Algebra Lineal Capitulo 3 Vectores

5/13/2018 Algebra Lineal Capitulo 3 Vectores

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Capitulo

3VECTORES EN [22 Y (23En la seccion 1.5 se definieron los vectores columna y vectores rengl6n como conjuntos 0[-denados de 1 1 numeros reales a escalares. En el siguiente capitulo se definiran otros tipos deconjuntos de vectores, denominados espacios vectoriales.

En principio, el estudio de los espacios vectoriales arbitrarios es un tema abstracto. Poresta razon es util poder contar con un grupo de vectores que se pueden visualizar facilmentepara usarlos como ejemplos.

En el presente capitulo se discutiran las propiedades basicas de los vectores en el plano xyyen el espacio real de tres dimensiones. Los estudiantes que conocen el calculo de varias varia-bles ya habran conocido este material, en cuyo caso se podra cubrir rapidamente, a manera derepaso. Para los que no, el estudio de este capitulo proporcionara ejemplos que haran muchomas comprensible el material de los capitulos 4 y 5.

Ell VECTORES EN EL PLANO

SEGMENTO DEI!EGA DIRIGIDO

Como se definio en la seccion 1.5,122 es el conjunto de vectores (XI ' x) can XI y x2 numerosreales. Como cualquier punto en e[ plano se puede escribir en la forma (x, y) es evidente quese puede pensar que cualquier punto en el plano es un vector en [l1, y viceversa. De este modo,los terrninos "el plano" y "(?2" can frecuencia son intercarnbiables, Sin embargo, para muchasaplicaciones fisicas (incluyendo las nociones de fuerza, velocidad, aceleracion y memento) esimportante pensar en un vector no como un punta sino como una entidad que tiene "longitud"y "direccion". Ahora se vera como se Ileva a cabo esto.

~an P y Q dos puntos en el plano. Entonces el segmento de recta dirigido de P a Q, denotadopor PQ , es el segmento de recta que va de P a Q (vea la figura 3.1a). Observe que los segmentos~ ~de recta dirigidos PQ y Q P son diferentes puesto que tienen direcciones opuestas (figura 3.lb).


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Figura 3.1_ :- ; ;e gm ~t os ~ re (t a~ -g l dos PO y OP apuntan- :: a d ir ec do ne s o pu es ta s

3 . 2- ::r .r no d e s eqm en to s

:? =~ j ir ig id o s e q u iv a -

PUNTO INICIAlPUNTO TERMINAL

SEGMENTOS DE' ' tECTA DIRIGIDOSEQUIVALENTES

DEFINICION a

3.1 Vectores en el plano 22

y .Q y j Qp i p..Y x0 0--7 --7a) PQ b) Q P

J'///-------I


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222 CAPiTlJLO 3

Figura 3.3 -;S e pu ede m ove r P O p arao bte ne r u n s eg me nto d er e c t a d i ri g id o equ iv a len tecan su pun ta in ic ia l ~ e l~ ge n_ O b se rve q ue O R yP O s on p ar ale lo s y t ienenl a m i sm a l on g itu d

DEFINICION a

MAGNITUD 0LONGITUD DE UN

VECTOR

Figura 3.4L a m a gn itu d d e u n v ec to rc o n c o or d en a d a x ig ua l a ay coordenada y ig ua l a b esJ l I +Ir

EJE M PL O 1

V ec to re s e n [i2 y [il

y .i.-:"o

Definicion algebraica de un vector

Un vector ven el plano xy es un par ordenado de numeros reales (a, b) . Los numeros a yb se denominan elementos 0 componentes del vector v. EI vector cero es el vector (0, 0).

Observacion I. Can esta definicion es posible pensar en un punto en el plano xy con coordena-das (a, b) como un vector que comienza del origen y termina en (a, b) .Observation 2. EI vector cera tiene magnitud ce ro , Par 1 0 tanto, puesto que los puntos inicial yterminal coinciden, se dice que el vector cera no t ie ne d ir ec ci on .Observacion 3. Se hace hincapie en que las definiciones I y 2 describen, precisamente, los mis-mos objetos, Cada punto de vista (geornetrico 0 algebraico) tiene sus ventajas. La definicion 2es la definicion de un 2-vector que se ha estado utilizando,Puesto que en realidad un vector es un conjunto de segmentos de recta equivalentes, se definela magnitud 0 longitud de un vector como la longitud de cuaJquiera de sus representaciones y sudirecci6n como la direcci6n de cualquiera de sus representaciones. Haciendo uso de la represen-taci6n o R y escribiendo el vector v = (a, b) se encuentra que

! v i = magnitud de v = ~a2 + b2 (I)Esto se deduce del teorema de Pitagoras (vea la figura 3.4). Se ha usado la notacion Ivl paradenotar ala magnitud de v. Observe que Ivles un escalar .

)' R(a, b)1,,,II

: b(}-l'-_;_-------L~xo a

Calculo de la magnitud de seis vectoresCalcule las magnitudes de los vectores i) v=(2,2); ii) v=(2,2.J3); iii) v =( - 2 . J 3 , 2 );iV ) v =(-3, -3); v) " = (6, -6); vi ) v = (0,3).


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-. Solucion

DIRECCION DEUN VECTORI!----

f="-EJ EM PLO 2~"---,-,~.!

Solucion

?" lgUra 3.5: '?:: o n e s d e s e is v ec to r e s


i. I v l =J 2 2 d = J 8 = 2 J 2ii. I v l =~22 + (2.fj ) 2 = 4iii. I v l =~(_2.fj)2 +22 =4iv, [v ] = ~(_3)1+ (-3/ = J I 8 = 3 J 2v. 1 " 1 = ~61 + (_6)2 =.fi2 = 6 J 2

vi. [v ] = ~02 + 32 = . J 9 = 3Se define la direccion del vector v = (a, b) como el angulo e , medido en radianes, que formavector con ellado positivo del e je x. P o r c o nv e n c io n , se escoge e tal que 0 ~ e < 2 1 t . De la figu3.4 se ded uce que S I a - : ; 1 = 0, entonces

t a n e = ~ a (2)

Nota. tan 8 es periodica can periodo 1,entonces si a - : ; 1 = 0 siempre existen dos nurneros en [0, 2tales que tan e = ! ! . . . Por ejemplo, tan ~ = tan 51= 1 . Para determinar e de maneraunica es ne- a 4 4cesario determinar el cuadrante de v , como se aprec i a ra en e l siguiente e j emp lo .

Calculo de las direcciones de seis vectoresCalcule las direcciones de los vectores en el ejerriplo I .Estos seis vectores estan dibujados en la figura 3.5.

y

y

U L ")yy( - 2 J 3 , 2 ) 5 rc1t

3 6 6x x0b) c)

y

yx (0,3)

1t2 x(6, -6) 0

e) f)

5n :4

7n :4-3, -3)

d)


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224 CAPiTULO 3

Fig ura 3 .6E I ve cto r 2 v tie ns la m is rn ad ire cc io n q ue v y e l d o bl ed e s u m a gn itu d. E I ve cto r-2 v tie n e d ire cd on opues-ta a v I' e l dob le de sumagn i tud

Vectores en [)2 y [)J

i. \. se encuentra en el primer cuadrante y como ta n E l=2 /2 = 1 , E l=r t /4.ii. E l= tan-I 2.fi/2 = tan-I.fi = rt/3 (ya que vesta en el primer cuadrante).iii. vesta en el segundo cuadrante y como tan " 2/2.fi = ta n " 1/[3=r t /6 , Y de la figura

3 . 5 c que E l= 1t ~ ( n / 6 ) = 5rt /6 .iv . vesta en eJ tercer cuadrante, y como ta n -I 1=r t /4, se encuen t r a que E l= rt + ( rt / 4 )

=5rt /4.v. Como v esta en el cuarto cuadrante y ta n -I (~[) = -n/4, se obtiene E l=2n ~ ( r t l 4)

=7 n/4.v i. No se puede usar la ecuacion (2 ) porque bla no e st a d e fi ni do . No obstante, en la figura

3 . S f se ve que e = n/2.En general, si b > 0

Direccion de (0 , b) =~ y direccion de (0, - b) = 3 rt b > 2 2

En la seccion 1.5 se defini6 la suma de vectores y Ja multiplicacion por un escalar. ~Que sig-nifican en t er m in o s g e or ne tr ic o s estos conceptos? Se comienza con la mult ip l i cac ion par unescalar, Si v = (a, b), entonces ov = (au, ab). Se encuentra que

(3)es decir,

Magnitud de avMultiplicar un vector por un escalar diferente de cera tiene el efecto demultiplicar la longitud del vector par el valor absoJuto de ese escalar.

Mas aun, si a > 0, entonces avesta en el misrno cuadrante que \' y , por 1 0 tanto, Ja direccionde aves la misma que la direccion de v y a que tan-I(ab/atl) = tan-'(bla). Si a < 0, entonces a"tiene direccion opuesta a la de v. En otras palabras,

Direcci6n de aVDireccion de o v = direccion de v, si a > 0Direccion de av = (direcci6n de v) + rt si a < 0

(4)

y

y y

(-2, -2)

II) El vector original v b) 2 v c) -2v


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Figura 3.7. ~ r eg ia d e l p a ra le lo g ra rn o;~ra s u r n a r vec to res

E JE M PL O 3

3.8,," ': :J feS u - vy v - u

--~ - a rn is ma rn ag nitu d..r- : r ecc i cnes opues t as


Multiplicaci6n de un vector por un escalarSea v = (I, I). Entonces ! v i = ~ = fi. y 1 2 v l = 1 (2 ,2 ) 1 = ) 2 2 + 2 2 = . . J 8 = 2fi. = 2 1 v l. Todavmas, 1 - 2 v l = ) ( _ 2 ) 2 + ( _ 2 ) 2 = 2fi = = 2 1 v l . Asi, la direccion de 2 v es rr./4, mientras que la dircion de - 2 v es 5rr./4 (vea la figura 3.6).

Ahora suponga que se suman dos vectores: u = ( a i ' bl) Yv = (a z ' b" ) como en la figura 3De la figura se puede apreciar que el vector u + v = (al + (/2 bl + /)1) se puede obtener trasdando la representacion del vector v de manera que su punta inicial coincida el punta termin(al' bl) del vector u. POl' 10 tanto, se puede obtener el vector u + \.dibujando un paralelogramcon un vertice en el origen y lados u Yv. Entonces u + ve s el vector que va del origen a 1 0 larde la diagonal del paralelogramo.Nota. Al igual que un segmento de recta es la distancia mas corta entre dos puntos, se dedude inmediato, de la figura 3.7, que

(5)OesiguaJdad del trianqulo

l u + v i ~ l u / + 1 " 1

POl' razones que resultan obvias en la figura 3.7, la desigualdad (5) se denornina desigualdadel triangulo.

Tambien se puede utilizar la figura 3.7 para obtener una representacion geornetrica del vetor u - v. Como u = u - v + v, el vector u - \. es el vector que se debe sumar a v para obteneu. Este hecho se ilustra en la figura 3.8a. Un hecho similar se ilustra en la figura 3.8b.

a) b)


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226 CAPiTULO 3

Figura 3.9L o s v e c to r es i y j

DEFINICI6N II

V ec to re s e n V2 y Vl

y

(0, I)

-----r--~_.~----~xo (1,0)Existen dos vectores especiales en [!2 que nos permiten representar otros vectores en el planode una forma conveniente, Se denota el vector (1, 0) par el simbolo iy el vector (0, l) par elsimbolo j (vea la figura 3.9). Si \' = (a, b) es cualquier vector en el plano, entonces como (a, b)= a(i, 0) + b ( O , 1 ) , se p u ed e e sc ri bi r

v = (a , b) = a i + bj (6)

Con esta representaci6n se dice que \. es t a expresado en sus componentes horizontal y vertical.Los vectores i y j tienen dos propiedades:

i. Ninguno de ellos es multiple del otro. (En la terrninologia del capitulo 4, son linea/menteindependientes.j

ii. Cualquier vector v se puede escribir en terrninos de iy j como en la ecuaci6n (6).1Nota historica. Hamilton utilize por primera vez los simbolos i j. Defini6 sucuaternion como una cantidad de la forma a + hi + cj + dk, donde a es la "par-te e s c a l a r " y h i + c j + elk es 1 1"parte vectorial". En 1 1secci6n 3.3 se escribiranlos vectores en el espacio en la forma bi + c j + dk.

Bajo estas dos condiciones se dice que i y j forman una base en(?l. En el capitulo 4 se estudia-ran las bases en espacios vectoriales arbitrarios.

Ahora se definira un tipo de vector que es m uy u til en ciertas ap l i cac iones ,

Vector unitarioU n v ec to r unitario es un vector con longitud 1 .

Un vector unitarioEI vector u =(1/2) i+ (13/2) j es un vector unitario ya que

1 En la e cu a c io n (6 ) se d ic e q u e v s e p u e d e e s c r ib ir c om o u n a combinaci6n lineal d e i y i- S e e stu dia ra e l c on ce pto d e

c orn bin ac io n lin ea l e n la s ec cio n 4 .5 .


