Algebra Lineal Unidad 4 y 5

INSTITUTO TECNOLOacuteGICO SUPERIOR DE TIERRA

BLANCA

AacuteLGEBRA LINEAL

UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES

Y

UNIDAD 5 TRANSFORMACIONES LINEALES

ING ELIAQUIM BLANCO VAZQUEZ

INTEGRANTES

JUAN MERINO LUNA

DEHIRO BRAVO SANCHEZ

YERALDY TOLEDO CASTILLO

ALEJANDRA RONQUILLO ROJAS

ARMANDO BELTRAacuteN ESPEJO

MAXIMILIANO FERNAacuteNDEZ TORES

ISAI ALAN CUATETA ROJAS

VICTOR PAXTIAN VELASCO

JOSE DE JESUS AVENDANtildeO MAZA

JOSE ERNESTO CASTRO CHAVEZ

TIERRA BLANCA VERACRUZ A 20 DE JUNIO DE 2012


41 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos denominados vectores junto con dos

operaciones binarias llamadas suma y multiplicacioacuten por un escalar

42 DEFINICIOacuteN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES Sea H un subconjunto no vaciacuteo de un espacio vectorial V y suponga que H es en siacute un

espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por un escalar definidas en

V Entonces se dice que H es un subespacio de V

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial ldquopadrerdquo V

TEOREMA 1

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen

las dos reglas de cerradura Este teorema demuestra que para probar si H es o no un

subespacio de V es suficiente verificar que

x + y y ax estaacuten en H cuando x y y estaacuten en H y a es un escalar

Lo anterior dice que

Todo subespacio de un espacio vectorial V contiene al 0

El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V el subconjunto 0 que consiste en

el vector cero nada maacutes es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo nuacutemero real a

TEOREMA 2

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V Entonces

H1 H2 es un subespacio de V

Definicioacuten de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades

Definicioacuten Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en siacute un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicacioacuten escalar definidas sobre V Se dice entonces que H es un subespacio de V

Teorema Un subconjunto no vaciacuteo H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen

Reglas para verificar si un subconjunto es un subespacio

i Si x isin H y y isin H entonces x + y isin H

ii Si x isin H entonces αx isin H para todo escalar α

Demostracioacuten Para demostrar que H es un espcacio vectorial debemos verificar que los axiomas de los espacios vectoriales cumplen con las operaciones de la suma vectorial y multiplicacioacuten escalar definidas en V Las dos operaciones de cerradura se cumplen por hipoacutetesis Puesto que los vectores en H tambieacuten estaacuten en V las leyes asociativa conmutativa distributiva y la del neutro multiplicativo se satisfacen Ahora si x isin H entonces

0x isin H debido a la hipoacutetesis (ii) Pero por el teorema de espacios vectoriales (parte ii) 0x = 0 Consecuentemente 0 isin H y el axioma (iii) se cumple Finalmente de la parte (ii) tenemos

que (-1)x isin H para todo x isin H Por el teorema de espacios vectoriales (parte iv) -x = (-1)x isin H de tal forma que el axioma (iv) tambieacuten se cumple y con ello concluimos la demostracioacuten

Este teorema nos dice que para probar que H es un subespacio de V nos basta con verificar que

x + y y αx estaacuten en H siempre que x y y esteacuten en H y α sea un escalar

La demostracioacuten anterior contiene un resultado importante que debe mencionarse expliacutecitamente


Este resultado nos permitiraacute ver faacutecilmente si un subespacio particular V no es un espacio vectorial Esto es si un subconjunto no contiene al 0 entonces no es un subespacio

Ejemplo 1

Para todo espacio vectorial V el subconjunto |0| que contiene solamente el vector cero es un subespacio puesto que 0 +0 = 0 y α0 = 0 para todo nuacutemero real α se le conoce como el subespacio trivial

Ejemplo 2

V es un subespacio de siacute mismo para todo espacio vectorial V

43 COMBINACION LINEAL INDEPENDENCIA LINEAL DEFINICIOacuteN DE COMBINACIOacuteN LINEAL Sea (V + bull K) un espacio vectorial Se llama combinacioacuten lineal (cl) de los vectores v1v2hellipvp a todo vector de la forma

