Algebra de Vectores

ÁLGEBRA DE VECTORES

VECTORES EN EL PLANO________________________________________2

Operaciones con vectores._______________________________________4

Propiedades de las operaciones con vectores________________________6

Vector unitario_________________________________________________6

Vectores unitarios canónicos_____________________________________7

VECTORES EN EL ESPACIO______________________________________8

Distancia entre dos puntos_______________________________________8

Vectores en el espacio__________________________________________9

Operaciones con vectores en el espacio____________________________9

Producto escalar_______________________________________________9

Propiedades algebraicas del producto escalar_______________________10

Ángulo entre dos vectores_______________________________________10

Dirección de un vector en el espacio______________________________11

Proyección de un vector________________________________________12

Producto vectorial_____________________________________________14

Propiedades del producto vectorial________________________________15

Producto escalar triple._________________________________________20

M.C. Óscar Ruiz Chávez Apuntes de Cálculo III

1

VECTORES EN EL PLANO

Un vector es como una flecha, y tiene una dirección y una longitud. Utilizamos vectores cuando queremos representar cantidades como una velocidad o una fuerza, que poseen tanto dirección (hacia donde van o empujan) como una magnitud o tamaño, que corresponden a su longitud.

ejemplos de vectores

Cada vector tiene un punto de inicio y uno final . En el plano, y respectivamente. Podemos considerar al vector de desplazamiento como el

segmento de recta dirigido desde P1 a P2 ó

La longitud del vector (magnitud o norma) la podemos calcular usando la

fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano x-y. Se denota por

1

1

P2(x2,y2)

P1(x1,y1) |y2-y1|

|x2-x1|

Un vector como un segmento de recta dirigido

La dirección del vector es el ángulo que forma con respecto a la horizontal. En el plano x-y, tomando como referencia el semieje x positivo y midiendo el ángulo

en sentido antihorario ( al reves del sentido de las manecillas del reloj), lo calculamos mediante la identidad trigonométrica

entonces


2

1

1

P2(x2,y2)

P1(x1,y1) |y2-y1|

|x2-x1|

es el ángulo de dirección del vectorDos vectores son equivalentes si ambos tienen la misma longitud o magnitud y la misma dirección. Esto es, no importa su posición en el plano.

1

1

u

v

w

los vectores u, v y w son equivalentesAl vector cuyo punto de inicio es el origen del sistema coordenado se dice que está en posición canónica.

Usualmente se denota un vector por una letra en negritas (bold): u, v, w ó

mediante una flecha encima del nombre del vector. .

Un vector en el plano tiene dos componentes, una horizontal (en la misma dirección que el semieje positivo x) y la otra vertical ( en dirección al semieje positivo y). Para el vector que va del punto al punto las

componentes son los números u1 y u2. .

u

P2(x2,y2)

P1(x1,y1)u2= y2-y1

u1=x2-x1

y

x

uP(u

1,u

2)

componentes del vector


3

Si el vector está en la posición canónica entonces las componentes coinciden con las coordenadas del punto final del vector.

Dos vectores son iguales si sus componentes correspondientes son iguales.

Si y entonces

Ejemplo: Hallar las componentes y calcular la longitud del vector con punto inicial P(-2, 1) y punto final Q(1, 5). Dibujar el vector en posición canónica.

Solución: las componentes de u son y ó

, la magnitud o longitud del vector es

-2 1

5

P

Q

u

3

u

en posición canónica

y

x

Operaciones con vectores.Aún y cuando los vectores no son números sus componentes si lo son, entonces podemos realizar algunas operaciones como sumar, restar o multiplicar vectores.

Sean y vectores en el plano y c un escalar.

Suma: es el vector cuyas componentes son

u

v

y

x

y

xu

v


y

xu

v

u + v

Método del paralelogramo


4

Multiplicación de vector por escalar: es el vector con componentes ,

el vector se denomina múltiplo escalar de

u

2u

0.5u

-1.5u

-u

-0.25u

Múltiplos escalares de

Cuando multiplicamos un vector por un escalar c el resultado es un vector

paralelo a pero |c| veces la longitud de . Si c es negativo entonces tiene

dirección opuesta al vector . Si c = 0, entonces es un vector con magnitud

igual a cero, o vector cero: .