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Figu r a 3 . 1 0: :'_ 10 te rm in al d e u n~~: r unitario q u e t ie n e su_ -::. m ic ia l e n el o rig en s e

zr: ~ _~n i ra s ab re e l d r cu l o- ~ rlo ( cir cu lo c en tr ad o e n-Te n c o n r a d io 1 )

EJEMPLO 5

EJEMPLO 6

SO /U c iO Il


J'

Sea u = ai + bj un vector unitario. Entonces l u i =~ a 2 + b 2 =1,de manera que a ' + b2 = 1 Yuse puede representar par un punto en el circulo unitario (vea la figura 3.10). Si 9 es la direccionde u , es claro que a = cos 9 y b = sen 9. De este modo, cualquier vector u n ita rio u se puedeescribir en la forma

Representacion de un vector unitariou = (cos 9)i + (sen 8)j (7)

donde e es la direccion de u.

Como escribir un vector unitario como (cos e)i + (sen e)jEl vector unitario u = ( 1 / 2 ) i+ ( J}/2) j del ejemplo 4 se puede escribir en la forma de (7) cone = COS-I ( 1 / 2 ) =rt/3.

Tambien se tiene (vea el problema 23)

Sea v un vector diferente de cera. Entonces u = v/ivi esun vector unitario que tiene la misma direcci6n que v.

Como encontrar un vector unitario con la misma direccionque un vector dado diferente de cero

Encuentre un vector unitario que tiene la misma direcci6n que v =2i - 3j.

Aqui!vl = ) 4 + 9 = J l 3 , por 1 0 que U = v /H = ( 2 / J i 3 ) i-3 / Ji3 j ) es el vector que se busca .Se concluye esta seccion con un resumen de las propiedades de los vectores.


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228 C\PiTULO 3 Vectores en [/2 y [/3

Tabla 3.1Expresi6n en terminos de componentes si

Objeto Definicion U = "Ii + "2j, v = vii + v2j, yintuitivaU = (ul, "t), v = (VI' VI )

Vector v Un objeto que tiene Vii+ v1j 0 (VI' v2)magnitud y direccion! v i Magnitud (0 longitud) de v Rav 7'v .: avli +av2 j 0 (av"av1)

(en este dibujo a = 2)-v 7'v t/-v -vii - v2j 0 (-VI' -v2) 0 -(VI,V2)

u+v uZ} (ul + VI ) i+ ({12 + VI) j 0 ( l i l + VI' U2 + V2)uu-v vfJ-v (III - V I ) i+ ( 1 1 2 - V2) j 0 ( U I - VI' liz - V2 )

U

problemas 3.1AUTOEYALUACION

I. Un vector es _a} dos puntos en el plano xy.b} un segmento de recta entre dos puntos,c) un segmento de recta dirigido de un punto a otro.d) una coleccion de segmentos de recta dirigidos equivalentes.

II. Si P = (3, -4) y Q = (8, 6) el vector PQ tiene longitud _a) 131+1-41b) (3)2+(-4)2 c) (3-8)2+(-4-6)2 d) ~(8-3)1+(6-(-4)/

III. La direccion del vector (4, 8) es _

IV . S i u = ( 3 ,4) Yv = (5,8). entonces u + v _a) (7 13) b) (8, 12) c) (2,4) d) (15, 32)

V. Si u = (4,3), entonces eJ vector unitario can la misma direcci6n es que u es _a) (0.4,0.3) b) (0.8,0.6) c) (1 , f ) d) (t,t)


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3.] Vectores en el plano 22

De los problemas 1 al 16 encuentre la magnitud y direccion del vector dado.1. v =(4,4) 2 . v = (-4,4) 3 . v=(J3,-2) 4. v=(4,-4}5 . v =(-4, -4) 6 . v=C-fj,-2) 7 . v=(13, I) 8 . v=(I,fj)

9. v = (-2, Jj) 10. v = (-I,.J3) ]1. v = (I, -.J3) 1 2 . v =(3, 2)13. v = (-I,-.J3) ]4. v = (1,2) 15. v=(-5,8) 16. v=(II,-14)1 7. Sea u = (2 ,3 ) Y v = (-5,4). Encuentre a) 3 u ; b) u + v ; c) v - u ; e 1 ) 2 u - 7v . Bosqueje esto

vectores.18. Sea u = - 3 i + 2j y v = 4i + 5j. Encuentre: a) u + v ; b) u - v ; c ) v - u ; d) - 2 u + 3

e) 2 u - 3\'J) u + 2 v . B os qu eje estos vectores.1 9. Sea u = 2 i - 3 j y v = -4 i + 6 j. Encuentre a) u + v ; b) u - v : c ) 3 u ; d) -7v ; e) 8" - 3f)4v - 6u . Bosqueje estos vectores.20. Demuestre que el vector (t,-t) es u n vector uni tar io .21. Muestre que los vectores i y j son vectores unitarios,22. Demuestre que el vector (I/J2) + (1/E)j es u n vector unitario.23 . Demuestre que s i v = a i + b j "" O . entonces u = ( a l ) a 2 + b 2 ) i+ ( b l ) a 2 + b 2 ) j es un vecto

unitario que tiene la misma direccion que v .De los problemas 2 4 al 2 9 en cuen tre un vector unitario que tenga la rn ism a direcciou quevector dado.24. v = 2i + 3j28. v = -3i - 8j

25. v= 4i - 6j 26. v =i-j 27. v = - 3i + 4j29. v = ai + (l j; a -= F 0 '

3 0. Si \' = a i + bj demuestre que a l ~a2 + bl =cos e y b l ~a 2 + bl =sen e , donde e es l a d ir ecci6n de v ,

31. Si v =2i - 3j encuentre sen 8 y cos e .32. Si v =4i - j encuentre sen e y cos e .Un vector v tiene direccion opuesta a la del vector U s i d i re c c ion de v = direccion de u + n. Dlos problemas 3 3 al38 encuentre u n vector u n ita rio v que tenga direccion opuesta a la direcciondel vector dado u .33. u = i+ . i37. u = -2i + 3 j

34. u = 2 i - 3 j38. u = -3i - 8j

35. u = 4i - 6j 36. u = - 3 i + 4j

39. Sea u = 2i - 3j Y\' = -j + 2j. Encuentre un vector uni tario que tenga la misma direccioque: a) u + v ; b) 2 u - 3 v ; c) 3 u + 8v .

40. Sea P = (c, d) y Q = (c + a, d + b), Muestre que la magnitud de PQ es )a2 + bl.41. Demuestre que la direccion de PQ en el problema 30 es la misma que la direccion del vecto

(a , b). [Sugerencia: si R = (a , b), demuestre que la recta que pasa por los puntas P y Qparalela a Ia recta que pasa por los puntos 0 yR. ]


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2 3 0 CAPiTULO 3 V ec to re s e n 1)2 y [)3

De los problemas 42 al 47 encuentre un vector v que tenga la magnitud y direccion dadas.42. I v ! = 3; e = 1t/645. ! v i =1; 8 = n/4

43. H=4; 8=1t46. ! v i =2; 8 = nl2

44. ! v i = 8; 8 =1t/347. I v l = 6; e =2n/3

*48. Demuestre de manera algebraica (es decir, estrictamente de las definiciones de suma y mag-nitud de vectores) que para cualesquiera dos vectores u y v, [u + v i s l u i + I v l .

49. Demuestre que si u y " son diferentes del vector cera, entonces [u + v i = l u i + I v l si y solo siu es un multiple escalar positivo de v.

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIONI. d) II. If) IV. b) V . h= ('II. d)