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio del algebra lineal una de las ideas centrales es la de dependencia o

independencia lineal de los vectores En esta seccioacuten se define el significado de

independencia lineal y se muestra su relacioacuten con la teoriacutea de sistemas homogeacuteneos de

ecuaciones y determinantes

Existe una relacioacuten espacial entre los vectores

Se puede apreciar que v2=2v1 o si se escribe esta ecuacioacuten de otra manera 2v1-v2=0

44 BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL CAMBIO DE BASE Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinacioacuten lineal de los vectores

En R3 se escribieron los vectores en teacuterminos

de Ahora se generalizara esta idea

BASEUn conjunto finito de vectores es una base para un espacio

vectorial V si Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn

En Rn se define Puesto que los vectores e son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante

1) es un conjunto linealmente independiente y por lo tanto constituye una base en Rn Esta base especial se denomina base canonica en Rn Ahora se encontraran bases para otros espacios EJEMPLO base canonica para M22

Se vio que generan a

entonces es evidentemente que Asiacute estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 lo que se denomina base canoniacuteca para M22

TEOREMA si es una base para V y si vIcircV entonces existe un conjunto

uacutenico de escalares tales que

Existe cuando menos un conjunto de dichos escalares porque genera a V suponga entonces que v se puede escribir e dos maneras como una combinacioacuten lineal de los vectores de la base Es decir suponga que

Sea dos bases para V debe demostrarse que m=n esto se prueba mostrando que si mgtn entonces S es un conjunto literalmente independiente lo que contradice la hipoacutetesis de que S es una base Esto demostrara que mlen la misma prueba demostrara que lem y esto prueba el teorema Asiacute basta demostrar que si mgtn entonces S es independiente Como S constituye una base todo u se puede

expresar como una combinacioacuten lineal de las v se tiene

TEOREMA suponga que dimV=n si

Entonces restando se obtiene la ecuacioacutenpero como los v son linealmente independientes esta ecuacioacuten se cumple si y solo

si

Asiacute y el teorema queda demostrado

TEOREMA si son bases en un espacio vectorial V entonces m=n es decir cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo nuacutemero de vectores Para demostrar que S es dependiente deben encontrarse escalares

no todos cero tales que (2) Sustituyendo (1) en (2) se obtiene (3)

La ecuacioacuten (3) se puede reescribir como

Pero como son linealmente independientes se debe tener

(5)

El sistema (5) es un sistema homogeacuteneo de n ecuaciones con las

m incoacutegnitas y como mgtn el teorema dice que el sistema tiene un numero

infinito de soluciones De esta forma existen escalares no todos cero tales que (2) se satisface y por lo tanto S es un conjunto linealmente dependiente Esta contradiccioacuten prueba que mlen si se cambian los papeles de S1 y S2 se demuestra que nlem y la prueba queda completa Por este teorema se puede definir uno de los conceptos centrales en el algebra lineal DIMENSIOacuteN Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos entonces la dimensioacuten de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensioacuten finita De otra manera V se denomina espacio vectorial de dimensioacuten infinita Si V=0 entonces se dice que V tiene dimensioacuten cero Notacioacuten La dimensioacuten V se denota por dimV EJEMPLO la dimensioacuten de Mmn

En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posicioacuten ij y cero en otra parte Es sencillo demostrar que las matrices a para i=12hellipm y j=12hellipn forman una base para Mmn Asiacute dimMmn=mn

TEOREMA suponga que dimV=n si es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V entonces mlen

Sea entonces igual que la prueba del teorema se pueden encontrar

constantes no todas cero tales que la ecuacioacuten (2) se satisface Esto contradice la independencia lineal de los vectores u asiacute mlen TEOREMA sea H un subespacio de un espacio vectorial de dimensioacuten finita V entonces H

tiene dimensioacuten finita y (6) Sea dimV=n cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en H es tambieacuten linealmente independiente en V por el teorema anterior cualquier conjunto linealmente independiente en H puede contener a lis mas n vectores Si H=0 entonces dimH=0 Si dimHne0 sea vne0 un vector en H y H=genv si H=H dimH=1 y la prueba queda completa De lo contrario elija a vIcircH tal que vIumlH y sea H=genv1v2 y asiacute sucesivamente

Continuamos hasta encontrar vectores linealmente independientes tales

que H=gen El proceso tiene que terminar porque se pueden encontrar a lo mas n vectores linealmente independientes en H entonces H-klen EJEMPLO una base para el espacio de solucioacuten de un sistema homogeacuteneo Encuentre una base (y la dimensioacuten) para el espacio de solucioacuten S del sistema

homogeacuteneo

SOLUCIOacuteN aquiacute Como A es una matriz de 2x3 S es un subespacio de R3 Reduciendo por renglones se encuentra sucesivamente