Sea el múltiplo escalar de tal que entonces la

magnitud del vector v es

(c veces la magnitud de )

Si multiplicamos un vector por el escalar -1, entonces obtenemos el negativo del vector ( un vector paralelo del mismo tamaño, pero en dirección opuesta )

.

Diferencia. es el vector cuyas componentes son , restar el

vector de es equivalentye a sumar al vector el negativo de .

u

v

y

x

y

xu

v


y

xu

v

Como diagonal del paralelogramo

u-v


5

u

v

y

x

u

y

x

-v

Trasladamos -v al punto final de u

u

y

x

-v

Como resultante de la suma de u y -v

u-v

Propiedades de las operaciones con vectores:Sean vectores en el plano y c y d escalares.

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedad distributiva:

Identidad:

Inverso aditivo: vector cero:

Vector unitario. Es un vector de magnitud igual a uno.

Para encontrar un vector unitario en la misma dirección a un vector dado

buscamos un múltiplo escalar de que tenga magnitud 1. Esto es

donde o sea que , por lo tanto .

Cuando multiplicamos un vector por el recíproco de su norma o magnitud decimos que normalizamos el vector.

Si conocemos el ángulo de dirección del vector , el vector unitario en

dirección de es

||u||u2

u1


6

Vectores unitarios canónicos. En el plano existen dos vectores unitarios en

dirección de las ejes coordenados y son y . Cualquier vector en

el plano se puede representar como una combinación lineal de los vectores i y j.

Por ejemplo el vector , v1 y v2

son las componentes horizontal y vertical respectivamente del vector

x

y

v=<v1,v2>

i

j

v1i

v2j

Ejemplo: El vector

x

y

i

j

-2i

4j

v= - 2i+4j

Si conocemos la longitud y dirección de un vector sus componentes son:

Ejemplo: Las componentes del vector de longitud 5 y con dirección

(ángulo en radián)


7

VECTORES EN EL ESPACIOSi al plano xy le trazamos por el origen un eje perpendicular z tendremos un sistema de coordenadas tridimensional. Cada dos ejes forman un plano coordenado que divide al espacio en ocho regiones u octantes.

z

y

x

Pla-no xz

Pla-no xy

Pla-no yz

z

y

x

Pla-no xz

Pla-no xy

Pla-no yz

Sistema de coordenadas tridimensionales Primer octante

Un punto P en el espacio está determinado por un trío o terna ordenada de

números reales (x,y,z) donde x,y, z representan las distancias dirigidas de los planos yz, xz, xy al punto P respectivamente.

y

z

x

P

Plano xz

Plano yz

Plano xy

y

z

x

y

z

x

P(1,2,3)

3

1

Plano xz

Plano yz

Plano xy

2

Coordenadas x,y,z como distancias dirigidas Posición del punto P(1,2,3)

Distancia entre dos puntos

La distancia entre los puntos y

2 2 2( , , )Q x y z la calculamos

mediante la fórmula:

Ejemplo: Calcule la distancia entre los puntos P(1,2,3) y Q(3,1,5).Solución:


8

y

z

x

Q(x2,y

2,z

2)

Q´1

P(x1,y

1,z

1)

P'x2-x

1

y2-y

1

z2-z

1

Vectores en el espacio

Un vector en el espacio se denota por medio de un trío ordenado:

Vector de desplazamiento de a 2 2 2( , , )Q x y z :

Vector cero:

Vectores unitarios canónicos: ˆˆ ˆ1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k Vector como combinación lineal de vectores unitarios canónicos:

Operaciones con vectores en el espacio.

Sean y vectores en el espacio y c un escalar.

Suma:

Resta:

Múltiplo escalar:Las propiedades de la suma y multiplicacion de vector por escalar para vectores en el plano se aplican de la misma forma para vectores en el espacio.

Producto de dos vectores

Ya vimos como multiplicar un vector por un escalar. Tambien podemos multiplicar dos vectores y existen dos formas distintas de hacerlo

El producto escalar ( o producto interno ó producto punto) nos dá como resultado un escalar.

El producto vectorial ( ó producto cruz ) cuyo resultado es un vector.

Producto escalar. Sean y vectores en el plano, el

producto escalar de y , denotado por se obtiene sumando los productos de las componentes correspondientes.