MANEJO DE LA CALCULADORASe puede trabajar con vectores en la calculadora HP 50g. Primero seleccionamos elmodo de coordenadas rectangulares para la representacion de vectores, con la bandera177 del sistema en la posicion de eleccion, al oprimir C5J ~ Ise presenta la si-guiente ventana

~~~"A TH M E n u ;,.gmUATRIK ..l.LlSl ..~ _HVPU1Ol IC ._5.~Ul...~ , I f tS l : . .r. PMUlIlIlV_" rr T . .

El menu de VECTOR contiene las siguientes funciones:~ ~" Y E C U t H E A U j

~ . D O Tl .CROSS~.~~S."'I~"_"'IJ7,811 ', . e vm

Y hay que asegurarse que la opcion 7 este seleccionada (esto se vera como texto blancosobre fonda negro)

Se pueden escribir vectores directamente en la pila utilizando la secuencia C5J!L-1y escribiendo los numeros separados par comas a espacios, finalizando con la tecla (ENTER),par ejemplo el vector (3,5)


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3. J Vectores en el plano 231

Se pueden guardar en memoria vectores como cualquier otro objeto utilizando el co-mando 0ro ~), esto es, se escribe el vector a guardar, se escribe el nombre de la variabledonde se quiere guardar el vector y por ultimo se oprime (sro ~J .Para obtener la magnitud de un vector s e u t il iz a el comando ABS.

Si se quiere expresar uu vector en forma de magnitud y angulo se tiene que cambiarel sistema de coordenadas de la calculadora, esto se puede hacer siguiendo los pasosmostrados al inicio de esta seccion pero eligiendo la opcion 8 en la figura 2 de la paginaanterior. (Observacion, asegurese de incluir un punto decimal en las cantidades de losvectores, de 1 0 contrario la conversion no se efectuara en forma automatica.)

Tambien se pueden describir vectores en forma polar y la calculadora hara la con-version adecuada con respecto al sistema de coordenadas que se este utilizando. Para es-pecificar un vector en forma de magnitud-angulo, se abren corchetes con C3Ju.--I seguido de la rnagnitud y el simbolo de angulo (ALPHAJ~CD seguido del angulo,es decir, si queremos describir un vector con magnitud de 5 y angulo de 3 radianes lasecuencia de teclas es la siguiente

La suma entre veciores y la multiplicacion por un escalar se realiza de modo transparen-te para el usuario siempre y cuando las dimensiones sean compatibles.

En los problemas 50 al 61 utilice la calculadora para encontrar la magnitud y direc-c ion (en r ad ianes y grados) de cada vector en 1 2 2 .50. (1.735, 2.437) 51. (1.735, - 2.437)52. (-1.735, 2.437) 53. ( - 1.735, - 2.437)54. (- 58, 99) 55. (-58, -99)56. (58,99) 57. (58, -99)58. (0.01468, -0.08517) 59. (0.01468, 0.08517)60. (-0.01468, -0.08517) 61 . (-0.01468,0.08517)

M A T L A B 3 .1Informacion de MATlAB.Introduzca un vector como una rnatriz de 2 x lode 3 x 1 . La suma y multiplicacion por uescalar es la misma que para las matrices.Pr o du ct o e sc a la r de u y v: u'vvMagn it ud t lo n gi tu d i de v : s q rt fv 'v v ) 0 no rm ( v )Direccion de II: vea el ejemplo 2 y use el hecho de que tan-I(c) se encuentra con atan(c). Tal1bien se puede utilizar el comando atan2(x,y) (vel' doc atan2)Graficas: varios problemas utilizan graficas, Se proporcionan instrucciones especificas en cadaproblema.


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232 V ec to re s e n 1)2 y 1)3

I. a) Utilice MATLAB para verificar los resultados obtenidos con lapiz y papel para lamagnitud y direccion de los vectores de los problemas irnpares I al 12 de esta seccion.

Nota. J 3 se encuenrra con sqrt(3).h) Utilice MATLAB para encontrar Ia magnitud y direccion de los vectores en los proble-

mas pares 38 al 49 en esta seccion.2. Las com binaciones lineales de vectores seran importantes en el trabajo futuro. Este pro-

blema describe una manera de visualizar las combinaciones lineales de vectores en el plano(vea tambien el problema 3 siguiente),a) Se quieren graficar varias combinaciones lineales de dos vectores dad os en el mismo

conjunto de ejes. Cada vector sera representado par un recta de (0, 0) al punto terrni-nal del vector. Sean u y v dos matrices (vectores) de 2 X I dadas. Se quieren graficarvarios vectores z, donde z = au + bv con - I s a, b s I para ayudar a la comprensionde la geometria de una cornbinacion lineal. Lea la nota sobre graficas que se presentoantes de estos problemas de MATLAB.lntroduzca u y v como vectores columna, elegidos par usted tales que no sean parale-los. D e 1 0 siguiente:W=U+V;WW=U-Viaa=[u' ,v',w',ww'] iM=max(abs(aa))axis (' square') ;axis ([-M M -M M])plot( [0 v(1)l, [O,v(2)], [O,u(l)], [O,u(2)])hold ongrid

Con esto vera u y v graficados. Los siguientes comandos de MATLAB grafican lacornbinacion lineal entre los vectores u y va=l; b=l;z=a*ulb*Viplot { [0 z (l) J I [0 z (2) J , 'c' , 'linewidth' ,5' )Repita cinco veces los tres renglones de comandos anteriores, pero modifique la elec-cion de a y b con 0::; a, b S; I (recuerde que puede usar las flechas hacia arriba). Observela geometria de cada combinacion lineal conforrne obtenga cada una de las graficas,

~Como se vera la pantalJa de graficas si se grafican multiples casas de a y b?Repita seis veces los ultimos tres renglones de comandos con los siguientes cam-

bios: carnbie 'e' a'r' y elija al menos otras seis a y b para 0 : : s ; a : : s ; I y - ] : : ;b S; O . Sea a =] y b = -] la primera elecci6n. Observe la geometria y conteste la pregunta anterior.

Repita los ultimos tres renglones de comandos seis veces can los siguientes mo-vimientos: carnbie 'e' a 'm' y elija por 1 0 menos otras seis a y b para -I : : s ; a : : s ; 0 yo s b s I. Sean a =-IYb = Ios primeros valores. Observe la geometria y con teste lapregunta anterior.

Repita seis veces mas los ultimos tres renglones de comandos con los siguientes mo-vimientos: cambie 'c' a 'k' y elija por 1 0 menos otros seis valores de a y b para -I :s ; a,b : : s ; l.Sean a =-IY b =-I los prirneros valores. Observe la geometria y respondala pregunta, igual que antes.

l,Como se veda la pantalla de graficas si se graficaran cada vez mas combinacioneslineales?


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Al terminal' este problema de el eomando hold off.b) Siguiendo las instrucciones anteriores, explore 1 0 que ocurre si eomienza con u

paralelos,Al terminal' este problema, de el comando hold off.

3. tEste problema usa el archive l i l1col l1h. l11) Dados dos vectores no paralelos en eI plano,p u ed e e sc ri bir otro vector en elplano como u n a c om bin a cio n lineal de estos dos vectorel l i i T I El archivo lincotnb.m se presenta a continuacion,function lincomb{u,v,w)% LINCOMB funcion que grafica los vectores u,V,W Y% se expresa w como la combinacion lineal del U,V es deci% w = a u + b VI con a,b reales%% u; vector de 2xl% v: vector de 2xl% W: vector de 2xl

% define el origenorigen= [0; 0] ;% se encuentran los valores de las constantes de la combinaciolinealA=[u,v] ;xX=A\w;au: [origen,u) ;Ov=[origen,v] ;Ow: [origen,w] ;PPl:[origen,xx(1)*u,xx(l)*u+xx(2)*v,xx(2)*v,origen] i%Grafica de vectoresplot(OU(l,:) ,Ou(2,:) I '-*b' IOV(l=b ' ,Ow (lI : ) ,Ow (2,;), I -*g' )text(u(l)/2/u(2)/2, '\bf u')text(v(1)/2,v(2)/2, '\bf v')text(w(1)/2,w(2)/2/'\bf w ")hold onplot(PP1(1,:) ,PPl(2,;) I' r r ")grid on%title( ['u=[' ,num2str(u(l,'; '/num2str(u(2, 'J I

'v: [,Inum2str (v(1))I ' ; , , num2str (v(2))I 'J , I 4 ,W= [,Inum2 str (w(1)), 'i'I num2 str (w(2)) I 'J I] )

xlabel (['w,) v+ l) ('/num2str(xx(1)/2),') u + ('/num2str(xx(2)/2),

%


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234 CAPiTULO 3 V ec to re s e n 1)2 y 1)3

axis squarea=axis;axis ( [min(a([l,3J)) ,max(a( [2,4])) ,min(a( [1,3J)) ,max(a( [2,4]))])%hold off

Una vez que se haya escrito la funcion en un archivo con nombre lincomb.m, de el comandodoc Iincomb para tener una descripci6n de este archivo con extensi6n m.

Sean u y v dos vectores de 2 X I que no son paralelos. Sea w = 5*(2*rand(2,1)-1).De lincomb(u,v,w). Primero vera graficados u, v y w . Oprima cualquier tecla y aparecerala geometria de w escrita como una combinacion lineal de u y v , Repita para diferentesvectores w , u y v .

Ell EL PRODUCTO ESCALAR V LAS PROYECCIONES EN [)2

DEFINICI6N a

TEOREMA aI!DEMOSTRAC ION

En la secci6n 1.6 se definio el producto escalar de dos vectores, Si u = (al bl ) y v ( l J , b) , entonces(1)

Ahora se vera la interpretaci6n geometries del producto escalar,

Angulo entre vectoresSean u y v dos vectores diferentes de cera. Entonces el angelo q > entre u y vesta definidocomo el angulo no negativo mas pequeno! entre las representaeiones de u y v que tienenel origen como punta inieial. Si u = nv para algun escalar a, entonces q > =0 si a > 0 yq > = T I si a < O .

Esta definicion se ilustra en la figura 3.1 J . Observe que q > siempre se puede elegir para que seaun angulo no negative en el intervalo [0, T I ] .

Sea v un vector. Entonees

I v l " = v . v ( 2 )Sea v = (a, b) . Entonces

y\ ' . v = (a, b) . (a, b) = a . a + b . b = a2 + b" = I v F

. ---Este angulo e sta ra e ll el mtervalo [0, n l


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Figura 3.11Angu lo q > e ntr e d osv e c t o r e s

TEOREMA E 3

Ia DEMOSTRACION

y

oa)

3.2 EI p ro du cto e sca la r y la s p ro ye c cio ne s e n 1 1 2 23

yuy

u

.v0.Y

V vb ) c)

yy v

V

u

d) e)

Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Si < p es el angulo entre elias, entonces

u vcos < p = l u i I v l (3)

La ley de los cosenos (vea el problema 2.5.10, pagina 215) establece que en eJ triangulode la figura 3.12

B

y

cFigura 3.12T ria ng ulo c on la do s a. by e

Figura 3.13T ri il ng u lo c on l ad es l u i. I v ly l v - u l


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236 CAI'iTlJLO3

E JE M P L O 1

. Solucion

DEFINICI6N a

Solucion

V ec to re s e n 1)2 y 1)3

Ahora se colocan las representaciones de u y v con los puntos iniciales en el origen demane ra que u = (ai' bl)y v = (a2 , b2 ) (vea la figura 3.13). Entonces de la ley de los co se -nos, I.v - U 12= Iv'" + lu l" - 21 11 11 vlos c p o Pero

de (2) teorema 1 iii), pag. 59

+ +[v - u l2 = (v - u ) . (v - u ) = v v - 2u . v + U U= Iv l2 - 2u . \' + lu l2

Asi, despues de restar Ivj2 + lui ' en ambos lados de la igualdad, se obtiene -2u . v-2lullv l cos rp , y el teorema queda demostrado.

OhSeI'WlcMII. Haciendo uso del t eorema I se puede definir el producto escalar u . v como

u . v = lullv l cos c p

Calculo del anqulo entre dos vectoresEncuentre el angulo entre los vectores u = 2i + 3j Yv = -7i + j.

u v = -14 + 3= -II, l u i = , 1 2 , +32 =J l3 y I v l =)(-7/ + 1 2 = E O . Asiu -v -II -11cos c p = - , I - I , = CC= ~ '" - 0.431455497tU v '-/13,,50 ,,650

de manera que< p = cos-I (-0.431455497) '" 2.0169: ('" 115.6)

Nota. Como 0 : : s : < p :s; rt, cos-1(cos cp ) = cp o

Vectores paralelosDos vectores diferentes de cero u y v son paraJelos si el angulo entre ellos es cero 0 n,Observe que los vectores paralelos tienen la misma direccion 0 direcciones opuestas.

Dos vectores paralelosDernuestre que los vectores u = (2, - 3) y v = (-4, 6) son paralelos,

u . v -8 - 18 -26 -26coscp=--= = =--=-1l u i ! v i fljJ52 J l3 (2 .m) 2(13)Por 10 tanto, c p = n (de manera que u y v tienen direcciones opuestas) .1---t Es to s n um ero s , a l ig u al q ue OUOS e n e l hb ro , s e o b tu v ie rn n c o n Lilla ca l cu l a do r a ., A I ha ce r e ste c alc ulo , a seq ure se de q ue s u c alc ula do ra es[e ell m od o d e ra dia ne s .


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3.2 EIp roducto escalar y las proyecciones en [ll 2 3