Entonces y=z y x=-z de manera que todas las soluciones son de la forma Asiacutees una base para S y dimS=1 Obseacutervese que S es el conjunto de vectores que se encuentran en la recta x=-t y=t z=t TEOREMA cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en eun espacio vectorial V de dimensioacuten n constituyen una base apara V

Sean n vectores Si generan el espacio V entonces constituyen una

base De lo contrario existe un vector uIcircV tal que uIumlgen Esto significa

que los n+1 vectores u donde linealmente independientes Para ver

esto observe que si (8)

Entonces porque de lo contrario podriacuteamos escribir u como una combinacioacuten

lineal de dividiendo la ecuacioacuten (8) entre y poniendo todos los

teacuterminos excepto u en el lado derecho Pero si entonces (8)

es

Lo que significa que ya que los v son linealmente

independientes Ahora sea W=gen u como todos los vectores entre las

llaves estaacuten en V W es un subespacio de V como u son linealmente independientes forman una base para W y dimW=n+1 Pero por el teorema dimWlen esta

contradiccioacuten muestra que no existe el vector uIcircV tal que uIumlgen

Asiacute genera a V y por lo tanto constituye una base para V CAMBIO DE BASE

En R2 se expresaron vectores en teacuterminos de la base canoacutenica En Rn se

definioacute la base canonica En Pn se definioacute la base estandra

como Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas Pero en ocasiones ocurre que es mas conveniente alguna otra base Existe un numero infinito de bases para elegir ya que en un espacio vectorial de dimensioacuten n cualesquiera n vectores linealmente independientes forman una base En esta seccioacuten se vera como cambiar de una base a otra mediante el calculo de cierta matriz

Iniciaremos por un ejemplo sencillo Sean u entonces es

la base canonica en R2 Sean Como v1 y v2 son linealmente

independientes (porque v1 no es un muacuteltiplo de v2) es una segunda base

en R2 Sea un vector en R2 Esta notacioacuten significa

que Es decir x esta expresando en teacuterminos de los vectores de la base B para hacer hincapieacute

en este hecho se escribe Como B es otra base en R2 existen escalares

c1 y c2 tales que (1) Una vez que se encuentran estos escalares Se

puede escribir para indicar que x esta ahora expresado en teacuterminos de los vectores en B para encontrar los nuacutemeros c1 y c2 se escribe la base anterior en teacuterminos

de la nueva base Es sencillo verificar que

y es

decir Entonces

Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces

45 ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

DEFINICIOacuteN 1

Espacio con producto interno- Un espacio vectorial complejo V se llama espacio con producto interno si para cada par ordenado de vectores u y v en V existe un nuacutemero

complejo uacutenico (uv) llamado producto interno de u y v tal que si u v y w estaacuten en V y

C entonces

EJEMPLO

Un producto interno en Rn Rn - es un espacio con producto interno con (u v)= u v

DEFINICIOacuteN 2

Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v estan en V Entonces

i U y v son ortogonales si (u v) = 0

La norma de u denota por u esta dada por

U =

Nota A la u se le pone doble barra para evitar confusioacuten con el valor absoluto

EJEMPLO

Dos vectores ortogonales en C2 En C2 los vectores (3 -1) y (2 6i) son ortogonales porque

((3 -1) (2 6i)) = 32 + (-i)(6i) = 6 + (-i)(-6i) = 6 -6 = 0 ademaacutes (3 -i)) = =

DEFINICIOacuteN 3

Conjunto ortonormal - El conjunto de vectores v1 v2 vn es un conjunto ortonormal en V si

(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4

Complemento ortogonal- Sea H un subespacio del espacio con producto interno V Entonces el complemento ortogonal de H denotado por H estaacute dado por

H = x V (x h) = 0 para todo h H

46 BASE ORTONORMAL PROCESO DE ORTONORMALIZACIOacuteN

DE GRAM-SCHMIDT

El proceso de ortogonalizacioacuten de GramndashSchmidt de aacutelgebra lineal es un proceso utilizado en matemaacutetica y anaacutelisis numeacuterico para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano maacutes comuacutenmente el espacio eucliacutedeo Rn

Ortogonalizacioacuten en este contexto significa lo siguiente comenzamos con vectores v1hellip vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1 hellip uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1 hellip vk