Para los vectores en el espacio y :

Ejemplos:

para , , , ˆˆ ˆ1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1i j k


9

Propiedades algebraicas del producto escalar

Sean vectores en el plano o en el espacio y c un escalar.

1. Propiedad conmutativa :

2. Propiedad distributiva :

3.

4.

5.

podemos ver que no está en la lista la propiedad asociativa que nos diría que

, pero esto no es posible. ¿Por qué?

El producto escalar solo puede efectuarse entre vectores, cuando multiplicamos

obtenemos como resultado un escalar por lo tanto no se puede

realizar.

Ángulo entre dos vectores

Sean vectores no nulos y el ángulo

entre ellos, los vectores forman un triángulo ¨con lados de longitud

repectivamente.

Por la ley de los cosenos tenemos que:

Por las propiedades del producto escalar:

sustituyendo en la ley de los cosenos y simplificando:

despejamos cos :

cuando conocemos la magnitud de los vectores y el ángulo entre ellos, una forma de calcular el producto escalar es

definición geométrica del producto escalar


10

u

v

v-u

dado que ambos son positivos para vectores no nulos entonces el cos determina el signo del resultado del producto punto.

u v

u

v

u

v

u

v

u

v

Cuando dos vectores forman un ángulo de 90 (/2 rad) se dice que son ortogonales.

Si dos vectores son ortogonales entonces

ó tambien si entonces son ortogonales.

Dirección de un vector en el espacio

Un vector en el espacio cuando está en su posición canónica forma ángulos

con los ejes coordenados. Considerando a , y como los ángulos que forma

el vector con los vectores unitarios canónicos respectivamente,

denominados ángulos de dirección o ángulos directores del vector.

cosenos directores de

Si normalizamos el vector obtenemos

Y, puesto que la longitud de un vector normalizado es 1, entonces ó


11

z

y

x

k

ji

v

Ejemplo: Calcular los ángulos directores del vector

Solución:

, ,

Proyección de un vectorEn ocaciones es util descomponer un vector en la suma de dos vectores ortogonales cuando queremos ver el efecto del vector en una dirección determinada. Por ejemplo, un cuerpo apoyado sobre un plano inclinado.

Debido a la acción de la gravedad sobre la masa del objeto, el peso empuja el cuerpo contra el plano inclinado mientras que, al mismo tiempo, hace que tienda a desplazarse hacia abajo de la rampa,

formando los 2 vectores ortogonales y

.

El vector es la proyección del vector en la dirección del plano. Si tenemos

un vector el cual que nos indica la direccion de la rampa, entonces es la

proyección del vector sobre , y se le conoce como el vector componente

de en dirección de mientras que es el vector componente de

ortogonal a .


12

z

y

x

k

ji

v

3

-45

w2

w1

P

Sean dos vectores no nulos y . Donde

, es un múltiplo

escalar de de tamaño

de donde entonces

tenemos que (vector componente de en dirección de .)

y ( vector componente de ortogonal a .)

Ejemplo: Encuentre los vectores componentes del vector en la

dirección de y ortogonal a .

,

Trabajo. Cuando una fuerza de magnitud f= actúa sobre un objeto a

traves de una distancia d= , el trabajo realizado por la fuerza para desplazar el

objeto es W=fd

Siempre y cuando la fuerza y el desplazamiento estén en la misma

dirección

dF


13

u

vw1

w2

y

x

v

u

w1

w2

¿Qué pasa si la fuerza y el desplazamiento no están en la misma dirección? Esto quiere decir que entre los dos vectores existe un ángulo tal que

d

F

ProydF

donde podemos ver en la figura que , por lo

tanto

;

el trabajo W es igual al producto escalar de la fuerza y el desplazamiento .

Ejemplo: un niño tira de un carrito con una fuerza de 20 libras en un ángulo de 30con respecto al suelo. ¿Cuál es el trabajo realizado para desplazarlo 50 pies?

Solución: la proyección de la fuerza en dirección del desplazamiento tiene una

magnitud de de manera que el trabajo es igual a

.

Producto vectorial. Sean y vectores en el

espacio. El producto vectorial ( o producto cruz) de los vectores es el vector

Esta expresión es más fácil de recordar si la escribimos como un determinante de 3x3 con los vectores unitarios canónicos en el primer renglón y los

componentes de en los renglones 2 y 3 respectivamente.

y lo resolvemos por expansión de cofactores


14

50 pies

F=20 lb

Ejemplo: Sean y , calule a.b.