TEOREMA E 3 Ie DEMOSTRAClrJN Si u : 1 = 0, entonces v = au para alguna eonstante a si y s610 si u y v son paralelos.La prueba se deja como ejereicio (yea el problema 44).DEFINICI6N a Vectores ortogonales

Los vectores u y v diferentes de cera son ortogonales (0 perpendiculares) si el anguloentre ellos es n12.

Dos vectores ortogonalesDemuestre que los vectores u = 3i + 4j Yv = -4i + 3j son ortogonales .

Solucion u = 3 4-4 . 3 =O.Esto implica que cos < :p = (u . ,')I(lull"I) = 0 y como < :p esta en el intervalo[0 , x], < :p = n12.

TEOREMA a Los vectores u y v diferentes de cero son ortogonales si y s610 si u . v =0.U DEMOSTRAClrJN Esta prueba tambien se deja como ejercicio (vea el problema 45).

Muchos problemas interesantes se refieren a la noci6n de la proyeccion de un vector sobre otroAntes de definir esto se demuestra el siguiente teorema.

TEOREMA m Sea v un vector diferente de cera. Entonees para cualquier otro vector u el vector(u v)w=u---v

1 v 1 2es ortogonal a v.

~ DEMOSTRACI6N w v = [ " - ("1/ ] v = " V - ( " l tV )( u . v ) 1 v I 2=uv- =uv-uv=O

J v l 2

Los vectores u, v y w se ilustran en la figura 3.14.

Figura 3.14 [ n . v ]u - I v t v = w Wy

II'\': "ector II=U-I'. " \ v i '--; J ago nal a v

o


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238 C."PiTULO 3

DEFINICI6N II

Figura 3.15a) v y p ro y , U tie ne n l a m is -rn a d irecc i6n s i u . v > D ,b) v y p ro y , u t ie n e n d ir e c-c ion es o pues tas s i u . v < 0

Solucioll

Vectores en [)2 y [{3

Proyecci6nSean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyeccion de u sabre v es un vec-tor denotado par proy,. u, q u e se define por

uvp roy u =-,- vv I v l - (4)

Lacomponente de u en la direcci6nuvd e v es N' y es un esca la r . (5)Observe que v/ l v l es un vector unitario en la direccion de v.

ObSCI'I'(lci6f1 1. De las figuras 3 . 1 4 y 3 . 1 5 Ydel hecho de q u e cos < p = (u - v ) ( Iu l vl ). Se encuentraq u e

v y proY,.ll tienen:i, la misma direcci6n si u . v > 0 Yii.direcciones opuestas si u . v < O . u

vu

IT((1O

1 Ccp>-2II ,,,


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3 .2 E I p ro du cto e sc a la r y la s p r o y ec c io n e s e n I)< 2

Figura 3.16L a p ro ye cc i6n d e (2 , 3 )s ab re (1 , 1 ) es(~.~)

y(2.3).~

, . ( 2 '2 ), ., .,.,./, ./,.

~. EJEMPLO 5 Calculo de una proyecci6nSean u = 2i - 3j y v =i+ j. Calcule p roy ,u .

Solucion E n es te caso (u . v) / l v I2 = -t; a s i, p r ey , U = -ti - tj . (v ea la f ig ura 3 .1 7) .y

Figura 3.17_" p royecc ion de 2i - 3 js o b r e i + j e s -~i - + j

Problemas 3,2AUTOEVALUACION

I. joj= _a ) 1c ) 0

II. (3,4)' (3,2) = _a) (3 + 3)(4 + 2) = 36c) (3 - 3)(2 - 4) = 0

b) ~(O-ll + (1- 0) 2d ) i+ jb) (3)(3) + (4)(2) = 17d ) (3)(3) - (4)(2) = 1

I I I . E l coseno d e l angulo en t re i + j e i- e s _a) O i + O J b) 0 c) J2

IV. L o s vec tores 2i - 1 2j Y 3i + c t ) j son _a) Ni paralelos ni ortogonales b) Paralelosc) Ortogonales d) Identicos


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240 Vectores en Il' y (?l

V. Diga cual de las siguientes afirmaciones es cierta sobre el sistema.a) U wH b) ~! w i d) uwul u i l u iu- w wc) J w I I w I

De los problemas I al 10 calcule eJ producto escaJar de los dos vectores y el coseno del anguloentre ellos1. u = i+ j; v = i-j4. U = - 5i; v = ISj

2 . u = 3i; v = -7j 3. U =2i - 3j; v = -i + 3j5 . U = or; v = !)j;a , !) reales 6. U = -4i - 2j; v = 5i + 7j8 . U = 2i + 5j; v = 5i - 2j 9 . U =-3i +4j;v =-2i -7j. u:=: 2i + 5 j; v = 5i + 2j

1 0. u=4i+5j;v=5i-4jll. Demuestre que para cualesquiera numeros reales a y ~, los vectores u = ai + ~j y v = ~i

- aj son ortogonales,1 2 . Sean u , v y w t res vectores arbitrarios Exp l i q ue por que el producto I I . V W no esta defi-nido.De los problemas 1 3 al19 determine si los vectores dados son ortogonales, pa r a l e l o s 0 n i n g u n ode los dos. Despue s esboce cada par.1 3 . u = 3i + 5j; v = -6i - 10j 14. u = 2i + 3j; v = 6.i - 4j15. II = 2i - 3j; ,,= -9i + 6j 16. u=2i+3j;v=6i+4j17. II = 2 i + 3j; v = - 6 i + 4j 1 8. II = 7i; \' = - 23j19. u = 2i - 4j; v = -i + 3j2 0. Sean u = 3i + 4j y v =i+ aj. Determine extal que:

a ) u y v son ortogonales.c ) EI angu lo entre u y \' es r r /4.

b) u y v son para le los,d) EI angulo entre u yves IT/3.

2 1 . Sean u = - 2 i + 7j y v = ai - 2j. Determine extal que:a) u y v son ortogonales.c) EI angulo entre n yves 2 I T / 3 .

b) u Y v son para le los ,d) El Angulo entre u yves rr/3.

2 2 . En el problema 20 demuestre que no existe un valor de a para el que u y v tienen direccionesopuestas.

23. En el problema 21 demuestre que 110 existe valor de a para el que u y v tienen la mismadirecci6n.

En los problemas 24 al 37 ca1cule pray,u.24. u = 3i; v = i+ j 25. u = - 5j; v =i+ j

27. u = 2 i + j; v = i - 2 j29. u = -i-2j; v = 5i + 7j31. u = i + j; v = 2i + 3j

26. u= 2i - 3j; v = -9i + 6j28. u== 2i + 3 ;; v = 4i + j30. u = i+ j; v = 2i - 3j32. u = 4i - j; v = - 2i + 3j33. u = exi+ ~j;v = i+ j; ey p reales positives


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3 .2 E I p rodu c to escala r y las p roy ecc ion es en [/, 2 4J

34. u =i+ lv = oi + ~j;ay ~ reales positivos35. u = 7i + 2j; v =4i - 6]36. u = ai - ~j;v =i+ l:ay ~ reales positives con a> ~37. u = ai - ~j;v = i+ j; ay ~ reales positivos can a< ~3 8. Sean u = [/Ii + bJ y v = al i + bi Establezca un a condicion sobre [/1' bl , a; y b, q ue aseg ureque v y prey, u tengan la m ism a d ireccion .39. En el problema 3 1 establezca una condicion qLIeasegure que v y proy,.u tengan direcciones

opuestas.~ ~40. Sean P = (2,3), Q = (5, 7), R = (2, - 3) y S = (t, 2). Calcule proY/>QR S y proy R S PQ .~ ~41. Sean P = (-1,3), Q = (2,4), R = (-6, - 2) y S = (3,0). Calcule proy P Q R S y pray R S PQ .

42 . Pru ebe que los vectores diferentes de cera u y v son paralelos si y solo si v = au para algunaconstante a . [Sugerel1cia: Demuestre que cos < p = I s i Y s610 si v = ou . ]

43 . Pruebe que u y v son ortogonales s i y s610 si u . v = o.44 . Demuestre que el vector , r = ( I i + bj es ortogonal a la recta ax + by + c = O .45. Dernuestre que el vector u =hi + aj es para lela a la recta ax + by + c = O.46. Un triangulo tiene vertices (1,3), (4, - 2) y (- 3,6). Encuentre el coseno de cada angulo.47. Un triangulo tiene vertices (ai' bl), (a " b.) y (al' b) . Encuentre la formula para el coseno decada angu l o ,*48. La desigualdad de Cauchy-Schwarz establece que para cualesquiera numeros reales (/1 arb,

y b1

Utilice el producto escalar para probar esta formula. l,Bajo que circunstancias se puede susti-tuir la desigualdad por una igualdad?*49. Pruebe que la distancia mas corta entre un punto y una recta se mide pOI' una linea que

pasa por el punta y es perpendicular a la recta.50. Encuentre la distancia entre P = (2, 3) y la recta que pasa pOI' los puntos Q = (-1, 7) y

R = (3,5).51. Encuentre la distancia entre (3,7) y la recta que va a 10 largo del vector v = 2i - 3j que pasapor el origen.52. Sea A una matriz de 2 x 2 tal que cada columna es un vector unitario y que las dos co-

lumnas son ortogonales. Demuestre que A es invertible y que A-I = A ' (A se conoce comomatriz ortogonal).

RESPUESTAS A LA AUTOEYALUACIONI. c) II. b) III. b) I V . c ) V. c )


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242 CAPiTULO 3 Vectores en [>2 y [>3

MANEJO DE LA CALCULADORASe puede obtener el producto punta entre dos vectores utilizando el comando DOT. Senecesitan tener dos vectores de dimensiones compatibles en las posiciones 1 y 2 de lapila y escribir el comando DOT seguido de la tecla enter, esto si se quiere obtener elproducto punta entre los vectores v l con magnitud 5 y angulo 3 radianes y el vector v2con magnitud 3 y angulo 5 radianes

Si queremos obtener el vector unitario asociado a vI (magnitud 4 y angulo 3 radianes)podemos proceder como sigue

Para calcular el operador proy, U, si tenemos guardados vectores U y V, por ejemplo


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3.2 EIproducto escalar y las proyecciones en I:)l 243

En los problemas 53 al 57 utilice una calculadora para encontrar un vector unitario quetenga la misma direccion que el vector dado.53. (0.231,0.816)56. (-5.2361, -18.6163)

54. (-91,48)57. (-20192,58116)

55. (1295, -7238)

De los problemas 58 al 61 utilice una calculadora para encontrar la proyeccion de usobre v y esboce u, v y proy, u.58. U = (3.28, - 5.19), v =( -6.17. - J 1.526)59. u = (0.01629, -0.03556), v = (0.08171,0.00119)60. u = (-5723,4296), v = (17171,-9816)61 . u = (37155,42136), v = (25516, 72385)

MATLAB 3.21. Para los pares de vectores de los problemas 24 a 32, verifique los vectores proyeccion calculados con Iapiz y papel usando MATLAB (consulte la informacion de manejo de MAT

LAB anterior a los problemas de MATLAS 3.1).~ 2. tEste problema lisa el archivo prjtn.my EI problema se refiere a la visualizacion de las pro

yecciones. A continuacion se presenta la funcion prjtn.m.function prjtn(u,v)% PRJTN funcion proyeccion. Grafica la proyeccion del vector u% en la direccion del vector v%% U: vector de 2xl% v: vector de 2xlorigen= [0 i OJ iP=(U'*V)/(V'*V)*Vi

Ou=[origen,u] iOv=[origen,v] iOP=[origen,P) ;uMP=[u , p] iplot{Ou(l,:) ,Ou(2,:), '22b*' ,Ov{l,:) ,Ov{2,:), '22b*', ...

OP (1, : ) , OP (2, : ) , '-go' , uMP (1, : ) ,uMP (2, : ) , ' :rn' )text(u(1)/2,u(2)/2, '\hf U') itext (u (1) , u (2) , ' l' )text(v(1)/2,v(2)/2, '\bf v ") itext(v(1) ,v(2), '2')text(P(1)/2,P(2)/2, '\bf P') itext (P (1) ,P (2) , '3' )


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C~piTl La 3 V ec to re s e n [l2 y [ll

a=axis;axis( [min(a( [1,3J) )-l,max(a( [2,4]) )+1,min(a( [1,3]))-1 ,max (a ( [2,4] )) + 1 )axis squaregrid ontitle('P es la proyeccion de u en Vi)xlabel('u termina en 1, v termina en 2, P termina en 3')Una vez que se ha escrito la luncion en un archivo can nornbre prjtn de el cornando docprjtn para tener una descripcion de este archive con extension m.

Para los pares de vectores u y v dados enseguida:a) I n t roduzca u y \' como matrices de 2 X I Ycalcule p = proyecci6n de u sobre v ,b) De el comando prjtn(u, v ) (este archivo despliega u y v en la pantalla de graficas. Opri-

ma cualquier tecla y bajara una perpendicular del punto terminal de u hasta la rectadeterminada por v. Oprima cualquier tecla y se indicant el vector proyeccion),

c ) Mientras observa las graficas en Ia pantalla, verifiqueque el vector p graficado sea elvector calculado en a ) _ Localice el vector (paralelo a) u - p. Lenal es la relacion geome-trica entre u - p y v?

i. u = [2;1[iii. u = [ 2 ; 1 [

v = 13;OJv = [-1;21

ii. u = 12;31iv . u = 12;31

v = 1-3;01v = [-1;-21

v, Elija sus propios vectores u y v (al men os tres pares).

Ell VECTORES EN EL ESPACIO

~OR IGEN

E lE XEJE YE lE Z

m---

Se ha visto que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado denumeros reales. De manera analoga, cualquier punto en I espacio se puede representar por unaterna ordenada de numeros reales

(a, b, c) (1)Los vectores de la forma (I) constituyen el espacio 1)-'. Para representar un punto en el espacio,se comienza por elegir un punto en V3 Se denornina a este punto el origcn, denotado por O .Despues se dibujan tres rectas perpendiculares entre si, a las que se llama el eje .r , el eje J yeleje z . Dichos ejes se pueden seleccionar de diferentes formas, pero la mas comun tiene los ejesx y y horizon tales y el eje : vertical. Sobre cada eje se elige lIna direccion positiva y la distanciaa 1 0 largo de eada eje se mide como el numero de unidades en esta direccion positiva a partirdelorigen.