Este proceso lleva el nombre en honor a Jorgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt

Definimos el operador proyeccioacuten con

donde los corchetes angulares representan el producto interior proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u

Antes de ver el proceso debemos comprender el porqueacute de la definicioacuten de proyeccioacuten Si recordamos la definicioacuten de producto escalar tenemos para el caso del numerador moacutedulo de u por moacutedulo de v por el coseno del aacutengulo que forman En el denominador tenemos moacutedulo de u por moacutedulo de u ya que el coseno seriacutea 1 Si separamos los dos moacutedulos de u en el denominador vemos que a la izquierda tenemos uacutenicamente moacutedulo de v cos (aacutengulo que forman) lo que nos da claramente el moacutedulo del vector proyeccioacuten Teniendo el moacutedulo del vector proyeccioacuten lo uacutenico que debemos hacer es asignarle una direccioacuten cosa que hacemos multiplicaacutendolo por umoacutedulo(u) lo que es el vector de moacutedulo 1 con direccioacuten u (el vector unitario)

El proceso de GramndashSchmidt entonces funciona como sigue

Los dos primeros pasos del proceso de Gram-Schmidt

Ejemplo

Considera el siguiente conjunto de vectores en Rn (con el convencional producto interno)

Ahora aplicamos GramndashSchmidt para obtener un conjunto de vectores ortogonales

Verificamos que los vectores u1 y u2 son de hecho ortogonales

Entonces podemos normalizar los vectores dividiendo su tamantildeo como hemos mostrado anteriormente


51 INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

AacuteLGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

Una transformacioacuten lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser faacutecilmente interpretados dentro de un contexto graacutefico lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar maacutes faacutecilmente Por otra parte trabajar con sistemas lineales es mucho maacutes sencillo que con sistemas no lineales ya que se puede utilizar una teacutecnica llamada superposicioacuten la cual simplifica de gran manera gran variedad de caacutelculos por lo que es de gran intereacutes demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformacioacuten lineal

Se denomina transformacioacuten lineal funcioacuten lineal o aplicacioacuten lineal a toda aplicacioacuten cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una funcioacuten de V en W T es una transformacioacuten lineal si para cada par de vectores de u y v pertenecientes a V y para cada escalar k perteneciente a K se satisface que

1

2 donde k es un escalar

Son aplicaciones lineales los operadores usados en la formulacioacuten matemaacutetica de la mecaacutenica cuaacutentica Para detalles especiacuteficos sobre estos ver el artiacuteculo Operador (mecaacutenica cuaacutentica)

Propiedades de las transformaciones lineales

1

Transformacioacuten Lineal Singular y No Singular

Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformacioacuten lineal

de en Entonces es no singular si

X

En caso contrario es singular

Teorema fundamental de las transformaciones lineales

Sea B = v1v2v3vn base de V y C = w1 w2 w3wn n un conjunto de vectores de W no necesariamente distintos entonces existe una uacutenica transformacioacuten lineal

Para todo

Clasificacioacuten de las transformaciones lineales

1 Monomorfismo Si es inyectiva o sea si el uacutenico elemento del nuacutecleo

es el vector nulo

2 Epimorfismo Si es sobreyectiva (exhaustiva)

3 Isomorfismo Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva)

4 Endomorfismo Si o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo)

5 Automorfismo Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez

Definicioacuten 1 Sean espacios vectoriales y sea Diremos que es

1 Una transformacioacuten lineal (o morfismo ) si dados

2 Un Monomorfismo si es un morfismo inyectivo

3 Un epimorfismo si es un morfismo sobreyectivo

4 Un isomorfismo si es un morfismo biyectivo

Ademaacutes llamaremos ( para abreviar) al espacio de morfismos de

donde es la funcioacuten constante cero esto es

Y la suma y producto escalar en se definen asiacute

1 Si entonces es la transformacioacuten dada por


TEOREMAS

TEOREMA 21 Si T V W es una transformacioacuten lineal entonces V es dimensionalmente finito si y soacutelo si N(T) y R(T) son dimensionalmente finitos y en este caso

dim(V) = nulidad(T) + rango(T)

