123).

Y finalmente, para el tercer experimento:

Cos θ = (P3) (S123) / |P3|. |S123|

Cos θ = 183 / Ѵ (4)2+ (6)2+ (3)2 . Ѵ (12)2+ (17)2+ (11)2

Cos θ = 183 / Ѵ61. Ѵ544

θ = Cos-1(183/Ѵ33794)

θ = 5.45 grados (Angulo del tercer experimento o segunda prueba con respecto a S123).

CONCLUSION FINAL:

Por lo tanto podemos concluir, que la segunda prueba contiene las medidas más cercanas en las cantidades de las sustancias buscadas del accidente científico.

Un piloto de una prestigiada aerolínea mexicana tuvo vacaciones en su trabajo y regresó con su familia a la

capital mexicana, debido a que viajó por todo el mundo, traía consigo efectivo en diferentes tipos de monedas,

siendo éstas: 8,500 yen, 300 libras esterlinas, 400 euros, 85 dólares, 500 soles y 200 francos suizos. Si el tipo de

cambio en moneda mexicana es de 0.16 el yen, 20.15 una libra esterlina, 16.76 un euro, 12.96 el dólar, 4.7 el sol

y 13 el franco suizo.

Representa las cantidades en efectivo que tiene el piloto mediante un vector. Sea u el vector que representa las

cantidades que tiene el piloto entonces se tiene. Que

U= (8500,300,400,85,500,200)

Representa el tipo de cambio de cada moneda mediante un vector sea v el vector que representa los tipos de

cambio entonces siguiendo el mismo orden de u, se tiene que:

V= (0.16,20.15,16.76,12.96,4.7,13)

Encuentra la cantidad total de efectivo en pesos mexicanos que tiene el piloto, para esto utiliza el producto

escalar.

Desarrollando el producto escalar de los vectores anteriores, tenemos,

u.v=(8500)(0.16)+(300)(20.15)+(400)(16.76)+(85)(12.96)+(500)(4.7)+(200)(13)

u.v.=1360+6045+6704+1101.6+2350+2600

u.v=20160.6

¿Existía claridad en el planteamiento del problema?

Si, Ya que esta especificando que cantidad tenían los pasajeros en monedas de su nacionalidad para poderlas

convertir en valor mexicano.

¿Se proporcionaron los datos necesarios para resolverlo o hacían falta?

Si lo necesaria solo hacía falta el valor de cada moneda nacional de cada país. Para poder realizar las

conversiones principalmente.

De manera general respondan ¿Cuál es la información o aspectos que consideran importantes de comprender y

obtener para poder resolver problemas en diferentes situaciones y contextos?

Las clasificaciones, valores, y formulas dependiendo el problema que se presente.

Bibliografía básica de referencia

Textos básicos

1. Grossman, S. Álgebra Lineal. McGraw-Hill.

Textos complementarios

6. Poole, D. Álgebra Lineal una Introducción Moderna. Thomson

7. Nicholson, W. Álgebra Lineal con Aplicaciones. McGraw-Hill