Los dos sistemas basicos para dibujar estos ejes se describen en la figura 3.18. Si los ejes secolocan como en la figura 3.18a, entonees el sistema se denomina sistema derecho; si se colocancomo en la figura 3 . 18b, se trata de un sistema izquierdo. En las figuras Iasflechas indican ladirecciou positiva de los ejes. La razon para Ja eleccion de estos terminos es la siguiente: en linsistema derecho, si coloca su mana derecha de manera que eJ dedo indice sefiale en la direc-cion positiva del eje x mientras que el medio apunta en la direccion posit iva del eje j,entoncessu pulgar apuntara ell la direccion positiva del eje :. Este concepto se ilustra en la figura 3.19.


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Figura 3.18a n s is te m a d er ec ho ;b u n s is te m a izquierdo

Figura 3.19i.s m a na d ere cha in dic a la sc ir ec ci on e s d e lIll s is temacsrecho

PLANaSl ! i : : : COORDENADOS

SISTEMA DE(OORDENADASCARTESIANAS

EN [23I!----

3.3 Vectores en el espacio 245

La misma regia funciona para el sistema izquierdo can los dedos de la mana izqu ie rda , En elresto de este libro se seguira la practica comun de describir los ejes de coordenadas usando unsistema derecho.

xa) b )

.v

Los tres ejes en nuestro sistema determinan tres pianos coordenados, que se denominanplano x)', plano xz y plano y.:. EI plano xy contiene los ejes x y y y es sirnplemente el plano canel que se ha venido trabajando hasta ahora en la mayor parte dellibro. Se puede pensar en losplanos xz y y .: de modo similar.

AI tener nuestra estructura construida de ejes coordenados y pianos, podemos describircualquier punto Pen [?J de una sola manera:

p = (x, y,,:) (2)

en donde laprimera coordenada .ves la distancia dirigida del plano y z a P (medida en la direc-cion positiva del eje x a 10 largo de una recta paralela al eje .v), la segunda coordenada y es ladistancia dirigida desde el plano xz hasta P (medida en la direccion positiva del eje y y a 10 largode una recta paralela al eje y) y la tercera coordenada z es Ia distancia dirigida desde el plano x)'hasta P (medida en la direccion positiva del eje : y a 10 largo de una recta paralela al eje r),

En este sistema los tres pianos coordenados dividen al espacio (2) en ocho octantes, de lamisma forma que en I)!los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuad ran te s , EI octanteen eJ que los tres ejes coordenados son positivos siempre se selecciona como el pr imero ,

EI sistema coordenado que acaba de establecerse COLl frecuencia se conoce como sistemade coordenadas rcctangulares a sistema de coordenadas cartesianas. Una vez que la nocion dedescribir un punta en este sistema Ie resulte familiar pueden extenderse muchas de las ideas apartir del plano.


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2 4 6 C'PiTLJLO 3

TEOREMA a

E JE M PL O 1

Soil/cion

SEGMENTO DEE ! RECfA DIRIGIDaIIECfOR EN 1)3

E JEM P LO 2

SO /U c iO Il

V e cto re s e n ~2 y ~3

Sean P = (XI' Y I, 21) y Q = (X2, Y2, 22 ) dos puntas en el espacio. Entonces la distancia PQentre P y Q esta dada por

(3)

Se pide allector que pruebe este resultado en el problema 49 .

Calculo de la distancia entre dos puntos en 1)3

Calcule la distancia entre los puntos (3, - I. 6) y (- 2, 3, 5) .

En las secciones 3 .1 y 3 .2 se desarrollaron las propiedades geornetricas de los vectores en elplano. Dada la similitud entre los sistemas de coordenadas en'l)2 y 1)1 , no es una sorpresa quelos vectores en V2 y 1)3 tengan estructuras m uy similares. Ahora s e d e s a rr o ll a ra el concepto deun vector en el espacio. EI desarrollo seguin'! de cerca los avances de las ultimas dos seccionesy , par 10 tanto, se omitiran algunos detalles. - - +

Sean P y Q dos puntas distintos en 1 : > 3 . Entonces el segmento de recta dirigido PQ es elsegmento de recta que se extiende de P a Q . Dos segmentos de recta dirigidos son equivalentessi tienen la misma magnitud y direccion, Un vector en 1)' es el conjunto de todos los segmentosde recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dir igido dado, y cualquier segmento- - +dirigido PQ en ese conjunto se llama una represenracion del vector.

Hasta aqui las definicionQ son identicas. Por conveniencia, se elige P en el origen parap od er d es cribir eJ vector v = OQ mediante las coordenadas (x,)I, z) del punta Q.Entonces la magn i tud de v = I v I = ~X" + )/ + 22 (del teorerna 1).Calculo de la magnitud de un vector en 1)3Sea v = (1, 3, - 2). Encuentre [ v ] ,

Sea u = (XI' )11,21) y v = ( X " Y 2 ' :2) dos vectores y sea a un numero real (escalar). Entonces sedefineSuma de vectores y multiplicaci6n par un escalar en 1 : > 3

y u + v = (XI + X2,)l1 + )/2' ZI + z)au = (nx., a)lp azl)

Esta es la misma definici6n de sum a de vectores y rnultiplicacion por un escalar que se tenia; seilustra en Ja figura 3.20.


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Figura 3.20 - --Ilu strac i6n d e la s um a d e ;Y;sctores y la mu l t ip lica r ionp or un e sca la r e n V' /.

0 y 0x x

0) b).c

VECTOR~ UNITARIO

d)


~-----yox

c )

e)Un v ec to r u n ita rio u es un vector con magnitud 1 . Si v es un vector diferente de cero, entoncu = v / l v l es u n vector uni tar io que t iene la misma d i recc ion que v .

Calculo de un vector unitario en [,13

Solucion

DEFINICION aFigura 3.21T od os l os v ec to re s q uee sr an e n e ste c on o fo rm anu n a nq ul o e c on la p artep o si ti va d e le je x

Encuentre un vector unitario que tenga la misma direccion que v = (2,4, - 3).Como v = ~2 2 + 4 2 + (_3)2 = . . J 2 9 se t iene

u = (21m, 4/129, - 31m)Ahora se puede definir formalmente la direccion de un vector en 1)3. No se puede definir come l an gu lo 8 que fo rm a el vector can e l eje x positive ya que , por e jemp lo , s i 0 < e < r c / 2 , porque existe un numero infinito de vectores que forman un angulo e can e l lado positive del ejey estos vectores juntos forman un cono (vea la figura 3.21).

Direccion en [,13La direccion de un vector v en [?3 se define como el vector unitario u = = v/lvl.

x


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248 CAPiTULO3

Figura 3.221vec t o r v fo rma u n angulo0: c on e l l a do posit ivo de leje x, [ 3 c on e lla do p os iti vede l jeyy '(c on e l ejepositive de l ej e z

ANGULOSIi! DIREaORES

COSENOSL : t DIREaORES

NUMEROSI:. DIREaORES

EJEMPLO4

SO /U c iO Il

V ec to re s e n ~1 y ~J

-- _ - _ - _ --- - ---- - - - - - , .~- - - " I,/ I

I P (xo , Y o, . : : u ),I, II -, I__ '7"'--...".-'---'------L-----i._---__l'

I ,," (0, Yu , O). . , J , , 'v

(x"' 0,0).Y

Observacion. Se pudo haber def i n i do la di recc ion de u n vector v en [?2 de est a manera, y a q u e s iu = ,'/lvl, entonces u = (cos e , sen e ) , donde e es la direcci6n de v .Resu l t a r i a ~tisractorio def i n i r la di recc ion de un vector v en t e r rn i nos de algunos augu l o s , Seavel vector OP descrito en la figura 3.22. Definimos a como el angulo entre v y el eje x positivo,~ el angulo entre v y el eje y positiv e, y y el angulo entre v y el eje = positivo. Los angulos 0:, ~ YY se d en orn in an an gu los directores del vector v . Entonces, de la figura 3 . 2 2 ,

Xocoso:=- J v IZcos y = _Q _J v I (4)

Si v es un vector unitario, entonces Iv 1 = = 1 y

cos ~ = Yu , cos y = Zo (5)

POl' definicion, cada uno de estos tres angulos cae en eJ intervalo de [0, I T ] . Los cosenos de estoangulos se denominan cosenos directores del vector v. Observe, de la ecuaci6n (4), que

X2 +i+ _2 X :' +l+ _2cos' a + cos/ A + cos' Y= 0 0 "'(I = - 0 (I "'0 = 1I-' I I ' " 2l" X o + Y o +Z o (6)

Si ex,~ y y son tres numeros cuaJesquiera entre cera y IT tales que satisfacen la con dic io n (6) .entonces deterrninan de manera unica un vector unitario dado POl' U = (cos ex,cos ~ cos y ).Observacion. Si v = (a, b, c) y [v]# 1, entonces los numeros a, bye se llaman numerus directordel vector v.

Calculo de los cosenos directores de un vector en 1)3Encuentre los cosenos directores del vector Y = (4, -],6).La direcci6n de v es v/ i v i =:; v/ . J 5 3 = ( 4 / J5j, - 1 /. J 5 3 , 6 / . J 5 3 ) . Entonces coso: =4 / . J5 3 : :: :: ;. 5 4 9 4 .cosf = - 1 / . J 5 3 : : : : : ;0.1374 y cosy =6/.J53;::; 0.8242. Con estos valores se usau tablas 0 una


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Figura 3.23L os c os en os d ir ec to re s d e(4, -1 , 6) s on c os C(, co s~ y co s y

EJEMPLO 5

1 M . Solucion

Figura 3 . 2 4S i ~=~-a=~-fJ.2 2y v e s u n vec tor un i t a r i o ,entoneesI' =C(lsf l i + sCI1EJj-,,,,(xi + n)S~j


(4. -1,6)

calculadora para obtener 0. ::: 56.7 '" 0.989 rad, ~ '" 97.9 ::: 1.71 rad Y r = 34.5 :::0.6rad. E n la f igura 3.23 se presenta un esbozo del vector, junto con los angulos 0., ~ Y

Calculo de un vector en l/3 d ad os su m agnitu d y co seno s directo resEncuentre un vector v de magnitud 7 cuyos cosenos directores son 1/./6, l / . f i y l / . f i .Sea u = ( 1 / / 6 , 1 / . J 3 Y l /E). Entonces u es un vector unitario ya que l u i = I.Asi, la direcciode vesta dada por u y v = Ivlu = 7u = ( 7 / / 6 , 7 / 1 3 , 7 / E ) .Nota. Este problema se puede resolver porque ( l / J " 6 f + ( 1 / J 3 r + ( 1 / J 2 f = I ,Es in teresante observar que si v en 1)2 es un vector unitario y se puede escribir v = (cos 8)i(sen 8)j, donde e es la direccion de v, entonces cos 8 y sen e son los cosenos directores de v,este caso. lX = e y se define ~ como el angulo que forma v con el eje y (vea la figura 3.24). P1 0 tanto, p = = (n I2) - o; de mane r a que cos p = cos (n 1 2 - a)= sen a y v se puede escribir enforma de "cosenos directores"

v = = cos ai + cos P . iEn la seccion 3 , I se observ6 que cualquier vector en el plano se puede escribir en terrninoslos vectores base iy j. Para extender esta idea a lP se define

i= (J, 0,0) j = (0, J , 0) k = (0,0, I) ( 7 )Aqui, i,j y k SOil veetores unitarios. EI vector iesta sobre el eje x, j sobre el eje y y k sobreeje ::. En la figura 3.25 se puede vel' un bosquejo. Si v=(x, y, r) es cuaiquier vector en I ) " etonces

y I v ! = II v


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250 C.\PiT LO3

Figura 3.25lo s v ec to re s ba se i, j Y ke n [!J

TEOREMA E 3 I

19 DEMOSTRAC ION

EJEMPLO 6

(0,0, I)k j. ~""::""_----")'I (0 , 1,0)(1,0, 0)

xv = (x, y, z) = (x, 0,0)+(0, y, 0) + (0,0, z) =xi + yj + zk

Esto es, cualquier vector v en [?3 se puede escribir de manera unica en terminos de los vectores i,j y k.

La definicion de producto escalar en [J3 es la definici6n que se presento en la seccion 1.6.Observe que i.i= 1 , j . j = 1 , k . k = 1 ,.i . j = 0, j . k = e i. = O .

Si C jl denota e l a ng u lo positivo mas peque f i o entre dos vec~ores u y v diferentes de cero,se tiene

(8)

La prueba es casi identic a a la prueba del teorema 3.2.2 de la pagina 235 y se deja allector como ejercicio (vea el problema 50).

Cakulo del coseno del anqulo entre dos vectores en [J3Calcule el coseno del angu l o entre u = 3 i - j + 2 k y v = 4i + 3 j - k .

Solucion u : v = 7 , lu i = . J 1 4 y [ v i =fi6, por lo que cos < p = 7/ ~(l4)(26) =7/54"" 0.3669 y < p " " 68.5" '"1.2 rad.

DEFINICI6N a Vectores paralelos y ortogonales

TEOREMA IIDEMOSTRAC ION1..----

Dos vectores u y v diferentes de cero son:i. Paralelos si el angulo entre ellos es cera 0 1Lii. Ortogonales (0 perpendiculares) si el angulo entre elIos e s r r . / 2 .