Demostracioacuten

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un campo F definimos

L(V W) = T V W | T es una transformacioacuten lineal

Si T U Icirc L(V W) y a Icirc F definimos aT + U V reg W como (aT + U)(x) = aT(x) + U(x) para toda x Icirc F Es un ejercicio verificar que aT + U es una transformacioacuten lineal y que L(V W) junto con estas operaciones de suma y de multiplicacioacuten por escalares es un espacio vectorial sobre F

Definimos el que una funcioacuten fuera inyectiva sobre y biyectiva Es un ejercicio demostrar que para una transformacioacuten lineal T V W las siguientes condiciones son equivalentes

T es inyectiva N(T) = 0 (es decir nulidad(T) = 0) Para todo S ecirc V S es linealmente independiente si y soacutelo si T(S) ecirc W es linealmente

independiente

Tambieacuten se deja como ejercicio el verificar que si V y W son dos espacios vectoriales con la misma dimensioacuten (finita) y T V W es una transformacioacuten lineal entonces T es inyectiva o sobre si y soacutelo si es biyectiva

Una transformacioacuten lineal es una funcioacuten que preserva la estructura algebraica de espacio vectorial por lo que no toda funcioacuten entre espacios vectoriales es una transformacioacuten lineal De hecho es sencillo encontrar funciones inyectivas sobre y biyectivas que no son transformaciones lineales Esto motiva las definiciones de monomorfismo epimorfismo e isomorfismo

LEMA 22 Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F Supongamos que V es

dimensionalmente finito y que b = x1 xn es una base de V Entonces para todo y1

yn iacute W existe una unica transformacioacuten lineal T V W tal que T(xi) = yi para toda i = 1

n

TEOREMA 23 En la categoriacutea de los espacios vectoriales dimensionalmente finitos la dimensioacuten es un invariante completo de isomorfismo Es decir para cualesquiera dos espacios vectoriales dimensionalmente finitos V y W sobre un campo F existe un isomorfismo entre V y W si y soacutelo si dim(V) = dim(W)

Demostracioacuten

Sea V un espacio vectorial dimensionalmente finito sobre un campo F y sea b = (x1 xm) una base ordenada de V Para cada x Icirc V existen escalares uacutenicos a1 am Icirc F tales que x = a1x1 + + amxm Definimos al vector coordenado de x relativo a b como

[ x ]b = (

a1

am

)

Es faacutecil ver que el mapeo x | [ x ]b constituye un isomorfismo ccedil V Mn x 1(F)

Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F b = x1 xm una base ordenada de V y g = y1 xn una base ordenada de W Para cada T Icirc L(V W) definimos la matriz asociada a T con respecto a las bases ordenadas b y g como

[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )

Por otro lado dada una matriz A Icirc Mn x m(F) la funcioacuten LA Fm reg Fn definida por LA(x) = Ax es

una transformacioacuten lineal (ejercicio)

TEOREMA 24 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un campo F b = x1 xm una base ordenada de V y g = y1 yn una base ordenada de W Entonces el mapeo T | [T]b

g constituye un isomorfismo F L(V W) Mn x m(F) Maacutes auacuten para toda A Icirc Mn x m(F) se tiene que F-1(A) Icirc L(V W) es tal que [F-1(A)]b

g = A

Demostracioacuten

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un campo F Si T Icirc L(V W) entonces existe una matriz asociada a T por cada par de bases ordenadas b y g de V y W respectivamente El siguiente teorema (cambio de coordenadas) establece la relacioacuten entre estas matrices

TEOREMA 25 Sean V y W dos espacio vectoriales dimensionalmente finitos sobre un

campo F Si b b son dos bases ordenadas de V y g g son dos bases ordenadas de W

entonces existe una matriz invertible Q tal que Entonces el mapeo T | [T]bg constituye

un isomorfismo F L(V W) Mn x m(F) Maacutes auacuten para toda A Icirc Mn x m(F) se tiene que F-

1(A) Icirc L(V W) es tal que [F-1(A)]bg = A

Ejercicios

Sea un -espacio vectorial y una transformacioacuten lineal de de rango

Demostrar que existe un escalar tal que

Solucioacuten Puesto que entonces existe un vector no nulo de tal que

asiacute para alguacuten de Sea un vector de entonces

es decir

Encontrar subespacios de tales que pero la suma no es directa

Solucioacuten Sea

Es claro que En efecto

Pero noacutetese que la suma no es directa

ya que puesto que el vector

Sea un -espacio vectorial y sea un subespacio de Dado denotemos

por el subconjunto de definido por Denotemos por

la coleccioacuten de todos estos subconjuntos es decir Demostrar que

Solucioacuten (i) Si entonces luego y entonces

por tanto Veamos ahora el reciacuteproco debemos

demostrar que sea entonces

Hemos ltdemostrado que Sea ahora

entonces

luego hemos probado la otra inclusioacuten es

decir y de esta manera se tiene que

(ii) Veamos que la operacioacuten de suma estaacute bien definidasea y entonces

debemos ver que entonces

es decir

Ahora revisemos las propiedades de la suma de vectores la asociatividad y la conmutatividad son consecuencia de las respectivas propiedades de la suma de vectores en