Solución:

a.

b.

Propiedades del producto vectorial.Sean , y vectores en el

espacio, el ángulo entre y sea c un escalar.

Algebraicas1.

2.

3.

4.

5.

6.

Geométricas1. el vector es ortogonal tanto a como a .

2.

3. si es un múltiplo escalar de , entonces

4. es igual al área del paralelogramo que tiene como lados

adyacentes a .


15

z

x

y

v

u

uxv

vxu

Demostración: La propiedad algebraica 1: .

Las propiedades algebraicas 4 y 5: ,

La propiedad geométrica 3: Si es un múltiplo escalar de (), entonces

( usando las propiedades algebraicas 3 y 5)

La propiedad aritmética 6:


16

La propiedad geométrica 1: el vector es ortogonal tanto a como a .

Dos vectores no nulos son ortogonales si , entonces

, el vector es ortogonal a

, el vector es ortogonal a .

Las propiedades geométricas 2 y 3: y

es igual al área del paralelogramo que tiene como lados

adyacentes a .

El área del paralelogramo ABCD es igual al producto

de su base por la altura h.

, donde la altura h es el lado opuesto al ángulo

en el triángulo rectángulo ABE de hipotenusa igual a .

De la razón trigonométrica despejamos h y

la sustituimos en la fórmula del área:

.

es el ángulo que forman los vectores , por lo tanto ,

sabemos tambien que ,

, si lo sustituimos en la fórmula del área del

paralelogramo tenemos que

.

Desarrollando los términos de la raiz:

.


17

u

v

h

base

altura

Area=(base)(altura)

A

B

C

D

E

reacomodando términos y reordenando factores tenemos que

por lo tanto el área del paralelogramo es igual a

de la definición de producto vectorial:

, la norma del vector es

.

Ejemplo: Encuentre un vector de magnitud 3 ortogonal a los vectores y .

Solución:el vector es ortogonal tanto a como a ,

el vector es paralelo a .

Ejemplo: Calcular el área del paralelogramo con lados adyacentes

y

Solución:

El área del paralelogramo:


18

Ejemplo: Calcular el área del triángulo con vértices en los puntos A(0,0,0), B(1,4,3) y C(4,-2,5)

Solución:

tomamos los vectores y

como los lados adyacentes

del triángulo ABC. Calculamos el área del triángulo como:

Momento de una fuerzaCuando aplicamos una fuerza sobre un punto Q de una palanca que contiene al punto P. Ésta fuerza genera un momento de fuerza que es normal al plano

que forma la palanca con la fuerza , y cuya magnitud mide la tendencia

de la palanca en girar en torno a un eje dirigido al vector en el punto P.

El momento de fuerza está dado por

con magnitud

con como el ángulo entre los vectores y .

Ejemplo: Se emplea una fuerza de 30 lb sobre la llave para aflojar una tuerca como se muestra en la figura. Calcular la magnitud del momento respecto al punto P al tiempo de que el ángulo entre los vectores y es de 60. La longitud de la llave es de 10 pulg. (1 pie = 12 pulg)

Solución:


19

x

y

z

v u

A

B

C

PQ

F

M

P

Q

P

Q

F

PQPQxF

Producto escalar triple.

Dados , y tres vectores en

el espacio, cuando combinamos el producto vectorial y el producto escalar

tenemos lo que se denomina producto escalar triple o

producto mixto.

Podemos calcular el producto escalar triple mediante una determinante

Ejemplo: Calcular el producto mixto de los vectores , y

Solución:

Si los vectores no son coplanares, cuando comparten el mismo punto de inicio forman entonces los lados adyacentes de un paralelepípedo cuyo volumen está dado por

donde la base es el paralelogramo formado

con los vectores tal que

y la altura es igual a la longitud de la proyección del vector sobre el vector , tal como se muestra en el dibujo.

De manera que el volumen del paralelpípedo es igual a


20

u

w

v

uxv

area de la base: ||uxv||

h

h=||w||cos

Volumen = ||uxv|| ||w|| cos

El producto escalar triple de los vectores es igual al volumen del paralelepípedo con esos tres vectores como sus lados adyacentes


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