i. Si u '"0 , entonces u y v son paralelos si y s6lo si v = au para algun escalar a = J : : . O.ii. Si u yv son diferentes de cera, entonces u y " son ortogonales si y 5610 si u . v = = 0.

De nuevo la prueba es sencilla y se deja como ejercicio (vea el problema 51).


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Ahara se dara la definicion de la proyeccion de un vector sobre otro. Primero se estableceteorema analogo al teorema 3.2.5 (y cuya dernostracion es identica),

TEOREMA 1 : 1 Sea v un vector diferente de cero, entonces para cualquier otro vector u,

DEFINIC16N II

Solucion

problemas 3.3

uvw=u---vH 2es ortogonal a v ,

ProyeccionSean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyecci6n de u sobre v, denotadapor proy." esta definida por

uvp roy , u =-,- vv 1 v I - . (9)

La componente de u en la direccion de vesta dada par j v l V ' (10)

Calculo de una proyeccion en [?3Sean u = 2 i + 3 j + k Y v =i+ 2 j - 6k . Encuentre proy.u.En este caso (u . v ) / l v I 2 =2/41 y proy u = _ 3 _ i+ _ i_ J ' - gk. La componente de u en la dire 41 41 41cion v es (u . v ) / i v i = 2/ J4 i .

Observe que, igual que en el plano, proy,u es un vector que tiene la misma direccion queu . v > 0 y 1a direccion opuesta a la de v si u . v < O .

AUTOEVALUACION

I. Responda si la afirmaci6n siguiente es falsa a verdadera. La practica comun segui-da en este libro es desplegar los ejes xy.:: para Vl como un sistema derecho.

II. La distancia entre los puntos (1, 2. 3) y (3. 5, -1) es .a) ~(I + 2 + 3)2 + (3 + 5 -1/b) ~22 + 32 + 22c) ~22 +32 +42


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2 5 2 CAPiTULO 3 Vectores en [!2 y [!l

III. EI punto (0.3, 0.5, 0.2) esta __ la esfera unitaria.a) en la tangente ac ) dentro de

b) sabred) fuera de

IV. (x -3)2 + (y + W +:-2 = 81 es la ecuacion de la esfera con _a) centro 81 y radio (- 3, 5,0)b) radio 81 y centro (- 3, 5, 0)c) radio -9 y centro (3, -5,0)d) radio 9 y centro (3, - 5, 0)

V. j-(4k - 3i ) =__a) (1, -4, -3)c ) (-3, I, -4)

b) (I, -4,3)d) (3,1 -4)

VI. (i + 3k - j) . (k -4j + 2i) = _a) 2 + 4 + 3 = 9b) (l + 3 - 1 ) (1 - 4 + 2 ) = = - 3c) 1+ 12-2= -13d) 2 - 4 - 3 = -5

VII. EI vector unitario en la rnisma direccion que i+ 3k - j es _a) i- + kc ) t(2i-2j+k)

b) t(2i-2j+k)d) }(2i+2j+k)

VIII. EI cornponente de u en la direccion w esUWa) wb) ! w i u v w wc) UWUd) ! w i l u i

De los problemas 1al 4 encuentre la distancia entre los puntos:1. (3, -4, 3); (3. 2, 5)3. (3, -4, I); (3. -4,4)

2. (3, -4, 7);(3, -4, 9)4. (-2,1.3);(4,1,3)

En los problemas 5 a123 encuentre la magnitud y los cosenos directores del vector dado.5. v = 3j 6. v = 2i - 3j 7 . \' = -3i8 . v = 4i - 2j + k 9 . v = 4i - j 10. v = i + 2 . i11. v = - 3i - 5j - 3k 1 2 . l'=i-j+k 1 3 . l'=i+j+k14. v = i + 5j + 2k 15. v = -j + j + k 16. v=i-j-k17. v = 6i + 7j 1 8. v = -( + j - k 1 9. v = -i - j + k20. v = -i - j - k 21. v = 2i + 5j - 7k 22. v = - 3i - 3j + 8k23. v =: -2i - 3j - 4k24. Los tres angulos directores de cierto vector unitario son los mismos y estan entre cero y

rrJ2. i ,eL la ! es el vector?


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Figura 3.26

3.3 Vectores en el espaoo

25. Encuentre un vector de magnitud 12 que tenga la misma direccion queel vector del probrna 24.

26. Demuestre que no existe un vector unitario cuyos angulos directores sean n 1 6, T t/3 y ltl-27. Sea P = (2, 1,4) Y Q = (3, -2,8). Encuentre un vector unitario en 1a misma direcci4dePQ.28. Sea P = (- 3, I, 7) y Q = (8, 1 , 7). Encuentre un vector unitario cuya direccion es opuest~la de PQ. ~ ~29. En el problema 28 encuentre tad as los puntos R tales que PR . . . L PQ.*30. Demuestre que el conjunto de puntas que satisfacen la condici6n del problema 29~condici6n IP R I = I forman un c i rcu lo .3 1 . D esigua ld ad de l triangu lo Si u y \r estan en [lldemuestre que lu + v i : :: ; lu i + [v] .32. ~Bajo que circunstancias puede sustituirse la desiguaJdad en el problema 31 por un si

de igualdad?En los problemas 33 a 48 sea u = 2i - 3j +4k, v = -2i- 3j + 5k, W = i-7j + 3k y t =+4j +5k.3 3 . Calcule u + v 3 4. Calcu le 2u - 3 v3 5. Calcule 3u - 2v 3 6 . Calcule t + 3w - v3 7. Ca1cule 2u + 7w + 5v 3 8. Calcule w . (u + v)3 9. Calcule 2 v + 7t - w 40. Calcule u . v41 . Calcule (3t - 2u) . (5v + 2w ) 42. Calcule Iw l43 . Calcule u . w - w . t 4 4 . Calcule e l angulo entre u y w45 . Calcule el Angulo entre t y w 46. Calcule proy" v47 . Calcule proy, w 48 . Calcule w proy, v49 . Pruebe el teorema I. [Sugerencia: UtiJice el t eorerna de Pitagoras dos veces en la fig3.26.]

o 1,/ 1,/v _Q(x2, Y2 ':2)

50. Pruebe el teorema 2.51. Pruebe el teorema 3.52. Pruebe el teorema 4.

RESPUESTAS A LA AUTOEVALUACIONI. V

VI. a)II. c)

VII. c)III. c)

VIII. a)IV. d) V. d)


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CWITULO 3 Vectores en [)I y [)3

MANEJO DE LA CALCULADORALas instrucciones para ca1culadora presentadas en las secciones 3.1 y 3.2 para vectoresen [)2 se extienden a I?, con la observaci6n que ahora se tienen coordenadas esfericasadernas que cilindricas y cartesianas para representar vectores.Resuelva los siguientes problemas en una calculadora.En los problemas 53 al 56 encuentre la magnitud y direcci6n de cada vector.53. (0.2316,0.4179, -0.5213)55. (17.3, 78.4,28.6)

54. (-2356, -8194,3299)56. (0.0136, -0.0217, -0.0448)

En los problemas 57 al 60 calcule proy,. u.57. U = (-15,27,83); v = (-84, -77,51)58. U = (-0.346, -0.517 -0.824) v = (-0.517,0.811,0.723)59. U = (5241, -3199,2386); v = (1742,8233,9416)60. U = (0.24,0.036, 0.055); v = (0.088, -0.064, 0.037)

Ell E L PRODUCTO CRUZ DE DOS VECTORES

DEFINICI6N a

E JE M P L O 1

Hasta eJ momenta el unico producto de vectores que se ha considerado ha sido el productoescalar 0 producto punto. Ahora se define un nuevo producto, llamado p ro du cto c ru : (0 pro-dUClO vectorial) , que esta definido solo en [)3.

No ta h is to r ic a . EI producto cruz rue definido por Hamilton en uno de una seriede articulos publicados en Ph il os oph ic a l Mag a zi ne entre Jos aiios 1844y 1850.

Producto cruzSean u = a li + b ,j + c.k y v = { / 2 i + b2 j + c.k. Entonces el producro cruz (cruz vectorial)de u y v, denotado por u X v, es un nuevo vector definido por

N ote que e f r esu lta do d el p ro duc to cruz e s u n v ecto r, m ien tra s qu e el resu lta do d el p ro duc toescalar es un escalar.

Aqui el producto cruz parece estar definido de una manera arbitraria, Es evidente que exis-le n muchas maneras de definir un produc.to vectorial. i,Por que se escogi6 esta definicion? Larespuesra a esta pregunta se da en la presente seccion dernostrando algunas propiedades delproducto cruz e ilustrando algunas de sus aplicaciones.Cakulo del producto cruz de dos vectoresSean u = i-j + 2k y v = 2i + 3j - 4k. Calcule w = u X v,


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S O IllC io l1

TEOREMA a~ D EMOSTRAC I6N

.~EJEMPLO2

S oludo ll

TEOREMA m

3 .4 E I p rod u c to c ruz d e d o s v ec to re s 2

Usan d o la f6 rm ula (1 ) se obtien ew = [(- 1)(-4) - ( 2 ) ( 3 ) ] i + [ (2 )(2 ) - (1)( -4)]j + [(1) (3 ) - (-I ) (2 )]k

= -2 i + 8j + 5kNota. E n este e jem p lo u : w =(i - . i + 2 k ) . ( -2 i + 8j + 5k )= -2 - 8 + 1 0 = O . D e m an e rsim ila r , v . w = O . E s d ec ir, u X v e s o r to go n a l tan to a u com o a v . C om o se v e ra en brev e ,p rod u c to c ru z d e u y v e s siem p re o rto gon a l a u y v .A n te s d e con tin u a r e l es tu d io d e la s ap lic ac io n e s d e l p ro d u c to c ru z se obse rv a q u e existe ufo rm a sen c il la d e ca lcu la r u x v u san d o d e te rm in an te s ,

tkuxv= QI b, c1

Q2 b1 c2

q u e e s ig u a l a u X \. seg u n la d e f in ic ion I .

Uso del teorema 1 para calcular un producto cruzCa lcu le u x v , d on d e u = 2 i + 4j - 5k Y v = - 3 i - 2 j + k .

jux\'= 2 4-3 -2

k-5 = (4 -IO)i - (2 - 15)j + (-4 + 12)kI

= - 6i + I3j + 8kE I s igu ien te teo rem a resum e a lgu n as p rop ied ad es d e l p ro d u c to c ru z. Su d em o strac io n se d ecom o e je rc ic io (v ea lo s p ro blem as 3 8 al 41 d e e s ta secc i6n ) .

Sean u , v y w tre s v ec to re s en [?3 y sea e x u n e sc ala r, e nto nc es :i. u X 0 = 0 X u = O .ii . u X v = -( v X u ) (p rop ied ad an tico nm uta tiv a p a ra e l p rod u c to v ec to ria l) .iii. (au) X v = a(u x v).iv . u X (v + w ) = (u X v ) + (u X w ) (p rop ied ad d istribu tiv a p ara e l p ro du cto v ec to r ia l) .v . (u X v ) . w = u . ( v X w ). (E sto se llam a trip le p ro d u c to e sca lar d e u, v y w .)v i. U (u X v ) = v . ( u X v ) = O . (E s decir, u X v e s o rto gon a l au y a v . )v ii. Si n i u n i v son e l v ec to r ce ro , en ton ce s u y v son p a ra le lo s s i y 5610 si u X v = O..-

t En r e a li d a d 1 1 0 s e Ile ne u n d ete rm in an te p orq ue i, j Y k n o so n n urn ero s. 5 1 1 1 e mb arg o. a l u sa f l a 1 'Q [ a c, : r- C l~ ~ ~ - ~ .~n an te s. e l teo re ma 1 a yu da a re co rd ar c 6 1 1 1 0 c alc ula r u n p ro du cto c ru z.


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2 5 6 CAPiTULO 3

Figura 3.27EXISle l lexactamente d esv ! ' a o r e s . n y - n , o r to g o -n a ls s a do s v ec to re s n op a ra le to s u y v en 1:)3

TEOREMA E 3

12 DEMOSTRA(lON

V ec to re s e n 1)2 y 1)3

Figura 3.28La d irecc i6n de u x v sep ue de d ete rm in ar u sa nd ola re gia d e la m a na d sre ch a

u X v

v u

hO-----------------yu

x

La parte vi) de este teorema es la que se usa con mas frecuencia. Se vuelve a establecer comosigue:

EI producto cruz u X v es ortogonal tanto a u como a v, Se sabe que u X v es un vector ortogonal a u Y v , pero s iempre habra do s vectores unitariosortogonales a u y v (vea la figura 3.27). Los vectores n y -n (n por la letra inicial de normal)son ambos ortogonales a u y v , i,Cual tie ne la d ire cc io n de u X v ? La respuesta esta dada p a rla regia de la rnano derecha. Si se coloca la mana derecha de manera que el indice apunte en ladireccion de u y el dedo medio en la direccion de v, entonees el pulgar apuntara en Ia direccionde u x v (v ea la figura 3.28).

Una v ez q ue se ha estu d iad o la direccion del vector u X v , la a tenc ion se dir ige a su mag -nitud.

Si C fl es un angulo entre u y v, entonees

l u x v i = l u i H sen C fl (2)No es diflcil demostrar (cornparando coordenadas) que lu X v l 2 = lu l 21 v l 2 - ( u . v )2 (vea elproblema 37). Entonces, como (u . V)2 = lu I21"12cos- C fl (del teorema 3.3.2, pagina 255),

l u x v r = l u l11v l1 - l u l 2 J v l z c o s ' C fl =l u I ' I v l 2 (1- c o s ' 9)= l u l 2 J v l z s e n ' < p

y el teorema queda demostrado despues de saear la raiz cuadrada a am bos lados de laecuacion, Observe que sen < p ~ 0 porque 0 :s; C fl s; T C .

Existe una interpretacion geometrica interesante del teorema 3. Los vectores u y v estan di-bujados en Ia :igura 3.29 y se puede pensar que son dos lados adyaeentes de un paralelogramo.Entonces de la geometria elemental, se ve que ..

E I area del paral.elogramo que tiene lados adyacentesu yves igual a l u l l v l sen < p = [u X v i ( 3 )


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F ig u ra 3 .2 9_ ' e l e l a n g ul o entre u y v.- - ,en < p d e m an era q ue\

EJEM PLO 3

SO /U ciO Il

3.4 EIproducto cruz de dos vectores 2

....1I Figura 3.30U n p ara le lo qra mo e n I)l

Q(2 ,1 ,4 )

x

Calculo del area de un paralelogramo en 1)3Encuentre el area del paralelograrno con vertices consecutivos en P = (I. 3, -2), Q = (2, 1Y R =(- 3 , I , 6 ) (ver f i gura 3 .3 0) .EI parale1ogramo.