El cero del espacio cociente es

El opuesto del vector es De la misma forma se demuestra que la operacioacuten de escalar por vector estaacute bien definida y ademaacutes se cumplen las otras propiedades de espacio

vectorial

(iii) Sea sea una base de seguacuten la Prop 9 del Capiacutetulo 1 esta base se puede completar hasta una base de

Vamos a probar que el conjunto

es una base de veamos en primer lugar que este conjunto de clases

genera al espacio

Sea en donde podemos entonces expandir este elemento de la base completada

tomamos las clases

por tanto

Hemos demostrado que

Veamos ahora que estas clases son LI sean tales que

entonces luego

es decir

y de esta forma

luego

En total se tiene que

52 NUacuteCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

TEOREMA 1

Sean T V W una transformacioacuten lineal Entonces para todos los vectores u v v1

v2hellip vnen V y todos los escalares α1 α2hellip αn

I T(0) = 0

II T(u ndash v) = Tu ndashTv

III T(α1 v1 + α2 v2 + hellip + αn vn) = α1T v1 + α2Tv2 + hellip + αnTvn

NOTA En la parte I) el 0 de la izquierda es el vector cero en V mientras que el 0 de la

derecha es el vector cero en W

DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute

0 = T(0) ndash T(0) = T(0) + T(0) ndash T(0) = T(0)

II T(u ndash v) = T [n + (-1)v] = Tu + T [(-1)v] = Tu + (-1)Tv = Tundash Tv

III Esta parte se prueba por induccioacuten (vea el apeacutendice 1) Para n=2 se tiene

T(α1 v1 + α2 v2) = T(α1 v1) + T(α2 v2) = α1T v1 + α2Tv2 Asiacute que la ecuacioacuten (1) se

cumple para n=2 Se supone que se cumple para n=k y se prueba para n= k + 1

T(α1 v1 + α2 v2 + hellip + αk vk + αk+1 vk+1) = T(α1 v1 + α2 v2 + hellip + αk vk) + T(αk+1 vk+1) y

usando la ecuacioacuten en la parte III) para n=k esto es igual a (α1T v1 + α2Tv2 + hellip +

αkTvk) + αk+1Tvk+1 que es lo que se queriacutea demostrar Esto completa la prueba

Un hecho importante sobre las transformaciones lineales es que estaacuten completamente

determinadas por el efecto sobre los vectores de la base

TEOREMA 2

Sea V un espacio vectorial de dimensioacuten finita con base B=v1 v2hellip vn Sean w1 w2hellip wn

n vectores en W suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales

que T1vi = T2vi= wipara i = 1 2hellip n Entonces para cualquier vector v є V T1v = T2v es

decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN

Como B es una base para V existe un conjunto uacutenico para escalares α1 α2hellip αn tales que

v = α1v1 + α2v2+hellip + αnvn Entonces de la parte III) del teorema 1

T1v = T1 (α1v1 + α2v2 +hellip+ αnvn) = α1T1v1 + α2T1v2 +hellip+ αnT1vn= α1w1 + α2w2 +hellip+ αnwn

De manera similar


Por lo tanto T1v = T2v

El teorema 2 Dice que si T V W y V tiene dimensioacuten finita entonces solo es necesario

conocer el efecto de T sobre los vectores de la base en V Esto es si se conoce la imagen

de cada vector baacutesico se puede determinar la imagen de cualquier vector en V Esto

determina T por completo Para ver esto sean n v1 v2hellip vnuna base en V y sea v otro

vector en V Entonces igual que en la prueba del teorema 2

Tv = α1Tv1+ α2Tv2 +hellip+ αnTvn

Asiacute se puede calcular Tv para cualquier vector v є V si se conocen Tv1 Tv2hellip Tvn