. -+-+Area = IPQ X QRI = 1 0 - 2 j + 6k ) X ( -Si + 2 k ) 1k

= -2 6 = 1 -4i - 32j -lOki = . J 1 i 4 O unidades cuadradas.-5 0 2

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LOS DETERMINANTES DE 2 X 2(OTRA VEZ)

En la seccion 2 .1 se es tud io el significado georne t r i co de u n determinante de 2 X 2 (pagina 17Ahora se obse rva ra el r n i smo problema. Hac i e ndo usa del producto cruz se obtiene el resultdo d e la seeei6n 2 .1 en form a mas se ne il la . Se a A u na m atriz d e 2 X 2 Y s ean u Y v dos v ectorde 2 componentes, Sean u = ( t i l J Y v =( V I J . Estos vectores estan dados en la figura 3 . 3 1 .v, \12: : : : ~ : : : : a : : : : : : : , : : : : ' ~ : n : : :' : : : : : 1 : : : : 1 : : ' " : : : : , : : : n ~ (g r :~ ;

area generada por u y v = lu x vi = [ t : 1 1 : 2 o jV I \12 0= 1 ( 1 1 1 \1 2 - U2 V I )kl = lUI1 2 - 11 2 \lIlt

[ a a , ) [ a u + a , u ' J [ a Ii + a . I " )horaseaA= II L ,u'=Auyv'=Av. Entoneesu'= II I 1- - yv'= 11,1 L ,a1 { /2 2 { /2 1UI + ( /22U2 a~ll + {/"1i.Cual es el area generada par u' y v"! Siguiendo los pasos anteriores se calcula

( I I , " ' )Observe qL le este es el v a lo r abso lu te d e d e l ,rr , II..


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258 C.\.piTULO 3

Figura 3.31E I area d e la reg ion s o r n -breads es e l a re a g en er ad ap o r u y v

V ec to re s e n [)2 y [)3

v = : : J

Figura 3.32T re s v e ct o re s u , v Y w, q u en o e s t a n e n e l m is m o p la n od et er rn in a ra u n p a ra le le p l-p edo en (;"

oII

i j kAreagen eradapo ru 'y v ' = lu 'xv 'l= I a"u, +a 12 ti2 a11til +a 22 11 2 0 I

a"vl+ClI1v1 al,1I1+a21vl 0= l(a"ul + a'2(/2 )(a21VI+ an v2) - (anul + a22 11 2)(a")/I + al2vl)1

La manipulacion algebraiea veri f ica que la ultima expresion es igual a1((1,1([22 - (l12([21)(UI1'2 - U2vl) 1 = det A (area generada por u y v)

Entonees (en este contexto): el determinante tiene el efecto de multiplicar e/ area. En el problema45 se pide allector que demuestre que de cierta forma un deterrninante de 3 x 3 tiene el efectode multiplicar el volumen.

INTERPRETACION GEOMlhRICA DEL TRIP.LE PRODUCTO ESCALARSean u, v yw tres vectores que n o estan en el mi smo plano. Entonces forman los lados de unparalelepipedo en el espacio (vea la figura 3.32). Calculemos su volumen. La base del paralele-pipedo es un paralelogramo. Su area, de (3), es igual a I u X v I .

EI vector u X v es ortogonal tanto a IIcomo a v y, par 10 tanto, es ortogonaI al paralelo-gramo determinado por u y v. La altura del paralelepipedo, h, se mide a 1 0 largo del vectorortogonal a! paraleiogramo.

Del analisis de la proyecci6n en la pagina 238, se ve que I t es el valor absoluto de la compo-nente de w en la direcci6n (ortogonal) U X v , Asi, de la ecuacion (10) en la pagina 251

I d I direccic I w . ( U X V ) 11 = componente e w en a ireccron u x v = Iu x v iEntonces

Volumen del paralelepipedo = area de base X altura

[Iw . (u x v )l]= Iu xv l luxv l = lw .(uxv )1

Es decir,

EI volumen del paralelepipedo determinado por los tresvectores u, v y w es igual a I(u X v) . w] = valor absoluto

del triple producto escalar de u, v y w . ( 4 )


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SEMBLANZA DE

Josiah Willard Gibbs y los origenesdel analisis vectorial (1839-1903)

Como seha observado anteriormente, el estudio de los vectoresseoriqlno con la invenci6n de los cuaterniones de Hamilton. Ha-milton y otros desarrollaron los cuaterniones como herramientasmaternaticas para laexploraci6n del espacio flsico. Perolos resul-tados fueron decepcionantes porque vieron que los cuaternio-neseran demasiado complicados paraentenderlos con rapidez yaplicarlos facilrnente. Loscientfficos sedieron cuenta de que rnu-chos problemas sepodian manejar considerando la parte vecto-rial por separado y de estemodo comenz6 el analisis vectorial.

Este trabajo se debe principal mente al fisico americanoJosiahWillard Gibbs (1839-1903). Como nativo de New Haven,Connecticut, Gibbs estudio rnaternatlcas yfisica en laUniversidaddeYaley recibio el grado de doctor en 1863. Posteriormente es-tudi6 rnaternaticas y fisica en Paris,Berlin y Heidelberg. En 1871,fue nombrado profesor de fisica en Yale. Era un ffsico originalque realize muchas publicaciones en el area flsico-maternatlca.Ellibro de Gibbs Vector Analysis apareci6 en 1881 y de nuevo en1884. En 1902 public6 Elemen tary Pr inc ipl e s of S tat is ti ca l Mecha -nics. Los estudiantes de rnaternatkas aplicadas se encontraroncon el Singularfen6meno de Gibbs en lasseriesde Fourier.

EIlibro pionero de Gibbs, Vec to r Ana l y si s era en realidad unpanfleto pequeno impreso para ladistribuci6n privada-en prin-cipio para que sus estudiantes 10usaran-. De cualquier forma,creo un gran entusiasmo entre aquellos que veian una alternati-vaa los cuaterniones, por 10que pronto ellibro fue ampliamentedifundido. Finalmente, el material seconvirti6 en un libro formalescrito por E.B.Wilson. EIlibro Vector Analysis de Gibbs y Wilsonsebasaba en la catedra de Gibbs.Sepublic6 en 1901.

Todos los estudiantes de flslca elemental seencuentran canel trabajo de Gibbs.En la introducci6n a la flsica, un espacio vec-torial seve como un segmento de recta dirigido, 0 flecha. Gibbsdio definiciones de igualdad, suma y rnultiplicacion de vectores;estas son esencialmente las definiciones dadas en este capitulo.Enparticular, la parte vectorial de un cuaternion seescribia comoai + bj + ck , y esta es la forma en que ahora se describen losvectores en [ll.

Gibbs defini6 el producto escalar,inicialmente s610para losvectores i,j, k :

Josiah Willard Gibbs(The Granger Collection,

Nueva York)

jj=j-j=kk=1ij=ji=ik=ki=jk=kj=O

Sigui6 a esto la definicion mas general. Gibbs aplic6 el produescalar en problemas referentes a la fuerza (recuerde, primera fisico). SiF esun vector de fuerza de magnitud I F I que a~en la direcci6n del segmento 00 (vea la figura 3.33), entonla efectividad de esta fuerza al empujar un objeto a 10largo~segmento O P (esdecir,a 10largo del vector u) estadada par F

Q

x~Figura 3.33 Laefectividad de Fen ladireccion de O P esla c~ponente de F en ladirecci6n de O P (=u) si u=

Si lu i =1,entonces F . u eslacomponente de Fen ladirecci6nu.Tarnbien el producto cruz tiene un significado ffsico. supoque un vector de fuerza F actuaen un punto P enel espacio e~ ~direcci6n de PO.Si u esel vector representado par O P , entonel momento de fuerza ejercido por F alrededor del origen evector u X F (veala figura 3.34).


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260 CAPiTULO 3 Vectores en 122y 123

2 Q

/x

Figura 3.34 EI vector u x F es el momenta de la fuerza alrede-dor del origen

problemas 3.4

Tanto el producto escalar como el producto cruz entre vee-tores aparecen frecuentemente en las apl icaciones f f s l cas que in-volucran el calculo de varlas variables . .Estas incluyen las famosasecuaciones de Maxwell en electromagnetismo.

A I estudiar maternattcas al final del siglo xx , no debemosperder de vista el hecho de que la mayor parte de las materna-ticas modernas se desarrollaron para resolver problemas delmundo real. Los vectores fueron desarrollados por Gibbs y otrospara facilltar el analisis de los fen6menos flsicos, En ese sentidotuvieron un gran exlto.

AUTOEVALUACI6N

I. ix k e k x i>a. ) 0 b) j

II. i.j X k) = __ .a) 0 b) 0

III. ix ] X k __ .a) 0 b) 0

IV. (i + j) X (j + k) =a) 0 b) 0

c) 2j d) -2j

c ) I d) i-j+kc) I d) no esta definidoc) 1 d) i-j+k

V . E1 sen a del angulo entre los vectores u y w esa) l u x w j b) l u x w lMR Rc) I " , w l d) I n x w l - I u . w il u x w l

VI. uXu=a) I n l ] b) I c) 0 d) 0


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3.4 EIproducto cruz de dos vectores 261

En los problemas 1a l26 encuentre el producto cruz u X v,1. 1 1 = i-2 ]; v = 3 k3. u = 2i - 3j; v = -9i + 6j5. u = -7kj v = j + 2k7. 1 1 = -2i + 3 j; v = 7i + 4k9. 1 1 = ai + bk ; v = ci + d k

1 1 . u = 2 i - 3 ] + k ; v = i + 2 ] + k13. u =i+ 2j + k; v = - i+ 6j - k15. u = i + 7j - 3k; v = -j -7j + 3 k17. u = 2 i - 3j + 5k ; v = 3i - j - k19. 1 1 = 10i + 7j - 3k; v = - 3i + 4j - 3k21. II= - i-2 .i + Sk ; v = -2i + 4j + 8k2 3 . II = 3i - j + 8k; v = j + j - 4k25. u = ai + bj + ck; v = ai + bj - ck

2 . II= 3i - 7.i; v =i+ k4. II= i-j; v = j + k6. u = 2i - 7kj v = - 3i - 4j8. u = ai + bj ; v = ci + dj10. u = aj + hk; v = ci + elk1 2 . II = 3i - 4j + Zk ; v = 6 i - 3 j + 5k14. II = -3i - 2j + k; v = 6i + 4j - 2k16. II=i-7j - 3k; v =-i+ 7j - 3k18. II= ai + bj + ck ; v = i + j + k20. II= 2i + 4j - 6k; v = -j -j + 3k22. u = 2i - j + k;' v = 4i + 2j + 2k2 4. u = ai + aj + ak j v = bi + bj + bk26. II = -4i - 3j + Sk; v = -i - 3] - 3k

27. Encuentre dos vectores unitarios ortogonales tanto a u = 2i - 3j como a v = 4j + 3k.28. Encuentre dos vectores unitarios ortogonales tanto a u =i+ j + k como a v =i- - k.29. Utilice el producto cruz para encontrar el sene del angulo (j) entre los vectores u = 2i + j

- k Yv = - 3i - 2j + 4k.30. Utilice el producto escalar para calcular el coseno del angulo tp entre los vectores del pro-

blema 29. Despues dernuestre que para los valores calculados, sen' rp + cos' (j) = I.En los problemas 31 al 36 encuentre el area del paralelograrno con los vertices adyacentes dados.31. (1, -2,3); (2, 0,1); (0, 4, 0)33. (-2, 1,0); (1,4,2); (-3,1,5)35. (a, 0, 0); (0, b, 0); (0, 0, c)

32. (- 2, I, I); (2, 2, 3 ); ( - I, - 2, 4)34. (7, -2, -3); (-4, J , 6); (5, -2,3)3 6 . (a, b, 0); (a, 0, b) ; (0, a, b)

37. Demuestre que [u x v]' = lu l 2 l v l " - (u . vf. [Sugerencia: Escribalo en terminos de compo-nentes.]

38. Utilice las propiedades 1,4,2 Y3 (en ese orden) en la secci6n 2.2 para probar las partes i),ii), iii) y i)l) del teorerna 2 .

39. Pruebe el teorema 2 parte )I ) escribiendo las componentes de cada lade de la igualdad.40. Pruebe el teorema 2 parte v i) . [ S uge r en c ia : Utilice las partes ii) y v) y el heche de que elproducto escalar es con rnu t a t i v o para demos t r a r que u . (u X v ) = -u . (u X v ) . ]41. Pruebe el teorema 2 parte v ii ). [ S uge r en c ia : Use el teorema 3 . 3 . 3 , pag, 250, la propiedad 6 ,

pag. 190 y la ecuacion (2).]

(/1 bl ciu(vxw)= (/2 b2 c2

al s , CJ


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262 C\PiTULO 3 V ec to re s e n [)2 y 1 23

43. Calcule el v oJu men d el p ara le lep ip ed o d ete rm in ad o p a r lo s v ec to re s i-, 3i + 2k, -7j+ Jk,~ ~ ~44. C a lcu le e l v o lum en d e l p a ra le lep ip ed o d e te rm in ad o p o r lo s v ecto res PQ, PR y PS, d o n d eP = (2, 1, -1), Q = (- 3, 1,4), R = (-I, 0, 2) y S = (- 3, -I 5).

;-1 '45. E l v o lum en gen e rad o p o r tre s v ec to re s u , v y w en I)le sta d e f in id o com o e l v o lum en d e ...p a ra le lep ip ed o cu y o s lad o s so n u , v y w (com o en Ja f ig u ra 3 .3 2 ) . Sea A u n a m a triz d e 3 X ::y sean u l =Au, VI = Av Y WI = Aw d em u es tre q u e

Vo lum en gen e rad o p o r u l' VI' WI = (:td e t A ) (v o lum en gen e rad o p a r u v , w).

E s to m u e str a q u e e l d ete rrn in an te d e u n a m atriz d e 2 x 2 m ultip l ic a el a re a, e l d ete rm in an te deuna m atriz d e 3 X 3 rnul t ip l ica e l vo lu rnen .

a) Ca l cu l e el v o lu m en g en era do p o r u , V y w .b) C alcu le e l volurnen g en e rad o p a r Au, Av y Aw .e) C alcu le d e t A,d) Demuestre q u e [v o lum en en e l inciso b) ] = (z d e t A) X [v olu men en e l in c iso a)].