Si se conoce el efecto de una transformacioacuten liacuteneal sobre los vectores de la base entonces

se conoce el efecto sobre cualquier otro vector

Sea T una transformacioacuten liacuteneal de R3 en R2 y suponga que T = T = y T

= calcule T

Solucioacuten Se tiene = 3 -4 + 5

Entonces T = 3T - 4T + 5T

= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3

Sea V un espacio vectorial de dimensioacuten finita con base B = v1 v2hellip vn sea W un

espacio vectorial que contiene los vectores w1 w2hellip wn entonces existe una

transformacioacuten lineal uacutenica T VW tal que Tvi = wipara i = 1 2hellip n

DEMOSTRACIOacuteN

Se define la funcioacuten T como sigue

I Tvi = wi

II Si v = α1v1 + α2v2+ hellip+ αnvn entonces

Tv = α1w1 + α2w2+hellip+ αnwn

Como B es una base V T esta definida para todo v єV y como W es un espacio vectorial

Tv є W entonces solo falta demostrar que T es lineal pero esto se deduce directamente de

la ecuacioacuten (1) Si u = α1v1 + α2v2+hellip+ αnvny v= β1v1+ β2v2 +hellip+ βnvn entonces

T(u+v)= T[(α1+β1)v1+ (α2β2)v2+hellip+( αn + βn)vn]

= (α1+β1)w1 + (α2+β2)w2 +hellip+ (αn+βn)wn

=(α1+w1 + α2+w1+hellip+ αn+wn) + (β1+w1+ β2+w2 +hellip+ βn+wn)

= Tu + Tv

De manera similar T (αv) = αTv asiacute que es lineal La unidad de T se obtiene del teorema 2

y la prueba queda completa

TEOREMA 4

Si TW es una transformacioacuten lineal entonces

I nu T es un subespacio de V

II imagen T es un subespacio de W

DEMOSTRACIOacuteN

I Sean u y v en un T entonces T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(αTu) = α0 = 0 de

forma que u + v y αu estaacuten en un T

II Sean w y x en imagen T Entonces w =Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V

Esto significa que T(u + v) = Tu + Tv = w + x y T(αu) = αTu = αw por lo tanto w + x

y αw estaacuten en la imagen T

Nuacutecleo e imagen de la transformacioacuten cero

Sea Tv = 0 para todo v є V (T es la transformacioacuten cero) Entonces nuT = V e imagen T =

0

Nuacutecleo e imagen de la transformacioacuten identidad

Sea Tv = v para todo v є V (T es la transformacioacuten identidad) Entonces un T = 0 e imagen

T = V

Las transformaciones cero e identidad proporcionan dos extremos En la primera todo esta

en el nuacutecleo En la segunda solo el vector cero esta en el nuacutecleo Los casos intermedios

son maacutes interesantes

Nuacutecleo e imagen de un operador de proyeccioacuten

Sea T R3R3 definida por T = Esto es T es el operador de proyeccioacuten de R3 en

el plano xy Si T = = 0 = entonces x = y = 0 Asiacute un T = (x y z) x = y =

0 = eje z e imagen T = (x y z)z = 0 = plano xy Observe que dim un T = 1 y dim imagen

T = 2

Nulidad y rango de una transformacioacuten lineal

Si T es una transformacioacuten lineal de V en W entonces se define

Nulidad de T = v(T)= dim un T

Rango de T = (T) = dim imagen T

Nuacutecleo y nulidad de un operador de proyeccioacuten

SeaHun subespacio de Rn y sea Tv = proyHv Es claro que la imagen T = H Se tiene que

toda

v V si v = h + p = proyHv + proyH1v SiacuteTv = 0 entonces h = 0 lo que significa que v = p

H1 Asiacute un T = H1 (T) = dim H y v(T) = dim H1 = n - (T)

Nuacutecleo e imagen de un operador transpuesto

Sea V = Mmn y defina T Mmn Mmn por T(A) = At Siacute TA = At = 0 entonces At es la matriz

cero de nxm por lo que A es la matriz cero de mxn Asiacute un T = 0 y es claro que imagen T

= MmnEsto significa que v (T) = 0 y (T) = mn

Nuacutecleo e imagen de una transformacioacuten de P3 en P2

Defina T P3P2 por T(p) = T(α0 + α1x + α2x2 + α3x

3) = α0 + α1x + α2x2Entonces siT(p) = 0 α0

+ α1x + α2x2= 0 para toda x lo que implica que α0 = α1 = α2 = 0 Asiacute un T= p P3 p(x) = α3x

3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3

Nuacutecleo e imagen de un operador integral

Sea V = C[0 1] y defina J C[0 1] R por Jf = 10 f(x) dx Entonces nuJ = f C[0 1]

10f(x) dx = 0 Sea α un nuacutemero real Entonces la funcioacuten constante f(x) = α para x [0 1]

esta en C[0 1] y 10 αdx = α Como estos se cumple para todo nuacutemero real α se tiene que

imagen J = R

53 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL

TEOREMA 1- sea una transformacioacuten lineal Entonces existe una matriz uacutenica tal que para toda


41 DEFINICION DE ESPACIO VECTORIAL

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos denominados vectores junto con dos

operaciones binarias llamadas suma y multiplicacioacuten por un escalar

42 DEFINICIOacuteN DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES Sea H un subconjunto no vaciacuteo de un espacio vectorial V y suponga que H es en siacute un

espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicacioacuten por un escalar definidas en

V Entonces se dice que H es un subespacio de V

Se puede decir que el subespacio H hereda las operaciones del espacio vectorial ldquopadrerdquo V

TEOREMA 1

Un subconjunto no vacio H es un espacio vectorial V es un subespacio de V si se cumplen

las dos reglas de cerradura Este teorema demuestra que para probar si H es o no un

subespacio de V es suficiente verificar que

x + y y ax estaacuten en H cuando x y y estaacuten en H y a es un escalar

Lo anterior dice que


El subespacio trivial Para cualquier espacio vectorial V el subconjunto 0 que consiste en

el vector cero nada maacutes es un subespacio ya que 0+0= 0 y a0 = 0 para todo nuacutemero real a

TEOREMA 2

Sean H1 y H2 dos subespacios de un espacio vectorial V Entonces

H1 H2 es un subespacio de V

Definicioacuten de subespacio de un espacio vectorial y sus propiedades

Definicioacuten Sea H un subconjunto de un espacio vectorial V y supongamos que H es en siacute un espacio vectorial con las operaciones de suma y multiplicacioacuten escalar definidas sobre V Se dice entonces que H es un subespacio de V

Teorema Un subconjunto no vaciacuteo H de un espacio vectorial V es un subespacio de V si las dos reglas de cerradura valen












Ejemplo 1


Ejemplo 2


























si






(5)











homogeacuteneo










es


















y es

decir Entonces

Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces


DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R














Ejemplo 1


Ejemplo 2


























si






(5)











homogeacuteneo










es


















y es

decir Entonces

Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces


DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R



























si






(5)











homogeacuteneo










es


















y es

decir Entonces

Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces


DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R













homogeacuteneo










es


















y es

decir Entonces

Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces


DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R












es


















y es

decir Entonces

Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces


DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R















y es

decir Entonces

Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces


DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R



Asiacute de (1)

o

Por ejemplo si

entonces


DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R




DEFINICIOacuteN 1



C entonces

EJEMPLO


DEFINICIOacuteN 2




U =


EJEMPLO



DEFINICIOacuteN 3


(vi vj) = 0 para i

y

vi = = 1

DEFINICIOacuteN 4




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R




DE GRAM-SCHMIDT









Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R



Ejemplo











1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R









1




1




X




Para todo



es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R





es el vector nulo















TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R



TEOREMAS



Demostracioacuten






independiente






n


Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R




Demostracioacuten


[ x ]b = (

a1

am

)



[T] g

b

= ( [T(x1)]g [T(xm)]g )





g = A

Demostracioacuten







Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R



Ejercicios





es decir


Solucioacuten Sea











entonces





es decir




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R




vectorial




genera al espacio


tomamos las clases

por tanto



entonces luego

es decir

y de esta forma

luego



TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R




TEOREMA 1



I T(0) = 0





DEMOSTRACIOacuteN

I T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) Asiacute











TEOREMA 2




decir T1 = T2

DEMOSTRACIOacuteN




De manera similar













= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R








= calcule T



= 3 - 4 + 5 = + + =

TEOREMA 3




DEMOSTRACIOacuteN


I Tvi = wi









= Tu + Tv



TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R





TEOREMA 4




DEMOSTRACIOacuteN








0



T = V








T = 2







toda











3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R













3

e imagen T = P2 v(T) = 1 y (T) = 3





imagen J = R



Algebra Lineal Unidad 4 y 5

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