47. E I tr ip le p ro d u c to c ru z d e tre s v ec to re s en [?) e s ta d e f in id o com o e l v ec to r v X (v X w). D e-m ues tre q u e

u X (v X w) = (u . wjv - (u . v )wRESPUESTA5 A LA AUTOEVALUACIDNI. el) III. b) =: vec to r cero'INora: iX j X k esui de f i n ido

p o rq u e (i X j) X k = = 0 = iX Ij X k)]II. c)I V . (l) V . a) VI . e) = = v ecto r ce ro

MANEJO DE LA CALCULADORA

EI p rod u c to c ru z d e d o s v ec to re s se p u ed e en con tra r d irec tam en te u til izan d o e l com an -d o CR OSS, e sto e sC3J U-CIJCEDCI](ENTER)cs=J {L_CD(!


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3 .5 R ec ta s y p lan es en e l esp ac io 2 63

MATLAB 3.4I. Utilice MATLAB para calcular el producto cruz de los vectores dados en los problema I.

2, 3,4 y lOde esta seccion. Verifique sus respuestas calculando los productos escalares delos resultados con los vectores i nd iv iduales (l,que valor deben tener estes productos escala-res?). E I p ro d uc to cruz u X vesta def in ido como u n vector de 3 X 1 dado p o r

lu(2)"'v(3) -u(3)"'v(2); -u(1 )*v(3)+u(3)'~,'


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264 C"'PiTULO 3 V ec to re s e n 1)2 y 1)3

Figura 3.35 - R ~- Q QE n lo s t r e s c as osO R =O f + P R

R P RY I' F

X Y Xa ) b ) c)

ECUACI6NV E CT OR IA L D E

U NA R E CT A

ECUACIONESPA R AM E TR IC AS D E

U NA R E CT AL.,.----

ECUACIONESS IM E TR IC AS D E

U NA R E CT A

E JE M P L O 1

Solucion

La ecuaci6n (4) se denornina ecuacion vectorial de la recta L. Si R esta sobre L, entonces (4)se satisface para a lg un n urn ero real t. In ve rsam en te , si (4) se cumpJe, entonces inv i r t i endo 10~pasos , se v e q ue PR es p a ra le lo a I', 1 0 q u e s ig n if ic a que R esta sobre L.

Si se ext ienden las componentes de la ecuaci6n (4 ) se obtiene

o sea (5)x = XI + f(X2 - XI)Y=I + I(y} - Y I)Z = ZI + feZ , - ZI)

Las ecuaciones (5) se denominan ecuaciones pararnetrlcas de una recta.Por ul t imo, al despejar I en (5 ) y definir Xl - .\"1 = a, Y2 - Y I = by Z2 - :1 = c, se encuentraque si a, b, c i= - 0 ,

x - XI = Y - Y I = Z - ZIabc

(6)

Las ecuac iones (6 ) se Haman ecuaciones simetricas de una recta. Aqui a, by e son n ume r o s di-rectores del vector v . Par supues to , las ecuac ione (6 ) son va l idas s610 si a, by e son diferentesde cera.

Determinacion de las ecuaciones de una recta

Encuentre las ecuaciones vectoriales, pa rame t r icas y sim etricas d e I a recta L que p asa po r 1 0puntas P = (2, -1,6) y Q = (3, 1, -2) .Primero se calcula v = (3 - 2)i + [I - (-l)]j + (-2 - 6)k = i+ 2j - 8k. Despues, de (4), si~ ~R = (x, y, r) esta sabre la recta, se obtiene OR = xi + yj + ck = OP + tv = 2i - j + 6k +t( i + 2j - 8k), a sea,

x=2+1 y = -1 + 2 1 : = 6 - 8 1 ecuacicnes parametricasPOI' ultimo, como a = 1, b = 2 y c = -8, las ecuaciones simetricas son

x-2 )+1 z-6--=--=--2 -8 ecuaciones sirnetricas ( 7 )


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EJE M P LO 2

Solucion

EJE M P LO 3

I I . Solucion

E JE M P L O 4

Soiucio ll

3 .5 R ec ta s y p ian o s en e l esp ac io 2

p a ra v e rif ic a r e s ta s ecu ac ion e s, se co rn p ru eba q u e (2 , -1 ,6 ) Y ( 3 , 1 , -2 ) esten en rea lid ad enrec ta . Se tien e [ de spue s d e in se rta r e s to s pun tos en (7)J

2-2_ -1+1_6-6_0--------I 2 -83- 2 1+! -2 - 6-=-=--=1I 2 -8

Se p u ed en en co n tra r o tro s p u n to s en la rec ta . POI' e jem plo , si f = 3 s e o btie nex-2 y+1 2-63=-=-=-1 2 -8

Lo q u e I lev a al p u n to (5,5, -1 8) .

Obtencion de las ecuaciones simetricas de una recta

E n cu en tre la s ecu ac ion e s s im etric a s d e la rec ta q u e p asa p o r lo s p u n to s ( 1 , - 2 , 4) Y es p a ra lea l v ec to r v = i+ j - k .Se u sa la fo rm u la (6 ) co n P = (XI' Y I , :1) = (I, -2 ,4) Y v com o se d io , d e m an e ra q u e a =b = 1y c = -1. E sto !lev a a

x-I v+ 2 2-4--=---=-- -Il , Q u e p asa si u n o d e lo s n um ero s d ire c to re s a by e e s c ero ?

Determinacion de las ecuaciones sirnetrlcas de una rectacuando un nurnero director es ceroE ncu en tre la s e cu ac io n e s s im etric a s d e la rec ta q u e con tien e lo s p u n to s P = (3 ,4, -1 ) y Q(-2,4,6).Aqu i v = - 5i + 7k ya = - 5, b=0, ( ' = 7 . E nton ce s u n a rep re sen rac ion p a ra rn e tr ic a d e la ree s x = 3 - 51 , y = 4 Y : = -I+ 7 /. Oespe j ando Ise en cu en tra q u e

x-3 z +!-=- y y=4-5 7L a e cu ac io n y = 4 es la ecu ac ion d e u n p lan o p a ra le lo a l p lan o X:, a s ! q u e se obtu v o u n a e cc i6n d e u n a rec ta en e se p lan o .

Determinacion de las ecuaciones simetricas de una rectacuando dos numeros directores son ceraE n cu en tre la s ecu ac io n e s s im e tric a s d e la rec ta q u e p asa p o r 1 0 p u n t o P = (~.3 . - ~ ) y Q(2,-I, -2).Aqu i v = -4 j d e m an e ra q u e a = 0, b = -4 Y c = O . Una rep re sen tac ion p a ra rn e tric a d erec ta e s , p o r la ecu ac ion (5) , d ad a p o r x = 2 , y = 3 - 41, :; = - 2 . A ho ra .v = ~e la e cu ac io


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266 V ec to re s e n 1)2 y 1)3

de un plano paralelo al plano yz, mientras que z = -2 es la ecuacion de un plano paralelo alplano xy. Su in te rs ec cio n e s la recta .v = 2 , z = - 2 , que es para lela al eje y y pas a por los punto(2,0, - 2). De heche, la ecuacion y = 3 - 4/ dice, en esencia, qLley puede tomar cualquier valor(rnientras que x y z perrnanecen fijos).

A D V E R T E N C I A Las ecuaciones pa rame t r i ca s a s ime t r i ca s de una recta no son un icas . Para ver esto, simple-mente comience can otros dos p u n t os a r bi tr a ri o s sobre la recta.

EJEMPLO 5 Ilustraci6n de la falta de unicidad en las ecuaciones sirnetricas de una rectaEn el ejempJo lla recta c:uyas ecuaciones se encontraron contiene al punto (5, 5, -18). AI elegirP = (5 5, -18) y Q = (3, I, -2), se encuentra que v = -2i - 4j + 16k de rnanera que x = -- 21,), = 5 - 41y: = -18 + 161. (Observe que si I = f se obtiene (x, y, z) = (2, -I ,6),) Lasecuaciones simetricas son ahora

x-5 11-5 z+18--=--=---2 -4 16

Noteque(-2,-4, 16)= -2(1,2,-8).La ecuacion de UI.H1ecta en el espacio se obtiene especificando un punta sabre la recta y unvector paralelo a esta recta. Se pueden derivar ecuaciones de un plano en el espacio especifi-

VECTOR cando un punta en el plano y un vector ortcgonal a todos los vectores en el plano. Este vectorE ! NORMAL ortogonal se llama "ector normal al plano y se denota por n (vea la figura 3.36).DEFINICI6N a Plano

Sea P un punta en el espacio y sea n uu vector dado di.ferente de cero. Entonces el con-- - - +junto de todos los puntas Q para los que PQ ' n = 9 constituye un plano en~.Notacion. Par 10 general, un plano se denota pOI' el simbolo It.Sea P = (.\:rl' Y n , ~II) un punto fijo sabre UJ] pl~o con vector normal n = ai + bj + ck. Si Q =(x, y, z) es otro punto en el plano, entonces PQ = (x - xo)i + (y - J io) j + (z - zo )k .- - - + - - - +Como PQ ..L n, tenemos que PQ . n = O . Perc esto implica que

( 8 )

Figura 3.36EI ve or n es or tagana la todos los vecto res en e lo lano


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EJEMPLO 6

Solucion

3.5 Rectas y pianos en el espacio 26

Una m an e ra m as COIllLIn d e esc ribir la ecu ac i6n d e u n p lan o se d e r iv a d e (8) :Ecuacion cartesiana de un plano

ax + by + cz = d (9)-7donde d = a x o + by o + c Z o = OP . 1 1

Determinacion de la ecuacion de un plano que pasa par un punta dadoy tiene un vector normal dadoEn c u e n t r e un p l ano IT q u e pasa p a r e l p u n ta (2 , 5, 1 ) Y q u e tien e un vector n o rma l n =i-+ 3 k .D e (8) se o btien e d i r ec t a r n en t e (x - 2 ) - 2(y - 5) + 3 (.:: - I ) = 0, 0 sea ,

.Y - 2 )' + 3. :: = - 5 (10)Los tre s p lan o s coo rd en ad o s se rep re sen tan d e la sig u ien te m an e ra :

i. E I p la no xy p asa p a r e l o r ig en (0 , 0, 0) y c ua lq u ie r v e cto r a 1 0 la rgo d e l e je : e s n o rm al a e1 v ec to r m as s im p le e s k. A si, d e (8) se obtien e O (x - 0) + OCr - 0) + 1 (: - 0) = 0, 1 0 q ullev a a

:=0 (11)com o la ecu ac i6 n d e l p lan o xy. (Este resultado n o d ebe sorprender.)

ii. E1 plano x; tiene l a e eu a ei 6n)'=0 (12)

iii . EI pla no y z tie ne la e cu ac io nx = o (13)

EL mBUJO DE UNPLA 0N o es d if ic il d ibu ja r till p l ano .Casol. 1plano es paralelo a un plano coordenado. Si e l p lan o es paralelo a u n o d e lo s p lan o scoo rd en ad o s, en ton ee s la ecu ac i6n d e l p lan o es u n a d e la s s igu ien te s:

x=a (p ara le lo a l p lan o y:)(p ara le lo a l p lan o x:)(p ara le lo a l p lan o xy)

y=b::;=c

Cad a p lan o se d ibu ja com o u n rec tan gu lo con lad o s p a ra le lo s a lo s o tro s d o s e je s coo rd en ad o s .La f ig u ra 3 .3 7 p re sen ta un bosq u e jo d e estes tre s p ia no s.Caso 2. Elplano interseca a cada eje coordenado, Su pon ga q u e una ecu ac i6 n d el p lan o e-

ax + by + c.:; = d co n abc*, O .EI c ru ce can e l e je .v e s e l p u n to ( ~,o, ) , e l c ru ce can e l e je j- e s e l p u n to ( o . *.0 ) y e l c rucan e l eje .:;es e l p u n to ( 0, 0, ~ J


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268 C..\piTULO 3 V ec to re s e n [:)l y [ : ) ,

Figura 3.37Tre s p la ne s p ara le lo s aa i g u l l p la n o co or d en a do

EJEMPLO 7

S O/lic iO I1

Figura 3.38D ib ujo d el p la no x + 2y +3z = 6 e n c ua tro p as os

o.~---yx

xa) h ) c )

Pa so 1. G raf iq u e lo s tre s p un ta s d e cru c e .Paso 2 . na lo s tres p u n tas d e cruce para f o rma l ' un t r i a ngu lo .Paso 3 . D ibu jan do d o s l in e n s p a ra le la s , dibuje Lin paralelograrno cuya d i agona l es e l te rce r

lad o d el tr ian gu lo .Paso 4. E xtien d a e l p ara le log ram o d ibu ja n d o cu a tro lin eas p ara le las ,

E ste p ro ceso se ilu s tra can la g ra f ic a d e l p la n o v + 2y + 3 : = 6 en la f ig u ra 3 .3 8. Los c ru ceso n (6, 0, 0), (0, 3 , 0) y (0, 0. 2).

Tres p un to s n o co lin ea les d e te rm in an un p lan o y a q u e d e te rrn in an d os v ec to re s n o p ara -le lo s q u e se in te rsec an en u n p u n ta (v e a la f ig u ra 3 .3 9 ) .

Determinacion de la ecuacion de un plano que pasa por tres puntos dadosE n cu en tre la ecu ac io n d e l p lan o q u e p asa p o r lo s p un to s P = (L 2 , l ), Q =(- 2 , 3 , -1 ) y R =(1,0,4).

~ ~Los vectores PQ = -3i + j - 2k Y QR = 3i - 3j + 5k estan en elplano y poria tanto sono rtog o n a le s a l v ec to r n o rm al d e m ane ra q u e

k-2 =- j + 9j + 6k5

~ ~n =PQ X QR = -3 13 -3

(0.0,2)

.~+-+-""""'_J(0,3,0)

(6, 0, 0).Y


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Figura 3,39Lo s p u nt os P , Q Y R deter-1 1 in an u n p la no s ie m pr e~ u e n o s e an c o li ne a le s

DEFINICION a

Figura 3.41S e d ibu ja ro n d os p ia no sparalelos

Q

x p

3 ,5 R ec ta s y p ia no s e n e l e sp ac io 2

Figura 3.40EIplano-x-L9y+6z=23

(-23,0,//,,

y se o btien e , u san d o e l p u n to Pe n la ecu ac ion (8) .

e s d ec ir,1 (: -(x - I) + 9(_ ) ' - 2 ) + 6(: - I ) = 0

- x + 9y + 6: = 23Obse rv e q u e s i se escoge ctro punta, digamos Q , s e o btie ne la ecuacion -(_r + 2) + 9(_r - 36( : : : + I ) = 0, q u e se red u ce a -x + 9y + 6: : : = 2 3 . La figura 3.40 p re sen ta u n bosq u e jo d e ep l ano .

Pianos paralelosDos pIanos son paralelcs' s i sus vectores normales son paralelos, es dec i r , 51 el productoc ru z d e sus v

Algebra Lineal Capitulo 3 Vectores

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